Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide

Les ondes électromagnétiques dans le vide

I) Équation de propagation dans le vide

1) Équations de Maxwell dans le vide

L’équation locale de Maxwell – Faraday :

tB

rotE

L’équation locale du flux magnétique :

divB = 0

Les équations locales de Maxwell :

ρε0

div 0E

L’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε μ ε0 0 0 0 0 . . .t tE E

rotB j

Les équations locales de Maxwell :


I) Équation de propagation dans le vide

1) Équations de Maxwell dans le vide

2) Équation de propagation

L’équation de propagation de E :

t t

rotBBrot rotE rot

μ ε μ ε2

0 0 0 0 2 . .t t t

E Erot rotE

rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

Finalement :

L’équation de propagation de E :

Δ μ ε2

0 0 2 . tE

E 0

Δ

μ ε

2

2 2

0 0

1

c t1

c .

EE 0

L’équation de propagation de B :

μ ε μ ε0 0 0 0 . .

t trotEE

rot rotB rot

μ ε2

0 0 2 .tB

rot rotB

rot(rotB) = grad(divB) – B = – B

Finalement :

L’équation de propagation de B :

Δ μ ε2

0 0 2 . tB

B 0

Δ

μ ε

2

2 2

0 0

1

c t1

c .

BB 0


II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques

1) Rappel des solutions

En coordonnées cartésiennes :

E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz

B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz

Δ2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 21 f f f f 1 f

f 0c t x y z c t

f = Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz

ε μ0 0

1c

.

Rappel :

Nous admettons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

espace

f(M,t) F( . c.t) G( . c.t)u,

r u r u




2) Définitions des O.E.M.P.P.H.

Définitions des O.E.M.P.P.H.

On appelle onde électromagnétique plane progressive harmonique, O.E.M.P.P.H., une solution des équations de Maxwell dont les six composantes du champ électromagnétique sont des O.P.P.H de même pulsation et de même vecteur d’onde k.

Seules leurs amplitudes A0 et leurs phases à l’origine 0 sont a priori différentes.





3) Notation complexe

Notation complexe

E(M,t) = E0x.cos(t – k.r + 0x).ux +E0y.cos(t – k.r + 0y).uy +E0z.cos(t – k.r + 0z).uz.

Ex = Re(Ex), Ey = Re(Ey) et Ez = Re(Ez)

même écriture pour B.

Notation complexe

Ex = E0x.expj(t – k.r) avec E0x = E0x.expj0x.

même écriture pour B.

Ez = E0z.expj(t – k.r) avec E0z = E0z.expj0z.

Ey = E0y.expj(t – k.r) avec E0y = E0y.expj0y.

Notation complexe

avec E0 = E0x.ux + E0y.uy + E0z.uz

avec B0 = B0x.ux + B0y.uy + B0z.uz.

E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz = E0.expj(t – k.r).

B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz = B0.expj(t – k.r).

Notation complexe

E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]

ω j .tE

E

k.r = kx.x + ky.y + kz.zk = kx.ux + ky.uy + kz.uz

x jk .xE

E y jk .

yE

E z jk .

zE

E

Notation complexe

. . .x y zx y zu u u

divE = .E = – jk.E ;

E = 2(E) = (– jk)2.E = – k2.E ;

rotE = x E = – jk x E

E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]





3) Notation complexe

4) Équation de dispersion et structure de l’onde

a) Relation de dispersion



4) Équation de dispersion et structure de l’onde

a) Relation de dispersion

b) Structure des ondes planes progressives dans le vide

Re(k.E) = k.Re(E) = k.E = 0 : u.E = 0

Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses électriques, T.E.

divE = 0 donne .E = – jk.E = 0 ou k.E = 0

Structure des O.P.P.H. dans le vide

Re(k.B) = k.Re(B) = k.B = 0 : u.B = 0

Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses magnétiques, T.M.

