Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Lekcija 5: Sinteza MIMO
regulatora
Prof.dr.sc. Jasmin Velagić
Elektrotehnički fakultet Sarajevo
Kolegij: Multivarijabilni sistemi
2012/2013
Opća upravljačka konfiguracija sa neizvjesnošću
i regulatorom
Ciljevi:
Definirati N(s) koji će oslikavati svojstva
zatvorene petlje.
Odrediti K(s) da se postigne željeni N(s).
Opća upravljačka konfiguracija
2/67
Sistem upravljanja sa 1-DOF
Izlaz y, upravljački ulaz u i pogreška e dani su sa:
Opća upravljačka konfiguracija
3/67
)()()()()()()(
)]()()()[()()(
)()()()()()()(
sssssss
ssssss
sssssss
nTdSrSe
dnrSKu
nTdSrTy
Zahtjevi koji se postavljaju na K, u smislu
stabilizacije G-a, su:
Eliminiranje smetnje učiniti malim.
Prigušenje šuma načiniti T malim.
Slijeđenje referentne veličine
Redukcija stanja ulaza (energije) načiniti
malim.
Robusna stabilnost u prisustvu aditivne
perturbacije načiniti malim.
Robusna stabilnost u prisustvu izlazne
multiplikativne neizvjesnosti načiniti
malim.
Ovi zahtjevi se ne mogu zadovoljiti istovremeno, tj.
postoje konfliktni ciljevi pri dizajnu regulatora.
Opća upravljačka konfiguracija
4/67
)(S
1)()( TT
)(KS
)(KS
)(T
Dizajn regulatora uključuje kompromis između
navedenih konfliktnih ciljeva:
Sinteza: formulacija i rješavanje problema
optimizacije.
Oblikovanje petlje (engl. Loop-shaping): “ručno”
oblikovanje otvorene petlje pojačanja.
Opća upravljačka konfiguracija
5/67
41.12))((/1 Bj S
Prethodni zahtjevi su se odnosili na zatvorenu petlju,
ovdje imamo posla sa oblikovanjem otvorene petlje.
Klasično oblikovanje petlje – oblikovanje otvorene
petlje L = GK, zahtijeva se:
Na frekvencijama gdje je imamo
Na frekvencijama gdje je imamo
Na frekvenciji B ( ) imamo:
Opća upravljačka konfiguracija
6/67
1)()(
11)( L
SL
1)( L
41.2))((41.0 Bj L
)(/1)( LS
1)( L )()( LT
)(GK
1)( GK)(K
1)( GK)(GK
1)( GK
Preko specificiranog frekvencijskog područja mogu
se aproksimirati zahtjevi zatvorene petlje sa
zahtjevima koji se odnose na otvorenu petlju:
Za eliminiranje smetnje učiniti velikim;
ispravno za frekvencije na kojim je
Za prigušenje šuma načiniti malim;
ispravno za frekvencije gdje je
Za slijeđenje reference učiniti velikim;
vrijedi za frekvencije na kojima je
Za robusnu stabilnost na aditivne perturbacije
učiniti malim; vrijedi za frekvencije na
kojima je
Za robusnu stabilnost na multiplikativne
izlazne perturbacije učiniti malim
Opća upravljačka konfiguracija
7/67
)(GK1)( GK
)(GK )1)(( GK
)(L
Zahtjevi 1. i 3. su validni i važni na niskim
frekvencijama, tj, 0 l B .
Zahtjevi 2., 4., 5. i 6. su uvjeti koji su ispravni i važni
na visokim frekvencijama, tj. B h .
Na frekvencijama na kojima se želi veliki iznos
pojačanja (niske frekvencije), “najlošiji slučaj”
pravca je povezan sa .
Na frekvencijama gdje se želi postići mali iznos
pojačanja (visoke frekvencije) “najlošiji slučaj”
pravca je povezan sa .
Opća upravljačka konfiguracija
8/67
)(L
Opći problem upravljanja bez neizvjesnosti
Sinteza regulatora:
m = 2 imamo H2-optimalno upravljanje,
m = imamo H-optimalno upravljanje.
Rješenje zasnovano na modelu P(s).
