Lezione 3: Principi di Conservazione Conservazione della massa

Principi di conservazione della MDC: applicazione ai mezzi porosiDensita intrinseche ed apparenti delle fasi

Conservazione della massaConservazione della massa e teoremi di trasporto

Lezione 3: Principi di ConservazioneConservazione della massa per un continuo poroso

Claudio Tamagnini

Dipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleUniversita degli Studi di Perugia

Dottorato Internazionale Congiunto Firenze – BraunschweigFirenze, 13–14 Febbraio 2014

Claudio Tamagnini Lezione 3: Conservazione della massa



Sommario

1 Principi di conservazione della MDC: applicazione ai mezzi porosi

2 Densita intrinseche ed apparenti delle fasi

3 Conservazione della massaFase solidaFase liquidaMiscela bifase satura

4 Conservazione della massa e teoremi di trasporto




Le equazioni governanti dei problemi di MDC

Nella risoluzione di un problema di meccanica dei continui (MDC),l’obiettivo principale consiste nel determinare le grandezze fisichefondamentali (spostamenti, velocita, tensioni, etc.) che descrivono lostato del corpo in esame e la sua evoluzione nel tempo come campi(scalari, vettoriali, tensoriali) definiti su B × R (materiali), o su St × R(spaziali).




Le equazioni governanti dei problemi di MDC

Le funzioni incognite sono determinate a partire da un sistema di PDE,derivate da:

1 Principi di conservazione, che hanno carattere universale e sonoindipendenti dalle specifiche caratteristiche meccaniche del materialeo dei materiali che costituiscono il corpo in esame:

i) della massa;ii) della quantita di moto;iii) del momento della quantita di moto;iv) dell’energia.

2 Equazioni costitutive, che caratterizzano il comportamentomeccanico dei materiali e consentono di distinguerli tra loro.

Al sistema di PDE risultante e poi necessario aggiungere le opportunecondizioni ai limiti (iniziali e al contorno).




Le equazioni governanti della MMP: principi di Truesdell

Nella meccanica dei mezzi porosi (MMP), i principi di conservazione sonoformulati a partire dai postulati enunciati da Truesdell (1984):

i) All properties of the mixture must be mathematical consequence ofproperties of its constituents.

ii) So as to describe the motion of a constituent, we may inimagination isolate it from the rest of the mixture, provided we allowproperly for the actions of other constituents on it.

iii) The motion of the mixture is governed by the same equations as is asingle body.

Le equazioni costitutive di mezzo saturo devono pertanto riguardare:i) il comportamento delle fasi solida e liquida;ii) il comportamento dello scheletro solido;iii) le interazioni esistenti tra le fasi solida e liquida.




Massa, densitaUna proprieta fondamentale dei corpi (solidi e liquidi) e che essi sonodotati di massa.

In meccanica dei continui (monofase), la massa e distribuita concontinuita all’interno del mezzo, ed e quindi valutata come integrale diuna funzione densita ρ : St × R 7→ R.Per ogni parte Pt ∈ St si ha dunque:

M (Pt) =∫Pt

ρ dv




Densita intrinseca delle fasi

Siano ρs e ρw le densita intrinsechedei grani solidi e dell’acquainterstiziale. Per ogni parte Pt ∈ St ,si ha allora:Per la fase solida:

Ms (Pt) =∫Ps,t

ρs dvs =∫Pt

(1− n)ρs dv

Per la fase liquida:

Mw (Pt) =∫Pw,t

ρw dvw =∫Pt

nρw dv




Densita apparente delle fasi

Tali espressioni possono essere riscritte come:

Ms (Pt) =∫Pt

ρs dv Mw (Pt) =∫Pt

ρw dv

dove:

ρs := nsρs = (1− n)ρs (densita apparente della fase solida)

ρw := nwρw = nρw (densita apparente della fase liquida)

Le grandezze ρs e ρw rappresentano le masse per unita di volume totaledelle singole fasi.




Fase solidaFase liquidaMiscela bifase satura

Principio di conservazione della massa del solidoIl principio di conservazione della massa della fase solida richiede che, perogni parte P del corpo B, e per ogni deformazione dello scheletro solido:

ϕ (X , t) = ϕt (X) : B × R 7→ St

risulti:

Ms(ϕt (P)) =∫

ϕt(P)(1− n)ρs dv =

∫P

(1− n)ρs JdV = cost. (1)





Fase solida: forma Euleriana

La forma Euleriana del PCM della fase solida si ottiene osservando chel’eq. (1) puo scriversi come:

dMsdt = d

dt

∫ϕt(P)

(1− n)ρs dv

=∫

ϕt(P)

∂

∂t[(1− n)ρs

]dv +

∫∂ϕt(P)

[(1− n)ρs

]vs · n dv

=∫

ϕt(P)

{∂

∂t[(1− n)ρs

]+ div

[(1− n)ρsvs]} dv = 0

Per l’arbitrarieta di P e per il teorema di localizzazione, si ha quindi:

∂

∂t[(1− n)ρs

]+ div

[(1− n)ρsvs] = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (2)





Fase solida: forme Euleriane alternative

Forme alternative per il PCM della fase solida si ottengono osservandoche, dalla definizione di derivata materiale rispetto al moto del solido:

ddt (·) = ∂

∂t (·) + grad(·)[vs]

Pertanto, l’eq. (2) risulta equivalente a:

ddt[(1− n)ρs

]+ (1− n)ρs div vs = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (3)

oppure:

(1− n)ρs

dρsdt −

dndt + (1− n) div vs = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (4)





Fase solida: forma Lagrangiana

La forma Lagrangiana del PCM della fase solida si ottiene osservando chel’eq. (1) puo scriversi come:

dMsdt = d

dt

∫P

(1− n)ρs JdV =∫P

∂

∂t[(J − φ)ρs

]dV = 0

Per l’arbitrarieta di P e per il teorema di localizzazione, si ha quindi:

ddt[(J − φ)ρs

]= 0 ∀ (X , t) ∈ B × R (5)

Oppure:

ms := (J − φ)ρs = (1− n0)ρs0 =: ms0 = cost. ∀ (X , t) ∈ B × R(6)

dove ms e la massa solida per unita di volume nella configurazione diriferimento.





Principio di conservazione della massa del liquidoIl principio di conservazione della massa della fase liquida richiede che, perogni parte Pw del corpo Bw, e per ogni deformazione della fase liquida:

ϕw (Xw, t) = ϕw,t (Xw) : Bw × R 7→ St

risulti:

Mw(ϕw,t (Pw)) =∫

ϕw,t(Pw)nρw dv =

∫Pw

nρw JdV = cost. (7)





Fase liquida: forma Euleriana

La forma Euleriana del PCM della fase liquida si ottiene osservando chel’eq. (7) puo scriversi come:

dwMwdt = dw

dt

∫ϕw,t(Pw)

nρw dv

=∫

ϕw,t(Pw)

∂

∂t (nρw) dv +∫

∂ϕw,t(Pw)nρwvw · n dv

=∫

ϕw,t(Pw)

{∂

∂t (nρw) + div (nρwvw)}

dv = 0

Per l’arbitrarieta di Pw e per il teorema di localizzazione, si ha quindi:

∂

∂t (nρw) + div (nρwvw) = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (8)





Fase liquida: forme Euleriane alternative

Forme alternative per il PCM della fase liquida si ottengono osservandoche:

dw

dt (·) = ∂

∂t (·) + grad(·)[vw] ; dw

dt (·) = ddt (·) + grad(·)[vw − vs]

L’eq. (8) risulta equivalente a:

dw

dt (nρw) + nρw div vw = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (9)

oppure:

nρw

dwρwdt − dn

dt + n div vs + div v = 0 ∀x ∈ St = ϕt(B) (10)





Fase liquida: forma Lagrangiana (riferita a B)

La forma Lagrangiana del PCM della fase liquida, riferita allaconfigurazione di riferimento B dello scheletro solido, si ottiene a partiredalla eq. (9), osservando che:

0 = dw

dt (nρw) + nρw div vw

= ddt (nρw) + grad(nρw) · (vw − vs) + nρw div (vw − vs) + nρw div vs

= ddt (nρw) + div (m) + nρw div vs (11)

dovem := ρwv = nρw (vw − vs)






Siano:

M := JF−1m (trasformazione di Piola di m)mw := Jnρw = φρw (massa del liquido per unita di volume in B)

Osservando che:

div vs = 1J

dJdt ; d (nρw)

dt = 1J

dmwdt −

mwJ 2

dJdt ; div m = 1

J div M

L’eq. (11) si trasforma in:

dmwdt + div M = 0 ∀ (X , t) ∈ B × R (12)






dmwdt + div M = 0

∀ (X , t) ∈ B × R

Si noti che mw non rimanecostante in X ∈ B, perche leparticelle fluide che occupanoi pori della configurazione Bnon sono sempre le stesse.





Miscela bifase: forma EulerianaLa forma Euleriana del PCM della miscela bifase si ottiene sommando leeq. (2) e (8):

∂

∂t {(1− n)ρs + nρw} = div {(1− n)ρsvs + nρwvw}

Tale relazione puo essere posta nella stessa forma della equazione dicontinuita di un mezzo monofase:

∂ρ

∂t = div (ρ v) (13)

purche si introducano le seguenti grandezze:

ρ := (1− n)ρs + nρw = densita della miscela

v := 1ρ{(1− n)ρsvs + nρwvw} = velocita spaziale media della miscela





Miscela bifase: forma Euleriana alternativa

Una forma Euleriana alternativa e piu utile del PCM della miscela bifasesi ottiene sommando le eq. (4) e (10):

1− nρs

dρsdt + n

ρw

dwρwdt + div vs + div v = 0 (14)

Caso particolare:Se le fasi solida e liquida sono incompressibili e si e in regime di piccoledeformazioni:

ρs = cost. ; ρw = cost. ; div vs = ∂εv∂t

L’eq. (14) si riduce a:div v + ∂εv

∂t = 0





Miscela bifase: forma LagrangianaLa forma Lagrangiana del PCM della miscela bifase si ottiene sommandole eq. (6) e (12):

dmdt + div M = 0 ∀ (X , t) ∈ B × R (15)

dove:m := ms + mw = (J − φ)ρs + φρw

In alternativa:

dρ0

dt + div M = 0 ∀ (X , t) ∈ B × R (16)

dove:ρ0 := Jρ = J {(1− n)ρs + nρw}




Varianti del Teorema di Reynolds per la fase solida

TeoremaSiano ψ(x, t) : St × R 7→ R e ψ(x, t) : St × R 7→ V due campi spazialiregolari che rappresentano grandezze fisiche definite per unita di massadel solido.Per una qualunque parte Pt di St = ϕt(B) e ad ogni istante t, si ha:

ddt

∫Pt

(1− n)ρsψ dv =∫Pt

(1− n)ρsdψdt dv

ddt

∫Pt

(1− n)ρsψ dv =∫Pt

(1− n)ρsdψdt dv

DimostrazioneLa dimostrazione – lasciata come esercizio – segue dal teorema diReynolds e dal principio di conservazione della massa del solido.




Varianti del Teorema di Reynolds per la fase solida

TeoremaSiano ψ(x, t) : St × R 7→ R e ψ(x, t) : St × R 7→ V due campi spazialiregolari che rappresentano grandezze fisiche definite per unita di massadel liquido.Per una qualunque parte Pt di St = ϕt(B) e ad ogni istante t, si ha:

dw

dt

∫Pt

nρwψ dv =∫Pt

nρwdwψ

dt dv

dw

dt

∫Pt

nρwψ dv =∫Pt

nρwdwψ

dt dv

DimostrazioneLa dimostrazione – lasciata come esercizio – segue dal teorema diReynolds e dal principio di conservazione della massa del liquido.


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