Les algorithmes d'arithmetique

PROF : Mohamed SAYARI 4 SI LES ALGORITHMES D’ARITHMETIQUES

1

I. Introduction L’arithmétique est une branche de mathématiques qui étudie les relations entre les nombres. C’est aussi

l’étude des nombres et des opérations élémentaires entre eux.

II. Calcul de PGCD (voir chapitre récursivité)

III. Calcul de

et

III.1 présentation

- Le nombre de permutations ordonnés possibles de p éléments parmi n appelé Arrangement :

Exemple1 : quels sont les nombres de 2 chiffres à former à partir de la liste {5, 3,1}

Réponse : 53, 35, 51, 15, 31, 13 = 6

Exemple2 : tirage sans remise

Définition 1: E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E toute p-liste

d'éléments distincts de E.

- Le nombre de permutations sans ordre possibles de p éléments parmi n appelé Combinaison :

Exemple1 : quels sont les listes de 2 éléments à former à partir de la liste {5, 3,1}

Réponse : {5, 1}, {5, 3}, {3, 1} = 3

Exemple2 : tirage avec remise

Définition 2: E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E toute

collection non ordonnée de p éléments distincts de E

III.2 Calcul de

Activité1 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher l

e avec n et p

deux entiers tel que 1≤p≤ n

Sachant que

= n (n-1) (n-2) ….. (n-p+1)

Ou encore

( )

a) Analyse du programme principal

2) Résultat = Ecrire ("A (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))

1) (N,p)= proc saisir (n, p)

TDOG

Objet Type/Nature

N Entier

p entier

saisir procédure

calcul fonction

Algorithme du programme principal

0) DEBUT arrangement

1) Proc saisir (n, p)

2) Ecrire ("A (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))

3) Fin arrangement


2

b) Analyse de la procédure saisir

DEF PROC saisir var (n, p : entier)

Résultat = n, p

2) N= [ ] répéter

N= donnée ("N=")

Jusqu’à (n≥p)

1) P= [ ] répéter

P= donnée ("P= ")

Jusqu’à (p ≥1)

c) Analyse de la fonction calcul

DEF FN calcul (n, p : entier) : entier

2) Résultat = calcul a

1) A= [a1] pour i de n à (n-p+1) (pas=-1) Faire

A a * i

Fin pour

TDOL

objet Tupe/nature

I Entier

a entier

Algorithme de la procédure saisir

0) DEF PROC saisir (var n, p : entier)

1) Répéter

Ecrire ("P= "), lire (P)

Jusqu’à (p≥1)

2) Répéter

Ecrire ("N= "), lire (N)

Jusqu’à (N≥p)

3) Fin saisir

Algorithme de la fonction calcul

0) DEF FN CALCUL (n, p : entier) : entier

1) A 1

Pour i de n à n-p+1 (pas=-1) Faire

A a * i

Fin pour

2) Calcul a

3) Fin calcul


3

III.3 Calcul de

Activité1 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher le avec n et p

deux entiers tel que 0≤p≤ n


2) Résultat = Ecrire ("C (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))

3) (N,p)= proc saisir (n, p)


DEF PROC saisir var (n, p : entier)

Résultat = n, p

2) N= [ ] répéter

N= donnée ("N=")

Jusqu’à (n≥p)

1) P= [ ] répéter

P= donnée ("P= ")

Jusqu’à (p ≥0)

c) Analyse de la fonction calcul

DEF FN calcul (n, p : entier) : real

2) Résultat = calcul c

1) C FACT (n) / (FACT (p) * FACT (n-p))

TDOG

Objet Type/Nature

N Entier

p entier

saisir procédure

calcul fonction


0) DEBUT arrangement

1) Proc saisir (n, p)

2) Ecrire ("C (", p, ",", n, ")=", FN calcul (n, p))

3) Fin arrangement


0) DEF PROC saisir (var n, p : entier)

1) Répéter

Ecrire ("P= "), lire (P)

