Legge di Gauss. Angolo solido Applicazioni della legge di ...ragusa/2018-2019/elettromagnetismo... · • Consideriamo adesso il campo elettrico generato da una sfera di carica •

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2018/2019

Elettromagnetismo

Legge di Gauss. Angolo solidoApplicazioni della legge di Gauss

Divergenza e teorema della divergenzaForma differenziale della legge di Gauss

Lezione n. 5 – 17.10.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 91

La Legge di Gauss• Abbiamo visto che il flusso del campo elettrico di una carica attraverso una superficie chiusa sferica è uguale a• Inoltre è indipendente dal raggio della sfera• In realtà c'è una condizione ancora più forte• È indipendente dalla forma della superficie chiusa• Per convincerci di questo conviene fare preliminarmente una digressione sull'angolo solido• Iniziamo dall'angolo piano• Consideriamo un punto P sul piano• Un angolo piano è la regione del piano

delimitata da due … originanti da P• Due cosa? • Due semirette• La "misura" dell'angolo piano è data dal rapporto

fra lunghezza di un arco e il raggio dell'arco• È un numero adimensionale• La "misura" dell'angolo è indipendente da R• L'angolo completo misura 2π• Rapporto fra la circonferenza e il raggio

P

R1

l1

R2

R3

l2

l3


L'angolo piano• Consideriamo adesso un angolo infinitesimo• dl è un arco di circonferenza infinitesimo

• Se invece di dl consideriamo un segmento arbitrario dscompreso fra le semirette • Dato che dl è infinitesimo• La lunghezza di dl coincide con la lunghezza della corda• Gli angoli fra i raggi e la corda sono retti• Il segmento ds è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo

• Proiettiamo ds sulla circonferenza

• La misura dell'angolo è P

R

dl

dsθ


L'angolo solido• L'angolo solido è la generalizzazione nello spazio dei concetti precedenti relativi all'angolo piano• Un angolo solido è la regione dello spazio

delimitata da una superficie originante da P• La superficie può avere una forma arbitraria• Proiettiamo la superficie su una

sfera di raggio R• La proiezione della superficie sulla sferaè analoga alla proiezione del segmento dssulla circonferenza

• Analogamente a quanto fatto per l’angolo pianola "misura" dell'angolo solido è data dal rapporto fra l'area delimitata su una sfera e il quadrato del raggio della sfera• L’angolo solido è un numero adimensionale• La "misura" dell'angolo è indipendente da R

• L'angolo completo misura 4π• Rapporto fra la superficie della sfera e

il quadrato del raggio R

P


Angolo solido• Analizziamo in maggiore dettaglio il caso in cui la superficie di cui vogliamo calcolare l'angolo solido rispetto al punto P non sia un parte di una sfera• Stiamo considerando una superficie infinitesima dS1

• Possiamo costruire una superfice, una sorta di cono,unendo i punti del contorno della superficie dS1

con il punto P• In questo modo individuiamo una superfice dS su una sfera di raggio r che scegliamo in modo cheabbia punti di contatto con la superficie dS1

• La superficie S si trova ad una distanza r da P

• L'angolo solido sotteso da dS è

• L'angolo solido sotteso da dS1 deve essere lo stesso• Consideriamo le normali alle superfici• Se α è l'angolo fra le normali alle due superficisi avrà


La legge di Gauss• Siamo adesso in grado di comprendere come il flusso attraverso una superficie chiusa non dipenda dalla forma particolare della superficie• Consideriamo una superficie chiusa arbitraria che racchiude una carica puntiforme• Suddividiamola in tante superfici infinitesime dS1

• Il flusso attraverso ogni superficie è

• La superficie dS1, che si trova ad un raggio rsottende lo stesso angolo solido della superficie dS che si trova sulla sfera di raggio R

• Ci siamo pertanto riportati al calcolo del flusso sulla sfera di raggio R


Legge di Gauss• Fino ad ora abbiamo considerato il flusso di una singola carica puntiforme• Tutte le leggi e le operazioni matematiche utilizzate sono lineari• Vale il principio di sovrapposizione• Un campo generato da un sistema di cariche più complicato può pertanto essere visto come somma di più campi generati ciascuno da una carica puntiforme

• Si possono calcolare separatamente i flussi delle singole cariche contenuteall'interno della superficie

• Il flusso totale è uguale alla somma dei singoli flussi


Legge di Gauss• Cosa succede se la carica è esterna alla superficie?• Possiamo considerare un problema simile con una superficie

come indicato in figura• L'unione fra le due superfici è piccolissima

• Abbiamo appena visto che il flusso è indipendente dalla forma della superficie

• Possiamo inoltre suddividere il flusso nei flussi attraverso die superfici

• La "strozzatura" può essere resa piccola, trascurabile• Se chiamiamo Φ1 il flusso attraverso la superficie che contiene la carica

avremo


Legge di Gauss• Pertanto l'enunciato della legge di Gauss vale anche quando la superficie chiusa non contiene cariche• Se all'interno della superficie non ci sono cariche il flusso totale è nullo• Significa che il contributo negativo al flusso

è uguale al contributo positivo

• Il contributo al flusso è positivo quandol'angolo fra E e la normale è inferiore a π/2

• Il contributo al flusso è negativo quandol'angolo fra E e la normale è superiore a π/2


Campo di un guscio sferico cavo• Abbiamo già calcolato mediante un calcolo diretto il campo elettrico all'interno di un guscio sferico di carica Q e raggio R

• La legge di Gauss permette di calcolare in modo molto semplice il campo elettrico sia all'interno che all'esterno del guscio• Tuttavia è indispensabile utilizzare argomenti di simmetria per stabilire: • La direzione del campo elettrico• Proprietà del modulo del campo elettrico

• Nel problema in esame affermiamo che sia all'interno che all'esterno del guscio il campo elettrico deve essere diretto lungo un raggio• Qualsiasi altra direzione violerebbe l'isotropia dello spazio• La distribuzione di carica in esame ha una simmetria sferica

• Inoltre ha lo stesso modulo su tutti i punti che giacciono su una sfera di raggio r concentrica con il guscio sferico


Campo di un guscio sferico cavo• Consideriamo a questo punto una superficie sferica di raggio r < R (interna al guscio)• Il flusso del campo elettrico è

• La legge di Gauss ci dice che

• Non c'è carica all'interno della superficie sferica• Pertanto concludiamo che

• Consideriamo a questo punto una superficie sferica di raggio r > R• Abbiamo la stessa espressione per il flusso• All'interno della superficie c'è la carica totale del guscio Q

• Otteniamo

• Notiamo che è uguale al campo di una carica puntiforme Q nell'origine


Ancora sul guscio sferico cavo• Possiamo utilizzare l'esempio del guscio sferico cavo per approfondire ulteriormente • Le implicazioni della dipendenza del campo da 1/r2

• Il concetto di angolo solido• Per definizione un angolo solido sottende, a distanza r, una superficie dS = r2 dΩ• La superficie sulla sfera di raggio r• Consideriamo adesso un guscio sferico di carica Qcavo e un punto arbitrario P al suo interno• La superficie del guscio può essere suddivisa in tante

coppie costruite mediante coni con la stessa apertura• Sottolineiamo che il punto P non è il centrodella sfera

• Le due superfici individuate sulla sferasiano dS1 e dS2

• Le distanze da P siano r1 e r2 rispettivamente• Dimostriamo adesso che i campi elettricigenerati dai due elementi di carica si elidono• Evidentemente puntano in direzioni opposte


Ancora sul guscio sferico cavo• Dobbiamo pertanto dimostrare che hanno lo stesso modulo• I due campi sono generati da cariche differenti

poste a distanze differenti da P• Le cariche dei due elementi sono

• Vogliamo dimostrare che • Consideriamo la proiezione della sfera• Le due superfici dS1 e dS2 sono entrambe

normali ai raggi che originano dal centro del guscio C• Tracciamo due elementi di superficie sferichecentrate sul punto P: dS'1 e dS'2• Sono perpendicolari alla corda AB, asse

dei due coni• Per la definizione di angolo solido

• Inoltre il triangolo ABC è isoscele• Gli angoli alla base sono uguali


Ancora sul guscio sferico cavo• Dato che gli angoli alla base sono uguali abbiamo

• Riepiloghiamo le altre relazioni trovate

• Abbiamo pertanto

• Calcoliamo il rapporto dei moduli dei campi elettrici

• Pertanto i due campi hanno lo stesso modulo e direzione opposta• La somma è nulla


Campo di una sfera di carica• Consideriamo adesso il campo elettrico generato da una sfera di carica• La carica totale è Q, il raggio è R• La sfera ha una densità di carica uniforme

• Osserviamo che anche questo problema ha una simmetria sferica• Il campo è sempre radiale rispetto al centro della sfera• Il modulo del campo ad una distanza r è costante• Consideriamo una superficie sferica di raggio r > R, esterna alla sfera carica • È la stessa condizione dell'esempio precedente• La carica dentro la sfera è Q

• Abbiamo pertanto

• Anche in questo caso è lo stesso campo di una carica puntiforme Q posta nell'origine


Campo di una sfera di carica• Consideriamo adesso una sfera di raggio r < R, interna alla sfera carica• La carica all'interno della sfera non è nulla• Inoltre è solo una parte della carica totale Q• La carica all'interno della sfera è

