Leichtbau - ETH Z · Leichtbau SkriptzurVorlesung151-3207-00L Prof. Dr. Paolo Ermanni Version1.0 11.Dezember2015 LaboratoryofCompositeMaterialsandAdaptiveStructures

LeichtbauSkript zur Vorlesung 151-3207-00L

Prof. Dr. Paolo Ermanni

Version 1.0

11. Dezember 2015

Laboratory of Composite Materials and Adaptive Structures

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 1

1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Natürliche und technische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Was versteht man unter Leichtbau? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Lernziele und Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Leichtbaukonstruktionen 11

2.1 Allgemeines über den Entwicklungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Leichtbaustrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Material-Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Form-Leichtbau (Gestaltungsprinzipien) . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Konzept-Leichtbau (Bauweisen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Fachwerke 25

3.1 Fachwerke: Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Das ideale Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Standfestigkeit eines Fachwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Reale Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.5 Konstruktionsrichtlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Ebene statisch bestimmte Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Standfestigkeit eines ebenen Fachwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Bildungsgesetze der ebenen statisch bestimmten Fachwerke . . . . . 30

3.2.3 Klassifizierung der ebenen Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4 Ausnahmefälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.5 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

c© ETH Zürich CMASLab, 11. Dezember 2015

INHALTSVERZEICHNIS ii

3.2.6 Nullstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.7 Knotenpunktgleichgewichtsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.8 Ritter’sches Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.9 Cremonaplan: ein grafisches Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Statisch unbestimmte Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Kraftgrössenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3 Bestimmen von Knotenverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Dünnwandige Konstruktionen 56

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1 Kräftegleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Kinematische Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Voraussetzungen und Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.2 Einfluss der Schubdeformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.3 Kinematische Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.4 Aufgelöste Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.5 Anwendungsbeispiel: Schiefer Kasten unter Biegebeanspruchung . . 68

4.4 Torsion geschlossener und offener Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.2 Verwölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3 Torsion geschlossener Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4.4 Torsion offener Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 Schubfluss in dünnwandigen zylindrischen Querschnitten . . . . . . . . . . . 96

4.5.1 Schubflussberechnung in offenen Profilen . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5.2 Schubflussberechnung in einzelligen geschlossenen Querschnitten . . 106

4.5.3 Rekapitulation: Dreiwand-Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Versteifte Schalenkonstruktionen 120

5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 Idealisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Rechteckfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.1 Gleichgewichtsbetrachtungen am rechteckigen Schubfeld . . . . . . . 122

5.3.2 Das ebene Schubfeld im Biegeträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


INHALTSVERZEICHNIS iii

5.3.3 Rechnerisches Vorgehen beim statisch bestimmten System . . . . . . 124

5.4 Weitere Schubfeldsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4.1 Parallelogrammfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4.2 Trapezfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5 Schubwandsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.1 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.2 Das statisch überbestimmte Schubwandsystem . . . . . . . . . . . . 137

6 Sandwich-Konstruktionen 145

6.1 Sandwich structures models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.1.1 Thin sandwich homogeneous substitute plate . . . . . . . . . . . . . 149

6.1.2 Thick sandwich beam shear effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Anhang 156

A Leichtbaumetalle 156

A.1 Wichtige Leichtbau-Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2 Gesichtspunkte für die Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.3 Influenz der Mikrostruktur auf die Metalleigenschaften . . . . . . . . . . . . 160

A.4 Stahl als Leichtbauwerkstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.4.1 Leichtbaustähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.4.2 Stickstofflegierte Stähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.5 Aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.5.1 Gruppen von Aluminiumlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.5.2 Hochtemperaturwerkstoffe auf der Basis intermetallischer Verbin-dungen des Aluminiums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.5.3 Technische Al-Li-Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.5.4 Aluminium-Schichtstoffverbunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.5.5 Schaumaluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.5.6 Sinteraluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.5.7 Beispiele und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.5.8 Verarbeitungsmethoden von Aluminium-Werkstoffen . . . . . . . . . 178

A.6 Magnesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.6.1 Magnesium-Lithium-Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

A.7 Superleichtlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A.8 Titanlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

A.8.1 Gitterkonfiguration von Titanlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . 199


INHALTSVERZEICHNIS iv

B Einführung in die Faserverbundwerkstoffe 201

B.1 Definition und Aufbau von Composites Werkstoffen . . . . . . . . . . . . . 201

B.2 Materialinhomogenitäten und Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

B.3 Zusammenwirken von Fasern und Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

B.3.1 Volumen- und Gewichtsanteile von Verbundwerkstoffkomponenten . 205

B.3.2 E-Modul in Faserrichtung und Mischungsregel . . . . . . . . . . . . . 205

B.3.3 E-Modul quer zur Faserrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

B.3.4 Dehnungsvergrösserungseffekte der Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 207

B.4 Technische Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

B.5 Anforderungen an die Matrixsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

B.5.1 Mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

B.5.2 Thermomechanisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

B.6 Matrixwerkstoffe auf Polymerbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

B.6.1 Duroplastische Matrixsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

B.6.2 Epoxidharze als Matrixwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B.6.3 Thermoplastische Matrixsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.7 Verstärkungsfasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

B.7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

B.7.2 Kohlenstofffasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

B.7.3 Glasfasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.7.4 Synthesefasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

C Lineare Elastizitätstheorie 235

C.1 Grundlagen der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

C.2 Grundlagen der linearen Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

C.3 Gleichgewichtsbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

C.3.1 Gleichgewichtsbeziehungen im Körperinnern . . . . . . . . . . . . . . 240

C.3.2 Gleichgewichtsbedingungen auf dem Rand . . . . . . . . . . . . . . . 241

C.3.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

C.3.4 Reiner Schubspannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

C.4 Kinematische Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

C.4.1 Kompatibilitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

C.4.2 Hooksches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

C.4.3 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

C.4.4 Darstellung des ebenen Spannungszustandes im Mohrschen Span-nungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

C.4.5 Achsentransformation bei Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 249


INHALTSVERZEICHNIS v

Abbildungsverzeichnis 250

Tabellenverzeichnis 257


Kapitel 1

Einführung

1.1 Einleitung

Die Bedeutung des Leichtbaus wächst aus ökonomischen und ökologischen Gründen stetig.In der Luft- und Raumfahrt stellt der Leichtbau eine Notwendigkeit dar. Darüber hinausspielen heute leichte, energiesparende Lösungen eine immer wichtiger werdende Rolle invielen Bereichen des traditionellen Maschinen- und Fahrzeugbaus.Die konsequente Verwendung von Leichtbauprinzipien und leichten Materialien bei derKarosserie des Audi A8 (Abbildung 1.1) hat beispielsweise ermöglicht, das Strukturgewichtum 43% auf 270 kg zu reduzieren. Daraus resultiert eine Treibstoffersparnis von einem Literpro 100 km.

Abbildung 1.1: Al-Spaceframe des Audi A8 (alcoa.com)


1.2 Natürliche und technische Strukturen 2

Abbildung 1.2: Ultralight-Roboterarm(www.dlr.de)

Abbildung 1.3: Kettenwirkmaschine(www.mueller-frick.com)

Nicht zuletzt leisten Leichtbaukonstruktionen einen immer grösser werdenden Beitrag zurVerbesserung der Sicherheit, der Produktivität und demzufolge der Wettbewerbsfähigkeitvieler Produkte. Der Ultralight-Roboterarm (Abbildung 1.2) weist eine Länge von 340mm aus. Das Gewicht beträgt 210 g, die Tragkraft 50 kg. Dank der Verwendung vonFV-Werkstoffen1 konnten das Gewicht um 65% reduziert und gleichzeitig Beschleunigungund Nutzlast um 13% resp. 34% erhöht werden. Die Kettenwirkmaschine der Firma JakobMüller (Abbildung 1.3) ist ein Beispiel dafür, wie Leichtbaukonstruktionen im Maschi-nenbau eine Verbesserung der dynamischen Eigenschaften und somit eine Erhöhung derArbeitsgeschwindigkeit ermöglichen.

1.2 Natürliche und technische Strukturen

DasWort’Struktur’ hat viele Bedeutungen: Im Duden zum Beispiel (www.duden.de) findet

man dafür folgende Definition:

1. Anordnung der Teile eines Ganzen zueinander; gegliederter Aufbau, innere Gliede-rung.

2. Gefüge, das aus Teilen besteht, die wechselseitig voneinander abhängen; in sich struk-turiertes Ganzes.

3. (Textilindustrie) reliefartig gestaltete Oberfläche von Stoffen.

Im technischen Verständnis definiert das Wort’Struktur’ ebenfalls die Form und die Kon-

struktionsart. Strukturen übernehmen in natürlichen und technischen Systemen eine Trag-und Schutzaufgabe und ermöglichen bzw. garantieren die Funktionsfähigkeit des Systemsüber die gesamte Lebensdauer.Pflanzen, Blätter, Muscheln, aber auch das Skelett eines Menschen stellen typischenatürliche Strukturen dar (Abbildung 1.4). Die Natur hat solche leichte und effizienteStrukturen mit dem Ziel erschaffen, den Material- und Energieverbrauch über die gesamteLebenszeit zu minimieren.

Natürliche und technische Systeme gehorchen den gleichen physikalischen Gesetzen. Ausdiesem Grund ist es nicht weiter überraschend, dass die Menschheit seit den Anfängen derZivilisation für die Realisierung von Gegenständen und Konstruktionen sich mehr oder

1FV: Faserverstärke Kunststoffe


1.2 Natürliche und technische Strukturen 3

Abbildung 1.4: Beispiele von biologischen Strukturen: von links nach rechts: Blatt der Vic-toria Amazonica (www.biologie.uni-osnabrueck.de), Maxima Muschel (www.biologie.uni-osnabrueck.de), innere Struktur eines Knochens (www.biomech.ethz.ch)

weniger bewusst von der Natur inspirieren liess. Wenig überraschend ist es ebenfalls, dassdie Ähnlichkeiten zwischen natürlichen tragenden Strukturen und gängigen Leichtbaukon-struktionen häufig verblüffend sind!

Abbildung 1.5: Sandwich-Strukturen in derNatur c©University of Nevada-Las Vegas

Abbildung 1.6: Sandwich-Strukturen in derTechnik c©3A Composites

Solche Ähnlichkeiten sollten uns aber nicht den Eindruck vermitteln, dass wir heute ohneweiteres in der Lage wären, die Komplexität und Perfektion natürlicher Systeme in techni-schen Produkten umzusetzen. Trotz der rasanten Entwicklung neuartiger und immer bes-serer Materialien und dazugehöriger Technologien, der Verfügbarkeit von leistungsfähigenCAx-Methoden und experimentellen Möglichkeiten, die dem Konstrukteur in jeder Pha-se des Entwicklungsprozesses für die Konzeption, Simulation und Bewertung von neuenSystemen zur Verfügung stehen, und

’last but not least’ der beinahe unbegrenzten Lei-

stung moderner Computers, ist der’brauchbaren’ Entwicklungsraum für die Konstrukteure

immer noch bescheiden, im Vergleich zu den phänomenalen Möglichkeiten und Entwick-lungsmechanismen von natürlichen Systemen:

• tragende Strukturen Natürliche bestehen zwar nicht aus Hochfesten Stählen oderTitan, trotzdem erreichen sie eine unübertroffene mechanische Effizienz. Ein Grunddafür liegt in dem hierarchischen Aufbau der natürlichen Systeme, die sich in einerVielfalt an Materialien und physikalische bzw. funktionellen Eigenschaften wieder-spiegelt(Vincent & Wegst, 2004).


1.3 Was versteht man unter Leichtbau? 4

• Natürliche Systeme sind nicht das Ergebnis eines Entwicklungsprozesses! Der Wachs-tumsprozess von tragenden natürlichen Systemen wird von den Umweltbedingungengeprägt. Pflanzen und Knochen reagieren auf externe mechanische Belastungen undpassen ihre Morphologie während des Wachstums an (adaptives Wachstum), umSpannungskonzentrationen zu minimieren (Matteck, 1993).

• Technische Strukturen werden in der Regel so ausgelegt, dass sie unter den Belastun-gen ihre Form aufrechterhalten und somit sich so wenig wie möglich deformieren.Tragende biologische Strukturen besitzen hingegen eine kontrollierte Nachgiebigkeit(Ennos, 2005).

• Biologische Systeme sind’smart’; Sie sind mit integrierten Aktuatoren und Senso-

ren versehen, die ihnen eine optimale Anpassung an sich wechselnden Situationenermöglicht.

• Natürliche Systeme sind Lebewesen. Sie unterliegen aufgrund des Evolutionsdruckeseines kontinuierlichen Optimierungsprozesses und besitzen die Fähigkeit, ihre mor-phologischen Eigenschaften den sich ändernden Umweltbedingungen anzupassen.

Abbildung 1.7: Hierarchische Struktur in derNatur: Diatom von innen c©C. Hamm, ELi-SE

Abbildung 1.8: Hierarchische Struktur vontechnisch fraktalen Honigwaben zur Vibra-tionsdämpfung c©C. Hamm, ELiSE

1.3 Was versteht man unter Leichtbau?

In der Technik spielen Leichtbaustrukturen eine zentrale Rolle, auch wenn sie gar nichtdas eigentliche Ziel der Entwicklung sind. Zum Beispiel ist der Bau eines Flugzeugs, daseigentlich nur Menschen und Güter durch die Luft von einem Ort zum anderen transpor-tieren soll, wegen des Zwangs zum Leichtbau immer ein herausforderndes Problem derStrukturmechanik. Der Leichtbau als Disziplin eindeutig zu definieren ist schwierig. NachWiedemann unterliegen sämtliche Leichtbaukonstruktionen einem gemeinsamen Prinzip:Das Gewicht zu minimieren, ohne die Tragfähigkeit und andere Funktionen der Konstruk-tion wie beispielsweise:

• Sicherheit• Zuverlässigkeit• Herstellbarkeit/Montierbarkeit


1.4 Motivation 5

• Inspizierbarkeit• Umwelt/Recycling

zu schmälern. Leichtbaukonstruktionen wie das Flugzeug in Abbildung 1.9 zeichnen sichdurch eine Reihe von besonderen Merkmalen aus. Diese lassen sich unmittelbar aus dergrundlegenden Aufgabe solcher Konstruktionen herleiten, d.h. die Erfüllung der struk-turmechanischen Anforderungen in Bezug auf Steifigkeit und Festigkeit. Daraus entstehtdie Notwendigkeit der Verwendung möglichst

’leichter’ Werkstoffe in Zusammenhang mit

besonderen Gestaltungsprinzipien und Fertigungstechnologien.

Abbildung 1.9: Airbus A350 XW Vorderrumpf-Struktur (www.airbus.com)

Der Leichtbau ist ein Fach mit einem stark ausgeprägten interdisziplinären Charakter (Ab-bildung 1.10). Die Konstruktion spielt dabei eine wichtige Rolle genauso wie die Mechanik,die Werkstoffkunde, die Fertigungstechnologien und numerische Methoden, wie die FiniteElemente Methode (FEM) und die numerische Strukturoptimierung.

1.4 Motivation

(Dr. Markus Zogg, Inspire AG)Die Anzahl Menschen auf der Erde wächst jedes Jahr und wird weiter wachsen. Immermehr dieser Menschen wollen einen hohen Lebensstandard erreichen, was zu einem wach-senden Energieverbrauch führt. Die folgenden Aspekte lassen erwarten, dass die Bereit-stellung dieser immer grösser werdenden Energiemengen mit den Ansätzen des 20ten Jahr-hunderts nicht möglich sein wird:

• Der rasante Klimawandel der letzten Jahrzehnte wird zu einem Grossen Anteil aufdas CO2 aus der Verbrennung fossiler Energieträger zurückgeführt. Um den Klima-wandel zu stoppen oder zumindest zu verlangsamen und somit die Ökosysteme zu


1.4 Motivation 6

Abbildung 1.10: Leichtbau ist eine äusserst interdisziplinäre Disziplin (Quelle: VolkswagenAG)

stabilisieren, muss der CO2 Ausstoss gegenüber heute signifikant reduziert werden,d.h. es dürfen nicht mehr so viele fossile Energieträger verbrannt werden.

• Ein grosser Anteil des Weltenergieverbrauchs wurde in den letzten Jahren durch billi-ges Erdöl abgedeckt, dessen Produktion sich über Jahrzehnte problemlos dem Bedarfentsprechend steigern liess. Nach Aussage von unabhängigen Erdölgeologen habendie weltweit wichtigsten Ölfelder das Maximum ihrer Produktion überschritten unddie dadurch Verursachten Produktionsrückgänge können nicht durch neue Fundeoder unkonventionelle Quellen (Tiefsee, Ölsande, etc) kompensiert werden. Es wirdvon Experten erwartet, dass der “Peak Oil”, die maximale Erdölproduktion, in denJahren 2009 oder 2010 erreicht wurde. D.h. der Bedarf nach zusätzlichen Energie-mengen kann nicht durch Erdöl abgedeckt werden.

• Die weltweit produzierbare Menge an Biomasse ist durch die Grösse unseres Planetenund durch den Zustand der Ökosysteme beschränkt. Zudem muss, bei ethisch kor-rektem Verhalten, die Biomasse für die Ernährung aller Menschen verwendet werdenbevor sie zur Energie-Gewinnung eingesetzt werden darf. Überschüsse an Biomas-se und Biomasseabfälle können in Zukunft vermehrt energetisch verwertet werden.Die daraus gewonnene Energiemenge reicht jedoch nicht aus, um die erwartetenRückgänge der Erdölförderung zu kompensieren.

Auch bei der Energiegewinnung mittels Kernkraftwerken wurden die Grenzen der erzielba-ren Sicherheit in den letzten Jahren deutlich sichtbar. Speziell die folgenden Punkte sindaus heutiger Sicht für viele noch nicht zur vollen Zufriedenheit gelöst:

• Ein sicherer Betrieb von Kernkraftwerken kann nicht unter allen Umständen garan-tiert werden, wie die Vorfälle von Tschernobyl und Fukushima gezeigt haben.

• Eine Gefährdung der Sicherheit von Kernkraftwerken durch Terrorangriffe kann nichtvollends ausgeschlossen werden.


1.4 Motivation 7

• Die extrem langen Zeiträume von bis zu 1’000’000 Jahren, in denen eine sichereLagerung von hochradioaktiven Abfällen notwendig ist, sind für uns Menschen, miteiner durchschnittlichen Lebenserwartung von ca. 80 Jahren, nur schwer erfass- undplanbar

• Zudem müssen in der Schweiz die Kernkraftwerke nur eine maximale Schadenssum-me von 2.25 Milliarden CHF versichern, was um Grössenordnungen weniger als dasSchadenspotential bei einem schweren Unfall ist und somit eine indirekte Subventio-nierung des Atomstroms darstellt.

Aufgrund dieser Überlegungen wird ersichtlich, dass mit der Ausbeute der konventionellenEnergiequellen der wachsende Energiebedarf der Menschheit nicht unbeschränkt weiterabgedeckt werden kann.

Abbildung 1.11: Effizienz durch Leichtbau; Schematische Darstellung der MotivationLeichtbau zu betreiben

Die grosse Herausforderung des einundzwanzigsten Jahrhunderts wird demzufolge die Be-friedigung des Energiebedarfs der Menschheit auf nachhaltige Weise. Um diese Herausfor-derung zu bestehen gibt es grundsätzlich die Möglichkeiten weniger Energie zu verbrauchenoder die erneuerbaren Energiequellen in vermehrt zu nutzen:

Erneuerbare EnergienUm den steigenden Energiebedarf der Menschheit trotz tendenziell rückläufiger Produk-tion konventioneller Energiequellen abdecken zu können, muss die Nutzung erneuerbarerEnergien in grossem Umfang ausgebaut werden. Die betrifft neben der Windenergie auchgeothermische Anlagen, Solarthermik, Photovoltaik und die verschiedenen Formen derWasserkraft. Neben grösseren Kraftwerken wird auch eine Vielzahl kleinerer Anlagen, z.B.


1.5 Lernziele und Inhalte 8

Photovoltaikanlagen auf Hausdächern, entstehen, was eine gewisse Anpassung der Struk-turen der Energieversorger zur Folge haben wird.

Reduktion des Energie-VerbrauchsEine Möglichkeit, den Energieverbrauch zu senken, ist einfach weniger brauchen, indemman weniger unterwegs ist (reduzierte Mobilität), weniger (klimatisierten) Wohnraum fürsich beansprucht und auch auf andere energieintensive Tätigkeiten zumindest teilweiseverzichtet. Ein solch suffizientes Verhalten umfasst Einschränkungen gegenüber den StatusQuo, was von der Mehrheit der Menschen nicht angestrebt wird.

Effizienter Energie-NutzungAlternativ kann der Energieverbrauch auch durch eine effizientere Nutzung der Energiegesenkt werden. D.h. es kann mit einer kleineren Energiemenge der gleiche Nutzen fürdie Menschen generiert werden. Grundsätzlich gibt es die folgenden drei Ansätze, um dieEffizienz von technischen Systemen zu verbessern:

• verbesserte Motoren & Antriebe, die vor allem im Betriebspunkt mehr Energie inBewegung (und weniger in Wärme und Lärm) umsetzen helfen die Effizienz zu stei-gern

• kleinere Widerstände, wie z.B. eine verbesserte Aerodynamik von Fahrzeugen, verrin-gerte Reibung in bewegten mechanischen Systemen oder weniger Verluste in Strom-leitungen, helfen Verluste zu verkleinern und somit die Effizienz von Systemen zuverbessern

• Leichtbaustrukturen helfen die zur Beschleunigung von Bauteilen und Systemenbenötigte Energie zu reduzieren, d.h. sie tragen signifikant zur Steigerung der Ef-fizienz von Systemen, die oft und stark beschleunigt werden, bei; als Sekundäreffektkönnen durch das verringerte Gewicht oft auch Widerstände (z.B. Reibung oderRollwiderstand) verkleinert werden.

