Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICAAnno Accademico 2014/2015

- Lezione N.1 -

Prof. Ing. Renato RICCI

Il fluido come GAS

Il moto di un fluido allo stato gassoso, posto allinterno di un recipiente, vienedescritto come un moto disordinato di molecole che in condizioni particolari (GASIDEALE) non si scontrano mai lun laltra. In tali condizioni la TEMPERATURA rappresentata dallenergia cinetica traslazionale delle molecole e la PRESSIONEdalla variazione della quantit di moto delle molecole sulla superficie. Ad alcunamolecola consentito avere energia cinetica rotazionale o vibrazionale per cui unaumento di energia interna di tipo sensibile porta ad un aumento di velocittraslazionale, ci porta ad un aumento di temperatura e, se le distanze dapercorrere per le molecole rimangono invariate, anche la pressione aumenter.Tutto questo ci che lequazione di stato del gas ideale ha provato a descriverein forma semplice identificando in poche PROPRIETA il moto complesso dellesingole molecole.

p R T

Il gas come CONTINUOLa propriet DENSITA richiede che si definisca un volume di fluido entro il quale la stessapossa esistere, cade cio lidea di un fluido come singole molecole indipendenti ed a questaviene sostituita una visione in cui le molecole sono omogeneamente diffuse, cos chequalunque sia la dimensione del volume di riferimento il numero di molecole per unit divolume, DENSITA, non cambi.Se per il volume diventa molto piccolo, di dimensioni paragonabili alle molecole stesse, unasua variazione potrebbe cambiare il valore delle densit; se infatti il volume fosse appena pigrande di una molecola, ma inferiore a 2 molecole, una sua variazione in tale range farebbe siche la densit stessa varierebbe. E cos indispensabile prendere una porzione minima divolume che non modifichi il valore di densit del fluido, nel caso dell ARIA il volumeelementare minimo a pressione atmosferica pari a 10-9 [mm3]Qualora il cammino libero medio delle molecole, llm, fosse sufficientemente grande, maggioredi 10-7 m come nei gas rarefatti, non possiamo pi parlare del fluido come CONTINUO mavederlo come un vero e proprio insieme di molecole indipendenti. Il numero di Knudsenpermette di identificare quelle situazioni in cui il fluido si comporta come un gas rarefatto:

L = dimensione caratteristica del problemacontinuoFluidoLlK lmn 1

Il gas in condizioni idrostatiche

z

dpp dzdz

p

0dpp dz dx dy p dx dy g dx dy dzdz

dp g dz

p R T

dp g dzp RT

Qualora il gas si trovi in condizioni idrostatiche la definizione di pressione data in precedenza non pisufficiente e ad essa deve necessariamente aggiungersi il contributo gravitazionale fornito dal fluidocircostante il volume.

Bilancio termico del fluido in quieteQuando il nostro volume elementare viene visto nel contesto del fluido circostante oltre albilancio delle forze necessario valutare il bilancio dellenergia. In assenza di gradienti bariciorizzontali ed in condizioni NEUTRE latmosfera non presenta movimenti importanti se nonlungo la direzione verticale al terreno, dove la turbolenza porta ad un continuo rimescolamentofra i diversi strati che la compongono. I volumetti elementari che formano il CONTINUO simuovono attraversando strati a diversa temperatura; poich lo spostamento avviene in tempimolto pi brevi di quello con il quale il calore fluisce da un volumetto allaltro pensabileassumere la trasformazione termodinamica come ADIABATICA reversibile.

z

Q=0

0dpT dS dh

pdpc dT

che unita alla

dp g dz porta per laria secca a:

0.01 [ / ]p

dT g C mdz c

Il gradiente termico verticale scende a 0.0065 [C/m] in atmosfera standard e a circa 0.005 [C/m] in condizioni di aria satura

Gradienti termici verticali

Fluido Incomprimibile

,pf p T

R T

v vT T

u u udu dT d c dT d c dTT

ph u

Fluido Comprimibile GAS IDEALE

pp T T

h h hdh dT dp c dT dpT p p

2 2vdp p dp pdh du d c dT d

Fluido Incomprimibile costante

p vT

h dpc dT dp c dTp

p vc c c In un fluido Incomprimibile lepropriet meccaniche non sonolegate a quelle termiche