• Applichiamo la legge di Gauss

• Ricaviamo E(r)


Equilibrio in campo elettrostatico• La legge di Gauss permette anche di trarre un'importante conclusione riguardo la possibilità di costruire un campo elettrostatico che abbia una posizione di equilibrio stabile in un punto dove non ci sono cariche elettriche• È essenziale la precisazione "dove non ci sono cariche elettriche"• Una posizione di equilibrio stabile implica che la forza su una carica sia nulla

• Questo è possibile

• Deve anche esserci una "forza di richiamo" per spostamenti arbitrari• In tutte le direzioni possibili

• Per una carica positiva significa che nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile il campo elettrico punta sempre verso il punto di equilibrio• In tutte le direzioni nello spazio tridimensionale• Per una carica negativa si inverte il verso del campo

• Possiamo allora calcolare il flusso attraverso una superficie• Il flusso sarebbe diverso da zero• Nella posizione di equilibrio ci sarebbe una carica

Pertanto la legge di Gauss implica che non ci possano essere posizioni di equilibrio stabile dove non ci sono cariche elettriche

fisse


Discontinuità del campo elettrico• Il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una superficie con densità di carica σ• Abbiamo visto due esempi• Un piano infinito (esercitazione)

• Un guscio sferico cavo• All'interno E = 0• Sulla superficie …

• In entrambi i casi la variazione della componente normale è

• La componente tangenziale è la stessa da entrambe le parti della superficie carica E = 0

• Si tratta di proprietà generali• Non limitate agli esempi trattati o alla densità uniforme


Discontinuità del campo elettrico• Esaminiamo in maggiore dettaglio questo ultimo punto• Consideriamo un piano di carica molto sottile• Non necessariamente uniforme• Esaminiamolo in maggiore dettaglio localmente• Consideriamo la circuitazione di E nella linea chiusa indicata

• Non è detto che il campo sia perpendicolare al piano• Le lunghezze delle linee rosse verticali sono

trascurabili rispetto a quelle orizzontali• Le linee orizzontali sono vicinissime al piano

e a esso parallele

• Otteniamo pertanto

• La componente di E tangente alla superficie è continua


Discontinuità del campo elettrico• Studiamo adesso la componente normale• In questo caso utilizziamo la legge di Gauss• Usiamo un cilindretto con le facce parallele al piano

• La superficie laterale è trascurabile• Il contributo importante al flusso è solo quellodelle due facce parallele al piano

• Non è detto che il campo sia perpendicolare al piano

La carica all'interno del cilindro è

• Otteniamo pertanto

• La componente normale di E ha una discontinuità proporzionale a σ


Forza su uno strato di carica• Consideriamo il guscio di carica sferico che abbiamogià analizzato• Il raggio è R, la carica totale Q• La densità superficiale di carica• Il campo elettrico all'interno è nullo• All'esterno il campo elettrico è dato da

• Pertanto il campo sulla superficie è

• Notiamo che si applicano le condizioni di discontinuità del campo che avevamo trovato precedentemente

• Ci chiediamo adesso quale forza si esercita su un elemento di carica della superficie• Un elemento di superficie infinitesimo


Forza su uno strato di carica• La forza sull'elemento di carica dA deriva dall'interazionefra la carica dq e il campo generato da tutte le altrecariche• Le cariche dell'elemento dA esercitano forze

sulle cariche dell'elemento stesso ma la lororisultante è nulla• Conseguenza della terza legge di Newton

• Suddividiamo il campo elettrico nel punto occupato dall'elemento dA in due contributi

• Il campo elettrico Es generato dalla sfera meno il piccolo elemento dA• Il campo elettrico EdA generato dall'elemento dA• Sappiamo inoltre che un elemento circolare

di carica genera un campo sull'asse• Pertanto tutte le altre cariche della sfera devono generare un campo tale che la somma sia quella indicata


Forza su uno strato di carica• Pertanto la forza che viene esercitata sull'elemento dA è

• La forza per unità di superficie

• Sostituendo il valore trovato per Es

• La forza per unità di superfice è chiamata anche pressione elettrostatica

• Ricordiamo che il campo all'esterno è

• Sull'elemento dA c'è una forza perché all'interno la pressione è nulla mentre all'esterno è diversa da zero


Divergenza di un campo vettoriale• Introduciamo adesso un importante operatore differenziale• Finora abbiamo trovato delle relazioni di tipo integrale per descrivere o

enunciare proprietà del campo elettrico• Circuitazione del campo elettrico (il campo elettrico è conservativo)• Legge di Gauss (il campo elettrico varia come 1/r2)• Tuttavia in fisica si usa di solito una formulazione che esprima proprietà

locali dei campi• In un punto e nei punti infinitamente vicini• Proprietà delle derivate del campo• Equazioni differenziali per trovare i campi

• La prima legge che vogliamo esprimere in forma differenziale è la legge di Gauss• Ci porterà all'introduzione dell'operatore divergenza• Insieme alla proprietà del campo di essere esprimibile come gradiente del

potenziale (campo conservativo) ci permetterà di scrivere una importantissima equazione per il potenziale

• Una delle più importanti equazioni della fisica matematica

L'equazione di Laplace


Divergenza di un campo vettoriale• Dato che vogliamo esprimere in modo differente la legge di Gauss iniziamo esaminando il flusso del campo elettrico (o di un campo vettoriale in genere)

• Possiamo suddividere questo integrale in due

• Nel primo integrale la normale alla superficie S è verso "il basso"• Nel secondo integrale la normale alla superficie S è verso "l'alto"• L'integrale sulla superficie S ha segno opposto nei due integrali• I due contributi si elidono• Rimangono i due integrali sulle superfici A1 e A2 la cui somma da l'integrale di partenza

• Entrambi gli integrali calcolano il flusso attraverso una superficie chiusa


Divergenza di un campo vettoriale• Il procedimento appena descritto può essere ripetuto …. • E ripetuto• Nel corso della suddivisione si definiscono anche delle superfici che non hanno una parte in comune con la superficie di partenza A• Queste superfici si elidono con quelle degli

elementi confinanti• Anche in questo caso rimane solo il contributo

della superfice "esterna" A• Pertanto possiamo scrivere

• Man mano che N diventa sempre più grande le superficiAk diventano sempre più piccole (e anche il volumeche esse racchiudono)• L'integrale sulla superficie A è una proprietà globale• Gli integrali su Ak, superfici sempre più piccole,diventano sempre più una proprietà locale


Divergenza di un campo vettoriale• Tuttavia c'è un problema. Al crescere di N l'integrale del flusso esteso ad una superficie sempre più piccola tende a zero

• Il campo Ek è un qualche valor medio del campo all'interno della superficie• Intuitivamente dice "quante linee di campo" attraversano Ak

• La superficie Ak tende a zero• Occorre trovare un modo per rendere finita (e non infinitesima) questa informazione• Un modo è definire un rapporto fra Φk e una quantità che tende anch'essa a zero nel limiti di grandi N• Risulta molto utile dividere per Vk, il volume delimitato da Ak

• Sottolineiamo che la somma di tutti i volumi Vk dà il volume V delimitato dalla superficie iniziale A

• Se il limite di Φk/Vk esiste esso può dare informazioni locali sul campo• Il limite esiste e prende il nome di divergenza di un campo vettoriale


Divergenza di un campo vettoriale

• La divergenza di un vettore è una funzione scalare• Dipende dalla posizione: una funzione di x, y, z• Il suo significato è una sorta di densità di flusso definita in un punto

• La definizione che abbiamo dato è del tutto generale• Non dipende da proprietà specifiche del campo elettrico• Può essere definita per un generico campo vettoriale

• Così come l'abbiamo definita richiede una procedura complicata per essere calcolata• Fra poco definiremo un modo più semplice per definirla attraverso un

operatore differenziale


Teorema della divergenza (o di Gauss)• Utilizzando la derivazione che abbiamo fatto per introdurre la divergenza di un campo vettoriale possiamo dimostrare anche l'importante teorema della divergenza• La parte centrale della derivazione è stata l'osservazione che il flusso può essere scritto come somma di tanti contributi elementari

• Moltiplichiamo e dividiamo ogni termine della somma per Vk/Vk

• Nel limite di grandi N abbiamo definito

• La somma tende ad un integrale di volume

V è il volume delimitato dalla superficie A

Vale per un campo vettoriale generico


Legge di Gauss in forma differenziale• Nella derivazione abbiamo fatto riferimento al flusso attraverso superfici Ak sempre più piccole• Anche per queste superfici vale la legge di Gauss

• Nel limite di grandi N, superfici e volumi sempre più piccoli, possiamo assumere che si raggiunga una situazione in cui la funzione ρ(r) all'interno del volume Vk varia pochissimo (o addirittura non varia)• In tal caso (con un punto interno a Vk) abbiamo

• E passando al limite

Forma differenziale della legge di Gauss


Legge di Gauss in forma differenziale• Saremmo potuti arrivare a questo risultato utilizzando il teorema della divergenza

• Ricordiamo la legge di Gauss in forma integrale

• Pertanto

• Uguagliando gli integrandi otteniamo ancora una volta la legge di Gauss in forma differenziale

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