Lectii de Algebra

5/24/2018 Lectii de Algebra

1/253

1

DUMITRU BUNEAG DANA PICIU

LEC#IIde

ALGEBR$

Editura UNIVERSITARIACRAIOVA

2002


2/253

2


3/253

3

Referen'i (tiin'ifici:Prof.univ.dr.Constantin N*st*sescu,Universitatea Bucuresti

Membru corespondent al Academiei Romne

Prof.univ.dr. Constantin Ni'*,Universitatea Bucure(ti

2002 EUC CRAIOVA

All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, storedin a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means,electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, withoutthe prior written permission of the publisher.

Tehnoredactare computerizat*: Dana Piciu, Livia PopescuCopert*: Ctlin Bu#neag

Bun de tipar: 20.02.2002

Tipografia Universit&ii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13

Craiova, Romnia

Published in Romania by:

EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale

Dumitru Bu#neag (coordonator),

Lecii de Algebra527 p.; 21 cm.

Craiova Editura Universitaria 2002Bibliogr.512.54,55,56,58,553,516.62,64

ISBN 973 8043 109 8


4/253

4

ISBN: 973 8043 109 8


5/253

5

CUPRINS

pag.

CAPITOLUL 1: NO!IUNI PRELIMINARII. . . . . . . . . .

. . . . 1

1. Mulimi. Operaii cu mulimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Relaii binare pe o mulime. Relaii de echivalen!. . . . . . . . . . 7

3. Relaii funcionale. Noiunea de funcie. Clase de funcii. . . . . 14

4. Nucleul $i conucleul unei perechi de funcii. . . . . . . . . . . . . 32

5. Mulimi ordonate. Semilatici. Latici.. . . . . . . . . . . . . . .

. . . 35

6. Latici.distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 457. Complement $i pseudocomplement ntr-o latice. Algebre

Boole. Algebre Boole generalizate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 508. Produsul direct (suma direct!) a unei familii de mulimi . .

. . . 569. Numere cardinale. Operaii cu numere cardinale.

Ordonarea numerelor cardinale.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

. . . 60

10. Mulimi num!rabile. Mulimi finite $i mulimi infinite. . .

. . . 66

CAPITOLUL 2: GRUPURI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .711. Operaii algebrice. Monoizi. Morfisme de monoizi. Produse directe

finite de monoizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2. Grup. Calcule ntr-un grup. Subgrup. Subgrup generat de omulime. Grup ciclic. Ordinul unui element ntr-un grup. . . . . . . . .83


6/253

6

3. Centralizatorul unui element ntr-un grup. Centrulunui grup. Teorema lui Lagrange. Indicele unui subgrup

ntr-un grup. Ecuaia claselor. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864. Subgrupuri normale. Factorizarea unui grup printr-un subgrup

normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

5. Morfisme de grupuri. Compunerea morfismelor degrupuri. Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de

grupuri. Nucleul $i conucleul unei perechi de morfismede grupuri. . . . . . . . . . . . . . .94

6. Teorema lui Malev. Grupul (, +). Subgrupurile lui (, +). Clasele

de resturi modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7. Teoremele de izomorfism pentru grupuri. . . . . . . . . . . . . . . 1088.Produse finite de grupuri. Teorema chinezeasc!a resturilor. Num!rul

tipurilor de grupuri abeliene finite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129. Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite. Grupul diedral Dnde grad

n. Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim , p!3) . . . . 118

10.Grupuri de permut!ri. Teorema lui Cayley. Grupurile Sn$i An. .12211. Teoremele lui Sylow. Aplicaii: caracterizarea grupurilor cu pq

elemente ( p $i q numere prime distincte ) $i 12 elemente. . . . . . . 132

CAPITOLUL 3: INELE "I CORPURI. . . . . . . . . . . . . .

. . 139

1. Inel. Exemple. Reguli de calcul ntr-un inel. Divizori ai lui zero.

Domenii de integritate. Caracteristica unui inel. . . . . . . . . . . . . 139

2. Subinele $i ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

3. Morfisme de inele. Izomorfisme de inele. Transportul subinelelor $iidealelor prin morfisme de inele. Produse directe de inele. . . . . . . 152


7/253

7

4. Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral. Teoremele de

izomorfism pentru inele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575. Corp. Subcorp. Subcorp prim . Morfisme de corpuri. Caracteristica

unui corp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606. Inele de fracii. Construcia corpului "al numerelor raionale. .165

7. Construcia corpului #al numerelor reale . . . . . . . . . . . . . .169

8. Construcia corpului $al numerelor complexe . . . . . . . . . . .186

9. Construcia corpului Hal cuternionilor. . . . . . . . . . . . . . . 189

10. Ideale prime . Ideale maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11. Divizibilitatea n inele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CAPITOLUL 4: INELE DE POLINOAME. . . . . . . . . . . . . 206

1. Inelul polinoamelor ntr-o nedeterminat!. . . . . . . . . . . . . . .206

2. Inelul polinoamelor n mai multe nedeterminate. . . . . . . . . 213

3. Polinoame simetrice. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194. R!d!cini ale polinoamelor cu coeficieni ntr-un corp. Teorema

fundamental! a algebrei. Polinoame ireductibile. Rezolvarea ecuaiiloralgebrice de grad 3 $i 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

CAPITOLUL 5: ELEMENTE DE

TEORIA CATEGORIILOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401. Definiia unei categorii. Exemple. Subcategorie. Duala unei

categorii. Produs de categorii. Principiul dualiz!rii. . . . . . . . . . .240

2.Morfisme $i obiecte remarcabile ntr-o categorie. Nucleul $iconucleul unui cuplu de morfisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443. Functori. Exemple. Functori remarcabili. Morfisme functoriale.

Categorii echivalente. Duala lui Ens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4. Functori reprezentabili . Functori adjunci. . . . . . . . . . . . . .264

5. Reflefunctori .Subcategorii reflexive. . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6. Produse $i sume directe ale unei familii de obiecte. . . . . . . . 2797.Limita inductiv!(proiectiv!) a unui sistem inductiv (proiectiv)..287


8/253

8

8. Sume $i produse fibrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9. Obiecte injective (proiective). Anvelope injective (proiective) ..297

10. Categorii abeliene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

CAPITOLUL 6: MODULE "I SPA!II VECTORIALE. . . . . . 3141. Modul. Submodul. Calcule ntr-un modul. Operaii cu submodule.Submodul generat de o mulime. Laticea submodulelor unui modul.Sistem de generatori. Elemente liniar independente (dependente).Module libere. Spaii vectoriale. Submodul maximal. Modul simplu.

Factorizarea unui modul printr-un submodul. Modul factor.. . . . . 314

2. Morfisme de module. Endomorfisme. Operaii cu morfisme demodule. Imaginea, nucleul, coimaginea $i conucleul unui morfism demodule. Categoriile Mods(A) $i Modd(A). Monomorfisme,epimorfisme, izomorfisme de module. Nucleul $i conucleul unei perechide morfisme. Teorema fundamental! de izomorfism pentru module.Consecine. 'iruri exacte de A-module. Functorii hM $i hM de la

Mods(A)la Ab. Bimodule. Dualul $i bidualul unui modul. . . . . . .3273. Produse $i sume directe n Mods(A). Sume directe de submodule.Produse $i sume directe de morfisme de A-module. Sume $i produse

fibrate n Mods(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3474. Limite inductive $i proiective n Mods(A). Limite inductive $i

proiective de morfisme de A-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3605. Submodule eseniale $i superflue. Submodule complement.

Submodule nchise. Module injective. Grupuri divizibile. Anvelopeinjective. Module proiective. Anvelope proiective. Generatori,

cogeneratori pentru Mods(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3736. Produs tensorial de module. Produs tensorial de morfisme. FunctoriiSM $i TN; transportul $irurilor exacte scurte prin ace$ti functori.Comutativitatea produsului tensorial. Permutarea produsului tensorial cusumele directe. Produs tensorial de module libere. Asociativitatea

produsului tensorial. Proprietatea de adjuncie. Module plate. . . . . 3967. Module libere de rang finit. Matricea de trecere de la o baz!la alta.Formula de schimbare a coordonatelor unui element la schimbarea


9/253

9

bazelor. Lema substituiei. Matricea ata$at! unei aplicaii liniare ntremodule libere de rang finit; formula de schimbare a acesteia la

schimbarea bazelor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

CAPITOLUL 7: DETERMINAN!I. SISTEME DE

ECUA!II LINIARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .426

1. Definiia unui determinant de ordin n. Propriet%iledeterminanilor. Dezvoltarea unui determinant dup% elementele

unei linii. Regula lui Laplace. Formula Binet-Cauchy. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 426

2. Matrice inversabil%. Inversa unei matrice. Rangul unui sistemde vectori. Rangul unei matrice. Rangul unei aplicaii liniare ntre

spaii vectoriale de dimensiuni finite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .4453. Sisteme de ecuaii liniare cu coeficieni ntr-un corp comutativ.Sisteme omogene. Vectori $i valori proprii ai unui operator liniar.Teorema Cayley-Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455

CAPITOLUL 8: ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIAR)..4701. Punerea unei probleme de programare liniar!. Soluii posibile.

Soluii de baz!.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4702. Tabelul simplex asociat unei soluii de baz!. Algoritmul simplex.

Regula lexicografic!de evitare a ciclajului.. . . . . . . . . . . . . . . .

.4733. Metode de determinare a soluiilor de baz!. Metoda matriceal!.Metoda celor dou! faze. Exemple de aplicare a algoritmului simplex.Exemple de probleme deprogramare liniar!. Exemplu de evitare aciclajului.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 479


10/253

10

CAPITOLUL 9: FORME BILINIARE 'I P)TRATICE . . . . . .495

1.Forme biliniare. Definiii. Exemple. Matricea ata$at! unei forme

biliniare. Rangul unei forme biliniare.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

2. Forme p!tratice.Polara unei forme p!tratice.Matricea ata$at! uneiforme p!tratice.Forma canonic!a unei forme p!tratice ;metodele Gauss-

Lagrange $i Jacobi .Legea ineriei a lui Sylvester. . . . .. . . . . . . . 497

BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .507

INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509


11/253

11

CONTENTSpag

Chapter1: PRELIMINARIES. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .15 1. Sets. Operations on sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Binary operations on a set.

Equivalence relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Functional relations. Notion of function.Classes of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer)

for a couple of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Ordered sets. Semilattices. Lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Distributive lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7. Complement and pseudocomplement in a lattice.

Boolean algebras. Generalized Boolean algebras. . . . . . . . . . . . . 64 8. Direct products (coproducts) for a family of sets. . . . . . . . . .71

9. Cardinal numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.Countable sets. Finite and infinite sets. . . . . . . . . . . . . . . .81

Chapter 2: GROUPS. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 86 1. Algebraic operations. Monoids. Morphisms of monoids.

Direct product of monoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 2. Group. Calculus in a group. Subgroup.Subgroup generated by a set. Cyclic groups.

The Order of an element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 3. The centralizer of an element in a group.The center of a group. The theorem of Lagrange.The index of a subgroup in a group.

The class equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Normal subgroups.


12/253

12

Factorization of a group by a normal subgroup. . . . . . . . . . . . .105 5. Morphisms of groups. Composition of morphisms.Monomorphisms, epimorphisms, isomorphisms of groups.

The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer)for a couple of morphisms. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

6. The theorem of Mal`cev. The group of integers (,+).

The subgroups of (,+).

Complete set of residues modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7. The isomorphism theorems for groups. . . . . . . . . . . . . . 123 8. Finite direct products of groups.

The Chinese remainder theorem.The number of abelian finite groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9. The Cauchy theorem for finite groups.The Dihedral group D n of degree n.

The structure for finite groups of 2p order (p prime, p 3). . . . . 13310. The groups of permutations. The theorem of Cayley.The groups S n and A n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

11. The Sylow theorems. Applications: the groups of pq order(p,q primers, p q) and of order 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Chapter 3: RINGS AND FIELDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 1. Rings. Examples. Calculus in a ring.

Zero divisors. Integral domains. The characteristic of a ring. . . . 154

2. Subrings and ideals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 3. Morphisms of rings. Isomorphisms of rings.The transport of subrings and ideals by a morphism of rings.

Direct products of rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 4. The factorization of a ring by a bilateral ideal.

The isomorphism theorems for rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5. Field Subfield. Prime Subfield. Morphisms of fields.

The characteristic of a field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6. Rings of fractions. Construction of the rationals field ". . . . 179


13/253

13

7. Construction of the reals field #. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8. Construction of the complex numbers field $. . . . . . . . . . .200

9. Construction of the quaternions field H. . . . . . . . . . . . . . 203

10.Prime and maximal ideals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.Divisibility in rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Chapter 4: POLYNOMIAL RINGS. . . . . . . . . . . . . . .

220

1. Polynominals ring in one indeterminate. . . . . . . . . . . . . . .

220

2. Polynominals ring in several indeterminates. . . . . . . . . . . .

227

3. Symetrical polynominals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.232 4. Roots of polynominals with coefficients in a field.The fundamental theorem of algebra. Irreducible polynominals.

