Embed Size (px)
Citation preview
1
DUMITRU BUŞNEAG DANA PICIU
LECŢII de
ALGEBRĂ
Editura UNIVERSITARIA CRAIOVA
2002
2
3
Referenţi ştiinţifici ProfunivdrConstantin NăstăsescuUniversitatea Bucuresti Membru corespondent al Academiei Romacircne Profunivdr Constantin NiţăUniversitatea Bucureşti copy 2002 EUC ndash CRAIOVA All rights reserved No part of this publication may be reproduce stored in a retrieval system or transmitted in any forms or by any means electronic mechanical photocopying recording or other wise without the prior written permission of the publisher Tehnoredactare computerizată Dana Piciu Livia Popescu Copertă Cătălin Buşneag
Bun de tipar 20022002 Tipografia Universităţii din Craiova Strada Al Cuza nr13 Craiova Romacircnia
Published in Romania by EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale Dumitru Buşneag (coordonator)
Lecţii de Algebra 527 p 21 cm
Craiova ndash Editura Universitaria ndash 2002 Bibliogr 512545556585535166264
ISBN 973 ndash 8043 ndash109 ndash 8
4
ISBN 973 ndash 8043 ndash 109 ndash 8
5
CUPRINS
pag
CAPITOLUL 1 NOŢIUNI PRELIMINARII 1
sect1 Mulţimi Operaţii cu mulţimi 1 sect2 Relaţii binare pe o mulţime Relaţii de echivalenţă 7
sect3 Relaţii funcţionale Noţiunea de funcţie Clase de funcţii 14
sect4 Nucleul şi conucleul unei perechi de funcţii 32
sect5 Mulţimi ordonate Semilatici Latici 35
sect6 Laticidistributive 45
sect7 Complement şi pseudocomplement icircntr-o latice Algebre Boole Algebre Boole generalizate 50
sect8 Produsul direct (suma directă) a unei familii de mulţimi 56
sect9 Numere cardinale Operaţii cu numere cardinale Ordonarea numerelor cardinale
60 sect10 Mulţimi numărabile Mulţimi finite şi mulţimi infinite
66
CAPITOLUL 2 GRUPURI
71 sect1 Operaţii algebrice Monoizi Morfisme de monoizi Produse directe finite de monoizi 71 sect2 Grup Calcule icircntr-un grup Subgrup Subgrup generat de o mulţime Grup ciclic Ordinul unui element icircntr-un grup 83
6
sect3 Centralizatorul unui element icircntr-un grup Centrul unui grup Teorema lui Lagrange Indicele unui subgrup icircntr-un grup Ecuaţia claselor 86 sect4 Subgrupuri normale Factorizarea unui grup printr-un subgrup normal 90 sect5 Morfisme de grupuri Compunerea morfismelor de grupuri Monomorfisme epimorfisme izomorfisme de grupuri Nucleul şi conucleul unei perechi de morfisme de grupuri 94 sect6 Teorema lui Malţev Grupul (ℤ +) Subgrupurile lui (ℤ +) Clasele de resturi modulo n 99
sect7 Teoremele de izomorfism pentru grupuri 108 sect8Produse finite de grupuri Teorema chinezească a resturilor Numărul tipurilor de grupuri abeliene finite 112 sect9 Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite Grupul diedral Dn de grad n Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim pge3) 118
sect10Grupuri de permutări Teorema lui Cayley Grupurile Sn şi An 122 sect11 Teoremele lui Sylow Aplicaţii caracterizarea grupurilor cu pq elemente ( p şi q numere prime distincte ) şi 12 elemente 132
CAPITOLUL 3 INELE ŞI CORPURI 139
sect1 Inel Exemple Reguli de calcul icircntr-un inel Divizori ai lui zero Domenii de integritate Caracteristica unui inel 139
sect2 Subinele şi ideale 144 sect3 Morfisme de inele Izomorfisme de inele Transportul subinelelor şi idealelor prin morfisme de inele Produse directe de inele 152
7
sect4 Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral Teoremele de izomorfism pentru inele 157 sect5 Corp Subcorp Subcorp prim Morfisme de corpuri Caracteristica unui corp 160 sect6 Inele de fracţii Construcţia corpului ℚ al numerelor raţionale 165
sect7 Construcţia corpului ℝ al numerelor reale 169 sect8 Construcţia corpului ℂ al numerelor complexe 186
sect9 Construcţia corpului H al cuternionilor 189
sect10 Ideale prime Ideale maximale 191
sect11 Divizibilitatea icircn inele 199
CAPITOLUL 4 INELE DE POLINOAME 206
sect1 Inelul polinoamelor icircntr-o nedeterminată 206
sect2 Inelul polinoamelor icircn mai multe nedeterminate 213
sect3 Polinoame simetrice 219 sect4 Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienţi icircntr-un corp Teorema fundamentală a algebrei Polinoame ireductibile Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad 3 şi 4 226 CAPITOLUL 5 ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR 240 sect1 Definiţia unei categorii Exemple Subcategorie Duala unei categorii Produs de categorii Principiul dualizării 240 sect2Morfisme şi obiecte remarcabile icircntr-o categorie Nucleul şi conucleul unui cuplu de morfisme 244 sect3 Functori Exemple Functori remarcabili Morfisme functoriale Categorii echivalente Duala lui Ens 253 sect4 Functori reprezentabili Functori adjuncţi 264
sect5 Reflefunctori Subcategorii reflexive 277
sect6 Produse şi sume directe ale unei familii de obiecte 279
sect7Limita inductivă (proiectivă) a unui sistem inductiv (proiectiv) 287
8
sect8 Sume şi produse fibrate 294
sect9 Obiecte injective (proiective) Anvelope injective (proiective)297 sect10 Categorii abeliene 309
CAPITOLUL 6 MODULE ŞI SPAŢII VECTORIALE 314 sect1 Modul Submodul Calcule icircntr-un modul Operaţii cu submodule Submodul generat de o mulţime Laticea submodulelor unui modul Sistem de generatori Elemente liniar independente (dependente) Module libere Spaţii vectoriale Submodul maximal Modul simplu Factorizarea unui modul printr-un submodul Modul factor 314
sect2 Morfisme de module Endomorfisme Operaţii cu morfisme de module Imaginea nucleul coimaginea şi conucleul unui morfism de module Categoriile Mods(A) şi Modd(A) Monomorfisme epimorfisme izomorfisme de module Nucleul şi conucleul unei perechi de morfisme Teorema fundamentală de izomorfism pentru module Consecinţe Şiruri exacte de A-module Functorii hM şi hM de la Mods(A) la Ab Bimodule Dualul şi bidualul unui modul 327 sect3 Produse şi sume directe icircn Mods(A) Sume directe de submodule Produse şi sume directe de morfisme de A-module Sume şi produse fibrate icircn Mods(A) 347 sect4 Limite inductive şi proiective icircn Mods(A) Limite inductive şi proiective de morfisme de A-module 360 sect5 Submodule esenţiale şi superflue Submodule complement Submodule icircnchise Module injective Grupuri divizibile Anvelope injective Module proiective Anvelope proiective Generatori cogeneratori pentru Mods(A) 373 sect6 Produs tensorial de module Produs tensorial de morfisme Functorii SM şi TN transportul şirurilor exacte scurte prin aceşti functori Comutativitatea produsului tensorial Permutarea produsului tensorial cu sumele directe Produs tensorial de module libere Asociativitatea produsului tensorial Proprietatea de adjuncţie Module plate 396 sect7 Module libere de rang finit Matricea de trecere de la o bază la alta Formula de schimbare a coordonatelor unui element la schimbarea
9
bazelor Lema substituţiei Matricea ataşată unei aplicaţii liniare icircntre module libere de rang finit formula de schimbare a acesteia la schimbarea bazelor 416
CAPITOLUL 7 DETERMINANŢI SISTEME DE
ECUAŢII LINIARE 426
sect1 Definiţia unui determinant de ordin n Proprietăţile determinanţilor Dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii Regula lui Laplace Formula Binet-Cauchy 426
sect2 Matrice inversabilă Inversa unei matrice Rangul unui sistem de vectori Rangul unei matrice Rangul unei aplicaţii liniare icircntre spaţii vectoriale de dimensiuni finite 445 sect3 Sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi icircntr-un corp comutativ Sisteme omogene Vectori şi valori proprii ai unui operator liniar Teorema Cayley-Hamilton 455 CAPITOLUL 8 ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARĂ470 sect1 Punerea unei probleme de programare liniară Soluţii posibile Soluţii de bază 470 sect2 Tabelul simplex asociat unei soluţii de bază Algoritmul simplex Regula lexicografică de evitare a ciclajului 473 sect3 Metode de determinare a soluţiilor de bază Metoda matriceală Metoda celor două faze Exemple de aplicare a algoritmului simplex Exemple de probleme de programare liniară Exemplu de evitare a ciclajului 479
10
CAPITOLUL 9 FORME BILINIARE ŞI PĂTRATICE 495
sect1Forme biliniare Definiţii Exemple Matricea ataşată unei forme biliniare Rangul unei forme biliniare 495
sect2 Forme pătraticePolara unei forme pătraticeMatricea ataşată unei forme pătraticeForma canonică a unei forme pătratice metodele Gauss-Lagrange şi Jacobi Legea inerţiei a lui Sylvester 497
BIBLIOGRAFIE 507
INDEX 509
11
CONTENTS pag
Chapter1 PRELIMINARIES 15 sect 1 Sets Operations on sets 15 sect2 Binary operations on a set Equivalence relations 21 sect 3 Functional relations Notion of function Classes of functions 28 sect 4 The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of functions 46 sect 5 Ordered sets Semilattices Lattices 49 sect 6 Distributive lattices 59 sect 7 Complement and pseudocomplement in a lattice Boolean algebras Generalized Boolean algebras 64 sect 8 Direct products (coproducts) for a family of sets 71 sect 9 Cardinal numbers 75 sect10Countable sets Finite and infinite sets 81 Chapter 2 GROUPS 86 sect 1 Algebraic operations Monoids Morphisms of monoids Direct product of monoids 86 sect 2 Group Calculus in a group Subgroup Subgroup generated by a set Cyclic groups The Order of an element 98 sect 3 The centralizer of an element in a group The center of a group The theorem of Lagrange The index of a subgroup in a group The class equation 101 sect 4 Normal subgroups
12
Factorization of a group by a normal subgroup 105 sect 5 Morphisms of groups Composition of morphisms Monomorphisms epimorphisms isomorphisms of groups The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of morphisms 109
sect 6 The theorem of Mal`cev The group of integers (ℤ+)
The subgroups of (ℤ+) Complete set of residues modulo n 114 sect 7 The isomorphism theorems for groups 123 sect 8 Finite direct products of groups The Chinese remainder theorem The number of abelian finite groups 127 sect 9 The Cauchy theorem for finite groups The Dihedral group D n of degree n
The structure for finite groups of 2p order (p prime p ge 3) 133 sect10 The groups of permutations The theorem of Cayley The groups S n and A n 137 sect11 The Sylow theorems Applications the groups of pq order (pq primers p ne q) and of order 12 147
Chapter 3 RINGS AND FIELDS 154 sect 1 Rings Examples Calculus in a ring
Zero ndash divisors Integral domains The characteristic of a ring 154
sect 2 Subrings and ideals 159 sect 3 Morphisms of rings Isomorphisms of rings The transport of subrings and ideals by a morphism of rings
Direct products of rings 167 sect 4 The factorization of a ring by a bilateral ideal The isomorphism theorems for rings 172 sect 5 Field Subfield Prime Subfield Morphisms of fields The characteristic of a field 175 sect 6 Rings of fractions Construction of the rationals field ℚ 179
13
sect 7 Construction of the reals field ℝ 184 sect 8 Construction of the complex numbers field ℂ 200 sect 9 Construction of the quaternions field H 203 sect10Prime and maximal ideals 205 sect11Divisibility in rings 213
Chapter 4 POLYNOMIAL RINGS 220
sect 1 Polynominals ring in one indeterminate 220 sect 2 Polynominals ring in several indeterminates 227 sect 3 Symetrical polynominals 232 sect 4 Roots of polynominals with coefficients in a field The fundamental theorem of algebra Irreducible polynominals The solving of the algebraic equations of a 3 and 4 degree 240 Chapter 5 ELEMENTS OF CATEGORIES THEORY 253 sect 1 Category Exampels Subcategory Dual category Duality principle Product of categories 253 sect 2 Special morphisms and objects in a category The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of morphisms 257 sect 3 Functors Examples Remarkable functors Morphism functors Equivalence of Categories The dual category of Ens 266
14
sect 4 Representable functors Adjoint functors 277
sect 5 Reflectors Reflective subcategories 290 sect 6 Products and coproducts of a fammily of objects 292
sect 7 Limits and colimits for a partially ordered system 300 sect 8 Fibred sum (poshout) and fibred product (pullback)
of two objects 306 sect 9 Injective (projective) objects
Injective (projective) envelopes 310
sect10Abelian Categories 321 References 326
15
CAPITOLUL 1 NOŢIUNI PRELIMINARII
sect1 Mulţimi Operaţii cu mulţimi
Icircn cadrul acestei lucrări vom privi mulţimile icircn sensul icircn care
ele au fost privite de către GEORG CANTOR - primul matematician care a iniţiat studiul lor sistematic (punct de vedere cunoscut icircn matematică sub numele de teoria naivă a mulţimilor)
Despre paradoxurile ce le implică acest punct de vedere şi felul icircn care ele pot fi eliminate rugăm cititorul să consulte lucrările [16] şi [30]
Definiţia 11 Dacă A şi B sunt două mulţimi vom spune că A este inclusă icircn B (sau că A este submulţime a lui B) dacă elementele lui A sunt şi elemente ale lui B icircn acest caz vom scrie AsubeB iar icircn caz contrar A⊈B
Avem deci AsubeBhArr pentru orice xisinA rArrxisinB A⊈BhArr există xisinA aicirc xnotinB
Vom spune despre mulţimile A şi B că sunt egale dacă oricare ar fi x xisinAhArr xisinB Deci A=BhArrAsubeB şi BsubeA
Vom spune că A este inclusă strict icircn B şi vom scrie AsubB dacă AsubeB şi AneB
Se acceptă existenţa unei mulţimi ce nu conţine nici un element care se notează prin empty şi poartă numele de mulţimea vidă Se observă că pentru orice mulţime A emptysubeA (deoarece icircn caz contrar ar trebui să existe xisinempty aicirc xnotinA ndash absurd)
O mulţime diferită de mulţimea vidă se zice nevidă Pentru o mulţime T vom nota prin P(T) mulţimea
submulţimilor sale (evident empty TisinP(T) ) Următorul rezultat este imediat
16
Dacă T este o mulţime oarecare iar A B CisinP(T) atunci (i) AsubeA (ii) Dacă AsubeB şi BsubeA atunci A=B (iii) Dacă AsubeB şi BsubeC atunci AsubeC Icircn cadrul acestei lucrări vom utiliza deseori noţiunea de familie
de elemente a unei mulţimi indexată de o mulţime nevidă de indici I (prin aceasta icircnţelegacircnd o funcţie definită pe mulţimea I cu valori icircn mulţimea respectivă)
Astfel vom scrie de exemplu (xi)iisinI pentru a desemna o familie de elemente ale unei mulţimi sau (Ai) iisinI pentru a desemna o familie de mulţimi indexată de mulţimea I Pentru o mulţime T şi A BisinP(T) definim AcapB=xisinT | xisinA şi xisinB
AcupB=xisinT | xisinA sau xisinB AB=xisinT | xisinA şi xnotinB AB=(AB)cup(BA)
Dacă AcapB=empty mulţimile A şi B se zic disjuncte Operaţiile cap cup şi poartă numele de intersecţie reuniune
diferenţă şi diferenţă simetrică Icircn particular TA se notează prin ∁T (A) (sau ∁(A) dacă nu este
pericol de confuzie) şi poartă numele de complementara lui A icircn T Icircn mod evident pentru A BisinP(T) avem AB=Acap∁T (B)
AB=(AcupB)(AcapB)=(Acap∁T (B))cup(∁T (A)capB) ∁T (empty)=T ∁T(T)=empty Acup∁T (A)=T Acap∁T (A)=empty iar ∁T (∁T (A))=A
De asemenea pentru xisinT avem xnotinAcapB hArr xnotinA sau xnotinB xnotinAcupB hArr xnotinA şi xnotinB xnotinAB hArr xnotinA sau xisinB
17
xnotinAB hArr (xnotinA şi xnotinB) sau (xisinA şi xisinB) xnotin∁T (A)hArr xisinA
Din cele de mai icircnainte deducem imediat că dacă A BisinP(T) atunci
∁T (AcapB)=∁T(A)cup∁T (B) şi ∁T (AcupB)=∁T (A)cap∁T (B) Aceste ultime două egalităţi sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan
Pentru o familie nevidă (Ai )iisinI de submulţimi ale lui T definim I
IiiA
isin=xisinT | xisinAi pentru orice iisinI şi
UIi
iAisin
=xisinT | există iisinI aicirc xisinAi
Astfel relaţiile lui De Morgan sunt adevărate icircntr-un context mai general
Dacă (Ai) iisinI este o familie de submulţimi ale mulţimii T atunci
( )iIi
TIi
iT ACAC UIisinisin
=
şi ( )i
IiT
IiiT ACAC IU
isinisin=
Următorul rezultat este imediat
Propoziţia 12 Dacă T o mulţime iar A B CisinP(T) atunci (i) Acap(BcapC)=(AcapB)capC şi Acup(BcupC)=(AcupB)cupC (ii) AcapB=BcapA şi AcupB=BcupA (iii) AcapT=A şi Acupempty=A (iv) AcapA=A şi AcupA=A Observaţia 13 1 Din (i) deducem că operaţiile cup şi cap sunt
asociative din (ii) deducem că ambele sunt comutative din (iii) deducem că T şi empty sunt elementele neutre pentru cap şi respectiv pentru cup iar din (iv) deducem că cap şi cup sunt operaţii idempotente pe P(T)
2 Prin dublă incluziune se probează imdiat că pentru oricare A B CisinP(T) avem
18
Acap(BcupC)=(AcapB)cup(AcapC) şi Acup(BcapC)=(AcupB)cap(AcupC)
adică operaţiile de intersecţie şi reuniune sunt distributive una faţă de cealaltă
Propoziţia 14 Dacă A B CisinP(T) atunci
(i) A(BC)=(AB)C (ii) AB=BA (iii) Aempty=A iar A A=empty (iv) Acap(BC)=(AcapB)(AcapC)
Demonstraţie (i) Prin dublă incluziune se arată imediat că
A(BC)=(AB)C=[Acap∁T(B)cap∁T(C)]cup[∁T(A)capBcap∁T(C)]cup cup[∁T(A)cap∁T(B)capC]cup(AcapBcapC)
(ii) (iii) sunt evidente (iv) Se probează fie prin dublă incluziune fie ţinacircnd cont de
distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune ∎
Definiţia 15 Fiind date două obiecte x şi y se numeşte pereche ordonată a obiectelor x şi y mulţimea notată (x y) şi definită astfel
(x y)= x x y Se verifică acum imediat că dacă x şi y sunt două obiecte aicirc
xney atunci (x y)ne(y x) iar dacă (x y) şi (u v) sunt două perechi ordonate atunci (x y)=(u v) hArr x=u şi y=v icircn particular (x y)= =(y x) rArrx=y
Definiţia 16 Dacă A şi B sunt două mulţimi mulţimea notată AtimesB= (a b) | aisinA şi bisinB se va numi produsul cartezian al mulţimilor A şi B
Icircn mod evident AtimesBneempty hArr Aneempty şi Bneempty
19
AtimesB=empty hArr A=empty sau B=empty AtimesB=BtimesA hArr A=B AsubeA şi BsubeB rArr AtimesBsubeAtimesB
Dacă A B C sunt trei mulţimi vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea AtimesBtimesC=(AtimesB)timesC Elementul ((a b) c) din AtimesBtimesC icircl vom nota mai simplu prin (a b c)
Mai general dacă A1 A2 An (nge3) sunt mulţimi punem A1times A2times timesAn =(( ((A1timesA2)timesA3)times )timesAn)
Dacă A este o mulţime finită vom nota prin |A| numărul de elemente ale lui A Icircn mod evident dacă A şi B sunt submulţimi finite ale unei mulţimi M atunci şi AcupB este submulţime finită a lui M iar
|AcupB|=|A|+|B|-|AcapB|
Vom prezenta icircn continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul includerii şi excluderii
Propoziţia 17 Fie M o mulţime finită iar M1 M2 Mn
submulţimi ale lui M Atunci
( ) nn
nkjikji
njiji
nii
n
ii
MM
MMMMMMM
capcapminus+minus
minuscapcap+capminus=
minus
leltltleleltlelele=sumsumsum
1 11
1111U
Demonstraţie Facem inducţie matematică după n Pentru n=1 egalitatea din enunţ se reduce la |M1|=|M1| ceea ce este evident Pentru n=2 trebuie demonstrată egalitatea
(1) |M1cupM2|=|M1|+|M2|-|M1capM2| care de asemenea este adevărată deoarece elementele din M1capM2 apar atacirct la M1 cacirct şi la M2
Presupunem egalitatea din enunţ adevărată pentru oricare m submulţimi ale lui M cu mltn şi o să o demonstrăm pentru n submulţimi M1 M2 Mn
20
Dacă notăm U1
1
minus
==
n
iiMN atunci conform relaţiei (1) putem scrie
(2) ==Un
iiM
1|NcupMn|=|N|+|Mn|-|NcapMn|
Icircnsă NcapMn=
minus
=U
1
1
n
iiM capMn= U
1
1)(
minus
=cap
n
ini MM deci aplicacircnd
ipoteza de inducţie pentru ( )U I1
1
minus
=
n
ini MM şi ţinacircnd seama de faptul că
( ) ( ) ( ) III II njinjni MMMMMMM =
( ) ( ) ( ) ( ) IIII I III nkjinknjni MMMMMMMMMM = etc
obţinem
(3) ( )
( ) II I I
I IIU I
n
ii
n
nkjinkji
njinji
n
ini
n
inin
MMMMM
MMMMMMMMN
1
2
11
11
1
1
1
1
1=
minus
minusleltltle
minusleltle
minus
=
minus
=
minus+minus+
+minus==cap
sum
sumsum
Aplicacircnd ipoteza de inducţie şi pentru ∣N∣ obţinem
(4) ( ) II I
IU
1
1
2
11
11
1
1
1
1
1minus
=
minus
minusleltltle
minusleltle
minus
=
minus
=
minus+minus+
+minus==
sum
sumsum
n
ii
n
nkjikji
njiji
n
ii
n
ii
MMMM
MMMMN
astfel că ţinacircnd cont de (3) şi (4) relaţia (2) devine
21
( )
( )
( )
( ) 1
1
1
1
1
1
1
111
2
11
3
1
1
2
11 11
11
1
1
1
1
1
221221
II I
II
I I I I
I
I II I
II
U
n
ii
n
nkjikji
njiji
n
ii
n
ii
n
niiiniii
n
n
ii
n
nkji njinjikji
nji
n
iniji
n
ini
nn
n
ii
MMMM
MMMM
MMMM
M
MMMMMM
MMMMMM
MNMNM
nn
=
minus
leltltle
leltle==
minus
minusleltltltle
minus
minus
=
minus
minusleltltle minusleltle
minusleltle
minus
=
minus
=
=
minus+minus+
+minus=minusminus
minusminusminus
minus
minus+
+minus
++
+
+minus
+=
=capminus+=
sum
sumsum
sum
sum sum
sum sumsum
minus
minus
Conform principiului inducţiei matematice egalitatea din enunţ este adevărată pentru orice număr natural n nenul ∎
sect2 Relaţii binare pe o mulţime Relaţii de echivalenţă
Definiţia 21 Dacă A este o mulţime numim relaţie binară pe A orice submulţime ρ a produsului cartezian AtimesA Dacă a bisinA şi (a b)isinρ vom spune că elementul a este icircn relaţia ρ cu b
De asemenea vom scrie aρb pentru a desemna faptul că (a b)isinρ
Pentru mulţimea A vom nota prin Rel (A) mulţimea relaţiilor
binare de pe A (evident Rel (A)=P(AtimesA) ) Relaţia A= (a a) | aisinA poartă numele de diagonala
produsului cartezian AtimesA Pentru ρisinRel (A) definim ρ-1=(a b)isinAtimesA | (b a)isinρ
22
Icircn mod evident (ρ-1)-1=ρ iar dacă mai avem ρisinRel (A) aicirc ρsubeρrArr ρ-1subeρ1-
Definiţia 22 Pentru ρ ρisinRel (A) definim compunerea lor ρ∘ρ prin ρ∘ρ=(a b)isinAtimesA | există cisinA aicirc (a c)isinρ şi (c b)isinρ
Rezultatul următor este imediat Propoziţia 23 Fie ρ ρ ρisinRel (A) Atunci (i) ρ∘A=A∘ρ=ρ (ii) (ρ∘ρ)∘ρ=ρ∘(ρ∘ρ) (iii) ρsubeρrArr ρ∘ρsubeρ∘ρ şi ρ∘ρsubeρ∘ρ (iv) (ρ∘ρ)-1=ρ1-∘ρ-1
(v) (ρcupρ)-1=ρ-1cupρ1- mai general dacă (ρi) iisinI este o familie de relaţii binare pe A atunci
UUIi
iIi
iisin
minusminus
isin=
11
ρρ
Pentru nisinℕ şi ρisinRel (A) definim
gt
=∆= 1
0
npentru
npentru
orin
An
4434421ooo ρρρρ
Se probează imediat că dacă m n isinℕ atunci
ρm∘ρn=ρm+n Definiţia 24 Vom spune despre o relaţie ρisinRel (A) că este
i) reflexivă dacă A subeρ ii) simetrică dacă ρsubeρ-1
iii) antisimetrică dacă ρcapρ-1subeA
iv) tranzitivă dacă ρ2subeρ Rezultatul următor este imediat
23
Propoziţia 25 O relaţie ρisinRel(A) este reflexivă ( simetrică
antisimetrică tranzitivă ) dacă şi numai dacă ρ-1 este reflexivă ( simetrică antisimetrică tranzitivă )
Definiţia 26 Vom spune despre o relaţie ρisinRel(A) că este o
echivalenţă pe A dacă este reflexivă simetrică şi tranzitivă Vom nota prin Echiv (A) mulţimea relaţiilor de echivalenţă de
pe A Evident A AtimesAisinEchiv (A) Propoziţia 27 Dacă ρisinEchiv (A) atunci ρ-1=ρ şi ρ2=ρ Demonstraţie Cum ρ este simetrică ρsubeρ-1 Dacă (a b)isinρ-1
atunci (b a)isinρsubeρ-1 rArr (b a)isinρ-1rArr (a b)isinρ adică ρ-1subeρ deci ρ-1=ρ Cum ρ este tranzitivă avem ρ2subeρ Fie acum (x y)isinρ Din (x x)isinρ şi (x y)isinρ rArr (x y)isinρ∘ρ=ρ2 adică ρsubeρ2 deci ρ2=ρ ∎
Propoziţia 28 Fie ρ1 ρ2 isin Echiv (A) Atunci ρ1∘ρ2isinEchiv (A) dacă şi numai dacă ρ1 ∘ρ2=ρ2 ∘ρ1 Icircn acest caz ρ1 ∘ρ2= I
ρρρρ
ρ
primesubeisinprime
prime
21 )( AEchiv
Demonstraţie Dacă ρ1 ρ2isinEchiv (A) atunci (ρ1∘ρ2)-1=ρ1∘ρ2 conform Propoziţiei 27 Icircnsă conform Propoziţiei 23 avem că (ρ1∘ρ2)
-1= ρ2-1∘ρ1
-1= ρ2∘ρ1 astfel că ρ1∘ρ2=ρ2∘ρ1 Invers să presupunem că ρ1∘ρ2=ρ2∘ρ1 Cum ∆Asubeρ1 ρ2rArr∆A=∆A∘∆Asubeρ1∘ρ2 adică ρ1∘ρ2 este
reflexivă Cum (ρ1∘ρ2) -1= ρ2
-1∘ρ1-1 =ρ2∘ρ1= ρ1∘ρ2 deducem că ρ1∘ρ2
este şi simetrică Din (ρ1∘ρ2)2=(ρ1∘ρ2)∘(ρ1∘ρ2)=ρ1∘(ρ2∘ρ1)∘ρ2= =ρ1∘(ρ1∘ρ2)∘ρ2=ρ1
2∘ρ22= ρ1∘ρ2 deducem că ρ1∘ρ2 este şi tranzitivă
adică este o echivalenţă pe A Să presupunem acum că ρ1∘ρ2=ρ2∘ρ1 şi fie ρisinEchiv (A) aicirc
ρ1 ρ2subeρ
24
Atunci ρ1∘ρ2 subeρ∘ρ=ρ adică
( )Io
ρρρρ
ρρρ
primesubeisinprime
primesube
21
21AEchiv≝ θ
Cum ρ1 ρ2isinEchiv (A) şi ρ1∘ρ2isinEchiv (A) rArrρ1 ρ2subeρ1∘ρ2 rArrθsubeρ1∘ρ2 adică θ=ρ1∘ρ2 ∎
Pentru ρisinRel (A) definim relaţia de ehivalenţă de pe A generată de ρ ca fiind relaţia de echivalenţă
( )I
ρρρ
ρρ
primesubeisinprime
prime=AEchiv
Icircn mod evident relaţia de echivalenţă ltρgt este caracterizată de condiţiile ρsubeltρgt iar dacă ρisinEchiv (A) aicirc ρsubeρrArrltρgtsubeρ (altfel zis ltρgt este cea mai mică relaţie de echivalenţă ce include pe ρ)
Lema 29 Fie ρisinRel(A) şi ρ =∆Acupρcupρ-1 Atunci relaţia ρ
are următoarele proprietăţi (i) ρsube ρ (ii) ρ este reflexivă şi simetrică
(iii) dacă ρ este o altă relaţie binară de pe A reflexivă şi simetrică aicirc ρsubeρ atunci ρ subeρ
Demonstraţie (i ) este evidentă
(ii) Cum ∆Asube ρ deducem că ρ este reflexivă iar cum 1minus
ρ = (∆Acupρcupρ-1) ndash1=∆A-1cupρ-1cup (ρ-1)-1=∆Acupρcupρ-1= ρ deducem că
ρ este şi simetrică
(iii) Dacă ρ este reflexivă şi simetrică aicirc ρsubeρ atunci ρ-1subeρ1-=ρ şi cum ∆A subeρ deducem că ρ =∆Acupρcupρ-1subeρ∎
Lema 210 Fie ρisinRel(A) reflexivă şi simetrică iar U1ge
=n
nρρ
Atunci ρ are următoarele proprietăţi (i) ρsube ρ
25
(ii) ρ este o echivalenţă pe A (iii) Dacă ρisinEchiv(A) aicirc ρsubeρ atunci ρ subeρ Demonstraţie (i) este evidentă (ii) Cum ∆Asubeρsube ρ deducem că ∆Asube ρ adică ρ este
reflexivă Deoarece ρ este simetrică şi pentru orice nisinℕ avem (ρn)-1=(ρ-1)n=ρn deducem că
( ) ρρρρρ ===
=
gege
minusminus
ge
minus
UUU11
11
1
1
n
n
n
n
n
n
adică ρ este şi simetrică Fie acum (x y)isin ρρ o atunci există zisinA aicirc (x z) (z y)isin ρ adică există m nisinℕ aicirc (x z)isinρm şi (z y)isinρn
Deducem imediat că (x y)isinρn∘ρm=ρn+msube ρ adică ρρ sube2 deci ρ
este tranzitivă adică ρ isinEchiv (A)
(iii) Fie acum ρisinEchiv (A) aicirc ρsubeρ Cum ρ nsubeρ n =ρ pentru orice nisinℕ deducem că U
1ge=
n
nρρ subeρ ∎
Din Lemele 29 şi 210 deducem imediat Teorema 211 Dacă ρisinRel(A) atunci
( )U U U1
1
ge
minus∆=n
n
A ρρρ
Propoziţia 212 Fie ρ ρisinRel (A ) Atunci (i) (ρcupρ)2=ρ2cupρ2cup(ρ∘ρ)cup(ρ∘ρ) (ii) Dacă ρ ρisinEchiv (A) atunci ρcupρisinEchiv (A) dacă şi
numai dacă ρ∘ρ ρ∘ρsubeρcupρ Demonstraţie (i) Avem (x y)isin(ρcupρ)2=(ρcupρ)∘(ρcupρ) hArr există zisinA aicirc
(x z)isinρcupp şi (z y)isinρcupρ hArr [ (x z)isinρ şi (z y)isinρ] sau [ (x z)isinρ şi (z y)isinρ] sau [(x z)isinρ şi (z y)isinρ] sau [(x z)isinρ şi (z y)isinρ]
26
hArr (x y)isinρ2 sau (x y)isinρ2 sau (x y)isinρ∘ρ sau (x y)isinρ∘ρ hArr hArr(x y)isinρ2cupρ2cup(ρ∘ρ)cup(ρ∘ρ) de unde egalitatea cerută
(ii)rArrrsquorsquo Avem că ρ2=ρ ρ2=ρ şi (ρcupρ)2=ρcupρ Astfel relaţia de la (i) devine ρcupρ=ρcupρcup(ρ∘ρ)cup(ρ∘ρ) deci ρ∘ρsubeρcupρ şi ρ∘ρsubeρcupρ
lArrrsquorsquo Utilizăm ipoteza din nou şi relaţia de la (i) (ρcupρ)2=ρ2cupρ2cup(ρ∘ρ)cup(ρ∘ρ)=ρcupρcup(ρ∘ρ)cup(ρ∘ρ)subeρcupρ deci ρcupρ este tranzitivă Cum ∆Asubeρ şi ∆AsubeρrArr∆Asubeρcupρ adică ρcupρ este reflexivă Dacă (x y)isinρcupρrArr (x y)isinρ sau (x y)isinρ rArr (y x)isinρ sau (y x)isinρrArr (y x)isinρcupρ adică ρcupρ este şi simetrică deci o echivalenţă pe A ∎
Propoziţia 213 Fie A o mulţime şi ρisinRel(A) avacircnd
proprietăţile (i) Pentru orice xisinA există yisinA aicirc (x y)isinρ (ii) ρ∘ρ-1∘ρ = ρ Atunci ρ∘ρ-1 ρ-1∘ρ isinEchiv (A) Demonstraţie
Avem că ρ∘ρ-1=(x y) ∣ există zisinA aicirc (x z)isinρ-1 şi (z y)isinρ
Deci pentru a demonstra că ∆Asubeρ∘ρ-1 ar trebui ca pentru orice xisinA (x x)isinρ∘ρ-1 adică să existe zisinA aicirc (z x)isinρ lucru asigurat de (i) Deducem că ρ∘ρ-1 este reflexivă (analog pentru ρ-1∘ρ)
Dacă (x y)isin ρ∘ρ-1rArr există zisinA aicirc (x z)isinρ-1 şi (z y)isinρ hArr există zisinA aicirc (y z)isinρ-1 şi (z x)isinρ hArr (y x)isinρ∘ρ-1 adică ρ∘ρ-1
este simetrică (analog pentru ρ-1∘ρ) Cum (ρ∘ρ-1)∘(ρ∘ρ-1) = = (ρ∘ρ-1∘ρ)∘ρ-1 = ρ∘ρ-1 deducem că ρ∘ρ-1 este şi tranzitivă deci este o echivalenţă Analog pentru ρ-1∘ρ ∎
27
Definiţia 214 Dacă ρisinEchiv (A) şi aisinA prin clasa de echivalenţă a lui a relativă la ρ icircnţelegem mulţimea
[a]ρ=xisinA ∣ (x a)isinρ (cum ρ este icircn particular reflexivă deducem că aisin[a]ρ adică [a]ρneempty pentru orice aisinA)
Mulţimea A ρ = [a] ρ ∣ aisinA poartă numele de mulţimea factor ( sau cacirct ) a lui A prin relaţia ρ
Propoziţia 215 Dacă ρisinEchiv (A) atunci (i) [ ]U
Aaa
isinρ=A
(ii) Dacă a bisinA atunci [a]ρ=[b]ρhArr (a b)isinρ
(iii) Dacă a bisinA atunci [a]ρ=[b]ρ sau [a]ρcap[b]ρ=empty Demonstraţie
(i) Deoarece pentru orice aisinA aisin[a]ρ deducem incluziunea de la dreapta la stacircnga cum cealaltă incluziune este evidentă deducem egalitatea solicitată
(ii) Dacă [a]ρ=[b]ρ cum aisin[a]ρ deducem că aisin[b]ρ adică (a b)isinρ
Fie acum (a b)isinρ şi xisin[a]ρ adică (x a)isinρ Datorită tranzitivităţii lui ρ deducem că (x b)isinρ adică xisin[b]ρ deci [a]ρ sube[b]ρ Analog deducem că şi [b]ρsube[a]ρ adică [a]ρ=[b]ρ
(iii) Presupunem că [a]ρcap[b]ρneempty Atunci există xisinA aicirc (x a) (x b)isinρ şi astfel (a b)isinρ deci [a]ρ=[b]ρ (conform cu (ii)) ∎
Definiţia 216 Numim partiţie a unei mulţimi M o familie
(Mi)iisinI de submulţimi ale lui M ce verifică condiţiile
(i) Pentru i jisinI inej rArr Mi capMj=empty (ii) U
Iii MM
isin=
28
Observaţia 217 Din cele de mai icircnainte deducem că dacă ρ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea A atunci mulţimea claselor de echivalenţă ale lui ρ pe A determină o partiţie a lui A
sect3 Relaţii funcţionale Noţiunea de funcţie Clase de funcţii
Definiţia 31 Fie A şi B două mulţimi O submulţime RsubeAtimesB se numeşte relaţie funcţională dacă
(i) Pentru orice aisinA există bisinB aicirc (a b)isinR
(ii) (a b) (a b)isinR rArr b=b Numim funcţie ( sau aplicaţie ) un triplet f=(A B R) unde A
şi B sunt două mulţimi nevide iar RsubeAtimesB este o relaţie funcţională
Icircn acest caz pentru fiecare element aisinA există un unic element bisinB aicirc (a b)isinR Convenim să notăm b=f(a) elementul b se va numi imaginea lui a prin f Mulţimea A se numeşte domeniul (sau domeniul de definiţie al lui f) iar B se numeşte codomeniul lui f şi spunem de obicei că f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B scriind lucrul acesta prin fArarrB sau A rarr f B
Relaţia funcţională R se mai numeşte şi graficul lui f (convenim să notăm pe R prin Gf astfel că Gf=(a f(a)) | aisinA
Dacă f Ararr B şi fArarrB sunt două funcţii vom spune că ele sunt egale (şi vom scrie f=f) dacă A=A B=B şi f(a)=f(a) pentru orice aisinA Pentru o mulţime A funcţia 1AArarrA 1A(a)=a pentru orice aisinA poartă numele de funcţia identică a lui A (icircn particular putem vorbi de funcţia identică a mulţimii vide 1empty) Dacă A=empty atunci există o unică funcţie femptyrarrB ( este de fapt incluziunea lui empty icircn B) Dacă Aneempty şi B=empty atunci icircn mod evident nu există nici o funcţie de la A la B
Dacă f ArarrB este o funcţie iar AsubeA şi BsubeB atunci notăm
f(A)=f (a) | aisinA şi f-1 (Bacute)=aisinA | f (a)isinB
29
( f (A) se va numi imaginea lui A prin f iar f-1(B) contraimaginea lui B prin f )
Icircn particular notăm Im(f)=f (A) Evident f(empty)=empty şi f-1(empty )=empty
Definiţia 32 Fiind date două funcţii fArarrB şi gBrarrC
numim compunerea lor funcţia notată g∘fArarrC şi definită prin (g∘f)(a)=g(f(a)) pentru orice aisinA
Propoziţia 33 Dacă avem trei funcţii
DCBA hgf rarrrarrrarr atunci (i) h∘(g∘f)=(h∘g)∘f (ii) f∘1A=1B∘f=f Demonstraţie (i) Icircntr-adevăr avem că h∘(g∘f) şi (h∘g)∘f au pe
A drept domeniu de definiţie pe D drept codomeniu şi pentru orice aisinA
(h∘(g∘f))(a)=((h∘g)∘f)(a)=h(g(f(a))) (ii) este evidentă ∎
Propoziţia 34 Fie fArarrB A AsubeA B BsubeB (Ai)iisinI
(Bj) jisinJ două familii de submulţimi ale lui A şi respectiv B Atunci (i) AsubeArArrf(A)subef(A) (ii) BsubeBrArrf-1(B)subef-1(B) (iii) ( )II
Iii
Iii AfAf
isinisinsube
(iv) ( )UUIi
iIi
i AfAfisinisin
=
(v) ( )IIJj
jJj
j BfBfisin
minus
isin
minus =
11
30
(vi) ( )UUJj
jJj
j BfBfisin
minus
isin
minus =
11
Demonstraţie (i) Dacă bisinf(A) atunci b=f(a) cu aisinA şi cum
AsubeA deducem că bisinf(A) adică f(A)subef(A) (ii) Analog cu (i)
(iii) Deoarece pentru orice kisinI IIi
iAisin
subeAk conform cu (i)
deducem că ( )kIi
i AfAf sube
isinI şi cum k este oarecare deducem că
( )IIIi
iIi
i AfAfisinisin
sube
(iv) Egalitatea cerută rezultă imediat din echivalenţele
bisin
isinU
IiiAf hArr există aisinU
IiiA
isin aicirc b=f(a) hArr există i0isinI aicirc aisin
0iA şi
b=f(a)hArr există i0isinI aicirc bisinf(0iA )hArr bisin ( )U
IiiAf
isin
(v) Totul rezultă din echivalenţele aisin
isin
minus IJj
jBf 1 hArr
f(a)isinIJj
JBisin
hArr pentru orice jisinJ f(a)isinBj hArr pentru orice jisinJ aisinf-1(Bj)
hArraisin ( )jJj
BfIisin
minus1
(vi) Analog cu (iv) ∎
Definiţia 35 Despre o funcţie fArarrB vom spune că este i) injectivă dacă pentru orice a aisinA anearArrf(a)nef(a)
(echivalent cu f(a)=f(a)rArra=a) ii) surjectivă dacă pentru orice bisinB există aisinA aicirc b=f(a) iii) bijectivă dacă este simultan injectivă şi surjectivă Dacă f ArarrB este bijectivă funcţia f-1BrarrA definită prin
echivalenţa f-1(b)=a hArr b=f(a) (bisinB şi aisinA) poartă numele de inversa lui f
31
Se verifică imediat că f-1∘f=1A şi f∘f-1=1B
Propoziţia 36 Fie f ArarrB şi g BrarrC două funcţii (i) Dacă f şi g sunt injective (surjective bijective) atunci g∘f
este injectivă (surjectivă bijectivă icircn acest ultim caz (g∘f)-1=f-1∘g-1 )
(ii) Dacă g∘f este injectivă (surjectivă bijectivă) atunci f este injectivă (g este surjectivă f este injectivă şi g este surjectivă)
Demonstraţie(i) Fie a aisinA aicirc (g∘f)(a)=(g∘f)(a) Atunci
g(f(a))=g(f(a)) şi cum g este injectivă deducem că f(a)=f(a) iar cum şi f este injectivă deducem că a=a adică g∘f este injectivă
Să presupunem acum că f şi g sunt surjective şi fie cisinC cum g este surjectivă c=g(b) cu bisinB şi cum şi f este surjectivă b=f(a) cu aisinA astfel că c=g(b)=g(f(a))=(g∘f)(a) adică g∘f este surjectivă
Dacă f şi g sunt bijective atunci faptul că g∘f este bijectivă rezultă imediat din cele expuse mai sus Pentru a proba icircn acest caz egalitatea (g∘f)-1 = f-1∘g-1 fie cisinC Avem că c=g(b) cu bisinB şi b=f(a) cu aisinA Deoarece (g∘f)(a)=g(f(a))=g(b)=c deducem că (g∘f)-1(c)=a= =f-1(b)=f-1(g-1(c))=(f-1∘g-1)(c) adică (g∘f)-1=f-1∘g-1
(ii) Să presupunem că g∘f este injectivă şi fie a aisinA aicirc f(a)=f(a) Atunci g(f(a))=g(f(a))hArr(g∘f)(a)=(g∘f)(a)rArra=a adică f este injectivă
Dacă g∘f este surjectivă pentru cisinC există aisinA aicirc (g∘f)(a)=c hArr g(f(a))=c adică g este surjecţie
Dacă g∘f este bijecţie atunci icircn particular g∘f este injecţie şi surjecţie deci conform celor de mai sus cu necesitate f este injecţie iar g surjecţie ∎
Propoziţia 37 Fie M şi N două mulţimi iar f MrarrN o funcţie Icircntre mulţimile P(M) şi P(N) se definesc funcţiile
32
f P(M)rarrP(N) f P(N)rarrP(M) prin f(A)=f(A) forall A isinP(M) şi f(B)=f-1(B) forall BisinP(N)
Următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) f este injectivă (ii) f este injectivă (iii) f∘f=1P(M)
(iv) f este surjectivă (v) f (AcapB)=f(A)capf(B) forall A BisinP(M)
(vi) f(∁MA)sube∁N f (A) forallAisinP(M) (vii) Dacă g hL rarrM sunt două funcţii aicirc f∘g=f∘h atunci
g=h (viii) Există o funcţie g N rarrM aicirc g∘f=1M DemonstraţieVom demonstra echivalenţa afirmaţiilor astfel
(i)rArr(ii)rArr(iii)rArr(iv)rArr(v)rArr(vi)rArr(vii)rArr(i) iar apoi (i)hArr(viii)
(i)rArr(ii) Fie A AisinP(M) aicirc f(A)=f(A)hArrf(A)=f(A) Dacă xisinA atunci f(x)isinf(A)rArrf(x)isinf(A)rArr există xisinA aicirc
f(x)=f(x) Cum f este injectivă rezultă x=xisinA adică AsubeA analog AsubeA deci A=A adică f este injectivă
(ii)rArr(iii) Pentru AisinP(M) trebuie demonstrat că (f∘f)(A)=AhArr f -1 (f (A))=A Incluziunea Asubef -1(f (A)) este valabilă pentru orice funcţie f Pentru cealaltă incluziune dacă
xisinf -1(f(A))rArrf(x)isinf(A)rArr există xisinA aicirc f(x)=f(x)rArrf(x)=f(x) rArr x=xrArrx = xisinA adică f -1 (f ( A))subeA
(iii)rArr(iv) Deoarece f∘f=1P(M) pentru orice AisinP(M) f(f(A))=A deci notacircnd B=f(A)isinP(N) avem că f(B)=A adică f este surjectivă
(iv)rArr(v) Fie A BisinP(M) şi A BisinP(N) aicirc A=f ndash1(A) şi B=f ndash1(B) Atunci f(AcapB)=f(f -1(A)capf -1 (B))=f(f -1( AcapB))
Să arătăm că f(f-1(A))capf(f-1(B))subef(f-1(AcapB)
33
Dacă yisinf(f -1(A))capf(f -1 (B))rArryisinf(f -1(A)) şi yisinf(f -1(B))rArr există xisinf -1(A) şi xisinf -1(B) aicirc y=f(x)=f(x)
Cum xisinf -1(A) şi xisinf -1(B) rArr f(x)isinA şi f(x)isinB deci yisinAcapB Deoarece y=f(x)rArrxisinf -1(AcapB) adică yisinf(f -1(AcapB))
Astfel f(AcapB)supef(A)capf(B) şi cum incluziunea f(AcapB)subef(A)capf(B) este adevărată pentru orice funcţie deducem că f (AcapB)=f(A)capf(B)
(v)rArr(vi) Pentru AisinP(M) avem
f(A)capf(∁MA)=f(Acap∁MA)=f(empty)=empty deci f(∁MA)sube∁Nf (A)
(vi)rArr(vii) Fie g h LrarrM două funcţii aicirc f∘g=f∘h şi să presupunem prin absurd că există xisinL aicirc g(x)neh(x) adică g(x)isin∁Mh(x) atunci f(g(x))isinf(∁Mh(x))sube∁Nf(h(x))=∁Nf(h(x)) deci f(g(x))nef(h(x)) hArr (f∘g)(x)ne(f∘h)(x) hArr f∘gnef∘h ceea ce este absurd
(vii)rArr(i) Fie x xisinM aicirc f(x)=f(x) şi să presupunem prin absurd că xnex Notacircnd L=x x şi definind g h LrarrM g(x)=x g(x)=x h(x)=x h(x)=x atunci gneh şi totuşi f∘g=f∘h ceea ce este absurd
(i)rArr(viii) Definind gNrarrM g(y)=x dacă y=f(x) cu xisinM şi y0 dacă ynotinf(M) atunci datorită injectivităţii lui f g este definită corect şi evident g∘f=1M
(viii)rArr(i) Dacă x xisinM şi f(x)=f(x) atunci g(f(x))=g(f(x))rArrx=x adică f este injectivă ∎
Propoziţia 38 Cu notaţiile de la propoziţia precedentă următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) f este surjectivă (ii) f este surjectivă (iii) f∘f=1P(N)
(iv) f este injectivă (v) f(∁MA)supe∁N f(A) forallAisinP(M)
34
(vi) Dacă g hNrarrP sunt două funcţii aicirc g∘f=h∘f atunci g=h
(vii) Există o funcţie gNrarrM aicirc f∘g=1N
DemonstraţieVom demonstra echivalenţa afirmaţiilor astfel
(i)rArr(ii)rArr(iii)rArr(iv)rArr(v)rArr(vi)rArr(i) iar apoi (i)hArr(vii)
(i)rArr(ii) Fie BisinP(N) şi yisinB atunci există xyisinM aicirc f(xy)=y
Notacircnd A=xy∣yisinBsubeM avem că f (A)=B hArrf(A)=B
(ii)rArr(iii) Avem de demonstrat că pentru orice BisinP(N) f (f-1(B))=B Incluziunea f (f-1 (B))subeB este valabilă pentru orice funcţie f Fie acum yisinB cum f este surjectivă există AsubeM aicirc f(A)=yhArrf(A)=y deci există xisinA aicirc y=f(x) şi deoarece yisinBrArr xisinf-1 (B)rArry=f(x)isinf(f ndash1(B)) de unde şi incluziunea Bsubef(f ndash1 (B))
(iii)rArr(iv) Dacă B1 B2isinP(N) şi f(B1)=f(B2) atunci f(f(B1))=f(f(B2)) hArr1P(N) (B1)=1P(N) (B2)hArrB1=B2 adică f este injectivă
(iv)rArr(v) Fie AsubeM a arăta că f(∁MA)supe∁Nf (A) revine la f(∁MA)cupf(A)=N hArr f(∁MAcupA)=NhArrf(M)=N Să presupunem prin absurd că există y0isinN aicirc pentru orice xisinM f(x)ney0 adică f-1 (y0)=emptyhArrf(y0)=empty Deoarece şi f(empty)=empty rArr f(y0)=f(empty) iar pentru că f este presupusă injectivă ar rezulta că y0=empty ceea ce este absurd
(v)rArr(vi) Icircn particular pentru A=M ar trebui să avem
f(∁MM)supe∁Nf (M)hArr f(empty)supe∁Nf (M)hArr emptysupe∁Nf (M)hArrf(M)=N
Dacă g hNrarrP sunt două funcţii aicirc g∘f=h∘f atunci pentru orice yisinN există xisinM aicirc f(x)=y (căci f (M)=N) şi astfel g(y)=g(f(x))=(g∘f)(x)=(h∘f)(x)=h(f(x)) = h(y) adică g=h
35
(vi)rArr(i) Presupunem prin absurd că există y0isinN aicirc f(x)ney0 pentru orice xisinM Definim g h Nrarr0 1 astfel g(y)=0 pentru orice
yisinN şi ( )
=
minusisin=
0
0
1
0
yypentru
yNypentruyh
Evident gneh şi totuşi g∘f=h∘f ceea ce este absurd deci f este surjectivă
(i)rArr(vii) Pentru fiecare yisinN alegacircnd cacircte un singur xyisinf-1 (y) obţinem astfel o funcţie g NrarrM g(y)=xy pentru orice yisinN ce verifică icircn mod evident relaţia f∘g=1N
(vii)rArr(i) Pentru yisinN scriind că f(g(y))=y rezultă y=f(x) cu x=g(y)isinM adică f este surjectivă∎
Din propoziţiile precedente obţinem imediat Corolarul 39 Cu notaţiile de la Propoziţia 37 următoarele
afirmaţii sunt echivalente (i) f este bijectivă (ii) f(∁MA)=∁N f(A) forallAisinP(M) (iii) f şi f sunt bijective (iv) Există o funcţie gNrarrM aicirc f∘g=1N şi g∘f=1M
Propoziţia 310 Fie M o mulţime finită şi fMrarrM o funcţie Următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) f este injectivă (ii) f este surjectivă (iii) f este bijectivă Demonstraţie Vom demonstra următoarele implicaţii
(i)rArr(ii)rArr(iii)rArr(i) (i)rArr(ii) Dacă f este injectivă atunci f(M) şi M au acelaşi număr
de elemente şi cum f (M)subeM rezultă că f (M)=M adică f este şi surjectivă
36
(ii)rArr(iii) Dacă f este surjectivă atunci pentru orice element yisinM va exista un unic element xyisinM aicirc f(xy)=y (căci icircn caz contrar ar rezulta contradicţia că M ar avea mai multe elemente decacirct M) adică f este şi injectivă
(iii)rArr(i) Evident ∎
Propoziţia 311 Fie M şi N două mulţimi avacircnd m respectiv n elemente Atunci
(i) Numărul funcţiilor definite pe M cu valori icircn N este egal cu nm
(ii) Dacă m=n atunci numărul funcţiilor bijective de la M la N este egal cu m
(iii) Dacă mlen atunci numărul funcţiilor injective de la M la N este egal cu m
nA (iv) Dacă mgen atunci numărul funcţiilor surjective de la M
la N este egal cu mn ( ) ( ) ( ) 1121 121 minusminusminus+minusminus+minusminus nn
nmn
mn CnCnC
Demonstraţie(i) Facem inducţie matematică după m dacă
m=1 mulţimea M va avea un singur element şi este clar că vom avea n=n1 funcţii de la M la N Presupunem afirmaţia adevărată pentru mulţimile M ce au cel mult m-1 elemente
Dacă M este o mulţime cu n elemente putem scrie M=Mcupx0 cu x0isinM iar M submulţime a lui M cu m-1 elemente
Pentru orice yisinN şi g MrarrN funcţie consideracircnd f g y MrarrN f g y (x)=g(x) dacă xisinM şi y dacă x=x0 deducem că oricărei funcţii g MrarrN icirci putem asocia n funcţii distincte de la M la N ale căror restricţii la M sunt egale cu g Aplicacircnd ipoteza de inducţie pentru funcţiile de la M la N deducem că de la M la N se pot defini nmiddotnm-1=nm funcţii
(ii) Facem inducţie matematică după m dacă m =1 mulţimile M şi N vor avea cacircte un singur element şi vom avea o singură funcţie bijectivă de la M la N
Presupunem afirmaţia adevărată pentru toate mulţimile M şi N ambele avacircnd cel mult m-1 elemente şi fie M şi N mulţimi avacircnd fiecare
37
cacircte m elemente Scriind M=Mcupx0 cu x0isinM iar M submulţime a lui M cu m-1 elemente atunci orice funcţie bijectivă fMrarrN este perfect determinată de valoarea f(x0)isinN precum şi de o funcţie bijectivă gMrarrN unde N=N f (x0) Deoarece pe f (x0) icircl putem alege icircn m moduri iar pe g icircn (m-1) moduri (conform ipotezei de inducţie) deducem că de la M la N putem defini (m-1) m =m funcţii bijective
(iii) Dacă fMrarrN este injectivă atunci luacircnd drept codomeniu pe f(M)subeN deducem că f determină o funcţie bijectivă f Mrarrf(M) f (x)=f(x) pentru orice xisinM iar f(M) are m elemente Reciproc dacă
vom alege icircn N o parte N a sa cu m elemente atunci putem stabili m funcţii bijective de la M la N (conform cu (ii)) Cum numărul submulţimilor N ale lui N care au m elemente este egal cu m
nC rezultă că putem construi m m
nmn AC = funcţii injective de la M la N
(iv) Să considerăm M=x1 x2 xm N=y1 y2 yn iar Mi mulţimea funcţiilor de la M la N aicirc yi nu este imaginea nici unui element din Mi i=12n
Astfel dacă notăm prin nmF mulţimea funcţiilor de la M la N
mulţimea funcţiilor surjective nmS de la M la N va fi complementara
mulţimii M1cup M2cup cup Mn din nmF deci conform Propoziţiei 17
avem egalităţile (1)
( ) I I II I
UU
nn
nkjikji
njiji
n
ii
mn
ii
mn
ii
nm
nm
MMMMMM
MMMnMnMFS
1 211
1111
minus++minus
minuscap+minus=minus=minus=
sum
sumsum
leltltle
leltle===
Deoarece Mi este de fapt mulţimea funcţiilor definte pe M cu valori icircn N yi MicapMj este mulţimea funcţiilor definite pe M cu valori icircn N yi yj etc conform punctului (i) avem că (2) |Mi|=(n-1)m |MicapMj|=(n-2)m etc (|M1capM2 capcapMn|=0 deoarece M1capM2 capcapMn=empty)
38
Deoarece sumele ce apar icircn (1) au respectiv 1nC 2
nC nnC
temeni egali ţinacircnd cont de acest lucru şi de (2) relaţia (1) devine n
mS = mn ( ) ( ) ( ) 1121 121 minusminusminus+minusminus+minusminus nn
nmn
mn CnCnC ∎
Pentru o mulţime nevidă M şi AisinP(M) definim φA Mrarr01
φA(x)=
isin
notin
Axdaca
Axdaca
1
0
pentru orice xisinM Funcţia φA poartă numele de funcţia caracteristică a mulţimii A
Propoziţia 312 Dacă A BisinP(M) atunci (i) A=BhArrφA=φB
(ii) φempty=0 φM=1 (iii) φA⋂B=φA φB φA
2=φA
(iv) φA⋃B=φA+φB - φA φB
(v) φA B=φA - φA φB ACMϕ =1-φA
(vi) φA Δ B=φA+φB - 2φAφB Demonstraţie (i)rArrrsquorsquo Evidentă lArrrsquorsquo Presupunem că φA=φB şi fie xisinA atunci φA (x)=
=φB (x)=1 deci xisinB adică AsubeB Analog BsubeA de unde A=B (ii) Evident (iii) Pentru xisinM putem avea următoarele situaţii (xnotinA xnotinB)
sau (xisinA xnotinB) sau (xnotinA xisinB) sau (xisinA xisinB) Icircn fiecare situaţie icircn parte se verifică imediat relaţia φA⋂B (x)=φA (x)φB(x)
Cum A⋂A=A rArr φA =φAφA=φA 2
(iv) (v) Asemănător cu (iii) (vi) Avem
φA ∆ B =φ( A B )⋃( B A )=φ A B + φB A -φA B φB A =
39
=φA- φAφB+φB - φBφA ndash φ (A B ) ⋂ ( B A )= φA +φB -2φAφB deoarece (A B )⋂ (B A )=empty ∎
Fie M o mulţime oarecare iar ρisinEchiv (M) Funcţia pρM MrarrM ρ definită prin pρM (x)=[x]ρ pentru orice xisinM este surjectivă şi poartă numele de surjecţia canonică
Propoziţia 313 Fie M şi N două mulţimi pe care s-au definit relaţiile de echivalenţă ρ respectiv ρʹ şi f MrarrN o funcţie avacircnd proprietatea
(x y)isinρ rArr ( f(x) f(y))isinρʹ forall x yisinM Atunci există o singură funcţie f MρrarrNρacute a icirc diagrama f M N p Mρ pNρʹ f Mρ Nρ
este comutativă (adică pN ρʹ∘f= f ∘pM ρ unde pM ρ pN ρ sunt surjecţiile canonice)
Demonstraţie Pentru xisinM vom nota prin [x]ρ clasa de echivalenţă a lui x modulo relaţia ρ
Pentru xisinM definim f ([x]ρ)=[f(x)]ρacute
