L'equazione di Fokker-Planck in ambiti astrofisici - infn.it Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi

L'equazione di Fokker-Planckin ambiti astrofisici

Laurea Triennale in FisicaCandidato: Domenico Barbato

Relatrice: Prof.ssa Fiorenza Donato

Università degli Studi di Torino

MercoledÌ 5 Dicembre 2012

● Introdotta da Adriaan Daniël Fokker e Max Planck[A.D.Fokker, Ann. Phys. 348, pg 810-820 (1914)][M.Planck, Stiz.ber. Preuß Akad. Pg 324-341(1917)]

Equazione di Fokker-Planck

1



● Alcuni utilizzi fisici:● Studio del moto browniano di molte particelle● Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma● Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari

1


● Altri campi di utilizzo:

● Chimica: evoluzione del numero di molecole di una specie chimica in una reazione● Geologia: infiltrazione dell'acqua in un terreno non coerente e legame con frane● Genetica: probabilità della fissazione di un gene in una popolazione● Matematica finanziaria: modelli di smile di volatilità per opzioni


● Alcuni utilizzi fisici:● Studio del moto browniano di molte particelle● Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma● Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari

1

● Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:

con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine di collisione da essa dipendente.

oppure


∂ f∂ t

+ ∑i=1

6

wi∂ f∂wi

= Γ( f ) d fd t

= Γ( f )

2

● Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:

oppure

● Detta Ψ(w , Δw) la sezione d'urto delle particelle, è possibile riscrivere il termine Γ come:

Γ (f ) = (∂ f∂ t

)i n

+ (∂ f∂ t

)out

= ∫ [Ψ (w−Δ w ,Δ w) f ( w−Δ w)−Ψ(w ,Δ w) f ( w)]d3 Δ w


∂ f∂ t

+ ∑i=1

6

wi∂ f∂wi

= Γ( f ) d fd t

= Γ( f )

2

con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine di collisione da essa dipendente.


● Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse). È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:

Ψ( w−Δ w ,Δ w) f (w−Δ w) = Ψ( w ,Δ w) f (w) − ∑i=1

6

Δwi∂

∂wi

[ Ψ(w ,Δ w) f ( w)]

+12

∑i , j=1

6

Δwi Δw j∂2

∂wi∂w j

Ψ(w ,Δ w )f (w ) + ...

3


● Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse). È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:

Ψ( w−Δ w ,Δ w) f (w−Δ w) = Ψ( w ,Δ w) f (w) − ∑i=1

6

Δwi∂

∂wi

[ Ψ(w ,Δ w) f ( w)]

+12

∑i , j=1

6

Δwi Δw j∂2

∂wi∂w j

Ψ(w ,Δ w )f (w ) + ...

● Approssimazione di Fokker–Planck: tronchiamo la serie al secondo ordine. Sostituendo in Γ(f) otteniamo l'equazione di Fokker-Planck:

dfdt

= −∑i=1

6∂

∂w i

[f (w )D(Δwi)] +12 ∑

i , j=1

6∂2

∂wi∂w j

[f (w )D(ΔwiΔw j)]

avendo definito i coefficienti di diffusione:

D(Δwi) = ∫ΔwiΨ(w ,Δ w )d 3Δ w

D(ΔwiΔw j) = ∫ΔwiΔw j Ψ( w ,Δ w)d3Δ w

3

Applicazione in astrofisicadell’equazione di Fokker-Planck

NGC 6093 (Foto: HST) NGC 5139 (Foto: HST) NGC 6624 (Foto: HST)

Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.

4

Applicazione in astrofisicadell’equazione di Fokker-Planck

● Chiamiamo stella di test una stella campione di cui seguiamo l'orbita e stelle di campo le stelle i cui incontri ne perturbano la traiettoria

● La dominanza degli incontri deboli è giustificata dalle grandi distanze interstellari e conseguenti basse velocità relative.

