Lech Grossman

MÉTODO DE

LERCHS-GROSSMAN

Alumno:

Lumba Huamán Lenin O.

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

MÉTODO DE

LERCHS-GROSSMAN

Alumno:





MÉTODO DE

LERCHS-GROSSMAN

Alumno:





1 Investigado por: Lumba Huamán Lenin Omar

Planeamiento de minado

INTRODUCCIÓN

Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit,

utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue

desarrollado por Lerchs y Grossman en el año 1965. Esta es una técnica precisa para

definir el límite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual

es posible lograr el mayor beneficio posible. Se puede aplicar fácilmente en una planilla de

cálculo, según se explicará a continuación por el método de Lerchs y Grossman.



MÉTODO DE LERCHS-GROSSMAN

1. EL MÉTODO BIDIMENSIONAL DE LERCHS-GROSSMAN

Este método permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la

máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de

prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La

metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional.

Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en

secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de

plantas del rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es

óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso

de suavizamiento no lo sea.

El primer paso es dividir la sección transversal del pit en bloques. Se selecciona el

tamaño del bloque para obtener una altura equivalente a la del banco, y se selecciona un

grosor del bloque de tal forma como para que la línea diagonal resultante a través de los

bloques, genere el ángulo de la pendiente total deseada, como se indica en la Figura 2.7.

Figura 2.7- Sección transversal de un yacimiento, con altura de bloques equivalentes a altura de

banco y diagonal del bloque que define la pendiente (53°).

El siguiente paso es asignar valores a los bloques, basándose en la ley del mineral y las

condiciones económicas de la propiedad minera. Los bloques de estéril, son asignados

por números negativos, los cuales equivalen al costo en extraer estos bloques de

material. Los bloques de mineral, son asignados por números positivos, los cuales

equivalen al beneficio generado al extraer estos bloques sin incluir el costo de

extracción de material estéril. El beneficio se determina restando todos los costos de



producción al precio de venta de los minerales producidos. Esto incluye extracción,

tratamiento en Planta, transporte, comercialización y costos administrativos en general.

La Figura 2.8, es un modelo de bloque similar a Figura 2.7, pero en este caso, los

bloques son celdas de una planilla de cálculo con valores de bloques asignados.

La técnica de Lerchs Grossman, se basa en la siguiente relación:

P ij = M ij + máx. (Pi + k,j-1) ...... (1)

donde, K = -1, 0, 1

, M ij, representa el beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el

bloque ij en su base.

Pij, es el beneficio máximo que pueden generar columnas 1 hasta j dentro de un pit que

contiene el bloque ij en su límite. Este método se puede ilustrar mejor por medio de un

ejemplo. En la Figura 2.8, los valores económicos del bloque (Vij), han sido asignados

a una sección transversal.

Fig.2.8- Se asignan valores de bloques (Vij).

El próximo paso, es calcular los valores acumulativos de la columna, Mij, tal como se

muestra en Figura 2.9.



Fig. 2.9- Los valores acumulativos de la columna (Mij), se calculan a partir de los

valores de los bloques.

Estos valores corresponden simplemente al valor acumulativo de los valores

económicos de todos los bloques situados exactamente arriba de la misma columna, tal

como se muestra en Figura 2.10.

Fig. 2.10-ejemplo de cómo calcular los valores acumulativos de la columna Mij, añadiendo los

valores de bloques Vij dentro de la columna.



Por lo tanto, Mij para el bloque en donde i = 4 y j = 12 (M4,12), es la suma de los valores

de bloque para los bloques j = 12 y i = 1,2,3,4. En la Figura 2.8, M4,12 = 2 + 3+ 4+ 4 = 13.

El último paso, como se muestra en la Figura 2.11, es calcular los valores de la matriz de

beneficio de Pij. Estos valores, corresponden al beneficio neto o pérdida generados al caer

uno de los bloques del modelo sobre el límite del pit con todos los bloques de la izquierda

que se han extraídos para crear una pendiente con el ángulo total deseado.

Fig.2.11- ingreso máximo (Pij) para un pit con el bloque ij en su límite derecho.

Para determinar el valor de la matriz de beneficio de cualquier bloque en particular, el

valor acumulativo de la columna para ese bloque (Mij), es sumado al valor de beneficio

(Pij) para un bloque en la columna más próxima a la izquierda. Para cualquier bloque en

particular, se darán tres alternativas: el bloque ubicado diagonalmente arriba a la

izquierda, el bloque ubicado transversalmente a la izquierda, y el bloque ubicado

diagonalmente abajo a la izquierda. De estas tres alternativas, se selecciona el bloque

con valor máximo positivo. Se agregan las mejores alternativas para todos aquellos

bloques que son extraídos, para obtener el valor de beneficio para el bloque que se está

evaluando.

