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7/28/2019 Ley de efriamiento y calentamiento de Newton
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Tarea 1 - Primera Parte
Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton
Grupo 3
Daniel Belmar
Eduard Vallejos
Sadrac Sanhueza
8 de abril de 2013
1. Explicacion de la ley
Dada la ley emprica de Newton acerca del enfriamiento, cuando la
diferenciade temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es
demasiado grande,el calor transferido en la unidad de tiempo hacia
el cuerpo o desde el cuerpopor conduccion, conveccion y radiacion
es aproximadamente proporcional a ladiferencia de temperatura entre
el cuerpo y el medio externo.Traducido en una expresion matematica,
la ley de enfriamiento/calentamientode Newton es:
dT
dt
(Tm T) (1)
o bien,dT
dt= k(Tm T) (2)
Donde T(t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm
es la tempe-ratura del medio que lo rodea. Por otro lado, dT
dtes la rapidez con la que cambia
la temperatura del cuerpo y k es una constante de
proporcionalidad. Si Tm esuna constante, se establece que k <
0.
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2. Ejercicios
Ejercicio 2.1. Una taza de cafe se enfra de acuerdo con la ley
de enfriamientode Newton, ecuacion (2). Utilice los datos de la
grafica de apertura T(t) en lafigura 2 para estimar las constantes
Tm , T0 y k en un modelo de la forma de
un problema con valores iniciales de primer orden: dTdt
= k(TTm), T(0) = T0.
Figura 1: Curva de enfriamiento, ejercicio 2.1
La estimacion del grafico corresponde a:T0 = 175 aprox.Tm = 80
aprox.
Ahora para estimar k debemos hacer lo siguiente:dT
dt= k(T Tm)
y desepejando tenemosdT
(T T m)= kdt
luego, reemplazandoTm = 80
y aplicando integral el desarrollo de esto es
1
(T T m)
dT = kdt ln|T 80| = kt + c1 T 80 = ekt+c1
T = 80 + ec1ekt
T = 80 + c2ekt, c2 = e
c1
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Sabemos que si t = 0, entonces T = 175. As, remplazando
175 = 80 + c2
por lo quec2 = 95
Por lo tantoT = 80 + 95ekt
Por ultimo, de la grafica obtememos la medicion de T(25) = 90
aprox. Lo queconduce a
e25k =10
95 25k = ln
10
95
k =ln10
95
25
k = 0, 090051671
En resumen:T0 = 175
Tm = 80
k =ln10
95
25
k = 0, 090051671
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Ejercicio 2.2. La temperatura ambiente Tm en la ecuacion (2)
podra ser unafuncion del tiempo t. Suponga que en un medio ambiente
controlado, Tm(t) es
periodica con un periodo de 24 horas, como se muestra en la
figura 2. Disene unmodelo matematico para la temperatura T(t) de un
cuerpo dentro de este medioambiente.
Figura 2: Temperatura ambiente, ejercicio 2.2
T(t): temperatura de un cuerpoTm(t): temperatura ambienteT0 =
T(0)
dT
dt
= k(T Tm) (3)
Tm(t) = 80 30cos
t
12
(4)
Reemplazando la ecuacion (4) en la ecuacion (3) tenemos el
modelo matematicopara la temperatura T(t)
dT
dt= k
T
80 30cos
t
12
Por lo tantodT
dt= k
T 80 + 30cos
t
12
4