Opća upravljačka konfiguracija
9/67
wKPFz ),(
mF
Kmin
Određivanje P(s) – pristup zasnovan na signalu
Formulacija ovog pristupa: minimizirati otežanu
pogrešku upravljanja e i upravljački ulaz u u
prisustvu reference r i poremećaja (smetnje) d.
Vektor ulaza w i vektor z su:
Opća upravljačka konfiguracija
10/67
uW
eWz
d
rw
u
P ,
U otvorenoj petlji (n = 0) imamo:
Na temelju ovih izraza slijedi izraz za P(s):
Opća upravljačka konfiguracija
11/67
GuwwGudrev
uWz
GuwwWGudrWeWz
21
2
211 )()(
u
PPP
)(
)(
)()()()(
)(
s
s
ssss
s u
PPP
GI-I-
IW
GWIWIW
P 00
)( ;
dyW
eWzdw
T
P
Određivanje P(s) – oblikovanje funkcija prijenosa
Razmatra se oblikovanje funkcija prijenosa zatvorene
petlje, S i T, rješavanjem problema optimizacije:
Signali w i z odabiru se tako da je:
Budući da je e = Sd i y - d = Td, odabiremo:
Opća upravljačka konfiguracija
12/67
TW
SWKPF
TW
SW
KT
P
mT
P),( min
wTW
SWz
T
P
Korištenjem prethodnih izraza dobiva se:
Opća upravljačka konfiguracija
13/67
)(
)()(
)()()(
)(
s
ss
sss
s T
PP
GI-
GW
GWIW
P 0
Opća upravljačka struktura
Realizacija generaliziranog procesa P(s) u prostoru stanja:
Sinteza regulatora
14/67
u
w
PP
PP
u
wP
v
z
)()(
)()()(
2221
1211
ss
sss
vKu )(s
22212
12111
21
DDC
DDC
BBA
Ps
Funkcija prijenosa zatvorenog sistema od w prema z
dana je linearnom frakcijskom transformacijom:
gdje je:
H2 i H upravljanja uključuju minimiziranje H2 i H
normi od Fl(P, K).
Oba upravljanja zahtijevaju rješavanje dvije
Riccatijeve jednadžbe, njihovi regulatori imaju
dimenziju stanja jednaku dimenziji generaliziranog
procesa P i oba regulatora imaju separiranu strukturu.
Sinteza regulatora
15/67
wKPFz ),(l
21
1
221211 )(),( PKPIKPPKPFl
Algebarske Riccatijeve jednadžbe (ARE) su oblika:
Standardni algoritmi za rješavanje H2 i H optimalnih upravljačkih problema zasnivaju se na realizaciji
generaliziranog procesa P(s) u prostoru stanja:
gdje je [w u]T ulaz i [z v]T izlaz.
Brojne pretpostavke o P-u obično trebaju biti zadovoljene kako bi se riješio problem optimizacije
(algoritamska ovisnost).
Sinteza regulatora
16/67
22212
12111
21
)(
DDC
DDC
BBA
P s
0 QXRXXAXAT
Pretpostavka 1. (A, B2, C2) stabilizirajuće i
detektibilne.
Zahtijeva se za postojanje stabilizirajućeg K.
Prepostavka 2. B2 i B2 imaju puni rang
Osigurava pravilan K
Pretpostavka 3. Matrica ima puni
rang za sve .
Pretpostavka 4. Matrica ima puni
rang za sve .
Izbjegavati poništavanje polova i nula na
imaginarnoj osi (Pretpostavke 3. i 4.).
Pretpostavka 5. D11 = 0 i D22 = 0.
Osigurava pravilne funkcije prijenosa (kod H2).
Sinteza regulatora
17/67
121
2
DC
BIA j
212
1
DC
BIA j
Opći problem upravljanja sa neizvjesnošću
RS (neizvjesnost predstavljana punom matricom): H optimalno upravljanje koje uključuje i funkciju
prijenosa od u do u ukorporiranu u F(P, K).