The solving of the algebraic equations of a 3 and 4 degree. . . . . .

.240

Chapter 5: ELEMENTS OF CATEGORIES THEORY. . . . . .

253 1. Category. Exampels. Subcategory. Dual category.

Duality principle. Product of categories. . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 2. Special morphisms and objects in a category.The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer)

for a couple of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 3. Functors. Examples. Remarkable functors.Morphism functors. Equivalence of Categories.

The dual category of Ens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266


14/253

14

4. Representable functors. Adjoint functors. . . . . . . . . . . . . . .277

5. Reflectors. Reflective subcategories. . . . . . . . . . . . . . . . .

.290

6. Products and coproducts of a fammily of objects. . . . . . . . . .292

7. Limits and colimits for a partially ordered system. . . . . . . . .

300

8. Fibred sum (poshout) and fibred product (pullback)

of two objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9. Injective (projective) objects.

Injective (projective) envelopes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.Abelian Categories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326


15/253

15

CAPITOLUL 1: NO!IUNI PRELIMINARII

1 Mulimi. Operaii cu mulimi

n cadrul acestei lucr!ri vom privi mulimile n sensul n careele au fost privite de c!tre GEORG CANTOR - primul matematiciancare a iniiat studiul lor sistematic (punct de vedere cunoscut nmatematic!sub numele de teoria naiva mul#imilor).

Despre paradoxurile ce le implic!acest punct de vedere $i feluln care ele pot fi eliminate, rug!m cititorul s!consulte lucr!rile [16] $i[30].

Definiia 1.1. Dac%A (i B sunt dou%mulimi, vom spune c%A este inclusn B (sau c% A este submul#ime a lui B) dac%elementele lui A sunt (i elemente ale lui B; n acest caz vom scrie

A%B iar n caz contrar A&B.

Avem deci : A%B'pentru orice x(A )x(BA&B'exist!x(A a.. x*B.

Vom spune despre mulimile A $i B c! sunt egale dac!

oricare ar fi x, x(A'x(B. Deci, A=B'A%B $i B%A.

Vom spune c!A este inclusstrictn B $i vom scrie A+B dac!

A%B $i A,B.Se accept!existena unei mulimi ce nu conine nici un element

care se noteaz!prin -$i poart!numele de mul#imea vid. Se observ!

c!pentru orice mulime A, -%A (deoarece n caz contrar ar trebui s!

existe x(-a.. x*A absurd.!).O mulime diferit!de mulimea vid!se zice nevid.Pentru o mulime T, vom nota prin P(T) mulimea

submulimilor sale (evident -, T(P(T) ).

Urm!torul rezultat este imediat :


16/253

16

Dac%T este o mulime oarecare iar A, B, C(P(T), atunci :

(i) A%A

(ii) Dac%A%B (i B%A, atunci A=B

(iii) Dac%A%B (i B%C, atunci A%C.

n cadrul acestei lucr!ri vom utiliza deseori noiunea defamiliede elemente a unei mulimi indexat! de o mulime nevid! de indici I(prin aceasta nelegnd o funcie definit! pe mulimea I cu valori nmulimea respectiv!).

Astfel, vom scrie de exemplu (x i)i(Ipentru a desemna o familie

de elemente ale unei mulimi sau (Ai) i(Ipentru a desemna o familie demulimi indexat! de mulimea I. Pentru o mulime T $i A, B(P(T)definim :

A.B={x(T | x(A $i x(B}

A/B={x(T | x(A sau x(B}

A\B={x(T | x(A $i x*B}

A0B=(A\B)/(B\A).

Dac!A.B=-, mulimile A $i B se zic disjuncte.

Operaiile ., /, \ $i 0poart!numele de intersec#ie, reuniune,diferen#$i diferen#simetric.

n particular, T\A se noteaz!prin 1T (A) (sau 1(A) dac!nu estepericol de confuzie) $i poart!numele de complementara lui A n T.

n mod evident, pentru A, B(P(T) avem:

A\B=A.1T (B)A0B=(A/B)\(A+B)=(A.1T (B))/(1T (A).B)

1T (-)=T, 1T(T)=-

A/1T (A)=T, A.1T (A)=- iar 1T (1T (A))=A.

De asemenea, pentru x(T avem:

x*A.B 'x*A sau x*B

x*A/B 'x*A $i x*Bx*A\B 'x*A sau x(B


17/253

17

x*A0B'(x*A $i x*B) sau (x(A $i x(B)

x*1T(A)'x(A.

Din cele de mai nainte deducem imediat c!dac!A, B(P(T),

atunci:1T (A.B)=1T(A)/1T (B) $i 1T (A/B)=1T (A).1T (B).

Aceste ultime dou! egalit!i sunt cunoscute sub numele derela#iile lui De Morgan.

Pentru o familie nevid!(Ai )i(Ide submulimi ale lui T definim:

IIi

iA

={x(T | x(Aipentru orice i(I} $i

UIi iA ={x(T | exist!i(I a.. x(Ai }.Astfel, relaiile lui De Morgan sunt adev!rate ntr-un context

mai general:

Dac! (Ai) i(I este o familie de submulimi ale mulimii T,atunci:

( )iIi

TIi

iT ACAC UI

=

$i ( )iIi

TIi

iT ACAC IU

=

.

Urm!torul rezultat este imediat:

Propoziia 1.2. Dac%T o mulime iar A, B, C(P(T), atunci:

(i) A.(B.C)=(A.B).C (i A/(B/C)=(A/B)/C

(ii) A.B=B.A (i A/B=B/A

(iii) A.T=A (i A/-=A

(iv) A.A=A (i A/A=A.

Observaia 1.3. 1. Din (i) deducem c!operaiile /$i .suntasociative, din (ii) deducem c! ambele sunt comutative, din (iii)

deducem c!T $i -sunt elementele neutre pentru .$i respectiv pentru

/,iar din (iv) deducem c!.$i /sunt operaii idempotentepe P(T).

2. Prin dubl!incluziune se probeaz!imdiat c!pentru oricare A,B, C(P(T) avem:


18/253

18

A.(B/C)=(A.B)/(A.C) $i

A/(B.C)=(A/B).(A/C) ,adic! operaiile de intersecie $i reuniune sunt distributive una fa! de

cealalt!.

Propoziia 1.4. Dac%A, B, C(P(T), atunci:

(i) A0(B0C)=(A0B)0C

(ii) A0B=B0A

(iii) A0-=A iar A 0A=-

(iv) A.(B0C)=(A.B)0(A.C).

Demonstra#ie. (i). Prin dubl!incluziune se arat!imediat c!:

A0(B0C)=(A0B)0C=[A.1T(B).1T(C)]/[1T(A).B.1T(C)]/

/[1T(A).1T(B).C]/(A.B.C).(ii), (iii) sunt evidente.(iv). Se probeaz! fie prin dubl! incluziune, fie innd cont de

distributivitatea interseciei fa!de reuniune. 2

Definiia 1.5. Fiind date dou% obiecte x (i y se nume(tepereche ordonata obiectelor x (i y mulimea notat%(x, y) (i definit%astfel:

(x, y)={ {x}, {x, y} }.

Se verific! acum imediat c! dac! x $i y sunt dou! obiecte a..

x,y, atunci (x, y),(y, x) iar dac! (x, y) $i (u, v) sunt dou! perechi

ordonate, atunci (x, y)=(u, v) 'x=u $i y=v ; n particular, (x, y)=

=(y, x) )x=y.

Definiia 1.6. Dac% A (i B sunt dou% mulimi, mulimea

notat%AB={ (a, b) | a(A (i b(B } se va numi produsul cartezianal mulimilor A (i B.

n mod evident:AB,-'A,-$i B,-


19/253

19

AB=-'A=-sau B=-

AB=BA 'A=B

A3%A $i B3%B )A3B3%AB.

Dac! A, B, C sunt trei mulimi vom defini produsul lorcartezian prin egalitatea : ABC=(AB)C.

Elementul ((a, b), c) din ABC l vom nota mai simplu prin(a, b, c).

Mai general, dac!A1, A2, ..., An (n!3) sunt mulimi punem

A1A2...An =((...((A1A2)A3)...)An).Dac! A este o mulime finit!, vom nota prin |A| num!rul de

elemente ale lui A. n mod evident, dac!A $i B sunt submulimi finiteale unei mulimi M atunci $i A/B este submulime finit!a lui M iar

|A/B|=|A|+|B|-|A.B|.

Vom prezenta n continuare un rezultat mai general cunoscutsub numele deprincipiul includerii $i excluderii:

Propoziia 1.7. Fie M o mulime finit% iar M1, M2, ..., Mnsubmulimi ale lui M. Atunci :

( ) nn

nkji

kji

nji

ji

ni

i

n

i

i

MM

MMMMMMM

-+-

-+-=

-


20/253

20

Dac!not!m U1

1

-

==

n

iiMN , atunci conform relaiei (1) putem scrie:

(2) ==U

n

i i

M1

|N/Mn|=|N|+|Mn|-|N.Mn|.

ns! N.Mn=

-

=U

1

1

n

i

iM .Mn= U1

1

)(-

=

n

ini MM , deci aplicnd

ipoteza de inducie pentru ( )U I1

1

-

=

n

ini MM $i innd seama de faptul c!

( ) ( ) ( ) III II njinjni MMMMMMM = ,

( ) ( ) ( ) ( )IIII I III nkjinknjni MMMMMMMMMM = , etc,obinem:

(3)

( )

( ) II I I

I IIU I

n

i

in

nkjinkji

njinji

n

ini

n

inin

MMMMM

MMMMMMMMN

1

2

11

11

1

1

1

1

1....=

-

-


21/253

21

( )

( )

( )

( ) .1...

1

....1

1

...

1

1

1

111

2

1...1

3

1

1

2

11 11

11

1

1

1

1

1

221

221

II I

II

I I I I

I

I II I

II

U

n

ii

n

nkjikji

njiji

n

ii

n

ii

n

niii

niiin

n

ii

n

nkji njinjikji

nji

n

iniji

n

ini

nn

n

ii

MMMM

MMMM

MMMM

M

MMMMMM

MMMMMM

MNMNM

n

n

=

-


22/253

22

n mod evident, (,-1)-1=, iar dac! mai avem ,3(Rel (A) a..

,%,3),-1%,3-1.

Definiia 2.2. Pentru *, *3(Rel (A) definim compunerea lor*5*3 prin *5*3={(a, b)(AA | exist% c(A a.. (a, c)(*3 (i

(c, b)(*}.

Rezultatul urm!tor este imediat:

Propoziia 2.3. Fie *, *3, *33(Rel (A). Atunci:

(i) *50A=0A5*=*

(ii) (*5*3)5*33=*5(*35*33)

(iii) *%*3)*5*33%*35*33 (i *335*%*335*3

(iv) (*5*3)-1=*3-15*-1

(v) (*/*3)-1=*-1/*3-1 ; mai general, dac% (*i) i(I este ofamilie de relaii binare pe A, atunci

UUIi

i

Ii

i

--

=

11

rr .

Pentru n(6$i ,(Rel(A) definim :

>

=D= 1....

0

npentru

npentru

orin

A

n

4434421 ooo rrrr .

Se probeaz! imediat c! dac! m, n (6 atunci

,m5,n=,m+n.

Definiia 2.4. Vom spune despre o relaie *(Rel (A) c% este:

i) reflexivdac%0A%*

ii) simetricdac%*%*-1

iii) antisimetricdac%*.*-1%0A

iv) tranzitivdac%*2%*.Rezultatul urm!tor este imediat:


23/253

23

Propoziia 2.5. O relaie *(Rel(A) este reflexiv% ( simetric%,antisimetric%, tranzitiv% ) dac% (i numai dac% *-1 este reflexiv%

( simetric%, antisimetric%, tranzitiv%) .

Definiia 2.6. Vom spune despre o relaie *(Rel(A) c%este oechivalen#pe A dac%este reflexiv%, simetric%(i tranzitiv%.

Vom nota prin Echiv(A) mulimea relaiilor de echivalen!de

pe A. Evident, 0A, AA(Echiv(A).

Propoziia 2.7. Dac%*(Echiv (A) , atunci *-1=* (i *2=*.

Demonstra#ie. Cum , este simetric! ,%,-1. Dac! (a, b)(,-1,

atunci (b, a)(,%,-1)(b, a)(,-1)(a, b)(,, adic!,-1%,, deci ,-1=,.

Cum ,este tranzitiv!avem ,2%,. Fie acum (x, y)(,. Din (x, x)(,$i

(x, y)(,)(x, y)(,5,=,2, adic!,%,2, deci ,2=,. 2

Propoziia 2.8. Fie *1, *2 (Echiv (A). Atunci*15*2(Echiv (A) dac% (i numai dac%*15*2=*25*1 . n acest caz*15*2= I

rrrr

r

21 ,)(AEchiv

.

Demonstra#ie. Dac!,1 , ,2(Echiv (A), atunci (,15,2)-1=,15,2

conform Propoziiei 2.7. ns! conform Propoziiei 2.3. avem c!

(,15,2)-1= ,2

-15,1-1=,25,1, astfel c!,15,2=,25,1.

