MODELAGEM DE SISTEMA DE LEVITAO MAGNTICA POR

ABORDAGEM ANALTICA BASEADA NO CONCEITO DE

CIRCUITOS MAGNTICOS

Jefferson S. Costa souza.jefferson91@gmail.com Cleison D. Silva cleison@ufpa.br Raphael B. Teixeira raphaelbt@ufpa.br Universidade Federal do Par, Campus de Tucuru

Rodovia BR 422. Km 13, Canteiro de Obras da UHE, Vila Permanente

68455-655 Tucuru Par

Resumo: Este trabalho descreve a modelagem dinmica de um prottipo didtico de

levitao magntica, a fim de que seja possvel utiliz-lo em aulas didticas das disciplinas

de controle ministradas no Campus Universitrio de Tucuru da UFPA, permitindo ao aluno

projetar e testar tcnicas de controle, tornando o ensino de engenharia de controle mais

prtico e objetivo. O sistema consiste em fazer uma massa de material ferromagntico levitar

em pleno ar somente com a aplicao de uma fora magntica gerada por um eletrom.

Utiliza-se um tratamento analtico para identificao da dinmica de levitao magntica

baseada no conceito de circuitos magnticos, com finalidade de estimar um modelo

matemtico que explique a fora magntica sobre a massa flutuante. Tambm se utilizou de

alguns ensaios de resposta em frequncia e estticos para obteno do modelo individual de

outros elementos da bancada MAGLEV. A validao do modelo realizada, comparando

dados simulados com dados obtidos diretamente na bancada, no intuito de verificar se o

modelo representa o comportamento da bancada de forma adequada.

Palavras-chave: Levitao Magntica, Modelagem de Sistemas, MAGLEV

1. INTRODUO

O uso de prottipos didticos para auxiliar em disciplinas tericas e laboratoriais vem se

tornando uma grande ferramenta na busca da melhoria da abordagem didtica no ensino de

engenharia (NEVES et al., 2004). A aplicao desta metodologia na Faculdade de Engenharia

Eltrica do Campus Universitrio de Tucuru da UFPA tem gerado resultados positivos para

os alunos de graduao. Visto que contribui didaticamente para as aulas e tem feito surgir

vrios trabalhos de pesquisa e iniciao cientfica, tais como (CABRAL, 2010), (CASTRO,

2010), (MILHOMEN, 2010).

Um dos prottipos que tem contribudo para estes resultados bancada didtica

MAGLEV (do ingls Magnetic Levitation). Uma planta clssica da engenharia de controle

que consiste em fazer uma massa de material ferromagntico levitar. A bancada foi construda

no intuito de permitir que alunos de graduao do curso de engenharia eltrica pudessem

verificar a aplicao da teoria de controle clssica em uma planta real. Uma das caractersticas

da bancada desenvolvida, que esta apresenta trs mdulos de controle, um para controle

digital, outro para controle analgico, e o terceiro, possibilita que um circuito de controle

externo possa ser acoplado a bancada. Logo circuitos controladores desenvolvidos

externamente por alunos podem ser testados na bancada.

Embora os dois primeiros mdulos permitam o desenvolvimento de experimentos com a

bancada de controle, os algoritmos de controle so fixos. Apenas a sintonia dos controladores

permitida aos usurios. Esta sintonia, por sua vez, realizada empiricamente, uma vez que

no h uma representao matemtica confivel para o sistema. Isso impede, por exemplo,

que um circuito controlador externo possa ser projetado, uma vez necessrio o

conhecimento do modelo matemtico para possibilitar o projeto de controladores lineares.

Este fato limita o potencial da bancada para ser utilizada em sala de aula.

Tendo em vista o potencial pertencente bancada MAGLEV, este trabalho descreve a

modelagem dinmica deste sistema de levitao. O objetivo possibilitar a utilizao deste

prottipo em aulas das disciplinas de sistemas de controle. Assim cada discente poder

projetar tcnicas de controle clssicas para testar em um sistema real, o MAGLEV. E tambm,

possibilitar a utilizao de recursos extras, como projetos de compensadores e anlises da

dinmica via software. O que pode tornar o ensino de sistemas de controle mais atrativo para

os alunos. Uma vez que o uso de um processo real instiga a curiosidade e fomenta a busca por

informao, o que refora a necessidade de integrar conhecimentos de diversas reas do curso

de graduao.