RS za strukturiranu neizvjesnost i RP: sinteza (pogledati lekciju 4.):
Sinteza regulatora
18/67
)(maxmin NK
RP
wΔKPFz ),,(
Standardni H2 problem optimalnog upravljanja sastoji
se od pronalaženja stabilizirajućeg regulatora K koji minimizira:
Interpretacije H2 norme:
Signal: kovarijanca izlaza za ulaz bijelog šuma w:
što slijedi iz Parsevalovog teorema:
H2 optimalno upravljanje
19/67
),( ;)()(2
1)(
2KPFFFFF l
T djjs
)()}()({ )},()({lim)(2
2
tttEttEs TT
tIδwwzzF
djjtrtttrEttE HTT ])()([
2
1})()({)}()({ FFzzzz
Sistem: suma područja svih singularnih vrijednosti
od F:
Minimizacija kovarijance izlaza za ulaz tipa bijelog
šuma sličan je LQG problemu – RMS (Root-Mean-
Square minimizacija).
Problem H2 optimalnog upravljanja može se eksplicitno riješiti pomoću dvije Riccatijeve jednadžbe.
Rješenje se može iskazati u formi optimalni observer
stanja + optimalna povratna veza stanja (optimal
state feedback).
H2 optimalno upravljanje
20/67
djs ))((
2
1)(
2FF
2
i
Specijalan slučaj H2 optimalnog upravljanja.
Promatra se stohastički sistem:
sa:
LQG problem naći u = K(s)y takav da je:
minimiziran sa Q = QT 0 i R = RT 0.
LQG optimalno upravljanje
21/67
n
d
wCxy
wBuAxx
)()()()(
)(
t
t
tE Tn
T
d
n
dδ
V
Www
w
w
0
0
dtTEJ
TTT
T 0][
1lim RuuQxx
Q i R su odabrane
konstantne težinske
matrice (parametri
sinteze).
LQG problem može se prikazati kao H2 optimizacija.
Definirajmo signal greške z kao:
i predstavimo stohastičke ulaze wd i wn kao:
gdje je w procesni bijeli šum jedinične vrijednosti:
LQG optimalno upravljanje
22/67
u
x
R
Qz
2
1
2
1
0
0
w
V
W
w
w
2
1
2
1
0
0
n
d
Iww )()}()({ tE T
LQG funkcija kakvoće:
gdje je:
i korespondentni generalizirani proces P je:
LQG optimalno upravljanje
23/67 2
20),()()(
1lim KPFzz l
TT
Tdttt
TEJ
)(),()( ss l wKPFz
00
000
000
0
2/1
2/1
2/1
2/1
2221
1211
VC
R
Q
BWA
PP
PPP
Opća upravljačka konfiguracija za LQG kao problem
H2 optimalnog upravljanja.
LQG optimalno upravljanje
24/67
Optimalna povratna veza stanja:
gdje X = XT 0 rješava ARE:
Optimalni estimator stanja:
gdje Y = YT 0 rješava ARE:
Opći H2 optimalni regulator može se separirati u optimalnu povratnu vezu stanja kombiniranu sa optimalnim estimatorom
stanja, gdje svaki uključuje rješavanje po jedne ARE.
LQG optimalno upravljanje - rješenje
25/67 )(ˆ)( 1 tt T xXBRu
0 QXBXBRXAXA TT 1
))(ˆ()()(ˆ)(ˆ 1 tttt T xCyVYCBuxAx
0 WCYVYCAYYA 1TT
2
2
0)( )(
)(max
t
t
t w
zF
w
U skladu sa općom upravljačkom konfiguracijom sa
slajda 14. standardni H problem optimalnog upravljanja sastoji se u pronalaženju stabilizirajućeg
regulatora K koji minimizira:
tj.
Interpretacije H norme:
Signal: maksimizacija izlaza s obzirom na ulaz
(najlošiji slučaj – inducirana 2-norma):
H optimalno upravljanje
26/67
)))(,((max),(
KPFKPF ll
)))(,((maxmin),(min
KPFKPFKK
ll
0
2)()(
i idttztz
“Najlošiji slučaj” signala odgovara sinusoidama sa
fiksnom frekvencijom.
Sistem: vršna vrijednost maksimuma singularne
vrijednosti:
H optimalni problem općenito se ne može riješiti eksplicitno.