Invers, s!presupunem c!,15,2=,25,1.

Cum 7A%,1 , ,2)7A=7A57A%,15,2, adic! ,15,2 este

reflexiv!. Cum (,15,2)-1= ,2

-15,1-1 =,25,1= ,15,2, deducem c! ,15,2

este $i simetric!. Din (,15,2)2=(,15,2)5(,15,2)=,15(,25,1)5,2=

=,15(,15,2)5,2=,125,2

2= ,15,2 deducem c! ,15,2 este $i tranzitiv!,adic!este o echivalen!pe A.

S! presupunem acum c!,15,2=,25,1 $i fie ,3(Echiv (A) a..,1, ,2%,3.


24/253

24

Atunci ,15,2%,35,3=,3, adic!

( )Io

rrrr

rrr

21,

21AEchiv

8-

Cum ,1, ,2(Echiv(A) $i ,15,2(Echiv(A) ),1,,2%,15,2)-%,15,2

adic!-=,15,2.2

Pentru ,(Rel (A), definim rela#ia de ehivalen# de pe Ageneratde'ca fiind relaia de echivalen!

( )I

rrr

rr

=AEchiv

.

n mod evident, relaia de echivalen! este caracterizat!decondiiile ,% iar dac!,3(Echiv (A) a.. ,%,3)%,3(altfel zis, este cea mai mic!relaie de echivalen!ce include pe ,).

Lema 2.9. Fie *(Rel(A) (i r=7A/*/*-1. Atunci relaia r

are urm%toarele propriet%i:(i) *%r

(ii) r este reflexiv%

(i simetric

%

(iii) dac%*3este o alt%relaie binar%de pe A reflexiv%(i simetric%a.. *%*3, atunci r%*3.

Demonstra#ie. (i ). este evident!.(ii). Cum 7A%r deducem c!r este reflexiv!iar cum

1-r = (7A/,/,

-1) 1=7A-1/,-1/ (,-1)-1=7A/,/,

-1=r deducem c!

r este $i simetric!.

(iii). Dac! ,3 este reflexiv! $i simetric! a.. ,%,3, atunci

,-1%,3-1=,3$i cum 7A%,3deducem c! r=7A/,/,-1%,3.2

Lema 2.10. Fie *(Rel(A) reflexiv%(i simetric%iar U1

=n

nrr .

Atunci r are urm%toarele propriet%i :

(i) *%r


25/253

25

(ii) r este o echivalen%pe A

(iii) Dac%*3(Echiv(A) a.. *%*3,atunci r%*3.

Demonstra#ie. (i). este evident!.(ii). Cum 7A%,%r deducem c! 7A%r , adic! r este

reflexiv!. Deoarece , este simetric! $i pentru orice n(6* avem(,n)-1=(,-1)n=,n, deducem c!

( ) rrrrr ===

=

--

-

UUU11

11

1

1

n

n

n

n

n

n ,

adic! r este $i simetric!. Fie acum (x, y)( rro ; atunci exist! z(Aa.. (x, z), (z, y)(r , adic!exist!m, n(6*a.. (x, z)(,m$i (z, y)(,n.

Deducem imediat c! (x, y)(,n5,m=,n+m%r , adic! rr 2

, deci r

este tranzitiv!, adic!r(Echiv (A).

(iii). Fie acum ,3(Echiv (A) a.. ,%,3. Cum , n%,3 n =,3pentru orice n(6*deducem c! U

1=

n

nrr %,3. 2

Din Lemele 2.9. $i 2.10. deducem imediat:

Teorema 2.11. Dac%*(Rel(A), atunci

( )U U U1

1

-D=n

n

A rrr .

Propoziia 2.12. Fie *, *3(Rel (A ). Atunci:

(i) (*/*3)2=*2/*32/(*5*3)/(*35*)

(ii) Dac% *, *3(Echiv (A) atunci */*3(Echiv (A) dac% (i

numai dac%*5*3, *35*%*/*3.

Demonstra#ie.

(i). Avem: (x, y)((,/,3)2=(,/,3)5(,/,3) 'exist!z(A a..

(x, z)(,/p3 $i (z, y)(,/,3'[ (x, z)(,$i (z, y)(,] sau [ (x, z)(,3$i (z, y)(,3] sau [(x, z)(,3 $i (z, y)(,] sau [(x, z)(, $i (z, y)(,3]


26/253

26

' (x, y)(,2 sau (x, y)(,32 sau (x, y)(,5,3 sau (x, y)(,35, '

'(x, y)(,2/,32/(,5,3)/(,35,), de unde egalitatea cerut!.

(ii).,,). Avem c! ,2=,, ,32=,3 $i (,/,3)2=,/,3. Astfel,

relaia de la (i) devine: ,/,3=,/,3/(,5,3)/(,35,), deci ,5,3%,/,3$i

,35,%,/,3.

,,9. Utiliz!m ipoteza din nou $i relaia de la (i):

(,/,3)2=,2/,32/(,5,3)/(,35,)=,/,3/(,5,3)/(,35,)%,/,3, deci

,/,3este tranzitiv!. Cum 7A%, $i 7A%,3)7A%,/,3 , adic! ,/,3

este reflexiv!. Dac! (x, y)(,/,3)(x, y)(,sau (x, y)(,3)(y, x)(,

sau (y, x)(,3) (y, x)(,/,3, adic! ,/,3 este $i simetric!, deci o

echivalen!pe A. 2

Propoziia 2.13. Fie A o mulime (i *(Rel(A) avndpropriet%ile:

(i) Pentru oricex(A, exist%y(A a.. (x, y)(*

(ii) *5*-15*= *

Atunci *5*-1, *-15*(Echiv (A).

Demonstra#ie.

Avem c!,5,-1={(x, y) 4exist!z(A a.. (x, z)(,-1 $i (z, y)(,}.

Deci, pentru a demonstra c!7A%,5,-1ar trebui ca pentru orice

x(A, (x, x)(,5,-1 adic!s!existe z(A a.. (z, x)(,, lucru asigurat de

(i). Deducem c!,5,-1este reflexiv!(analog pentru ,-15,).

Dac!(x, y)(,5,-1)exist!z(A a.. (x, z)(,-1 $i (z, y)(,'

exist!z(A a.. (y, z)(,-1$i (z, x)(,'(y, x)(,5,-1, adic! ,5,-1

este simetric! (analog pentru ,-15,). Cum (,5,-1)5(,5,-1) =

= (,5,-15,)5,-1= ,5,-1 deducem c!,5,-1 este $i tranzitiv!, deci este o

echivalen!. Analog pentru ,-15,.2


27/253

27

Definiia 2.14. Dac% *(Echiv (A) (i a(A, prin clasa deechivalen#a lui a relativ%la *nelegem mulimea

[a]*={x(A 4(x, a)(*} (cum *este n particular

reflexiv%deducem c%a([a]*, adic%[a]*,-pentru orice a(A).

Mulimea A / *={ [a] *4a(A } poart%numele de mul#imeafactor( sau ct ) a lui A prin relaia *.

Propoziia 2.15. Dac%*(Echiv (A), atunci:

(i) [ ]UAa

a

*=A

(ii) Dac%a, b(A atunci [a]*=[b]*'(a, b)(*

(iii) Dac%a, b(A, atunci [a]*=[b]*sau [a]*.[b]*=-.

Demonstra#ie.

(i). Deoarece pentru orice a(A, a([a],deducem incluziunea dela dreapta la stnga; cum cealalt! incluziune este evident! deducem

egalitatea solicitat!.(ii). Dac! [a],=[b], , cum a([a], deducem c! a([b], adic!

(a, b)(,.

Fie acum (a, b)(, $i x([a],, adic! (x, a)(,. Datorit!

tranzitivit!ii lui ,deducem c!(x, b)(,, adic!x([b],, deci [a],%[b],.

Analog deducem c!$i [b],%[a],, adic![a],=[b],.

(iii). Presupunem c! [a],.[b],,-. Atunci exist! x(A a.. (x,a), (x, b)(,$i astfel (a, b)(,, deci [a],=[b], (conform cu (ii)). 2

Definiia 2.16. Numim parti#ie a unei mulimi M o familie

(Mi)i(I de submulimi ale lui M ce verific%condiiile :

(i) Pentru i, j(I, i,j )Mi.Mj=-

(ii)UIi i

MM

= .


28/253

28

Observaia 2.17. Din cele de mai nainte deducem c! dac! ,este o relaie de echivalen!pe mulimea A, atunci mulimea claselor deechivalen!ale lui ,pe A determin!o partiie a lui A.

3 Relaii funcionale. Noiunea de funcie.Clase de funcii.

Definiia 3.1. Fie A (i B dou% mulimi. O submulime

R%AB se nume(te rela#ie func#ionaldac%:

(i) Pentru oricea(A exist%b(B a.. (a, b)(R(ii) (a, b), (a, b3)(R )b=b3.

Numimfunc#ie( sau aplicaie ) un triplet f=(A, B, R) unde A

(i B sunt dou%mulimi nevide iar R%AB este o relaie funcional%.

n acest caz, pentru fiecare element a(A exist!un unic element

b(B a.. (a, b)(R. Convenim s!not!m b=f(a) ; elementul b se va numi

imaginea lui aprin f. Mulimea A se nume$te domeniul (sau domeniulde defini#ie al lui f) iar B se nume$te codomeniul lui f $i spunem deobicei c! f este o funcie definit! pe A cu valori n B scriind lucrul

acesta prin f:A.B sau A f B.Relaia funcional! R se mai nume$te $i graficul lui f

(convenim s!not!m pe R prin Gf, astfel c!Gf={(a, f(a)) | a(A}.

Dac! f :A.B $i f3:A3.B3 sunt dou! funcii, vom spune c! ele sunt

egale ($i vom scrie f=f3) dac!A=A3, B=B3$i f(a)=f3(a)pentru orice

a(A. Pentru o mulime A, funcia 1A:A.A, 1A(a)=a pentru orice a(Apoart!numele defunc#ia identica lui A(n particular, putem vorbi de

funcia identic!a mulimii vide 1-). Dac!A=-atunci exist!o unic!

funcie f:-:B ( este de fapt incluziunea lui - n B). Dac!A,- $i

B=-atunci n mod evident nu exist!nici o funcie de la A la B.

Dac!f :A.B este o funcie iar A3%A $i B3%B atunci not!m:f(A3)={f (a) | a(A3} $i f-1 (B)={a(A | f (a)(B3}


29/253

29

(f (A3)se va numi imaginealui A3prin f iar f-1(B3)contraimaginealui

B3prin f ).

n particular, not!m Im(f)=f (A). Evident, f(-)=-

$i f-1(-)=-.

Definiia 3.2. Fiind date dou% funcii f:A+B (i g:B+C

numim compunerea lor funcia notat% g5f:A+C (i definit% prin

(g5f)(a)=g(f(a)) pentru orice a(A.

Propoziia 3.3. Dac% avem trei funciiDCBA hgf atunci:

(i) h5(g5f)=(h5g)5f

(ii) f51A=1B5f=f.

Demonstra#ie.(i). ntr-adev!r, avem c!h5(g5f) $i (h5g)5f au peA drept domeniu de definiie, pe D drept codomeniu $i pentru orice

a(A(h5(g5f))(a)=((h5g)5f)(a)=h(g(f(a))).

(ii). este evident!. 2

Propoziia 3.4. Fie f:A+B, A3, A33%A, B3, B33%B, (Ai)i(I,

(Bj)j(J dou%familii de submulimi ale lui A (i respectiv B. Atunci:

(i) A3%A33)f(A3)%f(A33)(ii) B3%B33)f-1(B3)%f-1(B33)

(iii) ( )IIIi

iIi

i AfAf

(iv) ( )UUIi

iIi

i AfAf

=

(v) ( )IIJj

jJj

j BfBf

-

- =

11


30/253

30

(vi) ( )UUJj

jJj

j BfBf

-

- =

11 .

Demonstra#ie (i). Dac!b(f(A3), atunci b=f(a) cu a(A3$i cum

A3%A33deducem c!b(f(A33), adic!f(A3)%f(A33).(ii). Analog cu (i).(iii). Deoarece pentru orice k(I, I

IiiA

%Ak, conform cu (i)

deducem c! ( )kIi

i AfAf

I $i cum k este oarecare deducem c!

( )IIIi

iIi

i AfAf

.

(iv). Egalitatea cerut!rezult!imediat din echivalenele :

b(

U

IiiAf 'exist!a( U

IiiA

a.. b=f(a) 'exist! i0(I a.. a( 0iA $i

b=f(a)'exist!i0(I a.. b(f(0i

A )'b( ( )UIi

iAf

.

(v). Totul rezult! din echivalenele a(

- IJj

jBf1 '

f(a)(IJj

JB

'pentru orice j(J, f(a)(Bj'pentru orice j(J, a(f-1(Bj)

'a( ( )jJj

BfI

-1 .

(vi). Analog cu (iv). 2

Definiia 3.5. Despre o funcie f:A+B vom spune c%este:

i) injectiv, dac% pentru orice a, a3(A, a,a3)f(a),f(a3)

(echivalent cu f(a)=f(a3))a=a3)

ii) surjectiv, dac%pentru orice b(B, exist%a(A a.. b=f(a)iii) bijectiv,dac%este simultan injectiv%(i surjectiv%.Dac! f :A.B este bijectiv!, funcia f-1:B.A definit! prin

echivalena f-1(b)=a 'b=f(a) (b(B $i a(A) poart!numele de inversalui f.


31/253

31

Se verific!imediat c!f-15f=1A $i f5f-1=1B.

Propoziia 3.6. Fie f :A+B (i g :B+C dou%funcii

(i) Dac%f (i g sunt injective (surjective; bijective) atunci g5feste injectiv% (surjectiv%, bijectiv% ; n acest ultim caz

(g5f)-1=f-15g-1)

(ii) Dac% g5f este injectiv% (surjectiv%, bijectiv%) atunci feste injectiv%, (g este surjectiv%; f este injectiv% (i g estesurjectiv%).

Demonstra#ie.(i). Fie a, a3(A a.. (g5f)(a)=(g5f)(a3). Atuncig(f(a))=g(f(a3)) $i cum g este injectiv!deducem c!f(a)=f(a3)iar cum $i f

este injectiv!deducem c!a=a3, adic!g5f este injectiv!.

S!presupunem acum c!f $i g sunt surjective $i fie c(C; cum g

este surjectiv!, c=g(b) cu b(B $i cum $i f este surjectiv!b=f(a) cu a(A

astfel c!c=g(b)=g(f(a))=(g5f)(a), adic!g5f este surjectiv!.

Dac! f $i g sunt bijective atunci faptul c! g5f este bijectiv!rezult! imediat din cele expuse mai sus. Pentru a proba n acest caz

egalitatea (g5f)-1= f-15g-1, fie c(C. Avem c!c=g(b) cu b(B $i b=f(a)

cu a(A. Deoarece (g5f)(a)=g(f(a))=g(b)=c deducem c!(g5f)-1(c)=a=

=f-1(b)=f-1(g-1(c))=(f-15g-1)(c), adic!(g5f)-1=f-15g-1.

(ii). S! presupunem c! g5f este injectiv! $i fie a, a3(A a..

f(a)=f(a3). Atunci g(f(a))=g(f(a3))'(g5f)(a)=(g5f)(a3))a=a3, adic! f

este injectiv!.Dac! g5f este surjectiv!, pentru c(C, exist! a(A a..

(g5f)(a)=c 'g(f(a))=c, adic!g este surjecie.

Dac! g5f este bijecie atunci n particular g5f este injecie $isurjecie, deci conform celor de mai sus cu necesitate f este injecie iar

g surjecie. 2

Propoziia 3.7. Fie M (i N dou% mulimi iar f :M:N ofuncie. ntre mulimile P(M) (i P(N) se definesc funciile


32/253

32

f* : P(M):P(N), f* : P(N):P(M) prin f*(A)=f(A), ; A (P(M) (i

f*(B)=f-1(B), ;B(P(N).Urm%toarele afirmaii sunt echivalente:

(i) f este injectiv%(ii) f*este injectiv%

(iii) f*5f*=1P(M)(iv) f*este surjectiv%

(v) f (A.B)=f(A).f(B), ;A, B(P(M)

(vi) f(1MA)%1N f (A), ;A(P(M)

(vii) Dac%g, h:L :M sunt dou%funcii a.. f5g=f5h, atuncig=h

(viii) Exist%o funcie g :N :M a.. g5f=1M.

Demonstra#ie.Vom demonstra echivalena afirmaiilor astfel

(i))(ii))(iii))(iv))(v))(vi))(vii))(i) iar apoi (i)'(viii) .

(i))(ii). Fie A, A3(P(M) a.. f*(A)=f*(A3)'f(A)=f(A3).

Dac! x(A, atunci f(x)(f(A))f(x)(f(A3)) exist! x3(A3 a..

f(x)=f(x3).Cum f este injectiv!, rezult!x=x3(A3,adic!A%A3; analog

A3%A, deci A=A3, adic!f*este injectiv!.

(ii))(iii). Pentru A(P(M) trebuie demonstrat c!

(f*5f*)(A)=A' f-1 (f (A))=A. Incluziunea A%f -1(f (A)) este valabil!

pentru orice funcie f. Pentru cealalt!incluziune, dac!

x(f -1(f(A)))f(x)(f(A))exist!x3(A a.. f(x)=f(x3))f*({x})=f*({x3})

){x}={x3})x = x3(A, adic! f -1(f ( A))%A.

(iii))(iv). Deoarece f*5f*=1P(M) , pentru orice A(P(M),

f*(f*(A))=A, deci notnd B=f*(A)(P(N) avem c!f*(B)=A, adic!f*este

surjectiv!.

(iv))(v). Fie A, B(P(M) $i A3, B3(P(N) a.. A=f 1(A3) $i

B=f1

(B3). Atunci f(A.B)=f(f-1

(A).f-1

(B3))=f(f-1

(

A3.B3)).S!ar!t!m c!f(f-1(A3)).f(f-1(B3))%f(f-1(A3.B3).


33/253

33

Dac!y(f(f -1(A3)).f(f -1 (B3)))y(f(f -1(A3)) $i y(f(f -1(B3)))

exist! x3(f -1(A3)$i x33(f -1(B3)a.. y=f(x3)=f(x33).

Cum x3(f -1(A3) $i x33(f -1(B3))f(x3)(A3$i f(x33)(B3, deci

y(A3.B3. Deoarece y=f(x3))x3(f -1(A3.B3), adic!y(f(f -1(A3.B3)).

Astfel, f(A.B)


34/253

34

(vi) Dac% g, h:N:P sunt dou% funcii a.. g5f=h5f, atuncig=h

(vii) Exist%o funcie g:N:M a.. f5g=1N.

Demonstra#ie.Vom demonstra echivalena afirmaiilor astfel:

(i))(ii))(iii))(iv))(v))(vi))(i) iar apoi (i)'(vii).

(i))(ii). Fie B(P(N) $i y(B ; atunci exist!xy(M a.. f(xy)=y.

Notnd A={xy4y(B}%M avem c!f (A)=B 'f*(A)=B.

(ii))(iii). Avem de demonstrat c! pentru orice B(P(N),

f (f-1(B))=B . Incluziunea f (f-1(B))%B este valabil!pentru orice funcie

f. Fie acum y(B; cum f* este surjectiv!, exist! A%M a..

f*(A)={y}'f(A)={y}, deci exist! x(A a.. y=f(x) $i deoarece y(B)

x(f-1 (B))y=f(x)(f(f 1(B)), de unde $i incluziunea B%f(f 1 (B)).

(iii))(iv). Dac! B1, B2(P(N) $i f

*

(B1)=f

*

(B2), atuncif*(f

*(B1))=f*(f*(B2)) '1P(N) (B1)=1P(N) (B2)'B1=B2, adic! f

* esteinjectiv!.

(iv))(v). Fie A%M ; a ar!ta c! f(1MA)


35/253

35

(vi))(i). Presupunem prin absurd c!exist!y0(N a.. f(x),y0,

pentru orice x(M. Definim g, h : N:{0, 1} astfel : g(y)=0, pentru orice

y(N $i ( )

{ }

=

-

= 0

0

1

0

yypentru

yNypentru

yh

Evident g,h $i totu$i g5f=h5f, ceea ce este absurd, deci f estesurjectiv!.

(i))(vii). Pentru fiecare y(N alegnd cte un singur

xy(f-1 ({y}), obinem astfel o funcie g : N:M, g(y)=xy , pentru orice

y(N , ce verific!n mod evident relaia f5g=1N.

(vii))(i). Pentru y(N, scriind c! f(g(y))=y, rezult! y=f(x), cux=g(y)(M, adic!f este surjectiv!.2

Din propoziiile precedente obinem imediat:

Corolarul 3.9. Cu notaiile de la Propoziia 3.7., urm%toareleafirmaii sunt echivalente:

(i) f este bijectiv%(ii) f(1MA)=1N f(A), ;A(P(M)(iii) f*(i f

*sunt bijective

(iv) Exist%o funcie g:N:M a.. f5g=1N (i g5f=1M.

Propoziia 3.10. Fie M o mulime finit%(i f:M:M o funcie.Urm%toarele afirmaii sunt echivalente:

(i) f este injectiv%(ii) f este surjectiv%(iii) f este bijectiv%.

Demonstra#ie. Vom demonstra urm!toarele implicaii:

(i))(ii))(iii))(i).

(i))(ii). Dac!f este injectiv!, atunci f(M) $i M au acela$i num!r

de elemente $i cum f (M)%M rezult! c! f (M)=M , adic! f este $isurjectiv!.


36/253

36

(ii))(iii). Dac! f este surjectiv!, atunci pentru orice element

y(M va exista un unic element xy(M a.. f(xy)=y (c!ci n caz contrar arrezulta contradicia c!M ar avea mai multe elemente dect M), adic!f

este $i injectiv!.(iii))(i). Evident. 2

Propoziia 3.11. Fie M (i N dou%mulimi avnd m, respectivn elemente. Atunci:

(i) Num%rul funciilor definite pe M cu valori n N este egalcu nm

(ii) Dac%m=n, atunci num%rul funciilor bijective de la M laN este egal cu m!

(iii) Dac%m,n, atunci num%rul funciilor injective de la M

la N este egal cu mnA

(iv) Dac%m-n, atunci num%rul funciilor surjective de la M

la N este egal cu mn ( ) ( ) ( ) 1121 1...21 ---+--+-- nnnm

n

m

n CnCnC .

Demonstra#ie.(i). Facem inducie matematic! dup! m; dac!

m=1, mulimea M va avea un singur element $i este clar c!vom avean=n1 funcii de la M la N. Presupunem afirmaia adev!rat! pentrumulimile M ce au cel mult m-1 elemente.

Dac!M este o mulime cu n elemente, putem scrie M=M3/{x0},

cu x0(M iar M3submulime a lui M cu m-1 elemente.

Pentru orice y(N $i g : M3:N funcie, considernd

f g, y : M:N, f g, y (x)=g(x) dac! x(M3 $i y dac! x=x0 , deducem c!

oric!rei funcii g: M3:N i putem asocia n funcii distincte de la M la N

ale c!ror restricii la M3sunt egale cu g. Aplicnd ipoteza de inducie

pentru funciile de la M3 la N, deducem c!de la M la N se pot defininnm-1=nm funcii.

(ii). Facem inducie matematic!dup!m; dac!m =1, mulimileM $i N vor avea cte un singur element $i vom avea o singur!funcie

bijectiv!de la M la N.

Presupunem afirmaia adev!rat!pentru toate mulimile M3$i N3ambele avnd cel mult m-1 elemente $i fie M $i N mulimi avnd fiecare


37/253

37

cte m elemente. Scriind M=M3/{x0}, cu x0(M iar M3submulime a lui

M cu m-1 elemente, atunci orice funcie bijectiv! f:M:N este perfect

determinat! de valoarea f(x0)(N precum $i de o funcie bijectiv!

g:M3:N3,unde N3=N \ {f (x0)}. Deoarece pe f (x0) l putem alege nm moduri iar pe g n (m-1)! moduri (conform ipotezei de inducie)

deducem c!de la M la N putem defini (m-1)!.m =m! funcii bijective.

(iii). Dac!f:M:N este injectiv!, atunci lund drept codomeniu

pe f(M)%N, deducem c!f determin!o funcie bijectiv! f :M:f(M),

f (x)=f(x), pentru orice x(M, iar f(M) are m elemente. Reciproc, dac!

vom alege n N o parte N3a sa cu m elemente, atunci putem stabili m!funcii bijective de la M la N3 (conform cu (ii)). Cum num!rul

submulimilor N3ale lui N care au m elemente este egal cu mnC , rezult!

c!putem construi m! . mnmn AC = funcii injective de la M la N.

(iv). S!consider!m M={x1, x2, ...,xm}, N={y1, y2, ...,yn} iar Mimulimea funciilor de la M la N a.. yi nu este imaginea nici unuielement din Mi, i=1,2,...,n.

Astfel, dac!not!m prin nmF mulimea funciilor de la M la N,

mulimea funciilor surjective nmS de la M la N va fi complementara

mulimii M1/ M2/.. .../ Mn dinn

mF , deci conform Propoziiei 1.7.avem egalit!ile (1):

( ) I I II I

UU

n

n

nkjikji

nji

ji

n

i

i

mn

i

i

mn

i

i

n

m

n

m

MMMMMM

MMMnMnMFS

....1.... 211

1111

-++-

-+-=-=-=


38/253

38

Deoarece sumele ce apar n (1) au, respectiv, 1nC ,2nC , ...,

nnC

temeni egali, innd cont de acest lucru $i de (2), relaia (1) devine:

n

mS =m

n ( ) ( ) ( )1121

1...21 --

-+--+--n

n

nm

n

m

n CnCnC . 2

Pentru o mulime nevid!M $i A(P(M) definim 0A: M:{0,1},

0A(x)=

Axdaca

Axdaca

1

0

pentru orice x(M. Funcia 0Apoart!numele defunc#ia caracteristicamulimii A.