Jusqu’à (p≥0)

2) Répéter

Ecrire ("N= "), lire (N)

Jusqu’à (N≥p)

3) Fin saisir

Algorithme de la fonction calcul

0) DEF FN CALCUL (n, p : entier) : réel

1) C FACT (n) / (FAT(p)*FACT (n-p))

2) CALCUL c

3) Fin calcul


4

III.4 Application

=9

=8 =1

=1

=1

Activité : écrire la fonction combinaison récursive

Analyse de la fonction COMB récursive

DEF FN Combo (n, p : entier) : entier

Résultat= combo

1) combo= [ ] si (p=0) ou (p=n) alors combo 1

Sinon combo FN combo (n-1, p-1) + FN combo (n-1, p)

Fin si


5

IV. Quelques règles de divisibilité (livre page 166)

V. Conversion entre les bases de numération

V.1 Définition

Un système de numération est une méthode de comptage fondée sur une base de numération qui est

un entier supérieur ou égal à 2. Soit N une base de numération, le système sera doté de N chiffres de

0 à N-1

V.2 Exemples de bases de numération (voir livre page 166)

V.3 Conversion d’un nombre décimal en binaire

Ecrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un entier positif, le convertit en

binaire.


2) Résultat = Ecrire (Fn conv_DEC_BIN(n))

1) N = proc saisir (n)

b) Analyse de la procédure CONV_DEC_BIN

DEF FN CONV_DEC_BIN (n : entier) : chaîne

2) Résultat = CONV_DEC_BIN ch

1)Ch=[ch ""] répéter

R n mod 2

N n div 2

Ch chr(48+R)+ch

Jusqu’à (n=0)


0) Début conversion

1) Proc saisir (n)

2) Ecrire (Fn conv_DEC_BIN(n))

3) Fin conversion

Algorithme de la fonction CONV_DEC_BIN

0) DEF FN CONV_DEC_BIN (n : entier) : chaîne

1) Ch ""

répéter

R n mod 2

N n div 2

Ch chr(48+R)+ch

Jusqu’à (n=0)

2) CONV_DEC_Bin ch

3) Fin CONV_DEC_BIN


6

V. 4 Conversion d’un nombre binaire en décimal

Ecrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre binaire (sous forme d’une

chaîne de caractères), le convertit en décimal.


2) Résultat = Ecrire (FN conv_bin_dec(ch))

1)Ch= proc saisir (ch)


DEF PROC SAISIR (var ch : chaîne)

Résultat = ch

1)Ch=[ ] répéter

Ch= donnée ("CH= ")

i 0

répéter

i i + 1

test ch[i] dans ["0","1"]

jusqu’à (non test) ou (i=long(ch))

jusqu’à test

c) Analyse de la fonction conv_bin_dec

DEF FN conv_bin_dec (ch :chaîne) : entier long

2)Résultat = conv_bin_dec n

1)N= [n0] pour i de 1 à long (ch) faire N n +(ord(ch[i])-48)*puissance(long(ch)-i)

Fin pour

d) Analyse de la fonction puissance

DEF FN puissance (x :entier) :entier

2)Résultat = puissance p

1)P=[ p 1] pour i de 1 à x Faire

P 2*p

Fin pour



1) Proc saisir (ch)

2) Ecrire (FN conv_bin_dec(ch))

3) Fin conversion


0) DEF PROC SAISIR (var ch : chaîne)

1) répéter

Ecrire ("CH= "), lire (ch)

i 0

répéter

i i + 1

test ch[i] dans ["0","1"]


Jusqu’à test

2) Fin saisir

Algorithme de la fonction conv_bin_dec

0)DEF FN conv_bin_dec (ch :chaîne): entire long 1)N <- 0

pour i de 1 à long (ch) faire N n +(ord(ch[i])-48)*puissance(long(ch)-i)

Fin pour

2) conv_bin_dec N

3) Fin conv_bin_dec

Algorithme de la fonction puissance 0)DEF FN puissane (x :entier) : entier 1)p 1 Pour i de 1 à x faire

P p * 2 Fin pour 2)puissance p 3) Fin puissance


7


8

V. 5 Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire

Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre hexadécimal, le

convertit en binaire.

