Lezione 5Lezione 5

Leggi di conservazione nella meccanica del punto materiale

Leggi di conservazione dell’energia meccanicaLeggi di conservazione dell’energia meccanica

Il calcolo di queste queste quantità (integrali primi del moto) permette spesso di semplificare i calcoli e, soprattutto a capire meglio le caratteristiche del moto.

Nelle lezioni precedenti si e’ visto come mediante le leggi della meccanica sia possibile predire il moto di oggetti (puntiformi) in qualche caso semplice (come la come la traiettoria di un corpo nel campo gravitazionale terrestre, con condizioni iniziali di moto diverse).

In generale, tuttavia, non si ha a che fare con moti semplici come quelli considerati. Il più delle volte i moti che si devono studiare sono parecchio più complessi e in generale richiedono calcoli numerici e computer veloci.

E interessante constatare che e’ possibile definire quantica fisiche, che sono invariantinel corso del moto anche se questo si svolge su traiettorie o leggi orarie comunque complicate .

Lavoro meccanicoLavoro meccanico

Se un punto materiale P soggetto ad una forza F subisce, per azione di questa forza, uno spostamento ∆ s. Si definisce come il lavoro W compiuto dalla forza per lo spostamento ∆ s il prodotto scalare della forza per lo spostamento:

(4.1)

θ angolo tra F e ∆s

FT = F cos θ proiezione della forza lungo la direzione dello spostamento.

La figura (4.1) mostra che il lavoro dipende oltre che dal modulo della forza e dello spostamento, anche dall'angolo θ, che determina il valore di FT

Si possono presentare tre casi.

• F forma con ∆s un angolo minore di π/2: l'accelerazione tangente è concorde con la velocità e la fa aumentare: W é positivo e viene chiamato lavoro motore.

• F forma con ∆s un angolo maggiore di π/2, il punto viene frenato e W é negativo, lavoro resistente.

• F è ortogonale alla traiettoria, θ = π/2 e il lavoro è nullo: in questo caso F ha azione puramente centripeta e non fa variare il modulo della velocità.

Per uno spostamento finito dalla posizione A alla posizione B lungo un percorso C il lavoro si ottiene suddividendo il percorso in una serie di n segmenti ∆sf, figura 4.2a, calcolando per ognuno di essi il lavoro e sommando il lavoro così ottenuto rappresenta un valore approssimato

Lavoro meccanicoLavoro meccanico

del lavoro calcolato lungo la traiettoria effettiva C, tanto più accurato quanto maggiore è il numero di segmenti n considerato.

Passando al limite n →∞ ciascun segmento ∆si si confonde con lo spostamento infinitesimo ds, tangente in ogni punto a C, (figura 4.2b), e la sommatoria diventa:

. (4.2)

in cui l'integrale è l'integrale di linea della forza F lungo C.

Dimensioni fisiche del lavoro meccanico : [L] =[F] *[s] = [kg]*[m s-2]*[m]*

Unità di misura : 1 Newton 1 metro = 1 kg*1[m s-1]2 =1 Joule

Lavoro meccanicoLavoro meccanicoLungo la traiettoria θ in generale varia, per cui si possono alternare tratti in cui θ > π/2, nei quali il punto materiale viene accelerato, a tratti in cui θ < π/2, nei quali viene decelerato. Quando θ = π/2 il punto materiale non viene accelerato, per cui la sua velocità tangenziale rimane costante..

Se F la somma di n forze F1 F2, ..., Fn, per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro e risulta:

II lavoro è pari alla somma dei lavori delle singol e forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.

• W = 0 quando sul punto non agisce nessuna forza oppure agiscono forze la cui risultante o è nulla o è sempre ortogonale alla traiettoria

• il lavoro totale può essere nullo in quanto somma di lavoro motore lungo un arco di traiettoria e di lavoro resistente lungo un successivo arco.

•). Esempi di moti il cui lavoro totale e’ nullo

• moto rettilineo uniforme in presenza di attrito rad ente : occorre applicare una forza eguale e contraria alla forza di attrito e quindi fornire un lavoro motore eguale ed opposto al lavoro resistente dell'attrito.

• moto curvilineo uniforme: la risultante delle forze e’ sempre ortogonale alla traiettoria.

Esempio di calcolo di lavoro meccanico Esempio di calcolo di lavoro meccanico

Esempio: Calcoliamo il lavoro per unità di tempo che fa un cavallo che trascina per uno spazio ∆s = 300 m una chiatta contro le forze di attrito dell’acqua, camminando lungo il bordo di un canale, tirando una fune che esercita una tensione T = 1000 N ad un angolo di 10° rispetto alla direzione del moto.

L = |T| ∆s cos(10°) = 1000*300*0.985 = 29.55 104 Joule

Se dopo 100 metri il cavallo aumenta la sua velocita e pertanto la tensione applicata alla chiatta aumenta a 2000N altri 100 m, per poi rallentare di nuovo a 1000 N nei 100 m finali, il lavoro totale sarai.

L=L1+ L2 + L3= (|T1|+ |T2|+ |T3|)*∆s*cos(10°) =(1000+2000+1000)*100*0.985 = 39.40 104 Joule

T

2000 N

1000 N

∆s = 300 m

1 2 3

• L’energia cinetica di un corpo di massa m in movimento con velocità v e’ la quantità

• E e’ effettivamente il lavoro necessario alle forze applicate ad un corpo, durante un certo intervallo di tempo, per portarlo dalla velocità v = 0 al valore v.

• Infatti, per la definizione di lavoro meccanico di una forza F per uno spostamento ds :

• . • Per un percorso finito dalla posizione A a quella B abbiamo:

(4.3)

• Se W > 0, l'energia cinetica finale è maggiore di quella iniziale • se W < 0 l'energia cinetica finale è minore di quella iniziale. • Se è noto come varia la forza lungo la traiettoria, possiamo calcolare il lavoro e quindi il

modulo della velocità in ciascun punto Viceversa, se misuriamo le velocità iniziale e finale, possiamo tramite (4.3) dedurre il lavoro compiuto dalle forze agenti.

• Se non c'è spostamento non può esserci lavoro, qualunque sia la forza applicata (mentre può esserci spostamento senza lavoro).

Energia cinetica Energia cinetica

2

2

1mvE =

Conservazione dell’energia cineticaConservazione dell’energia cinetica

• La (4.3), esprime il teorema dell'energia cinetica:

• il lavoro fatto da una forza nello spostamento di u n punto materiale dalla posizione A alla posizione B è uguale alla sua variazione dell'energia cinetica .

• Se al corpo non sono applicate forze, (corpo isolato) W = 0 ovvero:

EkA = EkB

Questa formula esprime l’ importante teorema di conservazione dell’ energia cinetica : in un moto comunque complesso, in un corpo isolato l’energia cinetica e’ conservata .

Unità di lavoro ed energiaUnità di lavoro ed energiaIl lavoro e dato dal prodotto di una forza per uno spostamento. Pertanto le sue dimensioni fisiche sono:

[F]*[L] = [m l s-2][l] [m] = [m l 2 s-2]

l’ energia cinetica ha ovviamente le stesse dimensioni fisiche

[m]*[v2] = [m] [l s-1]2 = [m l 2 s-2]

L’ unità di energia e’ il joule , pari ad un newton x 1 metro ed è espressa dal simbolo

J = N m.

L’ energia acquisita o dissipata nell’ unità di tempo e’ detta potenza:

che ha dimensioni F]*[L][T-1] = [m l s-2][l] [m] ][s-1] = [m l 2 s-3]

L'unità di potenza è il watt, simbolo W; per definizione W = J/s = Nms-1, J = Ws.

Multipli comunemente usati sono il chilojoule, kJ= I03 J, megajoule MJ = I06 J, chilowatt kW = I03 W, megawatt MW = I06 W.

Per il lavoro, soprattutto elettrico, è in uso anche l'unità chilowattora: 1 kWh = 103W-3600s = 3.6106J.

Storicamente, una unità di potenza assai usata in passato e ora non usata in fisica è il cavallo-vapore, esistente in due versioni, quello tecnico (1 cv = 735.5 W) e quello britannico (1 hp = 745.7 W).

dt

dEP =

Energia di posizioneEnergia di posizione

• L’ energia cinetica e’ una capacita di produrre lavoro meccanico legata al moto di corpi.

• Esiste tuttavia un altro tipo di energia che e’ legato al fatto che il corpo fermo o in moto si trovi in un campo di forze, come quello gravitazionale terrestre.

• Un corpo di massa 1 kg posto ad una altezza di un metro dal suolo, in assenza di attriti impiega un tempo

• arrivando con una velocità e con un’energia cinetica

• Lo stesso corpo partendo da un’altezza s = 0.5 m arriva al suolo con una velocità v= 3.13 m/s e un’ energia cinetica di 4.9 joule

• Dunque la capacita di produrre lavoro di un corpo sottoposto alla forza di gravitazione (o da altre forze) può dipendere anche dalla posizione del corpo nello spazio in cui la forza e’ presente ( energia potenziale o di posizione nel campo di forze) e non solo dal fatto che si muove ad una certa velocità.

t 2s

a⋅ 0.452 s⋅:=

v 4.427= m/s K1

2m⋅ v

2⋅ 9.8 jouleEk

Esempi di lavoro di forze Esempi di lavoro di forze Lavoro della forza peso

Il lavoro della forza peso per uno spostamento generico dalla posizione A a quella B, (figura 4.3). è dato da :

infatti F è costante e l'integrale vale rB - rA = rAB

Il peso ha una sola secondo l'asse z che vale -mg, la componente di rAB lungo l'asse z è zB— zA, il prodotto e’ pertanto (mg)z(rAB)z = -mg(zB- zA)

Pertanto il lavoro della forza peso vale:

La quantità E = mgz ha dimensioni di un’ energia e dipende solo dalla coordinata z del punto, misurata lungo un asse parallelo e di verso opposto alla forza peso.

Viene detta energia potenziale della forza peso; il simbolo ∆ indica la differenza tra il valore di E nel punto finale e in quello iniziale.

• Se il punto B si trova in una posizione più bassa di A W > 0 e andando da A a B, Ep diminuisce : questo è lo spostamento naturale di un punto P sottoposto alla sola forza peso.

• Se il punto B è in una posizione più alta di A, W< 0, ed Ep aumenta: per fare avvenire questo spostamento bisogna che il punto abbia una sufficiente velocità iniziale così che la diminuzione di energia cinetica eguagli il lavoro oppure bisogna applicare al punto un'altra forza il cui lavoro motore superi in modulo il lavoro resistente della forza peso.

Lavoro della forza peso ed energia potenzialeLavoro della forza peso ed energia potenziale

Lavoro di una forza elasticaLavoro di una forza elastica

Il lavoro della forza elastica F = -k xuxper uno spostamento lungo l'asse x vale:

(4.5)

Ep = ½ k x2, funzione solo della posizione, è detta energia potenziale elastica. Anche in questo caso il lavoro è espresso come l'opposto della variazione dell'energia potenziale tra la posizione finale e iniziale.

• Se la coordinata iniziale è maggiore di quella finale, cioè se il punto si muove verso il centro della forza, il lavoro compiuto dalla forza elastica è positivo, Ep diminuisce (spostamento naturale).

• Nel caso contrario di allontanamento dal centro W < 0, Epaumenta fino a raggiungere il valore EpM= ½ k x0

2: per eseguire tale spostamento il punto deve possedere una velocità iniziale vp= ½ k x0

2.

Forze conservative e non conservativeForze conservative e non conservative

I due casi precedenti sono esempi di forze conservative .

Se, sotto l’azione di forze esistenti in un piano o nello spazio, un corpo si muove da un punto P1 a un punto P2 seguendo una certa traiettoria si possono considerare due possibilità:

1) Il lavoro fatto dalle forze per spostare il corpo da P1 a P2 dipende solo dalla posizione di P1 e P2, ossia si può definire una funzione U(x,y) tale che

= U(x2, y2) – U(x1, y1)

2) Il lavoro dipende anche dalla traiettoria seguita dal corpo ne l piano (x,y).

L0

s

s

F

x⌠⌡

d

x

y

P2(x2,y2)

U2(x2,y2)

U1(x1,y1)

P1(x1,y1)

Nel primo caso le forze in gioco si dicono conservative , nel secondo non conservative La quantità U(x,y), che e’ definita in tutto lo spazio in cui e’ presente la forza, si chiama per analogia energia potenziale

P1

P2

Forze conservativeForze conservativeForza peso e forza elastica sono due esempi di forze conservative:

• il lavoro dipende solo dalle coordinate delle posizioni A e B e non dal particolare percorso

•. Per il calcolo del lavoro possiamo utilizzare qualsiasi percorso corso che colleghi A a B:

• per eseguire il calcolo possiamo scegliere il percorso analiticamente più comodo.

• se si inverte il senso di percorrenza, cioè si va da B a A, cambia solo il segno lavoro:

∫ ∫∫∫ ∫ =⋅−⋅=⋅+⋅=⋅AB ABBAABA AB

ddddd 0sFsFsFsFsF

Per un percorso chiuso ABA lungo la traiettoria I e la traiettoria II, figura 4.7, percorsa in senso inverso, si ha

Esempio di forza non conservativa non conservative Esempio di forza non conservativa non conservative

In generale le forza di attrito sono un un esempio di forze non conservative

Infatti il lavoro della forza di attrito radente è :

dove il vettore uv è parallelo e concorde allo spostamento ds ,

è la lunghezza del percorso da A a B, misurata lungo le traiettoria effettiva del punto materiale.

Pertanto, • a parità dei fattori µd e N, il lavoro e’ diverso a seconda cammino percorso:• il lavoro della forza di attrito radente dipende non è esprimibile come differenza dei valori di una

funzione delle coordinate nei punti A e B,• Il risultato resta vero in generale, anche se la reazione normale non è costante.• Il lavoro della forza di attrito radente è sempre n egativo, cioè è lavoro resistente • se cambia il verso del moto, cambia anche quello della forza di attrito, sempre opposta alla velocità.• perché possa verificarsi il moto deve agire un'altra forza che produca un lavoro motore oppure, in

assenza di questa, il punto deve possedere una certa velocità iniziale ovvero una certa energia cinetica EkA. L'energia cinetica diminuisce lungo il percorso e in B la velocità è minore che in A. In particolare, data Ek A e N è costante, il punto si ferma dopo una percorso sab = EkA/µd N.

Teorema di conservazione dell’energia meccanicaTeorema di conservazione dell’energia meccanicaNel caso di moto di un corpo in un campo di forze conservative il lavoro e’

(4.9)

Ovvero la somma dell'energia cinetica e dell'energia poten ziale di un punto materiale che si muove sotto l'azione di forze cons ervative è costante durante il moto, ossia si conserva .

La somma di energia cinetica e potenziale si chiama energia meccanica per cui la (4.9) esprime il principio di conservazione dell'energia meccanica:

in presenza di forze conservative l'energia meccanica di un punto materiale si conserva,

Em = Ek + Ep = costante . (4.10)

Durante il moto avviene una trasformazione da una forma di energia all'altra, per tramite di lavoro compiuto e assorbito, ma il contenuto energetico totale, dato dall'energia meccanica, non cambia.

Per esempio in un moto armonico l’ energia cinetica e’ massima al passaggio per il punto di equilibrio e lì energia potenziale e’ massima al punto di inversione del moto.

Esempi di uso del teorema di conservazione di energ iaEsempi di uso del teorema di conservazione di energ ia

• Una sciatrice di massa m = 40 kg e’ trainata, partendo da ferma, dalla fune di uno uno ski-lift su un dislivello di 100 m. Quando abbandona il gancio la sua velocita’ e’ di 1 m/s. Trascurando l’attrito, calcolare il lavoro che l’impianto compieper la risalita della ragazza

• Le forze applicate sono F la tensione del cavo, il peso della sciatrice, la reazione del suolo al peso. Il calcolo del lavoro si può fare calcolando il prodotto scalare di tutte le forze per gli spostamenti e poi sommando tutti i contributi. Cio’ comporta una descrizione dettagliata del moto in ogni istante

• Se si utilizza la legge di conservazione dell’energia, in un modo molto più semplice: assumendo eguale a zero l’energia iniziale:

E = K+U = ½ mv2 + mgh = ½ (40 kg)(1m/s)2 + (40 kg)(9.8 m/s2)(100m) = 39.220 kJ In modo indipendente dai dettagli con cui il moto e’ avvenuto.

Esempi di uso del teorema di conservazione di Esempi di uso del teorema di conservazione di energiaenergia

• Un saltatore con l’asta arriva al momento dello stacco da terra con una velocità di 1m/s. Quale altezza riesce a superare ?

Se consideriamo l’ atleta come un sistema in cui l’energia totale si conserva:

E = (K+ U) stacco = (K+U) asticella

e poniamo

K stacco = ½ mv2 U stacco = 0 K asticella = 0 U asticella = mgh

Si ottiene½ mv2 = mgh

h = v2/2g = 5.1 mU1= 0; v1 = v

U2= U; v2 = 0

v

La fisica del saltoLa fisica del salto

1) Al momento del decollo. v = v0 E = mg d+ ½ m v02

2) Nel punto più alto v = 0 E = mg (d+h)3) Legge di conservazione mgd+ ½ m v0

2 = mg(h+d)Quindi : l’energia fornita dalla massa muscolare per fare il salto e’ E = v0 mg (h+d) ~ mg hl’ altezza raggiunta h = v0

2 /2 g

d

h

L’ esempio precedente aiuta a valutare le performance atletiche di animali della stessa razza e confrontare quelle fra specie diverse. Questo e’ interessante per stabilire se i meccanismi fisiologici di produzione di energia muscolare sono eguali in diverse specie.

Definizione di salto (da fermo) d = distanza di accelerazione v0 velocità al decollo

Periodo di applicazione della forza muscolare

La fisica del saltoLa fisica del salto

• Se si confrontano le performances di salto di diversi animali

• Si nota anche :• 1 ) le perfomance di una specie non sono molto dipendenti dalle dimensioni e

quindi dal peso dell’animale• 2 ) le performance di specie diverse sono diverse, il che suggerisce meccanismi

fisiologici diversi nell’ attività muscolare • La pulce possiede un materiale elastico (resilina) molto potente nelle giunture

che si contrae molto rapidamente e le permette velocità di stacco molto elevate

0.30.09Rana

2.71.0Canguro

1.00.5Uomo

h (m)d(m)Specie

0.30.09Rana

2.71.0Canguro

1.00.5Uomo

h (m)d(m)Specie

0.10.0008Pulce

0.30.03Cavalletta

0.10.0008Pulce

0.30.03Cavalletta