Les fondements de l’intervention publique en général

Les fondements de l’intervention publique en général

Evaluation normative générale X, un ensemble d’ états sociaux mutuellement

exclusifs État social: description complète de tous les aspects

pertinents d’une situation sociale. N un ensemble d’individus N = {1,..,n} indicés par i Exemple 1: X = +

n (l’ensemble des distributions de revenu)

Exemple 2: X = +nl (l’ensemble des allocations de l

biens (publics et privés) entre les n individus. i la préférence de l’individu i pour les états sociaux

dans X (préférence stricte: i , indifférence: i). i : réflexive, complète et transitive (un ordre). Question: Comment comparer les éléments de X sur la base

de leur « désirabilité normative » en « respectant » les préférences des individus ?

Evaluation normative générale Arrow (1950) a formulé le problème comme suit. Soit: (1 ,…, n) un profil de préférences

individuelles. l’ensemble de toutes les relations binaires sur X. , l’ensemble de tous les ordres sur X. D n, l’ensemble (domaine) de tous les profils de

préférences a priori admissibles. Problème (K. Arrow 1950): Trouver une « fonction

de décision collective » C: D qui associe à chaque profil (1 ,…, n) de préférences individuelles une relation binaire = C (1 ,…, n)

x y : « x est faiblement mieux que y d’un point de vue normatif lorsque les préférences individuelles sont (1 ,…, n)

Exemples de fonctions de décision collective ?

1: Dictature de l’individu h: x y si et seulement si x h y (pas très séduisant)

2: Classement a priori des états sociaux du point de vue d’un code exogène (ex: Charia). Supposons que le code exogène compare les états sociaux sur la base de l’ordre c (x c y : x (une femme conduit une voiture) est faiblement mieux que y (la femme ne conduit pas).

Dans cet exemple C(1 ,…, n)= c pour tous les profils (1 ,…, n).

N.B.: Même si tout le monde est convaincu que y est strictement préférable à x, le critère normatif (charia) dicte que x est mieux y.

Exemples de fonctions de décision collective

3: Règle de l’unanimité) (critère de Pareto): x y ssi x i y pour tout individu i.

Intéressant mais profondément incomplet (ne peut comparer deux états sociaux entre lesquels les individus sont en désaccord)

4: règle majoritaire. x y ssi #{i N: x i y} #{i N :y i x}. Très utilisée, mais ne donne pas toujours lieu à un classement transitif des états sociaux. (Paradoxe de Condorcet).

Paradoxe de Condorcet


Individu 1 Individu 2 Individu 3



MarineNicolasFrançois




NicolasFrançoisMarine





FrançoisMarineNicolas






Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas






Une majorité (1 et 3) préfère Marine à NicolasUne majorité (1 et 2) préfère Nicolas à François






Une majorité (1 et 3) préfère Marine à NicolasUne majorité (1 et 2) préfère Nicolas à FrançoisLa transitivité exigerait que Marine soit préférée socialement à François






Une majorité (1 et 3) préfère Marine à NicolasUne majorité (1 et 2) préfère Nicolas à FrançoisLa transitivité exigerait que Marine soit préférée socialement à François mais…






Une majorité (1 et 3) préfère Marine à NicolasUne majorité (1 et 2) préfère Nicolas à FrançoisLa transitivité exigerait que Marine soit préférée socialement à François mais…Une majorité (2 et 3) préfère strictement François à Marine

Exemple 5: règle « positionnelle » de Borda Définie que si X est fini. Pour chaque individu i et état social x, on

définit le « score de Borda» de x pour i par le nombre d’états sociaux que i considère comme (faiblement) pires que x.

La règle dite « de Borda » compare les états sociaux sur la base de la somme de ces scores de Borda individuels.

Illustrons cette règle par un exemple.

Règle de Borda


MarineNicolasJean-LucFrançois

NicolasFrançoisJean-LucMarine

FrançoisMarineNicolasJean-Luc

Règle de Borda


Marine 4Nicolas 3Jean-Luc 2François 1

Nicolas 4François 3Jean-Luc 2Marine 1

François 4Marine 3Nicolas 2Jean-Luc 1

Règle de Borda





Somme des scores de Marine = 8

Règle de Borda





Somme des scores de Marine = 8Somme des scores de Nicolas = 9

Règle de Borda





Somme des scores de Marine = 8Somme des scores de Nicolas = 9Somme des scores de François = 8

Règle de Borda





Somme des scores de Marine = 8Somme des scores de Nicolas = 9Somme des scores de François = 8Somme des scores de Jean-Luc = 5

Règle de Borda


Marne 4Nicolas 3Jean-Luc 2François 1




Nicolas est la meilleure alternative, suivie par Marineet François. Jean-Luc est la pire des alternatives

Règle de Borda






Problème: Le classement social de François, Nicolas et Marinedépend des préférences pour l’alternative (non-pertinente) Jean-Luc

Règle de Borda






Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le classement social de Marine et Nicolas!

Règle de Borda







Règle de Borda


Marine 4Jean-Luc 3Nicolas 2François 1

Nicolas 4François 3Marine 2Jean-Luc 1




Règle de Borda







Règle de Borda







Règle de Borda






Le classement social de Marine et Nicolas dépend des préférences individuelles pour Jean-Luc!

Peut-on trouver d’autres règles de décision collectives ?

Arrow (1950) a proposé une approche axiomatique à cette question.

Il a proposé 5 axiomes qui, d’après lui, devraient être satisfaits par toute règle de décision collective digne d’intérêt.

Il a démontré qu’il n’existait aucune règle qui satisfaisait ces 5 axiomes.

Ce théorème d’impossibilité est resté célèbre, en douchant d’eau glacée les espoirs, hérités des lumières, de pouvoir obtenir une définition satisfaisante de l’intérêt général en fonction des intérêts individuels.

5 propriétés désirables d’une règle de décision collective

1) Non-dictature. Il n’existe pas d’individu h dans N tel que, quels que soient les états sociaux x et y, et le profil de préférences (1 ,…, n) dans le domaine D, x h y implique x y (avec = C(1 ,…, n))

2) Rationalité Collective. Le classement social devrait être un ordre (i.e. l’image de C devrait être ) (violée par la règle de l’unanimité (complétude) et par la règle de la majorité (transitivité)

3) Domaine non-restreint. D = n (toutes les combinaisons logiquement concevables d’ordres de préférence individuels sont a priori possibles)

5 propriétés désirables d’une règle de décision collective

4) Principe faible de Pareto. Pour tous les états sociaux x et y, et pour tous les profils (1 ,…, n) D , x i y pour tous les individus i N doit impliquer x y (où = C(1 ,…, n) (violé par la règle de décision collective résultant d’un code exogène)

5) Indépendance binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes. Pour n’importe quels deux profils (1 ,…, n) et (’1 ,…, ’n) D et n’importe quels deux états sociaux x et y tels que x i y x ’i y pour tous les individus i, on doit avoir x y x ’ y où = C (1 ,…, n) et ’ = C (’1 ,…, ’n) Le classement social de x et y ne doit dépendre que des classements que font les individus eux-mêmes de x et y.

