lectures רשימות הרצאות תשס"ג

אלכסנדר גרסטן' סיכום הרצאותיו של פרופ

3בקורס קוונטים

2003' סמסטר א

גבאי כרמית ושוסטרמן רומן: ערכו

1

:תוכן עיניינים

מרחב , חבורה: הבאים את המושגיםבין היתרהכולל ' חלק א-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 1פרק

פונקציות מרוכבות , הרמוניות ספריות, נדר'פולינומי לג, ית סדרה פונדמנטל/סדרת קושי, נורמי

3-19מ " ע .פונקציית דלתא הלא שלמה, פונקציית דלתא, ומשפט השארית

טרנספורמציית , טנסור:הכולל את המושגים הבאים' חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2פרק

האופרטור , הדלתא של קרונקר, פורמציה של טנסור תחת סיבובטרנס, הסכם סומציה, סיבוב

20-27מ " ע.טנסור לוי ציוויתא, פעולות בין טנסורים, מכפלה סקלרית, נבלה

28-32מ " ע חזרה על תנע זוויתי: 3פרק

33-35מ " ע והקשר שלהם לתנע הזוויתיסיבובים: 4פרק

36-38מ " ע אויילרם וזוויותסיבובי: 5ק פר

39-40מ " עהרמוניות ספריות: 6פרק

41-47מ " ע.בפרט טנסורים כדוריים וטנסורים,סיבובים: 7 פרק

48-55מ " עטריהסימ: 8 פרק

56-59מ "עבור מצבים לא מנווונים ע, תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: ' חלק א9פרק

60-62מ "עבור מצבים מנווונים ע, תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: 'ב חלק 9פרק

63-67מ " עתורת ההפרעות התלויה בזמן: 10פרק

68-76מ " ע פיזור: 11פרק

2

' חלק א-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 1פרק

חלקשל , רה תמציתית המובאת בנקודותלכל הקוראים שימו לב פתיח זה מהווה סקי: פתח דבר

לשם הבנת פתיח זה על , המושגים המתמטיים והפיזיקליים הדרושים לשם הבנת הפרקים הבאים

לשם רענון ניתן , 2 וקוונטים 1קוונטים , א להתמצא במושגים מן הקורסים הקודמים היינוהקור

-שנכתב על" מתוך הרצאותיו של פרופסור אלכס גרסטן3רשימות לקורס קוונטים "לקרוא את ה

.ידי קנטרוביץ קרן ומארק שלמה

,קריאה נעימה

.ψ עליו וקטור מצב המתאר את כל האינפורמציה וקטור קט מייצג . 1

) לכל גודל פיזיקלי מתאים אופרטור . 2 )A

aaaAהגדלים הפיזיקליים הניתנים למדידה הינם רק הערכים העצמיים . 3 =ˆ

A

של

).יים הם הרמיטע ממשיים ולפיכך נובע שהאופרטורים "הע. (האופרטור

:מעבר ממכניקה קלסית למכניקה קוונטית באמצעות יחסי חילוף. 4

: במכניקה בקלסית משתמשים בסוגרי פואסון xB

pA

pB

xABA PB ∂

∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

=,

( ) ( )

: ידי -במכניקה הקוונטית משתמשים ביחסי חילוף והמעבר מסוגרי פואסון ליחסי חילוף נתון על

. [ ]BAi

pxBpxA PBˆ,ˆ1,,,

h=

] : לפיכך ] [ ] Iipxpxi

px PBˆˆ,ˆˆ,ˆ11, h

h=⇒==

:ת המילטוןמשווא. 5

∂∂

−=

∂∂

=

•

•

xHp

pHx

)1(

( )

tAHA

tA

xH

pA

pH

xA

tAp

pAx

xA

dtdA

PB ∂∂

+=∂∂

+∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

=∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=••

,1

: אם כן קיבלנו שtAHA

idtAd

∂∂

+=ˆ

,1ˆ

h

A

[ ]

: אינו תלוי מפורשות בזמן נקבלנשים לב שאם PBHAdtdA ,=

3

היינו נקבל אם ורק אם ) או מערכת פיזיקלית משמרת(גודל פיזיקלי שמור . 6

. להמילטוניין כלומר מתקיים יחס החילוף בין האופרטור ]

0ˆ=

dtAd

] 0ˆ,ˆ =HAA

: כדי שהאנרגיה תשמר התנאי הוא שלהמלטוניין לא תהא תלות מפורשת בזמן, לדוגמה

tH

dtHd

∂∂

=ˆˆ

:ψצגות לפונקצית הגל בפורמליזם של דיראק קיימות שתי ה . 7

; ,p: הצגת המקום •x

i∂∂

−= hIxx ˆˆ =

Ip ˆ p , : הצגת התנע • = p

ix∂∂

= hˆ

כלומר , ]זמנית על שני אופרטורים רק במידה והם חילופיים -ניתן לבצע מדידות בו .8

אפשר למצוא פונקציה עצמית משותפת לשניהם

B

Aˆ

ˆ

=

=

babba

baaba

,,

,, .

] 0ˆ,ˆ =BA

האופרטורים צריכים להיות חילופיים , מנת שנוכל לאפיין את המערכת-על: חשיבות הדבר(

אם לדוגמה נרצה לאפיין אנרגיה נרצה שהיא תהיה גודל נשמר , ובלתי תלויים

,....,....ˆ EEEH =

h

.(

:עתה נגדיר מושגים מתמטיים שיסייעו בידינו בהמשך .9

חבורה • בקצרה נתאר את תורת החבורות

אילו אלמנטיי סימטריה קיימים במשולש שווה

ניתן להבחין בציר ? 1.1צלעות המופיע באיור

, הניצב למישור המשולש ועובר במרכזוc3סיבוב

שלושה , σמישור שיקוף הניצב לציר הסיבוב

מישורי שיקוף הכוללים את ציר הסיבוב

σσσ . ושלושה צירי סיבוב, ′′′ ,, vv222 c,c,c ′′′

: פעולות הסימטריה הקיימות במשולש הן

e.

2,cvσ

2,cvσ ′ ′ 2,cvσ ′′ ′′

3,chσ

1.1איור

222233 c,c,c,,,,,c,c, ′′′′′ vvvh σσσσ

סימטריה של גוף אוסף כל פעולות ה. D3hסימטריה " קבוצת"פעולות סימטריה אלו שייכים ל

".חבורה"מימדי היא -תלת

4

העצמים המרכיבים את הקבוצה יקראו איברים . אוסף מוגדר היטב של עצמים–קבוצה : הגדרה

. של הקבוצה

חבורהנקראת ) לא בהכרח כפל רגיל בין מספרים( שעליה מוגדרת פעולת כפל Gקבוצה : הגדרה

:אם מתקיימים בה התנאים הבאים

אזי . מכפלת שני איברים בחבורה אף הוא בחבורה): קשירות(כפל סגירות תחת ) 1

.

Ggn ∈

Gggg kji ∈=⋅

Ggggאם : אסוציאטיביות) 2 kji ()( .) אזי ,,∋ kjikji gggggg ⋅=⋅

kk gggg : כך שקיים איבר יחידה ) 3 0gkg ⋅ 00Ggk ∈

011 gggg kkk =⋅= −−Ggk ∈

G∈ikki gggg

=⋅= . לכל

−1 . לכל : כך שקיים איבר הופכי ) 4kggk ⋅

, אם מתקיים בה תנאי נוסף) Abelian(או אבלית ) commutative( נקראת קומוטטיבית G חבורה

gg מתקיים לכל : קרי ki , . ⋅=⋅

) או מרוכבים שדה מספרים ממשייםφ) φ מעל שדה Lמרחב לינארי •

פעולה אחת בין . פעולות2 הנו קבוצה לא ריקה של עצמים עם מעל שדה מרחב לינארי

לבין איברי ופעולה שניה בין איברי השדה , " + "-ותסומן ב" חיבור" שתיקרא איברי

: כך שמתקיימות התכונות הבאות, "• "-ותסומן ב " כפל בסקלר"שנקראת

Lφ

LLφ

zyx ,,Lzyx βα- ו וקטורים φβα סקלרים , ∈,,1 ∈,,

:תכונות החיבור

Lyxל לכ : סגירות.1 ∈,Lyx ∈+

Lyx לכל :קומוטטיביות.2 ∈,xyyx +=+

Lzyx לכל :אסוציאטיביות.3 ∈,, )()( zyxzyx ++=++

Lx0 : בעל התכונה איבר שיסומן - קיים ב :קיום איבר ניטרלי. 4

Lx xx ∋ לכל x =+ 0

−Lx : המקייםשיסומן , איבר - קיים ב לכל :קיום איברים נגדיים. 5

0)(

Lx∈

=−+ xx

:תכונות הכפל בסקלר

Lx∈•α ולכל ∋Lx לכל : סגירות.6 φα ∈

:- ב ורדיסטריביוטיביות הכפל בסקלר מעל החיב .7 L

Ly∈,xφα ולכל לכל ∈ yxyx •+•=+• ααα )(

5

:φ-ב דיסטריביוטיביות הכפל בסקלר מעל החיבור . 8

Lx∈φβα ולכל לכל ∈, xxx •+•=•+ βαβα )(

: אסוציאטיביות . 9

Lx∈φβα ולכל לכל ∈, xx ••=•• )()( βαβα

xx 1 לכל :זהות. 10 =• Lx∈

.φ הנו איבר היחידה בשדה 1 כאשר

: הגדרה-מרחב -תת •

של מרחב -תת נקראת W, אזי. תת קבוצה של Wותהי , מרחב לינארי מעל שדה יהי

עצמה מהווה מרחב לינארי מעל השדה Wאם ,

L

Lφ עם אותן שתי פעולות שהוגדרו על .

Lφ

L :משפט

אם ורק אם מתקיימים כל מרחב של - תתWאזי . תת קבוצה של מרחב לינארי Wתהי

:התנאים הבאים

LL

W

1 .Wלא ריקה .

2 .Wלכל : סגורה תחת חיבור ww1 2Www∋ . מתקיים, ∈+ 21

Ww∈Waw∈ 3 .Wלכל סקלר : סגורה תחת כפל בסקלרa בשדה F מתקיים ולכל .

: הגדרה-צירוף לינארי •

Lvvvויהיו , Lφ מרחב לינארי מעל שדה יהי n ∈,...,, ר אזי הוקטו. - ו21

v של צירוף לינארי נקרא v. nnvαn

ii == ∑

=1ivα

φααα ∈n,...,, 21

vv αα +++ ...2211nvv ,...,, 21

הגדרה–פרוש •

של כל הצירופים הקבוצה . L תת קבוצה לא ריקה של מרחב וקטורי Mתהי

. מסמנים . M נקראת הפרוש של M –הלינאריים של הוקטורים מ

.מגדירים

)(MS

MspanMS =)(0)( =φS

הגדרות–תלות לינארית ובלתי תלות לינארית •

אם קיימים סקלרים ל"ת הם וקטורים, Lφ מרחב לינארי מעל שדה יהי . 1

φααα ∈n,...,, =v0 . - אפסים כך ש לא כולם21

Lvvv n ∈,...,, 21

nn

n

iii vvvv ...2211

1

+++=∑=

αααα

L .ל" לא תM אם אף תת קבוצה סופית של ל"בת היא של מרחב לינארי Mתת קבוצה . 2

6

הגדרה–בסיס •

LLMS . -ל ו " בתM אם בסיס היא במרחב לינארי Mקבוצת וקטורים =)(

ב מכפלה פנימיתמרח •

אם לכל זוג סדור של )פ"ממ(מרחב מכפלה פנימית L נקרא . φ מרחב לינארי מעל שדה Lיהי

- וxהנקרא מכפלה פנימית של הוקטורים ) סקלר ( - מתאים מספר מוקטורים

: כך שמתקיימות התכונות הבאותy - ומסומן ב

LLyx ×∈),(φ

>< yx,

> ∀∋>+>=<<+> :לינאריות .1 zyzxzyxlzyx ,,,,,*,,, >>=<<∈∀ xyyxLyx

><>=<><>=<∈∈∀ yxyxyxyxLyx ,,,,,, *ααααφα

: צמוד קומפלקסי .2

3.

4. ( ) 0,0,0 ≥><∧>=<⇔=∈∀ xxxxxLx x

:הגדרות נוספות •

=><המספר האי שלילי .1 xxx .xל הוקטור שנורמה או אורך נקרא ,

x=1 . וקטור יחידה הוא המקיים xוקטור .2

י " של וקטור הוא הפיכתו לוקטור יחידה ענרמול xxx =ˆ

Lyx ∈,L

.

,0 .> אם )ניצבים(ורתוגונליים אפ הם " ממ כאשר וקטורים .3 >=yx

L מתקיים כך ש אם לכל אורתוגונלית היא פ " מממSקבוצת וקטורים .4

<.

Syx ∈,yx ≠

0, >=yx

.ל" קבוצה אורתוגונלית של וקטורים שונים מאפס היא בת :משפט

)ם בהם קיימת נורמה המקיימת שלוש דרישותמרחבי(מרחב נורמי •

מספר-Ω , λ מרחב

uρ ; Ω∈u)(נורמה

1 ( )()( uu ρλλρ =

)()()( vuvu 2( ρρρ +≤+

)(0אם )3 =uρ 0 אזי=u

7

סדרה פונדמנטלית\סדרת קושי •

lim)(0 -ידי התכנסות הנורמה כך ש-התכנסות של סדרה נמדדת על =−∞→ uunn ρ

קיים מתm - וεN>n) כך שעבור כל וקיים , עבור סדרת קושי קיים

)(εN> )(εN) 0≥ε

ερ <− )( mn uu

. אם כל סדרת קושי מתכנסת במרחבשלםמרחב נורמי נקרא *

. מרחב נורמי שלם–) banach (מרחב בנך*

)Rigged Hilbert Space. ( מרחב מכפלה פנימית שלם-מרחב הילברט*

בשנות Gelfandי גלפאנד "הוכח ע(בפורמליזם של דיראק פונקציות הגל אינן במרחב הילברט

)השישים בערך

נדר והרמוניות ספריות'פולינומי לז •

) )Legendre(נדר 'זמשוואת ל ) ( )21 x y 2xy n n 1 y 0′′ ′− − + + =

הצגת רודריגז

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

n n2n n n

n 2rr

nr

1 dp x x 12 n! dx

2n 2r !x1 12 n r !r! n 2r !

−

= − =

−= −

− −∑

) אורתוגונליות ) ( )1

m n m n mn1

2p ,p p x p x dx2n 1−

= =+∫ δ

)

) נירמול )np 1 1=

) זוגיות ) ( ) (nn np x 1 p x− = −

רקורסיהיחסי

[ ]1 1

1 1

1

1xp (x) ( 1)p p2 1

( 1)p (x) (2 1)xp (x) p (x) 0p xp ( 1)p 0

+ −

+ −

+

= + ++

+ − + +′ − − + =

l l l

l l l

l l l

l ll

l l l

l

=

) פונקציה יוצרת ) ( ) ( )1

2 n2n

n 0g x, t 1 2xt t p x t

∞−

=

≡ − + = ∑

) מספר פולינומים ראשונים )0p x = 1

( )1p x x=

( ) ( )212 2p x 3x 1= −

( ) ( )313 2p x 5x 3x= −

8

) זימוטלית עם סימטריה אLaplaceפתרון כללי של משוואת )2 r, 0∇ χ θ =

( ) ( )10

Br, A r p cosr

∞

+=

χ θ = + θ ∑ l l

l lll

נדר המוכללים'פולינומי לז

(Associated Legendre Polynomials) ( ) ( )

mm 2m 2n m

1 dP (x) 1 x x 12 n! dx

+

+= − −l

l

l l

2

אורתוגונליות1

m m

1

2 ( m)!P (x)P (x)dx2 1 ( m)! ′

−

+= δ

+ −∫ l l

l

l lll

) הגדרה של הרמוניות ספריות ) ( ) ( )( ) ( ) ϕθ+−+

−≡ϕθ immmm ecosP!m!m

2121,Y lll

ll

) ורתוגונליותא ) ( )1 2

1 2 1 2

2*m m

,0 0

d sin d Y , Y ,π π

ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ = δ δ∫ ∫ l l l l1 2m ,m

)

) סימטריה ) ( ) ( )m *, m ,mY , 1 Y ,− θ ϕ = − θ ϕl l

) יחס שלמות ) ( ) ( ) (*,m ,m

0 m

Y , Y , cos cos∞

= =−

′ ′ ′ ′θ ϕ θ ϕ = δ ϕ − ϕ δ θ − θ∑ ∑l

l ll l

:שימושים

שמוגדרת על פני ספירה כל פונקציה

ניתן לפתח בטור של הרמוניות ספריות( ) (,m ,m

0 m

g , A Y ,∞

= =−

θ ϕ = θ ϕ∑ ∑l

l ll l

ידי-י הפיתוח נקבעים עלכאשר מקדמ( ) ( )*

,m ,mA d Y , g ,= Ω θ ϕ θ ϕ∫l l

d d sin dΩ = ϕ θ θ

) m-ללא תלות ב ) ( ) ( )2,m ,m2

1Y , Y ,

r+

∇ θ ϕ = − θl l

l lϕ

) Laplaceפתרון כללי של משוואת )2 r, , 0∇ χ θ ϕ =

( ) ( ),m,m ,m1

0 m

Br, , A r Y ,

r

∞

+= =−

χ θ ϕ = + θ ϕ

∑ ∑

lll

l lll l

( )g ,θ ϕ)

9

X( ,θ φ

X ( ,′ ′ ′θ φ

להרמוניות ה כדוריותמשוואת החיבו

*m m

m

4 Y ( , )Y ( , ) P (cos )2 1 =−

π ′ ′θ φ θ φ = γ+ ∑

l

l l lll

:ך משפט החיבור2

mm

2 1Y ( , )4=−

+θ φ =

π∑l

ll

l

יות ספריות

( )1 5 3s242Y ,θ ϕ = −

( )2Y ,θ ϕ

( )1 3sin25Y ,

24−

π( )

θ ϕ = + ϕ

γ

( )22

5Y ,96

θ ϕ =π

( )00

1Y ,4

θ ϕ =π

π( )1 i

13Y , sin e

8ϕθ ϕ = − θ

π

0 5 34 2

= π ( )0

13Y , cos

4θ ϕ = θ

π

1 i1

3Y , sin e8

− −θ ϕ = + θπ

( )22

5Y ,96

− θ ϕ =π

קציות מרוכבות ומשפט השארית

ליטיות עבור הפונקציה המרוכבת

U V Uandx y y

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂Vx

−

La של הפונקציה f zב סבי=

( ) ( )nn 0

n

f z a z z∞

=−∞

= −∑

( )( )n n 1C

0

f w dw1a2 i w z +=π −∫

: רית

) הם הקטבים שסגורים על ידי )f iCi

f (z)dz 2 i Re s z z= π =∑∫

)y,x(U)z(W =

( )0z z

10

)

)ר

מסקנה מתו

מספר הרמונ

2i

iin cos e ϕ

icos e− ϕθ θ

2i

23sin e ϕθ

θ θ

2 1cos2θ −

23sin e− ϕθ

פונ •

תנאי לאנ

urentפיתוח

משפט השא

כאשר

.Cהמסלול

iz

)y,x(iV+

-בשל פונקציה ) Residue(מציאת השארית

של הפונקציה Laurentאם נתון פיתוח 0

1z zRes f a−=

=

אם לפונקציה יש קוטב פשוט בנקודה [ ]o0

1 oz zz zRes f a lim (z z )f (z)− →=

= = −

)אם )f z ,וz z היא קוטב פשוט=- ( )( )0

0

z z0

h zRes f

g z==

′

ב

0z z

אם לפונקציה יש קוט

ה בנקודnמסדר

0

o

n 1n

oz zz z

1 dRes f (z z ) f (z)(n 1)! dz

−

==

= − −

≠0 לקוטב פשוט" כלל המחיקה" 0z z

g(z) g(a)Res f ( ,a)(z a)h(z) h(a)=

= =−

mלקוטב מסדר " כלל המחיקה"

)

( )( ) ( )0

0

(m 1)0

mz z0 0 z z

g z 1 gRes(m 1)! hz z h z

−

==

= − −

0z z=

( )f z

0z z=

( )( )

h zg z

=0

=

( )0h z

( ) (0 0h z 0 & g z 0≠ ≠

z ) שיטת הכפל בלוג ) ( ) ( )0

I f x dx f z ln z d∞

Γ

= →∫ ∫

החיובי x כאשר קו החתך של הלוג הוא ציר המסלול

) החלפת משתנים )2 i

0

1 1z zz zf sin , cos d z e , cos , sin

2 2π θ

+ − θ θ θ = = θ = θ =

∫ i

מירכוב

)קומפלקסיפיקציה(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

imx

imx

f x sin mx dx Im f x e dx

f x cos mx dx Re f x e dx

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

=

=

∫ ∫

∫ ∫

פונקציית דלתא •

0 :הגדרה 0x)dx g(x )=(x)dx 1∞

−∞

⇒ δ =∫

=∞

≠=

0;

0;0)(

x

xxδ

(x x )g(∞

−∞

δ −∫

11

: תכונות של פונקציית דלתא1(ax) (x)a

δ = δ

( ) ( )( )