Propoziia 3.12. Dac%A, B(P(M), atunci:

(i) A=B'.A=.B

(ii) .-=0, .M=1

(iii) .A=B=.A.B , .A2=.A

(iv) .A>B=.A+.B - .A.B

(v) .A \ B=.A - .A .B , ACMj =1-.A

(vi) .A /B=.A+.B - 2.A.B.

Demonstra#ie.

(i).,,).Evident!.

,,9. Presupunem c!0A=0B $i fie x(A; atunci 0A (x)=

=0B(x)=1, deci x(B, adic!A%B. Analog B%A, de unde A=B.

(ii). Evident.

(iii). Pentru x(M putem avea urm!toarele situaii: (x*A, x*B)

sau (x(A, x*B) sau (x*A, x(B) sau (x(A, x(B). n fiecare situaie

n parte se verific!imediat relaia 0A=B (x)=0A (x)0B(x).

Cum A=A=A )0A =0A0A=0A2.

(iv), (v). Asem!n!tor cu (iii).

(vi). Avem0A 1B =0( A \ B )>( B \ A )=0A \ B + 0B \ A-0A \ B 0B \ A =


39/253

39

=0A- 0A0B+0B - 0B0A 0(A \ B ) =( B \ A )=0A +0B -20A0B

deoarece (A \ B )=(B \ A )=-. 2

Fie M o mulime oarecare iar ,(Echiv (M). Funciap,,M : M:M / , definit! prin p,,M (x)=[x], pentru orice x(M estesurjectiv!$i poart!numele desurjec#ia canonic.

Propoziia 3.13. Fie M (i N dou% mulimi pe care s-au

definit relaiile de echivalen%*, respectiv *? (i f : M:N o funcieavnd proprietatea:

(x, y)(*)( f(x), f(y))(*?, ;x, y(M.Atunci exist%o singur%funcie f : M/*:N/*a. . diagrama:

fM N

p M,* pN,*?

f

M/* N/*

este comutativ% (adic% pN, *?5f= f 5pM, * , unde pM, * , pN, *, suntsurjeciile canonice).

Demonstra#ie. Pentru x(M, vom nota prin [x], clasa deechivalen!a lui x modulo relaia ,.

Pentru x(M, definim: f ([x],)=[f(x)],.

Dac!x, y(M a.. [x],=[y],'(x, y)(,)[f (x), f (y)](,?(dinenun) )[f (x)],?=[f (y)],?, adic! f este corect definit!.

Dac!x(M, atunci ( f 5pM, ,)(x)= f (pM, ,(x)) =

= f ([x],)=[f[x]],?=pN, ,?(f (x))=(pN, ,?5f)(x), adic!pN, ,?5f= f 5pM, ,.

Pentru a demonstra unicitatea lui f , s! presupunem c! ar mai

exista o funcie f ?: M / ,:N / ,a..pN, ,?5f= f ?5pM, ,, $i fie x(M.

Atunci f ?([x],)= f ?(pM, ,(x))=( f ?5pM, ,)(x)=(pN, ,? 5f)(x) ==pN, ,?(f(x)) =[f (x)]@?= f ?([x],), de unde deducem c! ff= ?. 2


40/253

40

Propoziia 3.14. Fie M (i N dou% mulimi iar f :M:N ofuncie ; not%m prin *f relaia binar%de pe M definit%astfel:

( x, y )(*f 'f(x)=f(y) (x, y(M).Atunci:(i) *feste relaie de echivalen%pe M(ii) Exist%o unic%funcie bijectiv% f : M / *f:Im ( f ) a..

i5 f 5FM

p r, =f, i:Im ( f ) :N fiind incluziunea.

Demonstra#ie. (i). Evident! (relaia de egalitate fiind o

echivalen! pe M). (ii). P!strnd notaia claselor de echivalen! de laPropoziia 3.13., pentru x(M definim )]([

fxf r =f(x). Funcia f este

corect definit! c!ci dac! x, y(M $i [ ] [ ]ff

yx rr = ' (x, y)(, f '

f(x)=f(y) (de aici rezult!imediat $i injectivitatea lui f ) . Cum f este

n mod evident $i surjectiv!, deducem c! f este bijectiv!. Pentru a

proba unicitatea lui f , fie f1: M /,f:Im (f ) o alt!funcie bijectiv!a..

i5f15 FMp r, =f $i x(M. Atunci, (i5f15 FMp r, )(x)=f(x) '

' )]([1 fxf r =f(x)' )]([1 fxf r =f(x)= )]([ fxf r , adic! f1= f . 2

Propoziia 3.15. Fie M o mulime finit% cu m elemente.Atunci num%rul Nm, kal relaiilor de echivalen%ce pot fi definite pe

M a.. mulimea ct s% aib% k elemente ( kAm ) este dat de

formula:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121, 1...21!1 ---+--+--= kkkmkmkmkm CkCkCkkN .

Deci num%rul relaiilor de echivalen% ce pot fi definite pe

mulimea M este dat de formula N=Nm, 1+Nm, 2+...+Nm, m.

Demonstra#ie. Dac! , este o relaie de echivalen!,

,(Echiv (M), atunci avem surjecia canonic!p M, ,: M:M / ,.


41/253

41

Dac!n general, f : M:N este o funcie surjectiv!, atunci cumam stabilit n cazul Propoziiei 3.14., aceasta d! na$tere la urm!toarea

relaie de echivalen!de pe M : (x, y)(,f'f(x)=f(y). Mai mult, dac!

g : N:N? este o funcie bijectiv!atunci relaiile ,f$i ,g5f coincid c!ci(x,y)(,g5f'(g5f)(x)=(g5f)(y)'g(f(x))=g(f(y))'f(x)=f(y)'

'(x, y)(,f.Deci, dac! N are k elemente, atunci k! funcii surjective de la

M la N vor determina aceia$i relaie de echivalen! pe M. Lund n

particular N=M/,$i innd cont de Propoziia 3.11. deducem c!

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121, 1...21!1 ---+--+--= k

k

km

k

m

k

m

kmCkCkCkkN . 2

Propoziia 3.16. Fie M o mulime nevid%. Atunci funciacare asociaz%unei relaii de echivalen%definite pe M partiia lui Mdat%de relaia de echivalen%este bijectiv%.

Demonstra#ie.Fie Part(M) mulimea partiiilor lui M.

Vom nota prin f : Echiv (M):Part (M) funcia ce asociaz!fiec!rei relaii de echivalen!,de pe M, partiia lui M dat!de clasele de

echivalen!modulo ,: f(,)={[x]@|x(M } .

Definim g : Part (M):Echiv(M) astfel : dac!P=(Mi)i(I esteo partiie a lui M, definim relaia g(P) pe M astfel :

(x, y )(g(P)'exist!i(I a.. x, y(Mi.Reflexivitatea $i simetria lui g(P) sunt imediate. Fie acum (x, y),

(y, z)(g(P). Exist!deci i1, i2(I a. . x, y( 1iM $i y, z( 2iM ; dac!i1,i2ar rezulta c! I

21 iiMM ,- (c!ci ar conine pe y), ceea ce este absurd .

Deci i1=i2=i $i astfel x, z(Mi , adic! (x, z) g(P) de undeconcluzia c! g (P) este $i tranzitiv!, deci g(P)(Echiv(M), funcia gfiind astfel corect definit!.

S! ar!t!m c! dac! x(Mi , atunci clasa de echivalen! x

modulo g (P) este egal! cu Mi. ntr-adev!r, y(Mi ' (x, y)(g(P) 'y(x 'Mi=x .


42/253

42

Deducem astfel c! g este de fapt inversa lui f, adic! f este

bijectiv!. 2

Suntem acum n m!sur! s! facem anumite preciz!ri legate demul#imea numerelor naturale.

Definiia 3.17. Numim triplet Peano un triplet ( N, 0, s )

unde N este o mulime nevid%, 0(N iar s:N+N este o funcie astfelnct sunt verificate axiomele :

P1: 0*s( N )P2: s este o funcie injectiv%

P3 : dac% P%N este o submulime astfel nct 0(P (i(n(P)s(n)(P ), atunci P=N .

n cele ce urmeaz!, accept!m ca axiom! existena unui tripletPeano (cititorului dornic de aprofundarea acestei chestiuni irecomand!m lucrarea [16] ) .

Lema 3.18. Dac% ( N, 0, s ) este un triplet Peano, atunci

N={0}/s(N).

Demonstra#ie Dac!not!m P={0}/s(N), atunci P%N $i cum P

verific!P3, deducem c!P=N .2

Teorema 3.19. Fie ( N, 0, s ) un triplet Peano iar ( NB, 0B, s B)

un alt triplet format dintr-o mulime nevid%NB, un element 0B(NB(i o funcie sB:NB+NB. Atunci :

(i) Exist%o unic% funcie f:N+NBastfel nct f(0) = 0B, iardiagrama


43/253

43

N f NB

s sB

N f

NB

este comutativ%(adic% f 5s = sB5f )

(ii) Dac% ( NB, 0B, sB) este un triplet Peano, atunci f estebijecie.

Demonstra#ie (i). Pentru a proba existena lui f, vom considera

toate relaiile R%NNBa.. :

r1: (0, 0B)(R

r2 : Dac! (n, nB)(R, atunci (s(n), sB(nB))(R iar prin R0 vomnota intersecia acestor relaii .

Vom demonstra c!R0 este o relaie funcional!$i astfel f va fi

funcia ce va avea drept grafic pe R0(astfel, din (0, 0B)(R0vom deduce

c! f (0)=0B iar dac! n(N $i f (n)=nB(NB, (n , nB)(R0, deci (s(n),

sB(nB))(R0, adic!, f(s(n))=sB(nB)=sB(f (n)).Pentru a demonstra c! R0 este o relaie funcional!, vom

demonstra c!pentru orice n(N, exist!nB(NBa. . (n, nB)(R 0iar dac!

pentru n(N $i nB, nBB(NB avem (n, nB)(R0 $i (n, nBB)(R0 , atuncinB=nBB.

Pentru prima parte, fie

P={n(N | exist!nB(NBa. . (n, nB)(R0 }%N.

Cum (0, 0B)(R0 deducem c! 0(P. Fie acum n(P $i nB(NB a..

(n, nB)(R0. Din definiia lui R0 deducem c!(s(n), sB(nB))(R0; obinem

c!s(n)(P $i cum (N, 0, s) este triplet Peano, deducem c!P=N.

Pentru a doua parte, fie


44/253

44

Q={n(N : dac!nB, nBB(N B$i (n, nB), (n, nBB)(R0 )nB=nBB}%N

$i s!demonstr!m la nceput c!0(Q.

n acest sens, vom demonstra c!dac!(0, nB)(R0atunci nB=0B.Dac! prin absurd, nB/0B, atunci vom considera relaia

R1=R0 C{(0, nB)}%NNB. Din nB/0B deducem c! (0, 0B)(R1 iar dac!

pentru m(NBavem (n, m)(R1 , atunci (n, m)(R0$i (n , m) /(0, nB).

Astfel (s(n), sB(m))(R0 $i cum (s(n), sB(m))/(0, nB) (c!ci s(n) / 0

conform cu P1), deducem c!(s(n), sB(m))(R1 . Cum R1verific!r1$i r2ar

trebui ca R0%R

1 absurd (c!ci R

1este inclus!strict n R

0).

Pentru a proba c!0(Q, fie nB, nBB(NBa. . (0, nB), (0 , nBB)(R0.

Atunci, innd cont de cele stabilite mai sus, deducem c! nB=nBB=0B,

deci 0(Q.

Fie acum n(Q $i n B(N Ba. . (n, nB)(R0 ; vom demonstra c!

dac! (s(n), nBB)(R0, atunci nBB=sB(nB). S!presupunem prin absurd c!

nBB/ sB(nB) $i s! consider!m relaia R2 =R0 C{(s (n), nBB)} . Vomdemonstra c!R2verific!r1$i r2.

ntradev!r, (0, 0B)(R2 ( c!ci 0 / s(n) ) iar dac! (p, pB)(R2 ,

atunci (p, pB)(R0$i (p, pB)/( s(n), nBB).

Deducem c!(s(p), sB(pB))(R0$i dac!presupunem (s(p), sB(pB))=

=(s(n), nBB), atunci s(p) =s(n), deci p=n. De asemenea, sB(pB)=nBB.

Atunci (n, nB)(R0 $i (n, pB)(R0 iar cum n(Q ) nB=pB, decinBB=sB(pB)=sB(nB), ceea ce contrazice faptul c! nBB/s(nB). Prin urmare,

(s(p), sB(pB))/(s(n), nBB),ceea ce ne arat!c!(s(p), sB(pB))(R2 , adic!R2

satisface r1$i r2 . Din nou ar trebui ca R0+R2 absurd !.

Deci (s (n), nBB)(R0 ) nBB=sB(nB) astfel c! dac! r, s (N B $i

(s(n), r), (s(n), s )(R0, atunci r = s = sB(n), adic!s(n)(Q, deci Q=N.

Pentru a proba unicitatea lui f, s! presupunem c! mai exist!fB:N.NBa.. fB(0)=0B$i sB(fB(n))=fB(s(n)) pentru orice n(N.


