hermessuspendeme.comhermessuspendeme.com/DOCS/GrevaGreta/2A/Estadistica/Problemes/Problem… · LESTAD ETSEIAT− UPC Enunciats exercicis examen parcial M. Albareda I. Algaba S. Casadesús

COL∙LECCIÓ D’EXERCICIS

D’ESTADÍSTICA

M. Albareda

I. Algaba

S. Casadesús

M. Pepió

Laboratori d’Estadística

ETSEIAT – UPC

COL·LECCIÓ D’EXERCICIS D’ESTADÍSTICA

M. Albareda

I. Algaba

S. Casadesús

M. Pepió

Laboratori d’Estadística

C/ Colom 11

08222 Terrassa

Juliol 2011

ÍÍNNDDEEXX

EXERCICIS PROPOSATS ..................................................... 5

EXAMEN PARCIAL .................................................... 5

EXAMEN FINAL ...................................................... 23

SOLUCIONS .................................................................... 33

EXAMEN PARCIAL .................................................. 33

EXAMEN FINAL ...................................................... 87

EEXXEERRCCIICCIISS

PPRROOPPOOSSAATTSS

EEXXAAMMEENN PPAARRCCIIAALL

LESTAD

ETSEIAT− UPC

Enunciats exercicis examen parcial

M. Albareda I. Algaba S. Casadesús M. Pepió

7

Sigui la densitat de probabilitat de la figura, on a=1,1.

1. Què val V(X)?

0,605 0,720 0,845 0,980 1,125 1,280 1,445

1,620 1,805 2,000 ........................................

2. Si X < 0,8, què val la probabilitat de X < 0,2?

0,7115 0,7425 0,7692 0,7924 0,8125 0,6757

0,8300 0,8454 0,8588 0,8707 ...........

3. En un interval de 2 h, d’un procés de Poisson amb = 1 per h, la primera arribada ha estat als 30 mi‐

nuts. Quina és la probabilitat que la propera arribada trigui més que la primera?

0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466

0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 ..............

4. Essent X N(m; 2 = 36), amb una mostra de grandària 4, en una prova d’hipòtesis les regions críti‐

ques són { X 104,5 i X < 96,5}, quin és el risc associat a m = 96?

0,49621 0,38060 0,39189 0,40718 0,41869

0,43018 0,44573 0,45737 0,46893 0,48457 ................

5. Essent X N(m; 2), l’amplitud de l’interval de probabilitat 0,99094 és 52,2, què val 2?

25 121 144 100 81

64 49 36 169 196 ...........................

6. X1, X2 i X3 són valors independents de X N(10; 2 = 36), què val P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3)?

0,35197 0,30854 0,27425 0,20327 0,18943

0,24510 0,22363 0,17619 0,47210 0,40517 ...........

7. Amb X N(10; 2 = 36), hom pren dues mostres, de n1 = 9 i n2 = 5, si P(S1 < a S2) = 0,05, què val a?

0,510 0,539 0,567 0,563 0,535

0,543 0,546 0,521 0,529 0,557 ..................

8. Mesurada en dècimes de mil∙límetre, una excentricitat segueix una llei de 2 ( = 9). La peça és bona quan X < 19. Hom pren una mostra de n = 3, quina és la probabilitat de no trobar cap defectuosa?

0,7290 0,8574 0,9851 0,9970 0,9269

0,9703 0,7093 0,7770 0,8021 0,6469 ..................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



8

9. Per estimar E(X) = m, essent X1, X2 i X3 una mostra, hom pren l’estimador 0,1 X1 + 0,1 X2 + 0,8 X3. Quin

és el quocient entre la seva variància i la de l‘estimador més usual?

3,03 2,73 2,43 3,21 3,93

1,98 1,62 1,38 1,26 1,86 .....................

10. Siguin X b(n = 10; p = 0,1) i Y b(n = 12; p = 0,2) independents. Què val E[(X + Y)2]

14,38 15,94 17,58 19,30 21,10 22,98

24,94 26,98 29,10 31,30 .........................

11. Les avaries d’un procés segueixen una llei de Poisson amb 2 avaries cada 100 hores de mitjana.

Quina és la probabilitat que el nombre d’avaries en 250 hores sigui com a mínim 2 i com a màxim

6?

0,5889 0,6728 0,6982 0,7218 0,7431 0,7617

0,7773 0,7895 0,7977 0,8017 ...........................

12. El nombre d’equips venuts diàriament per un concessionari és una variable aleatòria tal que

P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,5; P(X = 2) = 0,3 i P(X = 3) = 0,1. Quina és la probabilitat que en 81 dies

les vendes no superin els 124 equips?

0,8389 0,8544 0,8962 0,9088 0,9382 0,9464

0,9656 0,9705 0,9913 0,9927 ..............................

13. El pes d’un envàs es distribueix N(100g; 16g2) i el cost és de 0,2€/g. Quina és la probabilitat que el

cost total de 5 envasos sigui superior a 95€?

0,288 0,401 0,599 0,712 0,773 0,841

0,894 0,954 0,987 0,997 ................................

14. La durada en anys, X, d’un component és tal que F(x) = 2x1 e per x 0. Sabent que ja fa 12 me‐

sos que funciona, quina és la probabilitat de durar, com a mínim, altres 10 mesos?

0,0172 0,0249 0,0498 0,0690 0,0943 0,2096

0,2564 0,3679 0,4316 0,4994 .............................

15. El diàmetre d’una peça és N(100; 0,25) i es considera defectuós si està fora de l’interval 100 0,8. Quina és la probabilitat que en una caixa de 10 peces n’hi hagi 1 defectuosa?

0,0046 0,0136 0,0264 0,0489 0,0857 0,1413

0,2157 0,2992 0,3673 0,3855 ...........................

16. Essent X N(mx; 9) i Y N(my; 9) independents. Amb nx = ny = 16; X = 15; Y = 18, quin és el valor

màxim en que es pot estimar (3 mx − 2 my), amb un risc del 2,5%?

12,53 12,64 12,75 13,33 13,52 13,74

14,00 14,30 14,67 15,12 ..................................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



9

17. Es llença 2 cops un dau tal que P(X = x) = x/21 per x ={1; ...; 6}. Sigui X el nombre de punts de la pri‐

mera tirada i Y el nombre de resultats senars. Què val P(1 X < 2 0 Y < 2)?

0,020 0,027 0,041 0,054 0,061 0,082

0,102 0,109 0,136 0,163 .......................

18. El risc que el temps entre avaries en un procés de Poisson sigui inferior a 102,5 hores és igual a 0,05.

Quina és la probabilitat que en 400 hores es produeixin 2 avaries?

0,016 0,024 0,033 0,043 0,054 0,065

0,076 0,087 0,099 0,110 ..............................

19. Un dau tal que P(X = x) = x/21 per x = {1, ..., 6} es llença 250 cops. Quina és la probabilitat que el to‐

tal de punts obtingut sigui superior o igual a 1135?

0,0142 0,0150 0,2398 0,2451 0,6382 0,6443

0,9214 0,9251 0,9670 0,9686 ..........................

20. La distància en Km recorreguda per un vehicle amb un dipòsit ple de combustible (70 litres) és una

variable aleatòria N(m = 530; 2 = 64). Quina és la distància màxima que recorrerà amb 4 dipòsits

plens, amb un risc del 2,5%?

2151 2183 2191 2223 2231 2263

2271 2303 2311 2343 ..................................

21. La durada en milers de Km d’uns pneumàtics és tal que F(x) = 1 − (1 + 0,01 x) 0,01xe . Si ja porten

100 mil Km de marxa, quina és la probabilitat que, com a mínim, aguantin altres 25 mil Km?

0,8280 0,8423 0,8519 0,8616 0,8762 0,9513

0,9585 0,9631 0,9674 0,9735 .............................

22. L’excentricitat d’un forat en mm és X exp( = 10). Es considera defectuós si l’excentricitat supera 0,3 mm. Quina és la probabilitat que una xapa amb 10 forats en tingui 2 defectuosos?

0,013 0,019 0,027 0,038 0,054 0,074

0,101 0,153 0,173 0,216 .....................

23. Siguin X N(15; 9) i Y N(18; 4) independents amb nx = ny = 9. Quin és el valor mínim que pot

prendre 2 2x yS / S amb un risc del 5%?

0,38 0,45 0,52 0,56 0,59 0,61

0,65 0,70 0,77 0,84 ..................................

24. El coeficient de fregament dels rodets d’una fotocopiadora s’aproxima a

una distribució trapezial com la de la figura. Quina és la probabilitat que el

coeficient de fregament sigui inferior a 0,7?

0,30 0,34 0,40 0,46 0,50 0,54

0,60 0,70 0,80 0,90 .................

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

LESTAD

ETSEIAT− UPC



10

El desgast X de la mordaça primària d’un sistema de frens de tambor, per un cert kilome‐

tratge, es distribueix N(mX = 120; 2

X = 36) i el desgast de la secundària és igual al 81% del de la

primària.

25. Quin és el valor màxim del desgast de la secundària amb un risc del 2,5%?

102,8 103,4 104,2 105,2 106,7 108,5

109,0 109,7 110,9 112,2 .....................

26. Què val la probabilitat que el màxim desgast de les primàries de les 4 rodes d’un remolc su‐

peri 132?

0,002 0,025 0,088 0,320 0,597 0,686

0,771 0,938 .................

27. Què val la probabilitat que el desgast mitjà de les 4 secundàries d’un remolc sigui inferior a

102?

0,181 0,312 0,468 0,629 0,875

0,941 0,976 0,992 .................

28. S’estudia un tractament que no altera la variabilitat del desgast però sembla que pot disminuir

l’esperança matemàtica. Una mostra de 8 primàries ha donat un desgast mitjà de 100 i una vari‐

ància igual a 38. Quin és el valor màxim en que es pot estimar mX amb un risc del 2,5%?

102,16 103,15 104,16 105,15 106,16

107,15 108,16 109,15 114,16 115,15 ................

29. Què val l’extrem superior de l’interval de probabilitat 0,95 pel desgast de la primària?

126,24 126,90 128,64 129,06 130,50 131,76

132,72 133,02 133,98 138,54 .................

30. Si el desgast de la primària supera a 132, què val la probabilitat que el de la secundària supe‐

ri a 110?

0,036 0,050 0,099 0,135 0,188

0,332 0,581 0,953 ......................

31. La màxima desviació tipus del desgast de les 4 primàries d’un vehicle, amb una seguretat del

95%, és igual a

0,93 1,17 1,61 2,05 2,65 8,66

9,68 10,59 11,67 12,41 ..............

L’accés dels usuaris al sistema en una xarxa informàtica, és un procés de Poisson de mitjana 30 ac‐

cessos cada hora.

32. Quina és la probabilitat que el temps entre dos accessos consecutius superi els 4 minuts?

0,030 0,050 0,082 0,135 0,223

0,368 0,472 0,607 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



11

33. Quina és la probabilitat que en una hora hi hagi com a mínim 18 accessos?

0,157 0,203 0,452 0,524 0,792 0,843

0,965 0,978 0,987 0,993 .................

34. Es registren el nombre d’accessos durant cada hora al llarg de 8 hores consecutives. Què val

la probabilitat que el nombre màxim d’accessos registrat superi 40?

0,049 0,112 0,164 0,231 0,316

0,415 0,526 0,639 ..............................

Una cisalla circular talla discos d’una xapa que pesa 1,5 g/cm2 i el diàmetre, mesurat en cm, es distri‐

bueix N(m = 50; 2 = 0,25).

35. Sabent que el pes d’un disc és superior a 2,8 Kg, quina és la probabilitat que el diàmetre su‐

peri 51cm?

0,005 0,023 0,116 0,276 0,793

0,951 0,970 0,983 .......................

36. Després de reajustar la màquina per modificar m sense canviar , en una mostra de 9 discos

s’han mesurat els diàmetres i s’ha obtingut X = 40 i S = 0,64. Quin és el valor màxim en que es pot

estimar m amb un risc del 2,5%?

40,327 40,492 44,327 44,492 52,327

52,492 54,327 54, 492 60,327 60,492 .................

37. Sigui X b(n = 10; p = 0,1) i Y, independent de X, pren els valors 0; 2; 4 i 6 de forma equiprobable.

Calcular P(XY 0) 0,488 0,541 0,584 0,619 0,647

0,669 0,687 0,702 .......................

38. Essent X1 i X2 independents, distribuïdes Poisson amb 1 = 1 i 2 = 2. Calcular P(X1X2 0) 0,318 0,348 0,400 0,422 0,491 0,547

0,562 0,565 .................

39. En una empresa el 40% dels empleats són titulats universitaris i no parlen alemany, el 20% són titu‐

lats universitaris i parlen alemany i el 30% ni són titulats ni parlen alemany. Quina proporció

d’empleats parla alemany?

0 0,10 0,20 0,25 0,30 0,35

0,40 0,45 0,50 0,60 ..................................

40. Un equip està format per 50 components. El nombre de components avariats cada setmana, X, és

una variable aleatòria tal que P(X = x) = x/1275 per x = 0; 1, ...; 50. Calcula P(19,3 ≤ X < 24)

0,049 0,061 0,067 0,080 0,086 0,099

0,106 0,119 0,126 0,140 ..................................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



12

41. El temps en dies, X, entre avaries d’un procés és exponencial amb P(X < 105,5) = 0,10. Quina és la

probabilitat de tenir 1 avaria en 160 dies?

0,038 0,057 0,074 0,090 0,122 0,128

0,136 0,150 0,177 0,189 ..................................

42. La durada d’unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Calcula la probabilitat

que el temps mínim de 5 reparacions superi les 5 hores

0,023 0,220 0,446 0,501 0,601 0,651

0,698 0,878 0,903 0,995 ..................................

43. La vida d’uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Què val l’esperança matemàtica de X

en mostres de grandària 6?

7,9 9,0 11,7 13,3 15,4 17,1

18,0 20,2 22,3 22,6 ..................................

Un ascensor admet una càrrega màxima de 700 Kg. El pes dels usuaris es pot admetre distribuït

Normal amb m = 70 Kg i = 7,8 Kg. 44. Quina és la probabilitat que amb 9 usuaris hi hagi sobrecàrrega?

0,0014 0,0022 0,0034 0,1587 0,1711 0,1841

0,7704 0,7939 0,9929 0,9966 ..............................

45. Quin és el valor mínim de la mitjana del pes de 16 usuaris, amb un risc del 2,5 %?

64,64 65,79 66,18 66,63 66,94 67,19

67,45 67,59 67,70 67,82 .....................

46. S’estima que el cost d’un viatge és de 2 unitats monetàries per Kg transportat. Quin és el cost

màxim d’un viatge amb 3 usuaris amb un risc del 2,5%?

473 512 1206 1361 1365 1563

1791 2066 2951 3474 .....................

47. Es llencen 2 daus tals que qualsevol parell té doble probabilitat de sortir que qualsevol senar. Essent A

l’esdeveniment “sortir 1, 2 o 3 a la primera tirada” i B el “la suma de les dues tirades igual a 9”. Calcu‐

lar la probabilitat que esdevingui A o B.

0,4568 0,4815 0,5185 0,5432 0,5900 0,5938

0,6000 0,6296 0,6543 0,6563 ...........................

48. Una variable aleatòria té com funció de densitat f(x) = x per 0 < x < 0,5; f(x) = 0,5 per 0,5 < x < 1,5;

f(x) = 1 – x/3 per 1,5 < x < 3 i f(x) = 0 e.q.a.c. Calcula P(0,25 < X < 2)

0,483 0,547 0,651 0,708 0,752 0,802

0,875 0,927 0,958 0,996 ..................................

49. Les trucades a un parc de bombers, durant el mes de gener, es pot considerar Poisson amb mitjana

24,5 trucades cada setmana. Quina és la probabilitat que passin més de dos dies sense cap trucada?

0,0009 0,0030 0,0101 0,0273 0,0498 0,3208

0,4460 0,5960 0,7306 0,8088 ............................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



13

50. La vida d’uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Calcula la probabilitat que la durada màxi‐

ma d’un lot de 12 sigui superior a 100 hores.

0,014 0,020 0,027 0,036 0,052 0,157

0,218 0,277 0,359 0,474 ..................................

51. La durada d’unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Què val la variància de X

en mostres de grandària 4?

0,069 0,086 0,103 0,121 0,138 0,290

0,331 0,387 0,464 0,580 ..................................

52. Un aparell està format per 2 components tipus A i 3 tipus B. Els temps, en minuts, de fabricació de ca‐

dascun d’ells és XA N(10; 0,82) i XB N( 15; 1) i el temps de muntatge, també en minuts, és XM N(8; 0,52). Es considera que el cost per minut, ja sigui de fabricació o de muntatge, és 2€. Calcula la proba‐

bilitat que el cost total d’un aparell sigui inferior a 150€.

0,079 0,174 0,192 0,281 0,560 0,591

0,719 0,808 0,826 0,921 ..................................

53. Es llença un dau en el que la probabilitat de sortir qualsevol resultat menor o igual a 3 és la quarta

part de la de qualsevol altre superior a 3. Sigui A = {resultat múltiple de 3} i B = {resultat inferior a

4}. Calcula la probabilitat que no passi ni A ni B.

0,013 0,028 0,049 0,095 0,333 0,476

0,500 0,533 0,556 0,593 .................

54. Sigui X una v.a. tal que f(x) = 1,5(x + 1)2 si −2 < x < − 1; f(x) = 1,5(x − 1)2 si 1 < x < 2 i f(x) = 0 e.q.a.c.

Calcula P(X 1,5) 0,008 0,064 0,125 0,216 0,504 0,512

0,532 0,563 0,608 0,756 .................

55. El nombre d’avaries és un procés de Poisson amb 20 avaries mensuals de mitjana. Es consideren

mesos de 4 setmanes de dilluns a diumenge. En un moment de la setmana ja es porten registrades

2 avaries, quina és la probabilitat d’acabar la setmana amb menys de 4 avaries?

0,011 0,022 0,040 0,045 0,075 0,084

0,136 0,147 0,234 0,376 .................

El consum de combustible d’un vehicle en trajectes de 1 Km és N(0,07 litres; 0,0025 litres2).

56. Si el combustible es paga a 0,95 € el litre, quin és el cost total màxim (€) de 500 Km amb un

risc del 2,5%?

28,46 35,33 42,18 49,01 55,83 63,84

79,80 95,76 111,72 127,68 .................

57. Quina és la probabilitat que el consum mitjà per Km després de fer 25 Km superi els 0,065 li‐

tres (ajuda: n = 25)?.

0,0015 0,3975 0,5160 0,6064 0,6915 0,8413

0,9332 0,9773 0,9938 0,9999 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



14

58. La durada (anys) d’un electrodomèstic és W( = 2; = 11). Si ja fa 10 anys que funciona quina és la probabilitat d’espatllar‐se abans dels 15 anys?

0,033 0,187 0,305 0,333 0,411 0,562

0,644 0,790 0,843 0,916 .................

59. Les mesures de la resistència d’unes pales de turbina ha estat 25,4; 28,5; 27,2; 30,3 i 26,8. Adme‐

tent llei Normal, quin és el valor mínim en que es pot estimar 2 amb un risc del 5%?

1,23 1,45 2,46 2,89 3,34 3,92

4,19 4,92 10,84 12,73 .................

60. La durada d’unes reparacions, distribuïda log‐Normal (m; 2), ha estat 11; 28; 61; 19 i 41 minuts. Es‐

tima el paràmetre m.

2,7 3,3 4,0 4,7 4,9 17,2

32,0 64,6 127,2 159,0 .................

61. Una urna té 20 boles numerades de 0 a 9 amb 2 boles de cada valor. Se’n treuen 3 sense reposició.

Sabent que la primera ha estat un 5, calcula la probabilitat que les altres dues siguin senars.

0,018 0,088 0,211 0,250 0,263 0,322

0,423 0,548 0,602 0,658 .................

62. En un edifici de 8 plantes, la probabilitat que ’ascensor hagi de pujar fins la planta x és igual a

(3x – 2)/92 per x = 1; ...; 8. Si l’ascensor ja ha passat de la planta 2 i segueix pujant, quina és la pro‐

babilitat que hagi de sobrepassar la planta 6?

0,228 0,239 0,253 0,446 0,471 0,500

0,513 0,586 0,761 0,875 .................

63. El temps mitjà entre accessos consecutius a una Web és de 5 minuts i es pot admetre que es tracta

d’un procés de Poisson. Quina és la probabilitat que entre les 9:00 i les 10:00 hi hagi menys de 15

accessos si entre les 9:00 i les 9:15 ja s’han produït 5 accessos?

0,055 0,116 0,207 0,324 0,587 0,706

0,876 0,926 0,959 0,978 .................

El cost d’un metall és de 0,050 €/g i la quantitat necessària per recobrir una placa és N(80g; 2 = 16g2)

64. Quin és el cost total mínim, amb un risc del 1,5%, del metall per recobrir 35 plaques?

71,32 78,06 106,98 117,62 124,81 137,43

142,64 157,26 178,30 196,93 .................

65. Quina és la probabilitat que en el recobriment de 50 plaques en cap d’elles s’hagi gastat més

de 90 g de metall?

0,0315 0,3164 0,4539 0,5874 0,6560 0,7324

0,8758 0,9101 0,9347 0,9886 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



15

66. La durada (minuts) d’una reparació és log‐Normal amb mitjana 57,1 minuts i variància 307,1 mi‐

nuts2. Quina és la probabilitat que una reparació s’acabi abans de 50 minuts?

0,061 0,213 0,334 0,386 0,616 0,625

0,719 0,780 0,855 0,953 .................

67. Els valors dels diàmetres de 8 peces han donat una variància igual a 32. Admetent llei Normal, quin

és l’extrem superior de l’interval de confiança al 95% per 2?

86,98 99,41 115,98 132,54 144,97 165,68

173,96 198,82 202,96 231,95 .................

68. El nombre mitjà de cotxes que arriben a una benzinera és constant. La mitjana d’arribades cada ho‐

ra és de 180 cotxes. Com a màxim en pot atendre 2 cada minut. Què val la probabilitat que en un

minut arribin més cotxes dels que pot atendre?

0,093 0,143 0,181 0,243 0,264 0,323

0,353 0,377 0,482 0,577 .................

69. Una moneda amb P(cara) = 0,4 es llença fins tenir 2 cares seguides o bé fins tenir en total 3 creus

(no necessàriament consecutives). Què val la probabilitat de necessitar més de 3 llançaments per

acabar el joc?

0,112 0,224 0,347 0,416 0,432 0,504

0,528 0,626 0,752 0,818 .................

70. Un sistema de seguretat està format per 5 components idèntics i independents que assenyalen la

presència de gas tòxic. L’alarma salta quan, com a mínim, 4 components assenyalen gas. Se sap que

cadascun té probabilitat 0,2 de detectar indegudament el gas i probabilitat 0,1 de no detectar‐lo,

quan realment n’hi ha. Què val la probabilitat que no salti l’alarma quan hi ha emissió de gas?

0,012 0,016 0,047 0,074 0,082 0,114

0,165 0,224 0,410 0,556 .................

71. Sigui X tal que P(X = x) = x2/91 per x = 1, 2, ..., 6. Què val P(X ≤ 5|X > 2)?

0,291 0,322 0,532 0,581 0,600 0,621

0,628 0,632 0,641 0,714 .................

El consum de combustible (litres) per hora de vol d’un helicòpter es pot considerar

N(m = 380; 2 = 25), i el dipòsit és de 900 litres.

72. Què val la probabilitat que amb 2 hores de vol consumeixi més del 85% del dipòsit?

0,03 0,08 0,10 0,18 0,24 0,31

0,44 0,46 0,62 0,66 .................

