Ley de Newton del enfriamiento En la ecuación (10) de la sección 1.3 vimos que laformulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto,se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer ordenen que k es una constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objeto cuando t > 0y T,,, es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. En elejemplo 4 supondremos que T,,, es constante.

Enfriamiento de un pastelAl sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 2OO’F. ¿Encuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 7O”F?

SOLUCIÓN En la ecuación (3) vemos que T,,, = 70. Por consiguiente, debemos resolverel problema de valor inicial

dT/dt= k(T- 70), T(O) = 300

y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200.La ecuación (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables,

dT/T-70 = kdt,

cuyo resultado es ln/T - 701 = kt + cl, y así T = 70 + c2ekt. Cuando t = 0, T= 300, de modoque 300 = 70 + c2 define a c2 = 230. Entonces, T= 70 + 230 ekt. Por ultimo, la determinación

T(3) = 200 conduce a e3k =1323

, osea,k=1

23ln

1323

=-O.19018.Así

T(t) = 70 + 230e−0.19018 t (5)

Observamos que la ecuación (5) no tiene una solución finita a T(t) = 70 porque límt + infinitoT(t)= 70; no obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir unintervalo razonablemente largo. ¿Cuán largo es “largo “‘7 No nos debe inquietar el hecho deque el modelo (4) no se apegue mucho a nuestra intuición física. Las partes u) y b) de lafigura 3.3 muestran que el pastel estará a la temperatura ambiente pasada una media hora.

T(t) t (min)75" 20.174" 21.373" 22.872" 24.971” 28.670.5" 32.3(b)FIGURA 3.3