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Les signaux 1
Les Signaux
F. Bister - A. QuidelleurSRC1 Meaux 2007-2008
Culture Scientifique et Traitement de l’InformationModule 2112 – Représentation de l’information
Les signaux 2
Plan
Définitions
Les signaux sinusoïdaux
Analyse de Fourier
Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal
Les signaux 3
Définitions
Télécommunications Information Signal Fonction Information et Transmission Analogique
Information et Transmission Numérique Signal déterministe / Signal aléatoire Signal Périodique
Les signaux 4
Télécommunications / Information
Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant l’acheminement aussi fidèle que possible d’informations entre deux points.
L’information est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné.
Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)…
canal Récepteur
Source d’information
bruit
Emetteur
Destinataire
Message émis
Message reçu
Signal émis Signal reçu
Les signaux 5
Exemple
Lignetéléphonique
bruit
Combinétéléphonique
Mots dits
Pression acoustique
Message reçu
Pression acoustique
Courant électrique
Cordesvocales
Personne
Mots pensés
= message
Courant électrique Combiné
téléphonique
Oreille
Personne
Mots compris
= message
Emetteur Récepteur
Les signaux 6
Fonction
La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ».
Intensité du courant électrique : i(t) Tension électrique : v(t) Pression : p(t) …
v(t)
t
Les signaux 7
Information analogique / Information discrète
Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre n’importe quelle valeurs entre - et +.
Une information numérique est une information discrète (c’est-à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes.
Ex: la suite de bits 101100001010101101 cadencée par une horloge de durée T0.
t1 t2t
s(t)
1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 …horloge
Information binaire
Les signaux 8
Transmission analogique / Transmission numérique
Transmission analogique l’information à transmettre est analogique
Transmission numérique l’information à transmettre est numérique
Le signal physique utilisé lors d’une transmission est toujours analogique, mais l’interprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type d’information.
Signal analogique
Récepteur- Interprétation
Information Numérique Information analogique
Les signaux 9
La transmission numérique : exemple
Modem
tension
temps
tension
Signal - Analogique- Sinusoïdal par
morceaux
Signal - Analogique- Constant par
morceaux, dit bande de base
Interprétation : Information Numérique
00110110010100110100111
Interprétation : Information Numérique
Les signaux 10
La transmission analogique : exemple
Interprétation: Information Analogique
Signal sonore
Signal électrique
Signal électrique
Signal électromagnétique
Antenne
Commentateur radio
Micro Câbles
AntenneCâbles
Haut-parleur AuditeurSignal sonore
Signal électrique
Signal électrique
Les signaux 11
Signaux déterministes / Signaux aléatoires
Lancé de dé = message aléatoire Partition de piano = message déterministe
Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites.
Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2Ft)
Signal aléatoire : dont l’évolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques.
Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission
Dans la nature aucun signal n’est déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission d’informations.
Les signaux 12
Signal périodique
Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps.
Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s)
Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz)
T1
F
t
s
T
T
s
t
Signal carréSignal sinusoïdal
Les signaux 13
Les signaux sinusoïdaux
Les signaux 14
Rappels de trigonométrie
Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique.
Le point A part de I à l’instant t = 0.
Il fait un tour en T secondes. On note (xA,yA) ses coordonnées
dans le repère orthonormal (O, I, J).
On note à l’instant t.
IOA
On définit le cosinus de l’angle par
On définit le sinus de l’angle par
Axcos
Aysin
NB : Si besoin, revoir le cours d’harmonisation mathématiques…
Les signaux 15
Les fonctions sinus et cosinus
Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians.
et t sont liés par la relation
Représentation temporelle de cos et sin
Ft2tT2
t
1
-10 T-T
2-2
Ft2coscos
t
1
-1
0 T-T2-2
Ft2sinsin
période T
période T
Les signaux 16
Représentation temporelle du cosinus
0T
A
-A
t
Ft2cosAts
0
A est l’amplitude du signal.
Les signaux 17
Représentation temporelle du cosinus
0T
B+A
B-A
t
BFt2cosAts
0
B
A
A
B est la valeur moyenne du signal.
Les signaux 18
Représentation temporelle du sinus
0T
A
-A
0
Ft2sinAts
t
A est l’amplitude du signal.
Les signaux 19
Représentation temporelle du sinus
0 T
B+A
B-A
0
BFt2sinAts
t
B
A
A
B est la valeur moyenne du signal.
Les signaux 20
Phase initiale
0T
B-A
t
BFt2cosAts
0
B
B+A
2 0
On nomme 2Ft la phase instantanée et la phase initiale du signal. Elles s’expriment en radian.
Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon l’axe des abscisses
vers la gauche si >0 Vers la droite sinon
Les signaux 21
Analyse de Fourier
Les signaux 22
Représentation temporelle d’un signal
C’est la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps.
Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas.
Pression acoustique
temps
Les signaux 23
Un peu d’histoire : Joseph Fourier
Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « d’analyse spectrale » ou « d’analyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein.
En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble.
Les signaux 24
Le théorème de Fourier
Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul.
Ce théorème s’applique donc à des signaux analogiques.
Les signaux 25
Comment la somme est-elle construite ?
s(t) est périodique, de fréquence F
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …
+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …
a cosb sin
Indice n nF pas de b0
Les signaux 26
Définitions
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2 Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …
Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2Ft)
Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t)
a0 est la valeur moyenne de s(t) Ex. : s(t) = A.sin(2Ft) + B
F est la fréquence fondamentale de s(t), c’est aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t)
nF sont les fréquences harmoniques de s(t)
Les signaux 27
Fabriquer s(t)
On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques.
Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques)
Signaux connus
Pour « fabriquer »avec un logiciel
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …
+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …
Les signaux 28
Calculer les coefficients
On peut calculer les coefficients de Fourier d’un signal s(t) (connu) :
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …
+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …
Signal périodique connupar l’intermédiaire de sa représentation temporelle
Permet de calculer les coefficientsde Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier.Avec un ordinateur.
Les signaux 29
Calculer les coefficients
Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. …
dttsT1
a]T[
0
dtnFt2costsT2
a]T[
n dtnFt2sintsT2
b]T[
n
s(t)
t
T
]T[
Les signaux 30
Décomposition en série de Fourier
La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier.
Les signaux 31
Spectre
Définition: c’est la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme.
Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients an et celui qui donne la représentation des coefficients bn
Représentations en fonction de la variable fréquence
Intérêt pratique par rapport à l’écriture complète de la somme de Fourier.
Les signaux 32
Deux spectres : an(f) et bn(f)
a0 = a01 = a0 cos(0) = a0 cos(20Ft)
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …
+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …
Fréquence F
33
Deux spectres : an(f) et bn(f)
Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée :
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …
+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …
a0 est associé à la fréquence nullea1 est associé à la fréquence fondamentale Fa2 est associé à la fréquence harmonique 2.Fa3 est associé à la fréquence harmonique 3.Fetc…
b1 est associé à la fréquence fondamentale Fb2 est associé à la fréquence harmonique 2.Fb3 est associé à la fréquence harmonique 3.Fetc…
Les signaux 34
Représentations d’un signal
On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal.
Ainsi un signal peut être connu grâce à sa représentation en fonction de la variable "temps"
= représentation temporelle, ou à ses 2 représentations en fonction de la variable
"fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres
Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes.
Les signaux 35
Exemple important : le signal carré
T0
1s(t)
t
...tF72sin72
tF52sin52
tF32sin32
Ft2sin2
5.0)t(s
0.100 F 3F 5F 7F 9F
0.5
bn
f
0.100 F 3F 5F 7F 9F
0.5
an
f
Les signaux 36
Spectres amplitude et argument
On montre par le calcul que l’on peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme
On passe de l’expressionà cette nouvelle écriture en posant
S0 = a0
n
1nnn0 nFt2sinSSts
n
1nnn0 nFt2sinbnFt2cosaats
2n
2nn baS
n
nn b
atan
Les signaux 37
Spectres amplitude et argument
Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres an et bn.
Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée
Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée
Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré
f
Sn
00 F 3F 5F 0 F
n
f
Les signaux 38
Exemple : note de piano
t
Pression acoustique
Les signaux 39
Quel est l’intérêt des spectres?
Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux?
On connaîtra la réponse grâce aux propriétés du système spectres du signal
Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont l’explication passe par l’observation du spectre du signal modulé.
Les signaux 40
Effet d’un déphasage sur les spectres
Considérons le signal carré précédent déphasé de . On note sd le nouveau signal obtenu.
T0
1s(t)
t
T0
1sd(t)
t
Les signaux 41
Effet d’un déphasage sur les spectres
Signal carré s(t)
Signal carré déphasé sd(t) bn
f
0,50
0 F 3F 5Ff
0,50
0 F 3F 5F
an
an
f
bn
00 F 3F 5F
0,5
0,5
f0
0 F
Les signaux 42
Effet d’un déphasage sur les spectres
f
Sn
00 F 3F 5F 0 F
n
f
n
0 F ff
Sn
00 F 3F 5F
Signal carré s(t)
Signal carré déphasé sd(t)
Les signaux 43
Effet d’un déphasage sur les spectres
On constate que : Les spectres an et bn de deux signaux de même
nature mais déphasés sont différents. Les spectres Sn de deux signaux de même nature
mais déphasés sont identiques.
Le spectre amplitude permet de connaître la nature d’un signal. Le spectre argument porte l’information de phase.
Les signaux 44
Et pour un signal non périodique ?
Approche intuitive On peut considérer qu’un signal non périodique
est un signal périodique dont la période T tend vers +.
Observons le spectre amplitude d’un signal rectangulaire dont la fréquence croît.
t0
Période T
Les signaux 45
Spectre d’un signal non périodique
Fréquence F1
Fréquence F2 = F1/8
f0
Sn Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8
f0
Sn
F1
Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1
Les signaux 46
Spectre d’un signal non périodique
Si T tend vers l’infini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment.
Le spectre d’un signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t).
L’équivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. C’est une fonction continue.
L’équivalent du spectre argument pour un signal non périodique est l’argument de S(f). C’est une fonction continue.
A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule :
dtetsfS fti2
47
Comparaison
Sn(f)
0 F 2F 3F 4F 0 fmaxf
S(f)
f
Signal non périodiqueSignal périodique
F F0
0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax]
Spectre discret Spectre continu
Coefficients Sn(f)Transformée de Fourier S(f)
= fonction mathématique continue
Somme discrète de signaux sinusoïdaux
Somme continue de signaux sinusoïdaux
Bande de fréquences principale
Bande de fréquences principale
BFP BFP
f1 f2
Les signaux 48
Valeur moyenne et Puissance moyenne d’un signal
Les signaux 49
Pourquoi s’intéresser à la puissance ?
Un signal est transmis par le biais d’une représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas d’un son), etc. …
Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal.
Exemple simple : Dans le cas d’une tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture l’électricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant l’unité de la puissance du signal électrique.
Les signaux 50
Pourquoi s’intéresser à la puissance ?
De plus, la puissance d’un signal électrique influence l’environnement électromagnétique.
Exemple : La réception d’un message téléphonique sur un téléphone portable perturbe l’affichage sur un écran de TV ou d’ordinateur ; l’utilisation d’un mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision…
Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis.
Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante.
Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à l’intérieur des bâtiments).
Il est donc essentiel de quantifier la puissance d’un signal.
Les signaux 51
Valeur moyenne d’un signal périodique
Soit un signal périodique de période T. On appelle valeur moyenne du signal s, notée <s>, la grandeur
Lorsque <s>=0, on dit que le signal est centré.
T
dttsT1
s
Les signaux 52
Puissance moyenne d’un signal périodique
La puissance moyenne d’un signal périodique s de période T est
C’est la valeur moyenne de s2(t). Elle s’exprime en Watts (W).
Exercice : Montrez que la puissance moyenne du signal vaut A2/2.
Retenez ce résultat bien pratique !
T
2s dtts
T1
P
Ft2sinAts
Les signaux 53
Théorème de Parseval
La puissance moyenne d’un signal s, périodique, s’exprime en fonction des coefficients an(f) et bn(f) de sa décomposition de Fourier.
En fonction des coefficients du spectre amplitude, on obtient :
On remarque que les coefficients de déphasage n n’interviennent pas dans le calcul de la puissance. Logique : un déphasage n’est qu’une translation temporelle !
1n
2n
2n2
0s 2ba
aP
0n
2n2
0s 2S
SP
Les signaux 54
Exemple : puissance moyenne d’un signal carré
Par la formule directe, on obtient Ps = 0,5W. Calculons maintenant la puissance contenue dans les 3
premiers harmoniques.
95% de la puissance du signal est contenue dans les 3 premiers harmoniques !!!
Conclusion : L’information est contenue dans les composantes basse fréquence du signal.
t
s
T
1
0 f
Signal étudié
Sn
0,5
00 F 3F 5F
Spectre amplitude
0,64
0,21 0,13 0,09
W475,02
21,064,05,0
2SS
SP22
223
212
03H
Les signaux 55
Exemple (suite)
Lorsqu’on ne garde que les 3 premiers harmoniques, on déforme le signal, mais on « reconnaît » un signal carré.
Si ce signal carré est le support physique d’une information binaire 1 0 1 0 1 0…, on ne perd pas le contenu informatif du message.
On a transmis suffisamment de puissance du signal d’origine.
s(t) sH3(t)
00
1
T t
Les signaux 56
Puissance moyenne d’un signal non périodique
On montre que
Signification physique : la puissance contenue dans une bande de fréquence est égale à l’aire de la courbe |S2(f)|.
dffSdtts
T1
limP2
T
2
Ts
Puissance du signal dans la bande [F1;F2] = aire sous la courbe
Les signaux 57
Conclusion
Maintenant que l’on a acquis des notions sur la représentation de l’information en général, il va être possible de s’intéresser aux « signaux stratégiques de SRC » que sont
les signaux sonores les signaux vidéo les données
A voir enUE2 – Culture Technologique et Développement MultimédiaM21 – Culture Scientifique et Traitement de l’InformationMatière: Les systèmes audiovisuels et les systèmes de transmission 1 et 2…