LEYES DE LOS SENOS LEYES DE LOS SENOS Y DE LOS Y DE LOS COSENOSCOSENOS

ING. HENRY GONZÁLEZING. HENRY GONZÁLEZ

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B

Ca

b

c

AUtilizaremos letras

mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes.

NOTACIÓN

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A

B

C

c

ab

A

B

Cc

a

b

Ley de los senosLey de los senosSi ABC es un triángulo con lados a, b y c,

entonces, a/Sen A = b/Sen B = c/ Sen C

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A

B

C

c

ab

A

B

Cc

a

b

h

h

Una idea de la demostración:Sea h la altura de cualquiera de los triángulos, entonces tenemos que, Sen A = h/b , o bien h = b Sen A. Así mismo, h = a Sen B. Por lo tanto, a Sen A = b Sen B, o equivalentemente a/Sen A = b/Sen B.

¿Cómo continuar?

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C

ABc

ab

Aplicaciones:Ejemplo 1(Resolución de triángulos).

En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.

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SOLUCIÓN:

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.

Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts.

Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.

Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3

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C

AB

a

c

b

h

C

A B

ha

b

c

Ejemplo 2 (Área de un triángulo oblicuo).La idea de la demostración de la ley de los senos sugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos.

Área = 1/2(base)(altura) = (1/2) c(b Sen A) = (1/2)bc SenA.

De manera similar se obtienen las fórmulas: Área = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

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A

B

C

52

40

8 kms.

D

N

SEO

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido.

Solución: Como las líneas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = 180-52-40 = 88 grados.

Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 52 = b/Sen 88.

Pero b=8, entonces a = (8/Sen 88)Sen 52 = 6.308 kms.

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LEY DE LOS COSENOS

Forma estándar Forma alternativaa2 = b2 + c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2)b2 = a2 + c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2)c2 = a2 + b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2)

Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a2 = b2 + c2

Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley de los cosenos.

En un triángulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones:

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B

b=19 mts.C

c=14 mts.

A

a=8 mts.

Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.

Solución.

Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.

Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho,B = 116.80 grados.

Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582.

Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.

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Fórmula de Herón:Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es: Área = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c).

¿Por qué?Por el ejemplo 3, sabemos que, Área = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2 = = ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2.

Usando la ley de los cosenos se puede ver que (1/2)bc(1+cos A) = [(a+b+c)/2][(-a+b+c)/2] = s(s-a), y (1/2)bc(1-cos A) = [(a-b+c)/2][(a+b-c)/2] = (s-b)(s-c).

Entonces podemos concluir queÁrea = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2

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Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts.

Solución:

Usando la fórmula de Herón tenemos que s=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84.

Entonces, Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 == 1131.89 mts.

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Clase 2014

aa

bb

aa

bb cc

aa

sen sen

bb

sen sen

bb2 2

+ + cc22

aa22

==

22bbcc coscos

– – ==

Revisión del estudio individualRevisión del estudio individual

Dos nadadores se encuentran a Dos nadadores se encuentran a 250250 m uno de otro. Ambos están m uno de otro. Ambos están nadando hacia el mismo punto, que nadando hacia el mismo punto, que se halla a se halla a 423423m del primero y a m del primero y a 360360m del otro.¿Qué ángulo forman m del otro.¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos?las direcciones de ambos?

Rta/ = 36,8o

Un barco está a 15 km directamente al sur de Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se encuentra del puerto?km,¿a qué distancia se encuentra del puerto?

PP

BB

CCPBC = 45PBC = 4500

PC = ?PC = ?PB = 15 kmPB = 15 km

BC = 4,8kmBC = 4,8km

Ejercicio Ejercicio 11Ejercicio Ejercicio 11

Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera? dirección estará la tercera vista desde la primera?

Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera? dirección estará la tercera vista desde la primera?

NN

SS

EEOO

NENENONO

SESESOSOAA BB

CC

165 km

72 k

m

185 km

Ejercicio 2Ejercicio 2

Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras.una de las dos primeras.

NN

SS

EEOO

NENENONO

SESESSOO

AA BB

CC

15 km

10 k

m

14 km