NGC 6093 (Foto: HST) NGC 5139 (Foto: HST) NGC 6624 (Foto: HST)

Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.

4

● Non ci sono collisioni ma avvicinamenti tra stelle.

Approssimazione Localedell’equazione di Fokker-Planck

Lungo range della forza gravitazionale: la stella di test è perturbata da tutte le stelle dell'ammasso, anche le più lontane. Occorre considerare solo le perturbazioni dovute agli avvicinamenti, non quelle causate dalla presenza di stelle di campo lontane.

5



● Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità e non la posizione delle stelle coinvolte:

D(Δ xi) = D(Δ xiΔ x i) = D(Δ xiΔ v i) = 0

5

b < < RΔ w = (0 , Δ v )



● Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità e non la posizione delle stelle coinvolte:

b < < RΔ w = (0 , Δ v )

D(Δ xi) = D(Δ xiΔ x i) = D(Δ xiΔ v i) = 0

dfdt

= −∑i=1

3∂

∂ v i

[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑

i , j=1

3∂2

∂ v i∂ v j

[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]

● Equazione di Fokker-Planck in approssimazione locale:

5

Calcolo dei coefficienti di diffusione

● In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle. Stella di test di massa m, velocità v . Stelle di campo di massa m

a , con distribuzione di velocità f

a(v

a).

6

Calcolo dei coefficienti di diffusione

● Studiando l'incontro con interazione Newtoniana tra i due corpi è possibile ottenere i coefficienti di diffusione come:

D(Δ vi) = 4 πG2ma(m+ma) lnΛ∂h( v )

∂ vi

; D(Δ v iΔ v j) = 4 πG2ma2 lnΛ

∂2g ( v )

∂ v i v j

Λ =bmaxv typ

2

G (m+ma); h( v )=∫

f a (v a)

∣v−va∣d3 Δ va ; g( v )=∫ f a ( va)∣v−va∣d

3Δ va

Con:

h(v) e g(v) sono detti potenziali di Rosenbluth.

6

● In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle. Stella di test di massa m, velocità v . Stelle di campo di massa m

a , con distribuzione di velocità f

a(v

a).

Coefficienti di diffusione per fa isotropa

● Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se fa

dipende solo da va

= | va|. Direzione preferenziale è quella di v.

7


● Definendo un sistema di coordinate { e1, e

2, e

3 } per cui v ║ e

1 si ha:

D(Δ v2)= D (Δ v3)= 0

D [(Δ v2)2]= D [(Δ v3)

2]

D(Δ v1Δ v2)= D(Δ v1 Δ v3)= D(Δ v2Δ v3)= 0

troviamo che restano tre coefficienti indipendenti:

D(Δ v1) ≡ D(Δ v║)

D [(Δ v1)2] ≡ D (Δ v║

2)

2D [(Δ v 2)2] = 2D [(Δ v3)

2] ≡ D(Δ v┴

2)

decelerazione nella direzione e1

7

tasso di diffusione totale parallelo a e1

tasso di diffusione totale nel piano perpendicolare a e

1

● Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se fa

dipende solo da va

= | va|. Direzione preferenziale è quella di v.


● Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per sviluppare in polinomi di Legendre. Detto γ l'angolo compreso tra v e v

a:

∣v− va∣−1 = ∑

l=0

∞ vminl

vmaxl+1 Pl (cos γ)

∣v− va∣= ∑l=0

∞ vminl

vmaxl+1 Pl(cos γ)(v2+v a

2−2v va cos γ)

8


h (v ) =∫f a( va)

∣v− v a∣d

3Δ v a

= 4 π[1v∫0

v

v a2 f a(va)dva +∫

v

∞

v a f a( va)dva ]

g( v ) =∫ f a(v a)∣v− va∣d3Δ v a

=43

π v [ ∫0

v

(3v a2 +

v a4

v 2 ) f a(va)dva + ∫v

∞

(3va

2

v+v va)f a( va)dva ]

È possibile riscrivere i potenziali di Rosenbluth come:

∣v− va∣−1 = ∑

l=0

∞ vminl

vmaxl+1 Pl (cos γ)

∣v− va∣= ∑l=0

∞ vminl


2−2v va cos γ)

8

● Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per sviluppare in polinomi di Legendre. Detto γ l'angolo compreso tra v e v

a:


● Questa riscrittura ci permette di dire:

D(Δ v║) =−16 π2G2 ma lnΛ

v 2 (m+ma) ∫0

v

v a2 f a(va)dva

D(Δ v║2) =

32π2G

2ma lnΛ

3v[∫

0

vva

4

v2 f a(va)dv a + v∫v

∞

v a f a(va)dv a ]

D(Δ v┴2) =

32π2G2 ma lnΛ

3v[∫

0

v

(3va2 −

v a4

v 2 ) f a(v a)dva + 2v∫v

∞

v a f a( va)dv a ]

9


● Questa riscrittura ci permette di dire:

D(Δ v║)=−16π

2G2ma ln Λ

v2 (m+ ma)∫0

v

va2 f a(va)dva

D(Δ v║2)=

32π2G 2ma lnΛ

3v[∫

0

v va4

v2f a(va)dva + v∫

v

∞

va f a(va)dva ]

D(Δ v┴2)=

32π2G2ma lnΛ

3v[∫

0

v

(3va2−

va4

v2 ) f a(va)dva + 2v∫v

∞

va f a(va)dva]

● La cui relazione con i coefficienti di diffusione in un sistema di coordinate arbitrario è data da:

D (Δ v i)=vi

vD(Δ v║)

D (Δ v iΔ v j)=viv j

v2[D (Δ v║

2)−12D (Δ v┴

2)]+12

δ ijD (Δ v┴2)

9

Coefficienti di diffusione per fa maxwelliana

● Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(v

a) particolare, la

distribuzione maxwelliana:

f a(va) =ρ

ma(2πσ 2)3 /2 e−

va2

2σ2

10


● Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(v

a) particolare, la

distribuzione maxwelliana:

f a(va) =ρ

ma(2πσ 2)3 /2 e−

va2

2σ2

per la quale:

D(Δ v║)=−4πG 2

ρ(m+ ma)lnΛ

σ2 F (

v

√ 2σ)

D(Δ v║2)=

8G2πρma lnΛ

vF (

v

√ 2σ)

D(Δ v┴2)=

8G 2πρma lnΛ

v[erf (

v

√ 2σ)− F (

v

√ 2σ)]

con:

F (v

√2σ) = σ

2

v 2 [ erf (v

√2σ) −

2v

√2 πσe

−v2

2σ 2

] ; erf (x ) =2

√π∫0

x

e− t2dt

10


● Consideriamo un tipico ammasso globulare con:

m = 2 M ☉

ma = 2 M☉

vtyp = 8 km s−1

σ = 7 km s−1

bmax = 1.5pc = 4.63 1013 km

ρ = 2.72 10−37 M☉ km−3 = 5.41 10−19 g cm−3

Con questi valori calcoliamo i coefficienti di diffusione.

11

Massa della stella di test

Massa della stella di campo

Tipica velocità stellare

Dispersione di velocità delle stelle di campo

Parametro d'impatto massimo

Densità delle stelle di campo

Coefficiente D(Δv║) per f

a maxwelliana

D(Δ v║)=−4πG 2

ρ(m+ ma)lnΛ

σ2 F (v

√ 2σ)

12

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse ma

Λ =bmaxv typ

2

G (m+ma)


a maxwelliana

D(Δ v║)=−4πG 2

ρ(m+ ma)lnΛ

σ2 F (v

√ 2σ)

12

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse m

Λ =bmaxv typ

2

G (m+ma)


a maxwelliana

D(Δ v║)=−4πG 2

ρ(m+ ma)lnΛ

σ2 F (v

√ 2σ)