Međutim, moguće je odrediti regulator koji daje:
za fiksni , ako takav regulator postoji.
H optimalno upravljanje
27/67
)(max FF
F
Opći H algoritam
Promatrajmo realizaciju generaliziranog procesa u
prostoru stanja za strukturu sa slajda 14.:
Pretpostavimo da vrijede ranije pretpostavke (1.- 5.) i
pretpostavke: (6.) D12=[0 I]T , D21=[0 I], (7.) D12
TC1 =
0, B1D21T = 0, (8.) (A, B1) moguće stabilizirati i (A, B1)
moguće detektirati.
H optimalno upravljanje
28/67
22212
12111
21
DDC
DDC
BBA
P
),( KPF
),( KPF
0
0
YCCCCYBBAYAY
XBBBBXCCAXXA
)(
)(
2211
2
11
2211
2
11
TTTT
TTTT
Ukoliko vrijede navedene pretpostavke, tada postoji
regulator K(s) takav da je ako i samo ako Riccatijeve jednadžbe:
imaju rješenja X 0 i Y 0 takva da za i vrijedi:
Ako takvo rješenje postoji tada postoji skup regulatora
K koji zadovoljava uvjet .
H optimalno upravljanje
29/67
222112
2211
2
),()(Re
0)(Re
YXYCCCCYA
XBBBBA
TT
i
TT
i
Centralni regulator ima jednak broj stanja kao i
generalizirani proces P(s) i može se prikazati u formi observer + povratna veza stanje:
gdje su:
Da bi se odredio H optimalni regulator, obavljati
iteracije dok se ne pronađe minimum od za koji
rješenje postoji ( iteracije).
Ovo predstavlja problem konveksne optimizacije.
H optimalno upravljanje
30/67
xFu
yxCLZuBxXBBxAx
ˆ
)ˆ(ˆˆˆ 2212
1
T
12
22 )( ; ;
XYIZCYLXBF TT
Mješovita osjetljivost (mixed-sensitivity) vezana je
za probleme oblikovanja funkcije prijenosa u kojoj je
funkcija osjetljivosti S = (I + GK)-1 oblikovana zajedno sa još jednom ili više funkcija prijenosa
zatvorene petlje, kao što su KS ili T = I - S.
Zahtjevi na sintezu regulatora:
eliminiranje utjecaja smetnje d na izlazu procesa,
pretpostavka da je šum mjerenja relativno
nevažan.
Ovaj pristup je zasnovan na oblikovanju sljedećih
funkcija prijenosa:
S (funkcija prijenosa između d i izlaza)
KS (funkcija prijenosa između d i upravljačkih signala).
H upravljanje mješovite osjetljivosti
31/67
Smetnja d je niskofrekvencijski signal uspješno
eliminiranje ako se maksimum singularne vrijednosti
od S učini malim unutar tih frekvencija.
Drugim riječima, da bi se optimirale performanse
potrebno je minimizirati:
Da bi se minimizirali upravljački ulazi, potrebno je
minimizirati:
Kompromis između ova dva zahtjeva:
H upravljanje mješovite osjetljivosti
32/67
S1w
KS2w
KS
S
2
1
w
w
w1 – niskopropusni filter
w2 – visokopropusni filter
uWzyWzzzz 221121 , ; TTT
Općenito se skalarne težinske funkcije w1(s) i w2(s)
mogu zamijeniti matricama W1(s) i W2(s).
Opća postavka: smetnja d kao pojedinačni vanjski ulaz, signal pogreške
H upravljanje mješovite osjetljivosti
33/67
S/KS optimizacija
mješovite osjetljivosti
Na temelju prethodnih izraza imamo z1 = W1Sw i
z2 = W2KSw i
odnosno:
i
H upravljanje mješovite osjetljivosti
34/67
2221
2
1
12
1
11
GPIP
W
GWP
WP
0
u
w
PP
PP
v
z
z
2221
1211
2
1
KSW
SWKPF
2
1),(l
Drugi koristan problem optimizacije zasnovan na
mješovitoj osjetljivosti je pronaći stabilizirajući
regulator koji minimizira:
S/T problem optimizacije mješovite osjetljivosti može se ukorporirati u standardnu upravljačku konfiguraciju
(slika na sljedećem slajdu):
H upravljanje mješovite osjetljivosti
35/67
2221
2
1
12
1
11
GPIP
GW
GWP
WP
0
TW
SW
2
1
S/T minimizacija mješovite osjetljivosti
H upravljanje mješovite osjetljivosti
36/67
Destilacijska kolona (LV konfiguracija)
Upravljane varijable su koncentracije yD i yB
hemikalija D (gornja posuda) i B (donja posuda).