La Figura 2.12 incluye valores de Pij para las columnas desde 1 hasta 10, y se utilizarán

a modo de ejemplo en la generación de valores para la columna 11. Por conveniencia,

los valores de la columna acumulativa Mij para la columna 11, que se requieren para

calcular los valores de Pij utilizando la Ecuación 1, también se incluyen en Figura 2.12.



Fig., 2.12- ejemplos de cómo calcular los valores de Pij para la columna 11, utilizando losvalores de Mij a partir de la columna 11.

Ejemplo 1: Determinación de Pij para el bloque 1,11.Los valores de Pij se determinan según lo definido en Ecuación 1. El proceso comienza

en Columna 1, y continúa hasta arriba en Columna 2, después de haber evaluado todos

los bloques en Columna 1. El valor acumulativo de la columna es 1. Las tres opciones

de diseño, si este bloque cae sobre el límite final, son sólo extraer el bloque (1,11),

extraer el bloque (1,10) o incluir los bloques (1,10) ó (2,10) en el límite final. El costo

de estas tres opciones son: 0, -2, y -3. Estas tres opciones generan valores de beneficio

de:

M1,11 + P1,10 = 1 + 0 = 1

M1,11 + P1,10 = 1 + (-2) = -1

M j,11 + P 2,10 = 1 + (-3) = -2

La alternativa más rentable es extraer sólo el bloque (1,11), donde Pij tiene el valor 1.

Ejemplo 2: Determinación de Pij para el bloque 5,11.

El valor acumulativo de la columna es 13. Si este bloque cae sobre el límite final del pit,

existen tresopciones en la columna 10 para la ubicación del límite final, bloques (4,10);

(5,10) y (6,10).

Las tres alternativas generan valores de beneficio de:

P 5,11

M 5,11 + P 4,10 = 13 + (-4) = 9

M 5,11 + P 5,10 = 13 + (-3) = 10

M 5,11 + P 6,10 = 13 + (-5) = 6



La mejor alternativa es (5,10), dejando al valor de P (5,11) de 10.

La Figura 2.13, representa la matriz de beneficio total (Pij) para el ejemplo.

Fig. 2.13- los valores de Pij, indican donde termina el pit en la superficie y la línea del límite

del pit a lo largo del modelo del bloque

Los valores de Pij en cada bloque, representan el beneficio a generar si ese bloque se

encuentra sobre el límite final del pit a la derecha, y todos los bloques situados arriba y

a la izquierda son extraídos de manera óptima.

Dado que ningún bloque sobre el límite puede tener otro precisamente por sobre él

mismo por razones de diseño de pendientes, observamos a lo largo del límite superior

para el bloque indicando el mayor beneficio. En este ejemplo, podemos ver que el

bloque 1,18 indica el mayor ingreso, con 93 unidades. Desde esta posición, operamos en

la matriz de beneficio ubicada a la izquierda. Desde la posición actual, existen tres

alternativas para expandir el pit a la izquierda. Estas son: 1) arriba, 2) transversalmente

y 3) abajo.

En este caso, el subir no es una alternativa disponible, ya que nos encontramos en la

superficie superior. La posición transversal, indica un beneficio de 88 unidades, y el

bajar, indica un ingreso de 92 unidades. Por lo tanto, el pit se expande hacia abajo, y se

repite el proceso de evaluación hasta concluir el diseño del pit al lado izquierdo del

modelo.

Los valores de la matriz de beneficio, actúan como indicadores de la alternativa correcta

de expansión del pit en todos los puntos. Si se encuentra una situación en que las dos

opciones de expansión indican el mismo beneficio, entonces ambas rutas alcanzan el

mismo valor. Bajo esta situación, al seleccionar la alternativa que extrae el material

adicional, aumentará la recuperación total del recurso natural sin tener ningún efecto en



el flujo de caja, y la política de la compañía determinará la alternativa en este caso. La

Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en su interior.

La Figura 2.15 ilustra los valores de Vij para todos los bloques incluidos dentro del pit

final. Se muestra el valor total de cada columna, como también la suma de todos los

bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo

determinado en Figura 2.13. Además, será imposible encontrar otro diseño de pit que

pueda generar un mayor beneficio.

Fig. 2.15- El valor total Vij 1 del limite del pit = 93, el cual es el que se indica en figs. 2.11 y 2.12.