Analyse du programma principal :

2)Résultat= Ecrire("("ch," )16= (", FN conv_hex_bin(ch), ")2")

1)Ch= proc saisir (ch)

Analyse de la procédure saisir

DEF PROC saisir (var ch :chîne)

Résultat = ch

1)Ch=[ ] répéter

Ch= donnée ("CH=")

i 0

Répéter

i i+1

ch[i] dans ["0".."9", "A".."F"]

Jusqu’à (non test) ou (i=long (ch))

Jusqu’à (test)

Analyse de la fonction conv_hex_bin

DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne

2)Résultat= conv_hex_bin ph

2)Ph=[] tant que ph[1]= "0" faire

Efface(ph, 1, 1)

Fin tant que

1)Ph=[ph""]pour i de 1 à long (ch) faire

Si ch[i] dans ["0".."9"] alors ph ph + conv(ord(ch[i])-48)

Sinon ph ph + conv (ord(ch[i])-55)

Fin si

Analyse de la fonction conv

DEF FN conv (x : entier): chaîne

2)Résultat= convdh

1)dh=[dh"0000", i4] répéter

dh[i] chr((x mod 2)+48)

x x div 2

i i – 1



1) proc saisir (ch)

2) Ecrire ("("ch,») 16= (", FN conv_hex_bin(ch), ")2")

3 Fin conversion

TDOG

Objet Type/nature Rôle

Ch Chaîne

Saisir Procédure

Conv_hex_bin fonction


0) DEF PROC saisir (var ch :chîne)

1) répéter

Ecrire ("CH="), lire (ch)

i 0

Répéter

i i+1

ch[i] dans ["0".."9", "A".."F"]


Jusqu’à (test)

2) fin saisir

TDOL


i Entier

test booléen

TDOL


i Entier

con fonction

ph chaîne

TDOL


i Entier

dh chaîne


9

jusqu’à (x=0)

Algorithme de la fonction conv_hex_bin

0) DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne

1) Ph""

pour i de 1 à long (ch) faire

Si ch[i] dans ["0".."9"] alors ph ph + conv(ord(ch[i])-48)

Sinon ph ph + conv (ord(ch[i])-55)

Fin si

2) tant que ph[1]= "0" faire

Efface (ph, 1, 1)

Fin tant que

3) fin conv_hex_bin

4) Fin conv_hex_bin

Algorithme de la fonction conv

0) DEF FN conv (x : entier): chaîne

1) dh"0000"

i4

répéter

dh[i] chr((x mod 2)+48)

x x div 2

i i – 1

jusqu’à (x=0)

2) fin conv


10

V. 6 Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal

Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre binaire, le

convertit en hexadécimal.

Analyse du programme principal :

2) Résulat= Ecrire ("(", ch, ") 2= (", FN conv_bin_hex(ch), ")16")

1) Ch= proc saisir (ch)

Analyse de la fonction conv_bin_hex

DEF FN conv_hex_bin (ch : chaîne): chaîne

3) Résultat= conv_bin_hex ph

2) Ph= [ph "" ] répéter

Ph ph + Fn conv (sous-chaîne (ch, 1, 4))

Efface (ch, 1, 4)

Jusqu’à (long (ch)=0)

1) Ch=[ ] tant que long(ch) mod 4≠0 Faire

Insère (ch, "0", 1)

Fin tant que

Analyse de la fonction conv

DEF FN conv (dh : chaîne) : caractère

Résultat= conv

2)Conv=[ ] si x dans [0..9] alors conv chr (x+48)

Sinon conv chr (x+55)

Fin si

1) x=[x0] pour i de 1 à 4 faire

x x + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (4-i)