45/253

45

Considernd P={n(N | f(n)=fB(n)}%N, atunci 0(P iar dac!

n(P (adic! f(n)=fB(n)), atunci sB(f(n))=sB(fB(n)))f(s(n))=

=fB(s(n)))s(n)(P $i atunci P=N, adic!f=fB.

(ii). S!ar!t!m la nceput c!f este injectiv!. Pentru aceasta vom

considera P={n(N | dac! m(N $i f(m)=f(n))m=n}%N $i s!

demonstr!m la nceput c!0(P. Pentru aceasta fie m(N a. . f(0)=f(m)$i s! demonstr!m c! m=0. Dac! prin absurd m/0, atunci m=s(n) cu

n(N iar egalitatea f(m)=f(0) devine f(s(n))=f(0)=0B, de unde

sB(f(n))=0B,ceea ce este absurd deoarece prin ipotez! (NB, 0B, sB)esteun triplet Peano.

Fie acum n(P; pentru a demonstra c! s(n)(P, fie m(N a..f(m)=f(s(n)).

Atunci m/0 (c!ci n caz contrar ar rezulta c!

0B=f(0)=f(s(n))=sB(f(n)), absurd !), deci conform Lemei 3.18., m=s(p)

cu p(N iar egalitatea f(m)=f(s(n)) devine

f(s(p))=f(s(n))'sB(f(p))=sB(f(n)), adic! f(p)=f(n) $i cum n(P, atunci

n=p $i astfel m=s(p)=s(n).Pentru a demonstra surjectivitatea lui f s!consider!m

PB={nB(NB| exist!n(N a. . nB=f (n)}%NB.

Cum f(0)=0Bdeducem c!0B(PB. Fie acum nB(PB; atunci exist!

n(N a.. nB=f (n). Deoarece sB(nB)=sB(f(n))=f(s(n)), deducem c!

sB(nB)(PB$i cum tripletul (NB, 0B, sB)este un triplet Peano, deducem c!

PB=NB, adic!f este $i surjectiv!, deci bijectiv!. 2Observaia 3.20. Conform Teoremei 3.19. (cunoscut! $i sub

numele de teorema de recuren#) un triplet Peano este unic pn! la obijecie.

n cele ce urmeaz!vom alege un triplet Peano oarecare (6, 0, s)

pe care l vom fixa ; elementele lui 6le vom numi numere naturale.Elementul 0 va purta numele dezero.

Vom nota 1=s(0), 2=s(1), 3=s(2), e.t.c., astfel c! 6={0, 1, 2, }.Funcia s poart! numele de func#ia succesor . Axiomele P1 P3 sunt


46/253

46

cunoscute sub numele de axiomele lui Peano(axioma P3poart!numelede axioma induc#iei matematice).

Pe parcursul acestei lucr!ri vom construi pornind de la o

mulime 6 a numerelor naturale mulimile numerelor ntregi ,ra#ionale ", reale #$i complexe$, rezultnd astfel rolul fundamental

pe care l joac!n matematic!mulimea numerelor naturale.

4.Nucleul (i conucleul unei perechi de funcii

Definiia 4.1. Fie f, g : A:B o pereche de funcii. O pereche(K, i) format%dintr-o mulime K (i o funcie i : K:A se nume(tenucleul perechii (f, g) dac% sunt verificate urm%toarele dou%condiii:

(i) f5i=g5i

(ii) Pentru oricare alt dublet (K3, i3) cu K3 mulime (i

i3:K3:A a.. f5i3= g5i3 exist%o unic%funcie u : K3:K a. . i5u=i3.

Teorema 4.2. Pentru orice pereche de funcii f, g : A:Bexist%un nucleu al perechii (f, g) unic pn%la o bijecie (unicitatea

nseamn%c%dac%(K, i) (i (K3, i3)sunt dou%nuclee pentru perchea

(f, g) atunci exist%o bijecie u : K:K3a.. i35u=i ).

Demonstra#ie. S! prob!m la nceput existena nucleului $i

pentru aceasta fie K={x(A4f(x)=g(x)} iar i : K:A incluziunea (Kput`nd fi chiar -).

n mod evident f5i=g5i. Fie acum (K3, i3) cu i3 : K3:A a. .

f5i3=g5i3. Pentru a(K3, cum f (i3(a))=g (i3(a)) deducem c! i3(a)(K.

Definim atunci u:K3:K prin u(a)=i3(a), pentru orice a(K3$i este clar

c!i5u=i3.

Dac! u3:K3:K este o alt! funcie a.. i5u3=i3, atunci pentrua(K3avem i(u3(a))=u(a), de unde u3(a)=i3(a)=u(a), adic!u=u3.


47/253

47

S!prob!m acum unicitatea nucleului iar pentru aceasta fie (K, i)

$i (K3, i3)dou!nuclee pentru perchea (f, g).

Cum (K3, i3)este nucleul perechii (f, g) deducem existena unei

funcii u:K:K3 a.. i35u=i.Cum $i (K, i ) este nucleul perechii (f, g) deducem existena

unei funcii u3:K3:K a.. i5u3=i3.

Deducem imediat c! i35(u5u3)=i3 $i i5(u35u)=i. Cum $ii35 K1 =i3 $i i51K=i, innd cont de unicitatea din Definiia 4.1.,

deducem c!u5u3= K1 $i u35u=1K, adic!u este bijecie $i i35u=i . 2

Observaia 4.3. Vom nota ( K, i ) = Ker (f, g) (iar dac%nueste pericol de confuzie doar K=Ker (f, g)).

Definiia 4.4. Fiind dat% o pereche de funcii f, g :A:Bnumim conucleu al perchii (f, g) pereche (P, p) format% dintr-o

mulime P (i o funcie p:B:P ce verific% urm%toarele dou%

condiii :(i) p5f=p5g

(ii) Pentru oricare alt dublet (P 3, p3)cu P 3mulime (i

p3: B:P 3 a. . p35f= p35g , exist%o unic% funcie v :P:P 3a..

v5p=p3.

Teorema 4.5. Pentru orice pereche de funcii f, g : A:B

exist% un conucleu al perechii ( f, g ) unic pn% la o bijecie(unicitateanseamn%c%dac%(P, p) (i (P 3, p3) sunt dou%conuclee

pentru perchea (f, g), atunci exist%o bijecie v:P:P 3a.. v5p=p3).Demonstra#ie.Vom proba doar existena conucleului perechii

(f, g) deoarece unicitatea sa se probeaz!analog cu unicitatea nucleului.

Pentru aceasta fie ,={(f(x), g(x)) | x(A} (care este o relaie

binar! pe B) iar relaia de echivalen! de pe B generat! de , (ac!rei construcie este descris!n Teorema 2.11.). S!ar!t!m c!perechea( B / , p, B ) este un conucleu al perechii (f, g). Deoarece pentru


48/253

48

orice x(A avem (f(x), g(x))( ,% deducem c! (f(x), g(x))(

adic!, p, B (f (x))=p, B(g(x)), deci p, B5f=p, B5g.

Fie acum (B3, p3) cu B3 mulime $i p3:B:B3 a.. p35f=p35g.

Atunci pentru orice x(A, p3(f(x))=p3(g(x)), adic!(f(x), g(x))(,p(vezi

Propoziia 3.14.), deci ,%,p. Cum ,peste relaie de echivalen!pe Biar este cea mai mic!relaie de echivalen!de pe B ce conine pe ,

deducem c!%,p.

Conform Propoziiei 3.13. exist!o funcie 2: B/:B/,Pa..25p, B= Bpp ,r .Fie 3:B/,P:Im(p) bijecia a c!rei existen!ne este

asigurat! de Propoziia 3.14.. Avem c! p?=i?535 Bpp ,r , unde

i?:Im (p?):B?este incluziunea.

Dac!not!m v=i?5352, atunciv5

Bp ,r =(i5352)5 Bp ,r =(i353)5(25 Bp ,r )=(i353)5 Bpp ,r =

=i?5(35 Bpp ,r )=p?.

Dac! mai avem v?:B/:B? a.. v?5B

p ,r =p?, atunci

v?5B

p ,r = v5 Bp ,r $i cum Bp ,r este surjecie deducem c! v?=v

(conform Propoziiei 3.8.). 2

Observaia 4.6. Vom nota (B,B

p ,r )=Coker (f, g) sau

(B=Coker (f, g) dac%nu este pericol de confuzie).

5. Mulimi ordonate. Semilatici. Latici.

Definiia 5.1. Printr-o mul#ime ordonat nelegem undublet (A, ) format dintr-o mulime nevid% A (i o relaie binar%pe A notat%tradiional prin "" care este reflexiv%, antisimetric%(i tranzitiv%. Vom spune c% "" este o ordine pe A.

Pentru x, y A vom scrie x < y dac% x y , x y.Dac% relaia "" este doar reflexiv% (i tranzitiv%, vom spunedespre ea c% este o ordine par#ial sau c% (A, ) este o mulimepar#ial ordonat.


49/253

49

Dac%pentru x, yA definim x y dac%(i numai dac%y x obinem o nou%relaie de ordine pe A. Dubletul (A, ) lvom nota prin A (i spunem c%mulimea ordonat% A este dualamulimii A.

Fie ( ),A o mulime parial ordonat! iar r o relaie deechivalen! pe A. Vom spune despre r c! este compatibil! cu

preordinea de pe A dac!pentru oricare elemente x , y , z, t din Aavem implicaia ( ) ( ) rr tzyx ,,, $i .tyz

Dac! r este o relaie de echivalen! pe A compatibil! cu

preordinea , atunci pe mulimea ct A/r se poate defini o ordineparial!astfel :

rr][][ yx 'exist!

r][xz $i

r][yt a.. tz ; vom

numi aceast!ordine parial!preordinea ct.

n cele ce urmeaz! prin (A,A) vom desemna o mulimeordonat!.

Cnd nu este pericol de confuzie prin mulime ordonat!vom specifica numai mulimea subiacent! A (f!r! a mai pune n

eviden!relaia A, aceasta subnelegndu-se ).

Definiia 5.2. Fie m, M A (i S A, S .Vom spune c%:i) m este minorant pentru S dac%pentru orice sS,

m s (n caz c% exist%, prin inf (S) vom desemna cel mai mareminorant al lui S)

ii) M este majorant pentru S dac% M este minorantpentru S n A, adic%pentru orice sS, s M (n caz c%exist%,prin sup (S) vom desemna cel mai mic majorant al lui S).

Dac! S={s1, s2, ..., sn}%A atunci vom notainf (S)= s1Ds2D...Dsn iar sup (S)= s1Es2E..Esn (evident, n cazul ncare acestea exist!).

Ordinea "" de pe A se zice totaldac!pentru orice a,bA, a b sau b a; o submulime total ordonat!a lui A poart!numele de lan#.

Pentru a, bA vom spune c! b urmeaz pe a (sau c! a

este urmatde b) dac! a < b iar pentru a c b avem a=c sau c=b;vom utiliza n acest caz notaia a b.


50/253

50

Pentru a, b A vom nota:

(a, b)={x(A4a


51/253

51

y iIiA

prin x y dac! $i numai dac! xAi, yAj $i i< j sau

{x, y}Ak iar x y n Ak. Mulimea ordonat! iIiA

definit!mai

sus poart!numele desuma ordinala familiei (Ai) Ai(I.Dac!I={1, 2,..., n}convenim s!not!m

iIiA

= A1A2...An.

Dac!(Pi , )1AiAn este o familie finit!de mulimi ordonate,atunci P=

ni

1Pi devine n mod canonic mulime ordonat!, definind

pentru x=(xi)1AiAn, y=(yi)1AiAn(P, x y exist! 1AsAn a..x1=y1, , xs-1=ys-1$i xs


52/253

52

ix) mrginit dac% este simultan inf (i sup - m%rginit%(adic% 0 a 1 pentru orice a A); n acest caz 0 se zice elementini#ial (sauprim) al lui A iar 1 elementfinal (sau ultim) al lui A

x) condi#ional complet dac% pentru orice submulimenevid%(i m%rginit%S a sa exist% inf (S) (i sup (S).

Observaia 5.4.1.Orice mulime ordonat! A care este inf-complet! este latice

complet!.ntr-adev!r, fie M A, M mulimea majoranilor lui M iar

m=inf (M). Cum pentru xM $i y M avem x y deducem c!

x m, adic! mM, astfel m = sup (M).2. Dac! A este o latice complet!, atunci inf () = 1 iar

sup () = 0.3. Pentru ca o latice L s!fie condiional complet!, este suficient

ca pentru orice submulime nevid!$i m!rginit! S a sa, s!existe doarinf (S) (sau sup (S)).

Definiia 5.5. Un element mA se zice:i) minimaldac% avnd aA a.. a m deducem c% m = aii) maximaldac%avnd aA a.. m a deducem c% m = aDac% A are 0, un element aA se zice atom dac% a 0

(i avnd xA a.. x a, atunci x = 0 sau x = a (deci 0 a).Definiia 5.6. Dac% A este inf-semilatice (respectiv sup-

semilatice) vom spune despre o submulime A3%A c% este inf-sub-semilatice (respectiv sup-sub-semilatice), dac% pentru oricare dou%elemente a, b(A3avem aDb(A3(respectiv aEb(A3).

