CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, è nato nel contesto dei giochi d’azzardo nel secolo XVII. In seguito molti famosi matematici diedero contributi alla teoria della probabilità. Tuttavia, solo negli anni trenta del 900 venne assiomatizzata dando luogo alla moderna teoria della probabilità. Negli anni più recenti l’importanza della probabilità è accresciuta enormemente e, insieme alla statistica, sono presenti in molte discipline: fisica, chimica, biologia, medicina, economia, .....

Definizione: Si dice esperimento casuale o evento casuale o evento aleatorio, ogni operazione o attività (fenomeno) il cui risultato (la cui manifestazione) non può essere previsto con certezza. Analogamente si dirà evento certo un esperimento tale che le cause che lo producono sono tutte controllate o governate. Risulta chiaro che il termine esperimento va qui inteso in senso lato, comprendendo in esso, sia il caso del lancio di un dado, sia il caso dell'estrazione di una pallina da un'urna, sia il caso della rilevazione dei pesi dei coscritti alla leva, sia quello dell’esito di una operazione chirurgica, sia il caso della sperimentazione di un nuovo farmaco, sia quello del controllo dei pezzi prodotti da un certo macchinario ecc.

La casualità di un evento si può misurare? Possiamo definire evento casuale la scelta di una carta da un mazzo. Anche indovinare la combinazione del SuperEnalotto è un evento casuale. Però capiamo tutti che c’è qualcosa di diverso fra questi due eventi; è più “facile” pescare il Re di Picche dal mazzo che vincere al SuperEnalotto, siete d’accordo? Se è così vuol dire che la casualità degli eventi può essere in qualche modo misurata in modo da stabilire, tra due eventi casuali, quale è più probabile: Quindi la probabilità di un evento casuale può essere misurata. Il calcolo delle probabilità si occupa proprio di questo. Ci sono vari tipi di probabilità Abbiamo detto che un evento è casuale quando non è controllabile o programmabile. Ci sono però diversi tipi di probabilità; aiutiamoci con alcuni esempi:

Probabilità statistica (concetto frequentista di probabilità) Qual è la probabilità che un lavoratore abbia un infortunio sul lavoro? Difficile rispondere. Certamente dipende dal lavoro che fa. Un operaio minatore è sicuramente più a rischio di un impiegato alle Poste. Questo perché statisticamente ci sono più infortuni lavorando in una miniera che in un Ufficio Postale. Questo tipo di probabilità, che chiameremo probabilità statistica, si misura sulla base di osservazioni statistiche cioè sulla frequenza con cui si registrano determinati fenomeni.

Probabilità soggettiva (concetto soggettivista di probabilità) C’è la finale di Champions League fra Il Real Madrid e il Manchester United; chi vincerà la Coppa dei Campioni? Il risultato della partita dipende da numerosissimi fattori: le formazioni delle squadre, la condizione atletica, il modulo di gioco, lo stato del terreno, l’arbitraggio, le espulsioni, i falli da rigore ecc. Anche qui la risposta è difficile. Una previsione del risultato finale dipende più da “percezioni” che da fattori oggettivi. Questa probabilità è di tipo soggettivo, dipende cioè da come noi consideriamo la “forza delle squadre”.

Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Se lancio un dado che probabilità ci sono che esca il numero 6 ? Questo è un evento casuale che non dipende dalla statistica (ogni lancio è diverso dagli altri e non ci sono modi specifici di lanciare per avere il 6) e inoltre non è soggettivo. La probabilità di questo evento si può misurare in modo oggettivo. È la probabilità matematica nel senso classico.

Definizione classica (a priori) della probabilità La probabilità P(E) di un evento E è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento e il n numero dei casi possibili, purché tutti i casi siano egualmente possibili.

Il calcolo della probabilità matematica

Il calcolo delle probabilità è quella parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi precise, quanto un evento casuale sia probabile. Questa procedura quindi riesce a “misurare” la probabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti casuali solo perché il loro verificarsi dipende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi. Poter misurare la probabilità di un evento permette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di eventi, qual è il più probabile. Dal punto di vista storico il primo matematico che si occupò di questo aspetto fu Blaise Pascal (1623-1662). Pascal enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono ripresi e ampliati più tardi da altri matematici come Jakob Bernoulli che scoprì la Legge dei grandi numeri.

1. Calcolo della probabilità di un evento semplice Indicheremo con una p la probabilità e con una E un evento generico. La scrittura p(E) indica la probabilità di un evento generico E. Partiamo subito con un semplice caso di probabilità matematica. Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 6 ? Il dado è un cubo e ha sei facce. Su una sola c’è il 6. Per calcolare la p(E6) applicheremo la formula:

Nel nostro caso sarà

Ci aspettiamo quindi che l’evento succeda nel 16,7% dei casi. Ovvero su 100 lanci mi aspetto che il 6 esca circa 17 volte. La probabilità matematica di un evento p(E) si esprime con un rapporto fra i

casi favorevoli all’evento e tutti i casi possibili.

Il valore del rapporto è sempre compreso fra 0 e 1.

p(E)=0 significa evento impossibile.

p(E)=1 significa, invece, evento certo.

Un evento è tanto più probabile quanto più la sua p(E) si avvicina ad 1.

0 ≤ p(E) ≤ 1

Oltre che con una frazione la probabilità può essere espressa anche in forma

di numero decimale o in percentuale.

Esempio:

E’ più probabile pescare una figura da un mazzo di 40 carte oppure una carta d'oro?

p(figura)=��

��= 0,3 = 30%

p(carta d'oro)=��

��= 0,25 = 25%

Quindi è più probabile pescare una figura.

Esempio:

Lanciando in aria 3 monete, qual è la probabilità di ottenere 2 TESTA e 1 CROCE?

Dobbiamo prima pensare a quanti sono i casi possibili e poi a quali sono.

Le monete sono 3 e, per ognuna di esse, abbiamo due possibilità TESTA (T) o CROCE (C).

I casi possibili sono quindi 2 x 2 x 2 = 23=8.

Sappiamo quanti sono, resta da vedere quali sono.

Facciamo una tabella a 3 colonne, una per ciascuna moneta, e 8 righe.

I lanci che danno 2 TESTA e 1 CROCE. Sono 3. Quindi:

2. Evento composto

Si parla di evento composto quando si prendono in considerazione due eventi distinti nello stesso insieme di possibilità. Si considera la probabilità che avvenga almeno uno di essi.

Esempi di eventi composti:

• Prendendo una sola carta dal mazzo essa è una carta d'oro oppure un Re.

• Lanciando il dado una sola volta esce il 3 o un numero pari.

Per procedere al calcolo bisogna prima distinguere i casi di eventi INCOMPATIBILI da quelli COMPATIBILI perché le formule sono diverse.

Probabilità composta di eventi incompatibili

Due eventi sono incompatibili quando non possono avvenire

contemporaneamente ovvero non possono avvenire insieme.

Esempio: lanciando il dado una sola volta l’evento 3 è incompatibile con

l’evento numero pari.

La formula per calcolare la probabilità di un evento composto incompatibile

E1∪E2 è la seguente:

In pratica bisogna fare solo la somma delle probabilità semplici dei due eventi.

Probabilità composta di eventi compatibili

Due eventi sono, invece, compatibili se c’è anche una sola possibilità che

possano avvenire contemporaneamente.

Esempio: prendendo una sola carta dal mazzo l’evento carta d'oro è

compatibile con l’evento Re in quanto esiste una carta che li comprende tutti e

due (il Re d'oro).

La formula per calcolare la probabilità di un evento composto compatibile

E1∪E2 è la seguente:

In pratica bisogna fare la somma delle probabilità semplici dei due eventi e

togliere la probabilità che essi avvengano assieme.

Con il linguaggio degli insiemi possiamo vedere bene la differenza fra eventi

compatibili e incompatibili.

Esempi di calcolo di evento composto:

b). Prendendo una sola carta dal mazzo essa sia una carta d'oro o un Re.

p(carta d'oro)= ��

�� ; p(re)=

�

�� ; p(re d'oro)=

�

�� ;

p(carta d'oro o re)= ��

�� +

�

�� -

�

�� =

�

�� = 0,325 = 32,5 %

oppure che sia un multiplo di 5.

Sono compatibili (70, 75)

3. Evento condizionato

Si parla di evento condizionato quando si prendono in considerazione due o

più eventi distinti che debbano avvenire in successione uno all’altro.

Questa è la situazione che si presenta in moltissimi giochi a premi: Totocalcio,

SuperEnalotto, Lotto eccetera. In questi giochi vince chi indovina una serie di

eventi consecutivi. Si deve quindi effettuare più di una “estrazione”.

In questo caso occorre distinguere se gli eventi sono indipendenti o

dipendenti.

Def: Due (o più) eventi sono indipendenti se la probabilità del realizzarsi

dell'uno non è modificata dal realizzarsi dell'altro evento, in caso contrario si

diranno dipendenti.

Nel caso di due o più eventi indipendenti la formula è la seguente:

(intersezione degli eventi, poiché devono verificarsi contemporaneamente)

In pratica occorre moltiplicare tutte le singole probabilità semplici di ogni

evento della serie.

Nel caso in cui due eventi sono dipendenti la formula è la seguente:

p(E1ᴖ E2)= p(E1) · p(E2/E1)

4. Eventi complementari e probabilità contraria

Due eventi sono complementari se uno è la negazione dell'altro.

Per questi eventi vale la relazione

p(E)+ p(��)=1

Esempio:

Calcolare la probabilità che lanciando una moneta esca o testa o croce.

Dalla formula si deduce che la probabilità che un evento non si verifichi

(probabilità dell'evento contrario) è

p(��)= 1- p(E)

ESEMPI:

1. Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che pesca la carta più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto?

Le carte rimaste sono 12, quelle più alte rispetto al 5 sono: 6,7,8,9,10, fante, donna e re cioè 8 carte. La probabilità di Bruno di non pagare il conto è

p(Bruno di non pagare)= �

��=

�

= 0,67 = 67 %

(probabilità condizionata, eventi dipendenti)

2. Anna e Francesca hanno rispettivamente probabilità 1/2 e 1/5 di superare l'esame, e la probabilità che entrambe superino l'esame è 1/10. Determinare la probabilità che almeno una delle 2 superi l'esame. Occorre applicare la formula:

=

=1

2+

1

5−

1

10=

6

10= 0,6 = 60%

(evento composto, compatibili)

3. In un’urna ci sono tre palline nere e due bianche. Calcolare la probabilità che esca prima una nera e dopo una bianca senza reimmissione e con reimmissione nell’urna della prima pallina.

• senza reimmissione (evento condizionato dipendente):

p(E1ᴖ E2)= p(E1) · p(E2/E1)=

� ∙

�

�=

��= 0.3 = 30%

• con reimmissione (evento condizionato indipendente):

p(E1ᴖ E2)= p(E1) · p(E2) =

� ∙

�

�=

�

��= 0.24 = 24%

4. Da un'urna contenente 30 palline di diverso colore: 5 bianche, 4 rosse,

15 verdi e 6 azzurre, vengono estratte contemporaneamente 2 palline.

Calcolare la probabilità che

• E1: nessuna di esse sia verde

• E2: nessuna di esse sia bianca o rossa

• E3: almeno una sia azzurra

E1 :

casi favorevoli: C15,2= ��!

�!� != 15 ∙ 7 = 105

casi possibili: C30,2= �!

�!��!= 15 ∙ 29 = 435

p(E1)= ���

� � = 0,24

E2 :

casi favorevoli: C21,2= ��!

�!��!= 21 ∙ 10 = 210

casi possibili: C30,2= �!

�!��!= 15 ∙ 29 = 435

p(E2)= ���

� � = 0,48

E3 :

per risolvere calcolo la probabilità dell'evento contrario: nessuna sia azzurra

casi favorevoli: C24,2= ��!

�!��!= 12 ∙ 23 = 276

casi possibili: C30,2= �!

�!��!= 15 ∙ 29 = 435

p(E3����) = ���

� �≈ 0,63 p(E3)= 1- p(E3����)= 1-0,63= 0.37