MATHEMATIK LEHRER: Javier Jdar Rodrguez

3 ESO IES EL ARGAR

LEKTION 3. FOLGEN0. GrundwortschatzFolge Arithmetische Folge Geometrische Folge Reihe Glied Index Fu Index Bildungsgesetz

1. Die Zahlenfolgen.Die Folgen sind Zahlenmengen (oder andere Gegenstnde), die eine geordnete Reihenfolge haben, das heit, sie knnen nummerieren zu werden. Es gibt folglich ein erstes Element der Folge, ein zweites Element der Folge, usw. Z. B.: a. 1,5,9,13, b. 170, 120, 70, 20, -30, c. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ist die Folge der Primzahlen, wofr es keine Vorschrift gibt. d. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ist die Folge der Quadratzahlen und wrde man kurz mit an = n ausdrcken. Die verschiedenen Objekte heien Glieder. Wir knnen sie z.B. a1, a2, nennen. So ist z.B. in der Folge b. das Glied a1 170. Der Fu Index fr jedes Element gibt den Ort in der Folge an. Es gibt nun zwei Mglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu erhalten. Entweder benutzt man die Mglichkeit, eine rekursive Bildungsvorschrift aufzustellen oder man stellt eine explizite Bildungsvorschrift auf. Bei der rekursiven Bildungsvorschrift erhlt man immer aus dem vorherigen Glied der Zahlenfolge das nchste Glied. Bei der expliziten Bildungsvorschrift kann man durch Einsetzen in die Formel direkt das n-te Glied berechnen. Die explizite Bildungsvorschrift ist sicher vorteilhafter, aber beide Mglichkeiten sind erlaubt.

Lektion drei

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2. ReihenAddiert man die Glieder einer Folge, so erhlt man eine Reihe. Die Summe a1 + a2 + ... + an bezeichnet man als n-te Teilsumme sn. Mit dem Summenzeichen kann man das krzer schreiben: (Summe aller ai fr i von 1 bis n). Gegeben sei eine Folge (an) = a1, a2, a3, ... Dann nennt man die Folge (sn) = s1, s2, s3, ..., deren Elemente sn nach der Vorschrift: sn = a1 + a2 + ... + an gebildet werden, die Reihe (sn) der Folge (an). Anstatt Reihe sagt man auch Teilsummenfolge Erluterung der Definition Gegeben sei eine Folge (an) = n2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Nur bilden wir die Summen s n aus den ersten n-Gliedern dieser Folge: Die Die Die Die Summe Summe Summe Summe 2 2 2 2 2 s1 s2 s3 s4 besteht nur aus einem Summanden (2) entsteht durch Addition der ersten zwei Glieder entsteht durch Addition der ersten drei Glieder entsteht durch Addition der ersten vier Glieder =2 =6 = 12 = 20 = 30

s1 = s2 = s3 = s4 = s5 = usw.

+4 +4+6 +4+6+8 + 4 + 6 + 8 +10

Dann kann man die Summen sn als eine neue Folge (sn) betrachten: (sn) = 2, 6, 12, 20, 30, ... Diese Folge hat nun einen besonderen Namen: Weil sie aus den Teilsummen gebildet wird, nennt man sie Teilsummenfolge oder Reihe.

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3. Arithmetische Folgena. 1,5,9,13, b. 170, 120, 70, 20, -30, Bei den Beispielfolgen (a) und (b) erhlt man das jeweils nchste Glied, indem man zum vorigen eine (positive oder negative) Konstante d addiert. Eine solche Folge heit arithmetische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet: an = a1 + (n-1)d Eine arithmetische Folge wird durch eine lineare Funktion dargestellt. Eine Zahlenfolge ist dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied. Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge: 3, 8, 13, 18, 23, Anderes Beispiel: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ist die Folge der ungeraden Zahlen und dabei eine arithmetische Zahlenfolge (spter noch genauer erklrt). Die Bildungsvorschrift lautet: an = 1 + (n 1) 2. Auch hier gibt es wieder zwei Mglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Diese sind, wie bekannt, die rekursive und die explizite Bildungsvorschrift. 1. Rekursive Bildungsvorschrift an + 1 = an + d (dafr muss an bekannt sein) bersetzt heit das folgendes: an + 1 = das nachfolgende Glied von an; an = das bekannte Glied, von dem man auf das Folgeglied schlieen mchte; d = die immer konstante Differenz. 2. Explizite Bildungsvorschrift an = a1 + (n 1) d. Das heit: an = n-tes Folgeglied; a1 = das meist (es wird vorerst davon ausgegangen nur Folgeglieder zu berechnen, natrlich kann man durch Umstellen der Formel spter auch andere Unbekannte ausrechnen) bekannte Anfangsglied; (n 1) d = gesamte Differenz zum unbekannten Glied an (deshalb n 1, weil man, wenn man die 1 nicht abziehen wrde, die Differenz von a 0 aus berechnen wrde. Aber schlielich mchte man ja die Differenz von an und a1 (n 1) berechnen, sonst msste in der Formel am Anfang statt a1 a0 stehen). Dass das so ist, soll anhand des Beispiels gezeigt werden: an = a1 + (n 1) d a1 = 3 a2 = 3 + (2 1) 5 a2 = 8 a3 = 3 + (3 1) 5 a3 = 13 Arithmetische Reihe:

(Erstes plus letztes Glied mal Anzahl der Glieder, geteilt durch 2)

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4. Geometrische FolgenEine Zahlenfolge ist dann geometrisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern der Quotient immer gleich ist (a2:a1 = a3:a2 = a4:a3 = q). Der Quotient wird logischerweise mit q bezeichnet, das erste Glied auch hier wieder mit a1. Beispiel einer geometrischen Zahlenfolge: 4, 1, 0.25, Ihr Bildungsgesetz lautet: an = 4 (1/4) n 1. an = a1 qn-1 Eine geometrische Folge wird durch eine Exponentialfunktion dargestellt.

Anderes Beispiel: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ist eine Folge, die eine Exponentialfunktion darstellt und dabei eine geometrische Zahlenfolge ist. Die Bildungsvorschrift ist: an = 2 2n 1. Auch hier gibt es wieder zwei Mglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Diese sind, wie bekannt, die rekursive und die explizite Bildungsvorschrift. 1. Rekursive Bildungsvorschrift an + 1 = an q (selbstverstndlich muss hier an bekannt sein) Aus dem Mathematischen ins Deutsche bersetzt: an + 1 = das nachfolgende Glied von an; an = das bekannte Glied, von dem man auf das Folgeglied schlieen mchte; q = der immer konstante Quotient 2. Explizite Bildungsvorschrift a n = a 1 qn 1 Z.B. 4, 1, 0.25, Anhand eines Beispiels soll gezeigt werden, dass dies gilt: an = a1 qn 1 a1 = 4 a1 = 4 a2 = 4 (1/4)2-1= 4 x (1/4)1 a2 = 1 a3 = 4 (1/4)3-1= 4 x (1/4)2= 4 x (1/16) a3 = 0.25

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MATHEMATIK LEHRER: Javier Jdar Rodrguez Geometrische Reihe:

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Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant. Beispiele: Ein Startwert der geometrischen Folge von 1 und ein Quotient der Folgeglieder von 2 ergibt die geometrische Reihe: 1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, , zusammengefasst also 1, 3, 7, 15,... Bei identischem Startwert und einem Quotienten von 1/2 ergibt sich hingegen die geometrische Reihe: 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, 1+1/2+1/4+1/8, , also 1, 3/2, 7/4, 15/8, . Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der geometrischen Reihe:

Grenzwert der geometrischen Reihe Wenn q