Lezione 9 Modelli atomici. Francesco Adduci Fisica Atomica e Molecolare 2 Testo di riferimento Eisberg & Resnick Quantum Physics of Atoms, Molecules,

Lezione 9

Modelli atomiciModelli atomici

Francesco Adduci Fisica Atomica e Molecolare 2

Testo di riferimento

Eisberg & ResnickQuantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, ad Particles

CD lezione 9


Proprietà degli atomi

Sono elettricamente neutriContengono cariche positive e negativeSembrano essere multlipi dell’atomo di idrogenoEmettono ed assorbono luceSono stabili


Modelli Atomici

DemocritoLucrezioCartesioHuygensThompsonRutherfordBohrSommerfield


Joseph John Thompson

Joseph John Thomson Cheetham, Inghilterra1856Cambridge, Inghilterra 1940

Premio Nobel per la fisica 1906


Modello di Thompson

Modello Plum Pudding o “a panettone”Gli elettroni, cariche negative si muovono confinati in una sfera “diluita” di carica positiva.La stabilità di questo atomo è di qualche migliaio di anni.Gli elettroni oscillano di moto armonico


Rutherford

Lord Ernest Rutherford Nelson, Nuova Zelanda, 1871

Cambridge, Inghilterra, 1937

Premio Nobel per la chimica 1908


Rutherford Scattering



Rutherford propose lo scattering di particelle su un foglio di oro

Geiger e Marsden realizzarono l’esperimento nel 1909




Modello“a panettone”

Failure ( too small)

-electrons+ sphere



b1

b2

2

Hyperbolic path

+Ze


Success (large possible)


Lo scattering avviene a causa della forza di repulsione coulombiana FE tra le particelle a incidenti e I nuclei nel metallo.

b = parametro d’impatto (minima distanza, b q)

s = b2 = sezione d’urto dello scattering

Modello “Nucleare”


L’atomo di Rutherford

Il diametro del nucleo deve essere dell’ordine di 10-15 m, mentre il diametro dell’intero atomo si sa essere dell’ordine di 10-10 m

In pratica l’atomo non è altro che una pallina vuota al 99.9999999999%

Modello “planetario”


Rutherford scattering

v = velocitàb = parametro d’impattoEsempio 4-3: mostrare che v = v’ e b = b’.

2

1 1sin cos 1

( ) 2

D

r b b

2

20

1

4 / 2

zZeD

Mv

Usando la meccanica quantistica e assumendo una forza repulsiva coulombiana(vedi App. E):

con

D è la minima distanza dal nucleo in una collisione dove b = 0 and = 180° (distanza alla quale l’energia potenziale è uguale all’energia cinetica iniziale). Quando la particella si muove verso r dopo l’interazione, j 180° - q , quindi:

2

1 10 lim sin cos 1

2r

D

r b b sin cos 1

2

D

b sin 2cos sin

2 2

2cos 2cos 12

22cos sin 2cos

2 2 2 2

D

b

ma

e quindi2

cot2

b

D

Si consideri il passagio di una particella di carica +ze e massa M vicino a un Nucleo di carica +Ze.


La dipendenza di da b è chiara da

Considerando l’impatto tra b e b + db, l’angolo di scattering si trova tra e + d

Rutherford scatteringEsempio 4-4: Valutare R, la distanza tra la particella e il nucleo nel punto di minimo

Quindi, il problema è equivalente al problema di calcolare il numero di particelle che incidono con parametro d’impatto tra b e b + db.

2cot

2

b

D

2 22

2 40

1 2 sin( )

4 2 sin / 2

zZe I t dN d

Mv

dove I è il numero di particelle incidenti su un foglio di spessore t contenente nuclei per cm3.

Si trova che


Instabilità dell’atomo di Rutherford


Niels Henrik David Bohr

Niels Henrik David Bohr Copenhagen, Danimarca 1885 Copenhagen, Danimarca 1962

Premio Nobel per la fisica1922


Atomo di Bohr

Il moto dell’elettrone attorno al nucleo è dovuto esclusivamente alla forza coulombiana.

Le orbite possibili sono esclusivamente quelle in cui il momento angolare è un multiplo intero di ћ (ћ = h/2

Un elettrone che si muove in una di queste orbite non irradia (nonostante sia soggetto ad un’accelerazione)

L’emissione o l’assorbimento di radiazione avviene esclusivamente quando un elettrone passa da un’orbita ad un’altra.

2 2

20

1

4

mv ZeF

r r

n nmv r n

i fhc

h E E


2 2 22 2

0 0 04 4 4n n nn n

n nZe mv r mr

mr mr

2 2 2

0 1 02 24 4n

nr r

mZe mZe

Quantizzazione del raggio dell’orbita

2

0

1

4n

Zev

n

Quantizzazione della velocità orbitale

Dai primi due postulati si ha:

Z=1 r1 = a0 = 0.529 Å raggio di Bohr

v1 = 2.19* 10-6 m/sec velocità dell’elettrone nella prima orbita

Atomo di Bohr


2

20

1( ) ,

4

ZeF r

r

2

0

1( ) ( ') '

4r

ZeV r F r dr

r

2

2

0

1/ 2

8

ZeK mv

r

2

08

ZeE V K K

r

Ricordando che

2 2 4

2 2 20 0

1

8 2(4 )nn

Ze mZ eE

r n

2 2

0 24n

nr

mZe

Atomo di Bohr


Atomo di Bohr


Correzioni per masse nucleari finite

Abbiamo assunto che la massa del nucleo sia infinitamente grande rispetto a quella dell’elettrone.Poichè la massa del protone non è infinita, e - e p si muovono intorno al proprio centro di massa.

Il momento angolare totale dell’atomo è quantizzato, quindi

vr n

22 2

1 11/ ,M

f i

R Zn n

M

MR R R

m M m

dove

mM

m M


Risultati modello di Bohr

2 2 40

2 2 2 20

0

2 2

13.60 eV

n

wke mk eE

n a n n

w

2 22

02

0 0.5 Å

nr n a

mkea


Modello di Sommerfeld

Arnold Sommerfeld

Königsberg, Germania 1868 Monaco, Germania 1951


Per spiegare la struttura fine che si evidenziava negli spettri dell’atomo di H, Sommerfeld ipotizzò che le orbite fossero ellittiche e non circolari come nell’ipotesi di Bohr.Applicando la meccanica classica l’ipotesi di quantizzazione di Bohr fu generalizzata con due condizioni:

Ld n h r rp dr n hLa prima condizione evidentemente coincide con quella di Bohr per le orbite circolari

L n La seconda condizione porta invece alla relazione:

( / 1)L a b n a e b semiassi dell’ellisse

Modello di Sommerfeld


22 2 2 40

2 2 20

4 1

4 2

n n Z ea b a E

Ze n n

n = 1, 2, 3, … nr = 0, 1, 2, 3, … n

massa ridotta dell’elettrone

n numero quantico rnnn

n è detto numero quantico principalen è detto numero quantico azimutale

Il modello di Sommerfeld


Tenendo anche conto di correzioni relativistiche Sommerfeld arrivò all’espressione:

nnn

Z

n

eZEn 4

311

1

)4(2

22

2220

42

2

0

1

4 137

e

c

α = costante di struttura fine dove

Il modello di Sommerfeld


Spettri atomici

La radiazione elettromagnetica emessa da atomi liberi è concentrata in un numero di lunghezze d’onda discrete


Spettri atomiciNel 1885, Balmer scoprì che lo spettro dell’idrogeno era costituito da linee colorate.

Trovò una formula empirica per calcolare le lunghezze d’onda discrete corrispondenti a quelle linee

Trovò una formula generalizzara da Rydberg per tutti gli atomi ad un solo elettrone.

2 2

1 1 1

2HRn

7 11.097 10 m costante di RydbergHR

3,4,5,...n


Spettri atomici

Serie di Lyman(ultraviolet)

Serie di Balmer

(visible)

Lyman Balmer Paschenn = 1

n = 2

n = 3 Serie diPaschen

(IR)

E1 = -13.6 eV

E = 0 eV

2

1

nnE

En

erg

y


2 2

1 1 1

f i

i fn n finale iniziale

R con n nn n

7 12 2

12

12

1 1 1 3(1.097 10 )

1 2 4

121.6 Ultravioletto

R m

nm

Spettri Atomici

Costante di Rydberg

R ~ 1.097 × 107 m-1 nfinale =

1. Lyman2. Balmer 3. Paschen4. Brackett5. Pfund

• Per es da n = 2 a n =1

Per l’atomo di Idrogeno:


Spettri Atomici

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 1 Lyman ultravioletto

1

1 1 1 Balmer visibile

2

1 1 1 Paschen infrarosso

3

1 1 1 Brackett lontano infrarosso

4

1 1 1 Pfund

5

Rn

Rn

Rn

Rn

Rn

microonde


Hanno collaborato alla riuscita di questa lezione

Max Planck (1858-1947)Erwin Schrodinger (1887-1961) Enrico Fermi (1901-1954)Louis Victor de Broglie (1892-1987)Wolfgang Pauli (1900-1958)Werner Heisenberg (1901-1976)Robert Andrews Millikan (1868-1953)Albert Einstein (1879-1955)

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