= ( )( )ii

i i

f (x )f x g x dx g x 0g x

δ = ′∑∫

( ) ( ) :נגזרת של פונקצית דלתאx 0

dff x x dxdx =

′δ = −∫

zr: דיתתא תלת מימפונקציית דל ( ) ( ) ( ) ( )r x yδ = δ δ δ

) : פיתוח פורייה של פונקציית דלתא ) ( )0ik x x0

1x x dke2

∞ −

−∞δ − ≡

π ∫

קוויתהיא לדוגמה צפיפות מטען, תאהפיזיקה מאחורי המושג המתמטי פונקצית דלlq

=λ

⇐−=

∫ אינטגרציה עליה תוביל למטען הכוללו drrrq )( 0λδ

∫∞

∞−

= )0()()( fdxxfxδ

∫∞

∞−

−= )0()1()()( )()( nnn fdxxfxδ

: ת נוספות של פונקציית דלתא הנובעות מן ההגדרהתכונו

∫ : ל"צ∞

∞−

− −=−= )'()'(21 )'( xxxxdpe xxip δδπ

: הוכחה

[ ]=

−−−=

−−==

→

∞=

=

−−

→

∞−−

∞

→

− ∫∫ επεπππ ε

ε

ε

ε

ε )'(1lim

21

)'(lim

21

21lim

21

00

))'(

00

))'((

00

)'(

xxixxiedpedpe

p

p

pxxipxxixxip

( )( ) ( )

( ) ( )

−+

−+

−+=

−+−−−

−=−−−−−

−−−−

→

→→

22220

2200

)'(2)'(

)'(2lim

)'()'(lim

21

)'()'()'(lim

21

xxxxi

xx

xxxxi

xxixxixxi

επεπε

εε

πεεε

π

ε

εε

xx ='

0→

∞- נקבל ביטוי ששואף ל -ם יש תכונות של דלתא כי כש לאיבר הראשון בסוגריי

כל שנשאר להראות ε - נקבל ביטוי ששואף לאפס ולכן כש - וכשε-כש

.: הוא נרמול של פונקציית דלתא

xx ≠'0→

∫∞

∞−

= 1)( dxxδ

):המופיע לעיל(יש שתי נקודות סינגולריות מסדר ראשון נשתמש במשפט השארית

∑∫ ==⋅=++

⇒∞

∞− 21)(Re2

21

)'(21

22 if zzsixx

dx ππε

επ

12

εε - ואזכי ( ixxixx ±=−⇐= ''m

20

))'(()'()'(

)'()'()'( 2222

iAiBA

BAxx

ixxBixxAixx

Bixx

Axx

=⇒

=−=+

⇒

⇒−+

+−+−−=

−−+

+−=

−+ εεε

εεεε

: ואז

∫

∫

∫

∞

∞−

−

∞−

−

∞−

−=

−−−=

−+−=

+

)'(21

)'(2)'(

21

21

)'(2)'(

21

21

)'(

0)'(

0

)'(

xxdpe

xxixxdpe

xxixxdpe

xxip

xxip

xxip

δπ

πδ

π

πδ

π

ל.ש.מ

)'(sin)'(

)'(sin)'(22

2)'(2

121 )'()'()'(

)'( xxacaxxa

xxaaaxxi

eeaxxi

edpexxipxxipap

ap

xxipa

a

xxip −=−−

=−−

=−

=−−−=

−=

−

−

−∫ πππππ∞→a נקבל פונקציה של דיראק הנקראת גם פונקצית דיסטריבוציה-בגבול כש

הפורמליזם של דיראק. 10

.ידי וקטור קט שהוא למעשה וקטור עמודה-כפי שכבר הזכרנו וקטור מצב מיוצג על

: יראה כךD3לדוגמה בסיס סטנדרטי ב, ידי מרחב וקטורי הקטים–בסיס המרחב מיוצג על

=

=

=

100

3;010

2;001

1

: ונקבל:נגדיר בסיס צמוד

( )10;0102;0011 == 03 =

+= ii

( ) ( )

: כל וקטור ניתן לפתח לפי הבסיס

321

321

321

*3

*2

*1

321

321

bbbbb

bbbb

aaaa

++==

++=

++=

+

בוקטור קט ) וקטור שורה(הינה מכפלה של וקטור ברא ) או מכפלה סקלרית(מכפלה פנימית

3 : והתוצאה המתקבלת היא סקלר) וקטור עמודה(*32

*21

*1 abababab ++=

13

ijji : במידה ומכפילים וקטורים אורתונורמליים מקבלים δ=

maaaaאם ): projector(אופרטור ההיטל . 11 ,,.........,, וקטורים m הם 321

mjiaa : ומקיימיםΠ מרחבהשייכים לאורתוגונליים בזוגות ijji ,....,2,1, == δ

j: תוגדר באופן הבאΠ( Iשל (אזי הטלתם לתוך תת מרחב

m

iim aaP ∑

=

=1

: לדוגמה בבסיס בסטנדרטי לעיל נקבל

( )

( )

( ) 111

000000010

010001

21

000000001

001001

11

1aa =

=

=

=

=

i: וסכימה של כל אופרטורי ההיטל מגדיר את אופרטור הזהות באופן הבא

m

ii aaI ∑

=

=1

aaaI: לעיל נקבלטנדרטילדוגמה בבסיס בס =++= 332211 [ ]

: )מהבסיס הרגיל לבסיס הפסיקי כמובן ששני הבסיסים אורתונורמליים(מעבר מבסיס לבסיס . 12

, ''''

''

iaiaiiaii∑∑ ==

iiiiiii ולהיפך ii∑∑ ==

''

'''

:עד כה הכל היה בדיד נבנה בסיס אורתונורמלי אבל רציף. 13

∞≤≤−∞= + xדואליבסיסxx ;

)( '' xxxx −= δ

dxxxff ∫∞

∞−

= )(

dxxxfff ∫∞

∞−

+ == )(*

dxxxgg ∫∞

∞−

= )(

14

:מכפלה פנימית תראה כך בבסיס רציף

dxxgxfdxdxxxxgxfdxxxgdxxxfgf

xx

)()()()()()( '*'

)(

''*'''*

'

∫∫∫∫ ∫∞

∞−−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

===321

δ

dxxxI : אופרטור הזהות בבסיס רציף ∫∞

∞−

=ˆ

dxxxxx : אופרטור המקום בבסיס רציף nn ∫∞

∞−

=ˆ

ˆ''': כי xxxx nn = ( )( ) ( ) '''ˆ xxfxxf =

( ) ( )

dxxxxfxf ∫∞

∞−

=ˆ

dxxxff ∫∞

∞−

= )(

)()( '

)(

''

'

xfdxxxxffx

xx

==

−

∞

∞−∫ 321

δ

:ההצגות השונות בתורת הקוונטים. 14

: פונקציית גל בהצגת המקום •

x :ψψ על הבסיס ψ היטל של המצב xx =)(

:פונקציית גל בהצגת התנע •

p :ψψ על הבסיס ψ היטל של המצב px =)(

ψψ : הצגת היזנברג-פונקציית גל בהצגת האנרגיה • nEx =)(

dxxxI : אופרטור הזהות בבסיס המקום ∫∞

∞−

=ˆ

dpppI : אופרטור הזהות בבסיס התנע ∫∞

∞−

=ˆ

ההוכחה הובאה (פורשים את אותו המרחב, התנע והמקום: אפשר לראות ששני הבסיסים

.)כתרגיל

)()( xpxx

i pp ψψ =∂∂

− h

15

: באופן הבאxהמשמעות של פונקציית הגל בהצגת המקום הינה היטל על הבסיס .15

pxxp =)(ψ

( )

[ ] Iixppxpxi

Ipx

xp

pp

xxpx PB

ˆˆˆˆˆˆ,ˆ1ˆ1, hh

=−⇔=⇒=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

): הצגת שרדינגר(אם נציב את הצגת המקום

∂∂

−=

=

xip

Ixx

hˆ

ˆˆ

:נקבל

)()()()()( xix

xix

xixx

ix

xixxx

ix

ix ψψψψψψψ hhhhhhh =

+

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

−

: באותו אופן ניתן להשתמש בהצעת התנע

∂∂

=

=

pix

Ipp

hˆ

ˆˆ

)(xg

כך שאין השפעה על יחס xשהן חילופיות עם אפשר באותה מידה להוסיף אינסוף פונקציות

i, ואז, x - לpהחילוף בין ∂−= h Ixg

xp ˆ)(ˆ +

∂ .במשמעות של דיראק תוספת הפונקציה משמעה תוספת פאזה, כאשר

pppp ) אין ציון בסיס(בפורמליזם של דיראק .16 =ˆ

משוואות תורת הקוונטים בצורה שהיא בלתי תלויה בפורמליזם של דיראק ניתן לכתוב את , היינו

.בבסיס

:נפתור את המשוואה

)()( xpxx

i pp ψψ =∂∂

− h

h קבוע C כאשר : הפתרון באופן כללי הוא

ipx

p Cex =)(ψ

∞== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dxCCdxxx pp** )()( ψψ

)()()( '* ppdxxx pp −=∫∞

∞−

δψψ

: ננסה לנרמל את הפתרון

ול ולפיכך גם לא שייך למרחב הילברטניתן לראות שהפתרון בלתי ניתן לנרמ

: דיראק מציע דרך אחרת לנרמול

: הוכחה

hנציב את הפתרון

ipx

p Cex =)(ψונמצא את קבוע הנרמול - ב: dxxx pp )()(* ψψ∫∞

∞−

16

hh

hhh

hhh

ππδ

ψψ

21)'(2

;)()(

22

)'(2)'(

2'

2*

=⇒−

==

===== ∫∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

CppC

dyeCdydxyxdxeCdxeeCdxxx ppiyppixipxxip

pp

h : אם כן קיבלנו שהפתרון הוא

h

ipx

p exπ

ψ21)( =

: ומרכל

xpex

pxex

ipx

p

ipx

p

==

==

−h

h

h

h

πψ

πψ

21)(

21)(

*

: ונוכל להציג את התנע בבסיס המקום באופן הבא

dxxedxpxxpIpipx

∫∫∞

∞−

∞

∞−

=== h

hπ21ˆ

: באותה דרך ניתן לעבור בין בסיסים ולקבל

dppppP

ppppppppppPp

ppdpppppdppppppP

dppppP

pppp

nn ∫

∫∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

−===

=−==

=

−=

)ˆ(

)'(''ˆ'

'')'(''ˆ

ˆ

)'('

δ

δ

δ

xPx :נרצה למצוא את ˆ'

dpppI : נשתמש באופרטור הזהות ∫∞

∞−

=ˆ

dppedpxppxIx : ואזipx

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

=== h

hπ21ˆ

'' :באותו אופן21'

''

dppexxip

∫∞

∞−

= h

hπ

'ˆ'')'( :נשתמש גם במשוואה שמצאנו למעלה ppppppppppPp −=== δ

:ונקבל ש) xלפי (וכן בהגדרה של נגזרת של פונקצית דלתא

17

)'()'(221

21

)'('21ˆ''

21ˆ'

2)'('

)''()''(

xxx

ixxxi

pedp

epppdpdpepPpdpdpxPx

xxip

pxxpipxxpi

−∂∂

−=−∂∂

⋅==

=−==

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫∫∫∫

δδπππ

δππ

hh

hh

hh

h

hh

.זוהי למעשה דיסטרבוציה

pPx -אנו יודעים ש ˆ)( : הינוˆ xppxpppxpPx pψ===

:על מנת למצוא ביטוי שקול נשתמש בתכונות הבאות של פונקציית דלתא

)()1()()(

)(')()(')()()()(

)()()(

0)()(

0)(

0000

00

xfdxxxxf

xfdxxxxfxxxfdxxxxf

xfdxxxxf

nnn −=−

−=−−−=−

=−

∫

∫∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

δ

δδδ

δ

xPxובביטוי שמצאנו עבור , וכן נשתמש ביחס השלמות בבסיס המקום : ונקבל'ˆ

)()'('

)('))'()('(

''))'()('('''ˆˆˆ

xpx

idxxxx

xidxxxx

xi

dxpxxxx

ixdxpxxPxpIPx

pp

pp

p

ψψ

δψδψ

δψ

=∂

∂−=−

∂∂

=−∂∂

−=

=−∂∂

−==

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

hhh

h

),',ˆ( xxPδ

:-פונקציית דלתא הלא שלמה. 17

P ) לא התנע( הוא אופרטור ההיטל נשים לב שפה

')'( :פונקציית דלתא הרגילה שאנו מכירים היא xxxx −= δ

=⇐=+P הוא אופרטור היטל והוא הרמיטי היינו אופרטור PPPP ˆˆˆˆ 2

xPxxPPxxxP : לפיכך פונקציית דלתא הלא שלמה תוגדר כך ˆ'ˆˆ'),',ˆ( =≡ +δ

')'''()'()''(

')'()'()(

dxxxxxxx

dxxxxfxf

−−=−

−=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

δδδ

δ

')'',',ˆ()',,ˆ()'',,ˆ( dxxxPxxPxxP δδδ ∫∞

∞−

=

:נשים לב שלפונקציית דלתא הלא שלמה תכונות דומות לפונקציית דלתא הרגילה

: אם פונקציית דלתא הרגילה מקיימת

: הרי שפונקצית דלתא הלא שלמה באופן דומה מקיימת

18

תבתת מרחב אופרטור ההיטל הוא אופרטור הזהו

)()'(* xx nn

n ψψ∑

)'()()'(* xxxx nn

n −=∑ δψψ

∞

שלא כמו ( זוהי פונקצית דלתא הלא שלמה כי באינסוף פונקצית הגל מתאפסת

).פונקצית דלתא הרגילה שבאינסוף לא מתאפסת

: עבור כל נקודה סופית מתקיים

קצית דלתא לעיל הוא פונ צד ימין של המשוואה: לאינסוף מרגישים את ההבדל שהואיםכשהולכ

).תת מרחב של המרחב השלם(וצד שמאל הוא פונקצית דלתא הלא שלמה ) מרחב שלם(

:דוגמה

≥≥ החיובי x-נניח רק על ציר ה, נבצע הטלה על תת המרחב של הקורדינטות x0

dxxxP : יוגדר כך) החיוביx-על ציר ה(ואופרטור ההיטל ∫∞

=0

ˆ

שימו לב תנע יסומן באות קטנה בניגוד לאופרטור ההטלה המסומן (צע הטלה על התנע עתה אם נב

ונכפול משמאל שוב בתנע נקבל את פונקצית דלתא הלא pPכלומר ) כאות גדולה וכובע מעליו

:שלמה

)'(1

21)'(

21

21'ˆ'

0

)'(

0 ppippdxedxpxxppPp

ppix

−+−=== ∫∫

∞ −∞

πδ

πh

h

תת מרחב ואז אפשר לראות נשתמש בפונקצית דלתא הלא שלמה לעיל שמבטאת את המעבר ל

: הבא) פיזור( שבאה לידי ביטוי באינטגרל הנפיצה fשנקבל מגבלה על הפונקציה

')'()ˆ,(1....')ˆ,(

)'(1

21)'(

21)ˆ,( dp

ppPpf

idpPpf

ppippPpf ∫∫

∞

∞−

∞

∞− −==

−

+−=ππ

δ

( )

לחלק fשל הפונקציה ) מקדם השבירה(בין החלק הממשי ) למעשה מעין יחס דיספרסיה(והקשר

:שלה נתון באופן הבא ) מקדם הבליעה(המדומה

')'(

)ˆ,(Im1)ˆ,(Re dppp

PpfPpf ∫∞

∞− −=π

19

' חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2פרק

הסברים הבאים ולעבור ישירות לפרק מי שהמושג טנסורים נהיר לו מוזמן לדלג על ה,פתח דבר

ההסברים מובאים , רצוי שיקרא חלק זה ולא ידלג עליו, מי שאינו מכיר את המושג טנסור, הבא

וזוהי , כי המושג טנסור מעולם לא הוזכרהיא שלנו בהם נקודת המוצא , בצורה הפשוטה ביותר

.הפעם הראשונה שהקורא נתקל במושג זה

סקלר , באופן הפשטני ביותר. ושגים של סקלר ווקטורמעד כה הכרנו את ה: מתמטיקה טנסורית

ווקטור הוא . ρצפיפות , qמטען חשמלי , Eאנרגיה : למשל. הוא גודל פיזיקלי שאין לו אינדקסים

viווקטור המהירות , למשל ווקטור המקום . גודל פיזיקלי בעל אינדקס יחידr

ווקטור התנע ,

ישנם גדלים אחרים בפיזיקה שלהם שני אינדקסים ושמבחינה . והתנע הזוויתי הקווי

.יאור באמצעות מטריצותמתמטית ניתנים לת

ixr

iLr

ipr

מומנט ההתמד שהוא גודל פיזיקלי המתקבל כאשר מנסים לחשב את התנע הזוויתי של : לדוגמה

אזי התנע הזוויתי נתון , mאם נחלק את הגוף הקשיח לאלמנטים קטנים בעלי מסות . גוף קשיח

ווקטור המהירות , אולם בגוף קשיח. : ידי-על

i

ii

n

ii vrmL rrr×= ∑

=1ivr ידי– נתון על של נקודה :

v

i

i irrrr

×= ω , הוא ווקטור המהירות הזוויתית המשותף לכל הנקודות בגוף הקשיחכאשר ,

)( :ואם נשתמש בנוסחה של מכפלה ווקטורית משולשת נקבל, : לפיכך1

i

n

ii rmL rrr

×= ∑=

ω

)]()([1

iiii

n

ii rrrrmL rrrrrrr

⋅−⋅= ∑=

ωωL

irr×

ωr

של הווקטור kאם נסתכל על רכיב , לכן, r

: נקבל

ניתן לכתוב את הביטוי הלז בצורה של מכפלת , מצד שני.

מטריצה

][ 2

1∑∑ ⋅−=

= lilliki

n

ikik rrrmL ωω rr

I בווקטור ωr

:∑=l

lklk IL ωכאשר : .

≠−

=−=∑=

lkrr

lkrrI

iliki

i

ili

n

ikl

22

1)(r

klI

∑=

m

m

n

i

1

ו שני אינדקסים ויותר נקרא כל גודל פיזיקלי שיש ל, באופן דומה. נקרא טנסור ההתמד-ו

מספר האינדקסים קובע את הסדר היינו טנסור עם שני אינדקסים נקרא טנסור מסדר . טנסור

באותו אופן אפשר לומר . 'טנסור עם שלושה אינדקסים נקרא טנסור מסדר שלישי וכו, שני

.1ווקטור הוא טנסור מסדר, 0שסקלר הוא טנסור מסדר

20

נקראה , Φ, כל פונקציה ללא אינדקס, יזה ווקטוריתבאנל: טרנספורמציית סיבוב

או ( נקראה פונקציה , כל פונקציה עם אינדקס אחד, באופן דומה. פונקציה סקלרית

?נשאלת השאלה האם זה נכון מבחינה פיזיקלית. ווקטורית) שדה

),,( zyx

Ai

mq

),,( zyx

מטען , ן באמצעות מסה מאופיי) למשל אלקטרון(חלקיק אלמנטרי : ניקח דוגמה טריוויאלית

לכאורה אפשר היה לקחת את שלושת הגדלים הללו ולבנות מהם . µ ומומנט מגנטי חשמלי

???אך האם זה אכן ווקטור, dווקטור

=

µqm

r

, Tטמפרטורה : א ניתן להגדיר שלושה גדלים"ל כדוהבכל נקודה באטמוספירה ש: דוגמה נוספת

??? מהווה פונקציה ווקטוריתהאם . Hולחות יחסית , Pלחץ

=

)()()(

)(xHxPxT

xAr

r

r

rr

מוגדרים H -ו, T,Pמבחינה מתמטית היינו לפי אנליזה ווקטורית התשובה היא כן אם

הוא פונקציה ווקטורית ומתקיימים כל חוקי האנליזה הווקטורית כמו , כפונקציות של המרחב

.לדוגמה משפט גאוס ומשפט סטוקס

Ar

כזכור לנו מהשיעור הראשון בפיזיקה . אינה פונקציה ווקטורית -מבחינה פיזיקלית ברור ש

ההצגה שלו בצורה של שלושה מספרים קשורה להגדרה של מערכת , במרחב" חץ"ווקטור הוגדר כ

לכן מבחינה . צירים מסויימת ושלושת המספרים הם ההטלים של הווקטור על מערכת הצירים

לא מתאר שדה ווקטורי מבחינה פיזיקלית כי אין לו שום קשר -אינטואיטיבית ברור לנו ש

.לכיוון במרחב התלת מימדי

)(xA rr

)(xA rr

נשאלת השאלה כיצד אנו מתארים בצורה של נוסחה את העובדה ששדה ווקטורי מסויים הוא אכן

.שדה ווקטורי מבחינה פיזיקלית

סובבים את מערכת התשובה לכך היא באמצעות ההתנהגות שלו תחת טרנספורמציה שבה אנו מ

ברכיבים של שדה פיזיקלי ישתנו בצורה , כאשר אנו מבצעים טרנספורמציה כזו. הקורדינטות

שהוגדר קודם לכן לא יתנו הרכיבים של הווקטור המלאכותי , לעומת זאת, מסויימת

.כתוצאה מסיבוב מערכת הצירים

)(xA rr

שהם בעצם , יצד משתנים הרכיבים של ווקטור המקוםנראה כ? כיצד ישתנו הרכיבים של ווקטור

zyx . עצמןהקורדינטות ,,

zy מקבלים θ בזווית ומסובבים אותה סביב ציר אם אנו יוצאים ממערכת קורדינטות

: שהקורדינטות שלה היוoואם נסתכל על נקודה מסויימת . מערכת קורדינטות חדשה ', z

zy

',' yx

: ידי- הקורדינטות החדשות יהיו נתונות על

x ,,z

x ,,

( ) ( )

zzxyxyy

yxyxxyxx

=−=−=

+=+−=−+=

'sincoscos)tan('

sincossinsin1cos

sintancos

' 2

θθθθ

θθθθθ

θθθ

21

: וזה ניתן לתיאור בצורה מטריצית

−=

zyx

zyx

1000cossin0sincos

'''

θθθθ

זוהי מטריצה אורתוגונלית . נקראת מטריצת הסיבובהמטריצה שמופיעה באגף ימין

xבצורה דומה מתקבלות מטריצות המתארות סיבובים סביב צירי . 1-והדטרמיננטה שלה שווה ל

z .- וכל סיבוב אחר ניתן לתאר באמצעות קומבינציה של סיבובים מסביב לצירים . או yyx,

והיטלו על לכיוון ציר θ שהוא בזווית OA מסביב לציר αלמשל אם אנו רוצים לסובב בזווית

:אנו יכולים לעשות זאת בשלושה שלבים. x לציר ϕ הוא בזווית מישור

zyx,

יתלכד עם ההיטל xכך שציר , z מסביב לציר ϕסיבוב של מערכת הצירים בזווית .א

,yx . במישור OAשל ציר

y OA . יתלכד עם הציר z כך שציר θ החדש בזווית סיבוב סביב ציר .ב

.α החדש בזווית zסיבוב סביב ציר .גידי -ידי מטריצת סיבוב ושלושת הסיבובים זה אחר זה יתוארו איפוא על-מתואר עלכל סיבוב

אבל אנו , תוצאת המכפלה תתן מטריצה די מורכבת. מכפלה של שלוש מטריצות הסיבובים

:יודעים עליה שני דברים

זוהי מטריצה אורתוגונלית כי מכפלה של מטריצות אורתוגונליות נותנת מטריצה .א

מטריצות אורתוגונליות כלומר B-וAאם : חההוכ(אורתוגונלית

TT )) אזי AAוB =−= −11B−TTT ABABABAB )() 111 === −−−

1±

1)(det1)det(det1)det(det 211 =⇒=⋅⇒=⋅= −− AAAAAIAA T

jj

iji XRX

כי דטרמיננטה של מכפלת מטריצות שווה , 1-הדטרמיננטה של המטריצה תהיה שווה ל .ב

: כילית היא ודטרמיננטה של מטריצה אורתוגונ(למכפלת הדטרמיננטות

.