ViscositUna volta che il fluido stato individuato come un insieme di volumetti elementari e ne sono statedefinite le PROPRIETA meccaniche (densit e pressione) e termiche (temperatura, energia interna) dibase mettiamo in moto il sistema e vediamo come i diversi volumetti devono interagire per garantire,anche durante il moto, che linsieme si comporti come CONTINUO. Qualora la corrente fluida non fosseUNIFORME, ossia la velocit di avanzamento di un volumetto diversa da quella degli altri che locircondano, si ha che il flusso di quantit di moto attraverso i confini di ogni volumetto rappresenta

xy

z

Velocit

linterazione fra gli stessi; i volumetti pi lentirallenteranno quelli pi veloci e viceversa: taleinterazione viene individuata come unaPROPRIETA di nome VISCOSITA.Per rapportare il fenomeno al concetto dicontinuo non possiamo guardare il flusso dimolecole attraverso il volume di controllo ed ivolumetti vengono visti come elementideformabili che interagiscono con attrito; glisforzi tangenziali presenti sulle superfici deivolumetti saranno cos determinati dallaVISCOSITA e dalla VELOCITA diDEFORMAZIONE degli stessi.

Propriet dellARIA STANDARDA

ltitu

dine

(x

103fo

ot)

P0 = 2116.2 [lb/ft3]= 101325 [Pa]

Relative kinematic viscosity

Viscosit Cinematica

La viscosit cinematica una propriet che indica lacapacit di un fluido diseguire la curvatura di unasuperficie senza produrregrandi irregolarit eturbolenza nel motoprincipale. Laria presentauna viscosit cinematicacirca 13 volte maggiore diquella dellacqua, diconseguenza ha maggioriprobabilit di successo nelseguire la curvatura dellasuperficie da essa lambita.

5 2

6 2

1.46 10 [ / ]

1.14 10 [ / ]aria

acqua

m s

m s

Velocit di deformazione angolare

Dx

Dy

x

y

uu dyy

vv dxx

v

uu

v

1

2

11 vv x v tx x

DJ2 = -1

Dy u+ u

y Dy

- u

Dt

Velocit di deformazione

t xy = m g xy = m vx

+ uy

Sforzo TangenzialeQuando la viscosit non varia al variare della velocit di deformazione il fluido viene dettoNEWTONIANO; qualora la viscosit aumenti allaumentare della velocit di deformazionesiamo in presenza di un Fluido Dilatante (Thick Fluid) come, ad esempio, lolio per motori.Un fluido che diminuisce la sua viscosit allaumentare della velocit di deformazione vieneinvece indicato come Pseudoplastico (Thin Fluid) . Oltre a ci i fluidi non newtoniani, anchese sottoposti ad una velocit di deformazione costante, tendono nel tempo a variare la lororesistenza alla deformazione. Se con il passare del tempo la tensione tangenziale diminuisceil fluido viene chiamato Tixotropico, come ad esempio la vernice.

Istante tistante t+Dt

g xy =DJ1Dt

-DJ2Dt

=vx

+uy

Rotazionalit e velocit angolare

Moto irrotazionale

Moto rotazionale

uu dyy

vv dxx

v

u1

2

1 21 12 2z

v ut t x y

w = 1

2

V

Velocit Angolare1 12 2

1 12 21 12 2

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

u u v u wx y x z x

v u v v wx y y z y

w u w v wx z y z z

Tensore della velocit di deformazione

2ij ij Tensore degli sforzi viscosi per un fluido newtoniano incomprimibile

Traiettoria e Linea di CorrenteInseriamo un corpo aerodinamico allinterno di unagalleria del vento, sottoponiamolo ad un flussouniforme di aria ed immaginiamo di poter seguireistante per istante il percorso di alcuni volumettielementari di fluido lungo la propria traiettoria .Le linee individuate da ognuna delle particelle altrascorrere del tempo (ossia le traiettorie) sonochiamate PATHLINES , esse si modificano nel tempo,e nello spazio, nel senso che fissato un punto neldominio ogni particella che passer in quel punto avruna traiettoria diversa da qualunque altra.Se il campo di moto fosse STAZIONARIO ragionevolepensare che, diversamente dal caso precedente,fissato un punto nello spazio tutte le particelle chepassano per il punto seguiranno la stessa traiettoria,cos che una foto del campo di moto presa ad undeterminato istante di tempo fornir dello stesso unarappresentazione completa.Se, fissato un istante di tempo, potessimo visualizzarei vettori di velocit dei volumetti elementari edunissimo con delle linee continue, TANGENTI ai vettoristessi, i diversi volumetti otterremmo delle Linee diCorrente, in gergo STREAMLINES. Il flusso di massaattraverso tali linee NULLO per cui il volume dispazio compreso fra 2 linee di flusso viene identificatocome TUBO DI FLUSSO.In condizioni STAZIONARIE le STREAMLINEScoincidono con le PATHLINES

Streaklines e Timelines

TIMELINES sulla superficie esterna di un profilo alare

Per visualizzare le pathlines indispensabileche vengano immessi dei traccianti allinternodel flusso fluido; ci pu essere fattoimmettendo del fumo, dellinchiostro o delleparticelle in sospensione, a seconda dellatecnica sperimentale e del fluido oggetto distudio. Ci che lo sperimentatore vedrsaranno un insieme di linee create dallacolorazione di tutte quelle particelle che hannoattraversato, in tempi diversi, i punti di rilasciodel colorante: in realt non saranno cosvisualizzate delle pathlines ma quelle che ingergo vengono chiamate STREAKLINES.In condizioni STAZIONARIE le STREAKLINEScoincidono con le PATHLINES.Un modo diverso per avere informazioni sulcampo di moto locale quello di coloraresolo una linea di fluido e creare unasovrapposizione fotografica, ad intervallicostanti di tempo, dellevoluzione della linea; sigenera cos quella che viene chiamataTIMELINE e che consente di determinarelocalmente il campo di moto. In alcuni casi,misurando lo spostamento delle particelle econoscendo lintervallo di tempo fraunesposizione fotografica e la successiva, possibile risalire alla velocit delle stesseparticelle. Una tecnica sperimentale molto diffusa quella in cui la colorazione avviene mediante il rilascio di Bolle di Idrogeno.

Flusso InviscidoQuando un fluido viscoso interagisce con un corpoleffetto della viscosit si esprime come unazionesuperficiale che induce un gradiente di velocit inprossimit del contorno del corpo (STRATO LIMITE) eduna resistenza di attrito superficiale (SFORZO VISCOSO).Nei problemi di Aerodinamica in genere lo spazioriservato al fluido enormemente pi grande di quellooccupato dal corpo cos che si pu parlare di FlussoEsterno, in tal caso la porzione di fluido in cui leffettodella Viscosit tangibile risulta piccola, cos dasembrare inesistente ad un osservatore lontano ; in talicondizioni anche in un fluido viscoso lecito assumerelesistenza di due macroaree: una prima, la maggiore, incui il fluido pu essere considerato INVISCIDO(equazione di Eulero) ed unaltra, quella posta inprossimit della superficie del corpo, dove il fluido VISCOSO (Equazione di Navier-Stokes).Questa semplificazione estremamente utile inAerodinamica perch la soluzione di un campo di motoinviscido semplice e consente la determinazione delcampo di pressione attorno al corpo; in caso Stazionariole linee di corrente consentono direttamentelindividuazione della zona Inviscida del fluido.

Qualora venisse utilizzato del fumo per tracciare il flussofluido, nellarea dove il flusso risente delleffetto dellaviscosit le particelle di fumo risultano disperse.

Profilo alare soggetto ad un flusso inviscido

Profilo alare soggetto ad un flusso viscoso

Strato Limitesullestradosso

Strato LimitesullIntradosso

Corpo bernoulliano equivalente (Displacement Thickness)Quando lo strato limite sottile, che corrisponde a flussi ad alti numeri di Reynolds in condizionilontane dalla Separazione, le linee di corrente sono molto simili a quelle di un flusso inviscido attornoallo stesso oggetto. Analizzando in maggior dettaglio il campo di moto come se le linee di correnteprossime alla superficie fossero traslate di una piccola quantit verso lesterno della stessa.

*

0 0

1 1u udy dyV V

V

0.99 V

u

*y

V

*y

In tali condizioni il flusso reale pu essere approssimato ad un flussoinviscido attorno ad un corpo equivalente, di dimensioni maggiori di quelloreale, che offra la stessa distribuzione di linee di corrente. A questo puntosi tratta di valutare come modificare il corpo reale e secondo quale logica.La tecnica pi diffusa si basa sullindividuazione di una quantit chiamataDisplacement Thickness - *

Poich la presenza dello strato limite induceuna riduzione di portata massica in prossimitdella superficie il Displacement Thickness ladistanza dal corpo solido a cui dovrebbe essereportata la superficie affinch in un flussoinviscido si arrivi alla stessa portata massica delflusso reale.

* 1.72 0.35Rex

x

*

1/70.02 0.125(Re )x

x

Lastra Piana - Laminare Lastra Piana - Turbolento

Equazione di Eulero in coordinate streamlines

R

R

n

s

dn

ds

Linea di corrente

g

2p dnp ds dxn

2p dnp ds dxn

2p ds

p dn dxs

2p dsp dn dxs

z

y

x

b

V =V ( s ;t ) =

VS (t )

Lungo una linea di corrente lavelocit di un volumettoelementare data da:

S SS

V VdV ds dts t

S S SS S

dV V VV adt s t

che per Flussi STAZIONARI diventa:

SS S

Va Vs

1 12 2

Sa dsdndx

p pp ds p ds dndxs s

g sen dsdndx

SS

V pV g sens s

2

1 12 2

cos

Sn

Va dsdndx dsdndxR

p pp ds p ds dndxn n

g dsdndx

2

cosSV p gR n

s

sn

n

n

s

Le 2 equazioni di Eulero sono state ottenute applicando la seconda legge di Newton al volumetto elementare in moto in un flusso INVISCIDO

e STAZIONARIO. Qualora il fluido oggetto di studio fosse ARIA le forze di massa possono essere ritenute trascurabili rispetto a quelle di

pressione, le equazioni di Eulero possono cos essere semplificate nelle:

Riflessioni sulle equazioni di Eulero in coordinatestreamlines

2

0 ;S SSV Vp pVs s n R

Lequazione lungo s- ci dice che laccelerazione del fluido funzione solo del gradiente di pressione lungo la stessa linea di flusso; la

seconda afferma invece che la pressione diminuisce mano a mano che ci si avvicina al centro di curvatura della linea di corrente. Nel caso

del profilo alare riportato in figura si avr che sullestradosso la pressione sar inferiore a quella del fluido indisturbato mentre

nellintradosso si avranno 2 zone: quella prossima al naso, in depressione, e quella vicina alla concavit di coda che risulta in pressione.

p

p

p p

p p

estradosso

intradosso

p p

p p

Equazione di Bernoulli in coordinate streamlinesDalle equazioni di Eulero in coordinate Streamlines si pu giungere allequazione di Bernoulli ipotizzando che il fluido oltre che inviscido sia ancheINCOMPRIMIBILE (FLUIDO IDEALE); in questo caso possiamo integrare lungo una qualsiasi linea di corrente lequazione di Eulero ottenendo:

22 2210 ( ) 0 costante

2 2 2 2

B B B

A A A

S S SS SB A

S S B A B A SS S S

V VV VpV ds ds d V p p p p ps s

Linea di corrente - 1

Linea di corrente - 2

A

BA

B

2

12B

BV p C

2

12A

AV p C

2

22B

BV p C

2

22A

AV p C

1 2C C

Da quanto sopra riportato emerge come la somma della pressione statica e della pressione cinematica sia costante lungo ogni linea di corrente; bisognaper sottolineare che la costante varia da una linea di corrente alla successiva. Ci deve suscitare una certa cautela alluso incondizionato dellequazionedi Bernoulli che diventa generale, ossia estendibile a tutte le linee di corrente, solo in FLUSSI IRROTAZIONALI; in questo caso la costante la stessa pertutte le linee di corrente e lequazione pu essere applicata non solo lungo una di esse ma anche ATTRAVERSO le stesse.Un esempio calzante quello di un FLUSSO UNIFORME, in questo caso le linee di corrente sono tutte rettilinee e parallele fra di loro; essendo rettilinee illoro raggio di curvatura sar infinito e, dallequazione di Eulero lungo n-, il gradiente di pressione in direzione normale al moto sar nullo. In questo casotutti i punti su di una sezione ortogonale al moto avranno la stessa pressione e, per lequazione di Bernoulli, avranno anche la stessa velocit: la sommadelle pressioni statiche e cinematiche sar cos identica lungo qualunque linea di corrente.

2

0SVpn R