2. BANCADA DIDTICA MAGLEV

A bancada didtica MAGLEV uma planta de levitao magntica totalmente

desenvolvida na Universidade Federal do Par no Campus Universitrio de Tucuru. O

objetivo foi o de consolidar conceitos de disciplinas do curso de engenharia eltrica.

constituda basicamente por: um eletrom, responsvel por gerar a fora magntica sobre o

corpo que se deseja levitar; um sensor tico, que detecta a posio da massa; um circuito de

controle que, baseado na posio do objeto, calcula o sinal de corrente a ser aplicado na

bobina para correo da posio; e por fim, um circuito acionador de carga, que basicamente

eleva a potncia do sinal de controle. Uma viso frontal da bancada mostrada na Figura 1a e na Figura 1b mostrado um diagrama de blocos que simplifica o funcionamento do sistema.

(a)

(b)

Figura 1 (a) Bancada MAGLEV e (b) Diagrama funcional da bancada

No diagrama de Figura 1b se pode destacar a insero de offsets de posio e corrente. Estes offsets representam os pontos de equilbrio do sistema.

Ao estudar o funcionamento da bancada MAGLEV foi possvel notar que alguns

elementos poderiam ser estudados de forma isolada. Assim cada elemento constituinte da

bancada pode ser modelado separadamente. Esta caracterstica tornou facilitou o objetivo de

alcanar uma representao matemtica para este sistema de levitao, pois permite fracionar

o tratamento analtico e experimental de um sistema complexo como este.

3. MODELAGEM MATEMTICA

A modelagem matemtica deste sistema de levitao ter como base o estudo

individualizado de alguns elementos da bancada. E uma forma simples encontrada para

representar o modelo geral o tratamento na forma de diagrama de blocos, onde cada bloco

representa o modelo de um elemento anteriormente isolado.

3.1. Circuito Acionador de Carga

O circuito acionador de carga aumenta a potncia do sinal de controle. Para isso converte

o sinal de controle somado ao offset de corrente (valores em tenso) em um sinal de corrente a

circular pela bobina, conforme pode ser visto na Figura 1b. Assim, eletricamente, o circuito acionador tambm engloba o eletrom. A Figura 2 mostra o modelo eltrico para este circuito, onde considerado o modelo em elementos concentrados para o atuador como um

circuito RL srie e a ligao entre o amplificador operacional (U) e o MOSFET (Q)

conhecida como conversor de tenso para corrente.

Tanto o amplificador operacional quanto o MOSFET apresentam efeitos capacitivos e/ou

indutivos, ento buscou-se avaliar o comportamento dinmico do circuito por meio de um

ensaio de resposta em frequncia. Assim, ao variar a frequncia do sinal senoidal de

amplitude unitria aplicada entrada do circuito e coletar o sinal de sada, a amplitude da

corrente na bobina, possvel esboar a curva de magnitude em funo da frequncia,

mostrada na Figura 3.

Figura 2 Circuito acionador de carga

Figura 3 Resposta em frequncia (acionador)

O tipo de comportamento verificado na Figura 3 geralmente implica uma representao complexa na forma de funo de transferncia. No entanto esta representao somente

necessria para frequncia superiores a 1kHz. Uma vez que para frequncias inferiores, a

curva praticamente constante. Devido atenuao de resposta por parte da dinmica de

levitao magntica, a frequncia de trabalho global no ultrapassa 1kHz. Logo o

comportamento do circuito acionador de carga pode ser considerado constante na faixa de

frequencias na qual o sistema opera, portanto a funo de transferncia do circuito pode ser

dada pela Equao (1).

,2 (1)

3.2. Malha de Levitao Magntica

A Figura 4 mostra o diagrama de foras que agem sobre o corpo flutuante.