73. Quin és el consum mínim per hora amb una seguretat del 97,5%?

364,80 366,20 366,80 368,20 368,80 370,20

370,80 372,20 372,80 374,20 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



16

74. S’han fet 12 vols d’una hora de durada cadascun. Què val la probabilitat que el màxim con‐

sum hagi superat 390 litres?

0,003 0,008 0,023 0,030 0,055 0,094

0,115 0,241 0,492 0,769 .................

75. La durada, X, d’una reparació en minuts és X logN(4; 1). Si es fan 225 reparacions, què val la pro‐babilitat que la durada mitjana sigui superior a 95 minuts?

0,067 0,102 0,145 0,200 0,264 0,309

0,337 0,444 0,484 0,664 .................

76. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s’ha obtingut una mitjana igual a 0,65 mg i una

desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor màxim, amb un risc

del 5%, en que es pot estimar l’esperança matemàtica del contingut de nicotina en un cigarret?

0,6655 0,6671 0,6687 0,6693 0,6706 0,6727

0,6734 0,6777 0,6790 0,6858 .............

77. Tenim 25 daus equilibrats i 10 amb una càrrega que fa que P(X = 6) = 2P(X = x) per x = 1, 2, ... 5.

Agafant un dau a l’atzar ha sortit un 6. Calcula la probabilitat que s’hagi llançat un dels daus equili‐

brats.

0,200 0,226 0,429 0,467 0,556 0,593

0,600 0,636 0,714 0,745 .................

78. Per veure si la resistència d’uns cables, distribuïda N(m; 2 = 225), és superior o igual a 2000 amb

un risc del 2,5%, es disposa d’una mostra de grandària 9 amb X = 2030 i S2 = 214,9. Què val el risc

associat a m = 2001?

0,0015 0,0029 0,0052 0,0091 0,0154 0,9846

0,9909 0,9948 0,9971 0,9985 .................

79. Essent F(x) = x2 per 0 < x < 1; F(x) = 0 per x ≤ 0 i F(x) = 1 per x > 1, calcula P(X ≤ 0,5 | X > 0,2)

0,050 0,125 0,176 0,219 0,222 0,400

0,500 0,600 0,636 0,802 .................

Un prototipus de cotxe híbrid té un consum de combustible per Km distribuït N(0,02 litres; 0,072 li‐

tres2). La capacitat del dipòsit és de 8 litres i la bateria totalment carregada té una autonomia dis‐

tribuïda N(m = 20 Km; 2 = 1 Km2).

80. Si surt amb el dipòsit ple, calcula la probabilitat que necessiti utilitzar la bateria en un viatge

de 450 Km.

0,04 0,20 0,47 0,48 0,51 0,52

0,54 0,75 0,90 0,99 .................

81. Quina és la distància màxima que pot fer només amb la bateria amb una seguretat del

97,5%?

18,04 18,54 19,04 19,54 20,04 21,96

22,46 22,96 23,46 23,96 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



17

82. Si es fan 10 desplaçaments només amb la bateria fins esgotar‐la cada cop, quina és la proba‐

bilitat que la màxima distància recorreguda amb una càrrega sigui superior a 22,5 Km?

0,0604 0,2056 0,4992 0,6915 0,8223 0,8413

0,9332 0,9750 0,9773 0,9938 .................

83. La durada d’unes piles es distribueix Weibull amb esperança matemàtica 50 hores i desviació tipus

10 hores. Quin és l’extrem superior de l’interval de probabilitat 0,95 per la durada mitjana de les pi‐

les contingudes en una caixa de 1000?

48,35 48,42 49,37 49,44 50,52 50,62

51,42 51,51 52,39 52,46 .................

84. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s’ha obtingut una mitjana igual a 0,65 mg i una

desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor màxim, amb un risc

del 5%, en què es pot estimar la desviació tipus del contingut de nicotina en un cigarret?

0,0685 0,0719 0,0730 0,0774 0,0797 0,0877

0,0899 0,1018 0,1186 0,1437 .................

La producció d’una empresa es reparteix amb un 20% de producte A, un 40% de B, un 25% de C i la

resta d’altres productes. Al client M se li ven el 10% de la producció de A, el 50% de la de B i el

70% de la de C. Al client N se li ven un 5% de la de A, un 10% de la de B, un 20% de la de C i la to‐

talitat de la resta de productes.

85. Quina proporció (%) de la producció de l’empresa compra el client N?

15 17 21 25 29 30

33 35 40 45 .................

86. Què val la probabilitat que una unitat venuda a un client que no és ni M ni N sigui de producte C?

0,0052 0,0192 0,0278 0,0354 0,0435 0,0571

0,0656 0,0704 0,0833 0,0959 .................

87. Els accessos diaris a un caixer tenen mitjana constant i igual a 150. Del dia 1 al 15 de març, inclosos,

ha tingut 2000 accessos. Què val la probabilitat que en tot el mes de març es superin els 4500 ac‐

cessos?

0,0202 0,0823 0,1531 0,2504 0,3409 0,4598

0,6074 0,7088 0,8924 0,9641 .................

Les làmines d’acer galvanitzat SAE1006 d’ample 700 mm, tenen un pes de 183 g/m2 i es serveixen en

forma de bobina. La longitud enrotllada és N(m = 4285 m; 2 = 1600 m2). Amb un risc del 2,5%,

88. Quina és la longitud màxima enrotllada en una bobina?

4330,8 4340,8 4343,4 4350,8 4353,4 4360,8

4363,4 4365,8 4373,4 4378,4 .................

89. Què pesen, com a mínim, 4 bobines (Kg)?

2145,21 2150,34 2155,46 2160,59 2163,15 2165,30

2170,42 2175,55 2180,67 2183,23 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



18

El pes d’una persona de determinat grup ètnic es pot considerar N(m = 58 Kg; 2 = 100 Kg2). S’agafen

16 persones d’aquest grup

90. Quin és el valor màxim de la variància mostral amb un risc del 5%?

151,73 158,65 162,28 164,02 166,64 172,91

177,59 178,86 183,25 199,27 .................

91. Quina és la probabilitat que el més prim no arribi a pesar 40 Kg?

0,036 0,125 0,267 0,355 0,443 0,482

0,519 0,599 0,678 0,701 .................

92. La resistència a la tracció de l’aliatge U‐700 es distribueix Normal. Mesurades 36 provetes, s’ha ob‐

tingut un interval de confiança per m igual a [11,694; 14,306] amb 2i

i

x = 7344. Quin és el risc de

l’interval? 0,001 0,002 0,005 0,010 0,020 0,025

0,050 0,100 0,200 0,250 .................

Per anar a treballar una persona va per l’itinerari A el 40% dels dies, pel B el 20%, pel C el 15% i la res‐

ta de dies agafa el tren. Troba caravana el 10% dels dies que va per A, el 20% dels que va per B i el

30% dels que va per C.

93. Què val la probabilitat de trobar caravana un dia qualsevol?

0,006 0,105 0,125 0,135 0,145 0,165

0,250 0,333 0,500 0,600 .................

94. Si no ha trobat caravana, quina és la probabilitat que hagi estat en l’itinerari C?

0,0278 0,1056 0,1173 0,1200 0,1214 0,1228

0,1257 0,1354 0,1520 0,1920 .................

95. La probabilitat que una màquina no serveixi la beguda demanada és constant i igual a 0,05. Quina

és la probabilitat que estudiant 1000 peticions es detecti que ha servit la beguda menys de 950

vegades?

0,0502 0,1587 0,3567 0,4721 0,6274 0,7324

0,8293 0,8962 0,9686 0,9922 .................

La distància(m) recorreguda per un cotxe cada segon es pot considerar N(m = 27; 2 = 4) i fa una pa‐

rada tècnica, exactament, cada 3 hores. Una moto necessita un temps(h) N(m = 1,25; 2 = 0,0025)

per fer 100 Km.

96. Amb un risc del 2,5%, quina és la distància màxima (Km) recorreguda pel cotxe entre 2 parades

tècniques consecutives?

272,8 274,5 286,0 291,2 292,0 308,3

321,2 333,9 336,5 338,9 .................

97. Amb un risc del 2,5%, quin és el temps mínim (h) que necessita la moto per fer 300 Km?

2,30 2,36 3,46 3,58 4,61 4,80

5,76 6,03 6,91 7,26 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



19

98. La resistència al trencament (Kg) d’un cinturó de seguretat és N(m = 3000; 2 = 8100). S’agafen 9

cinturons d’aquest tipus. Quina és la probabilitat que la mitjana de les resistències no superi els

2950Kg?

0,0027 0,0066 0,0091 0,0274 0,0475 0,9525

0,9726 0,9909 0,9934 0,9973 .................

99. Es llencen simultàniament 2 daus, el primer és equilibrat i en el segon la probabilitat de qualsevol

parell és un 150% la de qualsevol senar. Si la suma ha donat 8, quina és la probabilitat que el pri‐

mer dau hagi donat un 2?

0,091 0,121 0,133 0,148 0,176 0,190

0,217 0,231 0,241 0,267 .................

100. En les taquilles de venda d’entrades d’un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1 entrada,

el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb 2000 compradors

s’hagin venut més de 4640 entrades?

0,24 0,10 0,24 0,34 0,44 0,55

0,75 0,85 0,92 0,95 .................

El temps (minuts) necessari per l’evacuació d’un edifici és W(2,5; 10).

101. Què val la probabilitat que amb 4 simulacres d’evacuació, més de la meitat durin més de 7

minuts cadascun?

0,030 0,144 0,243 0,336 0,414 0,436

0,587 0,632 0,749 0,793 .................

102. Sigui X ~ exp( = 0,5). Què val l’esperança matemàtica del valor mínim de les mostres de

grandària 5?

0,08 0,10 0,12 0,25 0,40 0,54

0,75 1,29 1,50 2,00 .................

103. El gramatge (g/m2) del paper tipus A és N(80; 0,25) i el de tipus B és N(90; 0,16). Es fan 10 deter‐

minacions del gramatge de paper A i 25 de paper B. Quin és el valor màxim del quocient entre la

variància de la mostra de A i la de la de B amb un risc del 5%?

2,30 2,42 2,65 2,90 3,59 3,68

3,78 4,14 4,53 5,75 .................

El temps per anar (o tornar) des de casa a l’estació és N(15; 2 = 1). El temps d’espera a l’estació és

N(8; 2 = 4) i la durada del viatge de tren és N(45; 2 = 1) (tot en minuts).

104. Quina és la probabilitat que el temps setmanal (5 dies) dedicat a anar i tornar des de casa a

l’estació de destí superi 11 hores?

0,099 0,302 0,341 0,436 0,579 0,674

0,742 0,794 0,922 0,995 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



20

105. En 4 setmanes (de 5 dies), quina és la probabilitat que el viatge més ràpid en tren entre les

dues estacions hagi estat inferior a 44 minuts?

0,060 0,206 0,499 0,691 0,822 0,841

0,933 0,975 0,977 0,994 .................

106. L’usuari comença el dilluns al matí un llibre de 224 pàgines i només llegeix dins el tren. El

temps de lectura d’una pàgina (minuts) és N(2; 2 = 0,04). Quina és la probabilitat que en

acabar la setmana (5dies) encara no hagi acabat el llibre?

0,010 0,084 0,323 0,413 0,448 0,484

0,516 0,583 0,677 0,989 .................

107. El contingut d’uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasos ha estat

9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot estimar la variància del con‐

tingut dels envasos amb un risc del 5%?

0,93 1,09 2,02 2,21 2,37 2,59

3,33 3,91 5,22 6,13 .................

108. En un operador telefònic el 70% dels cops que es marca un número s’estableix la connexió correc‐

ta. Quina és la probabilitat d’haver de marcar el número correcte, com a mínim 3 cops, per poder

parlar‐hi?

0,023 0,040 0,063 0,090 0,160 0,216

0,343 0,422 0,512 0,614 .................

109. En les taquilles de venda d’entrades d’un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1 entrada,

el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb els tres primers com‐

pradors s’hagin venut 10 entrades?

0,0518 0,0540 0,0585 0,0653 0,0743 0,0882

0,0995 0,1215 0,1664 0,2746 .................

110. La durada de les reparacions (hores) d’una escala mecànica és logN(1,14; 2 = 0,9). Calcular la

probabilitat que, després d’haver efectuat 20 reparacions, com a màxim 2 hagin durat més de 20

hores cadascuna.

0,0014 0,0130 0,0882 0,0995 0,1774 0,2882

0,4962 0,9118 0,9870 0,9986 .................

111. Sigui X ~ U[0; 1]. Calcular l’esperança matemàtica del valor màxim de les mostres de grandària 10

0,131 0,356 0,500 0,689 0,752 0,889

0,909 0,923 0,933 0,941 .................

112. El contingut dels iogurts de la marca A és N(125 g; 9 g2). El de la B és N(120 g; 10 g2). Es compra un

pack de 4 iogurts de cada marca. Quina és la probabilitat que el contingut mitjà per envàs del

pack de B superi al del pack A?

0,001 0,008 0,011 0,015 0,018 0,023

0,032 0,046 0,054 0,065 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



21

El temps (minuts) d’una cançó és N(3; 2 = 0,25), el d’aplaudiments entre cançons és N(0,8; 2 = 0,02)

i el dels aplaudiments de final de concert N(5; 2 = 0,90). Es considera que els aplaudiments després

de l’última cançó són els de final de concert i que no hi ha cap repetició de cançons en acabar ni

aplaudiments abans de la primera cançó.

113. Amb un risc del 1,5%, quina és la durada mínima (minuts) d’un concert amb 20 cançons.

52,96 56,60 57,64 59,82 61,90 73,63

74,51 74,76 75,29 75,79 .................

114. S’ha fet una gira de 10 concerts (de 20 cançons cadascun), calcula la probabilitat que

l’aplaudiment final més curt no hagi superat els 4 minuts.

0,004 0,017 0,041 0,057 0,147 0,161

0,298 0,444 0,796 0,971 .................

115. L’equip de so (que només funciona mentre canten) és de 80000 w. El preu de l’electricitat és

de 0,14 €/kWh. Calcula la desviació tipus del cost (€) de l’energia elèctrica consumida en l’emissió

d’un concert de 20 cançons.

0,313 0,365 0,417 0,470 0,522 1,400

1,633 1,867 2,100 2,333 .................

116. El contingut d’uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasos ha estat

9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot estimar l’esperança matemà‐

tica del contingut dels envasos amb un risc del 5%?

5,76 6,48 6,81 7,91 8,06 8,73

9,55 9,64 9,96 10,26 .................

EEXXEERRCCIICCIISS

PPRROOPPOOSSAATTSS

EEXXAAMMEENN FFIINNAALL

LESTAD

ETSEIAT− UPC

Enunciats exercicis examen final


25

1. Una mostra ha estat 13,5; 19,8; 7,4; 23,8 i 12,8. En el gràfic probabilístic Normal, quina abscissa cor‐

respon a l’ordenada z = – 0,52?

3,5 7,4 12,8 13,5 17,4 19,8 23,8

27,4 32,8 33,5 .....................

Al modelitzar una resposta, amb ordenada en l’origen i 8 experiències, ha resultat

(X’X)–1= diag(0,125 0,1 0,2 0,05), ˆ β = (14 3 4 0,5), 2i

i

Y 3368, ii

Y 112 i 2i

i

e 720.

2. Què val R2?

0,489 0,528 0,567 0,600 0,656 0,717

0,736 0,792 0,929 0,969 .....................

3. Quin és l’error tipus de 2 ?

1,67 2,53 4,33 4,88 5,05 5,57

6,00 6,24 6,52 6,78 ......................

4. Quin és l’extrem superior del interval de predicció del 95% per 0x = (1 2 1 2)

39,411 46,788 62,292 67,015 68,490 72,951

76,674 78,784 81,145 83,412 ....................

En un estudi de fiabilitat, prenent com unitat l’hora, una peça A en el gràfic probabilístic exponencial

ha donat –lnR(x) = 0,005 x, i el gràfic de Weibull d’una peça B ha resultat

ln(–ln R(x)) = –3,38 + 0,9 ln x.

5. Quin és el nombre mitjà de peces A avariades cada 3000 h?

6,0 7,5 9,0 9,5 10,0 11,5

12,5 13,0 14,0 15,0 ...........................

6. Quina és la taxa de fallada de B a les 10 h?

0,0193 0,0195 0,0198 0,0200 0,0203 0,0207

0,0212 0,0218 0,0227 0,0243 .................

7. Un sistema munta en sèrie un subsistema de dos peces A en paral∙lel amb un altre subsistema

de tres peces B en paral∙lel. Quina és la fiabilitat del sistema a les 10 h?

0,2627 0,3195 0,3863 0,4636 0,5511 0,6471

0,7476 0,8454 0,9293 0,9843 ...................

8. En una prova d’hipòtesi bilateral sobre m d’una X N(m; 2 = 16), amb n = 10, el nivell de significació

ha estat igual a 0,03. Què val | X − m0|?

1,40 1,80 2,23 2,61 2,74 2,87

2,95 3,31 3,64 3,91 .............................

9. Al verificar si m m0, per una població X N(m; 2 = 9) i mostra de grandària 4, s’ha obtingut X = 15

amb un nivell de significació igual a 0,015. Què val m0?

10,37 10,68 11,07 11,51 11,60 11,69

11,75 11,91 12,36 12,87 .........................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



26

10. En un model lineal amb ordenada a l’origen (X’X) = diag(9 6 6 4); SQR = 225. Què val l’error tipus

del segon terme del model estimat?

2,45 2,74 3,06 3,16 3,42 3,65

3,87 4,08 4,28 4,83 ..................................

11. S’han fet 4 experiències diferents i s’han repetit 3 cops cadascuna. S’ha ajustat un model saturat re‐

sultant S2 = 5,15 i SQT = 300 . Què val el coeficient de determinació de l’ajust?

0,504 0,566 0,725 0,771 0,821 0,858

0,863 0,882 0,908 0,920 ..................................

12. El desgast sofert en una competició en la part interna (X) i l’externa (Y) de 8 pneumàtics

d’idèntiques característiques s’indica en la taula. Admetent llei Normal, què val, en valor absolut,

l’estadístic de la prova per verificar que el desgast mitjà és el mateix en les dues parts del pneumà‐

tic?

X 2,2 3 1,8 2 3,6 1 1,4 3,3

Y 3,6 4,2 2,4 4,2 1,7 3,1 2,4 2,9

1,485 1,506 1,570 1,577 1,610 1,619

1,629 1,698 1,701 1,724 ..................................

Els primers temps (h) de fallada de 20 components han estat 24; 38; 50+; 100+; 108; 112; ...

13. Què val l’ordenada del quart punt del gràfic probabilístic de Weibull?

‐1,74 ‐1,65 ‐1,55 ‐1,43 ‐1,30 ‐1,15 ‐0,97 ‐0,76 ..........

14. Què val la fiabilitat estimada a les 100 h?

0,833 0,857 0,875 0,889 0,900 0,909

0,917 0,923 0,929 0,933 ..................................

15. L’equació del gràfic probabilístic log‐Normal de la vida en hores ha estat z = 4 ln x − 20. Què val la

fiabilitat a les 140 hores d’un sistema en paral∙lel format per 4 components d’aquest tipus?

0,213 0,291 0,392 0,505 0,631 0,752

0,854 0,929 0,972 0,985 ..................................

Si el formigó emprat en la construcció d’un mur no té la suficient quantitat de ciment, la seva resis‐

tència que és N(m; 2), disminueix i hi ha un gran perill d’accident. Si és correcte, m és al menys

5000. Per verificar si el formigó és correcte ( i la resistència no ha disminuït), una mostra de 16 pro‐

vetes ha donat X = 4866,81 i S = 250.

16. Què val el nivell de significació de la prova?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ......................

17. Per veure si 300, amb = 0,10 i n = 16, quin és el risc associat a = 256,23? 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ...............

LESTAD

ETSEIAT− UPC



27

18. El gràfic probabilístic de la vida (hores) d’uns components ha estat ln(−ln R (x)) = −2 + 0,45 ln x. Què

val la fiabilitat a les 100 hores d’un sistema format per dos subsistemes de 3 components en pa‐

ral∙lel cadascun i muntats en sèrie entre ells?

0,033 0,124 0,133 0,288 0,510 0,657

0,703 0,795 0,937 0,953 ........................

19. Les fallades en un estudi de fiabilitat de 15 fusibles truncat a les 60 hores són: 12; 20+; 25+; 28;

30+; 32; 40+; 44; 48; 50+; 52 i 56. Què val la fiabilitat a les 30 hores?

0,843 0,856 0,865 0,881 0,894 0,916 0,920

0,931 0,935 0,941 0,949 .........................

20. Es vol verificar si la mitjana d’un procés, que és Normal amb = 5, és igual a 12. Una mostra de gran‐

dària 4 ha donat X = 10 i S = 2,4420. Calcula el nivell de significació de la prova

0,010 0,020 0,050 0,099 0,165 0,200

0,208 0,258 0,327 0,424 ..................................

21. Si l’esperança matemàtica de l’emissió de cert producte volàtil en una combustió supera 25 ppm la le‐

gislació imposa elevadíssimes sancions. Les anàlisis de control, sobre una mostra de grandària 16, han

donat X = 23 ppm i S = 5,966 ppm. Admetent llei Normal, calcula el nivell de significació de la prova per

decidir si es pot seguir treballant en aquestes condicions.

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 ..................................

S’ha estudiat la resposta d’un procés amb 3 factors de control a 3 nivells cadascun, fent 30 experiències

de les quals només n’hi ha 14 de diferents

22. Amb el model saturat s’ha obtingut SQT = 1500, QMR = 12,5. Calcula R2

0,415 0,469 0,552 0,603 0,680 0,744

0,808 0,867 0,947 0,998 ..................................

23. Pas a pas s’obté Y = 10,2 + 4,6 X1 + 5,4 X1X2 amb diag(X’X) 1 = (26,5 1,5 0,16) i SQR = 250.

Amb = 0,05, què val l’estadístic per verificar si la interacció és significativa? 2,359 2,864 3,307 3,808 4,050 4,437

5,867 6,047 7,015 8,998 ..................................

En un assaig de fiabilitat sobre 20 components, a les 30 hores n’han fallat 10 sense cap censura. Les

següents dades són 36; 41+; 44; 60+; ...

24. Estima la fiabilitat a les 45 hores.

0,265 0,350 0,394 0,403 0,497 0,569

0,623 0,699 0,754 0,898 ................

25. Calcula l’ordenada associada a la desena fallada en el gràfic probabilístic de Weibull

‐1,31 ‐1,25 ‐1,04 ‐0,98 ‐0,88 ‐0,82

‐0,69 ‐0,62 ‐0,44 ‐0,37 .......................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



28

26. La recta del gràfic de Weibull presenta un bon ajust amb paràmetres 0 = 3 i 1 = 0,78. Calcu‐

la la fiabilitat d’un sistema de 6 components en paral∙lel a les 80 hores.

0,358 0,446 0,529 0,614 0,773 0,852

0,920 0,963 0,985 0,997 ..................................

27. Se sap que el diàmetre d’uns DVD es distribueix Normal amb desviació tipus igual a 0,04 cm En el

control de qualitat es vol garantir que la mitjana del diàmetre sigui inferior o igual a 12 cm, amb = 0,025 i n = 16. Quin és el risc associat a m = 12,010?

0,02 0,05 0,10 0,15 0,32 0,48

0,58 0,68 0,83 0,95 .................

28. En la prova d’hipòtesi H0: 2 5 ; H1: 2 < 5 amb X ~ N(m, 2), n = 10 i = 0,10, què val el risc asso‐ciat a 2 = 12,01?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 ..................................