Théorème d’Arrow: Il n’existe pas de fonction de décision collective C: D qui vérifie les axiomes 1-5.

Tous les axiomes d’Arrow sont indépendants

La dictature de l’individu h satisfait Pareto, la rationalité collective, l’indépendance binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes et le domaine non-restreint mais viole la non-dictature.

Le classement des états sociaux sur la base d’un code traditionnel satisfait tous les axiomes d’Arrow autres que le principe faible de Pareto.

La règle majoritaire satisfait la non-dictature, Pareto, l’indépendance binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes et le domaine non-restreint mais viole la rationalité collective (tout comme la règle de l’unanimité).

La règle de Borda satisfait la non-dictature, Pareto, le domaine non-restreint et la rationalité collective mais viole l’indépendance binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes.

Nous verrons sous-peu qu’il existe des règles de décision collective qui viole le domaine non-restreint mais qui vérifient tous les autres axiomes d’Arrow.

Comment sortir du nihilisme du théorème d’Arrow ?

Stratégie naturelle: assouplir les axiomes Difficile d’assouplir la non-dictature. On peut peut être assouplir l’exigence que le

classement normatif des états sociaux soit un ordre (En particulier, on peut accepter qu’il soit « incomplet »)

On peut restreindre le domaine des profils de préférences a priori admissibles.

On peut assouplir l’indépendance par rapport aux alternatives non-pertinentes

Quid de Pareto ?

Assouplir le principe de Pareto ? (1) Non! diront spontanément les économistes, qui utilisent

le principe de Pareto comme critère d’efficacité. Pourtant, beaucoup d’économistes abusent du principe

de Pareto. Etant donné un ensemble A d’états sociaux dans X, un

état a est efficace dans A s’il n’existe pas d’autres états dans A que tout le monde préfère faiblement à a et qu’au moins un individu préfère strictement à a.

Abus fréquent: si a est efficace dans A et b ne l’est pas, alors a est normativement meilleur que b.

Autre abus (principe d’amélioration potentielle au sens de Pareto) a est normativement mieux que b s’il est possible de compenser les perdants du passage de b à a tout en conservant gagnants les gagnants!

Un seul usage est correct: Si tout le monde faiblement préfère x à y, alors x est normativement mieux que y.

Illustration: Boîte d’Edgeworth

A

B

xB2

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xA2

xB1

x

y

z

2

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A

B

xB2

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xA2

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x

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x est efficacez n’est pas efficace


A

B

xB2

xA1

xA2

xB1

x

y

z

x n’est pas mieuxque z du point devue du principede Pareto.


x est efficacez n’est pas efficace

A

B

xB2

xA1

xA2

xB1

x

y

z

y est mieux quez du point de vue du principe dePareto.


Devrait-on assouplir le principe de Pareto? (2)

Trois variantes de ce principe (qui vérifient toutes le fait que si x i y pour tous les individus i, alors x y)

Pareto faible: si x i y pour tout i N, alors x y. Pareto indifférence: si x i y pour tout i N, alors x y. Pareto fort: si x i y pour tout i N et x h y pour au

moins un individu h, alors x y. Sen (1970; J. Pol. E.) a formulé une critique restée célèbre du

Principe de Pareto: lorsque combiné avec l’hypothèse de domaine non-restreint, il entre en conflit avec des valeurs libérales largement acceptées (Paradoxe libéral).

Libéralisme minimal: un respect pour la « sphère personnelle » de l’individu (John Stuart Mills).

Exemple: x est un état social dans lequel Marie dort sur le dos et y est un état social identique à x à tout égard autre que le fait que, dans y, Marie dort sur le ventre.

Un libéralisme minimal exigerait, semble t-il, que Marie soit « dictateur » (décisif) dans toute décision impliquant un choix entre entre x et y.

Paradoxe libéral de Sen (1970) (1)

Libéralisme minimal: Il existe au moins deux individus h et i N, et quatre états sociaux (pas nécessairement distincts un à un) w, x,, y et z tels que h est décisif sur x et y et i est décisif sur w et z.

Théorème d’impossibilité de Sen: Il n’existe pas de fonction de décision collective C: D qui satisfait simultanément les axiomes de domaine non-restreint, de Pareto-faible et de libéralisme minimal.

Paradoxe libéral de Sen (1970) (2)

Preuve du théorème d’impossibilité de Sen Un roman: L’amant de Lady Chatterley. 2 individus: Prude et Libertin 4 états sociaux: tout le monde lit le roman (w), personne ne lit le

roman (x), Prude seulement lit le roman (y), Libertin seulement lit le roman (z).

Par l’axiome du libéralisme minimal, Prude est décisif sur x et y (et sur w et z) et Libertin est décisif sur x et z (et sur w et y)

Puisque le domaine est non-restreint, le profil où Prude préfère x à y et y à z et Libertin préfère y à z et z à x est possible.

Par libéralisme minimal (Prude est décisif sur x et y), x est socialement mieux que y et, par Pareto, y est socialement mieux que z.

Il s’ensuit par transitivité que x est socialement mieux que z malgré le fait que le libéralisme minimal aurait exigé un respect, par la société, de la préférence de Libertin pour z par rapport à x.

Le paradoxe libéral de Sen Indique un conflit possible entre libéralisme minimal et

respect des préférences individuelles lorsque le domaine dans lequel ces préférences peuvent être choisies n’est pas restreint a priori.

Lorsque les individus sont autorisés à avoir n’importe quelle préférence (y compris pour des états sociaux qui « ne les regardent pas »), il est impossible de respecter simultanément ces préférences (au sens faible de Pareto) et le principe libéral de la souveraineté de l’individu sur les éléments de sa « sphère personnelle ».

Le paradoxe libéral de Sen: s’attaque à la combinaison du principe de Pareto et de l’hypothèse de domaine non-restreint.

Il suggère donc que cette dernière hypothèse est peut être trop forte.

Restreindre le domaine des préférences (1)

Une possibilité: imposer des hypothèses structurelles additionelles sur l’ensemble X.