12

0.001 km/s

7 km/s

100 km/s

Diverse σ

Coefficiente D(Δv║

2) per fa maxwelliana

D(Δ v║2)=

8G 2πρma lnΛ

vF (

v

√ 2σ)

13

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse ma

Λ =bmaxv typ

2

G (m+ma)



13

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse m

D(Δ v║2)=

8G 2πρma lnΛ

vF (

v

√ 2σ) Λ =

bmaxv typ2

G (m+ma)



13

0.001 km/s

7 km/s

100 km/s

Diverse σ

D(Δ v║2)=

8G 2πρma lnΛ

vF (

v

√ 2σ)

Coefficiente D(Δv┴


D(Δ v┴2)=

8G 2πρma lnΛ

v[erf (

v

√ 2σ)− F (

v

√ 2σ)]

14

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse ma

Λ =bmaxv typ

2

G (m+ma)



14

0.08 M☉

2 M☉

150 M☉

Diverse m

D(Δ v┴2)=

8G 2πρma lnΛ

v[erf (

v

√ 2σ)− F (

v

√ 2σ)] Λ =

bmaxv typ2

G (m+ma)



14

0.001 km/s

7 km/s

100 km/s

Diverse σ

D(Δ v┴2)=

8G 2πρma lnΛ

v[erf (

v

√ 2σ)− F (

v

√ 2σ)]

Soluzione analitica dell’equazione di Fokker-Planck in regime stazionario

● Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:

dfdt

= −∑i=1

3∂

∂ v i

[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑

i , j=1

3∂2

∂ v i∂ v j

[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]

che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v

2=v

3=0) è riscrivibile come:

dfdt

= − ∂∂ v

[ f (w )D(Δ v║)] +12

∂2

∂ v 2 [ f (w )D(Δ v║2)]

15


● Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:

dfdt

= −∑i=1

3∂

∂ v i

[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑

i , j=1

3∂2

∂ v i∂ v j

[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]

che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v

2=v

3=0) è riscrivibile come:

dfdt

= − ∂∂ v

[ f (w )D(Δ v║)] +12

∂2

∂ v 2 [ f (w )D(Δ v║2)]

● Imponendo condizioni di stazionarietà, la soluzione di questa equazione è:

f st(v ) =N

D (Δ v║2)

exp [∫0

v D(Δ v '║)

D(Δ v '║2)dv ' ] =

N

D(Δ v║2)

exp[ −m+ma

4ma

v2

σ2 ]

15

f st(v ) =N

D (Δ v║2)

exp [ −m+ma

4ma

v 2

σ2 ]

16


Tempo di rilassamento di una stella● Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della

stella di test è significativamente perturbata:

t relax =v 2

D(Δ v║2)

17

Tempo di rilassamento di una stella● Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della

stella di test è significativamente perturbata:

t relax =v 2

D(Δ v║2)

● Per un valore tipico di v (8 km/s), si trova che trelax

= 3.7 107 yr; l'età

tipica di un ammasso globulare è 1010 yr. 17

Considerazioni finali

In questo lavoro di tesi ho:

● studiato l’equazione di Fokker-Planck

● applicato questa equazione ad un contesto astrofisico

● calcolato i coefficienti di diffusione in approssimazione locale e per una distribuzione delle stelle di campo maxwelliana

● ricavato la soluzione analitica dell’equazione in approssimazione locale ed in regime stazionario

● analizzato il tempo di rilassamento di una stella dell’ammasso

18

Questo lavoro ha seguito una trattazione analitica altamente accademica; il reale studio del problema richiede approssimazioni meno stringenti e metodi di analisi numerica complicati.

