Lezione 2 Cenni di meccanica quantistica · 2015-09-16 · Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in Ingegneria Sommario 1. Introduzione - Funzioni

Lezione 2

Cenni di meccanica quantistica

Fisica dello Stato Solido

http://www2.de.unifi.it/Fisica/Bruzzi/fss.html

Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. Bruzzi

Laurea magistrale in Ingegneria Elettronica

1


Laurea magistrale in Ingegneria

Sommario

1. Introduzione - Funzioni d’onda e densità di probabilità

2. Equazione di Schroedinger

3. Operatori in meccanica quantistica

4. Principi della meccanica quantistica

5. Esempi di calcolo dell’equazione di Schroedinger

a) particella libera;

b) particella in buca di potenziale monodimensionale;

c) particella in buca di potenziale tridimensionale;

d) oscillatore armonico;

e) atomo ad un solo elettrone: numero quantico principale,

quantizzazione del momento angolare, quantizzazione spaziale ed

effetto Zeeman, quantizzazione di Spin ed esperimento di Stern-Gerlach.

7. Gradino di potenziale

8. Penetrazione di una barriera: effetto Tunnel

Approfondimenti

Abbiamo visto come all’inizio del novecento vengano formulati, a partire da nuove evidenze sperimentali,

nuovi concetti come la quantizzazione dell’energia, l’interazione della radiazione con la materia spiegata in

termini di emissione/assorbimento di fotoni, il principio di indeterminazione di Heisenberg, che ci impone di

rinunciare ad una descrizione dettagliata del moto delle particelle atomiche nel senso della meccanica

classica. A seguito di queste evidenze, un nuovo formalismo, la meccanica quantistica, viene sviluppato

negli anni 20 principalmente dai fisici Louis de Broglie, Max Born, Paul Dirac, Erwin Schrodinger, Werner

Heisenberg.

1. Funzione d’onda e densità di probabilità

Il principio di indeterminazione di Heisenberg ci mostra come non sia

possibile parlare in senso stretto di traiettoria della particella atomica. In figura

mostriamo la traiettoria della particella nel caso (a) classico e (b) quantistico

nello spazio delle fasi (cioè nel diagramma momento vs. posizione). Nel caso

quantistico la posizione e il momento sono legati dalla relazione DxDp ~h e

quindi la traiettoria risulta allargata sulla banda (Dx,Dp). Come descrivere

allora il moto della particella? Si utilizza il concetto di “onda o campo di

materia”: la particella presente in una certa regione dello spazio viene

considerata come un’onda, indicata come f. Sappiamo che l’intensità di

un’onda è proporzionale al quadrato del suo modulo, quindi l’intensità di

questo campo di materia sarà dato appunto da |f(x,y,z)|2. Poiché il campo di

materia descrive il moto della particella, possiamo dire quindi che le regioni

dello spazio in cui è più probabile trovare la particella sono quelle in cui

|f(x,y,z)|2 è maggiore.



3

Ad esempio, qui mostriamo la funzione d’onda di una particella confinata nella regione

tra A e B lungo x, sotto è riportata la relativa distribuzione |f(x)|2.

La probabilità di trovare la particella

descritta dalla funzione d’onda f(x)

nell’intervallo dx intorno al punto x è

|f(x)|2dx. |f(x)|2 è una probabilità

per unità di lunghezza o “ densità di

probabilità “. La probabilità di

trovare la particella nella regione

finita V dello spazio è:

Poiché la particella deve comunque trovarsi in qualche luogo dello spazio, se

estendiamo l’integrale allo spazio intero otteniamo la condizione di

normalizzazione:

essa comporta che la funzione f(x,y,z) abbia alcune caratteristiche fondamentali

(per esempio, f deve diminuire rapidamente al crescere di x,y,z in modo che

l’integrale su tutto lo spazio possa essere finito).

V

V dxdydzzyxP2

),,(f

1),,(2

spaziolotutto

V dxdydzzyxP f



4

2. Equazione di Schrödinger



5

Nel 1926 Erwin Schroedinger formula la seguente equazione:

t

tritrtrU

m

),(),(),(

2

22

Si verifica che, se U è indipendente dal tempo ma dipende solo dalle coordinate

spaziali: U(r,t) = U(r) = U(x,y,z),

è sempre possibile separare la dipendenza temporale della funzione d’onda da

quella spaziale:

dove f(r) dipende solo dalle coordinate spaziali.