29. Un equip consta de 5 components en sèrie. La vida de cadascun d’ells es pot admetre exponencial amb

un gràfic probabilístic de pendent igual a 0,005. Què val el tercer quartil de la durada del sistema?

15,40 17,33 19,80 36,02 40,93 55,45 .............

30. Una prova de vida de 10 elements s’ha aturat a les 50 h. S’han registrat les durades i censures se‐

güents: 18,0; 45,3; 10+; 35+; 32,1; 39,4 i 30+. Quina és l’ordenada del gràfic probabilístic de Weibull

associada al registre 32,1h?

−2,04 –1,90 –1,74 –1,65 –1,55 –1,51

–1,35 –1,30 –1,15 –0,90 ..................................

S’han fet 32 experiències, de les quals 26 són diferents entre elles, per estudiar 7 factors a 3 nivells

cadascun. Tots els factors s’han estudiat dins l’interval [−1; 1]. El model definitiu ha estat

1 5 2 5Y 6,085 4,18X 8,14X 8,70X X , amb SQR = 74,05; SQT = 1058,44 i

diag(X’X)‐1 = (0,0750 0,0440 0,0496 0,0520),

31. Quin és el valor de l’estadístic de l’estudi de la significació del model?

9,39 66,47 70,90 79,76 97,49 124,07

132,94 141,80 150,66 159,52 ..............

32. Quin és el valor de l’estadístic de l’estudi de la significació del terme X1?

9,39 9,72 10,03 10,34 10,64 12,25

12,68 13,10 13,50 13,89 .................

33. La variància d’un procés és igual a 2, i qualsevol augment implica una molt forta sanció econòmica.

Una mostra de grandària 11 ha donat S2 = 0,5116. Admetent llei Normal, què val el nivell de signifi‐

cació (p‐value) de la prova?

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 ......................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



29

34. S’ha mesurat la suavitat de 15 teixits abans i desprès d’aplicar un additiu. Admetent llei Normal i del 5%, quins són els valors frontera per verificar si l’additiu canvia la mitjana?

±1,440 ±1,886 ±2,064 ±2,093 ±2,110

±2,145 ±2,201 ±3,182 ±4,541 ±9,925 ......................

En un estudi sobre la quantitat d’energia necessària per decolorar una aigua residual, s’ha treballat

amb 4 factors i cadascun a 3 nivells equidistants. L’experimentació ha consistit en 8 experiències

repetides 2 cops cadascuna i una altra repetida 8 cops. En el model definitiu s’ha obtingut:

Ŷ = 26 + 17,3 X2 + 4,9X4 + 5,1 X2X4 amb (X’X) = diag(24 16 16 16); SQT = 6061 i SQEx = 5586

35. Què val l’estadístic de l’estudi de la significació del model, amb un risc del 5%?

8,52 12,12 24,89 31,28 31,99 39,57

56,85 67,82 78,40 98,52 .................

36. Calcula l’extrem superior de l’interval de confiança del consum mitjà, amb un risc del 5%, en

el punt X1 = X2 = 1 i X3 = X4 = 0?

35,74 36,27 37,03 37,60 37,94 46,23

46,58 47,15 47,92 49,12 .................

37. La durada mitjana de 15 components, de vida acceptablement exponencial, ha estat igual a 40 h.

Què val l’extrem inferior de l’interval de confiança al 95% per la fiabilitat a les 10h?

0,304 0,415 0,514 0,615 0,637

0,652 0,664 0,676 0,712 0,954 ......................

38. El gràfic probabilístic Weibull d’unes durades té un bon ajust a la recta amb pendent 0,81 i ordena‐

da a l’origen igual a 3,08. Quin és el valor estimat per a la mitjana de la durada?

35,53 44,55 50,20 59,56 63,16

69,87 76,93 88,02 92,23 103,54 ...............

39. Un fabricant de components electrònics ha de decidir entre dos tipus de plàstic, P15 i P80, en fun‐

ció de la seva resistència a la ruptura. Se sap que les resistències de P15 i P80 són Normals amb des‐

viació tipus = 0,08 Kp/cm2. El P15 és molt més car i només és rendible escollir‐lo si la seva mitjana

supera a la del P80 almenys en 1 Kp/cm2. Es disposa de la següent informació: nP15 = 8; P15X = 11,42

Kp/cm2; nP80 = 8 i P80X = 10,50 Kp/cm2. Què val el nivell de significació de la prova amb la que es de‐

cidirà quin plàstic s’utilitza?

0,00621 0,02275 0,10565 0,15866 0,30854 0,69146

0,84134 0,89435 0,97725 0,99379 .................

40. Es disposa de 2 mostres, cadascuna de 10 engranatges de plàstic per a impressores làser, proce‐

dents dels fabricants A i B. S’ha mesurat la seva resistència a l’impacte (J) i s’ha obtingut AX = 393;

SA = 16; BX = 400 i SB = 18. Admetent llei Normal i amb un risc del 5%, què val l’estadístic de la prova

per veure si mA i mB són iguals?

Falten dades ‐2,376 ‐1,576 ‐0,919 ‐0,263 0,394

0,852 1,050 1,757 2,491 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



30

S’ha estudiat la resistència al tall (Y) d’un adhesiu en funció de la pressió (X1): ‐3; ‐1; 1; i 3 unitats co‐

dificades (u.c.) i de la temperatura (X2): ‐1; 0 i 1 unitats codificades (u.c.). Part dels resultats són

g.d.ll. S.Q. Coefs. Error típic

Regressió 4 440,38 const. 11,18 0,61

Residus 7 14,58 X1 1,86 0,17

X2 0,88 0,47

X1X2 ‐2,28 0,21

X12 0,32 0,08

41. Què val l’estimació de la variància comú?

1,35 1,40 1,44 1,51 1,56 1,83

1,95 2,08 2,27 2,44 .................

42. A quina pressió (u.c.) cal treballar per assegurar una resistència a l’entorn de 14,5 si es

fixa la temperatura a 0,2 u.c.?

‐6,58 ‐6,40 ‐6,22 ‐6,02 ‐5,80 1,42

1,63 1,84 2,02 2,20 .................

43. Un gràfic probabilístic log Normal sobre 30 dades de vida (h) ha presentat un bon ajust a la recta y

= 20 x – 90. Quin és el percentil del 97,5%?

60,2 77,3 99,3 115,4 127,5 135,6

144,1 152,9 163,7 172,8 .................

44. Calcula la fiabilitat d’un aparell format per dos subsistemes en sèrie. El primer té 6 components, de

fiabilitat individual igual a 0,90, i perquè funcioni cal que ho facin almenys 4; el segon està format

per 8 components de fiabilitat individual 0,80 i per funcionar requereix que ho faci la meitat dels

seus components, com a mínim.

0,9072 0,9123 0,9286 0,9303 0,9740 0,9779

0,9804 0,9818 0,9827 0,9997 .................

En unes proves de durada (Km) d’uns pneumàtics GRIP i SUPERGRIP, que són acceptablement Nor‐

mals, s’ha obtingut

durades mitjanes desviacions tipus

GRIP 44776 44554 45676 44690 44979 44935 442,01

SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905 45435 1770,15

45. Què val l’estadístic de la prova per verificar la igualtat de variàncies?

0,027 0,043 0,049 0,062 0,079 12,728

16,038 20,226 23,522 37,525 .................

46. Quin és el valor absolut de l’estadístic de la prova per verificar la igualtat de mitjanes?

0,194 0,234 0,605 0,613 0,722 0,830

1,215 1,233 1,403 1,499 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



31

47. Per verificar, amb = 0,05, si es pot acceptar que la variància d’una mesura (distribuïda Normal) és

menor o igual que 20, es disposa d’una mostra amb n = 6; X= 185,3 i S2 = 2,216. Quin és el nivell de

significació de la prova?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 .................

En un model lineal es disposa de 8 punts diferents repetits cadascun 2 cops. S’ha ajustat un model sa‐

turat i s’ha obtingut SQT = 518 i SQR = 52

48. Què val l’estadístic que verifica si el model és significatiu?

4,59 5,21 7,04 7,91 8,85 10,24

12,26 13,45 17,41 20,85 .................

49. Després d’eliminar tots els termes no significatius, el model ha quedat reduït a una recta amb

un pendent estimat com 1,3120 amb un error tipus de 0,50. Quin és el p‐value de la prova de sig‐

nificació del pendent?

0,001 0,002 0,003 0,005 0,010 0,020

0,025 0,050 0,100 0,200 .................

El gràfic probabilístic d’un estudi de vida d’uns components ha presentat un molt bon ajust al model

‐ ln R(t) = 0,0025 t

50. Quin és el valor estimat pel percentil 90?

94,3 184,8 239,1 419,9 481,6 643,8

758,8 921,0 1198,3 1564,8 .................

51. Quina és la fiabilitat estimada per t = 10 d’un sistema en sèrie format per 5 dels components

anteriors?

0,368 0,417 0,472 0,535 0,592 0,687

0,779 0,882 0,939 0,975 .................

SSOOLLUUCCIIOONNSS

EEXXAAMMEENN PPAARRCCIIAALL

LESTAD

ETSEIAT− UPC

Solucions exercicis examen parcial


35

Sigui la densitat de probabilitat de la figura, on a = 1,1.

1. Què val V(X)?

0,605 0,720 0,845 0,980 1,125 1,280 1,445

1,620 1,805 2,000 ........................................

Per la simetria de la figura, l’àrea de cada triangle és 0,5 i, essent a la base, l’alçaria val

1/a. Com, a més, la densitat de probabilitat és no negativa, resulta

2

2

xsi a x 0

af(x)

xsi 0 x a

a

E(X) = 0, per simetria, i

V(X) =

0 a0 a 4 4 22 2 2

2 2 2 2

a 0 0a

x x x x aE X x dx x dx

2a a 4a 4a

2. Si X < 0,8, què val la probabilitat de X < 0,2?

0,7115 0,7425 0,7692 0,7924 0,8125 0,6757

0,8300 0,8454 0,8588 0,8707 ...........

Cal calcular la probabilitat condicional següent

P(X < 0,2 | X < 0,8) = 2

2

1 0,20,5 0,2

P(X 0,2;X 0,8) P(X 0,2) 2 a 0,67571 0,8P(X 0,8) P(X 0,8) 0,5 0,82 a

-3 -2 -1 0 1 2 3-a 0 a X

f(x)

3X

f(x)

X‐ a a0

-3 -2 -1 0 1 2 3-a 0 a X

f(x)

3X

f(x)

X‐ a a0

1/a 1/a

x‐x

LESTAD

ETSEIAT− UPC



36

3. En un interval de 2 h, d’un procés de Poisson amb = 1 per h, la primera arribada ha estat

als 30 minuts. Quina és la probabilitat que la propera arribada trigui més que la primera?

0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466

0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 ..............

Designant X el temps des de la primera arribada fins la propera, es tracta d’una variable

aleatòria exponencial de = 1 per h. Llavors,

P(X > 30) = exp( – x) = 1

exp 30 0,606560

4. Essent X N(m; 2 = 36), amb una mostra de grandària 4, en una prova d’hipòtesis les re‐

gions crítiques són { X 104,5 i X < 96,5}, quin és el risc associat a m = 96?

0,49621 0,38060 0,39189 0,40718 0,41869

0,43018 0,44573 0,45737 0,46893 0,48457 ................

Com hi ha dues regions crítiques, es tracta d’una prova d’hipòtesis bilateral.

A més, el valor m = 96 està a la regió crítica de l’esquerra, és, doncs, un valor de la hipò‐

tesi alternativa i el risc és acceptar H0, llavors

1P(X A m H ) P(96,5 X 104,5 m 96) P(0,17 Z 2,83) 0,43018

5. Essent X N(m; 2), l’amplitud de l’interval de probabilitat 0,99094 és 52,2, què val 2?

25 121 144 100 81

64 49 36 169 196 ...........................

L’amplitud de l’interval de probabilitat 1 (A.I.P.) és igual a la de l’interval ± z/2 . Així

/2 = (1 0,99094)/2 = 0,00453 z0,0453 = 2,61

/2

A.I.P. 52,2z 26,1

2 2

= 10 i 2 = 100

LESTAD

ETSEIAT− UPC



37

6. X1, X2 i X3 són valors independents de X N(10; 2 = 36), què val P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3)?

0,35197 0,30854 0,27425 0,20327 0,18943

0,24510 0,22363 0,17619 0,47210 0,40517 ...........

Atès que

P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3) = P(0,9 X1 + 1,1 X2 – 2,1 X3 > 0)

Y = 0,9 X1 + 1,1 X2 – 2,1 X3 és una combinació lineal de variables normals independents i,

com a tal, segueix una llei normal de mitjana my = m (0,9 + 1,1 – 2,1) = – 0,1 m = 1 i va‐

riància 2y = 2 (0,92 + 1,12 + (– 2,1)2) = 231,48. La probabilitat demanada és

P(Y > 0 ) = ( 1)

P Z231,48

= 0,47210

7. Amb X N(m = 10; 2 = 36), hom pren dues mostres, de n1 = 9 i n2 = 5, si P(S1 < a S2) = 0,05,

què val a?

0,510 0,539 0,567 0,563 0,535

0,543 0,546 0,521 0,529 0,557 ..................

L’esdeveniment {S1 < a S2}, que sols té sentit si a > 0, relaciona les desviacions tipus de

dues mostres de la mateixa població normal i la distribució de probabilitat fa referència al

quocient de variàncies. Així, doncs, s’ha de manipular adequadament l’esdeveniment es‐

mentat per relacionar‐lo amb aquesta distribució. A més, per l’estructura de les taules de

Snedecor és avinent que la transformació sigui del tipus variable més gran que el valor

requerit. Aleshores

0,05 = P(S1 < a S2) = 1 2

22 2 2 21 2 ,2 2

1

S 1P(S a S ) P P F F

S a

on, tenint en compte la manera com s’ha establert el quocient de variàncies, els graus de

llibertat són 1 = n2 – 1 = 4 i 2 = n1 – 1 = 8 i, segons la taula de = 0,05, F = 3,84. Llavors

1

a 0,510F

LESTAD

ETSEIAT− UPC



38

8. Mesurada en dècimes de mil∙límetre, una excentricitat segueix una llei de 2 ( = 9). La pe‐ça és bona quan X < 19. Hom pren una mostra de n = 3, quina és la probabilitat de no tro‐

bar cap defectuosa?

0,7290 0,8574 0,9851 0,9970 0,9269

0,9703 0,7093 0,7770 0,8021 0,6469 ..................

A la taula de la llei de 2 ( = 9) hom troba P(2 > 19,023 ) = 0,025; aleshores, la proporció de peces bones és 0,975 i el percentatge de peces defectuoses és p = 0,025. Designant X

el nombre de peces defectuoses en una mostra de n = 3, resulta

P(X = 0) = (1 – p)n = 0,9753 = 0,9269

9. Per estimar E(X) = m, essent X1, X2 i X3 una mostra, hom pren l’estimador 0,1 X1 + 0,1 X2 +

0,8 X3. Quin és el quocient entre la seva variància i la de l’estimador més usual?

3,03 2,73 2,43 3,21 3,93

1,98 1,62 1,38 1,26 1,86 .....................

La variància de l’estimador proposat és

V(0,1 X1 + 0,1 X2 + 0,8 X3) = 2 (0,12 + 0,12 +0,82) = 0,66 2

i la del estimador usual, X , és 2/n. Llavors, el quocient demanat és

2

2

0,660,66 3 1,98

n

10. Siguin X b(n = 10; p = 0,1) i Y b(n = 12; p = 0,2) independents. Què val E[(X + Y)2]

14,38 15,94 17,58 19,30 21,10 22,98

24,94 26,98 29,10 31,30 .........................

Denotant W = X + Y i recordant que V(W) = E(W2) −[E(W)]2, al ser X i Y independents, re‐

sulta V(X + Y) = V(X) +V(Y). En X b(n, p), E(X) = np i V(X) = np(1 − p). Atenent a les propi‐etats de l’operador esperança matemàtica, resulta

E(W) = E(X + Y) = 100,1 + 120,2 = 3,4

V(W) = V(X) +V(Y) = 100,10,9 + 120,20,8 = 2,82

E[(X + Y)2] = E(W2) = V(W) + [E(W)]2 = 2,82 + 3,42 = 14,38

LESTAD

ETSEIAT− UPC



39

11. Les avaries d’un procés segueixen una llei de Poisson amb 2 avaries cada 100 hores de

mitjana. Quina és la probabilitat que el nombre d’avaries en 250 hores sigui com a mí‐

nim 2 i com a màxim 6?

0,5889 0,6728 0,6982 0,7218 0,7431 0,7617

0,7773 0,7895 0,7977 0,8017 ...........................

Essent la unitat de temps l’hora, resulta 0 = 0,02 avaries cada hora.

Definint X com el nombre d’avaries cada 250 hores, X P( = 2500,02 = 5). Així

P( 2 X 6) = F(6) − F(1) = 0,7622 − 0,0404 = 0,7218

12. El nombre d’equips venuts diàriament per un concessionari és una variable aleatòria tal

que P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,5; P(X = 2) = 0,3 i P(X = 3) = 0,1. Quina és la probabilitat

que en 81 dies les vendes no superin els 124 equips?

0,8389 0,8544 0,8962 0,9088 0,9382 0,9464

0,9656 0,9705 0,9913 0,9927 ..............................

x P(X = x)

0

1

2

3

0,1

0,5

0,3

0,1

E(X) = 1,4

V(X) = 2,6 − 1,42 = 0,64

D(X) = 0,8

Les vendes en 81 dies seran una variable aleatòria, Y, formada per la suma de 81 varia‐

bles aleatòries independents i idènticament distribuïdes, és a dir

81

ii 1

Y X

amb E(Y) = 81 1,4 = 113,4 V(Y) = 81 0,64 = 51,84

Aplicant el Teorema Límit Central, aquesta variable es pot aproximar raonablement per

una Normal, de tal forma que

Y N(113,4; 51,84)

i aplicant la correcció per continuïtat al aproximar una variable discreta per una contínua,

tenim

P(Y 124) = 124,5 113,4

P Z51,84

= P(Z 1,54) = 0,93822

LESTAD

ETSEIAT− UPC



40

13. El pes d’un envàs es distribueix N(100g; 16g2) i el cost és de 0,2€/g. Quina és la probabili‐

tat que el cost total de 5 envasos sigui superior a 95€?

0,288 0,401 0,599 0,712 0,773 0,841

0,894 0,954 0,987 0,997 ................................

El cost de 5 envasos es pot escriure com 5

ii 1

C 0,2 X

. Essent les Xi (pes d’un envàs)

normals independents i idènticament distribuïdes, resulta

C N(m = 0,25100 = 100; 2 = 0,22516 =3,2)

P(C > 95) = 95 100

P Z3,2

= P(Z > −2,80) = P(Z 2,80) = 0,99744

14. La durada en anys, X, d’un component és tal que F(x) = 2x1 e per x 0. Sabent que ja fa

12 mesos que funciona, quina és la probabilitat de durar, com a mínim, altres 10 mesos?

0,0172 0,0249 0,0498 0,0690 0,0943 0,2096

0,2564 0,3679 0,4316 0,4994 .............................

Cal calcular 2

2

(22/12)

(12/12)

12 P(X 22/12) e22P X X

12 12 P(X 12/12)e

= 0,0943

15. El diàmetre d’una peça és N(100; 0,25) i es considera defectuós si està fora de l’interval

100 0,8. Quina és la probabilitat que en una caixa de 10 peces n’hi hagi 1 defectuosa? 0,0046 0,0136 0,0264 0,0489 0,0857 0,1413

0,2157 0,2992 0,3673 0,3855 ...........................

La probabilitat que un component sigui defectuós és

p = 1 − P(99,2 X 100,8) = 99,2 100 100,8 100

P Z0,25 0,25

= P(−1,6 Z 1,6) = 0,1096

El nombre de peces defectuoses en una caixa de 10 és Y b(n = 10; p = 0,1096)

P(Y = 1) = 910

0,1096 (1 0,1096)1

= 0,3855

LESTAD

ETSEIAT− UPC



41

16. Essent X N(mx; 9) i Y N(my; 9) independents. Amb nx = ny = 16; X = 15; Y = 18, quin és

el valor màxim en que es pot estimar (3 mx − 2 my), amb un risc del 2,5%?

12,53 12,64 12,75 13,33 13,52 13,74

14,00 14,30 14,67 15,12 ..................................

L’estimador de 3 mx − 2 my és 3 X − 2 Y , que en aquest cas segueix la llei Normal

3X − 2 Y 2 2

x y

9 9N 3 m 2 m ; 3 2

16 16

x y

N 3 m 2 m ; 7,3125

Amb un risc del 2,5%, el valor màxim de l’estimació serà

3X − 2 Y + z0,025 7,3125 = 315 − 218 + 1,96 7,3125 = 14,30

17. Es llença 2 cops un dau tal que P(X = x) = x/21 per x ={1; ...; 6}. Sigui X el nombre de punts

de la primera tirada i Y el nombre de resultats senars. Què val P(1 X < 2 0 Y < 2)?

0,020 0,027 0,041 0,054 0,061 0,082

0,102 0,109 0,136 0,163 .......................

Els valors presos per X i per Y són : X = {1; ..., 6} i Y = {0, 1, 2}.

L’esdeveniment (1 ≤ X < 2) és el mateix que X = 1 i el (0 ≤ Y < 2) és (Y = 0) (Y = 1)

Per tant

(1 ≤ X < 2) (0 ≤ Y < 2) = (X = 1) [(Y = 0) (Y = 1)]

= [(X = 1) (Y = 0)] [(X = 1) (Y = 1)]

En trobar‐nos davant la unió de dos esdeveniments incompatibles, la seva probabilitat és

igual a la suma de les probabilitats de cadascun

P(1 ≤ X < 2 0 ≤ Y < 2) = P [(X = 1) (Y = 0)] + P[(X = 1) (Y = 1)]

= P(X = 1) P(Y = 0 | X = 1) + P(X = 1) P(Y = 1 | X = 1)

= P(X1 = 1) 0 + P(X1 = 1) P(X2 = 2, 4, 6)

P(1 X < 2; 0 Y < 2) 1 1 2 4 6

021 21 21 21 21

2

12

21 = 0,027

LESTAD

ETSEIAT− UPC



42

18. El risc que el temps entre avaries en un procés de Poisson sigui inferior a 102,5 hores és

igual a 0,05. Quina és la probabilitat que en 400 hores es produeixin 2 avaries?

0,016 0,024 0,033 0,043 0,054 0,065

0,076 0,087 0,099 0,110 ..............................

T, temps en hores entre avaries d’un procés de Poisson, segueix un llei exponencial de pa‐

ràmetre avaries cada hora.

Per l’enunciat, se sap que

0,05 = P(T 102,5) = 1 − e− 102,5 en conseqüència

= (− ln 0,95) / 102,5 = 0,0005 avaries cada hora

El nombre d’avaries en 400 hores, X, correspon a un Poisson de = 400 0,0005 = 0,2

P(X = 2) = 2 0,20,2 e

2!

= 0,01637

19. Un dau tal que P(X = x) = x/21 per x = {1, ..., 6} es llença 250 cops. Quina és la probabilitat

que el total de punts obtingut sigui superior o igual a 1135?

0,0142 0,0150 0,2398 0,2451 0,6382 0,6443

0,9214 0,9251 0,9670 0,9686 ..........................

El nombre total de punts en 250 llançaments, Y, correspon a la suma de 250 variables ale‐

atòries independents i igualment distribuïdes. Aquesta situació permet aplicar el Teorema

Límit Central i aproximar per una llei Normal, amb la corresponent correcció de continuï‐

tat al passar d’una variable discreta a una contínua.