Para una mayor demostración sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura

2.14. Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo bloque. Suponga

que éste es demasiado bajo como para ser extraído, por lo tanto, surge la necesidad de

averiguar si dejar Bloque 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de la matriz, indica que

si el pit se expande de manera transversal y no hacia abajo desde el Bloque 5,12, se

reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15).



































Observe en la Figura 2.8 que el Bloque 6,11 tiene un valor neto de 5, por lo tanto,

resulta obvia la pérdida de 5 unidades. Por otra parte, si el pit se expande hacia abajo y

no de manera transversal desde el Bloque 5.13, habrá una reducción de 2 unidades de

ingreso (31 vs. 33). Esta opción de expandir el área inferior del pit es mejor, ya que

implica una pérdida de 2 unidades versus una pérdida de 5.

La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee

ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la

industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas.

En particular, se observa el valor de todos los bloques dentro del modelo, no sólo a lo

largo del límite.

Sin duda, el método descrito anteriormente, tiene las desventajas como de cualquier

sistema de dos dimensiones, sin embargo, y por lo general, es posible implementar el

sistema de Lerchs Grossman de manera tridimensional, según lo que se discutirá a

continuación.

2. MÉTODOS TRIDIMENSIONALES DE LERCHS GROSSMAN

La teoría fundamental resguardada tras las técnicas tanto de Lerchs Grossman como del

Cono Flotante, se refiere a que cada tonelada de mineral extraído, deberá pagar su

propia extracción. El método de Lerchs Grossman, es un procedimiento de cálculo

formal, en tanto que el sistema del Cono Flotante, confía más en la fuerza bruta. Ambos

métodos utilizan una aproximación del modelo de bloques de la forma del pit, y esto

induce a cierta imprecisión en ambas técnicas.

El cono flotante tiene ventajas para la creación de un sistema de planificación minera

como también el análisis del límite final del pit. Por esta razón, he optado por el uso del

método del Cono Flotante como herramienta básica en el desarrollo de un sistema de

planificación minera para enseñanza e investigación en la Universidad de Queen's a

principios de los años '80. Cuando los sistemas de cono flotante en tres dimensiones se

aplican correctamente, generan fundamentalmente los mismos resultados que en método

de Lerchs Grossman

2.1. La Técnica de Lerchs Grossman

Este concepto puede expresarse matemáticamente bajo un formato tridimensional,

utilizando la teoría gráfica (Ref.1). 11 Al optimizar un diseño de pit en tres

dimensiones, trabajamos con un modelo de bloque del yacimiento,



tal como el que se ilustra en la Figura 2.22.

Fig. 2.22- Modelo de bloque del yacimiento

Se asignan valores a los bloques de mineral y de estéril, como se ha discutido

anteriormente. Para implementar el método en tres dimensiones, comenzamos a

partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el

primer nivel, que sean rentables. Esto, simplemente incluirá la extracción de

todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloques de estéril. Esto

es posible, ya que no es necesaria la extracción de estéril para alcanzar el ángulo

de la pendiente total durante la extracción del primer banco. Sin embargo, cuando

se debe extraer el segundo banco, será necesario extraer algunos bloques de

estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de mineral en particular

en el segundo nivel puede pagar la extracción de todos los bloques de estéril en el

primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lleguemos al cuarto o

quinto nivel, se vuelve bastante difícil evaluar la posibilidad de que la extracción

de cada bloque será rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar

matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado

otro método aproximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado

otro método aproximado para esta aplicación, denominado como la técnica del

“cono flotante”. Esta técnica, tiene ventajas al desarrollar un sistema para la

planificación minera como también para el análisis del límite final del pit. El

método de Lerchs Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica

correctamente, los sistemas de cono flotante en tres dimensiones, generan

principalmente los mismos resultados





















































2.2. Método del Cono Flotante

El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito anteriormente para el

caso de dos dimensiones, con excepción en que el modelo de bloques y el cono

son tridimensionales.

El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se

deben extraer para excavar un bloque en particular hasta la base. Por las

limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al hecho de que todo el

material sobre un bloque en particular, debe ser excavado antes que ese bloque

pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono de tres

dimensiones. El incremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques

a partir de una matriz de bloques en tres dimensiones, como se puede observar en

Figuras 2.23 y 2.24.

Fig. 2.23- vista tridimensional de ¼ de un incremento de extracción cónica,

aproximando por bloques.

Se emplea un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit,

utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de

beneficio.

Fuente: Diseno-y-Operaciones-de-Minas-a-Cielo-Abierto-www-ingenieroenminas

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beneficio.


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beneficio.


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