Dac% A este latice, A3%A se va zice sublatice,dac%pentru

oricare dou%elemente a, b(A3 avem aDb, aEb(A3.Exemple.

1. Fie 6 mulimea numerelor naturale iar "" relaia de

divizibilitate pe 6. Atunci "" este o relaie de ordine pe 6. Fa!deaceast!ordine 6 devine latice n care pentru m, n 6, m n = cel


53/253

53

mai mare divizor comun al lui m $i n iar m n = cel mai mic multiplucomun al lui m $i n.

Evident, pentru relaia de divizibilitate, elementul 16 este

element iniial iar 06 este element final. Aceast! ordonare nu estetotal!deoarece dac!avem dou!numere naturale m, n prime ntre ele(cum ar fi de exemplu 2 $i 3) nu avem m 4n $i nici n m.

2. Dac! K este una din mulimile de numere 6, , " sau #,atunci Kcu ordonarea natural!este o latice, iar ordonarea natural!estetotal!.

3. Fie M o mulime iar P(M) mulimea submulimilor lui M.

Atunci (P (M), ) este o latice complet! cu prim $i ultim element(respectiv $i M).

Fie acum A, A3dou!mulimi ordonate (cnd nu este pericol deconfuzie convenim s!not!m prin "" ambele relaii de ordine de pe A$i A3) $i f:A:A3o funcie.

Definiia 5.7. Vom spune despre f c% este morfism demul#imi ordonate (sau aplicaie izoton) dac% pentru orice a, bAcu a b avem f (a) f (b) (n anumite lucr%ri f se zice monotoncresctoare).

Dac% A, A3sunt inf (sup) - semilatici vom spune despre f c%este morfism de inf (sup) - semilatici dac% pentru oricare dou%

elemente a, b(A, f (a b) = f (a) f (b) (respectiv f (a b) ==f (a) f (b)).

Dac% A, A3 sunt latici, vom spune c% f este morfism delaticidac% f este simultan morfism de inf (i sup-semilatici (adic%pentru oricare dou% elemente a, b A avem f (a b) ==f (a) f (b) (i f (a b) = f (a) f (b)).

n mod evident, morfismele de inf (sup) - semilatici sunt aplica iiizotone iar dac!compunem dou!morfisme de acela$i tip obinem tot unmorfism de acela$i tip.

Dac! A, A3 sunt mulimi ordonate iar f:A:A3 este morfism demul#imi ordonate, atunci f se zice izomorfismde mul#imi ordonatedac!


54/253

54

exist! g:A3:A morfism de mulimi ordonate a.. f5g=1A3 $i g5f=1A.Acest lucru revine la a spune de fapt c! f este o bijecie. n acest caz

vom scrie AFA3.

Analog se define$te noiunea de izomorfism de inf (sup) -semilatici ca $i cea de izomorfism de latici.n continuare vom stabili felul n care mulimile preordonate induc

mulimi ordonate, iar pentru aceasta fie (A, ) o mulime parialordonat!.

Se verific! imediat c! relaia r definit! pe A prin:

( ) yxyx r, $i xy este o echivalen! pe A compatibil! cu

preordinea . Vom considera = A/r mpreun! cu preordinea ct(definit! la nceputul paragrafului) $i s!ar!t!m c!acest!preordine estede fapt o ordine pe (adic!reste $i simetric!).

ntr-adev!r, fie [ ] [ ]rr yx , a.. [ ] [ ]rr yx $i [ ] [ ]rr xy $i s!demonstr!m c! [ ] [ ]rr yx = . Atunci exist! [ ] ,, rxxx [ ]ryyy , a..

yx $i .xy

Avem ( ) ( ) ( ) ( ) r yyyyxxxx ,,,,,,, adic!

yyyyyyxxxxxxxx ,,,,,, $i yy .Din yxxx , $i yy deducem c! yx iar din

xyyy , $i xx deducem c! xy , adic! ( ) ryx, , astfel c![ ] [ ]rr yx = .

Astfel, surjecia canonic! AApA : este funcie izoton!.4innd cont de Propoziia 3.13. se verific! imediat faptul c!

mulimea ordonat! ct ( ),A mpreun! cu surjecia canonic!AApA : verific!urm!toarea proprietate de universalitate:

Pentru orice mul#ime ordonat ( ),B $i func#ie izotonBAf : existo unicaplica#ie izoton BAf : a.. .fpf A=o

Definiia 5.8. Fie A o inf-semilatice (i F %A o submulimenevid%a sa. Vom spune c%F este filtru al lui A dac% F este o inf-

sub-semilatice (i pentru a, b A, dac% a b (i aF atunci bF.Vom nota prin F(A) mulimea filtrelor lui A.


55/253

55

Noiunea dual! celei de filtru este aceea de ideal pentru o sup-semilatice. Mai precis avem:

Definiia 5.9. Fie A o sup-semilatice iar I A o submulimenevid%a sa. Vom spune c% I este un ideal al lui A dac% I este sup-sub-semilatice a lui A (i pentru orice a, bA cu a b, dac%bIatunci (i aI.

Vom nota prin I(A) mulimea idealelor lui A.

Observaia 5.10. Dac! A este latice, atunci noiunile de filtru$i ideal au definiii precise n A (innd cont de definiiile de mai sus,

c!ci A este simultan inf $i sup-semilatice); evident n acest cazA F(A)I(A).

Cum intersecia oric!rei familii de filtre (ideale) este de asemeneafiltru (ideal), putem vorbi de filtrul (idealul) generat de o mul#imenevid.

Dac! A este o inf(sup)-semilatice, pentru SA vom notaprin [S) ( (S]) filtrul(idealul) generat de S (adic! intersecia tuturorfiltrelor (idealelor) lui A ce conin pe S).

Propoziia 5.11. Dac% A este o inf-semilatice (i S A osubmulime nevid%a sa, atunci:

[S)={a(A4exist%s1, s2,.., sn(S a.. s1Ds2D..DsnAa}.

Demonstra#ie.Fie FS={a(A4exist! s1, s2 ,.., sn(S a..

s1Ds2D..DsnAa}. Se probeaz!imediat c! FS F(A) $i S FS, deci[S) FS.

Dac! F3(F(A) a.. S F3 atunci FS%F3 deci FS%.F3=[S),de unde[S)=FS.n

Dual se demonstreaz!:

Propoziia 5.12.Dac% A este o sup-semilatice (i SA este osubmulime nevid%a sa, atunci:

(S]={a(A4exist%s1, s2,.., sn(S a.. a s1s2..sn}.


56/253

56

Astfel, (F(A),%) $i (I(A),%) sunt latici n care pentru F1, F2(F(A)

(respectiv I1, I2(I(A)) avem F1DF2=F1=F2 iar F1EF2=[F1>F2)

(respectiv I1DI2=I1=I2iar I1EI2=(I1>I2] ).

Dac! A este o inf (sup)-semilatice $i aA, vom nota prin [a)( (a]) filtrul (idealul) generat de {a}.

Conform celor de mai sus avem c!: [a)={x(A4aAx} $i

(a]={x(A4xAa} ([a), (a] poart! numele de filtrul (idealul) principalgenerat de a).

Teorema 5.13. Fie (A, ) o mulime ordonat%. Atunci Aeste izomorf% cu o mulime de submulimi ale lui A (ordonat% cuincluziunea).

Demonstra#ie. Pentru fiecare aA consider!mMa={x(A4xAa}%A. Deoarece pentru a, bA, a b avemMa Mb deducem c! asocierea a Ma pentru aA descrie

izomorfismul de mulimi ordonate dorit.n

Definiia 5.14.i) O mulime ordonat%n care orice submulime nevid%a sa

are un element iniial se zice bine ordonat(evident o mulime bineordonat%este inf-complet%(i total ordonat%)

ii) O mulime ordonat% n care orice submulime totalordonat% a sa are un majorant (minorant) se zice inductiv

(coinductiv) ordonat%.Dup!cum vom vedea n 9 (6, ) este un exemplu de mulime

bine ordonat!.n cele ce urmeaz!, accept!m c!pentru orice mulime M este

verificat!axioma alegerii:Exist o func#ie s : P(M) M a.. s(S)S pentru orice

submul#ime nevid S a lui M.n continuare, reamintim un rezultat datorat lui Bourbaki $i cteva

corolare importante ale acestuia (pentru demonstraii recomand!mcititorului lucrarea [23]).


57/253

57

Lema 5.15. (Bourbaki). Dac% (A, ) este o mulime nevid%,inductiv ordonat%(i f : A A este o aplicaie a.. f (a) a pentruorice aA, atunci exist% uA a.. f (u) =u.

Corolar 1 (Principiul lui Hansdorf de maximalitate). Oricemulime ordonat%conine o submulime total ordonat%maximal%.

Corolar 2 (Lema lui Zorn). Orice mulime nevid% inductiv(coinductiv) ordonat%are cel puin un element maximal (minimal).

Corolar 3 (Principiul elementului maximal (minimal)). Fie

(A, ) o mulime inductiv (coinductiv) ordonat%(i aA. Exist%unelement maximal (minimal) ma A a.. a ma (maa).

Corolar 4 (Lema lui Kuratowski). Orice submulime totalordonat%a unei mulimi ordonate este cuprins% ntr-o submulimetotal ordonat%maximal%.

Corolar 5 (Teorema lui Zermelo). Pe orice mulime nevid%

A se poate introduce o ordine fa%de care A este bine ordonat%.

Corolar 6 (Principiul induc#iei transfinite). Fie (A, ) omulime bine ordonat% infinit% (i P o proprietate dat%. Pentru ademonstra c%toate elementele mulimii A au proprietatea P estesuficient s%demonstr%m c%:

(i) Elementul iniial 0 al lui A are proprietatea P(ii) Dac% pentru aA, toate elementele xA a.. x


58/253

58

S!not!m c!exist!latici ce nu sunt modulare.ntr-adev!r, dac!vom considera laticea notat!tradiional prin N5:

1

c

b

a

0

observ!m c! a c, pe cnd a (b c) = a 0= a iar (a b) c=

=1c a, astfel c! c (b a) (c b) a, deci N5 nu este modular!.

Teorema 5.17. (Dedekind). Pentru o latice L urm%toareleafirmaii sunt echivalente:

(i) L este modular%(ii) Pentru orice a, b, cL, dac% c a, atunci a (b c) (a b)c(iii) Pentru orice a, b, cL avem ((ac) b) c = (ac) (bc)(iv) Pentru orice a, b, cL, dac%a c, atunci din a b =c b

(i ab= c b deducem c% a = c(v) L nu are sublatici izomorfe cu N5.

Demonstra#ie. Cum n orice latice, dac! c a, atunci(a b) c a (b c), echivalena (i) (ii) este imediat!.(i) (iii). Rezult!din aceea c! a c c.(iii) (i). Fie a, b, c L a.. a c. Atunci a = a c, deci(a b) c = ((a c) b) c = (a c) (b c) = a (b c).


59/253

59

(i) (iv). Avem a = a (a b) = a (c b) = a (b c) ==(a b) c = (c b) c = c.(iv) (v) Evident (innd cont de observaia de mai nainte).

(v) (i) S!presupunem c! L nu este modular!. Exist!atunci a, b, cn L a.. a c, iar a (b c) (a b) c. S!observ!m c!bc x,adic!

x=x+r cu r(6*). Obinem atunci egalitatea:

( )( ) ( )( )

2

1

2

1 yxyxr

yrxyrx +++=+

+++++

de unde deducem c!

( )( ) ( )( )yxyxyrxyrx +++r+y. Alegnd y=r+y+s cu s(6* obinem c!( ) ( )( )

2

1

2

1 +++=+

- szszr

zz, unde z=x+r+y+1, lucru absurd

deoarece ( ) ( ) ( ) +=+-


82/253

82

Corolar 10.5. 000 ccc = .

Propoziia 10.6. , * (i " sunt mulimi num%rabile.

Demonstra#ie.Se probeaz!imediat c!f::6

( )


83/253

83

unde pentru orice k(6* bk*{0, 9, a k k }, atunci b*Im(f), adic! f nu

este surjectiv!. 2

Definiia 10.8. Vom spune despre o mulime M c% esteinfinit:

(i) n sens Dedekind, dac%exist%M3+M a.. M3GM(ii) n sens Cantor,dac%conine o submulime num%rabil%

(iii) n sens obi$nuit, dac% M HSn pentru orice n(6* (unde

Sn={1, 2, ..., n}) .

Teorema 10.9. Cele trei definiii ale mulimilor infinite dincadrul Definiiei 10.8. sunt echivalente dou!cte dou!.

Demonstra#ie. (i))(ii). Fie M o mulime infinit! n sens

Dedekind ; atunci exist!M3+M $i o bijecie f:M:M3. Cum M3+M,

exist! x0(M a.. x0*M3. Construim prin recuren! $irul de elemente

x1=f (x0), x2=f (x1 ), ..., xn=f (xn-1), ... $i s!ar!t!m c!funcia 0:6:M

0(n)=xnpentru orice n(6este injectiv!. Pentru aceasta vom demonstra

c!dac!n, n3(6, n,n3 , atunci 0 (n),0 (n3). Vom face lucrul acestaprin inducie matematic!dup!n.

