Lectia10 Nr Complexe

  • View
    366

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

Lectia numarul 10

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Numere complexe Numim numr complex perechea z=(a,b) care identific un punct n plan. Notm mulimea numerelor complexe C=R R Observm c R C, un numr real fiind situat pe axa Ox, deci z=(a,0) Numim a = partea real a numrului complex respectiv b= partea imaginar. Deci un numr real are partea imaginar nul. Definim operaiile de adunare i nmulire astfel: z1+z2=(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) z1z2=(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2-b1b2,a2b1+a1b2) Cele dou operaii sunt comutative, asociative i admit elemente neutre Dou numere complexe sunt egale dac identific acelai punct din plan, deci z1=z2 a1=a2 i b1=b2 z+0=z, unde 0=(0,0) z*1=z, unde 1=(1,0) Operaia de adunare admite element opus z=-a-ib=(-a,-b) Operaia de nmulire admite element inversabil, inversul numrului complex y se va determina cu 1 a b + 2 i (rezolvarea e mai jos) ajutorul conjugatului, el fiind z-1= = 2 2 z a +b a + b2 Deoarece operarea cu notaia de mai sus este anevoioas, folosim notaia algebric (forma algebric) a numrului complex, i anume z=a+ib, unde i=numr pur imaginar cu proprietatea i2=-1 Se verific uor c operaiile definite mai sus se regsesc n regulile elementare de calcul cu expresii algebrice. Astfel, z1=2+3i, z2=5-2i, z1+z2=7+i, z1z2=10+15i-4i-6i2=10+11i-6(-1)=16+11i Definim conjugatul unui numr complex _ z =a-ib Geometric, punctul din plan corespunztor conjugatului este simeztricul punctului de afix z fa de axa Ox. _ z +z=2a R Proprieti z1 + z 2 = z1 + z 2 z1 z 2 = z1 z 2 z1 z1 = z2 z2 z_ n

=z

n

1

Lectia numarul 10

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Exemple: _ a)z=2+3i z =2-3i b) (2 + 3i )(5 i ) = 2 + 3i5 i = ( 2 3i )(5 + i ) = 13 13i Definim modulul unui numr complex |z|= a 2 + b 2 =lungimea segmentului OA (modulul vectorului de poziie) Se observ c modulul este un numr real pozitiv. |2+3i|= 2 2 + 3 2 = 13 Totodat z z=|z|2. Aceast relaie este foarte util pentru a calcula conjugatele unor expresii complexe cu numere avnd aceleai module. Exemplu: Dac |zk|=r, k=1,2,...,n, atunci E= ( z1 + z 2 )( z 2 + z 3 )...( z n 1 + z n )( z n + z1 ) R z1 z 2 ...z n_

Conjugm expresia z + z 2 z 2 + z 3 ... z n 1 + z n z n + z1 ( z1 + z 2 )( z 2 + z 3 )...( z n 1 + z n )( z n + z1 ) E= 1 = = z1 z 2 ...z n z1 z 2 ...z n z 2 + z1 z 3 + z 2 z n 1 + z n z n + z1 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 + )( + )...( + )( + ) ... 2 n z1 z 2 z 2 z 3 z n 1 z n z n z1 z 2 z3 z n 1 z n z n z1 ( r ) z1 z 2 = 2n = = 1 r2 r2 r2 r ... z1 z 2 ...z n z1 z 2 z n ( z1 + z 2 )( z 2 + z 3 )...( z n 1 + z n )( z n + z1 ) = =E dup simplificarea prin produsul celor n numere z1 z 2 ...z n complexe. Am folosit formula zi z i =|zi|2=r2 1 1 a ib a ib a b = = 2 = 2 + 2 i z-1= = 2 2 z a + ib ( a + ib)(a ib) a + b a +b a + b2 Proprieti |z1z2|=|z1||z2| z |z | | 1 |= 1 z2 | z2 | |z1+z2| |z1|+|z2| |zn|=|z|n _ |z|=| z | ( Restrngerea unor expresii cu numere complexe Se folosesc proprietile adunrii i nmulirii (grupm prile reale ntre ele respectiv prile imaginare, dnd factor comun pe i), iar dac apar mpriri, amplificm cu conjugatul numitorului, apoi aducem la acelai numitor, pn cnd rezultatul final are aspect de numr complex. Exemplu rezolvat 1: 2

