Upload
emeline-peyre
View
110
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Marc DANZARTAgroParisTech, site de Massy
1 Avenue des Olympiades91744 MASSY CEDEXTel : (33) 1 69 93 50 27Fax : (33) 1 69 93 51 74
marc.danzart @ agroparistech.fr
Hypothèse
Expérience
Résultatexpérimental
Modèle
Résultats probables
Résultats improbables
Risques
LA DÉMARCHE STATISTIQUE
Contraintes
LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Hypothèse
Expérience
Résultatexpérimental
Modèle
Résultats probables
Résultats improbables
Risques
Satisfaire des contraintes
De coûtDe tempsD'organisation...
LES PLANS D’EXPÉRIENCES
La confusion d'effets
Pdt 1
Pdt 2
Pdt 3
Pdt 4
Pdt 5
Pdt 6
Pdt 7
Pdt 8
Sujet n° 1
Sujet n° 2
Sujet n° 3
Sujet n° 4
Sujet n° 5
Sujet n° 6
Sujet n° 7
Sujet n° 8
Sujet n° 9
Sujet n° 10
LES DANGERS
50 100 150 20045
50
55
60
65
70
75
Temps de cuisson (mn)
Re
nd
em
en
t
200 210 220 230 240 250 26020
30
40
50
60
70
80
Température (°C)
Re
nd
em
en
t
topt = 123.6 mn
On fixe donc t à 125 mn puis onétudie l’effet de la température
On étudie l’effet du temps decuisson sur le rendement
OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
Temps de cuisson (min)
Te
mp
éra
ture
(°C
)
50 100 150 200
200
210
220
230
240
250
260
255 ° C
55 min
Optimum apparent73.4
Optimum réel91.2
Rendement = 70
Rendement = 80
Rendement = 90
OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
0
0
1
0
0
2
3
Tarage dela balance
Pesée del'objet n° 1
Pesée del'objet n° 2
Pesée del'objet n° 3
m0
m1
m2
m3
LA PESÉE … Version 1
0
0
1
0
0
2
3
1 2 3 1 3
1 22 3
Pesée n° 1
Pesée n° 2
Pesée n° 3
Pesée n° 4
P0
P1
P2
P3
LA PESÉE … Version 2
la pesée ... calcul des poids
VERSION 1 VERSION 2
1
2
3
OBJET
m1
m2
m3
P + P - P - P0 1 2 3
4m1 =
P + P - P - P0 2 1 3
4m2 =
P + P - P - P0 3 1 2
4m3 =
LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS …
La pesée ... les précisions
VERSION 1 VERSION 2
1
2
3
OBJET
2
2
2 2
2
2
La pesée "originale" conduit à une précision près de3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle
LA PESÉE : LES PRÉCISIONS …
y = a + b x +
Var ( y(x) ) = (1 + + )1n
(x-x.)2
(x -x.)2
i
2^
La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori :
LES DANGERS
Y = X + E
Vecteur desrésultats Matrice du
plan d'experienceVecteur desparamètres
Vecteur deserreurs
= (X'X) X'Y-1 Si X'X est inversible
= (X'X+H'H) X'Y-1
Si X'X n'est pas inversibleH représente la matrice des contraintes
^
^
LE MODÈLE LINÉAIRE
= (X'X) X'Y-1^
Var( )= (X'X) -1^ 2
La corrélation entre les paramètres est prévisible àl'avance et dépend de la structure expérimentale
Un bon plan minimise la matrice (X'X)-1
Minimisation du déterminant D-optimalité
LE MODÈLE LINÉAIRE
Détecter les facteurs influents
Optimiser un process
Optimiser un mélange
Comparer un grand nombre de produits
Plans de Plackett-Burman Méthode Taguchi...
Plans Central compositePlans de Box-Benhken...
Plans de SchefféExtreme vertices designs...
Blocs incomplets équilibrés...
LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANSD’ EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE
LES PLANS FACTORIELS COMPLETS
TOUTES LES COMBINAISONS DES
NIVEAUXDES FACTEURS SONT
TESTÉES
LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST
DONC ÉGALAU PRODUIT DES
NOMBRES DES NIVEAUX
Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais
111111222222333333
111222111222111222
123123123123123123
Exp. n° 1Exp. n° 2Exp. n° 3Exp. n° 4Exp. n° 5Exp. n° 6Exp. n° 7Exp. n° 8Exp. n° 9Exp. n° 10Exp. n° 11Exp. n° 12Exp. n° 13Exp. n° 14Exp. n° 15Exp. n° 16Exp. n° 17Exp. n° 18
Facteur n° 1
Facteur n° 2
Facteur n° 3
CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES INTERACTIONS D‘ ORDRE ÉLEVÉ
IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISER LE NOMBRE D'ESSAIS
DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS
LES PLANS FRACTIONNÉS
Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeursappelées respectivement
niveau bas noté -niveau haut noté +
Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveauxSi le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies
dans la plage de variation du facteur
LES MATRICES DE HADAMARD (1)
essai n° 1
essai n° 2
essai n° 3
essai n° 4
essai n° 5
essai n° 6
essai n° 7
essai n° 8
LES MATRICES DE HADAMARD (2)
Fact
eur n
° 1Fa
cteu
r n° 2
Fact
eur n
° 3Fa
cteu
r n° 4
Fact
eur n
° 5Fa
cteu
r n° 6
Fact
eur n
° 7
Facteur n° 1
Variable étudiée
Niveau - Niveau +
1
LES MATRICES DE HADAMARD (3)
Facteur n° 2
Variable étudiée
Niveau - Niveau +
2
Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié
LES MATRICES DE HADAMARD (4)
Hadamard (5)
n = 4
n = 8
n = 12
n = 16
n = 20
Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4
LES MATRICES DE HADAMARD (5)
Le chewing-gum
Nouveau procédé : extrusion
Nouvelle composition : les polyols remplacent les sucres
11 paramètres à optimiser simultanément
Type de vis de l’extrudeurVitesse de rotation de la visTempérature de la gomme...Pourcentage de XylitolPourcentage de Mannitol...
Création d’un nouveau produit :Le chewing-gum light
LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux,on étudie des fractions du plan complet 3p.
Pour cela on construit d’abord un plancomplet à 2 facteurs. Ce plan comporte9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal !
1 11 21 32 12 22 33 13 23 3
Facteurde base
n° 1
Facteurde base
n° 2
Si l’on souhaite étudier plus de 2 facteursil faut ajouter des colonnes équilibrées(3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonalesaux précédentes
A cet effet on étudie la famille des carrés latinsorthogonaux 3x3.
LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
1 11 21 32 12 22 33 13 23 3
Facteurde base
n° 1
Facteurde base
n° 21 2 32 3 13 1 2
1 2 33 1 22 3 1
Chacun des deux carrés latinssert à construire une colonne !
CL1 CL2
1 12 33 22 23 11 33 31 22 1
Facteurn° 3
Facteurn° 4
Il n’est pas possible d’étudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! …car il n’existe pas d’autre carré latin orthogonal aux deux carrés existants.Il faudra alors au moins 27 essais !!
