Lezione Algebra Lineare

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  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    1/47

    Elementi di Algebra Lineare

    SW, appendice 18.1

    Johnston, cap. 4 (5.1-5.3)

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    2

    Elementi di Algebra Matriciale(richiami)

    definizione di matrice

    matrice quadrata, diagonale, identit,triangolare, simmetrica

    matrice trasposta

    principali operazioni su matrici e vettori:somma, sottrazione, prodotto

    determinante e matrice inversa rango di una matrice

    forme quadratiche e matrici definite positive

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    DEFINIZIONE DI MATRICE

    Matrice: insieme composto da elementi ordinati in m righe

    e n colonne

    A =(m x n)

    aij= elemento genericodella matrice

    Ogni elemento aij individuato

    dallindice di riga ie dallindicedi colonnaj.

    i = 1, 2, mj = 1, 2, n

    La matriceA = A(m x n)= [aij] di dimensioni m, numero di

    righe, per n, numero di colonne.

    Nellindicare lordine di una matrice, il numero delle righe precede

    sempre il numero delle colonne

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    ... ... ... ...

    am1 am2 ... amn

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    vettore RIGA semplicemente una matrice con solo una

    rigam = 1

    A= [a11, a12, , a1n](1 x n)

    DUE CASI LIMITE

    vettore COLONNA semplicemente una matrice con solouna colonnan = 1

    a11

    a21A=

    (m x 1)

    am1

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    MATRICE QUADRATA

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    an1 an2 ... ann

    A =(n x n)

    M = N

    per i = j gli elementi aii (per i = 1, 2, . . . , n) si diconoelementi diagonali o appartenenti alla diagonale principale diA

    per i j gli elementi aij si dicono elementi extradiagonale

    una matrice con un uguale numero di righe e di colonne

    In questo caso,Asi dice quadrata di ordine N.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    MATRICE DIAGONALE

    a11 0 ... 0

    0 a22 ... 0... ... ... ...

    0 0 ... ann

    A =(n x n)

    per i = j aii 0 per i = 1, 2, . . . , n

    per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n

    una matrice quadrata con gli elementi diagonali diversi da

    zero e gli elementi extradiagonali nulli

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    7

    MATRICE IDENTITA o UNITA

    1 0 ... 0

    0 1 ... 0

    ... ... ... ...

    0 0 ... 1

    I =(n x n)

    per i = j aii = 1 per i = 1, 2, . . . , n

    per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n

    una matrice quadrata , generalmente indicata con la

    letteraI, con gli elementi diagonali uguali a 1 e gli elementiextradiagonali nulli.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    MATRICE TRIANGOLARE

    a11 a12 ... a1n

    0 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    0 0 ... annU =(n x n)

    una matrice quadrata con gli elementi della diagonale

    principale e quelli sopra/sotto la diagonale non nulli

    L =(n x n)

    a11 0 ... 0

    a21 a22 ... 0

    ... ... ... ...

    an1 an2 ... ann

    U si dice

    triangolare superiore

    L si dicetriangolare inferiore

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    MATRICE SIMMETRICA

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    an1 an2 ... ann

    A =(n x n)

    aij= aji per i, j = 1, 2, , n

    una matrice quadrata con gli elementi simmetrici

    rispetto alla diagonale principale uguali

    Ogni matrice diagonale simmetrica, in quanto tutti glielementi all'esterno della diagonale principale sono nulli.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    MATRICE TRASPOSTA

    A =(m x n)

    Data una matrice A, la matrice B = A (o AT) i cui

    elementi sono bij = aji per i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n si

    dice matrice trasposta della matrice A

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    ... ... ... ...

    ... ... ... ...

    am1 am2 ... amn

    B =(n x m)

    a11 a21 ... am1

    a12 a22 ... am2

    ... ... ... ...

    ... ... ... ...

    a1n a2n ... amn

    si dice trasposta di una matrice, la matrice ottenuta

    scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PROPRIETA DELLOPERAZIONE DI

    TRASPOZIONE

    loperazione di trasposizione applicabile qualsiasi siano ledimensioni della matrice (sia rettangolare che quadrata)

    seAha dimensioni 1 x n alloraA n x 1il trasposto diun vettore riga un vettore colonna (e viceversa)

    seA una matrice simmetrica A =A la trasposta di una matrice trasposta uguale alla matrice

    originaria (A) =A

    trasposta di una somma di matrici (A + B) =A + B

    trasposta di un prodotto di matrici (AB) = BA e, per

    estensione, (ABC) = CBA

    per qualsiasiA,A=AA=AA

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    12

    UGUAGLIANZA DI DUE MATRICI

    Due matrici,Ae B, si dicono UGUALI se

    aij= bij per ogni i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n.

    Quindi loperazione di uguaglianza tra due matrici

    richiede che esse siano delle stesso ordine, in altri

    termini che abbiano le stesse dimensioni, m x n.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    13

    LOPERAZIONE DI ADDIZIONE

    La somma di due o pi matrici definita se e solo se tutte

    le matrici hanno lo stesso ordine devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.

    a11 a12

    a21 a22

    b11 b21

    b12 b22

    Definiamo due matrici (quadrate, ma non necessario),

    Ae B entrambe di dimensioni 2 x 2, e calcoliamo lamatrice C sommandoAe B

    C = A + B = + =

    c11=a11+b11 c12=a12+b12

    c21=a21+b21 c22=a22+b22

    La matrice C ottenuta semplicemente sommando glielementi corrispondentidelle matriciAe B

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PROPRIETA DELLOPERATORE

    ADDIZIONE

    1. proprietASSOCIATIVAA + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

    2. propriet COMMUTATIVA

    A + B = B + A

    3. esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto allasomma data la matriceA, esiste una matrice 0 dellestesse dimensioni diA, detta matrice nulla, tale che

    A + 0 = A

    4. esistenza dellOPPOSTO per ogni matriceA,esiste una matrice -A, detta matrice opposta, talecheA + (-A) = 0. La matrice -Asi ottiene cambiandoordinatamente di segno gli elementi diA.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    LOPERAZIONE DI SOTTRAZIONE

    La sottrazione di due o pi matrici definita se e solo se tutte

    le matrici hanno lo stesso ordine

    devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.

    a11 a12

    a21 a22

    b11 b12

    b21 b22

    Utilizziamo le matrici definite nella slide precedente,Ae B di

    dimensioni 2 x 2, e otteniamo la matrice D sottraendo B adA

    D = A - B = - =d11=a11-b11 d12=a12-b12

    d21=a21-b21 d22=a22-b22

    Come per la somma, la matrice D ottenuta semplicementesottraendo agli elementi diAgli elementi corrispondentidi B

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PRODOTTO TRA VETTORI / 1

    PRODOTTO INTERNO o SCALARE:

    dati due vettori colonnaAe B entrambi(n x 1), si definisceprodotto interno o scalare, che si indica conA B, il prodotto

    Il risultato del prodotto interno quindi uno scalare.

    Il prodotto interno o scalare gode della propriet

    commutativa: nel nostro esempio,A B = B A

    A B a11 a12 ... a1N

    b11

    b12

    ...

    bN1

    a11b11 a12b12 ...a1NbN1

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PRODOTTO TRA VETTORI / 2

    PRODOTTO ESTERNO:

    dati due vettori colonnaAe B entrambi(N x 1), si definisceprodotto esterno, che si indica conA B, il prodotto

    Il risultato del prodotto esterno quindi una matrice.

    Il prodotto esterno nongode della propriet commutativa:

    nel nostro esempio,A B B A

    A B

    a11

    a21

    ...

    aN1

    b11

    b12

    ... b1N

    a11

    b11

    a11

    b12

    ... a11

    b1N

    a21b11 a21b12 ... a21b1N

    ... ... ... ...

    aN1b11 aN1b12 ... aN1b1N

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    18

    PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNOSCALARE

    Dato un numero reale k (detto scalare) ed una matriceA,

    si definisce prodotto della matriceAper lo scalare k

    la matrice B = k Ail cui generico elemento k aij

    B kAka11

    a12

    a21

    a22

    b11

    k a11

    b12

    k a12

    b21

    k a21

    b22

    k a22

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PROPRIETA DEL PRODOTTO DI UNA

    MATRICE PER UNO SCALARE

    (k + h) A = k A + h A

    k (A + B) = k A + k B

    (kh) A = k (h A)

    1 A = A

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PRODOTTO TRA MATRICI / 1

    SiaAuna matrice m x ne B una matrice n x k, si definisceprodotto tra le matriciAe B la matrice C = A B che ha

    tante righe quante sono le righe diAm tante colonne quante sono le colonne di B k

    la matrice prodotto C = A B una matrice m x k

    IMPORTANTE: per calcolare il prodotto tra due matrici

    esse devono avere gli indici di dimensione interniuguali[m xn] e [n x k]

    In questo caso, le due matrici si dicono CONFORMI o

    DI ORDINE APPROPRIATO

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    Il generico elemento della matrice prodotto C,cij, ottenutodalla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di

    Aper i corrispondenti elementi dellaj-esima colonna di B

    PRODOTTO TRA MATRICI / 2

    lelemento di posizione ijdi C uguale al prodotto interno

    della riga idella matriceAe della colonnajdella matrice B

    Il prodotto tra matrici detto anche prodotto riga per colonna

    cij aikbkjk1

    N

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    ESEMPIO DI PRODOTTO TRA MATRICI

    ESEMPIO NUMERICO

    23

    2232123132

    2222122122

    2212121112

    2132113131

    2122112121

    2112111111

    22

    2221

    1211

    23

    32

    22

    12

    31

    21

    11

    babac

    babac

    babac

    babac

    babac

    babac

    bb

    bb

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    22

    23

    32

    126115104968574

    123112101938271

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    654

    321

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA MATRICI

    il prodotto tra matrici non gode della propriet commutativalordine nel quale le matrici sono moltiplicate importanteA B B A

    A B indica cheApost-moltiplicata per B oequivalentemente che B pre-moltiplicata perA

    nel casoAsia m x n e B n x k il prodottoA B esiste,

    mentre B Aesiste solo se k = m

    anche nel caso in cui k = m, A B B A

    se due matrici sono quadrate e dello stesso ordine si pu

    eseguire sia il prodottoA B che il prodotto B Aottenendo

    una matrice quadrata dello stesso ordine (anche in questo

    caso per il prodotto non in generale commutativo).

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA

    MATRICI QUADRATE

    proprietASSOCIATIVA: A (B C) = (A B) C

    propriet DISTRIBUTIVA: A (B + C) = (A B) + (A C)

    esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto al prodotto

    A I = I A = A dove I la matrice identit

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    PRODOTTO DI KRONECKER

    Siano date due matriciAdi ordine (n x m) e B di ordine (p x q)

    il prodotto di Kronecker definito come

    Ogni elemento della matrice A moltiplicato per tutti glielementi della matrice B la matrice risultante hadimensioni (np x mq)

    BaBa

    BaBa

    BA

    NMN

    M

    1

    111

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    26

    PROPRIETA DEL PRODOTTO DI KRONECKER

    1. proprietASSOCIATIVA

    A (B + C) =AB +AC (se B e C sonoconformabili alla somma)

    (k A)B =A (kB) = k (AB) con k scalare

    (AB)C =A (BC)

    2. PRODOTTO MISTO: se A, B, C e D sono matrici tali

    che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e

    tra B e D esiste anche (AB) (CD) e vale che

    (AB) (CD) = (A C) (B D)

    3. INVERSIONE:AB invertibile se e solo se lo sono

    anche A e B e linversa data da (AB)-1 = A-1B-1

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    POTENZA DI UNA MATRICE

    Definizione: Ar = AAA A (r volte)

    Propriet:

    1. A0 = I

    2. Ar+s = Ar + As

    3. (A r)s = Ars

    Matrice IDEMPOTENTE A2 = A

    Matrice IDEMPOTENTE di ORDINE r Ar = A

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    TRACCIA DI UNA MATRICE

    Data una matrice quadrataAdi dimensioni n x n, si

    definisce traccia la somma dei suoi elementi diagonali

    tr(A) = a11 + a22 + a33+ + ann

    Propriet:

    1. data una matrice A tr(A) = tr(A)

    2. date due matrici A e B quadrate dello stesso ordine e due

    scalari h e k tr(hA+kB) = htr(A)+ktr(B)3. date due matriciA(n x m) e B (m x n)

    tr(AB) = tr(BA)

    tr(AA) = tr(AA)

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    29

    DETERMINANTE / 1

    Ad ogni matrice quadrata n x n si associa uno scalare detto

    determinante, indicato generalmente con det(A) o |A|.

    Nel caso pi semplice di una matrice quadrataA(2 x 2) il

    determinante dato da

    det(A) = a11a22 a12a21

    cio dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulladiagonale principale e quello degli elementi sulla diagonale

    secondaria.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    30

    DETERMINANTE / 2

    Nel caso di matrici di ordine superiore, il determinante si

    ottiene sommando i prodotti degli elementi di una riga o diuna colonna qualsiasi della matrice per i rispettivi cofattori

    nel caso di una matrice di ordine (3 x 3), considerando la

    prima riga della matrice si ha

    det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

    dove Cij = (-1)i+j Mij detto cofattore o minore segnato

    Mij il determinante (chiamato minore)della sottomatrice

    ottenuta dalla matriceAeliminando la riga i-esima e la

    colonnaj-esima.

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    31

    DETERMINANTE / 3

    data

    A a11 a12 a13a21 a22 a23

    a31

    a32

    a33

    detA a11C11 a12C12 a13C13

    C11

    1 11 deta22 a23

    a32 a33

    a22a33 a32a23

    C12

    1 12deta21 a23a31

    a33

    a22a33 a32a23

    C13

    1 13deta21 a22a31 a32

    a21a32 a31a22

    detA a11 a22a33 a32a23 a12 a22a33 a32a23 a13 a21a32 a31a22

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    32

    DETERMINANTE / 4: REGOLA DI SARRUS

    Data una matrice quadrataA(3 x 3)

    il suo determinante pu essere calcolato facilmente ricorrendo

    alla regola di Sarrus (dal nome del matematico francese PierreFrederic Sarrus)

    Il det(A) la somma deglielementi sulle 3 diagonali

    principali meno la sommadegli elementi sulle 3diagonali secondarie

    A

    a11

    a12

    a13

    a21 a22 a23

    a31

    a32

    a33

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    33/47

    33

    DETERMINANTE / 5

    In generale, considerando la riga i-esima il deterimante

    det(A) = jaij Cij

    Se il determinante di una matrice non nullo,

    la matrice detta non singolare

    Se il determinante di una matrice nullo,la matrice detta singolare

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    34

    PROPRIETA DEL DETERMINANTE

    1. il determinante di una matrice triangolare superiore,

    inferiore o diagonale pari al prodotto degli elementi sulla

    diagonale principale

    2. il determinante di una matrice identit pari a 1

    3. data una matriceA, det(A) = det(A)

    4. se una matrice ha una riga/colonna di elementi tutti nulli, il

    determinante sar nullo

    5. se si scambiano due righe/colonne inA, cambia il segno del

    determinante diA

    6. moltiplicando per una costante k ogni elemento di una

    riga/colonna diA, il det(A) che ne risulta pari a kdet(A)7. data una matriceAe uno scalare k, det(kA) = kndet(A)

    8. date due matriciAe B, det(A+B) det(A) + det(B)

    9. date due matriciAe B, det(AB) = det(A) det(B)

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    35

    MATRICE INVERSA

    Linversa di una matrice quadrataA una matriceA-1 chepre- o post-moltiplicata perAproduce la matrice identit

    AA-1 = A-1A = I

    Condizione necessaria e sufficiente perch la matriceA

    abbia linversa cheAsia non singolare, ossia che

    det(A) 0

    Linversa diAsi ottiene da:

    dove adj(A) la matrice aggiunta della matriceA

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    36

    MATRICE AGGIUNTA

    La matrice aggiunta della matriceA la matrice trasposta

    della matrice dei cofattori.

    dove Cij = (-1)i+j Mij rappresenta il cofattore definito

    qualche lucido fa

    NNNN

    N

    N

    T

    NNNN

    N

    N

    CCC

    CCC

    CCC

    CCC

    CCC

    CCC

    Aadj

    21

    22212

    12111

    21

    22221

    11211

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    37/47

    37

    MATRICE INVERSA: ESEMPIO NUMERICO

    Data la matrice quadrataA(2 x 2)

    calcoliamo i quattro cofattori

    quindi laggiunta diA

    ed infine linversa,A-1

    A 1 2

    3 4

    C11 4; C12 3; C21 2; C22 1

    adj A 4 32 1

    T

    4 2

    3 1

    A1

    1

    46

    4 2

    3 1

    0,54 2

    3 1

    2 1

    1,5 0,5

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    38

    LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2)

    Data una matriceA(2 x 2) come nella slide precedente,

    linversa pu essere calcolata con pochi semplici passaggi:

    1. calcolo del determinante (differenza tra il prodotto degli

    elementi sulla diagonale principale e quelli sulla

    diagonale secondaria)

    2. inversione di posto tra gli elementi sulla diagonale

    principale, a11 e a22

    3. cambio di segno degli elementi sulla diagonale

    secondaria, a12 e a21

    4. divisione di ogni elemento per il determinante

    Attenzione: questa procedura per il calcolo dellamatrice inversa valida solo per le matrici (2 x 2)

    LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    39

    L INVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /Esempio

    a11

    a12

    a21 a22

    1

    1

    a11a22 a12a21

    a22

    a12

    a21 a11

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    40

    PROPRIETA DELLINVERSA

    se esiste,A-1 unica

    (AB)-1 = B-1A-1

    (A-1)-1 = A

    (A)-1 = (A-1)

    det(A-1) = 1/det(A)

    seA una matrice ortogonale (ovveroAA = I) allora

    A= A-1

    seA una matrice diagonale,A-1 una matricediagonale di elementi aii

    -1, per ogni i =1, 2, , N

    seA una matrice simmetrica, lo anche la sua inversa

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    41

    DIPENDENZA e INDIPENDENZA LINEARE

    Dati due vettori X1 e X2, essi si dicono linearmente indipendenti

    se e solo se lunica soluzione di

    data da1 =2 = 0. Non possibile quindi esprimere

    nessuno dei duevettori come combinazione lineare dellaltro

    In generale, datip vettori, si dice che essi sono linearmentedipendentise possibile determinarep costanti non tuttenulle tali che

    In tal caso, almeno uno dei vettoriXi combinazione lineare

    degli altri.

    1X1 2X2 0

    02211

    ppXXX

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    42

    RANGO DI UNA MATRICE / 1

    DEFINIZIONE #1

    data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango di

    colonna il numero massimo di vettori colonna linearmente

    indipendenti contenuti nella matrice

    analogamente, si definisce rango di riga il numeromassimo di vettori riga linearmente indipendenti

    il rango di riga e il rango di colonna coincidono

    Si ha quindi che 0 rango(A) min(n,p)

    Se: rango(A) = n si dice cheAha rango pieno di riga

    rango(A) =p si dice cheAha rango pieno di colonna

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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    43

    RANGO DI UNA MATRICE / 2

    DEFINIZIONE #2

    data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango

    della matrice lordine massimo dei minori non nulli

    in altre parole, il rango di una matriceA lordine

    massimo delle sottomatrici inAcontenute a determinante

    non nullo

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    44/47

    44

    PROPRIETA DEL RANGO

    1. rango(A) = rango(A)

    2. rango(AA) = rango(A)

    3. seA una matrice quadrata e non singolare

    rango(A) = rango(A-1

    )4. seAha rango pieno di colonna e B ha rango pieno di riga

    rango(AB) = min (rango(A), rango(B))

    5. rango(A+B) rango(A) + rango(B)6. se una matrice quadrataAdi ordineN idempotente

    (ovvero,A2 = A) rango(IN A) =N rango(A)

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    45/47

    45

    FORME QUADRATICHE

    Se: A una matrice quadrata di ordine (N x N) e

    X un vettore colonna (N x 1)

    il prodotto XAX prende il nome di forma quadratica

    Possiamo distinguere 4 diversi casi:

    1. se XAX > 0 A definita positiva

    2. se XAX 0 A semidefinita positiva

    3. se XAX < 0 A definita negativa

    4. se XAX 0 A semidefinita negativa

    Alcuni esempi importanti

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    46/47

    Supponiamo che e

    In questo caso,

    Il vettore

    ha dimensione K.

    46

    iKiii

    xxx 21

    x

    p p

    Kbbb 21b

    x

    ib

    b1 b2xi2 ...

    bKxiKcon

    xi1 1

    N

    iiiK

    N

    iii

    N

    iii

    N

    iii

    yx

    yx

    yx

    y

    1

    1

    2

    1

    1

    1

    xyX

    L t i i t i

  • 7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

    47/47

    La matrice simmetrica

    ha dimensione KK e contiene somme di quadrati e47

    N

    iiK

    N

    iiKi

    N

    iiKi

    N

    iiiK

    N

    ii

    N

    iii

    N

    iiiK

    N

    iii

    N

    ii

    iKii

    N

    i

    iK

    i

    i

    N

    iii

    xxxxx

    xxxxx

    xxxxx

    xxx

    x

    x

    x

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    21

    11

    112

    1

    2

    1

    21

    1

    2

    1

    1

    xxXX