91Matematika XI SMK/MAK

Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi? Film ini disukai karena

terlihat lebih nyata. Sebenarnya, apa arti kata dimensi? Dimensi berasal dari bahasa

Latin yaitu dimension yang berarti menentukan ukuran. Dimensi merupakan suatu

parameter atau ukuran yang digunakan untuk mendefinisikan karakteristik suatu

objek, misalnya panjang, lebar, dan berat objek tersebut. Di dalam matematika,

dimensi digunakan untuk menentukan posisi suatu objek terhadap ruang. Besarnya

dimensi pada ruang sama dengan banyak parameter yang digunakan pada objek

tersebut. Dimensi hampir diterapkan pada berbagai disiplin ilmu dengan parameter

dan ruang yang relevan dengan topik yang tengah dibahas. Sebagai contoh, penerapan

pada ilmu geografi parameter yang digunakan adalah meter atau kaki. Pada ilmu

ekonomi, parameter yang digunakan adalah cost (banyak pembelian atau penjualan)

dan price (harga). Contoh lain adalah menentukan letak suatu tempat di atas

permukaan bumi dengan menggunakan pedoman garis lintang dan garis bujur.

Artinya, parameter yang digunakan sebanyak 2 buah. Dengan demikian dimensi yang

digunakan untuk menentukan letak adalah dimensi dua. Pembahasan lebih lanjut

tentang geometri dimensi dua akan kita pelajari pada bab berikut.

Sumber: www.wikipedia.org

Letak Suatu Tempat di Permukaan Bumi

92 Geometri Dimensi Dua

Uraian Materi

Kedaulatan suatu negara bersifat mutlak. Atas dasar

ini, setiap negara memunyai sistem keamanan dengan

kelebihannya masing-masing. Sebagai contoh kapal

Monmouth yang merupakan kapal pengawal Angkatan

Laut Kerajaan Inggris. Kapal ini dilengkapi dengan

teknologi paling canggih untuk memperkecil deteksi oleh

radar, inframerah, dan sumber-sumber magnetis lainnya.

Radar dapat mendeteksi jarak benda-benda dengan

mengukur waktu yang diperlukan oleh gelombang radio

untuk sampai ke benda, dipantulkan, dan kembali ke

radar penangkap sinyal. Semakin banyak permukaan

berbentuk vertikal pada benda, semakin mudah pula

benda terdeteksi oleh radar. Kemudahan terdeteksinya

suatu kapal oleh radar disebut ”signature”. Kapal perang

Monmouth mempunyai signature pada semua permukaan

vertikalnya yang dibuat miring sebesar 7°.

Besar Suatu Sudut

1. Pengertian Sudut

Sudut adalah daerah yang dibatasi

oleh dua buah sinar (ruas garis) dan

bertemu pada satu titik. Sudut dapat

dipahami pula sebagai suatu bangun

yang terbentuk oleh dua sinar (dua sinar

ini disebut kaki sudut).

Dari gambar di samping disebut sudut

B atau sudut β atau sudut ABC

dinotasikan ∠ABC yang dibatasi oleh dua

buah ruas garis (sinar) �� dan�� serta satu titik sudut B. Besarnya

sudut ditentukan oleh besarnya rotasi yang diperlihatkan oleh arah

anak panah.

2. Macam-Macam Satuan Sudut

a. Satuan Derajat ( . . . °)

Satuan derajat disebut juga ”satuan sudut sexagesimal ”, yaitu

keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Diketahui

sudut satu keliling lingkaran adalah 360°. Misalkan besar sudut α

adalah 1° dan panjang busur AB = �

���

keliling lingkaran maka

satu derajat adalah �

���

keliling lingkaran. Selanjutnya untuk

keakuratan pengukuran, satuan derajat dibagi lagi menjadi satuan

yang lebih kecil yaitu menit ( ' ) dan detik (

'' ).

Hubungan antara derajat, menit, dan detik sebagai berikut.

1° = 60'

1' = 60

''

βB

C

A

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

Kapal Monmouth

Sudut

93Matematika XI SMK/MAK

Perlu Tahu

Satu lingkaran penuh mem-

punyai sudut sebesar 360°.

Lingkaran dibagi ke dalam

360° untuk alasan sejarah,

yaitu diambil dari banyak-

nya hari dalam setahun

dalam kalender Babilonia

kuno. Astronom Yunani,

Hipparchos dikenal karena

membagi lingkaran menjadi

360°.