Dacă x yisinM aicirc [x]ρ=[y]ρ hArr (x y)isinρ rArr [f (x) f (y)]isinρʹ (din enunţ) rArr [f (x)]ρʹ=[f (y)]ρʹ adică f este corect definită
Dacă xisinM atunci ( f ∘pM ρ)(x)= f (pM ρ (x)) = = f ([x]ρ)=[f[x]]ρʹ =pN ρʹ (f (x))= (pN ρʹ∘f)(x) adică pN ρʹ∘f= f ∘pM ρ
Pentru a demonstra unicitatea lui f să presupunem că ar mai exista o funcţie f ʹ M ρrarrN ρacute aicirc pN ρʹ∘f= f ʹ∘pM ρ şi fie xisinM
Atunci f ʹ([x]ρ)= f ʹ(pM ρ(x))=( f ʹ∘ pM ρ)(x)=(pN ρʹ ∘f)(x) = =pN ρʹ (f(x)) = [f (x)]ρʹ = f ʹ([x]ρ) de unde deducem că ff = ʹ ∎
40
Propoziţia 314 Fie M şi N două mulţimi iar f MrarrN o
funcţie notăm prin ρ f relaţia binară de pe M definită astfel ( x y )isinρ f hArr f(x)=f(y) (x yisinM) Atunci (i) ρ f este relaţie de echivalenţă pe M
(ii) Există o unică funcţie bijectivă f M ρ frarrIm ( f ) aicirc i∘ f ∘
FMp ρ =f iIm ( f ) rarrN fiind incluziunea Demonstraţie (i) Evidentă (relaţia de egalitate fiind o
echivalenţă pe M) (ii) Păstracircnd notaţia claselor de echivalenţă de la Propoziţia 313 pentru xisinM definim )]([
fxf ρ =f(x) Funcţia f este
corect definită căci dacă x yisinM şi [ ] [ ]ff
yx ρρ = hArr (x y)isinρ f hArr
f(x)=f(y) (de aici rezultă imediat şi injectivitatea lui f ) Cum f este icircn mod evident şi surjectivă deducem că f este bijectivă Pentru a proba unicitatea lui f fie f1 M ρfrarrIm (f ) o altă funcţie bijectivă aicirc i∘f1∘ FMp ρ =f şi xisinM Atunci (i∘f1∘ FMp ρ )(x)=f(x) hArr
hArr )]([1 fxf ρ =f(x)hArr )]([1 f
xf ρ =f(x)= )]([f
xf ρ adică f1= f ∎
Propoziţia 315 Fie M o mulţime finită cu m elemente
Atunci numărul Nm k al relaţiilor de echivalenţă ce pot fi definite pe M aicirc mulţimea cacirct să aibă k elemente ( klem ) este dat de formula ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121
1211 minusminusminus+minusminus+minusminussdot= kk
kmk
mk
mkm CkCkCkkN
Deci numărul relaţiilor de echivalenţă ce pot fi definite pe
mulţimea M este dat de formula N=Nm 1+Nm 2++Nm m Demonstraţie Dacă ρ este o relaţie de echivalenţă
ρisinEchiv (M) atunci avem surjecţia canonică p M ρ MrarrM ρ
41
Dacă icircn general f MrarrN este o funcţie surjectivă atunci cum am stabilit icircn cazul Propoziţiei 314 aceasta dă naştere la următoarea relaţie de echivalenţă de pe M (x y)isinρ f hArr f(x)=f(y) Mai mult dacă g NrarrNʹ este o funcţie bijectivă atunci relaţiile ρf şi ρg∘f coincid căci (xy)isinρg∘fhArr(g∘f)(x)=(g∘f)(y)hArrg(f(x))=g(f(y))hArrf(x)=f(y)hArr hArr(x y)isinρf
Deci dacă N are k elemente atunci k funcţii surjective de la M la N vor determina aceiaşi relaţie de echivalenţă pe M Luacircnd icircn particular N=Mρ şi ţinacircnd cont de Propoziţia 311 deducem că
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121 1211 minusminusminus+minusminus+minusminussdot= k
kkm
km
km
km CkCkCkkN ∎
Propoziţia 316 Fie M o mulţime nevidă Atunci funcţia care asociază unei relaţii de echivalenţă definite pe M partiţia lui M dată de relaţia de echivalenţă este bijectivă
Demonstraţie Fie Part (M) mulţimea partiţiilor lui M
Vom nota prin f Echiv (M)rarrPart (M) funcţia ce asociază fiecărei relaţii de echivalenţă ρ de pe M partiţia lui M dată de clasele de echivalenţă modulo ρ f(ρ)=[x]ρ | xisinM
Definim g Part (M)rarrEchiv (M) astfel dacă P=(Mi) iisinI este o partiţie a lui M definim relaţia g(P) pe M astfel
(x y )ising(P)hArr există iisinI aicirc x yisinMi Reflexivitatea şi simetria lui g(P) sunt imediate Fie acum (x y) (y z)ising(P) Există deci i1 i2isinI a icirc x yisin
1iM şi y zisin2iM dacă i1nei2
ar rezulta că I 21 ii MM neempty (căci ar conţine pe y) ceea ce este absurd
Deci i1=i2=i şi astfel x zisinMi adică (x z) isin g(P) de unde concluzia că g (P) este şi tranzitivă deci g(P)isin Echiv (M) funcţia g fiind astfel corect definită
Să arătăm că dacă xisinMi atunci clasa de echivalenţă x modulo g (P) este egală cu Mi Icircntr-adevăr yisinMi hArr (x y)ising(P) hArr yisin x hArrMi= x
42
Deducem astfel că g este de fapt inversa lui f adică f este bijectivă ∎
Suntem acum icircn măsură să facem anumite precizări legate de mulţimea numerelor naturale Definiţia 317 Numim triplet Peano un triplet ( N 0 s ) unde N este o mulţime nevidă 0isinN iar sNrarrN este o funcţie astfel icircncacirct sunt verificate axiomele
P1 0notins( N ) P2 s este o funcţie injectivă P3 dacă PsubeN este o submulţime astfel icircncacirct 0isinP şi
(nisinPrArrs(n)isinP ) atunci P=N Icircn cele ce urmează acceptăm ca axiomă existenţa unui triplet Peano (cititorului dornic de aprofundarea acestei chestiuni icirci recomandăm lucrarea [16] ) Lema 318 Dacă ( N 0 s ) este un triplet Peano atunci N=0cups(N)
Demonstraţie Dacă notăm P=0cups(N) atunci PsubeN şi cum P
verifică P3 deducem că P=N ∎
Teorema 319 Fie ( N 0 s ) un triplet Peano iar ( Nʹ 0ʹ s ʹ ) un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă Nʹ un element 0ʹisinNʹ şi o funcţie sʹNʹ rarr Nʹ Atunci
(i) Există o unică funcţie fNrarrNʹ astfel icircncacirct f(0) = 0ʹ iar diagrama
43
N rarr f Nʹ
s sʹ
N rarr f Nʹ
este comutativă (adică f ∘ s = sʹ∘f )
(ii) Dacă ( Nʹ 0ʹ sʹ) este un triplet Peano atunci f este bijecţie
Demonstraţie (i) Pentru a proba existenţa lui f vom considera
toate relaţiile RsubeNtimesNʹ aicirc r1 (0 0ʹ) isin R
r2 Dacă (n nʹ)isinR atunci (s(n) sʹ(nʹ))isinR iar prin R0 vom nota intersecţia acestor relaţii
Vom demonstra că R0 este o relaţie funcţională şi astfel f va fi funcţia ce va avea drept grafic pe R0 (astfel din (0 0ʹ)isinR0 vom deduce că f (0)=0ʹ iar dacă nisinN şi f (n)=nʹisinNʹ (n nʹ)isinR0 deci (s(n) sʹ(nʹ))isinR0 adică f(s(n))=sʹ(nʹ)=sʹ(f (n))
Pentru a demonstra că R0 este o relaţie funcţională vom demonstra că pentru orice nisinN există nʹisinNʹ a icirc (n nʹ)isinR 0 iar dacă pentru nisinN şi nʹ nʹʹisinNʹ avem (n nʹ)isinR0 şi (n nʹʹ)isinR0 atunci nʹ= nʹʹ
Pentru prima parte fie P=nisinN | există nʹisinNʹ a icirc (n nʹ)isinR0 subeN
Cum (0 0ʹ)isinR0 deducem că 0isinP Fie acum nisinP şi nʹisinNʹ aicirc (n nʹ)isinR0 Din definiţia lui R0 deducem că (s(n) sʹ(nʹ))isinR0 obţinem că s(n)isinP şi cum (N 0 s) este triplet Peano deducem că P=N
Pentru a doua parte fie
44
Q=nisinN dacă nʹ nʹʹisinN ʹ şi (n nʹ) (n nʹʹ)isinR0 rArr nʹ= nʹʹsubeN
şi să demonstrăm la icircnceput că 0isinQ
Icircn acest sens vom demonstra că dacă (0 nʹ)isinR0 atunci nʹ=0ʹ Dacă prin absurd nʹne0ʹ atunci vom considera relaţia R1=R0 ∖(0 nʹ)subeNtimesNʹ Din nʹne0ʹ deducem că (0 0ʹ)isinR1 iar dacă pentru misinNʹ avem (n m)isinR1 atunci (n m)isinR0 şi (n m) ne (0 nʹ) Astfel (s(n) sʹ(m))isinR0 şi cum (s(n) sʹ(m))ne(0 nʹ) (căci s(n) ne 0 conform cu P1) deducem că (s(n) sʹ(m))isinR1 Cum R1 verifică r1 şi r2 ar trebui ca R0subeR1 ndash absurd (căci R1 este inclusă strict icircn R0 )
Pentru a proba că 0isinQ fie nʹ nʹʹisinNʹ a icirc (0 nʹ) (0 nʹʹ)isinR0 Atunci ţinacircnd cont de cele stabilite mai sus deducem că nʹ=nʹʹ=0ʹ deci 0isinQ
Fie acum nisinQ şi n ʹisinN ʹ a icirc (n nʹ)isinR0 vom demonstra că dacă (s(n) nʹʹ)isinR0 atunci nʹʹ=sʹ(nʹ) Să presupunem prin absurd că nʹʹne sʹ(nʹ) şi să considerăm relaţia R2 =R0 ∖(s (n) nʹʹ) Vom demonstra că R2 verifică r1 şi r2
Icircntrndashadevăr (0 0ʹ)isinR2 ( căci 0 ne s(n) ) iar dacă (p pʹ)isinR2 atunci (p pʹ) isinR0 şi (p pʹ)ne( s(n) nʹʹ)
Deducem că (s(p) sʹ(pʹ))isinR0 şi dacă presupunem (s(p) sʹ(pʹ))= =(s(n) nʹʹ) atunci s(p) =s(n) deci p=n De asemenea sʹ(pʹ)=nʹʹ Atunci (n nʹ)isinR0 şi (n pʹ)isinR0 iar cum nisinQ rArr nʹ=pʹ deci nʹʹ=sʹ(pʹ)=sʹ(nʹ) ceea ce contrazice faptul că nʹʹnes(nʹ) Prin urmare (s(p) sʹ(pʹ)) ne (s(n) nʹʹ) ceea ce ne arată că (s(p) sʹ(pʹ))isinR2 adică R2
satisface r1 şi r2 Din nou ar trebui ca R0subR2 ndash absurd Deci (s (n) nʹʹ)isinR0 rArr nʹʹ=sʹ(nʹ) astfel că dacă r s isinN ʹ şi
(s(n) r) (s(n) s )isinR0 atunci r = s = sʹ(n) adică s(n)isinQ deci Q=N Pentru a proba unicitatea lui f să presupunem că mai există
fʹNrarrNʹ aicirc fʹ(0)=0ʹ şi sʹ(fʹ(n))=fʹ(s(n)) pentru orice nisinN
45
Consideracircnd P=nisinN | f(n)=fʹ(n)subeN atunci 0isinP iar dacă nisinP (adică f(n)=fʹ(n)) atunci sʹ(f(n))=sʹ(fʹ(n))rArrf(s(n))= =fʹ(s(n))rArrs(n)isinP şi atunci P=N adică f=fʹ
(ii) Să arătăm la icircnceput că f este injectivă Pentru aceasta vom considera P=nisinN | dacă misinN şi f(m)=f(n)rArrm=nsubeN şi să demonstrăm la icircnceput că 0isinP Pentru aceasta fie misinN a icirc f(0)=f(m) şi să demonstrăm că m=0 Dacă prin absurd mne0 atunci m=s(n) cu nisinN iar egalitatea f(m)=f(0) devine f(s(n))=f(0)=0ʹ de unde sʹ(f(n))=0ʹ ceea ce este absurd deoarece prin ipoteză (Nʹ 0ʹ sʹ) este un triplet Peano
Fie acum nisinP pentru a demonstra că s(n)isinP fie misinN aicirc f(m)=f(s(n))
Atunci mne0 (căci icircn caz contrar ar rezulta că 0ʹ=f(0)=f(s(n))=sʹ(f(n)) absurd ) deci conform Lemei 318 m=s(p) cu pisinN iar egalitatea f(m)=f(s(n)) devine f(s(p))=f(s(n))hArrsʹ(f(p))=sʹ(f(n)) adică f(p)=f(n) şi cum nisinP atunci n=p şi astfel m=s(p)=s(n)
Pentru a demonstra surjectivitatea lui f să considerăm
Pʹ=nʹisinNʹ| există nisinN a icirc nʹ=f (n)subeNʹ Cum f(0)=0ʹ deducem că 0ʹisinPʹ Fie acum nʹisinPʹ atunci există nisinN aicirc nʹ=f (n) Deoarece sʹ(nʹ)=sʹ(f(n))=f(s(n)) deducem că sʹ(nʹ)isinPʹ şi cum tripletul (Nʹ 0ʹ sʹ) este un triplet Peano deducem că Pʹ=Nʹ adică f este şi surjectivă deci bijectivă ∎
Observaţia 320 Conform Teoremei 319 (cunoscută şi sub numele de teorema de recurenţă ) un triplet Peano este unic pacircnă la o bijecţie
Icircn cele ce urmează vom alege un triplet Peano oarecare (ℕ 0 s) pe care icircl vom fixa elementele lui ℕ le vom numi numere naturale
Elementul 0 va purta numele de zero
Vom nota 1=s(0) 2=s(1) 3=s(2) etc astfel că ℕ=0 1 2 hellip Funcţia s poartă numele de funcţia succesor Axiomele P1 ndash P3 sunt
46
cunoscute sub numele de axiomele lui Peano (axioma P3 poartă numele de axioma inducţiei matematice)
Pe parcursul acestei lucrări vom construi ndash pornind de la o mulţime ℕ a numerelor naturale ndash mulţimile numerelor icircntregi ℤ raţionale ℚ reale ℝ şi complexe ℂ rezultacircnd astfel rolul fundamental pe care icircl joacă icircn matematică mulţimea numerelor naturale sect4Nucleul şi conucleul unei perechi de funcţii
Definiţia 41 Fie f g ArarrB o pereche de funcţii O pereche (K i) formată dintr-o mulţime K şi o funcţie i KrarrA se numeşte nucleul perechii (f g) dacă sunt verificate următoarele două condiţii
(i) f∘i=g∘i (ii) Pentru oricare alt dublet (K i) cu K mulţime şi
iKrarrA aicirc f∘i= g∘i există o unică funcţie u KrarrK a icirc i∘u=i
Teorema 42 Pentru orice pereche de funcţii f g ArarrB există un nucleu al perechii (f g) unic pacircnă la o bijecţie (unicitatea icircnseamnă că dacă (K i) şi (K i) sunt două nuclee pentru perchea (f g) atunci există o bijecţie u KrarrK aicirc i∘u=i )
Demonstraţie Să probăm la icircnceput existenţa nucleului şi pentru aceasta fie K=xisinA∣f(x)=g(x) iar i KrarrA incluziunea (K put`nd fi chiar empty )
Icircn mod evident f∘i=g∘i Fie acum (K i) cu i KrarrA a icirc f∘i=g∘i Pentru aisinK cum f (i(a))=g (i(a)) deducem că i(a)isinK Definim atunci uKrarrK prin u(a)=i(a) pentru orice aisinK şi este clar că i∘u=i
Dacă uKrarrK este o altă funcţie aicirc i∘u=i atunci pentru aisinK avem i(u(a))=u(a) de unde u(a)=i(a)=u(a) adică u=u
47
Să probăm acum unicitatea nucleului iar pentru aceasta fie (K i) şi (K i) două nuclee pentru perchea (f g)
Cum (K i) este nucleul perechii (f g) deducem existenţa unei funcţii uKrarrK aicirc i∘u=i
Cum şi (K i ) este nucleul perechii (f g) deducem existenţa unei funcţii uKrarrK aicirc i∘u=i
Deducem imediat că i∘(u∘u)=i şi i∘(u∘u)=i Cum şi i∘ K prime1 =i şi i∘1K=i ţinacircnd cont de unicitatea din Definiţia 41 deducem că u∘u= K prime1 şi u∘u=1K adică u este bijecţie şi i∘u=i ∎
Observaţia 43 Vom nota ( K i ) = Ker (f g) (iar dacă nu
este pericol de confuzie doar K=Ker (f g))
Definiţia 44 Fiind dată o pereche de funcţii f g ArarrB numim conucleu al perchii (f g) pereche (P p) formată dintr-o mulţime P şi o funcţie pBrarrP ce verifică următoarele două condiţii
(i) p∘f=p∘g
(ii) Pentru oricare alt dublet (P p) cu P mulţime şi p BrarrP a icirc p∘f= p∘g există o unică funcţie v PrarrP aicirc v∘p=p
Teorema 45 Pentru orice pereche de funcţii f g ArarrB există un conucleu al perechii ( f g ) unic pacircnă la o bijecţie (unicitatea icircnseamnă că dacă (P p) şi (P p) sunt două conuclee pentru perchea (f g) atunci există o bijecţie vPrarrP aicirc v∘p=p )
Demonstraţie Vom proba doar existenţa conucleului perechii (f g) deoarece unicitatea sa se probează analog cu unicitatea nucleului
Pentru aceasta fie ρ=(f(x) g(x)) | xisinA (care este o relaţie binară pe B) iar ltρgt relaţia de echivalenţă de pe B generată de ρ (a cărei construcţie este descrisă icircn Teorema 211) Să arătăm că perechea ( B ltρgt pltρgt B ) este un conucleu al perechii (f g) Deoarece pentru
48
orice xisinA avem (f(x) g(x))isin ρsubeltρgt deducem că (f(x) g(x))isinltρgt adică pltρgt B (f (x))=pltρgt B(g(x)) deci pltρgt B∘f=pltρgt B∘g
Fie acum (B p) cu B mulţime şi pBrarrB aicirc p∘f=p∘g Atunci pentru orice xisinA p(f(x))=p(g(x)) adică (f(x) g(x))isinρ pacute (vezi Propoziţia 314) deci ρsubeρpacute Cum ρpacute este relaţie de echivalenţă pe B iar ltρgt este cea mai mică relaţie de echivalenţă de pe B ce conţine pe ρ deducem că ltρgtsubeρpacute
Conform Propoziţiei 313 există o funcţie α BltρgtrarrBρPacute aicirc α∘pltρgt B= Bp
p primeρ Fie βBρPacuterarrIm(pacute) bijecţia a cărei existenţă ne este
asigurată de Propoziţia 314 Avem că pʹ=iʹ∘β∘ Bpp primeρ unde
iʹ Im (pʹ)rarrBʹ este incluziunea Dacă notăm v=iʹ∘β∘α atunci
v∘ Bp ρ =(iacute∘β∘α)∘ Bp ρ =(i∘β)∘(α∘ Bp ρ )=(i∘β)∘ Bpp primeρ =
=iʹ∘(β∘ Bpp primeρ )=pʹ
Dacă mai avem vʹBltρgtrarrBʹ aicirc vʹ∘ Bp ρ =pʹ atunci
vʹ∘ Bp ρ = v∘ Bp ρ şi cum Bp ρ este surjecţie deducem că vʹ=v
(conform Propoziţiei 38) ∎ Observaţia 46 Vom nota (B Bp ρ )=Coker (f g) sau
(B=Coker (f g) dacă nu este pericol de confuzie) sect 5 Mulţimi ordonate Semilatici Latici Definiţia 51 Printr-o mulţime ordonată icircnţelegem un dublet (A le) format dintr-o mulţime nevidă A şi o relaţie binară pe A notată tradiţional prin le care este reflexivă antisimetrică şi tranzitivă Vom spune că le este o ordine pe A Pentru x y isinA vom scrie x lt y dacă x le y x ne y Dacă relaţia le este doar reflexivă şi tranzitivă vom spune despre ea că este o ordine parţială sau că (A le) este o mulţime parţial ordonată
49
Dacă pentru x yisinA definim x ge y dacă şi numai dacă y le x obţinem o nouă relaţie de ordine pe A Dubletul (A ge) icircl vom nota prin Adeg şi spunem că mulţimea ordonată Adeg este duala mulţimii A Fie ( )leA o mulţime parţial ordonată iar ρ o relaţie de echivalenţă pe A Vom spune despre ρ că este compatibilă cu preordinea le de pe A dacă pentru oricare elemente x y z t din A avem implicaţia ( ) ( ) ρρ isinisin tzyx şi tyzx lerArrle Dacă ρ este o relaţie de echivalenţă pe A compatibilă cu preordinea le atunci pe mulţimea cacirct A ρ se poate defini o ordine parţială astfel ρρ ][][ yx le hArr există ρ][xz isin şi ρ][yt isin aicirc tz le vom numi această ordine parţială preordinea cacirct Icircn cele ce urmează prin (Ale) vom desemna o mulţime ordonată Cacircnd nu este pericol de confuzie prin mulţime ordonată vom specifica numai mulţimea subiacentă A (fără a mai pune icircn evidenţă relaţia le aceasta subacircnţelegacircndu-se ) Definiţia 52 Fie m M isinA şi S sube A S ne empty Vom spune că i) m este minorant pentru S dacă pentru orice sisinS m le s (icircn caz că există prin inf (S) vom desemna cel mai mare minorant al lui S) ii) M este majorant pentru S dacă M este minorant pentru S icircn Adeg adică pentru orice sisinS s le M (icircn caz că există prin sup (S) vom desemna cel mai mic majorant al lui S) Dacă S=s1 s2 snsubeA atunci vom nota inf (S)= s1⋀s2 ⋀⋀sn iar sup (S)= s1⋁s2 ⋁⋁sn (evident icircn cazul icircn care acestea există) Ordinea le de pe A se zice totală dacă pentru orice a bisinA a le b sau b le a o submulţime total ordonată a lui A poartă numele de lanţ Pentru a bisinA vom spune că b urmează pe a (sau că a este urmat de b) dacă a lt b iar pentru a le c le b avem a=c sau c=b vom utiliza icircn acest caz notaţia a ang b
50
Pentru a b isin A vom nota (a b)=xisinA∣altxltb [a b]=xisinA∣alexleb (a b]=xisinA∣altxleb [a b)=xisinA∣alexltb şi vom numi astfel de submulţimi ale lui A intervale (respectiv deschise icircnchise icircnchise la dreapta şi deschise la sticircnga icircnchise la sticircnga şi deschise la dreapta) Mulţimile ordonate finite A pot fi reprezentate prin aşa zisele diagrame Hasse Icircn acest sens vom reprezenta fiecare element al lui A printr-un cerculeţ bull Dacă a ang b vom desena cerculeţul corespunzător lui b deasupra celui ce-l reprezintă pe a unind cele două cerculeţe printr-un segment (de remarcat faptul că intersecţia a două astfel de segmente poate să nu reprezinte un element al lui A) Dintr-o astfel de diagramă putem să reconstituim relaţia le ţinacircnd cont de observaţia că a ang b dacă şi numai dacă pentru un şir finit de elemente c1 c2 cn ale lui A avem a = c1 ang c2 ang ang cn-1 ang cn= b Iată cacircteva exemple de diagrame Hasse
Din păcate astfel de diagrame sunt greu de utilizat icircn cazul mulţimilor ordonate infinite (cum ar fi de exemplu ℚ sau ℝ cu ordonarea obişnuită) Fie (I le) un lanţ iar (Ai)iisinI o familie de mulţimi ordonate (mutual disjuncte) Vom nota prin i
IiA
isinoplus mulţimea ordonată ce are drept
mulţime subiacentă UIi
iAisin
iar relaţia de ordonare este definită pentru x
51
yisin iIi
Aisinoplus prin x le y dacă şi numai dacă xisinAi yisinAj şi ilt j sau
x y sub Ak iar x le y icircn Ak Mulţimea ordonată iIi
Aisinoplus definită mai
sus poartă numele de suma ordinală a familiei (Ai) AiisinI Dacă I=1 2 n convenim să notăm i
IiA
isinoplus = A1oplus A2oplusoplus An
Dacă (Pi le )1leilen este o familie finită de mulţimi ordonate atunci P=
nileletimes
1Pi devine icircn mod canonic mulţime ordonată definind
pentru x=(xi)1leilen y=(yi)1leilen isinP x le y lt≝gt există 1leslen aicirc
x1 = y1 hellip xs-1=ys-1 şi xsltys ( această ordonare se numeşte ordonarea lexicografică)
Definiţia 53 Vom spune despre A că este i) inf ndash semilatice dacă pentru oricare două elemente a bisinA există a⋀b=infa b
ii) sup ndash semilatice dacă pentru oricare două elemente a bisinA există a⋁b=supa b iii) latice dacă este simultan inf şi sup-semilatice (adică pentru oricare două elemente a b isin A există a and b şi a or b) iv) inf ndash completă dacă pentru orice submulţime S sube A există inf (S) v) sup ndash completă dacă pentru orice submulţime S sube A există sup (S) vi) completă dacă este simultan inf şi sup-completă (evident icircn acest caz se poate utiliza denumirea de latice completă) vii) inf - mărginită dacă există un element notat tradiţional prin 0isinA aicirc pentru orice aisinA 0 le a viii) sup - mărginită dacă există un element notat tradiţional prin 1isinA aicirc pentru orice aisinA a le 1
52
ix) mărginită dacă este simultan inf şi sup - mărginită (adică 0 le a le 1 pentru orice a isinA) icircn acest caz 0 se zice element iniţial (sau prim) al lui A iar 1 element final (sau ultim) al lui A x) condiţional completă dacă pentru orice submulţime nevidă şi mărginită S a sa există inf (S) şi sup (S)
Observaţia 54 1Orice mulţime ordonată A care este inf-completă este latice
completă Icircntr-adevăr fie M sube A Mprime mulţimea majoranţilor lui M iar
m=inf (Mprime) Cum pentru xisinM şi y isinMprime avem x le y deducem că x le m adică misinMprime astfel m = sup (M)
2 Dacă A este o latice completă atunci inf (empty) = 1 iar sup (empty) = 0
3 Pentru ca o latice L să fie condiţional completă este suficient ca pentru orice submulţime nevidă şi mărginită S a sa să existe doar inf (S) (sau sup (S)) Definiţia 55 Un element misinA se zice i) minimal dacă avacircnd aisinA aicirc a le m deducem că m = a ii) maximal dacă avacircnd aisinA aicirc m le a deducem că m = a Dacă A are 0 un element aisinA se zice atom dacă a ne 0 şi avacircnd xisinA aicirc x le a atunci x = 0 sau x = a (deci 0 ang a) Definiţia 56 Dacă A este inf-semilatice (respectiv sup-semilatice) vom spune despre o submulţime AsubeA că este inf-sub-semilatice (respectiv sup-sub-semilatice) dacă pentru oricare două elemente a bisinA avem a⋀bisinA (respectiv a⋁bisinA) Dacă A este latice AsubeA se va zice sublatice dacă pentru oricare două elemente a bisinA avem a⋀b a⋁bisinA Exemple 1 Fie ℕ mulţimea numerelor naturale iar relaţia de divizibilitate pe ℕ Atunci este o relaţie de ordine pe ℕ Faţă de această ordine ℕ devine latice icircn care pentru m n isinℕ m and n = cel
53
mai mare divizor comun al lui m şi n iar m or n = cel mai mic multiplu comun al lui m şi n
Evident pentru relaţia de divizibilitate elementul 1isinℕ este element iniţial iar 0isinℕ este element final Această ordonare nu este totală deoarece dacă avem două numere naturale m n prime icircntre ele (cum ar fi de exemplu 2 şi 3) nu avem m ∣ n şi nici n m
2 Dacă K este una din mulţimile de numere ℕ ℤ ℚ sau ℝ atunci K cu ordonarea naturală este o latice iar ordonarea naturală este totală 3 Fie M o mulţime iar P(M) mulţimea submulţimilor lui M Atunci (P (M) sube) este o latice completă cu prim şi ultim element (respectiv empty şi M)
Fie acum A A două mulţimi ordonate (cacircnd nu este pericol de confuzie convenim să notăm prin le ambele relaţii de ordine de pe A şi A ) şi fArarrA o funcţie
Definiţia 57 Vom spune despre f că este morfism de mulţimi ordonate (sau aplicaţie izotonă) dacă pentru orice a bisinA cu a le b avem f (a) le f (b) (icircn anumite lucrări f se zice monoton crescătoare) Dacă A A sunt inf (sup) - semilatici vom spune despre f că este morfism de inf (sup) - semilatici dacă pentru oricare două elemente a bisinA f (a and b) = f (a) and f (b) (respectiv f (a or b) = =f (a) or f (b)) Dacă A A sunt latici vom spune că f este morfism de latici dacă f este simultan morfism de inf şi sup-semilatici (adică pentru oricare două elemente a b isinA avem f (a and b) = =f (a) and f (b) şi f (a or b) = f (a) or f (b)) Icircn mod evident morfismele de inf (sup) - semilatici sunt aplicaţii izotone iar dacă compunem două morfisme de acelaşi tip obţinem tot un morfism de acelaşi tip
Dacă A A sunt mulţimi ordonate iar fArarrA este morfism de mulţimi ordonate atunci f se zice izomorfism de mulţimi ordonate dacă
54
există gArarrA morfism de mulţimi ordonate aicirc f∘g=1A şi g∘f=1A Acest lucru revine la a spune de fapt că f este o bijecţie Icircn acest caz vom scrie AasympA Analog se defineşte noţiunea de izomorfism de inf (sup) - semilatici ca şi cea de izomorfism de latici Icircn continuare vom stabili felul icircn care mulţimile preordonate induc mulţimi ordonate iar pentru aceasta fie (A le ) o mulţime parţial ordonată Se verifică imediat că relaţia ρ definită pe A prin ( ) yxyx lehArrisin ρ şi xy le este o echivalenţă pe A compatibilă cu preordinea le Vom considera =A A ρ icircmpreună cu preordinea cacirct (definită la icircnceputul paragrafului) şi să arătăm că acestă preordine este de fapt o ordine pe A (adică ρ este şi simetrică)
Icircntr-adevăr fie [ ] [ ]ρρ yx Aisin aicirc [ ] [ ]ρρ yx le şi [ ] [ ]ρρ xy le şi să demonstrăm că [ ] [ ]ρρ yx = Atunci există [ ] ρxxx isinprimeprimeprime [ ]ρyyy isinprimeprimeprime aicirc
yx primeleprime şi xy primeprimeleprimeprime Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ρisinprimeprimeprimeprimeprimeprime yyyyxxxx adică
yyyyyyxxxxxxxx leprimeprimeprimeleleprimeprimeprimeleleprimeprimeprimeleleprime şi yy primeprimele Din yxxx primeleprimeprimele şi yy leprime deducem că yx le iar din
xyyy primeprimeleprimeprimeprimeprimele şi xx leprimeprime deducem că xy le adică ( ) ρisinyx astfel că [ ] [ ]ρρ yx =
Astfel surjecţia canonică AApA rarr este funcţie izotonă Ţinacircnd cont de Propoziţia 313 se verifică imediat faptul că mulţimea ordonată cacirct ( )leA icircmpreună cu surjecţia canonică
AApA rarr verifică următoarea proprietate de universalitate Pentru orice mulţime ordonată ( )leB şi funcţie izotonă
BAf rarr există o unică aplicaţie izotonă BAf rarr aicirc fpf A =o Definiţia 58 Fie A o inf-semilatice şi F subeA o submulţime nevidă a sa Vom spune că F este filtru al lui A dacă F este o inf-sub-semi- latice şi pentru a b isinA dacă a le b şi aisinF atunci bisinF Vom nota prin F (A) mulţimea filtrelor lui A
55
Noţiunea duală celei de filtru este aceea de ideal pentru o sup-semilatice Mai precis avem Definiţia 59 Fie A o sup-semilatice iar I subeA o submulţime nevidă a sa Vom spune că I este un ideal al lui A dacă I este sup-sub-semilatice a lui A şi pentru orice a bisinA cu a le b dacă bisinI atunci şi aisinI Vom nota prin I (A) mulţimea idealelor lui A Observaţia 510 Dacă A este latice atunci noţiunile de filtru şi ideal au definiţii precise icircn A (ţinacircnd cont de definiţiile de mai sus căci A este simultan inf şi sup-semilatice) evident icircn acest caz A isinF (A)capI (A) Cum intersecţia oricărei familii de filtre (ideale) este de asemenea filtru (ideal) putem vorbi de filtrul (idealul) generat de o mulţime nevidă Dacă A este o inf(sup)-semilatice pentru emptyneSsubeA vom nota prin [S) ( (S]) filtrul(idealul) generat de S (adică intersecţia tuturor filtrelor (idealelor) lui A ce conţin pe S) Propoziţia 511 Dacă A este o inf-semilatice şi S subeA o submulţime nevidă a sa atunci [S)=aisinA∣există s1 s2 snisinS aicirc s1⋀s2 ⋀⋀snlea
DemonstraţieFie FS=aisinA∣există s1 s2 snisinS aicirc s1⋀s2 ⋀⋀snlea Se probează imediat că FS isin F (A) şi S sube FS deci [S) sube FS
Dacă FisinF(A) aicirc S sube F atunci FSsubeF deci FSsubecapF=[S)de unde [S)=FS n Dual se demonstrează Propoziţia 512 Dacă A este o sup-semilatice şi SsubeA este o submulţime nevidă a sa atunci (S]=aisinA∣există s1 s2 snisinS aicirc a le s1or s2 oror sn
56
Astfel (F(A)sube) şi (I(A)sube) sunt latici icircn care pentru F1 F2isinF(A) (respectiv I1 I2isinI(A)) avem F1⋀F2=F1⋂F2 iar F1⋁F2=[F1⋃F2) (respectiv I1⋀I2=I1⋂I2 iar I1⋁I2=(I1⋃I2] )
Dacă A este o inf (sup)-semilatice şi aisinA vom nota prin [a)
( (a]) filtrul (idealul) generat de a Conform celor de mai sus avem că [a)=xisinA∣alex şi
(a]=xisinA∣xlea ([a) (a] poartă numele de filtrul (idealul) principal generat de a)
Teorema 513 Fie (A le) o mulţime ordonată Atunci A este izomorfă cu o mulţime de submulţimi ale lui A (ordonată cu incluziunea) Demonstraţie Pentru fiecare aisinA considerăm Ma=xisinA∣xleasubeA Deoarece pentru a bisinA a le b avem Ma sube Mb deducem că asocierea a rarr Ma pentru aisinA descrie izomorfismul de mulţimi ordonate dorit n Definiţia 514 i) O mulţime ordonată icircn care orice submulţime nevidă a sa are un element iniţial se zice bine ordonată (evident o mulţime bine ordonată este inf-completă şi total ordonată) ii) O mulţime ordonată icircn care orice submulţime total ordonată a sa are un majorant (minorant) se zice inductiv (coinductiv) ordonată
După cum vom vedea icircn sect9 (ℕ le) este un exemplu de mulţime bine ordonată
Icircn cele ce urmează acceptăm că pentru orice mulţime M este verificată axioma alegerii
Există o funcţie s P(M) rarr M aicirc s(S)isinS pentru orice submulţime nevidă S a lui M
Icircn continuare reamintim un rezultat datorat lui Bourbaki şi cacircteva corolare importante ale acestuia (pentru demonstraţii recomandăm cititorului lucrarea [23])
57
Lema 515 (Bourbaki) Dacă (A le) este o mulţime nevidă
inductiv ordonată şi f A rarr A este o aplicaţie aicirc f (a) le a pentru orice aisinA atunci există uisinA aicirc f (u) =u
Corolar 1 (Principiul lui Hansdorf de maximalitate) Orice mulţime ordonată conţine o submulţime total ordonată maximală
Corolar 2 (Lema lui Zorn) Orice mulţime nevidă inductiv (coinductiv) ordonată are cel puţin un element maximal (minimal) Corolar 3 (Principiul elementului maximal (minimal)) Fie (A le) o mulţime inductiv (coinductiv) ordonată şi aisinA Există un element maximal (minimal) ma isin A aicirc a le ma (ma le a)
Corolar 4 (Lema lui Kuratowski) Orice submulţime total ordonată a unei mulţimi ordonate este cuprinsă icircntr-o submulţime total ordonată maximală
Corolar 5 (Teorema lui Zermelo) Pe orice mulţime nevidă A se poate introduce o ordine faţă de care A este bine ordonată
Corolar 6 (Principiul inducţiei transfinite) Fie (A le) o mulţime bine ordonată infinită şi P o proprietate dată Pentru a demonstra că toate elementele mulţimii A au proprietatea P este suficient să demonstrăm că (i) Elementul iniţial 0 al lui A are proprietatea P (ii) Dacă pentru aisinA toate elementele xisinA aicirc xlta au
proprietatea P atunci şi elementul a are proprietatea P
Definiţia 516 Vom spune despre o latice (Lle) că este i) modulară dacă pentru oricare x y z isinL cu z le x
avem x and (y or z) = (x and y) or z ii) distributivă dacă verifică una din următoarele două
condiţii echivalente 1) x and (y or z) = (x and y) or (x and z) 2) x or (y and z) = (x or y) and (x or z) pentru orice x y z isin L
58
Să notăm că există latici ce nu sunt modulare Icircntr-adevăr dacă vom considera laticea notată tradiţional prin N5 1 c b a 0 observăm că a le c pe cacircnd a or (b and c) = a or 0 = a iar (a or b) and c= =1 and c ne a astfel că c and (b or a) ne (c and b) or a deci N5 nu este modulară
Teorema 517 (Dedekind) Pentru o latice L următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) L este modulară (ii) Pentru orice a b cisinL dacă c le a atunci a and(b or c) le le (a and b)or c (iii) Pentru orice a b cisinL avem ((aandc) or b) and c = (aandc) or (bandc) (iv) Pentru orice a b cisinL dacă a le c atunci din a andb =c andb şi aor b= c or b deducem că a = c (v) L nu are sublatici izomorfe cu N5 Demonstraţie Cum icircn orice latice dacă c le a atunci (a and b) or c le a and(b or c) echivalenţa (i) hArr (ii) este imediată (i) rArr (iii) Rezultă din aceea că a and c le c (iii) rArr (i) Fie a b c isin L aicirc a le c Atunci a = a and c deci (a or b) and c = ((a and c) or b) and c = (a and c) or (b and c) = a or (b and c)
59
(i) rArr (iv) Avem a = a or (a and b) = a or (c and b) = a or (b and c) = =(a or b) and c = (c or b) and c = c (iv) rArr (v) Evident (ţinacircnd cont de observaţia de mai icircnainte) (v) rArr (i) Să presupunem că L nu este modulară Există atunci a b c icircn L aicirc a le c iar a or (b and c) ne (a or b) and c Să observăm că bandc lt lta or (b and c) lt (a or b) and c lt aorb b and c lt b lt a or b a or (b and c) le b şi b le (a or b) and c Obţinem icircn felul acesta diagrama Hasse a unei sublatici a lui L izomorfă cu N5 a or b (a or b) and c b a or (b and c) b and c (observacircnd şi că (a or (bandc)) or b = aor ((bandc) or b) = aorb şi ((aorb) and c)and b = ((a or b) and b) and c = b and c ceea ce este absurd n Pe parcursul acestei lucrări vom prezenta mai multe exemple de latici modulare sect 6 Latici distributive Evident orice latice distributivă este modulară Icircn cele ce urmează prin Ld vom nota clasa laticilor distributive iar prin Ld (0 1) clasa laticilor distributive mărginite Exemple 1 Dacă L este un lanţ atunci LisinLd (0 1)
60
2 (ℕ | ) (P (M) sube) isin Ld (0 1) Observaţia 61 Raţionacircnd inductiv după nisinℕ deducem că dacă S1 S2 Sn sunt submulţimi nevide ale unei latici distributive
L atunci ( ) ( )
timestimesisinorand=andor==
n
n
ii
n
iSSfifS 111
Teorema 62 Pentru LisinL următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) L isin Ld (ii) a and (b or c) le (a and b) or (a and c) pentru orice a b c isin L (iii) (a and b) or (b and c) or (c and a) = (a or b) and (b or c) and (c or a) pentru orice a b cisinL (iv) Pentru orice a b cisinL dacă a and c = b and c şi a or c = b or c atunci a = b (v) L nu are sublatici izomorfe cu N5 sau M3 unde M3 are următoarea diagramă Hasse 1 b a c 0 Demonstraţie (i) hArr (ii) Rezultă din aceea că pentru oricare elemente a b c isin L (a and b) or (a and c) le a and (b or c) (i) rArr (iii) Să presupunem că L isin Ld şi fie a b c isin L Atunci (a or b) and (b or c) and (c or a) = (((a or b) and b) or ((a or b) and c)) and (c or a) =
61
=(b or ((a and c) or (b and c))) and (c or a) = (b or (a and c)) and (c or a) = =(b and(c or a)) or ((a and c) and (c or a)) = ((b and c) or (b and a)) or (a and c) = =(a and b) or (b and c) or (c and a) (iii) rArr (i) Deducem imediat că L este modulară deoarece dacă a b c isin L şi a le c (a or b) and c = (a or b) and ((b or c) and c) = (a or b) and (b or orc) and (c or a) = (a and b) or (b and c) or (c and a) = (a and b) or (b and c) or a = =((a and b) or a) or (b and c) = a or (b and c) Cu această observaţie distributivitatea lui L se deduce astfel a and (b or c) = (a and (a or b)) and (b or c) = ((a and (c or a)) and (a or b) and (b or c) = a and (a or b) and (b or c) and (c or a) = a and ((a and b) or (b and c) or (c and a)) = =(a and ((a and b) or (b and c))) or (c and a) = (datorită modularităţii) = =a and (b and c)) or (a and b) or (c and a) = (datorită modularităţii) = =(a and b) or (a and c) (i) rArr (iv) Dacă a and c = b and c şi a or c = b or c atunci a = a and (a or c) = a and (b or c) = (a and b) or (a and c) = (a and b) or (b and c) = b and (a or c) = =b and (b or c) = b (iv) rArr (v) Să admitem prin absurd că atacirct N5 cacirct şi M3 sunt sublatici ale lui L Icircn cazul lui N5 observăm că b and c = b and a = 0 b or c = =b or a = 1 şi totuşi a ne c iar icircn cazul lui M3 b and a = b and c = 0 b or a = b or c = 1 şi totuşi a ne c - absurd (v) rArr (i) Conform Teoremei 11 dacă L nu are sublatici izomorfe cu N5 atunci ea este modulară Cum pentru oricare a b c isin L avem (a and b) or (b and c) or (c and a) le (a or b) and (b or c) and (c or a) să presupunem prin absurd că există a b c isin L aicirc (a and b) or (b and c) or (c and a) lt lt (a or b) and (b or c) and (c or a) Notăm d = (a and b) or (b and c) or (c and a) u = (a or b) and (b or c) and (c or a) aprime = (d or a) and u bprime = (d or b) and u şi cprime = (d or c) and u Diagrama Hasse a mulţimii d aprime bprime cprime u este
62
u
b a c d Cum d aprime bprime cprime usubeL este sublatice dacă vom verifica faptul că elementele d aprime bprime cprime u sunt distincte atunci sublaticea d aprime bprime cprime u va fi izomorfă cu M3 ceea ce va fi contradictoriu cu ipoteza pe care o acceptăm
Deoarece d lt u vom verifica egalităţile aprime or bprime = = bprime or cprime=cprime or aprime = u aprime and bprime = bprime and cprime = cprime and aprime = d şi atunci va rezulta şi că cele 5 elemente d aprime bprime cprime u sunt distincte
Datorită modularităţii lui L avem aprime = d or (a and u) bprime = =d or(b and u) cprime = d or (c and u) iar datorită simetriei este suficient să demonstrăm doar că aprime and cprime = d
Icircntr-adevăr aprime and cprime = ((d or a) and u) and ((d or c) and u) = =(d or a) and (d or c) and u = ((a and b) or (b and c) or (c and a) ora) and (d or c) and u = =((b and c) or a) and (d or c) and u = ((b and c) or a) and ((a and b) or c) and and (a or b) and(b or c) and (c or a) = ((b and c) or a) and ((a and b) or c) = =(b and c) or (a and ((a and b) or c)) = (datorită modularităţii) = =(b and c) or (((a and b) or c) and a)= (b and c) or ((a and b) or (c and a)) = (datorită modularităţii) = d n
63
Corolar 63 O latice L este distributivă dacă şi numai dacă pentru oricare două ideale I J isin I (L) I or J = i or j | i isin I şi j isin J
Demonstraţie Să presupun că L este distributivă Ţinacircnd cont de Propoziţia 512 pentru tisinI or J există i isin I j isin J aicirc t le i or j astfel că t = (t and i) or (t and j) = iprime or jprime cu iprime = t and i isin I iar jprime = t and j isin J Pentru a proba afirmaţia reciprocă să presupun prin absurd că L nu este distributivă şi să arătăm că există I JisinI (L) ce nu verifică ipoteza Conform Teoremei 62 L conţine elementele a b c care icircmpreună cu 0 şi 1 formează laticile N5 sau M3 Fie I = (b] J = (c] Cum a le b or c deducem că aisinI or J Dacă am avea a=i or j cu iisinI şi jisinJ atunci j le c deci j le a and c lt b adică jisinJ şi astfel a = i or j isinI - absurd n Corolar 64 Fie LisinLd iar I JisinI(L) Dacă I andJ şi IorJ sunt ideale principale atunci I şi J sunt ideale principale
Demonstraţie Fie I and J = (x] şi I or J = (y] Conform Corolarului 63 y = i or j cu iisinI şi jisinJ Dacă c = x or i şi b = x or j atunci cisinI şi bisinJ Să probăm că I = (c] şi J = (b] Dacă prin absurd Jne(b] atunci există aisinI a gt b iar x a b c y este izomorfă cu N5 - absurd Analog dacă I ne (c] găsim o sublatice a lui L izomorfă cu M3 ceea ce este din nou absurd n Corolar 65 Fie L o latice oarecare şi x yisinL Atunci (x] and (y]=(x and y] iar (x or y]sube(x] or (y] dacă LisinLd atunci (x] or (y] = (x or y] Demonstraţie Egalitatea (x] and (y] = (x and y] se probează imediat prin dublă incluziune iar incluziunea (x or y]sube(x] or (y] rezultă
64
din Propoziţia 512 Dacă LisinLd atunci conform Corolarului 63 (x] or (y] = i or j | i isin (x] şi j isin (y] = i or j | i le x şi j le y de unde rezultă imediat că (x] or (y] sube (x or y] deci (x or y]=(x] or (y] n sect 7 Complement şi pseudocomplement icircntr-o latice Algebre Boole Definiţia 71 Fie L o latice mărginită Vom spune că elementul aisinL are un complement icircn L dacă există aprimeisinL aicirc a and aprime = 0 şi a or aprime = 1 (aprime se va numi complementul lui a) Vom spune despre laticea L că este complementată dacă orice element al său are un complement Dacă L este o latice oarecare şi a b isinL a le b prin complementul relativ al unui element xisin[a b] din intervalul [a b] icircnţelegem acel element xprimeisin[a b] (dacă există) pentru care x and xprime = a şi x or xprime = b Vom spune despre o latice L că este relativ complementată dacă orice element al său admite un complement relativ icircn orice interval din L ce-l conţine Lema 72 Dacă LisinL(0 1) atunci un element al lui L poate avea cel mult un complement
Demonstraţie Fie aisinL iar aprime aprimeprime doi complemenţi ai lui a Atunci a and aprime = a and aprimeprime = 0 şi a or aprime = a or aprimeprime = 1 de unde aprime = aprimeprime (conform Teoremei 62 (iv)) n Lema 73 Orice latice L modulară şi complementată este relativ complementată
65
Demonstraţie Fie b c isinL b le c a isin[b c] şi aprime isin L com- plementul lui a icircn L Dacă vom considera aprimeprime = (aprime or b) and c isin [b c] atunci a and aprimeprime= a and [(aprimeor b) and c] = [(a and aprime)or (a and b)] and c = (a and b) and c = =b and c= b iar a or aprimeprime= a or[(aprimeor b) and c] = (a or aprimeor b) and (a or c) = 1 and c = c adică a este complementul relativ al lui a icircn [b c] n
Lema 74 (De Morgan) Fie LisinLd(0 1) a bisinL avacircnd complemenţii aprime bprime isinL Atunci a and b a or b au complemenţi icircn L şi anume (a and b)prime = aprime or bprime iar (a or b)prime = aprime and bprime
Demonstraţie Conform Lemei 72 şi principiului dualizării este suficient să probăm că (a and b) and (aprime or bprime) = 0 iar (a and b) or (aprime or bprime) = 1 Icircntr-adevăr (a and b) and (aprime or bprime) = (a and b and aprime) or (a and b and bprime) = 0 or 0 = 0 iar (a and b) or (aprime or bprime) = (a or aprime or bprime) and (b or aprime or bprime) = 1 and 1 = 1 n Observaţia 75 Dacă LisinLd (0 1) şi aisinL are un complement aprimeisinL atunci aprime este cel mai mare element al lui L cu proprietatea că a and aprime=0 (adică aprime = sup (x isin L | a and x = 0) Această observaţie ne conduce la Definiţia 76 Fie L o inf-semilatice cu 0 şi aisinL Un element aisinL se zice pseudocomplementul lui a dacă a= sup (x isin L | a and x = 0) Dacă orice element al lui L are pseudocomplement vom spune că inf - semilaticea L este pseudocomplementată O latice L se zice pseudocomplementată dacă privită ca inf-semilatice este pseudocomplementată Lema 77 Dacă L este o latice modulară mărginită atunci orice element ce are un complement aprime icircl va avea pe aprime şi ca pseudocomplement
66
Demonstraţie Icircntr-adevăr fie aisinL aprime un complement al lui a şi bisinL aicirc aprime le b şi b and a = 0 Atunci b = b and 1 = b and (aprime or a) = aprime or (b and a) = aprime or 0 = aprime n Teorema 78 Fie LisinLd (0) pseudocomplementată R (L) = a | a isin L iar D (L) = a isin L | a = 0 Atunci pentru a b isinL avem 1) a and a = 0 iar a and b = 0 hArr a le b 2) a le b rArr a ge b 3) a le a 4) a = a 5) (a or b) = a and b 6) (a and b) = a and b 7) a and b = 0 hArr a and b = 0 8) a and (a and b) = a and b 9) 0 = 1 1 = 0 10) a isin R (L) hArr a = a 11) a b isin R (L) rArr a and b isin R (L) 12) sup )(LR a b = (a or b) = (a and b)
13) 0 1 isin R (L) 1 isin D (L) şi R (L) cap D (L) = 1 14) a b isin D (L) rArr a and b isin D (L) 15) a isin D (L) şi a le b rArr b isin D (L) 16) a or a isin D (L) Demonstraţie 1) Rezultă din definiţia lui a Echivalenţa rezultă din definiţia lui b 2) Deoarece b and b = 0 atunci pentru a le b deducem că a and b= 0 adică b le a 3) Din a and a = 0 deducem că a and a = 0 adică a le (a) = a 4) Din a le a şi 2) deducem că a le a şi cum din 3) deducem că a le (a) = a rezultă că a = a
67
5) Avem (a or b) and (a and b) = (a and a and b) or (b and a and b) = =0 or 0 = 0 Fie acum x isin L aicirc (a or b) and x = 0 Deducem că (a and x)or (b and x) = 0 adică a and x = b and x = 0 de unde x le a x le b adică x le a and b Restul afirmaţiilor se probează analog n Observaţia 79 1 Elementele lui R (L) se zic regulate iar cele ale lui D (L) dense 2 Ţinacircnd cont de 4) şi 10) deducem că R (L) = a isin L a = a 3 Din 14) şi 15) deducem că D (L) isin F (L) Teorema 710 Fie LisinLd şi aisinL Atunci fa L rarr (a] times [a) fa (x) = (x and a x or a) pentru xisinL este un morfism injectiv icircn Ld Icircn cazul icircn care LisinLd (0 1) atunci fa este izomorfism icircn Ld (0 1) dacă şi numai dacă a are un complement Demonstraţie Faptul că fa este morfism de latici este imediat Fie acum x y isinL aicirc fa (x) = fa (y) adică x and a = y and a şi x or a = =y or a Cum LisinLd atunci x = y (conform Teoremei 62) deci fa este ca funcţie o injecţie adică fa este morfism injectiv icircn Ld Să presupunem acum că LisinLd (0 1) Dacă fa este izomorfism icircn Ld (0 1) atunci pentru (0 1) isin (a] times [a) va exista xisinL aicirc f (x) = (0 1) adică a and x = 0 şi a or x = 1 de unde x = aprime Reciproc dacă aprime isin L este complementul lui a pentru (u v) isin(a] times [a) alegacircnd x = (uoraprime) andv deducem imediat că fa (x) = =(u v) adică fa este şi surjecţie deci izomorfism icircn Ld (0 1) n Definiţia 711 Numim latice Boole orice latice complementată din Ld (0 1) Exemple 1 Lanţul trivial 1 = empty ca şi 2 = 0 1 (icircn care 0prime = 1 şi 1prime = 0) De fapt 1 şi 2 sunt singurele lanţuri ce sunt latici Boole
68
2 Pentru orice mulţime M (P(M) sube) este o latice Boole icircn care pentru orice X sube M Xprime = M X = CM (X) 3 Fie nisinℕ n ge 2 iar Dn mulţimea divizorilor naturali ai lui n Mulţimea ordonată (Dn ∣ ) este latice Boole hArr n este liber de pătrate (icircn care caz pentru p q isin Dn p and q = (p q) p or q =
= [p q] 0 = 1 1 = n iar pprime = n p) 4 Fie M o mulţime iar 2M = f M rarr 2 Definim pe 2M relaţia de ordine f le g hArr f (x) le g (x) pentru orice xisinM Astfel (2M le) devine latice Boole (icircn care caz pentru f isin 2M fprime = 1 - f) Definiţia 712 Din punctul de vedere al Algebrei Universale prin algebră Boole icircnţelegem o algebră (B and or prime 0 1) de tipul (2 2 1 0 0) (cu and şi or operaţii binare prime o operaţie unară iar 0 1 isin B operaţii nule) aicirc B1 (B and or) isin Ld B2 Sunt verificate identităţile x and 0 = 0 x or 1 = 1
x and xprime = 0 x or xprime = 1 Icircn cele ce urmează prin B vom desemna clasa algebrelor Boole Dacă B1 B2 isin B f B1 rarr B2 va fi morfism de algebre Boole dacă f este morfism icircn Ld (0 1) şi icircn plus f (xprime) = (f (x))prime pentru orice x isin B1
Morfismele bijective din B se vor numi izomorfisme Propoziţia 713 (Glivenko) Fie (L and 0) o inf-semilatice pseudocomplementată iar R (L) = a | a isin L Atunci cu ordinea indusă de pe L R (L) devine algebră Boole Demonstraţie Ţinacircnd cont de Teorema 78 deducem că L este mărginită (1 = 0) iar pentru a b isin R (L) a and b isinR (L) iar
69
sup R (L) a b = (a and b) astfel că R (L) este latice mărginită şi sub-inf-semilatice a lui L Deoarece pentru aisinR (L) a or a = (a and a) = 0 = 1 şi a and a = 0 deducem că a este complementul lui a icircn R (L) Mai rămacircne de probat faptul că R (L) este distributivă Pentru x y z isin R (L) x and z le x or (y and z) şi y and z le x or (y and z) deci x and z and [x or (y and z)] = 0 şi (y and z) and [x or (y and z)] = 0 astfel că z and [x or (y and z)] le x y adică z and [x or (y and z)] le x and y şi z and [x or (y and z)] and (x and y) = 0 ceea ce implică z and (x and y) le le[x or (y and z)] Cum partea stacircngă a acestei ultime inegalităţi este z and (x or y) iar partea dreaptă este x or (y and z) (icircn R (L)) deducem că z and (x or y) le x or (y and z) adică R (L) este şi distributivă n Lema 714 Fie B isinB şi a bisinB aicirc a and b = 0 şi a or b = 1 Atunci b = aprime
Demonstraţie Rezultă imediat din Lema 72 ∎ Lema 715 Dacă B isinB şi a b isin B atunci (aprime)prime = a (a and b)prime=aprime or bprime iar (a or b)prime = aprime and bprime