Figura 4 Diagrama de fora sobre o corpo flutuante

Ao aplicar a segunda lei de Newton no diagrama de foras da Figura 4, obtem-se a Equao (2).

(2)

De acordo com (SADIKU, 2004), a fora magntica pode ser determinada calculando a

variao da energia magntica entre a situao em que o corpo est colado ao ncleo da

bobina e quando so separados a uma determinada distncia de entreferro . O entreferro o espao de ar entre o ncleo da bobina e a borda superior do cilindro, como pode ser visto na

Figura 1. Ao supor que a disperso do fluxo magntico no ncleo da bobina e no cilindro pode ser despresada, a fora magntica pode ser calculada na forma da Equao (3). Onde

representa a rea das linha de fluxo magntico no entreferro, a densidadede fluxo magntico no entreferro e a permeabilidade magntica do entreferro que aproximadamente igual a do ar.

(3)

Uma vez que apenas o termo no conhecido, o modelo da fora pode ser determinado ao tratar o sistema por meio da abordagem de circuitos magnticos. O que

consiste basicamente em analisar o sistema de forma anloga a um circuito eltrico. No qual o

fluxo magntico visto como corrente eltrica. Assim as mesmas leis e princpios de circuitos

eltricos podem ser utilizados. O fluxo equivalente corrente eltrica, os meios por onde

este flui so relutncias e a fonte dada pelo produto da corrente com o nmeros de

enrolamentos da bobina (F ), chamada de fora magnetomotriz.

Na Figura 5a ilustrado o fluxo magntico no sistema de levitao da bancada MAGLEV. Observa-se que o espraiamento das linhas de fluxo no entreferro considerado. O

que representa o aumento da rea do fluxo magntico no entreferro. A Figura 5b mostra o circuito magntico equivalente que considera as relutncias do ncleo da bobina ( ), do entreferro ( ), do corpo flutuante ( ) e a relutncia de retorno do fluxo para a bobina ( ).

Figura 5 (a) Malha de levitao magntica. (b) circuito magntico equivalente.

A relutncia magntica pode ser dada por , onde comprimento do meio a rea ocupada pelo fluxo magntico e a permeabilidade do meio. Ao calcular a relutncia de cada meio, mostrado na Figura 4a, pode-se aplicar a Lei de Kirchoff das tenses sobre o circuito magntico, obtendo-se a Equao (4).

(

) (4)

Como idealmente a rea utilizada pelo fluxo magntico para retornar bobina infinita, a

relutncia de retorno pode ser desprezada. O termo da Equao (4) representa a permeabilidade do ncleo da bobina e tambm do corpo levitante, pois so ambos feitos de

ferro fundido, e de acordo com (EDMINISTER, 1985), a permeabilidade deste material

aproximadamente igual a 4,52297 .

A densidade de fluxo magntico em cada meio diferente, no entanto o fluxo magntico

o mesmo, por isso pode-se utilizar as relaes lineares com o fluxo magntico para escrever

a densidade de fluxo em cada meio em funo da densidade , assim possvel reescrever a Equao (4) como mostra a Equao (5).

(5)

Ao isolar o termo da Equao (5), tem-se a relao para a densidade de fluxo que se objetiva determinar, como mostrado na Equao (6).

[

]

(6)

Segundo (FITZGERALD, 2006), uma boa aproximao para rea ocupada pelo fluxo

magntico no entreferro pode ser dada como na Equao (7), onde o termo o valor mdio do tamanho do entreferro.

(7)

Ao considerar que as variaes de posio so muito pequenas em torno do ponto de

operao configurado, o valor mdio do tamanho do entreferro pode ser aproximado como o

valor em milmetros correspondente ao prprio offset de posio, o qual determinado na seco 3.4. Sendo assim, ao substituir a relao da densidade de fluxo da Equao (6) na

Equao (3), a fora magntica pode ser dada pela Equao (8), onde as constantes e so dadas pelas Equaes (9) e (10), respectivamente.