הדטרמיננטה הופכת , אם יש בנוסף לסיבוב גם שיקוף. 1סיבוב מתאים לדטרמיננטה

).1-סימן ונהיית

⇒

הקורדינטות , אזי נוכל לומר שבאופן כללי1 מטריצה אורתוגונלית עם דטרמיננטה R -אם נסמן ב

, במרחב" חץ"בתור , כל ווקטור אחר, : יבוב בצורהעוברות טרנספורמצית ס

: נראה כמו ווקטור המקום ולכן אנו מצפים שהוא יעבור טרנספורמצית סיבוב בדיוק באותה צורה

ברור איפוא שווקטור , r

, תנאי הזהאינו מקיים את ה, עליו דיברנו בהתחלה

.לא כל סט של שלוש פונקציות שרירותיות מקיים את התנאי הזה: ובאופן כללי

∑='

jj

iji BRB ∑='A

כי אם אנו גוזרים לפי הזמן את שני האגפים של , ברור שווקטור המהירות הוא אכן ווקטור

V מקבלים הנוסחה jj

ij XR∑jj

iji VR iX '=∑ .ל לגבי ווקטור התאוצה"כנ . '=

1r

הכוח בין שני : כלומר, כל הכוחות האלמנטריים בטבע הם כוחות מרכזיים? לגבי הכוחמה קורה

r2גופים שנמצאים בקורדינטות ו rrrfr12F)( הוא − rr

=21 rr rrrrכאשר rr - ו=− r

=.

22

rכפי שמובן לנו מבחינה אינטואיטיבית וכפי שגם ניתן לראות מבחינה , אינווריאנטי תחת סיבוב

: פורמלית

2

,

1

,

1

,,,,

2

)(

)()('''''

rrrrrIrrRRrr

RRrrRRrrrRrRrrrrr

jjjjk

kjkj

ijk

kjkj

iki

jikj

kjiki

jiT

kjkjkikj

kjiij

iii

=⋅====

====⋅=⋅=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑−

−

rr

rr

12Fלכן r

. והוא אכן ווקטור: מקייםj

FRrfrRrfrFj

ijjj

ijii 12'

12 )()'(' ∑∑ ===

amF

: כאשר אנו כותבים חוק פיזיקלי שמקשר בין שני ווקטורים כמו למשל חוק שני של ניוטון

: המשמעות היא לא רק שהשוויון הלז נכון לכל שלושת הרכיבים היינו.

אלא גם שכשמסובבים את מערכת הצירים וכתוצאה מכך ,

: עדיין מתקיימים השוויונים כלומר, וכן aמשתנים ערכי הרכיבים zazyx FFF ,,

amFmaF xx

yx a ,,

maF yy maF zz = ''= כלומר החוק השני של ניוטון לא תלוי , ''

ולמעשה כל חוק פיזיקלי צריך לשמור נכונותו בלי שום קשר לבחירת , בבחירת מערכת הצירים

.מערכת הצירים

rr=

zzyyxx maFmaFmaF ===

rr=⇒= ''

בהרבה מהביטויים שראינו עד כה וכאלה שנראה בעתיד מופיעה סומציה : הסכם הסומציה

לכן נוהגים , קס עליו מסכמים מופיע תמיד פעמיים באותו איברהאינד. על אינדקסים) סיכום(

. ולהבין שכאשר שאינדקס מופיע פעמיים יש לבצע עליו סיכום, ∑להשמיט את סימן הסכום

: תראה לפי הסכם הסומציה באופן הבאבהתאם לכך הנוסחה הבאה

.jויש להבין מכך שבאגף ימין מסכמים על אינדקס

jj

iji BRB ∑='jiji BRB ='

אנו דורשים מטנסור מסדר שני שיעבור טרנספורמציה : טרנספורמציה של טנסור תחת סיבוב

: ובאותו אופן עבור טנסור מסדר שלישי. : תחת סיבוב על פי הנוסחה

הסדר של הטנסור קובע את . וכדומה לטנסורים מסדרים גבוהים יותר

מספר האיברים של

ilijk RRA ='

R ווקטור (1שמופיעים בנוסחת הטרנספורמציה בצורה כזו לטנסור מסדר (

jij: מופיע רק איבר אחד AR . לא מופיע אף איבר) סקלר (0ולטנסור מסדר :.

kljlikij ARRA ='

lmnknjm AR

iA ='AA ='

jiij BA=

ij

kljliklkjliklkikji TRRBARRBARBA =

מכפלה . T: ניתן לייצר באופן מלאכותי טנסור מסדר שני מתוך שני ווקטורים

: אכן עובר טרנספורמציה בצורה נכונהTנראה ש. כזו נקראת מכפלה חיצונית

T

ii AB ,

jlRij'לפיכך יוצא שלמשל

. היו טנסורים מסדר שני

=== ))((''

jijiji xxpppx ,,

23

כלומר היא מתארת : הדלתא של קרונקר מוגדרת בצורה: הדלתא של קרונקר

.את מטריצת היחידה

≠=

=jiji

ij 01

δ

3===⋅== iiijjiiijijiikjkij BABABABBAA δδδδ

: בהתאם לכלל הסיכום שלנו אנו יכולים לרשום לפיכך למשל

rr

, מורכב מאיברים קבועים שאינם משתנים תחת סיבוב מערכת הצירים-נוכיח עתה שלמרות ש

: אם הוא אכן כזה צריך להתקיים. הוא טנסור מסדר שני

ijijijT

kjT

ikjkikkljlikij IRRRRRRRR δδδ ===== ))('

ij

= (

ijδ

. הוא אינווריאנטי תחת טרנספורמציית סיבוב של טנסור מסדר שניδכלומר

עדיין אפשר לומר , עם זאת, נווריאנטי כי הוא מורכב מאיברים שוניםהוא חייב להיות אי, אמנם

.שהוא עובר טרנספורמציית סיבוב בהתאם לכלל של טנסור מסדר שני

הוא לא (: אפשר לכתוב למשל את טנסור ההתמד-באמצעות ה

.) קורדינטה מרחבית ולכן אנו לא מפעילים עליו את כלל הסיכוםאינדקס שמייצג

ijδ)(1

2ilik

n

iklikl rrrmI ∑

=

−= δrl

klI

klI

∇r

הוא מורכב מסכום של ביטויים שכל : ברור לנו מדוע הוא אכן טנסורמהצורה הזו של כתיבת

סכום או הפרש של טנסורים מסדר מסויים . אחד מהם הוא הפרש של שני טנסורים מסדר שני

. הוא טנסור מסדר שנילכן גם , )ראה להלן(סור מאותו סדר נותן לנו תמיד טנ

∇,נוכיח עתה שהאופרטור נבלה: האופרטור r

כלומר הוא עובר , הוא אכן אופרטור ווקטורי,

: טרנספורמציית סיבוב כמו ווקטור

jiji

ijkji

kkj

i

j

kkjkTjkj

T

ji

j

ii

R

RRxxR

xx

xRxRxxRxRxxRx

xxx

x

∇=∇

==∂∂

=∂

∂

==

=⇒=

∂∂

∂

ki

='

δ

∂=

∂∂

=∇

−

'

'

'

'

''

1

'''

'' rrrrr

r

BABABABAIBARRBARRBRARBABABA jjkjjkkjjkkjjkT

kjikTjikikjijii

. אכן עובר טרנספורמציית סיבוב כמו ווקטור∇כלומר

: מכפלה סקלרית בין ווקטורים אכן נותנת סקלר כי: מכפלה סקלרית

rrrrrr⋅=======⋅=⋅=⋅ δ)('')'( ''

24

: פעולות בין טנסורים

, למשל: חיבור בין טנסורים מאותו סדר נותן טנסור שלישי מאותו סדר .א

, מתנהג תחת סיבוב כמו טנסור מסדר שניQ אזי : אם

. מתנהגים כך- וT-כמובן בתנאי ש

ij

ij

kijijk BA=

jiji BA=

ijS

ijijij STQ +=

מכפלה חיצונית של שני טנסורים נותנת טנסור שלישי מסדר שהוא סכום .ב

. הוא טנסור מסדר שלישיTלמשל . הסדרים של שני הטנסורים

כלומר בנוסף , V: למשל,מכפלה פנימית של שני טנסורים .ג

. להכפלה יש גם סיכום על אינדקס שמקבל אותו ערך בשני הטנסורים

אפשר לסכם גם על שני . מכפלה פנימית היא הכללה של מכפלה סקלרית

V: אינדקסים או יותר למשל jkijki BA=.

צמצום אינדקסים היא פעולה שמבצעים על טנסור יחיד כאשר משווים בין .ד

V. ijji: למשל, שניים מהאינדקסים שלו ומסכמים עליהם A=

נותנת טנסור A בטנסור מסויים Tאם מכפלה פנימית של : חוק המנה .ה

מסדר שני וTנוכיח זאת למשל עבור . הוא טנסורTאזי גם , Bאחר

ו

A

Bווקטורים :j . iji ATB =

jiji : קיים ATB ''' =

kjkijiij : כלומר ARTBR '=

imRi :ונקבל ונסכום על -נכפול את שני האגפים ב

kijjkimj ATRRBR 'ijim R =

kjkij : לכןTmijij

Tmi ARTRBRR '=

kmkT

jmjT ARTRBRR )'()( =

kmkT

m ARTRB )'(=

kmkT

kmk ARTRAT )'(=

mkATRTRkljlik

Tljklikij TRRRTRT =='

: או

: או

: ואם נשווה זאת למשוואה המקורית נקבל

:אזי חייב להתקיים, ולכל ערך של ומאחר שזה נכון לכל

T TRTR =⇒= ''Tומכאן :

. עובר טרנספורמציית סיבוב כמו טנסור מסדר שניT-והתקבל איפוא ש

אפשר לחשב דטרמיננטה ולכתוב אותה , T, לגבי טנסור מסדר שני: יויטה'צ- לוי טנסור

: בצורה

ij

kji TTT 32det ijkT1ε=.

ijkε

25

: כאשר

−=

same) theare indices 2 (i.e. otherwise0npermutatio cyclic -anti ,,1

1,2,3 ofn permutatio cyclic ,,1kji

kji

ijkε

ijk ijknkmjlilmn : כלומר נוכיח, הוא טנסור אינווריאנטיεנוכיח שגם RRR εε =

3,2,1 = : ואגף ימין נותן1- אגף שמאל שווה לעבור : הוכחה

1det == Rijkε ,כאשר . אכן השוויון מתקייםl הוא פרמוטציה ציקלית של

אגף ימין נותן את בדטרמיננטה של . 1 אזי אגף שמאל נותן 1

nm,,

3,2,R לאחר שביצענו בה

והשוויון 1פרמוטציה ציקלית של השורות וזה לא משנה את ערך הדטרמיננטה ומקבלים

-1מקבלים באותו אופן אזי 1ציקלית של -אנטי הוא פרמוטציה כאשר . מתקיים

אזי אגף שמאל מתאפס וגם אגף ימין מתאפס , זהיםl-מהאם לפחות שניים . בשני האגפים

.ל.ש.מ. כי מופיעה בו דטרמיננטה של מטריצה שיש בה שתי שורות זהות

nml ,,3,

nm,,

kjiijk TTTT 321123

2,

== nml

321 RRR kji

שמתאימות , אפשר לכתוב בשש צורות שונותdetאת הנוסחה הקודמת

: לשש הפרמוטציות השונות שאפשר לבצע על השורות

εε=

kjiijk

kjiijk

kjiijk

kjiijk

kjiijk

kjiijk

TTT

TTTTTT

TTT

TTTTTTT

231132

123321

312213

213312

132231

321123det

εε

εε

εε

εε

εε

εε

=

=

=

=

=

=

: ואז זה יכתב באופן הבא6- האפשרויות ולחלק ב6ולכן אפשר גם לסכם על כל

nkmjliijklmn TTTT εε61det =

T

ijk

. הוא סקלרdet -היתרון של כתיבה בצורה כזו הוא שרואים מכאן בבירור ש

ומכאן נובע שמכפלה , : ריתמכפלה וקטו ניתן לכתוב εבאמצעות

: נובע שתוצאת מכפלה משולשת היא סקלרבאופן דומה . ווקטורית אכן נותנת ווקטור

kjCBCB ε=⋅× iijk AAr

)(.

kjijki BABA ε=× )(rr

rr

): יראה כךijkεתוך שימוש ב curl-הבאופן דומה kjijk x∂= εix×∇ )rr

) j

j x∂∂

≡∂.(

: ניתן להוכיח את הזהויות הבאות, כמו כן

6

2

=

=

−=

=

ijkijk

knijnijk

kmjnknjmlmnijk

knkmkl

jnjmjl

inimil

lmnijk

εε

δεε

δδδδεεδδδδδδδδδ

εε

26

)()()( : ל ניתן לקבל גם את הזהות"ובאמצעות אחת הזהויות הנ cbacabcba rrrrrrrrr⋅−⋅=××

Niiijij ==

. בסכימה של אינדקסים יכול להיות מצב בו אותו אבר נספר מספר פעמים,לפי הסכם הסומציה

באופן דומה . הוא הערך המכסימלי של כאשר, למשל

האינדקסים של (

Ni

92 −=−=== NNjijjiikijijkijkijk δδδεεεε 63 =− ijδεהם מרחביים ,

3 ).ולכן

δδδ

=N

AijA

ריך להחליט כעל מטריצה צ2כאשר חושבים על טנסור ממעלה : סימטריה -סימטריה ואנטי

כ האינדקס הראשון יתאר את "בד. ואיזה את העמודות, איזה אינדקס מתאר את השורות

כפל היא מטריצה שמתוארת שרכיביה הם למשל אם . והשני את העמודות, השורות

jijiבוקטור מימין ייתן vAvA =)( rjjijiji .כאשר , ומשמאל , vAAv ==)ij

TA =)(

as AAA

T Av(rjiA

=+ ,: סימטרי-כל מטריצה ניתן לפרק לחלק סימטרי ואנטי

כאשר 2

T

sAAA +

= ,2

TA−ijaijsij AAA )()( += a

AA , או ברכיבים , =

כאשר 2

) jiijijs

AAA

+ , החלק הסימטרי מקיים . , )=

2)( jiij

ija

AAA

−=s

Ts AA =

aT

a AA −=jiij uA : נקבל למשל עבור . סימטרי מקיים -והאנטי

2) ijj

ija

uuAA

∂−

2ijiij A ∂

=(−

=

ijk

.

∂=

.3סימטרי מסדר - הוא אם כן טנסור אנטיε יויטה'צ-טנסור לוי

תמיד ניתן לחשוב עליו כעל מטריצה בשני אינדקסים (פלים ביטוי בעל שני אינדקסים כאשר כו

למשל , בביטוי סימטרי ביחס לשני אינדקסים אלו יישאר בתוצאה רק החלק הסימטרי) אלו

סימטרי יישאר רק החלק האנטי -כאשר כופלים אותו בביטוי אנטי.

הסיבה לכך היא שכפל של ביטוי סימטרי . סימטרי

אזי , סימטרית -ו, סימטרית- אנטיתהי : הוכחה. סימטרי מתאפס-בביטוי אנטי ijAijB

jijiijij BABA = ijij BA− ,ובשני , יהר הראשון השתמשנו בתכונות הסימטרכאשר במעב

והעברת , הגענו לביטוי שנראה כמו . סים עליהם אנו סוכמיםהחלפנו את שמות האינדק

.אגף תיתן

jiijsjiij xxAxxA )(=

)()()( jijiijajijiij xvvxAxvvxA −=−

−= )(

xx −=

0=ijij BA

27

חזרה על תנע זוויתי: 3פרק

:לפני שנדבר על סיבובים נחזור בקצרה על נושא התנע הזויתי בפרק הבא נדבר על סיבובים אולם

: יחסי החילוף הבאים ידי –תנע זויתי מוגדר על

[ ][ ][ ]

=

=

=

xzy

yxz

zyx

JiJJ

JiJJ

JiJJ

ˆˆ,ˆ

ˆˆ,ˆ

ˆˆ,ˆ

h

h

h

] : ובצורה כללית ] kijkji JiJJ ˆˆ,ˆ εh=

−=

npermutatioanticyclichaveindexesindenticaltwo

npermutatiocyclichave

ijk

ijk

ijk

101

ε

2222 ˆˆˆˆzyx JJJJ ++=

±Jyx JiJJ ˆˆˆ ±=±

2JzJ

,כאשר

, עם כל רכיבי התנע הזויתיותחילופיהמקיים :נגדיר אופרטור קזימיר

: דרים כךהמוג וכן אופרטורי העלאה והורדה

צריך שיתקיימו יחסי חילוף ולכן אפשר ) ע"למצוא ע( לאפיין מצבים כמו כן אנו יודעים כי על מנת

.להשתמש רק ברכיב תנע אחד בכל פעם

: היינוע של " עb- וע של " עaנניח: לדוגמה

babbaJ

baabaJ

z ,,ˆ,,ˆ 2

=

=

mlba: אנו נשאף להראות כי ,, ⇒b :- וaע " ונמצא במפורש את הע

: כלומרע של " אינם משנים את העניתן לראות כי , שמשום

( ) ( )baJ ,ˆ±abaJJbaJJ ,ˆˆ,ˆˆ 22

±± ==

[ ] 0ˆ,ˆ 2 =±JJ±J2J

[ ,ע משתנה ולכן"הע, על אם מפעילים את , ] -לעומת זאת משום ש ±± = JJJ zˆˆ,ˆ mhzJ±J

( ) ( ) ( ) baJbbaJJJbaJJ zz ,ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ±±±± ±=+= hhm

+

+=+h: נקבל,Jba פועל על -כש baCbaJ ,,ˆ

−=−h: נקבל,Jba− פועל על -וכש baCbaJ ,,ˆ *

+−J−

++

+

=−=

+=

JJiJJ

JiJJ

yx

yx

ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

J : אופרטורים הרמיטייםהם - והיות ואופרטורי העלאה והורדה

28

) : נקבל ש ) ( )+++

++++−−+ +=+=− JJJJJJJJJJ z

ˆˆˆˆ21ˆˆˆˆ

21ˆˆ 22

: משני הצדדים ונקבל,baנפעיל

( )a+babababaJJba z ≤≤−→≥→≥−⇒≥− 2222 00,ˆˆ,

maxb2maxba ≥

, - המקייםקיבלנו שמצבים חסומים היינו צריך להיות חסם עליון שנקרא לו

ˆ,0 -לפיכך נדרוש שmax =+ baJ

: כן-כמו0,ˆˆ)2(

ˆˆˆˆˆ)1(

max

22

=

−−=

+−

+−

baJJ

JJJJJ zz h

) .: ונקבל) 2(לתוך ) 1(נציב את ) 0, maxmax2max =−− babba h

( )

)1(max

maxmaxmax2max

+==

+=+=

jjajb

bbbba

h

h

hh

: כלומר

ˆ,0 - וכך נקבל שminb - ונדרוש שבאותו אופן נקבע חסם תחתון שנקרא לו min =− baJ

maxmin

maxmin

bbbjmjmb

bb

≤≤<<⇒= : מצביםיש 12 +j

−=h

: אם כן קיבלנו את התוצאה הצפויהmjmmjJ

mjjjmjJ

z ,,ˆ,)1(,ˆ 22

h

h

=

+=

:חיבור תנע זויתי

)נגדיר מרחב ממימד )( )1212 21 ++ jj :2211 ,, mjmj ⊗

212121ˆˆˆˆˆˆˆ JJJIIJJ +≡⊗+⊗=

: תוצאת חיבור התנע הזויתי אף היא תנע זויתי

: באמצעות קיום יחסי חילוף נוכיח טענה זו

[ ] ( )( ) ( )( )