Demonstraţie Rezultă imediat din Lema 74 ∎ Propoziţia 716 Dacă M este o mulţime oarecare atunci algebrele Boole 2M şi P(M) sunt izomorfe Demonstraţie Fie XisinP(M) şi Xα Mrarr2
( )
isin
notin=
Xxpentru
XxpentruxX 1
0α
Se verifică imediat că asocierea X rarr αX defineşte un
izomorfism de algebre Boole α P(M) rarr 2M n Pentru B isin B şi aisinB vom nota I (a) = [0 a]
70
Propoziţia 717 Pentru orice a isinB (i) (I (a) and or 0 a) isinB unde pentru x isinI(a) x = xprime and a (ii) αa B rarr I (a) αa (x) = a and x pentru xisinB este un morfism surjectiv din B (iii) B asymp I (a) times I (aprime) Demonstraţie (i) I (a) isin Ld (0 1) (ca sublatice a lui B) Pentru xisinI (a) x and x= x and (xprime and a) = (x and xprime) and a = 0 and a = 0 iar x or xlowast = =x or (xprime and a)= (x or xprime) and (x or a) = 1 and (x or a) = x or a = a (ii) Dacă x y isin B atunci αa (x or y) = a and (x or y) = =(a and x) or (a and y)= αa (x) or αa (y) αa (x and y) = a and (x and y) = =(a and x) and (a and y) = αa (x) and αa (y) αa (xprime) = a and xprime =
=(a and aprime) or (a and xprime) = a and (aprime or xprime) =a and (a and x)prime = (αa (x)) αa (0) = 0 iar αa (1) = a adică αa este morfism surjectiv icircn B
(iii) Se verifică uşor că α B rarr I (a) times I (aprime) α (x) = =(a and x aprime and x) pentru x isin B este morfism icircn B Pentru (y z) isin I (a) times I (aprime) cum α (y or z) = (a and (y or z) aprime and (y or z)) = ((a and y) or (a and z) (aprime and y)or (aprime and z)) = (y or 0 0 or z) = (y z) deducem că α este surjecţie Fie acum x1 x2 isin B aicirc α (x1) = α (x2) Atunci a and x 1 = a and x2 şi aprime and x1 = aprime and x2 deci (a and x1)or (aprime and x1) = = (a and x2) or (aprime and x2) hArr (a or aprime) and x1 = (a or aprime) and x2 hArr 1 and x1 = 1 and x2 hArr x1 = x2 de unde concluzia că α este izomorfism icircn B n
sect 8 Produsul direct (suma directă) a unei familii de mulţimi Definiţia 81 Fie (Mi)iisinI o familie nevidă de mulţimi Numim produsul direct al acestei familii un dublet (P (pi)iisinI) unde P este o
71
mulţime nevidă iar (pi)iisinI este o familie de funcţii pi P rarr Mi pentru orice iisinI aicirc este verificată următoarea proprietate de universalitate
Pentru oricare alt dublet (P (pi )iisinI) format din mulţimea P şi familia de funcţii piPrarrMi (i isinI) există o unică funcţie uPrarrP aicirc pi∘u=pi pentru orice iisinI Teorema 82 Pentru orice familie nevidă de mulţimi (Mi)iisinI există produsul său direct care este unic pacircnă la o bijecţie Demonstraţie Unicitatea produsului direct Dacă
(P (pi)iisinI) şi (P (pi )iisinI) sunt două produse directe ale familiei (Mi)iisinI conform proprietăţii de universalitate există uPrarrP şi vPrarrP a icirc pi∘u=pi şi pi∘v = pi pentru orice iisinI
Deducem imediat că pi(uv)=pi iar pi(vu)=pi pentru orice iisinI Cum şi pi1P=pi pi 1P =pi pentru orice iisinI datorită unicităţii din proprietatea de universalitate deducem că uv = 1p şi vu=1P adică u este bijecţie Existenţa produsului direct Fie P=fIrarr ( )U
Iii ifM
isin isinMi
pentru orice iisinI iar pi P rarr Mi pi (f) = f (i) pentru iisinI şi fisinP
Se probează imediat că dubletul (P (pi)iisinI) verifică proprietatea de universalitate a produsului direct de mulţimi (Mi)iisinI n
Observaţia 83 Icircn cele ce urmează dubletul (P (pi)iisinI) ce reprezintă produsul direct al familiei de mulţimi (Mi)iisinI se va nota prin prodisinIi
iM
Pentru jisinI pj prodisinIi
iM rarrMj poartă numele de a j-a proiecţie
De multe ori prin produs direct vom icircnţelege doar mulţimea subiacentă P (neglijacircnd deci menţionarea proiecţiilor)
72
Deoarece orice funcţie fIrarrUIi
iMisin
este determinată de f(i)
pentru orice iisinI notacircnd f (i) = xi isin Mi vom scrie formal
prodisinIi
iM =(xi)iisinI∣xiisinMi pentru orice iisinI
Astfel icircn cazul icircn care I este finită I=1 2 n prodisinIi
iM
coincide de fapt cu M1 timestimes Mn definit icircn sect1 Astfel pjprod
isinIiiM rarrMj este definită prin pj ((xi)iisinI)=xj jisinI Fie
acum (Mi)iisinI şi (Mi )iisinI două familii nevide de mulţimi iar (fi)iisinI o familie de aplicaţii fi MirarrMi (iisinI)
Aplicaţia f prodprodisinisin
primerarrIi
iIi
i MM f ((xi)iisinI)=(fi (xi))iisinI pentru orice
(xi)iisinIisin prodisinIi
iM poartă numele de produsul direct al familiei (fi)iisinI de
aplicaţii vom nota prodisin
=Ii
iff Aplicaţia f este unică cu proprietatea că
pif=fipi pentru orice iisinI Se verifică imediat că prod
isin
=prodisin Ii
ii MIi
M 11 şi că dacă mai avem o
familie de mulţimi (Mi)iisinI şi o familie (fi)iisinI de aplicaţii cu fi Mi rarrMi (iisinI) atunci
prime=
prime prodprodprod
isinisinisin Iii
Iii
Iiii ffff oo
Propoziţia 84 Dacă pentru orice iisinI fi este o funcţie injectivă (surjectivă bijectivă) atunci prod
isin=
Iiiff este injectivă
(surjectivă bijectivă)
73
Demonstraţie Icircntr-adevăr să presupunem că pentru orice iisinI fi este injectivă şi fie α βisinprod
isinIiiM aicirc f (α)=f (β)
Atunci pentru orice jisinI f (α)(j)=f (β)(j) hArrfj (α (j))= =fj (β (j)) Cum fj este injectivă deducem că α (j)=β (j) iar cum j este oarecare deducem că α=β adică f este injectivă Să presupunem acum că pentru orice iisinI fi este surjectivă şi fie φisinprod
isin
primeIi
iM adică φIrarrUIi
iMisin
prime şi are proprietatea că φ(j)isin Mjacute
pentru orice jisinJ Cum f i este surjecţie există xjisinMj aicirc fj (xj )=φ (j) Dacă vom considera ψIrarrU
IiiM
isin definită prin ψ (j)=xj pentru orice
jisinI atunci f (ψ)=φ adică f este surjectivă ∎ Icircn cadrul teoriei mulţimilor noţiunea duală celei de produs direct al unei familii de mulţimi este aceea de sumă directă (vom face mai ticircrziu precizări suplimentare despre noţiunea de dualizare ndash vezi Definiţia 14 de la Capitolul 5) Definiţia 85 Numim sumă directă a familiei (nevide) (Mi)iisinI de mulţimi un dublet (S (α i)iisinI ) format dintr-o mulţime nevidă S şi o familie de aplicaţii αiMirarrS (iisinI) ce verifică următoarea proprietate de universalitate Pentru oricare altă mulţime S şi familie (αi)iisinI de aplicaţii cu αiMirarrS (iisinI) există o unică aplicaţie uSrarrS aicirc uαi=αi pentru orice iisinI
Teorema 86 Pentru orice familie (Mi)iisinI de mulţimi există şi este unică pacircnă la o bijecţie suma sa directă Demonstraţie Unicitatea sumei directe se probează analog ca icircn cazul produsului direct Pentru a proba existenţa pentru fiecare iisinI considerăm
iM =Mitimesi şi S= UIi
iMisin
(observăm că pentru i ne j ji MM I =empty)
74
Definind pentru orice iisinI αi Mi rarr S prin αi (x) = (x i) (xisinMi) se
verifică imediat că dubletul (S (α i)iisinI ) este suma directă a familiei (Mi)iisinI n Observaţia 87 Suma directă a familiei (Mi)iisinI o vom nota prin C
IiiM
isin (ea mai poartă numele şi de reuniune disjunctă a familiei
(Mi)iisinI ) Aplicaţiile (α i)iisinI care sunt injecţii se vor numi injecţiile canonice (ca şi icircn cazul produsului direct de multe ori cacircnd vorbim despre suma directă vom menţiona doar mulţimea subiacentă injecţiile canonice subacircnţelegicircndu-se) Ca şi icircn cazul produsului direct dacă avem o familie de aplicaţii (f i)iisinI aplicaţii cu fi Mi rarr Mprimei (iisinI) atunci aplicaţia f primerarr
isinisinCC
Iii
Iii MM definită prin f((x i))=(fi(x) i) pentru orice iisinI şi
xisinMi este unica aplicaţie cu proprietatea că αifi=fαi pentru orice iisinI vom nota C
Iiiff
isin= şi vom numi pe f suma directă a aplicaţiilor
(f i)iisinI Se probează imediat că
CCIi
ii MIi
Misin
=isin
11 iar dacă mai avem o
familie (f i)iisinI cu fi Mi rarrMi (iisinI) atunci
prime=
prime
isinisinisinCCC oo
Iii
Iii
Iiii ffff
Ca şi icircn cazul produsului direct al familiei de funcţii (f i)iisinI avem şi pentru C
Iiiff
isin= următorul rezultat
Propoziţia 88 Dacă pentru orice iisinI fi este o funcţie injectivă (surjectivă bijectivă) atunci C
Iiiff
isin= este injectivă
(surjectivă bijectivă)
75
sect 9 Numere cardinale Operaţii cu numere cardinale Ordonarea numerelor cardinale
Definiţia 91 Dacă A şi B sunt două mulţimi vom spune
despre ele că sunt cardinal echivalente (sau mai simplu echivalente) dacă există o bijecţie f ArarrB Dacă A şi B sunt echivalente vom scrie AsimB (icircn caz contrar vom scrieA≁B)
Propoziţia 92 Relaţia de simrsquorsquo este o echivalenţă pe clasa
tuturor mulţimilor Demonstraţie Pentru orice mulţime A AsimA căci funcţia
1AArarrA este o bijecţie Dacă A şi B sunt două mulţimi iar AsimB atunci există f ArarrB o bijecţie Cum şi f -1 BrarrA este bijecţie deducem că BsimA adică relaţia simrsquorsquo este şi simetrică Pentru a proba şi tranzitivitatea relaţiei simrsquorsquo fie A B C mulţimi aicirc AsimB şi BsimC adică există f ArarrB şi g BrarrC bijecţii Cum g∘f A rarrC este bijecţie deducem că AsimC ∎
Teorema 93 (Cantor) Pentru orice mulţime A A≁P(A) Demonstraţie Să presupunem prin absurd că AsimP(A) adică există o bijecţie fArarrP(A) Dacă vom considera mulţimea B=xisinA∣xnotinf(x) atunci cum BisinP(A) şi f este icircn particular surjecţie deducem că există aisinA aicirc B=f(a) Dacă aisinB atunci anotinB - absurd pe cacircnd dacă anotinB atunci anotinf(a) deci aisinB ndash din nou absurd ∎
Teorema 94 (Cantor Bernstein) Fie A0 A1 A2 trei mulţimi aicirc A2subeA1subeA0 Dacă A0simA2 atunci A0simA1
76
Demonstraţie Cum A0simA2 atunci există o bijecţie fA0rarrA2 Dacă vom considera mulţimile Ai=f(Ai-2) pentru ige3 atunci icircn mod evident An+1subeAnsubesubeA2subeA1subeA0 (ţinacircnd cont de faptul că A2subeA1subeA0) Să considerăm mulţimea A= II
10 gege=
ii
ii AA şi să
demonstrăm că
(1) A0 = ( ) UU AAAi
ii
minusge
+0
1 Incluziunea de la dreapta la
stacircnga este evidentă Pentru a o proba pe cealaltă fie xisinA0 Dacă xisinA
atunci xisin ( ) UU AAAi
ii
minusge
+0
1 Dacă xnotinA există iisinℕ aicirc xnotinAi şi cum
xisinA0 ige1 Fie deci nge1 cel mai mic număr natural pentru care xnotinAn
Atunci xisinAn-1 şi deci xisinAn-1-An de unde xisin ( ) UU AAAi
ii
minusge
+0
1
Astfel avem probată şi incluziunea de la stacircnga la dreapta rezultacircnd astfel egalitatea (1)
Analog se probează şi egalitatea (2) A1= ( ) UU AAAi
ii
minusge
+1
1
Dacă vom considera familiile de mulţimi (Bi) iisinI şi (Ci) iisinI definite astfel B0=A şi Bi= Ai-1-Ai pentru ige1
C0=A şi
minus
minus=
minus
++
paripentruAA
imparipentruAAC
ii
iii
1
21
atunci se observă imediat că pentru i jisinℕ inej rArr BicapBj=CicapCj=empty iar din (1) şi (2) deducem că
(3) A0= U0gei
iB şi A1=U0gei
iC
Considerăm de asemenea şi familia de funcţii (fi) ige0 cu fi BirarrCi definită astfel
77
=
=
minus
minus
minus
minus
imparipentruf
paripentru
ipentru
f
ii
ii
AA
AA
A
i
1
01
1
1
(să observăm că pentru i impar dacă xisinAi-1-Ai rArr f(x)isin Ai+1-Ai+2 adică fi este corect definită)
Dacă vom arăta că pentru orice iisinℕ fi este bijectivă (suficient doar pentru i impar) atunci ţinacircnd cont de (3) vom deduce imediat că A0simA1 Fie deci i impar şi fi=
ii AAf minusminus1 Deoarece f este bijectivă
deducem imediat că fi este injectivă Pentru a proba surjectivitatea lui fi fie yisinAi+1-Ai+2 adică yisin Ai+1 şi ynotinAi+2 Cum Ai+1=f (Ai-1 ) deducem că există xisinAi-1 aicirc y=f(x) şi deoarece ynotinAi+2 deducem că xnotinAi adică xisinAi-1-Ai Astfel y=fi (x) adică fi este şi surjectivă deci bijectivă Aşa după cum am observat anterior se poate construi imediat o bijecţie de la A0 la A1 adică A0simA1 şi cu aceasta teorema este complet demonstrată ∎
Corolarul 95 Fie A B Aʹ Bʹ mulţimi aicirc AʹsubeA BʹsubeB şi AsimBʹ iar BsimAʹ Atunci AsimB
Demonstraţie Cum AsimBʹ există o bijecţie f ArarrBʹ astfel că dacă vom considera Bʹʹ=f(Bʹ) avem că AʹsimBʹʹ Cum BsimAʹ deducem că BʹʹsimB Obţinem astfel că BʹʹsubeBʹsubeB şi BʹʹsimB Conform Teoremei 94 BʹsimB şi cum BʹsimA deducem că BsimA adică AsimB ∎
Definiţia 96 Dacă A este o mulţime prin numărul cardinal
al lui A icircnţelegem clasa de echivalenţă a lui A (notată A ) relativă la relaţia de echivalenţă sim
Deci Bisin AhArrAsimB
Vom numi secţiuni ale lui ℕ mulţimile de forma Sn=0 1 n-1 formate din n elemente (nisinℕ) convenim să notăm pentru
78
nisinℕ n= nS Convenim de asemenea să notăm 0=cardinalul mulţimii vide şi prin ( )zeroalef0χ cardinalul mulţimii numerelor naturale ℕ
Icircn continuare vom defini operaţiile clasice cu numere cardinale suma produsul şi ridicarea la putere
Definiţia 97 Fie (mi) iisinI o familie de numere cadinale unde mi= iM pentru orice iisinI Definim suma (respectiv produsul)
familiei (mi) iisinI prin egalitatea CIi
iIi
i Mmisinisin
=sum ( respectiv
prodprodisinisin
=Ii
iIi
i Mm ) Dacă I este o mulţime finită I=1 2 n vom scrie
sumisinIi
im =m1++mn (respectiv prodisinIi
im = m1 mn )
Observaţia 98 Din Propoziţiile 88 şi respectiv 87 deducem că Definiţia 97 este corectă ( icircn sensul că sum
isinIiim nu depinde de modul
de alegere a mulţimilor Mi pentru care mi= iM )
Definiţia 99 Fie m= M şi n= N două numere cardinale Definim nm ca fiind numărul cardinal al mulţimii Hom (M N)=f MrarrN
Dacă mai avem două mulţimi Macuteşi Nacute aicirc m= M prime şi n= N prime
atunci există două bijecţii f MrarrMacute şi g NrarrNacute Se verifică imediat
că φHom (M N) rarrHom (Macute Nacute) definită prin φ (α )= g ∘ α ∘ f -1
pentru orice αisinHom (M N) este bijecţie de unde deducem că Definiţia 99 este corectă
Observaţia 910 Principalele proprietăţi ale operaţiilor de adunare icircnmulţire şi ridicare la putere a numerelor cardinale vor fi puse icircn evidenţă icircntr-o viitoare lucrare sub formă de exerciţii propuse
Definiţia 911 Dacă m= M şi n= N vom spune că m este mai mic sau egal cu n (sau că n este mai mare sau egal cu m) şi vom scrie mlen dacă există o submulţime NacutesubeN aicirc MsimNacute
79
Vom spune că m este strict mai mic decacirct n ( sau că n este strict mai mare ca m ) şi vom nota m lt n dacă mlen şi mnen
Observaţia 912 Să presupunem că avem mulţimile M N P Q aicirc MsimP şi NsimQ şi să mai presupunem că există NacutesubeN aicirc MsimNacute Considerăm bijecţia f NrarrQ şi să notăm cu Qacute=f (Nacute) Deducem că NacutesimQacute de unde PsimQacute adică Definiţia 911 este corectă ( icircn sensul că definirea relaţiei le nu depinde de alegerea reprezentanţilor )
Propoziţia 913 Fie m n p numere cardinale Atunci (i) mlem (ii) m≮m (iii) mlen şi nlem rArr m=n (iv) mlen şi nlep rArr mlep (v) m lt n şi n lt p rArrm lt p Demonstraţie (i) şi (ii) sunt evidente (iii) Rezultă din Corolarul 95
(iv) Să presupunem că m= M n= N p= P Din ipotezăm
avem că există NacutesubeN şi PacutesubeP aicirc MsimNacute şi NsimPacute adică avem
bijecţia f NrarrPacute Dacă notăm Prdquo=f (Nacute) evident că NacutesimP deci
MsimP de unde deducem că mlep
(v) Mai trebuie să probăm că dacă mnep atunci M≁P Dacă
MsimP atunci NacutesimP deci plen Cum nlep atunci din (iii) deducem că
n=p - absurd ∎ Observaţia 914 Ca şi icircn cazul operaţiilor cu numere cardinale
alte proprietăţi legate de compararea numerelor cardinale le vom pune icircn evidenţă sub formă de exerciţii propuse icircntr-o viitoare lucrare
Fie acum m= M şi φ Hom (M 0 1)rarrP(M) definită prin
φ(f)=f-1 (1) pentru orice f Mrarr0 1 Se probează imediat că φ este
80
o bijecţie de unde deducem că P(M) sim Hom (M 0 1) adică
( )MP =2m Din acest ultim rezultat şi Teorema 9 3 deducem
Corolarul 9 15 Dacă m este un număr cardinal atunci
m lt 2 m Acest Corolar ne arată că pentru un număr cardinal m obţinem
următorul şir strict crescător de numere cardinale 222222 ltltlt
mm
Cardinalul 02χ icircl vom nota prin c şi icircl vom numi puterea continuului
sect10 Mulţimi numărabile Mulţimi finite şi mulţimi infinite
Definiţia 101 Vom spune despre o mulţime M că este numărabilă dacă M simℕ adică 0χ=M Dacă 0χleM vom spune că M este cel mult numărabilă icircn caz contrar spunem că M este nenumărabilă
Propoziţia 102 Dacă M şi P sunt două mulţimi numărabile disjuncte atunci McupP este numărabilă
Demonstraţie Cum M şi P sunt numărabile avem două bijecţii
fℕrarrM şi gℕrarrP Se probează imediat că hℕrarrMcupP
h(n)=
+
imparestendacang
parestendacanf
21
2
este bijecţie de unde concluzia că McupP este numărabilă∎
Corolar 103 O reuniune finită de mulţimi numărabile disjuncte este numărabilă
81
Lema 104 Funcţia numărare diagonală f ℕtimesℕrarrℕ
definită pentru (x y)isinℕtimesℕ prin f(x y) = ( )( ) xyxyx+
+++21 este
bijectivă Demonstraţie Să arătăm la icircnceput că dacă (x y)
(xacute yacute)isinℕtimesℕ şi f (x y)=f (xacute yacute) atunci x=xacute şi y=yacute Să presupunem prin absurd că xnexacute (de exemplu x gt xacute adică
x=xacute+r cu risinℕ) Obţinem atunci egalitatea
( )( ) ( )( )21
21 yxyxryrxyrx prime+prime+prime+prime
=+++prime+++prime
de unde deducem că ( )( ) ( )( )yxyxyrxyrx prime+prime+prime+primelt++prime+++prime 11
şi astfel yacutegtr+y Alegacircnd yacute=r+y+s cu sisinℕ obţinem că ( ) ( )( )
21
21 +++
=+minus szszrzz unde z=xacute+r+y+1 lucru absurd
deoarece ( ) ( ) ( )le
+=+
minuslt+
minus21
21
21 zzzzzrzz ( )( )
21minus++ szsz
Prin urmare x=xacute iar egalitatea f (x y)=f (xacute yacute) devine
( )( ) ( )( )21
21 yxyxyxyx prime+prime+prime+prime
=+prime++prime
de unde obţinem imediat că y=yacute adică f este injectivă Pentru a proba surjectivitatea lui f vom arăta prin inducţie
matematică că pentru orice nisinℕ există x yisinℕ aicirc f (x y)=n Avem că 0=f (0 0) şi să presupunem că n=f (x y ) cu x yisinℕ
Dacă yisinℕ avem n+1=f (x y)+1= ( )( )21 yxyx +++ +x+1=
=f(x+1 y-1) pe cacircnd dacă y=0 avem
n+1= ( ) 12
1++
+ xxx = ( )( )2
21 ++ xx =f (0 x+1)
Dacă x=y=0 atunci n=0 deci n+1=1=f (0 1) ∎
82
Corolar 105 000 χχχ =sdot Propoziţia 106 ℤ ℤ şi ℚ sunt mulţimi numărabile Demonstraţie Se probează imediat că fℤrarrℕ
( )
ltminusminus
ge=
012
02
xdacax
xdacaxxf
şi gℤrarrℤ ( )
lt
ge+=
0
01
xdacax
xdacaxxg
sunt bijective Să probăm acum că şi ℚ este numărabilă Cum ℕsubeℚ
deducem că 0χgeQ Să considerăm fℤtimesℤrarrℚ ( )yxyxf = pentru
orice x yisinℤtimesℤ Cum f este surjectivă conform Propoziţiei 38 de la Capitolul 1 există gℚrarrℤtimesℤ aicirc =gf o 1ℚ Conform Propoziţiei 37 de la Capitolul
1 deducem că g este injectivă adică 000 χχχ =sdot=timesle ZZQ de
unde egalitatea 0χ=Q adică ℚ este numărabilă ∎
Propoziţia 107 Mulţimea ℝ a numerelor reale este nenumărabilă
Demonstraţie Deoarece f ℝrarr(0 1) ( ) xarctgxfπ1
21
+=
este bijectivă este suficient să arătăm că intervalul (0 1) nu este o mulţime numărabilă iar pentru aceasta să arătăm că orice funcţie f ℕrarr(01) nu este surjectivă ( procedeul diagonal al lui Cantor )
Pentru fiecare n isinℕ putem scrie pe f (n) ca fracţie zecimală f (n)=0 a n 1 a n 2 a n n cu aij isin0 1 9
Dacă vom considera bisin(01) b=0 b1 b2 b n
83
unde pentru orice kisinℕ bknotin0 9 a k k atunci bnotinIm(f) adică f nu este surjectivă ∎
Definiţia 108 Vom spune despre o mulţime M că este infinită (i) icircn sens Dedekind dacă există Msub M aicirc MsimM (ii) icircn sens Cantor dacă conţine o submulţime numărabilă (iii) icircn sens obişnuit dacă M ≁Sn pentru orice nisinℕ (unde Sn=1 2 n)
Teorema 109 Cele trei definiţii ale mulţimilor infinite din cadrul Definiţiei 108 sunt echivalente două cacircte două
Demonstraţie (i)rArr(ii) Fie M o mulţime infinită icircn sens Dedekind atunci există Msub M şi o bijecţie fMrarrM Cum Msub M există x0isinM aicirc x0notinM Construim prin recurenţă şirul de elemente x1=f (x0) x2=f (x1 ) xn=f (xn-1) şi să arătăm că funcţia φℕrarrM φ(n)=xn pentru orice nisinℕ este injectivă Pentru aceasta vom demonstra că dacă n nisinℕ nnen atunci φ (n)neφ (n) Vom face lucrul acesta prin inducţie matematică după n
Dacă n=0 atunci n0ne de unde φ (0)=x0 şi φ (n)= ( )1minusprimenxf isin isinM şi cum φ (0)= x0 notin M deducem că φ (n)neφ (0) Să presupunem acum că pentru orice nnem φ (n)neφ (m) şi să alegem acum nne n+1 Dacă n0= atunci φ (n)=φ (0)= x0 notin M şi xn+1=f (xn ) isin M deci φ (n+1)neφ (n) Dacă n0ne atunci φ (n)= ( )1minusprimenxf şi φ (n+1)=f (xn) Cum n1-nen atunci 1minusprimenx ne xn şi cum f este injectivă deducem că
( )1minusprimenxf nef (xn) adică φ (n)neφ (n+1) Rezultă deci că φ este injectivă
şi deci φ (ℕ ) sube M este o submulţime numărabilă (ii)rArr(i) Fie M o mulţime infinită icircn sensul Cantor adică
există Msube M aicirc Msimℕ (fie f ℕ rarrM o funcţie bijectivă ) Se observă imediat că φ MrarrM f (0) definită prin
84
( ) ( ) ( )
isin=+
primenotin=
Nncunfxdacanf
Mxdacaxx
1ϕ
este bine definită şi să arătăm că φ este chiar bijecţie Fie deci x x isin M aicirc φ (x) = φ (x) Deoarece M=Mcup (M M) şi φ (x) = φ (x) atunci x xisin
isinM sau x xnotin M Dacă x xnotin M atunci icircn mod evident din φ (x) = =φ(x) deducem că x=x Dacă x xisin M atunci dacă x=f(k) x=f(t) deducem că f (k+1)=f (t+1) de unde k+1=t+1 hArr k=t rArrx=x
Să arătăm acum că φ este surjectivă Pentru aceasta fie y isin M f (0) Dacă ynotinM atunci y=φ (y) iar dacă yisinM atunci y=f (n) cu nisinℕ Cum ynef (0) atunci nne0rArr nge1 deci putem scrie y=f (n-1+1)=φ (n-1)
(ii)rArr(iii) Această implicaţie este evidentă deoarece ℕ≁Sn pentru orice nisinℕ
(iii)rArr(ii) Vom utiliza următorul fapt dacă M este o mulţime infinită icircn sens obişnuit atunci pentru orice nisinℕ există o funcţie injectivă φSn rarrM
Vom proba lucrul acesta prin inducţie matematică referitor la n Pentru n=1 există o funcţie injectivă φS1rarrM (deoarece
MneOslash) Să presupunem acum că pentru nisinℕ există φSnrarrM injectivă Cum am presupus că M este infinită icircn sens obişnuit atunci φ (Sn) ne M deci există x0isinM aicirc x0 notin φ (Sn)
Atunci ψ Sn+1rarrM ( )( )
+=
isin=
10 nxpentrux
Sxpentruxx
nϕψ este icircn mod
evident funcţie injectivă Să trecem acum la a demonstra efectiv implicaţia (iii)rArr(ii) Din
rezultatul expus anterior deducem că Mk=φSkrarrM | φ este injecţiene Oslash pentru orice kisinℕ Cum pentru knek SkcapSkacute=Oslash deducem că MkcapMkacute=Oslash Conform axiomei alegerii aplicată mulţimii
85
T= Mk kisinℕ există SsubeT aicirc ScapMkneOslash şi este formată dintr-un singur element Atunci M= ( )U
SisinϕϕIm este o submulţime numărabilă a
lui M ∎ CAPITOLUL 2 GRUPURI
sect1 Operaţii algebrice Monoizi Morfisme de monoizi Produse directe finite de monoizi
Definiţia 11 Fiind dată o multime nevidă M numim operatie
algebrică (internă) sau lege de compoziţie (internă) pe M orice funcţie ϕMtimesMrarrM Pentru uşurinţa scrierii vom nota pentru x yisinM pe ϕ(x y) (care se mai numeşte şi compusul lui x cu y) prin xoy sau pur şi simplu prin xy (convenim să spunem că am notat operaţia algebrică ϕ multiplicativ)
Icircn anumite situaţii folosim pentru ϕ şi notaţia aditivă +rdquo
Exemple 1 Dacă T este o mulţime nevidă iar M=P(T) icircn capitolul precedent am definit pe M operaţiile algebrice de intersecţie reuniune diferenţă şi diferenţa simetrică 2 Dacă A este o mulţime nevidă iar Hom(A)=fArarrA atunci pe Hom(A) avem operaţia de compunere a funcţiilor ϕ Hom(A) times Hom(A) rarr Hom(A) ϕ(f g) = fog pentru orice f g isin Hom(A) Pe parcursul acestei lucrări vom mai pune icircn evidenţă alte mulţimi şi operaţii algebrice pe acestea (inclusiv mulţimile numerelor icircntregi ℤ raţionale ℚ reale ℝ şi complexe ℂ precum şi operaţiile de adunare şi icircnmulţire pe acestea)
Definiţia 12 Dacă M este mulţime nevidă vom spune despre o operaţie algebrică de pe M (notată multiplicativ) că este
(i) comutativă ndash dacă pentru oricare x yisinM xy=yx (ii) asociativă ndash dacă pentru oricare x y zisinM (xy)z=x(yz)
86
Operaţiile de intersecţie reuniune şi diferenţă simetrică sunt exemple de operaţii ce sunt simultan comutative şi asociative pe cacircnd compunerea funcţiilor nu este operaţie comutativă fiind icircnsă asociativă
Dacă o operaţie algebrică de pe M este asociativă atunci pentru a scrie compunerea a trei elemente x y z din M (sau mai multe) nu mai este necesar să folosim parantezele astfel că icircn loc să scriem (xy)z sau x(yz) vom scrie xyz
Pentru n elemente x1hellipxn (nisinℕ) din M utilizăm de multe ori notaţiile
x1x2helliphellipxn= prod=
n
iix
1 (cacircnd operaţia algebrică asociativă este
notată multiplicativ) sau
x1+x2+hellip+xn = sum=
n
iix
1 (cacircnd aceeaşi operaţie algebrică
asociativă este notată aditiv)
Dacă x1=x2=hellip=xn=x şi nisinℕ convenim să notăm x1x2hellipxn=xn dacă operaţia algebrică este notată multiplicativ şi x1+x2+hellip+xn = nx dacă ea este notată aditiv
Definiţia 13 Fie M o mulţime nevidă pe care avem o operaţie algebrică Vom spune că un element eisinM este element neutru pentru operaţia algebrică respectivă dacă pentru orice xisinM xe = ex = x
Observaţia 14 1 Dacă o operaţie algebrică de pe M ar avea două elemente
neutre e eprimeisinM atunci eeprime=e (dacă gacircndim pe eprime element neutru) şi tot eeprime=eprime (dacă gacircndim pe e element neutru) astfel că e=eprime Deci elementul neutru al unei operaţii algebrice (dacă există ) este unic
2 Icircn cazul adoptării notaţiei multiplicative pentru o operaţie algebrică elementul său neutru (dacă există) va fi notat prin 1 iar icircn cazul adoptării notaţiei aditive acesta se va nota prin 0
87
Exemple 1 Dacă Tneempty atunci pentru operaţiile algebrice capcup şi ∆ de pe M=P(T) elementele neutre sunt T empty şi respectiv empty 2 Dacă Aneempty atunci pentru compunerea funcţiilor de pe Hom(A) 1A este elementul neutru
Definiţia 15 Un dublet (M sdot) format dintr-o mulţime nevidă M şi o operaţie algebrică pe M se zice semigrup dacă operaţia algebrică respectivă este asociativă Dacă operaţia algebrică are şi element neutru semigrupul (M sdot) se zice monoid Dacă operaţia algebrică este comutativă monoidul se zice comutativ
De multe ori icircn cazul unui semigrup se specifică doar mulţimea subiacentă M (fară a se mai specifica operaţia algebrică de pe M dacă este pericol de confuzie atunci şi aceasta trebuie neapărat menţionată)
Exemple 1Dacă Tneempty şi M=P(T) atunci (M cap) (M cup) şi (M ∆) sunt monoizi comutativi 2Dacă Aneempty atunci (Hom(A)o) este monoid necomutativ
Reamintim că icircn sect3 de la Capitolul 1 am introdus mulţimea ℕ a numerelor naturale Icircn continuare vom defini două operaţii algebrice pe ℕ adunarea (notată +rdquo) şi icircnmulţirea (notată sdotrsquorsquo) icircn raport cu care ℕ devine monoid
Teorema 16 Există o unică operaţie algebrică pe ℕ pe
care o vom nota prin bdquo+rdquo şi o vom numi adunarea numerelor naturale a icirc pentru orice m nisinℕ să avem
A1 0+m=m A2 s(n)+m=s(n+m)
Demonstraţie Să probăm la icircnceput unicitatea şi pentru aceasta
să presupunem că mai există o operaţie algebrică oplus pe ℕ ce verifică A1 şi A2
Fie P=nisinℕ | n+m=noplusm pentru orice misinℕsubeℕ
88
Din A1 deducem că 0isinP iar din A2 deducem că dacă nisinP atunci s(n)+m=s(n)oplusm hArr s(n+m)=s(noplusm) ceea ce este adevărat deoarece s este injectivă şi am presupus că nisinP Deci P=ℕ adică cele două operaţii coincid
Considerăm un element m isinℕ (pe care icircl fixăm) şi tripletul (ℕ m s) conform Teoremei 319 de la Capitolul 1 există o unică funcţie fmℕrarrℕ a icirc fm(0)=m şi s(fm(n))= fm(s(n)) pentru orice nisinℕ
Pentru nisinℕ definim n+m=fm (n) Atunci 0+m=fm(0)=m iar s(n)+m= fm (s(n))=s (fm (n))=s( n+m ) ∎
Observaţia 17 Axiomele A1ndashA2 poartă numele de axiomele
adunării numerelor naturale Propoziţia 18 Pentru orice m nisinℕ avem
01A m+0=m 02A n+s (m)= s(n+m)
Demonstraţie Fie P=misinℕ m+0=m subeℕ Dacă icircn A1 facem
pe m=0 deducem că 0+0=0 adică 0isinP Dacă misinP (adică m+0=m) atunci s(m)+0=s(m+0)=s(m) adică s(m)isinP deci P=ℕ Analog se probează şi a doua relaţie∎
Propoziţia 19 Dubletul (ℕ +) este monoid comutativ cu proprietatea de simplificare
Demonstraţie Din cele stabilite anterior deducem că 0 este
element neutru pentru adunarea numerelor naturale Pentru a proba comutativitatea adunării să considerăm
P=nisinℕ n+m=m+n pentru orice misinℕ subeℕ
Evident 0isinP Dacă nisinP adică n+m=m+n pentru orice misinℕ
atunci s(n)+m=m+s(n) hArr s(n+m)=s(m+n) hArr n+m=m+n ceea ce este
89
adevărat (deoarece s este injecţie) Deducem că P=ℕ adică adunarea numerelor naturale este comutativă
Pentru a demonstra asociativitatea adunării numerelor naturale să considerăm
P =nisinℕ (n+m)+p=n+(m+p) pentru orice m pisinℕsubeℕ
Evident 0isinP Fie acum nisinP Atunci (s(n)+m)+p=s(n+m)+p=s((n+m)+p) iar s(n)+(m+p)=s(n+(m+p)) şi cum (n+m)+p=n+(m+p) deducem că s(n)isinP adică P=ℕ
Pentru partea finală fie
P=pisinℕ dacă m+p=n+p rArr m=nsubeℕ
Evident 0isinP şi să presupunem că pisinP Atunci m+s(p)=n+s(p) hArrs(m+p)=s(n+p) hArr m+p=n+p hArr m=n (căci pisinP) adică s(p)isinP şi astfel din nou P=ℕ ∎
Observaţia 110 Dacă nisinℕ atunci s(n)=s(n+0)=n+s(0)=n+1 Propoziţia 111 Dacă m nisinℕ şi m+n=0 atunci m=n=0 Demonstraţie Dacă m ne 0 sau n ne 0 atunci conform Lemei
318 de la Capitolul 1 există p qisinℕ a icirc m = s(p) sau n = s(q) Icircn primul caz obţinem că m+n = s(p)+n = s(p+n) ne 0 ndash absurd şi analog icircn al doilea caz Deci m = n = 0 ∎
Propoziţia 112 Există o unică operaţie algebrică pe ℕ notată bdquomiddotrdquo şi numită icircnmulţirea numerelor naturale aicirc pentru orice m nisinℕ să avem I1 mmiddot0=0
I2 mmiddots(n)=mn+m
Demonstraţie Fie misinℕ fixat consideracircnd tripletul (ℕ 0 fm ) unde fmℕrarrℕ este definită prin fm(n)=n+m pentru orice nisinℕ atunci
90
conform Teoremei 319 de la Capitolul 1 există o unică funcţie g m ℕrarrℕ aicirc gm (0)=0 şi fm∘gm = gm ∘s
Definim mmiddotn=gm(n) şi astfel mmiddot0=gm(0)=0 iar mmiddots(n)= =gm(s(n))=fm(gm(n))=fm(mmiddotn)=mmiddotn+m Unicitatea operaţiei de icircnmulţire cu proprietăţile I1 şi I2 se probează analog ca icircn cazul adunării ∎
Observaţia 113 I1 şi I2 poartă numele de axiomele icircnmulţirii
numerelor naturale Icircn cele ce urmează dacă nu este pericol de confuzie vom scrie
mmiddotn = mn pentru m nisinℕ Analog ca icircn cazul adunării numerelor naturale se
demonstrează că pentru oricare numere naturale m n avem 01I 0middotm=0 02I s(n)middotm=nm+m
Lema 114 Icircnmulţirea numerelor naturale este distributivă
la stacircnga faţă de adunarea numerelor naturale
Demonstraţie Fie P=pisinℕ m(n+p)=mn+mp pentru oricare m nisinℕsubeℕ
Ţinacircnd cont de I1 deducem că 0isinP Să presupunem acum că pisinP şi fie m nisinℕ
Avem m(n+s(p))=m(s(n+p))=m(n+p)+m=mn+mp+m=mn+ms(p) adică s(p)isinP şi astfel P=ℕ ∎
Propoziţia 115 Dubletul (ℕ middot) este monoid comutativ Dacă m n isinℕ şi mn=0 atunci m=0 sau n=0
Demonstraţie Pentru a proba asociativitatea icircnmulţirii fie
P=pisinℕ (mn)p=m(np) pentru oricare m nisinℕsubeℕ Icircn mod evident 0isinP Să presupunem acum că pisinP şi să demonstrăm că s(p)isinP Avem (mn)s(p)=(mn)p+mn iar m(ns(p))=m(np+n)=m(np)+mn (conform Lemei 114) de unde egalitatea (mn)s(p)=m(ns(p)) adică s(p)isinP deci P=ℕ
91
Deoarece pentru orice nisinℕ avem nmiddot1=nmiddots(0)=nmiddot0+n=n iar 1middotn=s(0)middotn=0middotn+n=n deducem că 1 este elementul neutru al icircnmulţirii numerelor naturale
Pentru a proba comutativitatea icircnmulţirii numerelor naturale fie P=nisinℕ nm=mn pentru orice misinℕsubeℕ Icircn mod evident 0isinP şi să presupunem că nisinℕ Atunci pentru orice misinℕ s(n)middotm=nmiddotm+m iar mmiddots(n)=mn+m de unde s(n)middotm=mmiddots(n) adică s(n)isinP deci P=ℕ
Fie acum m nisinℕ aicirc mn=0 şi să presupunem că mne0 Atunci m=s(k) cu kisinℕ (conform Lemei 318 de la Capitolul 1) şi cum 0=mn=s(k)n=kn+n trebuie ca n=nmiddotk=0 (conform Propoziţiei 111) ∎
Definiţia 116 Pentru m nisinℕ vom scrie mlen (şi vom spune că m este mai mic sau egal decacirct n sau că n este mai mare sau egal decacirct m) dacă există pisinℕ aicirc m+p=n convenim icircn acest caz să notăm p=n-m
Dacă pisinℕ atunci mlen şi mnen icircn acest caz vom scrie mltn şi vom spune că m este strict mai mic decacirct n
Lema 117 Dacă m nisinℕ şi mltn atunci s(m)len
Demonstraţie Deoarece mltn există pisinℕ aicirc m+p=n Cum pisinℕ există kisinℕ a icirc p=s(k) (conform Lemei 318 de la Capitolul I) Atunci din m+p=n deducem că m+s(k)=n rArr s(m+k)=n rArr s(m)+k=n rArrs(m)le n ∎
Corolar 118 Pentru orice nisinℕ nlts(n)
Propoziţia 119 Dubletul (ℕ le) este o mulţime total
ordonată Demonstraţie Deoarece pentru orice nisinℕ n+0=n deducem că
nlen adică relaţia le este reflexivă Fie acum m nisinℕ a icirc mlen şi nlem Atunci există p qisinℕ aicirc m+p=n şi n+q=m Deducem că n+(p+q)=n de
92
unde p+q=0 (conform Propoziţiei 19) iar de aici p=q=0 (conform Propoziţiei 111) adică m=n deci relaţia le este antisimetrică
Fie acum m n pisinℕ a icirc mlen şi nlep Atunci există r sisinℕ a icirc m+r=n şi n+s=p Deducem imediat că m+(r+s)=p adică mlep deci relaţia le este şi tranzitivă adică le este o relaţie de ordine pe ℕ
Pentru a proba că ordinea le de pe ℕ este totală fie misinℕ fixat iar
Pm =nisinℕ nlem sau mlensubeℕ Icircn mod evident 0isinPm şi fie nisinPm Dacă n=m atunci cum
nlts(n) avem mlts(n) adică s(n)isinPm Dacă nltm atunci conform Lemei 117 avem s(n)lem şi din nou s(n)isinPm Dacă mltn cum nlts(n) avem că mlts(n) şi din nou s(n)isinPm Rezultă că Pm=ℕ şi cum m este oarecare deducem că ordinea le de pe ℕ este totală ∎
Observaţia 120 Relaţia de ordine le definită anterior pe ℕ
poartă numele de ordinea naturală de pe ℕ Teorema 121 Dubletul (ℕ le) este o mulţime bine ordonată Demonstraţie Trebuie să demonstrăm că orice submulţime
nevidă Asubeℕ are un cel mai mic element Pentru aceasta fie P=nisinℕ nlex pentru orice xisinAsubeℕ
Evident 0isinP Dacă pentru orice nisinP ar rezulta s(n)isinP atunci am deduce că P=ℕ astfel că alegacircnd un x0isinA atunci x0isinP deci s(x0)isinP Icircn particular ar rezulta că s(x0 )lex0 ndash absurd
Deducem că Pneℕ adică există aisinP aicirc s(a)notinP Vom demonstra că aisinA şi că a este cel mai mic element al lui A
Dacă anotinA atunci pentru orice xisinA avem altx de unde s(a)lex (conform Lemei 117) adică s(a)isinP ndash absurd deci aisinA şi cum a isinP deducem că a lex pentru orice xisinA adică a este cel mai mic element al lui A ∎
93
Corolar 122 Orice şir descrescător de numere naturale este
staţionar
Demonstraţie Fie (a n)n isinℕ un şir descrescător de numere naturale iar A=a n nisinℕsubeℕ Conform Teoremei 121 mulţimea A are un cel mai mic element a k atunci pentru orice mgek avem a m ge a k şi cum a kge am deducem că am = a k adică şirul (a n ) n isinℕ este staţionar ∎
Corolar 123 Icircn ℕ nu putem găsi un şir strict descrescător şi infinit de numere naturale
Corolar 124 Fie Psubeℕ aicirc pentru orice nisinℕ (xltn rArr rArrxisinP) rArr nisinP Atunci P=ℕ
Demonstraţie Fie A=ℕPsubeℕ şi să presupunem prin absurd că Aneempty Conform Teoremei 121 mulţimea A va avea un cel mai mic element aisinA Cum pentru xisinℕ xlta rArr xnotinA rArr xisinP conform ipotezei adică aisinP şi astfel anotinA ndash absurd Deci A=empty de unde P=ℕ ∎
Corolar 125 ( Teorema icircmpărţirii cu rest icircn ℕ ) Pentru oricare două numere naturale m n cu nne0 există şi sunt unice două numere naturale c şi r aicirc m=nmiddotc+r şi rltn
Demonstraţie Fie A=sisinℕ există pisinℕ aicirc m=np+ssubeℕ
Deoarece m=0middotm+m deducem că misinA adică Aneempty Conform Teoremei 121 mulţimea A posedă un cel mai mic element risinA Atunci există cisinℕ aicirc m=cmiddotn+r şi să demonstrăm că rltn
Dacă prin absurd r≮n atunci conform Propoziţiei 119 rgen adică există uisinℕ aicirc r=n+u Deducem că m=nc+r=nc+n+u=n(c+1)+u adică uisinA deci rleu şi cum uler deducem că u=r adică n=0 ndash absurd
94
Pentru a demonstra unicitatea lui c şi r să presupunem că m=cn+r=cʹn+rʹ cu r rʹltn şi să arătăm că c=cʹ şi r=rʹ
Să presupunem de exemplu că cltcʹ adică c+u=cʹ cu uisinℕ Atunci m=ncʹ+rʹ=n(c+u)+rʹ=nc+nu+rʹ deci r=nu+rʹ gtn ndash absurd
Deci c=cʹ şi deducem imediat că şi r=rʹ ∎ Observaţia 126 Numărul c poartă numele de cacirctul icircmpărţirii
lui m la n iar r se zice restul acestei icircmpărţiri Teorema 127 Fie m n mprime nprime pisinℕ aicirc mlen şi mprimelenprime
Atunci (i) m+mprimele n+nprime şi mmprimele nnprime (ii) mple np şi mp le np
Demonstraţie (i) Putem scrie m+r=n şi mprime+rprime=nprime cu r rprimeisinℕ Din (m+mprime)+(r+rprime)=n+nprime deducem că m+mprimelen+nprime De asemenea nnprime=(m+r)(mprime+rprime)=mmprime+mrprime+rmiddotmprime+rmiddotrprime şi cum mmiddotrprime+rmiddotmprime+rmiddotrprimeisinℕ deducem că mmprimelennprime (ii) Se deduce analog ca şi (i) ţinacircnd cont de (i) precum şi de regulile de calcul din ℕ stabilite mai icircnainte ∎
Să revenim acum la cazul general al semigrupurilor Următorul rezultat este imediat
Propoziţia 128 Dacă M este un semigrup xisinM iar m nisinℕ atunci xmsdotxn=xm+n iar (xm)n=xmn
Dacă mai avem yisinM aicirc xy=yx atunci (xy)n=xnyn Definiţia 129 Dacă M Mprime sunt monoizi o funcţie fMrarrMprime se
zice morfism de monoizi dacă f(1)=1 şi f(xy)=f(x)f(y) pentru orice x yisinM Vom nota prin Mon clasa monoizilor iar pentru M MprimeisinMon vom nota prin HomMon(M Mprime) (sau mai simplu Hom(M Mprime) dacă nu este pericol de confuzie) toate morfismele de monoizi de la M la Mprime adică Hom(M Mprime)=fMrarrMprime f este morfism de monoizi
95
Propoziţia 130 Dacă M Mprime Mprimeprime sunt monoizi iar fisinHom(M Mprime) şi gisinHom(Mprime Mprimeprime) atunci gofisinHom(M Mprimeprime)
Demonstraţie Cum f(1)=g(1) (gof)(1)=g(f(1))=g(1)=1 iar
pentru x yisinM avem (gof)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))= =(gof)(x)(gof)(y) adică gof isin Hom(M Mprimeprime)∎
Definiţia 131 Dacă M şi Mprime sunt doi monoizi numim izomorfism de monoizi un morfism fisinHom(M Mprime) care ca funcţie este bijecţie icircn acest caz vom spune despre monoizii M Mprime că sunt izomorfi şi vom scrie MasympMprime Se deduce imediat că dacă fisinHom(M Mprime) este izomorfism de monoizi atunci şi f -1MprimerarrM este morfism de monoizi
Definiţia 132 Fie (M sdot) un monoid Vom spune despre un element xisinM că este inversabil (sau simetrizabil ) dacă există xprimeisinM aicirc xxprime=xprimex=1
Să observăm că dacă xprime există atunci el este unic deoarece dacă ar mai exista xprimeprimeisinM aicirc xxprimeprime=xprimeprimex=1 atunci xprime(xxprimeprime)=xprime1=xprime şi xprime(xxprimeprime)=(xprimex)xprimeprime=1xprime=xprimeprime adică xprime=xprimeprime
Elementul xprime poartă numele de inversul (sau simetricul) lui x Icircn cazul notaţiei multiplicative vom nota xprime=x-1 iar icircn cazul notaţiei aditive vom nota xprime=-x (iar ndashx se va numi opusul lui x) Icircn cele ce urmează (pacircnă la specificări suplimentare) vom considera monoizi multiplicativi
Pentru monoidul (M sdot) prin U(M sdot) (sau mai simplu U(M) dacă nu se creează confuzii prin nespecificarea operaţiei algebrice de pe M ) vom nota mulţimea elementelor inversabile din M (adică U(M)=xisinM există xprimeisinM aicirc xxprime=xprimex=1)
Evident dacă xisinU(M) atunci (x-1)-1=x Pentru exemplele de monoizi de pacircnă acum avem
U(P(T)cap)=T U(P(T)cup)=empty U(P(T)∆)=P(T) U(ℕ+)=0
U(ℕsdot) = 1 iar pentru o mulţime Aneempty U(Hom(A)o)=fArarrA f este bijecţie Convenim să notăm sum(A)=fisinHom(A) f este bijecţie şi să numim un element fisinsum(A) ca fiind o permutare asupra elementelor lui A
96
Propoziţia 133 Fie (M sdot) un monoid şi x yisinU(M) Atunci
1isinU(M) xyisinU(M) iar (xy)-1=y-1x-1 Demonstraţie Din 1sdot1=1sdot1=1 deducem că 1isinU(M) iar din
(xy)(y-1x-1) = x(yy-1)x-1 = xsdot1sdotx-1 = xx-1 = 1 şi (y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = =y-1sdot1sdoty=y-1y=1 deducem că xyisinU(M) iar (xy)-1=y-1x-1∎ Observaţia 134 Raţionacircnd inductiv după n deducem că dacă x1hellipxnisinU(M) (nge2) atunci x1sdotx2sdothellipsdotxnisinU(M) iar (x1sdotx2sdothellipsdotxn)-1=xn
-1hellipx2-1x1
-1 Fie acum M1 M2 hellip Mn monoizi iar
M = M1timeshelliptimesMn=(x1 hellip xn) xiisinMi 1leilen Pentru x=(x1hellipxn) y=(y1hellipyn)isinM definim xy=(x1y1hellipxnyn) iar pentru fiecare 1le i len considerăm pi MrarrMi definit prin pi (x)=xi
pentru orice x=(x1hellipxn)isinM ( pi se zice a i-a proiecţie a lui M pe Mi sau proiecţia de indice i )
Propoziţia 135 Dacă M1hellipMn sunt monoizi atunci (M sdot) este monoid U(M)=U (M1)timeshelliptimesU (Mn) pentru fiecare 1 le i le n pi
isinHom(MMi ) şi icircn plus este verificată următoarea proprietate de universalitate Pentru oricare monoid Mprime şi familie de morfisme de monoizi (piprime)1le i le n cu piprimeisinHom(Mprime Mi ) 1 le i le n există un unic uisinHom(Mprime M) aicirc pi ou=pi prime
Demonstraţie Asociativitatea operaţiei de icircnmulţire de pe
M rezultă din asociativitatea fiecărei operaţii de icircnmulţire de pe Mi iar elementul neutru este 1=(1hellip1)
Dacă xisinU(M) x=(x1hellipxn) atunci există yisinM y=(y1hellipyn) aicirc xy=yx=1 hArr (x1y1hellipxnyn)=(y1x1hellipynxn)=(1hellip1) hArr xiyi = yixi = 1 pentru orice 1 le i le n hArr xiisinU(Mi) pentru orice 1 le i le n hArr hArrxisinU(M1) timeshelliptimes U(Mn) de unde egalitatea (de mulţimi)
U(M)= U(M1) timeshelliptimes U(Mn)
97
Dacă x=(x1hellipxn) y=(y1hellipyn)isinM şi 1 le i le n atunci xy=(x1y1hellipxnyn) deci pi (xy) =xi yi =pi (x)pi (y) adică pi isinHom(M Mi)
Să verificăm acum proprietatea de universalitate iar pentru aceasta fie Mprime un alt monoid şi pentru 1 le i le n să considerăm piprimeisinHom(Mprime Mi) Pentru xisinMprime definim uMprimerarrM prin u(x)=(p1prime(x)hellippnprime(x)) şi se verifică imediat că uisinHom(Mprime M) iar piou=piprime pentru orice 1le i len
Fie acum uprimeisinHom(Mprime M) aicirc piouprime=piprime pentru orice 1le i len Atunci pentru orice xisinMprime avem pi(uprime(x)) = piprime(x) adică uprime(x)=(p1prime(x)hellippnprime(x))=u(x) de unde u=uprime∎
Definiţia 136 Monoidul M=M1 timeshelliptimesMn icircmpreună cu proiecţiile (pi)1leilen poartă numele de produsul direct al monoizilor M1 M2 hellip Mn (cacircnd nu este pericol de confuzie nu vom mai specifica proiecţiile)
sect2 Grup Calcule icircntr-un grup Subgrup Subgrup generat de o mulţime Grup ciclic Ordinul unui element icircntr-un grup
Definiţia 21 Vom spune despre un monoid M că este grup dacă U(M)=M Altfel zis dubletul (M sdot) format dintr-o mulţime M şi o operaţie algebrică pe M este grup dacă operaţia algebrică este asociativă admite element neutru şi orice element din M este inversabil Grupul M se va zice comutativ ( sau abelian ) dacă operaţia algebrică este comutativă
Exemple 1 Dacă T este o mulţime nevidă atunci (P(T) ∆) este grup comutativ 2 Dacă A este o mulţime nevidă atunci (sum(A) o) este grup ( icircn general necomutativ) 3 Mai general dacă (M sdot) este un monoid atunci (U (M) sdot) este grup
98
Icircn cele ce urmează prin (G sdot) vom desemna un grup multiplicativ (dacă nu este pericol de confuzie nu vom mai specifica operaţia algebrică) Cardinalul mulţimii G se va nota | G | şi se va numi ordinul grupului G
Icircn consecinţă elementul neutru al lui G va fi notat cu 1 iar pentru xisinG inversul său va fi notat prin x-1
Analog ca icircn cazul semigrupurilor dacă pentru xisinG definim x0 = 1 atunci (x-1)-1= x iar dacă m nisinℕ atunci xm xn = xm+n
şi (xm)n = =xmn De asemenea dacă x y isinG şi xy=yx atunci pentru orice nisinℕ (xy)n= xn y n
Definiţia 22 O submulţime nevidă S a lui G se zice subgrup al lui G dacă S icircmpreună cu restricţia operaţiei algebrice de pe G la S formează grup
Vom nota prin L(G) mulţimea subgrupurilor lui G pentru a
exprima că HisinL(G) vom indica lucrul acesta scriind că HleG Propoziţia 23 Pentru o mulţime nevidă S a lui G următoarele
afirmaţii sunt echivalente (i) SisinL(G)
(ii) 1isinS şi pentru orice x yisinS xyisinS şi x-1isinS (iii) pentru orice x yisinS x-1yisinS
Demonstraţie Implicaţiile (i)rArr(ii) şi (ii)rArr(iii) sunt imediate (iii)rArr(i) Cum S ne Oslash există x0isinS şi atunci 1=x0
-1x0isinS Alegacircnd un element oarecare xisinS cum 1isinS avem că şi x-1=x-11isinS adică (S bull) este grup∎
Icircn mod evident 1isinL(G) şi GisinL(G) Oricare alt subgrup S
al lui G diferit de 1 şi G se zice propriu Subgrupul 1 se zice subgrup nul şi se notează de obicei prin 0
Propoziţia 24 Fie (Si)iisinI o familie nevidă de subgrupuri ale lui G Atunci I
IiiS
isinisin L(G)
99
Demonstraţie Fie S=IIi
iSisin
şi x y isinS Atunci pentru orice
iisinI x yisinSi şi cum SileG avem că x-1yisinSi adică x-1yisinS deci SleG∎ Observaţia 25 Icircn ceea ce priveşte reuniunea a două
subgrupuri ale lui G să demonstrăm că dacă H KisinL(G) atunci HcupKisinL(G) hArr hArrHsubeK sau KsubeH Implicaţia de la dreapta la stacircnga fiind evidentă să presupunem că HcupKisinL(G) şi totuşi HnsubK şi KnsubH adică există xisinH astfel icircncacirct xnotinK şi yisinK astfel icircncacirct ynotinH Consideracircnd elementul z=xy atunci cum am presupus că HcupKisinL(G) ar trebui ca zisinHcupK Dacă zisinH atunci cum y=x-1z am deduce că yisinH ndash absurd Dacă zisinK atunci ar rezulta că x=zy-1isinK ndash absurd Din cele expuse mai icircnainte deducem că icircn general dacă H KisinL(G) nu rezultă cu necesitate că şi HcupKisinL(G) Este una din raţiunile pentru care vom introduce noţiunea ce urmează
Definiţia 26 Dacă M este o submulţime nevidă a lui G prin subgrupul lui G generat de M icircnţelegem cel mai mic subgrup al lui G ( faţă de relaţia de incluziune ) ce conţine pe M şi pe care icircl vom nota prin ltMgt Altfel zis
ltMgt= ISM sube
isinL(G)Ss
Dacă MisinL(G) icircn mod evident ltMgt=M