Die Basis für alle Leichtbau-Überlegungen ist das Gesetz von Newton: Kraft = Masse ∗Beschleunigung. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten die Vorteile der geringeren Masse zunutzen:

• reduzierter Verbrauch infolge kleinerer Kräfte bei gleicher Beschleunigung (m ↘&a→⇒ F ↘): Dies wird z.B. im Automobilbau zur Verringerung des Treibstoffver-brauchs realisiert.

• verbesserte Leistung infolge höherer Beschleunigung mit gleicher Kraft (m ↘&F →⇒ a ↗): Dies wird z.B. bei Sportgeräten zur Leistungssteigerung oder beiFertigungssystemen für schnellere Bewegungen genutzt.

1.5 Lernziele und Inhalte

Der Leichtbau ist ein Fach mit einem stark ausgeprägten interdisziplinären Charakter. Indiesem Zusammenhang umfasst dieses Vorlesung Leichtbauwerkstoffe, Bauweisen, Gestal-tungsprinzipien und Berechnungsmethoden für die Analyse des Trag- und Versagensver-haltens von Leichtbaukonstruktionen. Das Ziel der Vorlesung ist es, fundierte Grundlagen



zum Verständnis moderner Leichtbaukonstruktionen zu vermitteln und den Studieren-den zu ermöglichen, das Trag- und Versagensverhalten von gewichtsmässig optimiertenLeichtbaustrukturen im Maschinen-, Fahrzeug- und Flugzeugbau zu beurteilen. Tragkon-struktionen lassen sich in Abhängigkeit der Geometrie und der Beanspruchungsart alseindimensionale (Stäbe, Seile, Balken) oder zweidimensionale Elemente (Platten, Schei-ben, Schalen oder Schubfelder) idealisieren. Der Strukturingenieur muss in der Lage sein,in Anbetracht der erforderlichen Genauigkeit der Analyse, die bestmögliche Idealisierungeiner komplexen Struktur vorzunehmen. In der Praxis zeigt sich, dass Leichtbaustruk-turen häufig schlanke, dünnwandige Konstruktionen sind, die als stabförmige Tragwerkeund/oder als Schubfeldträger mit guter Genauigkeit im Rahmen einer globalen struktur-mechanischen Analyse idealisiert werden können. Solche Berechnungsmethode spielen einewichtige Rolle im Leichtbau und bilden demzufolge einen Schwerpunkt dieser Vorlesung.Ein weiterer Schwerpunkt liegt in der Entwicklung der Fähigkeit, das erarbeitete Wissenfür die Lösung von realen Leichtbauproblemen anzuwenden.Dieses Skript entspricht der Gliederung der Vorlesung und ist wie folgt aufgebaut:

Kapitel 2: LeichtbaukonstruktionForm (Gestaltung) und Material einer technischen Struktur werden durch ihreFunktion geprägt. Diesbezüglich zeichnen sich Leichtbaukonstruktionen durch be-sondere Merkmale aus. Ausgehend von technischen Anforderungen an Leichtbau-Konstruktionen behandelt dieses Kapitel Gestaltungsprinzipien, Bauweisen undLeichtbaustrategien, um dem komplexen Anforderungskatalogs gerecht zu werden.

Kapitel 3: FachwerkstrukturenGenerell, gehören Fachwerke gehören zu den leichtesten Tragwerkkonstruktionen.Es gibt zahlreiche Praxisbeispiele, die die Bedeutung von Fachwerkbauweisen her-ausstellen. Zu nennen wären in erster Linie Brücken, Dachträger, Krantürme undFreileitungsmasten. Die in diesem Kapitel behandelten Berechnungsgrundlagenermöglichen das Berechnen ebener sowie statisch bestimmter und statisch unbe-stimmter Fachwerke.

Kapitel 4: Dünnwandige KonstruktionenDieses Kapitel bildet ein zentrales Thema innerhalb der Vorlesung. DünnwandigeKonstruktionen werden als stabförmige Tragwerke idealisiert. Darunter, fallen sowohloffene wie geschlossene Profile (dünnwandige Stäbe), Die unter Biegung, Querkraftund Torsion beansprucht werden. Solche Strukturelemente sind im Leichtbau vonzentraler Bedeutung.

Kapitel 5: Versteifte SchalenkonstruktionenDiese typischen Leichtbaukonstruktionen bestehen aus dünnen unversteiften oderversteiften Blechen (Haut), die von gedrungenen Strukturelementen (z.B. Gurte, Pfo-sten, Profile) eingerahmt sind. Die in diesem Kapitel behandelte Schubfeld-Theorieermöglicht eine sehr elegante und effiziente Abschätzung der Spannungsverteilungsolcher Leichtbaukonstruktionen.

Kapitel 6: Sandwich-KonstruktionenSandwich-Elemente bestehen aus steifen bzw. festen Decklagen, die durch ein wei-ches und leichtes Kernmaterial getrennt sind. Diese Bauweise eignet sich hervorra-gend für die effiziente Aufnahme von Biegebelastungen. Das Kapitel vermittelt eineEinführung in diesen wichtigen Strukturelementen.



Das vorliegende Skript ist durch drei Anhänge ergänzt. Die entsprechenden Themengehören nicht zu den eigentlichen Inhalten der Vorlesung, stellen aber eine gute Erwei-terung der behandelten Themen dar.

Anhang A: LeichtbauwerkstoffeIm Bereich Leichtbau wird nicht nur der Konstruktion ein hoher Stellenwert bei-gemessen. In diesem Anhang werden die für den Leichtbau aktuellen Werkstoffebehandelt.

Anhang B: Einführung in die FaserverbundwerkstoffeDieser Anhang gibt eine Einführung über faserverstärkte Kunststoffe. GängigeMatrix- und Faserwerkstoffe sowie Herstellungsverfahren für FV-Kunststoffbauteileauf duro- und thermoplastischer Basis werden behandelt. Des Weiteren vermitteltdas Kapitel einen Einblick in den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften derverschiedenenWerkstoffkomponenten, ihre Volumenanteile und den makroskopischenEigenschaften des resultierenden Verbundwerkstoffs.

Anhang C: Lineare ElastizitätstheorieIn diesem Anhang werden die Grundbegriffe der Statik und der linearen Elasti-zitätstheorie in Kürze wiederholt. Danach wird eine Zusammenstellung der wich-tigsten Beziehungen gegeben, mit denen eine Verknüpfung von Spannungen, Deh-nungen und Verschiebungen erreicht werden kann. Ferner wird auf die Darstellungvon Spannungen im Mohrschen Spannungskreis und auf Achsentransformationen beiSpannungen eingegangen.


Kapitel 2

Leichtbaukonstruktionen

2.1 Allgemeines über den Entwicklungsprozess

Form und Funktion eines technischen oder natürlichen Systems sind innig miteinanderverknüpft. Die Funktion beschreibt den Zweck eines Objektes, während die Form bzw. dieStruktur definiert die Art und Weise, wie diese Funktion ausgeführt wird (Ulman, 1997).

Die Struktur kann durch eine Anzahl Attributen (Design-Parameter) bestimmt werden,die das Material, die Topologie, die Gestaltung sowie die Abmessungen beschreiben (Ab-bildung 2.1). Die Topologie definiert die Materialverteilung innerhalb einer gegebenenDomäne. Die Gestaltung beschreibt die Aussenform bzw. die Oberfläche, während dieAbmessungen sich auf die Querschnittsflächen und/oder die Dickenverteilung der Struk-turelemente beziehen.

Abbildung 2.1: Hauptmerkmale einer Struktur

Die Entwicklung eines neuen Produktes ist ein kreativer Prozess. Abbildung 2.2 verdeut-licht die verschiedenen Phasen der Entwicklung, die nach Pahl (Pahl, Beitz, Feldhusen, &Grothe, 2006) in vier Hauptphasen gegliedert werden können:

• Planung


2.1 Allgemeines über den Entwicklungsprozess 12

• Konzeption• Vorentwicklung• Detail Design

Abbildung 2.2: Typischer Entwicklungsprozess

In jeder dieser Phasen werden Entscheidungen getroffen, die zu einer Evolution des Ent-wurfs führen. Während der Entwicklungszeit erhöht sich einerseits das Wissen über dasProdukt, die Design-Freiheiten für Veränderungen reduzieren sich andererseits allmählich.Gleichzeitig, wird die abstrakte bzw. virtuelle Darstellung des technischen Objektes konti-nuierlich verbessert und verfeinert und an dem jeweiligen Entwicklungs- bzw. Wissenstandangepasst, bis letztendlich ein reales Endprodukt entsteht.

Abbildung 2.3: Generische Produktentwicklung.

Am Anfang der Entwicklung, erkundet der Konstrukteur einen unbekannten Entwicklungs-raum, der durch sämtliche Design-Attributen gespannt wird und zunächst völlig uneinge-schränkt ist. Seine Aufgabe liegt darin, zulässige und nicht zulässige Design-Regionen zuidentifizieren und diesen Entwicklungsraum durch Ermittlung der bestmöglichen Wertefür diese Design-Attributen einzuschränken, bis schliesslich eine optimale Lösung gefun-den wird. Dabei muss der Konstrukteur die Ziele der Entwicklung, strukturmechanischeund funktionale Anforderungen, sowie technologische Aspekte berücksichtigen.

Dieses Kapitel befasst sich mit Aspekten der Materialen, Gestaltung und Bauweisen undsoll Ihnen eine Art Starthilfe geben, um sich in diesem faszinierenden Entwicklungsraumzu bewegen.


2.2 Leichtbaustrategien 13

2.2 Leichtbaustrategien

2.2.1 Material-Substitution

DieWahl der geeignetenWerkstoffe und Prozesstechnologien stellen einen zentralen Aspektdes Leichtbaus dar. Metallische Legierungen auf der Basis von Stahl, Aluminium oderTitan gehören Dank ihrer sehr guten mechanischen Eigenschaften, moderater Dichteund vielseitiger Fertigungstechniken zu den wichtigsten Leichtbauwerkstoffen. Eigenschaf-ten und Fertigungsprozesse typischer Leichtbaumetalle sind in Anhang A zusammenge-fasst. Die Verfügbarkeit neuer Legierungen mit verbesserten Eigenschaften aber vor al-lem die kontinuierliche Entwicklung von besseren und noch flexibleren Fertigungstech-nologien und Bauweisen tragen dazu bei, dass Leichtbaumetallen auch zukünftig zu denSchlüsseltechnologien im Leichtbau gehören werden. In der zweiten Hälfte des zwanzigstenJahrhundert sind neue, synthetische Werkstoffe wie Polymere und Composite-Werkstoffauf den Markt gekommen, die nach und nach traditionelle Metalle in vielen Leichtbau-Anwendungen gedrängt haben. Eine Übersicht über FV-Kunststoffe ist im Anhang B zufinden.

Eine naheliegende Strategie um die Effizienz einer Leichtbaukonstruktion zu verbessern, istdie Material-Substitution. Es liegt natürlich auf der Hand, dass die Wahl eines Materialsmit doppelter Festigkeit nicht zwangsläufig zu einer Halbierung des strukturellen Gewichtsführt. Des Weiteren beeinflussen sich Materialwahl, Design und Fertigungsprozess gegen-seitig sehr stark, so dass eine Material-Substitution Auswirkungen auf die Gestaltung unddiese ebenfalls auf das Gewicht haben wird.