6 6 6

2

x 1 x 1 x 1

x 1 13E(X) xp(x) x x

21 21 3

6 6 62 2 2 3

x 1 x 1 x 1

x 1E(X ) x p(x) x x 21

21 21

V(X) = E(X2) − [E(X)]2 = 21 − (13/3)2 = 20/9

L’aproximació condueix a

LESTAD

ETSEIAT− UPC



43

250

ii 1

13 20Y X N 250 ; 250

3 9

P(Y 1135) = P(Y > 1134,5) = 1 − P(Y 1134,5)

= 1 − P(Z 2,17) = 1 − 0,9850 = 0,015

20. La distància en Km recorreguda per un vehicle amb un dipòsit ple de combustible (70 li‐

tres) és una variable aleatòria N(m = 530; 2 = 64). Quina és la distància màxima que re‐

correrà amb 4 dipòsits plens, amb un risc del 2,5%?

2151 2183 2191 2223 2231 2263

2271 2303 2311 2343 ..................................

La distància recorreguda amb 4 dipòsits plens és igual a la suma de les que recorre amb

cadascun dels dipòsits, o sigui, la suma de 4 variables aleatòries normals independents

amb la mateixa mitjana i la mateixa variància.

4

ii 1

X(4) X

X(4) N(4530; 464) N( 2120; 256)

X(4)max = 2120 + z0,025 256 = 2120 + 1,96 256 = 2151

21. La durada en milers de Km d’uns pneumàtics és tal que F(x) = 1 − (1 + 0,01 x) 0,01xe . Si ja

porten 100 mil Km de marxa, quina és la probabilitat que, com a mínim, aguantin altres

25 mil Km?

0,8280 0,8423 0,8519 0,8616 0,8762 0,9513

0,9585 0,9631 0,9674 0,9735 .............................

P(X > 125 | X > 100) = P(X >125 | X > 100)

0,01 125

0,01 100

P(X 125) (1 0,01 125)e 0,6446

P(X 100) 0,7358(1 0,01 100)e

= 0,8762

LESTAD

ETSEIAT− UPC



44

22. L’excentricitat d’un forat en mm és X exp( = 10). Es considera defectuós si l’excentricitat supera 0,3 mm. Quina és la probabilitat que una xapa amb 10 forats en tin‐

gui 2 defectuosos?

0,013 0,019 0,027 0,038 0,054 0,074

0,101 0,153 0,173 0,216 .....................

En llei exponencial P(X > x) = e−x, per tant

P(defectuós) = P(X > 0,3) = e−10 0,3 = 0,0498

Sigui Y el nombre de forats defectuosos entre un total de 10

Y b(n = 10; p = 0,0498)

P(Y = 2) = b(2; 10; 0,0498) = 2 8100,0498 0,9502

2

= 0,0742

23. Siguin X N(15; 9) i Y N(18; 4) independents amb nx = ny = 9. Quin és el valor mínim

que pot prendre 2 2x yS /S amb un risc del 5%?

0,38 0,45 0,52 0,56 0,59 0,61

0,65 0,70 0,77 0,84 ..................................

Atès que x x y y

2 2

x xn 1; n 12 2

y y

S /F

S /

1 2

22 2 2yx x x

8; 82 2 2 2

y y y x

S S / 4 A0,05 P A P A P F

9S S /

Així

4A

9= F8; 8; 0,95 =

8; 8; 0,05

1 1

F 3,44 = 0,29

El valor mínim que pot prendre 2 2x yS / S amb un risc del 5%, és

A = 9 0,29/4 = 0,65

LESTAD

ETSEIAT− UPC



45

24. El coeficient de fregament dels rodets d’una fotocopiadora

s’aproxima a una distribució trapezial com la de la figura. Quina és la

probabilitat que el coeficient de fregament sigui inferior a 0,7?

0,30 0,34 0,40 0,46 0,50 0,54

0,60 0,70 0,80 0,90 .................

És un exercici que es pot resoldre geomètricament. Per això cal calcular l’alçària del trape‐

zi (triangle + rectangle + triangle), i atès que és igual a la unitat, es podrà trobar el valor

de l’alçària (h).

1 = 0,3 h/2 + 0,3 h + 0,1 h/2 = h/2

O sigui, h = 2 i

P(X < 0,75) = 0,3 h/2 + (0,7 − 0,5)h = 0,3 + 0,4 = 0,7

El desgast X de la mordaça primària d’un sistema de frens de tambor, per un cert

kilometratge, es distribueix N(mX = 120; 2

X= 36) i el desgast de la secundària és igual al

81% del de la primària.

25. Quin és el valor màxim del desgast de la secundària amb un risc del 2,5%?

102,8 103,4 104,2 105,2 106,7 108,5

109,0 109,7 110,9 112,2 .....................

Sigui Y el desgast de la secundària. Com transformació lineal d’una Normal és Normal

Y = 0,81 X Y N( mY = 0,81 120 = 97,2; 2

Y = 0,81236 = 4,862)

Ymàx = mY + z/2 Y = 97,2 + 1,96 4,86 = 106,706

26. Què val la probabilitat que el màxim desgast de les primàries de les 4 rodes d’un

remolc superi 132?

0,002 0,025 0,088 0,320 0,597 0,686

0,771 0,938 .................

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

YmYYmàx

0,025

YmYYmàx

0,025

LESTAD

ETSEIAT− UPC



46

Es tracta de la distribució del valor màxim d’una mostra de grandària 4 formada per

les 4 rodes del remolc. Així

P(màx(X1, ..., X4) > 132) = 1 − P(màx(X1, ..., X4) 132) = 1 − [FX(132)]4

= 4 4132 1201 P Z 1 P(Z 2)

6

= 1 − 0,977254 = 0,088

27. Què val la probabilitat que el desgast mitjà de les 4 secundàries d’un remolc sigui in‐

ferior a 102?

0,181 0,312 0,468 0,629 0,875

0,941 0,976 0,992 .................

Essent Y N( mY = 97,2; 2

Y = 4,862), per n = 4, sabem que

24,86

Y N 97,2;4

, per tant,

102 97,2P Y 102 P Z

4,86 /2

= P(Z < 1,98) = 0,976

28. S’estudia un tractament que no altera la variabilitat del desgast però sembla que

pot disminuir l’esperança matemàtica. Una mostra de 8 primàries ha donat un des‐

gast mitjà de 100 i una variància igual a 38. Quin és el valor màxim en que es pot es‐

timar mX amb un risc del 2,5%?

102,16 103,15 104,16 105,15 106,16

107,15 108,16 109,15 114,16 115,15 ........

Si el tractament no altera la variabilitat, estem en una situació de variància conegu‐

da, i el valor extrem de l’estimació de m cal buscar‐lo utilitzant la llei Normal. Per ai‐

xò resulta

max(0,025)

XX 0,025

m X zn

= 100 + 1,96

6

8 = 104,16

LESTAD

ETSEIAT− UPC



47

29. Què val l’extrem superior de l’interval de probabilitat 0,95 pel desgast de la primà‐

ria?

126,24 126,90 128,64 129,06 130,50 131,76

132,72 133,02 133,98 138,54 .................

L’extrem superior de l’interval de probabilitat 1 − per X és igual a mX + z/2 X.

EXS(IP0,95) = 120 + 1,96 6 = 131,76

30. Si el desgast de la primària supera a 132, què val la probabilitat que el de la secun‐

dària superi a 110?

0,036 0,050 0,099 0,135 0,188

0,332 0,581 0,953 ...............

Designant per Y el desgast de la mordaça secundària sabem que Y = 0,81 X. Per tant

Y N(mY = 120 0,81; 2

Y = 0,812 36)

P Y 110 |X 132 P(Y 110 | Y 0,81 132) P(Y 110 | Y 106,92)

=

P Y 110 P Z 2,63 0,004270,188

P Y 106,92 P Z 2 0,02275

31. La màxima desviació tipus del desgast de les 4 primàries d’un vehicle, amb una se‐

guretat del 95%, és igual a

0,93 1,17 1,61 2,05 2,65 8,66

9,68 10,59 11,67 12,41 ..............

Cal calcular el valor de Smàx tal que P(S < Smàx) = 0,95

Essent X N(mX = 120; 2

X = 36), les mostres de grandària n d’aquesta llei verifiquen

22

n 12

(n 1)S

, i en l’actual situació

2 22

3

(4 1)S S

36 12

De taules s’obté 2

3; 0,05 = 7,815. Per tant

2S

P 7,81512

= 0,95

max

S 12 7,815 = 9,68

LESTAD

ETSEIAT− UPC



48

L’accés dels usuaris al sistema en una xarxa informàtica, és un procés de Poisson de mit‐

jana 30 accessos cada hora

32. Quina és la probabilitat que el temps entre dos accessos consecutius superi els 4

minuts?

0,030 0,050 0,082 0,135 0,223

0,368 0,472 0,607 ..............

El temps entre esdeveniments de Poisson consecutius segueix una llei exponencial.

Considerant com unitat de temps el minut, el nombre mitjà d’accessos per minut és

0 = 30/60 = 0,5.

Designant W el temps entre accessos consecutius, mesurat en minuts, tenim que

W exp ( = 0,5)

P(W > 4) = e−0,5 4 = 0,135

33. Quina és la probabilitat que en una hora hi hagi com a mínim 18 accessos?

0,157 0,203 0,452 0,524 0,792 0,843

0,965 0,978 0,987 0,993 .................

Sigui X la variable aleatòria nombre d’accessos cada hora, X P( = 30)

P(X 18) = 1 − P(X 17) = 1 − F=30(17) = 1 − 0,0073 = 0,9927

34. Es registren el nombre d’accessos durant cada hora al llarg de 8 hores consecutives.

Què val la probabilitat que el nombre màxim d’accessos registrat superi 40?

0,049 0,112 0,164 0,231 0,316

0,415 0,526 0,639 .................

Els registres durant 8 hores representen una mostra de grandària 8 d’una llei de

Poisson de mitjana 30 esdeveniments cada hora, per tant

P(màx(X1; ...; X8) > 40) = 1 − P(màx(X1; ...; X8) 40)

= 1 − (F=30(40))8 = 1 − 0,96778 = 0,231

LESTAD

ETSEIAT− UPC



49

Una cisalla circular talla discos d’una xapa que pesa 1,5 g/cm2 i el diàmetre, mesurat en cm,

es distribueix N(m = 50; 2 = 0,25).

35. Sabent que el pes d’un disc és superior a 2,8 Kg, quina és la probabilitat que el dià‐

metre superi 51cm?

0,005 0,023 0,116 0,276 0,793

0,951 0,970 0,983 .......................

Un pes superior a 2,8 Kg vol dir una superfície superior a 2

2800 g

1,5 g / cm = 1866,6667 cm2

que equival a un diàmetre superior a 4 1866,6667

= 48,752 cm

per tant

P(D > 51| D > 48,752) = P(D 51) P(Z 2) 0,02275

P(D 48,752) P(Z 2,5) 0,99379

= 0,023

36. Després de reajustar la màquina per modificar m sense canviar , en una mostra de

9 discos s’han mesurat els diàmetres i s’ha obtingut una mitjana igual a 40 i una des‐

viació tipus igual a 0,64. Quin és el valor màxim en que es pot estimar m amb un risc

del 2,5%?

40,327 40,492 44,327 44,492 52,327

52,492 54,327 54, 492 60,327 60,492 .................

Al conèixer el valor de la variància poblacional, no és correcte utilitzar el valor de la vari‐

ància mostral i la distribució T d’Student per calcular l’interval de confiança de l’esperança

matemàtica, si no que cal utilitzar la llei Normal. En aquest context, l’estimador serà

2 0,25

X N m; N m;n 9

El valor màxim en que es pot estimar m, amb un risc , és

0,5

X z 40 1,96n 9

= 40,327 cm

LESTAD

ETSEIAT− UPC



50

37. Sigui X b(n = 10; p = 0,1) i Y, independent de X, pren els valors 0; 2; 4 i 6 de forma equi‐

probable. Calcular P(XY 0) 0,488 0,541 0,584 0,619 0,647

0,669 0,687 0,702 .......................

El producte d’aquestes dues lleis independents no té una distribució coneguda, per tant

P(XY 0) = 1 − P(XY = 0) = 1 − [P(X = 0) + P(Y = 0) − P(X = 0) P( Y = 0)]

= 1 − (0,910 + 0,25 − 0,910 0,25) = 0,488

38. Essent X1 i X2 independents, distribuïdes Poisson amb 1 = 1 i 2 = 2. Calcular P(X1X2 0) 0,318 0,348 0,400 0,422 0,491 0,547

0,562 0,565 .................

La distribució del producte de lleis de Poisson independents no correspon a cap dels mo‐

dels probabilístics estudiats, per tant

P(X1X2 0) = 1 − P(X1X2 = 0) = 1 − [P(X1 = 0) + P(X2 = 0) − P(X1 = 0) P(X2 = 0)]

= 1 − [0,3679 + 0,1353 − 0,3679 0,1353] = 0,547

39. En una empresa el 40% dels empleats són titulats universitaris i no parlen alemany, el

20% són titulats universitaris i parlen alemany i el 30% ni són titulats ni parlen alemany.

Quina proporció d’empleats parla alemany?

0 0,10 0,20 0,25 0,30 0,35

0,40 0,45 0,50 0,60 ..................................

Sigui A l’esdeveniment “ser titulat universitari” i B el “parlar alemany”.

Les dades es poden traduir a

P(A B ) = 0,40

P(A B) = 0,20

P( A B ) = 0,3

Atès que P(A B ) + P(A B) + P(A B ) + P( A B ) = P() =1, resulta

P( A B ) = 0,1 i

P(B) = P(A B) + P( A B ) = 0,3

0,40

AB

0,20

0,30

LESTAD

ETSEIAT− UPC



51

40. Un equip està format per 50 components. El nombre de components avariats cada set‐

mana, X, és una variable aleatòria tal que P(X = x) = x/1275 per x = 0; 1, ...; 50.

Calcula P(19,3 ≤ X < 24)

0,049 0,061 0,067 0,080 0,086 0,099

0,106 0,119 0,126 0,140 ..................................

Es tracta d’una variable discreta que pren valors enters entre 0 i 50. Així

P(19,3 ≤ X < 24) = P(X = 20) + P(X = 21) + P(X = 22) + P(X = 23)

= 20 21 22 23

1275

= 0,067

41. El temps en dies, X, entre avaries d’un procés és exponencial amb P(X < 105,5) = 0,10.

Quina és la probabilitat de tenir 1 avaria en 160 dies?

0,038 0,057 0,074 0,090 0,122 0,128

0,136 0,150 0,177 0,189 ..................................

Resulta que X exp( = ?), però sabem que F(105,5) = 0,10 = 1 − e− 105,5, per tant

= − ln 0,9 / 105,5 = 0,001 avaries/dia

El nombre d’avaries en 160 dies, Y, és una Poisson de = 160 0,001 = 0,16

0,1610,16 e

P(Y 1)1!

= 0,136

42. La durada d’unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Calcula la pro‐

babilitat que el temps mínim de 5 reparacions superi les 5 hores

0,023 0,220 0,446 0,501 0,601 0,651

0,698 0,878 0,903 0,995 ..................................

La distribució del mínim de la mostra és tal que

P(min(X1;..., Xn) > a) = [1 − FX(a)]n

En llei logN,

FX(a) = P( X < a) = P(ln X < ln a) = lna m

P Z

LESTAD

ETSEIAT− UPC



52

FX(5) = ln 5 2

P Z0,04

= P( Z < 1,95) = 1 − 0,97441 = 0,02559

P(min(X1;..., X5) > 5) = [1 − FX(5)]5 = [0,97441]5 = 0,878

43. La vida d’uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Què val l’esperança matemà‐

tica de X en mostres de grandària 6?

7,9 9,0 11,7 13,3 15,4 17,1

18,0 20,2 22,3 22,6 ..................................

Per qualsevol distribució de probabilitat, E( X ) = E(X). Així, el que cal és calcular

l’esperança matemàtica de la Weibull

1 1

E(X) = 1 4 1 4 (3,5)0,4

= 4 2,5 (2,5) = 4 2,5 1,32934 = 13,29

Un ascensor admet una càrrega màxima de 700 Kg. El pes dels usuaris es pot admetre dis‐

tribuït Normal amb m = 70 Kg i = 7,8 Kg.

44. Quina és la probabilitat que amb 9 usuaris hi hagi sobrecàrrega?

0,0014 0,0022 0,0034 0,1587 0,1711 0,1841

0,7704 0,7939 0,9929 0,9966 ..............................

Essent el pes d’un usuari X N(700; 7,82), el pes de 9 usuaris és

9

9 ii 1

Q X

que es distribueix Normal

E(Q9) = 9 70 = 630 Kg

V(Q9) = 9 7,82 = 23,42 Kg2.

P(Q9 > 700) = P(Z > 2,99) = 1 − 0,99861 = 0,0014

45. Quin és el valor mínim de la mitjana del pes de 16 usuaris, amb un risc del 2,5 %?

64,64 65,79 66,18 66,63 66,94 67,19

67,45 67,59 67,70 67,82 .....................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



53

2

16

7,8X N 70;

16

min = 70 − 1,96 7,8/4 = 66,18

46. S’estima que el cost d’un viatge és de 2 unitats monetàries per Kg transportat. Quin

és el cost màxim d’un viatge amb 3 usuaris amb un risc del 2,5%?

473 512 1206 1361 1365 1563

1791 2066 2951 3474 .....................

Sigui C el cost d’un viatge de 3 usuaris, llavors

3

2 2

ii 1

C 2 X C N(2 3 70; 2 3 7,8 ) N(420;730,08)

0,025 = P(C > max) = P(Z > 1,96)

max = 420 + 1,96 730,08 = 472,96

47. Es llencen 2 daus tals que qualsevol parell té doble probabilitat de sortir que qualsevol se‐

nar. Essent A l’esdeveniment “sortir 1, 2 o 3 a la primera tirada” i B el “la suma de les dues

tirades igual a 9”. Calcular la probabilitat que esdevingui A o B.

0,4568 0,4815 0,5185 0,5432 0,5900 0,5938

0,6000 0,6296 0,6543 0,6563 ...........................

En aquest cas P(1) = P(3) = P(5) = 1/9 i P(2) = P(4) = P(6) = 2/9

Atès que els esdeveniments A i B no són incompatibles,

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 4/9

P(B) = P(36) + P(63) + P(45) + P(54) = 4 1/9 2/9 = 8/81

P(AB) = P(36) = 1/9 2/9 = 2/81

P(AB) = 4/9 + 8/81 2/81 = 0,5185

0,025

16Xmin

LESTAD

ETSEIAT− UPC



54

Alternativament

El conjunt fonamental dels resultat de les tirades de dos daus és

= { 1‐1 1‐2 1‐3 1‐4 1‐5 1‐6 2‐1 ... 2‐6 3‐1 ... 3‐6 4‐1 ... 4‐ 6 5‐1 .. 5‐ 6 6‐1 ... 6‐ 6}

El conjunt AB està format pels esdeveniments

1‐1 1‐2 1‐3 1‐4 1‐5 1‐6 2‐1 2‐2 2‐3 2‐4 2‐5 2‐6 3‐1 3‐2 3‐3 3‐4 3‐5 3‐6 4‐5 5‐4 6‐3

que són incompatibles entre ells i, cadascun està format per la intersecció de 2 independents.

P(AB) = P(1)P[12...6] + P(2)P[12...6] + P(3)P[12...6] +

+ P(4)P(5) + P(5) P(4) +P(6) P(3)

= P(1) + P(2) + P(3) + P(4)P(5) + P(5) P(4) +P(6) P(3)

= 1/9 + 2/9 + 1/9 + 2/91/9 + 1/92/9 + 2/91/9 = 0,5185

48. Una variable aleatòria té com funció de densitat f(x) = x per 0 < x < 0,5; f(x) = 0,5 per

0,5 < x < 1,5; f(x) = 1 – x/3 per 1,5 < x < 3 i f(x) = 0 e.q.a.c. Calcula P(0,25 < X < 2)

0,483 0,547 0,651 0,708 0,752 0,802

0,875 0,927 0,958 0,996 ..................................

La funció de densitat es pot dibuixar com

P(0,25 < X < 2) = 1 P(X < 0,25) – P(X > 2)

P(X < 0,25) és l’àrea d’un triangle de base 0,25 i alçaria 0,25, per tant

P(X < 0,25) = 1/32

P(X > 2) és l’àrea d’un triangle de base 1 i alçaria 1 – x/3 = 1 2/3 = 1/3, per tant

P(X > 2) = 1/6

P(0,25 < X < 2) = 1 1/32 1/6 = 0,802

0

0,25

0,5

0 1 2 3

LESTAD

ETSEIAT− UPC



55

49. Les trucades a un parc de bombers, durant el mes de gener, es pot considerar Poisson amb

mitjana 24,5 trucades cada setmana. Quina és la probabilitat que passin més de dos dies

sense cap trucada?

0,0009 0,0030 0,0101 0,0273 0,0498 0,3208

0,4460 0,5960 0,7306 0,8088 ............................

Si, en mitjana hi ha 24,5 trucades setmanals, cada dia n’hi hauran 24,5/7 en mitjana. És a

dir, el nombre de trucades diàries és Poisson amb = 24,5/7 = 3,5

El temps entre trucades, en dies, Y, és una exponencial = 3,5

P(T > 2) = e 2 3,5 = 0,0009

50. La vida d’uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Calcula la probabilitat que la durada màxima d’un lot de 12 sigui superior a 100 hores.

0,014 0,020 0,027 0,036 0,052 0,157

0,218 0,277 0,359 0,474 ..................................

Per una n = 12, P(màx (X1, ..., X12) > 100) = 1 [FX(100)]12. En llei de Weibull

0,4100

4XP(X 100) F (100) 1 e 0,9733

P(màx (X1, ..., X12) > 100) = 1 0,973312 = 0,277

51. La durada d’unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Què val la variàn‐

cia de X en mostres de grandària 4?

0,069 0,086 0,103 0,121 0,138 0,290

0,331 0,387 0,464 0,580 ..................................

Atès que V( X ) = V(X)/n

Essent X log Normal (m = 2; 2 = 0,04).

V(X) = 2 22m 2 2 0,04 0,04e e 1 e e 1 2,319

V( X ) = 2,319/4 = 0,580

LESTAD

ETSEIAT− UPC



56

52. Un aparell està format per 2 components tipus A i 3 tipus B. Els temps, en minuts, de fabri‐

cació de cadascun d’ells és XA N(10; 0,82) i XB N( 15; 1) i el temps de muntatge, també en

minuts, és XM N(8; 0,52). Es considera que el cost per minut, ja sigui de fabricació o de

muntatge, és 2€. Calcula la probabilitat que el cost total d’un aparell sigui inferior a 150€.

0,079 0,174 0,192 0,281 0,560 0,591

0,719 0,808 0,826 0,921 ..................................

Atès que tots els temps es poden considerar independents, el cost es pot escriure com

C = 2 3

Ai Bi Mi 1 i 1

2 X X X

que es distribueix Normal amb

E(C) = 2 (2 10 + 3 15 + 8) = 146

V(C) = 22 (2 0,64 + 3 1 + 0,25) = 18,12

P(C < 150) = P(Z < 0,94) = 0,82639

53. Es llença un dau en el que la probabilitat de sortir qualsevol resultat menor o igual a 3 és

la quarta part de la de qualsevol altre superior a 3. Sigui A = {resultat múltiple de 3} i B =

{resultat inferior a 4}. Calcula la probabilitat que no passi ni A ni B.

0,013 0,028 0,049 0,095 0,333 0,476

0,500 0,533 0,556 0,593 .................

El dau té 6 resultats possibles, 3 d’ells (1 – 2 – 3) amb probabilitat p i els altres (4 – 5 i 6)

amb probabilitat 4p.