Lectia numarul 10

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

S se aduc la o form mai simpl: 2+i (2 + i )(3 + 2i ) 4 + 7i 4 7 = = 2 = + i a) 2 3 2i (3 2i )(3 + 2i ) 3 + 2 13 13 2 2(1 5i ) 1 5 1 5 105 73 = 9 + 6i 1 + 2 = 8 + 6i + i = (8 + ) + i (6 ) = + i b)(3+i)22 1 + 5i 13 13 13 13 13 13 1 +5 c)(1+i)2+(1-i)2=1+2i+i2+1-2i+i2=2-1-1=0 numr real Se observ c putem avea expresii n aparen complexe care, restrnse, ne conduc la numere reale. Acestea ajung s aib partea imaginar nul. Sunt ns situaii n care nu putem aduce la o form rezonabil expresii cu numere complexe pentru a putea identifica partea imaginar. n asemenea situaii folosim urmtoarea observaie: Fie z=a+0i=a (numr real) _ _ Conjugatul su va fi z =a-0i=a, deci z= z Cum art c o expresie complex este numr real a)Dac expresia este uor de adus la o form mai simpl, atunci identificm partea imaginar i artm c este nul b) Dac expresia este greu de adus la o form restrns, calculm conjugata ei folosind proprietile operaiei de conjugare i artm c aceasta coincide cu expresia iniial. Exemplu rezolvat 2: S se arate c expresia de mai jos este numr real. z=(1+2i)n+(1-2i)n _ n n n n n n n n z = (1 + 2i ) + (1 2i ) = (1 + 2i ) + (1 2i ) = 1 + 2i + 1 2i = (1 2i ) + (1 + 2i ) = z , deci z este real.

Puterile lui i Din definiia lui i, observm urmtoarele: i1=i i5=(i4)i=i i4k+1=i i2=-1 i3=(i2)(i)=-i i6=(i4)(i2)=-1 i7=-i 4k+2 4k+3 i =-1 i =-i i4k=1 i4=(i2)(i2)=(-1)(-1)=1 i8=1

Pentru a determina valoarea unei puteri ale lui i mprim puterea la 4 i identificm restul mpririi. n funcie de valoarea acestuia se calculeaz mai departe. Sume de puteri Dac apar puteri consecutive ale lui i remarcm c fiecare sum de patru puteri consecutive are valoarea 0. Acest aspect ne va conduce la rezultatul final. Exemplu rezolvat 3: S=i+i2+i3+i4+i5+.+i2000+i2001+i2002= (i+i2+i3+i4)+(i5+).+(...+i2000)+i2001+i2002= =0+0+...+0+i-1=i-1

3

Lectia numarul 10

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Exerciii propuse 1.S se determine valorile parametrilor a respectiv b pentru care avem relaiile de mai jos: 2+i = a + i (b 3) a)(2+3i)(5-i)=2a+3bi b) c)(2-5i)2=(a+ib)2 1 4i 5 + 8i 1 + 2a 2 + y = a + ib + =i d) e) f)(1-i)10=a+ib 8 5i 1 2i 1 + 2i 2.S se aduc la o form mai simpl: 1+ i 3 2+i 5 a)(1+i)3+(2-i)3 b) c) 2 2+i (1 i ) 1 3i 3 + i 2 2 n d)(2+4i)(5-i) +5+2i e)S=i+i +...+i , n numr natural nenul g) f)i i2i3...i15 3. S se determine inversele, conjugatele, modulele urmtoarelor numere complexe 2 + 6i a)z=2+i b)z=(1-8i)(2+3i) c) z = 4i 4.S se demonstreze c urmtoarele expresii sunt numere reale. 1+ i n 1 i n 19 + 7i n 20 + 5i n ) +( ) ) +( ) a) E=(1+i)n+(1-i)n b) ( c) ( 1 i 1+ i 9i 7 + 6i d) z1 z 2 + z1 z 2 unde zi sunt numere complexe

Radicalul de ordinul 2 al unui numr complex Pe mulimea R , funcia radical de ordinul 2 este definit doar pentru argumente pozitive. Datorit definiiei lui i (i2+1) vom avea 1 = i Prin urmare, dac extragem radicali din numere reale negative pe C, acetia se obin astfel: 3 = (1)(3 ) = 3i 16 = (1)(16 ) = 4i Dac extragem radical dintr-un numr complex, identificm partea real i partea imaginar folosind egalitatea a dou numere complexe (identificm partea real respectiv partea imaginar a celor 2 membri ai egalitii) x + iy = a + ib C Determinm a i b dup ridicarea la ptrat a egalitii x+iy=a2-b2+2abi, de unde rezult sistemul de ecuaii a 2 b 2 = x pentru rezolvarea cruia avem dou alternative: 2ab = y 1. Metoda substituiei care ne va conduce la o ecuaie biptrat cu necunoscuta a sau b 2. Facem urmtorul artificiu de calcul folosind modulul unui numr complex: | x + iy |= | x + iy | = Exemplu rezolvat 4: 1 + i = a + ib | 1 + i | =| a + ib |= a 2 + b 2 , 2 = a 2 + b 2 , de unde x 2 + y 2 =|a + ib |= a 2 + b 2 ,

4

Lectia numarul 10

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

a 2 b 2 = 1 2ab = 1 a2+b2= 2 . Cuplm acest rezultat cu prima ecuaie a sistemului 1+ 2 1+ 2 a2-b2=1 , adunm cele dou relaii 2a2=1+ 2 a2 = a= 2 2 1 1 1 b= = de unde putem exprima valoarea cutat 1+ 2 = 2a 2 2+2 2 2 1+ i = 1+ 2 1 i 2 2+ 2

Rezolvarea ecuaiilor de gradul II pe mulimea C a) Ecuaii cu coeficieni reali i cu discriminant negativ b) Ecuaii cu coeficieni compleci b+ b Folosim aceleai formule de calcul, i anume x1= , x2= 2a 2a Exemplu rezolvat 5: S se rezolve ecuaia x2+3x+3=0, =9-12=-3y respectiv ax+b2Im(z+i) z+i=x+iy+i=x+i(y+1) 1 Vom avea x>2(y+1), de unde x-2>2y, adic x 1 > y . Punctele cutate se afl n semiplanul 2 1 inferior determinat de dreapta de ecuaie x 1 = y 2 Forma trigonometric a numerelor complexe Folosim coordonatele polare ale unui punct n plan, i anume unghiul fcut de raza vectoare OA cu axa OX i distana de la punct la origine. Triunghiul alturat ne conduce la urmtoarele relaii de legtur ntre coordonatele carteziene (x,y) i cele polare (r,t) y sin(t ) y x = sin(t)= cos(t)= r2=x2+y2 x cos(t ) r r x=r cos(t) y=r sin(t) Putem trece din forma algebric n form trigonometric i viceversa. Exemplu rezolvat 9 Fie z=1+i. S se scrie numrul n form trigonometric. x=1 y=1 r= 12 + 12 = 2 sin(t)= 1 2 = 2 1 2 = , cos(t)= 2 2 2

Din relaiile anterioare avem t= z=x+iy=r cos(t)+i r sin(t)=

+isin ) 4 4 nmulirea a dou numere complexe scrise sub form trigonometric z1z2=r1(cost1+isint1)r2(cost2+isint2)= =r1r2(cost1cost2-sint1sint2+i(cost1sint2+sint1cost2))=r1r2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)) Practic, se adun argumentele i se nmulesc modulele. z2=r2(cos(t+t)+isin(t+t))=r2(cos(2t)+isin(2t)) Inductiv vom obine2 (cos Formulele lui Moivre zn=[r(cost+isint)]n=rn(cos(nt)+isin(nt)) Rezultatul mpririi a dou numere complexe n form trigonometric se poate obine ca fiind: r1 z1:z2=z1z2-1= r1(cost1+isint1)r2-1(cos(-t2)+isin(-t2))= (cos(t1-t2)+isin(t1-t2)) r2

4

8

Lectia numarul 10

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau Practic, se scad argumentele i se mpart modulele. Exemplu rezolvat 10: S se calculeze produsul-raportul numerelor complexe de mai jos z1=cos +isin z2=2(cos +isin ) 3 3 4 4 7 7 z1z2=2(cos( + )+isin( + ))=2(cos +isin ) 3 4 3 4 12 12 z1 1 = ( cos( - )+isin( - ))=2(cos +isin ) z2 2 3 4 3 4 12 12 Exemplu rezolvat 11: S se arate c numrul complex de mai jos este divizibil cu 2. z=(1+i)n+(1-i)n Scriem pe z sub form trigonometric, ca o sum. z1=1+i=r(cost+isint) Obinem t= , r= 2 (vezi exemplul rezolvat 9) 4 z2=1-i z2=1-i=r(cost+isint), r= 2 , cost= 2 1 2 , sint=1 2 , deci t se afl n cadranul