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palmira-piccinini
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Lezione 4• Cenni di relatività speciale:
trasformazioni di Lorentz, invarianti di
Lorentz, variabili di Mandelstam, relazioni fondamentali: massa, impulso, energia
• Esercizi
• Sistema di riferimento del c.m. e laboratorio
Relatività speciale (cenni)
Perchè è necessaria la relatività speciale per descrivere le particelle elementari?
Perchè le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte, pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale
Perchè in genere le particelle quando vengono accelerate dagli acceleratori hanno velocità elevate (v ~ c). In tale situazione la meccanica classica non è più applicabile.
Einstein (1905): 1) le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in
tutti i sistemi di riferimento di Lorentz, cioè in moto relativo traslatorio
uniforme; 2) la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento.
Pertanto non solo le coordinate spaziali si modificano passando da un
S.R. all’altro, ma anche quelle temporali: t’ ≠ t poichè c’ = c: un lampo di
luce emesso allo stesso istante t0=t0’=0 dall’origine di S.R. e S.R.’ (O≡O’ a
t0=t0’=0), raggiungerà un punto P per i due osservatori a tempi diversi:
c2t2 = r2 = x2 + y2 + z2 per S.R.
c2t’2 = r’2 = x'2 + y’2 + z’2 per S.R.’La velocità della luce è la massima esistente in natura (pari a circa 300000 Km/s) Nessuna interazione è istantanea
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
Se il sistema di riferimento S.R.’ si muove parallelamente all’asse z di S.R. con velocità v= c, le coordinate rispetto a S.R.’ di un punto dello spazio-tempo sono legate a quelle rispetto a S.R. dalle trasformazioni di Lorentz:
z
c
β-tγt' βct)γ(z z' y y' x x'
Se differenziamo dx’, dy’ e dz’ e dt’ e ne facciamo i rapporti, che ci forniscono la velocità v0’del punto P nel sistema S.R.’:
c
v β e
β1
1 γ :dove
2
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
dt'
'rdv '
0
si ottengono le trasformate per le velocità, che nel caso particolare v0=c, forniscono c’=c.N.B. Nel caso particolare v<<c si ha ~0 ~1 e si ritrovano le trasformate di Galileo (in particolare l’uguaglianza tra i tempi nei due sistemi di riferimento: t’=t)
Le coordinate spazio-temporali di un punto possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore:
Il vettore x è chiamato “vettore controvariante” Il tensore metrico g cosi definito:
1000
0100
0010
0001
gg μνμν
consente di passare dal vettore controvariante al vettore “covariante” x: x= ( ct, -x, -y, -z)
x= ( ct, x, y, z ) x0 = ct x1 = x x2 = y x3 = z
1 se = 0 se ≠
dove: gg=
=
x = g x
QUADRIVETTORI
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
Le coordinate spazio-temporali del punto in un nuovo sistema che si muove con velocità bc rispetto al precedente sono legate a quelle nel vecchio sistema dalle trasformazioni di Lorentz, che possono essere cosi riscritte, adoperando una notazione matriciale:
x’= x
γ00βγ
0100
0010
βγ00γ
Λ νμ
c
v β
β1
1 γ
2
QUADRIVETTORI (continua)
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
QUADRIVETTORI (continua)Per definizione, un insieme A di quattro quantità che, nel passaggio tra due S.R. di Lorentz, si trasformi come x viene chiamato quadri-vettore. Anche l’energia e l’impulso formano un quadrivettore:
)βpγ(EE E)βγ(p 'p p 'p p 'p zzzyyxx '
Se il sistema di riferimento S.R. è quello in cui la particella è a riposo, avremo:
p= ( E/c, px, py, pz ) p’= p
px = 0 py = 0 pz = 0 E = m (m=massa a riposo)
In un sistema S.R.’ in moto con velocità –lungo z rispetto ad esso, la particella avrà il seguente quadrimpulso:
px’ = 0 py’ = 0 pz’ = m E’ = m
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
Ponendo c = 1, il quadrimpulso diventa: p= ( E, px, py, pz )
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua)
Anche le derivate temporale e spaziali possono formare un quadrivettore
covariante:
∂= ( 1/c ∂ ∂t , ) (c=1) ∂= ( ∂ ∂t , )
e il corrispondente controvariante sarà il vettore:
∂= ( ∂ ∂t , - )
Lo scalare di Lorentz è una quantità che rimane invariata per trasformazioni di Lorentz. Esso è ottenibile dal prodotto scalare tra due quadri-vettori:
A= ( A0, Ax, Ay, Az) B = ( B0, Bx, By, Bz)
A · B = AB = AB
= gAB=
= A0 B0
- Ax Bx - Ay By - Az Bz =
= A0 B0
- A B
INVARIANTI DI LORENTZ
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ
s2=xx= g xx= (ct)2 – r2 = 0
Quadrato del quadrivettore spazio-tempo di un evento situato in x
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
x=ctx=-ct
PASSATO
FUTURO
Ox
ct
Il cono luce delimitato dalle rette x=± ct rappresenta la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t=0, x=0) può andare nel futuro o dalla quale può essere provenuto dal passato.
Consideriamo due eventi nello spazio tempo x1 e x2
di cui facciamo il quadrato:
s122= c2 (t1 – t2)2 – ( r1 – r2 )2
Se ( r1 – r2 )2 = c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga alla velocità della luce, cioè tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto.
Se i due punti distano in modo tale che: ( r1 – r2 )2 > c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti non potranno mai essere collegati da un segnale, perchè questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, cioè tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto.
Se i due punti distano in modo tale che: ( r1 – r2 )2 < c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga a velocità inferiore a quella della luce, cioè tra di essi vi potrà essere una relazione di causa-effetto.
Essendo s12 uno scalare e quindi un invariante, il segno di tale quantità sarà lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e pertanto, se due eventi sono in relazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri.
Pertanto in qualunque sistema avremo:
Quadrato del quadri-impulso:
p2 = E2 – p2
Quadrato dell’operatore quadri-gradiente:
∂= ( ∂ ∂t , ) ∂= ( ∂ ∂t , - )
= ∂ ∂= ∂2/ ∂t2 - 2 DALAMBERTIANO
ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ (continua)
Essendo questa quantità un’invariante di Lorentz, possiamo calcolarla nel sistema di riferimento in cui la particella è in quiete, nel quale valgono le seguenti relazioni:
p = 0
E = m
p2 = E2 – p2 = m2
Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz
Relatività speciale - Cinematica
CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSO TOTALE
In un sistema di due (o più) particelle interagenti, le particelle prodotte nello stato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale.
1
2
3
4
n
n
1i
μi
μ2
μ1 ppp
= 0 conservazione dell’energia totale
= 1,2,3 conservazione delle tre componenti dell’impulso
2n43
221 )p...p(p)p(p
Relatività speciale - Cinematica
SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL LABORATORIO
È il sistema nel quale la particella bersaglio (2 ad es.) è a riposo e la particella proiettile è in movimento (1 ad es.):
)0;(mp)p;(Ep 2LAB2
LAB
1LAB1
LAB1
Supponiamo di avere solo due particelle uscenti (3 e 4). I loro quadrimpulsi:
2LAB4
LAB3
2LAB1
LAB1
LAB
4
LAB
3
LAB
1
LAB4
LAB32
LAB1
)p(p)p(p
ppp
ΕΕmΕ
)p;(Ep)p;(EpLAB
4LAB4
LAB4
LAB
3LAB3
LAB3
dovranno soddisfare alle relazioni:
Relatività speciale - Cinematica (continua)
SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA
È il sistema nel quale le particelle iniziali (e quindi anche finali) hanno impulso totale nullo. Pertanto le due particelle iniziali hanno tri-impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso:
21 EEEE 43
22
22
21
21 m)p(Εm)p(Ε
)p;(Ep)p(Ep 2211
;Le loro energie saranno invece diverse:
Le due particelle uscenti 3 e 4 dovranno avere quadrimpulsi ed energie:
)p;(Ep)p;(Ep 4433
''
che soddisfano alla seguente relazione:
24
24
23
23 m)p'(Εm)p'(Ε
Relatività speciale - Cinematica (continua)
INVARIANTI CINEMATICI
Per ovviare al problema dovuto al fatto che in ogni sistema di riferimento i quadrimpulsi e le relazioni cinematiche tra essi sono differenti, si possono introdurre delle quantità invarianti, che hanno lo stesso valore in ogni sistema.
Prendiamo la reazione 1+2 3+4
1
2
3
4
p1
p4
p3
p2
Relatività speciale - Cinematica (continua)
INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM
Le seguenti quantità sono invarianti cinematici (uguali in ogni S.R.):
s = ( p1 + p2)2 = ( p3 + p4)2
t = ( p1 - p3)2 = ( p2 - p4)2 VARIABILI DI MANDELSTAM
u = ( p1 - p4)2 = ( p2 - p3)2
p1
p2
p3
p4s
p1
p2
p3
p4
t
p1
p2
p3
p4
u
Relatività speciale - Cinematica (continua)
INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM
Nel sistema del CM avremo:
s = ( p1* + p2*)2 = ENERGIA TOTALE NEL C.M.
= (E1* + E2*)2 - ( p* - p*)2 = (E1* + E2*)2
s = ( p3* + p4*)2 = (E3* + E4*)2
Solo due di essi sono linearmente indipendenti in quanto essi sono legati dalla relazione:
s + t + u = (p1 + p2)2 + (p1 - p3)2 + (p1 + p4)2 =
= p1 2 + p2
2 + 2 p1 p2 + p1
2 + p3 2 - 2 p1 p3 + p1
2 + p4 2 - 2 p1 p4 =
= (p1 2 + p2
2 + p3 2 + p4
2) + 2 ( p1 ( p1 + p2 ) - p1 ( p3 + p4
)) =
ma: p1 + p2 = p3 + p4 s + t + u = m12+m2
2+m32+m4
2
ATTENZIONE DEVI AGGIUNGERE UNA TRASPARENZA LEZIONE 4_NEW 1 settimana
Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento all’altro. Questo è particolarmente evidente nel decadimento di una particella in volo. Se la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v decadrà rispetto all’osservatore del laboratorio con una vita media ’:
’ = Poichè > 1, ciò significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che ha = 2.2s. Se esso possiede un’energia di 50 GeV, la sua vita media misurata in laboratorio sarà: ’ = = E/ (mc2) = ×50 GeV/(0.106 GeV) = = 500 = 1100 s =1.1 ms
Relatività speciale- La dilatazione dei tempi
Due piccoli accorgimenti per fare dei calcoli:
1) ħc = hc/(2) = 1.055 10 -34 J s × 3 × 10 8 m s-1 =
~ 3. × 10 -26 J m
Come abbiamo visto prima:
1 eV = 1.602 × 10-19 J
=> 1 J = 1 eV / (1.602 × 10-19 ) = 0.624 × 1019 eV
Dunque:
ħc = 3. × 10 -26 J m = 3 × 10 -26 × 0.624 × 1019 eV m =
= 1.9 × 10 -7 eV m = 1.9 × 10 -7 × 10 -6 eV × 10 15 fm =
= 1.9 × 10 2 MeV fm ~ 200 MeV fm
N.B. 1fm = 10 -15 m
2) = e2 / ħc = 1/137 (costante di struttura fine adimensionale)
=> e2 = ħc a = 200 MeV fm 1/137 = 1.44 MeV fm
Esempio: Calcolare l’impulso di un pione avente un’energia cinetica di 200 MeV
T = E – m => E = T + m = 200 MeV + 135 MeV = 235 MeV Calcolare l’energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c
E = [p2 + m2]½ = [ 5 MeV2 + (938.56 MeV)2]½ =
= [ 25. MeV2 + 88. × 104 MeV2 ]½ ~ 9.39 × 102 MeV
T = E – m = 9.39 × 102 MeV - 938.56 MeV =
= 0.0133 MeV = 1.33 × 10-2 MeV
N.B. Poichè (pc)<< mc2 possiamo anche applicare la formula classica:
T = p2 / 2m = (5 MeV)2 / (2 × 938.56 MeV) =
= 25. MeV2/(1.877 × 103 MeV) = 1.33 × 10-2 MeV
Calcolare l’impulso di un kaone avente energia cinetica 1GeV
m = 493.6 MeV/c2
E = T + m = 1 GeV + 0.493 GeV = 1.493 GeV
E = [p2 + m2 ]1/2 p2 = E2 - m2 = (1.493 GeV)2 – (0.4936 GeV)2 =
= 2.229 GeV2 - 0.244 GeV2 = 1.985 GeV2
p = (1.985 GeV2 ) = 1.41 GeV/c