Totes les probabilitats han de sumar la unitat: 3 p + 3 4 p = 1; o sigui p = 1/15

Així P(1) = P(2) = P(3) = 1/15 i P(4) = P(5) = P(6) = 4/15. Gràficament, els esdeveni‐

ments A i B i els seus complementaris, dins l’espai de , es representen com

P( AB ) = P({1; 2; 4, 5} {4; 5; 6}) = P({4; 5}) = P(4) + P(5) = 8/15 = 0,533

3

6

12

54

AA

BB 3

6

12

54

AA

BB

3

6

12

54

AA

BB3

6

12

54

AA

BB 3

6

12

54

AA

BB

3

6

12

54

AAAA

BBBB

LESTAD

ETSEIAT− UPC



57

54. Sigui X una v.a. tal que f(x) = 1,5(x + 1)2 si −2 < x < − 1; f(x) = 1,5(x − 1)2 si 1 < x < 2 i f(x) =

0 e.q.a.c. Calcula P(X 1,5) 0,008 0,064 0,125 0,216 0,504 0,512

0,532 0,563 0,608 0,756 .................

Gràficament, la funció de densitat és

P(X 1,5) = 1,53

1 1,52 2

2 11

(x 1)1,5(x 1) dx 1,5(x 1) dx 0,5 1,5 0,5625

3

55. El nombre d’avaries és un procés de Poisson amb 20 avaries mensuals de mitjana. Es conside‐

ren mesos de 4 setmanes de dilluns a diumenge. En un moment de la setmana ja es porten

registrades 2 avaries, quina és la probabilitat d’acabar la setmana amb menys de 4 avaries?

0,011 0,022 0,040 0,045 0,075 0,084

0,136 0,147 0,234 0,376 .................

Definint com X el nombre d’avaries setmanals, resulta X ~ P( = 20/4 = 5)

P(2 X 3) F(3) F(1) 0,2650 0,0404

P(X < 4 | X 2) = 0,2341 P(X 1) 1 F(1) 1 0,0404

El consum de combustible d’un vehicle en trajectes de 1 Km és N(0,07 litres; 0,0025 litres2).

56. Si el combustible es paga a 0,95 € el litre, quin és el cost total màxim (€) de 500 Km

amb un risc del 2,5%?

28,46 35,33 42,18 49,01 55,83 63,84

79,80 95,76 111,72 127,68 .................

Sigui X els litres consumits en 1 Km X ~ N( 0,07; 0,052)

X500 litres per fer 500 Km X500 = 500

ii 1

X ~ N(5000,07; 5000,052)

f(x)

x1,5

f(x)

x1,5

LESTAD

ETSEIAT− UPC



58

C500 cost(€) per fer 500 Km C500 = 0,95X500 ~ N(0,955000,07; 0,9525000,052)

C500 ~ N(33,25; 1,06212)

cmàx = m + z0,025 = 33,25 + 1,96 1,0621 = 35,33 €

57. Quina és la probabilitat que el consum mitjà per Km després de fer 25 Km superi els

0,065 litres (ajuda: n = 25)?.

0,0015 0,3975 0,5160 0,6064 0,6915 0,8413

0,9332 0,9773 0,9938 0,9999 .................

El consum mitjà per Km en un trajecte de 25 Km correspon a la mitjana d’una mostra

de grandària 25 extreta de la població X, litres consumits en 1 Km, tal que

X ~ N( 0,07; 0,052). Llavors

2

(25)

0,05X N 0,07;

25

0,065 0,07

P(X 0,065) P Z P(Z 0,5) 0,691460,05/ 5

58. La durada (anys) d’un electrodomèstic és W( = 2; = 11). Si ja fa 10 anys que funciona quina és la probabilitat d’espatllar‐se abans dels 15 anys?

0,033 0,187 0,305 0,333 0,411 0,562

0,644 0,790 0,843 0,916 .................

Sigui X la durada (anys) d’un electrodomèstic, llavors X ~ W( = 2; = 11)

P(X < 15 | X > 10) =

2 2

2

10 15

11 11

10

11

P(10 X 15) e e

P(X 10)

e

0,644

0,025

C500cmàx

0,025

C500cmàx

LESTAD

ETSEIAT− UPC



59

59. Les mesures de la resistència d’unes pales de turbina ha estat 25,4; 28,5; 27,2; 30,3 i 26,8. Ad‐

metent llei Normal, quin és el valor mínim en que es pot estimar 2 amb un risc del 5%?

1,23 1,45 2,46 2,89 3,34 3,92

4,19 4,92 10,84 12,73 .................

A partir de la mostra obtenim

n2

i2 i 1

(X X)

Sn 1

= 3,433

Si X ~ N(m; 2) sabem que 2

2

n 12

(n 1) S

i el valor mínim en que es pot estimar 2

amb un risc del 5% correspon a l’extrem inferior de l’interval de confiança de 2 amb un

risc del 10%. Així

22

2 2min/2;n 1 0,05;4

(n 1) S (5 1) 3,433 13,732ˆ 1,4473

9,488

60. La durada d’unes reparacions, distribuïda log‐Normal (m; 2), ha estat 11; 28; 61; 19 i 41

minuts. Estima el paràmetre m.

2,7 3,3 4,0 4,7 4,9 17,2

32,0 64,6 127,2 159,0 .................

Si X ~ logN(m; 2) vol dir que ln X ~ N(m; 2), on m és l’esperança matemàtica dels loga‐

ritmes neperians de la variable X. El millor estimador de l’esperança és la mitjana de la

mostra, per tant,

5

ii 1

lnx

m5

3,30

61. Una urna té 20 boles numerades de 0 a 9 amb 2 boles de cada valor. Se’n treuen 3 sense

reposició. Sabent que la primera ha estat un 5, calcula la probabilitat que les altres dues

siguin senars.

0,018 0,088 0,211 0,250 0,263 0,322

0,423 0,548 0,602 0,658 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



60

La informació referent a que ja s’ha extret una bola i que aquesta té el número 5, ens

condueix a la composició actual de la urna: 19 boles en total que estan formades per una

bola amb el nº 5 i, de les altres 18 boles, n’hi ha 2 amb cadascun dels números restants, o

sigui, 2 uns, 2 dosos, ....., 2 nous.

També es pot dir que la composició actual consta de 10 boles parells i 9 senars.

La probabilitat de dos senars, sense reposició, en la nova urna és

p = P(1ª senar 2ª senar) = P(1ª senar) P(2ª senar|1ª senar) =

= 9 8 4

19 18 19 = 0,21053

62. En un edifici de 8 plantes, la probabilitat que l’ascensor hagi de pujar fins la planta x és

igual a (3x – 2)/92 per x = 1; ...; 8. Si l’ascensor ja ha passat de la planta 2 i segueix pujant,

quina és la probabilitat que hagi de sobrepassar la planta 6?

0,228 0,239 0,253 0,446 0,471 0,500

0,513 0,586 0,761 0,875 .................

Sigui X la variable aleatòria “planta fins la que puja l’ascensor”, x = {1; 2; ... , 8}

P(X = x) = 3x 2

92

Cal calcular

P(X > 6 | X > 2) = P(X 6 X 2) P(X 6)

P(X 2) P(X 2)

P(X 7) P(X 8) 19 /92 22/92

1 P(X 1) P(X 2) 1 (1/92 4 /92)

= 0,4713

63. El temps mitjà entre accessos consecutius a una Web és de 5 minuts i es pot admetre que

es tracta d’un procés de Poisson. Quina és la probabilitat que entre les 9:00 i les 10:00 hi

hagi menys de 15 accessos si entre les 9:00 i les 9:15 ja s’han produït 5 accessos?

0,055 0,116 0,207 0,324 0,587 0,706

0,876 0,926 0,959 0,978 .................

En un procés de Poisson intervals de temps disjunts són independents, per tant, l’espai de

temps de 9 a 10 es pot considerar format pers dos intervals independents: el dels primers

LESTAD

ETSEIAT− UPC



61

15 minuts i el dels 45 següents. Si en el primer ja s’han produïts 5 accessos, i en total se’n

volen menys de 15, caldrà que en el segons interval se’n produeixin menys de 10.

Per tant el problema es redueix a calcular la probabilitat que en 45 minuts hi hagi menys

de 10 accessos, dins un procés de Poisson amb una mitjana de 1 accés cada 5 minuts, o si‐

gui, amb = 9. Essent X el nombre d’accessos en 45 minuts

P(X < 10) = F=9(9) = 0,5874

El cost d’un metall és de 0,050 €/g i la quantitat necessària per recobrir una placa és N(80g;

2 = 16g2)

64. Quin és el cost total mínim, amb un risc del 1,5%, del metall consumit per recobrir

35 plaques?

71,32 78,06 106,98 117,62 124,81 137,43

142,64 157,26 178,30 196,93 .................

Sigui X el metall (grams) necessari per recobrir una placa: X ~ N(80; 16)

El metall que, en total, es necessita per recobrir‐ne 35 , T35, es pot escriure com

35

35 ii 1

T X

i, evidentment, T35 ~ N(3580; 3516) N(2800; 560)

El cost total del metall necessari per recobrir 35 plaques, C35, serà

C35 = 0,050 T35 i C35 ~ N(0,0502800; 0,0502560) N(140; 1,4)

C35 min = m + z1‐0,015 = m + z0,985

= 140 − 2,17 1,4 = 137,432

65. Quina és la probabilitat que en el recobriment de 50 plaques en cap d’elles s’hagi

gastat més de 90 g de metall?

0,0315 0,3164 0,4539 0,5874 0,6560 0,7324

0,8758 0,9101 0,9347 0,9886 .................

La probabilitat de gastar més de 90 g de metall per recobrir una placa és

C35min 140 C35

0,015

C35minC35min 140 C35

0,015

LESTAD

ETSEIAT− UPC



62

p = P(X > 90) = 90 80

P Z16

= P (Z > 2,5) ) = 1 − 0,99379 = 0,00621

La probabilitat que en cap de les 50 se’n hagi gastat més de 90 g és

P(X1 < 90 X2 < 90 ... X50 < 90) = (1 − p)50 = (1 − 0,00621)50 = 0,732371

66. La durada (minuts) d’una reparació és log‐Normal amb mitjana 57,1 minuts i variància

307,1 minuts2. Quina és la probabilitat que una reparació s’acabi abans de 50 minuts?

0,061 0,213 0,334 0,386 0,616 0,625

0,719 0,780 0,855 0,953 .................

Essent X la durada en minuts de la reparació, X ~ logN(m; 2)

Per les dades tenim E(X) = 57,1min ; V(X) = 307,1 min2 i cal calcular m i .

2

2

2 2m

2 22

2 2 2

V(X) 307,1ln 1 ln 1

E(X) e E(X) 57,1

V(X) E(X) e 1m lnE(X) m ln57,1

2 2

2 = 0,0900 m = 4

P(X < 50) = P(ln X < ln 50) = ln 50 4

P Z0,09

= P( Z < − 0,29) = 1 − 0,61409 = 0,3859

67. Els valors dels diàmetres de 8 peces, han donat una variància igual a 32. Admetent llei

Normal, quin és l’extrem superior de l’interval de confiança al 95% per 2?

86,98 99,41 115,98 132,54 144,97 165,68

173,96 198,82 202,96 231,95 .................

L’extrem superior de l’interval de confiança del 95% per la variància d’una població

Normal és igual a

2

2

0,95 2

1 /2; n 1

(n 1) S 7 32EXS( )

1,690

132,544

LESTAD

ETSEIAT− UPC



63

68. El nombre mitjà de cotxes que arriben a una benzinera és constant. La mitjana d’arribades

cada hora és de 180 cotxes. Com a màxim en pot atendre 2 cada minut. Què val la probabi‐

litat que en un minut arribin més cotxes dels que pot atendre?

0,093 0,143 0,181 0,243 0,264 0,323

0,353 0,377 0,482 0,577 .................

Si el nombre mitjà per unitat de temps es manté constant, en una variable aleatòria que

compta el nombre d’arribades en un cert període de temps, es pot admetre que es com‐

pleixen totes les condicions requerides per la llei de Poisson. Essent X les arribades en un

minut,

X P( = 180/60 = 3)

Si només en pot atendre 2, la probabilitat que quedi algú en espera, és igual a

P(X > 2) = 1 P(X ≤ 2) = 1 0,4232 = 0,5768

69. Una moneda amb P(cara) = 0,4 es llença fins tenir 2 cares seguides o bé fins tenir en total

3 creus (no necessàriament consecutives). Què val la probabilitat de necessitar més de 3

llançaments per acabar el joc?

0,112 0,224 0,347 0,416 0,432 0,504

0,528 0,626 0,752 0,818 .................

En forma d’arbre tenim

Hi ha 4 situacions incompatibles on, des‐

prés de 3 tirades, encara no s’ha acabat

el joc.

Al ser P(C) = 0,4; P(X) = 0,6 i tots el llan‐

çaments independents, la probabilitat

demanada és

p = P(CXC) + P(CXX) + P(XCX) + P(XXC)

= 0,420,6 + 30,40,62 = 0,528

Alternativament

P(no acabar el joc en 3 tirades) = 1 P(acabar en 3) = 1 (P(CC) + P(XCC) + P(XXX))

= 1 (0,42 + 0,60,42 + 0,63) = 0,528

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

FI

FI

C

X FI

LESTAD

ETSEIAT− UPC



64

70. Un sistema de seguretat està format per 5 components idèntics i independents que asse‐

nyalen la presència de gas tòxic. L’alarma salta quan, com a mínim, 4 components asse‐

nyalen gas. Se sap que cadascun té probabilitat 0,2 de detectar indegudament el gas i

probabilitat 0,1 de no detectar‐lo, quan realment n’hi ha. Què val la probabilitat que no

salti l’alarma quan hi ha emissió de gas?

0,012 0,016 0,047 0,074 0,082 0,114

0,165 0,224 0,410 0,556 .................

Sigui X la variable aleatòria “nombre de components que no detecten gas quan realment

n’hi ha”, llavors X b(n = 5; p = 0,1)

L’alarma no salta quan el nombre de components que detecten el gas és, com a màxim, 3;

o sigui, que dels 5 n’hi ha, com a mínim, 2 que fallen

P(X ≥ 2) = 1 P(X ≤ 1) = 1 B(1; 5; 0,1) = 1 0,9185 = 0,0815

71. Sigui X tal que P(X = x) = x2/91 per x = 1, 2, ..., 6. Què val P(X ≤ 5|X > 2)?

0,291 0,322 0,532 0,581 0,600 0,621

0,628 0,632 0,641 0,714 .................

2 2 2

2 2

P(3 X 5) (3 4 5 )/91 50P(X 5|X 2)

P(X 2) 861 (1 2 )/91= 0,5814

El consum de combustible (litres) per hora de vol d’un helicòpter es pot considerar

N(m = 380; 2 = 25), i el dipòsit és de 900 litres.

72. Què val la probabilitat que amb 2 hores de vol consumeixi més del 85% del dipòsit?

0,03 0,08 0,10 0,18 0,24 0,31

0,44 0,46 0,62 0,66 .................

Sigui X els litres de combustible consumit en una hora de vol

X N(m = 380; 2 = 25)

Sigui Y els litres de combustible consumit en dues hores de vol

Y = X1 + X2 N(m = 760; 2 = 50)

P(Y > 0,85900) =

765 760P Z

50 = P(Z > 0,71) = 1 0,76115 = 0,23885

LESTAD

ETSEIAT− UPC



65

73. Quin és el consum mínim per hora amb una seguretat del 97,5%?

364,80 366,20 366,80 368,20 368,80 370,20

370,80 372,20 372,80 374,20 .................

Es tracta de calcular el valor de la variable aleatòria X que deixa a la seva esquerra

una probabilitat igual a 0,025. El valor z0,975 = 1,96. Per tant Xmin = 380 1,96 5 = 370,2 litres

74. S’han fet 12 vols d’una hora de durada cadascun. Què val la probabilitat que el mà‐

xim consum hagi superat 390 litres?

0,003 0,008 0,023 0,030 0,055 0,094

0,115 0,241 0,492 0,769 .................

Tenim una mostra de grandària 12 de la variable aleatòria X i cal calcular la probabi‐

litat que el màxim de la mostra superi 390, això és

P[màx(X1, ..., X12) > 390] = 1 [FX(390)]12

= 1

1212390 380

P Z 1 P(Z 2)5

= 1 0,9772512 = 0,2413

75. La durada, X, d’una reparació en minuts és X logN(4; 1). Si es fan 225 reparacions, què val la probabilitat que la durada mitjana sigui superior a 95 minuts?

0,067 0,102 0,145 0,200 0,264 0,309

0,337 0,444 0,484 0,664 .................

Atès que la grandària de mostra és considerable, es pot aplicar el teorema límit central

2

2

1m 4

4,52 2

2 9

E(X) E(X) e e e 90,017

V(X) V(X)/n E(X) e 1 / 225 e (e 1)/225 61,88

95 90,017P X 95 P Z

61,88= P(Z > 0,63) = 1 0,73565 = 0,26435

LESTAD

ETSEIAT− UPC



66

76. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s’ha obtingut una mitjana igual a 0,65

mg i una desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor

màxim, amb un risc del 5%, en que es pot estimar l’esperança matemàtica del contingut

de nicotina en un cigarret?

0,6655 0,6671 0,6687 0,6693 0,6706 0,6727

0,6734 0,6777 0,6790 0,6858 .............

Cal trobar l’extrem superior de l’interval de confiança de l’esperança matemàtica d’una

llei normal amb variància desconeguda, amb un risc del 10% (5% per cadascun dels ex‐

trems).

0,05; n 1

S 0,05EXS X t 0,65 1,729

n 20 = 0,66933

77. Tenim 25 daus equilibrats i 10 amb una càrrega que fa que P(X = 6) = 2P(X = x) per x = 1,

2, ... 5. Agafant un dau a l’atzar ha sortit un 6. Calcula la probabilitat que s’hagi llançat un

dels daus equilibrats.

0,200 0,226 0,429 0,467 0,556 0,593

0,600 0,636 0,714 0,745 .................

En el dau carregat resulta que P(X = x) = 1/7 per x = 1, 2, ..., 5 i

P(X = 6) = 2/7

Representant per E al dau equilibrat i per C el carregat, i sabent

que ha sortit un 6, la probabilitat que procedeixi d’un dau equili‐

brat és

P(E) P(X 6|E) P(E) P(X 6|E)P(E|X 6)

P(X 6) P(E) P(X 6|E) P(C) P(X 6|C)

25 1

35 6 0,593225 1 10 2

35 6 35 7

78. Per veure si la resistència d’uns cables, distribuïda N(m; 2 = 225), és superior o igual a

2000 amb = 0,025, es disposa d’una mostra de n = 9 amb X = 2030 i S2 = 214,9. Què val

el risc associat a m = 2001?

0,0015 0,0029 0,0052 0,0091 0,0154 0,9846

0,9909 0,9948 0,9971 0,9985 .................

equilibrat

carregat

25/35

10/35

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1/6

1/6

2/7

1/61/61/61/6

1/7 1/71/71/71/7

LESTAD

ETSEIAT− UPC



67

Es tracta d’una prova d’hipòtesi amb H0: m ≥ 2000 contra H1: m < 2000, aplicada a una llei

Normal de variància coneguda. Utilitzant X com estadístic de la prova, la regió crítica és el

conjunt de valors de X inferiors a X L

Numèricament,

L 015

X m z 2000 1,96 1990,23n

El risc associat a m = 2001 és un risc de primera

espècie, doncs 2001 és un valor de la hipòtesi

nul∙la.

Aquest risc és la probabilitat de rebutjar H0 quan és certa, o sigui, la probabilitat que

l’estadístic pertanyi a la regió crítica quan m = 2001.

m 2001 L1990,2 2001

P X X |m 2001 P Z P(Z 2,16)225/9

= 1 0,98461 = 0,01539

79. Essent F(x) = x2 per 0 < x < 1; F(x) = 0 per x ≤ 0 i F(x) = 1 per x > 1, calcula P(X ≤ 0,5|X > 0,2)

0,050 0,125 0,176 0,219 0,222 0,400

0,500 0,600 0,636 0,802 .................

2 2

2

F(0,5) F(0,2) 0,5 0,2P(0,2 < X 0,5)P(X 0,5 | X > 0,2)= 0,21875

1 P(X 0,2) 1 F(0,2) 1 0,2

Un prototipus de cotxe híbrid té un consum de combustible per Km distribuït N(m = 0,02

litres; 2 = 0,072 litres2). La capacitat del dipòsit és de 8 litres i la bateria totalment carre‐

gada té una autonomia distribuïda N(m = 20 Km; 2 = 1 Km2).

80. Si surt amb el dipòsit ple, calcula la probabilitat que necessiti utilitzar la bateria en

un viatge de 450 Km.

0,04 0,20 0,47 0,48 0,51 0,52

0,54 0,75 0,90 0,99 .................

H0: m m0 H1: m < m0

C A

Xm0

LX

LESTAD

ETSEIAT− UPC



68

Sigui X el consum en 1 Km, X N(m = 0,02 litres; 2 = 0,072 litres2). Llavors, el con‐

sum en 450 Km serà igual a la suma de 450 variables aleatòries independents i amb

la mateixa distribució Normal cadascuna d’elles. Per tant,

X(450) N(m = 4500,02 = 9; 2 = 4500,072 = 2,205).

Necessitarà utilitzar la bateria quan el consum en els 450 Km superi la càrrega del

dipòsit, és a dir, sigui més gran que 8 litres. Així

P(X(450) > 8) = 8 9

P Z P(Z 0,67) 0,748572,205

81. Quina és la distància màxima que pot fer només amb la bateria amb una seguretat

del 97,5%?

18,04 18,54 19,04 19,54 20,04 21,96

22,46 22,96 23,46 23,96 .................

Sigui Y la distància (Km) recorreguda amb una bateria carregada: Y N(m = 20; 2 = 1).

Ymàx = m + z0,025 = 20 + 1,96 1 = 21,96 Km

82. Si es fan 10 desplaçaments només amb la bateria fins esgotar‐la cada cop, quina és

la probabilitat que la màxima distància recorreguda amb una càrrega sigui superior

a 22,5 Km?

0,0604 0,2056 0,4992 0,6915 0,8223 0,8413

0,9332 0,9750 0,9773 0,9938 .................

Això representa una mostra de grandària n = 10 de la variable aleatòria Y N(20; 1).

P(màx(Y1, ..., Y10) > 22,5) = 1 P(màx(Y1, ..., Y10) ≤ 22,5) = 1 [FY(22,5)]10 =

10

10 1022,5 201 P Z 1 P(Z 2,5) 1 0,99379 0,06039

1

Ymàx

Y

0,025

m = 20

0,975

Z0,025 = 1,96

LESTAD

ETSEIAT− UPC



69

83. La durada d’unes piles es distribueix Weibull amb esperança matemàtica 50 hores i des‐

viació tipus 10 hores. Quin és l’extrem superior de l’interval de probabilitat 0,95 per la du‐

rada mitjana de les piles contingudes en una caixa de 1000?

48,35 48,42 49,37 49,44 50,52 50,62

51,42 51,51 52,39 52,46 .................

La distribució de la mitjana de les mostres d’una Weibull no és una de les lleis conegudes,

però, quan la grandària de mostra és suficientment important, es pot aplicar el teorema

límit central i aproximar‐la per una Normal.

Així doncs, si X és la durada d’una pila, X W(; ), amb E(X) = 50 h i V(X) = 100 h2 i, per n

prou gran

aproxX N E(X); V(X) que, en aquest cas, passa a ser

2aprox 10

X N 50;1000

L’extrem superior de l’interval de probabilitat 1 – , per X considerada Normal, és

/2E(X) z V(X) 50 1,96 0,1 50,6198

84. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s’ha obtingut una mitjana igual a 0,65

mg i una desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor

màxim, amb un risc del 5%, en què es pot estimar la desviació tipus del contingut de nico‐

tina en un cigarret?