Sostituendo nella (*) questa espressione otteniamo l’equazione:

)(),( retrti

f

ff

U

m

22

2

(*)

Metodo della separazione delle variabili

L’equazione di Schroedinger è in tre dimensioni, essa può però essere spesso

ridotta a un numero minore di dimensioni. Se : U(x,y,z) = U1(x) + U2(y) + U3(z)

allora le soluzioni sono del tipo: f(x,y,z) = f1(x) f2(y) f3(z).

Sostituendo f ed U nell’equazione di Schroedinger otteniamo :

Ogni termine del primo membro è funzione di una sola coordinata, x, y, o z,

mentre nel secondo membro abbiamo il termine indipendente . Il solo modo

per soddisfare questa equazione è che ciascuno dei tre termini del primo

membro sia uguale ad una costante i ( i = 1,2,3) tale che: 1 + 2 + 3 = .

ff

ff

ff

)()(

2)(

1)()(

2)(

1)()(

2)(

1332

22

3

222

22

2

112

22

1

zzUzmz

yyUymy

xxUxmx



6

Se poi U(x,y,z) = U1(x) il sistema si riduce ad una sola equazione

monodimensionale in x. Le soluzioni per la funzione d’onda e le energie per

le altre due dimensioni y e z sono quelle della particella libera:

;

Dove Ay ed Az sono le costanti di normalizzazione per le soluzioni dell’onda

piana nelle direzioni y e z.

ikziky

zy eeAAxzyx )(),,( 1ff ( m

kkEE

zy

2

222

1

Come risultato otteniamo tre equazioni

monodimensionali, molto più semplici

da risolvere. →)()()(

2

)()()(2

)()()(2

3333

22

2222

22

1111

22

zEzzUdz

d

m

yEyyUdy

d

m

xExxUdx

d

m

ff

ff

ff



7

In termini matematici diciamo che l’espressione H

è un operatore che, quando agisce su una funzione f(x,y,z), produce una nuova

funzione come risultato di una serie di operazioni esplicitamente contenute nella

definizione di H. In particolare, possiamo riscrivere l’equazione di Schrödinger

come:

Cioè l’effetto di H su f(x,y,z) è quello di moltiplicare f(x,y,z) per . Ovviamente, in

generale, quando H opera su una funzione arbitraria il risultato non è

necessariamente la stessa f(x,y,z) moltiplicata per una costante. Le funzioni che

soddisfano la (*) sono chiamate autofunzioni dell’operatore H ed i valori

corrispondenti autovalori dell’operatore.

3. Operatori in meccanica quantistica

(*)

),,(2

22

zyxUm

),,(),,( zyxzyxH ff



8

Esempio



9

Indicare quale delle seguenti funzioni sono autofunzioni per l’operatore

d/dx: fa = eikx; fb = eax; fc = sen(kx) ed eventualmente indicarne

l’autovalore. Si ripeta l’esercizio per l’operatore d2/dx2.

Soluzione. Le funzioni indicate sono autofunzioni per l’operatore d/dx se si

puo’ scrivere df/dx = af con a = autovalore. Otteniamo che fa e fb sono

autofunzioni con autovalori rispettivamente ik ed a, mentre fc non lo è.

Invece si verifica che tutte e tre sono autofunzioni per l’operatore d2/dx2

con autovalori:-k2, a2, -k2.

4. Principi della meccanica quantistica

1. Ad ogni grandezza fisica A(r,p), che è funzione della posizione e del momento di

una particella, corrisponde un operatore quantistico ottenuto effettuando la

sostituzione:

Nella tabella sotto

sono riportati gli

operatori quantistici

di alcune grandezze

fisiche.

ip

2. I soli valori possibili che possono essere ottenuti quando si misura la grandezza

fisica A(r,p) sono gli autovalori dell’operatore quantistico : ),( irA

Grandezza fisica Definizione classica Operatore Quantistico

Posizione r r

Momento p

Momento

angolarerxp

Energia cinetica

Energia totale

i

xri

m

p

2

2

22

2

m

pUm

22

2

PU

m

p

2

2



10

5. Esempi di calcolo dell’equazione di Schroedinger

1. Particella libera

In questo caso U = U(x) = 0, l’equazione diviene: ),,(),,(2

22

zyxEzyxm

ff

in una dimensione: ),,(),,(

2 2

22

zyxEx

zyx

mf

f

Per una particella libera vale:m

pE

2

2

e: kp

Quindi: e l’equazione diviene:m

kE

2

22 02

2

2

f

fk

x

equazione di un’onda stazionaria di lunghezza d’onda : k

2

L’equazione ammette soluzioni del tipo: ;)( ikxex f ikxex

)(f

La prima rappresenta una particella che si muove in verso positivo rispetto

all’orientamento dell’asse x, l’altra in direzione opposta. La soluzione generale

Può essere scritta come combinazione lineare delle due soluzioni:

ikxikx BeAex )(f



11

Questa funzione non corrisponde ad una direzione preferenziale di moto,

essendo la sovrapposizione di due soluzioni per moto nelle direzioni positiva e

negativa. E’ infatti la stessa situazione delle onde stazionarie ( per esempio una

corda che vibra tra due estremi fissati). Notiamo inoltre che:

1)()(*)(2

ikxikxeexxx afff

Il fatto che |f(x)|2 sia costante indica che la probabilità di trovare la particella è la

stessa in ogni punto. Questo è in accordo con il principio di indeterminazione di

Heisenberg dato che l’onda eikx ha Dp = 0 e quindi Dx →∞. Per avere

informazioni riguardo la posizione della particella Dx deve essere finito, il che è

ottenibile sovrapponendo onde A(k)eikx con valori di k in un dominio Dk, cioè un

pacchetto d’onda. Tale pacchetto può essere espresso come:

dkekAx ikx

)()(f



12

2. Particella in buca di potenziale

Pensiamo ad un potenziale rettangolare del tipo di figura

(buca di potenziale). Avremo U(x) = 0 per 0< x < a e U(x)

→∞ per x > a e x < 0. Questo significa che esistono delle

forze molto elevate che costringono la particella a rimanere

entro la buca di potenziale, quindi f(x) = 0 per x ≥ a e x ≤ 0.

All’interno della buca la particella si muove liberamente dato

che qui Ep(x) = 0, quindi in questa regione il problema si

riconduce al caso discusso precedentemente:

02

2

2

f

fk

xcon: ;

22

2

mEk .)( ikxikx BeAex f

Le condizioni al contorno impongono che:

( ;2)(0)0( iAsenkxeeAxBABA ikxikx ff

( .02)( na

kpa

nkkaiAsenax

f

Quest’ultima espressione indica i valori permessi di momento.

Corrispondentemente, i valori permessi di energia sono dati da: 2

2222

22 ma

n

m

pE

ax

0

U

∞ ∞



13

.22 2

2222

ma

n

m

pE

n=1

n=2

n=3

n=4

E2= 4E1

E3= 9E1

E4= 16E1

E1

E

I livelli energetici permessi per la particella in buca di potenziale sono:

L’energia non può assumere un valore arbitrario,

risulta quantizzata. Questa situazione avviene in

generale quando l’equazione di Schroedinger

viene risolta per un potenziale che confina la

particella in una regione limitata dello spazio.

Notiamo che l’energia minima della particella non

è zero, ma pari a:

Questo deriva dal principio di indeterminazione di

Heisenberg. L’indeterminazione sulla posizione

sia Dx ~ a, la particella si muove avanti e indietro con momento p, per cui Dp ~2p ,

DxDp ≥ h → 2ap ≥ h → E ≥ E1.

con n= 1, 2, 3, …

2

2

2

22

182 ma

h

maE

I valori di k permessi per la particella in buca di potenziale sono: .a

nk

Le funzioni d’onda che corrispondono ai valori di k permessi sono: .)(

a

xnCsenxn

f

con C = 2iA, che infatti corrispondono a onde stazionarie che vibrano con

estremità fisse, per le quali vale:

.1

;....3

1;

2

1;

2

1a

naaa

Le prime tre funzioni

d’onda per una particella

in buca di potenziale e le

corrispondenti densità di

probabilità sono

mostrate nella figura a

fianco



15

Completiamo la discussione determinando la costante C utilizzando la

condizione di normalizzazione:

a

dxx0

21)(f

a

dxa

xnsenC

0

22 1

Il valore dell’integrale è :

a

adxa

xnsen

0

2

2

1

Perciò otteniamo: .2

12

12

aCaC

le autofunzioni normalizzate sono perciò: .2

)(

a

xnsen

axn

f



16

3. Particella in buca di potenziale tridimensionale

Consideriamo ora un particella confinata in una

regione tridimensionale di dimensioni a, b, c come

in figura. Estendendo il ragionamento del caso

precedente, otteniamo:

con n1, n2, n3 interi. Notiamo che l’energia dipende solo dalla somma n12+n2

2+n32,

perciò tutti gli stati che hanno stesso valore per questa somma hanno stessa

energia ma diversa funzione d’onda. Quando questo succede diciamo che

abbiamo degenerazione dei livelli energetici corrispondenti. L’ordine di

degenerazione di un livello energetico, designato con g, è uguale al numero di

diverse e indipendenti funzioni d’onda soluzione dell’equazione di

Schroedinger per quella energia.

a

npx

1

b

npy

2

c

npz

3

2

2

3

2

2

2

2

2

1

222

22 c

n

b

n

a

n

mm

pE

.),,(

321

c

znsen

b

ynsen

a

xnCsenzyx

f

a

b

c

x

y

z



17

4. Atomo di idrogeno / atomi ad un solo elettrone

Nel caso dell’elettrone legato al nucleo nell’atomo di idrogeno l’energia potenziale è:

ff

f Er

e

m

0

22

2

42

r

erU

0

2

4)(

quindi l’equazione di Schroedinger diviene*:

La soluzione di questa equazione è al di là degli scopi di questo corso. Daremo

qui solo alcune indicazioni sul risultato di tale calcolo.



18

* Con m massa ridotta del sistema

Data la simmetria sferica dell’energia potenziale atomico

l’equazione di Schroedinger si scrive utilizzando le

coordinate sferiche (r,q,j e le soluzioni hanno la forma

(metodo di separazione delle variabili):

F(r,q,j = f1(rf2(qf3(j) .

x y

z

r

q

j

La probabilità che l’elettrone si trovi nella regione di

spazio tra r ed r + dr è data da:drrdVdP 222

4FF

Nel caso dell’elettrone legato al nucleo nell’atomo di idrogeno l’energia potenziale è:

ff

f Er

e

m

0

22

2

42

r

erU

0

2

4)(

quindi l’equazione di Schroedinger diviene*:

La soluzione di questa equazione è al di là degli scopi di questo corso. Daremo

qui solo alcune indicazioni sul risultato di tale calcolo.

Definiamo costante di Rydberg:

Allora i livelli energetici possibili per gli stati stazionari dell’elettrone

dell’atomo di idrogeno sono dati dall’espressione:

hcn

REn 2

con n = 1,2,3,…

mx

ch

emR e 1

100974.18

7

32

0

4

a. Quantizzazione dell’energia

ed n è detto numero quantico principale .



19

* Con m massa ridotta del sistema

Orbitali atomici

F(r,q,j) = fn,l(r) fl,m(q,j)

Fattore radialeFattore angolare



20

Effettuando la risoluzione si verifica che il fattore radiale risulta dipendere da

due numeri quantici denominati n ed l, mentre il fattore angolare dipende sia

dal numero quantico l che da un ulteriore numero quantico m.

I livelli energetici possibili per gli stati stazionari dell’elettrone dell’atomo di

idrogeno sono dati dall’espressione:

hcn

REn 2

mx

ch

emR e 1

100974.18

7

32

0

4

n – numero quantico principale

R costante di Rydberg :

Con: n = 1,2,3,…

Per un atomo con un unico elettrone legato ad un nucleo con Z protoni:

.6.132

2

2

2

eVn

Z

n

hcZREn



21

1. Quantizzazione del modulo di L

Nel caso della particella nella buca di potenziale abbiamo visto che energia e

momento, costanti del moto, sono entrambe quantizzate. In un moto dovuto ad un

campo di forza centrale non solo l’energia, ma anche il momento angolare è

costante del moto: da un’analisi sia teorica che sperimentale si mostra che in

questo caso anche il momento angolare risulta quantizzato.

La quantizzazione sul modulo del momento angolare L si esprime con la relazione:

22 )1( llL con l = 0, 1, 2, 3,..,n-1

Quindi: in un campo Coulombiano per ogni valore di n ci sono n valori distintipossibili per il momento angolare, da l = 0 a l = n-1. I diversi valori di l sono

solitamente designati con lettere s (l=0), p (l=1), d (l=2), f (l=3) e così via. l è

detto numero quantico azimutale.

2. Quantizzazione spaziale

Oltre alla limitazione sul modulo si mostra sperimentalmente (effetto Zeeman)

che esiste una restrizione nella direzione del momento angolare

(quantizzazione spaziale): i valori della componente z del momento angolare Lz,

risultano infatti quantizzati secondo la relazione:

lZ mL con ml = 0, ±1, ±2, ±3, .. ± l

b. Quantizzazione del momento angolare L



22

Ovviamente il numero quantico ml non può essere superiore ad l. ml si dice

numero quantico magnetico.

x

y

z

r

Lz

0

z

ml=+1

ml=-1

ml= 0

l = 1 l = 2

z

ml=+1

ml=-1

ml= 0

ml=+2

ml=-2

Quindi per ciascun valore del momento angolare, ci sono 2l+1 valori di ml .

La quantità g = 2l+1 è detta degenerazione essenziale di ogni stato con un determinato

momento angolare. Osserviamo che, se la forza in gioco non è funzione dell’inverso delquadrato della distanza, quei livelli che hanno lo stesso valore di n ma diverso valore di lnon hanno necessariamente la stessa energia. Se però la forza è comunque centrale,

l’energia non dipende da ml perché l’orientazione dell’orbita è irrilevante.

L = rxp

p



23

Effetto Zeeman

Effetto osservato nel 1896 e poi spiegato mediante la quantizzazione spaziale,

percui e.g. una linea spettrale di un atomo a un elettrone diventa un tripletto a causa

della presenza di un campo magnetico. L’elettrone che descrive una orbita circolare

con velocità angolare w corrisponde ad una spira di corrente:w

2

e

T

e

dt

dqI

che può essere vista come un dipolo magnetico

di momento:22

2

1

2rer

eAIM L ww

Dato che il momento angolare è pari a: otteniamo la seguente relazione

tra momento di dipolo magnetico e momento angolare:

vrmL e

Lm

eM

e

L2

poiché la carica dell’elettrone è negativa ML e L

sono vettori con stessa direzione e verso opposto.



24

In generale, si verifica che la relazione , da noi mostrata

classicamente, risulta valida anche in

meccanica quantistica per un moto arbitrario con momento angolare L.

La componente z del momento magnetico orbitale risulta:

Lm

eM

e

L2

lBl

e

z

e

Lz mmm

eL

m

eM

22

T

eVx

m

e

e

B

5106564.52

con = magnetone di Bohr.

Applichiamo ora un campo magnetico B, il sistema acquisisce l’energia magnetica:

BLm

eBME

e

LB 2

E sul dipolo magnetico agisce il momento della forza magnetica:

BxLm

eBxMM

e

L2



25

Tale momento fa compiere una precessione del

sistema attorno alla direzione del campo magnetico.

Assumiamo che il campo magnetico sia in direzione z:

BmBME lBLzB

Questa relazione mostra che l’energia del sistemaassume 2l+1 valori quantizzati secondo il numero

quantico ml, tutti equispaziati della quantità BB.

Passaggio da un livello singolo p ad un

tripletto in presenza di campo magnetico

L’effetto non si osserva con un livello s,perché l = 0 e quindi ml = 0.

Il risultato è una riga spettrale

che si trasforma in un tripletto.



26

Sappiamo che la Terra, contemporaneamente al moto di rivoluzione intorno al sole,

compie un moto rotatorio intorno al suo asse ( in inglese = to spin): il suo momento angolare

totale è somma vettoriale del momento angolare di rivoluzione e di quello di rotazione. In

analogia con questa evidenza possiamo immaginare che l’elettrone legato all’atomo oltre al

moto orbitale “ ruoti su se stesso” e quindi possegga momento angolare di spin. E’ ovvio

che, non avendo l’elettrone struttura interna, non ha senso considerarlo come particella

sferica che ruota su se stessa, tale raffigurazione è comunque un modello valido per la

descrizione di alcuni importanti fenomeni sperimentali.

L’esistenza dello spin elettronico è stata messa in evidenza dall’esperimento di

Stern e Gerlach (1924), l’idea è stata proposta da Uhlenbeck e Goudsmith (1926) per

spiegare tale esperimento ed alcune caratteristiche spettrali degli atomi ad un elettrone. Se

non possiamo calcolare il momento angolare di spin come facciamo per la Terra, comunque,

varrà sempre che, se S è il momento angolare di Spin ed L quello orbitale, il momento

angolare totale dell’elettrone sarà J = S + L. Dato che l’elettrone è una particella carica

lo spin elettronico produrrà un momento di dipolo magnetico MS . Nel semplice modello

di un corpo rigido sferico ruotante su se stesso, la relazione tra MS ed S sarà la stessa che

abbiamo trovato tra ML ed L. In realtà quello che si ha è un po’ diverso:

Sm

egM

e

SS2

gS è detto rapporto giromagnetico dell’elettrone, di valore

sperimentale gS = 2.0024. Il momento di dipolo magnetico di un

elettrone che orbita e ruota è quindi: ( SgLm

eMMM S

e

SL 2

c. Quantizzazione di Spin



27

Esperimento di Stern- Gerlach

Supponiamo che un fascio di atomi ad un solo elettrone passi attraverso un campo

magnetico non omogeneo. L’effetto di questo campo magnetico sul dipolo magnetico è

quello di esercitare una forza la cui direzione e modulo dipendono dall’orientazione

relativa del campo magnetico e del dipolo (e.g. se il dipolo è orientato parallelamente al

campo B esso tenderà a muoversi nella direzione in cui il campo B cresce , mentre se è

antiparallelo, si muoverà nella direzione in cui il campo B diminuisce). Nell’esperimento di

Stern-Gerlach il campo disomogeneo è ottenuto modificando la forma delle facce dei

poli magnetici, ad esempio in modo che il campo aumenti andando da Sud a Nord.

Se gli atomi a un solo elettrone del fascio sononello stato fondamentale ( l = 0 ) hanno

momento angolare orbitale nullo e quindi ML = 0 ,

perciò la deviazione del fascio dipenderà solo

dalla direzione di MS, cioè di quella dello spin

S. Il risultato dell’esperimento è che il fascio che

passa tra i due poli magnetici viene diviso in

due. Questo dimostra che:

Lo spin elettronico può avere solo due

orientazioni relative al campo magnetico:

parallela o antiparallela.



28

Ricordando che la degenerazione effettiva del momento angolare è g = 2l + 1,

poiché nel caso dello spin g = 2 dobbiamo avere l = ½. Indicando il numero

quantico di spin come s invece che come l ed il numero quantistico

corrispondente alla componente z, Sz , come ms invece che ml avremo:

2

1

;2

1

Sm

s (

sz mS

ssS

222

4

31

Concludiamo quindi che per descrivere completamente lo stato di un elettrone inun campo centrale sono necessari quattro numeri quantici: n, l, ml, ms .

z

ms=+½

ms=-½

2

3S



29

Data la simmetria sferica dell’energia potenziale atomico l’equazione di

Schroedinger si scrive utilizzando le coordinate sferiche (r,q,j e le soluzioni hanno

la forma (metodo di separazione delle variabili): F(r,q,j = f1(rf2(qf3(j) .

Effettuando la risoluzione si verifica che il fattore radiale risulta dipendere dai numeri

quantici n ed l, mentre il fattore angolare dai numeri quantici l ed m. Inoltre, ogni

orbitale ha quindi la possibilità di contenere due elettroni, data la molteplicità di

spin.

Orbitali atomici

F(r,q,j) = fn,l(r) fl,m(q,j)

Fattore radialeFattore angolare

La probabilità che l’elettrone si trovi nella regione di

spazio tra r ed r + dr è data da:

drrdVdP 2224FF

x y

z

r

q

j



30

Orbitali atomici – Fattori radiali e angolari



31

Fattori radiali j(r)

Fattori r2 |j (r)|2

fattori radiali e conformazione radiale di orbitali atomici



32

33

Esercizio La funzione d’onda dell’idrogeno nello stato fondamentale sia: 𝜑1𝑠 =

1

𝜋𝑎03𝑒−𝑟/𝑎0, con a0 = raggio di Bohr. (a) Calcolare il valore più probabile di r per un

elettrone che si trovi in tale stato fondamentale. (b) Calcolare la probabilità che l’elettrone

nello stato fondamentale si trovi all’esterno del raggio di Bohr.

Soluzione: Avendo il problema simmetria sferica, la probabilità di trovare la particella nella

regione tra 0 ed r è: 𝑃 = |𝜑1𝑠|2𝑑𝜏 = 0

𝑟 1

𝜋𝑎03 𝑒

−2𝑟/𝑎04𝜋𝑟2𝑑𝑟 . (a) La funzione:

𝑓 𝑟 =4𝑟2

𝑎03 𝑒

−2𝑟/𝑎0 fornisce la densità di probabilità di trovare la particella nel punto di

coordinata r. Per avere il valore di r più probabile:𝑑𝑓 𝑟

𝑑𝑟= 0 →

2𝑟𝑒−2𝑟/𝑎0 −2𝑟2

𝑎0𝑒−2𝑟/𝑎0 = 0 da cui si ottiene: 𝑟 = 𝑎0 .

(b) Per conoscere la probabilità che la particella si trovi nella regione oltre a0 è necessario

calcolare l’integrale: 𝑃 = 𝑎0∞ 1

𝜋𝑎03 𝑒

−2𝑟/𝑎04𝜋𝑟2𝑑𝑟 =4

𝑎03 𝑎0

∞𝑟2𝑒−2𝑟/𝑎0𝑑𝑟 . Ponendo x = 2r/a0,

abbiamo: 𝑃 =1

2 2∞𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥 =

1

2𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑒−𝑥 2

∞ = 5𝑒−2 = 0.68.

Configurazione elettronica Struttura elettronica di un atomo od una molecola.

Corrisponde al modo di distribuirsi degli elettroni negli orbitali dell'atomo o della

molecola. E’ particolarmente importante quella della shell più esterna.

Configurazione elettronica esterna

Z = Numero atomico

configurazione elettronica esterna



34

http://www.ptable.com/TAVOLA PERIODICA DEGLI ELEMENTI

1s

2s

2px 2py 2pz

3s

3px 3py3pz

n=1; l = 0

n=2; l = 0

n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 0

Riempimento orbitali atomici con elettroni

Energ

ia



35

2s

2px 2py 2pz

3s

3px 3py3pz

n=2; l = 0

n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=3; l = 0

3dx2-y2

3dz2

n=3; l = 2 m =-2, -1; 0 ; 1;2

3dxy 3dxz3dyz

4s

4px 4py4pz

n=4; l = 1 m = -1; 0 ; 1

n=4; l = 0

Energ

iaRiempimento degli orbitali atomici d



36

Nota: nei metalli nobili la configurazione più stabile richiede che gli orbitali d

siano pieni. Un elettrone s viene perciò trasferito in un orbitale d.

Cu Z = 29 4s1 3d10

Ag Z = 47 5s1 4d10

Au Z = 79 6s1 5d10 4f 14

In altri metalli invece, quali Cr e Mo, la configurazione più stabile prevede il

trasferimento di elettroni in modo da avere orbitali d semipieni.

Cr Z = 24 4s1 3d5

Mo Z = 42 5s1 4d5



37

6. Gradino di potenziale

A. L’energia della particella è minore del gradino : < U0

Regione I: U(x) = 0 quindi la particella è libera.

Equazione di Schroedinger:

02

22

2

II m

dx

df

f

Che dà soluzione:

ikxikx

I BeAex )(f

Dove eikx rappresenta l’onda incidente, e-ikx rappresenta quella riflessa dalla barriera.

regione II. U(x) = U0 con eq. di Schroedinger: .

Definendo: , l’equazione diviene : con

Soluzione:

per la meccanica classica la particella non potrebbe trovarsi nella regione x > 0,

per la meccanica quantistica c’e’ una probabilità non nulla di trovare la particella

in tale regione.

( 0

22

0

2

2

IIII Um

dx

df

f

(

2

02 2

Um

a 02

2

2

IIII

dx

dfa

f

x

II Cex af )(

U(x)

xU0

I II

O



U (x)= 0 per x < 0; U = Uo per x > 0

Per determinare le costanti A,B,C imponiamo le condizioni al contorno per le regioni I/II,

cioè la continuità della funzione d’onda e della sua derivata prima.

In x = 0: e , da cui si ha: A + B = C e ik(A-B) = -a C.

Otteniamo : e per cui :

e .

dx

d

dx

d 21 ff21 ff

( a

a

ik

AikB

a

ik

ikAC

2

ikxikx e

ik

ikeAx

a

af )(1 xAe

ik

ikx a

af

2)(2

( ( ikxikx eikeikik

Ax

aa

af )(1

Le funzioni f1 e f2 (a meno del termine complesso 2ik/(ik-a) ) sono rappresentate in

figura .

( ( kxsenikxe ikx cos

)()cos(

2)(1 kxsen

kkxA

ik

ikx

a

af

Riscrivendo: e dato che vale:

, si ottiene:



Osserviamo che più grande è il fattore U0 rispetto all’energia della particella,

più grande è il valore di a e più velocemente la funzione f2 va a zero per x > 0 .

Nel limite di U0 →∞ la funzione f2 va a zero e la particella non può penetrare

nella regione II: tutte le particelle vengono riflesse in x = 0.

In questo caso l’espressione di f1 diviene: )()(2)(1 kxCsenkxiAsenx f



B. L’energia della particella è maggiore del gradino : > U0

l’equazione di Schroedinger è:

con soluzione fII(x) = Ceik’x (rappresenta la particella che viaggia verso destra).

( 2

02 2'

Umk

0'22

2

IIII k

dx

df

f

U(x)

xU0

I II

O

Classicamente la particella può superare la barriera ed entrare nella regione II, ad

x = 0 soffre di una decelerazione dato che la sua energia cinetica diviene più

piccola.

Dal punto di vista quantistico la soluzione nella regione I è sempre data da:

f1(x) = Aeikx +Be-ikx,

assumendo che parte delle particelle possano

venire riflesse. Per la regione II, definendo:



Applicando le condizioni al contorno a x = 0 abbiamo:

A + B = C e k(A-B) = k’C , le cui soluzioni sono :

Il fatto che B non sia nullo indica che alcune particelle sono riflesse, un

risultato diverso da quello della meccanica classica.

Questo fenomeno e’ caratteristico dei campi che, nella loro propagazione,

incontrano una regione di discontinuità nelle proprietà fisiche del mezzo: un

fatto ben noto nel caso per esempio di onde elastiche o elettromagnetiche.

( '

'

kk

AkkB

'

2

kk

kAC

;'

')(

ikxikx

I ekk

kkeAxf .

'

2)( 'xik

II Aekk

kx

f



7. Penetrazione di una barriera di potenziale - Effetto Tunnel

Consideriamo la barriera di potenziale di altezza U0 e spessore a.

Per <U0 avremo soluzioni del tipo:

Dove k, a e k’ hanno significato dato precedentemente. La forma d’onda è come

in figura . E’ quindi possibile che la particella con energia inferiore a U0 penetri la

barriera (onda f3).

U(x)

x

U0

I II

O

III

a

ikxikx

I BeAex )(fxx

II BeAex aaf )(

xik

III eAx '')( f

Applicando le condizioni al contorno a x = 0 ed x = a possiamo determinare i

coefficienti A,B,C,D,A’.



Per > U0 la descrizione classica indicherebbe che

tutte le particelle vengono trasmesse oltre la barriera.

In meccanica quantistica invece, come per il gradino

di potenziale, alcune particelle possono essere

riflesse ad x = 0 ed x = a. Quindi le funzioni d’onda

sono:

ikxikx

I BeAex )(f xikxik

II DeCex '')( f ikx

III eAx ')( f

La trasmissione della barriera è

valutata come :

T = |A’|2 / |A|2

In figura è mostrata in funzione del

rapporto /Uo

/U0

Applicando le condizioni al contorno a x = 0 ed x = a possiamo determinare i

coefficienti A,B,C,D,A’.

U(x)

x

U0

I II

O

III

a



Esempio: diodo tunnel

Scoperto da L. Esaki nel 1958 (Ph.D. dissertation work). Come anomalia della

curva I-V di una giunzione p-n in cui tutte e due le regioni n e p sono degeneri. In

questo caso il tunneling può essere analizzato considerando una barriera di

potenziale triangolare.

3a equilibrio3b tensione diretta : una banda di energia con stati occupati a destra della barriera siaffianca ad una banda di stati non occupati a sinistra. Elettroni possono penetrare labarriera dal lato n a quello p producendo corrente di tunneling.3c incrementando la tensione diretta le due bande si assottigliano fino a che l’orlodella n BC = orlo della p BV. Non ci sono piu’ stati disponibili per gli elettroni: lacorrente di tunneling si riduce a zero.3d corrente diretta dovuta a diffusione dei maggioritari senza tunneling;



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Lezione 2 Cenni di meccanica quantistica · 2015-09-16 · Lezione n.2 Cenni di meccanica quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in Ingegneria Sommario 1. Introduzione - Funzioni