Lenguajes Regulares y Autómatas Finitos - Clase 6

LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS

U.T.N. – F.R.T. S. y S. de los L.

GRAMÁTICAS REGULARES (GR):

Recordemos..... :

� Las GR corresponden al Tipo 3 de la Jerarquía de Chomsky.

� Sus reglas pueden tener un formato regular por la derecha o

regular por la izquierda, pero no ambos.

� Tienen la capacidad de generar solo Lenguajes Regulares.

ING. JORGE BUABUD

� Tienen la capacidad de generar solo Lenguajes Regulares.

� Sirven para describir el Nivel Lexicográfico de un Lenguaje.

� El modelo aceptor correspondiente es el Autómata Finito.

� Su formato estándar es: N1 →→→→ t N2 , N →→→→ t , S →→→→ λλλλ




Obtención del Formato Estándar:

Pasos a seguir para obtener el Formato Estándar de Chomsky tipo 3:

1.- Eliminar reglas innecesarias.

2.- Eliminar el axioma S de la derecha, si es que λλλλ ∈∈∈∈ L(GR).

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3.- Eliminar reglas de redenominación o renombrado: N1 →→→→ N2

4.- Eliminar reglas de borrado: N→→→→ λλλλ

5.- Realizar las sustituciones necesarias para reducir a uno la longitud de

las secuencias de terminales que hubiera en las reglas.




1.- Eliminar reglas innecesarias: Son producciones que no aportan nada.1.1.- Reglas que tienen no-terminales inútiles, es decir aquellos N que

no cumplen con: S ⇒⇒⇒⇒* ααααNββββ y N⇒⇒⇒⇒* w donde S es el axioma, w ∈∈∈∈ ΣΣΣΣT* y αααα,ββββ ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ*

1.2.- Reglas de la forma: N→→→→N

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2.- Eliminar el axioma de la derecha: Si el axioma S aparece en la derecha de alguna producción y S ⇒⇒⇒⇒* λλλλ , entonces se realiza elsiguiente artificio:

2.1.- se introduce un nuevo símbolo inicial S12.2.- se agrega a las producciones originales las reglas: S1 →→→→ S | λλλλ




3.- Eliminar reglas de redenominación: Se reemplaza las producciones de la forma N1→→→→N2 , por las reglas que surgen de reemplazar en las mismas N2 por las partes derechas de sus producciones.

4.- Eliminar reglas de borrado: Se reemplaza las producciones de laforma N→λ→λ→λ→λ , por las reglas que surgen de reemplazar N por λλλλ, en todas las reglas donde figure N; a excepción de la regla S →→→→ λλλλ ,donde S es el axioma.

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donde S es el axioma.

5.- Reducción de longitud: Se reemplaza las reglas de la formaN1 →→→→ t1t2...tKN2 por las reglas N1→→→→t1M 1 , M1→→→→t2M 2 , .... , MK-1→→→→ tKN2

donde los Mi son nuevos no-terminales, los ti son terminales, N1 es unno-terminal y N2 puede ser un no-terminal o vacío (en forma similarpara una GR regular por la izquierda).




Ejemplo de obtención del formato estándar de una GR:

Supongamos la siguiente GR por la derecha:

S →→→→ abaB | bb | λλλλ | A

A →→→→ baS | aabC | a

G = ⟨⟨⟨⟨ ΣΣΣΣN , ΣΣΣΣT , S , P ⟩⟩⟩⟩

ΣΣΣΣN = {S, A, B, C, D, E}

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B →→→→ aaA | B | λλλλ

C →→→→ baC | aC

D →→→→ bbB | aaa | abaD

E →→→→ aaE | abC

N

ΣΣΣΣT = {a, b}

P =




1) Eliminación de reglas innecesarias:

S →→→→ abaB | bb | λλλλ | AA →→→→ baS | aB →→→→ aaA | λλλλ

2) Eliminación del axioma a la derecha:

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S1 →→→→ S | λλλλS →→→→ abaB | bb | λλλλ | AA →→→→ baS | aB →→→→ aaA | λλλλ