[ ] [ ] zzzyxyx

xyxyyxyxxyyxxyyx

xxyyyyxxyx

JiJiJiJJJJ

JJJJJJJJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ

212211

1221122122221111

21212121

hhh =+=+=

=−−++−+−=

=++−++=

21ˆ,ˆ JJ ] : חילופיים כלומר -כאשר השתמשנו בעובדה ש ] 0ˆ,ˆ

21 =JJ

באותו האופן מראים ששאר יחסי החילוף של התנע הזויתי מתקיימים ובכך משלימים את

.י בעצמהההוכחה כי תוצאת חיבור תנע זויתי הינה תנע זוית

29

mmmjmj : עתה נבדוק האם המצבים אורתוגונליים ',', δ=

)'(,',0 : הוכחה,','',,

,',,',=−

=

=mjmjmm

mjmjmmjJmj

mjmjmmjJmj

z

zh

h

h

'm≠ - ש מכאן נובעm-המצבים העצמיים לא מנוונים והם אורתוגונליים היות ו

,',0 ל.ש. מ =mjmj

,',' :תה נשאף למצוא את הביטויים הבאיםע, -אם כן קיבלנו ש mmz mmjJmj δh=

?,',)(

?,',)(

=

=

mjJmjב

mjJmjא

y

x

: לשם כך נשתמש באופרטורי העלאה והורדה

−=

+=⇒

−=

+=

−+

−+

−

+

)ˆˆ(21ˆ

)ˆˆ(21ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

JJi

J

JJJ

JiJJ

JiJJ

y

x

yx

yx

ˆ,,1: כזכור( += ++ mjCmjJ m+J−J ) הוא והצמוד ההרמיטי של ,

: אם נשתמש במשוואות הבאות

mjCmjJCmjJJ

CmjJmjJmj

mm

m

,1,ˆ,ˆˆ1,ˆ,ˆ, *

+−++−

+++−

=+=

+==

-נקבל ש2,ˆˆ, ++− = mCmjJJmj

+mC : נחשב במפורש את

[ ] zzyxyxyxyx JJJJiJJJiJJiJJJ ˆˆˆ,ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆ 222 h−−++=+−=+− J 2=

: נציב את המשוואה לעיל בקודמתה ונקבל

[ ]

)1)((

)1()1(

)1(

)1()1(,ˆˆ,

22

222222222

++−=

=+−+=

=−−+=

⇓

−−+=−−+==

+

++−

mjmj

mmjj

mmjjC

mmjjmmjjCmjJJmj

m

m

h

h

h

444444444444444 3444444444444444 21hhhh

,1: באותו אופן −= − mjCm,ˆ− mjJ−mC ))(1(: הוא והמקדם +−+=− mjmjCm h

30

: אלמנטי המטריצה היחידים השונים מאפס הם+−−−

−+++

==−

==+

)1(

)1(

,ˆ1,

,ˆ1,

mm

mm

CCmjJmj

CCmjJmj

−

+

m

m

CC

+−

−+

)1(

)1(

m

m

C

C . מקבלים כשפועלים שמאלה - מקבלים כשפועלים ימינה ואת

2211יבור התנע הזויתי ניתן לבנות שני בסיסים שונים הפורשים את מרחב ח ,, mjmj ⊗

zz JJJJ 2221

21

ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

: חילופיים ואזהאחד הוא בסיס בו האופרטורים

2211 ,, mjmj ⊗

22

21

2 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ JJJJ z

1221 ,,, jmjm =

: חילופיים ואזהשני הוא בסיס בו האופרטורים

2211 ,,, mjmj ⊗

( )[ ] 0ˆ,ˆ

ˆˆ2ˆˆˆˆˆ22

1

2122

21

2

212

=

++=+=

JJ

JJJJJJJ

12 ,, jMJj =

-שני נובעת מכאשר חילופיות האופרטורים בבסיס ה

: מקיים) בדומה לראשון(ובסיס זה MJjjMMJjjJ

MJjjJJMJjjJ

z ,,,,,,ˆ,,,)1(,,,ˆ

2121

212

212

h

h

=

+=

: גורדן באופן הבא-ידי מקדמי קלבש-הקשר בין שני הבסיסים ניתן על

∑ ∑+

−=

+

−=↓

=1

11

2

22

,,,,,,,,,,, 212211221121

j

jm

j

jmJMjjmjmjmjmjMJjj4444 34444 21

C.G גורדן -מקדמי קלבש

:ידי–והמעבר ההפוך בין הבסיסים באמצעותם ניתן על

∑ ∑+

−= −=

=21

21

221121212211 ,,,,,,,,,,,,jj

jjJ

J

JM

mjmjMJjjMJjjmjmj

2m211מספר המצבים בשני הבסיסים ,,, jmjו -MJjj ,,, היינו שניהם בעלי , הוא זהה21

) .: אותו מימד )( )1212 21 ++ jj

2121 : שוויון המשולש-מכאן מתקיים האי jjJjj +≤≤−

: כלומרממשייםכן נקבל שהמקדמים -כמו

221121212211 ,,,,,,,,,,, mjmjMJjjJMjjmjmj =

Mm

+= m -עתה נרצה להוכיח ש 21

31

: הוכחה

ובכך הוכחנו שעבור מקדמי - מתאפסים כשG .Cגורדן-מקדמי קלבש, אם כן

mmגורדן שונים מאפס נקבל -קלבש =+ ל.ש. מ 21

( )

0,,,,,,)(,,,ˆˆ,,,0

,,,,,,ˆ,,,)(,,ˆˆ,,,ˆ

ˆˆˆ

21221121212211

2121

2211212211212211

21

=−+=−=⇒

⇒

=

+=⊗+=

+=

↓4444 34444 21

h

h

h

MJjjmjmjMmmMJjjJJmjmj

MJjjMMJjjJ

mjmjmmmjmjJJmjmjJ

JJJ

zz

z

zzz

zzz

Mmm ≠+ 21

M

: דוגמה לחיבור תנע זויתי

2m211 ,21,,

21 jmj == MJjj ,,

21,

21

21 ==

2121 : נקבלשוויון המשולש -לפי האי jjJjj +≤≤−

Singlet 0,0,21,

21

21 ==== MJjj

−====

====

====

1,0,21,

21

1,0,21,

21

1,1,21,

21

21

21

21

MJjj

MJjj

MJjj

Triplet

32

סיבובים והקשר שלהם לתנע הזוויתי: 4פרק

:הזויתי נוכל לדון בנושא הקרוי סיבוביםעתה כשכבר ברור לנו נושא התנע

זווית ציר הסיבוב ו, מטריצת הסיבובR כאשר : נגדיר מטריצת סיבוב באופן הבא

.הסיבוב

),( αnR rnrα

: היאϕ בזווית zלדוגמה מטריצת הסיבוב סביב ציר

−=

1000cossin0sincos

),( ϕϕϕϕ

ϕznR r

)(ˆ RD

)()()( 321321 RDRDRDRRR

חבורה ראה הגדרת(אורתוגונלית מהוות חבורה ) 3x3מטריצות (Rת הסיבוב ומטריצ, למעשה

כי הן מטריצות אורתוגונליות סימטריות כלומר המטריצה שווה להופכית שלה )4,5בעמודים

SO(3) (SO(3)-Special Orthogonal 3D) זו נקראת חבורה , 1=והריבוע

) סיבוב ושיקוף היינו)-1=(דטרמיננטה ; סיבובהיינו 1=דטרמיננטה : המשמעות הפיזיקלית(

מהווים חבורה מהוות חבורה ובאותו אופן גם אופרטורי הסיבוב Rמטריצות הסיבוב

:כלומר מקיימים

=⇒= :סגירות תחת כפל

)(ˆ)( : ר יחידהקיום איב RDIRDRIR =⋅⇒=⋅

)()(ˆ)()( 111

11

111

11 RDRDIRDRDIRR −−−− =⇒=⇒=

321321 )()( RRRRRR

: קיום איבר הופכי

=: אסוציאטיביות

:נשאף למצוא את הקשר בין התנע הזויתי לסיבובים לשם כך נתבונן בסיבובים אינפניטיסימליים

: היאzהראנו שמטריצת הסיבוב סביב ציר כבר

−

−==

1000cossin0sincos

),()( ϕϕϕϕ

ϕϕ zz nRR r

נקבל את ת זווית סיבוב אינפיניטסימאליεאולם כאשר מבצעים סיבוב אינפנטיסימלי באשר

:מטריצת הסיבוב הבאה

אנו מזניחים סדרים של אפסילון (=

).ממעלה שנייה ומעלה

−

−−

100

02

1

02

1

)(2

2

εε

εε

εzR

וסביב xסביב ציר , התאמהשאר מטריצות הסיבוב הרגילות והאינפנטיסימליות ב, באותה צורה

: יראו כךyציר

33

ϕ

−=⇐

ϕϕϕϕ

cossin0sincos0001

)(xR

−

−−=

210

210

001

)(2

2

εε

εεεxR

ϕ

−=⇐

ϕϕ

ϕϕ

cos0sin010

sin0cos)(yR

−−

−

=

210

010

02

1

)(2

2

εε

εε

εyR

xyz JJJ ,,

.שהיוצרים של הסיבובים הם למעשה רכיבי התנע הזויתי אנו נשאף להראות

: תנע זויתי כוללכאשר J

h

rr

h

rr

r

r

)ˆ()(

)(

),(

),(nJi

l

nJi

enD

enR⋅−

⋅−

=

=α

α

α

α

: וטרנספורמציית הסיבוב היא

εε

εε

ieGGie

GiGi 1ˆˆ1

ˆˆ −

=⇒+≈

. הנקרא יוצר טרנספורמציית הסיבובGכאשר מתוך הקירוב האינפנטיסימלי חילצנו את

:נתבונן ביחסי החילוף של סיבובים, ראשית, לשם כך

1)(0000000

12

10

21

12

1

02

1

)()()()(

22

2

2

2

22

2

22

2

−=

−=

=

−−

−−

−

−

−−

−−

−

=−

εεε

εεε

εε

εεε

εεε

εεε

εε

εεεε

z

xyyx

R

RRRR

2ε

אינם חילופיים עבור , y- וxשסיבובים אנפינטיסימליים סביב צירים שונים לדוגמה ניתן לראות

יחסי חילוף אלו כבר מרמזים εאולם עבור סדר לינארי ב. וסדרים גבוהים יותרסדרים של

.על איזשהו קשר בין סיבובים לתנע זוויתי

נבצע טור טיילור של פונקציה כלשהי ונביעו באמצעות אופרטור , הלזהקשר כדי להבין את מהות

C :) לציון אופרטור הגזירהDכ משתמשים באות "בדר ( גזירה

34

)()()(...)ˆ!2

ˆ1(...)(''!2

)(')()()(2

22

xfexfexfCxCxxfxxxfxfxxfxCi

ixC ∆−∆ ==+

∆+∆+=+

∆+∆+=∆+ h

h

⇔=+ GG

.....ˆ1ˆ +−=− Gie Gi εε

ˆ

)Cכאנלוגיה לאופרטור הגזירה ( אופרטור הרמיטיGנניח עתה

)( : )כאנלוגיה ל ( של טרנספורמציה אינפנטיסימלית1פיתוח מסדר xCie ∆−

: יוצר הטרנספורמציה G-נקרא לε

ε

ieG

Gi

−−

=− 1ˆ

ˆ

( )( )

: נראית כךzסביב ציר האינפיניטיסמלי סיבוב כזכור מטריצת ה

−

−−

=

100

02

1

02

1

)(2

2

εε

εε

εzR

2ε

−=

1000101

)( εε

εzR

( )

:ונקבל) 2 פיתוח מסדראין צורך ב (1 ניקח רק פיתוח מסדר עתה

: עד כדי קבוע פלאנק הואקיבלנומה ש, למעשה zJ

−=

−−

0000000

1)(i

i

iRz

εε

h

: ונקבל ונחלק בו ית בנכפיל את הטרנספורמציה האינפנטיסימללפיכך

)ˆ( Gi

eεh

h

−

−=

0000000

ii

J Z h

−=00

00000

iiJ x h

−=

00000

iJ y h

: באותו אופן נקבל גם ש: ואז

.

00i

] ).ואכן אם בודקים מטריצות אלו מקיימות את יחסי החילוף ( ] zyx JiJJ h=,

ם רכיבי התנע הזוויתי ה ו אופרטור הסיבוב הוא הוכחנו כי אם כן

.יוצרי הסיבובים

h

rr

r)ˆ(

)(),(nJi

eRDnD⋅−

==α

α

35

אוילרם וזוויותסיבובי: 5פרק

הללו , כי סיבוב של גוף קשיח ניתן לתאר באמצעות סיבובי אוילרסית למדנוקל הניקמכב

כגוף , xyמצאת על משטח נ הסקה דקהד הדגמה נבחרשםל. מוגדרים באמצעות שלושה שלבים

:נבצע את שלושת השלבים הבאים אשר עליו, קשיח

בביצוע הסיבוב הזה ציר , כיוון השעוןנגד αבזווית , z -נסובב את הדסקה סביב ציר ה .1

'a .( yציור (קבל ציר של הדסקה משתנה ומת -ה

y

y

כתוצאה מכך הדסקה מכוונת כעת לא סביב , β בזווית 'נסובב את הדסקה סביב ציר .2

'b.( zציור (zמנו ס חדש שנ הראשוני אלא לכוון ציר z -ציר ה

z משתנה ומתקבל ציר ציר השונקבל γבזווית ' סביב ציר נסובב את הדסקה .3

).cציור (

'y''y

( ) ( ) ( )

) '( לב כי פסיק נרשום כעת את ההצגה האופרטורית של שלוש פעולות סיבוב אלו כאשר נשים

וללא , הגוףמציין כי הסיבוב נעשה סביב הציר של הגוף ולכן מטריצת הסיבוב היא סביב ציר

.המרחבזהו ציר ) '(פסיק

( )αβγγβα zyz DDDD '',, ≡

ניקת הקוונטים היא סיבוב מערכת הצירים של הגוף סיבובים במכרלתיאודרך מקובלת יותר

. כאשר מערכת הצירים של המרחב מקובעת

36

): הנראה בציור שבעמוד הקודם ('y סביב βנגדיר את היחס הבא המתאר סיבוב יחיד בזווית

( ) ( ) ( ) ( ) ( )αβαβ 1'* −= zyzy DDDD

( ) ( ) :באותה צורה נרשום

( ) ( ) ( )βγβγ 1'''** −= yzyz DDDD

( )

:ונקבלבנוסחה המרכזית מהעמוד הקודם (**) - ו(*) אותנציב את נוסח

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )γβα

γααβααγαβα

αββγβαβγγβα

zyz

zzzyzzzzyz

zyyzyzyz

DDD

DDDDDDDDDD

DDDDDDDDD

=

===

==≡−−

−

11

'1

'''',,

הם יוצריו ורכיבי התנע הזוויתי : אופרטור הסיבוב הינוכאשר

): ולפיכך ) hzy Ji

z eDγ

γ−

=;hhz Ji

y

Ji

z eDeDβα

βα−−

== ;

( ) ( )

h

rr

r)ˆ(

)(),(nJi

eRDnD⋅−

==α

α

( ) ( )

: הםD(R)אלמנטי המטריצה של אופרטור הסיבוב

mjemjmjRDmjRnJi

mm,',,)(',

)ˆ(

'

h

rr⋅−

==α

jD

.(Winger functions) ויגנרלעיתים נקראים אלמנטי המטריצה בשם פונקציות

mjRD -משום ש, ים שונים יתבטלו- עבור מצבים בעלי אלמנטי המטריצה של ,

:2J עם אותם ערכים עצמיים הוא וקטור עצמי של

( )RDj( )

( ) 21 h+jj

( ) ( ) ( ) ( )[ ]mjRDjjmjJRDmjRDJ ,1,, 222 h+==

2Jkj

kjjאזי ממילא הוא חילופי עם כל , חילופי עם מכיוון ש : אפשר להסביר זאת גם בצורה אחרת

.סיבוב לא יכול לשנות את ערכי ולכן ניתן לומר כי , פונקציה של

) המטריצה הנוצרת מתוך )mm

jD'

) ממימד היא תי הצגה בל והיא למעשה , (

אימה לאופרטור הסיבוב טריצה המתכלומר מ. ב הסיבוביםפריקה של אופרטור הסיבוב במרח

הבסיס ים אתרוחבואם , לא בהכרח על ידי ערך אחד של מתאפיינת , במרחב הסיבובים

. דיאגונלית-מקבלים מטריצת בלוקיםהמתאים

( )R( )1212 +×+ jj

j

עם ערך מוגדר י " הנוצרת עהוא מטריצה ממימד כל בלוק , כאשר

. וכל אחד מבלוקים אלו הוא מטריצה בלתי פריקה.של

( ) ( )1212 +×+ jj( ) ( )Rmm

jD'

j

37

j : כי מסוים יוצרות חבורהמטריצות סיבוב המוגדרות על ידי

( .α בזווית המתארת סיבוב)מטריצת הזהות זו מטריצה ממימד . א ( )1212 +×+ jj0=

ללא שינוי בציר הסיבוב , הסיבוב בזווית ההפוכה מטריצת המטריצה ההופכית היא . ב

.והיא שייכת לחבורה,

αα −→

n

( ) ( ) :לחבורה אף היא מטריצה השייכת מכפלה של שתי מטריצות השייכות לחבורה נותנת. ג

( ) ( ) ( ) ( )21'''2'1'

''' RRDRDRD jmm

jmm

m

jmm =∑

21RR

( ) ( )

. מייצגת סיבוב אחדכאשר המכפלה

:כשם שאופרטור הסיבוב הוא אוניטרי, מטריצת הסיבוב היא אוניטרית. ד

( )RDRD mmj

mm*

'1

' =−

: באופן הבא,mjוב על המצב נפעיל את מטריצת הסיב

mjRDmj ,, →

j

m

( ) ולרוב מקבלים שהערכים שמשתנים הם -הסיבוב אינו משפיע על ערכי ה, וכפי שכבר הזכרנו

.-ערכי הרק

,ב חשב את אמפליטודת ההסתברות להימצאות במצנרצה ל, לפיכך 'j m

( )

:

( ) ( ) ( )∑∑ =='

''

',,',',,m

jmm

mRDmjmjRDmjmjmjRD

המצב המסובב כך שיתקבל הנדרשת הם למעשה האמפליטודהאיברי המטריצה , היינו

', mjהלא מסובב מצב מהmj,

( ) ( )

.

( ) ( )RD jmm '

: באמצעות זוויות אוילר את הסיבוב הכללי ביות ניתן לאפייןראינו כבר כי

( ) mjemjemjeeemjDyzyz iJ

mmiiJiJiJ

jmm ,',,',,, ''

hhhh

β−γ+α−

γ−β−α−

==γβα

mjemjd :ר פונקציית ויגננולה קרא, d מטריצה חדשה ובכתה הגדרנוyiJ

j ,', h

β−

≡β ( ) ( )βj( ) ( )

38

),(: 6פרק ϕθmlY הרמוניות ספריות Spherical Harmonics

וקטור בקואורדינטות כדוריות ניתן לכתוב . נציאל מרכזינסתכל על חלקיק ללא ספין תחת פוט

nrrx : בצורה rr⊗≡⊗= ϕθ ,

: על מצב במרחב האנרגיה מביא ל: הטלת וקטור מיקום

Y: )(rRnl ולחלק זוויתי יכולים להתייחס בנפרד לחלק רדיאליאנו

),()(,,' ϕθmlnl YrRmlnx ⋅=

r

),( ϕθml

xr

),()(, ϕθml

ml YnYmln ==

rr

),( ϕθml

למצב ( אמפליטודת ההסתברות - כYאחרונה רואים שאפשר להתייחס ל מהמשוואה ה

נדר 'גניתן לייצג על ידי פולינומי לY פונקציות .(nלהימצא בכיוון ) l,mהמאופיין על ידי

. שמהווים בסיס שלם ארתוגונלי

ml

m=0 ועבור אשר , Yשל לפיכך הם למעשה מקרה פרטי θ-נדר ישנה תלות רק ב'גבפולינומי ל

: ונראה כךסימטריה אזימוטליתמקרה זה מתאר , -אינו תלוי בYולפיכך

ml

mlϕ

Y )(cos4

12),(0 θπ

ϕθ ll Pl +=

),( ϕθml :נדר' ופולינומי לגYתכונות שללהלן ה

:אורתוגונליות •

''*'

'

1

1

2

0

1

1

2

0

),()],([cos,','cos mmllm

lm

l YYddmlnnmldd δδϕθϕθϕθϕθππ

==∫ ∫∫ ∫−−

rr

'' :לזנדרנירמול של פולינומי •

1

1 122cos)(cos)(cos llll l

dPP δθθθ+

=∫−

1)1()0(cos == :כאשר הדרישה היא ll PP

),( ϕθml

)()()()()()( ''

:ראינו קודם שמתקיים. סיבוב לבין מטריצות Y ניתן למצוא קשר בין

γβααβγ zyzzyz DDDDDD =

γβα .ת אוילר זוויו-כאשר ,,

),( ϕθml

0,,( ===

: אין תלות בזווית שלישית כמו באופרטור סיבוב ולכן נבחר אופרטור סיבוב מסוייםYב

=γ. γθβϕαD0 שבו ביטלנו את התלות בזווית השלישית בכך שבחרנו (

:zrלהציג כסיבוב של ניתן nrוקטור מצב )0,,(

)0,,(

θϕ

γθβϕα+=

====

Dzn

zDnrr

rr

=∑∑ :נשתמש ביחס שלמותl m

zmlmlDn rr ,,)0,,( θϕ

39

, משמאלאם נכפיל את המשוואה ב . אפשריים הl כל ערכי אתהמשוואה האחרונה מכילה

: יתרוםרק איבר אחד מהתור של

,0

,

,

(

θ

θ

ϕ

)0,,(

,'

(

*'

θϕ

∑∑

ml

l m

Y

mlm

D

ml

m

lm

ml

ml

m

lmm

ml

m

lmm

mm

lm

lmmmmmmll

l m

YD

Ynml

YDYD

YzmlmlDlmlml

zmlmmlDzmlmlmlnml

r

rzr

l

m . משתנים m קבוע ורק lכלומר , ים מאותה הצגה-Yי " עYקיבלנו שאפשר לפרוס l

', ml

l

),0()0,,(),(

),(',

)()0,(),0(

),0(,,)0,,(,,','

,',)0,,,,)0,,',',

*

'0

*'

*00

*'

0*

''''

ϕθϕϕθ

ϕθ

ϕθϕδϕθ

δϕθθϕδδδ

θθϕ

=⋅=

⇓

=

===

======⇒=

===

∑

∑∑

∑

∑∑ rrr

ml

)0,,(0 θϕlmD ),( : באופן הבא ל Yכמו כן אפשר לקבל את הקשר הישיר בין ϕθm

l

-אנו יודעים ש

0000

*

4)12()1(

4)12())0(cos(

4)12(),0(, mmlmlm

ml

lPlPlYzml δπ

δπ

δθπ

δϕθ +=

+==

+===

r

),,0( -לכן אם נציב זאת בפיתוח הקודם נקבל ש4

)12(),( 0*' θϕ

πϕθ l

mm

l DlY +=

),( : או את הקשר ההפוך)12(

4)0,,( *'0 ϕθπθϕ m

llm Y

lD

+=

0 : ר היינוגנית ופונקציו אחת מנקבל בדיוק את) סימטריה אזימוטלית( נשים לב שעבור

)(00 θl =

=m

)(cosθlPd

)(RD הסיבוב שלנו , לפיכך, ניתן להציג באמצעות אקספוננטיםראינו קודם שאופרטור סיבוב

:יראה כך

hh

yz LiLi

eeDˆˆ

)0,,(θϕ

θϕ−−

=

:ואז נוכל לקבל את פונקציות ויגנר באופן הבא

)(,',,)0,,(', '

ˆ

θθϕ ϕθ

ϕ lmm

imLi

im demlemlemlDmly

−−

− == h

),( ϕθml

:באופן הבאYכל לקבל קשר גם בין פונקציות ויגנר לנו

)(4

)12()0,,(4

)12(),( 0*' θ

πθϕ

πϕθ ϕ l

moiml

mm

l delDlY −+=

+=

),( ϕθml .) פרקטית יותר ונוחה יותר לשימושYפונקציות ויגנר לבין נוסחה זו המקשרת (

40

ים כדוריטנסורים טנסורים ובפרט,סיבובים :7פרק

המושג של טנסור ', חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2בפרק (שתמש במושג הטנסורים בפרק זה נ

).בפרק זה נסביר בקצרה את מושג הטנסור. מוסבר בצורה יותר פשוטה ומפורטת

zxyxxx :נגדיר קואורדינטות ≡≡≡ 321 ;;ij

←=

.Tטריצהמראשית נגדיר טרנספורמציה מסוימת אותה נציג באמצעות , לצורך הגדרת טנסורים

∑ . אחרי הטרנספורמציה→לפני הטרנספורמציה j

jij

i xTx'

jij

i

jij

i xTxTx == ∑'

i

←= jij

i VTV '

j

←= −j

jii UTU )(' 1

mm

ml

lm

lm

jm

lj

ml

jm

lj

mjml

lj

jj xxxx

mlml

TTxxTTxTxTxx ==

≠=

====== −−− δδ01

)()()('' 111

lm

jm

il

ij

lmjm

il

ij

NTTN

MTTM

)('

'1−=

=

lmp

pk

jm

il

ijk STTTS )( 1' −=

1−

: סוכמים עליו– אינדקס שמופיע פעמיים ,לפי הסכם הסיכום של איינשטיין

: הוא וקטורVאזי , עוברים אותה טרנספורמציה כמו הקואורדינטותVאם הרכיבים של

וקטור קונטרווריאנטי

V -הי הוא וקטור ביחס לטרנספורמצ.

וקטור קווריאנטי

אינווריאנטית תחת סקלריתמכפלה .איבר ששומר על צורתו תחת טרנספורמציה נקרא סקלר

:טרנספורמציה

.1 ווקטור הוא טנסור מסדר ,0טנסור מסדר סקלר הוא

:טנסור מסדר שני כאיבר בעל שני אינדקסים אשר מקיים טרנספורמציה נגדיר

). רכיבים9לטנסור כזה (

:אינדקסים אשר מקיים טרנספורמציה בעל שלושה טנסור מסדר שלישי באותו אופן

). רכיבים27לטנסור כזה (

.הוא שהם שומרים על אותה צורה תחת אותה טרנספורמציה, היתרון הגדול של הטנסורים

ם אין הבדל בין אינדקסי–) Tמקיימות ( טרנספורמציות אורתוגונליותעבור

.קונטרווריאנטיים ל קווריאנטיים

= T

41

: הנחות בתורת היחסות2הגדיר טנסורים בשל אינשטיין

.מהירות האור קבועה בכל מערכת אינרציאלית .1

.משוואות התנועה אינן משתנות במעבר בין מערכות אינרציאליות .2

:בתורת היחסות מתקיים

2222222222 '''' zyxtczyxtc −−−=−−−

zxyxxxctx ==== 3210 ;;;24

23

22

21

24

23

22

21 '''' xxxxxxxx +++=+++⇒

23222120

33

22

11

00

)()()()( xxxxxx

xxxxxx

xx

jj −−−=

−=−=−==

jj xx

−−

−

11

11

4ר לשם נוחות נגדי. וגונליתת שמקיימת טרנספורמציה שאינה אורתקיבלנו מטריקה מיוחד

:ווקטור לטיפול בבעיה זו

כלומר אין הבדל בין קרדינטות , ל ישמור על אורתוגונליות של טרנספורמציית המעבר" וקטור הנ4

:קווריאנטיות וקונטרווריאנטיות

:אנטי תחת מטריקה אינוורי קיבלנו ש

זרם4משוואת לורנץ בגישת

:משוואת הרציפות

tj

ticicjj

icjjicj

∂∂

+∇=∂

∂+∇=∂

==

ρρ

ρρ

µµ

µ

rr

r],[;4

⇐∂=∂ µµµµ '' jjישמור על הצורה תחת הטרנספורמציה .

ונביא , לשם כך נכיר מושג חדש הנקרא טנסורים כדוריים, נרצה לקשר בין טנסורים לסיבובים

: חשוביםכמה נתונים

.ץנם מקרה פרטי של טרנספורמציית לורנהסיבובים ה •

• R 1 :טרנספורמצית סיבוב אורתוגונלית

1−

+

+

=⇒

==

=RR

RRRRRR T

T

T

)('' mkjmikji WVRRW =

kkWV

. תחת טרנספורמציות סיבובאינווריאנטים ,ורים כדורייםטנס •

אפשר , V : בשלושה מימדיםנסתכל על טרנספורמציית סיבוב •

Vלראות שמתקיים ii W kiki ואז V: משום שלפי הגדרת הווקטור( ''= VR='

42

kkmkkmmkmiikmkimikii WVWVWVRRWVRRW ==== − δ)()()('' 1

mkW

λλσλσλµλσµσλσµµλσµσλµλµµµ

µ νννδννννννννν

V( , קיבלנו אם כן

. אינה משתנה תחת טרנספורמציית סיבובVשהעכבה

λσ νν =

023

23

13

AA

4342symmetric

Tνµµν +

µν νµνν =

µν νµ−=

)σλT−

הבדל בין קואורדינטות כפי שהזכרנו קודם עבור טרנספורמציות אורתוגונליות אין •

ומשום שטרנספורמצית סיבוב היא אורתוגונלית כלל , קונטרווריאנטיות לקווריאנטיות

:זה מתקיים גם לגביה

===== −+ RRRRRR )('''' 1

−−−= 0

0

12

12

12

AAA

AAij

לדוגמה (תחת טרנספורמציית סיבוב מטריצות אנטי סימטריות •

) תלויים רכיבים בלתי3סימטרית יש - במטריצה אנטי

באותו רכיבים בלתי תלויים6 בהן יש( ומטריצות סימטריות , סימטריות-נשארות אנטי

.אופן נשארות סימטריות

9 אשר לו טנסור מסדר שניטרנספורמצית סיבוב בשלושה מימשים אפשר לקשר עם •

:י הזהות"סימטרי ואנטיסימטרי עחלק ניתן לפרק לטנסור כזה . רכיבים

T . 143421

symmetricanti

TTT )(21)(

21

νµµνµν +−=

−

µν :T הטרנספורמציהמטריית הוקטור תקבע לפי המעבר לאחרסי

סימטרי

νν סימטרי- אנטי

:סימטרי-נתבונן על החלק האנטי

(21

21

21)''(

21

λσνσµλσλµλνσλσνσµλνµµν TRRTRRTRRTT ⋅=−=−

.סימטריים- רכיבים אנטי3 ישנם

:והחלק הסימטרי

)(21)''(

21

σλλσνσµλνµµν TTRRTT +=+

639

. רכיבים סימטריים6 ישנם

=+ :ולכן הפירוק ולרכיב 0-בה שווה ל חלוקה לרכיבים שבהם העכנוכל לפרק את החלק הסימטרי על ידי, אולם

:באופן הבאשונה מאפס ודד שעבורו ישנה עכבה ב

156

)2(21)(

21

+=⇒

+−+=+ iiii TTTTTT σλλσσλλσ

43

:והפירוק המלא נראה כך

5319

)32(

21)(

21

31

++=↓↓↓↓

−++−+=

−4444 34444 214342143421

סימטרי

ii

עכבהסימטריאנטי

ii TTTTTTT µννµµννµµνµνµν δδ

ij

jiij VUT =

הוא ו היות ) dyadic( דיאדי טנסור נקרא ה Tרטזי מסדר שני קטנסור אנו התעסקנו עד כה עם

: של שני וקטורים) outer product ( מורכב ממכפלה חיצונית

כך שכל , שכל אחד מהם בלתי פריק לרכיביםואפשר לפרקהיא שטנסור דיאדי הבעייתיות עם

:ראינו איך נראה פירוק כזהמקודם . ת סיבובים יתנהג אחרתרכיב תחת טרנספורמצי

)32(

21)(

21

31

µννµµννµµνµνµν δδ iiii TTTTTTT −++−+=

53133

,קרטזי לטנסורים כדוריים בלתי פריקיםק הטנסור הפירוק כזה הוא דוגמה הממחישה את פירו

, ) רכיב אחד -העכבה(אינווריאנטי תחת טרנספורמצית סיבוב אשר סקלרהוא ראשון ה כאשר

בהר סימטרי ללא עכשלישי הוא טנסווה) רכיבים בלתי תלויים 3 ( סימטרי- טנסור אנטי–שני ה

×=++ :תתקבלהמשוואה שמ). כיבים בלתי תלויים ר5(

mlYm

l

)(r

צד ימין של המשוואה שהתקבלה נקשור להצגות בלתי פריקות של תנע זוויתי ומכאן נקבל

ים הם - Yהסיבה לכך היא ש. ים- י קומבינציה של "שטנסורים קרטזיים ניתן להציג ע

אפשר לפרקו לטנסורים מסדר נמוך - אי–בלתי פריק טנסור . ( טנסורים כדוריים בלתי פריקים

אפשר להציג כקומבינציה של ,של פוטנציאל חשמלי לדוגמא פיתוח מילטיפולי , יותר

l :טנסורים כדוריים בלתי פריקים

ml

lmV rYrd

rrrr ),('

|'|)()( 3 ϕθρ

∫ −=

rr

qrr )'())(

a∑

r '(*

φ צפיפות ,כאשר, =

:י"ניתנת ע) בגישה קוונטית ( המטען rr

Ψ.(

rφ

rΨ=ρ

),( ϕθml)(nm

l

Y: כבר ראינו שאפשר לכתוב אותן בצורה, Yניקח את ההרמוניות הספריות r ,

בוקטור נחליף את הוקטור עתה . י צמד הזוויות " הינו ציר הסיבוב המאופיין עnכאשר

V , מחליף את (ונקבל טנסור כדורי מסדרl ( עם מספר קוונטי מגנטי) היינו) מחליף את:

r),( ϕθnr

rkqm

)(VY qmkl

kqT.

r=

==

1 ) ונחליף את l עם Y ניקח k=במקרה שבו , לדוגמה וכך הלאה V- ב(

:- וkלהלן מספר דוגמאות עבור . kעבור סדרים גבוהים יותר של

znrz )(/ r=z

2=k 1=

),( ϕθml1=

zVTrzY

ππθ

π 43

43cos

43 1

00

1 =→==

44

±=→

±=⋅= ±

±

243)(

21

43sin

83 1

11

1yxi iVV

Tr

iyxeY mmππ

θπ

ϕ

( ) ( )2222

2222

2 3215

3215sin

3215

yxi iVVT

riyxeY ±=→

±=⋅= ±

±±

ππθ

πϕ

גישה אקטיבית או סיבוב הצירים בכיוון –סיבוב המצב : לסיבוב ניתן להתייחס בשתי צורות

. גישה פסיבית-ההפוך

: גישה פסיביתββ

αα

)(

)(

RD

RD

→

→

)()()( RDnYRD ml

: גישה אקטיביתr+

),0()0,,(),( *

'0

*' ϕθθϕϕθ =⋅=∑ ml

m

lm

ml YDY

),( ϕθmlY←)(nm

l

: בפרק הקודם ראינו שקיבלנו

Yואם נבצע פה את ההמרה r: באמצעות העברת אגפים פשוטה נקבל,

∑ −1' )('( mm

ml RnY =

'

' )()m

lml DnY rr

)(' : כאשר nnRDn rrr≡→

n אם נחליף את הוקטור נפעל לפי הגישה האקטיבית וr

בוקטור כמו מקודם נקבל

T ,ואז אפשר לכתוב : )(VY qmkl

kq

r=

==

)()()()()()()( '

'

*'

'

'

1' VYRDVYRDRDVYRD m

lm

lmm

ml

m

lmm

ml

rrr∑∑ == −+

kq

∑−=

+ =k

kq

kq

kqq

kq TRDRDTRD

''

*' )()()(

∑−=

+ =k

kq

kq

kqq

kq TRDRDTRD

''' )()()(

:באופן הבאT ורי בלתי פריק טנסור כדועכשיו נוכל לכתוב את אותה נוסחה באמצעות

: או

) . כמו מקודםT :ל תקיפה גם אם לא מתקיים"הפעם הכתיבה הנכאשר )VY qmkl

kq

r=

==)(

, של טנסור כדורי מסדר שני הוא הרכיב עם - למרות ש:לדוגמה

שלא כמו

2+=q

( )2yx iVV )הוא אינו יכול להכתב בצורה , + )VqkYr

.

( )( )yxyx iVViUU ++

פיתוח של אפרטור מתאפשרת באמצעותלהגדרת טנסור כדורי בלתי פריק , נוחה יותר ,דרך נוספת

) :סיבוב לטור חזקותה ) Lh

rr

h

rr

+−=

−=

JniJniRD εε 1exp

45

: ונקבלתנפיניטסימלינעבור לצורה אי

qkJniqkTJniTJni k

kq

kq

kq ,...)

ˆ1(',...)

ˆ1(...)

ˆ1(

'' ++=+−++ ∑

−= h

r

h

r

h

rεεε

: ונקבלε-נפתח את הביטוי עד סדר ראשון ב

[ ] ∑ ⋅+=⋅+'

' ,ˆ',,ˆq

kq

kq

kq

kq qkJnqkTiTTJniT

r

h

r

h

εε

:ומכאן נקבל הגדרה אקוויולנטית לטנסור כדורי בלתי פריק

[ ] ∑ ⋅=⋅'

' ,ˆ',,ˆq

kq

kq qkJnqkTTJn

rr

:מקרים פרטיים

• [ ] kq

q

kqqq

q

kq

q

kqz

kqz TqTqTqkqkqTqkJqkTJ hhh ==== ∑∑∑

'''

''

'' ,',,ˆ',, δ

• [ ] kq

kq TqkqkTJ 1)1)((, ±± +±= mh

r

וזה בגלל שטנסורים הם הצגה . אנלוגיה מלאה בין טנסורים כדוריים לבין תנע זוויתישיש רואים

:שונה של תנע זוויתי

±+±±=

=

± 1,1)((,

,,ˆ

gkgkgkgkJ

gkqgkJ z

h

h

)(kqT

לחשב ניתן , שאחראי על מעבר של אלקטרון בין רמות שונות באטוםm selection ruleבעזרת

:אלמנטי מטריצה של טנסור

qmm: אם מתקיים ',',',,0 : אזי מתקיים'≠+ =mjTmj kq αα

:ל" הנראשוןהפרטי המקרה הנוכיח באמצעות

[ ]

לשמmjTmjאזqmmאם

mjTmjqmmmjTqTmTmmj

mjTqJTTJmjmjTqTJmj

kq

kq

kq

kq

kq

kqz

kq

kqz

kq

kqz

:':0,,',','..

0,,',',')'(,,'',','

0,,',',',,,',','

−≠=

⇓

=−−=−−

⇓

=−−=−

αα

αααα

αααα

hhhh

hh

46

: יאז, בהתאמה- ו כדוריים בלתי פריקים מסדרנסורים הם ט - ואם : משפט 1

1

kq

2

2

kqZ12k Xk

; Xkq,1 kkT ,הוא טנסור כדורי בלתי פריק מסדר k. ∑∑=1 2

2

2

1

11,;, 22121

q q

kq

kq

kq Zqqkk

kq

1

1

kq

2

2

kqZ

∑−=

+ =k

kq

kq

kqq TRDRRD

''

*' )()()(

בנוסחה שכבר ,המופיעה למעלה- ו באמצעות T נציב את ההצגה של טנסור :הוכחה

רמצית ספותחת טרנ אכן משתנה ,נראה כי ו :ראינו

:הלז בהתאם לנוסחה ,סיבוב

X

kqT k

q DT

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

2

( ) ( )† ( ) † †1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 2 1 2 ' ' ' '

' '

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2' ' '' '

( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ( ) ( )

; ; ( ) ( )

; ; ; ' ' ; '' '

k kkq q

q q

k k k kq q q q q q

q q q q

q q q q

q

D R T D R k k q q k k kq D R X D R D R Z D R

k k q q k k kq X D R Z D R

k k q q k k kq k k q q k k k q

− −

= ×

= ×

= ×

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑1 2 1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

''

( ) ( )( '') 11 2 1 2 1 2 ' '' ' '

( ) ( )( '') 1'' '' 1 2 1 2 1 2 ' '' ' '

'' ' ' '' '

( ) ( )1 2 1 2 1 2 ' '

' '

; ; '' '' ( )

; ' ' ; '' ' ( )

; ' ' ; '

k q q

k kkq q q q

k kkkk qq q q q q

k q q q q

k kq q

q q

k k q q k k k q D R X Z

k k q q k k k q D R X Z

k k q q k k kq X Z D

δ δ

−

−

×

×

=

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑ ( ) 1'

'

( ) ( ) 1 ( )* 1 ( )' ' ' '

' '

( )

( ) ( )

kq q

q

k k k kq q q qq q

q q

R

T D R D R T

−

− −= =

∑

∑ ∑

: אלמנטי מטריצת סיבוב גורדן במונחים של– פיתוח של טור קלבשלצורך ההוכחה השתמשנו ב

1 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )' ' 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 '

'( ) ( ) ; ; ; ' ' ; ' (j j j

m m m m mmj m m

D R D R j j m m j j jm j j m m j j jm D R= ×∑∑∑

00

)

. גורדן– אורתוגונליות של מקדמי קלבשוכן ב

: נקבל סקלרTעבור מקרה פרטי אם נשתמש במשפט

∑ −−=m

jm

jm ZXjjmmjjT 0,0,,,;,0

0

jjZ

( )

: נראית כך - ושל טנסורים בלתי פריקים " מכפלה סקלרית" כאשר X

∑m

j+j2 ∑−=

−− −=−−=⋅j

jm

jm

jm

mjm

jm

jjj ZXZXjjmmjZX )1(0,0,,,;,1)1(

47

סימטריה: 8פרק

אופרטור האבולוציה

במילים אחרות זמן הוא לא גודל . ולא אופרטור בתורת הקוונטים זמן משחק תפקיד של פרמטר

ליצור כלי ל זאת צריכיםאך בכ, ופרטור הזמןלכן אנו לא יכולים לדבר על א ). observable ( ניצפה

איך : ננסה לענות על שאלה אחרת. מסוים אשר יתאר התפתחות בזמן של מערכת קוונטית

t,αמשתנה בזמן וקטור מצב

),( 0tt

?

אם כן הוא צריך לענות . שמתאר התפתחות בזמן של וקטור מצבUנניח שקיים אופרטור

:על דרישות הבאות

• 1),( 00 =tt

),(),(),( 322131 ttUttUtt

U- ופרטור שווה ליחידההא אם אין התפתחות בזמן אז

• U י מכפלה של כמה " התפתחות סופית אפשר להציג ע-=

.התפתחויות הדרגתיות

: וקטור מצב סופי אפשר להציג בצורה

00 ,),(, tttUt αα =

:ננרמל את המצבים1

,,,),(),(,,, 0000

=⇒

==+

+

UU

tttttUttUttt oo αααααα

),(1ˆ... :תוב את אופרטור האבולוציה בהצגה אינפנטיסימליתנכ +∆

−=∆+ GtitttUh

ˆ

אנו מצפים שאופרטור , באנלוגיה למכניקה קלאסית שבה המילטוניאן הוא יוצר ההתפתחות בזמן

),(1ˆ... : יהיה למעשה ההמילטוניאן של מערכתGהרמיטי +∆

−=∆+⇒ HtitttUh

U תאשר תחת תנאים מסויימים היא תהיה חבור( הינה חבורהLee (. משוואה אחרונה ה מתוך

היינו ) המילטוניאןה( ללא הגבלה על , אנו יכולים לקבל משוואה עבור אופרטור אבולוציה

.להיות תלוי בזמןהוא יכול גם

H

),(ˆ),(),(ˆ),(),(

),(),()ˆ1(),(),(),(

00000

0000

ttUHttUt

ittUHtittUtttU

tttUttUHtitttUttUtttU

⋅=∂∂

⇒⋅∆

−=−∆+⇒

⇒∆+=∆

−⇒∆+=⋅∆+

hh

h

48

ttHt: משוואת שרדינגראם נשווה בין t

,)(ˆ, αα =∂

i ,משוואה שקיבלנו ל

0000 ,),(ˆ,),( tttUHtttUt

αα ⋅=i ,אבולוציה מקיים השאופרטור לראות נוכל ,למעשה

.משוואת שרדינגר משוואה דמויית

∂h

∂∂

h

),(ˆ)(),( :עבור, תלוי ב , המשוואה פתרון 00 ttUtHttUt

i ⋅=∂∂

hH

h :את הפתרון נקבל לא תלוי בזמן .1

Htti

ettUˆ)(

0

0

),(−

−= H

H :נקבל פתרונות שונים עבור שני מקרים, תלוי בזמן .2

]חילופי בזמנים שוני • ] ואז נקבל את הפתרון ם כלומר

: הבא∫=

−t

tHdti

ett 0'

0),( ht )'(ˆ

U .

