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Lezione 6Corso di Statistica
Francesco LagonaUniversità Roma Tre
F. Lagona ([email protected]) 1 / 12
Outline
1 Covarianza
2 la correlazione
3 trasformazioni lineari
Covarianza
distribuzioni bivariate quantitative
consideriamo la distribuzione unitaria bivariata di due variabili quantitativeunità 1 . . . i . . . n
X x1 . . . xi . . . xnY y1 . . . yi . . . yn
la rappresentazione grafica tipica di questa distribuzione è il diagramma adispersione
1 2 3 4 5
12
34
5
x
y
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Covarianza
la covarianza
medie: x = 1n∑n
i=1 xi y = 1n∑n
i=1 yi
varianze: s2x = 1
n−1∑n
i=1(xi − x)2 s2y = 1
n−1∑n
i=1(yi − y)2
la covarianza tra X e Y è data da
sxy = 1n − 1
codevianzan∑
i=1(xi − x)(yi − y)
si osservi che1n
n∑i=1
xiyi −1n
n∑i=1
x yi −1n
n∑i=1
xi y + 1n
n∑i=1
x y =
=1n
n∑i=1
xiyi − x y − y x + x y = 1n
n∑i=1
xiyi − x y
quindi (formula alternativa della covarianza):
sxy = nn − 1
(1n
n∑i=1
xiyi − x y)
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Covarianza
il segno della covarianza
−2 −1 0 1 2
−2
−1
01
2
x
y
IV quadrante I quadrante
II quadranteIII quadrante
nel I e nel III quadrante (xi − x)(yi − y) > 0nel II e nel IV quadrante (xi − x)(yi − y) < 0sxy ≥ 0 se
∑i∈IeIII(xi − x)(yi − y) >
∑i∈IIeIV (xi − x)(yi − y)
sxy ≤ 0 se∑
i∈IeIII(xi − x)(yi − y) <∑
i∈IIeIV (xi − x)(yi − y)
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Covarianza
covarianza: esempi
−2 0 2 4 6 8 10 12
−2
02
46
810
12
x
y
sxy=0
0 2 4 6 8 10 12
02
46
810
12
xy
sxy=0
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Covarianza
covarianza: esempi
1 2 3 4 5 6 7 8
12
34
56
78
x
y
sxy=0.5
1 2 3 4 5 6 7 8
12
34
56
78
x
y
sxy=0.9
2 4 6 8
24
68
x
y
sxy=−0.5
2 3 4 5 6 7 8
23
45
67
8
x
y
sxy=−0.9
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la correlazione
correlazione
la covarianza è limitata dal prodotto delle deviazioni standard
−sx sy ≤ sxy ≤ sx sy
se sxy = sx sy allora i punti sono allineati su una retta con pendenzapositivase sxy = −sx sy allora i punti sono allineati su una retta con pendenzanegativastandardizzando la covarianza si ottiene il coefficiente di correlazione
rxy = sxysx sy
che varia tra -1 e 1si ha anche
r = 1n − 1
n∑i=1
z-score(xi − xsx
)(yi − ysy
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trasformazioni lineari
la covarianza sotto trasformazioni lineari
se Z = a + bXallora
szy = nn − 1
(1n
n∑i=1
ziyi − z y)
= nn − 1
(1n
n∑i=1
(a + bxi )yi − (a + bx)y)
= nn − 1
(ay + b 1n
n∑i=1
xiyi − ay − bx y)
= nn − 1
(b(1n
n∑i=1
xiyi − x y))
=bsxy
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trasformazioni lineari
la correlazione sotto trasformazioni lineari
se Z = a + bXricordiamo che:
szy =bsxy
s2z =b2s2
x ⇒ sz = |b|sx
allora:
rzy = szyszsy
= bsxy|b|sx sy
={
rxy b > 0−rxy b < 0
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trasformazioni lineari
distribuzioni di frequenze
y1 y2 y3 totalex1 n11 n12 n13 n1·x2 n21 n22 n23 n2·x3 n31 n32 n33 n3·
n·1 n·2 n·3 n1 2 3 totale
0 2 3 1 62 1 4 2 74 0 2 5 7
3 9 8 20
sxy = nn − 1
(1n
H∑h=1
K∑k=1
xhyknhk − x y)
=2019
(120 (0 · 1 · 2 + 0 · 2 · 3 + . . . 4 · 3 · 5)− 2.1 · 2.25
)= 20
19 · 0.575 = 0.605
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trasformazioni lineari
correlazione
1 2 3 totale0 2 3 1 62 1 4 2 74 0 2 5 7
3 9 8 20
s2x =2.73⇒ sx = 1.65
s2y =0.52⇒ sy = 0.72
r = rxyrx ry
= 0.6051.65 · 0.72 = 0.51
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