Exemple: X est l’ensemble de toutes les allocations de l biens (l > 1) entre les n individus (i.e. X = nl)

Dans ce cadre, il serait naturel d’imposer des hypothèses additionnelles sur les préférences individuelles.

Par exemples, les individus pourraient être égoïstes (ne s’intéresser qu’à leur panier, et pas à celui des autres), et pourraient avoir des préférences convexes, continues et localement non-saturables.

Malheureusement, très peu de restrictions de domaine de ce type (domaines « économiques ») ne permet de sortir des conclusions négatives du théorème d’Arrow.

Restreindre le domaine des préférences (2)

Une restriction classique: unimodalité (single-peakedness) Supposons qu’il existe un ordre universellement reconnu R

(avec facteur asymétrique P) sur l’ensemble X d’états sociaux (e.g. la position des politiques sur un axe gauche droite, le caractère élevé ou non d’un taux d’impôt, etc.)

Un ordre de préférence individuel i est unimodal pour R si, pour n’importe quels trois états x, y et z tels que x P y P z , x i z y i z et z i x y i x

Un profil de préférences (1 ,…, n) est dit unimodal s’il existe un ordre R par rapport auquel chaque préférence individuelle du profil est unimodale.

Dsp n l’ensemble de tous les profils unimodaux. Théorème (Black 1947) Si le nombre d’individus est impair et si

D = Dsp , il existe des fonctions de décision collective C: D autre que la dictature d’un individu qui satisfait Pareto et l’indépendence binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes. La règle majoritaire est l’une d’entre elles.

Préférences unimodales ?

gauche droiteJean-Luc François Nicolas

Unimodale


Unimodale



unimodale



unimodale



Pas unimodale



Pas unimodale


Commentaires sur le théorème de Black

Très utilisé en économie publique. Dans chaque ensemble d’états sociaux où

chaque individu a au plus un état favori, l’état social qui est préféré à tout autre par une majorité d’individus (gagnant de Condorcet) est l’état social favori de l’individu médian (par rapport à l’ensemble des états sociaux favoris)(théorème dit de l’électeur médian)

Remarquer la condition sur la (non) parité du nombre d’individus.

Assouplir l’indépendence binaire par rapport aux alternatives non-pertinentes ? Justification de cet axiome: parcimonie de

l’information utilisée. La règle de De Borda viole cet axiome. Dans des domaines économiques, on trouve

beaucoup de critères d’évaluation sociale qui violent cet axiome, mais qui satisfont tous les autres axiomes d’Arrow.

Exemple célèbre: le surplus agrégé du consommateur.

Surplus agrégé du consommateur ?

X = +nl (ensemble de toutes les

allocations de l biens entre n individus). xi +

l : le panier de l’individu i dans x. i, un ordre continu, convexe, monotone

croissant et égoïste sur +nl

Egoïsme: pour tout i N, w, x, y et z +nl

tels que wi = xi et yi = zi, x i y w i z L’égoïsme implique que nous pouvons

concevoir les préférences individuelles comme n’étant définie que sur +

l

Les individus évoluent dans un environnement concurrentiel. L’individu i: confronté aux prix p =(p1,….,pl) et dispose d’une

richesse de wi. B(p,wi)={x +

l :p.x wi } (Ensemble de budget) La préférence i de i sur +

l induit la préférence (indirecte) Ii sur

toutes les paires de configuration de prix et de richesse (p,w) +l+1 par:

(p,w) Ii (p’,w’) pour tout x’ B(p’,w’), il existe un x B(p,w) pour lequel

x i x’. Ui: +

l , une représentation numérique de i (Ui(x) Ui (y) x i y) (elle existe en vertu du théorème de Debreu (1954); elle est unique à une transformation croissante près)

Vi: +l+1 une représentation numérique de I

i. Vi(p,wi) : « l’utilité maximale obtenue par i lorsque que confronté aux prix

p +l avec une richesse de wi »

Problème d’analyse coût-bénéfice appliquée: Comparer des configurations alternatives de prix et de richesse.


Une représentation monétaire des préférences Pour toute configuration de prix p +

l et tout niveau u d’utilité, on definit E(p,u) par:

uxxUtosubjectxpupE l

l

jjjxx l

),...(min),( 11,...1

E(p,u) associe, à tout niveau u d’utilité le montant minimalde dépense nécessaire, aux prix p, pour atteindre ce niveau d’utilité.

Cette fonction (de dépenses) est croissante par rapport à l’utilité Étant donnés les prix.. Elle fournit pour cette raison Une représentation numérique (en unités monétaires) despréférences.



)),(,(),,( wqVpEwqp

= «la dépense requise aux prix p pour atteindre lasatisfaction obtenue aux prix q avec un revenu de w. »

Mesure monétaire directe:

))(,(),( xupExp =« la dépense requise aux prix p pour avoir le niveau de satisfaction atteint avec le panier x »

Mesure monétaire indirecte:

Les mesures monétaires dépendent des prix deréférence!


uxxUtsxpupxupx l

l

jjjxx

HH

l

),...,(..minarg)),(),...,,(( 11),...,(11

1

Fonctions de demande Hicksiennes (compensées) (dépendent d’un niveau inobservable d’utilité)

Ces mesures monétaires de l’utilité sont liées aucomportement de demande du consommateur (observable)

)(maxarg)),(),...,,((),(1 xuwpxwpx

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Ml

M

Fonctions de Demande Marshallienne (ordinaires)

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Mj

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Six identités importantes (valides pour tout p +l, w + et u ):

(1)

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Hj (4)

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(5) Identité de Roy

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(6) Lemme de Sheppard



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Application répétée du lemme de Sheppard

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Illustration avec un bien et un prixprix

quantité

demande Hicksienne

pj’

pj

Surplus =aire pj’abpj

ni=1xHi

j(p1,…,pj-1,pj’,p’j+1,…,p’l,ui’) ni=1xHi

j(p1,…,pj-1,pj,p’j+1,…,p’l,ui’)

a

b

Surplus agrégé du consommateur ? D’habitude évalué à partir des demandes

Marshalliennes plutôt qu’Hicksiennes. Surplus Marshallien ne mesure pas la variation de la

satisfaction du consommateur d’un individu mais est une approximation de deux surplus Hicksiens: Celui calculé aux prix p (variation équivalente) et celui calculé aux prix p’ (variation compensatrice) (voir Willig (1976), AER, « consumer’s surplus without apology).

Très utilisé en économie du bien être appliquée.

Le surplus agrégé du consommateur est-il une fonction de décision collective ?

Il viole légèrement l’hypothèse de domaine non-restreint (il est défini pour tous les profils d’ordre de préférences égoïstes, convexes, monotones et continues sur +

nl mais pas pour tous les profils d’ordres de préférences quelconques) (violation peu importante).

