Lezione 10 Misure d’impulso

Rivelatori di Particelle 1

Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso

Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce una misura dell’impulso delle particelle ( misura di dalla misura del raggio di curvatura).



Magneti per esperimenti a targhetta fissaMagneti per esperimenti a targhetta fissa

il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il magnete bipolare.

All’uscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del pT limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio.

L’apertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente) non serve un magnete con una grande apertura.



fascio

targhetta

Camere per trovare le tracce

x

y

z

Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico



La forza di Lorentz è :

Con |p| costante.

La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare.

Bpm

q

dt

pd



Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate curvilineo:

In questo sistema di riferimento l’equazione di Lorentz diventa:

ŷx

ŝ

xqvBdt

sdps

dt

dpBvq

dt

pdy ˆ

ˆˆ

con x, y ed s sistema destrorso.

raggio di curvatura

s coordinata curvilinea

B diretto lungo l’asse y (By)



L’equazione di Lorentz :

può essere semplificata osservando che |p| = costante e

xqvBdt

sdps

dt

dp

dt

pdy ˆ

ˆˆ

xqvBxv

p ˆˆ

= (p/qBy)

xv

xdt

ds

ds

dx

dt

d

dt

sdˆˆˆ

ˆ

v= velocità



La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:.

yqBp

LL

xIl raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L l’angolo di deflessione q può essere approssimato a :

A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale:

px=2psin~p=LqBy

2sin(/2)=L/L

B

s



Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:

dlBqpL

yx 0



La precisione della misura dell’impulso è influenzata da :

Precisione dell’apparato tracciantePrecisione dell’apparato tracciante

Scattering multiploScattering multiplo



Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sulla targhetta diretto lungo z dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra nel magnete diretta lungo z.

Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz.

x

z



Precisione dell’apparato tracciante.Precisione dell’apparato tracciante.

Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee misura di

Per determinare devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni.

Misure di posizione

x

p

pd

p

dp

pLqB

d

dp

LqBp

y

y

2

1

1

da

h



Se ogni punto ha lo stesso errore (x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà:

Siccome =x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete

E ricordando che:

(p) e’ dunque proporzionale a p2.

x

xxi

i

2 cioe'

4 24

1

22

()=2(x)/h

xy p

p

h

xp

LqB

hx

p

p

p

p

2/2



A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni :

Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui:

Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a :

cGeVpp

p/1010 43

1max

max pp

cTevp /101max

(1)



L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con la gap in aria l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di nel tracciatore.

Se però vogliamo misurare l’impulso di , i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno alto scattering multiplo.



Un che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso pT

ms, dovuto allo scattering multiplo

pTms = psinrms~ prms ovvero pT

ms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c] ( = 1)

campo magnetico non uniforme:

pTms

ferro

p

L

x

z

Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e B lungo y, solo la componente x è quella che ci interessa px

ms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di

L

y

magnx

msx

ms

dllBq

XL

p

p

p

p

0

06.13



Sia l’angolo di deflessionedovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali all’impulso p la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente.

Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) si considerano valori tipici di B = 1.8 T (saturazione del ferro)

Lp

pms

119.0

L in metri

Se L = 3 m %11

ms

p

p



Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione

Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo. per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri(p)/p|ms = 0.08 %

errore totale(p)/p|traccia

(p)/p|ms

(p)/p %

p [Gev/c]

10

20

30

100 200 300



Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso (per un magnete in aria è la misura della sagitta (s).

L

s

B

y

x

La sagitta s è connessa al raggio di curvatura ed all’angolo di deflessione tramite :

4sin22

cos1 2

s

p

qBL

p

qBLs

888

22

2

p

BLs

8

3.0 2

Poiché per particelle relativistiche è piccolo

Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]



Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché:

Assumendo risoluzioni (x) uguali per le 3 camere Per cui la risoluzione in impulso diventa:

Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è:

2

312

xxxs

xs 2

3

23.0

82/3

BL

px

s

s

p

p

p

NBL

x

p

ptr

4

720

3.0 2

cGeVpp

ptr

/ 10 3

pBL

p

p 12

5

Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e (x)=0.5 mm

Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)



Magneti per esperimenti ad un Collider.Magneti per esperimenti ad un Collider.

A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti.

Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto:

0)( ldlB

Fascio 1

Fascio 2Punto d’interazione

Magneti di compensazione

Magnete bipolare

B



Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o.

B

B

Punto d’interazione

Fascio 1

Fascio 2



Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r.

Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo.

B

I

Punto di interazioneCilindro interno del toroide

Cilindro esterno del toroide



I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ).

Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni.

Punto d’interazione

Giogo cilindrico

B

I



In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici.

Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle

Dove(x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci.

Per determinare l’impulso devo misurare anche pL (componente longitudinale dell’impulso)

T

trac

T

T pNBL

x

p

p

4

720

3.0 2



Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sono e z

Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica la distanza PQ. Con si denota la distanza dall’origine del punto Q, mentre individua l’angolo che si forma fra il vettore e l’asse x.

x

y

z

P

Q

Per passare dal sistema cilindrico a quello cartesiano avremo:x=cosy=sinz=z

e per passare dal sistema cartesiano a quello cilindrico:=(x2+y2)=arctan (y/x)z=z



Utile usare coordinate cilindriche

punto d’interazione+

-

r

z+

-

proiezione r proiezione rz



Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza r (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’:

Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo:

cGeVpNBLp

pT

r

T

T /4

720

3.0 2

mXLXBp

pms

T

T in 045.0

0

0



L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare :

Come nel caso del piano r (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo.

A questa dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo

sinTpp

)1(

)1(12

NN

N

z

ztr

0

1

3

0136.0

X

l

pms

z

pT

r

Nel caso di una misura di 2 sole z

Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà:

2

z

z

dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0 e =1. A parte il (3)-1/2 è la formula usuale dello scattering multiplo.



spiegazione di 1/(3)spiegazione di 1/(3)1/21/2…..

L’angolo di scattering multiplo <> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia r ( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.

Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori possiamo ignorare lo scattering multiplo.

l

r

piano



Concludendo:Concludendo:

dalla dalla

notiamo che la precisione migliora aumentandonotiamo che la precisione migliora aumentando BL BL22. Migliora solo . Migliora solo come come (N)(N)1/21/2 aumentando aumentando N N, dove N , dove N è il numero di misure il numero di misure

cGeVpNBLp

pT

r

T

T /4

720

3.0 2

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Lezione 10 Misure d’impulso