Grazie dell'attenzione

BIBLIOGRAFIA

J.Binney, S.Tremaine, “Galactic Dynamics” (Princeton University Press) 1987

L.Spitzer, “Dynamical Evolution of Globular Clusters” (Princeton University Press) 1987

M.N. Rosenbluth, W.M. MacDonald, D.L. Judd, Phys. Rev., 107, 1, 1967

H.Risken, “The Fokker-Planck Equation” II ed (Springer-Verlag) 1989

C.W.Gardiner, “Handbook of Stochastic Methods” II ed (Springer-Verlag) 1989

A.1 – Energia cinetica della stella di test

● In approssimazione locale e per v1=v, v

2=v

3=0 il tasso di variazione

dell'energia cinetica della stella di test è:

D(ΔE) = m∑i=1

3

[vi D(Δ vi) +12

D (Δ vi2)]

= m [v D (Δ v║) +12

D(Δ v║2) +

12

D (Δ v┴2)]

= 16 π2G2mma lnΛ [ma∫

v

∞

va f a(v a)dva −m∫0

v v a2

vf a(v a)dva ]

● Il primo integrale descrive la tendenza della stella di test ad essere scaldata dalle stelle di campo, il secondo l'effetto raffreddante dell'attrito dinamico. La stella di test raggiunge l'equilibrio quando i due termini si bilanciano, cioè per velocità quadratiche media proporzionali a m-1.

A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale

● Il valore iniziale della velocità relativa V=v – va è V

0 e la sua variazione

a seguito dell'incontro è ΔV. Sistema di coordinate per cui V0 ║ e

1. ;

diciamo φ l'angolo tra il piano orbitale e e1 in modo da scrivere:

Δ v =−Δ v║ e1 + Δ v┴ (cosϕ e2 +sin ϕ e3)

Con le relazioni di parallelismo e perpendicolarità intese rispetto a V0

, e:

Δ v║ =2maV 0

m+ma

[1+b2V 0

4

G2(m+ma)

2 ]−1

Δ v┴ =2ma bV 0

3

G (m+ma)2 [1+

b2V 04

G2(m+ma)2 ]

−1


● Possiamo scrivere le variazioni della velocità dopo un incontro come:

Δ v i = ∑k

(Δ v⋅ ek ) (ei⋅ek )

Δ v iΔ v j =∑k ,l

(Δ v ⋅ ek ) (Δ v⋅ el) (ei⋅ek ) (e j⋅ el)

Mediando su φ (0, 2π) si ottiene:∈

⟨Δ vi⟩ϕ =−Δ v║ (ei⋅ e1)

⟨Δ viΔ v j⟩ϕ =(Δ v║)2(e i⋅e1)(e j ⋅e1) +

12

(Δ v┴ )2[( ei⋅e 2)(e j ⋅e2) + (ei ⋅e3)(e j⋅e3)]

● Sommando gli effetti di tutti gli incontri si ha:

D(Δ vi) = 2π∫ f a(v a)V 0 ⟨Δ v i⟩ϕb db d3 v a

D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0⟨Δ vi Δ v j⟩ϕb db d3v a


Cioè:

D(Δ vi) =−2π∫ f a( va)V 0(ei⋅e1) d3 v a ∫

0

b max

Δ v║b db

D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0 d3 v a ×

×{(ei ⋅e1)(e j⋅ e1)∫0

bmax

(Δ v║)2b db +

12[δij−(e i⋅e 1)(e j ⋅e1)∫

0

bmax

(Δ v┴)2 b db ]}

Notando che:

e1 =V 0

V 0

(ei⋅e1) =V 0i

V 0

D(Δ vi) =−2π∫ f a( va)V 0i d3 v a ∫

0

b max

Δ v║b db

D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0 d3 v a ×

si ottiene:

δ ij−(ei⋅ e1)(e j⋅e1) = δij−V 0iV 0j

V 02

×{V 0iV 0j

V 02 ∫

0

bmax

(Δ v║)2b db+

12

[ δij−V 0iV 0j

V 02 ∫

0

b max

(Δ v┴)2 b db ]}


∫0

bmax

Δ v║b db = G2 ma(m+ma)

V 03

ln (1+Λ 2)