Il satisfait la non-dictature et Pareto. Il satisfait la rationalité collective si les prix de

références utilisé dans l’évaluation monétaire de la satisfaction ne changent pas d’un état à l’autre.

Il viole l’indépendance par rapport aux alternatives non-pertinentes.

Justification éthique ? (voir Chambers & Hayashi, SCW, 2012)

Agrégation d’indicateurs numériques de bien être individuel

Que signifie dire que Bob préfère l’état x à l’état y ? La théorie économique n’est pas très explicite dans son

interprétation des préférences. Une préférence: un classement (complet et transitif) des

états sociaux qui reflète l’« objectif » ou l’«intérêt » de l’individu et/ou qui rationalise ses choix.

Définition + précise: les préférences reflètent le « bien être » individuel (son bonheur, sa joie, sa satisfaction, etc.)

Qu’arrive-t-il si l’on conçoit le problème de définir l’intérêt général comme une fonction des « bien êtres » (plutôt que des préférences) individuels?

Tradition philosophique: Utilitarisme (Epicure, Beccaria, Hume, Bentham). La justice sociale doit viser le bien être ou le bonheurs social maximal.

Qu’est-ce que le bonheur ? Approche objective: le bonheur est un état mental

objectif. Approche subjective: Le bonheur est le degré de

satisfaction des désirs. Voir James Griffin « Well being: Its meaning,

measurement and moral importance », London, Clarendon 1988

Le bonheur peut-il être mesuré ? Le bonheur peut-il être comparé entre les individus? Si des réponses positives sont données à ces deux

questions, comment devrait-on agréger ces bonheurs individuels ?

Peut-on mesurer le bien être ? (1) Supposons que i soit un ordonnancement des

états sociaux en fonction du bien-être de i. Peut-on « mesurer » ce bien-être ? Dans un sens (faible) ordinal, la réponse est oui!

(si l’ensemble X est dénombrable ou, si X est un sous-ensemble fermé et convexe de +

nl , si i est continu (Debreu (1954))

Soit Ui: X une représentation (mesure) numérique de i

Ui est tel que, pour tout x et y dans X, Ui(x) Ui(y) x i y

Peut-on mesurer le bien-être ? (2) Mesure ordinale du bonheur: définie à une transformation

croissante près. Définition: g: A (où A ) est une fonction croissante si,

pour tout a, b A, a > b g(a) > g(b) Si Ui est une mesure numérique de i, et si g: IM(Ui) est

une fonction croissante, alors la fonction h: X définie par: h(x) = g(Ui(x)) est également une mesure numérique de i

Exemple : Si i est un classement des éléments de +2 défini

par: (x1,x2) i (y1,y2) lnx1 + lnx2 lny1 + lny2 , alors les fonctions définies, pour tout (z1,z2), par:

U(z1,z2) = lnz1 + lnz2 G(z1,z2) = e U(z1,z2) = elnz1elnz2 = z1z2 H(z1,z2) = -1/G(z1,z2) = -1/(z1z2) Sont toutes des mesures numériques de i

Peut-on mesurer le bien être ? (3) Les 3 fonctions de l’exemple précédent sont toutes

« ordinalement équivalentes ».. Définition: Une fonction U est dite ordinalement

équivalente à une fonction G (les 2 fonctions ayant X comme domaine) si, pour une certaine fonction croissante g: IM(G) , on aU(x) = g(G(x)) pour tout x X

Remarque: l’équivalence ordinale est une relation symétrique (si g : est croissante, alors son inverse est également croissante).

Mesure ordinale du bien être est faible (ou imprécise) parce qu’un grand nombre de fonctions équivalentes fournissent la même information sur le bien être.

Peut-on mesurer le bien être ? (4) Une mesure ordinale de bien-être ne permet pas de

formuler des énoncés sur des variations de bien être. Par exemple, un énoncé comme « Ma première bière

augmente d’avantage mon plaisir que ma seconde bière » n’a aucune signification dans une mesure ordinale du bien être.

preuve: soient a, b et c les alternatives dans lesquelles je bois, respectivement, 0 bières, 1 bière et 2 bières.




preuve: soient a, b et c les alternatives dans lesquelles je bois, respectivement, 0 bières, 1 bière et 2 bières. Si U est une fonction qui mesure ordinalement mon bien être, l’énoncé « j’obtiens plus de plaisir de ma première bière que de ma seconde » s’écrit:

U(b) – U(a) > U(c)-U(b) [U(a) + U(c)]/2 > U(b)




preuve: soient a, b et c les alternatives dans lesquelles je bois, respectivement, 0 bières, 1 bière et 2 bières. Si U est une fonction qui mesure ordinalement mon bien être, l’énoncé « j’obtiens plus de plaisir de ma première bière que de ma seconde » s’écrit:

U(b) – U(a) > U(c)-U(b) [U(a) + U(c)]/2 < U(b) Or ce dernier énoncé n’est pas préservé par toute

transformation croissante de U.

Peut-on mesurer le bien être ? (4) Une mesure ordinale de bien-être ne permet pas de formuler

des énoncés sur des variations de bien être. Par exemple, un énoncé comme « Ma première bière


preuve: soient a, b et c les alternatives dans lesquelles je bois, respectivement, 0 bières, 1 bière et 2 bières. Si U est une fonction qui mesure ordinalement mon bien être, l’énoncé « j’obtiens plus de plaisir de ma première bière que de ma seconde » s’écrit: U(b) – U(a) > U(c)-U(b) [U(a) + U(c)]/2 < U(b)

Or ce dernier énoncé n’est pas préservé par toute transformation croissante de U. U(b) > [U(c)+U(a)]/2 n’implique pas g(U(b)) > [g(U(c))+g(U(a))]/2 pour toute fonction croissante g: .

Peut-on mesurer le bien être ? (4) Une mesure ordinale de bien-être ne permet pas de formuler

des énoncés sur des variations de bien être. Par exemple, un énoncé comme « Ma première bière


preuve: soient a, b et c les alternatives dans lesquelles je bois, respectivement, 0 bières, 1 bière et 2 bières. Si U est une fonction qui mesure ordinalement mon bien être, l’énoncé « j’obtiens plus de plaisir de ma première bière que de ma seconde » s’écrit: U(b) – U(a) > U(c)-U(b) [U(a) + U(c)]/2 < U(b)

Or ce dernier énoncé n’est pas préservé par toute transformation croissante de U. U(b) > [U(c)+U(a)]/2 n’implique pas g(U(b)) > [g(U(c))+g(U(a))]/2 pour toute fonction croissante g: . Par exemple 3 > (4+1)/2 n’implique pas 33 > (43+13)/2

Peut-on mesurer le bien être ? (5) Mesure plus forte: cardinale. Supposons que U: X and G: X soient deux

fonctions qui mesurent le bien être. On dit que ces deux fonctions sont cardinalement équivalentes si et seulement si il existe un nombre réel a et un nombre réel strictement positif b tels que, pour tout x X, U(x) = a + bG(x).

On dit d’une mesure cardinale du bien être qu’elle est unique à une transformation affine croissante près

Des énoncés sur les variations de bien être peuvent être formulés avec une mesure cardinale.

Si U(x)-U(y) > U(w)-U(z), alors (a+bU(x)-(a+bU(y)) = b[U(x)-U(y)] > b[U(w)-U(z)] (si b > 0)

= (a + bU(w)-(a+bU(z))

Peut-on mesurer le bien être? (6) Exemple de mesure cardinale en sciences

physiques: la température. Elle est mesurée par différentes échelles (Kelvin, Celsius, Farenheit)

Supposons que U(x) soit la température de x en Celcius. Alors G(x) = 32 + 9U(x)/5 est la température de x en Farenheit et H(x) = -273 + U(x) est la température de x en Kelvin

Avec une mesure cardinale, les unités et l’origine (le « zéro ») sont arbitraires mais une différence de valeurs (hauteur d’une colonne de mercure) ne l’est pas.

Peut-on mesurer le bien être (7) La mesure peut être plus précise que cardinale. La

mesure de l’âge par exemple requiert qu’un point d’origine commun des objets mesurés soient défini. L’âge est mesurée d’une façon qui préserve l’échelle de ratio.

Si U(x) est l’âge de x en années, alors G(x) = 12U(x) est l’âge de x en mois et H(x) = U(x)/100 est l’âge de x en siècles.

Un énoncé comme « mon bonheur aujourd’hui est un tiers de ce qu’il était hier » a un sens si le bonheur est mesurée par une fonction qui préserve l’échelle de ratio.

Les fonctions U: X et G: X sont équivalentes en terme d’échelle de ratio s’il existe un nombre b strictement positif tel que, pour tout x X, U(x) = bG(x).

Peut-on mesurer le bien être ? (8) Remarquons que la précision de la mesure est une

fonction décroissante de la « taille » de la classe de fonctions considérées comme équivalentes.

Mesure ordinale: n’est pas très précise parce que la classe des fonctions qui fournissent la même information sur le bien être est très large (elle contient toutes les fonctions qui résultent l’une de l’autre par la composition avec une transformation croissante). Mesure cardinale est plus précise parce que la classe des fonctions qui fournissent la même information sur le bien être est celle des fonctions obtenues l’une de l’autre au moyen d’une transformation croissante affine.

Mesure d’échelle de ratio est encore plus précise car les fonctions de mesures équivalentes sont celles reliées par des transformations croissantes linéaires. .

Peut-on mesurer le bien être ? (9) Quel type de mesure du bien être est disponible ? La mesure ordinale est « facile » à obtenir: il suffit

d’observer l’individu faire des choix dans différentes circonstances, et de supposer que ces choix visent la recherche du plus grand bonheur. Si ces choix satisfont des axiomes de « préférence révélée, ils « révèleront alors un ordre de classement des objets sur la base du bonheur qu’ils procurent qui peut alors être numériquement mesuré (à la Debreu).

Mesure cardinale: semble plausible par introspection. Mais nous ne disposons pas d’un étalon de mesure d’une différence de bien être qui soit aussi reconnue que la différence de position d’une colonne de mercure entre les points de congélation et d’ébullition de l’eau.

Mesure de ratio d’échelle: encore plus exigeant. Il suppose l’existence d’un niveau nul de bonheur (au dessus, vous êtes « heureux » et, en dessous, malheureux). Pas exclu, mais difficile à calibrer. Niveau auquel l’individu est indifférent entre continuer à vivre et mourir ?

Peut-on définir l’intérêt général en fonction des bonheurs indiviuels ? Comme avant, nous supposons une communauté fixée

de n individus Ui: X une fonction (d’utilité) qui mesure le bien être de

l’individu i dans les divers états sociaux. (U1 ,…, Un): Un profil de fonctions d’utilités individuelles. l’ensemble de toutes les fonctions d’utilité logiquement

concevables sur X DU n le domaine des profils « plausibles » de fonctions

d’utilité. Une fonctionnelle de bien être social est une règle W:

DU qui associe à tout profil (U1 ,…, Un) de fonctions d’utilité une relation binaire R = W(U1,…,Un))

Problème: trouver une « bonne » fonctionnelle de bien être social ?

Exemples de fonctionnelles de bien être social

Utilitarisme: x R y iUi(x) iUi(y) où R = W(U1,…,Un) x est au moins aussi bien que y si la somme des bonheurs est

(faiblement) plus grande avec x qu’avec y. Théorie éthique très ancienne et vénérable: Epicure,

Beccaria, Bentham, Hume, Stuart Mills. Max-min (Rawls): x R y min (U1(x),…, Un(x)) min (U1(y),…,

Un(y) où R = W(U1,…,Un) x est faiblement mieux que y si la personne la plus

malheureuse dans l’état x est faiblement plus heureuse que la personne la plus malheuse dans l’état y.

Comparons l’utilitarisme et le max-min.

u2

u1

u1 = u2

Ensemble des utilités possibles

Comparons l’utilitarisme et le max-min.u2

u1

u1 = u2

u

u

u’

u’-1

Optimum utilitariste

Comparons l’utilitarisme et le max-min. u2

u1

u1 = u2

u

u

u’

u’-1

optimum Max-min

Comparer l’utilitarisme et le max-minu2

u1

u1 = u2

optimum Max-min

Optimum utilitariste

Meilleure distribution égalitaire.

Comparer l’utilitarisme et le max-min Les critères du Max-min et de l’utilitarisme satisfont le

principe faible de Pareto (ils recommanderont toujours des politiques qui améliorent le bien être de tous – y compris le plus mal loti).

Le Max-min est le plus égalitaire des critères qui vérifient le principe faible de Pareto.

Max-min ne vérifie pas le principe fort de Pareto (Max min ne trouve pas strictement bonne une politique qui améliore le bien être de tout le monde sauf celui du plus mal loti.

L’utilitarisme est neutre vis-à-vis de l’inégalité des bonheurs. Il ne se soucie que de la somme, pas de la manière avec laquelle celle-ci est distribuée.

Exemples de fonctionnelles de bien être social

L’utilitarisme et le Max-min sont des cas particuliers (et extrêmes) d’une famille plus générale de fonctionnelles de bien être social.