(8)

(9)

(10)

Desta forma, pode-se substituir a expresso da fora magntica da Equao (8) na equao geral do equilbrio de foras dada pela Equao (2), resultando na Equao (11). A simulao do diagrama de foras mostrado na Equao (11) foi realizada na forma de diagrama de blocos dinmicos no ambiente SIMULINK/MATLAB como mostra a Figura 6.

(11)

Figura 6 Diagrama de simulao do diagrama de foras na levitao magntica

3.3. Sensor tico

O sensor tico fundamentalmente composto por um circuito emissor de luz

infravermelho e um circuito receptor composto por um fototransistor. Como pode ser visto na

Figura 1b o corpo flutuante posto entre o emissor e o receptor. Assim a variao na

distncia de entreferro implica tambm em uma variao na quantidade de luz que chega ao

receptor e, portanto, implica em uma variao da tenso que surge no circuito receptor.

Para mapear o comportamento da transduo da posio do cilindro em tenso na sada

do sensor, o cilindro foi substitudo por um anteparo, cuja rea de bloqueio de luz igual do

cilindro, preso em um suporte. O suporte foi colocado na mesma posio do cilindro em

relao ao sensor. Na sua extremidade inferior pequenas lminas de papel foram adicionadas

de forma que apenas a altura fosse modificada. A Figura 7a mostra a comparao da rea lateral de bloqueio de luz do anteparo em relao ao cilindro e a Figura 7b mostra a disposio do anteparo preso ao suporte durante a realizao do ensaio.

(a)

(b)

Figura 7 (a) Anteparo de mesma rea de bloqueio de luz do cilindro e (b) Disposio do anteparo durante o ensaio.

A posio inicial do anteparo corresponde distncia mxima em relao bobina.

Assim, uma aps a outra, as lminas foram adicionadas sob a base do suporte. A tenso

respectiva para cada valor de posio assumido pelo anteparo foi registrada. Procedimento

semelhante descrito por (GRIMM, 2002). Desta forma a curva caracterstica de tenso do

sensor tico versus a posio do anteparo mostrada na Figura 8.

Figura 8 Curva de tenso do sensor tico versus posio em mm

A curva caracterstica apresentada pela Figura 8 mostra que o comportamento da transduo de posio em tenso no linear e de difcil aproximao. Assim, a abordagem

adotada foi dividir a curva em duas regies distintas. Para cada uma das regies, foi estimada

uma curva utilizando mnimos quadrados. A regio no intervalo entre 0 a 9,7 mm, apresenta

variaes suveis de tenso em relao posio. Para esta regio a funo estimada

apresentada na Equao (12). A segunda regio corresponde ao intervalo entre 9,7 mm a 10,6 mm, apresenta grandes variaes de tenso em relao posio. Logo a curva de

transduo estimada mostrada na Equao (13).

,6 6 ,16 1,13 1. 2,128 (12)

16,1

1 , (13)

A simulao da curva de transduo completa foi realizada no ambiente

SIMULINK/MATLAB na forma de diagrama de blocos utilizando uma chave que seleciona a

regio de trabalho da curva em funo do valor da posio dada em milmetros, como

mostrado na Figura 8.

Figura 8 Diagrama de simulao da curva de transduo de posio do sensor tico

3.4. Pontos de Operao do Sistema MAGLEV

Os pontos de operao do sistema MAGLEV caracterizam-se por serem os valores do par

corrente e posio, em que a massa permanece levitando em equilbrio. Para determinar o

ponto de operao considerado neste trabalho, foi realizado um ensaio esttico. Neste a

medio da corrente realizada quando a massa permanece em uma posio conhecida e fixa.

Na bancada os parmetros do mdulo de controle analgico foram ajustados

empiricamente. Os valores utilizados so mostrados na Tabela 1. Este mdulo de controle utiliza um controlador Proporcional, Integral e Derivativo PID. A funo de transferncia deste controlador mostrada na Equao (14).

Os valores de offsets obtidos foram 6,7V para posio e 1,09A para a corrente. O valor de

6,7V corresponde a 9,913 mm conforme pode ser observado na Figura 8.