Upravljačke varijable su temperatura V i protok L.
Proces je modeliran kao matrica prijenosa čiji su
ulazi L i V i izlazi yD i yB .
Primjer sinteze H upravljanja
37/67
6.1092.108
4.868.87
175
1)(
ssG
Simulacijski model destilacijske kolone.
Osnovni zahtjevi na sistem upravljanja su:
neovisno upravljanje koncentracijama hemikalija u
koloni osiguravajući da promjena postavne veličine za
jednu koncentraciju ima mali utjecaj na drugu
koncentraciju i obratno,
vrijeme odziva oko deset minuta,
neosjetljivost odlaznog toka iz posude i temperature
zagrijavanja koncentracije na djelovanje poremećaja.
Primjer sinteze H upravljanja
38/67 dV
dL
U Y
U Y
Scope
PI(s)
PI_V
PI(s)
PI_LDsp G
Destilacijska kolona
K*u
DM
Bsp
r e
pL
pVy
u
L
VVqV
qL
D (gornja)
B (donja)
Za postizanje navedenih ciljeva koristi se upravljačka
arhitektura sa statičkom matricom rasprezanja (na
slici DM) u seriji sa dva paralelna PI regulatora za
regulaciju L i V.
Potrebno je obaviti namještanje matrice rasprezanja
DM i koeficijenta PI regulatora.
Prvi korak se sastoji u parametrizaciji podesivih
elemenata matrice DM.
Na ovaj način se kreira (2 x 2) matrica statičkih
pojačanja sa četiri podesiva parametra.
Da bi se eliminirali redundantni parametri obavlja se
normiranje PI regulatora, fiksiranjem proporcionalnih
pojačanja Kp na jedinične vrijednosti.
Primjer sinteze H upravljanja
39/67
Nakon toga se formuliraju specifikacije dizajna kao
H sinteza.
Jedan od mogućih izbora – podesiti željeni propusni
opseg za funkcije osjetljivosti S i komplementarne
osjetljivosti T zatvorenog sistema.
Ovo vodi ka kriteriju dizajna mješovite osjetljivosti:
Na ovaj način wS “prisiljava” S da bude malog iznosa
unutar propusnog opsega, dok wT prisiljava T da se kreće izvan propusnog opsega.
Primjer sinteze H upravljanja
40/67
1
T
S
T
S
w
w
Za ciljnu presječnu frekvenciju c = 0.1, dobar izbor
težina je:
Primjer sinteze H upravljanja
41/67
10-3
10-2
10-1
100
101
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Am
plit
uda (
dB
)
Težine za S i T
Frekvencija (rad/minute)
1/WS
1/WT
1/001.0
)/(95.099.0 ,
001.0/
25.099.0
c
cT
c
Ss
sw
sw
Granice na
pojačanja S i T
(1/wS i 1/wT)
Finalni korak je izgraditi parametarski model funkcije
prijenosa:
Ova funkcija prijenosa preslikava r u (eS, yT).
Primjer sinteze H upravljanja
42/67
T
S
T
S
w
w
Blok dijagram za dizajn H za mješovitu osjetljivost
Na temelju prethodne strukture konstruira se model u
prostoru stanja koji predstavlja kriterij mješovite
osjetljivosti.
Ovaj model ovisi o podesivim parametrima PI regulatora i
matrice DM.