0,0685 0,0719 0,0730 0,0774 0,0797 0,0877

0,0899 0,1018 0,1186 0,1437 .................

Cal trobar l’extrem superior de l’interval de confiança de la desviació tipus d’una llei Nor‐

mal, amb un risc del 10% (5% per cadascun dels extrems).

EXS (I.C. de 2) = 2 2

21 /2; n 1

(n 1) S 19 0,050,004695

10,117

EXS(I.C. de ) = 0,004695 0,06852

LESTAD

ETSEIAT− UPC



70

La producció d’una empresa es reparteix amb un 20% de producte A, un 40% de B, un

25% de C i la resta d’altres productes. Al client M se li ven el 10% de la producció de A, el

50% de la de B i el 70% de la de C. Al client N se li ven un 5% de la de A, un 10% de la de

B, un 20% de la de C i la totalitat de la resta de productes.

85. Quina proporció (%) de la producció de l’empresa compra el client N?

15 17 21 25 29 30

33 35 40 45 .................

La probabilitat que el client N compri un producte qualsevol és

P(N) = P(A) P(N|A) + P(B) P(N|B) + P(C) P(N|C) + P(R) P(N|R) =

= 0,20 0,05 + 0,40 0,10 + 0,25 0,20 + 0,15 1 = 0,25

Això representa un 25% de la producció

86. Què val la probabilitat que una unitat venuda a un client que no és ni M ni N sigui

de producte C?

0,0052 0,0192 0,0278 0,0354 0,0435 0,0571

0,0656 0,0704 0,0833 0,0959 .................

És una situació que correspon a la regla de Bayes, cal calcular

P(C) P(Q |C) 0,25 0,10P C|(M N) P(C|Q)

P(Q) 0,20 0,85 0,40 0,40 0,25 0,10 0,15 0

= 0,0704

A

B

R

C

0,20

0,40

0,25

0,15

MN

Q

MN

Q

MN

QMN

Q

0,10

0,50

0,70

0,10

0,20

0,05

10

0

0,85

0,40

0,10

LESTAD

ETSEIAT− UPC



71

87. Els accessos diaris a un caixer tenen mitjana constant i igual a 150. Del dia 1 al 15

de març, inclosos, ha tingut 2000 accessos. Què val la probabilitat que en tot el mes

de març es superin els 4500 accessos?

0,0202 0,0823 0,1531 0,2504 0,3409 0,4598

0,6074 0,7088 0,8924 0,9641 .................

Si la mitjana és constant, la resta de condicions necessàries per seguir una llei de

Poisson són perfectament admissibles en un caixer automàtic. Per tant, essent X el

nombre d’accessos diaris, resulta que X Poisson ( = 150).

Pel fet de la independència entre esdeveniments de Poisson d’intervals de temps in‐

compatibles, si entre els primers 15 dies de març han esdevingut 2000 accessos, i es

vol que en tot el mes es superin els 4500, cal que en els 16 dies restants se’n produei‐

xin més de 2500.

Sigui Y el nombre d’accessos en 16 dies, Y Poisson ( = 16 150 = 2400).

Atesa l’envergadura del paràmetre , el teorema límit central ens permet aproximar

per una llei Normal, així doncs

Y Poisson ( = 16 150 = 2400) N(m = = 2400; 2 = = 2400)

L’aproximació amb la correcció per continuïtat dóna lloc a

P(Y > 2500) = 1 – P(Y ≤ 2500) = 1 – P(Y ≤ 2500,5) = 1 − 2500,5 2400

P Z2400

=

= 1 − P(Z ≤ 2,05) = 1 – 0,97982 = 0,02018

Les làmines d’acer galvanitzat SAE1006 d’ample 700 mm, tenen un pes de 183 g/m2

i es serveixen en forma de bobina. La longitud enrotllada és N(m = 4285 m; 2 = 1600

m2). Amb un risc del 2,5%,

88. Quina és la longitud màxima enrotllada en una bobina?

4330,8 4340,8 4343,4 4350,8 4353,4 4360,8

4363,4 4365,8 4373,4 4378,4 .................

Sigui X la longitud, en metres, enrotllada en una bobina, X N(4285 m; 1600 m2)

LESTAD

ETSEIAT− UPC



72

Xmàx = m + z0,025 = 4285 + 1,96 40 = 4363,4 metres.

89. Què pesen, com a mínim, 4 bobines (Kg)?

2145,21 2150,34 2155,46 2160,59 2163,15 2165,30

2170,42 2175,55 2180,67 2183,23 ..............

El pes d’una bobina, PB, és igual a

PB = X(m) 0,700 (m) 0,183 (Kg/m2) = 0,1281 X (Kg)

El pes de 4 bobines, PB(4) serà

PB(4) = 4 4

i ii 1 i 1

PB 0,1281 X

i la seva distribució és

PB(4) N( m = 40,12814285=2195,634; 2 = 40,128121600=105,0215)

PB(4)mín = m + z0,975

= 2195,634 – 1,96 105,0215

= 2175,55 Kg

El pes d’una persona de determinat grup ètnic es pot considerar N(m = 58 Kg; 2 =

100 Kg2). S’agafen 16 persones d’aquest grup

90. Quin és el valor màxim de la variància mostral amb un risc del 5%?

151,73 158,65 162,28 164,02 166,64 172,91

177,59 178,86 183,25 199,27 .................

0,025

m X

Xmàx

0,025

m PB(4)

PB(4)mín

LESTAD

ETSEIAT− UPC



73

Sigui X el pes (Kg) d’una persona, se sap que X N(m = 58 Kg; 2 = 100 Kg2)

En llei Normal, la variància mostral segueix la distribució 2

2n 12

(n 1) S

Per un risc = 0,05 i grandària de mostra n = 16 tenim, a taules, 20,05; 15 = 24,996

2 2max max

2

(n 1) S 15 S24,996

100

2

max

2499,6S

15 = 166,64

91. Quina és la probabilitat que el més prim no arribi a pesar 40 Kg?

0,036 0,125 0,267 0,355 0,443 0,482

0,519 0,599 0,678 0,701 .................

Es tracta de calcular la probabilitat que el mínim de la mostra de grandària 16 no

arribi 40, o sigui

P(min(X1, ..., X16) < 40) = 1 – [1−FX(40)]16

FX(40) = P(X < 40) = P(Z < (40 – 58) / 10) = P(Z < −1,8) = 1 – 0,96407 = 0,03593

P(min(X1, ..., X16) < 40) = 0,443

92. La resistència a la tracció de l’aliatge U‐700 es distribueix Normal. Mesurades 36

provetes, s’ha obtingut un interval de confiança per m igual a [11,694; 14,306] amb

2i

i

x = 7344. Quin és el risc de l’interval?

0,001 0,002 0,005 0,010 0,020 0,025

0,050 0,100 0,200 0,250 .................

En llei Normal de variància desconeguda, l’interval de confiança 1 − per m és

LESTAD

ETSEIAT− UPC



74

/2; n 1

SX t

n

O sigui el centre del interval és la mitjana mostral, per tant,

11,694 14,306

X 132

A més

n n n2 2 2

i i i2 2 2i 1 i 1 i 1

(X X) (X X) Xn n 36 7344

S X 13 36n 1 n 1 n n 1 n 35 36

D’aquí que /2; 35

n 36t (EXSup IC X) (14,306 13) 1,306

S 36

A taules es troba que = 2 P(T=35 > 1,306) = 2 0,10 = 0,20

Per anar a treballar una persona va per l’itinerari A el 40% dels dies, pel B el 20%, pel C el

15% i la resta de dies agafa el tren. Troba caravana el 10% dels dies que va per A, el 20%

dels que va per B i el 30% dels que va per C.

93. Què val la probabilitat de trobar caravana un dia qualsevol?

0,006 0,105 0,125 0,135 0,145 0,165

0,250 0,333 0,500 0,600 .................

P(Caravana) = P(A) × P(Caravana|A) + P(B) × P(Caravana|B) + P(C) × P(Caravana|C) +

+ P(tren) × P(Caravana|tren)

= 0,40 × 0,10 + 0,20 × 0,20 + 0,15 × 0,30 + 0,25 × 0 = 0,125

0,70

A

B

tren

C

0,40

0,20

0,15

0,25

Caravana

NO Caravana

Caravana

NO Caravana

Caravana

NO Caravana

Caravana

NO Caravana

0,10

0,20

0,30

0

1

0,90

0,80

LESTAD

ETSEIAT− UPC



75

94. Si no ha trobat caravana, quina és la probabilitat que hagi estat en l’itinerari C?

0,0278 0,1056 0,1173 0,1200 0,1214 0,1228

0,1257 0,1354 0,1520 0,1920 .................

P(C | No caravana) =

P(C No caravana) P(C) P(No caravana|C)

P(No caravana) P(No caravana)

=

0,15 0,70

0,40 0,90 0,20 0,80 0,15 0,70 0,25 1= 0,1200

95. La probabilitat que una màquina no serveixi la beguda demanada és constant i igual a

0,05. Quina és la probabilitat que estudiant 1000 peticions es detecti que ha servit la

beguda menys de 950 vegades?

0,0502 0,1587 0,3567 0,4721 0,6274 0,7324

0,8293 0,8962 0,9686 0,9922 .................

Sigui X la variable aleatòria “nombre de vegades, de 1000 peticions, que la màquina expe‐

nedora ha servit la beguda”. Resulta que X b(n = 1000; p = 0,95)

És una llei binomial amb n molt gran i p no massa petita, per tant, es pot aproximar a una

llei Normal segons ens indica el teorema límit central.

Al ser E(X) = n × p = 950 i V(X) = n × p × (1−p) = 47,5 resulta

X aprox. N(m = 950; 2 = 47,5)

Tenint en compte que al aproximar una llei discreta (binomial) per una contínua (Normal)

cal fer la correcció per continuïtat, la probabilitat demanda és

949,5 950P(X 950) P(X 949) P(X 949,5) P Z

47,5= P(Z ≤ − 0,07) = 0,47210

La distància (m) recorreguda per un cotxe cada segon es pot considerar N(m = 27; 2 = 4) i

fa una parada tècnica, exactament, cada 3 hores. Una moto necessita un temps(h)

N(m = 1,25; 2 = 0,0025) per fer 100 Km.

96. Amb un risc del 2,5%, quina és la distància màxima (Km) recorreguda pel cotxe entre

2 parades tècniques consecutives?

272,8 274,5 286,0 291,2 292,0 308,3

321,2 333,9 336,5 338,9 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



76

Sigui X = “distància recorreguda cada segon” → X N(mX = 27; 2X = 4)

Si el cotxe fa una parada tècnica cada 3 hores, entre dues parades consecutives pas‐

sa un temps de 3 hores, o bé de 3 × 360 = 10800 segons.

En aquest temps, la distància recorreguda, Y, és una variable aleatòria, expressada

en Km, tal que Y =

10800

ii 1

X /1000 . Com combinació lineal de Normals independents,

Y N(mY = 10800 × mX /1000 = 291,6; 2Y = 10800 × 2

X /10002 = 0,0432)

I la distància màxima, amb un risc del 2,5%, que pot recorre en aquestes 3 hores és

Ymax = my + z0,025 Y = 291,6 + 1,96 × 0,0432 = 292,007 Km

97. Amb un risc del 2,5%, quin és el temps mínim (h) que necessita la moto per fer 300

Km?

2,30 2,36 3,46 3,58 4,61 4,80

5,76 6,03 6,91 7,26 .................

Sigui W el temps, en hores, que necessita la moto per fer 100 Km.

W N (mW = 1,25; 2W = 0,0025)

El temps, T, requerit per fer 300 Km és

3

ii 1

T W i està expressat en hores. La seva

distribució és

T N (mT = 3 × mW = 3,75; 2T = 3 × 2

W = 0,0075)

El temps mínim, amb un risc del 2,5 %, que necessita la moto per fer els 300 Km és

0,025

mY Y

Ymàx

LESTAD

ETSEIAT− UPC



77

Tmin = mT + z0,975 × T = 3,75 1,96 × 0,0075 = 3,580 hores

98. La resistència al trencament (Kg) d’un cinturó de seguretat és N(m = 3000; 2 = 8100).

S’agafen 9 cinturons d’aquest tipus. Quina és la probabilitat que la mitjana de les resistènci‐

es no superi els 2950Kg?

0,0027 0,0066 0,0091 0,0274 0,0475 0,9525

0,9726 0,9909 0,9934 0,9973 .................

Sigui X la variable aleatòria “resistència en Kg d’un cinturó”, X N(m = 3000; 2 = 8100).

Si la variable aleatòria és normal, la mitjana mostral també ho és , de forma que

2 8100

X N m; N 3000; N 3000; 900n 9

Per tant

2950 3000P X 2950 P Z P(Z 1,67)

30= 0,04746

99. Es llencen simultàniament 2 daus, el primer és equilibrat i en el segon la probabilitat de

qualsevol parell és un 150% la de qualsevol senar. Si la suma ha donat 8, quina és la

probabilitat que el primer dau hagi donat un 2?

0,091 0,121 0,133 0,148 0,176 0,190

0,217 0,231 0,241 0,267 .................

Anomenem p la probabilitat de senar del segon dau, llavor la de parell serà 1,5p.

Sigui X1 el resultat del primer dau i X2 el del segon.

Una suma igual a 8 es pot aconseguir amb els següents resultats: 2‐6 3‐5 4‐4 5‐3 6‐2. El

primer dígit representa el valor de X1, o sigui del dau equilibrat i el segon és X2, resultat del

dau carregat.

0,025

mT T

Tmín

LESTAD

ETSEIAT− UPC



78

P(X1 + X2 = 8) = P(2‐6 3‐5 4‐4 5‐3 6‐2) = ⅙(1,5p + p + 1,5p + p + 1,5p) = (6,5/6)p

P(X1 = 2|X1 + X2 = 8) =

1 1 2 1 2

1 2 1 2

P(X 2 X X 8) P(X 2) P(X 6) 1/6 1,5p 1,5

P(X X 8) P(X X 8) (6,5/6) p 6,5

= 0,231

100. En les taquilles de venda d’entrades d’un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1

entrada, el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb 2000

compradors s’hagin venut més de 4640 entrades?

0,24 0,10 0,24 0,34 0,44 0,55

0,75 0,85 0,92 0,95 .................

Sigui X la variable aleatòria nombre d’entrades venudes a cada assistent, de les dades re‐

sulta que

E(X) = 1 × 0,05 + 2 × 0,70 + 3 × 0,10 + 4 × 0,15 = 2,35

E(X2) = 12 × 0,05 + 22 × 0,70 + 32 × 0,10 + 42 × 0,15 = 6,15

V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 6,15 – 2,352 = 0,6275

La variable aleatòria W, entrades venudes a 2000 compradors, és la suma de les adquiri‐

des per cadascun d’ells (que són independents i igualment distribuïdes). Pel teorema cen‐

tral de límit es pot aproximar a una Normal, o sigui

2000

ii 1

W X → N(E(W); V(W)) → N(2000×2,35; 2000×0,6275) → N(4700; 1255)

P(W > 4640) = P(W ≥ 4640,5) = P( Z ≥ ‐1,68) = 0,95352

El temps (minuts) necessari per l’evacuació d’un edifici és W(2,5; 10).

101. Què val la probabilitat que amb 4 simulacres d’evacuació, més de la meitat durin

més de 7 minuts ?

0,030 0,144 0,243 0,336 0,414 0,436

0,587 0,632 0,749 0,793 .................

Sigui Y el nombre de simulacres, entre els 4 realitzats, que superen els 7 minuts, i sigui X el

temps necessari per cada evacuació. Resulta que

LESTAD

ETSEIAT− UPC



79

X ~ W(2,5; 10)

Y ~ b(n = 4; p = P(X > 7) = b(n = 4; p = exp(‐(7/10)2,5) = b(n = 4; p = 0,6637)

P(Y > 2) = P(Y = 3) + P( Y = 4)

= b(3; 4; 0,6637) + b(4; 4; 0,6637) = 4×0,66373×0,3363 + 0,66374 = 0,587

102. Sigui X ~ exp( = 0,5). Què val l’esperança matemàtica del valor mínim en mostres

de grandària 5?

0,08 0,10 0,12 0,25 0,40 0,54

0,75 1,29 1,50 2,00 .................

Essent Y = min(X1, X2, ..., Xn), la seva funció de distribució és G(y) = P(Y ≤ y) = 1 – [1 – Fx(y)]n

Si la distribució de X és exponencial de paràmetre , tenim que F(x) = 1 – e x. Llavors

G(y) = P(Y ≤ y) = 1 – [ex)]n

Fàcilment s’observa que la distribució del valor mínim de mostres de grandària n, extretes

d’uns llei exponencial de paràmetre , segueix també una llei exponencial de paràmetre

n. Per tant

E(Y) = 1/n = 1/(5 × 0,5) = 1 / 2,5 = 0,4

103. El gramatge (g/m2) del paper tipus A és N(80; 0,25) i el de tipus B és N(90; 0,16). Es fan

10 determinacions del gramatge de paper A i 25 de paper B. Quin és el valor màxim del

quocient entre la variància de la mostra de A i la de la de B amb un risc del 5%?

2,30 2,42 2,65 2,90 3,59 3,68

3,78 4,14 4,53 5,75 .................

En aquest cas en que es vol relacionar les variàncies mostrals de dues mostres extretes de

lleis normals independents, cal utilitzar la distribució

1 A 2 B

2A2A

n 1; n 12B2B

S

FS

El valor màxim del quocient de variàncies mostrals, per un risc del 5%, és

LESTAD

ETSEIAT− UPC



80

1 A 2 B

2 2A A

0,05; n 1; n 12 2B B

SF

S

De les taules s’obté F0,05; 9; 24 = 2,30 que porta a 2A2B

S 0,252,30 3,59

0,16S

El temps per anar (o tornar) des de casa a l’estació és N(15; 2 = 1). El temps d’espera a

l’estació és N(8; 2 = 4) i la durada del viatge de tren és N(45; 2 = 1) (tot en minuts).

104. Quina és la probabilitat que el temps setmanal (5 dies) dedicat a anar i tornar des de

casa a l’estació de destí superi 11 hores?

0,099 0,302 0,341 0,436 0,579 0,674

0,742 0,794 0,922 0,995 .................

El primer pas consisteix en anomenar les variables aleatòries implicades.

C: temps en minuts entre casa i l’estació → C ~ N(15; 1)

E: temps d’espera en minuts a l’estació → E ~ N(8; 4)

V: temps en minuts del viatge en tren → V ~ N(45; 1)

Les variables aleatòries C, E i V són normals i independents, conseqüència

T: temps total de desplaçament → V = C + E + V ~ N(68; 6)

S: temps setmanal invertit en els 10 desplaçaments → S = 10

ii 1

V ~ N(680; 60)

Cal calcular

P(S > 11×60) = P(Z > 2,58) = 0,99506

105. En 4 setmanes (de 5 dies), quina és la probabilitat que el viatge més ràpid en tren

entre les dues estacions hagi estat inferior a 44 minuts?

0,060 0,206 0,499 0,691 0,822 0,841

0,933 0,975 0,977 0,994 ....0,999.....

En 4 setmanes de 5 dies es fan 40 viatges, i el més ràpid correspon al mínim de la

mostra de grandària 40.

P(min(V1, V2, ..., V10) < 44) = 1 [1 FV(44)]40 = 1 [1 FN(0; 1)(1)]40 =

= 1 0,8413440 = 0,9990026

LESTAD

ETSEIAT− UPC



81

106. L’usuari comença el dilluns al matí un llibre de 224 pàgines i només llegeix dins el

tren. El temps de lectura d’una pàgina (minuts) és N(2; 2 = 0,04). Quina és la probabili‐

tat que en acabar la setmana (5dies) encara no hagi acabat el llibre?

0,010 0,084 0,323 0,413 0,448 0,484

0,516 0,583 0,677 0,989 .................

V: temps en minuts del viatge en tren → V ~ N(45; 1)

VS: temps del 10 viatges en tren setmanals → VS = 10

ii 1

V ~ N(450; 10)

L1: temps en minuts per llegir una pàgina → L1 ~ N(2; 0,04)

L: temps per llegir el llibre (224 pàg) → L = 224

ii 1

L1 ~ N(448; 8,96)

VS L (normals independents) → VS L ~ N(2; 18,96)

Cal calcular

P(VS < L) = P(VS L > 0) = P(Z < 0,46) = 1 0,67724 = 0,32276

107. El contingut d’uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasos

ha estat 9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot estimar la

variància del contingut dels envasos amb un risc del 5%?

0,93 1,09 2,02 2,21 2,37 2,59

3,33 3,91 5,22 6,13 .................

Amb els valors mostrals resulta

S2 =

2n

i

i 1

(X X)

n 1 = 6,15102

En llei Normal, el valor mínim en què es pot estimar 2 amb un risc és

2 22min 2 2

; n 1 0,05; 4

(n 1) S (n 1) S 4 6,15102ˆ 2,593

9,488

LESTAD

ETSEIAT− UPC



82

108. En un operador telefònic el 70% dels cops que es marca un número s’estableix la

connexió correcta. Quina és la probabilitat d’haver de marcar el número correcte,

com a mínim 3 cops, per poder parlar‐hi?

0,023 0,040 0,063 0,090 0,160 0,216

0,343 0,422 0,512 0,614 .................

Sigui X la variable aleatòria “nombre de cops que cal marcar per establir la truca‐

da correcta”.

Siguin C i I els esdeveniments independents “connexió correcta” i “connexió in‐

correcta”, respectivament, i se sap que P(C) = 0,7 i P(I) = 0,3.

P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 – P(X = 1) – P(X = 2) = 1 – P(C) – P(I C)

= 1 – 0,7 – 0,7 0,3 = 1 – 0,91 = 0,09

109. En les taquilles de venda d’entrades d’un estadi esportiu, el 5% dels assistents

compra 1 entrada, el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabili‐

tat que amb els tres primers compradors s’hagin venut 10 entrades?

0,0518 0,0540 0,0585 0,0653 0,0743 0,0882

0,0995 0,1215 0,1664 0,2746 .................

Les diferents formes de vendre 10 entrades a 3 compradors, atenent a que cap en

compra ni menys de 1 ni més de 4, són

2‐4‐4 3‐3‐4 3‐4‐3 4‐2‐4 4‐4‐2 4‐3‐3

Aquestes opcions configuren 6 esdeveniments incompatibles, format cadascun

d’ells per altres 3 que són independents. Així, observant que n’hi ha 3 formats per

un 2 i dos 4 i altres 3 amb dos 3 i un 4, resulta

p = 30,70,150,15 + 30,100,100,15 = 0,0518

La durada de les reparacions (hores) d’una escala mecànica és logN(1,14; 2 = 0,9).

110. Calcular la probabilitat que, després d’haver efectuat 20 reparacions, com

a màxim 2 hagin durat més de 20 hores cadascuna.

0,0014 0,0130 0,0882 0,0995 0,1774 0,2882

0,4962 0,9118 0,9870 0,9986 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



83

Sigui T la v.a. “durada (h) d’una reparació”. Sabem que T logN(1,14; 2 = 0,9)

Sigui X la variable aleatòria “nombre de reparacions, de entre les 20 efectuades,

que duren més de 20 hores”. La seva distribució és X b(n = 20; p = P(T > 20)).

p = P(T > 20) = P(ln T > ln 20) = ln 20 1,14

P Z0,9

= P(Z > 1,96) = 0,025

La probabilitat que com a màxim 2 durin més de 20 hores és

P(X ≤ 2) = B(2; 20; 0,025) = 0,9870

111. Sigui X ~ U[0; 1]. Calcular l’esperança matemàtica del valor màxim de mostres

de grandària 10

0,131 0,356 0,500 0,689 0,752 0,889

0,909 0,923 0,933 0,941 .................

La llei U(0; 1) és tal que F(x) = 0 per x < 0; F(x) = x per 0 ≤ x ≤1 i F(x) = 1 per x ≤ 1

Designant com G(y) a la funció de distribució de la variable aleatòria Y, màxim de

la mostra de grandària n, resulta

G(y) = [FX(y)]n = yn per 0 ≤ y ≤1

La funció de densitat s’obté derivant la de distribució

g(y) = n yn−1 per 0 ≤ y ≤1 i g(y) = 0 e.q.a.c.

L’esperança matemàtica de Y és

1 1 1n 1 n

0 0 0

n 10E(Y) y g(y) dy y n y dy ny dy 0,9091

n 1 11

112. El contingut dels iogurts de la marca A és N(125 g; 9 g2). El de la B és N(120 g; 10 g2).

Es compra un pack de 4 iogurts de cada marca. Quina és la probabilitat que el contin‐

gut mitjà per envàs del pack de B superi al del pack A?

0,001 0,008 0,011 0,015 0,018 0,023

0,032 0,046 0,054 0,065 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



84

Es tracta de calcular una probabilitat associada a la diferència de mitjanes mostrals de

poblacions normals i independents. Per tant, essent

A N(125 g; 9 g2) i B N(120 g; 10 g2),

A B A B

9 10 9 10A N 125; i B N 120; A B N 5;

n n n n

=

Amb nA = nB = 4,

0 5

P B A P A B 0 P Z P Z 2,29 0,01119/4

El temps (minuts) d’una cançó és N(3; 2 = 0,25), el d’aplaudiments entre cançons és

N(0,8; 2 = 0,02) i el dels aplaudiments de final de concert N(5; 2 = 0,90). Es considera

que els aplaudiments després de l’última cançó són els de final de concert i que no hi

ha cap repetició de cançons en acabar ni aplaudiments abans de la primera cançó.

113. Amb un risc del 1,5%, quina és la durada mínima (minuts) d’un concert amb 20

cançons.

52,96 56,60 57,64 59,82 61,90 73,63

74,51 74,76 75,29 75,79 .................

Definim les següents variables aleatòries, totes independents entre si

C: durada d’una cançó C N(3; 0,25)

A: aplaudiments entre cançons A N(0,8; 0,02)

F: aplaudiments finals AF N(5;0,90)

La durada d’un concert, DC, de 20 cançons és 20 19

i ii 1 i 1

DC C A AF

DC N(20 3 19 0,8 5; 20 0,25 19 0,02 0,90) N(80,2; 6,28)

DCmin = 80,2 + z0,015 6,28 = 80,2 – 2,17 6,28 = 74,76

0,025

16Xmin

0,015

DCDCmin

LESTAD

ETSEIAT− UPC



85

114. S’ha fet una gira de 10 concerts (de 20 cançons cadascun), calcula la probabili‐

tat que l’aplaudiment final més curt no hagi superat els 4 minuts.

0,004 0,017 0,041 0,057 0,147 0,161

0,298 0,444 0,796 0,971 .................

Una gira de 10 concerts és una mostra de grandària 10 on cal calcular

P(min(AF1, ..., AF10) < 4) = 1 – [1 – FAF(4)]10 =

= 10

10Z Z

4 51 1 F 1 1 F 1,05 0,7957

0,9

115. L’equip de so (que només funciona mentre canten) és de 80000 w. El preu de

l’electricitat és de 0,14 €/kWh. Calcula la desviació tipus del cost (€) de l’energia

elèctrica consumida en l’emissió d’un concert de 20 cançons.

0,313 0,365 0,417 0,470 0,522 1,400

1,633 1,867 2,100 2,333 .................

El temps de funcionament, en minuts, de l’equip de so (TS) és la durada de les 20

cançons del concert, o sigui 20

ii 1

TS C

que es distribueix

TS N(203; 200,25) N(60; 5).

El cost en euros de l’energia elèctrica consumida en so, CECS, és

80000 TS 0,56

CECS 0,14 TS1000 60 3

La seva desviació tipus és

2 2

0,56 0,56D(CECS) V(CECS) V(TS) 5

3 3

= 0,4174

116. El contingut d’uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 enva‐

sos ha estat 9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot esti‐

mar l’esperança matemàtica del contingut dels envasos amb un risc del 5%?

5,76 6,48 6,81 7,91 8,06 8,73

9,55 9,64 9,96 10,26 .................

En ser llei Normal de variància desconeguda cal utilitzar la distribució de Student, per

tant, amb la mostra de grandària 5 de que es disposa i risc del 5%, resulta

min 0,05;4m x t s / 5 = 8,842 – 2,132 2,480/ 5 = 6,48

SSOOLLUUCCIIOONNSS

EEXXAAMMEENN FFIINNAALL

LESTAD

ETSEIAT− UPC

Solucions exercicis examen final


89

1. Una mostra ha estat 13,5; 19,8; 7,4; 23,8 i 12,8. En el gràfic probabilístic Normal, quina

abscissa correspon a l’ordenada z = – 0,52?

3,5 7,4 12,8 13,5 17,4 19,8 23,8

27,4 32,8 33,5 .....................

Designant per xi l’abscissa, l’estimació de la probabilitat acumulada associada al valor

mostral xi és

i

i 0,5P(X x )

n

i té associat el valor z = – 0,52. Segons les taules de la llei normal,

P(Z – 0,52) = 0,30153

Essent INT la part entera de la divisió, resulta

i = INT((n P(Z – 0,52)) + 0,5) = INT(5 0,30153 + 0,5) = INT(1,50765 + 0,5) = 2

que indica que es tracta del segon valor de la mostra ordenada, o sigui, 12,8.

Al modelitzar una resposta, amb ordenada en l’origen i 8 experiències, ha resultat

(X’X)–1= diag(0,125 0,1 0,2 0,05), β = (14 3 4 0,5), 2i

i

Y 3368, ii

Y 112 i 2i

i

e 720.

2. Què val R2?

0,489 0,528 0,567 0,600 0,656 0,717

0,736 0,792 0,929 0,969 .....................

SQT = 2i

i

Y n 2Y = 3368 – 8 2

112

8

= 1800

2 SQT SQRSQEx 1800 720R 0,600

SQT SQT 1800

3. Quin és l’error tipus de 2 ?

1,67 2,53 4,33 4,88 5,05 5,57

6,00 6,24 6,52 6,78 ......................

2ˆ 3 3

SQR 720S S d d 0,2 6,00

n p 8 4

LESTAD

ETSEIAT− UPC



90

4. Quin és l’extrem superior del interval de predicció del 95% per 0x = (1 2 1 2)

39,411 46,788 62,292 67,015 68,490 72,951

76,674 78,784 81,145 83,412 ....................

L’extrem superior és

E.S.I.P = 1

0 /2; 0 0ˆ t S 1

x β x X X x

on

0ˆ x β (1 2 1 2) (14 3 4 0,5) = 25

1

0 0 0,925 x X X x

0,025;4t 2,776 i S = 720

4

Així, doncs,

E.S.I.P. = 76,674

En un estudi de Fiabilitat, prenent com unitat l’hora, una peça A en el gràfic probabilístic

exponencial ha donat – ln R(x) = 0,005 x, i el gràfic de Weibull d’una peça B ha resultat

ln(–ln R(x)) = –3,38 + 0,9 ln x.

5. Quin és el nombre mitjà de peces A avariades cada 3000 h?

6,0 7,5 9,0 9,5 10,0 11,5

12,5 13,0 14,0 15,0 ...........................

La peça A segueix una llei exponencial de paràmetre estimat 0 0,005 per hora.

Llavors, el nombre mitjà de peces avariades en un interval de 3000 hores és

= 3000 0,005 = 15

6. Quina és la taxa de fallada de B a les 10 h?

0,0193 0,0195 0,0198 0,0200 0,0203 0,0207

0,0212 0,0218 0,0227 0,0243 .................

Per el pendent de la recta ajustada en el gràfic de Weibull, = 0,9 i per l’ordenada

en l’origen = exp(3,38/ ) = 42,75797. Llavors la taxa de fallada a les 10 h és

LESTAD

ETSEIAT− UPC



91

1 0,9 1

0,9

0,9h(x) x 10 0,0243

42,75797

7. Un sistema munta en sèrie un subsistema de dos peces A en paral∙lel amb un altre

subsistema de tres peces B en paral∙lel. Quina és la fiabilitat del sistema a les 10 h?

0,2627 0,3195 0,3863 0,4636 0,5511 0,6471

0,7476 0,8454 0,9293 0,9843 ...................

Les fiabilitats de les dues peces, A i B, a les 10 h són, respectivament

R(A) = x 0,005 10exp exp 0,951229

R(B) =

0,9x 10

exp exp42,75797

0,763037

Llavors, la fiabilitat del sistema és

R(S) = 2 31 1 R(A) 1 1 R(B) 0,9843

8. En una prova d’hipòtesi bilateral sobre m d’una X N(m; 2 = 16), amb n = 10, el nivell de

significació ha estat igual a 0,03. Què val | X − m0|?

1,40 1,80 2,23 2,61 2,74 2,87

2,95 3,31 3,64 3,91 .............................

Es tracta de la prova amb H0: m = m0 contra H1: m m0, que en llei Normal de variància

coneguda té com estadístic

0X m

/ n

que si H0 és certa es distribueix N(0; 1)

Atès que en prova bilateral el nivell de significació (valor p) es el doble de la probabilitat

del estadístic en la direcció marcada per la regió crítica més propera, resulta que

0,03 = 2 P(Z > |Zcalc|) |Zcalc| = z0,015 = 2,17

Per tant

| X − m0| = 2,17 / n = 2,17 4 / 10 = 2,74

LESTAD

ETSEIAT− UPC



92

9. Al verificar si m m0, per una població X N(m; 2 = 9) i mostra de grandària 4, s’ha ob‐

tingut X = 15 amb un nivell de significació igual a 0,015. Què val m0?

10,37 10,68 11,07 11,51 11,60 11,69

11,75 11,91 12,36 12,87 .........................

En aquesta prova d’hipòtesi l’estadístic és

0X m

N(0;1)/ n

i la regió crítica està a la dreta, o sigui, el nivell de significació és la probabilitat que queda

a la dreta del estadístic, per tant

0,015 = P(Z > 2,17)

El valor demanat s’obté a partir de

0 0x m 15 m

2,17/ n 3/ 4

m0 = 15 − 2,173/2 = 11,75

10. En un model lineal amb ordenada a l’origen (X’X) = diag(9 6 6 4); SQR = 225. Què val

l’error tipus del segon terme del model estimat?

2,45 2,74 3,06 3,16 3,42 3,65

3,87 4,08 4,28 4,83 ..................................

Es tracta d’un model de 4 paràmetres (dimensió de la matriu X’X) que ha estat ajustat

sobre 9 punts (el primer terme de la matriu X’X coincideix amb el nombre total

d’experiments sempre que el model contingui l’ordenada a l’origen). Essent d2 el segon

terme de la diagonal de la matriu (X’X)−1, l’error tipus del segon coeficient és igual a

1ˆ 2

1SQR 225S d

n p 9 4 6

= 2,74

11. S’han fet 4 experiències diferents i s’han repetit 3 cops cadascuna. S’ha ajustat un model

saturat resultant S2 = 5,15 i SQT = 300 . Què val el coeficient de determinació de

l’ajust?

0,504 0,566 0,725 0,771 0,821 0,858

0,863 0,882 0,908 0,920 ..................................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



93

El nombre total de punts experimentals és n = 4 3 = 12, i al ser el model saturat indica

que el nombre de paràmetres coincideix amb el de punts diferents, o sigui, p = 4

SQR = S2 (n − p) = 5,15 8 = 41,2

SQEx = SQT − SQR = 300 − 41,2 = 258,8

Coeficient de determinació de l’ajust = R2 = SQEx 258,8

SQT 300 = 0,863

12. El desgast sofert en una competició en la part interna (X) i l’externa (Y) de 8 pneumàtics

d’idèntiques característiques s’indica en la taula. Admetent llei Normal, què val, en valor

absolut, l’estadístic de la prova per verificar que el desgast mitjà és el mateix en les dues

parts del pneumàtic?

X 2,2 3 1,8 2 3,6 1 1,4 3,3

Y 3,6 4,2 2,4 4,2 1,7 3,1 2,4 2,9

1,485 1,506 1,570 1,577 1,610 1,619

1,629 1,698 1,701 1,724 ..................................

Es tracta de mostres naturalment aparellades, i per tant no independents. La prova que

procedeix per resoldre el problema és la de mostres aparellades. Essent W = X − Y, els

valors mostrals de W són

W −1,4 −1,2 −0,6 −2,2 1,9 −2,1 −1,0 0,4

resultant W= − 0,775 i 2WS = 1,85357

L’estadístic de la prova és igual a

Tcalculat =

2W

W 0,075

1,85357/8S /n= −1,610

O sigui, en valor absolut el resultat és 1,610.

Els primers temps (h) de fallada d’una mostra de 20 components han estat 24; 38; 50+;

100+; 108; 112; ...

13. Què val l’ordenada del quart punt del gràfic probabilístic de Weibull?

‐1,90 ‐1,83 ‐1,74 ‐1,65 ‐1,55 ‐1,43

‐1,30 ‐1,15 ‐0,97 ‐0,76 ..................................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



94

Les dades censurades es consideren per estimar la fiabilitat però no s’incorporen en el

gràfic. Així el quart punt del gràfic serà el corresponent a l’abscissa de 112 hores

dades ni di 1−di/ni Ri = (1/di/ni) ln(−ln Ri)

24 20 1 19/20

38 19 1 18/19

50+ 18 0 1

100+ 17 0 1

108 16 1 15/16

112 15 1 14/15 (18/20)(14/16) 1,43

14. Què val la fiabilitat estimada a les 100 h?

0,833 0,857 0,875 0,889 0,900 0,909

0,917 0,923 0,929 0,933 .....................

dades ni di 1−di/ni Ri = (1/di/ni)

24 20 1 19/20

38 19 1 18/19

50+ 18 0 1

100+ 17 0 1 18/20 = 0,9

15. L’equació del gràfic probabilístic log‐Normal de la vida en hores ha estat z = 4 ln x − 20.

Què val la fiabilitat a les 140 hores d’un sistema en paral∙lel format per 4 components

d’aquest tipus?

0,213 0,291 0,392 0,505 0,631 0,752

0,854 0,929 0,972 0,985 ..................................

La fiabilitat d’un sistema en paral∙lel de quatre elements igualment distribuïts és igual a

RSP (x) = 1− [F(x)]4

De l’equació del gràfic probabilístic es poden estimar els paràmetres:

ˆ1 mz ln x

ˆ ˆ

= 1/4 = 0,25

m= − (−20) = 20 0,25 = 5

Al tractar‐se de llei log‐Normal

LESTAD

ETSEIAT− UPC



95

F(140) = P(X < 140) = P(ln X < ln 140) = ln 140 5

P Z0,25

= P(Z < − 0,23) = 1 − 0,59095 = 0,40905

La fiabilitat del sistema serà

RSP (140) = 1− [ F(140) ]4 = 1 − 0,409054 = 0,9720

Si el formigó emprat en la construcció d’un mur no té la suficient quantitat de ciment, la

seva resistència que és N(m; 2), disminueix i hi ha un gran perill d’accident. Si és correc‐

te, m és al menys 5000. Per verificar si el formigó és correcte ( i la resistència no ha dismi‐

nuït), una mostra de 16 provetes ha donat X = 4866,81 i S = 250.

16. Què val el nivell de significació de la prova?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ......................

Cal assegurar‐se que es detecti, amb una probabilitat molt alta, qualsevol disminució de la

mitjana de la resistència; per això cal plantejar la prova del tipus

H0 : m 5000 H1: m > 5000

La regió crítica està a la dreta, i el nivell de significació (p‐value) és la probabilitat del es‐

tadístic en la direcció que marca la regió crítica; en aquest cas és la probabilitat a la dreta

de l’estadístic.

L’estadístic de la prova, al ser la variància desconeguda, és

0X m

TS / n

distribuït Student amb = n − 1

p‐value = P(T = 15 > t calc) = P(T = 15 > −2,131) = 1 − 0,025 = 0,975

17. Per veure si 300, amb = 0,10 i n = 16, quin és el risc associat a = 256,23? 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ...............

L’estadístic per la prova sobre la variància de llei Normal, en aquest cas, és

LESTAD

ETSEIAT− UPC



96

2 2

2 2

0

(n 1)S 15 SJ

300

i, atenent que és una prova unilateral amb la regió crítica a la dreta, per a = 0,10,

el valor frontera és 2

0,10; 15 = 22,307.

Atès que = 256,23 pertany a la hipòtesi nul∙la, el risc associat és del tipus I (família

de les ’s), o sigui, cal calcular la probabilitat de rebutjar H0 essent certa. Així

2 2 22

152 2 2

2

15

15 S 15 S 22,307 300P 22,307 | 256,23 P

300 256,23 256,23

P 30,579 0,010

18. El gràfic probabilístic de la vida (hores) d’uns components ha estat ln(−ln R (x))= −2+0,45 ln

x. Què val la fiabilitat a les 100 hores d’un sistema format per dos subsistemes de 3 compo‐

nents en paral∙lel cadascun i muntats en sèrie entre ells?

0,033 0,124 0,133 0,288 0,510 0,657

0,703 0,795 0,937 0,953 ........................

La fiabilitat de cada component, a les 100 hores, es pot estimar directament utilitzant la

recta del gràfic probabilístic, per tant

ln(−ln R (100)) = −2 + 0,45 ln 100

i aïllant R (100) = exp(− exp(−2 + 0,45 ln 100)) = 0,3413

El sistema, format per components del mateix patró de vida, és

La fiabilitat de cada subsistema les 100 hores és igual a 1 − (1 − 0,3413)3 = 0,7142

i la del sistema total, sèrie dels dos subsistemes, és R = 0,71422 = 0,510

LESTAD

ETSEIAT− UPC



97

19. Les fallades en un estudi de fiabilitat de 15 fusibles truncat a les 60 hores són: 12; 20+;

25+; 28; 30+; 32; 40+; 44; 48; 50+; 52 i 56. Què val la fiabilitat a les 30 hores?

0,843 0,856 0,865 0,881 0,894 0,916 0,920

0,931 0,935 0,941 0,949 .........................

En forma de taula tenim

dades ni di 1−di/ni Ri = (1/di/ni)

12 15 1 14/15 14/15

20+ 14 0 1 14/15

25+ 13 0 1 14/15

28 12 1 11/12 77/90

30+ 11 0 1 77/90

O sigui, R(30) = 77/90 = 0,856

20. Es vol verificar si la mitjana d’un procés, que és Normal amb = 5, és igual a 12. Una mostra

de grandària 4 ha donat X= 10 i S = 2,4420. Calcula el nivell de significació de la prova

0,010 0,020 0,050 0,099 0,165 0,200

0,208 0,258 0,327 0,424 ..................................

Es tracta d’una prova bilateral sobre la mitjana de la llei Normal amb variància coneguda,

per tant l’estadístic de la prova és

0X m 10 12z

/ n 5 / 4

= 0,8

Valor que, al ser negatiu, té com regió critica més propera la de l’esquerra, així,

p‐value = 2 P(Z < 0,8) = 2 (1 0,78814) = 0,424

21. Si l’esperança matemàtica de l’emissió de cert producte volàtil en una combustió supera 25

ppm la legislació imposa elevadíssimes sancions. Les anàlisis de control, sobre una mostra de gran‐

dària 16, han donat X = 23 ppm i S = 5,966 ppm. Admetent llei Normal, calcula el nivell de significa‐

ció de la prova per decidir si es pot seguir treballant en aquestes condicions.

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 ..................................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



98

Cal plantejar les hipòtesis de manera que si la mitjana és superior a 25 ppm la prova ho

detecti amb quasi total seguretat, és a dir, cal fer

H0: m ≥ 25

H1: m < 25

que té com corba característica

Aquest gràfic evidència que si m supera 25 és altament probable que la prova ho detecti, i

per tant s’aturi el procés productiu pel seu poder contaminant. En detriment d’això, situa‐

cions de m lleugerament inferiors a 25 poden ser considerades com fora de la llei.

Si les hipòtesis es plantegessin en sentit contrari, seria molt probable que situacions de m

superior a 25 fossin considerades com correctes, és a dir, com de compliment de la llei

amb el que es rebrien les sancions que imposa la legislació.

Així, al ser la prova unilateral amb regió crítica a l’esquerra, el nivell de significació és la

probabilitat que queda a l’esquerra del valor del estadístic calculat. Al tractar‐se de llei

Normal amb variància desconeguda, l’estadístic és

0X mT Student n 1

S / n

Tcalc = (23 25) /(5,966/4) = 1,341

i segons les taules de la llei d’Student resulta que

P(T = 15 < 1,341) = 0,10

S’ha estudiat la resposta d’un procés amb 3 factors de control a 3 nivells cadascun, fent 30 ex‐

periències de les quals només n’hi ha 14 de diferents

22. Amb el model saturat s’ha obtingut SQT = 1500, QMR = 12,5. Calcula R2

0,415 0,469 0,552 0,603 0,680 0,744

0,808 0,867 0,947 0,998 ..................................

0

0,5

1

25

P(acceptar que m supera els 25 ppm)

m0

0,5

1

25


m0

0,5

1

25


m

LESTAD

ETSEIAT− UPC



99

El nombre màxim de paràmetres, p, que pot tenir un model és igual al nombre de

punts experimentals diferents, i si és així rep el nom de model saturat.

En aquest cas p = 14 que dóna lloc a una SQR amb n p = 30 14 = 16 graus de llibertat.

2 RSQEx SQT SQR SQT QMR 1500 12,5 16R

SQT SQT SQT 1500

= 0,867

23. Pas a pas s’obté Y = 10,2 + 4,6 X1 + 5,4 X1X2 amb diag(X’X)1 = (26,5 1,5 0,16) i SQR = 250.

Amb un risc del 5%, què val l’estadístic per verificar si la interacció és significativa?

2,359 2,864 3,307 3,808 4,050 4,437

5,867 6,047 7,015 8,998 ....................

L’estadístic que estudia la significació de la interacció és

12

jj(INT)

ˆ 5,4T

QMR d 2500,16

30 3

=4,437

En un assaig de fiabilitat sobre 20 components, a les 30 hores n’han fallat 10 sense cap cen‐

sura. Les següents dades són 36; 41+; 44; 60+; ...

24. Estima la fiabilitat a les 45 hores.

0,265 0,350 0,394 0,403 0,497 0,569

0,623 0,699 0,754 0,898 ................

Es tracta d’una assaig amb censura múltiple, per tant cal estimar la fiabilitat utilitzant

l’estimador general

j i

j ji

jj:x x

n dR(x )

n

Per les 11 primeres fallades (fins a les 36 hores) no hi ha cap censura i la fiabilitat es‐

timada és igual a

19 18 9 9

R(36)20 19 10 20

La fiabilitat a les 45 hores és l’estimada en l’instant de l’última fallada (la de 44h), o sigui

9 7ˆ ˆR(45) R(44)20 8

= 0,394

LESTAD

ETSEIAT− UPC



100

25. Calcula l’ordenada associada a la desena fallada en el gràfic probabilístic de Weibull

‐1,31 ‐1,25 ‐1,04 ‐0,98 ‐0,88 ‐0,82

‐0,69 ‐0,62 ‐0,44 ‐0,37 .......................

El gràfic probabilístic de Weibull té en ordenades ˆ ˆln ‐ln 1‐ F(t) ln ‐ln R(t)

Tal com s’ha vist en l’apartat anterior, fins la desena fallada no hi ha censures, per

tant la seva fiabilitat estimada coincideix amb la fracció de supervivents. Dels 20 inici‐

als en queden 10, fet que dóna lloc a una fiabilitat igual a 0,5.

ˆln ‐ln R(t) ln ‐ln 0,5 = 0,37

26. La recta del gràfic de Weibull presenta un bon ajust amb paràmetres 0 = 3 i 1 =

0,78. Calcula la fiabilitat d’un sistema de 6 components en paral∙lel a les 80 hores.

0,358 0,446 0,529 0,614 0,773 0,852

0,920 0,963 0,985 0,997 ......................

La recta del gràfic de Weibull té com expressió

0 1ˆ ˆˆ ˆln ln 1 F(t) ln ln R(t) ln + lnt = ln t = 3 + 0,78 ln t

La fiabilitat a les 80 hores, s’estima a partir de la recta com

R(80) exp exp( 3 0,78 ln80) = 0,219

Alternativament, de la recta podem estimar els paràmetres de la llei, = 0,78

i 0ˆ ˆ ˆexp( / ) = 46,81

ˆ 0,78x 80

R(80) exp expˆ 46,81

= 0,219

La fiabilitat d’un sistema en paral∙lel de 6 components igualment distribuïts és igual a

Pparal∙lel (80) = 61 1 R(80) = 1 (1 0,219)6 = 0,773

27. Se sap que el diàmetre d’uns DVD es distribueix Normal amb desviació tipus igual a 0,04

cm En el control de qualitat es vol garantir que la mitjana del diàmetre sigui inferior o

igual a 12 cm, amb = 0,025 i n = 16. Quin és el risc associat a m = 12,010?

0,02 0,05 0,10 0,15 0,32 0,48

0,58 0,68 0,83 0,95 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



101

Les hipòtesis a contrastar són 0

1

H : m 12

H : m 12

La regió crítica és de la forma 0

0,04X m z 12 1,96 12,0196

n 16

Es demana el risc per m =12,010; valor que pertany a la hipòtesi alternativa, de manera

que el risc associat correspon a un de segona espècie, . Així

m = 12,010 = P(acceptar H0 essent m = 12,010) = P X 12,0196|m 12,010

12,0196 12,010

P Z P(Z 0,96) 0,831470,04 / 16

28. En la prova d’hipòtesi H0: 2 5 ; H1: 2 < 5 amb X ~ N(m, 2), n = 10 i = 0,10, què val el risc associat a 2 = 12,01?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 ..................................

En aquesta prova d’hipòtesi la regió crítica és de la forma 2 2calc 1 , o sigui

2 2 2calc 0,90; 9 calc 4,168

Així

2L 2

L20

(n 1)S 4,168 54,168 S 2,3156

9

El valor 12,01 és un valor de 2 que pertany a la hipòtesi nul∙la. Per tant es tracta de cal‐

cular un risc tipus I, o sigui una .

2 = 12,01 = P(rebutjar H0 | 2 = 12,01) = P(2LS 2,3156 |2 = 12,01) =

= 2

292

9 2,3156(n 1)SP P 1,735 1 0,995 0,005

12,01

LESTAD

ETSEIAT− UPC



102

29. Un equip consta de 5 components en sèrie. La vida de cadascun d’ells es pot admetre ex‐

ponencial amb un gràfic probabilístic de pendent igual a 0,005. Què val el tercer quartil de

la durada del sistema?

15,40 17,33 19,80 23,10 26,57 32,89

36,02 40,93 48,84 55,45 ..................................

La fiabilitat d’un sistema en sèrie és igual a producte de les fiabilitats de cada component.

Si n’hi ha 5 i són igualment distribuïts

Rsistema(x) = R(x)5, on R(x) representa la fiabilitat de cada component al temps x

El tercer quartil és el valor del temps en que la mortalitat és igual a 0,75, o sigui cal trobar

el valor de x pel qual la fiabilitat del sistema és igual a 0,25

0,25 = R(Q3)5 R(Q3) = 5 0,25

A partir del gràfic probabilístic, es pot estimar la de la llei exponencial com 0,005.

3(1/ 5)ln(0,25)

Q0,005

= 55,45

30. Una prova de vida de 10 elements s’ha aturat a les 50 h. S’han registrat les durades i cen‐

sures següents: 18,0; 45,3; 10+; 35+; 32,1; 39,4 i 30+. Quina és l’ordenada del gràfic pro‐

babilístic de Weibull associada al registre 32,1h?

−2,04 –1,90 –1,74 –1,65 –1,55 –1,51

–1,35 –1,30 –1,15 –0,90 ..................................

Ordenant les dades resulta 10+ 18,0 30+ 32,1 35+ ...........

L’ordenada del gràfic probabilístic Weibull és igual a ln(−ln(R(x) ) i al tractar‐se de dades

amb censura múltiple cal utilitzar l’estimador general de la fiabilitat, o sigui

i ii

ii

n dR(x )

n

8 8 610

R(32,1)10 9 8 7

= 0,7619

ln(−ln(R(32,1) ) = −1,302

LESTAD

ETSEIAT− UPC



103

S’han fet 32 experiències, de les quals 26 són diferents entre elles, per estudiar 7 factors a 3

nivells cadascun. Tots els factors s’han estudiat dins l’interval [−1; 1]. El model definitiu ha

estat 1 5 2 5Y 6,085 4,18X 8,14X 8,70X X , amb SQR = 74,05; SQT = 1058,44 i

diag(X’X)‐1 = (0,0750 0,0440 0,0496 0,0520)

31. Quin és el valor de l’estadístic de l’estudi de la significació del model?

9,39 66,47 70,90 79,76 97,49 124,07

132,94 141,80 150,66 159,52 ..............

Cal calcular l’estadístic F de la Anova de la regressió

SQEx /(p 1) (1058,44 74,05)/(4 1)

F 124,07SQR /(n p) 74,05/(32 4)

32. Quin és el valor de l’estadístic de l’estudi de la significació del terme X1?

9,39 9,72 10,03 10,34 10,64 12,25

12,68 13,10 13,50 13,89 .................

Aquest estadístic és l’anomena’t T que es distribueix Student, així

1

2

ˆ 4,18t 12,25

QMR d 74,050,0440

32 4

33. La variància d’un procés és igual a 2, i qualsevol augment implica una molt forta sanció

econòmica. Una mostra de grandària 11 ha donat S2 = 0,5116. Admetent llei Normal, què

val el nivell de significació (p‐value) de la prova?

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100

0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 ......................

Si qualsevol augment implica una gran sanció, cal assegurar‐se que si la variància aug‐

menta hi hagi un risc molt petit de no detectar‐ho (o de considerar que disminueix). Això

s’aconsegueix agafant plantejant les hipòtesis

H0: 2 ≥ 2

H1: 2 < 2

L’estadístic de la prova, que es distribueix segons una llei 2 amb 10 g.d.ll., pren el valor

LESTAD

ETSEIAT− UPC



104

22calc 2

0

(n 1) S 10 0,51162,558

2

i el seu nivell de significació és la probabilitat en la direcció de la regió crítica, que en

aquest cas està a l’esquerra, o sigui,

p –val = P(2=10 < 2,558) =1 – 0,990 = 0,010

34. S’ha mesurat la suavitat de 15 teixits abans i desprès d’aplicar un additiu. Admetent llei

Normal i del 5%, quins són els valors frontera per verificar si l’additiu canvia la mitjana?

±1,440 ±1,886 ±2,064 ±2,093 ±2,110

±2,145 ±2,201 ±3,182 ±4,541 ±9,925 .................

Essent X la variable aleatòria “suavitat abans del tractament” i Y la “suavitat desprès del

tractament”, i atenent que ens diuen que ambdues mesures s’han fet sobre els mateixos

teixits, X i Y no són independents.

Així la comparació de mitjanes només procedeix fer‐la mitjançant la prova de mostres

aparellades amb

H0: mX = mY H1: mX ≠ mY

Es tracta d’una prova bilateral, basada en l’estadístic distribuït Student amb = 15 – 1 = 14. Per un risc = 0,05 els frontera són

± t0,025; 14 = ± 2,145

En un estudi sobre la quantitat d’energia necessària per decolorar una aigua residual, s’ha

treballat amb 4 factors i cadascun a 3 nivells equidistants. L’experimentació ha consistit

en 8 experiències repetides 2 cops cadascuna i una altra repetida 8 cops. El model de‐

finitiu ha estat Ŷ = 26 + 17,3 X2 + 4,9X4 + 5,1 X2X4 amb (X’X) = diag(24 16 16 16);

SQT = 6061 i SQEx = 5586

35. Què val l’estadístic de l’estudi de la significació del model, amb un risc del 5%?

8,52 12,12 24,89 31,28 31,99 39,57

56,85 67,82 78,40 98,52 .................

Cal calcular la F de l’Anova de la regressió, en un model de 24 punts i 4 paràmetres

LESTAD

ETSEIAT− UPC



105

SQEx /(p 1) 5586/(4 1)

FSQR/(n p) (6061 5586)/(24 4)

= 78,40

36. Calcula l’extrem superior de l’interval de confiança del consum mitjà, amb un risc

del 5%, en el punt X1 = X2 = 1 i X3 = X4 = 0?

35,74 36,27 37,03 37,60 37,94 46,23

46,58 47,15 47,92 49,12 .................

L’extrem superior de l’interval és

R

' 1/2; 0 0Y t QMR x (X'X) x

Amb

Y = 26 + 17,3 = 43,3

R = n – p = 24 – 4 = 20 t0,025; 20 = 2,086

QMR (6061 5586)/20 23,75

x'0 = ( 1 1 0 0)

' 10 0

1 51x (X'X) x

24 16 48

R

' 1/2; 0 0Y t QMR x (X'X) x

= 43,3 + 2,086 23,75 5/48 = 46,58

37. La durada mitjana de 15 components, de vida acceptablement exponencial, ha estat

igual a 40 h. Què val l’extrem inferior de l’interval de confiança al 95% per la fiabilitat a les

10h?

0,304 0,415 0,514 0,615 0,637

0,652 0,664 0,676 0,712 0,954 ......................

En llei exponencial, l’interval de confiança 1 − , pel paràmetre , és

2 21 /2; 2n /2; 2n

1 1C C 1

2nx 2nx

LESTAD

ETSEIAT− UPC



106

i l’interval de confiança per la fiabilitat al temps x, és

x xC e R(x) e 1

Cal calcular l’extrem inferior, llavors

2 2/2; 2n 0,025; 30

1 1 46,979x 10x 2nx 2 15 40 120e e e e

0,6760

38. El gràfic probabilístic Weibull d’unes durades té un bon ajust a la recta amb pendent 0,81

i ordenada a l’origen igual a 3,08. Quin és el valor estimat per a la mitjana de la durada?

35,53 44,55 50,20 59,56 63,16

69,87 76,93 88,02 92,23 103,54 ......................

L’equació de la recta del gràfic probabilístic de Weibull és

ln (− ln(1 – F(x))) = ln x − ln

i les dades ens permeten estimar els paràmetres com

ˆˆ 0,81 exp(3,08/0,81) 44,8117

L’esperança matemàtica d’aquesta llei de Weibull, s’estima com

ˆˆ ˆE(X) 1 1/

44,8117 1 1/0,81 44,8117 2,23 44,8117 1,12023 50,20

39. Un fabricant de components electrònics ha de decidir entre dos tipus de plàstic, P15

i P80, en funció de la seva resistència a la ruptura. Se sap que les resistències de P15 i

P80 són Normals amb desviació tipus = 0,08 Kp/cm2. El P15 és molt més car i no‐

més és rendible escollir‐lo si la seva mitjana supera a la del P80 almenys en 1 Kp/cm2.

Es disposa de la següent informació: nP15 = 8; P15X = 11,42 Kp/cm2; nP80 = 8 i P80X =

10,50 Kp/cm2. Què val el nivell de significació de la prova amb la que es decidirà quin

plàstic s’utilitza?

0,00621 0,02275 0,10565 0,15866 0,30854 0,69146

0,84134 0,89435 0,97725 0,99379 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



107

El que no es pot permetre el fabricant de components és comprar el plàstic més car

(P15) i, que a sobre, li resulti el pitjor dels dos. Per tant cal que plantegi la prova per

assegurar‐se que si, realment, mP15 no supera a mP80 en més d’una unitat, la probabi‐

litat de decidir que la supera (i comprar‐lo al pensar que és el millor) sigui el més peti‐

ta possible. Atès que l’única hipòtesi amb el risc acotat és la nul∙la (màxima probabili‐

tat d’error = ), el que cal fer és

H0: mP15 mP80 ≤ 1

H1: mP15 mP80 > 1

L’estadístic de la prova, al tractar‐se de llei Normal amb variància coneguda, és

P15 P80

P15 P80

X X 1Z N(0; 1)

1 1

n n

que amb les dades disponibles pren el valor

calc

11,42 10,50 1Z 2

1 10,08

8 8

Per la prova plantejada, el nivell de significació és la probabilitat de la dreta del esta‐

dístic, per tant

P(Z ≥ 2) = P(Z ≤ 2) = 0,97725

40. Es disposa de 2 mostres, cadascuna de 10 engranatges de plàstic per a impressores

làser, procedents dels fabricants A i B. S’ha mesurat la seva resistència a l’impacte (J) i

s’ha obtingut AX = 393; SA = 16; BX = 400 i SB = 18. Admetent llei Normal i amb un risc

del 5%, què val l’estadístic de la prova per veure si mA i mB són iguals?

Falten dades ‐2,376 ‐1,576 ‐0,919 ‐0,263 0,394

0,852 1,050 1,757 2,491 .................

Cal comparar les mitjanes dels dos fabricants, amb una situació de llei Normal amb

variàncies desconegudes. Per decidir l’estadístic de la prova el primer pas és verifi‐

car si les variàncies poden ser acceptablement iguals. Per això

LESTAD

ETSEIAT− UPC



108

2 2 2 20 A B B

2 22 2A1 A B

H : S 18F 1,27

S 16H :

La regió d’acceptació de la prova és {F0,975;9;9 ; F0,025;9;9 } = {1/4,03; 4,03}. Evident‐

ment, el valor de l’estadístic calculat pertany a aquesta regió i dóna dret a conside‐

rar les variàncies dels dos tipus d’engranatge homogènies.

En aquesta situació la comparació de mitjanes serà

0 A B A B

2 21 A B A A B B

A B A B

H : m m X XT

H : m m (n 1)S (n 1)S 1 1

n n 2 n n

calc 2 2

393 400T 0,919

9 16 9 18 1 1

18 10 10

S’ha estudiat la resistència al tall (Y) d’un adhesiu en funció de la pressió (X1): ‐3; ‐1; 1; i 3

unitats codificades (u.c.) i de la temperatura (X2): ‐1; 0 i 1 unitats codificades (u.c.). Part

dels resultats són

g.d.ll S.Q. Coefs Error típic

Regressió 4 440,38 constant 11,18 0,61

Residus 7 14,58 X1 1,86 0,17

X2 0,88 0,47

X1X2 ‐2,28 0,21

X12 0,32 0,08

41. Què val l’estimació de la variància comú?

1,35 1,40 1,44 1,51 1,56 1,83

1,95 2,08 2,27 2,44 .................

L’estimació de la variància comú, en model lineal, és QMR. Per tant

QMR = SQR /R = 14,58/7 = 2,08

42. A quina pressió (u.c.) cal treballar per assegurar una resistència a l’entorn de

14,5 si es fixa la temperatura a 0,2 u.c.?

‐6,58 ‐6,40 ‐6,22 ‐6,02 ‐5,80 1,42

1,63 1,84 2,02 2,20 .................

LESTAD

ETSEIAT− UPC



109

El model és Ŷ = 11,18 + 1,86 X1 + 0,88 X2 2,28 X1X2 + 0,32 X12 i cal trobar, per X2 = 0,2, el valor de X1 que dóna lloc a Ŷ = 14,5. Per això cal resoldre l’equació de

segon grau

0,32 X12 + 1,404 X1 3,144 = 0

Les dues rels són X1 = 6,02 i X1 = 1,63. Observant els nivells experimentals de la

pressió, 3; 1; 1 i 3, es veu que de les 2 rels de l’equació només una (X1 = 1,63)

cau dins el camp experimental. Així cal treballar a 1,63 u.c. de pressió

43. Un gràfic probabilístic log Normal sobre 30 dades de vida (h) ha presentat un bon

ajust a la recta y = 20 x – 90. Quin és el percentil del 97,5%?

60,2 77,3 99,3 115,4 127,5 135,6

144,1 152,9 163,7 172,8 .................

El pendent del gràfic probabilístic seminormal és igual a 1/. Per tant ˆ 1/20 0,05

L’ordenada en l’origen és m/; o sigui m 90 0,05 4,5

El percentil del 97,5% és el valor de la variable que deixa a la seva esquerra una pro‐

babilitat igual a 0,975

Z0,025 = 1,96 → ln X = m + z = 4,5 + 1,96 × 0,05 = 4,598 → x = 99,3 h

44. Calcula la fiabilitat d’un aparell format per dos subsistemes en sèrie. El primer té 6

components, de fiabilitat individual igual a 0,90, i perquè funcioni cal que ho facin

almenys 4; el segon està format per 8 components de fiabilitat individual 0,80 i per

funcionar requereix que ho faci la meitat dels seus components, com a mínim.

0,9072 0,9123 0,9286 0,9303 0,9740 0,9779

0,9804 0,9818 0,9827 0,9997 .................

Sigui X el nombre de components que funcionen en el primer subsistema:

X ~ b(n = 6; p = 0,9).

La fiabilitat del primer subsistema serà

R1 = P(X ≥ 4) = 1 B(3; 6; 0,9) = B(2; 6 ; 0,1) = 0,9842

Sigui Y el nombre de components que funcionen en el segon subsistema:

Y ~ b(n = 8; p = 0,8).

LESTAD

ETSEIAT− UPC



110

La fiabilitat del segon subsistema serà

R2 = P(Y ≥ 4) = 1 B(3; 8; 0,8) = B(4; 8 ; 0,2) = 0,9896

La fiabilitat del sistema format pels dos subsistemes en sèrie és

R =R1 × R2 = 0,9842 × 0,9896 = 0,9740

En unes proves de durada (Km) d’uns pneumàtics GRIP i SUPERGRIP, que són acceptable‐

ment Normals, s’ha obtingut

durades mitjanes desviacions tipus

GRIP 44776 44554 45676 44690 44979 44935 442,01

SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905 45435 1770,15

45. Què val l’estadístic de la prova per verificar la igualtat de variàncies?

0,027 0,043 0,049 0,062 0,079 12,728

16,038 20,226 23,522 37,525 .................

Per resoldre la prova H0: 2 21 2 contra H1:

2 21 2 , l’estadístic emprat és

2122

SF

S .

Al ser indiferent quina és la població que es considera com X1 i quina com X2, resulta

Fcalculada = 442,012 / 1770,152 = 0,062 o bé

Fcalculada = 1770,152 / 442,012 = 16,038

46. Quin és el valor absolut de l’estadístic de la prova per verificar la igualtat de mitja‐

nes?

0,194 0,234 0,605 0,613 0,722 0,830

1,215 1,233 1,403 1,499 .................

Per verificar la igualtat de mitjanes cal provar, prèviament, si les variàncies són ad‐

missiblement iguals. Veient els valors de l’estadístic de la prova d’igualtat de variàn‐

cies, i per qualsevol valor raonable de , és evident que no es poden considerar iguals. En conseqüència, s’ha de resoldre per mostres aparellades

durades

X: GRIP 44776 44554 45676 44690 44979

Y: SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905

W = X − Y − 331 − 782 − 331 − 3130 2074

LESTAD

ETSEIAT− UPC



111

W − 500 2WS 3419756

L’estadístic de la prova és W W

WT

S / n

El seu valor absolut és igual a |Tcalc |= 0,605

47. Per verificar, amb = 0,05, si es pot acceptar que la variància d’una mesura (distribuï‐

da Normal) és menor o igual que 20, es disposa d’una mostra amb n = 6; X 185,3 i S2 =

2,216. Quin és el nivell de significació de la prova?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 .................

Es tracta de la prova H0: 2 ≤ 20 contra H1: 2 > 20. La regió crítica queda a la dreta i el

seu estadístic, distribuït segons una llei de 2 de paràmetre igual a n − 1, és 2

2

(n 1) S

.

Amb les dades disponibles el valor adquirit per l’estadístic és 5 2,216 / 20 = 0,554

El nivell de significació, d’una prova unilateral, és la probabilitat de l’estadístic en la direc‐

ció de la regió crítica. Així

p‐val = 25P 0,554 = 0,990

En un model lineal es disposa de 8 punts diferents repetits cadascun 2 cops. S’ha ajustat

un model saturat i s’ha obtingut SQT = 518 i SQR = 52

48. Què val l’estadístic que verifica si el model és significatiu?

4,59 5,21 7,04 7,91 8,85 10,24

12,26 13,45 17,41 20,85 .................

El nombre total de punts experimentals és n = 8 2 =16.

El nombre de punts diferents és vuit, per tant, el model saturat té 8 termes, p = 8

L’estadístic de l’ANOVA de la regressió és

SQEx /(p 1) (518 52)/(8 1)

FSQR/(n p) 52/(16 8)

10,24

LESTAD

ETSEIAT− UPC



112

49. Després d’eliminar tots els termes no significatius, el model ha quedat reduït a una

recta amb un pendent estimat com 1,3120 amb un error tipus de 0,50. Quin és el p‐

value de la prova de significació del pendent?

0,001 0,002 0,003 0,005 0,010 0,020

0,025 0,050 0,100 0,200 .................

En aquest moment n = 16 i p = 2. L’estadístic de la prova T per verificar la significació

d’un coeficient, el pendent en aquest cas, és

1

1

ˆ

ˆ 1,3120t 2,624

S 0,50

El nivell de significació en una prova bilateral, com l’actual, és igual al doble de la

probabilitat de l’estadístic en la direcció de la regió crítica més propera, o sigui

p‐val = n p 142 P T 2,624 = 2 0,010 = 0,020

El gràfic probabilístic d’un estudi de vida d’uns components ha presentat un molt bon

ajust al model ln R(t) = 0,0025 t

50. Quin és el valor estimat pel percentil 90?

94,3 184,8 239,1 419,9 481,6 643,8

758,8 921,0 1198,3 1564,8 .................

El percentil 90 és el valor de la variable que acumula una probabilitat igual 0,90, o si‐

gui, que té una fiabilitat igual a 0,10. Així

ln R(t) = 0,0025 t − ln 0,10 = 0,0025 t(P90) t(P90) = 921,0

51. Quina és la fiabilitat estimada per t = 10 d’un sistema en sèrie de 5 dels compo‐

nents anteriors?

0,368 0,417 0,472 0,535 0,592 0,687

0,779 0,882 0,939 0,975 .................

Del gràfic probabilístic es dedueix que el model ajustat és exponencial de = 0,0025. La fiabilitat de cada component per t =10 és

R(10) = exp(− 0,0025 10) = exp (− 0,025)

La fiabilitat del sistema de 5 components en sèrie és

RS(10) = (R(10))5 = exp(− 0,025 5) = 0,882

Documents

hermessuspendeme.comhermessuspendeme.com/DOCS/GrevaGreta/2A/Estadistica/Problemes/Problem… · LESTAD ETSEIAT− UPC Enunciats exercicis examen parcial M. Albareda I. Algaba S. Casadesús