Famille dite de « moyenne d’ordre r (pour un nombre réel r ) x R y [iUi(x)r]1/r [iUi(y)r]1/r si r 0 et x R y ilnUi(x) ilnUi(y) autrement (où R = W(U1,…,Un))

si r =1, utilitarisme si r -, se rapproche du Max-min r 1 si et seulement si la fonctionnelle éprouve

de l’aversion à l’inégalité des bonheurs.

Moyenne d’ordre r u2

u1

u1 = u2

r=1

r=0

u2

u1

u1 = u2

r=1

r=0

Moyenne d’ordre r

u2

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u1 = u2

r=1

r=0

r =-

Moyenne d’ordre r

u2

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u1 = u2

r=1

r=0

r =-

Moyenne d’ordre r

u2

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u1 = u2

r=1

r=0

r =-

r=+

Moyenne d’ordre r

u2

u1

u1 = u2

r=+Courbe d’indifférence Max-max (extrême droite)

Moyenne d’ordre r

Extensions du Max-min La fonctionnelle Max-min ne respecte pas le

principe fort de Pareto. Il existe une extension (due à Kolm 1972) du

principe du Max-min qui satisfait ce principe. Lexi-min: x R y il existe un individu h N tel

que U(h)(x) U(h)(y) and U(i’)(x) = U(i’)(y) for all i’ < h où, pour tout z X, (U(1)(z),…,U(n)(z)) est la permutation ordonnée de (U1(z),…,Un(z)) telle que U(i+1)(z) U(i)(z) pour tout i = 1,…,n-1 (avec R = W(U1,…,Un))

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social Lorsqu’on définit une fonctionnelle de bien être

social, il est important de spécifier l’information sur les fonctions d’utilité individuelles qui est utilisée.

L’utilité individuelle est-elle mesurée de manière ordinale, cardinale ou par une échelle de ratio ?

Les informations fournies par les fonctions d’utilité individuelles sont-elles comparables entre individus ?

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social (ordinal)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information Ordinale et Non-Comparable (ONC) sur le bien être individuel si pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = gi(Gi) pour des fonctions croissantes gi: (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information Ordinale et Comparable (OC) sur les bien être individuels si, pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = g(Gi) pour une certaine fonction croissante g: (pour i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social (cardinal)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information Cardinale and Non-Comparable (CNC) sur le bien être individuel si pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = aiGi+bi pour des nombres réels strictement positifs ai et des nombres réels bi (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information Cardinale aux Unités Comparables (CUC) sur le bien être individuel si, pour tous les profils tels que (U1,…Un) and (G1,…,Gn) DU tels que Ui = aGi+bi pour un nombre réel strictement positif a et des nombres réels bi (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information Cardinale et Pleinement Comparable (CPC) sur le bien-être individuel si, pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = aGi+b pour des nombres réels a et b (avec a strictement positif) (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social (échelle de ratio)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information d’Echelle de Ratio Non-Comparable (ERNC) sur le bien être individuel si, pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = aiGi pour des nombres réels strictement positifs ai (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Une fonctionnelle de bien être social W: DU utilise une information d’Echelle de Ratio Comparable (ERC) sur le bien être individuel si, pour tous les profils (U1,…Un) et (G1,…,Gn) DU tels que Ui = aGi pour un nombres réel strictement positif a (i = 1,…n), on a W (U1,…Un) = W(G1,…,Gn)

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social

Il existe des liens logiques entre ces diverses exigences informationnelles.

De fait ONC CNC CUC CPC ERC, OC CPC Il est cependant important de noter que CUC n’implique pas

et n’est pas impliqué par OC. Quelle information sur le bien être individuel est utilisée par

les exemples donnés plus haut de fonctionnelles de bien être ?

Information utilisée par une fonctionnelle de bien être social

Max-min, Max-max, lexi-min, lexi-max utilisent toutes de l’information OC.

Utilitarisme: utilise de l’information CUC Moyenne d’ordre r: utilise de l’information ERC. Quelles sont les fonctionnelles de bien être social que l’on

peut obtenir sous différentes hypothèses de mesurabilité et comparabilité des bien êtres individuels ?

Propriétés désirables d’une fonctionnelle de bien être social

1) Non-dictature. Il n’existe pas d’individu h dans N pour lequel, quelque soient les états x et y, et le profil de fonctions d’utilité (U1,…,Un) DU, Uh(x) > Uh(y) implique x P y (où P est le facteur asymétrique de R = W(U1,…,Un))

2) Rationalité collective. Le classement social produit par la fonctionnelle doit être réflexif, complet et transitif (en clair: l’image de W est )

3) Domaine non restreint. DU = n (toutes les combinaisons de fonctions d’utilité logiquement concevables sont à priori possibles)

Desirable properties on the Social Welfare Functional

4a) Strong Pareto. For all social states x and y, for all profiles (U1,…,Un) DU , Ui(x) Ui(y) for all i N and Uh(x) > Uh(y) for some h should imply x P y (where R = W(U1,…,Un))

4b) Pareto Indifference. For all social states x and y, for all profiles (Ui,…,Un) DU , Ui(x) = Ui(y) for all i N implies x I y (where R = W(U1,…,Un))

5) Binary independance from irrelevant alternatives. For every two profiles (U1,…,Un) and (U’1,…,U’n) DU and every two social states x and y such that Ui(x) = U’i(x) and Ui(y) = U’i(y) for all i, one must have x R y x R’ y where R = W(U1,…,Un)) and R’ = W(U’1,…,U’n))

Lemme bien êtriste: Si une fonctionnelle de bien être social W vérifie 2, 3, 4b et 5, il existe un ordre R* sur n (l’ensemble des distributions de niveaux d’utilité) tel que pour tous les profils (U1,…,Un) DU, x R y (U1(x),…,Un(x)) R* (U1(y),…,Un(y)) (avec R = W(U1,…,Un))

Lemme bien-êtriste Très puissant: la seule information qui importe pour la

comparaison des états sociaux est celle qui concerne les niveaux d’utilité atteints dans ces états.

Le classement des états sociaux peut donc être représenté par un classement des vecteurs de niveaux d’utilité associés à ces états (deux états qui génèrent la même distributions de niveaux d’utilité sont équivalents).

Ce lemme peut être utilisé pour vérifier si les conclusions négatives du théorème d’Arrow sont affectées par remplacement de l’information sur les préférences individuelles par celle sur le bien être individuel.

Evidemment, le résultat de cette vérification dépendra de la précision de l’information disponible sur le bien être individuel.