Primjer sinteze H upravljanja
43/67
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
From: Dsp
To: yD
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
To: yB
From: Bsp
0 10 20 30 40 50
Slijeđenje referentne veličine
Vrijeme (minutes)
Am
plit
uda
Prvi dizajn:
Patrametri PI_L1 regulatora:
Kp = 1, Ki = 0.0133
Patrametri PI_L1 regulatora:
Kp = 1, Ki = 0.0133
Matrica DM:
Dijagrami slijeđenja
referentnih vrijednosti
4.2957.2
362.2996.2DM
Otklanjanje utjecaja djelovanja smetnji.
Primjer sinteze H upravljanja
44/67
-10
-5
0
5
10
From: dL
To: yD
0 50 100 150 200-15
-10
-5
0
5
10
15
To: yB
From: dV
0 50 100 150 200
Uklanjanje djelovanja smetnje
Vrijeme (minutes)
Am
plit
uda Dobro slijeđenje
referentnih
veličina, slabo
otklanjanje
djelovanja
smetnji.
Ispitivanje glavnih pojačanja (principal gains) funkcije
prijenosa zatvorenog sistema od d prema y indicira da regulator ne prigušuje zadovoljavajuće
neizvjesnost procesa na promjene ulaza.
Primjer sinteze H upravljanja
45/67
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
-60
-40
-20
0
20
40
60
Singularne vrijednosti
Frekvencija (rad/minute)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(dB
)
G
Ttrack
Treject
Za poboljšanje otklanjanja djelovanja smetnje koristi
se sljedeća unaprijeđena upravljačka struktura.
Odabir težinskih funkcija (c = 0.1):
Primjer sinteze H upravljanja
46/67
25.0 ,1
,
110
11000
1000
)(
d
e
n
c
c
c
ce w
ww
s
s
s
sw
we definira ciljni oblik odziva otvorene petlje (otvoreni
sistem), predstavljen amplitudnom karakteristikom
(Bodeov dijagram za we).
Primjer sinteze H upravljanja
47/67
10-6
10-4
10-2
100
102
104
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
Am
plit
uda (
dB
)
Oblikovanje ciljne petlje
Frekvencija (rad/minute)
Usporedba rezultata prvog i drugog regulatora
(upravljačke strukture sa slajdova 40. i 44.) –
slijeđenje referentnih veličina.
Primjer sinteze H upravljanja
48/67
0
0.5
1
1.5
From: Dsp
To: yD
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
1.5
To: yB
From: Bsp
0 10 20 30 40 50
Slijeđenje referentne veličine
Vrijeme (minutes)
Am
plit
uda
Prvi dizajn
Drugi dizajn
Drugi dizajn:
Patrametri PI_L2
regulatora:
Kp = 1, Ki = 0.0363
Parametri PI_V2
regulatora:
Kp = 1, Ki = 0.0367
Matrica DM:
927.2179.4
462.2571.4DM
Usporedba rezultata prvog i drugog regulatora
(upravljačke strukture sa slajdova 40. i 44.) –
otklanjanje djelovanja smetnje.
Primjer sinteze H upravljanja
49/67
-10
-5
0
5
10
From: dL
To: yD
0 50 100 150 200-15
-10
-5
0
5
10
15
To: yB
From: dV
0 50 100 150 200
Otklanjanje djelovanja smetnje
Vrijeme (minutes)
Am
plit
uda
Prvi dizajn
Drugi dizajn
Poboljšanje gušenja smetnje je evidentno iz
usporedbe glavnih pojačanja od G i Treject.
Primjer sinteze H upravljanja
50/67
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Singularne vrijednosti
Frekvencija (rad/minute)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(dB
)
G
Ttrack
Treject
Neophodna procedura dizajna koja će biti mnogo
fleksibilnija od procedure zasnovane na mješovitoj
osjetljivosti, a u isto vrijeme ne toliko komplicirana
kao što je -sinteza.
U nastavku se opisuje procedura sinteze regulatora
oblikovanjem petlje u kombinaciji sa H robusnom stabilizacijom [McFarlane & Glover,
1990].
Korak 1. Dodavanje pretkomenzatorora i
postkompenzatora procesu kako bi se dobio željeni
oblik singularnih vrijednosti frekvencijske
karakteristike otvorene petlje.