Dac!n=0, atunci n3,0, de unde 0(0)=x0$i 0(n3)= ( )1-nxf (

(M3$i cum 0(0)= x0 *M3deducem c! 0(n3),0(0). S!presupunem

acum c!pentru orice n,m3 0(n),0(m3)$i s!alegem acum n3,n+1.

Dac!n3=0, atunci 0(n3)=0(0)= x0 *M3$i xn+1=f (xn ) (M3,deci

0(n+1),0(n3). Dac!n3,0, atunci 0(n3)= ( )1-nxf $i 0(n+1)=f (xn) .Cum n3-1,n, atunci 1-nx , xn $i cum f este injectiv! deducem c!

( )1-nxf ,f (xn), adic!0(n3),0(n+1). Rezult!deci c!0este injectiv!

$i deci 0(6) %M este o submulime num!rabil!.

(ii))(i). Fie M o mulime infinit! n sensul Cantor, adic!

exist!M3%M a.. M3G6(fie f :6:M3o funcie bijectiv!). Se observ!

imediat c! 0: M:M \ {f (0)} definit!prin


84/253

84

( )( ) ( )

=+

=

Nncunfxdacanf

Mxdacaxx

1j

este bine definit!$i s!ar!t!m c!0este chiar bijecie.

Fie deci x, x3(M a.. 0(x) = 0(x3).

Deoarece M=M3/ (M \ M3) $i 0 (x) = 0 (x3), atunci x, x3(

(M3sau x, x3*M3. Dac!x, x3*M3,atunci n mod evident din 0(x) =

=0(x3) deducem c! x=x3. Dac! x, x3( M3, atunci dac! x=f(k),

x3=f(t) deducem c!f (k+1)=f (t+1), de unde k+1=t+1 'k=t )x=x3.S! ar!t!m acum c! 0 este surjectiv!. Pentru aceasta fie

y (M \ {f (0)} . Dac!y*M3atunci y=0 (y), iar dac!y(M3 , atunciy=f (n) cu n(6. Cum y,f (0), atunci n,0) n!1 deci putem scrie

y=f (n-1+1)=0(n-1).

(ii))(iii). Aceast! implicaie este evident! deoarece 6HSn

pentru orice n(6* .

(iii))(ii). Vom utiliza urm!torul fapt: dac! M este o mulime

infinit! n sens obi$nuit, atunci pentru orice n(6* exist! o funcie

injectiv!0:Sn:M.Vom proba lucrul acesta prin inducie matematic!referitor la n.

Pentru n=1 exist! o funcie injectiv! 0:S1:M (deoarece

M,). S!presupunem acum c!pentru n(6* exist!0:Sn:M injectiv!.

Cum am presupus c!M este infinit!n sens obi$nuit, atunci 0(Sn) ,M,

deci exist!x0(M a.. x0 *0(Sn).

Atunci y :Sn+1:M, ( )( )

+=

=10 nxpentrux

Sxpentruxx

njy este n mod

evident funcie injectiv!.

S!trecem acum la a demonstra efectiv implicaia (iii))(ii). Dinrezultatul expus anterior deducem c!:

Mk={0:Sk:M | 0este injecie},

pentru orice k(6*. Cum pentru k,k3 , Sk.Sk =, deducem c!Mk.Mk =. Conform axiomei alegerii aplicat! mulimii


85/253

85

T={ Mk : k(6 }, exist! S%T a.. S.Mk, $i este format! dintr-unsingur element. Atunci M3= ( )U

SjjIm este o submulime num!rabil! a

lui M. 2

CAPITOLUL 2: GRUPURI

1. Operaii algebrice. Monoizi. Morfisme de monoizi.Produse directe finite de monoizi

Definiia 1.1. Fiind dat!o multime nevid!M, numim operatiealgebric(intern!) sau lege de compozi#ie (intern!) pe M orice funciej:MMM.

Pentru u$urina scrierii vom nota pentru x, yM pe j(x, y) (carese mai nume$te $i compusullui x cu y) prin xoy sau pur $i simplu prinxy (convenim s!spunem c!am notat operaia algebric!jmultiplicativ).

n anumite situaii folosim pentru j$i notaia aditiv,,+.

Exemple 1. Dac% T este o mulime nevid% iar M=P(T), ncapitolul precedent am definit pe M operaiile algebrice deintersecie, reuniune, diferen%(i diferena simetric%.

2. Dac% A este o mulime nevid% iar Hom(A)={f:AA},atunci pe Hom(A) avem operaia de compunere a funciilor:j : Hom(A) Hom(A) Hom(A), j(f, g) = fog pentru oricef, g Hom(A).

Pe parcursul acestei lucr%ri vom mai pune n eviden%altemulimi (i operaii algebrice pe acestea (inclusiv mulimile

numerelor ntregi , raionale ", reale #(i complexe $precum (ioperaiile de adunare (i nmulire pe acestea).

Definiia 1.2. Dac!M este mulime nevid!, vom spune despre ooperaie algebric!de pe M (notat!multiplicativ) c!este:

(i) comutativ dac!pentru oricare x, yM, xy=yx(ii) asociativ dac!pentru oricare x, y, zM, (xy)z=x(yz).


86/253

86

Operaiile de intersecie, reuniune (i diferen% simetric%sunt exemple de operaii ce sunt simultan comutative (i asociative,pe cnd compunerea funciilor nu este operaie comutativ% fiind

ns%asociativ%.

Dac% o operaie algebric% de pe M este asociativ%, atuncipentru a scrie compunerea a trei elemente x, y, z din M (sau maimulte) nu mai este necesar s%folosim parantezele, astfel c%n loc s%scriem (xy)z sau x(yz) vom scrie xyz.

Pentru n elemente x1,,xn (n6) din M utiliz%m de multeori notaiile:

x1x2xn= =n

iix1 (cnd operaia algebric% asociativ% este

notat%multiplicativ) sau

x1+x2++xn = =

n

i

ix1

(cnd aceea(i operaie algebric%

asociativ%este notat%aditiv).

Dac% x1=x2==xn=x (i n6* convenim s% not%mx1x2xn=x

n

dac% operaia algebric% este notat% multiplicativ (ix1+x2++xn = nx dac%ea este notat%aditiv.

Definiia 1.3. Fie M o mulime nevid!pe care avem o operaiealgebric!. Vom spune c!un element eM este element neutru pentruoperaia algebric! respectiv! dac! pentru oricexM, xe = ex = x.

Observaia 1.4.1. Dac! o operaie algebric! de pe M ar avea dou! elemente

neutre e, eM, atunci ee=e (dac!gndim pe e element neutru) $i totee=e(dac!gndim pe e element neutru) astfel c!e=e.Deci, elementulneutru al unei operaii algebrice (dac!exist!!) este unic.

2. n cazul adopt!rii notaiei multiplicative pentru o operaiealgebric!, elementul s!u neutru (dac! exist!) va fi notat prin 1, iar n

cazul adopt!rii notaiei aditive acesta se va nota prin 0.


87/253

87

Exemple 1. Dac% T-, atunci pentru operaiile algebrice.,/(i 7de pe M=P(T) elementele neutre sunt T,- (i respectiv

-.

2. Dac% A-, atunci pentru compunerea funciilor de peHom(A), 1A este elementul neutru.

Definiia 1.5. Un dublet (M, ) format dintr-o mulime nevid!M$i o operaie algebric! pe M se zice semigrup dac! operaia algebric!respectiv!este asociativ!. Dac!operaia algebric!are $i element neutru,semigrupul (M, ) se zice monoid. Dac! operaia algebric! estecomutativ!, monoidul se zice comutativ.

De multe ori, n cazul unui semigrup se specific% doarmulimea subiacent%M (far%a se mai specifica operaia algebric%de pe M; dac% este pericol de confuzie atunci (i aceasta trebuieneap%rat menionat%).

Exemple 1.Dac%T(i M=P(T), atunci (M,.), (M, /) (i(M,7) sunt monoizi comutativi.

2.Dac% A, atunci (Hom(A),o) este monoid necomutativ.Reamintim c%n 3 de la Capitolul 1 am introdus mulimea 6

a numerelor naturale. n continuare vom defini dou% operaii

algebrice pe 6: adunarea(notat%,,+) (i nmul#irea(notat%,,) nraport cu care 6devine monoid.

Teorema 1.6. Exist% o unic% operaie algebric% pe 6 pecare o vom nota prin + (i o vom numi adunarea numerelor

naturalea. . pentru orice m, n(6s%avem :A1: 0+m=mA2 : s(n)+m=s(n+m) .

Demonstra#ie. S!prob!m la nceput unicitatea $i pentru aceasta

s! presupunem c! mai exist!o operaie algebric!Jpe 6ce verific!

A1$i A2.Fie P={n(6| n+m=nJm, pentru orice m(6}%6.


88/253

88

Din A1 deducem c! 0(P iar din A2 deducem c! dac! n(P,

atunci s(n)+m=s(n)Jm ' s(n+m)=s(nJm), ceea ce este adev!rat

deoarece s este injectiv!$i am presupus c!n(P. Deci P=6, adic!cele

dou!operaii coincid.Consider!m un element m (6 (pe care l fix!m) $i tripletul

(6, m, s); conform Teoremei 3.19 de la Capitolul 1 exist! o unic!

funcie fm:6:6a. . fm(0)=m $i s(fm(n))= fm(s(n)) pentru orice n(6.

Pentru n(6 definim n+m=fm (n). Atunci 0+m=fm(0)=m iar

s(n)+m= fm (s(n))=s (fm (n))=s( n+m ). 2

Observaia 1.7. Axiomele A1A2 poart! numele de axiomeleadunrii numerelor naturale.

Propoziia 1.8. Pentru orice m, n(6avem01A : m+0=m02A : n+s (m)= s(n+m) .

Demonstra#ie.Fie P={m(6:m+0=m }%6. Dac! n A1facem

pe m=0, deducem c! 0+0=0, adic! 0(P. Dac! m(P, (adic!m+0=m),

atunci s(m)+0=s(m+0)=s(m), adic! s(m)(P, deci P=6. Analog se

probeaz!$i a doua relaie.2

Propoziia 1.9. Dubletul (6, +) este monoid comutativ cuproprietatea de simplificare.

Demonstra#ie. Din cele stabilite anterior, deducem c! 0 esteelement neutru pentru adunarea numerelor naturale.

Pentru a proba comutativitatea adun!rii s!consider!m

P={n(6:n+m=m+n pentru orice m(6}%6.

Evident 0(P. Dac! n(P, adic! n+m=m+n pentru orice m(6,atunci s(n)+m=m+s(n) ' s(n+m)=s(m+n) ' n+m=m+n, ceea ce este


89/253

89

adev!rat (deoarece s este injecie). Deducem c! P=6, adic! adunareanumerelor naturale este comutativ!.

Pentru a demonstra asociativitatea adun!rii

numerelor naturale, s!consider!mP ={n(6:(n+m)+p=n+(m+p) pentru orice m, p(6}%6.

Evident, 0(P. Fie acum n(P. Atunci(s(n)+m)+p=s(n+m)+p=s((n+m)+p) iar s(n)+(m+p)=s(n+(m+p)) $i cum

(n+m)+p=n+(m+p) deducem c!s(n)(P, adic!P=6.Pentru partea final!fie

P={p(6:dac!m+p=n+p )m=n}%6.Evident 0(P $i s!presupunem c!p(P. Atunci m+s(p)=n+s(p)

's(m+p)=s(n+p) ' m+p=n+p 'm=n (c!ci p(P), adic! s(p)(P $i

astfel din nou P=6. 2

Observaia 1.10. Dac!n(6, atunci s(n)=s(n+0)=n+s(0)=n+1.

Propoziia 1.11. Dac%m, n(6(i m+n=0, atunci m=n=0.

Demonstra#ie. Dac! m / 0 sau n / 0, atunci, conform Lemei

3.18 de la Capitolul 1 exist! p, q(6 a. . m = s(p) sau n = s(q). nprimul caz, obinem c!m+n = s(p)+n = s(p+n) /0 absurd ! $i analog

n al doilea caz. Deci m = n = 0 . 2

Propoziia 1.12. Exist% o unic% operaie algebric% pe 6

notat% (i numit%nmul#irea numerelor naturale a.. pentru orice

m, n(6s%avem :I1 : m0=0I2 : ms(n)=mn+m.

Demonstra#ie. Fie m(6fixat ; considernd tripletul (6, 0, fm ),unde fm:6:6 este definit! prin fm(n)=n+m pentru orice n(6, atunci


90/253

90

conform Teoremei 3.19 de la Capitolul 1 exist! o unic! funcie

g m :6:6a.. gm(0)=0 $i fm5gm =gm 5s.Definim mn=gm(n) $i astfel m0=gm(0)=0 iar ms(n)=

=gm(s(n))=fm(gm(n))=fm(mn)=mn+m. Unici

Documents

Lectii de Algebra