Um den Einfluss der mechanischen Eigenschaften zu untersuchen betrachten wir aus diesemGrund im Folgenden eine sehr einfache Struktur, nämlich eine Aluminium-Platte (L∗B∗t =200mm ∗ 50mm ∗ 4mm) mit Rechteckquerschnitt entsprechend Abbildung 2.4. Für diegewählte Al-Legierung gelten folgende Eigenschaften:

• Eo = 73Gpa; σmax−0 = 400Mpa; ρ0 = 2.7 ∗ 103 kgm3

Abbildung 2.4: Referenzplatte aus Aluminium

Wir vergleichen nun das Gewicht dieser Al-Referenzplatte mit demjenigen einer Plattemit gleicher Länge und Breite, die aber aus einem generischen Werkstoff mit verbesserten



mechanischen Eigenschaften hergestellt wurde. Für unseren Versuch nehmen wir an, dasswir Materialien mit folgenden Eigenschaften zur Verfügung hätten (Abbildung 2.5):

• Doppelte spezifische Steifigkeit, gleiche spezifische Festigkeit und Dichte Estiff =2 ∗ E0; σmax−stiff = σmax−0; ρstiff = ρ0

• Doppelte spezifische Festigkeit, gleiche spezifische Steifigkeit und Dichte Estrength =E0; σmax−strength = 2 ∗ σmax−0; ρstrength = ρ0

• Halbe Dichte, gleiche spezifische Steifigkeit und FestigkeitEdensity = 0.5 ∗ E0; σmax−density = 0.5 ∗ σmax−0; ρdensity = 0.5ρ0

Abbildung 2.5: Werkstoffparameter

Die Dicke der Platten aus den verschieden Materialien wird so dimensioniert, dass unterZug-, Druck- und Biegelasten (Abbildung 2.6) alle Platten die gleiche:

• Zugsteifigkeit,• Zugfestigkeit,• Drucksteifigkeit,• Druckfestigkeit,• Biegesteifigkeit,• Biegefestigkeit

aufweisen sollen.

Die Ergebnisse sind in Abbildung 2.7 und Abbildung 2.8 wiedergegeben.

Nach dem gleichen Prinzip kann das Leichtbaupotential herkömmlicher Leichtbauwerkstof-fe unter Berücksichtigung der Eigenschaften aus Tabelle 2.1 bestimmt werden (Abbildung2.9 und Abbildung 2.10).

Wenn es gelingen würde, die Faser in Belastungsrichtung zu legen (UD-Aufbau) würdedas erreichbare Gewichtsersparnis mit CFK noch deutlicher ausfallen (Abbildung 2.11 undAbbildung 2.12). Die entsprechenden Materialdaten sind aus Tabelle 2.2 zu entnehmen.



Abbildung 2.6: Lastfälle

Abbildung 2.7: Gewichtsvergleich von Platten aus verschiedenen Materialien

Abbildung 2.8: Gewichtsvergleich von Platten aus verschiedenen Materialien: Zusammen-fassung



EigenschaftenDichteρ[103kg/m3]

E-ModulE[109N/m2]

Festigkeitσmax[106N/m2]

Material

Aluminium 2.7 73 400

Stahl-V2A 7.9 191 640

Titanium 4.5 120 890

E-GF / Epoxy 1.88 18.9 341

CF-HT / Epoxy 1.53 43.6 408

CF-HM / Epoxy 1.55 66.6 335

CF-UHM / Epoxy 1.55 85.6 223

Tabelle 2.1: Mechanische Eigenschaft herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe.

Abbildung 2.9: Leichtbaupotential herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe

EigenschaftenDichteρ[103kg/m3]

E-ModulE[109N/m2]

Festigkeitσmax[106N/m2]

Material Quasi-Isentrop UD-Aufbau Quasi-Isentrop UD-Aufbau

Aluminium 2.7 73 - 400 -

Stahl-V2A 7.9 191 - 640 -

Titanium 4.5 120 - 890 -

E-GF / Epoxy 1.88 18.9 38.0 341 1015

CF-HT / Epoxy 1.53 43.6 113.0 408 1219

CF-HM / Epoxy 1.55 66.6 183.8 335 927

CF-UHM / Epoxy 1.55 85.6 242.2 223 632

Tabelle 2.2: Mechanische Eigenschaften herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe.



Abbildung 2.10: Leichtbaupotential herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe: Zusammenfas-sung

Abbildung 2.11: Leichtbaupotential herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe



Abbildung 2.12: Leichtbaupotential herkömmlicher Leichtbauwerkstoffe: Zusammenfas-sung



2.2.2 Form-Leichtbau (Gestaltungsprinzipien)

Abbildung 2.13: Montage eines Flugzeugrumpfes

Form und Gestaltung einer Struktur werden durch ihre Funktion geprägt. Bei vielen Leicht-baukonstruktionen wird die äussere Form aus aerodynamischen, funktionalen (Transportvon Personen und/oder Ware, Komfort, . . . ) und ästhetischen Gesichtspunkten definiert.Die Konstruktionsaufgabe konzentriert sich demzufolge auf die innere Gestaltung derStruktur. Ideale Strukturen aus Sicht des Leichtbaus sind Zugkonstruktionen, da sie bis zurMaterialfestigkeitsgrenze beansprucht werden können. Meistens werden Leichtbaustruk-turen unterschiedlich belastet, so dass reine Zugkonstruktionen nicht anwendbar sind.Auf jeden Fall sollte eine möglichst gleichmässige Beanspruchung der Querschnitssflächender Strukturelemente angestrebt werden (Membranzustände). Biegebeanspruchungen vonHautflächen und Stäben sind diesbezüglich zu vermeiden.

Einige Grundregeln für ein leichtbaugerechtes Konstruieren sind in Folgendem zusammen-gefasst. Diese Regel sowie die dazugehörigen Abbildungen stammen aus:

1. Möglichst direkte Krafteinleitung um komplizierte Spannungszustände zu vermeiden

2. Realisieren möglichst hoher Flächenträgheitsmomente

3. Verrippung und Feingliederung von Strukturen

4. Krümmen von Strukturen und Blechfeldern

5. Möglichst viele Funktionen in einen Lösungsansatz integrieren. Stichwort: Integral-bauweise

6. Beanspruchungskonformität auf möglichst hohem Niveau

7. Nutzungs- und Lebensdauerabschätzungen vornehmen und damit gegebenenfalls einehöherere Beanspruchbarkeit realisieren.



Abbildung 2.14: Gestaltungsprinzipien von Krafteinleitungen

Abbildung 2.15: Realisieren möglichst hoher Flächenträgheitsmoment

2.2.3 Konzept-Leichtbau (Bauweisen)

Eine frühzeitige Betrachtung von Kosten- und Nutzenaspekten erfordert eine Betrachtungder Konstruktion nach technologischen Merkmalen. Der Begriff Bauweisen umfasst in die-sem Zusammenhang ganz allgemein das optimierte Zusammenwirken aller erforderlichenFachdisziplinen wie Werkstofftechnik, Auslegung und Konstruktion, Fertigung und Be-



Ungünstig Besser

Hinweis: Anstatt Vollquerschnitte sollten dünnwandige Stützquerschnitte realisiert werden

Gitterblech Noppenblech

Ungünstig Besser

Hinweis: Anstatt Vollquerschnitte sollten dünnwandige Stützquerschnitte realisiert werden

Gitterblech Noppenblech

Abbildung 2.16: Verrippung und Feingliederung von Strukturen

Ungünstig Besser Hinweise

Gekrümmte Formen erhöhen die kritischeKnick- und Beullasten

Lastentgegengesetzte Krümmungenwirken Durchbiegungen entgegen und stabilisieren gegen Durchschlagen.


Gekrümmte Formen erhöhen die kritischeKnick- und Beullasten

Lastentgegengesetzte Krümmungenwirken Durchbiegungen entgegen und stabilisieren gegen Durchschlagen.

Abbildung 2.17: Krümmen von Strukturen und Blechfeldern

wertung. Bauweisen stellen somit generische Konzepte dar. Diesbezüglich sind folgendebauweisentechnologische Richtungen vorhanden, wobei komplexe Strukturen häufig auseiner Kombination dieser drei Bauweisen bestehen:

• Differenzierte Bauweise




Reduzierung von Einzelteilen und somit Vermeidung von Vermindungsaufwand


Reduzierung von Einzelteilen und somit Vermeidung von Vermindungsaufwand

Abbildung 2.18: Möglichst viele Funktionen in einen Lösungsansatz integrieren.

• Integralbauweise• Sandwichbauweise

Differenzierte Bauweise

Bei dieser Bauweise wird eine komplizierte Grosstruktur in einzelne, meist sehr einfachzu fertigende Bauelemente zerlegt und aufgeteilt, die in anschliessenden Montageschrittendurch entsprechende Fügevorgänge zur Gesamtstruktur zusammengesetzt werden. Dieskann durch Verfahren wie Kleben, Loten, Schweissen, Bolzen, Nieten usw. geschehen. DieFertigungskosten zur Herstellung der einzelnen Komponenten sind meistens gering; derAufwand für die Montage der Einzelteile zur Baugruppe oder zur Struktur dagegen hoch.Die Differentialbauweise ist aus der Metalltechnik seit vielen Jahren bzw. Jahrzehntenbekannt und bewährt. Aus lagerfähigen Halbzeugen (Tafeln, Bleche, Profile, etc.) werdenausgestanzte oder gefräste Platinen und Profile in verschiedenen Umformverfahren, wiez.B. Gummipressen, oder in [5.1] beschriebenen Technologien in sehr kurzen Taktzeitenzu räumlich verformten Einzelteilen mit weitgehend gleich bleibenden Wandstärken um-geformt.

Integralbauweise

Die Integralbauweise ist entgegen der Differentialbauweise geprägt von dem Bestreben,möglichst viele Strukturelemente einer Baugruppe in einem einzigen Fertigungsvorgangherzustellen. Die Anzahl der Einzelelemente und damit die Anzahl der Verbindungen wer-den durch diese Bauweise drastisch reduziert, was sich natürlich in deutlich niedrigeren



Abbildung 2.19: Beispiel für differenzierte Bauweise: Druckdom A300

Montagekosten ausdrückt. Dafür sind die Aufwendungen für Werkzeuge sowie die Ferti-gungsvorgange selbst wesentlich aufwendiger und teurer. Diese Technik hat sich im Flug-zeugbau, sowohl bei den metallischen als auch bei den Faserverbundwerkstoffen, für grosseStrukturkomponenten durchgesetzt.