Korak 2. Rezultantni oblikovani proces se robusno
stabilizira s obzirom na koprim faktor neizvjesnosti
korištenjem H optimizacije.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
51/67
Robusna stabilizacija
Kod MIMO sistema, klasična amplitudno i fazno
osiguranje (rezerva) nisu pouzadni indikatori za
robusnu stabilnost, pogotovo ako se promatraju
odvojeno za svaki kanal, zbog istovremenog
djelovanja perturbacija u više od jedne petlje
(matrica perturbacija).
U slučaju pojedinačnih perturbacija testovi
robusnosti su izraženi preko maksimuma singularnih
vrijednosti funkcija prijenosa različitih zatvorenih
petlji.
Korištenje pojedinačne stabilne perturbacije
dovodi do restrikcije procesa i perturbirani
modeli procesa imaju jednak broj nestabilnih
polova ili jednak broj nestabilnih nula (RHP).
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
52/67
Da bi se prevazišli ovi problemi, koriste se dvije
stabilne perturbacije sa koprim faktorizacijom
procesa (koristan način prikaza modela procesa).
Razmatramo stabilizaciju procesa G(s) koji je normiran koprim faktorizacijom (slijeva):
M i N su stabilne koprim funkcije prijenosa, gdje M
iskazuje dinamiku polova, a dinamiku nula N.
Stabilnost implicira da N(s) sadrži sve RHP nule od
G(s), a M(s) sve RHP polove od G(s).
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
53/67
)()()( 1 sss NMG
IUNVM )()()()( ssss
Koprimnost znači da nema zajedničkih RHP nula
(uključujući tačku u beskonačnosti) u M(s) i N(s) kojima bi se poništili polovi/nule kada se formira
produkt M(s)N(s).
Matematički koprimnost znači da postoje stabilne
U(s) i V(s) takve da vrijedi Bezout identitet:
Ako se uzme
Perturbirani model procesa Gp može se opisati sa:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
54/67
))()(())()(()( 1 sssss NM ΔNΔMGp
INNMM )()()()( ssss TT
)()( );()( ssss TT NUMV
U prethodnom izrazu M i N su stabilne nepoznate
funkcije prijenosa koje predstavljaju neizvjesnost u
nominalnom modelu procesa G.
Na ovaj način je omogućeno da perturbacije polova i
nula sijeku imaginarnu os korištenjem M i N.
Cilj robusne stabilizacije nije samo stabilizirati
nominalni model G, već i familiju perturbiranih procesa definiranih sa:
Prema tome potrebno je odrediti regulator K koji
robusno stabilizira Gp sa:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
55/67
MNNMp sssss ΔΔΔNΔMG :))()(())()(()(1
MN
ΔΔ je stabilna rezerva
Maksimizacija predstavlja problem robusne
stabilizacije normiranih procesa koprim
faktorizacijom, kako je objašnjeno u [Glover &
McFarlane, 1989]
Perturbirani zatvoreni sistem sa H robusnom stabilizacijom prikazan je na slici.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
56/67
Gp može se prikazati u P- formi sa [N M] i
generalizirani proces P:
Robusna stabilnost je zadovoljena ako:
Maksimalna rezerva stabilnosti je:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
57/67
11)(
MGKI
I
KP
1
P
21
2
min
max 11
H
MN
H - Hankelova norma
Korespodentni H optimalni regulator (centralni
regulator) tada garantira:
što se može direktno izračunati rješavanjem dviju
algebarskih Riccatijevih jednadžbi.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
58/67
min
11)(
MGKI
I
K
Glover-McFarlane oblikovanje petlje
Korištenjem pretkompenzatora i postkompenzatora
dobiva se struktura na slici.
Oblikovani proces je opisan funkcijom prijenosa Gs:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
59/67
)()()()( 12 sssss WGWG
Sinteza regulatora Ks obavit će se rješavanjem
problema robusne stabilizacije za “oblikovanje”
procesa sa normiranom koprim faktorizacijom:
Regulator zatvorenog kruga za proces G je tada:
Problem robusne stabilizacije odvija se u dva koraka
Korak 1. Definirati ciljne performanse (kriterij
kakvoće), naprimjer:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
60/67
sss s NMG1)(
)()()()( 21 ssss s WKWK
1 1
TS TP ww i
Nakon toga se izabiru W1 i W2 da se postigne:
Korak 2. Obaviti robusnu stabilizaciju “oblikovanog”
procesa Gs(s) sa Ks.