2) Eliminación del axioma a la derecha:




3) Eliminación de reglas de redenominación:

S1 →→→→ abaB | bb | baS | a | λλλλS →→→→ abaB | bb | λλλλ | baS | aA →→→→ baS | aB →→→→ aaA | λλλλ

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4) Eliminación de reglas de borrado:

S1 →→→→ abaB | bb | baS | a | λλλλ | ba | abaS →→→→ abaB | bb | baS | a | ba | abaA →→→→ baS | a | baB →→→→ aaA




5) Reducción de la longitud:

S1 →→→→ aF | bH | bI | a | λλλλ | bJ | aKF →→→→ bGG →→→→ aBH →→→→ bI →→→→ aSJ →→→→ a

Los otros componentes de G:

ΣΣΣΣN = { S1, A, B, F, G, H, I, J, K, L, S}

ΣΣΣΣT = {a, b}

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J →→→→ a K →→→→ bJS →→→→ aF | bH | bI | a | bJ | aKA →→→→ bI | a | bJB →→→→ aLL →→→→ aA

ΣΣΣΣT = {a, b}

donde S1 es el nuevo axioma




Equivalencia entre GR por derecha y GR por izquierda:Los dos formatos posibles para una GR son equivalentes.

Veamos un algoritmo para pasar del formato por izquierda al formato por derecha, partiendo de una GR en su forma estándar:1.- Si el axioma figura en alguna parte derecha de las reglas, se procede

a transformar la GR de la siguiente forma:1.1.- Agregar un nuevo símbolo no-terminal L

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1.1.- Agregar un nuevo símbolo no-terminal L1.2.- Si S es el axioma, t∈Σ∈Σ∈Σ∈ΣT y N∈Σ∈Σ∈Σ∈ΣN , entonces:

1.2.1.- Para cada regla de la forma S →→→→ Ntse crea una regla L →→→→ Nt

1.2.2.- Cada regla de la forma N →→→→ Stse cambia por la regla N →→→→ Lt




2.- Se crea un grafo dirigido:2.1.- Se crea un nodo para cada no-terminal N y otro para λλλλ2.2.- Para cada regla de la forma N1 →→→→ N2t

se crea un arco desde el nodo N1 al nodo N2 con rótulo t2.3.- Para cada regla de la forma N →→→→ t

se crea un arco desde el nodo N al nodo λλλλ con etiqueta t2.4.- Si existe una regla S →→→→ λλλλ

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2.4.- Si existe una regla S →→→→ λλλλse crea un arco sin rótulo desde el nodo S al nodo λλλλ

3.- Se transforma este grafo de la siguiente manera:3.1.- Se intercambian las etiquetas de los nodos S y λλλλ3.2.- Se invierte el sentido de todos los arcos




4.- Se transforma el grafo en un conjunto de reglas:4.1.- Para cada arco etiquetado con t que va del nodo N1 al nodo N2

se crea la regla N1 →→→→ tN2

4.2.- Para cada arco etiquetado con t que va del nodo N al nodo λλλλse crea la regla N →→→→ t

4.3.- Si existe un arco del nodo del axioma S al nodo de λλλλse crea una regla S →→→→ λλλλ

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se crea una regla S →→→→ λλλλ

En forma similar se puede definir un algoritmo para transformar una GR por derecha en su formato por izquierda equivalente.




Ejemplo de conversión de GR por Izquierda a Derecha:

Supongamos una GR por izquierda con las siguientes producciones:S → → → → Ba | Ab , A →→→→ Sa | Ab , B→→→→ Bb | a

1.- Agregamos un nuevo no-terminal C y las reglas:S → → → → Ba | Ab , A →→→→ Ca | Ab , B →→→→ Bb | aC → → → → Ba | Ab

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C → → → → Ba | Ab2.- Grafo: b

SA

B

C

λλλλa a

b aa

b b




3) Transformamos el grafo:b

λλλλA

B

C

Sa a

b aa

b b

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4) Creamos las reglas de la GR por la derecha a partir del grafo:

S → → → → aBA →→→→ bC | bA | bB →→→→ aC | bB | aC → → → → aA



EXPRESIONES REGULARES (ER):

Lenguaje Regular (LR):

Un LR es el lenguaje generado por una GR y se define mediante las siguientes cláusulas:

1) Todo lenguaje finito es un LR

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2) Si L1 y L2 son LR entonces L1∪∪∪∪L 2 y L1.L2 también son LR

3) Si L es un LR entonces L* también es un LR

4) Todo LR se puede definir mediante las cláusulas 1, 2 y 3




Ejemplos de LR: Consideremos el alfabeto ΣΣΣΣ={a, b}L1 = { } = ΦΦΦΦL2 = {λλλλ} = LλλλλL3 = {a, b}L4 = {aa, ab, ba, bb}

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L4 = {aa, ab, ba, bb} L5 = {λλλλ, aba, aaa, bab, bbb}L6 = L3 . L5 ∪∪∪∪ L4

L7 = L5* . L 4

L8 = L4 . L4*




Expresión Regular (ER):

Es una forma algebraica que se define sobre un alfabetobase ΣΣΣΣ y un alfabeto especial ΣΣΣΣ’ = {+, *, •••• , ΦΦΦΦ , λλλλ , ( , ) }, con Σ y ΣΣΣΣ’ disjuntos, mediante las siguientes cláusulas:

1) ΦΦΦΦ, λλλλ, x∈Σ∈Σ∈Σ∈Σ son ER

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2) Si E1 y E2 son ER entonces E1+E2 y E1.E2 también son ER

3) Si E es una ER entonces E* y (E) también son ER

4) Todo ER se puede definir mediante las cláusulas 1, 2 y 3




Correspondencia entre las ER y los LR:

Aunque es casi obvio,

la siguiente tabla

formaliza la relación {x}x

{λλλλ}λλλλ{ }ΦΦΦΦLRER

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entre ER y LR:

L *R*

L 1.L2R1.R2

L 1∪∪∪∪L 2R1+R2

{x}x




Ejemplos de ER: Consideremos el alfabeto base ΣΣΣΣ={a, b}E1 = ΦΦΦΦE2 = λλλλE3 = a+bE4 = aa+ab+ba+bb

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E4 = aa+ab+ba+bb E5 = λλλλ+aba+aaa+bab+bbbE6 = E3.E5+E4 = (a+b).(λλλλ+aba+aaa+bab+bbb)+(aa+ab+ba+bb)E7 = E5* . E4 = (λλλλ+aba+aaa+bab+bbb)*.(aa+ab+ba+bb)E8 = E4 . E4* = (aa+ab+ba+bb).(aa+ab+ba+bb)*




Algunas aplicaciones de las ER:

En general las ER se asocian con los lenguajes regulares y están presentes en diversas aplicaciones, por ejemplo:

1) Para descripción de patrones textuales:

La mayoría de los procesadores de texto utilizan variantes de las

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La mayoría de los procesadores de texto utilizan variantes de las ER para facilitar la búsqueda de palabras en un texto, como los “comodines” del Word . (Ver el help del MS-Word 2007).

También se utilizan en la representación de cadenas de caracteres en muchos sistemas operativos, como en el GNU/Linux. (Ver página web http://iie.fing.edu.uy/~vagonbar/unixbas/expreg.htm)




2) Para representar estructuras algorítmicas:

En el campo del análisis de algoritmos se utilizan ER para representar las estructuras básicas de control, por ejemplo:

a

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b

cd

e

a.(b.(c+d))*.e




3) Para describir el léxico de un lenguaje de programación:

Por ejemplo para el lenguaje C++:

PalabrasClaves = main+if+else+while+do+switch+case+......

Dígitos = 1+2+3+4+5+6+7+8+9

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Dígitos = 1+2+3+4+5+6+7+8+9

NúmeroEnteroSinSigno = 0+Dígitos.(Dígitos+0)*

Letra = a+b+c+d+..............+z

Identificador = (Letra+ _ ).(Letra+ _ +Dígitos+0)*




Propiedades de las ER:

Existen muchas propiedades asociadas a las ER, a continuación se muestran las más importantes:

1) ΦΦΦΦ* = λλλλ

2) E . E* = E* . E

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2) E . E* = E* . E

3) E* = λλλλ + E . E*

4) (E1* . E2*)* = (E 1+ E2)* = (E1* . E2)* . E1*

5) E* = (λλλλ+E+E2+E3+....+EN-1) . (EN)*




Sistema de Ecuaciones Características de una GR:Dada una GR se puede obtener un conjunto de definiciones

regulares de la forma: X = R + T.X , donde X∈Σ∈Σ∈Σ∈ΣN y (R,T)

son ER sobre ΣΣΣΣ, del siguiente modo:

1) Agrupar todas las reglas que tengan igual parte izquierda

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1) Agrupar todas las reglas que tengan igual parte izquierda

2) Igualar cada no-terminal X con la unión de todas las partes derechas correspondientes, usando el conectivo “+”

3) Sustituir la yuxtaposición de símbolos con la concatenación de los mismos, usando el conectivo “••••”




Ejemplo de Ecuaciones Características de una GR:

G = ⟨⟨⟨⟨ ΣΣΣΣN , ΣΣΣΣT , P , S ⟩⟩⟩⟩

ΣΣΣΣN = { S, A, B, C }

ΣΣΣΣT = { a, b, c }

Sistema de Ecuaciones Características

S = a.A+b.B+c.C

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P: S →→→→ aA | bB | cC

A →→→→ bA | aB

B →→→→ cB | a

C →→→→ cC | c

A = b.A+a.B

B = c.B+a

C = c.C+c




Solución de una ecuación genérica: X=R+T.X

Mediante los siguientes pasos podemos deducir una expresión para X tal que cumpla dicha igualdad:1) Partimos de la propiedad de la expresión regular T:

T* = λλλλ + T . T*2) Pos-concatenamos con la expresión regular R:

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2) Pos-concatenamos con la expresión regular R:T*.R = ( λλλλ + T . T*).R

3) Resolvemos:T*.R = R + T . T*.R

4) Por simple comparación deducimos que: X = T*.R




Obtención de la ER del lenguaje generado por una GR:

1) Se plantea el Sistema de Ecuaciones Características.

2) Se resuelve el sistema mediante método de sustitución y

aplicación de la solución de la ecuación genérica.

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aplicación de la solución de la ecuación genérica.

3) La ER del lenguaje generado por la GR, es la solución

correspondiente al axioma de la gramática.




Ejemplo de obtención de la ER de una GR:

Dando continuidad al ejemplo anterior de ecuaciones características, tenemos:

C = c*.c

B = c*.a

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B = c*.a

A = b.A+a.c*.a

A = b*.a.c*.a

S = a.b*.a.c*.a+b.c*.a+c.c*.c

S = a.b*.a.c*.a+b.c*.a+c.c.c*




Derivada de una ER:La derivada de una expresión regular “E” respecto a un símbolo “x” perteneciente a un alfabeto “ΣΣΣΣ”, se define como:

Dx(E) = {w / x.w ∈∈∈∈ E}

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Es decir del conjunto de palabras “w” que están representadas por “E”, se selecciona aquellas que comienzan por el símbolo “x” respecto al que se deriva y la derivada será el conjunto de los restos de esas palabras sin el prefijo “x”.




Propiedades de la Derivada de una ER:Para todo x,y∈Σ∈Σ∈Σ∈Σ se cumple que:

1) Dx(ΦΦΦΦ) = ΦΦΦΦ 2) Dx(λλλλ) = ΦΦΦΦ

3) Dx(x) = λλλλ 4) Dx(y) = ΦΦΦΦ con y≠≠≠≠x

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5) Dx(E1+E2) = Dx(E1)+Dx(E2)

6) Dx(E1.E2) = Dx(E1).E2+f(E1).Dx(E2) con f(E1)=

7) Dx(E*) = Dx(E).E*

λλλλ si λ∈λ∈λ∈λ∈E1

ΦΦΦΦ si λ∉λ∉λ∉λ∉E1




Ejemplo de Derivadas de una ER:Supongamos la siguiente ER: E = a*.b.(a+b)*.b

� Da(E) = Da(a*).b.(a+b)*.b+f(a*).Da(b.(a+b)*.b)

= Da(a).a*.b.(a+b)*.b+λλλλ.(Da(b).(a+b)*.b+f(b).Da((a+b)*.b))

= λλλλ.a*.b.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ.Da((a+b)*.b)

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= λλλλ.a*.b.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ.Da((a+b)*.b)

= a*.b.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ+ΦΦΦΦ = a*.b.(a+b)*.b = E

� Db(E) = Db(a*).b.(a+b)*.b+f(a*).Db(b.(a+b)*.b)

= ΦΦΦΦ.b.(a+b)*.b+λλλλ.(Db(b).(a+b)*.b+f(b).Db((a+b)*.b))

= ΦΦΦΦ+λλλλ.(a+b)*.b+ΦΦΦΦ.Db((a+b)*.b) = (a+b)*.b




Composición de Derivadas de una ER:Se puede componer derivadas de la siguiente forma:

Dxy(E) = Dy(Dx(E))

En el ejemplo anterior tendríamos:

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� Dab(E) = Db(Da(E)) = Db(E) = (a+b)*.b

� Dba(E) = Da(Db(E)) = Da((a+b)*.b)

= Da((a+b)*).b+f((a+b)*).Da(b)

= Da(a+b).(a+b)*.b+λλλλ.ΦΦΦΦ = (a+b)*.b




Obtención de la GR que genera el lenguaje de una ER:

Dada una ER E0 y el conjunto D de todas las ER Ei distintas que se obtienen por derivación compuesta con respecto a todos los símbolos x de ΣΣΣΣ, el alfabeto base de E0 ; los componentes de la gramática G que genera el lenguaje definido por E0 son:

ΣΣΣΣ = {E } ∪∪∪∪ D , ΣΣΣΣ = ΣΣΣΣ , S = EΣΣΣΣN = {E0} ∪∪∪∪ D , ΣΣΣΣT = ΣΣΣΣ , S = E0

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P =

Si Dx(E1)=E2 , E2≠≠≠≠ λλλλ , E2≠Φ≠Φ≠Φ≠Φ , crear la regla E1 →→→→ x E2

Si λ∈λ∈λ∈λ∈Dx(E1) , crear una regla E1 →→→→ xSi λ∈λ∈λ∈λ∈E0 , crear una regla E0 →→→→ λλλλSi Dx(E1)=ΦΦΦΦ , no crear ninguna regla




Ejemplo de obtención de una GR a partir de una ER:

Partamos de la ER del ejemplo anterior: E0 = a*.b.(a+b)*.b

Da(E0) = E0

Db(E0) = (a+b)*.b = E1

Da(E1) = E1Da(E1) = E1

Db(E1) = Db((a+b)*.b) = Db((a+b)*).b+f((a+b)*).Db(b)= Db(a+b).(a+b)*.b+λλλλ.λλλλ = (a+b)*.b+λλλλ = E2

Da(E2) = Da(E1)+Da(λλλλ) = E1+ΦΦΦΦ = E1

Db(E2) = Db(E1)+Db(λλλλ) = E2+ΦΦΦΦ = E2

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De tal manera que:

ΣΣΣΣN = {E0 , E1 , E2}

ΣΣΣΣT = {a, b}

S = E0

→→→→

P = ≡ ≡ ≡ ≡

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E0 →→→→ aE0 | bE1

E1 →→→→ aE1 | bE2 | b

E2 →→→→ aE1 | bE2 | b

E0 →→→→ aE0 | bE1

E1 →→→→ aE1 | bE1 | b

con ΣΣΣΣN = {E0 , E1}

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