∫0

bmax

(Δ v║)2d db = 2

G2ma2

V 02 (1− 1

1+Λ2 )

∫0

bmax

(Δ v┴ )2 b db = 2G2ma

2

V 02 [ ln(1+Λ2)−1+

1

1+Λ2 ]

● Gli integrali in db nei coefficienti di collisione sono::

con Λ =bmax V 0

2

G(m+ma)

● Nelle nostre applicazioni Λ è molto grande; approssimiamo e diciamo:

∫0

bmax

Δ v║b db = 2G2 ma(m+ma)

V 03

lnΛ

∫0

bmax

(Δ v║)2d db = 0

∫0

bmax

(Δ v┴ )2 b db = 4G2ma

2

V 02 lnΛ


● Allora:

D(Δ vi) =−4πG2ma(m+ma) ∫V 0i

V 03 f a(v a) lnΛ d3 v a

D(Δ vi Δ v j)= 4πG2ma2∫ [

δij

V 0

−V 0iV 0j

V 03 ] f a(v a) lnΛ d 3 v a

Essendo Λ grande, non compiamo grandi errori nel porlo indipendente da v

a :

Λ =bmax V 0

2

G(m+ma)Λ =

bmax V 02

G(m+ma)

In modo da avere:

D(Δ vi) =−4πG2ma(m+ma) lnΛ ∫V 0i

V 03 f a(va) d3 va

D(Δ vi Δ v j)= 4πG2ma2 lnΛ ∫ [

δ ij

V 0

−V 0iV 0j

V 03 ] f a(v a) d3 va


● Essendo infine:

V 0 = √∑i=1

3

(v i − v ai)2

V 0i

V 03 =− ∂

∂v i

1V 0

δij

V 0

−V 0iV 0j

V 03 = ∂2

∂v i∂ v j

V 0

Otteniamo:

D(Δ vi) = 4 πG2ma(m+ma) lnΛ

∂h( v )

∂ vi

D(Δ viΔ v j)= 4πG2ma

2ln Λ

∂2g( v )

∂ vi v j

h (v ) =∫f a(v a)

∣v−v a∣d 3

Δ v a ; g( v ) =∫ f a( va)∣v− v a∣d3Δ va

con:

A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth

● Se la fa è isotropa possiamo sviluppare i potenziali di Rosenbluth in

serie di polinomi di Legendre. Diciamo γ l'angolo compreso tra v e va e

siano vmin

, vmin

rispettivamente il minore e maggiore tra v e va :

1∣v− va∣

= ∑l=0

∞ vminl

vmaxl+1 Pl (cos γ)

Per cui:

h (v ) = 2π∑l=0

∞

∫0

∞ va2 vmin

l

vmaxl+1 f a( va) d va ∫

0

π

Pl(cos γ) sin γd γ

Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:

∫−1

1

Plm(X)P n

m(X )dX =2

2l+1(l+m)!(l−m)!

δ lm ∫−1

1

Pl (X )dX = 2δl0

Diventa:

h (v ) = 4 π[1v∫0

v

va2 f a(v a)dv a +∫

v

∞

va f a(v a)dva ]

A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth

● Analogamente:

∣v− va∣= ∑l=0

∞ vminl


2−2v va cosγ)

Per cui:

g( v ) = 2π∑l=0

∞

∫0

∞ v a2 vmin

l

vmaxl+1 f a(v a) d v a×

×[(v 2+v a2)∫

0

π

Pl (cosγ)sin γd γ − 2v v a∫0

π

Pl (cosγ)sin γ cos γd γ ]

Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:

∫−1

1

Pl (X )dX = 2δl0 ; ∫−1

1

Pl(X) XdX =23

δ l1

Diventa:

g( v ) =43

π v [ ∫0

v

(3v a2 +

v a4

v 2 ) f a( va)dva +∫v

∞

(3va

2

v+v va)f a(v a)dva ]

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L'equazione di Fokker-Planck in ambiti astrofisici - infn.it Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi