Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Lezione 8Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche
Limiti
Esercizi
Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e determinare l’immagine delle funzioni dal grafico.
𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑓 𝑥 = 3𝑥+2
𝑓 𝑥 = log2 𝑥 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 = log2(𝑥 − 2)
• 𝑓 𝑥 = ቊ−2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
log 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 1𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0log 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0
• 𝑓 𝑥 = ቐ𝑒𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0
5𝑥 + 1
𝑠𝑒 𝑥 = 0𝑠𝑒 𝑥 < 0
Funzione logaritmica e funzione esponenziale
𝑓:𝑅 → 0, +∞𝑥 ↦ 2𝑥
𝑔: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥
Qual è il legame tra queste due funzioni?
Sono l’una l’inversa dell’altra
Funzione logaritmica e funzione esponenzialeIndicandole quindi con
𝑓:𝑅 → 0, +∞𝑥 ↦ 2𝑥
𝑓−1: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥
si ha:
• 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 => 𝑓 log2 𝑥 = 2log2 𝑥 = 𝑥
• 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥 => 𝑓−1 2𝑥 = log2(2𝑥) = 𝑥 ⋅ log2 2 = 𝑥
Proprietà delle funzioni esponenziali
𝑥1 < 𝑥2
𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)𝑥1 < 𝑥2
𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
Proprietà delle funzioni logaritmiche
𝑥1 < 𝑥2
𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)𝑥1 < 𝑥2
𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
Equazioni e disequazioni esponenziali
• 3𝑥 =1
9; 3𝑥 = 3−2; 𝑥 = −2
• 3𝑥 = 5; log3 3𝑥 = log3 5; 𝑥 ⋅ log3 3 = log3 5; 𝑥 = log3 5
• 3𝑥 < 5; log33𝑥 < log3 5; 𝑥 ⋅ log33 < log3 5; 𝑥 < log3 5
(perché la funzione log3𝑥 è crescente, avendo la base >1)
•1
3
𝑥< 5; log1
3
1
3
𝑥> log1
3
5; 𝑥 ⋅ log1
3
1
3> log1
3
5; 𝑥 > log1
3
5
(perché la funzione log1
3
𝑥 è decrescente, avendo la base <1)
Equazioni e disequazioni logaritmiche
• log3 𝑥 = 2; 𝑥 = 32
• log3 𝑥 > 1; log3𝑥 > log3 3; 𝑥 > 3
• log3 𝑥 < 2; log3 𝑥 < 2 ⋅ log33; log3𝑥 < log3 32; 𝑥 < 9
(perché la funzione log3 𝑥 è crescente, avendo la base >1)
• log1
3
𝑥 < 2; log1
3
𝑥 < 2 ⋅ log1
3
1
3; log1
3
𝑥 < log1
3
1
3
2; 𝑥 >
1
9
(perché la funzione log1
3
𝑥 è decrescente, avendo la base <1)
Esempi
• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = 2𝑥 assume il valore 8.
𝑓 𝑥 = 8; 2𝑥 = 8; 2𝑥 = 23; 𝑥 = 3.
• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = 2𝑥 è maggiore di 6.
𝑓 𝑥 > 6; 2𝑥 > 6; log2 2𝑥 > log2 6 ; 𝑥 ⋅ log2 2 > log2 6 ; 𝑥 > log2 6
• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = log1
2
𝑥 è positiva.
𝑓 𝑥 > 0; log1
2
𝑥 > 0; log1
2
𝑥 > log1
2
1; 𝑥 < 1
Problema 1
Supponiamo che 𝑞 𝑡 = 20 + 𝑒𝑡
5 sia la legge che descrive i quintali di rifiuti prodotti da un’azienda al variare del tempo 𝑡 misurato in mesi.
1. Dopo quanto tempo si saranno prodotti 80 quintali di rifiuti?
2. Dopo quanto tempo la quantità di rifiuti prodotti supererà i 400 quintali?
Sol:
1) 20 + 𝑒𝑡
5 = 80 ⇒ 𝑡 = 20,5 mesi
2) 20 + 𝑒𝑡
5 > 400 ⇒ 𝑡 > 29,7 mesi
Problema 2
Supponiamo che 𝑇 𝑡 = log2(𝑡 + 1) + 20 sia la legge che descrive la variazione di temperatura in un ambiente in un periodo di tempo 𝑡 ∈ 0,60 minuti.
1. Qual è la temperatura iniziale?
2. Dopo quanto tempo la temperatura supera i 22 gradi?
Sol:
1. 𝑇 0 = log2(0 + 1) + 20 = 20
2. log2(𝑡 + 1) + 20 > 22 ⇒ 𝑡 > 3
Limiti
L’operazione di limite per 𝒙 → ±∞
Definizione 1.
Si dice che il limite per 𝑥 che tende a +∞ della funzione 𝑓(𝑥) è +∞,
e si scrivelim
𝑥→+∞𝑓 𝑥 = + ∞
se ∀𝑀 > 0 ∃𝑘 > 0 tale che ∀𝑥 > 𝑘 si ha 𝑓 𝑥 > 𝑀.
Es. 𝑓 𝑥 = 2𝑥
L’operazione di limite per 𝒙 → ±∞
Definizione 2.
Si dice che il limite per 𝑥 che tende a +∞ della funzione 𝑓(𝑥) è 𝑙 ∈ 𝑅
lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝑙
se ∀𝜖 > 0 ∃𝑘 > 0 tale che ∀𝑥 > 𝑘 si ha 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜖.
Es. 𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
La retta di equazione 𝑦 = 𝑙 è un asintoto orizzontale per la funzione.
Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 ⇒
2. 𝑓 𝑥 = ቊ2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
⇒
3. 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
3 𝑠𝑒 𝑥 = 1⇒
1.
2.
3.
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) =?
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) =?
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = ∄ perché lim𝑥→0−
𝑓 𝑥 = 1 ≠ lim𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 2
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) =?
Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹
4. 𝑓 𝑥 =1
𝑥−1⇒ lim
𝑥→1𝑓 𝑥 =?
lim𝑥→1
𝑓 𝑥 = +∞
La retta 𝑥 = 1 è chiamata asintoto verticale della funzione
Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹
5. 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 lim𝑥→
𝜋2
tan 𝑥 =?
𝜋
2−
𝜋
2
lim𝑥→
𝜋
2
𝑓(𝑥) = ∄ perché
lim𝑥→
𝜋
2
− 𝑓 𝑥 = +∞ ≠ lim𝑥→
𝜋
2
+𝑓 𝑥 = −∞
La retta 𝑥 =𝜋
2è chiamata asintoto verticale della
funzione
𝜋
2−𝜋
2
Alcune definizioni
• Intorno di un punto 𝑥0 ∈ 𝑅: 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 , con 𝛿 > 0
• Intorno di +∞: (𝑀, +∞), con 𝑀 > 0
• Intorno di −∞: (−∞, 𝑀), con 𝑀 < 0
• 𝑥0 è un punto di accumulazione per l’insieme 𝐼 ⊆ 𝑅 se in ogni intorno di 𝑥0 esiste un punto di 𝐼 diverso da 𝑥0.
Esempi:
𝐼 = 𝑅 ∖ {0}, 𝑥0 = 0 è punto di accumulazione per 𝐼
Inoltre ogni 𝑥0 ∈ 𝐼 è punto di accumulazione per 𝐼.
𝐼 = (𝑎, 𝑏), 𝑥0 = 𝑎 è punto di accumulazione per 𝐼