UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA RESISTENCIA DE MATERIALES

LEY GENERALIZADA DE HOOKE

Ley de Hooke en Tres Direcciones Ortogonales. Ecuaciones de Lam: Consideremos un prisma recto de material elstico, lineal e isotrpico, sometido a esfuerzo normal en tres direcciones ortogonales (No incluimos la presencia de Fuerzas Msicas).

Para cada direccin, la deformacin unitaria total, es la suma de una DEFORMACIN UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por comodidad, puede usarse el Principio de Superposicin:

Para cada direccin aplicaremos la Ley de Hooke (uniaxial) y la definicin de Relacin de Poisson:

Por el principio superposicin, las deformaciones unitarias totales, son:

Reemplazando la ecuacin 1) en las ecuacin 2) y simplificando, tenemos:

Def). La ecuacin (3) constituye la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos normales en tres direcciones ortogonales).

NOTAS: 1.

Si el material es elstico, lineal e isotrpico, los elementos de la matriz y sus correspondientes de la matriz , se relacionan mediante las ecuaciones:

Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y Cortantes, conociendo los esfuerzos y las caractersticas elsticas (E, G) del material.

2. La ecuacin (4) puede invertirse para obtener los esfuerzos en funcin de las deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen:

Definicin). Las ecuaciones (5.1) para se denominan Ecuaciones de LAM (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elsticas estn dadas por:

Denominadas Constantes Elsticas de Lam.

DEFINICIONES:i) INVARIANTE: cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de referencia.

Invariante

Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.

ii)

La suma (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Esfuerzos:

La suma (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Deformaciones Unitarias.

Entre y se verifica la relacin

(La invarianza se demostrar al estudiar la Transformacin General de Esfuerzos).

iii) El invariante es numricamente igual al cambio Unitario de Volumen.

; siendo V0 el volumen inicial.Por consiguiente el variante 1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen.iv) Un estado de esfuerzos definido por la matriz

Se llama ESTADO HIDROSTTICO DE ESFUERZOS.

(Estado volumtrico o Estado de comprensin triaxial). Recuerda al principio de Pascal: La presin hidrosttica es la misma en todas las direcciones. Si el material es elstico, lineal e isotrpico, tenemos:

, es decir , siendo

, el denominado MDULO DE COMPRESIBILIDAD DEL MATERIAL. (MDULO VOLUMTRICO, Bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresin necesario para producir una deformacin volumtrica igual a la unidad (K es el valor de p para generar 1 = 1).

EJEMPLOS1. En el estado de tensiones plano representado en la figura, se pide determinar:1) Las deformaciones principales y sus direcciones.2) Las deformaciones unitarias longitudinal y angular de los elementos lineales: OE Y OD, definidos respectivamente por sus vectores unitarios: uOE (Datos: E = 2,1 .105 N/mm2, G= 81 000 N/mm2

Solucin

2. Una muestra de un cierto material se somete a un esfuerzo uniforme segn los tres ejes coordenados. Determinar el mximo valor terico que puede alcanzar la relacin de Poisson.

Solucin

Sumando las expresiones:

Expresiones para deformaciones Triaxiales.

Tenemos:

Para un esfuerzo uniforme triaxial, , con lo que de la ecuacin se tiene:

Ahora bien, como y han de tener el mismo signo, ha de ser positivo, por lo que:

3. Un eje macizo de aluminio de 80 mm de dimetro se introduce concntricamente dentro de un eje de acero. Determinar el dimetro interior del tubo de manera que no exista presin alguna de contacto entre eje y tubo, aunque el aluminio soporte una fuerza axial de compresin de 40 KN. Para el aluminio .

SolucinLa compresin axial en el aluminio es: Para el esfuerzo unidireccional, la deformacin trasversal es: = 379 x 10-6 m/mPor lo que la holgura diametral que se requiere es: El dimetro interior del tubo se obtiene sumando l dimetro del eje de aluminio a la holgura requerida

4. La ley de Hooke generalizada se puede escribir en el caso del material elstico anistropo ms general, para un sistema cartesiano xyz , como sigue:

Se pide :1) Indicar razonadamente cuntos coeficientes independientes Sij resultan en el caso ms general.2) Indicar en el caso del material orttropo sus distintos comportamientos de acuerdo a los 3 ejes.3) Indicar en el caso del material orttropo con comportamientos iguales segn x e y, pero distinto segn z4) Indicar en un material istropo

Solucin

1) Caso General. La compatibilidad exige que la matriz sea simtrica.Por lo tanto hay 21 coeficientes independientes

2) Material Orttropo. El comportamiento del material es diferente segn las 3 direcciones, por lo que la matriz ser de la siguiente forma.

Por lo tanto, un material orttropo posee 9 coeficientes independientes : 3 mdulos de elasticidad (color azul), 3 coeficientes de Poisson (color rojo) y 3 mdulos de elasticidad transversal (color naranja).3) Material orttropo con igual x y En este caso se tiene:Ex = EyLa matriz ser:

Por lo tanto el nmero de coeficientes independientes es de 6.4) En un material istropo se tiene:

Por lo tanto la matriz es:

Por tanto, slo hay dos coeficientes independientes ya que:

Nota: Ley de Hooke Tridimensional