Lezione 9 1

Equazioni differenziali di una rete

Lezione 9 2

Storia SPICE 1/2

• Simulatori numerici per soluzioniequazionidifferenziali reti elettriche

– ECAP prodotto dalla IBM

– CANCER sviluppato all’Università di California in Berkeley

Lezione 9 3

Storia SPICE 2/2

– SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) sviluppato all’Università di California in Berkeley

– SPICE2 evoluzione di SPICE

– SPICE3 prodotto come supporto aiprogrammi CAD sviluppati a Berkeley

Lezione 9 4

Versioni per grossi calcolatori

• Famiglia SPICE:

– versioni per grossi calcolatori:

• HSPICE della Meta-Software• IG-SPICE della A.B. Associates• I-SPICE della NCSS Time Sharing• PRECISE della Electronic Engineering Software• PSpice della Microsim

Lezione 9 5

Versioni per PC

• Famiglia SPICE:

– versioni per PC:

• ALLSPICE della Acotech• IS-SPICE della Intusoft• Z-SPICE della Z-Tech• SPICE-Plus della Analog Design Tools• PSpice della Microsim• WinSPICE della Ousetech

Lezione 9 6

Editori di SPICE 1/2

• Editori che si utilizzano per il programmaSPICE:

– Scrittura diretta NETLIST in file ASCII

– Disegno con editore grafico (schematics editor)

Lezione 9 7

Programmi in ambiente Windows scaricabili dalla retegratuitamente:

https://www.cadence.com/products/orcad/pages/downloads.aspxSi tratta pero' di un file di 924 MB!

versione 9.1 che funziona al Laib (solo 29 MB): http://www.electronics-lab.com/downloads/schematic/013/oppure sul CD accluso al libretto di M.Biey su PSpice.

• Disegno con editore grafico (schematics editor)- MicroCap Evaluation 9 (editore di circuiti)http://www.spectrum-soft.com/index.shtm

:

Lezione 9 8

Testi su SPICE

• Alcuni testi di riferimento:- V.Daniele ed altri: Elettrotecnica, cap.9, Monduzzi Editore, Bologna, 2005

– M.Biey: SPICE e PSPICE. CLUT Torino(Scrittura diretta NETLIST in file ASCII)

– R.Perfetti: Circuiti Elettrici. Zanichelli, Bologna, 2003(Disegno con editore grafico (schematics editor))

Lezione 9 9

Equazioni differenziali di una rete

Lezione 9 10

Svantaggi metodo nodi

• Il metodo dei nodi è alla base di SPICE e altri simulatori.

– svantaggio: dà luogo ad un sistema con un numero elevato di equazioni differenziali e algebriche.

– il sistema non si presenta in forma normale

Lezione 9 11

Vantaggi equazioni stato

• Il metodo dell’equazioni di stato è migliore da un punto di vista matematico

– le incognite sono le variabili di stato– noto lo stato, qualsiasi uscita si determina con

l’equazioni di uscita

Esempio 1/3

ingressi: e,a

variabili di stato : vC, il

uscite: v4,i1,i2

Esempio 2/3• sostituire condensatori con generatori di tensione• sostituire induttori con generatori di corrente

Esempio 3/3

• La sovrapposizione degli effetti dovuti ai generatoriequivalenti associati alle variabili di stato ed aigeneratori associati agli ingressi porge le equazioni:

CL

CL

C

vRR

iRR

ReRR

i

vRR

iRR

ReRR

i

aRRRRv

RRRv

2121

1

212

2121

2

211

43

43

43

44

11

11

+−

+−

+=

++

++

+=

++

+=

• Le equazioni precedenti definiscono le equazionidell’uscita delle rete considerata:

Lezione 9 12

Procedimento• Procedimento per dedurre le Equazioni

di stato di una rete non degenere:

– Esprimere le variabili coniugate allo stato in funzione degli ingressi e degli stati

– Esprimere le variabili coniugate con l’equazioni costitutive che le legano alle di variabili di stato

– Il confronto delle due espressioni consente di eliminare le variabili coniugate e scriverel’equazioni differenziali che collegano le variabili di stato alle variabili di ingresso

Lezione 9 13

Esempio 1/6

• Dedurre l’equazioni di stato della rete

• Ingressi: e, a• Variabili di stato: vC, il• Variabili coniugate: iC, vl

Lezione 9 14

Esempio 2/6

• Esprimere le variabili coniugate in funzionedegli ingressi e delle variabili di stato

Lezione 9 15

Esempio 3/6

• La sovrapposizione degli effetti porge:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1( ) || ( )C C L

L C L

R Ri v i e aR R R R R R R R R RR R R Rv v i e

R R R R R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

Lezione 9 16

Esempio 4/6

• Esprimere le variabili coniugate attraverso le relazioni costitutive che le legano alle variabilidi stato

,C LC L

dv dii C v Ldt dt

= =

• Confronto tra le due espressioni:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1( ) || ( )

CC L

LC L

dv R RC v i e adt R R R R R R R R R R

di R R R RL v i edt R R R R R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

Lezione 9 17

Esempio 5/6

• Equazioni di stato:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1( ) || ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

CC L

LC L

dv R Rv i e adt C R R R R C R R C R R C R R

di R R R Rv i edt L R R L R R L R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

Lezione 9 18

Esempio 6/6

• Forma matriciale dell’equazioni di stato:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

, , ,

1 1( ) || ( ) ( ) ( ) ( )

,0

( ) ( ) ( )

C

L

v ed x A x B s x si adt

R RC R R R R C R R C R R C R R

A BR R R R

L R R L R R L R R

= + = =

− −+ + + + +

= =−

+ + +

Lezione 9 19

Epressioni matriciali dell’equazioni di stato e delleequazioni di uscita:

d x A x B sdt

= +

y C x D s= +

equazioni di stato

equazioni di uscita

stat

o

ingr

esso

⇑ ⇑

usci

ta

⇑

Lezione 9 20

A, B, C , D: matrici strutturali che dipendono solo daiparametri della rete.

Proprieta’ importante:

Gli autovalori di A coincidono con i poli della rete.

Soluzione nel caso di A costante:

( ')

0( ) (0) ( ') '

tAt A t tx t e x e B s t dt−= + ∫⇑ ⇑

risposta a ingresso nullo risposta a stato iniziale nullo

Lezione 9 21

( ) [ (0) (0)] ( )Atp px t e x x x t= − +

Se l’ingresso e’ periodico s(t+T)=s(t), la soluzione puo’ essere riscritta:

dove xp(t) e’ il valore di regime (periodico) definito da:

( ')( ) ( ) ( ') 't A t t

p px t x t T e B s t dt−

−∞= + = ∫

Lezione 9 22

Esempio

Calcolo le grandezze coniugate ic1 e ic2 come uscite. Uso il metodo dei nodimodificando i lati C1 e C2 . Si hanno le tre equazioni ai nodi :

Lezione 9 23

Si hanno le seguenti equazioni dei due lati modificati:

Il sistema di cinque equazioni ha come incognite ic1, iC2, vo,,v3 e v4. Risolvendorispetto le due variabili coniugate ic1, ic2 e l’uscita vo, si ottengono l’equazionidi stato e l’equazione di uscita:

vo= −R1 R3vc2+R2HR3vc1+ R1Hvc2−viLLHR1+ R2L R3 HequazionediuscitaL

Equazioni di stato

Lezione 9 24

Forma matriciale:

d x A x B sdt

= + y C x D s= +

1

2

c

c

vx

v= is v=

B=ikjjjjjj − R2

C1HR1+R2L R3R2

C2HR1 R3+R2 R3Ly{zzzzzz

oy v= C= I− R2R1+R2 , − R1 R2+R1 R3HR1+R2L R3 M

D=R1 R2HR1+ R2L R3