(

) (14)

Tabela 1 Parmetros da via de controle analgica para medio do ponto de operao

R ( ) RP ( ) RD ( ) RI ( ) CD ( ) CI ( ) Offset de I Offset de x 10 7,7 28 5,1 330 4,7 6,7V 2,5V

3.5. Modelo do Sistema de Levitao Magntica

Os valores das constantes e da fora magntica podem ser determinados por meio das Equaes (9) e (10) utilizando os dados mostrados na Tabela 2. Os valores

encontrados foram: ,55 e 2,1 . Com essas constantes o modelo no ponto de equilbrio das foras da Equao (11) pode ser dado numericamente. Uma representao em espao de estados apresentada na Equao (15), onde a entrada a

corrente na bobina e os estados e so, respectivamente, posio e velocidade.

,81 3,2 3 1 4

( 2,1 1 3)

(15)

Tabela 2 Parmetros da bancada para clculo das constantes e da fora magntica

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

(H/m)

(H/m)

( )

( ) m

(g)

140 33 26 14 4,523. 96 531 154 29

Uma representao linear foi obtida na forma de funo de transferncia da Equao 14. Ao aplicar linearizao por srie de Taylor e considerando o ponto de operao determinado na seco 3.4, como mostra a Equao (16).

4,

441,36 (16)

Com o modelo individual de cada elemento da bancada, possvel apresentar um modelo

global do sistema na forma de diagrama de blocos. O diagrama da Figura representa o sistema de levitao magntica da bancada MAGLEV, tendo como entrada o sinal de controle

e como sada a tenso correspondente ao sensor tico.

Figura 9 Modelo do sistema de levitao magntica em diagrama de blocos

4. AVALIAO DO MODELO OBTIDO

Com o objetivo de verificar se as representaes encontradas captaram a dinmica do

sistema, ensaios de validao foram realizados. Assim a Figura 1 , itens a, b e c mostram a simulao do sistema confrontado com dados coletados do sistema real.

Os parmetros do mdulo de controle analgico utilizados na validao foram esto na

Tabela 1. Desta forma foram coletadas as respostas para uma entrada degrau, senoidal e trem de pulso tanto em simulao quanto na bancada, estas resposta so mostradas em

comparao para cada referncia nas curvas da Figura 1 .

(a) Resposta entrada Degrau (b) Resposta entrada Senoidal

(c) Resposta ao trem de pulso quadrado

Figura 10 Planta real e Modelo matemtico em validao

Ao analisar as respostas apresentadas pelo modelo no linear mostrada na Figura 1 , possvel verificar que o modelo obtido pelos procedimentos descritos na seco 3 representa a

dinmica da planta de forma satisfatria. H diferenas entre as respostas que podem ser

justificadas, pois simplificaes na etapa de modelagem foram realizadas. Assim o modelo

encontrado no uma representao fiel do sistema real, mas pode ser classificado como uma

representao adequada para a bancada MAGLEV.

5. RESULTADOS E CONSIDERAES FINAIS

O que se busca avaliar, para classificar o modelo como adequado ou no para representar

o sistema real, o grau de aproximao das respostas do modelo e da bancada. Para este caso

possvel dizer que o modelo no linear representa a bancada MAGLEV de maneira

satisfatria, visto que apresenta boa aproximao com o comportamento real. Com isso o

objetivo de se obter uma representao matemtica confivel para a bancada MAGLEV foi

alcanado.

Embora haja distores na representao do comportamento real da bancada, o grau de

aproximao do modelo com os dados reais suficiente para uma abordagem confivel em

engenharia de controle. O que permite que um determinado algoritmo de controle, projetado

com base neste modelo, seja implementado na bancada com grandes chances de apresentar

sucesso em funcionalidade. Esta situao cria a oportunidade de incluso de roteiro de

trabalho e/ou simulaes sobre a bancada MAGLEV em aulas de laboratrio de sistemas de

controle, bem como permite que a mesma seja utilizada como de forma complementar em

disciplinas tericas.