Ako je max 0.25 tada performansa i robusna stabilnost obično nisu u konfliktu.
U ostalim slučajevima, ako stabilizacija jako utječe
na performansu, vratiti se na korak 1. i modificirati
pojačanje petlje.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
61/67
TsB
PsB
w
w
/1)( :
)( :
G
G
Primjer 1. Sinteza Glover-McFarlane H regulatora
sa oblikovanjem petlje za procese zahvaćene
smetnjom.
Razmatra se proces i model smetnje:
Zahtjevi na sintezu regulatora su: postizanje, po
mogućnosti, dobrog otklanjanja utjecaja smetnje i
frekvencija presjeka na karakteristici pojačanja treba
biti oko 10 rad/s.
Rješenje:
Odabere se pojačanje petlje da bude
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
62/67
110
100)( ;
)105.0(
1
110
200)(
2
ssG
sssG d
ds GG
Željeno ponašanje je definirano sa:
Nakon zanemarenje visokofrekvencijske dinamike u
G(s) dobiva se inicijalna vrijednost težine .
Da bi se poboljšale performanse na niskim
frekvencijama dodaje se integralno djelovanje, kao i
element faznog prethođenja s+2 kojim se smanjuje
nagib L-a od -2 na niskim frekvencijama do oko -1 na frekvenciji presjeka.
Da bi se odziv učinio malo bržim, pojačanje se množi
faktorom 2 da bi se dobila težina:
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
63/67
s
sW
21
dGGW1
1
5.01 W
Ovo djelovanje proizvodi oscilatoran odziv.
Na ovaj način se dobije oblikovani proces Gs = GW1 sa frekvencijom presjeka 13.7 rad/s.
Amplituda od Gs(j) prikazan je na slajdu 67. isprekidanom linijom.
Odziv sistem na jediničnu skokovitu smetnju sa
regulatorom K = W1 prikazan je također isprekidanom linijom na drugoj slici, za koga se očekivalo da će biti
oscilatoran.
Navedeni rezultati su dobiveni sa dizajnom inicijalnog
oblikovanja petlje.
Da bi se poboljšali rezultati, pomenuti regulator se
nastoji učiniti robusnijim na način da tolerira H koprim faktor neizvjesnosti što je moguće više.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
64/67
Za ovo se koristi Matlabova funkcija coprimeunc,
koja pronalazi optimalan regulator koji robusno
poboljšava oblikovani proces u smislu toleriranja
neizvjesnosti maksimuma koprim faktora korištenog
u proceduri H oblikovanja petlje po McFarlane –
Gloveru.
Maksimalno osiguranje stabilnosti dobiveno sa
poboljšanim regulatorom K = W1Ks (izračunato
korištenjem Matlabove funkcije ncfsyn) iznosi min =
2.34, odnosno max = 0.43.
Nakon toga uzeti = 1.1min i odrediti
korespondentni robusni regulator Ks.
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
65/67
U ovom primjeru dobivene su sljedeće funkcije
prijenosa procesa i regulatora (regulator Ks i proces
Gs imaju po 4 stanja, regulator K = W1Ks pet stanja,
W1 jedno stanje):
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
66/67
sssss
sssssK
ssss
ssssK
ssss
ssG
s
s
24330013290058108.126
2078002508008585064886.143)(
24330013290058108.126
1039007345062016.143)(
1.10002.1025.0
400200)(
2345
234
234
23
234
Rezultati provedene procedure prikazani su na
slikama.
Isprekidanim linijama prikazani su rezultati za
inicijalni dizajn oblikovanja procesa (Gs), a punim
linijama robusno poboljšanje oblikovanja (GsKs).
Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje
67/67
10-2
100
102
10-2
100
102
104
Frekvencija [rad/s]
Am
plit
uda
0 1 2 3-0.5
0
0.5
1
Vrijeme [s]
Oblikovanje petlji |L(j)| Odziv na smetnju (jedinični skok)