Abbildung 2.20: Beispiel für Integralbauweise: Seitenleitwerk-Haut der Airbus A310 mitintegrierten Stringern

Sandwichbauweise

Generell versteht man unter einem Sandwichaufbau einen Verbundwerkstoff, der aushochsteifen und -festen Deckschichten zusammengesetzt ist, die mit einem schubstei-fen Kern verbunden sind. Durch konstruktive Massnahmen können mehrere der folgen-



den Eigenschaften kombiniert werden: hohe Steifigkeit, geringes Gewicht, Warme- undSchalldämmung, Schlag- und Splitterschutz, Brand- und Feuerschutz sowie Auftrieb imSchiffsbau, wobei einige dieser Attribute auch für monolithische Strukturen gelten. Beider Sandwichbauweise kommt neben den Deckschichten und Kernmaterialien vor allemdem Verbindungsbereich eine besondere Bedeutung zu. Ein Kleber - häufig als Klebefilmeingesetzt - muss in der Lage sein, zwischen Kern und Deckschicht eine hervorragende An-bindung sicherzustellen. Bei Schaumkernen steht dazu eine genügend grosse Klebeflächezur Verfügung. Dagegen ist bei Wabenmaterialien die Ausbildung einer Hohlkehlnaht vongrosser Bedeutung, um eine möglichst grosse Anbindungsflache zu garantieren.

Laminat

Klebeschicht

Wabenkern

Klebeschicht

Laminat

Abbildung 2.21: Sandwichbauweise

Structural SandwichComposites

AluminiumExtrusions

Structural SandwichComposites

AluminiumExtrusions

Assembling-Technologies- Riveting- Laser-welding

Abbildung 2.22: Beispiel für Sandwichbauweise: Transrapid TR08


Kapitel 3

Fachwerke

3.1 Fachwerke: Allgemeines

3.1.1 Einleitung

Tragwerke sind technische Strukturen zur Aufnahme von Lasten. Wie breitgefächert dieserBegriff ist, zeigt Abb.3.1.

Flächen-tragwerke

Schalen-tragwerke

Fachwerke Rahmenwerke

Stab-tragwerke

Seil-tragwerke

Tragwerke

Abbildung 3.1:

In der Klasse der Stabwerke, Tragwerke aus Stäben, wird zwischen den Rahmenwerkenund den eigentlichen Fachwerken unterschieden:

• Fachwerke bestehen aus schlanken Stäben, die nur axiale Kräfte aufnehmen und anihren Enden durch reibungslose Gelenke verbunden sind. Die Lasten greifen aussch-liesslich in den Gelenken an.

• Rahmenwerke bestehen aus biegesteifen Stäben. Die Knoten sind steif. Lasten greifenan beliebigen Stellen an.

Das Ziel der folgenden Fachwerktheorie ist die Ermittlung der Stabkräfte zur Dimensio-nierung der Stäbe.

3.1.2 Das ideale Fachwerk

Die realen Fachwerke werden mit folgenden Annahmen idealisiert:


3.1 Fachwerke: Allgemeines 26

RahmentraegerFachwerktraegerx

y

Abbildung 3.2: Ein Fachwerkträger und ein Rahmenträger im Vergleich

• Die Stäbe sind gerade, schlank, gewichtslos.• Die Verbindungen zwischen den Stäben sind reibungsfreie Gelenke, die an denStabenden angebracht sind.

• Die Stäbe nehmen nur axiale Zug- und Druckkräfte auf.• Äussere Kräfte greifen ausschliesslich in den Gelenken an.

Die Gelenke werden allgemein Knoten oder Knotenpunkte genannt, die Stäbe idealer Fach-werke werden auch als Pendelstützen bezeichnet. Ein ideales Fachwerk besteht demzufolgeaus einem System von Knotenpunkten, die durch Stäbe gegeneinander abgestüzt sind. Vonjedem Knotenpunkt führt zu jedem Nachbarknoten je ein Stab.

Nicht-ideales FachwerkIdeales Fachwerkx

y

Abbildung 3.3: Ideales und nicht-ideales Fachwerk

3.1.3 Standfestigkeit eines Fachwerks

Standfestigkeit

Der Begriff Standfestigkeit gibt Aufschluss darüber, ob ein Fachwerk überhaupt Lastenzu tragen vermag, ohne exzessive Bewegung seiner Bestandteile. Er deckt also nicht dieFragestellung der Tragfähigkeit bzw. Dimensionierung ab, sondern ist eng verbunden mitdem Begriff der statischen Bestimmtheit. Es wird zwischen innerlicher und äusserlicherStandfestigkeit unterschieden:



• Ein von seinen Auflagern gelöstes Fachwerk ist innerlich standfest, wenn seine Kno-tenpunkte ihre gegenseitige Lage nicht ändern können. Ein solches Fachwerk verhältsich wie ein starrer Körper, unter Vernachlässigung der Stabverformungen.

• Ein aufgelagertes Fachwerk ist äusserlich standfest, wenn seine Knotenpunkte ihreglobale Lage nicht ändern können, wiederum unter Vernachlässigung der Stabverfor-mungen.

Die drei Konsolen in Abb. 3.4 sollen diese Begriffe verdeutlichen. Konsole (a), ein Dreige-lenkbogen, ist zwar äusserlich aber nicht innerlich standfest: Wird sie von den Auflagerngelöst, so fällt sie in sich zusammen. Konsole (b) hingegen ist innerlich und äusserlichstandfest. Konsole (c), ein Mechanismus, ist nicht standfest.

F

(a) (c)(b)

FF

Dreigelenkbogen Fachwerk Mechanisnmusäusserlich standfest innerlich standfest nicht standfestk2 = 3, l = 4, s = 2 k2 = 6, l = 3, s = 9 k2 = 6, l = 3, s = 8f = 2 · k2 − l − s = f = 2 · k2 − l − s = f = 2 · k2 − l − s == 2 · 3− 4− 2 = 0 = 2 · 6− 3− 9 = 0 = 2 · 6− 3− 8 = 1 > 0

Abbildung 3.4: Standfestigkeit am Beispiel einer Konsole

Die Standfestigkeit eines Fachwerks wird über die Freiheitsgrade f , die seine Knotenpunk-te besitzen, und den Grad der statischen Unbestimmtheit g beurteilt.

Freiheitsgrade

Die Anzahl f der möglichen unabhängigen Bewegungen eines mechanischen Systemesheißen Freiheitsgrade. f berechnet sich im allgemeinsten Fall zu

k1 Anzahl gerader Knotenpunktek2 Anzahl ebener Knotenpunktek3 Anzahl räumlicher Knotenpunktel Anzahl Auflagerbindungens Anzahl Stäbe.

f = k1 + 2 · k2 + 3 · k3 − (s+ l) (3.1)

Die von einem räumlichen Knoten ausgehenden Stäbe liegen nicht alle in einer Ebene, imGegensatz zum ebenen Knoten, an dem alle Stäbe in einer Ebene liegen. Diese Definitionist in Abb. 3.5 veranschaulicht.

Die Standfestigkeitsbedingung lautet

f ≤ 0 (3.2)und es gilt



x

y

Abbildung 3.5: Räumliches Fachwerk

• f > 0: Das Fachwerk ist statisch unterbestimmt (Mechanismus).• f = 0: Das Fachwerk ist statisch bestimmt, standfest.• f < 0: Das Fachwerk ist statisch unbestimmt, standfest (auch: überbestimmt).

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend, wie in Abschnitt 3.2.4 dargelegt.Ein hinreichendes Kriterium wird in Abschnitt 3.2.7 erläutert.

Grad der statischen Unbestimmtheit

Die Zahl der Freiheitsgrade f gibt neben ihrer elementaren Bedeutung für die analytischeMechanik insbesondere Auskunft über den Grad der statischen Unbestimmtheit g beiFachwerken. Beide Größen hängen wie folgt zuzammen:

g = −f

Sind l die Anzahl der Lagerbindungen bzw. Auflager- und Stützkräfte, s die Anzahl derStäbe und k die Anzahl der Knoten so gilt für

gerade Stabketten : g = l + s− kebene Fachwerke : g = l + s− 2 · kräumliche Fachwerke : g = l + s− 3 · k

Hieraus leitet sich die allgemeine Beziehung

g = l + s−D · k



ab. Wobei D für die Dimension steht, mit D = 1 für gerade Stabketten, D = 2 für ebeneFachwerke und D = 3 für räumliche Fachwerke.

Mit dem Einführen gerader, ebener und räumlicher Knotenanzahl - k1, k2, k3 - läßt sichauch schreiben

g = l + s− k1 − 2 · k2 − 3 · k3 ⇒ g = l + s−3∑

D=1

D · kD

3.1.4 Reale Fachwerke

Reale Fachwerke unterscheiden sich von ihrer Idealisierung im Wesentlichen durch zweiMerkmale:

• Die realen Knotenpunkte sind in der Regel steif (z.B. verschweisst oder vernietet).• In den Stäben treten demzufolge und infolge Eigengewicht auch Querkräfte undBiegemomente auf.

Infolge der steifen Knotenpunkte treten in den Stäben örtlich begrenzte Störungen desSpannungsfeldes auf, die aber das Tragverhalten des Fachwerks nicht beeinflussen. DieIdealisierung gibt die Stabkräfte in Fachwerken mit schlanken Stäben genügend genauwieder.

3.1.5 Konstruktionsrichtlinien

Es seien hier einige Konstruktionsrichlinien kurz angeführt. Weiterführende Literatur lässtsich dem Literaturverzeichnis entnehmen.

• Die Wirkungslinien der Stabachsen immer am Fachwerkknoten zum Schnitt bringen.• Bei der Auslegung eines Fachwerks sollte der Knotenanschluss nie die schwächste

Stelle der Konstruktion darstellen: Auslegung auf Tragfähigkeit der anzuschliessen-den Stäbe.

• Ueberprüfen der Konstruktion auf die Richtigkeit der Annahme gelenkiger Knotenanhand der Fachwerksverformung. Sonst mit Rahmenwerk und Biegeträgern rechnen.

• Sorgfältige Gestaltung von Lasteinleitungsbeschlägen erforderlich.


3.2 Ebene statisch bestimmte Fachwerke 30

3.2 Ebene statisch bestimmte Fachwerke

3.2.1 Standfestigkeit eines ebenen Fachwerks

Im Falle eines idealen ebenen Fachwerks vereinfacht sich Gleichung (3.1) zu

k Anzahl Knotenpunktel Anzahl Lagerbindungens Anzahl Stäbe

f = 2 · k − (s+ l) (3.3)

Die Bedingung für Standfestigkeit lautet wiederum f ≤ 0 . Im Falle einer statischbestimmten Lagerung wie in Abb. 3.6 (l = 3) können folgende Fälle auftreten:

f = 2 · k − (s+ 3) > 0 : Statisch unterbestimmtes Fachwerk. Es ist beweglich(Mechanismus).

f = 2 · k − (s+ 3) = 0 : Statisch bestimmtes Fachwerk .f = 2 · k − (s+ 3) < 0 : Statisch überbestimmtes Fachwerk. Es enthält

überzählige Stäbe. Die Stabkräfte können nur unterBerücksichtigung der Deformation der Stäbe ermitteltwerden.

x

y

(b)(a) (c)

Statisch unterbestimmt Statisch bestimmt Einfach statisch unbestimmtk = 6, l = 3, s = 8 k = 6, l = 3, s = 9 k = 6, l = 3, s = 10f = 2 · k − l − s = f = 2 · k − l − s = f = 2 · k − l − s == 2 · 6− 3− 8 = 1 > 0 = 2 · 6− 3− 9 = 0 = 2 · 6− 3− 10 = −1 < 0

Abbildung 3.6: Statische Bestimmtheit in der Ebene

3.2.2 Bildungsgesetze der ebenen statisch bestimmten Fachwerke

Für die Bildung ebener, statisch bestimmter Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze:

• Ausgehend von einem standfesten Grunddreieck werden nacheinander neue Knoten-punkte mit zwei Stäben angeschlossen (Abb. 3.7 (a)).

• Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbin-dungsstäbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Dabeikönnen zwei Stäbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetztwerden (Abb. 3.7 (b)).

• Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in einanderes statisch bestimmtes umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zweiPunkten eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegenkönnen (Abb. 3.7 (c)).



• Aus mehreren standfesten Fachwerken können nach den Regeln der Starrkörpersy-steme neue standfeste Fachwerksysteme gebildet werden (Abb. 3.7 (d)).

(b)(a)

(c)x

y

(d)

Abbildung 3.7: Bildungsgesetze ebener statisch bestimmter Fachwerke

3.2.3 Klassifizierung der ebenen Fachwerke

Die ebenen, statisch bestimmten Fachwerke werden in zwei Klassen aufgeteilt:

• Das einfache Fachwerk ist aus Dreiecken aufgebaut. Jeder neue Knotenpunktwird durch zwei neue Stäbe angeschlossen. Aus diesem Grund wird es auchDreiecksfachwerk genannt. (Abb. 3.8 (a))

• Das nicht-einfache oder zusammengesetzte Fachwerk entsteht z.B. durch Dreiecksab-bau aus einem statisch überbestimmten einfachen Fachwerk oder durch Dreiecksauf-bau aus starren Fachwerkselementen. Es ist daran erkennbar, dass in jedem Knotenmindestens drei Stäbe zusammentreffen und Grundfiguren mit Seitenzahl grösserdenn drei auftreten können. (Abb. 3.8 (b))

3.2.4 Ausnahmefälle

Es gibt unter den Grundfiguren Ausnahmefälle, bei denen trotz Erfüllung der Standfestig-keitsbedingung f = 0 die Starrheit nicht gegeben ist. In der Abb. 3.9 (a) dürfen dieRichtungen der Stäbe 1, 2, 3 weder durch einen gemeinsamen Punkt gehen noch parallelsein. Die genaue kinematische Untersuchung zeigt, dass in diesen Fällen eine infinitesi-male Beweglichkeit vorliegt. In Abb. 3.9 (b) ist das linke Parallelogramm überbestimmt,während das mittlere unterbestimmt ist: Der Fachwerkträger sackt ein.



(b)(a)

x

y

Abbildung 3.8: Einfache und nicht-einfache Fachwerke

x

y

(b)(a)

3

2

1

k = 6, l = 3, s = 9 k = 7, l = 3, s = 11infinitesimal beweglich trotz nicht standfest trotzf = 2 · k − l − s = 2 · 6− 3− 9 = 0 f = 2 · k − l − s = 2 · 7− 3− 11 = 0

Abbildung 3.9: Ausnahmefälle

3.2.5 Konventionen

Vorzeichenkonvention der Stabkräfte

Die Stäbe von idealen Fachwerken nehmen nur Zug- und Druckkräfte auf. An einemZugstab ist die Zugkraft S, die von dem Knoten auf den Stab wirkt, von dem Stabweggerichtet. An einem Druckstab ist die Kraft, die von Knoten auf den Stab wirkt gegenden Stab gerichtet. Zugkräfte nehmen ein positives, Druckkräfte negatives Vorzeichen an.Dieser Sachverhalt ist in Abb. 3.10 verdeutlicht. Bei der Berechnung werden die unbekann-



ten Stabkräfte als Zugkräfte eingeführt.

�+F

�

Zugstab

⊕� �+F

�−F

�

Druckstab

��−F

Abbildung 3.10: Vorzeichenkonvention

Beschriftungskonventionen

Für die Beschriftung von Ebenen Fachwerken werden hier folgende Konventionen ein-geführt:

• Kräfte werden mit Grossbuchstaben beschriftet. (A, B, F , S,. . . )• Stäbe werden mit arabischen Ziffern beschriftet. (1, 2 ,. . . )• Knoten werden mit römischen Ziffern beschriftet. (I, II, . . . )• Polygone des Fachwerks werden mit Kleinbuchstaben beschriftet. ((a), (b),. . . )

Bei der Beschriftung der Kräfte bei dem Knotenpunktgleichgewichtsverfahren sowie beiausgedehnten Fachwerken wird von dieser Konvention abgewichen.

x

y1Ax

Ay F

IIIII 2

8VI 9 V

75

4

3 IV

B

6

I

Abbildung 3.11: Beschriftungskonvention

3.2.6 Nullstäbe

In Fachwerken treten oft Stäbe auf, die keine Kraft aufnehmen, aber zur Wahrung derStandfestigkeit des gesamten Fachwerks notwendig sind. Sie werden als Nullstäbe bezeich-net. Zur Erkennung von Nullstäben gelten drei einfache Regeln, die in Abb. 3.12 veran-schaulicht sind.

• Die Stäbe an einem unbelasteten, zweistäbigen Knoten sind Nullstäbe• wenn an einem zweistäbigen Knoten die äussere Last in Richtung eines Stabes wirkt,

so ist der zweite Stab ein Nullstab.

• Wenn an einem unbelasteten dreistäbigen Knoten zwei Stäbe gleiche Richtung haben,ist der dritte Stab ein Nullstab.



(c)(a) (b)

0

0 00

x

y

Abbildung 3.12: Nullstäbe

3.2.7 Knotenpunktgleichgewichtsverfahren

Das Knotenpunktgleichgewichtsverfahren ist auf zwei- und dreidimensionale statisch be-stimmte Fachwerke anwendbar, insbesondere dann, wenn alle Stabkräfte gesucht werden.Es beruht auf der Tatsache, dass in einer Ruhelage jeder Knoten unter Einwirkung derStabkräfte, Lasten und Auflagerreaktionen in Ruhe bleibt: Auf jeden Knoten kann dieKräftegleichgewichtsbedingung

∑ �Fi = �0 angewandt werden.Problemstellung

Gegeben: Statisch bestimmtes ebenes Fachwerk mit l Auflagerbindungen.

Gesucht: Stabkräfte und Auflagerreaktionen.

Vorgehen: 1. Berechnen der Auflagerreaktionen durch Freischneiden des gesamtenFachwerks und Bilden von Kräfte- und Momentengleichgewicht.

2. Freischneiden sämtlicher Knoten und Formulieren der Knotengleichgewichte ei-nes jeden Knotens.

FRix:∑

j Sij cosαij + Fix = 0

FRiy:∑

j Sij sinαij + Fiy = 0

}für i = 1,. . . ,k (i �= j)

3. Auflösen des zusammengesetzten Systems nach den unbekannten Stabkräften.

Knotenpunktgleichgewichtsverfahren

LL/32L/3B

A

IV

L/3

2L/3

II

5

2 4

IV

III

I

3

1

F III

5S

5S

4S

4S

3S

3S2S

2S

1SII

I

F

1S

x

y

Abbildung 3.13: Knotenpunktgleichgewichtsverfahren



Die Stabkräfte des in Abb. 3.13 dargestellten Fachwerks sollen mit dem Knotenpunkt-gleichgewichtsverfahren ermittelt werden.

Auflagerreaktionen:

FRy: − A + B − F = 0MII : L ·A − L · F = 0

}daraus folgt:

{A = FB = 2 · F

Knotengleichgewicht: Die Lagen der Knotenpunkte im Fachwerk sind durch ihre Koor-dinaten angegeben. Das folgende Gleichungssystem enthält die vollausgeschriebenen Pro-jektionen der Stabkräfte.

Ix: S1 +23L√

( 23L)2+( 2

3L)2

S2 = 0

Iy:23L√

( 23L)2+( 2

3L)2

S2 = A

IIIx: −23L√

( 23L)2+( 2

3L)2

S2 +13L√

( 13L)2+( 2

3L)2

S3 +L+ 1

3L√

( 13L)2+(L+ 1

3L)2

S5 = 0

IVx: − L√L2+L2 S4 −L+ 1

3L√

( 13L)2+(L+ 1

3L)2

S5 = 0

IVy: − L√L2+L2 S4 −13L√

( 13L)2+(L+ 1

3L)2

S5 = F

Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu

Ix : S1 +1√2S2 = 0

Iy :1√2S2 = F

IIIx : − 1√2 S2 +1√5S3 +

4√17

S5 = 0

IVx : − 1√2 S4 −4√17

S5 = 0

IVy : − 1√2 S4 −1√17

S5 = F

Stabkräfte: Die Lösung dieser Gleichungssysteme für Auflager- und Stabkräfte ist in derTabelle weiter unten zusammengefasst. Die zweite Zeile enthält die algebraischen Aus-drücke der unbekannten Kräfte als Vielfaches von F , die dritte Zeile deren numerischenWerte bei einer Last F = 20 kN .

i F A B 1 2 3 4 5

SiF 1 1 2 −1

√2 −

√53 −43

√2

√173

SikN 20 20 -40 -20 28.3 -14.9 -37.7 27.5

Die betragsmässig höchste Stabkraft, S4 , tritt als Druckkraft im längsten Stab des Fach-werks auf. Bei der Dimensionierung ist Stabilität gegen Knicken das massgebende Krite-rium.



Hinreichendes Standfestigkeitskriterium

Das Knotenpunktgleichgewichtsverfahren liefert ein hinreichendes Kriterium für StatischeBestimmtheit, im Gegensatz zum topologischen Kriterium (3.1), das nur notwendig ist.Das Formulieren der Knotengleichgewichte sämtlicher Knoten im Fachwerk ergibt 2 · kKnotengleichungen, in denen sowohl die Auflagerreaktionen als auch die Stabkräfte alsUnbekannte erscheinen. Dieses Gleichungssystem lässt sich in der Form

A · �x = �f (3.4)

darstellen. Dabei steht A2k×2k für die geometrieabhängige Koeffizientenmatrix, �x für denVektor der 2k unbekannten Stabkräfte und Auflagerreaktionen und �f für den Vektor derLasten. Das Fachwerk ist genau dann statisch bestimmt wenn das System 3.4 eindeutiglösbar ist. Diese Bedingung bedeutet quantitativ

Rang{A} = Rang{A, �f} = 2 · k (3.5)

wobei Rang{A, �f} für den Rang der um den Spaltenvektor �f erweiterten Koeffizienten-matrix A steht.

xB 2S

3S

3S

2S

1SB

A

I

III

II

F

y

xB

yB

32

1

A

FIII

II I

x

y

L L

L

Abbildung 3.14: Beispiel zum hinreichenden Standfestigkeitskriterium

Das hinreichende Standfestigkeitskriterium soll anhand des statisch bestimmten Fachwerksaus Abb. 3.14 veranschaulicht werden. Freischneiden sämtlicher Knotenpunkte und For-mulieren der Knotenpunktgleichgewichte ergibt folgendes Gleichungssystem:

Iy : A +1√2S2 = 0

IIx : − Bx + S1 + 2√5 S3 = 0IIy : − By + 1√5 S3 = 0Ix : − S1 + 1√2 S2 = 0IIIy : − 1√2 S2 −

1√5S3 = 0

IIIx : +1√2S2 +

2√5S3 = F

Dieses Gleichungssystem lässt sich auch in der matriziellen Form A ·�x = �f darstellen.



⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 1√2

0

0 −1 0 1 0 2√5

0 0 −1 0 0 1√5

0 0 0 −1 1√2

0

0 0 0 0 − 1√2− 1√

5

0 0 0 0 1√2

2√5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦·

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A

Bx

By

S1

S2

S3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

0

0

0

0

F

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭Ein einziger Eliminationsschritt führt das Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über.

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 1√2

0

0 −1 0 1 0 2√5

0 0 −1 0 0 1√5

0 0 0 −1 1√2

0

0 0 0 0 − 1√2− 1√

5

0 0 0 0 0 1√5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦·

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A

Bx

By

S1

S2

S3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

0

0

0

0

F

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭Keines der Diagonalelemente der oberen Dreiecksmatrix ist gleich null. Somit hat dieKoeffizientenmatrix vollen Rang 2 · k und die Bedingung

Rang{A} = Rang{A, �f} = 2 · k

ist erfüllt. Das Fachwerk ist statisch bestimmt und somit standfest.

3.2.8 Ritter’sches Schnittverfahren

Das Ritter’sche Schnittverfahren ist ein schnelles Verfahren zur rechnerischen Ermitt-lung einzelner Stabkräfte einfacher und nicht-einfacher statisch bestimmter Fachwerke.Dabei muss zwischen dem Dreikräfteschnittverfahren für einfache Fachwerke und demDoppelschnittverfahren für nicht einfache Fachwerke unterschieden werden.

Dreikräfteschnitt

Einzelne Stabkräfte eines einfachen Fachwerks können ermittelt werden, indem es durcheinen geeigneten Schnitt, der nicht durch einen Knotenpunkt geht, in zwei Teile zer-legt wird. Jedes Teil, als Starrkörper aufgefasst, muss für sich in Gleichgewicht sein. Dieunbekannnten Stabkräfte werden als äussere Kräfte eingeführt und die Gleichgewichts-bedingungen an jedem Teilfachwerk aufgestellt. Allgemein wird wie folgt vorgegangen:

1. Bestimmen der Auflagerreaktionen.

2. Legen eines Schnittes durch drei Stäbe, deren Stabachsen nicht durch denselbenKnotenpunkt gehen.



3. Formulieren der drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen an einem Fachwerkteil. DerBezugspunkt der Momentenbedingung wird vorteilhaft im Schnittpunkt der Wir-kungslinien zweier unbekannten Kräfte gelegt.

Der erste erwähnte Schritt ist nicht zwingend als erster durchzuführen.

1

S3

S

III

III

Schnitt I

A

B

S5

Schnitt II

II

F

IV

III

B

Schnitt III

III

II

A

S3

S5

S1

F

1

3

I

III

IV

42

5

II

A

B

S4S2S3

4S2 S3

S

Schnitt I

II

FIII

IV

x

y

Abbildung 3.15: Dreikräfteschnitt

Das gleiche Fachwerk wie in Abschnitt 3.2.7 soll nun mit dem Dreikräfteschnittverfahrenaufgelöst werden. Die Schnitte werden wie in Abb. 3.15 veranschaulicht gesetzt. Dabeistellt die Achse ξ eine Hilfsachse zur Vereinfachung der Gleichungen dar.Schnitt I:

MII :1√2L S2 − L F = 0

MIII :1√2L S4 +

23 L A +

13 L B = 0

FRξ :1√2L√

( 23L)2 + ( 1

3L)2

S3 +1√2F = 0

Schnitt II:

MII : −(23 L

( 13L + L)√

( 13L + L)2 + ( 1

3L)2

+ 13 L13L√

( 13L + L)2 + ( 1

3L)2

)S5 + L A = 0

MIII :23 L S1 − (L + 13 L) F + 13 L B = 0



Durch die geschickte Wahl der Bezugspunkte und der Einführung der Achse ξ enthältjede der fünf Gleichungen nur eine Unbekannte. Die Stabkräfte sind folgender Tabelle zuentnehmen:

i 1 2 3 4 5

SiF −1

√2 −

√53 −43

√2

√173

Dieses Ergebnis stimmt mit dem aus Beispiel 3.2.7 vollständig überein. Mann beachte diestarke Verminderung des Rechenaufwandes mit dieser Methode gegenüber dem Knoten-punktgleichgewichtsverfahren.

Doppelschnittverfahren

Das Ritter’sche Schnittverfahren an einem nicht-einfachen Fachwerk benötigt zwei Schnit-te, die nicht durch einen Knotenpunkt laufen. Das Fachwerk wird mit zwei Schnitten durchje vier Stäbe in drei Teile getrennt. Beide Schnitte schneiden die zwei Stäbe, deren Kräftegesucht sind. Die zwei gesuchten Stabkräfte werden über Momentenbedingungen ermittelt.Allgemein wird wie folgt vorgegangen:

1. Bestimmen der Auflagerreaktionen.

2. Legen zweier Schnitte durch jeweils vier Stäbe, deren Achsen nicht durch denselbenKnotenpunkt gehen. Beide Schnitte schneiden die zwei Stäbe, deren Kräfte gesuchtsind.

3. Formulieren zweier Momentenbedingungen, in denen nur die zwei Stabkräfte unbe-kannt sind.

4. Auflösen des Gleichungssystems nach den Stabkräften.

Die Stabkräfte des in Abb. 3.16 dargestellten nicht-einfaches Fachwerks soll mit dem Dop-pelschnittverfahren ermittelt werden.

A y

S 3S 2

S 7

S 8

S 10

SVII

B

64

103

11

F

Geometrie

11

Doppelschnitt 1

I VII

IV

B

F

A x

V

y

3L/2

L

L/2

L 3L/2 2L 5L/2 3L

x

L/2

I 1

II VI

97

8

2

III

5

IV

A y

A x

x

y

Abbildung 3.16: Beispiel zum Doppelschnittverfahren. Geometrie und Doppelschnitt 1.

Auflagerreaktionen:

FRx : − Ax + F = 0FRy : − Ay + B = 0MI : 3 L B − L F = 0

⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒⎧⎪⎨⎪⎩

Ax = F

Ay =13 F

B = 13 F



Doppelschnitt 1:

MV II : − 3 L12L√

L2 + ( 12L)2

S2 − 3 L L√L2 + ( 1

2L)2

S3 + 3 L A = 0

MIV : −√

(32 L)2 + (32 L)

2

√24

L√L2 + ( 1

2L)2

S2 +

+√(32 L)

2 + (32 L)2

√2

4L√

L2 + ( 12L)2

S3 +12 L F = 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭MV II :

1√5S2 +

2√5S3 =

13 F

MIV : − 3√5 S2 +3√5S3 = − F

}⇒

{S2 =

√53 F

S3 = 0

yA

11S

6S

5S

xA

10S2S

Doppelschnitt 2

B

IV

VII

F

I

3

5S

6S

10S

11S1S

yA

xA

S

Doppelschnitt 3

VII

F

B

IV

I

x

y

Abbildung 3.17: Doppelschnittverfahren. Doppelschnitte 2 und 3.

Doppelschnitt 2: Geometrisch symmetrisch zu Doppelschnitt 1.

MI :2√5S10 +

1√5S11 + B = 0

MIV : − 3√5 S10 +3√5S11 = 0

}⇒ S10 = S11 = −

√59 F

Doppelschnitt 3:

MIV :32 L S1 +

12 L F +

32 L Ay − 32 L Ax = 0 ⇒ S1 = 13 F

MI : −√(32 L)

2 + (32 L)2

√24

L√L2 + ( 1

2L)2

S5 +

+√(32 L)

2 + (32 L)2

√2

4L√

L2 + ( 12L)2

S6 − L F = 0

MV II :3√2L

32√2L

√5

2L

S5 +3√2L

32√

2L

√5

2L

S6 = 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭MI : − 32√5 S5 +

32√5S6 − F = 0

MV II : S5 + S6 = 0

}⇒ S5 = − S6 = −

√53 F

Doppelschnitt 4: Geometrisch symmetrisch zu Doppelschnitt 3.

MI :9

2√5S7 +

92√5S8 + F = 0

MV II : − 3√5 S7 +3√5S8 = 0

}⇒ S7 = S8 = −

√59 F



2S11S

5S

1S

8S

9SS 4

yA

xA

Schnitte 5 und 6

F

B

VIII

8S

7S3S

1S2S

x

A y

A

Doppelschnitt 4

B

VII

F

IV

I

x

y

Abbildung 3.18: Doppelschnittverfahren: Doppelschnitt 4 und einfache Schnitte 5 und 6

Schnitte 5 und 6:

MI : − 32√2 L S4 −3√2L

12√2L

√52

LS5 − L F = 0

MV II :3

2√2L S9 +

3√2L

12√2L

√5

2L

S8 = 0

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭MI : − 32√2 S4 −

32√5S5 − F = 0

MV II : S9 +√

25 S8 = 0

⎫⎬⎭ ⇒{

S4 = −√23 F

S9 =√29 F

Die algebraischen Ausdrücke der Auflager- und Stabkräfte sind in der folgenden Tabellezusammengefasst.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SiF

13

√53 0 −

√23 −

√53

√53 −

√59 −

√59

√29 −

√59 −

√59



3.2.9 Cremonaplan: ein grafisches Verfahren

Grundlagen

Der Cremonaplan stellt die zeichnerische Ausführung des Knotenpunktgleichgewichts-verfahren dar. Er ist für einfache ebene statisch bestimmte Fachwerke immer, für nicht-einfache unter gewissen Voraussetzung ausführbar. Er liefert Richtung und Betrag sämtli-cher Stabkräfte, in einigen einfachen Fällen sogar die Auflagerreaktionen.

Das Prinzip des Verfahrens beruht auf der Kräftegleichgewichtsbedingung∑

i�Fi = �0 .

Die grafische Ausführung dieser Bedingung an einem Knoten ergibt ein Krafteck (auchKräftepolygon), geschlossenes Polygon der am Knoten angreifenden Kräfte. Dieser Sach-verhalt ist in Abb. 3.19 veranschaulicht. Für jeden Knoten des Fachwerks werden nachein-ander die zugehörigen Kraftecke gezeichnet und überlagert. Daraus entsteht eine geschlos-sene Figur, aus der sich sämtliche Stabkräfte messen lassen. (Siehe Abb. 3.19)

In den folgenden Abschnitten sollen zuerst Ausgangs- und Endlage des Verfahrens vorge-stellt werden, bevor das Verfahren selbst erklärt und anhand einiger Beispiele veranschau-licht wird. Ferner wird erläutert, wie das Verfahren erweitert werden soll, wenn Lasten aninneren Fachwerkknoten angreifen, anstatt wie gewohnt an äusseren Knoten. Schlussend-lich wird die Vorgehensweise für nicht-einfache Fachwerke erklärt.

S

3S

AB

I

II

F

III

1 II

B2S

3S

F

I2S

III

A

B

I

II

2

F

III

A

3S3S

2S

2S

1S

1S

3

1

x

y

Abbildung 3.19: Knotenpunkte mit zugehöhrigen Kraftecken



Ausgangslage: Die Grundlage, um den Cremonaplan eines Fachwerks zu zeichnen, ist einvollständig beschrifteter Lageplan (LP). Unter Lageplan wird eine winkeltreue Zeichnungdes Fachwerks verstanden. Vollständig beschriftet ist der Lageplan dann, wenn er Lastenund Auflagerreaktionen enthält und sämtliche Knoten und Stäbe durchnummeriert sind.

Endlage: Am Ende der Verfahrens liegt der mit den Richtungen der Stabkräfte ver-vollständigte Lageplan und sein zugehöriger Kräfteplan (KP) vor. Der Kräfteplan, auchCremonaplan genannt, fasst die Kraftecke sämtlicher Knoten in einem Plan zusammen,wobei jede Stabkraft nur einmal vorkommt. Zwischen Lageplan und Kräfteplan bestehenbestimmte Beziehungen: Stäbe im Lageplan werden in Kräfte im Kräfteplan abgebildet,Fachwerkknotenpunkte in Kraftpolygone und Fachwerkpolygone in Kraftschnittpunkte.Diese Zusammenhänge sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Abb. 3.20 veran-schaulicht diesen Sachverhalt.

LP ↔ KPStäbe ↔ Kräfte

Fachwerkknotenpunkte ↔ KrafpolygoneFachwerkpolygone ↔ Kraftschnittpunkte

III

F

2

A

1

3 II

I

B

(LP)

1 kN

B

A1

3

F2

(KP)

x

y

Abbildung 3.20: Endlage

Richtung der Stabkräfte: Jedes isolierte Krafteck, als grafische Vektorsumme der amKnoten angreifenden Kräfte, besitzt einen Umlaufsinn, der von bekannten Lasten, Auf-lagerreaktionen oder Stabkräften festgelegt wird. Dieser Umlaufsinn bestimmt ferner dieRichtung der Stabkräfte am Knoten (ob Zug oder Druck). Diese Richtungen werden zeit-gleich mit dem Aufbau des Kräfteplans in den Lageplan eingezeichnet. Aus dem fertigenLageplan sind die Richtungen der Stabkräfte nach folgender Konvention herauszulesen:

Der Zusammenhang zwischen den isolierten Kraftecken in Abbildung 3.19 und dem Kräfte-plan in Abb. 3.20 ist in dieser Hinsicht besonders aufschlussreich.

Bemerkung zur Zeichnung der Kraftecke: Da die Wirkungslinie aller Stabkräftedurch den Lageplan gegeben ist, lässt sich das Krafteck an einem belasteten zweistäbigenund einem unblasteten dreistäbigen Knoten mit unbekanntem Massstab zeichnen. Um es



��

Zugstab

⊕��

Druckstab

Abbildung 3.21: Konvention für die Richtung der Zugstäbe im Lageplan

mit bekanntem Masstab zeichnen zu können, muss die Last beziehungsweise eine Stab-kraft bekannt sein. Allgemein kann das Krafteck eines s-stäbigen Knotens nur dann mitbekanntem Massstab gezeichnet werden, wenn höchstens zwei Kräfte unbekannt sind.

Grafisches Lösungsverfahren für einfache statisch bestimmte Fachwerke

Um die Stabkräfte in einem einfachen statisch bestimmten Fachwerk grafisch zu ermitteln,wird wie folgt vorgegangen:

Start: Vollständig beschrifteter Lageplan

1. Ermittlung der Auflagerreaktionen.

2. Festlegung eines Umfahrungssinnes des Fachwerks und seiner Knoten.

3. Zeichnen des geschlossenen Kraftecks der Lasten und Auflagerreaktionen imUmfahrungssinn, nach Wahl eines passenden Massstabs.

4. Ermittlung der Nullstäbe, falls vorhanden.

5. Beginnend an einem Knoten mit nur zwei unbekannten Stabkräften wird für jedenKnoten das Krafteck gezeichnet. Die Kräfte werden dabei in der Reihenfolge aufge-tragen, die durch den Umfahrungssinn gegeben ist.

6. Richtung der Kräfte am Knoten in den Lageplan übertragen und feststellen, ob Zugoder Druck vorliegt. Dies geschieht zeitgleich mit dem vorgehendem Schritt.

7. Kontrolle der Richtigkeit an den letzten Kraftecken.

Ende: Herauslesen des Betrags der Stabkräfte aus dem Kräfteplan und deren Richtungaus dem Lageplan. Angabe in Tabellenform.

Erläuterung zum 5. Schritt: Der 5. Schritt mag nicht auf Anhieb verständlich sein. ZurErklärung soll in Abbildungen 3.19 und 3.20 genau verfolgt werden, wie das Krafteck zuKnoten I im Kräfteplan entsteht. Der festgelegte Umfahrungssinn ist der Uhrzeigersinn.Wird nun der Knoten I im Lageplan von der Spitze der Kraft F aus im Uhrzeigersinnumfahren, so stösst man zuerst auf den Stab 2. Im Kräfteplan wird folglich gemäss dem5. Schritt die Kraft S2 bzw. deren Wirkungslinie an der Spitze der Last F eingezeichnet.Fährt man weiter um den Knoten I im Lageplan, so stösst man als nächstes auf den Stab1. Die Wirkungslinie der Stabkraft S1 sollte im Kräfteplan an der Spitze der Kraft S2angebracht werden. Deren Lage ist aber vorerst unbekannt. Deshalb fährt man weiter imLageplan und stösst auf die schon im Kräfteplan eingezeichnete Last F . Das bedeutet,dass F an der Spitze von S1 angebracht sein muss. Folglich wird die Wirkungslinie von S1durch den Ursprung der Last F gelegt. Somit ist die Zeichnung des Kraftecks zum KnotenI beendet.



IF

2

A

13B(

I

III

F2

L

AP

)

L

)

P

II

F2

AIII

F2

L

AP

A kN

1KB(

)

I

IIL

A

P

F

2

III

x

y

Abbildung 3.22: Schritte der Zeichnung des Cremonaplans

Bemerkungen

• Bei einem Fachwerk mit einer einzigen Lasten, angreifend an einem zweistäbigenKnoten, fallen die Schritte 1. und 3. weg.

• Bei einem Fachwerk mit mehreren Lasten an zwei- bis vierstäbigen Knoten müssenalle Schritte durchlaufen werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, für jedeeinzelne Last einen getrennten Kräfteplan zu zeichnen. Die gesuchten Stabkräfteergeben sich dann aus der Summe der für jede einzelnen Last ermittelten Stabkräfte.

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Vorgehensweise und diese Bemerkungen.



Beispiel: Hebekran

Die einzige Last an dem Fachwerk in Abb. 3.23 greift an einem zweistäbigen Knotenan. Gemäss der ersten Bemerkung fallen die Schritte 1. und 3. weg. Der Cremonaplankann nach Festlegung eines geeigneten Massstabs bei Knoten I begonnen werden. DieAbbildung zeigt die einzelnen Schritte bis zum endgültigen Kräfteplan. Die Last wirdauf F = 20 kN angesetzt. Die Auflagerreaktionen und die Stabkräfte werden aus demKräfteplan gemessen. Deren Werte sind der Tabelle zu Abbildung 3.23 zu entnehmen. DieseZahlenwerte kommen nahe an die Werte, die im Beispiel zum Knotenpunktgleichgewichts-verfahren ermittelt wurden.

4

3

F

A

LP

II

F

I 1

3 4

III

IV

2

5

A

B

1

4FIV

5

IV 4

5

2 III

F

3

5

IV

IIII

2

KP

2

4

5

1

3

IV

IIII

F

B

A

10 kN

x

y

i F A B 1 2 3 4 5

SikN 20 20 40 −20 28.15 −14.81 −38.52 28.15

Abbildung 3.23: Hebekran


3.3 Statisch unbestimmte Fachwerke 47

3.3 Statisch unbestimmte Fachwerke

3.3.1 Kraftgrössenverfahren

Gegeben sei ein (m− n)-fach statisch unbestimmtes Fachwerk. Aus dem Knotengleichge-wicht ergeben sich n Bedingungen. Es fehlen aber noch (m−n) Bedingungen, um das Pro-blem zu schliessen und zu lösen. Diese fehlenden Bedingungen können nur unter Berück-sichtigung der Deformation der Stäbe. In einem Idealen Fachwerk erfahren die Stäbe nurDehnungen oder Stauchungen. Die linearelastische Kontinuumsmechanik liefert zu diesemProblem verchiedene Lösungsverfahren. Im Folgenden soll das Kraftgrössenverfahren vor-gestellt werden, veranschaulicht an einem Biegebalken. Die Gleichgewichtsbedingungen ameinfach statisch unbestimmten Biegebalken in Abb. 3.24 lauten

FRy : A− F +X1 = 0Mz : a · F − L ·X1 −Me = 0 (3.6)

x

y

FA

a bMe

X1

L

Abbildung 3.24: Statisch unbestimmt gelagerter Biegebalken

Eine dritte Bedingung liefert zum Beispiel die Verschiebung des rechten Balkenendes, diegemäss der Lagerung verschwinden muss. Unter der Voraussetzung linearelastischer Defor-mationen gilt das Superpositionsprinzip der Lasten und der zugehörigen Deformationen.Gemäss diesem Prinzip darf die unbekannte Auflagerkraft X1 als eine Last betrachtet undF undX1 als zwei getrennte Lastfälle behandelt werden. Die Last F wird eine VerschiebungδF , die Last X1 eine Verschiebung δX1 des rechten Balkenendes bewirken. Die Verträglich-keit der Lastfälle mit der Lagerung des Balkens fordert, dass die Verschiebungen δF undδX1 sich gegenseitig aufheben, wie in Abb. 3.25 dargestellt.

δF + δX1 = 0 (3.7)

Dies ist die dritte Bedingung zur Schliessung des Gleichungssystems (3.6). δF und δX1können mit der ersten Arbeitsgleichung ermittelt werden:

δF = vF (L) =∫ L0 M̄bF (x)

MbF (x)EIz

dx

δX1 = vX1(L) =∫ L0 M̄bX1(x)

MbX1 (x)

EIzdx

Die Biegemomente ergeben sich zu

0 ≤ x < a : MbF (x) = (a− x) · Fa ≤ x ≤ L : MbF (x) = 00 ≤ x ≤ L : MbX1(x) = −(L− x) ·X1


3.3 Statisch unbestimmte Fachwerke 48

x

y F

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪�

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Leichtbau - ETH Z · Leichtbau SkriptzurVorlesung151-3207-00L Prof. Dr. Paolo Ermanni Version1.0 11.Dezember2015 LaboratoryofCompositeMaterialsandAdaptiveStructures