divB = 0 donne .B = – jk.B = 0 ou k.B = 0



x E = – jk x E = – j.B

k x E = .B

tB

rotE

ω x

kB E

Re(k x E) = Re(.B)

donne

donne k x Re(E) = .Re(B)


x B = – jk x B = j.0.0.E

k x B = – .0.0.Edonneμ ε0 0 .

tE

rotB

– k x B = .0.0.E

ω2 c x

kE B


Si l’onde plane progressive harmonique se propage dans le sens de u :

ω

ck u

x cu

B E E = c.B x u

Cette relation montre que le trièdre (u, E, B) est un trièdre orthogonal direct

u kE

B

Structure des O.P.P dans le vide

L’ensemble de ces résultats constitue la structure des O.E.M.P.P.H. dans le vide. Cette structure du champ électromagnétique ne fait pas apparaître la pulsation . Ainsi les résultats obtenus pour les O.E.M.P.P.H. s’étendent par sommation aux O.E.M.P.P. non nécessairement harmoniques.

Dans le vide, les O.E.M.P.P. sont transverses et (u, E, B) forme un trièdre orthogonal direct


III) Aspect énergétique



1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P.

a) Le vecteur de Poynting

Π εμ μ μ

22

00 0 0

x E.B B c. .E .c.

E Bu u u

Compte tenu de la structure d’une O.E.M.P.P., son vecteur de Poynting vaut :

Le vecteur de Poynting pour une O.E.M.P.P. est colinéaire à u, de même sens et perpendiculaire aux plans d’onde.

u k

L’intensité énergétique d’une O.E.M.P.P., notée I, est définie comme la puissance moyenne par unité de surface transférée par l’onde électromagnétique à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u




a) Le vecteur de Poynting

b) L’énergie volumique

εμ

2 20

em e m0

.E Bu u u

2 2

En M, à la date t :

εμ

22

em e m 00

Bu 2u 2u .E

Π ε 20 em .E .c. u . eu v




2) Vitesse de propagation de l’énergie

Théorème de Poynting

Π emudiv 0

t

Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source en M, à la date t.

En absence de charge et de courant :

Théorème de Poynting

Σ

Π emdU.d 0

dtS

Cette relation constitue l’équation globale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source.

En absence de charge et de courant :


IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.

E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy

On a choisi l’origine des temps de manière à prendre nulle une des phases à l’origine.

est le déphasage de la composante Ey sur Ex.

E0x et E0y sont des constantes positives.

Si ]0, [, Ey est en avance sur Ex.

Si ]– , 0[, Ey est en retard sur Ex.

On appelle état de polarisation de l’onde toute relation entre les composantes Ex(z,t) et Ey(z,t).



1) Polarisation elliptique ou circulaire

elliptique gauche

elliptique droite

z

y

x

Ey

z xE


Si ]– , 0[, la polarisation est elliptique - gauche

Si ]0, [, la polarisation est elliptique - droite

circulaire gauche circulaire droite

y

z x

E

z

y

x

E

πΦ

2

E0x = E0y = E0

πΦ

2

E0x = E0y = E0




2) Polarisation rectiligne

Le champ électrique est polarisé rectilignement s’il garde une direction fixe au cours de la propagation


= 0 ou :

E = E0x.cos(t – k.z).ux E0y.cos(t – k.z).uy

rectiligne R13

z

y

x

E

z

y

x

E

–

rectiligne R24

= 0

=




2) Polarisation rectiligne

3) Récapitulatif

Récapitulatif

Dans le plan z = 0, E = E0x.cos(t).ux + E0y.cos(t + ).uy

= 0 Polarisation rectiligne R13

= Polarisation rectiligne R24

] – , 0[ Polarisation elliptique gauche

]0, [ Polarisation elliptique droite

E0x = E0y et si = – Polarisation circulaire gauche

E0x = E0y et si = Polarisation circulaire droite

π2

π2

Documents

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide