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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Le masse dei nuclei
Lezione 2
L’inizio: trasmutazioni nucleari
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2
• Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.
• Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione. – Energia per atomo 106 volte maggiore
delle reazioni chimiche. – Cambio di natura degli stessi atomi.
www.treccani.it
Masse e dimensioni dei nuclei (Das-Ferbel, capp. 2 e 3)
• L’esperimento di Rutherford dimostra che la carica positiva dell’atomo è contentrata in un nucleo. – Dimensioni del nucleo << dimensioni atomiche (10-10 m) – Gli elettroni occupano lo spazio restante, ma costituiscono una
frazione piccola della massa atomica: me = 9.10938291×10-31 kg << Matomi 10-27—10-25 kg
– Dimensioni dei nuclei stimabili da considerazioni quantistiche (vedremo più avanti la misura diretta con gli esperimenti di Hofstadter)
• Determinazione sperimentale delle masse di nuclei permet- te di formulare le basi della struttura nucleare: – nuclei sono costituiti da protoni e neutroni, e mp~mn
– la massa nucleare è minore di quella dei costituenti osservazione diretta equivalenza massa-energia
– Lo studio dell’energia di legame fornisce importanti informazioni qualitative sulle interazioni nucleari: modello a goccia
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 3
SISTEMA DI UNITÀ NATURALI
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17
Costanti fondamentali
• Prima di iniziare la discussione sulle masse e dimensioni dei nuclei consideriamo due costanti fondamentali della natura.
• La relatività ristretta introduce come costante la velocità della luce: – permette di collegare tra di loro le unità di misura di:
• massa [M] ⇔ momento [P]=[Mc] ⇔ energia [E]=[Mc2] • lunghezza [L] ⇔ tempo [T]=[L/c]
• La meccanica quantistica introduce la costante di Planck, come unità fondamentale dell’azione (area nello spazio delle fasi):
– permette di collegare tra di loro le unità di misura di: • energia [E] ⇔ tempo [T]=[ħ/E] • lunghezza [L] ⇔ momento [P]=[ħ/L]
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 5
! = h2π
= 1.054571726 ×10−34 Js
c = 2.99792458×108 m/s
Sistema di unità naturali
• In pratica possiamo definire una sola unità di misura fondamentale.
• Tutte le altre possono venire derivate da questa attraverso ħ e c.
• Un sistema che useremo spesso durante il corso: – Unità di misura dell’energia: eV – Unità di misura della massa: eV/c2
– Unità di misura della quantità di moto: eV/c – Unità di misura del tempo: eV-1ħ – Unità di misura della lunghezza: eV-1ħc – Unità di misura della velocità: c – Unità di misura del momento angolare: ħ
• Numericamente è come usare un sistema di unità in cui: ħ = c = 1
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 6
Sistema di unità naturali
• Un sistema di unità in cui ħ = c = 1 viene spesso chiamato sistema naturale – calcoli e formule sono spesso molto semplificati in un sistema
naturale – per trasformare i risultati in unità SI si tratta di moltiplicarli
per i corretti fattori di conversione:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 7
c = 2.99792458×108 m/s ≈ 3×108 m/s
! = 6.58211928×10−22 MeVs ≈23×10−21 MeVs
!c = 197.3269718 MeVfm ≈ 200 MeVfm
Costante di struttura fine
• La quantità che compare nell’energia potenziale elettrostatica:
• ha le dimensioni di Energia×Lunghezza = [ħc] • Il suo valore in sistema di unità naturali è:
– indipendente dall’unità fondamentale scelta
• in questi sistemi la carica elettrica elementare è un numero adimensionale:
• Il coefficiente che compare in molte espressioni dell’elettromagnetismo: prende il nome di costante di struttura fine.
• Ad esempio, la sezione d’urto di Rutherford:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 8
e2
ε0
e2
4πε01!c
= α =1
137.035999074
e2
ε0!c= 0.09170123392
dσdΩ
=ZZα4α
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 1sin4θ 2
!cE
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
=1.602176565×10−19C( )2
8.854187817×10−12 F/m= 2.899158908×10−27 Jm = 18.09512739 MeVfm
e2
ε0!c= 0.3028221209
Termine adimensionale
Superfice
Dimensioni dei nuclei
• Nell’esperimento di Rutherford non si riusciva a distinguere la dimensione del nucleo
• Una prima stima può venire dai decadimenti α – Se prendiamo un’energia tipica dei decadimenti α: – Corrisponde ad un momento: – Assumiamo che la particella α sia inizialmente confinata nel nucleo:
• Quando è confinata il suo momento varia di ±pα:
• Dal principio di indeterminazione:
• Una misura sistematica si ottiene dalla studio della sezione d’urto elettrone-nucleo: – se parametro d’impatto < dimensione nucleare la sezione d’urto
differisce dalla sezione d’urto coulombiana – si ottiene:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 9
R ~ r0A1/3 r0 = 1.2 fmVolume: V∝A
Tα = 5MeVpα = 2mαTα ≈ 200 MeV
Δp = 2pαΔxΔp ≈ 1
Δx ≈ 1 / Δp ≈ 0.0025MeV−1 ≈ 0.5 fm
Unità naturali
I Nobel di oggi
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 10
Stessi elementi chimici possono
avere nuclei diversi. Misura precisa
delle masse atomiche.
Matomi ~multipli
interi di Midrogeno
(entro 1%)
E=Mc2
Energia di
legame e massa misurata dei
nuclei.
Classificazione dei nuclei
• I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni. • La carica del nucleo è data dal numero di protoni:
– numero atomico Z – determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante – di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento
chimico • La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di
nucleoni: – numero di massa A – somma di Z e del numero di neutroni N
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9Be Berillio: Z=4
Numero di massa A=9 Neutroni N=A-Z=5
N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:
AZX
Classificazione dei nuclei
• Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.
• Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.
• Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.
• Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o risonanze, da cui solitamente decade nello stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)
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N→ Z→
BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
Carta dei Nuclidi
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BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
20983Bi
Masse dei nuclei
• La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:
• La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:
– Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.
• Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 14
M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn
B.E. / c2 =M (A,Z )− Zmp − (A− Z )mn
mp = 938.27 MeV / c2
mn = 939.57 MeV / c2
BA= −
B.E.A
=Zmp + (A− Z )mn −M (A,Z )"# $%c
2
A
Masse dei nuclei (sottintendendo unità naturali)
• La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:
• La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:
– Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.
• Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 15
M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn
B.E. = M (A,Z )− Zmp − (A − Z )mn
mp = 938.27 MeVmn = 939.57 MeV
BA= −
B.E.A
=Zmp + (A − Z )mn −M (A,Z )
A
Spettrometro di massa
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 16
• Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa • Il principio di funzionamento è il seguente
– una sorgente di ioni • gli atomi sono ionizzati e accelerati
– un selettore di velocità • solo le particelle che viaggiano in linea retta
attraversano i collimatori • La forza elettrica e la forza magnetica
si bilanciano
– uno spettrometro magnetico • masse diverse hanno raggi diversi
sorgente di ioni selettore v
!v
!FE = q
!Ev
!FB = q
!v ×!Bv
!FE = −
!FB
spettrometro magnetico
qvB = mv2 R
mv = qBR
m = q BvEvBR
collimatori
v = EvBv
!Bv
!Ev
R
Spettrometro di massa
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 17
• Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV. – ~10-6 per atomi con A~100
• Per poter determinare la massa con precisione occorre – misurare con precisione R – misurare con precisione Ev, Bv, B
• stabilità ed uniformità
• Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse – si utilizzano due molecole che hanno
circa la stessa massa; ad esempio: – si possono utilizzare le stesse regolazioni
di E e B per le due molecole – Le molecole passano attraverso le stesse
regioni dell’apparato
• Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:
• Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.
m = q BvEvBR
160Gd ≈ C12H16 AC12H16 = 12 ×12 +16 ×1
m1 = qBvEvBR1
m2 = qBvEvBR2 C12H16
160Gd
m1 m2 = R1 R2
Masse atomiche
• Normalmente viene tabulato il peso atomico:
– include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame Be: – espresso in unified atomic mass unit (u):
1/12 della massa di un atomo di 12C – 1 u = 931.49 MeV/c2 = 1.6605 × 10-27 kg – NA = 6.022142×1023 mol-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12C
• Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 18
Mass excess =m(A,Z )− A u
m(A,Z ) =M (A,Z )+ Zme −Be(Z ) / c2
Mass excess [keV/c2] Atomic mass [µu]
Isotopi e pesi atomici
• Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi. – sia come analisi di composizione – che come produzione di specifici nuclidi
• I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica. – Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, – eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con
abbondanza comparabile.
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 19
Energia di legame per nucleone
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 20
Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
Energia di legame per nucleone
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 21
Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – l’energia media di legame è
approssimativamente costante: B/A ~ 8 MeV
– l’interazione nucleare deve essere a corto range.
Interazioni a lungo e corto range
• Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana): – una particella interagisce con tutte le altre
particelle presenti – energia della particella: A+1∝A – energia totale proporzionale al numero di
coppie: E∝A(A-1)/2
• Interazioni a breve range (es. legami molecolari)
– una particella interagisce solo con le particelle più vicine
– energia della particella: A+1~costante – energia totale proporzionale al numero di
particelle: E∝A
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 22
Energia di legame per nucleone
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 23
Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – esiste un massimo in corrispondenza del 56Fe. – Sotto tale A, è energeticamente conveniente
combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante: • fusione nucleare • processo di nucleosintesi primordiale e stellare.
– Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:
• esplosioni di supernovae.
Energia di legame per nucleone
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 24
Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – L’energia media di legame presenta irregolarità
nella regione di basse masse: • modelli nucleari dovranno spiegare queste
proprietà
– In particolare 4He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:
• assenza di nuclei stabili con A=5 e 8 • possibilità di decadimenti α di elementi pesanti
Le barriere di massa A=5, A=8
• Energia di separazione – Energia minima necessaria da
fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.
– Per protoni:
– Per neutroni
• Sp(5Li) e Sn(5He) sono negative: – gli stati legati sono instabili.
• Infine abbiamo che: m(8Be)>2m(4He)
– tale nucleo decade immediatamente in due α
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 25
N→ Z→
A=5
A=8
Sp ZAX( ) = m Z−1
A−1X( )+m 1H( )−m ZAX( )"
#$%c
2
Sn ZAX( ) = m Z
A−1X( )+mn −m ZAX( )"
#$%c
2
Stabilità dei nuclei
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 26
Stabile
β+
β-
β- AZX→AZ+1X
β+ AZX→AZ-1X
Trasformazioni tra nuclei isobari: p→n o n→p (con emissione o cattura di e per conservare la carica)
Serie di decadimenti fino a raggiungere l’isobaro più stabile: valle di stabilità
Stabilità dei nuclei
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 27
Stabile
β+
β-
emissione di n
α AZX→A-4Z-2X+4
2He α
Fissione spontanea
emissione di p
Modello a goccia
• Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di sistematizzare le osservazioni: – incompressibilità della materia nucleare (R∝A1/3) – breve range delle forze (B.E.∝A)
• Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla forze inter-molecolari: – descrive l’andamento generale dell’energia di legame – necessita dell’introduzione di termini fenomenologici per
descrivere alcune caratteristiche osservate. – formula semiempirica di Bethe-Weizsacker
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 28
B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13+ a4
N − Z( )2
A± a5A
−34
La formula di Bethe-Weizsäcker
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 29
• Il primo termine rappresenta l’energia dovuta all’interazione a corto range di tra nucleoni vicini: – proporzionale al numero di nucleoni interagenti – ed al volume
• Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è proporzionale alla superficie del nucleo – i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni – i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con
quelli interni e quelli sulla superficie – La correzione all’energia di legame media è più rilevante per nuclei
leggeri e spiega l’aumento di B/A per basse masse.
23~ A
~ A
B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 a1 = 15.753 MeV
a2 = 17.804 MeV
La formula di Bethe-Weizsäcker
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 30
• Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica – è inversamente proporzionale al raggio del nucleo – è proporzionale a Z2 e può essere calcolato – per alti valori di A favorisce l’eccesso dei neutroni sui protoni – descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico
• Ordine di grandezza: – energia potenziale di una sfera carica uniformemente:
13~A -
B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13
a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV
E =35
Ze( )2
4πε0r0A1/3
E =35
Ze( )2
4πε0R=35
e2
4πε0r0Z 2
A1/3=35α!cr0
Z 2
A1/3
a3 ≈35α!cr0
≈ 0.6 1137
200MeV ⋅ fm1.2 fm
= 0.73MeV
La formula di Bethe-Weizsäcker
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 31
• Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente.
• Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z – descrive la valle di stabilità
• Il quinto descrive una sorta di pairing dei nucleoni – è nullo per A dispari – è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari) – è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari)
B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13+ a4
N − Z( )2
A± a5A
−34a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV a4 = 23.69 MeV a5 = 33.6 MeV
Vedremo che è collegato alla struttura quantizzata dei livelli di energia ed al
Principio di Esclusione di Pauli
Vedremo la motivazione di questo ternine nell’interazione tra i momenti
magnetici dei nucleoni
La valle di stabilità β
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 32
• La formula dell’energia di legame presenta una evidente regione di stabilità (stabilità β) – Per un dato valore di A l’energia di
legame è una parabola al variare di Z
• Il punto di minimo si trova semplicemente
• La formula ha i due valori limite:
B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13+ a4
A − 2Z( )2
A± a5A
−34
∂B A,Z( )∂Z A=cost
= 2a3ZA13− 4a4
A − 2ZA
= 0
Z = 2a4Aa3A
23 + 4a4
Z →
A2
piccoliA
2a4a3
A13 grandiA
"
#$$
%$$
Z
A
B
A Z
ESERCIZI
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 33
Esercizio 2.1
• Si consideri una particella α di energia 5 MeV con parametro di impatto rispetto ad un nucleo di 1 fm.
• Calcolare in un sistema di unità naturali: – quantità di moto – velocità – momento angolare
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 34
Esercizio 2.2
• Si calcoli, usando la tabella delle masse atomiche: – le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente
di protone o un neutrone ad un nucleo di 16O – le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente
di protone o un neutrone ad un nucleo di 14N
• Che conclusioni si possono trarre sul valore di a3? • Questi dati sono consistenti con la presenza del
termine a5?
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 35
Esercizio 2.3
• Usando le tavole, fare un grafico dell’energia di legame totale in funzione di Z per gli isobari con A=125 e A=128 in prossimità del minimo dell’energia.
• Questo grafico dà supporto alla presenza del termine di pairing?
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 36