Propoziţia 27 Dacă MsubeG este o submulţime nevidă atunci ltMgt = x1 hellipxn | nisinℕ iar xi isinM sau xi
-1 isinM pentru orice 1leilen
Demonstraţie Fie H=x1 hellipxn | nisinℕ iar xi isinM sau xi-1 isinM
pentru orice 1leilen şi x yisinH adică x=x1 hellip xn y=y1 hellipym cu xi sau xi
-1 icircn M şi yj sau yj-1 icircn M pentru 1leilen şi 1lejlem
Cum x-1y = xn-1 hellip x1
-1 y1 hellip ym deducem că x-1yisinH adică HleG Deoarece MsubeH iar ltMgt este cel mai mic subgrup al lui G ce conţine pe M deducem că ltMgtsubeH
100
Fie acum SleG astfel icircncacirct MsubeS Atunci HsubeS deci Hsube I
SM subeleGS
s =ltMgt de unde egalitatea ltMgt=H∎
Corolar 28 ltxgt=xn | nisinℕcup(x-1)n | nisinℕ
Definiţia 29 ltxgt poartă numele de grupul ciclic generat de x Ordinul unui element xisinG notat o(x) se defineşte ca fiind o(x)=|ltxgt| Evident o(1)=1 iar dacă xne1 şi o(x)=n atunci n este cel mai mic număr natural pentru care xn=1 Dacă o(x)=infin atunci xnne1 pentru orice nge1
Observaţia 210 1 Dacă Gx isin este de ordin finit şi există
isinn ℕ aicirc 1=nx atunci o(x) n
Icircntr-adevăr icircmpărţind pe n la o(x) găsim c r isinℕ aicirc rxocn +sdot= )( şi )(xor lt
Din 1)( == nxo xx deducem imediat că şi 1=rx adică r = 0 (ţinacircnd cont de minimalitatea lui o(x)) deci o(x) n
2 Dacă Gyx isin aicirc o(x) şi o(y) sunt finite xy = yx şi (o(x) o(y)) = 1 atunci o(xy) = o(x)o(y) Icircntr-adevăr dacă notăm m = o(x) n = o(y) şi p = o(xy) din
1== nm yx deducem că 1)( =sdot= mnmnmn yxxy adică p mn Din o(xy) = p deducem că 1)( =pxy deci pp yx minus= iar de aici
1)( == minus pnnp yx adică npm şi cum (mn) = 1 deducem că pm Analog pn şi cum (mn) = 1 deducem că pmn adică p = mn
3 Din cele de mai icircnainte deducem recursiv că dacă Gxxx n isin 21 ( 2gen ) şi cele n elemente comută icircntre ele iar
ordinele a oricare două (diferite) sunt prime icircntre ele atunci )()()( 11 nn xoxoxxo =
Propoziţia 211 (L(G) sube) este latice completă
101
Demonstraţie Icircn mod evident 0=1 1=G iar pentru H KisinL(G) HandK=HcapK iar HorK=ltHcupKgt Dacă (Si)iєI este o familie oarecare de subgrupuri ale lui G atunci and
isinIiSi = I
IiisinSi isin L(G) iar
orisinIi
Si = lt UIiisin
Si gt isinL(G)∎
sect3 Centralizatorul unui element icircntr-un grup Centrul unui grup Teorema lui Lagrange Indicele unui subgrup icircntr-un grup Ecuaţia claselor
Definiţia 31 Pentru xisinG vom nota CG(x) = yisinG xy=yx şi Z(G)= I
Gxisin
CG(x) CG(x) se numeşte centralizatorul lui x icircn G iar Z(G)
centrul lui G icircn mod evident Z(G)= xisinG xy = yx pentru orice yisinG
Propoziţia 32 Pentru orice xisinG CG(x)leG Demonstraţie Dacă y z isinCG(x) atunci yx = xy şi zx =xz
Deducem imediat că y-1x = xy-1 iar (y-1z)x = y-1 (zx) = y-1(xz) = (y-1x)z = =(xy-1)z = x(y-1z) adică y-1z isin CG(x) deci CG(x) leG∎
Corolar 33 Z(G)leG Demonstraţie Avem Z(G)= I
GxisinCG(x) şi conform
Propoziţiei 24 Z(G)leG∎ Fie acum HleG şi xisinG Definim xH = xh hisinH şi Hx = hx hisinH Mulţimea
xH (Hx) poartă numele de clasa la stacircnga (dreapta) a lui x icircn raport cu H
Propoziţia 34 Dacă x yisinG şi HleG atunci
102
(i) xH = yH hArr x-1yisinH (ii) Hx = Hy hArr xy-1isinH
Demonstraţie (i) Să presupunem că xH = yH Cum 1isinH
x=x sdot1 isin xH = yH adică x = yh cu h isin H Deducem că y-1x=h isinH şi cum h-1 isinH avem că h-1 = x-1y isin H Reciproc fie x-1y=hisinH şi zisinxH adică z=xk cu kisinH Cum x=yh-1 avem z=(yh-1)k = y(h-1k) adică zisinyH (căci h-1kisinH ) deci xHsubeyH Analog deducem că şi yHsube xH de unde xH=yH (ii) Ca şi icircn cazul (i)∎
Corolar 35 Dacă HleG atunci pentru xisinG xH = H (sau Hx =
H) hArr xisinH Icircn particular 1sdotH = H Vom nota (GH)s = xH xisinG şi (GH)d = Hx xisinG
Propoziţia 36 (GH)s şi (GH)d sunt partiţii ale lui G Demonstraţie Este suficient să probăm pentru (GH)s
Deoarece pentru orice xisinG avem x=xsdot1 isin xH deducem că UGxisin
xH =
G Fie acum x yisinG şi să demonstrăm că xH=yH sau
xHcapyH=Oslash Avem că x-1yisinH sau x-1ynotinH Dacă x-1y isinH conform Propoziţiei 34 xH=yH
Să presupunem acum că x-1ynotinH Dacă ar exista zisinxHcapyH atunci z=xh=yk cu h k isinH şi am deduce imediat că x-1y= hk-1isinH -absurd Deci icircn cazul x-1ynotinH avem xHcapyH=Oslash∎
Propoziţia 37 Funcţia f (GH)s rarr (GH)d f(xH)=Hx-1 pentru orice xisinG este o bijecţie Demonstraţie Pentru x yisinG echivalenţele xH=yH hArr x-
1yisinH hArr x-1(y-1)-1 isinH hArr Hx-1= Hy-1 (conform Propoziţiei 34) ne arată că f este corect definită şi că este injectivă Cum surjectivitatea lui f este imediată deducem că f este bijecţie∎
103
Din propoziţia precedentă deducem că |(GH)s|= |(GH)d| acest număr cardinal se notează |GH| şi poartă numele de indicele lui H icircn G
Lema 38 Dacă HleG şi xisinG atunci |xH|=|Hx|=|H| Demonstraţie Este suficient să arătăm că mulţimile xH şi H
sunt echipotente iar icircn acest sens definim fx H rarrxH fx(h) = xh pentru orice hisinH Dacă h kisinH şi fx(h) = fx(k) atunci xh=xk deci h=k adică f este injectivă Cum fx este icircn mod evident şi surjectivă deducem că fx este o bijecţie şi astfel |xH|=|H|∎
Teorema 39 Dacă HleG atunci |G|= |H|sdot|GH| Demonstraţie Cum (GH)s este o partiţie a lui G avem
|G| = sumisinGx
|xH|(sumarea făcacircndu-se după clase distincte)
Ţinacircnd cont de Lema 38 deducem că |G|=|H|sdot|GH|
Icircn cazul icircn care G este un grup finit atunci |G| |H| şi |G H| sunt numere naturale iar relaţia |G|=|H|sdot|GH|arată că |H| este un divizor al lui |G|
Obţinem astfel Corolar 310 (Lagrange) Ordinul oricărui subgrup al unui grup
finit divide ordinul grupului
Corolar 311 Dacă G este un grup finit de ordin n atunci xn =1 pentru orice x isinG
Demonstraţie Dacă k=o(x) atunci xk =1 şi k|n (conform
teoremei lui Lagrange) adică n=kt cu tisinℕ Atunci xn=xkt=(xk)t=1t=1∎
104
Definiţia 312 Vom spune despre elementele x yisinG că sunt conjugate icircn G şi vom scrie x ~ y dacă există aisinG a icirc x=a-1ya
Propoziţia 313 Relaţia de conjugare ~ este o echivalenţă pe G
Demonstraţie Deoarece pentru orice xisinG x=1-1x1 deducem
că x~x adică relaţia ~ este reflexivă Dacă x yisinG şi x ~ y atunci există aisinG astfel icircncacirct x=a-1ya Cum y=axa-1=(a-1)-1 xa-1 deducem că şi y~x adică relaţia ~ este şi simetrică
Fie acum x y z astfel icircncacirct x~y şi y~z Atunci există a bisinG astfel icircncacirct x=a-1ya şi y=b-1zb Deducem că x=a-1(b-1zb)a = = (a-1b-1) z (ba) = (ba)-1 z (ba) adică xsimz şi astfel sim este şi tranzitivă deci o relaţie de echivalenţă pe G∎
Icircn conformitate cu notaţiile de la Capitolul 1 pentru xisinG prin [x]sim vom desemna clasa de echivalenţă a lui x icircn raport cu relaţia sim care se mai zice şi clasa de conjugare a lui x (altfel zis [x]sim este mulţimea conjugaţilor lui x icircn G adică [x]~ =axa-1 a isinG)
Propoziţia 314 Pentru orice x isinG |[x]~|=|G CG(x)| Demonstraţie Fie H=CG(x) Dacă a bisinG atunci din
echivalenţele axa-1=bxb-1 hArr xa-1b=a-1bx hArr a-1b isinH hArr aH=bH deducem că funcţia f[x]~rarr(GH)s f(axa-1) = aH pentru orice aisinG este corect definită şi injectivă Cum icircn mod evident f este şi surjecţie deducem că f este bijecţie adică |[x~]|=|(GH)s|=|G H|= =|G CG(x)|∎
Deoarece [x]~xisinG formează o partiţie a lui G deducem că G = U
Gxisin[x]~ (vom lua reuniunea după elementele xisinG ce nu sunt
conjugate icircntre ele ) Să remarcăm şi faptul că dacă xisinZ(G) atunci
[x]~=x Astfel |G|=Gxisin
sum |[x]~|(sumarea făcacircndu-se după
elementele neconjugate) Scriind
105
|G|=)(GZxisin
sum |[x]~|+)(GZxnotin
sum |[x]~|= )(GZxisin
sum |x|+)(GZxnotin
sum |[x]~|
şi ţinacircnd cont de Propoziţia 313 obţinem relaţia
|G|=|Z(G)|+)(GZxnotin
sum |GCG(x)| cunoscută sub numele de ecuaţia
claselor Icircn continuare vom aplica ecuaţia claselor icircn special icircn cazul
icircn care grupul G este finit
sect4 Subgrupuri normale Factorizarea unui grup printr-un subgrup normal
Definiţia 41 Vom spune despre un subgrup H al lui G că este normal icircn G dacă xH = Hx pentru orice xisinG şi vom scrie H⊴G pentru a desemna faptul acesta
Vom nota prin L0(G) mulţimea subgrupurilor normale ale lui G Evident L0(G) sube L(G) 1 Gisin L0(G) iar dacă G este comutativ atunci L0(G)= L(G)
Propoziţia 42 Pentru HisinL(G) următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) Hisin L0(G) (ii) Pentru orice xisinG xHx-1subeH (unde xHx-1=xhx-1 hisinH)
Demonstraţie (i) rArr (ii) Dacă H⊴G şi xisinG atunci xH=Hx deci pentru hisinH xh=kx cu kisinH astfel că xhx-1 = kisinH
(ii)rArr(i) Fie xisinG Din xHx-1subeH deducem imediat că xHsubeHx Icircnlocuind pe x cu x-1 deducem că x-1H sube Hx-1 de unde HxsubexH adică xH=Hx deci Hisin L0(G)∎
Propoziţia 43 L0(G) este sublatice modulară marginită a lui L(G)
Demonstraţie Am văzut că 1 şi G fac parte din L0(G) Fie
acum H Kisin L0(G) xisinG şi hisinHcapK Atunci xhx-1isinH K deci
106
xhx-1isinHcapK adică HcapK isin L0(G) Să arătăm acum că HorK =HK=KH (unde HK= hk|hisinH kisinK) Avem HK= U U
Hx HxKHKxxK
isin isin==
Icircn mod evident H KsubeHK iar dacă alegem SleG astfel icircncacirct H KsubeS atunci HKsubeS adică HK=KH=HorK Pentru a arăta că HK⊴G fie xisinG hisinH şi kisinK
Scriind x(hk)x-1=(xhx-1)(xkx-1) cum xhx-1isinH şi xkx-1isinK deducem că x(hk)x-1 isinHK adică HK⊴G deci şi HorKisinL0(G) Am demonstrat deci că L0(G) este sublatice (mărginită) a lui L(G) Pentru a proba că L0(G) este modulară fie H K LisinL0(G) astfel icircncacirct HsubeK şi să arătăm că Kand(HorL)=Hor(KandL) Ţinicircnd cont de cele stabilite anterior este suficient să probăm incluziunea Kcap(HL)subeH(KcapL) (cealaltă fiind evidentă) iar pentru aceasta fie xisinKcap(HL) Atunci xisinK şi xisinHL ceea ce implică x=yz cu yisinH şi zisinL Avem z=y-1xisinK şi cum zisinL deducem că zisinKcapL
Cum yisinH rezultă x=yzisinH(KcapL) adică avem Kcap(LH)subeH(KcapL)∎
Am văzut că o intersecţie finită de subgrupuri normale ale lui G este de asemenea un subgrup normal al lui G Analog se probează faptul că dacă (Hi)iєI este o familie oarecare de subgrupuri normale ale lui G atunci cap
isinIiHi este de asemenea subgrup normal
al lui G astfel că fiind dată o mulţime nevidă MsubeG putem vorbi de subgrupul normal al lui G generat de M ca fiind intersecţia tuturor subgrupurilor normale ale lui G ce conţin pe M Convenim să notăm acest subgrup normal prin [M] adică [M]= I
HMGLH
subeisin )(0
H
Propoziţia 44 Dacă MsubeG este o mulţime nevidă atunci
[M] = lta-1xa|aisinG şi xisinMgt Demonstraţie Fie K = lta-1xa|aisinG şi xisinMgt Icircn mod
evident MsubeK Tinacircnd cont de Propoziţia 27 un element din K este de forma x1hellipxn cu xiisinMprime sau xI
-1 isinMprime unde Mprime= a-1xa|aisinG şi
107
xisinM Pentru a proba apartenenţa KisinL0(G) fie aisinG şi yisinK Atunci y=y1hellipyn cu yiisinMprime sau yi
-1isinMprime astfel că scriind a-1ya = a-
1y1hellipyna =(a-1y1a) (a-1y2a)hellip (a-1yna) deducem că a-1yaisinK deci K⊴G Cum [M] este cel mai mic subgrup normal al lui G ce conţine pe M deducem că [M]subeK
Fie acum HisinL0(G) astfel icircncacirct MsubeH Dacă alegem aisinG şi xisinM atunci xisinH şi cum H⊴G deducem că a-1xaisinH adică KsubeH Atunci Ksube I
HMGLH
subeisin )(0
H=[M] de unde egalitatea [M]=K∎
Dacă H⊴G atunci (GH)s=(GH)d=GH Pentru xH yHisinGH (cu xyisinG) definim (xH)(yH)=(xy)H şi
să arătăm că faţă de această operaţie algebrică GH devine grup Dacă mai avem xprime yprimeisinG astfel icircncacirct xH=xprimeH şi yH=yprimeH
atunci x-1xprime y-1yprimeisinH Pentru a proba că (xy)H=(xprimeyprime)H scriem (xy)-1(xprimeyprime)=y-1x-1xprimeyprime=[y-1(x-1 xprime)y](y-1yprime) de unde deducem că
(xy)-1(xprimeyprime)isinH adică (xy)H=(xprimeyprime)H şi astfel icircnmulţirea pe GH este corect definită Ea este şi asociativă deoarece pentru xH yH zHisinGH cu x y zisinG avem (xH)[(yH)(zH)]=(xH)[(yz)H]=[x(yz)]H=[(xy)z]H=[(xy)H](zH)=
=[(xH)(yH)](zH) Elementul neutru va fi 1H=H iar pentru xHisinGH avem (x-1H)(xH)=(x-1xH)=H şi (xH)(x-1H)=(xx-1)H=H de unde deducem că (xH)-1=x-1H
Definiţia 45 Grupul (GH sdot) poartă numele de grupul factor al lui G prin subgrupul normal H Aplicaţia pHGrarrGH pH(x)=xH pentru orice xisinG poartă numele de surjecţia canonică
Observaţia 46 1 Icircn mod evident |GH|=|GH| astfel că dacă G este finit |GH|=|G||H|
2 Dacă HleG şi |GH|=2 atunci H⊴G (deoarece alegacircnd xisinGH din HcapxH = HcapHx=empty şi HcupxH=HcupHx=G deducem că xH=Hx)
108
Icircn continuare vom prezenta un alt mod de a introduce grupul factor G H cacircnd H⊴G
Să presupunem la icircnceput că H este doar subgrup al lui G (fără a fi normal)
Pe G definim două relaţii sHρ şi d
Hρ astfel (x y)isin s
Hρ hArr x-1yisinH şi (x y)isin dHρ hArr xy-1isinH
Se verifică imediat că sHρ şi d
Hρ sunt relaţii de echivalenţă pe G iar pentru xisinG [ ] xHx s
H=ρ şi [ ] Hxx d
H=ρ
Icircn cazul icircn care H⊴G atunci sHρ = d
Hρ ≝ Hρ şi să arătăm că Hρ este o congruenţă pe G (adică compatibilă cu
structura de grup a lui G) Pentru aceasta fie x x y yisinG aicirc (x x) (y y)isin Hρ şi să arătăm că şi (xy xy)isin Hρ Avem (xy)-
1(xy)=y-1x-1xy= =[y-1(x-1x)y](y-1y) şi cum x-1x y-1yisinH iar H⊴G (adică y-1(x-1x)yisinH) deducem imediat că (xy)-1(xy)isinH adică (xy xy)isin Hρ Astfel G Hρ = HGxHx GxGxH
][ == isinisinρ şi de aici construcţia grupului factor G H continuă ca mai icircnainte
Observaţia 47 Am văzut că dacă H⊴G atunci Hρ este o
congruenţă pe G (adică o relaţie de echivalenţă pe G compatibilă cu structura de grup a lui G)
Se poate arăta imediat că asocierea H Hρ stabileşte o bijecţie icircntre L0(G) şi congruenţele de pe G Icircntr-adevăr dacă ρ este o congruenţă pe G atunci se arată uşor că [ ] ( ) ρρ isinisin= 11 xGx isinL0(G) şi astfel asocierea ρ [1]ρ este inversa
funcţiei H Hρ (de mai icircnainte)
sect5 Morfisme de grupuri Compunerea morfismelor de grupuri Monomorfisme epimorfisme izomorfisme de grupuri Nucleul şi conucleul unui morfism de grupuri Nucleul şi conucleul unei perechi de morfisme
109
de grupuri
Definiţia 51 Dacă G şi Gprime sunt două grupuri vom spune că o funcţie fGrarrGprime este morfism de grupuri dacă pentru orice x yisinG f(xy)=f(x)f(y)
Vom nota HomGr(G Gprime)=fGrarrGprime|f este morfism de grupuri Dacă nu este pericol de confuzie icircn loc de HomGr(G Gprime) vom scrie Hom(G Gprime)
Exemple 1 Funcţia 1GGrarrG este morfism de grupuri 2 f GrarrGprime f(x)=1 pentru orice xisinG este de asemenea
morfism de grupuri (numit morfismul nul) 3 Dacă H⊴G atunci pH GrarrGH pH(x)=xH pentru
orice xisinG este morfism surjectiv de grupuri (numit morfismul surjectiv canonic)
Pe parcursul acestei lucrări vom prezenta mai multe exemple de morfisme de grupuri
Observaţia 52 Ca şi icircn cazul monoizilor se demonstrează imediat că dacă G Gprime Gprimeprime sunt grupuri şi fisinHom(GGprime) gisinHom(GprimeGprimeprime) atunci gofisinHom(GGprimeprime)
Propoziţia 53 Dacă G Gprime sunt grupuri şi fisinHom(G Gprime) atunci f(1)=1 şi f(x-1) = (f(x))-1 pentru orice xisinG
Demonstraţie Din 1=1sdot1 deducem că f(1)=f(1sdot1)=f(1)sdotf(1) iar de aici că f(1) =1 Dacă xisinG cum xx-1 = 1 deducem 1 = f(1) = f(xx-1) = =f(x) f(x-1) de unde f(x-1)=f(x)-1∎
Propoziţia 54 Fie G Gprime grupuri iar fisinHom(G Gprime)
(i) Dacă HleG atunci f(H)leGprime (ii) Dacă H⊴G şi f este funcţie surjectivă
atunci f(H)⊴Gprime (iii) Dacă HprimeleGprime atunci f-1(Hprime)leG
110
(iv) Dacă Hprime⊴Gprime atunci f-1(Hprime)⊴G Demonstraţie (i) Dacă xprime yprimeisinf(H) atunci xprime=f(x) yprime=f(y) cu
x yisinH şi cum xprime-1yprime =(f(x))-1 f(y)=f(x-1y) iar x-1yisinH deducem că xprime-1yprimeisinf(H) adică f(H)leGprime (ii) Dacă xprimeisinGprime şi hprimeisinf(H) atunci cum f este surjecţie xprime=f(x) cu xisinG şi hprime=f(h) cu hisinH Deoarece xprimehprimexprime-1=f(xhx-1) iar xhx-1isinH (căci H⊴G) deducem că xprimehprimexprime-1 isinf(H) adică f(H)⊴G (iii) Dacă x yisinf-1(Hprime) atunci f(x) f(y)isinHprime şi cum HprimeleGprime deducem că f(x)-1 f(y)=f(x-1y)isinHprime adică x-1yisin f-1(Hprime) deci f-1(Hprime)leG
(iv) Fie xisinG şi yisinf-1(Hprime) (adică f(y)isinHprime) Cum Hprime⊴Gprime avem f(x)f(y)f(x)-1isinHprime sau f(xyx-1)isinHprime deci xyx-1isinf-1(Hprime) adică f-
1(Hprime)⊴G∎
Observaţia 55 Dacă fisinHom(G Gprime) conform propoziţiei precedente deducem că f-1(1)⊴G iar f(G)leGprime Convenim să notăm f-
1(1)=Ker(f) şi să-l numim nucleul lui f iar f(G)=Im(f) şi să-l numim imaginea lui f
Astfel pentru orice fisinHom(G Gprime) Ker(f)⊴G iar Im(f)leGprime
Propoziţia 56 Dacă G Gprime sunt grupuri iar fisinHom(G Gprime) următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) f este funcţie injectivă (ii) Ker(f)=1
(iii) Pentru orice grup Gprimeprime şi α βisinHom(Gprimeprime G) dacă foα=foβ atunci α=β
Demonstraţie (i) rArr (ii) Evident 1subeKer(f) Dacă xisinKer(f)
atunci f(x)=1=f(1) şi cum f este injecţie deducem că x=1 adică Ker(f)=1
(ii)rArr(i) Dacă x yisinG astfel icircncacirct f(x)=f(y) cum f(x-1y)= =(f(x))-1f(y)=1 deducem că x-1yisinKer(f)=1 adică x-1y=1 deci x=y rezultacircnd astfel că f este injecţie
(i)rArr(iii) Evidentă
111
(iii)rArr(i) Să presupunem prin absurd că f nu este injectivă (deşi verifică (iii)) Cum (i) hArr (ii) deducem că Ker(f)ne1 Dacă notăm Gprimeprime=Ker(f) şi considerăm α βGprimeprimerarr G α=incluziunea iar β= morfismul nul (adică β(x)=1 pentru orice xisinGprimeprime) atunci αneβ şi foα=foβ (căci ambele dau morfismul nul) ndash absurd ∎
Observaţia 57 Datorită propoziţiei precedente (şi ţinacircnd cont de felul icircn care se vor defini icircn Capitolul 5 monomorfismele icircntr-o categorie oarecare) vom numi morfismele injective de grupuri monomorfisme Monomorfismele se mai zic şi scufundări
Propoziţia 58 Dacă G Gprime sunt grupuri iar fisinHom(G Gprime) atunci icircn ipoteza că Gprime este comutativ următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) f este surjecţie (ii) Im(f)=Gprime (iii) Pentru orice grup Gprimeprime şi orice morfisme α βisinHom(GprimeGprimeprime) dacă αof=βof atunci α=β
Demonstraţie Echivalenţa (i) hArr (ii) este imediată
(i)rArr(iii) Dacă yisinGprime cum f este surjecţie există xisinG astfel icircncacirct f(x)=y Atunci (αof)(x)=( βof)(x) hArr α(f(x))= β(f(x)) hArr α(y)=β(y) adică α=β (iii)lArr(i) Să presupunem că f verifică (iii) şi totuşi nu este surjectivă adică Im(f)neGprime Alegacircnd Gprimeprime=GprimeIm(f) (lucru posibil deoarece prin ipoteză Gprime este comutativ şi deci Im(f)⊴Gprime) avem că Gprimeprimene1 şi astfel alegacircnd α=pIm(f)GprimerarrGprimeprime şi β= morfismul nul de la Gprime la Gprimeprime avem că αneβ deşi αof=βof (căci ambele compuneri dau morfismul nul) ndash absurd∎
Observaţia 59 Datorită propoziţiei precedente (şi din aceleaşi raţiuni ca icircn cazul Observaţiei 57) morfismele surjective fisinHom(G Gprime) cu Gprime comutativ se mai zic şi epimorfisme (cu atacirct mai mult cu cacirct vom arăta mai tacircrziu că putem renunţa la restricţia ca Gprime să fie comutativ)
112
Definiţia 510 Dacă G Gprime sunt grupuri vom spune că fisinHom(G Gprime) este izomorfism de grupuri dacă există gisinHom(Gprime G) astfel icircncacirct gof=1G şi fog=1Gprime Icircn acest caz vom spune despre grupurile G şi Gprime că sunt izomorfe şi vom scrie G asymp Gprime
Se verifică imediat că morfismul f este izomorfism de
grupuri dacă şi numai dacă f este bijecţie Vom privi noţiunile de nucleu şi conucleu ale unui morfism de grupuri icircntr-un context mai general Icircn acest sens vom introduce noţiunea de nucleu şi conucleu a unei perechi de morfisme de grupuri şi vom proba existenţa lor (analog ca icircn cadrul sect4 de la Capitolul1)
Definiţia 511 Fie f gG1rarrG2 o pereche de morfisme de grupuri Un dublet notat prin Ker(f g)=(G i) şi format dintr-un grup G şi un morfism de grupuri iGrarrG1 se zice nucleul perechii (f g) dacă icircndeplineşte următoarele condiţii (i) foi=goi (ii) Dacă (Gprime iprime) este un alt dublet format dintr-un grup Gprime şi un morfism de grupuri iprimeGprimerarrG1 aicirc foiprime=goiprime atunci există un unic morfism de grupuri uGprimerarrG astfel icircncacirct iou=iprime
Teorema 512 Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f gG1rarrG2 există Ker(f g) care este unic pacircnă la un izomorfism de grupuri
Demonstraţie Demonstraţia unicităţii fiind asemănătoare cu
cea de la nucleul unei perechi de funcţii (sect4 Capitolul 1) vom proba doar existenţa nucleului
Icircn acest sens vom considera K = xisinG1| f(x) = g(x) şi să arătăm că KleG1 Dacă x yisinK atunci f(x)=g(x) f(y)=g(y) şi cum f(xy-1)=f(x)f(y)-1= g(x)g(y)-1= g(xy-1) deducem că xy-1isinK adică KleG1 Morfismul iKrarrG1 va fi incluziunea şi icircn mod evident foi=goi
Dacă mai avem un alt dublet (Kprime iprime) cu Kprime grup şi iprimeKprimerarrG1 morfism de grupuri astfel icircncacirct foiprime=goiprime atunci pentru orice xisinKprime f(iprime(x))isinK astfel că uKprimerarrK u(x)=iprime(x) pentru orice xisinKprime va fi unicul morfism de grupuri pentru care iou=iprime∎
113
Definiţia 513 Fie f gG1rarrG2 o pereche de morfisme de grupuri Un dublet notat prin Coker(f g)=(G p) format dintr-un grup G şi un morfism de grupuri pG2rarrG se zice conucleu al perechi (fg) dacă icircndeplineşte următoarele condiţii
(i) pof=pog (ii) Dacă(Gprime pprime) este un alt dublet format dintr-un grup Gprime şi
un morfism de grupuri pprimeG2rarrGprime astfel icircncacirct pprimeof=pprimeog atunci există un unic morfism de grupuri uGrarrGprime astfel icircncacirct uop=pprime
Teorema 514 Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f gG1rarrG2 există Coker(f g) care este unic pacircnă la un izomrfism de grupuri
Demonstraţie Cum probarea unicităţii conucleului se face ca
pentru funcţii (sect4 Capitolul 1) să probăm doar existenţa conucleului Icircn acest sens vom considera M=f(x)g(x)-1 |xisinG1 H=[M]= subgrupul normal al lui G2 generat de M (vezi Propoziţia 44) iar pH G2rarrG2H morfismul surjectiv canonic şi să probăm că (G=G2H pH)=Coker(f g) Conform Propoziţiei 44 H=[M]= lta-1 f(x)g(x)-1a |aisinG2 xisinG1gt
Deoarece pentru orice xisinG1 f(x)g(x)-1isinMsubeH deducem că H(f(x))=H(g(x)) adică pH(f(x))=pH(g(x)) deci pHof=pHog
Fie acum (Gprime pprime) un alt dublet format dintr-un grup Gprime şi un morfism pprimeG2rarrGprime astfel icircncacirct pprimeof=pprimeog Atunci pentru orice xisinG1 pprime(f(x))=pprime(g(x)) hArr f(x)g(x)-1isinKer pprime de unde deducem că MsubeKer(pprime) şi deci şi H=[M]subeKer(pprime) (căci Ker(pprime)⊴G2 iar H este cel mai mic subgrup normal al lui G2 ce conţine pe M)
Avem deci diagrama f pH
G1 G2 G2H g pprime u
Gprime
cu HsubeKer(pprime) Definim uG2Hrarr Gprime prin u(xH)=pprime(x) pentru orice xisinG2
114
Dacă mai avem yisinG2 astfel icircncacirct xH=yH atunci x-1yisinHsubeKer(pprime) adică x-1 yisinKer(p) deci pprime(x)=pprime(y) şi astfel u este corect definită Icircn mod evident u este morfism de grupuri şi uopH=pprime
Dacă mai avem uprimeG2 HrarrGprime astfel icircncacirct uprimeopH=pprime atunci pentru orice x isinG2 avem uprime(pH(x))= u(pH(x)) adică uprime=u∎
Observaţia 515 Dacă fG1rarr G2 este un morfism de grupuri atunci consideracircnd morfismul nul 1G1rarr G2 definit prin 1(x)=1 pentru orice xisinG1 avem că Ker(f)=Ker(f 1) iar Coker(f)=Coker(f 1)
sect6Teorema lui Malţev Grupul (ℤ+) Subgrupurile lui (ℤ+) Clasele de resturi modulo n
Icircn vederea construirii mulţimii numerelor icircntregi ℤ vom prezenta la icircnceput o teoremă a lui Malţev de scufundare a unui monoid comutativ cu proprietatea de simplificare icircntr-un grup comutativ urmacircnd ca prin particularizare la cazul monoidului (ℕ+) să obţinem grupul aditiv (ℤ+)
Teorema 61 ( Malţev ) Fie (M middot) un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare Atunci există un grup comutativ G(M) şi un morfism injectiv de monoizi iMMrarrG(M) ce verifică următoarea proprietate de universalitate
Pentru orice grup comutativ G şi orice morfism de monoizi fMrarrG există un unic morfism de grupuri fʹG(M)rarrG aicirc diagrama i M M G(M) f fʹ G
115
este comutativă (adică fʹ∘iM =f ) Demonstraţie Pe mulţimea Mʹ=MtimesM definim relaţia
(x y)sim(xʹ yʹ) rang=langdef
xyʹ=yxʹ şi să probăm că sim este o echivalenţă pe Mʹ compatibilă cu structura de monoid a lui Mʹ (adică sim este o congruenţă pe monoidul produs Mʹ=MtimesM ) Icircn mod evident relaţia sim este reflexivă şi simetrică Dacă (x y)sim(xʹ yʹ) şi (xʹ yʹ)sim(xʹʹ yʹʹ) atunci xyʹ=yxʹ şi xʹyʹʹ=xʹʹyʹ de unde xxʹyʹyʹʹ=xʹxʹʹyyʹ deci xyʹʹ= yxʹʹ (am simplificat prin xʹyʹ) adică (x y)sim(xʹʹ yʹʹ) deci relaţia sim este şi tranzitivă de unde concluzia că sim este o echivalenţă pe Mʹ
Fie acum (x y) (xʹ yʹ) (a b) (aʹ bʹ)isinMʹ aicirc (x y)sim(a b) şi (xʹ yʹ)sim(aʹ bʹ) şi să probăm că şi (xxʹ yyʹ)sim(aaʹ bbʹ )
Avem deci xb=ya şi xʹbʹ=yʹaʹ de unde xxʹbbʹ=yyʹaaʹ adică (xxʹ yyʹ)sim(aaʹ bbʹ) adică relaţia sim este o congruenţă pe monoidul produs Mʹ icircn care reamintim că operaţia de compunere se defineşte prin (x y)middot(xʹ yʹ)=(xxʹyyʹ) Vom considera monoidul cacirct G(M)=Mʹsim iar pentru (x y)isinMʹ vom nota prin [x y] clasa sa de echivalenţă icircn G(M)
Datorită faptului că relaţia sim este o congruenţă pe Mʹ deducem imediat că G(M) devine icircn mod canonic monoid comutativ definind pentru [x y] [xʹ yʹ]isinG(M) [x y]middot[xʹ yʹ]=[xxʹ yyʹ] (elementul neutru al lui G(M) va fi [1 1] 1 fiind elementul neutru al lui M) Deoarece pentru [x y]isinG(M) [x y]middot[y x]=[xy xy]=[1 1] deducem că [y x]= =[x y] ndash 1 adică G(M) este grup (comutativ)
Definim iM MrarrG(M) prin iM (x)=[x 1] pentru orice xisinM Pentru x yisinM avem iM (x)middotiM (y)=[x 1]middot[y 1]=[xy 1]=iM (xy) adică i M este morfism de monoizi Dacă iM (x)=iM (y) atunci [x 1]=[y 1] hArr hArrx1=y1 hArr x=y adică iM este chiar morfism injectiv de monoizi
Să arătăm acum că dubletul (G(M) iM) verifică proprietatea de universalitate din enunţ Pentru aceasta fie G un grup comutativ oarecare şi fMrarrG un morfism de monoizi Pentru [x y]isinG(M)
116
definim fʹ([x y])=f(x)f(y)ndash1 Observăm că dacă [x y]=[xʹ yʹ] atunci xyʹ=xʹy deci f(x)f(yʹ)=f(xʹ)f(y) hArr f(x)f(y)ndash1=f(xʹ)f(yʹ)-1 adică fʹ este corect definită
Să probăm acum că fʹ este morfism de grupuri Avem fʹ([x y]middot[xʹ yʹ])=fʹ([xxʹ yyʹ])=f (xxʹ)f(yyʹ)-1=
=f(x)f(xʹ)[f(y)middotf(yʹ)]-1=(f(x)f(y)ndash1)( f(xʹ)f(yʹ)-1)=fʹ([x y])fʹ([xʹ yʹ]) Pentru xisinM avem (fʹ∘iM)(x)=fʹ(iM (x))= fʹ([x1])=f(x)f(1)-1=f(x) de unde concluzia că fʹ∘iM=f
Pentru a proba unicitatea lui fʹ (cu proprietatea din enunţ) să presupunem că mai există un morfism de grupuri fʹʹG(M)rarrG aicirc fʹʹ∘iM=f Atunci pentru [x y]isinG(M) avem [xy]=[x1]middot[1y]=[x1]middot[y1]-1 de unde fʹʹ([x y])=fʹʹ([x1]middot[y1]ndash1) = =fʹʹ(iM (x)iM(y)-1)=fʹʹ(iM (x))(fʹʹ(iM (y))-1=f(x)(f(y))ndash1=fʹ([x y]) adică fʹʹ=fʹ ∎
Observaţia 62 1 Dacă f este un morfism injectiv de grupuri atunci şi fʹ este
morfism injectiv de grupuri Icircntr-adevăr dacă [x y]isinG(M) şi fʹ([x y])=1 atunci
f(x)(f(y))ndash1 =1 deci f(x)=f(y) de unde x=y adică [x y]=[x x]=1 2 Dacă pe mulţimea dubletelor (G f) cu G grup abelian şi
fMrarrG morfism injectiv de monoizi definim relaţia (G f )le(Gʹ fʹ)hArrexistă hGrarrGʹ aicirc h este morfism injectiv de grupuri şi h∘f=fʹ atunci se verifică imediat că relaţia de mai sus este o relaţie de ordine iar dubletul (G(M) iM ) din Teorema lui Malţev este cel mai mic element faţă de această relaţie de ordine
Definiţia 63 Consider`nd monoidul (ℕ +) (ce are
proprietatea de simplificare conform Propoziţiei 19) şi urmacircnd tehnica dată de Teorema lui Malţev mulţimea subiacentă grupului aditiv (G(ℕ) +) se notează prin ℤ şi poartă numele de mulţimea numerelor icircntregi iar grupul (ℤ +) grupul aditiv al numerelor icircntregi
117
Ţinacircnd cont de faptul că iℕℕrarrℤ iℕ(n)=[n 0] pentru orice nisinℕ este morfism injectiv de monoizi vom identifica fiecare număr natural nisinℕ prin elementul icircntreg [n 0] astfel că ℕ va fi privită icircn continuare ca submulţime a lui ℤ
Fie acum z=[m n]isinℤ Dacă m=n atunci z=0 Dacă mltn atunci există pisinℕ aicirc m+p=n (icircn acest caz convenim să notăm p=n-m şi astfel m+(n-m)=n) iar z=[0 p]=-[p 0] se identifică cu numărul icircntreg ndashp iar dacă nltm atunci există qisinℕ aicirc n+q=m şi astfel z=[q 0] identificacircndu-se cu numărul natural q
Ţinacircnd cont de acestea putem scrie pe ℤ sub forma ℤ=(-ℕ)cupℕ unde -ℕ=-n|nisinℕ sau ℤ=0 plusmn1 plusmn2 hellip
Lema 64 Fie x y z t xʹ yʹ zʹ tʹisinℕ aicirc [x y]=[xʹ yʹ] şi [z t]=[zʹ tʹ] Atunci [xz+yt xt+yz]=[xʹzʹ+yʹtʹ xʹtʹ+yʹzʹ]
Demonstraţie Din ipoteză avem x+yʹ=y+xʹ şi z+tʹ=zʹ+t astfel că
[xz+yt xt+yz]=[xʹzʹ+yʹtʹ xʹtʹ+yʹzʹ]hArr (xz+yt)+(xʹtʹ+yʹzʹ)=(xt+yz)+(xʹzʹ+yʹtʹ)hArr x(z-t)+y(t-z)=xʹ(zʹ-tʹ)+yʹ(tʹ-zʹ)hArr(x-y)(z-t)=(xʹ-yʹ)(zʹ-tʹ) ceea ce este adevărat deoarece x-y=xʹ-yʹ şi z-t=zʹ-tʹ ∎
Fie acum α=[x y] şi β=[z t] două numere icircntregi
Definind αmiddotβ=[xz+yt xt+yz] conform Lemei 64 deducem că această definiţie este corectă
Propoziţia 65 (ℤ middot ) este monoid comutativ icircnmulţirea este distributivă faţă de adunare iar dacă ααprimeisinℤ şi ααprime=0 atunci α=0 sau αprime=0
118
Demonstraţie Pentru a demonstra că (ℤ middot) este monoid comutativ fie α=[x y] αʹ=[xʹ yʹ] αʹʹ=[xʹʹ yʹʹ] trei elemente oarecare din ℤ Atunci
α(αʹαʹʹ)=[xy][xʹxʹʹ+yʹyʹʹxʹyʹʹ+yʹxʹʹ]=[x(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)+y(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ) x(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ)+y(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)]=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] iar
(ααʹ)αʹʹ=[xxʹ+yyʹ xyʹ+xʹy][xʹʹ yʹʹ] =[(xxʹ+yyʹ)xʹʹ+(xyʹ+xʹy)yʹʹ (xxʹ+yyʹ)yʹʹ+(xyʹ+xʹy)xʹʹ] =[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] de unde deducem că α(αʹαʹʹ)=(ααʹ)αʹʹ adică icircnmulţirea numerelor icircntregi este asociativă
Icircn mod evident ααʹ=αʹα (deoarece icircnmulţirea numerelor naturale este comutativă) adică icircnmulţirea numerelor icircntregi este comutativă
Deoarece α[1 0]=[x y][1 0]=[x y]=α deducem că elementul neutru pentru icircnmulţirea numerelor icircntregi este [1 0]
Să arătăm acum că icircnmulţirea numerelor icircntregi este distributivă faţă de adunarea numerelor icircntregi
Icircntr ndash adevăr
α(αʹ+αʹʹ)=[x y][xʹ+xʹʹ yʹ+yʹʹ] =[x (xʹ+xʹʹ)+y(yʹ+yʹʹ) x(yʹ+yʹʹ)+y (xʹ+xʹʹ)] =[xxʹ+xxʹʹ+yyʹ+yyʹʹ xyʹ+xyʹʹ+yxʹ+yxʹʹ] iar
ααʹ+ααʹʹ=[x y][xʹyʹ]+[x y] [xʹʹ yʹʹ] =[xxʹ+yyʹ xyʹ+yxʹ]+[xxʹʹ+yyʹʹ xyʹʹ+yxʹʹ] =[xxʹ+yyʹ+xxʹʹ+yyʹʹ xyʹ+yxʹ+xyʹʹ+yxʹʹ] de unde se observă că α(αʹ+αʹʹ)=ααʹ+ααʹʹ
Fie ααʹ=0=[0 0] cu αne0 (adică xney) Atunci xxʹ+yyʹ=xyʹ+xʹy de unde (x-y)(xʹ-yʹ)=0 şi cum x-yne0 atunci xʹ-yʹ=0 adică xʹ=yʹ (conform Propoziţiei 115) deci αʹ=0∎
119
Definiţia 66 Pentru x yisinℤ definim x le y hArry-xisinℕ Teorema 67 Dubletul (ℤ le) este mulţime total ordonată Demonstraţie Fie x y zisinℤ deoarece x-x=0isinℕ deducem că
xlex Dacă xley şi ylex atunci există m nisinℕ aicirc y-x=m şi x-y=n de
unde m+n=0 şi deci m=n=0 (conform Propoziţiei 111) adică x=y Dacă xley şi ylez atunci există m nisinℕ aicirc x+m=y şi y+n=z
Cum x+(m+n)=z deducem că xlez adică ( ℤ le ) este o mulţime ordonată Faptul că ordonarea de pe ℤ este totală rezultă din aceea că ℤ=(-ℕ)cupℕ iar (-ℕ)cap ℕ=empty ∎
Observaţia 68 Din felul icircn care am definit relaţia de ordine le
pe ℤ deducem că ℕ=xisinℤ xge0 iar -ℕ=xisinℤ x le0 Propoziţia 69 Fie x y zisinℤ aicirc x le y
Atunci (i) -y le -x (ii) dacă z ge 0 atunci xz le yz (iii) dacă z le 0 atunci xz ge yz
Demonstraţie(i) Din x le y deducem că y-xisinℕ şi cum
(ndashx)ndash(-y)=y-xisinℕ rezultă că ndashy le- x (ii) Cum y-xisinℕ şi zisinℕ avem (y-x)zisinℕ adică yz-xzisinℕ deci
xz le yz (iii) Cum ndashzisinℕ şi y-xisinℕ deducem că şi (y-x)(-z)isinℕ iar cum
(y-x)(-z)=xz-yzisinℕ rezultă că xz ge yz ∎ Observaţia 610 1 Dacă G este un grup xisinG şi nisinℤ atunci
definim
120
( )
isin
isin= minusminus NZndacax
Nndacaxx n
nn
1
Se probează imediat că dacă xisinG şi m nisinℤ atunci xmxn=xm+n şi (xm)n = xmn De asemenea dacă x yisinG xy=yx şi nisinℤ atunci (xy)n=xnyn
2 Tinacircnd cont de cele mai icircnainte Propoziţia 27 capătă următoarea formă
Dacă MsubeG este o mulţime nevidă atunci =M nxx n
nεε 1
1 isinℕ nεε 1 isinℤ iar x1 hellipxnisinM
Dacă M=x atunci ltxgt=xn nisinℤ (vezi Corolarul 28)
Să caracterizăm acum subgrupurile grupului (ℤ+) iar icircn acest sens pentru nisinℕ notăm nℤ=nk kisinℤ
Teorema 611 Următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) Hle(ℤ+)
(ii) Există nisinℕ astfel icircncacirct H=nℤ Demonstraţie (ii) rArr (i) Să arătam că dacă H=nℤ atunci
Hle(ℤ+) iar pentru aceasta fie x yisinH adică x=nk y=nt cu k tisinℤ Atunci x-y=n(k-t)isinH adică Hle(ℤ+)
(i)rArr(ii) Fie Hle(ℤ+) Dacă H=0 atunci H=0ℤ Să presupunem că există xisinH astfel icircncacirct xne0 Dacă xgt0 atunci xisinℕcapH iar dacă xlt0 atunci ndashxisinℕcapH (căci Hle(ℤ+)) Icircn concluzie A=ℕcapHsubeℕ şi AneOslash Conform Teoremei 121 A are un cel mai mic element n şi să demonstrăm că H=nℤ
Cum nisinHcapℕ şi Hle(ℤ+) atunci pentru orice kisinℤ nkisinH adică nℤsubeH Pentru cealaltă incluziune fie misinH Atunci mgen şi conform teoremei icircmpărţirii cu rest din ℕ (Corolar 125) există c risinℕ astfel icircncacirct m=cn+r iar 0lerltn Deducem că r=m-cn şi cum m
121
nisinH iar cisinℕ atunci risinH deci cu necesitate r=0 (altfel din rltn am contrazice minimalitatea lui n) Icircn concluzie m=cnisinnℤ adică Hsubenℤ deci H=nℤ∎
Fie nisinℕ n ge 2 şi ρn subeℤtimesℤ definită prin (xy)isinρ nhArr n | x-y
Deoarece pentru orice xisinℤ n|x-x=0 deducem că ρn este reflexivă iar dacă n|x-y atunci n|y-x adică (yx)isinρn astfel că ρn este şi simetrică Dacă (xy) (yz)isinρn atunci n|x-y y-z şi atunci n|(x-y)+(y-z)=x-z deci (xz)isinρn adică ρn este şi tranzitivă deci o echivalenţă pe ℤ
Dacă xisinℤ atunci icircmpărţind pe x la n avem x=cn+r cu cisinℤ şi risin01hellipn-1
Atunci x-r=cn adică (x r)isinρn şi deci [ ] [ ]nn
rx ρρ = astfel că
ℤρn = [ ]nρ0 [ ]
nρ1 hellip [ ]n
n ρ1minus
Pentru a respecta tradiţia notaţiilor vom nota ℤρn=ℤn iar [ ] kk
n
)=ρ pentru orice kisin01hellipn-1 (dacă nu este pericol de
confuzie) astfel ℤ n = andandandminus110 n iar k
)=k+cn|cisinℤ pentru orice
kisin01hellipn-1
Elementele lui ℤn se numesc clasele de resturi modulo n
Observaţia 612 Dacă notăm H=nℤ am văzut că Hle(ℤ+) iar cum (ℤ+) este grup comutativ de fapt H⊴(ℤ+)
Deoarece pentru orice 0le k le n-1 k = k+cn | cisinℤ
ţinacircnd cont de cele expuse la sect4 de fapt k =k+H astfel că ℤn = ℤH
Astfel dacă pentru k t isinℤn definim =+andand
tk and+ tk atunci (ℤn +)
devine grup (comutativ) icircn care elementul neutru este 0 iar - k =
122
andminus kn pentru orice 0leklen-1 Deducem imediat că ℤn=lt1gt adică (ℤn
+) este un grup ciclic cu n elemente Să definim acum şi icircnmulţirea claselor de resturi modulo n
pentru k t isinℤ prin
^^^kttk =sdot
Dacă andand
= k k şi andand
= t t atunci n | k-kprime şi n | t-tprime astfel că
dacă scriem kt-kprimetprime=k(t-tprime)+tprime(k-kprime) deducem că n | kt-kprimetprime hArr andand
= tk kt adică icircnmulţirea claselor de resturi este corect definită
Propoziţia 613 (ℤn sdot) este monoid comutativ iar
U(ℤn sdot) =and
k | (k n) = 1 Demonstraţie Asociativitatea icircnmulţirii pe ℤn este imediată
( ea reducacircndu-se la asociativitatea icircnmulţirii pe ℤ ) Elementul
neutru este and1 deoarece
andk sdot
and1=
andk pentru orice
andk isinℤn Dacă
andk isinU
(ℤn sdot) atunci există andt isin ℤn aicirc
andk sdot
andt = 1 hArr n|kt-1 de unde cu
necesitate (k n)=1
Reciproc dacă (k n)=1 atunci există α βisinℤ aicirc αk+βn=1
(vezi [4] ) de unde andandand
=sdot 1 kα adică andk isinU(ℤn sdot) iar
andandminus = α1k ∎
Observaţia 614 Funcţia ϕℕrarrℕ definită prin ϕ(1)=ϕ(2)=1 iar pentru nge3 ϕ(n)=numărul numerelor naturale m aicirc mltn şi (m n)=1 poartă numele de indicatorul lui Euler Astfel pentru ngt2 | U(ℤnsdot) | = ϕ(n)
Propoziţia 615 Fie G un grup ciclic G=ltxgt xne1 Dacă o(x)=infin atunci Gasymp(ℤ+) pe cacircnd dacă o(x)=n (nge2) atunci G asymp (ℤn +)
123
Demonstraţie Dacă o(x)=infin atunci xkne1 pentru orice kisinℤ iar G=xk kisinℤ
Definim f (ℤ +)rarr (G sdot) f(k)=x k pentru orice kisinℤ Dacă k tisinℤ şi knet atunci xknext (căci icircn caz contrar ar rezulta că 1x tk =minus sau 1x kt =minus după cum kgtt sau tgtk) adică f(k)nef(t) deci f este funcţie injectivă Icircn mod evident f este surjectivă adică bijectivă Deoarece f(k+t)= tkx + =xksdotxt = f(k)sdotf(t) pentru orice k tisinℤ deducem că f este şi morfism de grupuri adică izomorfism de grupuri şi deci Gasymp(ℤ +) Dacă o(x)=n atunci G=1 x x2hellip 1minusnx şi atunci definim
f (ℤn +)rarr(Gsdot) prin f(andk )= xk pentru orice 0 le k le n-1
Dacă xk = xt (cu 0lektlen-1) atunci presupunacircnd că kgtt deducem că n| k-t şi astfel tk ˆˆ = adică f este injectivă In mod evident f este şi surjectivă adică f este bijectivă
Deoarece f( tk ˆˆ + )=f(and+ tk )= tkx + =xk sdotxt=f( k )sdotf( t ) pentru
orice tk ˆˆ isinℤn deducem că f este şi morfism de grupuri adică
izomorfism de grupuri∎
sect7 Teoremele de izomorfism pentru grupuri Vom icircncepe cu o teoremă cunoscută sub numele de teorema fundamentală de izomorfism pentru grupuri
Teorema 71 Dacă G Gprime sunt grupuri iar fisinHom(G Gprime) atunci GKer(f)asympIm(f)
Demonstraţie Dacă notăm H=Ker(f) atunci H=xisinG | f(x)=1⊴G iar GKer(f)=x Ker f | xisinG=xH | xisinG
Definim φGKer(f)rarrIm(f) prin φ(xH)=f(x) pentru orice xisinG Dacă x yisinG atunci din echivalenţele xH=yH hArr x-1yisinH hArr hArrf(x-1y)=1 hArr f(x)=f(y) deducem că φ este corect definită şi
124
injectivă Surjectivitatea lui φ fiind imediată deducem că φ este bijecţie
Cum φ ((xH)(yH)) = φ((xy)H) = f(xy) = f(x)f(y) = φ(xH)φ(yH) pentru orice xH yHisinGH deducem că φ este şi morfism de grupuri adică φ este izomorfism de grupuri∎
Corolar 72 Dacă G Gprime sunt grupuri iar fisinHom(G Gprime) un morfism surjectiv de grupuri atunci GKer(f)asympGprime
Corolar 73 Fie G un grup H K subgrupuri ale lui G aicirc K ⊴G Atunci HK le G HcapK ⊴H iar HK K asymp H HcapK
Icircn plus dacă şi H ⊴ G atunci HK⊴ G (unde reamintim că HK=hk hisinH şi kisinK)
Demonstraţie Cum K⊴G xK=Kx pentru orice xisinG şi prin
urmare HK= UHxKx
isin= U
HxxK
isin=KH
Dacă x yisinHK x=h1k1 şi y=h2k2 cum h1 h2isinH şi k1 k2isinK atunci scriind xy-1=(h1k1)(h2k2)-1=(h1k1)(h2
-1k2-1)=[h1(k1k2
-1)h1-1](h1h2
-1) deducem că xy-1isinKH=HK (căci din H KleG şi K⊴G deducem pe racircnd că h1 h2
-1isinK h1(k1k2-1)h1
-1isinK ]i h1h2-1isinH) adic[ HKleG
Icircn mod evident K⊴HK şi să considerăm ϕHrarrHKK ϕ(x)=xK pentru orice xisinH (evident ϕ este corect definită deoarece pentru xisinH avem xisinHK şi xKisinHKK) care este morfism de grupuri
Deoarece orice element din HKK este de forma (xy)K=x(yK)=xK=ϕ(x) (cu xisinH şi yisinK) deducem că ϕ este morfism surjectiv de grupuri Icircn plus Ker ϕ=xisinH ϕ(x)=1=xisinH xK=K=xisinH xisinK=HcapK Conform Corolarului 72 deducem că HKerϕ asymp HKK hArr hArrHHcapKasympHKK Dacă şi H⊴G atunci pentru orice xisinG avem x(HK)=(xH)K=(Hx)K=H(xK)=H(Kx)=(HK)x adică HK⊴G∎
125
Să facem acum preparativele pentru a demonstra o altă teoremă de izomorfism importantă din teoria grupurilor cunoscută sub numele de teorema de corespondenţă pentru grupuri
Fie deci G un grup H⊴G iar pHGrarrGH morfismul surjectiv canonic (pH(x)=xH pentru orice xisinG) Dacă avem KleG aicirc HsubeK (deci HleK) atunci pH(K)=xH xisinK=KH şi conform Propoziţiei 54 KHleGH adică KHisinL(GH) Să notăm L(GH)=KisinL(G)HsubeK şi să definim αL(GH)rarrL(GH) α(K)=pH(K)=KH pentru orice KisinL(GH)
Suntem acum icircn măsură să enunţăm şi să demonstrăm
teorema de corespondenţă pentru grupuri Teorema 74 Fie G un grup H⊴G iar K K1 K2isinL(GH)
Atunci (i) αL(GH)rarrL(GH) α(K)=pH(K)=KH este izomorfism laticeal
(ii) K⊴G hArr α(K)=KH⊴GH şi icircn acest caz GK asymp(GH)(KH) Demonstraţie (i) Să arătăm la icircnceput că α este bijecţie
izotonă Dacă SisinL(GH) atunci pH-1(S)leG şi cum1isinS H=Ker pH =
=pH-1(1)subepH
-1(S) adică pH-1(S)isinL(GH) Obţinem astfel funcţia
βL(GH)rarrL(GH) β(S)=pH-1(S) pentru orice SisinL(GH)
Vom demonstra că αoβ=1L(GH) şi βoα=1L(GH) de unde va rezulta că α este bijectivă Fie deci SisinL(GH) Atunci (αoβ)(S)=α(β(S))=pH(pH
-1(S)) şi să demonstrăm că pH(pH
-1(S))=S (de unde va rezulta că αoβ=1L(GH)) Incluziunea pH(pH
-1(S))subeS este evidentă Fie acum sisinS cum pH este funcţie surjectivă deducem că există xisinG aicirc s=pH(x) de unde rezultă că xisinpH
-1(S) şi s=pH(x)isinpH(pH
-1(S)) adică SsubepH(pH-1(S)) de unde egalitatea pH(pH
-
1(S))=S De asemenea pentru KisinL(GH) (βoα)(K)=β(α(K))=pH
-1(pH(K)) şi să demonstrăm că pH
-1(pH(K))=K (de unde va rezulta egalitatea βoα=1L(GH)) Incluziunea KsubepH
-1(pH(K)) este evidentă Pentru
126
cealaltă incluziune fie xisinK Atunci pH(x)isinpH(K) şi găsim yisinK aicirc pH(x)=pH(y)
Deducem că x-1yisinKer pH=HsubeK şi deci xisinKy=K (deoarece yisinK) de unde şi incluziunea pH
-1(pH(K))subeK adică avem egalitatea pH
-1(pH(K))=K Dacă K1le K2 atunci icircn mod evident α(K1)leα(K2) Reciproc dacă α(K1)leα(K2) atunci K1=β(α(K1))=pH
-1(α(K1))le lepH
-1(α(K2))=β(α(K2))=K2 Cum probarea faptului că α este chiar morfism laticeal este imediată rezultă că α este de fapt izomorfism de latici
(ii) Să presupunem că dacă KisinL(GH) atunci K⊴G şi să considerăm ϕGHrarrGK ϕ(xH)=xK pentru orice xisinG Dacă avem xyisinG aicirc xH=yH atunci x-1yisinH şi cum HsubeK deducem că x-1yisinK adică xK=yK şi deci ϕ este corect definită icircn mod evident ϕ este morfism surjectiv de grupuri
Avem xisinH=Kerϕ hArr ϕ(xH)=1 hArr xK=K hArr xisinK deci Ker ϕ=KH de unde concluzia că KH⊴GH Conform Corolarului 72 de la teorema fundamentală de izomorfism pentru grupuri avem (GH)Ker ϕ asymp GK hArr (GH)(KH) asymp GK
Reciproc dacă KH⊴GH atunci putem considera G rarr Hp GH rarr HKp (GH)(KH) iar cum K=Ker(pKHopH) deducem că K⊴G∎
Ca un corolar al teoremei de corespondenţă pentru grupuri putem să caracterizăm subgrupurile grupului (ℤn+) pentru nge2 După cum am văzut mai icircnainte ℤn=ℤnℤ Conform teoremei de corespondenţă pentru grupuri orice subgrup al lui ℤn va fi de forma Knℤ unde Kle(ℤ+) aicirc nℤsubeK şi icircn plus ℤn(Knℤ) asymp ℤK
Conform Teoremei 611 K=dℤ cu d divizor natural al lui n
Prin urmare orice subgrup H al lui ℤn este de forma H=(dℤ)(nℤ) unde d gt0 şi d|n iar ℤnH=ℤdℤ=ℤd Pentru un astfel de grup H avem |ℤnH|=|ℤd|=d iar conform teoremei lui Lagrange
127
|H|=|ℤn||ℤnH|=nd Icircn plus K este grup ciclic anume K=lt d gt unde d =d+nℤisinℤn
Pentru exemplificare să considerăm n=12 Divizorii lui 12
sunt 1 2 3 4 6 12 deci subgrupurile lui ℤ12 sunt
1 ℤ12ℤ = ℤ12 = 10and
11
2 ℤ12ℤ = 86420and
10
3 ℤ12ℤ = 9630
4 ℤ12ℤ = 840
6 ℤ12ℤ = 60 şi
12 ℤ12ℤ = 0
sect8 Produse directe finite de grupuri Teorema chinezească a resturilor Numărul tipurilor de grupuri abeliene finite
Fie G1 G2 hellip Gn (nge2) grupuri (multiplicative) iar G = G1 times hellip times Gn= (x1 hellip xn) | xi isinGi 1 le i le n Definind pentru x = (x1 hellip xn) y = (y1 hellip yn) isinG xy = (x1y1 hellip xnyn) aşa cum am arătat icircn sect1 G devine monoid icircn care 1=(1hellip1) Deoarece ( )( ) ( )1
nn-111
1n
-11n1 xxxx xxxx minusminus = =(1hellip1)=
=1= ) x ( -1n 1
11 nxxx minus = ( )( )n1
1n
-11 xxxx minus deducem că
( ) 11n
-11 xx minusminus = x de unde concluzia că G devine grup
Ca şi icircn cazul monoizilor pentru fiecare 1 le i le n pi G rarr Gi pi(x)=xi pentru orice x=(x1hellipxn)isinG este morfism surjectiv de grupuri iar dubletul (G(pi)1leilen) verifică următoarea proprietate de universalitate
128
Pentru oricare grup Gprime şi orice familie de morfisme de grupuri (pprimei)1leilen cu pprimei GrarrGprimei pentru 1le i le n există un unic morfism de grupuri u GprimerarrG aicirc piou=pprimei pentru orice 1le i le n Grupul G (icircmpreună cu morfismele (pi)1leilen) poartă numele de produsul direct al grupurilor G1 hellip Gn Propoziţia 81 Dacă G1hellipGn sunt grupuri atunci Z(G1 times hellip times Gn)= Z(G1) times hellip times Z(Gn) astfel că G1 times hellip times Gn este grup comutativ dacă şi numai dacă fiecare dintre grupurile G1 hellip Gn este comutativ
Demonstraţie Dacă xy isinG = G1 times hellip times Gn x = (x1 hellip xn) y = (y1 hellip yn) atunci xy = yx hArr (x1y1 hellip xnyn) = (y1x1 hellip ynxn) hArr hArrx1y1 = y1x1 hellip xnyn = ynxn de unde egalitatea
Z(G)=Z(G1) times hellip timesZ(Gn) ∎ Propoziţia 82 Fie G1 G2 două grupuri
Atunci G1times1 1timesG2 ⊴ G1timesG2
Demonstraţie Fie x=(x1x2)isinG1timesG2 şi y=(x1)isinG1times1 Atunci isin=== minusminusminusminusminusminus )1()())(1)(( 1
112
121
1121
12
11
1 xxxxxxxxxxxxxyxx
isinG1times1 de unde concluzia că G1times1⊴G1timesG2
Analog se probează că 1 times G2 ⊴ G1 times G2∎
Teorema 83 Fie G un grup H K ⊴ G aicirc HcapK = 1 şi HK=G Atunci G asymp H times K Demonstraţie Reamintim că HK=hk | hisinH kisinK Să probăm acum că pentru orice xisinG elementele hisinH şi kisinK pentru care x=hk sunt unice Icircntr-adevăr dacă mai avem hprimekprime aicirc hprimeisinH kprimeisinK şi x = hk =hprimekprime atunci hprime-1h=kprimek-1 isinHcapK = 1 de unde hprime-1h = kprimek-1 = 1hArr h=hprime k=kprime
129
Fie acum hisinH kisinK şi x = h-1k-1hk Cum K⊴G deducem că h-1k-1hisinK astfel că x = h-1k-1hk = (h-1k-1h)kisinK şi cum analog se arată că xisinH deducem că xisinHcapK=1 adică x=1 şi astfel hk=kh
