Lectia10 Nr Complexe

Lectia numarul 10 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Numere complexe

Numim număr complex perechea z=(a,b) care identifică un punct în plan. Notăm mulţimea numerelor complexe C=R RObservăm că R C, un număr real fiind situat pe axa Ox, deci z=(a,0)

Numim a = partea reală a numărului complex respectiv b= partea imaginară.Deci un număr real are partea imaginară nulă.

Definim operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:z1+z2=(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)z1z2=(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2-b1b2,a2b1+a1b2)Cele două operaţii sunt comutative, asociativeşi admit elemente neutreDouă numere complexe sunt egale dacă identificăacelaşi punct din plan, deci z1=z2 a1=a2 şi b1=b2

z+0=z, unde 0=(0,0)z*1=z, unde 1=(1,0)

Operaţia de adunare admite element opus –z=-a-ib=(-a,-b)Operaţia de înmulţire admite element inversabil, inversul numărului complex y se va determina cu

ajutorul conjugatului, el fiind z-1= (rezolvarea e mai jos)

Deoarece operarea cu notaţia de mai sus este anevoioasă, folosim notaţia algebrică (forma algebrică) a numărului complex, şi anume

z=a+ib, unde i=număr pur imaginar cu proprietatea i2=-1

Se verifică uşor că operaţiile definite mai sus se regăsesc în regulile elementare de calcul cu expresii algebrice. Astfel, z1=2+3i, z2=5-2i, z1+z2=7+i, z1z2=10+15i-4i-6i2=10+11i-6(-1)=16+11i

Definim conjugatul unui număr complex =a-ib

Geometric, punctul din plan corespunzător conjugatului este simeztricul punctului de afix z faţă de axa Ox.

+z=2a RProprietăţi

1


Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauExemple:a)z=2+3i =2-3i

b)Definim modulul unui număr complex |z|= =lungimea segmentului OA (modulul vectorului de poziţie)Se observă că modulul este un număr real pozitiv.|2+3i|=

Totodată z=|z|2. Această relaţie este foarte utilă pentru a calcula conjugatele unor expresii complexe cu numere având aceleaşi module.

Exemplu:

Dacă |zk|=r, k=1,2,...,n, atunci E=

Conjugăm expresia

=

= =E după simplificarea prin produsul celor n numere

complexe.Am folosit formula zi =|zi|2=r2

z-1=

Proprietăţi|z1z2|=|z1||z2|

|=

|z1+z2| |z1|+|z2||zn|=|z|n

|z|=| |

Restrângerea unor expresii cu numere complexeSe folosesc proprietăţile adunării şi înmulţirii (grupăm părţile reale între ele respectiv părţile imaginare, dând factor comun pe i), iar dacă apar împărţiri, amplificăm cu conjugatul numitorului, apoi aducem la acelaşi numitor, până când rezultatul final are aspect de număr complex.

Exemplu rezolvat 1:

Să se aducă la o formă mai simplă:

2



a)

b)(3+i)2-

c)(1+i)2+(1-i)2=1+2i+i2+1-2i+i2=2-1-1=0 număr real

Se observă că putem avea expresii în aparenţă complexe care, restrânse, ne conduc la numere reale. Acestea ajung să aibă partea imaginară nulă. Sunt însă situaţii în care nu putem aduce la o formă rezonabilă expresii cu numere complexe pentru a putea identifica partea imaginară. În asemenea situaţii folosim următoarea observaţie:Fie z=a+0i=a (număr real)Conjugatul său va fi =a-0i=a, deci z=

Cum arăt că o expresie complexă este număr reala)Dacă expresia este uşor de adus la o formă mai simplă, atunci identificăm partea imaginară şi arătăm că este nulăb) Dacă expresia este greu de adus la o formă restrânsă, calculăm conjugata ei folosind proprietăţile operaţiei de conjugare şi arătăm că aceasta coincide cu expresia iniţială.

Exemplu rezolvat 2:Să se arate că expresia de mai jos este număr real.z=(1+2i)n+(1-2i)n

= , deci z este real.

Puterile lui i

Din definiţia lui i, observăm următoarele:

i1=i i2=-1 i3=(i2)(i)=-i i4=(i2)(i2)=(-1)(-1)=1i5=(i4)i=i i6=(i4)(i2)=-1 i7=-i i8=1i4k+1=i i4k+2=-1 i4k+3=-i i4k=1

Pentru a determina valoarea unei puteri ale lui i împărţim puterea la 4 şi identificăm restul împărţirii. În funcţie de valoarea acestuia se calculează mai departe.

Sume de puteri Dacă apar puteri consecutive ale lui i remarcăm că fiecare sumă de patru puteri

consecutive are valoarea 0. Acest aspect ne va conduce la rezultatul final.

Exemplu rezolvat 3:S=i+i2+i3+i4+i5+….+i2000+i2001+i2002= (i+i2+i3+i4)+(i5+…).+(...+i2000)+i2001+i2002= =0+0+...+0+i-1=i-1

Exerciţii propuse1.Să se determine valorile parametrilor a respectiv b pentru care avem relaţiile de mai jos:

3



a)(2+3i)(5-i)=2a+3bi b) c)(2-5i)2=(a+ib)2

d) e) f)(1-i)10=a+ib

2.Să se aducă la o formă mai simplă:

a)(1+i)3+(2-i)3 b) c)

d)(2+4i)(5-i)2+5+2i e)S=i+i2+...+in, n număr natural nenulf)i ⋅i2⋅i3⋅...⋅i15 g)

3. Să se determine inversele, conjugatele, modulele următoarelor numere complexe

a)z=2+i b)z=(1-8i)(2+3i) c)

4.Să se demonstreze că următoarele expresii sunt numere reale.

a) E=(1+i)n+(1-i)n b) c)

d) unde zi sunt numere complexe

Radicalul de ordinul 2 al unui număr complex

Pe mulţimea R , funcţia radical de ordinul 2 este definită doar pentru argumente pozitive. Datorită definiţiei lui i (i2’+1) vom avea Prin urmare, dacă extragem radicali din numere reale negative pe C, aceştia se obţin astfel:

Dacă extragem radical dintr-un număr complex, identificăm partea reală şi partea imaginară folosind egalitatea a două numere complexe (identificăm partea reală respectiv partea imaginară a celor 2 membri ai egalităţii)

Determinăm a şi b după ridicarea la pătrat a egalităţii

x+iy=a2-b2+2abi, de unde rezultă sistemul de ecuaţii

pentru rezolvarea căruia avem două alternative:1. Metoda substituţiei care ne va conduce la o ecuaţie bipătrată cu necunoscuta a sau b2. Facem următorul artificiu de calcul folosind modulul unui număr complex:

Exemplu rezolvat 4:

de unde

a2+b2= . Cuplăm acest rezultat cu prima ecuaţie a sistemului

a2-b2=1 , adunăm cele două relaţii 2a2=1+ a2 a=

4



b= = = de unde putem exprima valoarea căutată

Rezolvarea ecuaţiilor de gradul II pe mulţimea C

a) Ecuaţii cu coeficienţi reali şi cu discriminant negativb) Ecuaţii cu coeficienţi complecşi

Folosim aceleaşi formule de calcul, şi anume x1= , x2=

Exemplu rezolvat 5:

Să se rezolve ecuaţia x2+3x+3=0, Δ=9-12=-3<0,

x1= , x2= . Observăm că cele două rădăcini sunt conjugate

Exemplu rezolvat 6:

Să se rezolve ecuaţia x2+ix+(3+2i)=0Δ=i2-4(3+2i)=-1-12-8i=-13-8i

a2+b2=Totodată, -13-8i=a2-b2+2abi ne conduce la sistemul

2a2=-13+ , a2= , a= , b= =

x1,2= care se poate aduce la o

formă mai simplă.

Rădăcinile complexe de ordinul trei ale unităţii

Fie ecuaţia x3=1. Rezolvarea acesteia ne conduce la

x3-1=0 (x-1)(x2+x+1)=0 x1=1, x2,3=

Numim x1,2 rădăcinile complexe de ordinul 3 ale unităţii. Din relaţiile lui Viete rezultă (vezi lecţia 2):

x2+x3=-1, x2x3=1.Totodată, fiecare dintre ele satisface ecuaţia iniţială, precum şi ecuaţia din care

5


Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzauau fost determinate. Astfel, dacă notăm , cele două rădăcini, vom avea:

3=1, 2+ +1=0 respectiv , 3=1, 2+ +1=0

Exemplu rezolvat 6

Să se calculeze A= 2011+ 2011

Împărţim puterea la 3 folosind faptul că 3=1 (aşa cum, la puterile lui i împărţeam la 4, deoarece acestea se repetau din patru în patru)

Vom avea 2010+1=( 3)670( )=1670( )=Analog 2011=A= + =-1 (din relaţiile lui Viete)

Exemplu rezolvat 7

Să se calculeze A=( +1)124+( 2+ )124

Ştim 2+ +1=0 +1=- 2

2+ +1=0 2+ =-1

A=(- 2)124+(-1)124=+ 248+1=( 3)31( )1+1= +1=

Exerciţii propuse1.Să se rezolve peste mulţimea C următoarele ecuaţii:a)x2+x+1=0 b)(2+i)z2+2+11i=0 c)(1+i)z2-(5+2i)z+5=0d)z2+(1+i)z-1=0 e)iz2+(1+2i)z+1=0 f)z2+1=0

2.Fie z un număr complex astfel încât . Să se calculeze:

z3-1, z10+ , |z|

3. Fie z= . Arătaţi că:

a)z2-z+1=0 b)z3=-1 c)Sk=zk+z-k, k=1,2,3,4,5,6d)P=(z+z-1)(z2+z-2)…(z99+z-99)=233

Interpretarea geometrică a modulului unui număr complex

6



Cercul cu centrul în origine este locul geometric al punctelor egal depărtate de O (la distanţa r de acesta). Teorema lui Pitagora ne conduce la ecuaţia

x2+y2=r2

Translatând centrul cu a pe axa Ox respectiv cu b pe axa Oy, un punct de pe cerc de coordonate (x,y) va fi descris de ecuaţia:

(x-a)2+(y-b)=r2 – ecuaţia cercului cu centrul Q(a,b) şi rază r.

Un punct T(x0,y0) din interiorul-exteriorul cercului de mai sus va avea proprietatea că(x0-a)2+(y0-b)<r2 respectiv (x0-a)2+(y0-b)>r2

Ne reamintim că punctele unei drepte satisfac ecuaţia acesteia, respectivax+b=y. Dacă un punct se află în afara dreptei, atunci putem avea ax+b>y respectiv ax+b<y.Fie z=x+iy . Dorim să identificăm punctele din plan cu proprietatea că |z|=1Relaţia ne conduce la , deci punctele din plan care au modul egal cu 1 sunt punctele cercului cu centrul în origine şi raza egală cu 1.

Exemplu rezolvat 7

Să se determine punctele din plan cu proprietatea că |z+2i-1|=3Presupunem z=x+iy, z+2i-1=x+iy+2i-1=(x-1)+i(y+2)Din ipoteză, obţinem

Deci punctele căutate se află pe cercul de centru (1,2) cu raza r=3

Exemplu rezolvat 8

Să se determine punctele din plan cu proprietatea că Re(z+i)>2Im(z+i)z+i=x+iy+i=x+i(y+1)

Vom avea x>2(y+1), de unde x-2>2y, adică . Punctele căutate se află în semiplanul

inferior determinat de dreapta de ecuaţie

7


Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauForma trigonometrică a numerelor complexe

Folosim coordonatele polare ale unui punct în plan,şi anume unghiul făcut de raza vectoare OA cu axa OX şi distanţa de la punct la origine.Triunghiul alăturat ne conduce la următoarele relaţii de legătură între coordonatele carteziene (x,y) şi cele polare (r,t)

sin(t)= cos(t)= r2=x2+y2

x=r cos(t) y=r sin(t)Putem trece din forma algebrică în formă trigonometrică şi viceversa.

Exemplu rezolvat 9

Fie z=1+i. Să se scrie numărul în formă trigonometrică.

x=1 y=1 r= = sin(t)= , cos(t)=

Din relaţiile anterioare avem t=

z=x+iy=r cos(t)+i r sin(t)= (cos +isin )

Înmulţirea a două numere complexe scrise sub formă trigonometricăz1z2=r1(cost1+isint1)r2(cost2+isint2)==r1r2(cost1cost2-sint1sint2+i(cost1sint2+sint1cost2))=r1r2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2))Practic, se adună argumentele şi se înmulţesc modulele.z2=r2(cos(t+t)+isin(t+t))=r2(cos(2t)+isin(2t))Inductiv vom obţine

Formulele lui Moivre

zn=[r(cost+isint)]n=rn(cos(nt)+isin(nt))Rezultatul împărţirii a două numere complexe în formă trigonometrică se poate obţine ca fiind:

z1:z2=z1z2-1= r1(cost1+isint1)r2

-1(cos(-t2)+isin(-t2))= (cos(t1-t2)+isin(t1-t2))

Practic, se scad argumentele şi se împart modulele.