Fin pour



1) proc saisir (ch)

2) Ecrire ("(", ch, ") 2= (", conv_bin_hex(ch), ")16")

3) Fin conversion

TDOG


Conv_bin_hex fonction

ch chaîne

Saisir procédure

Algorithme de la fonction conv_bin_hex

0) DEF FN conv_bin_hex (ch : chaîne): chaîne

1) tant que long(ch) mod 4≠0 Faire

Insère (ch, "0", 1)

Fin tant que

2) ph ""

Répéter

Ph ph + FN conv (sous-chaîne (ch, 1, 4))

Efface (ch, 1, 4)

Jusqu’à (long (ch)=0)

3) conv_bin_hex ph

4) fin conv_bin_hex

TDOL


conv fonction

ph chaîne

Algorithme de la fonction conv

0) DEF FN conv (dh : chaîne) : caractère

1) x0

pour i de 1 à 4 faire

x x + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (4-i)

Fin pour

2) si x dans [0..9] alors conv chr (x+48)

Sinon conv chr (x+55)

Fin si

3) Fin conv

TDOL


x enier

i entier


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Analyse de la fonction puissance

DEF FN puissance (a :etier) : entier

Résultat=puissance b

b=[b1] pour i de 1 à 4 faire

bb*2

fin pour

Algorithme de la fonction puissance

0) DEF FN puissance (a :etier) : entier

1) b1

Pour i de 1 à 4 faire

bb*2

fin pour

2) puissance b

TDOL


b enier

i entier


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V. 5 Conversion d’un nombre hexadécimal en décimal

Activité : écrire un programme modulaire en pascal qui permet de saisir un nombre hexadécimal, le

convertit en décimal.

Analyse du programme principal :

2) Résultat= Ecrire ("(ch",") 16= (", FN conv_hex_dec (ch),") 10")

1) Ch=proc saisir (ch)

Analyse de la fonction conv_hex_dec :

DEF FN conv_hex_dec (ch :chaîne): entire long

2) Résultat= conv_hex_dec N

1) N= [N 0] pour i de 1 à long (ch) faire

Si ch[i] dans ["0".."9"] alors N N + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (long (ch) –i)

Sinon N N + (ord (ch[i])-55) * FN puissance (long (ch)-i)

Fin si

Fin pour

Analyse de la fonction puissance :

DEF FN puissance (x : entier) : entier long

2) Résultat= puissance p

1) P= [p0] pour i de 1 à x faire

P p * 16

Fin pour

Algorithme de la fonction conv_hex_dec

0) DEF FN conv_hex_dec (ch :chaîne): entire long

1) N0

pour i de 1 à long (ch) faire

Si ch[i] dans ["0".."9"] alors N N + (ord (ch[i])-48) * FN puissance (long (ch) –i)

Sinon N N + (ord (ch[i])-55) * FN puissance (long (ch)-i)

Fin si

Fin pour

2) conv_hex_dec N

3) Fin conv_hex_dec



1) proc saisir (ch)

2) Ecrire ("(ch",") 16= (", FN conv_hex_dec (ch),") 10")

3) Fin conversion

TDOG

Objet Type/nature

saisir Procédure

Conv_hex_dec fonction

ch chaîne


0) DEF FN puissance (x : entier) : entier long

1) p0

Pour i de 1 à x faire

P p * 16

Fin pour

2) Puissance p

3) Fin puissance

TDOL

Objet Type/nature

N Entier long

i entier

TDOL

Objet Type/nature

p Entier long

i entier


13


14

V.7 Conversion d’un nombre octal en binaire

Similaire à la conversion de l’hexadécimal en binaire.

Exemple :

5 7 3 1

101 111 011 001

Donc (5731)8 = (101111011001)2

V. 8 Conversion d’un nombre binaire en octal

Similaire à la conversion du binaire en hexadécimal

Exemple :

101 111 011 001

1*22+0*21+1*20 = 5 1*22+1*21+1*20 = 7 0*22+1*21+1*20 = 3 0*22+0*21+1*20 = 1

Donc (101111011001)2 = (5731)8

V. 9 Conversion d’un nombre octal en décimal

Similaire à la conversion du hexadécimal en décimal

Exemple :

(5732)8 = 5*83 + 7*8

2 + 3*8

1 + 2*8

0 = (3034)10

V. 10 Conversion d’un nombre d’une base b1 en une base b2

Ecrire un programme modulaire en Pascal, qui saisit un nombre d’une base B1 et le convertit en une

base B2 avec (2≤B1≤16 et 2≤B2≤16)


4) Résultat= écrire ("(", ch,") ", b1, "= (", FN conversion (ch, b1, b2), ")", b2)

3) B2= proc saisir (b2)

2) Ch= proc saisir (ch, b1)

1) B1= proc saisir (b1)

Algorithme du programme principal :

0) Début conversion 1) proc saisir (b1) 2) proc saisir (ch, b1) 3) proc saisir (b2) 4) écrire ("(", ch,") ", b1, "= (", FN conversion (ch, b1, b2), ")", b2) 5) Fin conversion


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b) Analyse de la fonction conversion

DEF FN conversion (ch : chaîne ; b1, b2 : entier) : chaîne

3) Résultat = conversion ph

2) Ph FN convb2 (n10, b2)

1) N10 FN conv10 (ch, b1)

c) Analyse de la fonction conv10 (convertit un nombre vers la base décimal)

DEF FN conv10 (ch : chaîne ; b1 : entier) : entier long

2) Résultat= conv10 n

1) N= [n0] pour i de long (ch) à 1 (pas=-1) Faire

Si ch[i] dans ["0".."9"] alors n n + (ord (ch[i])-48) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)

Sinon n n + (ord (ch[i])-55) * Fn puissance (b1, long (ch)-1)

Fin si

Fin pour

d) Analyse de la fonction convb2 (convertit un nombre décimal vers la base B2)

DEF FN convb2 (n1O : entier long ; b2 : entier) : chaîne

2) Résultat= convb2 ph

1) Ph= [ph""] répéter

R n mod b2

Si r ≤9 alors ph chr(r + 48) + ph

Sinon ph chr(r+55) + ph

Fin si

N10 N10 div b2

Jusqu’à (N10 = 0)

e) Analyse de la fonction puissance

DEF FN puissance (x, y : entier) : entier long

2) Résultat= puissance Z

1) Z= [Z 1] pour i de 1 à y faire

Z Z * x

Fin pour

Algorithme de la fonction convesrion 0) DEF FN conversion (ch : chaîne ; b1, b2 : entier) 1) N10 FN conv10 (ch, b1) 2) Ph FN convb2 (n10, b2) 3) conversion ph

4) fin conversion

Algorithme de la fonction conv10

0) DEF FN conv10 (ch : chaîne ; b1 : entier) : entier long 1) n0

Pour i de long (ch) à 1 (pas=-1) Faire Si ch[i] dans ["0".."9"] alors n n + (ord (ch[i])-48) * Fn puissance (b1, long (ch)-1) Sinon n n + (ord (ch[i])-55) * Fn puissance (b1, long (ch)-1) Fin si

Fin pour 2) conv10 n 3) Fin conv10

Algorithme de la fonction convb2 0) DEF FN convb2 (n1O : entier long ; b2 : entier) : chaîne

1) ph"" Répéter

R n mod b2 Si r ≤9 alors ph chr(r + 48) + ph Sinon ph chr(r+55) + ph Fin si N10 N10 div b2

Jusqu’à (N10 = 0) 2) convb2 ph 3) fin convb2


0) DEF FN puissance (x, y : entier) : entier long 1) Z 1 Pour i de 1 à y faire

Z Z * x Fin pour 2) puissance Z 3) Fin puissance


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Les algorithmes d'arithmetique