Fie acum xisinG Atunci există hisinH kisinK unice aicirc x=hk şi definim fGrarrHtimesK f(x)=(hk) Dacă mai avem xprime=hprimekprime cu hprimeisinH kprimeisinK atunci xxprime=(hk)(hprimekprime) = h(khprime)kprime = h(hprimek)kprime = (hhprime)(kkprime) de unde concluzia că f(xxprime)=(hhprimekkprime)=(hk)(hprimekprime)=f(x)f(xprime) adică f este morfism de grupuri Cum icircn mod evident f este funcţie bijectivă deducem că f este izomorfism de grupuri adică GasympHtimesK∎
Teorema 84 Fie G1G2 grupuri G=G1 timesG2 H1⊴G1 H2⊴G2
Atunci H1timesH2 ⊴ G iar 2
21
121 )( H
GH
GHH
G timesasymptimes
Demonstraţie Fie 1
11
1 HGGpH rarr şi
22
22 H
GGpH rarr
morfismele surjective canonice de grupuri şi
times
rarr
22
11 H
GH
GGf
( ))()()(21
xpxpxf HH= pentru orice xisinG Se arată imediat că f este
morfism surjectiv de grupuri Ker f = H1 times H2 de unde ţinacircnd cont de teorema fundamentală de izomorfism pentru grupuri deducem că H1 times H2 ⊴ G iar
( ) 2121)Im()( H
GH
GHH
GffKerG timesasymptimeshArrasymp ∎
Corolar 85 Dacă G=G1 times G2 atunci ( ) 2
1 1 GGG asymptimes
Teorema 86 Fie m nisinℕ m nge2 şi (mn)=1 Atunci ℤm times ℤn asymp ℤmn (ca grupuri aditive)
Demonstraţie Fie ℤm = 10 hellip andminus1m
ℤn= 110 minusn iar ℤmn 110 minus= mn şi fℤmnrarrℤm times ℤn
130
( ) ( )xxxf ˆ= pentru orice xisin01 hellip mn-1 Cum (mn)=1 avem echivalenţele yxşiyxyxnşiyxmyxmnyx ==hArrminusminushArrminushArr= ˆˆ||| de unde concluzia că f este bine definită şi injectivă
Cum |ℤm times ℤn|=|ℤmn|=mn deducem că f este o bijecţie Deoarece probarea faptului că f este şi morfism de grupuri aditive este imediată deducem că f este izomorfism de grupuri∎
Corolar 87 Dacă m1m2hellipmnge2 sunt numere naturale aicirc
pentru inej (mimj)=1 atunci nn mmmmm ZZZ 211
asymptimestimes (ca grupuri aditive)
Observaţia 88 Teorema 86 mai este cunoscută icircn
literatura matematică şi sub numele de teorema chinezească a resturilor Lema 89 Dacă M şi N sunt doi monoizi aicirc M asymp N atunci U(M) asymp U(N) (ca izomorfism de grupuri) Demonstraţie Cum MasympN există fMrarrN izomorfism de monoizi Dacă xisinU(M) atunci există yisinM aicirc xy=yx=1 Deducem că imediat că f(x)f(y)=f(y)f(x)=1 adică f(x)isinU(N) astfel că f U(M)rarrU(N) f =f |U(M) este corect definită Dacă xyisinU(M) atunci
xyisinU(M) şi cum f (xy) = f(xy) = f(x)f(y) = f (x) f (y) deducem că f este morfism de grupuri Datorită bijectivităţii lui f deducem imediat şi bijectivitatea lui f de unde izomorfismul de grupuri U(M)asympU(N)∎
Lema 810 Dacă mnєℕ mnge2 şi (mn)=1 atunci
(ℤm middot ) times(ℤn middot ) asymp(ℤmn middot ) (izomorfism de monoizi) Demonstraţie Ca şi icircn demonstraţia Teoremei 86 fie
ℤm= 10 andminus1m ℤn 1 1 0 minus= n ℤmn 110 minus= mn
131
şi f ℤmn rarr ℤm x ℤn f( x )=( xxˆ ) pentru orice xisin01 hellip mn-1 Dacă mai avem yisin01 hellip mn-1 atunci yx = hArr mn | x-y hArr m | x-y şi n |x-y (căci (m n) = 1) hArr y x şi y x == de unde deducem că f ℤmnrarrℤm times ℤn f( x ) = ( )xx este corect definită şi injectivă Icircn mod evident din yx y x = deducem că
)y)f(xf( )yy()xx( )yxxy( )yxf( )y xf( =sdot===and
iar 1)11()1f( == (icircn ℤm times ℤn) adică f este morfism de monoizi Cum
|ℤm times ℤn| = |ℤmn| = mn deducem că f este surjecţie adică bijecţie deci izomorfism de monoizi∎
Corolar 811 Dacă m nisinℕ m nge2 şi (m n)=1 atunci φ(mn)=φ(m)φ(n) Demonstraţie Conform Lemei 810 avem izomorfismul de monoizi (ℤmsdot) times (ℤnsdot) asymp (ℤmnsdot) Conform Lemei 89 avem izomorfism de grupuri U[(ℤmsdot) times (ℤnsdot)] asymp U(ℤmnsdot) Icircnsă U[(ℤmsdot) times (ℤnsdot)] =
=U(ℤmsdot) times U(ℤnsdot) de unde U(ℤmsdot) times U(ℤnsdot) asymp U(ℤmnsdot) Totul rezultă acum din Observaţia 615 deoarece
|U(ℤmsdot) times U(ℤnsdot)| = |U(ℤmsdot)| sdot |U(ℤnsdot)| = φ(m)φ(n) iar |U(ℤmnsdot)| = =φ(mn)∎ Corolar 812 Dacă m1 hellip mn ge 2 (n ge 2) iar pentru inej (mi mj)=1 atunci φ(m1m2 hellip mn)=φ(m1)φ(m2) hellip φ(mn) Corolar 813 Dacă nisinℕ nge2 iar t1 k
tk1 p p n = este
descompunerea lui n icircn factori primi distincţi atunci
( )
minus
minus=
tpp11 11nn
1ϕ
132
Demonstraţie Deoarece pentru inej ( ) 1 =ji kj
ki pp deducem
(ţinacircnd cont de Corolarul 811) că
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) p -p p -p
p p ppn1k
tkt
1k1
k1
kt
k1
kt
k1
tt11
t1t1
==
===minusminus
ϕϕϕϕ
minus
minus=
minus
minus=
tt pppp11 11n 11 11p p
11
kt
k1
t1 ∎
Dacă nisinℕ prin partiţie a lui n icircnţelegem un sistem ordonat de
numere naturale (m1 m2 hellip mk) aicirc m1 ge m2 ge hellip ge mk iar m1 + m2 + +hellip + mk =n vom nota prin kn numărul partiţiilor lui n Iată pentru nle6 toate partiţiile distincte ale lui n n=1 (1) deci k1 =1 n=2 (2) (11) deci k2 =2 n=3 (3) (21) (111) deci k3 =3 n=4 (4) (31) (22) (211) (1111) deci k4 =5 n=5 (5) (41) (32) (311) (221) (2111) (11111) deci k5 =7 n=6 (6) (51) (42) (411) (33) (321) (3111) (222) (2211) (21111) (111111) deci k6 =11
Observaţia 814 Din teorema de structură a grupurilor abeliene finit generate (vezi [22 p99]) deducem că dacă p este un număr prim iar nisinℕ atunci există kn tipuri de grupuri abeliene finite de ordin pn
Mai general dacă t1 nt
n1 p p n = este descompunerea lui n icircn
produse distincte de numere prime atunci ţinacircnd cont şi de Corolarul 107 deducem că numărul tipurilor de grupuri abeliene de ordin n este egal cu
t1 nn k k Astfel există k4 = 5 tipuri de grupuri abeliene de ordin p4 (cu p prim)
ℤ 4p - corespunzător partiţiei (4)
ℤ times3p ℤp - corespunzător partiţiei (31)
133
ℤ times2p ℤ 2p - corespunzător partiţiei (22)
ℤptimesℤptimesℤptimesℤp- corespunzător partiţiei (1111) iar dacă p şi q sunt numere prime distincte atunci există k3 sdotk3=9 tipuri de grupuri abeliene de ordin p3q3 ℤ 3p timesℤ 3q ℤ 2p
timesℤptimesℤ 3q ℤptimesℤptimesℤptimesℤ 3q
ℤ 3ptimesℤ 2q
timesℤq
ℤ 2ptimesℤptimesℤ 2q
timesℤq ℤptimesℤptimesℤptimesℤ 2qtimesℤq ℤ 3p
timesℤqtimesℤqtimesℤq
ℤ 2ptimesℤptimesℤqtimesℤqtimesℤq ℤptimes ℤptimesℤptimesℤqtimesℤqtimesℤq
Observaţia 815 1 Cum 4=2 2 conform Observaţiei 814
există există două tipuri de grupuri cu 4 elemente ℤ 4 ℤ 2 timesℤ 2 2 Consideracircnd K = 1 a b c cu elementele multiplicacircndu-se după regula a 2 = b 2 = c 2 = 1 ab = ba = c bc = cb = a şi ca = ac = b obţinem un grup izomorf cu ℤ 2 timesℤ 2 numit grupul lui Klein
sect9 Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite Grupul diedral Dn de grad n Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim pge3)
Icircn cadrul acestui paragraf prin p vom desemna un număr prim (pge2)
Teorema 91 (Cauchy) Dacă G este un grup finit aicirc p | |G| atunci există xisinG aicirc o(x)=p (echivalent cu există HleG aicirc | H | = p)
Demonstraţie Cazul 1 G comutativ Vom face inducţie matematică
după cardinalul grupurilor finite G cu proprietatea că p | |G| Dacă |G| = p atunci G este ciclic şi orice element xisinG xne1 are ordinul p Să presupunem afirmaţia adevărată pentru orice grup comutativ Gprime cu proprietatea că |Gprime|lt|G| şi p | |Gprime| şi s-o demonstrăm pentru grupul comutativ G ( icircn ipoteza p | |G| ) Pentru aceasta alegem xisinG xne1 Dacă p | o(x) atunci o(x)=tp cu tisinℕ iar din xo(x)=1 deducem că xtp =1 hArr (xt)p=1 adică o(xt)=1 Dacă p ∤ o(x) atunci alegem H=ltxgt=1 x hellip xo(x)-1 care este subgrup normal al lui G (G fiind
134
presupus comutativ) Dacă vom considera Gprime=GH atunci |Gprime|=|G|o(x)lt|G| şi cum p | |G| iar (po(x))=1 deducem că p | |Gprime| Aplicacircnd ipoteza de inducţie lui Gprime deducem că există un element yHisinGprime aicirc o(yH)=p Din (yH)p=H deducem că ypH=H adică ypisinH deci yp=xt cu 1letleo(x)-1 Deducem imediat că yo(x)p=1 şi astfel elementul z=yo(x)isinG va avea ordinul p
Cazul 2 G necomutativ Vom reduce acest caz tot la Cazul 1 iar icircn acest sens vom utiliza ecuaţia claselor pentru grupul G expusă icircn sect3 al acestui capitol |G| = |Z(G)| + |)(CG |
)(G x
GZxsum
notin (sumarea făcacircndu-se după elementele
xisinG Z(G) pentru care clasa de conjugare [x]~ este netrivială) Dacă există un element xnotinZ(G) aicirc p | |CG(x)| atunci ca şi icircn cazul 1 facem inducţie după |G| (aplicacircnd ipoteza de inducţie lui Gprime=CG(x))
Dacă p ∤ |CG(x)| pentru orice xnotinZ(G) atunci cum
)()(
xCG
xCGG
G = deducem că p | |G CG(x) | şi cum p | |G| din
ecuaţia claselor deducem că p | |Z(G)| Cum Z(G) este comutativ conform Cazului 1 există un element icircn Z(G) (deci icircn G) aicirc ordinul lui este p şi astfel teorema este complet demonstrată∎ Definiţia 92 Vom spune despre un grup G că este p ndash grup dacă ordinul oricărui element al său este o putere naturală a lui p Corolar 93 Dacă G este un grup finit atunci G este p ndash grup dacă şi numai dacă | G | este o putere naturală a lui p Demonstraţie rArrrdquo Dacă prin absurd există un număr prim q aicirc q ne p şi q | | G | atunci conform teoremei lui Cauchy există xisinG aicirc o(x)=q contrazicacircnd faptul că G este p ndash grup
lArr rdquo Totul rezultă din teorema lui Lagrange (vezi sect3)∎ Corolar 94 Dacă G este un p ndash grup finit atunci Z(G)
ne1 Demonstraţie Scriem din nou ecuaţia claselor pentru grupul G
135
| G | = | Z(G) | + |)(CG |)(
G xGZx
sumnotin
(unde reamintim că suma se face
după acele elemente xnotinZ(G) pentru care clasa de conjugare [x]~ este netrivială) Conform Corolarului 93 |G|=pn cu nge1 iar pentru xnotinZ(G) pentru care [x]~ este netrivială avem | G CG(x) | = pm cu mge1 astfel că din ecuaţia claselor deducem că p | Z(G)| adică | Z(G) |gep şi astfel Z(G) este netrivial∎
Lema 95 Dacă G este un grup aicirc GZ(G) este ciclic atunci G este comutativ Demonstraţie Fie H=Z(G) iar GZ(G) = ltxHgt cu xisinG Dacă yzisinG atunci yH=xmH iar zH=xnH cu mn isinℕ de unde y=xmh1 z=xnh2
cu h1h2isinH=Z(G) Atunci yz=xm+nh1h2 iar zy=xn+mh2h1 şi cum h1h2=h2h1 şi m+n=n+m deducem că yz=zy adică G este comutativ∎
Corolar 96 Dacă G este un grup cu p2 elemente atunci G este comutativ
Demonstraţie Cum Z(G)leG | Z(G) |isin1 p p2 Conform
Corolarului 94 |Z(G)| ne1 iar dacă |Z(G)| = p2 atunci G = Z(G) adică G este comutativ Rămacircne să analizăm doar cazul |Z(G)|=p Icircn acest caz
cum | G Z(G) | pp
pGZ
G===
2
)( iar p este prim deducem că GZ(G)
este ciclic şi conform Lemei 95 ajungem şi icircn acest caz la concluzia că G este comutativ∎ Definiţia 97 Dacă nge1 este un numar natural prin grupul diedral de grad n icircnţelegem un grup Dn cu 2n elemente generat de două elemente s şi r ce satisfac conditiile s2=1 rn=1 şi srs=r-1 Icircn concluzie |Dn|=2n iar Dn=1 r r2 helliprn-1 s sr sr2 hellip srn-1 Teorema 98 Presupunem că p este un număr prim ge3 Dacă G este un grup cu 2p elemente atunci G este ciclic ( izomorf cu (ℤ2p+)) sau diedral ( izomorf cu Dp )
136
Demonstraţie Cum | G | = 2p iar 2 şi p sunt numere prime (pge3) atunci (conform Teoremei 91) există s risinG aicirc s2 = 1 şi rp = 1
Consideracircnd H = lt r gt avem | H | = p şi cum 22 ==ppHG
deducem (conform Observaţiei 46) că H⊴G astfel că srs-1isinH deci srs = ri cu 0 le i lep-1 Deducem imediat că
rrssssrssssrsrsrr iiiii ====== 22)()()(2
deci p | i2-1 =(i - 1)(i +1) Dacă p | i-1 atunci srs = r hArr sr = rs şi atunci G va fi comutativ Din teorema de structură o grupurilor abeliene finit generate şi teorema chinezească a resturilor deducem că G asymp ℤ2timesℤp asymp ℤ2p
Dacă p | i+1 atunci srs=r-1 şi obţinem astfel descrierea grupului diedral Dp∎
Icircn continuare vom prezenta un rezultat ce arată icircn esenţă că pentru p ndash grupuri finite funcţionează reciproca teoremei lui Lagrange Mai precis vom demonstra
Teorema 99 Fie G un p-grup | G | = pm cu misinℕ Atunci pentru orice 0 le i le m există un subgrup normal Gi icircn G aicirc | Gi | =pi şi 1 = G0 lt G1 lt hellip lt Gm = G Demonstraţie Facem inducţie matematică după m (afirmaţia fiind evidentă pentru m=01) Să presupumen mgt1 şi că afirmaţia din enunţ este adevărată pentru orice grup Gprime de ordin pm-1 şi fie G un grup aicirc | G | = pm Conform Corolarului 94 Z(G)ne1 şi fie zisinZ(G) zne1 Cum o(z) | | G | =
=pm fie o(z)=pn cu nge1 iar G1=lt1npz
minusgt Cum
1npzminus
ne1 şi 1z)z(
n1n ppp ==minus
deducem că o(1minusnpz )=p şi astfel | G1 |=p Cum zisinZ(G)
deducem că G1leZ(G) şi atunci icircn mod evident G1 ⊴ G Alegacircnd Gprime=GG1 cum |Gprime| = pmp = pm-1 putem aplica ipoteza de inducţie lui Gprime deci există grupurile Gprime0Gprime1hellipGprimem-1 normale icircn Gprime aicirc Gprime0ltGprime1lthellip ltGprimem-1=Gprime şi |Gprimei| = pi pentru orice 0leilem-1
137
Conform teoremei de corespondenţă pentru grupuri (vezi Teorema 74) avem Gprimei = Gi+1G1 cu Gi+1⊴G aicirc G1subeGi In plus G1⊴G2⊴ hellip ⊴ Gm=G şi pentru orice 0leilem-1 |Gi+1|=|Gprimei|sdot|G1|=pisdotp=pi+1 Alegacircnd G0=1 subgrupurile G0 G1 hellip Gm satisfac condiţiile din enuţul teoremei∎
sect10 Grupuri de permutări Teorema lui Cayley Grupurile Sn şi An
Fie M o mulţime nevidă iar sum(M)=fisinHom(M) | f este bijectivă După cum am văzut icircn sect1 al acestui capitol (Hom(M)∘) este monoid iar sum(M) apare acum ca grupul unităţilor monoidului Hom(M) Convenim să numim grupul sum(M) ca fiind grupul permutărilor asupra elementelor mulţimii M Dacă M este o mulţime cu n elemente (exemplul clasic fiind M=12hellipn cu nge1) atunci grupul sum(M) se notează prin Sn şi se va numi grupul permutărilor asupra unei mulţimi cu n elemente sau grup simetric de grad n (vom vedea mai departe că pentru grupul Sn natura elementelor mulţimii M joacă un rol secundar numărul elementelor lui M fiind lucrul important) Astfel un element σ al lui Sn se va prezenta de multe ori sub forma unui tabel
( ) ( )
n
nσσ 1
1
Vom nota prin en sau simplu prin e (dacă nu este pericol de confuzie) permutarea identică din Sn
Tinacircnd cont de Propoziţia 311 de la Capitolul 1 deducem că | Sn | = n
Teorema 101(Cayley) Orice grup G este izomorf cu un
subgrup al grupului de permutări sum (G) Demonstraţie Pentru xisinG se probează imediat că θxGrarrsum(G)
θx(y)=xy pentru orice yisinG este un element din sum(G) Să arătăm acum că φGrarrsum(G) φ(x)=θx pentru orice xisinG este un morfism injectiv de
138
grupuri Dacă x yisinG şi φ(x)=φ(y) atunci θx=θy deci icircn particular θx(1)=θy(1) hArr xsdot1=ysdot1 hArrx=y de unde deducem că φ este ca funcţie o injecţie
De asemenea φ(x) φ(y) = θx θy iar dacă zisinG avem (θx θy)(z) = θx (θy(z)) = x(yz) = (xy)z = θxy(z) adică θx θy = θxy = =φ(xy) deci φ(x) φ(y) = φ(xy) adică φisinHom (G sum(G)) Deducem că G asymp φ(G) le sum(G)∎
Suntem acum icircn măsură să arătăm că putem renunţa la condiţia
de comutativitate a lui G din Propoziţia 58 (mai precis la demonstrarea implicaţiei (iii)rArr(i)) Să presupunem deci că G G sunt grupuri fGrarrG este morfism de grupuri cu proprietatea că pentru orice grup G şi oricare morfisme α β GrarrG dacă α∘f=β∘f atunci α=β şi să arătăm că f este surjecţie Fie H=f(G)leG şi să presupunem prin absurd că HneG Dacă [GH]=2 atunci H⊴G (conform Observaţiei 46) şi alegicircnd G=GH α =pH GrarrG morfismul surjectiv canonic iar β GrarrG morfismul nul atunci α∘f=β∘f şi totuşi αneβ-absurd
Să presupunem acum că [GH]gt2 şi fie T= (GH)d mulţimea claselor la dreapta ale lui G relative la H iar G= ( )sum primeG -grupul
permutărilor lui G Vom construi şi icircn acest caz două morfisme de grupuri
α β GrarrG aicirc αneβ şi totuşi α∘f=β∘f contrazicacircnd faptul că f este surjecţie
Alegem α Grarr G= ( )sum primeG ca fiind morfismul lui Cayley
(vezi Teorema 101) (adică α(x)=θx cu θx GrarrG θx (y)=xy oricare ar fi x yisinG)
Pentru a construi pe β fie π GrarrT surjecţia canonică (adică π(x)=Hx≝ x oricare ar fi xisinG ) iar s TrarrG o secţiune a lui π (deci π∘s=1T adică ( ) xxs ˆˆ isin oricare ar fi xisinT existenţa lui s ne este asigurată de Propoziţia 38 (vii) de la Capitolul 1)
139
Cum |T|=|G H|ge3 există o permutare σ TrarrT aicirc ( ) ee ˆˆ =σ şi σne1T Dacă xisinG cum ( ) xxs ˆˆ isin rArr ( ) 1ˆ minusxxs isinH
Definim τ GrarrH prin τ(x)= ( ) 1ˆ minusxxs oricare ar fi xisinG Atunci λ GrarrG λ(x)=τ(x)middots ( )( ) ( ) ( )( )xsxxsx ˆˆˆ 1 σσ minus= oricare ar fi
xisinG este o permutare a lui G (adică λisinG) Icircntr-adevăr dacă x yisinG şi λ(x)=λ(y) atunci (1) ( ) ( )( )xsxxs ˆˆ 1 σminus = ( ) ( )( )ysyys ˆˆ 1 σminus
Cum ( ) 1ˆ minusxxs ( ) 1ˆ minusyys isinHrArr ( )( ) ( )( )andand
= ysxs ˆˆ σσ rArr(π∘s)(σ( x ))= =(π∘s)(σ( y ))rArr σ( x )=σ( y )rArr x = y iar din (1) deducem că x=y
Fie acum yisinG există zisinT aicirc y =σ( z ) Cum ( ) yys ˆˆ isin =Hy atunci există hisinH aicirc ( ) hyys =ˆ Dacă notăm ( )zsx ˆ1 = şi x=h-1x1 atunci (cum 1xx =) căci 1
1minusxx =hisinH) avem
λx= ( ) ( )( )xsxxs ˆˆ 1 σminus = ( ) ( )( ) =minusminus1
111
1 ˆˆ xsxsxh σ ( ) ( )( ) =minusminus zsxsxh ˆˆ 111
1 σ
= ( ) ( ) =minusminus ysxsxh ˆˆ 111
1 ( ) hyxsxh 111
1 ˆ minusminus Cum ( ) zxzzsx ˆˆˆˆ 11 =isin= şi deci
( ) ( ) 11 ˆˆ xzsxs == astfel că λ(x)= yhyxxh =minusminus 111
1 adică λ este şi
surjecţie deci λisinG Să definim acum β GrarrG = ( )sum primeG prin β(x)=λ-1∘α(x)∘λ
pentru orice xisinG Icircn mod evident β este morfism de grupuri Avem αneβ căci dacă α=β atunci α(x)∘λ=λ∘α(x) oricare ar fi xisinGhArr (α(x)∘λ)(y)=(λ∘α(x))(y) oricare ar fi yisinGhArr xλ(y)=λ(xy) oricare ar fi
yisinGhArr ( ) ( )( )
=
andminusandminus xysxyxysysyxys σσ
11 ˆˆ oricare ar fi yisinG hArr
hArr ( ) ( )( )
=
andminusandminus xysxysysys σσ
11 ˆˆ oricare ar fi yisinG
Alegacircnd acum x=y-1 obţinem că ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) eesesesesysys === minusminusminus ˆˆˆˆˆˆ 111 σσ de unde ( ) ( )( )ysys ˆˆ σ=
140
Cum s este injectivă deducem că ( )yy ˆˆ σ= şi cum y este oarecare
deducem că σ=1T - absurd Deci αneβ Să arătăm acum că α∘f=β∘f şi contradicţia va fi evidentă
urmicircnd a concluziona că f este surjecţie Icircntr-adevăr α∘f=β∘fhArr(α∘f)x=(β∘f)x oricare ar fi xisinG hArr
hArrα(f(x))=β(f(x)) oricare ar fi xisinG hArr ( ) ( )( ) λαλθ oo xfxf1minus=
oricare ar fi xisinGhArr ( ) ( ) λθθλ oo xfxf = oricare ar fi xisinGhArr hArr ( )( )( ) ( )( )( )yy xfxf λθθλ oo = oricare ar fi x isin G şi y isin G hArr hArr λ (f (x) y) = f(x) λ(y) oricare ar fi x isin G şi y isin G hArr
hArr ( )( )yxfτ s(σ( ( )and
yxf ))= ( ) ( ) ( )( )ysyysxf ˆˆ 1 σminus oricare ar fi xisinG şi
yisinG hArr f(x)ys( ( )and
yxf )-1 s(σ( ( )and
yxf ))= ( ) ( ) ( )( )ysyysxf ˆˆ 1 σminus oricare
ar fi xisinG şi yisinG hArr s( ( )and
yxf )-1 s(σ( ( )and
yxf ))= ( ) ( )( )ysys ˆˆ 1 σminus oricare
ar fi xisinG şi yisinG ceea ce este evident deoarece pentru xisinG
f(x)isinf(G)=H şi deci ( )and
yxf = y oricare ar fi yisinG Icircn continuare ne vom ocupa de studiul grupului Sn cu nge2
Evident grupul S2 avacircnd 2 elemente este comutativ pe cacircnd icircncepacircnd cu nge3 Sn nu mai este comutativ
Definiţia 102 Numim ciclu de lungime k (2leklen) o
permutare σisinSn pentru care există elementele distincte i1i2hellipik din 12hellipn aicirc σ(i1)=i2 σ(i2)= i3 hellip σ(ik)=i1 iar σ(i)=i pentru orice iisin12hellipn i1i2 hellip ik Convenim să notăm un astfel de ciclu σ prin σ = (i1 i2 hellip ik) sau σ = (i1i2 hellip ik) (dacă există pericol de confuzie)
141
Ciclii de lungime 2 se mai numesc şi transpoziţii De exemplu icircn S5
(1 3 5)=
1 4 5 2 3
5 4 3 2 1 iar (2 4)=
5 2 3 4 1
5 4 3 2 1
Dacă σ = (i1 i2 hellip ik) este un ciclu de lungime k convenim să
numim mulţimea i1i2 hellip ik ca fiind orbita lui σ Dacă τ = (j1 j2 hellip jt) este un alt ciclu de lungime t din Sn vom spune că σ şi τ sunt ciclii disjuncţi dacă i1 i2 hellip ikcapj1 j2 hellip jt=Oslash Propoziţia 103 Dacă σ τ sunt ciclii disjuncţi din Sn atunci στ=τσ
Demonstraţie Dacă i isin 1 2 hellip n (i1 i2 hellip ik cup j1j2 hellip jt) atunci (στ)(i) = =(τσ)(i) =i Să presupunem că iisini1 i2 hellip ik să zicem de exemplu că i=i1 Atunci (στ)(i)=σ(τ(i))=σ(i)=σ(i1)=i2 iar (τσ)(i)=τ(σ(i))=τ(i2)=i2 de unde concluzia că (στ)(i)=(τσ)(i) Analog se arată că (στ)(i)=(τσ)(i) dacă iisinj1 j2 hellip jt de unde deducem egalitatea στ = τσ Icircn esenţă am folosit faptul că dacă inotini1 i2 hellip ik atunci τ(i)=i iar dacă jnotinj1 j2 hellip jt atunci σ(j)=j∎ Observaţia 104 Deoarece pentru orice 2leklen avem (i1 i2 hellip ik) = (i2 i3 hellip ik i1) = hellip = (ik i1 hellip ik-1) deducem că icircn Sn există
knA
ksdot
1 ciclii distincţi de lungime k
Propoziţia 105 Ordinul oricărui ciclu de lungime k (2leklen) este k Dacă στ sunt 2 ciclii disjuncţi de lungimi k şi respectiv t (2lek tlen) atunci o(στ)=[kt] Icircn particular dacă (kt)=1 atunci o(σt)=o(σ)sdoto(τ) Demonstraţie Trebuie icircn prima parte să demonstrăm că σk(i)=i pentru orice iisin12 hellip n unde σ=(i1 i2 hellip ik) este un ciclu de lungime k
142
Dacă iisin 12 hellip n i1 i2 hellip ik atunci icircn mod evident σk(i)=i Dacă iisini1 i2 hellip ik de exemplu i = i1 atunci σ2(i) = σ(σ(i)) = σ(σ(i1)) = σ(i2) = i3 deci σk-1(i) = ik nei iar σk(i)=i şi analog pentru orice iisini1 i2 hellip ik inei1 de unde concluzia că σk=e iar k este cel mai mic număr natural cu această proprietate adică o(σ)=k Fie σ = (i1 i2 hellip ik) τ=(j1 j2 hellip jt) ciclii disjuncţi de lungime k şi respectiv t (2lek tlen) ε = στ = τσ s=[kt] iar r=o(ε) Va trebui să demonstrăm că r=s Deoarece kt | s deducem că εs=e adică r|s Cum εr= e deducem că σrτr=e adică σr=τ-r Dacă am avea σrnee atunci există iisini1 i2 hellip ik aicirc σr(i)nei Cum σr = τ-r deducem că şi τr(i)nei adică iisinj1 j2 hellip jt ndash absurd Icircn concluzie σ r=τ r=e de unde deducem k|r şi t|r Cum s=[kt] deducem că s|r adică s=r∎ Corolar 106 Dacă σ1 hellip σk sunt ciclii disjuncţi doi cacircte doi din Sn de lungimi t1 hellip tk atunci o(σ1 hellip σk)=[t1 helliptk] Teorema 107 Orice permutare σisinSn σnee se descompune icircn mod unic icircn produs de ciclii disjuncţi (exceptacircnd ordinea icircn care aceştia sunt scrişi) Demonstraţie Fie t=| iisin12hellipn | σ(i)nei | cum σnee deducem că există iisin12hellipn aicirc σ(i)nei şi astfel şi σ(σ(i))neσ(i) de unde concluzia că tge2 Vom face acum inducţie matematică după t Dacă t=2 totul este clar căci icircn acest caz σ se reduce la o transpoziţie Să presupunem acum teorema adevărată pentru toate permutările ce schimbă efectiv mai putin de t indici şi să arătăm că dacă σ este o permutare ce schimbă efectiv t indici atunci σ se descompune icircn produs de ciclii disjuncţi Alegem i0isin12hellipn pentru care σ(i0)nei0 şi fie q=o(σ) Alegacircnd i1=σ(i0) i2=σ(i1) hellip ik+1=σ(ik) hellip se vede că ik=σk(i0) pentru orice kge1 Cum σq= e deducem că σq(i0)=i0 deci iq=i0 Putem alege atunci cel mai mic numar natural m cu proprietatea că im=i0 Atunci numerele i0i1hellipim-1 sunt distincte icircntre ele Icircntr-adevăr dacă ir=is cu 0ler sltm atunci σr(i0)=σs(i0) Dacă rgts notacircnd p=r-s obţinem σp(i0)=i0 şi deci ip=i0 contrazicacircnd alegerea lui m (căci pltm)
143
Analog dacă rlts Cu i0i1 hellip im-1 formăm ciclul τ=( i0i1 hellip im-1) şi să considerăm permutarea σprime=τ-1σ Dacă avem un i aicirc σ(i)=i atunci inotin i0i1 hellip im-1 şi deci τ-1(i)=i de unde σprime(i)=i Cum i1=σ(i0) i2=σ(i1) hellip i0=σ(im-1) deducem că pentru orice iisin i0i1 hellip im-1 avem σprime(i)=i Rezultă că σprime schimbă efectiv mai puţin de t-m elemente iar cum mge2 atunci t-mltt deci putem aplica ipoteza de inducţie lui σprime Rezultă atunci că putem scrie σprime=τ2 hellip τs cu τ2 hellip τs ciclii disjuncţi Punacircnd τ1=τ obţinem că σ= τ1τ2 hellip τs iar τ1 este disjunct faţă de ceilalţi ciclii Din modul efectiv de descompunere de mai icircnainte deducem că scrierea lui σ sub forma σ= τ1τ2 hellip τs este unic determinată∎ Observaţia 108 Dacă σ=( i1 i2 hellip ik) este un ciclu de lungime k din Sn (2leklen) atunci se probează imediat prin calcul direct că avem următoarele descompuneri ale lui σ icircn produs de transpoziţii σ=(i1i2)(i2i3)hellip(ik-1ik)=(i1ik)(i1ik-1) hellip (i1i2) Din Teorema 107 şi Observaţia 108 deducem imediat următorul rezultat Corolar 109 Orice permutare σisinSn (nge2) este un produs de transpoziţii (să observăm că dacă σ=e atunci σ=(12)(12))
Definiţia 1010 Fie σisinSn Signatura lui σ este numărul
( ) prodleltle minus
=nji1 ji
σ(j)-σ(i)sgn σ evident 1)sgn( plusmnisinσ
O inversiune a lui σ este o pereche (ij) cu 1leiltjlen aicirc σ(i)gtσ(j) Dacă r este numărului de inversiuni ale lui σ atunci evident sgn(σ) = (-1)r Dacă r este par spunem că σ este permutare pară iar dacă r este impar spunem că σ este permutare impară
Vom nota prin An mulţimea permutărilor pare Astfel σisinSn este pară hArr sgn(σ)=1 şi impară hArr sgn(σ)=-1 Propoziţia 1011 Dacă στisinSn atunci
sgn(στ)=sgn(σ)sdotsgn(τ)
144
Demonstraţie Avem prodleltle minus
minus=
nji jiji
1
))(())(()sgn(
τστστσ o
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n sgnsgnji
jiji
ji
jiji
jiji
nji1nji1
nji1
τsdotσ=minus
τminusτsdot
minusσminusσ
=
=minus
τminusτsdot
τminusττσminusτσ
=
prodprod
prod
leltleleltle
leltle
Corolar 1012 Pentru orice nge2 An⊴Sn iar 2nAn =
Demonstraţie Din Propoziţia 1011 deducem că funcţia
sgn Sn rarr 1plusmn este un morfism surjectiv de la grupul (Sn) la grupul multiplicativ ( 1plusmn sdot) Deoarece Ker(sgn) = σisinSn | sgn(σ)=1=An deducem imediat că An⊴Sn Conform Corolarului 72 de la teorema fundamentală de izomorfism pentru grupuri deducem că SnAn asymp 1plusmn de unde
concluzia că |SnAn | = 2 hArr | Sn | | An | =2 hArr 2
2nS
A nn == ∎
Observaţia 1013 Orice transpoziţie (rs) cu 1lerlen este o permutare impară Icircntr-adevăr inversiunile sale sunt de forma (ri) cu rltilts sau (is) cu rltilts astfel că numărul lor este egal cu 2(s-r)-1 Astfel dacă σisinSn şi scriem pe σ ca un produs de transpoziţii σ=t1t2helliptm atunci sgn(σ) = sgn(t1) sgn(t2) hellip sgn(tm)= (-1)m şi deci σ va fi permutare pară sau impară după cum m este par sau impar Icircn particular dacă σ=(i1 i2 hellip ik) cum σ=(i1i2)(i2i3)hellip(ik-1ik) deducem că sgn(σ)=(-1)k-1 Teorema 1014 Două permutări α βisinSn sunt conjugate icircn Sn dacă şi numai dacă ele au aceeaşi structură ciclică
145
Demonstraţie rArrrdquo Dacă α β sunt conjugate icircn Sn atunci există γisinSn aicirc β=γαγ-1 Icircnsă γαγ-1 are aceeaşi structură ciclică cu α (căci dacă α= hellip ( i1 i2 hellip ik) hellip atunci γαγ-1= hellip( γ(i1) γ(i2) hellip γ(ik))hellip de unde concluzia că α şi β au aceeaşi structură ciclică
Faptul că γαγ-1 acţionează asupra lui α de maniera descrisă mai sus se probează astfel se descompune α icircn ciclii disjuncţi α = c1c2 hellip ct şi se observă că γαγ-1=(γc1γ-1) (γc2γ-1) hellip (γctγ-1) iar dacă de exemplu c1=(i1i2 hellip ik) atunci γc1γ-1=[γ(i1i2)γ-1] [γ(i2i3)γ-1] hellip [γ(ik-1ik)γ-1] totul reducacircndu-se astfel la a proba de exemplu că γ(i1i2)γ-1=(γ(i1)γ(i2)) hArr
hArrγ(i1i2)=(γ(i1)γ(i2))γ
Dacă iisin12 hellipn i1i2 atunci γ(i)neγ(i1)γ(i2) şi (γ(i1i2))(i)=γ((i1i2)(i))=γ(i) iar ((γ(i1)γ(i2))γ)(i) =(γ(i1)γ(i2))(γ(i))= γ(i) iar dacă de exemplu i=i1 atunci (γ(i1i2))(i1)= γ((i1i2)(i1))=γ(i2) iar ((γ(i1)γ(i2))γ)(i1)=(γ(i1)γ(i2))(γ(i1))= γ(i2) de unde egalitatea dorită
lArrrdquo Să presupunem acum că α şi β au aceeaşi structură ciclică şi să construim γ aicirc β=γαγ-1
Vom face lucrul acesta pe un exemplu concret (la general raţionicircndu-se analog) Să presupunem că suntem icircn S5 şi avem α = (1 5) (4 2 3) şi β = (3 4)(2 1 5) Ţinacircnd cont de felul icircn care
acţionează γαγ-1 asupra lui α deducem că ( )2 4 5 3 15 1 2 4 33 2 4 5 1
γ =
= ∎
Ţinacircnd cont de Observaţia 104 şi de Teorema 1014 putem determina cu uşurinţă numărul permutărilor α din Sn de o structură ciclică dată
De exemplu numărul de permutări din S4 de forma (1 2)(3 4)
este 32
122
3421
=
times
timestimes (factorul
21 apăracircnd datorită egalităţii
(a b)(c d)=(c d)(a b) pentru abcd=1234) Găsim astfel pentru S4 următorul tabel de structură
146
Se observă că 1+6+8+6+3=24=4
Putem acum prezenta un rezultat care ne arată că reciproca teoremei lui Lagrange pentru grupuri finite este falsă
Teorema 1015 Grupul A4 (care are ordinul 12) nu conţine subgrupuri de ordin 6
Demonstraţie Din tabelul de structură pentru S4 deducem că A4 constă din 8 ciclii de lungime 3 trei produse de transpoziţii disjuncte şi permutarea identică Aceste elemente sunt (1 2 3) (1 3 2) (2 3 4) (2 4 3) (3 4 1) (3 1 4) (4 1 2) (4 2 1) (1 4)(2 3) (1 2)(3 4) (1 3 )(2 4) şi e Să trecem acum la demonstrarea teoremei şi să presupunem prin
Structura ciclică
Numărul lor Ordinul Paritatea
(1) 1 1 pară (12)
62
34=
times 2 impare
(123) 8
3234
=timestimes
3 pare
(1234) 6
44
= 4 impare
(12)(34) 3
212
234
21
=
times
timestimes
2 pare
147
mod evident )(4
αSC =e α α-1 şi cum e α α-1isinA4 deducem că
| )(4
αAC | = 3 deci |A4 )(4
αAC | = 43
12= Deducem că α va avea 4
conjugaţi icircn A4 şi cum H⊴A4 cei patru conjugaţi ai lui α sunt icircn H Tot din tabelul de structură al lui S4 şi A4 deducem că H trebuie să conţină un element β de ordin 2 (căci dacă ar mai conţine un ciclu de lungime 3 atunci ar mai conţine icircncă 4 conjugaţi ai acestuia depăşind numărul de 6 elemente ce am presupus a fi icircn H)
Deoarece β este pară avem β=(a b)(c d) astfel că pacircnă acum am descoperit 6 elemente din H 4 ciclii de lungime 3 e şi β Deoarece H⊴A4 alegacircnd γ=(a c b)isinA4 ar trebui ca şi γβγ-1=(c a)(b d) isinH şi cum γβγ-1neβ am deduce că H conţine cel puţin 7 elemente ndash absurd Deci A4 nu conţine subgrupuri de ordin 6∎
sect11 Teoremele lui Sylow Aplicaţii caracterizarea grupurilor cu pq elemente
(p şi q numere prime distincte ) şi 12 elemente Icircn cadrul acestui paragraf prin G vom desemna un grup finit Conform teoremei lui Lagrange ordinul oricărui subgrup al lui G divide ordinul lui G După cum am demonstrat icircn sect10 (Teorema 1015) reciproca teoremei lui Lagrange este falsă (icircn sensul că există grupuri finite cu proprietatea că pentru un anumit divizor al grupului respectiv grupul nu are subgrupuri de ordin egal cu acel divizor) Există icircn teoria grupurilor anumite rezultate pe care le vom prezenta icircn continuare (datorate matematicianului L Sylow (1832-1918)) şi care permit să se stabilească existenţa subgrupurilor de ordin pn ale lui G (cu p prim şi nisinℕ) şi care dau informaţii importante despre aceste subgrupuri Astfel teoremele lui Sylow sunt de importanţă fundamentală icircn teoria grupurilor finite Deoarece prezenta monografie nu este un tratat de teoria grupurilor vom prezenta doar enunţurile acestor teoreme cititorul dornic de a vedea cum se demonstrează acestea putacircnd consulta de exemplu lucrările [20] [21] sau [22] (după ce icircn prealabil s-a pus la punct cu anumite chestiuni legate de acţiuni ale grupurilor pe mulţimi) Definiţia 111 Fie p un număr prim şi să presupunem că |G| = pmr cu misinℕ risinℕ şi (pr)=1 Numim p- subgrup Sylow al lui G orice subgrup al lui G de ordin pm Pentru HleG vom nota
148
NG(H)=gisinG | gH=Hg Icircn mod evident avem H⊴NG(H)leG şi pentru orice subgrup KleG aicirc H⊴K avem KleNG(H) deci NG(H) este cel mai mare subgrup al lui G (faţă de incluziune) ce conţine H ca subgrup normal) Icircn particular H⊴G hArr NG(H)=G Subgrupul NG(H) poartă numele de normalizatorul lui H icircn G
Iată acum enunţul teoremelor lui Sylow
Teorema 112 (Prima teoremă a lui Sylow) Pentru orice grup finit G şi orice număr prim p există un p-subgrup Sylow al lui G
Teorema 113 ( A doua teoremă a lui Sylow) Fie G un grup
finit şi p un număr prim Dacă H este un p-subgrup Sylow al lui G iar K este un p-subgrup al lui G atunci există gisinG aicirc K le g-1Hg Icircn particular dacă K este p-subgrup Sylow al lui G atunci K=g-1Hg
Teorema 114 (A treia teoremă a lui Sylow) Dacă notăm prin
np numărul p-subgrupurilor Sylow distincte ale lui G atunci np = |GNG(H)| (unde H este un p-subgrup Sylow particular al lui G) np divide | GH | iar npequiv1(mod p)
Icircn continuare vom prezenta cacircteva aplicaţii ale acestor
teoreme urmacircnd ca icircn finalul paragrafului să prezentăm un tabel cu caracterizarea grupurilor finite cu cel mult 15 elemente
Teorema 115 Fie p şi q numere prime distincte pgtq şi să
presupunem că | G | = pq
(i) Dacă q ∤ p-1 atunci G este ciclic (ii) Dacă q | p-1 atunci G este generat de două elemente a şi b
satisfăcacircnd condiţiile aq=bp=1 a-1ba=br cu r≢1 (mod p) icircnsă
rqequiv1 (mod p) Demonstraţie (i) Conform teoremei lui Cauchy pentru grupuri
finite G conţine un element b de ordin p fie H=ltbgt Cum H este un p-subgrup Sylow atunci conform celei de a treia teoreme a lui Sylow numărul conjugaţilor lui H (adică a subgrupurilor de forma gHg-1 cu
149
gisinG) este de forma 1+up cu uisinℕ Icircnsă 1+up=|GNG(H)| şi trebuie să dividă |G|=pq Cum (1+up p)=1 atunci 1+up | q iar cum qltp deducem că u=0 deci H⊴G De asemenea există un element aisinG al cărui ordin este q fie K = ltagt Ca şi mai icircnainte K este q-subgrup Sylow al lui G astfel că | G NG(H) |=1+kq cu kisinℕ Cum 1+kq | p iar prin ipoteză q ∤ p-1 deducem că k=0 Astel K ⊴ G deci G asymp H times K asymp ℤp times ℤq asymp ℤpq deci G este ciclic icircn acest caz (ii) Să presupunem că q | p-1 Atunci K nu mai este subgrup normal icircn G Cum S ⊴ G a-1ba=br cu risinℕ
Putem presupune r≢1 (mod p) (căci icircn caz contrar ne reacircntoarcem la cazul comutativ) Prin inducţie se arată uşor că a-jbaj =
= jrb Icircn particular pentru j=q avem b = qrb adică rq equiv 1 (mod p)∎
Corolar 116 Orice grup cu 15 elemente este ciclic (deci izomorf cu (ℤ15 +)) Demonstraţie Totul rezultă din Teorema 114 pentru p=5 şi q=3 observacircnd că q=3 ∤ p-1 = 4∎ Definiţia 117 Un grup de ordin 8 avacircnd doi generatori a şi b ce satisfac relaţiile a4=1 b2=a2 şi b-1ab=a-1 se notează prin Q şi poartă numele de grupul quaternionilor Teorema 118 Grupurile Q şi D4 sunt singurele grupuri necomutative de ordin 8 Demonstraţie Dacă G este un grup necomutativ cu 8 elemente atunci G nu conţine elemente de ordin 8 şi nu toate elementele sale au ordinul 2 de unde concluzia că G conţine un element a de ordin 4 Alegem bisinG aicirc bnotinltagt Cum |G ltagt| = 2 deducem că ltagt ⊴ G şi Gltagt asymp ℤ2 de unde cu necesitate b2 isinltagt Dacă b2=a sau b2=a3 atunci o(b)=8 - contradicţie deci avem doar cazurile b2 = a2 sau
150
b2 = 1 Cum ltagt ⊴ G deducem ca b-1ab isinltagt iar cum o(a2)=2 avem doar posibilităţile b-1ab=a sau b-1ab=a3 Cazul b-1ab=a icircl excludem căci el implică ab=ba adică G este comutativ astfel că avem doar situaţiile
(i) a4 = 1 b2 = a2 şi b-1ab=a3 =a-1 sau (ii) a4 = 1 b2 = 1 şi b-1ab=a3 =a-1
Icircn cazul (i) avem descrierea lui Q (deci GasympQ) iar icircn cazul (ii) avem descrierea lui D4 deci (GasympD4)∎
Icircn continuare vom caracteriza grupurile finite cu 12 elemente iar pentru aceasta avem nevoie să introducem un nou tip de grup finit
Definiţia 119 Dacă nisinℕ n ge 2 prin grup diciclic de ordin
4n (notat DIn ) icircnţelegem un grup cu 4n elemente DIn=1 x hellip x2n-1 y xy hellip x2n-1y
ale cărui elemente le multiplicăm astfel xaxb = xa+b
xa(xby) = xa+by (xa y) xb = xa-by (xa y) (xby) = xa-b+n
unde 0lea ble2n-1 iar puterile lui x sunt considerate modulo 2n Se observă că pentru n=2 DI2 = Q (grupul quaternionilor) Suntem acum icircn măsură să prezentăm teorema de structură a
grupurilor finite cu 12 elemente Teorema 1110 Fie G un grup finit cu 12 elemente
(i) Dacă G este comutativ atunci G este izomorf cu ℤ12 sau ℤ6 times ℤ2
(ii) Dacă G este necomutativ atunci G este izomorf cu D3 DI3 sau A4
Demonstraţie (i) Rezultă din teorema de structură a grupurilor
abeliene finit generate (vezi Observaţia 814) (ii) Fie t numărul subgrupurilor Sylow distincte ale lui G cu 3 elemente Conform teoremelor lui Sylow tequiv1 (mod 3) şi t|4
151
Astfel G are fie un singur subgrup de ordin 3 (care trebuie să fie subgrup normal) fie 4 subgrupuri (conjugate) Tot conform teoremelor lui Sylow deducem că G trebuie să aibă unul sau 3 subgrupuri de ordin 4
Cazul 1 Presupunem că G conţine un singur subgrup (normal) H de ordin 3 generat de x
Dacă K este un subgrup al lui G de ordin 4 atunci K este ciclic
(Kasympℤ4) sau K este izomorf cu grupul lui Klein (Kasympℤ2 times ℤ2) (a) Să analizăm cazul cacircnd K este ciclic K=ltygt
Cum HcapK=1 atunci clasele H Hy Hy2 Hy3 sunt toate distincte şi HK=G
Cum H⊴G deducem că yxy-1isinH (1) Dacă yxy-1=x atunci xy=yx deci G este comutativ şi avem
G asymp H times K asymp ℤ3 times ℤ4 asymp ℤ12 (2) Dacă yxy-1=x2 atunci yx=x2y de unde
y2x=yx2y=x2yxy=x4y2=xy2 Astfel xy2=y2x şi dacă considerăm z=xy2 avem că o(z)=6 De asemenea z3=x3y6=y2 şi yz=yxy2=y3x=y2x2y=z-1y Cum o(y)=4 ynotin ltzgt şi deci clasele ltzgt ltzgty dau o partiţie a
lui G Multiplicacircnd icircn acest caz elementele lui G ca icircn cazul grupului
diciclic şi anume zazb=za+b za(zby)=za+by (zay)zb=za-by (zay) (zby)= =za-by2= za-b+3 (unde puterile lui z se reduc modulo 6) obţinem icircn acest caz că GasympDI3
(b) Să presupunem că K este grupul lui Klein (deci Kasympℤ2 times ℤ2) şi să notăm elementele sale cu 1uvw unde w=uv şi u2=v2=1 Atunci HcapK=1 iar clasele H Hu Hv Hw partiţionează pe G de unde
HK=G Cum H⊴G avem uxu-1=xa vxv-1=xb wxw-1=xab unde a b abisin plusmn 1
(3) Dacă a=b=ab=1 cum G este abelian GasympHtimesK asymp ℤ3 timesℤ2 timesℤ2 asymp ℤ6 times ℤ2
(4) Să considerăm cazul cacircnd două dintre a b ab sunt egale cu ndash1 iar al treilea egal cu 1
152
Renumerotacircnd u v w (dacă este necesar) putem presupune că a = 1 şi b = -1 Atunci ux=xu iar z=ux are ordinul 6 Astfel G=ltzvgt iar z6=1v2=1 iar vz=z-1v hArr vzv=z-1 de unde concluzia că icircn acest caz GasympD6 Cazul 2Să presupunem că G conţine 4 subgrupuri (conjugate) de ordin 3 Elementele nenule (diferite de 1) ale celor 4 subgrupuri de ordin 3 ne dau 8 elemente diferite de 1 ale lui G restul de 4 urmacircnd a forma singurul subgrup K de ordin 4 al lui G (c) Să arătăm că grupul K nu poate fi ciclic Presupunem prin absurd că totuşi K este ciclic K=ltygt şi fie xisinGK Atunci o(x)=3 iar clasele K Kx şi Kx2 dau o partiţie a lui G Cum K⊴G avem că xyx-1isinK Dacă xyx-1=y atunci ar rezulta că G este comutativ (icircn contradicţie cu faptul că G conţine 4 subgrupuri conjugate distincte de ordin 3) De asemenea xyx-1ney2 (căci y şi y2 au ordine diferite) Icircn sfacircrşit dacă am avea xyx-1=y3 atunci y=x3yx-3=y27=y3
ndash absurd de unde concluzia că grupul K nu este ciclic (d) Atunci K trebuie să fie grupul lui Klein Consideracircnd ca mai
sus K=1 u v w fie xisinG aicirc o(x)=3 Atunci clasele K Kx Kx2 sunt toate distincte astfel că G=ltu v xgt Conjugarea prin x permută cele 3
elemente u v w icircntre ele (căci K⊴G) iar permutarea este sau identică sau un 3-ciclu (deoarece x3=1)
(5) Nu putem avea permutarea identică căci icircn acest caz G ar deveni comutativ (caz studiat deja)
(6) Renumerotacircnd eventual putem presupune că xux-1=v xvx-1=w xwx-1=u şi atunci consideracircnd asocierile uharr(12)(34) vharr(13)(24) xharr(234) obţinem un izomorfism icircntre G şi A4
Icircn concluzie avem 5 tipuri de grupuri cu 12 elemente 2
comutative (ℤ12 ℤ6timesℤ2) şi 3 necomutative (D6 DI3 şi A4)∎
Suntem acum icircn măsură să prezentăm tabelul de caracterizare a grupurilor cu cel mult 15 elemente
153
Nr elem
Nr tipuri
Reprezentanţi Rezultatul care dă caracterizarea
2 1 ℤ2 Propoziţia 616 3 1 ℤ3 Propoziţia 616
4 2 ℤ4 ℤ2 times ℤ2 Observaţia 815 5 1 ℤ5 Propoziţia 616
6 2 ℤ6 D3 Teorema 912 7 1 ℤ7 Propoziţia 616
8 5 3 tipuri comutative ℤ8 ℤ4timesℤ2 ℤ2 timesℤ2timesℤ2 2 tipuri necomutative Q D4
Observaţia 814 Teorema 118
9 2 ℤ9 ℤ3timesℤ3 Observaţia 814 10 2 ℤ10 D5 Teorema 912 11 1 ℤ11 Propoziţia 616
12 5 2 comutative ℤ12ℤ4timesℤ3 3 necomutative D6 DI3 A4
Observaţia 814 Teorema 1110
13 1 ℤ13 Propoziţia 616 14 2 ℤ14 D7 Terorema 912
15 1 ℤ15 Corolar 116
154
CAPITOLUL 3 INELE ŞI CORPURI
sect1 Inel Exemple Reguli de calcul icircntr-un inel Divizori ai lui zero Domenii de integritate Caracteristica unui inel
Definiţia 11 O mulţime nevidă A icircmpreună cu două operaţii algebrice notate tradiţional prin bdquo+rdquo şi bdquomiddot rdquo se zice inel dacă
(i) (A+) este grup comutativ (ii (Amiddot) este semigrup
(iii) Icircnmulţirea este distributivă la stacircnga şi la dreapta faţă de adunare adică pentru oricare x y z isinA avem x(y+z)=xy+xz şi (x+y)z=xz+yz Icircn cele ce urmează (dacă nu este pericol de confuzie) cacircnd vom vorbi despre un inel A vom pune icircn evidenţă doar mulţimea A (operaţiile de adunare şi icircnmulţire subacircnţelegacircndu-se) Astfel prin 0 vom nota elementul neutru al operaţiei de adunare iar pentru aisinA prin ndash a vom desemna opusul lui a Dacă operaţia de icircnmulţire de pe A are element neutru (pe care icircl vom nota prin 1) vom spune despre inelul A că este unitar Dacă A este un inel unitar şi 0=1 vom spune despre A că este inelul nul icircn caz contrar vom spune că A este inel nenul Dacă icircnmulţirea de pe A este comutativă vom spune despre inelul A că este comutativ Convenim să notăm A=A0 Exemple 1 Din cele stabilite icircn sect6 de la Capitolul 2 deducem că (ℤ+middot) este inel comutativ unitar 2 Dacă vom considera A=2ℤ=2n nisinℤ atunci (A+middot) este exemplu de inel comutativ neunitar (căci 1notin2ℤ) 3 Dacă nisinℕ nge2 atunci (ℤn + middot) este exemplu de inel unitar comutativ finit cu n elemente (vezi sect6 de la Capitolul 2)
4 Fie A un inel şi m nisinℕ Un tablou de forma
155
=
mnm
n
αα
ααα
1
111
cu m limii şi n coloane format din elemente ale lui A se zice matrice cu m linii şi n coloane convenim să notăm o astfel de matrice şi sub formă mai condensată ( )
njmiij
lelelele=
11αα
Dacă m=n notăm Mmn(A)=Mn(A) o matrice din Mn(A) se zice pătratică de ordin n Pentru α βisinMmn(A) α=(αij)
njmi
lelelele
11 şi β=(βij)
njmi
lelelele
11 definim
α+β=(αij+βij) njmi
lelelele
11
Asociativitatea adunării matricelor este imediată elementul neutru este matricea Omn din Mmn(A) ce are toate elementele egale cu 0 iar opusa matricei α este matricea -α =(-αij)
njmi
lelelele
11 de unde concluzia că
(Mmn(A) +) este grup (abelian) Pentru m n pisinℕ αisinMmn(A) βisinMnp(A) α=(αij)
njmi
lelelele
11
β=(βjk)pknj
lelelele
11 definim αβ=(γik)
pkmi
lelelele
11 unde γik= sum
=
n
j 1αijβjk pentru 1leilem şi
1leklep Icircn mod evident αβisinMmp(A) Să demonstrăm că dacă m n p qisinℕ şi αisinMmn(A) βisinMnp(A) γisinMpq(A) atunci (αβ)γ=α(βγ) Icircntr-adevăr fie
αβ=(δik)pk
milele
lele11 cu δik= sum
=
n
j 1αijβjk şi (αβ)γ =(εit)
qtmi
lelelele
11 cu εit= sum
=
p
k 1δikγkt
= sum=
p
k 1( sum
=
n
j 1αijβjk) γkt = sum
=
p
k 1sum
=
n
j 1αij βjk γkt
Dacă βγ=(δprimejt)qtnj
lelelele
11 cu δprimejt= sum
=
p
k 1βjkγkt iar α(βγ)=(εprimeit)
qtmi
lelelele
11 atunci
εprimeit= sum=
n
j 1αijδprimejt = sum
=
n
j 1αij sum
=
p
k 1βjkγkt = sum
=
n
j 1sum
=
p
k 1αijβjkγkt de unde egalitatea
(αβ)γ=α(βγ)
156
Ţinacircnd cont de distributivitatea icircnmulţirii de pe A faţă de adunare deducem imediat că dacă αisinMmn(A) şi βγisinMnp(A) atunci α(β+γ)=αβ+αγ iar dacă α βisinMmn(A) şi γisinMnp(A) atunci (α+β)γ=αγ+βγ Sumacircnd cele de mai sus deducem că dacă nisinℕ nge2 atunci (Mn(A)+middot) este un inel (numit inelul matricelor pătratice de ordin n cu elemente din A) Dacă inelul A este unitar atunci şi inelul (Mn(A)+middot) este unitar elementul neutru fiind matricea In ce are pe diagonala principală 1 şi icircn rest 0 Să remarcăm faptul că icircn general chiar dacă A este comutativ Mn(A) nu este comutativ
Observaţia 12 1 Dacă A este inel unitar rezultă că adunarea
de pe A este comutativă Icircntr-adevăr calculacircnd pentru a bisinA (a+b)(1+1) icircn două moduri (ţinacircnd cont de distributivitatea la stacircnga şi la dreapta a icircnmulţirii faţă de adunare) obţinem egalitatea a + a + b + b =a + b + a + +b de unde a+b=b+a 2 Notarea generică cu litera A a unui inel oarecare se explică prin aceea că icircn limba franceză noţiunea matematică corespunzătoare se traduce prin anneaux Icircn anumite cărţi un inel oarecare se notează prin R (de la faptul că icircn limba engleză noţiunea matematică de inel se traduce prin ring)
Propoziţia 13 Dacă A este un inel atunci (i) amiddot0=0middota=0 pentru orice aisinA (ii) a(-b)=(-a)b= -(ab) şi (-a)(-b) = ab pentru orice a bisinA
(iii) a(b-c)= ab-ac şi (a-b)c= ac-bc pentru orice a b cisinA (iv) a(b1+hellip+bn)=ab1+hellip+abn şi (a1+hellip+an)b=a1b+hellip+anb pentru orice a b ai biisinA 1 le i le n (v) Dacă a b isinA nisinℕ şi ab=ba avem egalităţile an- bn = (a-b)(an-1 + an-2b +hellip+ abn-2 + bn-1) a2n+1+b2n+1 = (a+b)(a2n ndash a2n-1b +hellip- ab2n-1 + b2n) Demonstraţie (i) Totul rezultă din 0+0=0 (ii) Totul rezultă din (i) şi din aceea că b+(-b)=0 (iii) Rezultă din (ii)
157
(iv) Se face inducţie matematică după n (v) Se fac calculele icircn membrul drept∎
Observaţia 14 Definind pentru aisinA şi nisinℤ
43421
orin
aa ++ dacă 0gtn
na = 0 dacă 0=n
44 344 21orin
aaminus
minus++minus )()( dacă 0ltn
atunci (vi) a(nb)=(na)b=n(ab) pentru orice a bisinA şi nisinℤ (vii) Dacă A este un inel unitar a bisinA ab=ba şi nisinℕ
avem egalitatea sum=
minus=+n
k
kknkn
n baCba0
)( (prin definiţie a0=1)
Egalitatea de la (vi) rezultă din (iv) iar (vii) se demonstrează prin inducţie matematică după n ţinacircnd cont de faptul că 1
11 +
++ =+ k
nkn
kn CCC
pentru orice nisinℕ şi 0le k len Definiţia 15 Prin unităţile U(A) ale inelului unitar A icircnţelegem unităţile monoidului (A middot) adică U(A)=aisinA| există bisinA aicirc ab=ba=1
Icircn mod evident (U(A) middot) este grup De exemplu U(ℤ)=plusmn1 iar dacă A este inel unitar şi nisinℕ nge2 atunci U(Mn(A))=MisinMn(A)| det(M)ne0 Grupul (U(Mn(A)middot) se notează prin GLn(A) şi se numeşte grupul liniar general de grad n peste A
Definiţia 16 Un element aisinA se zice divizor al lui zero la stacircnga (dreapta) dacă există bisinA aicirc ab=0 (ba=0)
Exemple 1 Dacă A=M2(ℤ) atunci din
=
10
10
00
11
O2 deducem
158
că
00
11
este divizor al lui zero la stacircnga iar
10
10
este divizor al lui
zero la dreapta Dacă nisinℕ n ge 2 nu este un număr prim iar n=n1n2 cu n1 n2
diferiţi de 1 şi n atunci icircn inelul (ℤn + middot) avem egalitatea 0ˆˆˆ 21 ==sdot nnn adică 1n şi 2n sunt divizori ai lui zero
2 Icircn orice inel A elementul 0 este divizor al lui zero la stacircnga şi la dreaptaA
Propoziţia 17 Fie A un inel şi a b cisinA (i) Dacă A este unitar şi aisinU(A) atunci a nu este divizor al
lui zero ( nici la dreapta nici la stacircnga) (ii) Dacă a nu este divizor al lui zero la stacircnga (dreapta) şi
ab=ac (ba=ca) atunci b=c Demonstraţie (i) Dacă aisinU(A) atunci există bisinA aicirc
ab=ba=1 Dacă a ar fi divizor al lui zero de exemplu la stacircnga atunci există cisinA aicirc ac=0 Deducem imediat că b(ac)=bmiddot0=0 hArr (ba)c=0 hArr 1middotc=0 hArr c=0 - absurd Analog dacă a este divizor al lui zero la dreapta
(ii) Din ab=ac deducem că a(b-c)=0 şi cum am presupus că a nu este divizor al lui zero la stacircnga cu necesitate b-c=0 adică b=c ∎
Definiţia 18 Numim domeniu de integritate (sau inel integru) un inel comutativ nenul şi fără divizori ai lui zero diferiţi de zero Inelul icircntregilor (ℤ +middot) este un exemplu de inel integru (vezi sect6 de la Capitolul 2) Definiţia 19 Un element aisinA se zice nilpotent dacă există nisinℕ aicirc an = 0 Vom nota prin N(A) mulţimea elementelor nilpotente din inelul A (evident 0isinN(A))
De exemplu icircn inelul A=M2(ℤ) dacă alegem M=
01
00
cum
159
M2=O2 deducem că MisinN(M2(ℤ)) De asemenea cum icircn inelul ℤ8 avem 0823 == deducem că 2 isinN(ℤ8)
Icircn mod evident dacă aisinN(A) atunci a este divizor al lui zero la dreapta şi la stacircnga
Să presupunem că A este un inel unitar nenul Dacă elementul 1 are ordinul infint icircn grupul (A+) vom spune că A este un inel de caracteristică 0 (vom scrie car(A)=0) Icircn mod evident a spune că car(A)=0 revine la aceea că nmiddot1ne0 pentru orice nisinℕ Dacă ordinul lui 1 icircn grupul (A+) este p vom spune că inelul A are caracteristică p şi vom scrie car(A)=p (acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că pmiddot1=0) De exemplu inelul icircntregilor este un inel de caracteristică 0 pe cacircnd ℤ3 este un inel de caracteristică 3
Observaţia 110 Dacă inelul A este domeniu de integritate de caracteristică p atunci p este un număr prim Icircntr-adevăr dacă p nu ar fi prim atunci putem scrie p=p1p2 cu p1 p2 numere naturale mai mici decacirct p şi diferite de 1 şi p Cum pmiddot1=0 iar (p1p2)middot1=(p1middot1)(p2middot1) obţinem că (p1middot1)(p2middot1)=0 şi cum A este domeniu de integritate deducem că p1middot1=0 sau p2middot1=0 contrazicacircnd minimalitatea lui p cu proprietatea că pmiddot1=0 sect2 Subinele şi ideale Definiţia 21 Dacă (A+middot) este un inel vom spune că o submulţime nevidă Aprime a lui A este subinel al lui A dacă restricţiile operaţiilor de adunare şi icircnmulţire de pe A la A icirci conferă lui A structură de inel Acest lucru revine la a spune că A le (A+) (adică pentru orice abisinA rArr a-bisinA) şi că pentru orice a bisinA rArr abisinA
Observaţia 22 Dacă A este inel unitar vom spune că o submulţime nevidă A a lui A este subinel unitar al lui A dacă A este subinel al lui A şi 1isin A
160
De exemplu 0 şi A sunt subinele ale lui A Oricare alt subinel al lui A diferit de 0 şi A se zice propriu Cum orice subinel A al inelului icircntregilor ℤ este icircn particular subgrup al grupului (ℤ +) cu necesitate există nisinℕ aicirc A=nℤ ( conform Teoremei 611 de la Capitolul 2 ) Icircn mod evident pentru a bisinA avem abisinA de unde concluzia că subinelele lui (ℤ +) sunt submulţimile de forma nℤ=nk kisinℤ cu nisinℕ Icircn cele ce urmează prin I(A) vom nota mulţimea subinelelor lui A
Propoziţia 23 Dacă (Ai)iisinI este o familie de subinele ale lui A atunci I
IiiA
isinisinI(A)
Demonstraţie Fie A= I
IiiA
isinneempty (căci 0isinA) şi a bisinA Atunci
a bisinAi pentru orice iisinI şi cum Ai este subinel al lui A deducem că a-b abisinAi adică a-b abisinA Dacă A este unitar cum 1isinAi pentru orice iisinI deducem că 1isin I
IiiA
isin= A
Observaţia 24 Icircn general o reuniune de subinele ale unui inel
nu este cu necesitate un subinel De exemplu 2ℤ şi 3ℤ sunt subinele ale lui (ℤ + middot) pe cacircnd A=2ℤ cup 3ℤ nu este subinel al lui ℤ deoarece 2 3isinA iar 3-2=1notinA
Definiţia 25 Fie A un inel şi M subeA o submulţime nevidă Prin subinelul lui A generat de mulţimea M vom icircnţelege cel mai mic subinel al lui A ( faţă de incluziune ) ce conţine pe M dacă vom nota prin [M] acest subinel atunci icircn mod evident I
AMAIAAMprimesube
isinprimeprime=
)(][
Propoziţia 26 Dacă A este un inel atunci ( I(A) sube ) este o latice completă
161
Demonstraţie Dacă F=(Ai)iisinI este o familie de elemente din I(A) atunci inf(F)= I
IiiA
isin iar sup(F)=[ U
IiiA
isin]
Propoziţia 27 Fie A B două inele comutative aicirc A este
subinel al lui B şi bisinBA Atunci [Acupb]=a0+a1b+hellip+anbn | nisinℕ şi a0a1hellipanisinA Demonstraţie Să notăm prin A[b]=a0+a1b+hellip+anbn| nisinℕ şi a0a1hellipanisinA Se verifică imediat prin calcul că A[b] este subinel al lui B ce conţine pe Acupb Cum [Acupb] este cel mai mic subinel al lui B ce contine pe Acupb avem incluziunea [Acupb]subeA[b] Fie acum B isinI(B) aicirc Acupbsube B Deducem imediat că A[b]sube B şi cum B este oarecare obţinem că A[b] sube cap B=[Acupb] de unde egalitatea dorită
Definiţia 28 Fie A un inel iar I sube A o submulţime nevidă a sa Vom spune că I este un ideal stacircng (drept) al lui A dacă
(i) I le (A +) (adică pentru orice a bisinI rArr a-bisinI) (ii) Pentru orice aisinA şi xisinI avem axisinI (xaisinI)
Dacă I este un ideal simultan stacircng şi drept vom spune despre el că este bilateral Vom nota prin Ids(A) (Idd(A)) mulţimea idealelor stacircngi (drepte) ale lui A iar prin Idb(A) mulţimea idealelor bilaterale ale lui A Icircn cazul cacircnd A este comutativ icircn mod evident Ids(A)=Idd(A)=Idb(A) şi convenim să notăm prin Id(A) mulţimea idealelor lui A
Observaţia 29 1 Ţinacircnd cont de definiţia subinelului unui inel deducem că orice ideal este subinel Reciproca nu este adevărată Icircntr-adevăr icircn inelul unitar Mn(ℤ) al matricelor pătratice de ordin n (nge2) mulţimea S a matricelor superior triunghiulare (adică acele matrice din Mn(ℤ) ce au toate elementele de sub diagonala principală egale cu zero) este subinel unitar după cum se verifică imediat prin calcul dar nu este ideal stacircng sau drept al lui Mn(ℤ) căci icircn
162
general produsul dintre o matrice superior triunghiulară din S şi o altă matrice din Mn(ℤ) nu este superior triunghiulară 2 Nu orice ideal stacircng este icircn acelaşi timp şi ideal drept sau invers Icircntr-adevăr dacă nisinℕ nge2 atunci icircn inelul Mn(ℤ) mulţimea I=A=(aij)isinMn(ℤ)| ai1=0 pentru orice 1leilen este ideal stacircng fără a fi ideal drept iar J= A=(aij)isinMn(ℤ)| a1j=0 pentru orice 1lejlen este ideal drept fără a fi ideal stacircng 3 Dacă I este un ideal al unui inel comutativ şi unitar A şi nisinℕ nge2 atunci Mn(I) este ideal bilateral al lui Mn(A) 4 Dacă A este un inel unitar şi comutativ atunci N(A)isinId(A) Icircntr-adevăr dacă xisinN(A) atunci există nisinℕ aicirc xn=0 astfel că dacă aisinA (ax)n=anxn=an middot0=0 deci axisinN(A) Dacă mai avem yisinN(A) atunci există misinℕ aicirc ym=0 Se deduce imediat că (x-y) m+n =0 adică x-y isinN(A) 5 Dacă xisinU(A) şi yisinN(A) atunci x+yisinU(A) Icircntr-adevăr scriind x+y=x(1+x-1y) cum x-1y = zisinN(A) pentru a proba că x+yisinU(A) este suficient să arătăm că dacă zisinN(A) atunci 1+zisinU(A) Scriind din nou 1+z =1- (- z) cum t = - zisinN(A) totul s-a redus la a proba că dacă tisinN(A) atunci 1-tisinU(A) Acest lucru este imediat deoarece din tisinN(A) deducem existenţa unui număr natural n aicirc tn=0 şi astfel 1=1-0=1-tn = (1-t)(1+t+t2+hellip+tn-1) de unde concluzia că 1- tisinU(A) iar (1-t)-1 =1+t+t2+hellip+t n-1
Propoziţia 210 Dacă (Ii)iisinK este o familie de ideale stacircngi
(drepte bilaterale) ale lui A atunci IKi
iIisin
este de asemenea un ideal
stacircng (drept bilateral) al lui A Demonstraţie Fie I
KiiII
isin= şi să presupunem că toate idealele Ii
sunt stacircngi Dacă a bisinI atunci a bisinIi pentru orice iisinK şi cum Ii este ideal avem că a-bisinIi adică a-bisinI Dacă aisinA şi bisinI atunci bisinIi pentru orice iisinK şi cum Ii este ideal stacircng al lui A avem că abisinIi de unde abisinI Analog se demonstrează icircn celelalte cazuri
163
Definiţia 211 Fie A un inel oarecare iar M sube A o submulţime nevidă a sa Vom nota ltMgts (ltMgtd ltMgt) cel mai mic ideal stacircng (drept bilateral) al lui A ce conţine pe M Deci
IIM
AIdIs
s
IMsube
isin=gtlt
)( I
IMAIdI
dd
IMsube
isin=gtlt
)( iar I
IMAIdI b
IMsube
isin=gtlt
)(
Propoziţia 212 Fie A un inel unitar şi M sube A o submulţime nevidă
Atunci (i) 1N
1niMxAanxaM ii
n
iiis leleisinisinisin=gtlt sum
=
(ii) 1N
1niMxAanaxM ii
n
iiid leleisinisinisin=gtlt sum
=
(iii) 1N
1niMxAbanbxaM iii
n
iiii leleisinisinisingt=lt sum
=
Demonstraţie Este suficient să probăm doar egalitatea de la (i)
celelalte făcacircndu-se analog iar pentru aceasta să notăm cu Is mulţimea din partea dreaptă de la (i) Se verifică imediat că IsisinIds(A) şi că MsubeIs (căci A fiind unitar putem scrie pentru xisinM x=1middotx) Cum ltMgts este cel mai mic ideal stacircng al lui A ce conţine pe M cu necesitate ltMgts subeIs Dacă IisinIds(A) aicirc MsubeI atunci Is sube capI=ltMgts de unde egalitatea ltMgts =Is
Observaţia 213 Icircn particular dacă M=a atunci idealul stacircng (drept bilateral) generat de M se numeşte idealul principal stacircng (drept bilateral) generat de a şi atunci avem ltagts=ba| bisinA≝Aa
ltagtd=ab| bisinA≝ aA Dacă A este un inel comutativ şi unitar atunci idealul principal
generat de a se notează simplu prin ltagt şi avem deci ltagt =Aa = aA Pentru a=0 avem lt0gt=0 iar pentru a=1 avem lt1gt=A Avem
icircn mod evident ltagt=A hArr aisinU(A) Corolar 214 Dacă A este un inel oarecare unitar atunci icircn
raport cu incluziunea Ids(A) Idd(A) şi Idb(A) sunt latici complete
164
Demonstraţie Analog ca icircn cazul subinelelor infimul unei familii de ideale este egal cu intersecţia lor iar supremul va fi idealul generat de reuniunea lor
Fie acum I1 I2 două ideale stacircngi (drepte bilaterale) ale unui
inel unitar A Din Propoziţia 212 deducem imediat că ltI1cupI2gts= ltI1cupI2gtd = ltI1cupI2gt = x+y | xisinI1 yisinI2 Convenim să notăm x+y| xisinI1 yisinI2 prin I1+I2 şi să numim
acest ideal suma idealelor I1 şi I2 Dacă (Ii)iisinK este o familie oarecare de ideale stacircngi (drepte
bilaterale) ale inelului unitar A se constată cu ajutorul Propoziţiei 212 că
gtltisinU
KiiI s= gtlt
isinU
KiiI d=
= 0 finitaesteaKiiarKipentruIaaI iiiKi
iKi
i neisinisinisingt=lt sumisinisin
U
convenim să notăm această ultimă mulţime prin sumisinKi
iI şi s-o numim
suma idealelor (Ii)iisinK
Fie A un inel unitar iar I1 I2 două ideale stacircngi (drepte bilaterale)
Definiţia 215 Definim produsul I1middotI2 al idealelor I1 şi I2 prin I1middotI2=lt ab | aisinI1 bisinI2gts (respectiv ltab| aisinI1 bisinI2gtd ltab| aisinI1 bisinI2gt după cum idealele sunt stacircngi drepte sau bilaterale)
Observaţia 216 Se constată imediat că
I1I2= 1 21
1niIbIaNnba ii
n
iii leleisinisinisinsum
=subeI1cap I2
Inductiv se poate acum defini produsul unui număr finit de ideale ale lui A
165
Icircn particular dacă I este un ideal al lui A şi n isinℕ atunci In este idealul lui A generat de produsele de forma a1a2an cu aiisinI pentru orice 1leilen
Să presupunem că inelul A este unitar şi comutativ Propoziţia 217 (i) (Id(A) cap) (Id(A)+) (Id(A)middot) sunt
monoizi comutativi (ii) Dacă I J K isinId(A) atunci I(J+K)=IJ+IK Demonstraţie (i) Icircn mod evident operaţiile de intersecţie
adunare şi produs de pe Id(A) sunt asociative şi comutative Elementul neutru al intersecţiei şi produsului este idealul A=lt1gt iar al sumei este idealul nul lt0gt
(ii) Cum J K subeJ+K icircn mod evident IJ IKsubeI(J+K) şi deci IJ+IKsubeI(J+K)
Cealaltă incluziune rezultă din distributivitatea icircnmulţirii faţă de adunarea de pe A ∎
Definiţia 218 Idealele I JisinId(A) se numesc coprime dacă I+J=lt1gt=A (echivalent cu a spune că există xisinI şi yisinJ aicirc x+y=1)
Propoziţia 219 Fie I J isinId(A) Atunci (i) (I+J)(IcapJ)subeIJ (ii) Dacă I şi J sunt coprime atunci IcapJ=IJ Demonstraţie (i) Ţinacircnd cont de Propoziţia 217 (ii) avem
(I+J)(IcapJ)=I(IcapJ)+J(IcapJ)subeIJ (ii) Dacă I şi J sunt coprime atunci I+J=lt1gt=A şi astfel din (i)
deducem că IcapJsubeIJ şi cum IJsubeIcapJ avem că IcapJ=IJ ∎
Observaţia 220 Inductiv se arată că dacă I1 I2 In (nge2) sunt ideale ale lui A aicirc Ij şi Ik sunt coprime pentru orice jnek atunci I1cap I2cap cap In = I1 I2 In ∎
166
Fie I JisinId(A) şi (I J)=xisinA xJsubeI (unde xJ=xy yisinJ) Propoziţia 221 (I J)isinId(A)
Demonstraţie Dacă x yisin(I J) atunci xJ yJ sube I şi astfel xJ-yJ=(x-y)JsubeI de unde deducem că x-yisin(I J) Dacă aisinA şi xisin(I J) atunci xJsubeI iar cum I este ideal al lui A deducem că a(xJ)=(ax)JsubeI adică axisin(I J) şi astfel (I J)isinId(A) ∎
Definiţia 222 Idealul (I J) poartă numele de idealul cicirct al
lui I prin J Icircn particular (0 J) se numeşte anulatorul lui J şi se mai notează şi prin Ann(J) Dacă J=x convenim să notăm prin (I x) idealul (I ltxgt) iar Ann(x)=Ann(ltxgt)
Icircn mod evident mulţimea divizorilor lui zero din A va fi ( )U
lowastisinAxxAnn
Propoziţia 223 Fie I J K ideale ale lui A iar (Is)sisinS (Jt)tisinT două familii de ideale ale lui A Atunci
(i) Isube(I J) (ii) (I J)JsubeI (iii) ((I J) K)=(I JK)=((I K) J) (iv) ( I
SssI
isinJ)= I
Ssisin( Is J)
(v) (I sumisinTt
tJ )= ITtisin
(I Jt)
Demonstraţie (i) Dacă xisinI atunci icircn mod evident pentru orice yisinJ xyisinI adică xJsubeI deci xisin(I J) Cum x este ales oarecare deducem incluziunea Isube(I J)
(ii) Fie xisin(I J)J atunci sum=
=n
iii zyx
1 cu yiisin(I J) şi ziisinJ
1leilen Cum yiisin(I J) deducem că yiJsubeI adică yiziisinI pentru 1leilen deci şi xisinI adică (I J)JsubeI
167
(iii) Cele două egalităţi se probează imediat prin dublă incluziune
(iv) Avem xisin( ISs
sIisin
J) hArr xJ sube ISs
sIisin
hArr xJ sube Is pentru orice
sisinS hArr xisin(Is J) pentru orice sisinS hArr xisin ISsisin
(Is J) de unde
egalitatea solicitată
(v) Dacă xisin(I sumisinTt
tJ ) atunci x( sumisinTt
tJ )subeI Cum pentru orice
tisinT Jtsube sumisinTt
tJ deducem că xJt sube I adică xisin(I Jt) deci xisinITtisin
(I Jt)
obţinacircnd astfel incluziunea (I sumisinTt
tJ )subeITtisin
(I Jt) Cum incluziunea
inversă este evidentă deducem egalitatea solicitată ∎ sect3 Morfisme de inele Izomorfisme de inele Transportul subinelelor şi idealelor prin morfisme de inele Produse directe de inele Fie A şi B două inele icircn care (pentru a simplifica scrierea)
operaţiile sunt notate pentru ambele prin bdquo+rdquo şi bdquomiddotrdquo Definiţia 31 O funcţie f ArarrB se zice morfism de inele dacă
pentru oricare a bisinA avem egalităţile (i) f(a+b) =f(a)+f(b) (ii) f(amiddotb) = f(a)middotf(b)
Dacă A şi B sunt inele unitare vom spune că f este morfism de inele unitare dacă este morfism de inele şi icircn plus
168
(iii) f(1)=1 Observaţia 32 1 Cum icircn particular f este morfism de grupuri
aditive avem f(0)=0 şi f (-a) = -f(a) pentru orice aisinA
2 Se verifică imediat că f ℤrarrM2(ℤ) f (n)=
00
0n
pentru orice
nisinℤ este morfism de inele fără a fi icircnsă morfism de inele unitare (căci
f(1)=
00
01
neI2)
3 Dacă A şi B sunt inele unitare şi f ArarrB este un morfism surjectiv de inele atunci f este şi morfism de inele unitare Icircntr-adevăr dacă bisinB este un element oarecare există aisinA aicirc f(a) = b Cum amiddot1 = 1middota = a deducem că f(a) f(1) = f(1) f(a) = f(a) hArr hArr bmiddotf(1)=f(1)middotb=b iar din unicitatea elementului 1 din B deducem cu necesitate că f(1)=1 Vom nota prin Hom(A B) mulţimea morfismelor de inele de la A la B icircn mod evident 1AisinHom(A A) iar dacă C este un alt inel fisinHom(A B) gisinHom(B C) atunci gfisinHom(A C)
Definiţia 33 Vom spune despre inelele A şi B că sunt izomorfe ( şi vom nota AasympB ) dacă există fisinHom(A B) gisinHom(B A) aicirc fg=1B şi gf=1A Icircn acest caz despre f şi g vom spune că sunt izomorfisme de inele Icircn particular un izomorfism de inele este o aplicaţie bijectivă Reciproc dacă fArarrB este un morfism bijectiv de inele atunci ca icircn cazul morfismelor de grupuri (de la Capitolul 1) se arată uşor că f-1BrarrA este morfism de inele şi cum ff-1=1B iar f-1f=1A deducem că fisinHom(A B) este izomorfism de inele dacă şi numai dacă f este morfism bijectiv de inele
Propoziţia 34 Fie A şi B două inele iar fisinHom(A B) (i) Dacă A sube A este subinel al lui A atunci f(A) este
subinel al lui B (ii) Dacă B este subinel al lui B atunci f -1(B) este
subinel al lui A
169
Demonstraţie (i) Fie a bisinf(A) atunci a=f(a) b=f(b) cu a bisinA Cum a-b=f(a-b) şi ab=f(amiddotb) iar a-b amiddotbisinA deducem că a-b abisinf(A) adică f(A) este subinel al lui B
(ii) Dacă a bisinf-1(B) atunci f(a) f(b)isinB şi cum f(a)-f(b)=f(a-b) f(a)f(b)=f(amiddotb) iar B este presupus subinel al lui B deducem că a-b amiddotbisin f-1 (B) adică f-1(B) este subinel al lui A
Observaţia 35 Din propoziţia precedentă deducem icircn particular că f(A) (pe care icircl vom nota prin Im(f) şi icircl vom numi imaginea lui f ) este subinel al lui B şi f -1(0) (pe care icircl vom nota prin Ker(f) şi icircl vom numi nucleul lui f ) este subinel al lui A
Propoziţia 36 Fie A şi B două inele fisinHom(A B) un morfism surjectiv de inele iar If(A)=SisinI(A)Ker(f)subeS Atunci funcţia FIdf(A)rarrId(B) F(S)=f(S) pentru orice SisinIf(A) este un izomorfism de mulţimi ordonate Demonstraţie Definim G Id(B)rarrIdf(A) prin G(B) = f-1(B) pentru orice BisinId(B) (conform Propoziţiei 34 funcţia G este corect definită) Faptul că F şi G sunt morfisme de mulţimi ordonate (adică păstrează incluziunea) este imediat Ca şi icircn cazul Teoremei 74 de la Capitolul 2 ( Teorema de corespondenţă pentru grupuri ) se arată că FG= ( )BId1 şi GF= ( )AId f
1 de unde concluzia propoziţiei
Propoziţia 37 Fie fisinHom(A B) un morfism de inele (i) Dacă f este funcţie surjectivă iar I este un ideal stacircng (drept bilateral) al lui A atunci f(I) este ideal stacircng (drept bilateral) al lui B
(ii) Dacă I este ideal stacircng (drept bilateral) al lui B atunci f-1(I) este ideal stacircng (drept bilateral) al lui A Demonstraţie (i) Să presupunem de exemplu că I este ideal stacircng (icircn celelalte situaţii demonstraţia făcacircndu-se asemănător) Dacă abisinf(I) atunci a=f(a) b=f(b) cu a bisinI şi cum a-b= =f(a) - f(b)=f(a-b) iar a-bisinI deducem că a-bisinf(I)
170
Dacă cisinB atunci cum f este surjecţie există cisinA aicirc c=f(c) şi astfel ca=f(c)f(a)=f(ca)isinf(I) (căci caisinI) Deci f(I) este ideal stacircng al lui B
(ii) Să presupunem de exemplu că I este ideal stacircng al lui B şi fie a bisinf-1(I) Atunci f(a) f(b)isinI şi cum f(a)-f(b)=f(a-b)isinI deducem că a-bisinf-1(I) Dacă cisinA cum f(ca)=f(c)f(a)isinI deducem că caisinf-1(I) adică f-1 (I) este ideal stacircng al lui A Analog icircn celelalte cazuri
Observaţia 38 Icircn particular deducem că Ker(f) este ideal bilateral al lui A (adică Ker(f) isinIdb(A))
Fie acum ( ) IiiA isin o familie de inele iar A=prod
isinIiiA mulţimea
subiacentă a produsului direct al mulţimilor subiacente ( ) IiiA isin (vezi sect8 de la Capitolul 1)
Reamintim că A= (xi)iisinI xiisinAi pentru orice iisinI
Pentru două elemente x=(xi)iisinI şi y=(yi)iisinI din A definim adunarea şi icircnmulţirea lor prin x+y=(xi+yi) iisinI şi xmiddoty=(xi middotyi) iisinI
Propoziţia 39 (A +middot) este inel Demonstraţie Faptul că (A +) este grup abelian rezultă
imediat asociativitatea adunării de pe A este dată de asociativitatea adunării de pe fiecare inel Ai elementul neutru este 0=(ai)iisinI cu ai=0 pentru orice iisinI iar opusul elementului x=(xi)iisinI este -x=(-xi)iisinI
Dacă x=(xi) iisinI y=(yi)iisinI z=(zi)iisinI sunt trei elemente din A atunci (x+y)z=((xi +yi) zi)iisinI =(xi zi +yizi)iisinI =(xizi)iisinI+(yizi)iisinI=xz+yz şi analog z(x+y)=zx+zy probacircnd astfel distributivitatea la stacircnga şi dreapta a icircnmulţirii faţă de adunarea de pe A Asociativitatea icircnmulţirii de pe A este dată de asociativitatea icircnmulţirii de pe fiecare inel Ai (iisinI) ∎
171
Observaţia 310 1 Dacă pentru orice iisinI inelul Ai este unitar atunci şi inelul A este unitar (elementul neutru fiind 1=(bi)iisinI cu bi=1 pentru orice iisinI )
2 Dacă pentru orice iisinI inelul Ai este comutativ atunci şi inelul A este comutativ
Pentru fiecare iisinI considerăm funcţia pi ArarrAi dată de pi(( xj)jisinI)=xi (pi poartă numele de proiecţia de indice i sau proiecţia lui A pe Ai )
Se verifică imediat că pentru fiecare iisinI pi este morfism surjectiv de inele (iar dacă (Ai)iisinI sunt inele unitare atunci pi este morfism surjectiv de inele unitare)
Propoziţia 311 Dubletul (A (pi)iisinI) verifică următoarea proprietate de universalitate Pentru orice inel A şi orice familie de morfisme de inele (pi)iisinI cu piArarrAi pentru orice iisinI există un unic morfism de inele f ArarrA aicirc pi∘f=pi pentru orice iisinI
Demonstraţie Pentru xisinA definim f(x)=(pi(x))iisinI şi icircn mod evident f este morfism de inele (deoarece pentru orice iisinI pi este morfism de inele) şi pi∘f=pi pentru orice iisinI Pentru a proba unicitatea lui f cu proprietatea din enunţ fie f ArarrA un alt morfism de inele aicirc pi∘f =pi pentru orice iisinI Atunci pentru orice xisinA pi(f (x))=pi(x) adică f (x)=(pi(x))iisinI=f(x) de unde concluzia că f=f
Dacă inelele (Ai)iisinI sunt unitare atunci şi A este unitar şi proprietatea de universalitate este valabilă consideracircnd icircn loc de morfisme de inele morfisme unitare de inele ∎
Definiţia 312 Dubletul (A (pi)iisinI) ce verifică proprietatea de universalitate din Propoziţia 311 poartă numele de produsul direct al familiei de inele (Ai)iisinI şi se notează prin prod
isinIiiA (de multe ori
172
se omit morfismele structurale (pi)iisinI dacă nu este pericol de confuzie)
Dacă I=1 2 n convenim să notăm prodisinIi
iA prin
A1timesA2timesAn Propoziţia 313 Dacă (Ai)iisinI este o familie de inele unitare şi
A=prodisinIi
iA atunci U(A)= ( )prodisinIi
iAU (icircn partea dreaptă fiind produsul
direct al mulţimilor U(Ai)iisinI) Demonstraţie Fie x=(xi)iisinIisinA Atunci din echivalenţele
xisinU(A) hArr există x=(xi)iisinIisinA aicirc xx=xx=1 hArr xixi=xixi=1 pentru orice iisinI hArr xiisinU(Ai) pentru orice iisinI hArr xisin ( )prod
isinIiiAU
deducem egalitatea din enunţ (ca egalitate de mulţimi) ∎ De exemplu U(ℤtimesℤ )=(1 -1) (1 1) (-1 1) (-1 -1) Observaţia 314 Analog ca icircn cazul grupurilor (vezi Teorema
86 de la Capitolul 2) pentru m nisinℕ (m n)=1 avem izomorfismul de inele ℤmtimesℤn asympℤmn
sect4 Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral Teoremele de izomorfism pentru inele Reamintim că pentru un inel A prin Idb(A) am desemnat mulţimea idealelor bilaterale ale lui A Pentru IisinIdb(A) cum (A +) este grup abelian avem că Ilt (A+) astfel că putem vorbi de AI = x+I| xisinA şi de grupul abelian (AI +) unde pentru xyisinA (x+I)+(y+I)=(x+y)+I (vezi sect4 de la Capitolul 2) Vom defini acum pe grupul factor AI o nouă operaţie algebrică (x+I)(y+I)=xy+I pentru orice x yisinA (pe care convenim să o numim icircnmulţire)
173
Propoziţia 41 (AI+ middot ) este inel Dacă A este unitar
(comutativ) atunci şi AI este unitar (comutativ) Demonstraţie Să arătăm la icircnceput că icircnmulţirea pe AI este corect definită şi icircn acest sens să considerăm x y xprime yprimeisinA aicirc x+I=xprime+I şi y+I=yprime+I Scriind xy-xprimeyprime=x(y-yprime)+(x-xprime)yprime deducem că xy-xprimeyprimeisinI adică xy+I=xprimeyprime+I Să alegem acum x y zisinI şi să notăm x =x+I y = y+I z = z+I
Atunci x ( y z )= ( )and
yzx iar ( x y ) z = ( )and
zxy de unde deducem că ( ) ( )zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ = adică icircnmulţirea pe AI este asociativă deci (AI middot) este
semigrup
De asemenea x ( y + z )= ( )and
+ zyx = and
+ xzxy =andxy +
andxz = zxyx ˆˆˆˆ + şi
analog ( x + y ) z = x z + y z de unde concluzia că (AI + middot) este inel Dacă inelul A este unitar atunci şi AI este unitar elementul neutru pentru icircnmulţire fiind 1=1+I deoarece pentru orice element x+Iisin AI avem (1+I)(x+I)=(x+I)(1+I)=x+I
Dacă A este inel comutativ atunci x y =andand
= yxxy = y x de unde concluzia că şi AI este comutativ
Definiţia 42 Inelul (AI + middot) poartă numele de inel factor (spunem că am factorizat inelul A prin idealul bilateral I) Surjecţia canonică pIArarrAI pI(x)=x+I pentru orice xisinA (care este morfism de grupuri aditive) este de fapt morfism de inele deoarece pentru xyisinA avem pI(xy)=xy+I=(x+I)(y+I)=pI (x)pI (y)
Dacă A este inel unitar atunci cum pI(1)=1+I=and1 iar
and1 este
elementul neutru al icircnmulţirii din AI deducem că pI este morfism de inele unitare Deoarece pentru xisinI xisinKer(pI) hArr x+I=I hArr xisinI deducem că Ker(pI)=I
174
Icircn continuare vom prezenta teoremele de izomorfism pentru
inele
Vom icircncepe ( ca şi icircn cazul grupurilor ) cu o teoremă importantă cunoscută sub numele de Teorema fundamentală de izomorfism pentru inele Teorema 43 Dacă A Aprime sunt două inele fisinHom(A Aprime) atunci Ker(f)isinIdb(A) (conform Observaţei 38 ) şi AKer(f) asymp Im(f) Demonstraţie Pentru xisinA definim ϕ AKer(f)rarrIm(f) prin ϕ(x+Ker(f))=f(x) Dacă mai avem yisinA atunci din şirul de echivalenţe x+Ker(f)=y+Ker(f) hArr x-yisinKer(f) hArrf(x)=f(y) deducem că ϕ este corect definită şi ca funcţie este injecţie Cum surjectivitatea lui ϕ este evidentă deducem că ϕ este bijecţie Deoarece pentru x yisinA avem ϕ [(x+Ker(f))+(y+Ker(f))]=f(x+y)=f(x)+f(y)=ϕ[x+Ker(f)]+ϕ [y+Ker(f)] şi ϕ [(x+Ker(f))(y+Ker(f))] =ϕ [xy+Ker(f)] = f(xy) = f(x)f(y) = = ϕ [x+Ker(f)] ϕ [y+Ker(f)] deducem că ϕ este morfism de inele şi cum mai sus am probat că este şi bijecţie rezultă că ϕ este izomorfism de inele
Corolar 44 Dacă A Aprime sunt inele şi fisinHom(AAprime) este un morfism surjectiv de inele atunci AKer(f) asymp Aprime Corolar 45 Fie A un inel Aprime sube A un subinel iar IisinIdb(A) Atunci Aprime+I=x+y| xisinAprime yisinI este subinel al lui A IisinIdb(Aprime+I) AprimecapIisinIdb(Aprime) şi avem următorul izomorfism de inele ( )IAA capprimeprime asymp IIA )( +prime Demonstraţie Fie abisinAprime+I a=x+y b=z+t xzisinAprime şi ytisinI Atunci a-b=(x-z)+(y-t)isinAprime+I iar ab=(x+y)(z+t)=xz+(xt+yz+yt)isinAprime+I de unde concluzia că Aprime+I este subinel al lui A Faptul că IisinIdb(Aprime+I) este evident Să considerăm acum ϕAprimerarr(Aprime+I)I ϕ(x)=x+I care este icircn mod evident morfism de inele Dacă avem un element (x+y)+I din (Aprime+I)I cu xisinAprime şi yisinI atunci cum (x+y)-x=yisinI deducem că (x+y)+I=x+I=ϕ(x) adică ϕ este surjecţie
175
Din şirul de echivalenţe xisinKer(ϕ) hArr ϕ(x)=0 hArr x+I=I pentru orice xisinAprime hArr xisinI pentru orice xisinAprime hArr xisinAprimecapI deducem că AprimecapI=Ker(ϕ)isinIdb(Aprime) Conform Corolarului 44 avem izomorfismele de inele AKer(ϕ) asymp Im (ϕ) hArr ( )IAA capprimeprime asymp( Aprime + I) I
Corolar 46 Fie A un inel IisinIdb(A) iar J un subinel al lui A ce include pe I Atunci JisinIdb(A) hArr JIisinIdb(AI) Icircn acest caz avem izomorfismul canonic AJasymp (AI) (JI) Demonstraţie Echivalenţa JisinIdb(A) hArr JI isinIdb (AI) este imediată Fie acum A rarr Ip
AI rarr IJp (AI)(JI) iar ϕ Ararr (AI)(JI) ϕ=pJIpI Icircn mod evident ϕ este morfism surjectiv de inele (fiind compunerea morfismelor surjective canonice) Cum Kerϕ=aisinA|ϕ(a)=0=aisinA|pJI(a+I)=0=aisinA|(a+I)+JI=JI= =aisinA| a+IisinJI=aisinA| aisinJ=J izomorfismul căutat rezultă acum din Corolarul 44 sect5 Corp Subcorp Subcorp prim Morfisme de corpuri Caracteristica unui corp
Definiţia 51 Vom spune despre un inel unitar K că este
corp dacă U(K)=K (unde K=K0) Astfel (K + middot) este corp dacă (i) ( K +) este grup (ii) (K middot) este grup
(iii) Icircnmulţirea este distributivă la stacircnga şi la dreapta faţă de adunare
Din cele stabilite icircn Capitolul 2 deducem că dacă nisinℕ nge2 atunci (ℤn+middot) este corp dacă şi numai dacă n este prim Pe parcursul acestui capitol vom pune icircn evidenţă mai multe exemple de corpuri (vezi sect6 7 8 9) Icircn mod evident icircntr-un corp K nu există divizori ai lui zero nenuli după cum nu există nici ideale diferite de 0 şi K ( căci dacă prin absurd ar exista de exemplu un ideal I la stacircnga aicirc 0 sub I sub K
176
atunci am avea aisinI aicirc ane0 şi cum K este corp am deduce că a-1a=1isinI adică I=K - absurd) Reciproc dacă un inel unitar A are doar idealele 0 şi A atunci A este corp Icircntr-adevăr dacă aisinA atunci consideracircnd idealele aA şi Aa trebuie ca aA=Aa=A adică ab=ca=1 cu b cisinA de unde b=c şi ab=ba=1 adică a este inversabil şi astfel A devine corp Definiţia 52 Fiind dat corpul K o submulţime nevidă k a lui K se zice subcorp al lui K dacă restricţiile operaţiilor de adunare şi icircnmulţire de pe K la k conferă lui k structură de corp Icircn acest caz spunem despre K că este o extindere a lui k (vezi sect6 7) Propoziţia 53 Fie K un corp iar k sube K o submulţime nevidă a sa Atunci k este subcorp al lui K dacă şi numai dacă
(i) oricare ar fi x yisink rArr x-yisink (ii) oricare ar fi x yisink cu yne0 rArr xy-1isink
Demonstraţie Echivalenţa celor două afirmaţii rezultă din faptul că (k +) şi (k middot) trebuie să fie subgrupuri ale grupurilor (K +) şi respectiv (K middot) Să observăm că elementele unitate din K şi k coincid
Propoziţia 54 Dacă p ge2 este un număr prim atunci ℤp şi ℚ
nu au alte subcorpuri icircn afară de ele icircnsele
Demonstraţie Icircntr-adevăr dacă Fsubeℤp este un subcorp al lui ℤp atunci F este subinel al lui ℤp Ştim icircnsă că subinelele şi idealele lui ℤp coincid iar cum ℤp este corp singurele sale ideale sunt 0 şi ℤp deci singurul subcorp al lui ℤp este ℤp
Fie acum Fsubeℚ un subcorp Cum 1isinF deducem că pentru orice nisinℕ nisinF (deoarece n= 43421
orin
11 ++ ) adică ℕsubeFCum 0isinF deducem că
pentru orice nisinℕ 0 - n= - nisinF adică şi ℤ sube F Dacă avem m nisinℤ nne0 atunci mn-1=mnisinF (căci F este presupus subcorp al lui ℚ ) adică ℚ sube F de unde ℚ=F
177
Icircn paragraful 1 am definit noţinea de caracteristică a unui inel Cum corpurile sunt icircn particular inele această definiţie rămacircne valabilă şi pentru corpuri
Astfel dacă k este un corp iar pentru orice nisinℕ nmiddot1k ne0 atunci corpul k se zice de caracteristică 0 (scriem car(k)=0) iar dacă n este cel mai mic număr natural nenul pentru care nmiddot1k=0 atunci spunem că corpul k este de caracteristică n ( se scrie car(k)=n) Analog ca icircn cazul inelelor (vezi Observaţia 110) se demonstrează că dacă car(k)=n atunci n este un număr prim
Propoziţia 55 Dacă K este un corp iar (Ki)iisinI o familie
nevidă de subcorpuri ale lui K atunci IIi
iKisin
este subcorp al lui K
Demonstraţie Fie K= IIi
iKisin
şi x yisinK Atunci x yisinKi pentru
orice iisinI şi cum fiecare Ki este subcorp al lui K avem că x-yisinKi adică x-y isin I
IiiK
isin=K
Dacă yne0 atunci xy-1isinKi pentru orice iisinI şi cum Ki este subcorp al lui K deducem că xy-1isin I
IiiK
isin=Kprime adică Kprime este subcorp al lui K
Definiţia 56 Un corp care nu are alte subcorpuri icircn afară
de el icircnsuşi se numeşte corp prim Mai icircnainte am văzut că ℚ este corp prim ca şi ℤp (cu pge2 prim) precum şi intersecţia tuturor subcorpurilor unui corp
Definiţia 57 Dacă K Kprime sunt două corpuri numim morfism de corpuri orice morfism unitar de inele fKrarrKprime Deci f KrarrKprime este morfism de corpuri dacă şi numai dacă f(1)=1 şi f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) pentru orice x yisinK Icircn particular deducem că f(0)=0 f(-x) = -f(x) pentru orice xisinK iar dacă xisinK atunci f(x-1) = (f (x))-1
Observaţia 58 Orice morfism de corpuri f KrarrKprime este ca funcţie o injecţie
Icircntr-adevăr dacă vom considera x yisinK aicirc f(x)=f(y) şi presupunem prin absurd că x-yne0 cum x-yisinK există zisinK aicirc
178
(x-y)z=1 Deducem imediat că f(x-y)f(z)= f(1)=1 hArr (f(x)-f(y))f(z)=1 hArr 0middotf(z)=1 hArr 0=1-absurd deci x-y=0 rArrx = y∎
Definiţia 59 Un morfism de corpuri fKrarrKprime se zice izomorfism de corpuri dacă există gKprimerarrK aicirc gf=1K şi fg=1Kprime Icircn acest caz vom scrie KasympKprime Se probează imediat că f este izomorfism de corpuri dacă şi numai dacă f este morfism bijectiv de corpuri
Ţinacircnd cont de Observaţia 58 deducem că morfismul f KrarrKprime este izomorfism de corpuri dacă şi numai dacă f este surjecţie
Propoziţia 510 Orice corp prim este izomorf sau cu corpul ℚ al numerelor raţionale sau cu un anumit corp ℤp cu p prim Demonstraţie Fie P un corp prim şi f ℤrarrP f(n)=nmiddot1P pentru orice nisinℤ care icircn mod evident este morfism unitar de inele Atunci Ker (f) este ideal al lui ℤ şi deci există nisinℕ aicirc Ker (f)=nℤ Avem acum două cazuri
1 Ker (f)=0 Atunci f este morfism injectiv de la ℤ la P şi să considerăm P =(mmiddot1P)(nmiddot1P)-1 | m nisinℤ nne0 sube P Să verificăm că P este subcorp al lui P iar pentru aceasta fie x yisin P x= (mmiddot1P)(nmiddot1P)-1 y=(rmiddot1P)(smiddot1P)-1 cu m n r sisinℤ iar n sisinℤ Atunci x-y = (mmiddot1P)(nmiddot1P) ndash1 - (rmiddot1P)(smiddot1P) ndash 1 =(ms-nr)middot1P [(ns)middot1P]-1isin P iar dacă yisin P (adică risinℤ) atunci xy - 1= (ms)middot1Pmiddot[(nr)middot1P]isin P Deoarece P este corp prim avem că P =P şi se verifică imediat că gℚrarrP g(mn)=(mmiddot1P)(nmiddot1P)-1 pentru orice mnisinℚ este izomorfism de copuri de unde concluzia că Pasympℚ 2 Ker(f)ne0 Atunci Ker(f)=nℤ cu nisinℕ Conform Teoremei fundamentale de izomorfism pentru inele ( vezi Teorema 43) avem că ℤKer(f) asymp Im(f) hArr ℤn asympIm(f) Cum Im(f) este subinel al corpului P deducem că Im(f) este domeniu de integritate deci şi ℤn va fi domeniu de integritate deci corp Astfel Im (f) este subcorp al lui P şi cum P este prim avem că P=Im(f) şi deci ℤn asympP
179
Observaţia 511 1 Din Propoziţia precedentă deducem că un corp K este de caracteristică zero dacă şi numai dacă subcorpul prim al lui K este izomorf cu corpul ℚ al numerelor raţionale şi este de caracteristică p (pisinℕ fiind un număr prim) dacă şi numai dacă subcorpul prim al lui K este izomorf cu corpul ℤp Icircn acest ultim caz corpul K poate fi privit ca un ℤp-spaţiu vectorial Deducem imediat că dacă K este finit atunci |K| = pt cu tisinℕ
2 Dacă K este o extindere a lui k (adică k este subcorp al lui K) atunci k şi K au aceeaşi caracteristică Icircn particular dacă există un morfism de corpuri f krarrK atunci k şi K au aceeaşi caracteristică
3 Conform unei celebre teoreme a lui Wedderburn orice corp finit este comutativ
Propoziţia 512 Fie K un corp comutativ cu car(K)=p (pge2
număr prim) Atunci pentru orice x yisinK avem (i) px=0 (ii) (xy)p=xpyp (iii) (xplusmny)p=xpplusmnyp (semnele se corespund) Demonstraţie (i) Avem px=p(1Kx)=(pmiddot1K)x=0middotx=0
(ii) Este evidentă deoarece xy=yx (iii) Cum p este prim p | k
pC pentru orice 1leklep-1 şi astfel dezvoltacircnd după binomul lui Newton avem (x+y)p=xp+yp iar (x-y) p= =x p +(-1) p y p Dacă pgt2 atunci cum p este prim (deci cu necesitate impar) deducem că (x-y) p = x p ndashy p iar dacă p=2 cum 2y 2 = 0 avem (x-y)2=x2+y2=x2-y2 Observaţia 513 Din propoziţia precedentă deducem că funcţia ϕpKrarrK ϕp(x)=xp este morfism de corpuri Morfismul ϕp poartă numele de morfismul lui Frobenius
180
sect6 Inele de fracţii Construcţia corpului ℚ al numerelor raţionale Icircn cadrul acestui paragraf prin A vom desemna un inel unitar comutativ Definiţia 61 O submulţime nevidă S sube A se zice sistem multiplicativ dacă 1isinS şi a bisinS rArr abisinS (adică icircnmulţirea de pe A conferă lui S structură de monoid) Teorema 62 Fie S sube A un sistem multiplicativ format din nondivizori ai lui zero Atunci există un inel unitar şi comutativ AS un morfism injectiv de inele unitare iSArarrAS a icirc
1) Pentru orice sisinS rArr iS(s)isinU(AS) 2) Pentru orice αisinAS există aisinA sisinS aicirc α=iS(a)[iS(s)]-1 3) Dacă mai există un inel unitar şi comutativ B şi un
morfism injectiv de inele iArarrB aicirc pentru orice sisinSrArri(s)isinU(B) atunci există un unic morfism de inele unitare jASrarrB aicirc diagrama
iS A AS
i j B este comutativă (adică jiS=i)
Demonstraţie Să construim la icircnceput inelul AS şi morfismul injectiv de inele unitare iS ArarrAS Icircn acest sens pe produsul cartezian de mulţimi AtimesS definim relaţia (as)~(aprimesprime) hArr asprime=aprimes Icircn mod evident relaţia ~ este reflexivă şi simetrică Pentru a proba tranzitivitatea relaţiei ~ fie (a s) (aprime sprime) (aprimeprimesprimeprime)isinAtimesS aicirc (a s)~(aprime sprime) şi (aprime sprime)~(aprimeprime sprimeprime) adică asprime=aprimes şi aprimesprimeprime=aprimeprimesprime Deducem imediat că asprimesprimeprime=aprimessprimeprime =(aprimesprimeprime)s= =(aprimeprimesprime)s rArr (asprimeprime)sprime =(aprimeprimes)sprime rArr asprimeprime=aprimeprimes (căci sprime nu este divizor al lui zero) adică relaţia ~ este şi tranzitivă deci o echivalenţă pe AtimesS
181
Clasa de echivalenţă a elementului (a s)isinAtimesS o vom nota prin
sa şi o vom numi fracţie iar mulţimea factor (AtimesS)~ o vom nota prin
AS
Deci AS=sa
| aisinA şi sisinS Cum S nu conţine divizori ai lui
zero avem că 0notinS
Pentru sa
tb isinAS definim
stbsat
tb
sa +
=+ şi stab
tb
sa
=sdot Dacă
sa
sa
primeprime
= şi tb
tb
primeprime
= atunci asprime=aprimes şi btprime=bprimet de unde deducem imediat că
(at+bs)(tprimesprime)=asprimettprime+btprimessprime=aprimesttprime+bprimetssprime=(aprimetprime+bprimesprime)ts deci
st
sbtats
bsatprimeprime
primeprime+primeprime=
+ hArr tb
sa
tb
sa
primeprime
+primeprime
=+ (altfel zis adunarea fracţiilor
este corect definită ) Cum şi (ab)(sprimetprime) = (aprimebprime)(st) deducem că
sa
tb
sa
tb
primeprime
sdotprimeprime
=sdot deci şi icircnmulţirea fracţiilor este corect definită
Să arătăm acum că (AS + middot) este inel comutativ unitar
Dacă uc
tb
sa isinAS atunci
stucstbsuatu
uststcubsat
uc
stbsat
uc
tb
sa ++
=++
=++
=++)(
)()()( iar
stuctsbusatu
tussctbutua
tuctbu
sa
uc
tb
sa ++
=++
=+
+=++)(
)()()( de
unde deducem că
++=+
+
uc
tb
sa
uc
tb
sa adică adunarea pe AS
este asociativă Cum adunarea şi icircnmulţirea pe A sunt comutative deducem imediat că adunarea fracţiilor este comutativă
Deoarece pentru orice sa
isinAS sa
sa
ssa
sa
+==sdot
sdot+sdot=+
10
101
10
deducem că 10 este elementul neutru pentru adunarea fracţiilor
182
Deoarece 100
22 ==minus
=minus
+ss
asassa
sa deducem că ndash(
sa )=
saminus
adică orice fracţie are o opusă Am probat pacircnă acum faptul că (AS +) este grup abelian
Deoarece )()()(
)()()(
uc
tb
sa
tusbca
ustcab
uc
tb
sa
sdot===sdot deducem că
icircnmulţirea fracţiilor este asociativă Deoarece inelul A este comutativ deducem că şi icircnmulţirea fracţiilor este comutativă adică (AS middot) este monoid comutativ
Deoarece sa
sa
sa
=sdot=sdot11
11 deducem că
11 este elementul neutru
pentru icircnmulţirea fracţiilor Să remarcăm faptul că dacă sa
isinAS şi tisinS
atunci sa
stat
= de unde concluzia că o fracţie poate fi ldquosimplificatărdquo
prin factori din S
Astfel ss
=11 pentru orice sisinS
Deoarece stu
bscatcuc
stbsat
uc
tb
sa +
=sdot+
=sdot+ )( iar
=+
=+=sdot+sdotsutu
bcsuactutubc
suac
uc
tb
uc
sa
stubscatc
ustuubscatc +
=+
)()(
deducem că uc
tb
uc
sa
uc
tb
sa
sdot+sdot=+ )( adică icircnmulţirea este distributivă
faţă de adunare probacircnd astfel că ( AS + middot ) este un inel
Definim iSArarrAS prin iS(a)=1a pentru orice aisinA Dacă abisinA
atunci iS(a)+iS(b)=111
baba +=+ =iS(a+b)
iS(a)middotiS(b)= ==sdot111abba iS(ab)
iar iS(1)= =11 1 de unde concluzia că iS este morfism de inele unitare
183
Dacă iS(a)=iS(b) rArr α=11ba
= rArr amiddot1=bmiddot1rArra=b adică iS este
morfism injectiv de inele
Dacă sisinS cum iS(s)=1s iar 11
1==sdot
ss
ss deducem că
iS(s)isinU(AS) (probacircnd astfel 1) din enunţ) Astfel dacă αisinAS α=sa cu
aisinA şi sisinS scriind α=s
a 11
sdot = iS(a) (iS(s))-1 răspundem astfel la
chestiunea 2) din enunţ Pentru a soluţiona şi chestiunea 3) fie B un inel cu proprietăţile
din enunţ şi α=sa
isinAS Definim j(α)=i(a)(i(s))-1
Dacă mai avem aprimeisinA şi sprimeisinS aicirc α = sa
sa
primeprime
= atunci asprime=aprimes rArr
rArri(a)i(sprime)=i(aprime)i(s) rArr i(a)(i(s))-1 = i(aprime)(i(sprime))-1 adică j este corect
definită Dacă aisinA atunci j(iS(a))=j (1a )=i(a)(i(1))-1 = i(a) adică jiS=i
Fie acum α=sa şi β=
saprimeprime două elemente din AS Atunci
α+β=ss
sasaprime
prime+prime şi αβ=
ssaaprimeprime
astfel că
j(α+β)=i(asprime+aprimes)(i(ssprime))-1=(i(a)i(sprime)+i(aprime)i(s))middot[i(s)i(sprime)]-1= =i(a)i(sprime)(i(s))-1(i(sprime))-1+i(aprime)i(s)(i(s))-1(i(sprime))-1=i(a)(i(s))-1+i(aprime)(i(sprime))-1= =j(α)+j(β) j(αβ)=i(aaprime)(i(ssprime))-1=i(a)i(aprime)(i(s))-1(i(sprime))-1=(i(a)(i(s))-1)middot(i(aprime)(i(sprime))-1)=
=j(α)j(β) şi j(1)= j (11 ) = i(1) (i(1))-1=1 de unde concluzia că j este
morfism de inele unitare Dacă mai avem un morfism de inele unitare kASrarrB aicirc kiS=i atunci pentru αisinAS conform cu 1) există aisinA şi sisinS aicirc α=iS(a)(iS(s))-1 Atunci k(α)=k(iS(a)(iS(s))-1)=k(iS(a))(k(iS(s)))-1= =(kiS)(a)((kiS)(s))-1=i(a)(i(s))-1=j(α) de unde deducem că j=k
184
Definiţia 63 Inelul AS din Teorema 62 poartă numele de
inelul de fracţii al lui A relativ la sistemul multiplicativ S ( sau cu numitorii icircn S) şi se mai notează şi prin S-1A Dacă S este mulţimea tuturor nondivizorilor lui zero atunci AS
se numeşte inelul total de fracţii al lui A
Observaţia 64 Să presupunem că A este domeniu de integritate (adică este comutativ şi nu are divizori ai lui zero diferiţi de
0) Consideracircnd S=A=A0 atunci dacă sa
isinAS deducem că αisinA
deci as
isinAS Din 111
===sdotasas
as
sa deducem că
as =(
sa )-1 adică AS
este corp numit corpul total de fracţii al domeniului de integritate A Definiţia 65 Corpul total de fracţii al inelului (ℤ + middot) se
notează prin ℚ şi poartă numele de corpul numerelor raţionale
Icircn continuare pornind de la corpul numerelor raţionale (ℚ + middot)
vom construi corpul numerelor reale (ℝ + middot ) sect7 Construcţia corpului ℝ al numerelor reale Relaţiile de ordine de pe inelul ℤ şi corpul ℚ se icircnscriu icircntr-un context mai general pe care icircl vom prezenta icircn cele ce urmează şi care ne va fi de folos şi pentru ordinea naturală de pe mulţimea numerelor reale ℝ Definiţia 71 Dacă A este un domeniu de integritate (adică un inel comutativ unitar fără divizori ai lui zero) prin ordonare pe A icircnţelegem o submulţime nevidă PsubeA aicirc Ord 1 Pentru orice xisinA avem icircn mod exclusiv xisinP sau x=0 sau -xisinP
185
Ord 2 Dacă x yisinP atunci x+y xyisinP Icircn acest caz vom spune că inelul A este ordonat de P iar P este mulţimea elementelor pozitive ale lui A Să presupunem acum că A este ordonat de P Cum 1ne0 şi 1=12=(-1)2 deducem că 1isinP (adică 1 este pozitiv)
Ţinacircnd cont de Ord 2 deducem inductiv că pentru orice nisinℕ 43421orinde
111 +++ este pozitiv
Un element xisinA xne0 xnotinP (adică -xisinP) se zice negativ
Dacă x yisinA sunt negative atunci xy este pozitiv (căci ndashx -yisinP iar (ndashx)(-y)=xyisinP) Analog deducem că dacă x este negativ iar y este pozitiv atunci xy este negativ şi că pentru orice xne0 din A x2 este pozitiv
Dacă A este corp cum pentru xne0 pozitiv avem xx-1=1 deducem că şi x-1 este pozitiv
Fie acum AʹsubeA un subinel iar Pʹ=PcapAʹ Se verifică imediat că Aʹ este ordonat de Pʹ ( Pʹ se va numi ordonarea indusă de P pe Aʹ) Mai general fie Aʹ A două inele ordonate iar Pʹ P respectiv mulţimile elementelor pozitive din Aʹ şi A
Dacă fAʹrarrA este un morfism injectiv de inele vom spune că f păstrează ordinea dacă pentru orice xisinPʹ deducem că f(x)isinP (echivalent cu a zice că Pʹsubef -1(P))
Fie acum x yisinA Definim xlty (sau y gtx ) prin y-xisinP
Astfel x gt0 icircnseamnă xisinP iar xlt0 icircnseamnă că ndashxisinP (spunem atunci că x este negativ )
Se verifică imediat că dacă x y zisinA atunci
IN1 Dacă xlty şi yltz atunci xltz
IN2 Dacă xlty şi z gt0 atunci xzltyz
IN3 Dacă xlty atunci x+zlty+z
IN4 Dacă A este corp x gt0 y gt0 şi xlty atunci y -1 lt x ndash1
186
Dacă x yisinA definim xley prin xlty sau x=y Fie acum A un domeniu de integritate ordonat de P iar K corpul său total de fracţii
Dacă PK=ba isinK| a bgt0 atunci PK defineşte o ordonare pe
K Icircntr-adevăr dacă xisinK xne0 x=ba atunci putem presupune că bgt0
(deoarece x=ba
ba
minusminus
= ) Dacă agt0 atunci xisinPK Dacă ndashagt0 atunci
-x=baminus isinPK
Nu putem avea simultan x-xisinPK căci scriind x=ba şi -x=
dc
cu a b c disinA şi a b c d gt0 atunci dc
ba
=minus deci ndash(ad)=bc absurd
(căci bcisinP şi adisinP) Deci PK satisface Ord 1
Cum xy=bdac (iar ac bd gt0) şi x+y=
bdbcad + (iar ad+bc bdgt0)
deducem că PK satisface şi Ord 2 Observaţia 72 ℕ este o ordonare pe ℤ Fie acum A un inel ordonat Pentru xisinA definim x dacă x ge0
| x | = -x dacă x lt0 ( |x| poartă numele de valoarea absolută sau modulul lui x )
Lema 73 Pentru orice x isinA | x | este unicul element zisinA aicirc zge0 şi z2=x2
Demonstraţie Să observăm că | x | 2=x2 şi | x | ge0 pentru orice xisinA Pe de altă parte dacă aisinA şi a gt0 atunci există cel mult două elemente zisinA aicirc z2=a (căci conform Corolarului 49 de la Capitolul 4
187
polinomul X2ndashaisinA[X] are cel mult două rădăcini icircn A) Dacă w2=a atunci wne0 şi (ndashw)2=w2=a deci există cel mult un zisinA pozitiv aicirc z2=a şi cu aceasta lema este probată ∎
Definiţia 74 Pentru a ge 0 definim elementul a ca fiind acel element z ge 0 aicirc z2=a (evident dacă un astfel de z există ) Se verifică acum uşor că dacă pentru a b ge0 ba există atunci ab există şi baab sdot=
Evident pentru orice xisinA | x |= 2x Lema 75 Dacă A este un inel ordonat atunci
VA1 Pentru orice xisinA | x |ge0 iar | x |gt0 dacă xne0
VA2 Pentru orice x yisinA | xy |=| x |middot| y | VA3 Pentru orice x y isinA | x+y |le| x | +| y |
Demonstraţie Cum VA1 şi VA2 sunt imediate să probăm pe VA3 | x+y |2 =(x+y)2 =x2 +2xy+y2 le | x |2 +2| xy | +| y |2= =| x | 2 +2| x|middot|y |+| y | 2=( |x |+| y | )2 de unde | x + y | le | x | + | y | ∎
Fie acum K un corp comutativ ordonat pentru care există un morfism (injectiv) de corpuri f ℚrarrK (deci K va fi de caracteristică 0)
Se arată imediat că dacă xisinℤ atunci
43421orixde
KK 11 ++ dacă x ge0
f(x) = 0 dacă x=0 ( ) ( )
444 3444 21orixde
KK
minus
minus++minus 11 dacă xlt0
188
Mai mult dacă xisinℤ cum icircn ℚ avem 11=sdot
xx deducem că
1K= ( ) ( )
sdot=
sdot=
xfxf
xxff 111 de unde ( ) 11 minus=
xf
xf icircn K Atunci
dacă x=nm isinℚ avem ( ) =
sdot=
sdot=
=
nfm
nmf
nmfxf 11 ( ) 11 minussdotsdot Knm
Rezultă că f este unic determinat vom identifica atunci pe ℚ cu un
subcorp al lui K (f se va numi scufundarea canonică a lui ℚ icircn K )
Dacă x=nm y=
nm
primeprime isinℚ (cu n nʹgt0) şi xley atunci
mnʹ-mʹnle0 deci mʹn-mnʹge0 iar f(x)=m(n1K)-1 f(y)=mʹ(nʹ1K)-1 Din
mʹn-mnʹge0 şi 1Kge0 deducem că (mʹn-mnʹ)1K ge0 hArrmʹ(n1K)-m(nʹ1K)ge0
hArrmʹ(n1K)gem(nʹ1K) de unde mʹ(nʹ1K)-1gem(n 1K)-1hArrf(y) gef(x)
Obţinem astfel următorul rezultat
Teorema 76 Dacă K este un corp ordonat de
caracteristică 0 atunci scufundarea canonică a lui ℚ icircn K f ℚrarrK
( ) 11 minussdotsdot=
Knmnmf (cu ngt0 ) păstrează ordinea
Icircn continuare prin K vom desemna un corp comutativ ordonat
de caracteristică 0 iar un element xisinℤ icircl vom identifica cu f(x)=xmiddot1K
Definiţia 77 Un şir de elemente (xn) nge0 din K se zice şir
Cauchy dacă pentru orice ɛisinK ɛgt0 există n ɛisinℕ aicirc pentru orice m nisinℕ m ngenɛ să avem | xn ndashxm |ltɛ
Vom spune despre şirul (x n) nge0 că este convergent la un element xisinK dacă pentru orice ɛisinK ɛgt0 există n ɛisinℕ aicirc pentru orice ngen ɛ să avem | xn ndash x |ltɛ
189
Observaţia 7 8 1Să presupunem că şirul (xn)nge0 este convergent la două
elemente xyisinK Atunci pentru ɛisinK ɛgt0 şi nisinℕ suficient de mare avem
| x-y | le| x-xn +xn-y | le | x-xn | +| xn ndashy | le 2ɛ
iar cum ɛ este oarecare deducem că | x-y |=0 ( căci dacă | x-y |ne0 atunci
| x-y | gt0 şi am avea | x-y |lt | x-y | absurd ) Dacă (x n ) nge0 este convergent la un element xisinK vom scrie
x= nnx
infinrarrlim
2 Orice şir convergent este şir Cauchy
Definiţia 79 Corpul ordonat K icircn care orice şir Cauchy este convergent se zice complet
Definiţia 710 Corpul ordonat K se numeşte arhimedean dacă pentru orice xisinK există nisinℕ aicirc x le nmiddot1K
Teorema 711 Corpul ℚ al numerelor raţionale nu este complet Demonstraţie Icircntr-adevăr să considerăm şirul (xn)nge0 de
numere raţionale dat prin x0=1 şi n
nn x
xx
2334
1 ++
=+ pentru orice nge0 Prin
inducţie matematică relativă la n se probează că xn2lt2 şi că (xn) nge0 este
crescător (căci ( )
023
222334 2
1 gt+
minus=minus
++
=minus+n
nn
n
nnn x
xx
xx
xx ) iar de aici că
el este şir Cauchy Dacă acest şir ar avea limita lisinℚ atunci cu necesitate
lll
2334
++
= de unde l2=2 absurd căci lnotinℚ Deci (xn) nge0 nu are limită icircn
ℚ adică corpul ℚ nu este complet ∎
190
Pentru K corp ordonat şi SsubeK prin majorant al lui S icircn K icircnţelegem un element zisinK aicirc xlez pentru orice xisinS Prin marginea superioară a lui S notată prin sup(S) icircnţelegem cel mai mic majorant al lui S din K (evident dacă acesta există )
Teorema 712 Fie K un corp arhimedean complet Atunci orice submulţime nevidă S a lui K ce admite un majorant are margine superioară
Demonstraţie Pentru nisinℕ fie
Tn=yisinℤ| nx le y pentru orice xisinS
Atunci Tn este mărginită de orice element de forma nx cu xisinS şi este nevidă deoarece dacă b este un majorant al lui S atunci orice icircntreg y aicirc nbley este icircn Tn (deoarece K este arhimedean)
Fie yn cel mai mic element al lui Tn Atunci există xnisinS aicirc
yn-1ltnxn leyn de unde ny
xnn
y nn
n leltminus1
Să notăm ny
z nn = şi să demonstrăm că şirul (zn)nisinℕ este
Cauchy Pentru aceasta fie m nisinℕ aicirc my
ny mn le atunci
leltminusny
mmy nm 1
mym căci icircn caz contrar
mmy
ny mn 1
minusle deci mm
ym 1minus este
majorant pentru S ceea ce este absurd căci xm este mai mare
Atunci |my
ny mn minus | le
n1 de unde deducem că (zn) nisinℕ este
Cauchy
Fie nnzw
infinrarr= lim şi să demonstrăm la icircnceput că w este un
majorant pentru S
Să presupunem prin absurd că există xisinS aicirc wltx Există
atunci nisinℕ aicirc | zn ndash w | le 2
wx minus astfel că x-zn =x-w+w-zn ge x-w-
191
-| w-zn | ge x-w- 022
gtminus
geminus wxwx deci x gtzn contrazicacircnd faptul că zn este
majorant al lui S
Să demonstrăm acum că w=sup S
Fie ultw atunci există nisinℕ suficient de mare aicirc | zn ndashxn |le 441 uw minus
lt
Putem alege n suficient de mare aicirc | zn ndash w |le4
uw minus căci
wznn=
infinrarrlim
Astfel xnndashu =w-u+xn-zn+zn-w ge w-u-| xn ndashzn |-| zn-w | ge
ge 0444
gtminus
geminus
minusminus
minusminusuwuwuwuw deci ultxn (adică u nu este majorantndash
absurd ) ∎ Icircn continuare vom prezenta construcţia corpului numerelor reale cu ajutorul şirurilor Cauchy de numere raţionale (definite mai icircnainte icircntr-un context mai general)
Definiţia 713 Un şir de numere raţionale γ=(cn ) nge0 se zice şir nul dacă pentru orice ɛisinℚ ɛgt0 există n ɛ isinℕ aicirc pentru orice ngen ɛ | cn |leɛ (adică 0lim =
infinrarr nnc )
Dacă α=(an)nge0 şi β=(bn)nge0 sunt două şiruri de numere raţionale definim suma şi produsul lor prin α+β=(an+bn) nge0 şi respectiv αβ=(anbn) nge0
Lema 714 Orice şir Cauchy α=(an )nge0 de numere raţionale este mărginit
Demonstraţie Există kisinℕ aicirc pentru orice n ge k | an ndashak | le1 de unde | an | le |ak|+1 Alegacircnd M=max ( | a0 | |ak-1 | | ak |+1) deducem că |an | le M pentru orice nisinℕ ∎
192
Icircn cele ce urmează prin C(ℚ) vom nota mulţimea şirurilor Cauchy de numere raţionale
Propoziţia 715 (C(ℚ) + middot ) este inel unitar comutativ Demonstraţie Fie α=( xn ) nge0 β=( yn ) nge0 0=(0 0 hellip) şi 1=(1 1 hellip) Să demonstrăm la icircnceput că α+β şi αβ sunt din C(ℚ)
Pentru ɛisinℚ+ există nɛʹ nɛʹʹisinℕ aicirc pentru orice m n ge nɛʹ să
avem | xm-xn |lt 2ε şi pentru orice m n ge nɛʹʹ | ym-yn |lt 2
ε Alegacircnd
nɛ=max (nɛʹ nɛʹʹ) deducem că pentru orice m n ge nɛ | xm-xn |
| ym-yn |lt2ε astfel că | (xm+ym) ndash (xn+yn) |=| (xm-xn) + (ym-yn) | le
le| xm-xn |+| ym-yn |lt εεε=+
22 adică α+β isinC(ℚ)
Pentru cazul produsului αβ vom ţine cont de Lema 714 Conform acesteia există M1 M2isinℚ+ aicirc | xn | le M1 şi | yn | le M2 pentru orice nisinℕ Notacircnd M=max (M 1 M 2 ) şi alegacircnd ɛisinℚ+ există nɛʹ nɛʹʹisinℕ aicirc
| xm ndashxn | le M2ε pentru m n ge nɛʹ şi
| ym-yn | le M2ε pentru m n ge nɛʹʹ
Astfel pentru m n ge nɛ =max (nɛʹ nɛʹʹ) avem | xmym ndashxnyn |=|xm(ym-yn) + yn(xm-xn) | = | xm | | ym-yn | +| yn | | xm-xn | le
le MmiddotM2ε +Mmiddot
M2ε =ɛ adică şi αβisinC(ℚ)
Icircn mod evident -α=(-xn )n ge0 isinC(ℚ) ca şi 0 1isinC(ℚ) Deducem acum imediat că (C(ℚ) + middot) este inel comutativ şi
unitar ∎ Icircn continuare vom nota prin
193
N(ℚ)=( xn ) nge0 isinC(ℚ) | infinrarrn
lim xn =0
Lema 716 N(ℚ) este ideal al inelului C(ℚ) Demonstraţie Analog ca icircn cazul sumei din propoziţia
precedentă se demonstrează imediat că dacă α βisinN(ℚ) atunci
α-βisinN(ℚ)
Fie acum α=(an ) nge0 isinC(ℚ) şi β=(bn) nge0 isinN(ℚ) Conform
Lemei 714 există MisinQ+ aicirc | an | le M pentru orice nisinℕ
Deoarece β=(bn)nge0 isinN(ℚ) pentru ɛisinQ+ există nɛisinℕ aicirc
pentru orice n ge nɛ să avem | bn | le Mε
Atunci pentru n ge nɛ | an bn |=| an | | bn | le MmiddotMε =ɛ astfel că
αβisinN(ℚ) adică N(ℚ) este ideal al inelului comutativ C(ℚ) ∎ Lema 717 Fie αisinC(ℚ) aicirc αnotinN(ℚ) α=(an)nge0 Atunci
există cisinℚ+ şi n0isinℕ aicirc pentru orice n ge n0 | an | ge c Demonstraţie Dacă prin absurd lema nu ar fi adevărată atunci
pentru ɛisinℚ+ există o infinitate de numere naturale n1ltn2lt aicirc
| ina |lt 3
ε pentru orice i ge1
Cum αisinC(ℚ) există pisinℕ aicirc pentru orice m ngep să avem
|an ndasham|le3ε Fie ni ge p atunci pentru orice m gep | am | le | am -
ina |+
+| ina | le 3
2ε şi pentru orice m ngep | an | le | an ndasham |+| am | le 3
23
εε+ =ɛ
adică αisinN(ℚ) absurd ∎
194
Teorema 718 (C(ℚ) N(ℚ) + middot ) este corp comutativ Demonstraţie Faptul că C(ℚ) N(ℚ) este inel comutativ
rezultă din aceea că C(ℚ) este inel comutativ iar N(ℚ) este ideal icircn
C(ℚ) (vezi sect4)
Fie acum αisinC(ℚ) aicirc αnotinN(ℚ) şi α =α +N(ℚ)isinC(ℚ) N(ℚ) Vom demonstra că există β isinC(ℚ)N(ℚ) aicirc 1=sdot βα unde
1=1+N(ℚ) (reamintim că 1=(1 1 )isinC(ℚ) )
Cum αnotinN(ℚ) conform Lemei 717 există ɛisinℚ+ şi n0isinℕ aicirc
pentru orice n ge n0 | an | geɛ Icircn particular deducem că pentru n ge n0 anne0
Fie β=(bn ) nge0 cu 1 dacă 0 le n le n0
b n = an
-1 dacă n ge n0
Să arătăm că βisinC(ℚ) şi că 1=sdot βα
Putem alege deci cisinℚ+ şi n0isinℕ aicirc pentru orice n ge n0
| an | gecgt0 de unde va rezulta că can
11le
Pentru ɛisinℚ+ există p ge n0 aicirc pentru orice m n ge p să avem | an ndasha m | le ɛc2 Atunci pentru orice m n ge p avem
2
211c
caaaa
aa nm
nm
mn
sdotle
sdotminus
=minusε ε= adică βisinC(ℚ)
Cum αβ diferă de 1 numai icircntr-un număr finit de termeni (eventual pentru n le n0 ) deducem că αβ-1isinN(ℚ) adică 1=sdot βα deci
( ) 1minus= αβ adică C(ℚ) N(ℚ) este corp ∎
195
Definiţia 719 Mulţimea C(ℚ) N(ℚ) se notează prin ℝ şi
poartă numele de mulţimea numerelor reale Corpul ( ℝ+ middot) poartă numele de corpul numerelor reale Deoarece se probează imediat că funcţia iQℚrarrℝ
iQ(a) = ( ) aa pentru orice a isinℚ este morfism de corpuri (deci icircn
particular funcţie injectivă) putem privi pe ℚ ca subcorp al lui ℝ Elementele din I=ℝℚ se zic numere iraţionale Lema 720 Pentru α=(an) nge0 isinC(ℚ) este verificată doar
una din condiţiile (1) αisinN(ℚ) (2) Există cisinℚ+ aicirc pentru n suficient de mare să avem an ge c (3)Există cisinℚ+ aicirc pentru n suficient de mare să avem an le - c
Demonstraţie Evident (2) şi (3) se exclud reciproc Să presupunem acum că αnotinN(ℚ) Conform Lemei 720 există
n0isinℕ şi cisinℚ+ aicirc pentru orice n ge n0 | an | ge c astfel că a n ge c dacă an gt 0 şi an le -c dacă anlt0
Să presupunem acum că angt0 pentru suficient de mulţi n şi amlt0 pentru suficient de mulţi m Pentru astfel de n şi m avem anndashamge2cgt0 ceea ce contrazice faptul că αisinC(ℚ)
Deci (2) sau (3) icircn sens disjunctiv trebuie să aibă loc ∎
Fie P=α | αisinC(ℚ) şi verifică (2) din Lema 720subeℝ Lema 721 P este o ordonare pe ℝ
Demonstraţie Conform Lemei 720 deducem că P satisface
Ord 1 Fie acum α=(an ) nge0 şi β=(bn ) nge0 isinC(ℚ) aicirc βα isinP
Există c1 c2isinℚ+ şi n1 n2isinℕ aicirc pentru ngen1 an gec1 şi pentru ngen2 bn gec2
196
Pentru n ge max (n1 n2 ) an+bn ge c1+c2 gt0 şi anbn gec1c2 gt0 astfel că α+β αβ verifică (2) din Lema 720 adică βαβα sdot+ isinP deci P satisface şi Ord 2
Observaţia 722 1 Din cele de mai sus deducem că dacă βα isinℝ α=(xn)nge0
β=(yn)nge0 atunci βα le este echivalent cu aceea că β -α isinP adică ( )αβ minus isinP deci cu existenţa lui n0isinℕ şi cisinℚ+ aicirc yn-xn gec pentru orice n gen0
Convenim să numim ordinea de mai icircnainte ordonarea naturală de pe ℝ
2 Pentru aisinℚ convenim să notăm pe iℚ(a) prin a adică ( ) aaa =
Teorema 723 Ordonarea naturală de pe ℝ (dată de P) este arhimedeană
Demonstraţie Conform Definiţiei 710 pentru
α=(an) nge0isinC(ℚ) va trebui să demonstrăm că există mαisinℕ aicirc αα mle
Conform Lemei 714 există Misinℚ+ aicirc an le M pentru orice nisinℕ Alegacircnd mαisinℕ aicirc Mlemα deducem că anlemα pentru orice nisinℕ adică α αmle ∎
Următorul rezultat este imediat
Lema 724 Dacă α=(an)nge0isinC(ℚ) şi există cisinℚ+ şi n0isinℕ aicirc pentru orice n gen0 | an| le c atunci cleα
Observaţie 725 Conform Teoremei 723 fiind dat ɛisinℝ ɛgt0 există ɛ1isinℚ+ aicirc ɛltɛ1 astfel că icircn definiţia limitei unui şir din ℝ nu contează dacă ɛ este real sau raţional
Lema 726 Fie α=(an) nge0 isinC(ℚ) Atunci α nn
ainfinrarr
= lim (adică
orice şir Cauchy de numere raţionale converge icircn ℝ)
197
Demonstraţie Fie ɛisinℚ+ Există n0isinℕ aicirc pentru orice
m n ge n0 | am ndash an |leɛ Atunci pentru mgen0 avem | maminusα |= = εα leminus ma (căci α-am= (an ndash am) nge0 ) adică nn
ainfinrarr
= limα ∎
Teorema 727 Corpul ℝ este complet
Demonstraţie Fie (xn) nge0 un şir Cauchy de numere reale Conform Lemei 726 pentru orice nisinℕ găsim anisinℚ aicirc
| xn - na |ltn1 ( icircn partea dreaptă este vorba de fapt de ( n ) -1 )
Cum (xn ) nge0 este Cauchy deducem că fiind dat ɛgt0 (de exemplu ɛisinℚ) există n0isinℕ aicirc pentru orice m n ge n0 să avem
| xn ndashxm |le3ε
Fie n1isinℕ n1gen0 aicirc3
1
1
εle
n Atunci pentru orice m n ge n1
avem leminus+minus+minusleminus+minus+minus=minus mmmnnnmmmnnnmn axxxxaaxxxxaaa
εεεε=++le
333 Adică ( ) 0genna este şir Cauchy de numere raţionale
Conform Lemei 726 există nnax
infinrarr= lim icircn ℝ Deoarece pentru n
suficient de mare | xn -x| le | xn - na | + | na -x | deducem că nnxx
infinrarr= lim
adică ℝ este complet ∎ Definiţia 728 Un corp ordonat K se zice complet ordonat
dacă orice parte nevidă minorată a sa are o margine inferioară Observaţie 729 Fie K un corp complet ordonat şi AsubK
Aneempty A majorată Atunci ndashA este minorată sup A există şi sup (A)=- inf (ndash A)
Lema 730 Dacă x yisinℚ atunci
198
(i) x ley hArriℚ(x) le iℚ (y)
(ii) xlty hArriℚ (x)ltiℚ(y)
(iii) pentru orice αisinℝ există x yisinℤ aicirc iQ (x) le α le iQ (y) Demonstraţie (i) Să presupunem că xley adică y-xge0 Cum
iℚ(y)-iℚ(x)=iℚ(y-x) deducem că iℚ (y) ge iℚ (x) hArr iℚ (x) le iℚ (y)
Reciproc să presupunem că iQ (x) le iQ (y) adică iQ (y-x) ge 0 rArr y-xisinP
deci pentru ɛgt0 y-xgtɛgt0 rArrygex hArr xley (ii) Rezultă din injectivitatea lui iQ
(iii) Fie αisinℝ şi (xn) nge0isinα Atunci (xn) nge0isinC(ℚ) deci pentru ɛisinℚ+ există nɛisinℕ aicirc | xn ndash
εnx |ltɛ pentru orice n ge nɛ sau
εnx - ɛltxnlt εnx +ɛ pentru orice n ge nɛ
Luacircnd x yisinℤ aicirc xltεnx -ɛ şi
εnx +ɛlty deducem că xnndashxgt0 şi
y ndash xngt0 pentru orice n ge nɛ deci
( xn ) n ge0 ndash ( x x ) =( xn ndash x ) nge0 isinP şi
( yy ) ndash ( xn ) nge0 =( y- xn ) nge0 isinP adică iQ (x) le α le iQ (y)
Lema 731 Fie α βisinℝ şi (un ) n ge0 (vn ) n ge0 isinC(ℚ) aicirc
iℚ (um) le α le β le iℚ (vm )
pentru orice m isinℕ şi ( um ) m ge0 ndash( vm ) m ge0 isinN(ℚ) Atunci α=β
Demonstraţie Fie ɛgt0 Există m0isinℕ aicirc |00 mm uv minus |lt
3ε Fie
acum (xn ) nge0isinα şi (yn) nge0isinβ Din condiţia (1) deducem că iℚ(um)leα deci pentru m=m0 avem (xnndash 0mu )nge0isinP prin urmare există nɛʹisinℕ aicirc
xnndash 0mu gt3ε
minus pentru ngenɛʹ
199
Tot din (1) rezultă că βleiQ(vm) deci pentru m=m0 avem (0mv -yn) nge0isinP
adică există nɛʹʹisinℕ aicirc 0mv ndash yn gt 3
εminus pentru orice n ge nɛʹʹ de unde
yn ndash xn lt 0mv +
3ε
32
3 000
εε+minus=+minus mmm uvu le
00 mm uv minusle +3
2ε le εεε=+
32
3 prin urmare yn ndashxnltɛ pentru orice
n gemax (nɛʹ n ɛʹʹ) Dar α le β Atunci (ynndashxn) nge0isinP deci există nɛʹʹʹisinℕ aicirc yn-xn gt-ɛ pentru orice n ge nɛ ʹʹʹ Atunci | xn ndash yn |ltɛ pentru orice ngemax (nɛʹ nɛʹʹ nɛʹʹʹ) de unde α=β∎ Teorema 732 Corpul ( ℝ le ) este complet ordonat
Demonstraţie Fie Asubℝ nevidă şi minorată iar A0 mulţimea
minoranţilor lui A Cum A0 neempty există βisinA0 aicirc β le α pentru orice αisinA Din Lema 731 (iii) rezultă existenţa unui zisinℤ aicirc iℚ (z) le β adică iℚ (z)isinA0
Fie x0=maxzisinℤ | iQ (z)isinA0 atunci iℚ(x0)isinA0 şi iℚ(x0+1)notinA0 Presupunem că am obţinut un xkisinℚ (kge0) aicirc iℚ(xk )isinA0
şi iℚ ( xk + k101 )notinA0
Notacircnd nk=max0lenle9 | iℚ(xk)+ 110 +kn isinA0 şi
11
10 ++ +=kk
kkn
xx se obţine prin inducţie un şir (xk ) kge0isinℚ aicirc
(1) iℚ (xk )isinA0 pentru orice kisinℕ (2) iℚ ( kkx
101
+ )notinA0 pentru orice kisinℕ
(3) 11
10 ++ +=kk
kkn
xx
200
Din (3) şi din definiţia lui nk rezultă 11
10 ++ +=kk
kkn
xx de unde
pentru n gtk obţinem xn ndashxk=xnndashxn-1+xn-1ndashxn-2++xk+1ndashxkle
kk
kn
kknkknn
101
910
109
1011
1011
109
101
1011
109
109
109
109
1
11111
=sdotlt
ltminus
minussdot=
+++=+++le
+
minus
+minusminus++minus
deci ( xn ) nge0isinC(ℚ) Fie α= ( ) 0gennx isinℝ şi să demonstrăm că α=inf A Pentru aceasta vom demonstra că
(lowast) iℚ( xk ) le α le iℚ ( xk+ k101 ) pentru orice kisinℕ
Din (3) deducem că x0 le x1 le le xk le deci ( xn-xk ) nge0isinP pentru orice kisinℕ adică iℚ ( xk ) le ( ) 0gennx =α pentru orice kisinℕ
Am demonstrat mai icircnainte că xnndashxkltk10
1 pentru ngtk adică
nkk xx minus
+
101 gt0 pentru n gtk deci α le iℚ
+
kkx10
1 pentru orice
kisinℕ
Am arătat astfel inegalităţile (lowast) Să demonstrăm acum că α este minorant al lui A Să presupunem că există γisinA aicirc γltα Atunci iℚ (xk) le γ le α le
iℚ
+
kkx10
1 pentru orice kisinℕ
Dar ==
minus+
infinrarrinfinrarr kkkkkkxx
101lim
101lim 0 de unde ţinacircnd cont de
Lema 731 deducem că γ=α absurd deci αisinA0 Să arătăm acum că α este cel mai mare minorant al lui A Presupunem că există βisinA0 aicirc αltβ Din (3) deducem că pentru fiecare
kisinℕ există α kisinA aicirc α kltiℚ ( kkx10
1+ ) Cum β este minorant al lui A
201
şi α kisinA deducem că βleα k de unde iℚ (xk ) le α le β le iℚ(k
kx10
1+ ) de
unde deducem că α=β absurd Deci α=infA ∎
sect8 Construcţia corpului ℂ al numerelor complexe
Scopul acestui paragraf este de a identifica corpul ℝ al numerelor reale cu un subcorp al unui corp comutativ ℂ icircn care ecuaţia x2 =-1 are soluţie
Pentru aceasta vom considera ℂ=ℝtimesℝ iar pentru (x y) (z t)isinℂ definim
(x y)+(z t)=(x+z y+t)
(x y)middot(z t )=(xz-yt xt+yz)
Teorema 81 (ℂ + middot ) este corp comutativ icircn care ecuaţia x2=-1 are soluţie
Demonstraţie Faptul că (ℂ +) este grup abelian se probează imediat (elementul neutru este ( 0 0 ) iar pentru (x y)isinℂ -(x y)= =(-x -y ))
Icircn mod evident icircnmulţirea este comutativă
Pentru a proba că (ℂ middot ) este grup fie (x y) (z t) (r s)isinℂ Deoarece (x y)[(z t)middot(r s)]=[(x y)(z t)]middot(r s)=(xzr-xts-yzs-ytr xzs+xtr+yzr-yts) deducem că icircnmulţirea este asociativă
Cum (x y)(1 0)=(1 0)(x y)=(x y) deducem că elementul neutru faţă de icircnmulţire este (1 0) Fie acum (x y)isinℂ (adică xne0 sau yne0) Egalitatea (x y) (xʹ yʹ)=(1 0) este echivalentă cu xxʹ-yyʹ=1 şi
202
xyʹ+yxʹ=0 de unde xʹ=22 yx
x+
şi yʹ=22 yx
y+
minus adică (x y) -1=
=
+minus
+ 2222
yxy
yxx
Cum pentru (x y) (z t) (r s)isinℂ (x y)middot[(z t)+(r s)]= =(x y)middot(z t)+(x y)middot(r s)=(xz+xr-yt-ys xt+xs+yz+yr) deducem că icircnmulţirea este distributivă faţă de adunare adică (ℂ + middot) este corp comutativ Să notăm i=(0 1) Cum i2=(0 1)(0 1)=(-1 0)=-(1 0) deducem că ecuaţia x2=-1 are soluţie icircn ℂ ∎ Observaţia 82 Se probează imediat că iℝℝrarrℂ iℝ(x)=(x 0) pentru orice xisinℝ este morfism de corpuri (deci funcţie injectivă) Icircn felul acesta ℝ poate fi privit ca subcorp al lui ℂ Am construit astfel şirul de mulţimi ℕsubeℤsubeℚsubeℝsubeℂ Deoarece pentru z=(x y)isinℂ putem scrie z=(x 0)+(y 0)(0 1) ţinacircnd cont de identificările anterioare deducem că z se poate scrie (formal) sub forma z=x+iy (cu i=(0 1) iar i2=-1)
Mulţimea ℂ poartă numele de mulţimea numerelor complexe iar (ℂ + middot) corpul numerelor complexe Elementele din ℂℝ se zic pur imaginare
Dacă z=x+iyisinℂ cu x yisinℝ atunci x se zice partea reală a lui z iar yi partea imaginară a lui z ( y se numeşte coeficientul părţii imaginare )
Pentru zisinℂ z=x+iy definim iyxz minus= (ce se va numi
conjugatul lui z) şi 22 yxz += ( |z| poartă numele de modulul lui z ) Propoziţia 83 Fie z z1 z2isinℂ Atunci
(i) zisinℝ hArr zz = (ii) 2 zzzzz =sdot=
203
(iii) 2
1
2
121212121
zz
zz
zzzzzzzz =
=plusmn=plusmn (cu z2ne0)
(iv) zz = 2121 zzzz +le+ 2121 zzzz = 2
1
2
1
zz
zz
= (cu
z2ne0) Demonstraţie (i) Fie z=a+ib Dacă zisinℝ atunci b=0 deci
zaz == iar dacă zz = atunci b =-b adică b=0 deci zisinℝ (ii) şi (iii) sunt evidente (iv) Să probăm doar inegalitatea |z1+z2|le|z1|+|z2| (celelalte
probacircndu-se imediat) Alegem z1=x1+iy1 şi z2=x2+iy2 cu x1 x2 y1
y2isinℝ şi astfel
|z1+z2|le|z1|+|z2|hArr ( ) ( ) 22
22
21
21
221
221 yxyxyyxx +++le+++ hArr
( )( )22
22
21
21
22
22
21
2121
22
2121
22
21
2
22
yxyx
yxyxyyyyxxxx
+++
++++le+++++
hArr ( ) ( )( ) ( ) geminushArr++le+ 21221
22
22
21
21
22121 yxyxyxyxyyxx 0 ceea ce este
evident
Egalitate avem dacă λ==2
2
1
1
yx
yx cu λ isinℝ adică 21 zz λ= ∎
Observaţia 84 Asociind fiecărui număr complex z=a+ib
matricea
minus ab
ba se probează imediat că corpul (ℂ+middot) este izomorf cu
corpul
minus
baabba
isinℝ operaţiile de adunare şi icircnmulţire fiind
cele obişnuite din M2 (ℝ)
204
sect9 Construcţia corpului H al quaternionilor Icircn inelul (M2( ℂ) + middot) să considerăm mulţimea
H =
minus αβ
βα|α βisinℂ
(unde reamintim că pentru α isinC α reprezintă conjugatul lui α )
Propoziţia 91 ( H + middot) este subinel al lui M2( ℂ )
Demonstraţie Fie M=
minus αβ
βα şi N=
minus γδ
δγ două elemente
din H Atunci M-N=
minusminusminus
minusminus
γαδβ
δβγα
)(isinH
MN=
minus+minus
+minus
δβαγγβαδ
γβαδδβαγisinH şi I2=
minus=
10
01
10
01isinH de unde
concluzia că H este subinel (unitar ) al lui M2( ℂ )∎
Corolarul 92 (H + middot) este corp Demonstraţie Ţinacircnd cont de Propoziţia 91 mai avem de
demonstrat faptul că dacă MisinH M=
minus αβ
βαneO2 atunci există NisinH
aicirc MN=NM=I2 Din MneO2 deducem că 022 ne+=+=∆ βαββαα
Consideracircnd N=
primeprimeminus
primeprime
αβ
βαisinH unde )( ∆=prime αα şi
∆minus=prime ββ avem
MN=
minus αβ
βα
primeprimeminus
primeprime
αβ
βα=
primeminusprimeprime+primeminus
prime+primeprimeminusprime
ββαααββα
αββαββαα
)( iar
205
122
=∆∆
=∆+
=∆+
=
∆+
∆=primeminusprime
βαββααββααββαα
0=∆
+∆
minus=
∆+
∆minus=prime+prime αβαβαββααββα
de unde MN=
10
01=I2 şi analog NM=I2 adică M-1=N
Definiţia 93 Corpul H poartă numele de corpul quaternionilor (elementele lui H se vor numi quaternioni)
Dacă vom considera jℝℝrarrH definit prin jℝ(a)=
a
a
0
0 pentru
orice aisinℝ se verifică imediat că jℝ este morfism de corpuri (deci funcţie
injectivă ) astfel numărul real a se identifică cu quaternionul
a
a
0
0
Să notăm I=
minus i
i
0
0 J=
minus 01
10 şi K=
0
0
i
i Prin calcul se
verifică egalităţile I2=J2=K2=-I2 IJ=-JI=K JK=-KJ=I KI=-IK=J (de unde o primă concluzie ce se desprinde este că H este un corp necomutativ) Dacă α=a0+a1i şi β=b0+b1iisinℂ putem scrie
=
minus+minus
++=
minus iaaibb
ibbiaa
1010
1010
αβ
βα
0
0
0
0
a
a+
1
1
0
0
a
a
minus i
i
0
0+
0
0
0
0
b
b
minus 01
10+
1
1
0
0
b
b
0
0
i
i=a0I2+a1I+b0J+b1K (dacă ţinem cont de
identificarea oricărui număr real a cu quaternionul
a
a0
0) Astfel
orice quaternion hisinH poate fi scris icircn mod unic sub forma h=a+bI+cJ+dK cu a b c disinℝ (identificacircnd pe aI2 cu a)
206
Observaţia 94 Icircn corpul H ecuaţia x2+1=0 are o infinitate de soluţii şi anume toţi quaternionii h=aI+bJ+cK cu a b cisinℝ şi a2+b2+c2=1
sect10 Ideale prime Ideale maximale Icircn cadrul acestui paragraf prin A vom desemna un inel unitar şi comutativ
Definiţia 101 Un ideal weierp al lui A se zice prim dacă weierp neA şi dacă avem abisinA aicirc abisin weierp atunci aisinweierp sau bisinweierp Exemple 1 Dacă A este un domeniu de integritate atunci idealul nul (0) este prim
2 Pentru inelul ℤ idealele prime sunt (0) şi pℤ cu pge2 număr prim
Propoziţia 102 Un ideal weierp al lui A este prim dacă şi numai
dacă Aweierp este domeniu de integritate
Demonstraţie Dacă weierp sub A este ideal prim atunci weierpneA deci Aweierp este inel nenul şi cum A este comutativ şi unitar deducem că şi Aweierp
este comutativ şi unitar Fie acum a += a weierp b += b weierp isinAweierp aicirc
a b = 0 hArr ab isinweierp Cum weierp este prim deducem că a isinweierp hArr a = 0 sau
bisinweierp hArr b = 0 adică Aweierp nu are divizori ai lui zero nenuli
Reciproc dacă Aweierp este domeniu de integritate atunci Aweierp este
nenul şi deci weierpneA Dacă a bisinA aicirc a bisinweierp atunci 0=and
ab hArr a b = 0 şi cum Aweierp nu are divizori nenuli ai lui zero deducem că a = 0 hArr a isinweierp
sau b = 0 hArrbisinweierp
207
Propoziţia 103 Fie A Aprime două inele unitare şi comutative iar fArarrAprime un morfism de inele unitare Atunci
(i) Dacă weierpprimesubAprime este ideal prim icircn Aprime f-1( weierpprime) este ideal prim icircn A
(ii) Dacă icircn plus f este morfism surjectiv şi weierp sub A ideal prim aicirc Ker(f)sube weierp atunci f(weierp) este ideal prim in Aprime
Demonstraţie (i) Conform Propoziţiei 37 deducem că f-1(weierpprime)
este ideal icircn A (evident f-1(weierpprime) neA căci weierpprimeneAprime) Dacă a bisinA aicirc abisinf-1(weierpprime) atunci f (ab)isinweierpprimehArr f(a)f(b)isin weierpprime Cum weierpprime este prim icircn Aprime deducem că f(a)isin weierpprime sau f(b)isin weierpprime de unde concluzia că aisinf-1(weierpprime) sau bisinf-1(weierpprime) adică f-1(weierpprime) este ideal prim icircn A
(ii) Cum f este surjecţie conform Propoziţiei 37 deducem că
f(weierp) este ideal al lui Aprime (propriu deoarece weierp ne A) Fie acum aprime bprimeisinAprime aicirc aprimebprimeisinf(weierp) Atunci există a bisinA aicirc aprime=f(a) şi bprime=f(b) altfel că
aprimebprimeisinf(weierp) rArr f(a)f(b)isinf(weierp) rArrf(ab)isinf(weierp)rArr f(ab)=f(c) cu cisinweierp rArr
ab-cisinKer(f)sube weierp rArr ab-cisin weierp şi cisin weierp rArr abisin weierp Deoarece weierp este prim
icircn A deducem că aisinweierp sau bisin weierp adică aprimeisinf(weierp) sau bprimeisinf(weierp) de unde
concluzia că f(weierp) este prim icircn Aprime
Definiţia 104 Un ideal ℳ subA se zice maximal dacă ℳ neA şi ℳ este element maximal icircn laticea Id(A) (adică oricare ar fi IisinId(A) aicirc ℳ sube I subeA rezultă ℳ=I sau I=A)
Exemple 1 Icircn orice corp K idealul (0) este maximal 2 Pentru idealul ℤ idealele maximale coincid cu cele prime
(adică sunt de forma pℤ cu pge2 număr prim) Icircntr-adevăr dacă pge2 este număr prim atunci pℤneℤ şi dacă
I=nℤ este un alt ideal al lui ℤ pentru care pℤsube nℤ subeℤ atunci n|p de unde nisinplusmn1 plusmnp adică I=pℤ sau I=ℤ Reciproc dacă pℤ este ideal maximal atunci pℤneℤ şi deci pneplusmn1 Dacă nisinℤ aicirc n|p atunci pℤ sube nℤ
208
sube ℤ şi cum pℤ este maximal rezultă nℤ=pℤ sau nℤ=ℤ adică n = plusmnp sau n = plusmn1 adică p este prim
Propoziţia 105 Fie ℳ sub A un ideal maximal aicirc ℳ ne A Următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) ℳ este ideal maximal (ii) Pentru orice aisinA ℳ avem ℳ +ltagt=A (iii) A ℳ este corp
Demonstraţie (i)rArr(ii) Deoarece pentru aisinA ℳ avem ℳ subeℳ+ +ltagt iar ℳ este maximal deducem cu necesitate că ℳ + ltagt=A
(ii)rArr(iii) Fie a += a ℳisin(Aℳ) adică a notinℳ Atunci a isinA ℳ
şi deci ℳ +lt a gt=A adică 1= x + b a isin cu x isinℳ şi bisinA Deducem imediat că b a = 1 adică a este inversabil deci A ℳ este corp
(iii)rArr(i) Să presupunem prin absurd că ℳ nu este maximal adică există IisinId(A) aicirc IneA şi ℳ sube I Există deci a isinI aicirc a notin ℳ
Atunci a isin(A ℳ) şi cum A ℳ este presupus corp deducem existenţa unui bisinA ℳ aicirc a b = 1hArr a b-1isin ℳ Cum ℳsubI deducem că
1minusab isinI şi cum a isinI rezultă 1isinI adică I=A - absurd Corolar 106 Orice ideal maximal al lui A este prim Demonstraţie Dacă ℳ este ideal maximal al lui A atunci
conform Propoziţiei 105 A ℳ este corp (deci domeniu de integritate) şi atunci ℳ este prim conform Propoziţiei 102∎
Observaţia 107 Reciproca Corolarului 106 nu este icircn
general adevărată Contraexemplul ne este oferit de inelul ℤ icircn care (0) este prim fără a fi icircnsă maximal (căci (0) este cuprins icircn orice ideal al lui ℤ)
Propoziţia 108 Fie A Aprime două inele unitare şi comutative iar fArarrAprime un morfism surjectiv de inele unitare
(i) Dacă ℳprimesubAprime este ideal maximal icircn Aprime atunci f -1(ℳprime) este ideal maximal icircn A
209
(ii) Dacă ℳ subA ideal maximal icircn A aicirc Ker(f) sube ℳ atunci f(ℳ) este ideal maximal icircn Aprime
Demonstraţie (i) Fie IisinId(A) aicirc f -1(ℳprime) sube I subeA Atunci ℳprimesube f(I) şi cum ℳprime este maximal icircn Aprime deducem că ℳprime=f (I) sau f (I)=Aprime adică f-1(ℳprime)=I sau I=f-1(Aprime)=A adică f-1 (ℳ) este ideal maximal icircn A
(ii) Fie IprimeisinId(Aprime) aicirc f(ℳ) sube I subeAprime Atunci ℳ sube f-1(I) sube sube f-1(Aprime)=A şi cum ℳ este maximal icircn A deducem că ℳ = f-1(I) sau f-1(I)=A adică f-1(ℳ)=I sau I=f (A)=Aprime adică f (ℳ) este ideal maximal icircn Aprime
Teorema 109 (Krull) Orice ideal I neA al inelului A este
conţinut icircntr-un ideal maximal Demonstraţie Să considerăm mulţimea
PI=JisinId(A)| I sube J şi J neA Cum IisinPI deducem că PI ne empty Se verifică imediat că (PI sube) este
o mulţime inductiv ordonată Conform Lemei lui Zorn (vezi Corolarul 2 la Lema 515 de la Capitolul 1 ) PI are cel puţin un element maximal ℳ Atunci ℳ este ideal maximal al lui A ce conţine pe I ∎
Corolarul 1010 Orice element neinversabil al lui A este
conţinut icircntr-un ideal maximal al lui A Demonstraţie Fie aisinAU(A) Atunci I=ltagtneA şi conform
Teoremei 109 există un ideal maximal ℳ aicirc I sube ℳ de unde aisin ℳ Corolarul 1011 Orice inel A (comutativ şi unitar) are cel puţin
un ideal maximal Demonstraţie Icircn Teorema 109 considerăm I=(0)
Definiţia 1012 Un inel comutativ şi unitar ce are un singur ideal maximal se zice inel local
Exemplu Corpurile comutative sunt icircn particular inele locale Propoziţia 1013 Pentru inelul comutativ A următoarele
afirmaţii sunt echivalente (i) A este local (ii) Dacă a bisinA şi a+b=1 atunci a sau b este inversabil (iii) Mulţimea A U(A)isinId(A)
210
Demonstraţie( i)rArr(ii) Fie ℳ singurul ideal maximal al lui A şi a bisinA aicirc a+b=1 Să presupunem prin absurd că de exemplu a nu este inversabil Atunci ltagtneA şi conform Teoremei 109 ltagt sube ℳ adică a isin ℳ Cum ℳneA avem că 1notinℳ deci a+bnotinℳ şi cu necesitate bnotinU(A)
(ii)rArr(iii) Fie xyisinAU(A) şi să presupunem prin absurd că x-yisinU(A) Atunci există zisinA aicirc z(x-y)=1 hArr zx+(-zy)=1 Deducem că zxisinU(A) sau -zyisinU(A) şi cum zisinU(A) deducem că xisinU(A) sau yisinU(A)- absurd deci obligatoriu x-yisinAU(A) Dacă aisinA şi xisinAU(A) atunci icircn mod evident axisinAU(A) adică AU(A)isinId(A) (iii)rArr(i) Să presupunem că AU(A)isinId(A) şi fie ℳ un ideal maximal al lui A Cum 1isinU(A) deducem că AU(A)neA Cum ℳ neA orice element al lui ℳ este neinversabil deci ℳ subeAU(A)subeA Atunci ℳ=AU(A) adică A are un singur ideal maximal deci este inel local ∎
Observaţia 1014 Un inel cu un număr finit de ideale maximale se zice semi-local
Icircn cadrul Observaţiei 29 am stabilit că mulţimea N(A) a elementelor nilpotente ale lui A formează un ideal ce poartă numele de nilradicalul lui A
Propoziţia 1015 N(A) este egal cu intersecţia tuturor idealelor
prime ale lui A Demonstraţie Fie N intersecţia tuturor idealelor prime ale lui A
vom proba egalitatea N(A) = N prin dublă incluziune Dacă )(ANx isin atunci există nisinℕ aicirc 0=nx astfel că dacă
weierp este un ideal prim oarecare al lui A avem 0=nx isin weierp de unde concluzia că isinx weierp adică isinx cap weierp = N deci N(A) sube N
Fie )(ANa notin iar aI familia idealelor I ale lui A cu proprietatea că pentru orice nisinℕ Ian notin (familia aI este nevidă deoarece din presupunerea )(ANx notin deducem că idealul nul aIisin0 )
Se verifică imediat că mulţimea ( )subeaI este inductivă şi atunci conform lemei lui Zorn (Corolarul 2 la Lema 515 de la Capitolul 1) icircn
aI există un element maximal weierp despre care vom arăta că este prim
211
Dacă xy notin weierp atunci cum weierp este inclus strict icircn idealele weierp x+ şi weierp y+ deducem că aceste ultime două ideale nu fac parte din aI astfel că vom găsi isinnm ℕ aicirc isinma weierp x+ şi isinna weierp + y
Deducem imediat că isin+nma weierp xy+ adică weierp aIxy isin+ deci notinxy weierp adică weierp este prim Cum notina weierp deducem că notina N adică
N )(ANsube de unde egalitatea N(A)=N Definiţia 1016 Radicalul Jacobson al inelului A se defineşte
ca fiind intersecţia J(A) a tuturor idealelor maximale ale lui A Avem următoarea caracterizare a lui J(A)
Propoziţia 1017 )(1)( AUxyAJx isinminushArrisin pentru orice Ay isin Demonstraţie ldquorArr rdquo Fie )(AJx isin şi să presupunem prin absurd că există Ay isin aicirc )(1 AUxy notinminus Conform Corolanului 1010 există un ideal maximal ℳ al lui A aicirc isinminus xy1 ℳ Cum subeisin )(AJx ℳ deducem că isinxy ℳ adică isin1 ℳ ndash absurd
ldquo lArr rdquo Să presupunem că )(AJx notin adică există un ideal maximal ℳ al lui A aicirc notinx ℳ Atunci ltℳ xcup gt = A deci xya +=1 cu
isina ℳ şi Ay isin Deducem că isin=minus axy1 ℳ ceea ce este absurd deoarece ℳ nu conţine unităţi ale lui A
Propoziţia 1018 (i) Dacă weierp1 weierpn sunt ideale prime ale lui
A şi I isinId(A) aicirc IsubeUn
i 1=weierpi atunci există iisin1 2 n aicirc Isubeweierpi
(ii) Dacă I1 I2 In sunt ideale ale lui A iar weierp este ideal prim
al lui A aicirc In
iiI
1=subeweierp atunci există 1leilen aicirc Iisubeweierp
Dacă weierp=In
iiI
1=atunci există 1leilen aicirc weierp=Ii
Demonstraţie (i) Vom demonstra prin inducţie matematică
după nge1 implicaţia I ⊈weierpi (1leilen) rArrI⊈ Un
i 1=weierpi (care pentru n=1 este
212
evidentă) Fie nge1 şi să presupunem implicaţia adevărată pentru n-1 şi fie pentru fiecare 1leilen xiisinI aicirc xinotinweierpj pentru orice jnei Dacă pentru
un anumit i0 (1lei0len) 00 iix weierpnotin atunci U
n
iiix
10
=weierpnotin şi totul este clar Să
presupunem acum că xiisinweierpi pentru orice 1leilen Pentru orice 1leilen să considerăm elementul prod
nelele
=
ijnj
ji xy1
isinI Cum weierpi este ideal prim deducem
că yi notinweierpi şi yiisinweierpj pentru orice 1leijlen inej Consideracircnd elementul
y= sum=
n
iiy
1 deducem că yisinI şi ynotinweierpi pentru orice 1leilen adică I⊈U
n
ii
1=weierp
(ii) Presupunem că In
iiI
1=subeweierp şi totuşi Ii⊈weierp pentru orice1leilen
adică există xiisinIi aicirc xinotinweierp
Atunci In
ii
n
ii
n
ii IIx
111 ===subeisinprodprod (conform Observaţiei 216) Cum weierp este
prim prod=
n
iix
1notinweierp de unde concluzia că I
n
iiI
1=⊈weierp- absurd
Dacă In
iiI
1==weierp atunci conform celor de mai icircnainte există
1leilen aicirc Iisubeweierp Cum weierpsubeIi deducem că weierp=Ii ∎
Definiţia 10 19 Dacă IisinId(A) atunci prin radicalul lui I icircnţelegem mulţimea r(I)=xisinA | există nisinℕ aicirc xnisinI Consideracircnd pIArarrAI morfismul surjectiv canonic şi nilradicalul N(AI) al lui AI atunci cum r(I)=pI
-1(N(AI)) deducem că r(I)isinId(A) (conform Propoziţiei 37)
Propoziţia 10 20 Dacă I JisinId(A) atunci (i) Isuber(I) iar dacă IsubeJ rArr r(I)suber( J) (ii) r(r(I)) =r(I)
213
(iii) r(IJ)= r(IcapJ)= r(I)capr(J) (iv) r(I)=A hArr I=A (v) r(I+J)=r( r(I)+ r(J)) (vi) Dacă I este prim atunci pentru orice nisinℕ r(In) = I Demonstraţie (i )Evident (ii) Din Isuber(I) rArr r(I) sube r(r(I)) Dacă xisinr(r(I)) atunci există
nisinℕ aicirc xnisinr(I) adică există misinℕ aicirc ( )mnx isinI hArr xmnisinI deci
xisinr(I) de unde şi incluziunea r(r(I)) sube r(I) ceea ce ne asigură egalitatea de la (ii)
(iii) Egalitatea r(IcapJ)=r(I)capr(J) este evidentă Cum IJsube IcapJ
(conform Observaţiei 216) deducem că r(IJ)suber(IcapJ) Dacă xisinr(IcapJ)
atunci există nisinℕ aicirc xnisin IcapJhArr şi xnisinI şi xnisinJ Cum x2n=xnxnisinIJ
deducem că xisinr(IJ) adică r(IcapJ) sube r(IJ) de unde egalitatea r(IJ)=
=r(IcapJ) (iv) Evidentă (v) Ţinacircnd cont de (i) deducem că I sube r(I) şi J suber(J) apoi
I+J sube r(I) +r(J) deci r(I+J) sube r( r(I) +r(J)) Fie acum xisinr(I+J) sube r(r(I) +r(J)) şi nisinℕ aicirc x nisinr(I)+r(J)
Există atunci yisinr(I) şi zisinr(J) p qisinℕ aicirc ypisinI zqisinJ şi xn=y+z Deducem că xnpq=(y+z)pq dezvoltacircnd cu ajutorul binomului lui Newton membrul drept putem găsi y isinI şi zisinJ aicirc (y+z) pq=y+z şi astfel xnpq =(y+z)isinI+J deci xisinr(I+J) Obţinem astfel şi incluziunea r(r(I)+r(J))sube r(I+J) de unde egalitatea cerută
(vi) Fie nisinℕ Dacă xisinr(In) atunci există misinℕ aicirc
xmisinIn=
isin= sumfinita
nnorin
IxxxxII 11 subeI deci xmisinI şi cum I este
prim deducem că xisinI adică r(In)subeI Cum incluziunea Isuber(In) este evidentă deducem că r(In)=I ∎
214
sect 11 Divizibilitatea icircn inele
Icircn cadrul acestui paragraf prin A vom desemna un domeniu de integritate (adică un inel unitar comutativ nenul fără divizori ai lui zero nenuli)
Definiţia 111 Vom spune că elementul aisinA divide elementul bisinB (sau că b este un multiplu al lui a sau că a este divizor al lui b) dacă există cisinA aicirc b=ac Dacă a nu divide b vom scrie a∤b Icircn mod evident relaţia de divizibilitate de pe A este o relaţie de preordine Ea nu este icircnsă icircn general o relaţie de ordine Un contraexemplu imediat ne este oferit de inelul icircntregilor ℤ icircn care 1∣-1 şi -1∣1 icircnsă 1ne-1 Ţinacircnd cont de cele stabilite la icircnceputul sect 5 de la Capitolul 1 deducem că relaţia asimb hArr a∣b şi b∣a este o echivalenţă pe A compatibilă cu relaţia de divizibilitate Relaţia sim de pe A definită mai sus poartă numele de relaţia de asociere icircn divizibilitate ( dacă asimb vom spune că a este asociat cu b icircn divizibilitate) Reamintim că pentru aisinA prin ltagt am notat idealul principal generat de a (conform Observaţiei 213 ltagt=ab ∣ bisinA ≝aA )
Rezultatul următor este imediat Propoziţia 112 Relaţia de divizibilitate de pe A are următoarele proprietăţi (i) Dacă a bisinA a∣b hArr AbsubeAa (ii) Dacă a bisinA asimb hArrexistă uisinU(A) aicirc a=ub hArr Aa=Ab (iii) Dacă a biisinA ( 1leilen ) şi a∣bi pentru orice 1leilen atunci a∣c1b1+hellip+cnbn pentru oricare elemente c1 c2 hellipcnisinA
Demonstraţie (i) rArrrdquo Dacă a∣b atunci există cisinA aicirc b=ca deci pentru orice disinA db=d(ca)=(dc)a de unde incluziunea AbsubeAa
lArrrdquo Cum bisinAb subeAa deducem că bisinAa deci există cisinA aicirc b=ca adică a∣b
215
(ii) Dacă asim b atunci a∣b şi b∣a deci există c disinA aicirc b=ac şi a=db Deducem imediat că a=a(cd) şi cum A este domeniu de integritate avem că cd=1 analog dc=1 de unde concluzia că c disinU(A) şi astfel o implicaţie de la prima echivalenţă este probată
Fie acum uisinU(A) aicirc a=ub Atunci b=u-1a de unde concluzia că a∣b şi b∣a probacircnd astfel complet prima echivalenţă
Echivalenţa asim b hArr Aa=Ab este imediată ţinacircnd cont de (i) (iii) Evidentă ţinacircnd cont de regulile de calcul icircntr-un inel∎ Corolarul 113 Dacă aisinA atunci următoarele afirmaţii sunt
echivalente (i) asim1 (ii) aisinU(A) (iii) Aa=A (iv) a∣b pentru orice bisinA Definiţia 114 Fie a bisinA un element disinA se zice cel mai
mare divizor comun (prescurtat cmmdc) al elementelor a şi b dacă acircndeplineşte următoarele condiţii
i) d∣a şi d∣b ii) Dacă mai avem dprimeisinA aicirc dprime∣a şi dprime∣b atunci dprime∣d
Observaţia 115 1 Se deduce imediat că d1 şi d2 verifică
condiţiile i) şi ii) din definiţia de mai icircnainte dacă şi numai dacă d1 sim d2 Din acest motiv vom nota cu (a b) sau cmmdc (a b) orice element din A ce este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b (adică nu vom face nici o distincţie icircntre elementele asociate icircn divizibilitate) 2 Dacă (a b)=1 vom spune despre a şi b că sunt prime icircntre ele 3 Deoarece pentru oricare trei elemente a b cisinA obţinem imediat din Definiţia 114 că (a (b c))=((a b) c) deducem că putem extinde noţiunea de cmmdc la un număr finit de elemente a1 a2 hellip an ale lui A (nge2) raţionacircnd inductiv după n
Astfel (a1 a2 a3) = ((a1 a2) a3)
216
(a1 a2 a3 a4)= ((a1 a2 a3) a4) şamd
Propoziţia 116 Presupunem că icircn A pentru oricare două elemente există un cmmdc al lor Atunci
(i) (a b)=a hArra∣b (ii) (a 0)=a (iii) Dacă (a b)=d cu a bisinA şi a=daprime b=dbprime atunci
(aprime bprime)=1 (iv) (ac bc)=(a b)c (v) Dacă aA+bA=dA atunci d=(a b) Icircn particular dacă icircn A suma oricăror două ideale
principale este ideal principal atunci icircn A oricare două elemente au un cmmdc
Demonstraţie (i) şi (ii) sunt evidente (iii) Alegem dprime=(aprime bprime) şi deducem imediat că ddprime∣a şi ddprime∣b iar
cum d=(a b) obţinem că ddprime∣d adică există cisinA aicirc ddprimec=d Deoarece disinA iar A este domeniu de integritate deducem că dprimec=1 adică dprime∣1 (deci dprimesim1) ceea ce ne arată că (aprime bprime)=1
(iv) Fie d=(a b) şi dprime =(ac bc) (evident putem presupune că d cisinA icircn cazul c=0 sau d=0 totul rezultacircnd din (ii))
Cum d=(a b) putem scrie a=daprime şi b=dbprime (cu aprime bprime isinA) astfel că ac=(dc)aprime şi bc=(dc)bprime de unde deducem că dc∣dprime adică dcdprimeprime=dprime (cu dprimeprimeisinA)
Cum dprime=(ac bc) deducem că ac=dprimeaprimeprime şi bc=dprimebprimeprime (cu aprimeprime bprimeprimeisinA) Obţinem imediat că ac=dcdprimeprimeaprimeprime şi bc=dcdprimeprimebprimeprime sau dcaprime=dcdprimeprimeaprimeprime şi dcbprime=dcdprimeprimebprimeprime Cum dcne 0 atunci aprime=dprimeprimeaprimeprime şi bprime=dprimeprimebprimeprime ceea ce implică dprimeprime∣aprime şi dprimeprime∣bprime Deoarece (aprime bprime)=1 (conform cu (iii)) atunci dprimeprime∣1 adică dprimesimdc ceea ce trebuia probat
(v) Din aA+bA=dA deducem că aA bA subedA adică d∣a şi d∣b Dacă mai avem dprimeisinA aicirc dprime∣a şi dprime∣b cum d=ax+by cu x yisinA deducem că dprime∣d adică d=(a b) ∎
217
Corolar 117 Presupunem că icircn inelul A pentru oricare două elemente a şi b există (a b) Dacă a b c isinA aicirc a∣bc şi (a b)=1 atunci a∣c
Demonstraţie Din (a b)=1 şi Propoziţia 116 (iv) deducem că (ac bc)=(a b)c=c adică a∣c ∎
Definiţia 118 Dacă a bisinA un element misinA se zice cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b (vom scrie prescurtat că m=cmmmc (a b) sau m=[a b] dacă acircndeplineşte următoarele condiţii
i) a∣m şi b∣m ii) Dacă mai avem mprimeisinA aicirc a∣mprime şi b∣mprime atunci m∣mprime Observaţia 119 1 Ca şi icircn cazul celui mai mare divizor
comun se deduce imediat că dacă m şi mprime verifică condiţiile i) şi ii) din Definiţia 118 atunci m sim mprime (adică există uisinU(A) aicirc m=umprime) 2 Deoarece pentru oricare trei elemente a b cisinA obţinem imediat că [a [b c]]=[[a b] c] deducem că putem extinde noţiunea de cmmmc la un număr finit de elemente a1 a2 hellip an ale lui A (nge2) raţionacircnd inductiv după n
Astfel [a1 a2 a3] = [[a1 a2] a3] [ a1 a2 a3 a4] = [[a1 a2 a3] a4] şamd
3 Dacă vom considera A icircmpreună cu relaţia de divizibilitate ∣rsquorsquo (care este o preordine pe A) atunci faţă de această ordine (a b)=aandb iar [a b]=aorb
Legătura icircntre cmmdc şi cmmmc ne este oferită de Teorema 1110 Pentru domeniul de integritate A următoarele
afirmaţii sunt echivalente
(i) Pentru oricare două elemente a bisinA există (a b) (ii) Pentru oricare două elemente a bisinA există [a b] (iii) Intersecţia oricăror două ideale principale ale lui A este
un ideal principal
218
Demonstraţie (i)rArr(ii) Fie a bisinA dacă a=0 sau b=0 atunci
[a b]=0 astfel că putem presupune ane0 şi bne0 Dacă d=(a b) atunci
a=daprime şi b=dbprime cu (aprime bprime)=1 Să demonstrăm că dacă alegem
m=dab =abprime=aprimeb atunci m=[a b] Avem icircn mod evident că a∣m şi b∣m
şi fie mprimeisinA aicirc a∣mprime şi b∣mprime Atunci există aprimeprime bprimeprimeisinA aicirc
mprime=aaprimeprime=bbprimeprime deducem imediat că daprimeaprimeprime=dbprimebprimeprime şi cum dne0 rezultă că
aprimeaprimeprime=bprimebprimeprime Cum (aprime bprime)=1 atunci din Propoziţia 112 rezultă că
aprimeprime=(aprimeaprimeprime bprimeaprimeprime)=(bprimebprimeprime bprimeaprimeprime) şi deci bprime∣aprimeprime adică aprimeprime=bprimea1 astfel că