Exemplu rezolvat 10:

Să se calculeze produsul-raportul numerelor complexe de mai jos

z1=cos +isin z2=2(cos +isin )

z1z2=2(cos( + )+isin( + ))=2(cos +isin )

8



= ( cos( - )+isin( - ))=2(cos +isin )


Să se arate că numărul complex de mai jos este divizibil cu 2.z=(1+i)n+(1-i)n

Scriem pe z sub formă trigonometrică, ca o sumă.z1=1+i=r(cost+isint)

Obţinem t= , r= (vezi exemplul rezolvat 9)

z2=1-i

z2=1-i=r(cost+isint), r= , cost= , sint=- , deci t se află în cadranul IV, prin urmare t=

z1n+z2

n=( )n(cos +isin )+( )n(cos +isin )=

=( )n(cos +isin + cos +isin )

Deoarece cos =cos , sin =-sin , vom avea

z1n+z2

n=( )n(2cos ) care este divizibil cu 2

Folosim forma trigonometrică mai ales atunci când lucrăm cu puteri mari ale numerelor complexe.

Ecuaţii binome

Forma generală: zn=a

unde a poate fi atât real, cât şi complex, nerealFormulele lui Moivre şi periodicitatea funcţiilor sin şi cos (T=2k ) ne conduc la:zn=r(cost+isint), ecuaţie cu n necunoscute notate yk, k=0,1,2,...,n-1

zk=

Cum rezolv o ecuaţie binomă:-aflu forma trigonometrică a lui a (determin r,t; dacă a este real, t=0)-aplic formula de mai sus, apoi dau valorile corespunzătoare lui k pentru a determina rădăcinile pe rând


Să se rezolve ecuaţia z4=

9



r= cost= = , sint= , deci t se află în primul cadran, t=

z4=cos +isin

zk=cos +isin

k=0 z0=cos +isin

k=1 z1=cos +isin

k=2 z2=cos +isin

k=3 z3= cos +isin

Dacă dorim să scriem soluţiile în forma algebrică, trebuie să calculăm funcţiile trigonometrice asociate argumentelor respective. Pentru aceasta, avem următoarele alternative:Dacă fracţia este subunitară

-folosim cercul trigonometric asociind argumentului respectiv pe cel din primul cadran din care este derivat sau-îl scriem ca sumă-diferenţă de unghiuri cunoscute, sau-îl scriem ca dublul/triplul sau jumătatea unui unghi cunoscut

Dacă fracţia este supraunitară-împărţim numărătorul la numitor şi aplicăm teorema împărţirii cu rest distribuin numitorul,

după care folosim periodicitatea, izolând ăn expresia obţinută un număr par de (exentual adunăm-scădem un )Exemplu:

=

cos =cos cos +sin sin =… (unghiuri cunoscute)

sau

= ; exprimăm cos =2cos2 -1 (formula unghiului pe jumătate). Din această ecuaţie obţinem

valoarea căutată. (din cele două soluţii o alegem pe cea cu semnul corespunzător cadranului din care face parte unghiul)

2cos2 =1+ , cos2 = (1+ ), deci cos =

se află în primul cadran deci cos este pozitiv, prin urmare cos =

sumă de unghiuri cunoscute

10



Folosim periodicitatea cos( Putem

avea şi t= . Atunci scriem teorema împărţirii cu rest

cos(

Exerciţii propuse:1.Să se determine punctele z din plan pentru care avem:a)|z+2i|=3 b)|2-iz|<2 c)1<|z+1+2i|<5 d)Re(z+3i-1)=Im(z-2)2. Să se rezolve ecuaţiile binome de mai jos:

a)z2=3 (=3+0i)b)z2=2+2i c)z4=16 d)z3=

e)z3= f)z4=1=(1+0i) g)z4=i h)z2=

11

Documents

Lectia10 Nr Complexe