Em uma abordagem geral, os resultados obtidos com este trabalho contriburam para o

autor, pois possibilitou a consolidao dos conceitos de engenharia de controle e de outras

disciplinas, como eletromagnetismo, circuitos eltricos, eletrnica, etc. Alm disso, em ainda

como resultado deste trabalho, outros discentes tm demonstrado interesse em ingressar em

trabalhos de iniciao cientfica envolvendo prottipos didticos disponveis no Campus.

Os resultados positivos tambm puderam ser observados na prpria equipe envolvida no

desenvolvimento deste trabalho, uma vez que lida com os conceitos bsicos que nortearam

este trabalho foram quase diria. Alm da consolidao destes conceitos bsicos, outros

conceitos importantes puderam ser conhecidos, como identificao dinmica de sistemas,

principalmente no sentido de aliar abordagem analtica ou fsica com a experimental que

aborda os ensaios de resposta em frequncia e outros ensaios estticos. O conhecimento da

utilizao de vrios softwares, como Proteus, MATLAB, PSpice, Maple, etc., necessrios

para o desenvolvimento deste trabalho, tambm foi um ganho positivo, tendo em vista que so

muito utilizados no somente no ambiente acadmico, mas tambm no prprio mercado de

trabalho.

Em busca de aproveitar o grande potencial em pesquisa agora pertencente bancada

MAGLEV, est sendo iniciado um estudo de implementao de uma abordagem em controle

chamada de controle robusto que alm de considerar a dinmica da prpria bancada, seu

projeto tambm se baseia na possibilidade de haver distrbio na levitao, como correntes de

ar, e erro na medio de posio pelo sensor, por exemplo.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

CABRAL, Andreia C., Desenvolvimento de Prottipo Didtico para Ensino e Pesquisa:

Sistema de Controle de Temperatura. Trabalho de Concluso de Curso. Universidade Federal

do Par, Tucuru PA, 2010.

CASTRO, Adjan M.; Modelagem e estratgias de controle digital aplicadas a um sistema de

levitao magntica - MAGLEV. Trabalho de Concluso de Curso. Universidade Federal do

Par, Tucuru - PA, 2010.

EDMINISTER, J. A.; Eletromagnetismo. 2 ed. So Paulo: ARTMED, 1985.

FITZGERALD, A.E.; KINGSLEY, Charles Jr.; UMANS, Stephen D. Mquinas Eltricas. 6

ed.; So Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 2006.

GRIMM, Christian; INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONLTICA, Diviso de ps-

graduao. Um controlador digitalmente assistido para um sistema de levitao magntica,

2002, 68p, Dissertao (Mestrado).

MILHOMEM, Rmulo L. Construo de uma Bancada Didtica de Processo de Levitao

Magntica - MAGLEV. Trabalho de Concluso de Curso. Universidade Federal do Par,

Tucuru - PA, 2010.

NEVES, Max R., SILVA, Orlando F., BARREIROS, Jos Augusto L.; Metodologia para a

construo de prottipos didticos para os cursos de controle e automao de sistemas;

Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, 2004.

SADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 3 ed. So Paulo: Bookman, 2004.

MODELING SYSTEM MAGNETIC LEVITATION FOR

ANALYTICAL APPROACH BASED ON THE CONCEPT OF

MAGNETIC CIRCUITS

Abstract: This paper describes the dynamic modeling of a prototype didactic at magnetic

levitation (MAGLEV). The objective is to make it available to be use in classes of control

systems area. This prototype allows users to develop projects that would allow you to

correlate theory and practice. Thus concepts in the control systems area are consolidated

during the process of teaching and learning. The MAGLEV system consists to levitate a mass

of ferromagnetic material. For do this a magnetic force is generated by an electromagnet to

compensate for the weight of the mass. An analytical approach is used to modeling of the

dynamics of magnetic levitation based on the concept of magnetic circuits. The purpose is to

estimate a mathematical model to explain the magnetic force on the mass. Frequency

response was used to obtain the model of each element of the MAGLEV system. The results

are evaluated by comparing the simulated data with observe data directly on the MAGLEV

system. The model obtained represents the dynamic behavior of the MAGLEV system.

Key-words: Magnetic levitation, Systems Modeling, MAGLEV