MAT 0412: Análise de Textos Didáticos

Álgebra

Habilidades desenvolvidas BNCC:

● EF06MA14 Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao

adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas

● EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma

quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Prof. David Pires Dias Caroline Lays Morresque, n° USP 9298805

Roberta Stoppe, nº USP 8943406

Novembro de 2019

Capítulo: Álgebra

“As matemáticas têm invenções sutilíssimas e servirão de muito, não apenas para satisfazer os curiosos como para tornar mais fáceis todas as artes e diminuir o trabalhos dos homens.”

René Descartes

Neste capítulo aprenderemos sobre a relação de igualdade matemática, além de aprender a resolvê-la e aplicá-la, vamos estudar razão e proporção.

Sobre a invenção da álgebra

Da mesma maneira que acontece com a história da matemática em geral, a origem da álgebra se encontra nas antigas civilizações da Babilônia e do Egito. Estes foram os primeiros lugares que puderam resolver as equações quadráticas e lineares, além das equações indeterminadas por múltiplas incógnitas (no caso dos babilônios). Para muitos estudiosos, o matemático Alexandrino Diofanto é considerado o pai da

álgebra. Ele uniu a tradição egípcia e babilônica ampliando e melhorando-a em seu livro “As Aritméticas”, da qual apresenta muitas soluções para as equações indeterminadas que ainda até hoje são surpreendentes. A partir daí o estudo da álgebra chegou ao mundo islâmico, terminando de aprimorar o

que chamavam de ciência da redução, impulsionando definitivamente a álgebra como parte essencial dos estudos matemáticos. A constatação definitiva destes avanços se consolidaria a partir do momento que os

matemáticos árabes desenvolveram conceitos fundamentais da álgebra moderna como os binômios e os polinômios.

1

Antes de existirem objetos eletrônicos, eram utilizadas apenas balanças como as das imagens abaixo. Você já viu algum objeto desses? Onde?

Conversando com seus colegas, tentem entender como a balança funciona (como ela é usada para medir a massa dos objetos). É importante, aqui, que os alunos percebam que ocorre

uma comparação entre as massas dos dois lados, de forma que buscamos equilibrar os dois pratos igualando

as massas. Optamos por deixar que os alunos apresentem suas hipóteses antes de explicar o funcionamento para permitir que eles possam especular, articulando seus conhecimentos anteriores. No texto abaixo existem mais informações sobre esse instrumento.

A balança é um dos instrumento de medida mais antigos que se conhece, foi inventada no Egito e tem sido utilizada pelo homem há aproximadamente 7 mil anos. As primeiras balanças tinham um simples travessão com um eixo central, tendo em cada extremidade um prato.

Em um desses pratos se coloca uma peça de peso padrão, e no outro se colocava o objeto que se deseja pesar. Quando se consegue o equilíbrio do travessão, podemos conhecer o peso relativo do objeto.

Explique, no seu caderno e com as suas palavras, o funcionamento da balança de pratos.

2

Observe a ilustração abaixo, de uma parte da mitologia egípcia, onde os deuses julgam

os mortos sobre sua entrada nos reinos de luz. Nessa história, é possível perceber como a balança já era, naquela época, um objeto conhecido e utilizado em diversos ambientes.

“À direita está o falecido, o coração dele está no pequeno jarro do lado direito da balança. Thoth anota os resultados. No lado esquerdo da balança está a Deusa Ma'at, a Deusa da Verdade ou da Justiça. Anúbis garante que as escamas sejam verdadeiras e Osiris, na forma de Hórus, senta-se para julgar os resultados”.

Julgamento Egípcio e a balança O Livro dos Mortos dos egípcios foi produzido em rolos de papiro, os quais eram

envolvidos em pedaços do material de que eram feitas as múmias. Este livro continha principalmente preceitos místicos e histórias que falavam sobre o destino dos que morriam.

3

Nas primeiras dinastias, apenas os reis egípcios tinham acesso direto aos reinos de luz, simbolizados pelo sol, deus Rá, divindade de muita importância no Egito. Mas nem mesmo eles poderiam entrar no reino sagrado sem passar por um julgamento, durante o qual deveriam apresentar provas da justiça praticada na terra.

Depois, a honra da sobrevivência pós-morte foi permitida também aos trabalhadores mais importantes da corte; enfim, a imortalidade tornou-se um dom de todos, mas a presença no tribunal de Osíris continuou sendo obrigatória para qualquer pessoa.

Na frente de Osíris, o morto deve reproduzir um discurso conhecido como Confissão Negativa, no qual ele nega ter cometido todos os males diante dos quais o Homem está sujeito a sucumbir.

É possível encontrar em algumas ilustrações do Livro dos Mortos a imagem de Osíris em seu trono, na frente do morto, colocando seu coração sobre um dos pratos da balança da justiça, enquanto no outros prato, encontra-se a Verdade. O fruto desta comparação é revelado pelo deus Toth, responsável por registrar. As almas mentirosas são punidas, enquanto as verdadeiras são recompensadas com a permissão para entrar no reino sagrado.

As balanças de pratos também eram muito usadas no comércio, para a compra de

alimentos a granel, por exemplo. Hoje em dia, por exemplo numa feira livre, são usadas em geral balanças digitais. Abaixo alguns exemplos da utilização da balança de pratos na quantificação de alimentos, sejam para comércio como para realização de uma receita.

4

Agora, pensando o que você viu até aqui, observe a imagem abaixo. Na imagem existe uma balança equilibrada, do lado direito existe no total 1,5kg, e do lado esquerdo, duas latas de peixe.

Qual a massa de cada lata de peixe? Como você descobriu isso? Escreva no seu

caderno. Na balança abaixo, em que esta está em equilíbrio, foram colocados do lado direito uma

massa de 13kg, e do lado esquerdo tem dois pedaços de queijo e uma massa de 6kg.

Discutam, em duplas, como descobrir a massa de cada queijo. Explique no seu caderno,

fazendo um texto ou esquema.

Uma resposta possível para o problema anterior é essa: Para descobrir a massa do queijo, podemos comparar os dois lados da balança. Sabemos que a soma das massas de cada um dos lados tem que ser a mesma:

5

queijo + queijo + 6kg = 13kg Posso tirar 6kg de cada lado, e fica assim:

queijo + queijo = 7kg

Bom, dois queijos são 7kg, então cada queijo tem 3,5kg.

Outra forma de representar pode ser fazendo um esquema como esse:

1 2

3

4

Descubra a altura das caixas sem identificação, sabemos que são caixas iguais.

6

Qual a massa desse objeto sem identificação?

Para resolver esses problemas e outros mais complexos, podemos recorrer à Álgebra.

O que é álgebra?

Álgebra é a parte da matemática que estuda as variáveis que representam números nas expressões, estudando resolução de equações

É o ramo da Matemática que tem como objetivo resolver problemas nos quais as grandezas envolvidas não são conhecidas. Para isso, faz uso de expressões envolvendo variáveis, as quais representam os valores numéricos que se deseja conhecer.

Variáveis: um símbolo (geralmente, uma letra minúscula do nosso alfabeto) que

tem como função representar um número. Uma variável também pode ser chamada de incógnita, ou seja “aquilo que não se conhece”.

Expressões: conjunto de números e operações que devem ser realizados numa certa ordem, como .3 )2 + ( + 7 * 4

Equações: são expressões que envolvem incógnitas e uma igualdade

No primeiro caso, em que temos as latas de peixe: Quero escrever, com símbolos matemáticos, sobre a relação entre as massas na balança abaixo. Como não sei o quanto vale a lata, podemos escolher uma letra para representar essa

quantidade, vamos escolher L, que é a nossa incógnita Como a balança está equilibrada, podemos dizer que a soma das massas dos dois lados

é igual.

7

Vamos utilizar o sinal de igual (=) pois as quantidades dos dois lados da equação são

equivalentes.

Na equação acima, o L é a incógnita, queremos descobrir seu valor. A partir daí, queremos resolver a equação. Para isso, vamos isolar a incógnita, ou seja, queremos

escrever uma equação do tipo:

L = 🔺, onde o triângulo é o valor de L.

Para isolar a incógnita, vamos utilizar técnicas semelhantes às que você usava para resolver expressões numéricas e outras propriedades algébricas, como vamos relembrar a seguir.

Relembrar algumas propriedades dos números

Para aplicar pensando em operar com incógnitas

(valores desconhecidos)

1

A multiplicação é a soma de parcelas iguais, por exemplo

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 * 2

3 + 3 = 3*2

Então, se tivermos uma soma de incógnitas, podemos

transformar numa multiplicação L + L = L*2

x + x + x + x = x*4

2

Tanto a multiplicação como a soma podem ser feitos em qualquer ordem, por exemplo

5 + 3 = 8 e 3 + 5 = 8 2 * 6 = 6 * 2 = 12

Então, com incógnitas x + 2 = 2 + x L*4 = 4 * L

8

Usando essas duas ideias, sabemos que L + L pode ser escrito como L*2, ou ainda, 2*L. Então 2L=1,5 (2 latas tem massa igual a 1,5 kg). O que podemos fazer para conseguir resolver essa equação 2L=1,5?

Como escreveríamos esse raciocínio usando os símbolos matemáticos? Discuta com sua turma:

L , kg 2 = 1 5 , 5kg 50gL = 2

1,5 = 0 7 = 7

No caso da pilha de caixas, como podemos utilizar álgebra para resolver? Veja na imagem abaixo, a altura que quero descobrir, chamei de “z”, e vamos considerar tudo em centímetros para elaborar a equação.

Quero escrever, com símbolos matemáticos, sobre a relação entre os tamanhos

das pilhas acima.

Como as duas pilhas tem o mesmo tamanho, podemos igualar:

00z + z + z = z + 1

Pela linha 1 da tabela, sabemos que: .z 003 = z + 1

9

A primeira coisa que precisamos fazer para descobrir o valor da incógnita é deixar

os “z” de apenas um lado da igualdade. , posso representar como um equilíbrio de um balança como abaixo:z 003 = z + 1

Perceba que a balança irá permanecer em equilíbrio se retirarmos um de cada lado (abaixo, à esquerda). Em termos dos símbolos algébricos (à direita), a retirada significa subtrair z (fazer “- z”) dos dois lados da igualdade.

Agora, falta pouco para descobrirmos a altura da caixa (o valor de z). Temos que z 002 = 1

Da mesma forma que no caso da massa das latas, aqui podemos pensar que metade das caixas terá metade da altura.

Em termos da operação com a equação, podemos resumir essa resolução assim:

10

00z + z + z = z + 1 z 003 = z + 1

z 003 − z = z + 1 − z z 002 = 1

22z = 2

100 0z = 5

Discuta com seus colegas sobre a solução apresentada no quadro acima, e tentem, juntos, resolver as equações e x 24 + 1 = 8 h2 + 3 = 4

Depois, preencham o quadro abaixo conforme o exemplo, para as equações citadas acima, explicando os passos seguidos para a resolução. Explique por que é necessário realizar a mesma operação nos dois lados da equação.

Equação O que fazer com ela

00 z + z + z = z + 1 Juntei as letras iguais 

z 00 3 = z + 1 Subtraí z dos dois lados 

z 00 3 − z = z + 1 − z Fiz as subtrações 

z 00 2 = 1 Dividi os dois lados por dois 

22z = 2

100 Fiz as divisões 

0 z = 5 Resultado final 

Soluções de x 24 + 1 = 8 e h2 + 3 = 4

: subtraí 12 dos dois ladosx 24 + 1 = 8 : opereix 2 2 24 + 1 − 1 = 8 − 1

:dividi por 4 e opereix −4 = 4 −x = 1

: subtraí 3 dos dois ladosh2 + 3 = 4 : opereih2 + 3 − 3 = 4 − 3

: dividi por 2h2 = 1 h = 2

1

11

Até aqui esperamos que tenha ficado evidente que:

É necessário realizar a mesma operação dos dois lados da equação para que a igualdade permaneça.

Na analogia com uma balança equilibrada, só é possível garantir o equilíbrio

colocando ou tirando o mesmo peso dos dois pratos.

Desafio

Vamos descobrir as massas de cada bloco abaixo, sabendo que cada um dos

símbolos tem massa 1 quilo. Tente fazer sozinho, primeiro, considerando o que você aprendeu até agora.

Resolução do desafio:

Vamos resolver esse problema por partes. Vamos descrever o que existe em cada balança, quais massas estão se equilibrando (a soma das massas em cada prato é igual). As letras A, B, C e D são as nossas incógnitas aqui, pois não sabemos seu valor e é o que queremos descobrir.

Primeira balança: D se equilibra com 6

Segunda balança: B e D se equilibram com 9

Terceira balança: D se equilibra com A e 1 Quarta balança: A se equilibra com B e C Agora, queremos escrever essas frases em forma de equações, veja como podemos relacionar cada parte da frase em forma de equação:

12

Primeira balança:

Frase D se equilibra 6

Equação D = 6* 1 (quilo) Assim, temos . Ou seja, a caixa D tem massa 6 kgkgD = 6 * 1 = 6 Da mesma forma, podemos fazer com as outras balanças: Segunda balança:

Frase B e D se equilibra

9

Equação B + D = 9* 1 (quilo) Ficamos com kgB + D = 9 * 1 = 9

Perceba que já descobrimos (pela primeira balança) que D = 6kg, então podemos dizer que:

quer dizer o mesmo que D 9B + = B + 6 = 9 Então eu posso dizer que :

B + 6 − 6 = 9 − 6 kgB = 3

Terceira balança:

Frase D se equilibra com

A e

Equação D = A + 1 Temos que : D = A + 1 Já vimos que D tem 6 kg, então podemos fazer:

D = A + 1 ⇒ 6 = A + 1

Que podemos resolver fazendo: 6 − 1 = A + 1 − 1

5 = A Ou seja, A tem massa 5 kg:

13

Quarta balança:

Frase A se equilibra com B

e C

Equação A = B + C Então, temos que:

A = B + C

Como vimos que e , então: kgA = 5 kgB = 3

5 = 3 + C 5 − 3 = 3 + C − 3

2 = C Então a caixa C tem massa 2 kg.

Mexendo com planilhas

Você já ouviu falar em planilhas eletrônicas? Uma planilha nada mais é que papel cheio de linhas pré-desenhadas que facilitam a organização de dados. As planilhas eletrônicas são muito utilizadas em diversas empresas, pois facilitam para edições e para armazenar. Já imaginou o tanto de papel que seria necessário se não existissem as planilhas eletrônicas? Também é possível usar planilhas eletrônicas para organizar questões

pessoais, como gastos mensais ou planejamento para uma viagem, por exemplo. Trabalharemos agora a introdução dessas planilhas. Essas planilhas são compostas por retângulos, os quais damos o nome de célula.

São nessas células que escrevemos os valores, textos, funções e fórmulas. Um conjunto de células em uma mesma linha ou em uma mesma coluna, formam o que chamamos de linhas e colunas. Sendo que as linhas são enumeradas e aparecem na

14

esquerda da tela em ordem crescente, e as colunas são nomeadas em ordem alfabética e aparecem no parte superior da tela. Assim, semelhante a um jogo de batalha naval, as células também recebem nomes, que iniciam sempre pelo nome da coluna seguido do número da linha. No exemplo a seguir a célula é a D3:

Como dito acima, nessas células podemos digitar valores, fazer contas, fórmulas, escrever textos, etc. Podemos inclusive, ver se duas coisas são iguais, por exemplo:

Observe, na faixa superior que , isso é, estamos comparando se 2 * 750 =1500, em que * representa multiplicação. Ao clicar sobre a célula podemos ver colorido a operação que resultou a palavra “VERDADEIRO”:

15

Podemos observar que para a quarta linha da tabela o resultado do produto é falso, dado que 4 * 25 = 100 e não 95.

Note que, embora as planilhas facilitem o cálculo é necessário que saibam escrever a função, além de saber como operar com os dados.

Perceba que, quando usamos fórmulas como essas, estamos usando equações

que podem ser similares às estudadas até aqui no papel. Se foi possível na sua escola, queremos fazer uma atividade utilizando as

planilhas. Então, inicie no computador algum software de planilhas. O mais famoso provavelmente é o Excel, que pertence à Microsoft. É um bom

programa, mas como possui um dono e precisa ser pago, pode ser que a escola não tenha como utilizar. Aí, vocês podem escolher algum outro, como o LibreOffice, e OpenOffice, planilhas do Google, etc, converse com seu professor para escolher um programa mais adequado.

No programa, perceba que queremos relacionar o valor das células através das funções, que, nesse caso, são expressões que efetuam alguma operação entre os valores das células.

16

Tente fazer você: Em 3 células, digite algum número, como na imagem abaixo à esquerda, eles

ocupam as células A1, A2 e A3. Na célula C2, digite “=A1+A2”, e ao dar Enter, percebo que essa função faz com que o valor da célula seja 32, que é a soma de 20+12, veja na imagem à direita.

.

Perceba que, ao alterar os valores das células A1 e A2, o valor da C2 também se altera, pois seu resultado depende do valor das anteriores, assim: Se A2 agora vale 15, C2=A1+A2 agora vale 35 (esquerda), e podemos fazer isso para qualquer valor.

Podemos utilizar esse recurso para relacionar os valores das células, por exemplo, estudar sobre a resolução de equações, como na imagem abaixo.

Quero resolver a equação , então monto a planilha da seguinte forma:x 82 + 4 = 1 O “x” é a incógnita que quero descobrir o valor, nessa planilha vou estudar

considerando que seu valor será escrito estar na célula B1, e por isso escrevo que :

D1=2*B1+4.

Isso significa que, quando eu colocar o valor correto de X em B1, na célula D1 tem que aparecer 18

17

se B1=2, então D1=2*2+4=8 se B1=7, então D1=2*7+4=18

Se B1=7, então D1=2*7+4=18, que é valor esperado. Então sabemos que x=7.

Desafio com software de planilha

Utilize algum software de planilhas para resolver o seguinte problema. Quero descobrir o faturamento de um estacionamento nos dias apresentados. A quantidade de veículos em cada dia pode ser vista na tabela abaixo.

Dia Carros Motos

Quarta 21 7

Quinta 16 9

Sexta 25 15 Vamos supor que esses veículos ficaram o dia todo estacionados, e a diária do carro é R$30, enquanto da moto é R$10.

a. Copie essa tabela no software de planilha e, utilizando suas fórmulas, descubra a arrecadação em cada um dos dias.

b. No sábado, ficaram estacionados 22 carros, e o faturamento foi o dobro de quinta. Descubra, com a planilha, quantas motos ficaram estacionadas.

c. Pensei numa situação problema para investigar usando essa situação. Solução:

a. Para descobrir o faturamento, utilizamos as informações do enunciado nas células da coluna D.

18

Assim, conseguimos descobrir o faturamento do estabelecimento em cada um dos dias .

b. Aqui, vemos um forma possível de resolver a segunda pergunta. Coloco E6=D4*2, pois o faturamento de sábado foi o dobro de quinta, e a célula D6 calcula o

faturamento conforme as informações da tabela, igual nas linhas anteriores. Então em D7 é feita a verificação, “é verdade que D6=E6?”, nesse caso, como o número

de motos não está correto, aparece FALSE (ou FALSO) para mostrar que os valores não são iguais.

Assim, atribuindo diferentes valores na célula C6 posso ir modificando o faturamento diário, até que consiga chegar na solução do problema, quando irá aparecer TRUE (ou VERDADEIRO) em D7.

19

Assim, sei que estavam estacionadas 48 motos. Talvez estivesse acontecendo um evento de motociclistas lá perto, no sábado.

Razão e Proporção Razão Introdução: Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando a primeira com a segunda. Por exemplo: Num torneio de futebol em sua escola o time de Marcos fez 30 gols, sendo que desses, Marcos fez 15 . A razão entre o número de gols marcados por Marcos e o total de gols

marcados pelo time é dado por .3015

Definição: A palavra razão, significa quociente, divisão e caracteriza-se pela relação existente entre dois valores com a mesma grandeza. Por isso, razão é o quociente entre dois números A e B, com B ≠ 0. Assim, a razão entre os números A e B pode ser dita "razão de A para B" e representada como:

Ou ainda: É importante saber que, em uma razão, A sempre será chamado de antecedente, enquanto B será sempre chamado de consequente. Então:

Razão ⇒ ANTECEDENTECONSEQUENTE

Razões equivalentes

20

Você ainda está lembrado do torneio de futebol do qual Marcos participou e marcou 15

dos 30 gols? Pois bem, suponha que, no mesmo torneio, um outro time fez 10 gols, em que Pedro marcou 5 gols, a razão de gols marcados por Pedro e o total de gols marcado pelo seu time é de .5

10 Note que Marcos, em 30 gols , fez 15 . Nesse caso, temos a seguinte razão: 15:30 . Por outro lado, Pedro, em 10 gols , conseguiu 5 gols . Temos, então, a razão: 5:10 . Como você pode perceber, a quantidade de gols do time e de gols feitos pelo Pedro correspondem, exatamente, à um terço dos gols de Marcos. Portanto:

e são razões que se equivalem.3015 5

10

São equivalentes pois representam a mesma quantidade. representa que Marcos fez 30

15 15 dos 30 gols (metade) de sua equipe, quanto representa que Pedro fez 5 dos 10 gols 5

10 do time, o que também representa metade deles. Relembrando sobre as operações com frações, para obter razões equivalentes, basta aplicar a propriedade fundamental, que é a seguinte:

Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira.

O sinal utilizado para indicar a equivalência entre duas razões é ~. Entretanto, por facilidade, usa-se o sinal = e costuma-se dizer razões iguais em lugar de razões equivalentes. Exemplo:

21

Exemplo: Em um concurso, 240 candidatos disputam 80 vagas. Qual a razão de candidatos por vagas? Resolução: Identificando os termos

Antecedente : 240 Consequente: 80

Dividindo o número de candidatos pelos números de vagas (antecedente dividido pelo consequente). Temos, por razão equivalente:

= 80240

13

Logo, podemos dizer que há três candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1. Como você pode perceber uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:

Número Racional (representado por fração) Razão (representado por fração)

lê-se : Um meio21 lê-se : Um para dois ou um está para dois2

1

lê-se : Seis décimos610 lê-se : Seis para dez ou seis está para dez6

10

lê-se : Sete doze avos712 lê-se : Sete para doze ou sete está para doze7

12

Se reúna com um amigo, e discutam onde usamos razão

no dia a dia.

Proporção

22

Introdução: Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é chamada proporção. Por exemplo, os gols de Marcos e Pedro, pois :

e são razões iguais.3015

1005

Definição: Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser expressa da seguinte forma:

Se multiplicarmos ambos os lados da igualdade por B. D. Temos:

. B.D = . B.D AB DC

Podemos reescrever da seguinte forma:

. A.D = . C.D B

B DD

Isto é: 1. A. D = 1. C. D

Logo, uma proporção também pode ser expressa como a igualdade entre os produtos (A . D) e (B . C), da seguinte forma:

23

É importante saber que os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que os números A e B são os dois primeiros termos e os números C e D são os dois últimos termos da relação de proporção. Como já dito anteriormente, os números A e C são os antecedentes de cada razão, enquanto os números B e D são os consequentes de cada razão que compõem a relação de proporção. Em uma relação de proporção A e D são os extremos B e C são os meios. Além disso, a divisão entre A e B e, a divisão entre C e D, é uma constante, a qual chamamos de K , denominada constante de proporcionalidade K da razão. Exemplo: Você fincou verticalmente no solo uma vara de 8 cm, a qual produziu uma sombra de 6cm. Quanto medirá o comprimento da sombra produzida por uma vara de 40 cm?

Resolução:

= 6 cm8 cm

?40 cm

Chamaremos o comprimento da sombra que queremos descobrir de X. de modo que

= 6 cm8 cm

X40 cm

8 . x = 6 . 40

8 . x = 240 ⇔ x = 240 : 8 ⇔ x = 30 cm

Obs.: ⇔ Lê-se: Se e, somente se.

Vale ressaltar ainda, que caso o exercício pedisse a constante K, ela seria de aproximadamente 1,33, pois = 1,33333....6

8

No exemplo anterior denominamos a quarta proporcional , isto é, denominamos x, onde x nesse caso é igual a 30 cm.

A definição de quarta proporcional é dada por :

24

Dados três números A, B e C, nesta ordem, é um número X para completar com os outros três uma relação de proporção, obtém-se:

Observando a relação acima é possível concluir que a Quarta Proporcional é, a

“famosa” Regra de Três Simples. Dada por :

Isto é:

X= AC.B

Vamos pesquisar?

Procure aplicações dos conceitos de razão e proporção, use livros, internet, pergunte a professores de outras disciplinas. Consolide as informações e apresente-as aos colegas.

Espera-se que os alunos tragam aplicações como o uso em Escalas,Velocidade média, receita de bolo (manipular as quantidades, por exemplo, ao dobrar ¾ de xícara de leite), peso proporcional etc.Lembre-se de pedir que estabeleçam as razões, isto é:

Escala = medida realmedida no mapa

Velocidade Média = Distância percorridaTempo total do percurso

Para resolver alguns problemas

A Álgebra e as equações podem nos ajudar a resolver alguns problemas que, sem ela, não seria possível. Quando quero descobrir quantidades desconhecidas, utilizar

25

incógnitas e equações me permite escrever uma frase verdadeira em matemática sobre a situação do problema, então vamos descobrir como fazer isso.