H0)(),( 21 =tHtH

לגבי (אינו חילופי בזמנים שונים ואז נקבל את פתרון באמצעות טור דייסון •

):המשךפתרון זה נפרט ב

H

[ ] 0)(),( 21 ≠⇐ tHtHseriesDyson

:בתורת הקוונטים קיימות שתי תמונות לגביהם חשוב לזכור

. לא–אופרטורים , מצבים תלויים בזמן–תמונת שרדינגר .1

. לא–מצבים , אופרטורים תלויים בזמן–רג תמונת הייזנב .2

:הקשר בין תמונת שרדינגר לתמונת הייזנברג

→=← תמונת שרדינגרתמונת הייזנברג HoS

tttUt 0,),(, αα

0 0, , , ,S S H

t t t tα α α α=H

נשים לב שהערך הפיזיקלי המדיד אינו תלוי בתמונה והערכים הממוצעים של גדלים פיזיקליים

: כלומר, מתמונה לתמונהלא ישתנו במעבר

0 0 0 0ˆ ˆ, ( ) , , ( ) ( ) , , ,H S

ˆS Sα

H H H H St A t t t U t A U t t t A tα α α α α+= =

)(ˆ)()(ˆ tUAtUtA SH+= :וקיבלנו ש

49

אופרטור הסימטריה

עם פעולות כמו טרנסלציה , לדוגמה ,בפרקים הקודמים למדנו לקשר בין אופרטור אוניטרי

פרטור סימטריה וזאת בלי שום קשר אם המערכת הפיזיקלית אכן או -נהוג לקרוא ל. ורוטציה

.בעלת סימטריה המתאימה ל

S

S

S

S

)(ˆˆ)(ˆ tUStS ⋅⋅=

)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ tUStUStUtUStU ⋅=⋅⋅⋅=⋅ +

: אינו משתנה עם הזמן ואז בתמונת הייזנברג נקבל את התנאי הבאנניח שאופרטור

. U +

ˆ)( : מימיןUנכפול משוואה זו ב t

:נכתוב את אופרטור האבולוציה בהצגה אינפנטיסימלית ואם נ: ונקבל

...ˆ +H1),( ∆−=∆+

tittth

Uנוכל גם לומר שמתקיים :

[ ] 0ˆ),(ˆ =StU

[ ] 0ˆ,ˆ =SH

S

ˆˆ

אזי הוא יהיה חילופי עם , אינו משתנה עם הזמן, קיבלנו שבמידה ואופרטור הסימטריה , אם כן

הוא שההמילטוניין , Uואם נעבור להצגה האינפנטיסימלית של , Uאופרטור האבולוציה

.אזי נקבל שאופרטור הסימטריה אף הוא חילופי עם ההמילטוניין, היוצר שלה

H

ˆ : G אשר היוצר שלו הוא אופרטור סימטריה אינפיניטסימלינגדיר, עתהh

GiSˆ

1ˆ εנציב , =−

]הגדרה זו ביחס החילוף ] 0ˆ,ˆ =SH :,ˆ0= SH⇐ [ ] 0ˆ

1,ˆˆ]ˆ,ˆ[0ˆ

=

−=⇐=

h

GiHHGdtGd ε

ˆ . תלוי מפורשות בזמןוא לא הוא קבוע תנועה במידה וה, Gקיבלנו שיוצר הסימטריה

את אם נפעיל . Gשהוא מצב עצמי של , :נניח שברגע מסוים מערכת נמצאת במצב

:שתנהלא מ, )(, Gעצמי של הערך האופרטור האבולוציה נקבל ש

0, tαˆ

ˆ0g

00000

0000000000

,),(,),(ˆ,),(,),(,),(,),(ˆ

tttUgtttUG

tttUgtgttUtGttUtttUG

αα

αααα

=⇒

===

50

מצבים מנוונים

- חילופי עם המילטוניאן ואם אופרטור סימטריה S הוא מצב עצמי במרחב האנרגיה עם

nE,S אזי ערך עצמי n αהוא גם כן מצב עצמי עם אותו ערך של אנרגיה :

,n α

αααα

αα

,ˆ,ˆ),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ,,ˆ

0]ˆ,ˆ[

nSEnESnHSnSH

nEnH

HS

nn

n

===

=

=

α,nאנרגיה אותה , אותו ערך עצמיעם מצבים , היינומנוונים ם מצבים ה-ו. α,ˆ nSnE

:באמצעות שימוש באופרטור סיבוב, נתבונן בדוגמה נוספת למצבים מנוונים

[ ]

( ) mjnEmjnRDH

mjnEmjnH

HRD

jn

n

,,,,)(ˆ,,,,ˆ

0ˆ),(

=⇒

=

=

12

מסוים ישנם jמפרק קודם אנו יודעים שעבור . שוניםm מצבי אנרגיה עבור קיבלנו אותם

j+ .2ניוון של זאת אומרת , שונהmמצבים עם +j1

תאופרטור הזוגיו

גם אופרטור היפוך אופרטור זה נקרא . הזוגיותאופרטור נקרא לו , אוניטריאופרטורנגדיר

המרחב כי כשמפעילים אותו על מערכת קורדינטות הוא מחליף את החלק הימני של המערכת עם

:כפי הנראה בציור הבא, החלק השמאלי שלה

π

מערכת קורדינטות שמאלית----- מערכת קורדינטות ימנית

z Xחדש

Y yחדש

xZחדש

51

. פה נפעיל אופרטור זה על מצבים ולא על מערכת קורדינטות ,עם זאת

:אופרטור הזוגיות נגדיר כך

∫∞

∞−

−

−=

=

dxexx

xxxi

xx

)(

)3()'(

ˆ

'ϕπ

δrr

rrrr

ˆ'' : ונקבלxr'על המצב , נפעיל את אופרטור הזוגיות )'( xex xi rr−= ϕπ π

טל את הפאזה ולקבלבדרך כלל נוהגים לב, אופרטור זה למעשה מבצע שיקוף עם תוספת הפאזה

) =1 : כיתער-הצגה חד )' ' i xx x e ϕπ = − ⇐r r

∫ : לפיכך אופרטור הזוגיות יראה כך∞

∞−−= dxxx rrπ

πππ ˆˆˆ 1 == +−

:נסתכל על תכונות של אופרטור הזוגיות

.: אופרטור הזוגיות לא רק אוניטרי אלא גם הרמיטי •

: בתלת מימד נקבל : הוכחה

π

π

ˆ

ˆ

3

33

=−∫∫∫=

=−∫∫∫−=−∫∫∫=

∞

∞−

−∞

∞

∞

∞−

+

xdxx

xdxxxdxx

rr

rrrr

אופרטור הזוגיות אנטי חילופי עם ,דהיינו :כמו כן מתקיים •

אפשר , כפי שכבר הזכרנו, פועל במרחב המקוםכאשר אופרטור הזוגיות . אופרטור המקום

.ל אופרטור היפוך המרחבלהתייחס אליו כא

ππππ

αππααα

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

xxxx

xxrrrr

rr

−=→−=

→+

תחת xrנחשב ערך הממוצע אם , אפשר לראות להבין את פעולת אופרטור הזוגיות •

: ההיפוךטרנספורמצית

* 3 *

* 3

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x xV V

V

3

x x x x d x x x x d x

x x x d x x x

α α α α

α α

→−= Ψ Ψ →− Ψ − − Ψ − =

= − Ψ − Ψ − = − = −

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫

r rr r r r r r r

r r r r r

−−

−=

11

1R

−−

−=

−−−

=

zyx

zyx

zyx

11

1

'''

:-1טריצות עם דטרמיננטה ר היפוך המרחב אותן תכונות כמו למלמעשה לאופרטו •

:כ שיקוף"מטריצות אלו הן מטריצות המבצעות סיבוב ואח, כזכור,

.

52

• Rנרצה .הפועל על וקטורי הבסיס) אופרטור הזוגיות(וך נו בעצם אופרטור ההיפי ה

απ :למצוא את פעולת האופרטור הזוגיות על מצב כללי

1=

112 andii −=

jkkjijjikji

⋅−=⋅⋅−=⋅

−=== 1222

PP ˆˆ −→

מתוך אנלוגיה לפעולה על .

ˆ .בסיסים נקבל כי אופרטור הזוגיות יקיים 2π

QUATERNION) (קווטרניונים

.סימטריים-ים אנטיטרניונים הם דוגמא לחלקיקקוו

:דהיינו נוכל לפרוש אותו על ידי, לייצג על ידי מספרים מרוכביםאפשרמימדי -מרחב דו

4מרחב . מימדי לא קיים מספר כלשהו אשר נוכל לתאר בעזרתו את המרחב-עבור מרחב תלת

:נוכל לתאר על ידי קווטרניונים, מימדי

1, i, j, k

:כאשר הם מקיימים

מטריצות פאולי הנן בעלות . מהיחסים למעלה רואים שקווטרניונים אנטי סימטריים במכפלה

.קשר דומה ולכן הן סוג מסוים של קווטרניונים

עתה נרצה לראות אלו עוד , גיות אנטי חילופי עם אופרטור המקוםראינו כבר שאופרטור הזו

:אופרטורים פיזיקליים מתנהגים בצורה דומה

שגם כאן אופרטור הזוגיות באנלוגיה לאופרטור המיקום נצפה. נתבונן על זוגיות התנע •

:, עם התנעיהיה אנטי חילופי

: לפי המכניקה הקלסיתdtxdmvmp

dtxdm

dtxdm xx

rrr

rrrr ==⇐− → −→

h : לפי המכניקה הקוונטית

r

h

r

h

r )()( pxipxipxi

eee−∆−∆−−∆−

+ ==ππ

:פרטור של האואינפיניטסימליתונעבור להצגה ה

pπr

(1 ) 1

ˆ ˆ ˆ;

i xp i xp

p p p

π π

π π π

+

+

∆ ∆− = +

⇒ − = = −

r r

h hr r r

ˆ ˆ ˆL x= ×r

.חילופי עם התנע-אנטי אכן אופרטור הזוגיות קיבלנו שכצפוי

p . r: י הזוויתנתבונן על זוגיות התנע , באותו אופן • r

ˆ ולכן) -(סימן תורם גם כן ) התנע ( -ו) -(תורם סימן ) המקום ( -אפשר לראות ש

:מרבסופו של דבר תנע זוויתי נשˆ ˆˆ ˆL Lπ π+ ⇐זוגיותהתנע הזוויתי חילופי עם אופרטור ה.

pr xr

=r r

53

SS :באופן דומה קיימת חילופיות בין ספין לאופרטור הזוגיות • ˆˆˆˆrr

=+ ππ

LS ˆˆ נראה שהיא , אופרטור הזוגיות תונפעיל עליה א רית סקלהמכפלה הנתבונן על •

L: נשמרת תחת היפוך המרחבr

rr⋅

SLSסקלרLS ˆˆˆˆˆ;ˆˆ rrrrr⋅=⋅=⋅ + ππ

xS ˆˆ rאינה נשמרת , אשרוגמה המכפלה הסקלרית לד נשים לב שישנן מכפלות סקלריות •

שלא נשמר תחת היפוך המרחב סקלר כלשהו. : תחת היפוך המרחב

אשר דוגמא נוספת היא נויטרינו . (רסקל-נקרא פסאודו) ימטריות האחרות הסאו אחת(

& Lee: ת הוכיחו המדעניםזא. את הזוגיותת משמרמבצע אינטרקציה אשר אינה

Yang.(

r⋅

xSxS ˆˆˆˆˆˆ rrrr⋅−=⋅+ ππ

)coscos),((

),()1(),(0

1 θθϕθ

ϕθϕθ

−→≈

− → −→

Y

YY ml

lxx

ml rr

1

• Yתחת היפוך המרחב : ml

קיים לשניהם בסיס משותף כך שייתכנו , משום שאופרטור התנע ואופרטור הזוגיות חילופים

. מצבים עצמיים משותפים הן לאופרטור התנע והן לאופרטור הזוגיות

.±ערכים עצמיים שהם רק לאופרטור הזוגיות •

)()( .:1עצמי - זוגיות חיובית פירושה ערך xx rrαα ψψ =−

)()( :-1עצמי - זוגיות שלילית פירושה ערך xx rrαα ψψ −=−

0]ˆ,ˆ =πH

:משפט

nnE - ו]: ההמילטוניין חילופי עם הזוגיותאם :מצב לא מנוון עם אנרגיות עצמיות

nEnH n=ˆ ,אזיnהיינו יש לו זוגיות מוגדרת ( הוא מצב עצמי של הזוגיות.(

:הוכחה

)n)ˆ1נשים לב ש 21 π±זוגיות גם מצב עצמי של המילטוניאן וגם כן מצב עצמי של ה.

:כאשר, זהו אופרטור היטל על הזוגיות

)n)ˆ1 : אופרטור היטל לזוגיות חיובית21 π+

)n)ˆ1 :אופרטור היטל לזוגיות שלילית21 π−

nn –עבור זוגיות חיובית )ˆ1(21)ˆ1(

21ˆ πππ +=+

nn -עבור זוגיות שלילית )ˆ1(21)ˆ1(

21ˆ πππ −−=−

עבורם המצבים אינם מנוונים והמילטוניאן יתחלף עם הזוגיות יהיו עם כל הפוטנציאלים ש

היא הסיבה לכך , הזוגיות מתחלפת, למשלבאוסילטור הרמוני .מצבים בעלי זוגיות מוגדרת

54

x-אחד תלוי ב, הורדה שיש בו שני חלקים/שהמצבים מתקבלים כהפעלה של אופרטור העלאה

הרמה , רמת הייסוד בעלת זוגיות חיובית, ולכן המצב הראשון היינו. הראשונהוהשני בנגזרת

.השנייה בעלת זוגיות חיובית וכך הלאה , הראשונה בעלת זוגיות שלילית

דוגמה לאינטרקציה שלא שומרת על זוגיות היא בור פוטנציאל שהוא לא סימטרי

פורמציה שתשמור על הזוגיות ותהפוך את אבל תמיד אפשר לבצע טרנס

.בור הפוטנציאל לסימטרי

x

0

55

שאינה תלויה בזמן עבור ) Perturbation theory(תורת ההפרעות : ' חלק א9פרק

מצבים לא מנוונים

קבל י שיטות אנליטיות ול"אשר ניתן לפתור אותם ע, ישנם מעט המילטוניאנים במכניקה קוונטית

לשם כך פותחו שיטות קירוב שונות על מנת להתמודד . אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים מדויקים

. שיטות שונות לפתרוןבפרק זה אנו נראה). שהם בעצם רוב ( עם שאר המילטוניאנים

. למצבים לא מנווניםתורת ההפרעות שאינה תלויה בזמןנפתח עם

אנו יודעים במדוייק את הפתרון היינו תלוי בזמן שאינו המילטוניאן אנו יודעים שעבור

מצבים עצמיים ואנרגיות עצמיות

0ˆˆ HH =

)0(0(0

ˆ)1( nnH )0() En= .

1)0()0( : אנו דורשים את יחס השלמות הבא, כאשר nn∑=VHH += 0

ˆˆ : Vעתה נתבונן על המילטוניין שנוסיף לו הפרעה קטנה

:n של המצב המופרע העצמיים והאנרגיות העצמיותנרצה למצוא את המצבים ו

( ) nEnVH n=+0ˆ.

וקובע למעשה את חוזק 1- ל0הנע ביןשהוא פרמטר ממשי ורציף , λליתר דיוק נוסיף פרמטר

: 'שדה חשמלי חלש וכו, שדה מגנטי חלש יכולה לבוא לידי ביטוי כVההפרעה הקטנה , ההפרעה

VHH λ+= 0ˆˆ

. 1 ובחישוב סופי נציב λאנו נפתח תיקונים לאנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים בחזקות של

עצמיים המצבים העצמיות והות אנרגיההתחלתי עם הלהמילטוניאן , כמובן, חוזרים0עבור

.ידועיםה

λ=

λ=

: אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של המילטוניאן עם הפרעה

( ) ( )λλλ

λ nEnVHnH n=+= 0ˆˆ2

): הוא תיקון לאנרגיההונקבע ש ) )0(3 nnn EE −=∆.

: נקבל, ונעביר אגפים) 3(בתוך ) 2(-ו) 1 ( את נוסחאותאם נציב

)4 ( nVnEVEnEH nnnn |)(|)ˆ( )0()0(0 λλ −∆=−−=− ( )

)5 (nVnHE nn ||)ˆ0

)0( ∆−=− λ( ( ) :ומכאן

)6 ( nVHE

n nn

|)ˆ(

1

0)0( ∆−−

= λ| ( )

)המצבים ) nV n |∆−λ0(-אורתוגונליים ל(n| :

nVnnHEn nn |)(|)ˆ(0)7 )0(0

)0()0( ∆−=−= λ(

56

∑ :נגדיר אופרטור משלים≠

≡−=)0()0(

)0()0()0()0(|ˆ)8(nk

n kknnIφ

אופרטור 0

)0( ˆ1

HEn −|)0(הוא לא מוגדר אם פועל על : תמהווה בעייתיו n

n

נה מתאפסהמכ (

. גדר היטב האופרטור הופך להיות מוφבעזרת ). והפתרון מתבדר

)9 (∑≠ −

=− )0()0(

)0()0()0()0(

0)0(

1ˆ

1

nk knn

n

kkEEHE

φ

:ניתן לרשום בצורה) 5(את משוואה

)10 (nVnHE nnn |)(|ˆ0

)0( ∆−=− λφ ( ) :הופכת ל) 6(ומשוואה

)11 (nVHE

n nnn

|)(ˆ1|

0)0(

?∆−

−= λφ

0→

)0( אנו אמורים לקבל λלוקחים כש0 | nn → →λאבל מקבלים :

)12 ( 0|ˆ|0

)0(→

−∆

−= nHE

n nn

n φ

.|n)0(ידי הוספת איבר -נתקן אותה על. אינה מתאימה) 11(לכן הגדרה

)13 ( nVHE

nn nnn

|)(ˆ1|

0)0(

)0( ∆−−

+= λφ

באמצעות שיטה ,נטפל בבעיה בסוף. : מהנרמול נובע ש. נקבע נרמול ביניים

.הנקראת רנורמליזציה

1≠nn 10 =nn

:λנפתח אנרגיות ומצבים חדשים בחזקות של

)14 ( ...)(

...)3(3)2(2)1()0(

)2(2)1()0(

+∆⋅+∆⋅+∆⋅=−=∆

+⋅+⋅+=

nnnnnn EE

nnnn

λλλ

λλ

)אנו זוכרים שמצבים ) nn |∆−Vλ0(- ו(n|אורתוגונליים זה לזה .

)15 (nVnnn

nVn

n

n

)0()0(

)0( 0

λ

λ

=∆⇒

=∆−

( )

:ביניים מקבליםהמנרמול

)16 ( nVnn)0(λ=∆

:נקבל) 16(בתוך ) 14(אם נציב

)17 ( ( ) ( )( )LL )2(2)1(00)3(3)2(2)1( nnnVnnnnn λλλλλλ ++=+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆

57

: נקבלλמהשוואת חזקות שוות של )1()0()2(

)0()0()1(

nVn

nVn

n

n

=∆

=∆

k

: היא לתיקןן באנרגיה מסדר והנוסחה הכללית

)18 ( )1()0()( −=∆ kkn nVn

:נראה ש) 13(בתוך ) 14(ואם נציב

)19(

...)...]([ˆ)2(2)1()0()2(2)1(

0)0(

)0( +⋅+⋅++∆⋅−∆⋅−−

+= nnnVHE

nn nnn

n λλλλλφ

: נקבל תיקון מסדר ראשון למצביםλועוד הפעם על ידי השוואת חזקות של

)20 (

( )( )( ) )0()0()0(

)0()0()0(

0)0(

)0()1(

00

)1(

)0()0(

1ˆ

1ˆ nVkk

EEnV

HEnV

HEn

nk knn

nn

n

n ∑≠ −

=−

=∆−−

= φφ

:נכונה בגלל שחלק מהביטוי מתאפס בגלל אורתוגונליות) 20(המשוואה

0ˆˆ

1 )0()0()0(

0)0(

)1()0()1(

0)0(

)0()0(

ityorthogonalfrom

nkn

nnn

n

nkkHE

nHE

=−

∆=∆

−∑≠

φ

0

קיבלנו תיקון מסדר ראשון למצבים . כלומר , נכונה במקרה הלא מנוון) 20(משוואה

) ) 21 ( :עצמיים )∑≠ −

=)0()0(

000

001

ˆ

nk kn

kEE

nVkn

≠− kn EE

( )( ) ( )

( ) ( )( ) : הוא כזכורתיקון מסדר ראשון לאנרגיההו

)22 ( )0()0()0()1(

)0()1()0()0()1(

ˆ

ˆ

nVnEE

EEnVn

nn

nnn

+=

−==∆

:עכשיו נחשב תיקונים מסדר שני

)23(

∑∑≠≠ −

=⋅−

⋅==∆)0()0()0()0(

00

00000

00

00)0()1()0()2(

ˆˆˆ

ˆˆ

nk knnk knn EE

kVnnVkkV

EE

nVknnVn

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

:יים נקבלעבור התיקונים למצבים עצמ). 21(כאן השתמשנו במשוואה

)24(

)0(

0)0(

0)0(

)0()0()0(

0)0(

0)0(

)1()1(

0)0(

)1()1()0()2(

0)0(

2

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

)(ˆ1])([ˆ

1

nVHEHE

nVnnV

HEV

HE

nVHE

nVnHE

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nnn

nnnn

−⋅

−−

−−

=∆−−

=∆−+∆−−

=

φφφφ

φφ

58

)0()0(ונגדיר ) 9(אם נשתמש במשוואה lVkkl ≡Vהתיקון ייראה :

)25 ()0(2)0()0(

)0()0()0()0()0(

ln)2(

)())((k

EEVV

kEEEE

VVn

nk kn

nnkn

nk nl lnkn

kl ∑∑∑≠≠ ≠ −

−−−

=

נורמליזציה של פונקצית הגלר

עלינו לנרמל מחדש את , לאחר שפיתחנו תיקונים לאנרגיות ולמצבים עצמיים עד סדר שני

)רנורמליזציה(לנו המצבים שקיב

)0(1 קודם הנחנו שמתקיים =nn

:נגדיר

)26 (nZn nN21

=

1=n= nZnn nNN

:נקבל) 14(ומכאן על ידי שימוש במשוואה

)27 (

[ ] [ ] ( )4)1()1(2)2()2(4)1()1(2)1()0()0()1(

)2(2)1()0()2(2)1()0(

01....1

1

)0()0(

λλλλλλ

λλλλ

++=+++++=

=+++⋅+++==

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnz

nn

LL

10שאר האיברים מהצורה nnאורתוגנליותים בגלל מתאפס. ( ) ( )

)28 (

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )...111

200

22)0()0(

'0'

0'

002 +

−+=

−

⋅

−

+= ∑∑∑≠≠≠ nk kn

kn

nk kn

nk

nk kn

kn

EE

Vkk

EEV

EEV

zλλ

: בקירוב שווה לZמכאן פקטור נרמול

)29 ( ∑≠ −

λ−=nk kn

knn

EE

VZ 200

221

( ) ( )( ) :הסבר

...1...1

1...1

222

2

22

1

+−=++

=

++=−

λλ

λ

aa

z

az

59

תלויה בזמן עבור שאינה ) Perturbation theory(תורת ההפרעות : 'ב חלק 9פרק

מצבים מנוונים

: תורת ההפרעות שפיתחנו בפרק קודם מפסיקה לעבוד כאשר מצבי האנרגיה מנוונים

)0()0(הביטויkn

nk

EEV−

nk)0()0(

kn EE =

2−n

1,0=

לכן עבור מצבים מנוונים . הוא סופי ו V נעשה סינגולרי אם

.שר תהיה מבוססת על תורת ההפרעות הלא מנוונתנצטרך לפתח תורה חדשה א

זוויתי יכול לקבל שני התנע ה , עבור רמת אנרגיה שנייה: כדוגמה נסתכל על אטום המימן

: 4כלומר הניוון של רמה שנייה הוא , l:ערכים

4444 34444 21ps

ml22

1,10,11,10,0, −→

zE ˆα=

: אחיד בכיוון לאחר הפעלת שדה חשמלי zr

נקבל פיצול של רמות אנרגיה עקב שבירת

ועכשיו נפתח הביטוי הכמותי , ראינו איכותית שישנו פיצול רמות אנרגיה. סימטרייה כדורית

.לחישוב

עם אותה רמת (ים המנוונים המצבgנסמן את . -נסמן כל רמת האנרגיה המנוונת ב

- ב)האנרגיה

)0(dE

)0(m . ההפרעה תסיר ניוון כלומרg המצבים החדשים )המסומנים ב, )לא מנוונים-

l0עבור . יהיו בעלי אנרגיה שונה→λ 0( נקבל(ll יפרסו את אותו l)0(המצבים . →

הם l)0(במילים אחרות . m)0(-אך אינם חייבים להיות זהים ל, פורסיםm)0(-מרחב ש-תת

: m)0(קומבינציה ליניארית של

)30 (∑∈

=g

dm

lmml)0(

)0()0()0()0(

-נכתוב עכשיו כ) 5(המשוואה

)31 (lVlHE ld ||)ˆ( 0)0( ∆−=− λ ( )

llהמצבים את כאשר נפתח ) מרחב מנוון -הכוונה לפיצול בתוך תת( ∆ תיקון באנרגיות - ו

:נקבל, λת של בטור חזקו

)32( ...)(

...)3(3)2(2)1()0(

)2(2)1()0(

+∆⋅+∆⋅+∆⋅=−=∆

+⋅+⋅+=

llldll EE

llll

λλλ

λλ

ונחפש תיקון לאנרגיות מסדר ראשון על ידי השוואת מקדמים של ) 31(בתוך ) 32(נציב משוואה

λ- עבור חזקה ראשונה של . חזקה ות בעלות אותהλנקבל :

)33 ( ( ) )0()1()1(0

)0( ||)ˆ( lVlHE ld ∆−=−

60

לכן ננסה לבטא את התיקון לאנרגיה , m)0(י מצבים ידועים " נפרסים עl)0(המצבים

:באמצעותם

( )

)0()0()0()1()0()0()0(

)0()0()0()1()1()0()0(0

)0(

)0()0(

)0()0(

)ˆ(

lmmlmmV

lmmVlmmHE

m

l

m

m

l

md

∑∑

∑∑∆=⇒

∆−=−

m')0( :קבל משמאל ונ -נכפול את המשוואה לעיל ב

)34 ( )0()0()0()0()1()0()0()0()0(

)0()0(

'' lmmmlmmVmm

l

m∑∑ ∆=

.m)0(הוא אחד ממצבים המנוונים מתוך קבוצה של m')0(כאשר

): מימדיתgמטריצה (קיבלנו משוואת ערכים עצמיים

)35 ( )0()0()1()0()0(' '

)0(

lmlmV l

mmm ∆=∑

מתת " לצאת"על מנת לקבל תיקונים מסדר גבוה יותר צריך . ןקיבלנו תיקון לאנרגיה מסדר ראשו

:י"המרחב המנוון ע-לשם כך נגדיר אופרטור משלים לתת. המרחב המנוון

)36 ( ∑∈

−=dl

d llI)0(

)0()0(ˆφ

: הופכת ל) 31(המשוואה

)37 ( lVlHE ldd )()ˆ( 0)0( ∆−=− λφ

: ובאנלוגיה מלאה למקרה הלא מנוון

)38 (lVHE

l ldd

)()ˆ(

1

0)0( ∆−−

= λφ

)39 (lVlll

lVl

dl

ld

φλ

λφ)0()0(

)0( 0)(

=∆⇒

=∆−

:נשתמש בנרמול זמני

)40 ( 1)0( =ll

: ונקבל

)41 (lVl dl φλ )0(=∆

.ראינו שהבדל בין המקרה המנוון למקרה הלא מנוון הוא אך ורק בתיקון לאנרגיות מסדר ראשון

.התיקונים מסדרים גבוהים יותר זהים בשני המקרים

61

)Starck(אפקט שטרק

חשמלי אחידונפעיל עליו הפרעה של שדה) לא יחסותי ( ב הקלאסי נסתכל על אטום המימן בקירו

: בכיוון Er

z

n

12 +l

lmlnll

מצבי האנרגיה הקשורים תלויים אך , עבור אטום המימן עם פוטנציאל קולומבי טהור וללא ספין

כיוון שעבור , יש ניוון ) למעט מצב היסוד( המעוררים לכן בכל המצבים. ורק במספר הקוונטי

l :היטלי ספין ישנםכל

≤≤−<≤ ,0:

statepmlstatesml2,1,0,1

2,0,0±==

n=2 :עבור ==

:רמות האנרגיה באטום המימן

)42 (0

2

20

2

22

82 aeE

anezEn −=⇒−=

Z : שדה חשמלי אחיד בכיוון : ההפרעה

)43 ( EzeEzeV ˆˆˆ =−=r

: מוצאים באמצעות שימוש בזוגיות ובכלל הברירהןאת אלמנטי המטריצה של הניוו

)44(

ijVsVmpmpVs

mpmpmps

mpmpmps

ˆ

000000000002ˆ0,200,2ˆ200

1,20,21,2

2

1,20,21,22

=

==

−===

−===

0)1( 3eEal ±=∆

:לכן נקבל תיקונים לרמות האנרגיה

)45 (

: רמות שונות3-קיבלנו פיצול של רמת האנרגיה השניה ל

3eEa0

-3eEa0

:והתיקונים למצבים

)46 ( ( )0,20,22

1=±==± mpms

1,2ובמצבים =mp1,2- ו −=mpלא יהיה שינוי .

62

תלויה בזמן ה) Perturbation theory(תורת ההפרעות : 10פרק

רוב המקרים וזה לא מציאותי כי ב. נים אשר אינם תלויים בזמן ישירותעד כה דנו בהמילטוניי

לשני ובפרק זה נסתכל על המילטוניאן שאפשר להפריד. תלות בזמן משחקת תפקיד חשוב

ˆˆˆ)( :חלקים0 tVHH +=

מה ההסתברות היאהשאלה העיקרית שנענה עליה. מסויםiונניח שהמערכת נמצאת במצב

inכפונקציה של הזמן למציאת המערכת במצב ≠.

:לה נעשה חזרה קצרה על תמונות שונות בתורת הקוונטיםיתחאך

:אופרטור האבולוציה •

Htti

ettUˆ)(

00),(ˆ −−

= h

0 0ˆ, ( , )t U t t tα α= ,

.המצבים תלויים בזמן, אופרטורים אינם תלויים בזמן–תמונת שרדינגר •

. המצבים קבועים בזמן, אופרטורים תלויים בזמן–תמונת הייזנברג •

0)(

00

ˆ)()(ˆ)(

0)( ,)(ˆ,,ˆ,,ˆ, 00 ttAtteAettAt

pictureHeisenberg

HHttiSHtti

picturerSchrodinge

S ααααβα321

hh ==−−−

)(ˆ t

0H

וחלק Vחלק תלוי בזמן: ההמילטוניאן שמכיל הפרעה תלויה בזמן ניתן להפריד לשני חלקים

מנת -על. דינגר ולא בתמונת הייזנברגלא נוכל להשתמש לא בתמונת שר, לכןלא תלוי בזמן

: תמונת האינטרקציה–לפתור המילטוניאן מצורה זו נגדיר תמונה חדשה

0000ˆ)()(

ˆ)( ˆ)(ˆ HttisHtti

I eAetA−−−

= hh

0H

)(ˆ t

זוהי תמונה בין שרדינגר לבין הייזנברג שבה עבור - )תמונת דיראק (אינטראקציההתמונת

נחפש את הצגת המצב בתמונת . בתמונת שרדינגרVרעה נשתמש בתמונת הייזנברג ועבור ההפ

הדבר אפשרי אם נכפיל . כך שגם האופרטור וגם המצב יהיו תלויים בזמן האינטראקציה

:אופרטור בתמונת שרדינגר משני צדדים באופרטור יחידה

It,α

III

t

S

Htti

tA

HttiSHtti

t

Htti

SSS

S

ttAt

teeAeettAt

III

,)(ˆ,

,ˆ,,ˆ,,

ˆ)(

)(ˆ

ˆ)()(ˆ)(

,

ˆ)()( 00000000

βα

βαβαβα

=

==−−−−−−

44 344 21444 3444 2144 344 21hhhh

ת הייזנברג או מונת שרדינגר ונתפתח בהתאם לכל אחד מהמקרים או לתמונולכן נתחיל מת

:לתמונת אינטראקציה

0)(

0)( ,,,,,)(ˆ, tAttAtttAt H

ss

sIII βαβαβα →←

63

ˆ)(1]ˆ),(ˆ[ :משוואת התנועה של אופרטור בתמונת הייזנברג)(

)(

HtAidt

tAd HH

h=

ˆ)(1]ˆ),(ˆ[ :אינטראקציההבתמונת ו0HtA

idttAd

II

h=

)(ˆˆ)(ˆ0 tVHtH +=0H הוא החלק שאינו תלוי בזמן עבורו כאשר (: נתבונן על ההמילטוניין הבא

)הפתרון יגדוע

:לתמונת האינטרקציה ולהיפך הואתמונת שרדינגר הקשר בין

I

Htti

SS

Htti

Itettet ,,,, 0000

ˆ)(ˆ)(ββββ

−−−=⇒= hh

כדי ליצור משוואה דומה לעילבקשר ונשתמש , משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגראת נרשום

:רקציהבתמונת האינט

( )III

HttiHtti

S

Htti

S

Htti

S

Htti

S

Htti

I

SS

ttVtetVetHHe

tHeteHit

itet

itt

i

tHtt

i

,)(,)(,ˆ

,,ˆ,,

,,

000000

000000

ˆ)(ˆ)(

0

ˆ)(

ˆ)(ˆ)(

0

ˆ)(

ααα

αααα

αα

==−=

=+

∂∂

=

∂∂

=∂∂

=∂∂

−−−−

−−−

hhh

hhh

hhhh

h

:קיבלנו ש

(*), t ˆ, ( )II Ii t V t

tα α∂

=∂

h

: היאההפרעה בתמונת אינטראקציה, כאשר0000

ˆ)(ˆ)()()(

HttiHtti

I etVetV−−−

= hh

. התלויה בזמן את תורת ההפרעות אשר בה נפתח,אינטראקציההזוהי צורה פשוטה תחת תמונת

H :ללא הפרעה נקבל, לא תלוי בזמןר כאש

0

0

ˆ

, (n

n

H n E n

t C tα

=

= =∑ 0) n

nעל ידי t,αלכן נפרוש את המצב , נו בסיסי הn -אנחנו יודעים ש

0H

נשתמש במצבים .

: ונפתח את תמונת המצב של האינטראקציה בבסיס זה כבסיסהעצמיים של

∑∑ ===−−−−

nn

Etti

nn

Htti

IntCneCtet n )()0(,,

)(

0

ˆ)( 000hh αα

)(tCn

:nבעזרת בסיס(*) משוואה ה לשם כך כתוב את, מקדמים נרצה למצוא מהם ה

∑

∑∑−−−

=

====∂∂

nn

Htti

Htti

nnIII

nnI

ntCVee

ntCtVttVntCitt

i

)(

)()(,)()(,

0000ˆ)(ˆ)(

hh

&hh αα

64

אם נכפיל משמאל את המשוואה האחרונה ב00

ˆ)( Htti

e−−

hונעזר ב : nene nEttiHtti )(ˆ)( 000 −−−−= hh

:נקבל0 0( ) ( )ˆ( ) ( ) ( )n n

i it t E t t E

n ni C t e n V t C t e n− − − −

=∑ ∑h h&h

mnnm -י שימוש ב"ע δ=וב - ntVmt )(ˆ) =( )mn VV t -ריצה של אלמנטי המט

:נקבל ש) ההפרעה בתמונת שרדינגר

mn ()

nmn Ct)( mm Etti

n

Etti

m etVetCi)()( 00 )()(

−−−−

∑= hh&h

)(tCn :שוואה דיפרנציאלית למקדמים מקיבלנו , אם כן

0( )(1( ) ( ) ( ) n mi t t E E

m mn nn

C t V t C t ei

− − −= ∑ h&h

)()()()( )2(2)1()0( tCtCtCtC nnnn λλ ++=

)

.נפתור על ידי קירובים בלבד, במקרה כללי ישנן בעצם אינסוף משוואות עם אינסוף נעלמים

:אם למשל מעונינים לחשב הפרעה עד סדר שני. ק הציע פתרון רקורסיביאבמקרה סופי דיר

:אז מקבלים תלות הבאה

)()(

)()(

)1()()2(

)0()()1(

tCeVtCi

tCeVtCi

m

EEi

mnmn

m

EEi

mnmn

mm

mm

−−

−−

∑

∑

=

=

h

h

&h

&h

)(tCn

(tn

שיטת דייסון

השיטה מתבססת על מציאת . F.J.Dysonי " פותחה עשיטה נוספת למציאת מקדמים

ההפרעה לאופרטור האבולוציה בתמונת האינטרקציה ואחר כך לקשר אלמנטי המטריצה של

השיטה הזאת מסובכת לפתרון בעיות פשוטות בתורה . Cאופרטור אבולוציה עם מקדמי

.QEDאך שימושית ב, הלא רלטיביסטית

)

:אופרטור האבולוציה בתמונת האינטרקציה נרשום את II tttUt 00 ,),(ˆ, αα =

:עבור ההפרעה בתמונת האינטרקציה (*)נציב לתוך משוואה

[ ]

IIIII

IIIII

III

tttUtVtt

ttUi

tttUtVtttUt

i

ttVtt

i

0000

0000

,),(ˆ)(ˆ,),(ˆ

,),(ˆ)(ˆ,),(ˆ

,)(ˆ,

αα

αα

αα

=∂

∂

=∂∂

⇒

=∂∂

h

h

h

: והמצבים אינם תלויים בזמן נקבלמאחר

),(ˆ)(),(ˆ00 ttUtVttU

ti III =∂∂

h

65

: נבצע אינטגרציה על המשוואה האחרונה ונקבל את הפתרון הבא

∫−=+t

t

In

IIn dtttUtViIttU

0

'),'(ˆ)'(ˆ),( 0)(

0)1(

h

ˆ U זהו הערך של -Iכאשר t בזמן t=0. 0( ,I t )

λ=1 :בסוף נציב לוλ -ב נפתח את אופרטור האבולוציה לטור חזקות

∫∫∫∫ ∫

∫

∫

−−=

−−=

−=

=

⇒+++=−=+

'2

0)2(

0)1(

0)0(

0)2(2

0)1(

0)0(

0)(

0)1(

0000 0

0

0

''')''()'(')'(ˆ'')'(ˆ)'(ˆ),(

')'(ˆ),(

ˆ),(

...),(),(),('),'(ˆ)'(ˆ),(

t

tI

t

tI

t

tI

t

t

t

tIII

t

tII

I

III

t

t

In

IIn

dtdttVtVdttViIdtdttViItViIttU

dttViIttU

IttU

ttUttUttUdtttUtViIttU

hhhh

h

h

λλλλ

λ

λλλ

.גרמות פיינמןות קוונטים ופיתוח זה מוביל לדיאשיטה זו שימושית בעיקר בתורת שד

י הפעלה של " עאנו יכולים לחשב התפתחות בזמן של המערכת, אם אופרטור האבולוציה נתון

:iמצב האופרטור על ה

∑∑ ===n

nIn

IIntCittUnnittUt )(),(),(, 00α

ittUnכאשר I ),( 0)(tCn . המקדם הוא בעצם

:י"הקשר בין אופרטור האבולוציה בתמונת שרדינגר לאופרטור האבולוציה בתמונת דיראק נתון ע

0 0 0 0ˆ ˆ( ) ( )

0 0( , ) ( , )i it t H t t H

I sU t t e U t t e− −

= h h

)(tn

−

:בתמונת האינטרקציהCמכאן נקבל המקדמים

0( )( )

0 0ˆ( ) ( , ) ( , )n i

i t t E E

n I sC t n U t t i e n U t t i− −

= = h

nC

i -נניח מצב התחלתי . -נקבל משוואה מפורשת עבור ה, נקשר שיטה זו לשיטת דיראק

0H

:שהוא מצב עצמי של (

∫−=

=

=

t

tIn

nin

dtitVniC

C

it

0

')'(ˆ

,

)1(

)0(

0

h

δ

α

:כאשר0000

ˆ)(ˆ)()(ˆ)(ˆ Htti

s

Htti

I etVetV−−−

= hh

66

')'(

)'(ˆ

0

0

0

))((

1

)1(

))((

dtetViC

etViVnt

t

EEtti

nin

EEtti

niI

in

in

∫−−

=

−−

−=⇒

=

h

h

hλ

0H

ונפעיל iאז נפרוש אותו על ידי בסיס השלם , אם המצב ההתחלתי לא יהיה מצב עצמי של

:עבור תיקון מסדר שני נקבל. תורת ההפרעות על כל מצב

∑ ∫ ∫−−−−

−=m

t

t

t

t

EEtti

mi

EEtti

nmn dtdtetVetVitC immn ''')''()'()(0 0

00' ))(''())('(

2)2( hh

h

niברות המעבר ולבסוף הסת :י" נתונה ע→

2)2()1( ...)()()( ++=→ tctcniP nn

i00המערכת נמצאת במצב : דוגמה t00= : ישנה הפרעהבזמן . עד זמן =t

0

0

(0)

( ' )( ) '( )(1)0 0

0 0

'( )( )0

0 ( )( )

0

( )(1) 0( )

0 , 0, 0

( ) ' '

1

( ) 1

n i n i

n in i

n in i

n i

n i

n ni

t ti it t E E t E E

n

ti t E E it E E

i E EE E

it E E

n E E

tV

V t

C

i iC t V e dt V e dt

Vi V e

VC t e

δ− − −

−−

−−

−

−

<= ≥

=

= − = −

− = − = ⋅ −

⇒ = −

∫ ∫h h

hh

h

h

h h

h

=

: היאn למצב iוהסתברות המעבר ממצב

( )

2

2 2

2 2

2 ( ) ( )2(1) 0( )

2 2( ) ( )0 0( ) ( )

2 20 0

( ) ( )

( ) 1 1

2 2 2c

2 21 cos 1 cos

n i n i

n i

n i n i

n i n i

n i n i

it itE E E E

n E E

it itE E E E nE E E E

n iE E E E

VC t e e

V Ve e t

V E E Vt tω

− − −

−

− − −

− −

− −

= − − =

− = − − = −

− = − = −

h h

h h

h

h

os E E =

בתדירות i - וnקיבלנו שישנן תנודות בין מצבים h

in EE −=ω

67

Scattering theory תורת הפיזור : 11פרק :ה על מושג הפיזור בתורת הקוונטיםלפני שנרחיב בנושא הפיזור נבצע חזרה קצר

=−∇Ψ+Ψ : ניקח את משוואת שרדינגר∂Ψ∂ V

mti 2

2

2h

h

2** : ומשוואת שרדינגר הצמודה לה2*

2Ψ+Ψ∇−=

∂Ψ∂

− Vmt

i hh

* ונחסר בין -ואת משוואת שרדינגר הצמודה ב, Ψעתה נכפיל את משוואת שרדינגר ב

: המשוואות

Ψ

2

2

2

[

2

2

∇⋅

Ψ

−

∇

r

h

h

h

m

m

m

[ ]***

*22**

*

**2*

2*

2)((*)

]2

Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=∂ΨΨ∂

−

⇓

Ψ∇Ψ−Ψ∇−=

∂Ψ∂

Ψ+∂Ψ∂

Ψ

Ψ+Ψ∇=∂Ψ∂

−⋅Ψ

−

Ψ+Ψ−=∂Ψ∂

⋅Ψ

rrh

h

h

h

imt

tti

Vt

i

Vt

i

:נגדיר את הגדלים הפיזיקליים הבאים

ψψρ : שנקרא לו צפיפות ההסתברות • *= ρ

: שנקרא לו זרם ההסתברות • Jr

)ההסתברות מתאפסממשית הזרם Ψ-נשים לב שכש(

[ ] [ ]Ψ∇Ψ=Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=rhrrhr

*** Im22 mim

J

J : ונקבל את משוואת הרציפות(*) נציב את הגדלים שהגדרנו במשוואה t

rr∇=

∂∂

−ρ

∫∫ -משום ש, זוהי גם משוואת שימור הזרם =∂∂

−Sv

SdJdVt

rrρ

sdJ ) -ומהגדרת המטען , -מחוק שימור מטען כאשר אנו יודעים ש(dtdQ

s

rr∫=−∫=

v

dVQ ρ

:נקבל צורה אינטגרלית של משואת הרציפותאם נשתמש במשפט גאוס הדיפרנציאלי

∫∫ =vs

dVJdivsdJrrr

: משוואת הרציפות מקבלת צורה ידידותית יותרStocksי שימוש במשפט "עו

Jdivt

r=

∂∂

−ρ

68

:1-שווה ל יהיה כך שסכום ההסתברויות,ר אנו נדרוש נרמולהיות ויש פה משוואת שימו

: במילים אחרות כל הזרם הנכנס שווה לכל הזרם היוצא כך ש,

∑

∑∑

=

=

in

iouti

in

out

JJ

P

JJ

1

∫ =ΨΨv

dV 1*

נניח גל חופשי : וגמהד

Ψ=Ψ∇⇒=Ψ kiexki r

hh

rr

vmkki

mJ r

h

rhr

ρ=ΨΨ=ΨΨ= ** )Im(

r

.יא מהירות החלקיקים הvכאשר

אסימפטוטי הפתרון ה. מה שיעניין אותנו הוא התנהגות משוואת שרדינגר במרחק אינסופי ממפזר

:ייראה כך

)(~ fi

ikrzik kkf

ree i

rr⋅+Ψ

ziki

סוףנ גל מישורי המגיע מאי- e כאשר

r

eikr

),( fi kkf

גל כדורי מפוזר-

)פיזור אינו אחיד( פקטור אשר תלוי בכיוון הפיזור - rr

הנחה נוספת ). אין תלות בזמן(כלומר תמיד יש זרם חלקיקים ויש פיזור , steady stateמניחים

kkk .| -שימור תנע היא if

rrr== |||

:י מכפלה של הגל בצמוד"אמפליטודה של החלק המפוזר ניתנת ע

2

2*

2

2*

|),(|~

|,(|~

rkkf

vvvJ

rkkf

fi

fi

rrrsrr

rr

ΨΨ==

ΨΨ

ρ

הביטויים את נציב , = שטח בזווית מרחבית , -נגדיר זווית מרחבית

: שקיבלנו לתוך

Ωdr 2

I = SJ ⋅rr

θθϕ ddd sin=Ω

Iכאשר r

=⋅Sd Ω :נקבלו, שטח- זרם ו- drr

kkfvI fi 2

2

2|),(|rr

rr

σd : נגדיר חתך פעולהvId≡r

r

69

|),(|2 : יראה כךדיפרנציאליהפעולה הואז חתך fi kkfdd rr

=Ωσ

. הגלים החלקייםנמצא את אמפליטודת הפיזור באמצעות שיטת

)י להביא בחשבון את הספין והבורגיותנבצע זאת בל: הערה(

+===Ψ : הבאהמשוואת שרדינגרלשם כך נטפל בΨ∇

−mk

mpErV

m 22)(

2

22222 hh ψψψ

)(r כך שאת פתרונה אפשר לחלק לשני , כדוריתהסימטריי שבה הוא בעל Vאשר הפוטנציאל

),( : חלק רדיאלי וחלק זוויתי, חלקים)(

),()()( ϕθϕθ lmkl

lmkl Yr

rUYrRr ⋅==Ψ

r

2- משוואת שרדינגר לעיל באם נכפול את

2h

m2)(0 : נקבל 2

22 =

−+∇− ψkrVm

h

: כזכור הלפלסיאן בקורדינטות כדוריות הוא

2

2

2222

22

sin1sin

sin11

ϕψ

θθψθ

θθψψ

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

, לא נעשה זאת פה(ל ומפרידים אותו לחלק רדיאלי וחלק זוויתי "ואם מפתחים את הלפלסיאן הנ

: נקבל ש) ס אלקטרודינמיקהאולם הפיתוח הובא מספר פעמים בקור

0)()(2)1( 2222

2

=

−+

++− rUkrVm

rll

drd

klh

)(rkl)(krJ l)(krNl : ופונקציות ניומן שקשור לפונקציות בסל Uגל חלקי והפתרון הוא

(krJA ll )())(

)( krNBr

rUrR ll

lkkl +==

)(krNl

∞→

:כאשר

Spherical Bessel function - )(krJ l

- Spherical Neumann function

עניין אותנו הוא התנהגות משוואת שרדינגר במרחק אינסופי ממפזרמה שמ פי שכבר הזכרנו כ

ולכן נקבל את - יותר מהר מ0 - שואף לV(r) -ההנחה היא ש כאשר r לפיכך ניקח

: המשוואה

2

1r

0)()1( 222

2

≈

−

++− rUk

rll

drd

kl

70

:לפיכך נתבונן במספר פונקציות כאלו, ראינו שהפתרונות שלה הם פונקציות בסל ופונקציות ניומן

xx

xxxN

xxxN

xx

xxxJ

xxxJ

xJx

xJll

sincos)(cos)(

cossin)(sin)(

)(2

)(

210

210

21

−−=−=

−==

=+

π

:ת בסל ניתן לפרק לגל נכנס וגל מתפזרי פונקצי"רדיאלית עהמשוואה הפתרון של ואת ה

( )4342143421יוצאגל

ikr

נכנסגל

ikrikrikr eikr

eikr

eeikrkr

krkrJ2

12

12

1sin)(0 +−=−== −−

:התנהגות של פונקציות בסל ונוימן נראית כךהבאינסוף

+=

+

−→

+=

+

−→

+−

∞→

+−

∞→

...2

12

)1(sin1)(

...21

2)1(cos1)(

2)1(

2)1(

π

π

π

π

liikr

rkl

liikr

rkl

eeikr

lkrkr

krN

eekr

lkrkr

krJ

הפתרון , כפי שאמרנו קודם. י גלים חלקיים"אמפליטודת הפיזור עאת למצוא עתה נרצה

:י משוואה הבאה"האסימפטוטי ניתן ע

),(),(~ cosfi

rikrki

fi

rikzki kkf

reekkf

ree

rrrr⋅+=⋅+Ψ θ

).מתפזרהגל נכנס לגל הזווית בין היא ה -θבאשר (

בגלל שבמצב נתון לאנרגיה ישנו ערך מסוים . ניתן לפתח בטור של גל מישורי

mkE2

22h ישנה סימטריה e -כמו כן ל. kערך של אזי פונקציות בטור יהיו רק בעלי אותו =

בטור של m=0 נשים ⇐אקסיאלית

θcos⋅ikr

k mlΨ . הגענו לתוצאה שטור הפונקציות צריך להיראות:

θcos⋅ikremlkΨ

∑∑∞

=

∞

=

⋅ =Ψ=0

00

0cos

lllkl

llkl

rki YRaae θ

lk0l

∑∞

=

⋅ =0

cos )(cos)(l

lllikr PkrJCe θθ

l

∑∞

=

⋅ +=0

cos )(cos)()12(l

lllikr PkrJlie θθ

R : נקבל, לתוך המשוואהY-וביטויים עבור את האם נציב

משני צדדים של המשוואה ואז להגיעrי השוואת חזקות שוות של " ניתן למצוא עCהקבועיםאת

: סופית של השוויוןהצורה ל

71

הגל היוצא צריך להכפיל באמפליטודת את ונזכור שנכתוב את פונקציות בסל בעזרת אקספוננטים

:פיזורה

+→

+

−−

rekS

re

ikre

re

ikkrJi

ikr

l

ikrikrikr

ll )(

21

21~)(

∑

∑∞

=

−

∞

=

⋅

++

+==⇒

0

0

cos

)(cos)()12(21~

~)(cos)()12(

ll

ikr

l

ikr

lll

likrikz

Pr

ekSr

elik

PkrJliee

θ

θθ

)(kSl1|)(|

kSl= :תקיים שימור תנע נדרוש ש היא מטריצת הפיזור וכדי שיכאשר

1|)( <kSl

למעשה מתנאי זה , ספר החלקיקיםת כך שיש שמירה על מלמעשה דרישה זו היא תנאי אוניטריו

שהרי במידה והפיזור היה פלסטי אזי הייתה בליעה היינו , מדובר בפיזור אלסטימשתמע כי

|.

)(tan

)( )(2

kAB

ekS

ll

l

kil

l

δ

δ

=−

=

)(kl

k .א תלויה באנרגיה משום שהי והיא פונקציה של בפאזההיא התזוזהδכאשר

:הפתרון יראה כך, ובצורה קצת שונה

∑∑∞

=

∞

=

−

−++

−+++Ψ

00)(cos)1)()(12(

21~)(cos)1)(()12(

21~)(

lll

ikz

ll

ikr

l

ikrikr

PkSlik

ePr

ekSr

er

elik

r θθr

∑ : ואמפליטודת הפיזור כך∞

=

−+=≡0

)(cos]1)()[12(21)(),(

lllfi PkSl

ikfkkf θθ

rr

. R בעלת רדיוס פיזור מדיסקהנתבונן בדוגמה פשוטה של

, לחלוטיןפיזור פלסטי מדובר ב, היינו ,נניח שכל החלקיקים המתנגשים בדיסקה נבלעים בה

. יכול לקבל את הערכים וכן התנע הזוויתי מתקיים לפיכך

מדובר , היינו, כלומר אין בכלל בליעה, אם כל החלקיקים שפוגעים בדיסקה היו מתפזרים, אולם

kSl=1י יתקיים בהתנגשות אלסטית לחלוטין אז

L

וכן התנע הזוויתי יכול לקבל את הערכים

l כמו כן נקבל שאמפיטודת הפיזור תהיה ∑=

−=

kR

lik 021)θ + lPlf )(cos)12(( θ.

0)( =kSlRkLrr

=RkLlrr

≤≤

)(

r≥

72

:(Optical theorem)המשפט האופטי

Ω : נגדיר את חתך הפעולה הכללי כךΩ

≡ ∫ ddd

vtotal

σσ

והשני מפיזור לא ) (את חתך הפעולה לשניים אחד הנובע מפיזור אלסטיאפשר לחלק

)(1 (אלסטי <kSl (:

1)( =kSl

intoatl

eltotaltotal σσσ +=

: לסטי נקבלאלא פיזורעבור

( )( )

( )[ ]( ) ( )∑∑

∑∑

∫∑∑

∫∫

−+≈ →−++=

=−−++=−+=

=−−++=

==ΩΩ

≡

<

−

ll

kS

lll

llll

ll

lllll l

v

intotal

kSlk

kSkSlk

kSkSkSlk

kSlk

dPPkSkSllk

dfddd

l 22

1)(22

*22

2

2

'*

'2

1

1

2

)(1)12()(Re2)(1)12(

)()()(1)12(1)()12(

cos)(cos)(cos1)(1)()1'2)(12(2

cos)(2

ππ

ππ

θθθπ

θθπσσ

:נקבלבאותו אופן אילו עבור פיזור אלסטי ו

( )[ ]( ) [ ]( )

[ ]( )∑

∑∑

∑∑

−+=

=−+≈ →−++=

=−−++=−+=

=

ll

ll

kS

lll

llll

ll

eltotal

kSlk

kSlk

kSkSlk

kSkSkSlk

kSlk

l

)(Re1)12(2

)(Re22)12()(Re2)(1)12(

)()()(1)12(1)()12(

2

21)(2

2

*22

2

2

π

ππ

ππσ

0

θ= :ונפריד לשני חלקים מדומנ וממשי, עתה נתבונן על אמפליטודת הפיזור בזווית

( )∑∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−+++=

=−+==−+==

00

00

1)](Re[)12(21)](Im[)12(

21

]1)()[12(21)1(cos]1)()[12(

21)0(

ll

ll

ll

lll

kSlik

kSlk

kSlik

PkSlik

f θθ

[ ]

: הוא0אפשר לראות שהחלק המדומה של אמפליטודת הפיזור בזווית

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−+=−+−==00

)](Re[1)12(211)](Re[)12(

21)0(Im

ll

ll kSl

kkSl

kf θ

[ ]

לבין 0של אמפליטודת הפיזור בזווית בין החלק המדומה הבא המשפט האופטי מצביע על הקשר

: חתך הפעולה הכללי

[ ] [ ] eltotall f

kkSl

kf σθπθ ==⇒−+== ∑ )0(Im4))(Re1()12(

21)0(Im

73

)Lippmann Schwinger ( שווינגר -משוואת ליפמן

ננסה ליצור משוואת פיזור שאינה תלויה בזמן לשם כך נניח שאפשר לכתוב את ההמילטוניין

VHH .: באופן הבא += 0

0 : הוא המילטוניין של חלקיק חופשיכאשר H m

pE

mmPH

2;

22

20

222

0

rh

r

=∇

−≡=

0 כמובן שנוכחות . פשוטה של חלקיק חופשי עם תנע משוואה נקבלV= כלומר,בהעדר פיזור

≠0 .נות מאלו של חלקיק חופשי תגרום לקבלת אנרגיות עצמיות שוVשל פוטנציאל

Pr

לפיכך אנו מעוניינים למצוא . אם הפיזור הוא אלסטי לא צריך להיות שום שינוי באנרגיה, עם זאת

ע של " כך שנקבל אותם עפתרון של משוואת שרדינגר בעלת ההמילטוניין המלא

-כך שצב עצמי של הוא מφנניח , ליתר דיוק. אנרגיה 0Hφφ EH =0.

VHH += 0

:ונרצה לפתור את משוואת שרדינגר הבסיסית הבאה

(*)ψψ EVH =+0

VH +0

( )

פקטרומי אנרגיה מציגים ס וגם כשגם 0Hרציפים.

φψ→0 נקבל Vכך שכש(*) אנו מחפשים פתרון למשוואה →.

:הוא לכאורה(*) הפתרון המתקבל של משוואה , לאחר העברת אגפים

ϕψψ +−

= VHE 0

1

ל ושם " מן הסוג הנבפתרון הבלתי תלויה בזמן תורת ההפרעות פרק הקודם של כבר נתקלנו ב

.אולם פה טריק מן הסוג הלז לא יעבוד', יק של הכנסת אופרטור שלמות וכוכזכור השתמשנו בטר

.ע רציפים" מציגים עψ וגם φהסיבה לכך היא שגם

±εi : באופן הבאי הכנסת גורם מרוכב "הפתרון פה יתקבל ע, במקום זאת

)(

0

)( 1 ±±

±−+= ψ

εφψ V

iHE

. Lippmann Schwinger ידוע בשם משוואת ל"הביטוי הנ

xלשם כך נכפיל את המשוואה ב. אנו רוצים לקבל משוואה אינטגרלית עבור אמפליטודת פיזור

:מימין

'''''''''1

1

33)(

0

)(

0

)(

xdxdxxVxxiHE

xx

ViHE

xxx

±

±±

±−+=

=±−

+=

∫ ψε

φ

ψε

φψ

rrrrrr

vrv

היינו פוטנציאל (י קביעת פוטנציאל מקומי" נפשט אותה ע.קיבלנו משוואה אינטגרלית מסובכת

''')'()'''( :)דיאגונלי בהצגת המקום xxxVxVx rrrrr−= δ

74

:נציבו חזרה למשוואה ונקבל

'')'()',(

'')'('1

3)(

3)(

0

)(

xdxxVxxGx

xdxxVxiHE

xxx

±±

±±

∫

∫+

=±−

+=⇒

ψφ

ψε

φψ

rrrrr

rrrrrv

בהצגת . נסתכל על תכונות שלו. הוא פונקצית גרין כאשר האופרטור

) :קום המ )'xx rr−

εiHExxG

±−=±

0

1)',( rr

( ) ( )'22

' 320

22

0 xGxim

pm

xGxiEH rrm

rhrr

m =

−

∇−=− ±± δεε

( ) ) ובהצגת ה :תנע ) ( )qpqGpim

pm

pqGpiEH rrrrm

rrrr

m −=

−−=− ±± 3

20

2

0 22δεε

:מכאן מקבלים( )( )

εδ

ippqpmqGp

mrr

rrrr

20

2

32−

−=±

:כעת נחשב פונקציית גרין בהצגת המקום

( )( ) ( )

( )

( )

pdipp

emqdpdeippqpme

qdpdxqqGppxxGx

xxpixpixpi

320

2

'

333

'

20

2

3

3

33

222

21

''

∫∫

∫

−=

−−

=

==

−⋅−

⋅

±±

επεδ

π mrr

hmrr

rr

h

rrrrrrrr

rr

hh

rr

h

rr

:נחשב את פונקצית גרין לגלים יוצאים

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )επ

απϕ

εθϕ

πεπ

θθ

αα

π

θπ

ippipeedppm

ieeanddwhen

ippeddppdmpd

ippemxGx

xxpixxpi

xixi

xxpixxpi

−−

−=

==

=−−

=−−

=

−−−∞

−∞

−

−

+

∫

∫∫

∫ ∫∫∫

20

2

cos'cos'

0

232

2

0

20

2

cos'

0

1

1

22

03

320

2

'

3

22

2

cos22

22'

hh

hh

rr

rrr

h

rrr

h

rrr

h

rrr

h

:כאשר הקטבים הם בנקודות

'2

1 00

020

20

20

2 εεεεε ipp

ippiippipp +≡+≈+=+=⇒+=

'1 020

20 εεε ip

piipp −−=+−=+−=

) : נקבל)פונקציות המקיימות (ועבור פונקציות זוגיות ) ( )dxxfdxxf ∫∫∞∞

∞−

=02

1

75

76

( )

( ) ( )

−−−

−−= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

−−−

+

εεπ ipppedp

ipppedp

imxGx

xxpixxpi

20

2

'

20

2

'

322'

rrr

h

rrr

h

h

hrr

'0

י מסלול סגור הנסגר בחצי המישור העליון המכיל את הקוטב "את האינטגרל הראשון נחשב ע

בחצי המישור התחתון דהיינו עבור י סגירת המסלול "ואת האינטגרל השני נחשב ע.

.

εip +

'0 εip −−

( )

:עבור האינטגרל הראשון השארית היא

( )

( )( )( )'

00

'

0'0

0 21

'''lim

xxpixxpi

ipp eippipp

peipprr

h

rrr

h −−

+→ =−−++

−−εε

εε

( )

:נחשב את השארית עבור האינטגרל השני כאשר נשים לב כי כיוון המסלול הוא עם כיוון השעון

( )

( )( )( )'

00

'

0'0

0 21

'''lim

xxpixxpi

ipp eippipp

peipprr

h

rrr

h −−−

−−→ =−−++

++εε

εε

:ולפי משפט השארית נקבל

( )( ) ( )

( )

( )'221

21

22'

'

2

''

32

000

xxemee

imixGx

xxpi

xxpixxpi

rrhh

hrrrr

hrr

h

rr

h

−=

+=

−−−+

πππ

:באותו אופן נוכל לחשב את פונקצית גרין לגלים נכנסים

( )

( )'2'

'

2

0

xxemxGx

xxpi

rrh

rrrr

h

−=

−−

−

π

( )

:נתון פוטנציאל יוקבה : דוגמאלr

errµ−

ρ−= 2V

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) 222

2

22

2

2

2

032

2

cos1

1

2

0 0

23

2

13

13

2

13

13

23

123

113

3223

2113

1

12

12

11122

cos222

1

21

111

21

hrr

h

rrh

rr

h

rr

h

rrhrr

hh

hhh

rr

h

rrrrrrrr

rr

h

rr

h

rr

h

rrr

h

rrr

h

rr

h

rr

h

µπρ

µπρ

µµπρ

πρ

θϕπρ

πρ

π

δπ

µ

θµπµ

+−

−=

+−

−=

=

−−−

+−−

−−

−=

−

−

=

====

=−==

∫

∫∫ ∫∫∫

∫∫

∞−−−−

−

−

−∞−−−−−

−−

pqpq

pqipqipqidr

pqi

eee

edr

edrrdxdx

eexdxVe

exdxxxVxdeqxxdxVxxdxpqVp

rrpqirpqi

rpqirxxqpixqpi

xqixpi

Documents

lectures רשימות הרצאות תשס"ג