Sumber: Ensiklopedi Matematika

dan Peradaban Manusia

Sudut dalam Lingkaran

360°

C A

O

B

r

b. Satuan Radian (rad)

Satuan radian disingkat rad. Apabila busur AB (∩ AB) samadengan jari-jari lingkaran (r) maka besar sudut tersebut adalah satu

radian.

Perhatikan gambar di samping.

�

�

�������� ���������

!���" !���

�

�

π= = π

Perbandingan #�

��� �

�

∩ = = , menunjuk-

kan ukuran sudut AOB. Nilai bilangan itu

disebut ukuran radian.

Busur ABC adalah bangun setengah lingkaran πr, sehingga:

�$$�

#�

�� �

�

���π ⋅= = π

c. Centisimal/gon/grade

Satuan gon ditulis 1g. Satuan gon menyatakan panjang busur

lingkaran = �

%��

keliling lingkaran tersebut. Jadi, besar sudut pusat

lingkaran = 400g.

3. Konversi Satuan Sudut

Sesuai dengan prosedur mengenai perhitungan besar sudut, satuan

sudut dalam derajat dapat dikonversikan ke satuan sudut dalam radian

atau sebaliknya.

a. Mengubah Radian ke Derajat atau Sebaliknya

π rad = 180°

⇔ 1 rad =

�&�°π , π = 3,14 180° = π rad

⇔ 1° =

�&�°π , π = 3,14

⇔ 1 rad =

°�&�

�*�%⇔ 1° =

�&�

�*�%rad

1 rad = 57,3248408° 1° = 0,017 rad

1 rad = 57°17'45

''

b. Mengubah Radian ke Gon (1g) atau Sebaliknya

π rad = 200g

⇔ 1 rad = ( )����

π , π = 3,14 200g= π rad

⇔ 1g=

���

πrad, π = 3,14

⇔ 1 rad = ( )����

�*�%⇔ 1

g=

�*�%

���rad

1 rad = 63,69 g

1g= 0,016 rad

c. Mengubah Derajat ke Gon atau Sebaliknya

180° = 200g

⇔ 1° = ( )����

�&�

° ⇔200g= 180°

1° = 1,11 g ⇔ 1

g=

�&�

���

°

1 g= 0,9°

94 Geometri Dimensi Dua

Aplikasi

Contoh:

1. Konversikan sudut 31,56° ke bentuk

satuan derajat, menit, dan detik!

Penyelesaian:

31,56° = 31° + 0,56'

= 31° +

<�

���

> ��@⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 31° + 33,6' = 31° + 33

' + 0,6

'

= 31° + 33' +

�

��

> ��@@⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 31° + 33' + 36''

Jadi, 31,56° = 31°33'36

''.

2. Konversikan 5 rad ke bentuk

satuan gon!

Penyelesaian:

5 rad = (5 × 63,69)g

= 318,45g

Jadi, 5 rad = 318,45g.

3. Konversikan 22,6° ke satuan

radian!

Penyelesaian:

22,6° = (22,6 × 0,017) rad

= 0,3842 rad

Jadi, 22,6° = 0,3842 rad.

αβ

Gambar di samping adalah sebuah packing.

Hitung sudut α dan β dari gambar di samping dalam

satuan radian!

Penyelesaian:

Sudut antara 2 lubang:

α = ���

�

°= 60° β = (90° – α) × 0,017 rad

= 60° × 0,017 rad = 30° × 0,017 rad

= 1,02 rad = 0,51

Latihan 1

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Nyatakan ke dalam satuan radian!

a. 15,3° b. 60° c. 120g

d. 240g

2. Nyatakan ke dalam satuan derajat!

a.

�

�

��Zπ b.

�

�

��Zπ c. 25g

d. 100g

3. Nyatakan ke dalam satuan grade/gon!

a. 30° b. 42° c.

�

�

��Zπ d.

�

�

���π

4. Nyatakan derajat berikut ke dalam derajat, menit, dan detik!

a. 45,5° b. 60,75° c. 60,42° d. 50,36°

5. Pada trasmisi roda gigi pada kepala pembagi,

perbandingan roda cacing dan batang cacing

adalah 40 : 1.

Hitunglah hasil berikut!

a. Sudut yang ditempuh roda cacing bila batang

cacing diputar sebanyak 1 putaran.

b. Putaran batang cacing agar roda cacing

berputar 1 radian. (jawabannya dalam satuan

derajat)

roda gigi

cacing

batang cacing