CD BD AD
= = =
11
-1-1-1-111
1-11
-1-11
-11
1-1-111
-1-11
-111
-11
-1-11
AB AC BC ABC
-1-1-1-11111
-1-111
-1-111
-11
-11
-11
-11
A B C
11111111
I
Essai 1Essai 2Essai 3Essai 4Essai 5Essai 6Essai 7Essai 8
DBCD ACD ABD
LA PRISE EN COMPTE DES INTERACTIONS
OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM
MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE
CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES
PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉ et ISOVARIANCE PAR ROTATION
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )
Facteur n° 2
Facteur n° 1
2 points de l'hypercube
2p points du parallèlotope étoilé
2 points centraux
p
Soit n = 2 + 2.p + 2essais au total
p
Chaque facteur est utilisé à5 valeurs différentes
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )
Chaque facteur est étudiéà 5 niveaux
La valeur minimum N1=minLa 1ère valeur intermédiaire N2
La valeur moyenne N3=moy.La 3ème valeur intermédiaire N4
La valeur maximum N5=Max
Plan Central compositeà 3 facteurs
N2 moy. - (moy.-min)p
p=
N4p
p=
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 )
moy. + (moy.-min)
moy.moy.moy.moy.moy.moy.minMaxN2
N2
N2
N2
N4
N4
N4
N4
moy.moy.moy.moy.minMaxmoy.moy.
N2
N2
N4
N4
N2
N2
N4
N4
moy.moy.minMaxmoy.moy.moy.moy.
N2
N4
N2
N4
N2
N4
N2
N4
Equation polynomiale du modèle :
Y = a0 + a1.Pv + a2.E/S + a3.(Pv)² + a4.(E/S)² + a5.Pv.E/S
-2
0
2
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )
020 40 60 80 100
120140
40
90
140
200
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
Log CF
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (1)
020 40 60 80 100
120140
40
90
140
200
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Log Rdt
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (2)
020 40 60 80 100
120140
40
90
140
200
1,31,41,51,61,71,81,9
22,12,2
Log CTh
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (3)
400 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
Log CF
400 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
Log Rdt
4050
0 20 40 60 80 100 120 140
60708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
Log CTh
NETTOYAGE DE SALADE (4)
0 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (5)OPTIMISATION MULTIVARIABLE
Chaque facteur est étudiéà 3 niveaux
minimum minmoyenne moyMaximum Max
Plan de Box-Benhkenà 3 facteurs
minminMaxMaxminminMaxMaxmoymoymoymoymoymoy
minMaxminMaxmoymoymoymoyminminMaxMaxmoymoy
moymoymoymoyminMaxminMaxminMaxminMaxmoymoy
PLANS DE BOX BENHKEN
Le nombre d’expériences est égal à 2p² - 2p + 2
Produit n° 1
Produit n° 2 Produit n° 3
Réseau Simplex centre de Scheffé
LES PLANS DE MÉLANGE (1)
PLANS DE MÉLANGE ( 2 )
y = a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1² + a5c2² + a6c3² + a7c1c2 + a8c1c3 + a9c2c3
L’équation habituelle
Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !)Ceci est dû à la contrainte c1 + c2 + c3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 %
y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3
On ajuste donc le modèle suivant :
c1 (c1 + c2 + c3) = c1 c1² = c1- c1 c2 - c1 c3
Il n’y a pas besoinDes termes carrés
a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 = (a0+a1)c1 + (a0+a2)c2 + (a0+a3)c3 Il n’y a donc pasbesoin de constante
Cépages
Cépagen° 3
Cépagen° 1
Cépagen° 2
26
2224
20
20
1816
14
18
16
14
12
M.SergentD.Mathieu
R. Phan-Tan-Luu(1985)
OPTIMISATION D’UN VIN PARMÉLANGE DE CÉPAGES
Plans avec contraintes
Ingrédientn° 1
LES PLANS DE MÉLANGE (3)
Ingrédientn° 2
Ingrédientn° 3
FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHEAUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES.
CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION
DE PLANS D-OPTIMAUX
WYNNFEDOROVWHEELERMITCHELLWELCH
LES PLANS D-OPTIMAUX
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1)
p produits sont étudiés avec un panel de s sujets.k est le nombre de produits testés par chaque sujetr est le nombre de répétitions par produits (nombre de sujets testant un produit donné)
est le nombre de fois où un couple de produits est noté (nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés)
On peut montrer queles deux conditionssuivantes sont nécessaires :
p.r = s.k (*)
= (**)r.(k-1)
p-1
Sujet 1
Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
1 2 3 4 5 6 7
Produits
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)
7 5 9
10 11 12
7 6 14
14 16 15
14 11 17
16 15 17
14 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetn° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
Somme totale par produit
Moyennes
24 33 39 42 30 33 48
Traitement statistique des résultats des BIE
8 11 13 14 10 11 16
7 5 9
10 11 12
7 6 14
14 16 15
14 11 17
16 15 17
14 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetn° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1
La somme totale de ces notes,notée T1, est égale à 81
7 5 9
10 11 127 6 14
14 16 15
14 11 17
16 15 17
14 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetann° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
La somme totale de ces notes,notée T2, est égale à 108
Par conséquent, les sommes par produitdoivent être corrigées pour obtenir des
comparaisons non biaisées !
!
Traitement statistique des résultats des BIE
Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2
La somme corrigée pourle produit i est égale à : gi Si -
Ti
k
g1 = 24 - 81/3 = - 3 pour le produit 1
g2 = 33 - 108/3 = - 3 pour le produit 2
Traitement statistique des résultats des BIE
=
gi ir E
=
E est appelé coefficient d’efficacité.
E = k(p-1)
p(k-1)
La moyenne corrigée pourle produit i est égale à :
avec
CONTRAINTES
UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER 20 (environ)
UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION 14 boxes
UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE 20 sujets au maximum
UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS 15 demi-journées
UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour
.......
BIE (3)
Sujet 1
Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
A D I J P R S
Produitspour une session donnée
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
Produits
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Sessions
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRESA DEUX ETAGES
A B C D
AB CD
A BC D
ABCD
Ordre de présentationdes produits
Sujet n° 1
Sujet n° 2
Sujet n° 3
Sujet n° 4
PLANS POUR MAÎTRISER L’ORDRE DE PRÉSENTATIONDES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS
P1 P2 P10 P3 P9 P4 P8 P5 P7 P6
P2 P3 P4 P10 P5 P9 P6 P8 P7
P3 P4 P2 P5 P1 P6 P10 P7 P9 P8
P4 P5 P3 P6 P2 P7 P1 P8 P10 P9
P5 P6 P4 P7 P3 P8 P2 P9 P1 P10
P6 P7 P5 P8 P4 P9 P3 P10 P2 P1
P7 P8 P6 P9 P5 P10 P4 P1 P3 P2
P8 P9 P7 P10 P6 P1 P5 P2 P4 P3
P9 P10 P8 P1 P7 P2 P6 P3 P5 P4
P10 P1 P9 P2 P8 P3 P7 P4 P6 P5
P1
Sujet 1
Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 10
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
Sujet 8
Sujet 9
Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 Jour 6 Jour 7 Jour 8 Jour 9 Jour 10
Carrés latins de Williams
Conseils
• Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude
• Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs
• Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible
• valider concrètement les résultats trouvés
QUELQUES CONSEILS
Clairement définir les objectifs
Lister les facteurs influents
Choisir le domaine de variation
Lister l’ensemble des contraintes
Construire le plan d’expériences
LA DEMARCHE EXPERIMENTALE
Conjecture
Plan d’expériences
Expérimentation
Analyse des résultats
Conclusions
L’APPROCHE EXPÉRIMENTALE
Précision
Efficacité
Flexibilité
LES PLANS D’EXPÉRIENCES PERMETTENT
BIBLIOGRAPHIE
Gilles et Marie-Christine SADOLes plans d’expériencesAFNOR Technique
Yves TOURBIER, et AlLes plans d’expériencesPresses Romandes
Jacques GOUPYLes plans d’expériencesDUNOD
BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S.Statistics for experimentersJohn Wiley & Sons 1978
KEMPTHORNE O.The design ans analysis of experimentsJohn Wiley & Sons 1952
CORNELL J.A.Experiments with mixturesJohn Wiley and Sons 1981
BARKER T.B.Quality by experimental designsMarcel Dekker 1985
DAVIES O.L.The design and analysis of industrial experimentsOliver & Boyd 1985