Conséquence éthique du lemme bien êtriste Seule la distribution des bonheurs importe, pas les

mécanismes qui l’ont généré. Exemple: Pierre et Iara. État x: Pierre ne viole pas Iara et a un revenu de 2, Iara

a un revenu de 10. utilités: (3,12) Etat y: Pierre ne viole pas Iara et a un revenu de 4, Iara

a un revenu de 8. utilités (9,10) Etat z, Pierre viole Iara et a un revenu de 2, Iara (violée)

a un revenu de 10. utilités (9,10) Bien êtrisme: z et y sont indistinguables!!! Seule la distribution des bonheurs importe, pas la

manière avec laquelle la distribution a été produite.

L’impossibilité Arrovienne demeure si le bien être n’est pas comparable entre individus

Théorème: si une fonctionnelle de bien être social W: DU satisfait les conditions 2-5 et n’utilise qu’une information CNC ou ONC sur les bien êtres des individus, alors W est dictatoriale.

Proof: Diagrammatique (utilise le lemme du welfarisme, et illustrée pour deux individus)

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Mieux queu par Pareto

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Pire queu par Pareto

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Par CNC, tous les pointsdans C sont classés de la même manière vis-à-vis u

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a

b

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Le classement social de a =(a1,a2) et u=(u1,u2) doit être le même que le classement social de (1a1+1, 2a2+2) et (1u1+1, 2u2+2) pour tous les nombres i > 0 et i (i = 1, 2).

En prenant i = (ui-bi)/(ui-ai) > 0 et i = ui(bi-ai)/(ui-ai), ceci implique que le classement social de b=(1a1+1, 2a2+2) et u=(1u1+1, 2u2+2) doit être le même que le classement social de a et u.

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Tous les points icisont égalementclassés de la même manière vis-à-vis u

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Meilleur queu par Pareto

pire queu par Pareto

a

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Tous les points icisont classésde la même manière vis-à-vis de u

par Pareto, a et bne peuvent pas être indifférents à u(et à eux mêmespar transitivité)

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C

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par CNC, le classement (strict) de la région Cvis-à-vis de u doit être l’opposé du classement (strict) de D vis-à-vis de u

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C

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Dd

c

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Le classement social de c =(c1,c2) et u =(u1,u2) doit être le même que le classement social de (1c1+1, 2c2+2) et (1u1+1, 2u2+2) pour tout nombre i > 0 et i (i = 1, 2).

En choisissant i = (di-ui)/(ui-ci) > 0 et i = (u2

i-dici)/(ui-ci), ceci implique que le classement social de u = (1c1+1, 2c2+2) et d = (1u1+1, 2u2+2) doit être le même que le classement social de c et u.

Si c est mieux que u, d est pire que u et si c est pire que u, d est mieux que u.

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Pire

Mieux



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Pire

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Pire

Mieux

L’individu 1est dictateur

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Mieux

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Mieux

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L’individu 2est dictateur

Morale de l’histoire

Le théorème d’Arrow est résistant au remplacement des préférences par le bien être individuel si celui-ci n’est pas comparable entre les individus (noter que la mesurabilité cardinale du bien être n’est d’aucun secours).

Question ouverte: Que se passe-t-il si le bien être n’est pas comparable entre individus mais est mesurable par une échelle de ratio ?

Le lemme du bien êtrisme permet de fournir une élégante intuition géométrique du problème (voir Blackorby, Donaldson and Weymark (1984), International Economic Review.

La généralisation à n individus est aisée.

Autoriser la comparabilité interindividuelle du bien être mesuré de manière ordinale

Un renforcement de l’exigence de non-dictature: L’Anonymat Une fonctionnelle de bien être social W est anonyme si, pour

n’importe quels deux profils (U1,…,Un) et (U’1,…,U’n) DU tels que (U1,…,Un) est une permutation de (U’1,…,U’n), elle vérifie R = R’ (où R = W(U1,…,Un)) et R’ = W(U’1,…,U’n))

La dictature de l’individu h n’est évidemment pas anonyme. En vertu du théorème précédent, on ne peut donc pas trouver de

fonctionnelle de bien être social anonyme qui utilise une information ONC ou CNC sur le bien être individuel vérifiant les axiomes 2)-5).

Nous allons maintenant montrer que cette impossibilité disparaît si nous autorisons les comparaisons du bien être entre individus lorsque ce bien être est mesuré de manière ordinale.

De façon précise, nous allons montrer que les fonctionnelles de bien être social qui utilisent de l’information OC sur le bien être individuel sont toutes des dictatures positionnelles

Dictatures Positionnelles ? Une fonctionnelle de bien être social W est une dictature

positionnelle s’il existe un rang r {1,…,n} tel que, quels que soient les deux états sociaux x et y considérés et le profil (U1,…,Un) de fonctions d’utilité, U(r)(x) > U(r)(y) x P y où R = W(U1,…,Un) et où, pour tout état z X, (U(1)(z),…,U(n)(z)) est la permutation ordonnée de (U1(z)…,Un(z)) telle que U(i)(z) U(i+1)(z) pour i = 1,…,n-1.

Max-min et Lexi-min sont des dictatures positionnelles (pour r = 1). Tout comme Max-max (r = n). Une autre dictature positionnelle serait celle du plus petit entier faiblement plus grand que n/2 (dictature du « médian »)

La définition de la dictature positionnelle ne précise le classement social que lorsque le dictateur positionnel a une préférence stricte. Ne dit rien sur le classement social lorsque le dictateur positionnel est indifférent.

Les critères du Lexi-min et du Maxi-min sont donc deux dictatures positionnelles (du rang r = 1) distinctes.

Un théorème nouveau:

Théorème: Une fonctionnelle de bien être social W: DU est anonyme, satisfait les axiomes 2-5 et utilise une information OC sur les bien êtres individuels si et seulement si W est une dictature positionnelle.

Remarques sur ce théorème Si on élimine l’exigence d’anonymat, on obtient également

les autres formes (y compris non-anonymes) de dictature. La démonstration de ce résultat est quelque peu lourde (voir

Gevers, Econometrica (1979) et Roberts R. Eco. Stud. (1980).)

La dictature positionnelle du Max n’est pas très séduisante sur le plan éthique. Pouvons nous l’éliminer ?

Oui si on impose l’ axiome « d’équité minimale » d’Hammond (Econometrica, 1976).

Une fonctionnelle de bien être social W vérifie le principe d’équité minimale d’Hammond si, pour tout profil (U1,…,Un) de fonctions d’utilité et toute paire d’états sociaux x et y pour lesquels il existe deux individus i et j tels que Uh(x) = Uh(y) pour tous les individus h tels que h i, j, et Uj(y) > Uj(x) > Ui(x) > Ui(y), on a x P y avec R = W(U1,…,Un)).

Le théorèùe du Lexi-min:

Théorème: Une fonctionnelle de bien être social W: DU est anonyme, vérifie les axiomes 2-5, utilise une information OC sur les bien être individuels et vérifie le principe d’équité minimal d’Hammond si et seulement si cette fonctionnelle est le Lexi-min .

Mesurabilité cardinale avec unités comparables

Théorème: Une fonctionnelle de bien être sociale W: DU est anonyme, satisfait aux conditions 2-5 et utilise une information cardinale à unités comparables sur le bien être individuel si et seulement si elle est utilitariste.

Remarques sur ce théorème Si on retire l’anonymat de la liste des

propriétés requises, on obtient la famille plus large des fonctionnelles dites utilitaristes asymétriques (Le classement social R est défini par: x R y iNiUi(x) iNiUi(y) pour des nombres réels non-négatifs i (i = 1,…,n) (ils sont strictement positifs si l’axiome Pareto fort est vérifié).

Notons que si le principe Pareto faible est requis (certains i peuvent être nuls), cette famille de classements sociaux contient les dictatures standards (pas surprenant)!

Décision publique sous information asymétrique

Nous avons supposé jusqu’ici que l’information nécessaire à la décision (relative aux préférences ou aux fonctions d’utilité individuelles) était disponible à l’autorité publique.

Cette hypothèse est évidemment forte. L’une des grandes difficultés que pose la décision

publique tient précisément au fait que l’information pertinente à cette décision n’est pas aisément disponible .

Quelle est la disposition à payer des individus pour la protection policière, la dépollution, l’éducation, etc. ?

Comment l’autorité publique peut-elle prendre des décisions lorsqu’elle ne connaît pas les préférences ou les fonctions d’utilité individuelles ?

Décision publique sous information asymétrique X : l’ensemble des états sociaux concevables. A, a sous-ensemble (menu) de X D n, le domaine des préférences

individuelles possibles. Une correspondance de choix social est une

règle C: D A qui associe à chaque profil de préférences (R1 ,…, Rn) D un ensemble C (R1 ,…, Rn) d’états sociaux « socialement optimaux » dans A.

Une correspondance de choix social est appelée fonction si # C (R1 ,…, Rn) =1 pour tous les profils (R1 ,…, Rn) D.

Exemple d’une correspondence de choix social qui n’est pas une fonction X = nl

+ (ensemble de toutes les allocations de l biens entre n individus)

A = {x nl+ : x1j+…+xnj j pour j = 1,…,l} pour un certain l

+ (une boîte d’Edgeworth)

D: l’ensemble de toutes les profils de préférences égoïstes, continues, monotones croissantes et convexes.

Correspondence de Pareto C: D A définie par: C (R1 ,…, Rn) = {x A : z Pi x pour un i N et un certain z A h

N t. q. x Ph z}. La correspondence de Pareto sélectionne toutes les allocations

de A qui sont efficaces au sens de Pareto dans cet ensemble pour le profil de préférences (R1 ,…, Rn). Cet ensemble d’allocations dépend évidemment de ce profil de préférences.

Exemple d’une fonction de choix social (1) A = {François, Marine, Nicolas} Une fonction de choix social: le scrutin uninominal

majoritaire à deux tours. 1er tour: on choisit les deux alternatives qui sont les

favorites d’une majorité d’individus (si aucune de ces alternatives n’est favorite pour une majorité absolue d’individus).

2e tour: on choisit l’alternative qui bat l’autre par une majorité de votes (les éventuels ex aequo sont séparés par une mécanisme exogène quelconque).

Par exemple, supposons que n = 5 et que le profil (R1, R2, R3, R4 ,R5) de préférences est le suivant:

Exemple d’une fonction de choix social (2)

R1

FrançoisNicolas Marine

R2

NicolasMarineFrançois

R3


R4

MarineFrançoisNicolas

R5


on a C(R1, R2, R3, R4 ,R5) = Nicolas En effet, au 1er tour, Nicolas et Marinesont les options qui reçoivent le plus de votes


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R1


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R5



au 2e tour, Nicolas bat Marine par 3/5 des votes.

Une difficulté avec les fonctions (correspondances) de choix social (1)

Leur définition suppose que le profil des préférences individuelles est connu.

Cette supposition est hardie. Les individus connaissent (on peut le penser) leurs

préférences. L’autorité publique qui prend les décisions ne les

connaît pas. Problème: Les individus peuvent être incités à

dissimuler leurs véritables préférences et donc, à manipuler la procédure de choix social.

Cette possibilité est claire dans le scrutin uninominal à deux tours considéré précédemment.

R1


R2


R3


R4


R5


Le scrutin uni-nominal à 2 tours est manipulableLes individus 4 et 5 détestent (du point de vue de leur vraie préférence) Nicolas.Supposons que l’un d’entre eux (4 disons) « mente » etdéclare (par son vote) que son candidat favoriest François.


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R4 R5





R1


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François et Nicolas iront alors au 2e tour.

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François et Nicolas iront alors au 2e tour.

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R4 R5





François et Nicolas iront alors au 2e tour. Et François gagnera!

La fonction de choix social sous-jacente au mode de scrutin uninominal à 2 tours en vigueur en France est manipulable

Définition: Une fonction de choix social C: D A est manipulable à un profil (R1,…,Rn) D s’il existe un individu i N et une préférence R’i telle que (R1,… R’i,…, Rn) D et C(R1,… R’i,…,Rn) Pi C(R1,… Ri,…,Rn).

En français ordinaire, une fonction de choix social est manipulable à un profil de préférences si, à ce profil, au moins un individu bénéficierait de prétendre avoir une autre préférence que celle qu’il (elle) a à profile.

Le mode de scrutin uninominal à 2 tours discuté précédemment était manipulable au profil considéré.

Q: Pouvons-nous espérer obtenir une fonction de choix social qui ne soit jamais manipulable ??

Théorème de Gibbard-Satterthwaite Définition 1: Une fonction de choix social C: D

A est dictatoriale s’il existe un individu h N tel que, pour tous les profils (R1,…,Rn) D, x Ph y y C(R1,…,Rn).

Définition 2: Une fonction de choix social C: D A est triviale si C(R1,…,Rn) = C(R’1,…,R’n) pour tous les profils (R1,…,Rn) et (R’1,…,R’n) dans D.

Théorème: si #A 3, toute fonction de choix social C: n A qui n’est pas triviale ou dictatoriale est manipulable sur au moins un profil de n.

Documents

Les fondements de l’intervention publique en général