mprime=aaprimeprime=abprimea1=ma1 deci m∣mprime de unde concluzia că m=[a b]
(ii)rArr(i) Putem presupune că ane0 şi bne0 şi fie m=[a b] Atunci m=aaprime=bbprime cu aprime bprimeisinA
Cum a∣ab şi b∣ab deducem că m∣ab adică ab=md cu disinA şi să demonstrăm că d=(a b) Cum ab=aaprime d=bbprimed obţinem imediat că b=aprimed şi a=bprimed deci d∣a şi d∣b
Fie acum dprimeisinA aicirc dprime∣a şi dprime∣b adică a=dprimeaprimeprime şi b=dprimebprimeprime cu aprimeprime bprimeprimeisinA Alegacircnd mprime=dprimeaprimeprimebprimeprime=abprimeprime=baprimeprime avem că a∣mprime şi b∣mprime de unde deducem că m∣mprime adică mprime=mc cu cisinA şi astfel dprimemprime=dprimemc Cum dprimemprime=dprime2 aprimeprimebprimeprime=(dprimeaprimeprime)(dprimebprimeprime)=ab obţinem că ab=dprimemc sau md=dprimemc şi astfel d=dprimec adică dprime=d
(ii)rArr(iii) Dacă m=[a b] atunci AmsubeAa şi AmsubeAb deci AmsubeAacapAb Dacă mprimeisinAacapAb atunci a∣mprime şi b∣mprime deci m∣mprime adică mprimeisinAm de unde şi incluziunea AacapAbsubeAm adică AacapAb=Am
(iii)rArr(ii) Se arată imediat că dacă AacapAb=Am atunci m=[a b] ∎
Corolar 1111 Dacă este verificată una din condiţiile
echivalente ale Teoremei 1110 atunci pentru oricare două elemente a bisinA avem egalitatea (a b)[a b]=ab
219
Definiţia 1112 Vom spune despre un element pisinA U(A) că este i) prim dacă avacircnd a bisinA aicirc p∣ab rArr p∣a sau p∣b
ii) ireductibil dacă p nu are divizori proprii (adică din p=ab cu a bisinA deducem că unul dintre elementele a sau b este din U(A) iar celălalt este asociat icircn divizibilitate cu p)
Deducem imediat că dacă p este prim (ireductibil) atunci oricare alt element asociat cu p icircn divizibilitate este prim (ireductibil)
Propoziţia 1113 Orice element prim este ireductibil
Demonstraţie Fie pisinA un element prim iar pentru a proba că p este ireductibil fie a bisinA aicirc p=ab Deducem imediat că p∣a sau p∣b Dacă p∣a cum a∣p deducem că psima deci există uisinU(A) aicirc a=pu ceea ce icircmpreună cu p=ab implică p=pub de unde 1=ub adică bisinU(A) deci p este ireductibil ∎
Observaţia 1114 Există domenii de integritate icircn care anumite elemente ireductibile nu sunt prime
Icircntr-adevăr icircn inelul ℤ[i 5 ]=a+ib 5 ∣ a bisinℤ elementul 3 este ireductibil fără a fi icircnsă prim Pentru a proba acest lucru vom considera funcţia φ ℤ[i 5 ]rarrℕ φ (a+ib 5 )=a2+5b2 Prin calcul direct se probează că dacă z zprime isinℤ[i 5 ] φ(zzprime)=φ(z)φ(zprime) iar zisinU(ℤ[i 5 ])hArr φ(z)=1hArr z=plusmn1 Să arătăm că 3 este element ireductibil icircn inelul ℤ [i 5 ] iar pentru aceasta să presupunem că 3=z1z2 unde zj=aj+ibj 5 cu aj bjisinℤ j=1 2 Din φ(3)=φ(z1z2)=φ(z1) φ(z2) obţinem că
9= ( )( )22
22
21
21 55 baba ++ adică 2
121 5ba + isin1 3 9
220
Egalitatea 21
21 5ba + =1 implică a1=plusmn1 şi b1=0 adică
z1isinU(ℤ[i 5 ]) Egalitatea 21
21 5ba + =3 este imposibilă iar egalitatea
21
21 5ba + =9 implică φ(z2)=1 adică z2 este inversabil icircn ℤ[i 5 ]
Să arătăm acum că 3 nu este element prim icircn ℤ[i 5 ] Icircntr-adevăr dacă 3 ar fi prim atunci cum 3∣6= ( )( )5i15i1 minus+ am deduce că 3∣ 51 i+
sau 3∣ 51 iminus adică ( )5iba35i1 +=+ sau ( )5351 biai prime+prime=minus
cu a aprime b bprime isinℤ Obţinem 3a=1 sau 3aprime=1 ndashabsurd∎
CAPITOLUL 4 INELE DE POLINOAME
sect1 Inelul polinoamelor icircntr-o nedeterminată Icircn cele ce urmează prin A vom desemna un inel unitar şi comutativ Prin Aℕ vom nota mulţimea funcţiilor fℕrarr A Pentru uşurinţa scrierii vom reprezenta o funcţie fℕrarr A icircn felul următor f=(a0 a1 an) unde pentru orice iisinℕ ai=f(i)isinA ( f se mai numeşte şi şir de elemente din A)
Icircn mod evident dacă mai avem gℕrarr A g=(b0 b1 bn ) atunci f=g dacă şi numai dacă ai=bi pentru orice iisinℕ Pentru f gisinAℕ f=(a0 a1 an ) şi g=(b0 b1 bn )
definim f+g fg isinAℕ prin (f+g)(i)=f(i)+g(i) şi (fg)(i)= sum=
minusi
kkigkf
0)()(
pentru orice iisinℕ Altfel zis f+g=(a0+b0 a1+b1 an+bn ) şi fg=(c0 c1 cn )
unde ci= sum=
i
ka
0kbi-k pentru orice iisinℕ Astfel c0=a0b0 c1=a0b1+a1b0
cn=a0bn+a1bn-1++an-1b1+anb0 hellip
221
Propoziţia 11 (Aℕ +middot) este inel unitar comutativ Demonstraţie Faptul că (Aℕ +) este grup comutativ este imediat asociativitatea şi comutativitatea adunării de pe Aℕ rezultă din asociativitatea şi comutativitatea adunării de pe A elementul neutru este şirul nul 0=(0 0 0 ) (ce are toate componentele egale cu zero) iar pentru f = (a0 a1 an )isinAℕ opusul său -f este dat de -f = (-a0 -a1 -an )
Comutativitatea icircnmulţirii de pe Aℕ rezultă din comutativitatea icircnmulţirii de pe A Pentru a proba asociativitatea icircnmulţirii de pe Aℕ fie f = (a0 a1 an ) g = (b0 b1 bn ) h = (c0 c1 cn ) trei elemente oarecare din Aℕ şi să probăm că (fg)h=f(gh) Icircntr-adevăr pentru nisinℕ avem
((fg)h)(n)= sum=
minusn
iinhifg
0)())(( = sum sum
= =minusminus
n
i
i
jinhjigjf
0 0)())()((
= sum=++ ntkj
thkgjf )()()( şi analog (f(gh))(n)= sum=++ ntkj
thkgjf )()()( de unde
((fg)h)(n)=(f(gh))(n) adică (fg)h=f(gh) Dacă notăm 1=(1 0 0 )isinAℕ atunci pentru orice fisinAℕ avem fmiddot1=1middotf=f de unde concluzia că 1 este elementul neutru pentru icircnmulţirea de pe Aℕ Deoarece icircnmulţirea de pe A este distributivă faţă de adunarea de pe A deducem imediat că dacă f g h isinAℕ şi nisinℕ atunci (f(g+h))(n)=f(n)(g(n)+h(n))=f(n)g(n)+f(n)h(n)=(fg)(n)+(fh)(n)= =(fg+fh)(n) adică f(g+h)=fg+fh altfel zis icircnmulţirea de pe Aℕ este distributivă faţă de adunarea de pe Aℕ şi cu aceasta propoziţia este demonstrată ∎ Observaţia 12 1 Dacă vom considera iA A rarr Aℕ iA(a)=(a 0 00) pentru orice aisinA atunci iA este morfism injectiv de inele unitare astfel că putem identifica orice element aisinA cu elementul (a 0 0 ) din Aℕ şi astfel putem privi pe A ca subinel unitar al inelului Aℕ
222
2 Dacă X = (0 1 0 0 ) isinAℕ atunci pentru orice nisinℕ avem Xn = ( 321
nori
00 1 0 ) astfel că dacă f=(a0 a1 an )isinAℕ
atunci folosind adunarea şi icircnmulţirea definite pe Aℕ ca şi identificările stabilite icircn prima parte a acestei observaţii avem f= (a0 a1 an ) = (a0 0 ) + (0 a1 0 ) + = (a0 0 ) + +(a1 0 ) (0 1 0) + (a2 0 ) (0 0 1 0 ) ++ (an 0 ) ( 321
nori
000 1 0 ) + =(a0 0 ) + (a1 0 ) X + (a2 0 ) X2++
+(an 0 ) Xn+= a0+a1X++anXn+ Obţinem astfel scrierea obişnuită a unei serii formale Această
observaţie ne permite să dăm următoarea definiţie Definiţia 13 Inelul (Aℕ + middot) se numeşte inelul seriilor formale icircn nedeterminata X cu coeficienţi din A şi se notează prin A[[X]]
Un element f din A[[X]] se va scrie condensat sub forma f= sum
ge0i
ii Xa (aceasta fiind doar o notaţie fără sens de adunare)
Definiţia 14 O serie formală f = sum
ge0i
ii Xa isinA[[X]] cu
proprietatea că iisinℕai ne 0 este finită se numeşte polinom cu coeficienţi icircn A Vom nota prin A[X] mulţimea polinoamelor cu coeficienţi icircn A Polinoamele de forma aXn cu aisinA se zic monoame
Astfel dacă f= sumge0i
ii Xa isinA[X] atunci există nisinℕ aicirc ai=0
pentru orice iisinℕ i ge n+1 icircn acest caz vom scrie f=a0+a1X++anXn sau
f= sum=
n
i
ii Xa
0
Icircn cazul polinomului nul ai=0 pentru orice iisinℕ dacă nu este pericol de confuzie convenim să notăm prin 0 polinomul nul
223
Observaţia 15 Fie f= sum=
n
i
ii Xa
0 g= sum
=
m
i
ii Xb
0 două polinoame din
A[X] Cum icircn particular f şi g sunt funcţii de la ℕ la A deducem că f=g dacă şi numai dacă m=n şi ai=bi pentru orice 0 le i le n
Icircn particular f=0 dacă şi numai dacă ai=0 pentru orice 0 le i le n şi f ne 0 dacă şi numai dacă există 0 le i le n aicirc ai ne 0 Definiţia 16 Pentru polinomul nul 0isinA[X] definim gradul său ca fiind -infin iar pentru fisinA[X] f ne 0 definim gradul lui f ca fiind grad(f)=maxiai ne 0
Astfel dacă f ne 0 şi grad(f)=n ge 1 atunci f se poate scrie sub forma f=a0+a1X++anXn şi an ne 0
Icircn acest caz an se zice coeficientul dominant al lui f dacă an=1 f se mai zice monic
Dacă grad(f)=0 atunci f=a cu aisinA spunem icircn acest caz că f este polinom constant Propoziţia 17 A[X] este subinel al inelului A[[X]] Demonstraţie Fie f=a0+a1X++anXn şi g=b0+b1X++bmXm două polinoame din A[X] de grade n şi respectiv m Dacă de exemplu n le m atunci f-g=(a0-b0)+(a1-b1)X++(an-bn)Xn+(-bn+1)Xn+1++ +(-bm)Xm isinA[X] iar fg=a0b0+(a0b1+a1b0)X++anbmXn+m isinA[X] De asemenea polinomul constant 1isinA[X] ∎ Definiţia 18 Inelul A[X] poartă numele de inelul polinoamelor icircn nedeterminata X cu coeficienţi icircn inelul A sau mai pe scurt inelul polinoamelor icircntr-o nedeterminată Propoziţia 19 Dacă f gisinA[X] atunci (i) grad (f+g) le maxgrad(f) grad(g) (ii) grad (fg) le grad(f) + grad(g) Demonstraţie Dacă f=g=0 totul este clar De asemenea dacă de exemplu f=0 şi g ne 0 (ţinacircnd cont de convenţiile de calcul cu plusmn infin)
224
Dacă fne0 şi gne0 inegalităţile de la (i) şi (ii) rezultă imediat din felul icircn care se efectuează f+g şi fg (vezi demonstraţia Propoziţiei 17) ∎ Observaţia 110
1 Fie f=ao+a1X++anXn şi g=b0+b1X++bmXm două polinoame din A[X] de grade n şi respectiv m (adică an ne 0 şi bm ne 0) Dacă an şi bm nu sunt divizori ai lui zero icircn A cum fg=a0b0+(a0b1+a1b0)X++anbmXn+m deducem că anbm ne 0 şi astfel grad(fg)=grad(f)+grad(g) Astfel dacă A este domeniu de integritate atunci pentru orice f gisinA[X] grad(fg)=grad(f)+grad(g) Dacă A nu este domeniu de integritate atunci inegalitatea (ii) de la Propoziţia 19 poate fi strictă Icircntr-adevăr dacă A=ℤ4 f=g= 2 X atunci grad(f)=grad(g)=1 pe cacircnd fg= 4 X2=0 şi astfel grad(fg)=-infin lt1 Propoziţia 111 Fie f=a0+a1X++anXn isinA[X] Atunci (i) fisinU(A[X]) hArr a0isinU(A) iar a1 anisinN(A) (reamintim că prin N(A) am notat mulţimea elementelor nilpotente din A) (ii) f este divizor al lui zero icircn A[X] hArr există aisinA aicirc af=0 Demonstraţie (i) rArr Dacă fisinU(A[X]) atunci există g=b0+b1X++bmXm isinA[X] aicirc fg=1 hArr
(lowast)
==+
=++=+
=
minusminus
00
00
1
11
021120
0110
00
mn
mnmn
bababa
bababababa
ba
Din prima egalitate din (lowast) deducem că a0isinU(A) Icircnmulţind ambii membrii ai penultimei egalităţi din (lowast) cu an şi ţinacircnd cont de ultima egalitate deducem că an
2bm-1=0 Inductiv deducem că anm+1b0=0
de unde anm+1=0 (căci b0isinU(A)) adică anisinN(A) Atunci anXn isinN(A[X])
şi cum fisinU(A[X]) deducem (ţinacircnd cont de Observaţia 29 de la Capitolul 3) că f1=f-anXn isinU(A[X]) Cum f1=a0+a1X++an-1Xn-1
225
deducem că an-1isinN(A) Raţionacircnd acum inductiv deducem că an-2 a2 a1 isinN(A) lArr Să presupunem că a0isinU(A) (deci a0isinU(A[X])) şi a1 a2 anisinN(A) Atunci a1 anisinN(A[X]) şi cum N(A[X]) este ideal icircn A[X] (conform Observaţiei 29 de la Capitolul 3) deducem că a1X a2X2 anXn isinN(A[X]) deci şi a1X+a2X2++anXnisinN(A[X]) Cum a0isinU(A[X]) iar f=a0+(a1X++anXn) deducem că fisinU(A[X]) (conform Observaţiei 29 de la Capitolul 3)
(ii) lArr Evidentă rArr Să presupunem că f este divizor al lui zero icircn A[X] şi fie g=b0+b1X++bmXm isinA[X] un polinom nenul de grad minim pentru care fg=0 Atunci anbm=0 şi cum g1=ang=anb0+anb1++anbm-1Xm-1 are gradul le m-1ltm şi g1f=0 datorită minimalităţii lui m deducem că g1=0 adică anb0=anb1== anbm-1=0 Inductiv se arată că an-kg=0 pentru 0 le k le n şi deci aibj=0 pentru orice 0 le i le n 0 le j le m Cum g ne 0 există 0 le j le m aicirc bj ne 0
Cum bjai=0 pentru orice 0 le i le n deducem că bjf=0 ∎ Corolar 112 Dacă A este domeniu de integritate atunci (i) f=a0+a1X++anXn isinU(A[X]) hArr a1=a2==an=0 iar a0isinU(A) (altfel zis fisinU(A[X]) dacă şi numai dacă f=a0 cu a0isinU(A))
(ii) A[X] este domeniu de integritate
Demonstraţie(i) Rezultă imediat din Propoziţia 111 (i) deoarece icircn cazul icircn care A este domeniu de integritate N(A)=0
(ii) Să arătăm că dacă fisinA[X] este divizor al lui 0 icircn A[X] atunci f=0 Alegem f=a0+a1X++anXn isinA[X] şi conform Propoziţiei 111 (ii) există bisinA aicirc bf=0 hArr bai=0 pentru orice 0leilen Cum bisinA iar A este domeniu de integritate deducem că ai=0 pentru orice 0leilen adică f=0 ∎
Aplicaţia iAArarrA[X] iA(a)=a pentru orice aisinA este morfism injectiv de inele unitare (numit morfismul canonic de scufundare al lui A icircn A[X])
226
Icircn continuare vom prezenta o proprietate importantă a inelului de polinoame A[X] numită proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame icircntr-o nedeterminată Teorema 113 Pentru orice inel unitar comutativ B orice element bisinB şi orice morfism de inele fisinHom(A B) există un unic morfism de inele unitare f primeisinHom(A[X] B) aicirc f prime(X)=b iar diagrama iA A A[X]
f f prime
B
este comutativă (adică f prime o iA=f) Demonstraţie Fie P=a0+a1X++anXnisinA[X] şi să arătăm că dacă definim f prime(P)=f(a0)+f(a1)b++f(an)bn atunci f prime este morfismul de inele căutat Avem fprime(1)=f(1)=1 iar dacă mai avem Q=b0+b1X++bmXmisinA[X] cu m le n atunci scriind şi pe Q sub forma Q=b0+b1X++bnXn cu bm+1==bn=0 avem
P+Q= sum=
+n
i
iii Xba
1
)( PQ=sum+
=
nm
i
ii Xc
0
cu ci= sum=
minus
i
kkikba
0 (0 le i le m+n) astfel
că fprime(P+Q)= sum=
+n
i
iii bbaf
0)( = sum
=+
n
i
iii bbfaf
0))()(( =
= sum=
n
i
ii baf
0)( + sum
=
n
i
ii bbf
0)( =f prime(P)+f prime(Q) iar f prime(PQ)= sum
+
=
nm
i
ii bcf
0
)(
227
Cum ci= sum=
minus
i
kkikba
0 pentru orice 0 le i le m+n avem
f(ci)= sum=
minus
i
kkik bfaf
0)()( astfel că f prime(PQ)= sum sum
+
= =minus
nm
i
i
kkik bfaf
0 0)()(( )bi =
=f prime(P)f prime(Q) adică f primeisinHom(A[X] B) Dacă aisinA atunci (f primeo iA)(a)=f prime(iA(a))=f prime(a) adică f primeo iA=f Să presupunem acum că mai avem fprimeprimeisinHom(A[X] B) aicirc
fprimeprime(X)=b şi fprimeprimeo iA=f Atunci pentru P=a0+a1X++anXnisinA[X] avem fprimeprime(P)=fprimeprime(a0+a1X++anXn)=fprimeprime(a0)+fprimeprime(a1)fprimeprime(X)++fprimeprime(an)(f(X))n = =f(a0)+f(a1)b++f(an)bn=f prime(P) adică fprimeprime=f prime ∎ Definiţia 114 Dacă f=a0+a1X++anXnisinA[X] atunci f~ ArarrA f~ (a)=a0+a1a++anan pentru orice aisinA poartă numele de
funcţia polinomială ataşată lui f Vom spune despre o funcţie gA rarr A că este polinomială dacă există fisinA[X] aicirc g= f~ Observaţia 115 1 Dacă f g isinA[X] şi f=g (ca polinoame) atunci icircn mod evident f~ = g~ (ca funcţii)
2 Reciproca primei observaţii nu este adevărată pentru orice inel A
Icircntr-adevăr consideracircnd A=ℤ2 f=1+X g=1+X2 atunci f~ ( 0 )= g~ ( 0 )=1 f~ (1)= g~ (1)= 0 deci f~ = g~ pe cacircnd f ne g
3 Se probează imediat că dacă f g isinA[X] atunci gf plusmn = gf ~~
plusmn şi fg = gf ~~
sect2 Inelul polinoamelor icircn mai multe nedeterminate Icircn paragraful precedent am construit inelul polinoamelor icircntr-o nedeterminată Icircn cadrul acestui paragraf vom construi inductiv inelul
228
polinoamelor icircntr-un număr finit de nedeterminate punacircnd apoi icircn evidenţă principalele proprietăţi ale unor astfel de polinoame Reamintim că prin A am desemnat un inel unitar comutativ Definiţia 21 Inelul polinoamelor icircn nedeterminatele X1 X2 Xn (n ge 2) cu coeficienţi icircn inelul A notat prin A[X1 X2 Xn] se defineşte inductiv astfel A[X1] este inelul polinoamelor icircn nedeterminata X1 cu coeficienţi din A A[X1 X2] este inelul polinoamelor icircn nedeterminata X2 cu coeficienţi din inelul A[X1] şi icircn general A[X1 X2 Xn] este inelul polinoamelor icircn nedeterminata Xn cu coeficienţi din inelul A[X1 Xn-1]
Astfel o dată construit A[X1] avem A[X1 X2]=A[X1][X2] A[X1 X2 Xn]=A[X1 X2 Xn-1][Xn] Analog plecacircnd de la inelul seriilor formale A[[X1]] se construieşte inductiv inelul A[[X1 Xn]] al seriilor formale cu coeficienţi din A prin A[[X1 Xn]]= =A[[X1 Xn-1]] [[Xn]]
Dacă fisinA[X1 Xn]=A[X1 Xn-1][Xn] atunci f=f0+f1Xn++ft n Xt n cu fiisinA[X1 Xn-1] pentru 0 le i le tn Scriind la racircndul lor pe f0 f1 ft n ca polinoame icircn Xn-1 cu coeficienţi icircn A[X1 Xn-2] şamd deducem că f se scrie ca o sumă finită de forma
(lowast) f = sum=
n
n
nn
ttt
ii
in
iiii XXa
01
21
1
1
21 (icircn care ai 1 i n isinA se numesc coeficienţii
lui f) Observaţia 22 Făcacircnd inducţie matematică după n se arată imediat că scrierea lui f sub forma (lowast) este unică (echivalent cu a arăta că f = 0 dacă şi numai dacă toţi coeficienţii ai 1 i 2 i n =0) Definiţia 23 Un polinom de forma aX1
i 1 Xni n cu aisinA iar
i1 i2 inisinℕ se numeşte monom iar prin gradul său icircnţelegem numărul natural i1+i2++in (convenim să scriem grad(aX1
i 1 Xni n )=
= i1++in) Astfel un polinom fisinA[X1 Xn] se scrie icircn mod unic ca sumă
finită de monoame nenule din A[X1 Xn]
229
f = sum=
n
n
nn
tt
ii
in
iii XXa
01
1
1
1
1
Monoamele nenule din scrierea lui f se numesc termenii lui f Gradul lui f se defineşte astfel
- infin dacă f=0 grad(f ) = maximul gradelor termenilor săi dacă f ne 0
Astfel dacă f =2X12-3X1X2
2+4X1X2X3isinℤ[X1 X2 X3] atunci grad(f)=max2 1+2 1+1+1 = max2 3 3=3
Observăm deci că icircn cadrul unui polinom f de mai multe variabile pot să apară termeni diferiţi (icircn cazul exemplului nostru fiind monoamele ndash3X1X2
2 şi 4X1X2X3) care icircnsă să aibă acelaşi grad astfel că nu putem vorbi de un termen bine individualizat de grad maxim (ca icircn cazul polinoamelor de o singură nedeterminată icircn care termenii se pot ordona după puterile nedeterminatei) Pentru monoamele nenule ale unui polinom de mai multe variabile putem defini o ordonare cu ajutorul ordonării lexicografice (vezi sect5 de la Capitolul 1) Mai precis dacă n ge 2 M1=aX1
i 1 Xni n
M2=bX1j 1 Xn
j n isinA[X1 Xn] cu a bisinA atunci definim M1 le M2 hArr
hArr (i1 in) le (j1 jn) (icircn ordonarea lexicografică de pe ℕn ) Astfel M1 le M2 hArr există 1 le k le n aicirc i1=i2ik=jk şi ik+1ltjk+1
De exemplu icircn ℤ[X1 X2 X3] 2X12X2
3X34 le -4X1
2X23X3
5 X1 le X1X2X3
Icircn general avacircnd un polinom nenul fisinA[X1 Xn] cum acesta se poate scrie ca sumă finită de monoame nenule din A[X1 Xn] cu ajutorul ordonării lexicografice de pe A[X1 Xn] putem individualiza un monom nenul care să fie cel mai mare icircn ordonarea lexicografică Acest termen se numeşte termenul principal al polinomului f (convenim să-l notăm prin tp(f))
230
Astfel dacă icircn ℤ[X1 X2 X3] considerăm polinoamele f=X1+X2+X3 g=X1X2+X2X3+X3X1 şi h=X1X2
2X3-4X1X22X3
4 atunci tp(f)=X1 tp(g)=X1X2 iar tp(h)= - 4X1X2
2X34
Observaţia 24 1 Cum ordonarea lexicografică este o relaţie de ordine (parţială) pe A[X1 Xn] dacă avem M1 M2 N1 N2 patru monoame nenule din A[X1 Xn] aicirc M1 le M2 şi N1 le N2 atunci M1N1 le M2N1 şi M1N1 le M2N2
2 Icircn consecinţă dacă produsul termenilor principali a două polinoame nenule din A[X1 Xn] este un monom nenul atunci acesta este termenul principal al produsului celor două polinoame
Să revenim acum asupra problemei gradului unui polinom din A[X1Xn]
Definiţia 25 Dacă toţi termenii unui polinom f din
A[X1 Xn] au acelaşi grad vom spune despre f că este polinom omogen sau formă
Fiind date două polinoame omogene f şi g din A[X1 Xn] atunci produsul lor fg este sau polinomul nul sau un polinom omogen de grad egal cu grad(f)+grad(g) Observaţia 26 Orice polinom nenul fisinA[X1 Xn] de grad n se poate scrie icircn mod unic sub forma f=f0+f1++fn unde fiecare fi 0 le i le n este sau nul sau polinom omogen de grad i Polinoamele omogene nenule fi 0 le i le n din scrierea lui f de mai sus se numesc componentele omogene ale polinomului f Propoziţia 27 Pentru orice f gisinA[X1 Xn] avem (i) grad(f+g) le max grad(f) grad(g) (ii) grad(fg) le grad(f)+grad(g) Demonstraţie Atacirct (i) cacirct şi (ii) sunt clare dacă ţinem cont de scrierea polinoamelor f şi g ca sume de polinoame omogene ∎ Propoziţia 28 Dacă A este domeniu de integritate atunci şi A[X1 Xn] este domeniu de integritate iar icircn acest caz pentru orice f gisinA[X1Xn] avem grad(fg)=grad(f)+grad(g)
231
Demonstraţie Vom face inducţie matematică după n pentru n=1 totul fiind clar dacă ţinem cont de cele stabilite icircn paragraful precedent
Cum A[X1 Xn]=A[X1 Xn-1][Xn] dacă presupunem că A[X1 Xn-1] este domeniu de integritate atunci şi A[X1 Xn] va fi domeniu de integritate
Fie acum f g polinoame nenule din A[X1 Xn] de grad m şi respectiv n Atunci scriem pe f şi g sub forma f=f0+f1++fm g=g0+g1++gn cu fm ne 0 gn ne 0 iar fi gi sunt sau nule sau polinoame
omogene de grad i respectiv j 0 le i le m-1 0 le j le n-1 Avem fg= sum+
=
nm
kkh
0
cu hk= sum=+ kji
ji gf (0 le k le m+n) Cum A[X1 Xn] este domeniu de
integritate avem hm+n=fmgn de unde relaţia grad(fg)=grad(f)+grad(g) ∎ Funcţia iAA rarr A[X1 Xn] definită prin iA(a)=a pentru orice aisinA este un morfism injectiv de inele unitare (numit morfismul canonic de scufundare a lui A icircn A[X1 Xn])
Să observăm că icircn notarea morfismului canonic de scufundare a lui A icircn A[X1 Xn] ar fi trebuit să amintim şi de n Nu am făcut lucrul acesta pentru a nu complica notaţia icircnsă dacă este pericol de confuzie vom face şi lucrul acesta Suntem acum icircn măsură să prezentăm proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame icircn mai multe nedeterminate (de fapt o generalizare a Teoremei 113) Teorema 29 Fie nisinℕ n ge 2 B un inel unitar comutativ fArarrB un morfism de inele unitare şi b1 bnisinB Atunci există un unic morfism de inele unitare fprime A[X1 Xn] rarrB aicirc fprime(Xi)=bi pentru orice 1 le i le n iar diagrama iA A A[X1Xn] f f prime B
232
este comutativă ( adică f prime o iA=f ) Demonstraţie Facem inducţie matematică după n (pentru n=1 rezultatul fiind adevărat conform Teoremei 113)
Să presupunem acum afirmaţia din enunţ adevărată pentru n-1 şi să o demonstrăm pentru n Avem deci un unic morfism de inele unitare f1 A[X1Xn-1]rarrB aicirc f1(Xi)=bi 1 le i le n-1 şi diagrama iA
A A[X1Xn-1] f f1 B este comutativă adică f1o iAprime=f (iAprime fiind morfismul canonic de la A la A[X1Xn-1]) Cum A[X1Xn]=A[X1Xn-1][Xn] conform Teoremei 113 avem un morfism de inele unitare fprimeA[X1 Xn]rarrB aicirc fprime(Xn)=bn şi diagrama iA
A[X1Xn-1] A[X1Xn] f1 f prime B este comutativă (adică fprimeo iAprimeprime=f1) unde iAprimeprime este morfismul canonic de la A[X1 Xn-1] la A[X1 Xn-1][Xn]=A[X1 Xn]
Icircn mod evident iA=iAprimeprime o iAprime şi obţinem din cele două diagrame comutative de mai icircnainte diagrama comutativă
iA
233
A A[X1Xn] f f prime B
Icircn mod evident f prime(Xi)=bi pentru orice 1 le i le n Unicitatea lui fprime rezultă din unicitatea lui f1 şi a faptului că f primeo iAprimeprime=f1
Conform principiului inducţiei matematice teorema este adevărată pentru orice nisinℕ n ge 1 ∎
sect3 Polinoame simetrice
Păstracircnd notaţiile de la paragrafele precedente dacă σisinSn este o permutare (n ge 2) atunci conform proprietăţii de universalitate a inelului de polinoame A[X1 Xn] există un unic morfism de inele unitare σA[X1 Xn]rarrA[X1 Xn] aicirc σ(Xi)=Xσ(i) pentru orice 1 le i le n iar diagrama A iA A[X1 Xn] iA σ A[X1 Xn]
este comutativă (adică pentru orice aisinA σ(a)=a) Icircn general dacă
avem fisinA[X1 Xn] f= sum=
n
n
nn
ttt
iii
in
iiii XXa
01
21
21
1
21 atunci
σ(f)= sum=
n
n
nn
ttt
iii
in
iiii XXa
0)()1(
21
21
1
21 σσ
234
Dacă avem de exemplu f=X12-2X1X2-X2X3
2isinℤ[X1X2X3] iar
σ=
213321
isinS3 atunci σ(f)=X32-2X3X1-X1X2
2
Observaţia 31 1 Dacă σ τisinSn atunci (στ)=σ o τ
2 Dacă eisinSn este permutarea identică atunci e=1A[x 1 x n ] 3 Dacă σisinSn atunci σA[X1 Xn]rarrA[X1 Xn] este
izomorfism de inele unitare (ţinacircnd cont de prima parte a acestei observaţii deducem că inversul lui σ este ( σ-1)) Definiţia 32 Vom spune că un polinom fisinA[X1 Xn] (n ge 2) este simetric dacă pentru orice σisinSn σ(f)=f altfel zis oricum am permuta (schimba) variabilele lui f acesta rămacircne neschimbat (spunem că f rămacircne invariant la σ)
Cum orice permutare din Sn este un produs de transpoziţii (Corolarul 109 de la Capitolul 2) atunci un polinom din A[X1 Xn] este simetric dacă şi numai dacă f rămacircne invariant la orice transpoziţie din Sn Vom nota prin S(A[X1 Xn]) mulţimea polinoamelor simetrice din A[X1 Xn] Propoziţia 33 S(A[X1 Xn]) este subinel unitar al inelului A[X1 Xn] Demonstraţie Icircn mod evident polinoamele constante din A[X1 Xn] (deci şi 1) fac parte din S(A[X1 Xn]) iar dacă f gisinS(A[X1 Xn]) şi σisinSn cum σ este morfism de inele unitare avem σ(f-g) = σ(f) - σ(g) = f-g şi σ(fg)=σ(f)σ(g)=fg de unde deducem că f-g fg isinS(A[X1 Xn]) adică S(A[X1 Xn]) este subinel unitar al lui A[X1 Xn] Observaţia 34 După cum am văzut icircn paragraful precedent orice polinom fisinA[X1 Xn] se scrie icircn mod unic sub forma f=f0+f1++fk unde fiecare fi este un polinom omogen de grad i (0 le i le k) din A[X1 Xn] Astfel dacă σisinSn atunci σ(f)=σ(f0+f1++fk)=σ(f0)+σ(f1)++σ(fk) Deoarece σ(fi)
235
0 le i le k este tot un polinom omogen de grad i deducem din unicitatea scrierii lui f sub forma f=f0+f1++fk că σ(f)=f hArrσ(fi)=fi pentru orice 0 le i le k
Altfel zis un polinom f din A[X1 Xn] este simetric dacă şi numai dacă fiecare componentă omogenă a sa este un polinom simetric
Această observaţie ne permite ca de multe ori atunci cacircnd raţionăm relativ la un polinom fisinS(A[X1 Xn]) să-l considerăm şi omogen
Să considerăm acum polinoamele S1 S2 Sn din A[X1 Xn] definite prin S1=X1+X2++Xn= sum
lele niiX
1
S2=X1X2+X1X3++Xn-1Xn= sumleltle nji
ji XX1
Sn=X1X2Xn Propoziţia 35 S1 S2 SnisinS(A[X1 Xn]) Demonstraţie Vom considera polinomul g=(X-X1)(X-X2)(X-Xn) din A[X1 Xn X] care se mai poate scrie şi sub forma g=Xn-S1Xn-1+S2Xn-2-+ +(-1)nSn
Pentru σisinSn avem morfismul de inele unitare σA[X1 Xn] rarr A[X1 Xn] cu ajutorul căruia şi al Teoremei 29 găsim morfismul unitar de inele σA[X1 Xn X]rarrA[X1 Xn X] pentru care σ(Xi)=Xσ(i)=σ(Xi) pentru orice 1 le i le n σ(X)=X şi σ(a)=a pentru orice aisinA
De fapt dacă vom considera permutarea σprime din Sn+1 cu proprietatea că σprime(i)=σ(i) pentru orice 1 le i le n şi σ(n+1)=n+1 atunci numerotacircnd eventual pe X prin Xn+1 σ este de fapt σprime
Atunci σ(g)=σ((X-X1)(X-Xn))=σ(X-X1)σ(X-Xn)= =(X-Xσ(1))(X-Xσ(n))=(X-X1)(X-Xn)=g iar pe de altă parte σ(g)=σ(Xn-S1Xn-1+S2Xn-2-+(-1)nSn)=Xn-σ(S1)Xn-1+σ(S2)Xn-2- -+(-1)nσ(Sn)
236
Comparacircnd cele două expresii ale lui σ(g) deducem că σ(Si)=Si pentru orice 1 le i le n adică SiisinS(A[X1 Xn]) pentru orice 1 le i le n ∎ Definiţia 36 Polinoamele S1 S2 Sn poartă numele de polinoamele simetrice fundamentale din A[X1 Xn]
Reamintim că icircn paragraful precedent pentru fisinA[X1 Xn] prin tp(f) am notat termenul principal al lui f (adică acel monom nenul care icircn ordonarea lexicografică este cel mai mare termen al lui f) Propoziţia 37 Fie fisinS(A[X1 Xn]) şi să presupunem că tp(f)=aX1
i 1 X2i 2 Xn
i n cu aisinA Atunci cu necesitate i1 ge i2 ge ge in Demonstraţie Să presupunem prin absurd că pentru un 1 le k le n avem ikltik+1 şi să considerăm monomul M=aX1
i 1 Xk-1i 1minusk Xk
i 1+k Xk+1i k Xn
i n Cum f este simetric cu necesitate M face parte dintre termenii lui f Contradicţia provine din aceea că relativ la ordonarea lexicografică tp(f) lt M - absurd ∎ Observaţia 38 Dacă X1
i 1 Xni n este un monom din
A[X1 Xn] pentru care i1 ge i2 ge ge in atunci există doar un număr finit de monoame X1
j 1 X2j 2 Xn
j n aicirc j1 ge j2 ge ge jn şi X1
j 1 X2j 2 Xn
j n lt X1i 1 X2
i 2 Xni n (deoarece din j1 le i1 deducem că
avem un număr finit de moduri de alegere a lui j1 iar pentru fiecare j1 ales există cel mult j1
n-1 posibilităţi de alegere a lui (j2jn) aicirc j1 ge j2 ge ge jn) Suntem acum icircn măsură să prezentăm un rezultat important legat de polinoamele simetrice cunoscut sub numele de Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice Teorema 39 Pentru orice fisinS(A[X1Xn]) există un unic gisinA[X1Xn] aicirc f=g(S1 Sn) unde S1 Sn sunt polinoamele simetrice fundamentale
237
Demonstraţie Ţinacircnd cont de Observaţia 34 putem presupune că f este şi omogen fie grad(f)=m Dacă tp(f)=aX1
i 1 Xni n atunci
conform Propoziţiei 37 avem că i1 ge i2 ge ge in Ţinacircnd cont de faptul că pentru orice 1 le i le n tp(Si)=X1X2Xi şi de Observaţia 34 de la paragraful precedent deducem că tp(S1
i 1 -i 2 S2i 2 -i 3 Sn-1
i 1minusn -i n Sni n )=
=X1i 1 -i 2 (X1X2)i 2 -i 3 (X1X2Xn-1)i 1minusn -i n (X1X2Xn)i n
=X1(i 1 -i 2 )+(i 2 -i 3 )++(i 1minusn -i n )+i n X2
(i 2 -i 3 )++(i 1minusn i n )+i n Xni n =
=X1i 1 X2
i 2 Xni n = tp(f)
Astfel dacă vom considera f1=f-aS1i 1 -i 2 S2
i 2 -i 3 Sn-1i 1minusn -i n Sn
i n tp(f1)lttp(f) (icircn ordonarea lexicografică )
Continuăm acum procedeul pentru f1 Dacă bX1j 1 Xn
j n =tp(f1) atunci j1 ge j2 ge ge jn şi dacă vom considera f2=f1-bS1
j 1 -j 2 S2j 2 -j 3 Sn-1
j 1minusn -j n Snj n atunci tp(f2) lt tp(f1) lt tp(f) şi astfel
procedeul va continua Ţinacircnd cont de Observaţia 38 acest procedeu se va sfacircrşi după un număr finit de paşi Astfel f=aS1
i 1 -i 2 S2i 2 -i 3 Sn-1
i 1minusn -i n Sni n +f1=
=aS1i 1 -i 2 S2
i 2 -i 3 Sn-1i 1minusn -i n Sn
i n +bS1j 1 -j 2 S2
j 2 -j 3 Sn-1j 1minusn -j n Sn
j n +f2=
= şi deci alegacircnd g=aX1
i 1 -i 2 X2i 2 -i 3 Xn-1
i 1minusn -i n Xni n +bX1
j 1 -j 2 X2j 2 -j 3
hellipXn-1j 1minusn -j n Xn
j n +hellip isinA[X1Xn] avem că f=g(S1 S2 Sn) Să demonstrăm acum unicitatea lui g Acest lucru revine la a
demonstra că dacă gisinA[X1 Xn] g= sum nn
in
iiii XXa 1
21 1 şi
g(S1 Sn)=0 atunci toţi coeficienţii ai 1 i 2 i n =0 Să presupunem prin absurd că există un coeficient ai 1 i 2 i n ne 0
Atunci polinomul S1i 1 S2
i 2 Sni n are ca termen principal
tp(S1i 1 S2
i 2 Sni n )=X1
j 1 X2j 2 Xn
j n cu j1=i1++in j2=i2++in jn=in
iar grad(tp)= sum=
n
kkj
1= sum
=
n
kkki
1
Deducem de aici că dacă
238
S1i 1
S2
i 2Sn
i n
ne S1j 1
S2
j 2Sn
j n atunci
tp(S1i 1
S2
i 2Sn
i n) ne tp(S1
j 1S2
j 2Sn
j n) Deci termenii
principali icircn X1 X2 Xn ai diferitelor monoame distincte icircn S1 S2 Sn care apar icircn expresia lui g nu se reduc
Dacă X1t 1 Xn
t n este cel mai mare termen principal atunci icircnlocuind S1 Sn prin expresiile lor icircn X1 Xn apare un polinom icircn X1 Xn egal cu zero dar care are un termen at 1 t n X1
t 1 Xnt n nenul -
absurd
Cu aceasta teorema este complet demonstrată ∎
Aplicaţii1 Să exprimăm pe f=(-X1+X2+X3)(X1-X2+X3)(X1+X2-X3) (care icircn mod evident
aparţine lui S(ℤ[X1 X2 X3]) ca polinom din ℤ[X1 X2 X3] de polinoamele simetrice fundamentale S1 S2 S3 Avem că tp(f)=-X1
3 astfel că exponenţii termenilor principali ai polinoamelor f1 f2 care vor rămacircne după eliminarea succesivă a termenilor principali (ca icircn procedeul descris icircn Teorema 39) vor fi (3 0 0) (2 1 0) şi (1 1 1)
Deci f= -S13+aS1
2-1S21-0S3
0+bS11-1S2
1-1S31= -S1
3+aS1S2+bS3 unde
a b isinℤ Alegacircnd de exemplu X1=X2=1 şi X3=0 obţinem că f(1 1 0)=0
S1=2 S2=1 S3=0 deci 0= -8+2a adică a = 4 Alegacircnd X1=X2=X3=1 atunci f(1 1 1)=1 S1=3 S2=3 S3=1 şi
astfel obţinem 1= -27+36+b de unde b = -8 Deci f = - S1
3+4S1S2-8S3 astfel că alegacircnd g = - X13+4X1X2-8X3
avem f=g(S1 S2 S3) 2 Tot ca aplicaţie la Teorema fundamentală a polinoamelor
simetrice (Teorema 39) vom arăta cum se exprimă icircn funcţie de polinoamele simetrice fundamentale S1 Sn polinoamele Pk= k
nk XX ++ 1 (kisinℕ)
Vom proba la icircnceput aşa-zisele formule ale lui Newton Teorema 310 (Newton) Dacă A este un domeniu de
integritate atunci pentru orice n k isinℕ au loc formulele
239
( ) ( ) kkkk
kk kSSPSPP =++minus+minus minusminus
minusminus1111
21 11
(convenim ca pentru k gtn să alegem Sk=0) Demonstraţie Vom demonstra la icircnceput că formulele din enunţ
sunt adevărate pentru kgen adică pentru orice kgen avem
(1) ( ) ( ) 011 111
2211 =minus+minus+++minus minusminus+minusminus
minusminus nnkn
nnkn
kkk SPSPSPSPP Pentru aceasta vom considera polinomul
( ) ( ) ( ) nnnnn
n
ii SXSXSXXXXff 12
21
11
minus+++minus=minus== minusminus
=prod
Icircnlocuind pe X cu Xi 1leilen se obţin relaţiile
( ) 0122
11 =minus+++minus minusminus
nnn
ini
ni SXSXSX
pentru 1leilen de unde prin icircnmulţire cu nkiX minus se obţin relaţiile
( ) 0122
11 =minus+++minus minusminusminus nk
innk
iki
ki XSXSXSX
(pentru 1leilen)
Sumacircnd după i=1 2 n obţinem relaţiile (1) Să demonstrăm acum relaţiile (1) pentru kltn iar pentru aceasta
vom proba prin inducţie matematică după m=n-k că polinomul ( ) ( ) ( ) kkk
kk
knkk kSSPSPPXXff +++minus+minus== minusminus
minusminus1111
211 11
este nul Icircn cazul m=0 (adică n=k) acest lucru rezultă din (1) (deoarece
P0=n) Să observăm acum că polinomul fk fiind simetric icircn X1 Xn
atunci şi polinomul fk(X1 Xn-1 0) va fi simetric icircn X1 Xn-1 Dacă notăm polinoamele simetrice fundamentale icircn nedeterminatele X1
Xn-1 cu S1 Sn-1 avem
Sk (X1 Xn-1 0)= Sk (X1 Xn-1)
Cum şi fk(X1 Xn-1 0)=fk(X1 Xn-1) atunci ( ) ( ) ( ) kkk
kk
knk SkSPSPPXXf prime+primeprime++primeprimeminus+primeminus= minusminus
minusminusminus 1111
2111 110 =
240
= fk X1 Xn-1 Conform ipotezei de inducţie fk(X1 Xn)=0 deci fk(X1 Xn) este divizibil prin Xn Cum este polinom simetric deducem imediat că fk este divizibil prin X1 Xn-1 deci şi prin produsul X1 Xn-1Xn adică putem scrie
(2) fk (X1 Xn)= Sn (X1 Xn) fk( X1 Xn) Deoarece fk(X1 Xn) este un polinom omogen de grad k kltn şi Sn(X1 Xn) este omogen de grad n egalitatea (2) nu este posibilă
decicirct dacă fk (X1 Xn)=0 şi atunci va rezulta că fk(X1 Xn)=0 Conform principiului inducţiei matematice avem că pentru
orice kltn fk (X1 Xn)=0 şi astfel relaţiile lui Newton sunt probate şi
pentru kltn ∎ Observaţia 311 Scriind formula lui Newton sub formă
explicită
( ) kkk
kk kSPSPSP
SPSPSPSPSP
SP
=minus++minus
=+minus=minus
=
minusminusminus
12211
331221
3221
11
1
3
2
şi interpretacircnd aceste relaţii ca un sistem liniar icircn necunoscutele P1 Pk obţinem icircn final expresia lui Pk icircn funcţie de S1 Sk
121
123
12
1
03012001
SSSkS
SSSSS
S
P
kkk
k
minusminus
=
241
sect4 Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienţi icircntr-un corp Teorema fundamentală a algebrei Polinoame ireductibile Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad 3 şi 4 Icircn cadrul acestui paragraf toate corpurile considerate vor fi comutative Dacă k K sunt două corpuri aicirc k este subcorp al lui K vom spune că K este o extindere a lui k Definiţia 41 Fie k un corp K o extindere a sa şi M subeK o submulţime oarecare Intersecţia tuturor subcorpurilor lui K ce conţin
kcupM se notează prin k(M) şi se spune că este corpul obţinut prin adjuncţionarea la k a elementelor lui M Dacă M= α1 αn vom scrie k(M)=k(α1 αn) O extindere K a lui k se zice de tip finit dacă există o submulţime finită M subeK aicirc k(M)=K dacă există un element xisinK aicirc K=k(x) atunci K se zice extindere simplă a lui k Dacă k subeK este o extindere de corpuri vom spune despre un element αisinK că este algebric peste k dacă există un polinom nenul fisink[x] aicirc f~ (α)=0 (reamintim că f~ krarrk este funcţia polinomială ataşată lui f) Icircn caz contrar spunem că α este transcendent peste k O extindere K a unui corp k se zice algebrică dacă orice element al lui K este algebric peste k Dacă orice element dintr-o extindere a lui k care este algebric peste k aparţine lui k vom spune despre k că este algebric icircnchis Teorema 42 (Teorema icircmpărţirii cu rest) Fie K un corp comutativ f gisinK[X] cu g ne 0 Atunci există şi sunt unice două polinoame q risinK[X] aicirc f=gq+r şi grad(r)ltgrad(g) Demonstraţie Fie f=a0+a1X++anXn şi g=b0+b1X++bmXm cu bm ne 0 şi m ge 0 Vom demonstra existenţa polinoamelor q şi r prin inducţie matematică după gradul lui f (adică după n) Dacă grad(g) gt n putem alege q=0 şi r=f
242
Dacă grad(g) le n considerăm polinomul f1=f-bm-1anXn-mg Cum
grad(f1)ltn conform ipotezei de inducţie există q1 r1isinK[X] aicirc f1=gq1+r1 cu grad(r1)ltgrad(g) Obţinem f-bm
-1 an Xn-m g =gq1+r1 de unde f=g(q1+bm
-1anXn-m)+r1 de unde se observă că alegacircnd q=q1+bm-1 an Xn-m
şi r=r1 avem f=gq+r şi grad(r)ltgrad(g) Conform principiului inducţiei matematice partea de existenţă din teoremă este demonstrată
Pentru a proba unicitatea lui q şi r să presupunem că mai există qprime rprimeisinK[X] aicirc f=gqprime+rprime şi grad(rprime)ltgrad(g) Cum f=gq+r deducem că gqprime+rprime=gq+r hArr g (qprime-q)=r-rprime Dacă qprime=q atunci icircn mod evident şi rprime=r Dacă qprimene q atunci cum bm ne 0 din egalitatea g(qprime-q)=r-rprime deducem că gradul polinomului g(qprime-q) este mai mare sau egal cu n pe cacircnd gradul lui r-rprime este strict mai mic decacirct n - absurd Icircn concluzie r = rprime şi q = qprime ∎ Definiţia 43 Polinoamele q şi r din enunţul Teoremei 42 poartă numele de cacirctul şi respectiv restul icircmpărţirii lui f la g
Dacă r=0 spunem că g divide f şi scriem g f Observaţia 44 Icircn cazul icircn care corpul K din enunţul Teoremei 42 se icircnlocuieşte cu un inel oarecare A atunci teorema icircmpărţirii cu rest icircn A[X] capătă forma
Fie A un inel comutativ f gisinA[X] f=a0+a1X++anXn g=b0+b1X++bmXm de grade n respectiv mge0 (deci bm ne 0) şi k = max(n-m+1 0) Atunci există polinoamele q şi r din A[X] aicirc bm
kf=gq+r cu grad(r)ltm Icircn plus dacă bm nu este divizor al lui zero atunci q şi r sunt unic determinate
Demonstraţia este asemănătoare cu cea a Teoremei 42 Conform Definiţiei 1112 de la Capitolul 3 un polinom
fisinA[X] se zice ireductibil icircn A[X] dacă fisinA[X] U(A[X]) şi f nu are divizori proprii
Dacă presupunem că A este domeniu de integritate atunci conform Corolarului 112 (ii) A[X] va fi de asemenea domeniu de
integritate iar U(A[X])=U(A) Astfel dacă fisinA[X] U(A[X]) ( adică f
este un polinom diferit de polinomele constante a cu anotinU(A) ) atunci f
243
este ireductibil icircn A[X] dacă şi numai dacă f nu are divizori proprii
(adică din f=gh cu g hisinA[X] deducem că unul dintre polinoamele g sau h este polinom constant cu constanta respectivă din U(A) iar celălalt este asociat icircn divizibilitate cu f )
Icircn particular dacă k este un corp comutativ atunci fisin(k[X]) este ireductibil icircn k[X] dacă şi numai dacă din f=gh cu g hisin(k[X]) deducem că g sau h face parte din k
Un polinom fisinA[X] care nu este ireductibil icircn A[X] se va zice reductibil icircn A[X] Propoziţia 45 (Beacutezout) Fie A un inel comutativ unitar fisinA[X] şi aisinA Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente (i) a este rădăcină a lui f (adică f~ (a)=0) (ii) X-a f Demonstraţie (i)rArr(ii) Fie f=a0+a1X++anXn isinA[X] şi să presupunem că f~ (a)=0 hArr a0+a1a++anan=0 Putem deci scrie f=(a0+a1X++anXn)-(a0+a1a++anan)=a1(X-a)+a2(X2-a2)++an(Xn-an) şi cum pentru orice kisinℕ Xk-ak=(X-a)(Xk-1+aXk-2++ak-2X+ak-1) (adică X-a Xk-ak) deducem imediat că X-a f (ii)rArr(i) Dacă X-a f atunci putem scrie f=(X-a)g cu gisinA[X] şi cum
f~ = ( )ax minus g~ (vezi Observaţia 115) deducem că f~ (a)=(a-a) g~ (a)= =0middot g~ (a)=0 ∎ Observaţia 46 Din propoziţia de mai icircnainte deducem că dacă A este un inel integru atunci un polinom de grad ge2 din A[X] care are o rădăcină icircn A este reductibil Reciproca acestei afirmaţii (icircn sensul că orice polinom reductibil are cel puţin o rădăcină icircn A) nu este adevărată după cum ne putem convinge consideracircnd polinomul f=(1+X2)(1+X4)isinℤ[X] care deşi este reductibil icircn ℤ[X] nu are nici o rădăcină icircn ℤ Afirmaţia rămacircne totuşi adevărată pentru polinoamele de grad 2 şi 3 cu coeficienţi icircntr-un corp (căci icircn acest caz cel puţin un
244
factor al său este de gradul 1 şi orice polinom de gradul 1 are o rădăcină icircn corpul coeficienţilor ) Definiţia 47 Fie fisinA[X] f ne 0 şi aisinA Vom spune despre a că este rădăcină multiplă de ordin i pentru f dacă (X-a)i f şi (X-a)i+1∤ f Numărul i poartă numele de ordinul de multiplicitate al lui a (a spune că i=0 revine de fapt la a spune că a nu este rădăcină pentru f)
Atunci cacircnd numărăm rădăcinile unui polinom şi nu facem specificarea expresă că sunt sau nu distincte vom număra fiecare rădăcină de atacirctea ori cacirct este ordinul său de multiplicitate Propoziţia 48 Fie A un domeniu de integritate
(i) Dacă aisinA este rădăcină multiplă pentru polinoamele nenule f gisinA[X] cu ordine de multiplicitate i respectiv j atunci a este rădăcină multiplă de ordin i+j pentru fg
(ii) Dacă a1 ak sunt rădăcini distincte din A ale polinomului nenul fisinA[X] cu ordinele de multiplicitate i1 ik atunci f se scrie sub forma f=(X-a1)i 1 (X-ak)i k g cu gisinA[X] Demonstraţie (i) Putem scrie f=(X-a)if1 şi g=(X-a)jg1 cu f1 g1isinA[X] iar 1
~f (a) ne 0 1~g (a) ne 0 Atunci fg=(X-a)if1 (X-a)jg1=
=(X-a)i+j f1g1 şi 11gf (a)= 1
~f (a) 1~g (a) ne 0 (căci A este domeniu de integritate) de
unde concluzia că a este rădăcină multiplă de ordin i+j pentru fg (ii) Facem inducţie matematică după k (pentru k=1 afirmaţia
fiind evidentă dacă ţinem cont de Propoziţia 45) Să presupunem afirmaţia adevărată pentru k-1 şi s-o probăm pentru k Există deci f1isinA[X] aicirc f=(X-a1)i 1 (X-ak-1)i 1minusk f1
Cum f~ (ak)=0 iar A este domeniu de integritate deducem că
1~f (ak)=0 şi ordinul de multiplicitate al lui ak icircn cadrul lui f1 este acelaşi
ca icircn cadrul lui f adică f1=(X-ak)i k g şi astfel f=(X-a1)i 1 (X-ak)i k g ∎
245
Corolar 49 (i) Dacă A este un domeniu de integritate şi fisinA[X] cu grad(f)=nge1 atunci f are icircn A cel mult n rădăcini
(ii) Dacă K este un corp comutativ atunci orice subgrup finit al grupului (K middot) este ciclic
Demonstraţie (i) Rezultă imediat din Propoziţia 48 (ii) (ii) Fie GleK aicirc ∣G∣=n Pentru a proba că G este ciclic este
suficient să arătăm că icircn G găsim un element de ordin n Fie tr
tr ppn 11= descompunerea lui n icircn factori primi distincţi
Pentru orice 1leilet există un element xiisinG aicirc ipn
ix ne1 căci icircn caz
contrar polinomul 1minusipn
iX isinK[X] ar avea mai multe rădăcini decacirct gradul său (absurd conform cu )i))
Să arătăm că dacă notăm irip
n
ii xy = atunci o(yi)= irip pentru
orice 1leilet Icircntr-adevăr 1== ni
pi xy
iri (conform Corolarului 311 de la
Capitolul 2) Conform Observaţiei 210 de la Capitolul 2 deducem că o(yi) divide ir
ip adică o(yi)= sip cu 1lesleri Dacă sltri ar rezulta că
11
==minus
iir
i pn
ipi xy icircn contradicţie cu alegerea elementului xi Atunci s=ri
şi astfel o(yi)= irip pentru orice 1leilet Ţinacircnd cont din nou de Observaţia
210 de la Capitolul 2 deducem că dacă notăm tyyy sdotsdot= 1 atunci
( ) nppyo trt
r =sdotsdot= 11 ∎
Propoziţia 410 (Relaţiile lui Viegravete) Fie A un domeniu de integritate şi fisinA[X] un polinom de grad n f=a0+a1X++anXn (deci an ne 0) Dacă x1 xn sunt rădăcinile lui f icircn A atunci an (x1++xn)=-an-1 an ( x1x2+x1x3++xn-1xn)=an-2 an (x1x2xk+x1x2xk-1xk+1++xn-k+1xn-k+2xn)=(-1)kan-k an (x1xn)=(-1)na0
246
Demonstraţie Conform Propoziţiei 48 (ii) putem scrie f=(X-x1)(X-xn)g identificacircnd coeficientul lui Xn icircn ambii membrii deducem că g=an astfel că f=an(X-x1)(X-xn)= =anXn-an(x1++xn)Xn-1+an(x1x2+x1x3++xn-1xn)Xn-2++(-1)k an(x1xk+ +x1xk-1xk+1++xn-k+1xn-k+2xn)Xn- k++(-1)nanx1xn Identificacircnd coeficienţii lui Xk (0 le k le n) din cele două scrieri ale lui f obţinem relaţiile din enunţ dintre rădăcinile şi coeficienţii lui f ∎ Corolar 411 Dacă A este corp comutativ atunci relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii lui f devin
minus=
minus=+++
=+++
minus=++
minus
minusminus+minus+minus+minus
minusminusminus
minusminus
1021
121112121
1213121
111
)1(
)1(
nn
n
nknk
nknknkkk
nnnn
nnn
aaxxx
aaxxxxxxxxxx
aaxxxxxx
aaxx
Corolar 412 (Wilson) Dacă pge2 este un număr prim atunci (p-1)+1equiv0 (mod p) Demonstraţie Icircn ℤp[X] considerăm polinomul f=Xp-1-1 Ţinacircnd cont de faptul că (ℤp middot) este un grup (comutativ) cu p-1 elemente conform Corolarului 311 de la Capitolul 2 avem că pentru orice x isinℤp 1ˆ minuspx =1 şi astfel ţinacircnd cont de Corolarul 49 rădăcinile lui f
sunt 1 2 andminus1p
Conform ultimei relaţii a lui Viegravete avem 1 2 andminus1p =(-1)p-1(-1) hArr
( )and
+minus 11p = 0 hArr (p-1) +1equiv0 (p) ∎
247
Propoziţia 413 Fie k un corp comutativ iar fisink[X] cu grad(f)ge 1 Atunci există o extindere k a lui k aicirc f să aibă cel puţin o rădăcină icircn k Demonstraţie Cum grad(f) ge1 deducem că fnotinU(k[X]) (vezi Propoziţia 111) Atunci idealul lt f gt este diferit de k[X] şi conform Teoremei 109 de la Capitolul 3 există un ideal maximal ℳ al lui k[X] aicirc lt f gt sube ℳ Consideracircnd ik p k k[X] k[X]ℳ ≝ k (unde ik este morfismul canonic de scufundare a lui k icircn k[X] iar p este morfismul surjectiv canonic de inele) Cum ℳ este ideal maximal icircn inelul k[X] k este corp (vezi Propoziţia 105 de la Capitolul 3) Notacircnd p = p o ki obţinem un morfism de corpuri p k rarr k Dacă alegem
f=a0+a1X++anXn şi notăm p (f)= p (a0)+ p (a1)X++ p (an)Xn isin k [X] atunci pentru a=p(X)= X isin k avem )( fp (a)=0 adică aisin k este o rădăcină a lui p (f) Cum p este icircn particular o funcţie injectivă k poate fi privit ca subcorp al lui k (k fiind de fapt izomorf cu p (k)) deci icircn mod canonic şi f
poate fi privit ca făcacircnd parte din k [X] ∎ Corolar 414 Dacă k este un corp comutativ iar fisink[X] este un polinom de grad ge1 atunci există o extindere K a lui k icircn care f are toate rădăcinile Demonstraţie Se face inducţie matematică după n=grad(f) ţinacircnd cont la pasul de inducţie de Propoziţia 413 şi Propoziţia 45 ∎ Observaţia 415 1 Dacă k este un corp fisink[X] este de grad ge1 iar K este o extindere a lui k icircn care f are toate rădăcinile α1 αn atunci k( α1 αn ) este numit corpul de descompunere al lui f