Quero resolver esse problema:

1. Pensei em um número e sei que o dobro dele subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número?

Primeiro, podemos identificar a incógnita. Nesse caso, qual a informação desconhecida (e que queremos descobrir)? O número pensado. Vamos chamá-lo de n.

Vamos entender como transformar a frase “o dobro dele subtraído de 20 é igual a 100” em uma equação.

o dobro dele subtraído de 20 é igual a 100

2* n ????? 20 = 100

Talvez “Subtraído de” seja difícil de interpretar. O que essa expressão significa? É algo como “retirado de”, ou seja, uma subtração (um valor menos outro).

“2n subtraído de 20” significa 0 n2 − 2

Então temos que , que podemos resolver utilizando as técnicas que 0 n 002 − 2 = 1 conhecemos até aqui. Então resolva essa equação e discuta os resultados com os colegas.

0 n 00 0 n 0 00 0 − n 0 n − 0 − 02 − 2 = 1 ⇒ 2 − 2 − 2 = 1 − 2 ⇒ 2 = 8 ⇒ 2 = 8 ⇒ n = 2−80 = 4

2. Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?

Aqui, vamos chamar de x a quantidade total de dinheiro que Carlos possuía

Uso revista CD sobrou

Quantidade ⅓ de x ¼ de x 25

Nesse caso, sabemos que o gasto mais a sobra precisa dar a quantidade total de dinheiro que ele tinha, então

Gasto: do valor total = 31 + 4

1 x712

26

Sobra: R$25

Total: x

Logo, temos que x 5712 + 2 = x

Resolva a equação e discuta os resultados com seus colegas.

3. Vou comprar um terreno retangular, que possui o comprimento cinco vezes maior que a largura. Sei que, se tivesse que cercá-lo todo, iria usar 180 metros de cerca, então qual a área do terreno?

Para descobrir a área do terreno, preciso escolher a minha incógnita. Nesse caso, chamo a largura de Como o comprimento é cinco vezes maior que a largura, .l sei que o comprimento então vale l 5 * l = 5

A cerca que irei usar é do tamanho do perímetro desse terreno, então sei que a soma dos seus lados vale 180 metros. Como é um retângulo, então

argura largura comprimento comprimento 180 l + + + =

ou seja, , então continue a resolver essa equação a partir daqui e l l 80 l + l + 5 + 5 = 1 descubra a área do terreno.

. Logo, sua área é 2l 80 5m 1 = 1 ⇒ l = 12180 = 1 l 5 5 5) 125 m² l * 5 = 1 * ( * 1 = 1

4. Nessa escola, a média é 5, então serão aprovados os alunos que obtiverem média maior ou igual a 5. Para calcular essa média, precisamos somar todas as notas e dividir pela quantidade de notas.

A professora de matemática aplicou até agora 3 de 4 atividades que vai aplicar no ano, com o mesmo peso, e essas foram as notas de parte da sala.

Nome ativ. 1 ativ. 2 ativ. 3 ativ. 4 média

Manuel 6 4 0

Miguel 7 8 7

Raul 5 6 8

Osvaldo 5 5 5 6

27

Os quatro alunos fizeram a atividade 4 juntos, e por isso irão certamente tirar a mesma nota. Manuel está preocupado se conseguirá passar de ano, mas Oswaldo já foi buscar seu boletim na escola e ficou muito feliz com sua média 6 em matemática. Manuel passou de ano?

Para descobrir se Manuel foi aprovado, precisamos descobrir sua nota na atividade 4, que é a mesma de Osvaldo e vamos chamar de y.

Se a média foi 6,5, temos que ) 5 445+5+5+y = 6 ⇒ ( 4

5+5+5+y* 4 = 6 * 4 ⇒ 1 + y = 2 ⇒

.5 5 4 5 1 + y − 1 = 2 − 1 ⇒ y = 9

Então a nota da atividade 4 do grupo foi 9. A média , então Manuel não , 546+4+0+9 = 4

19 = 4 7 passou de ano.

5. O preço de uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela que varia dependendo da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é R$4,50 e o quilômetro rodado é R$2,75, qual a distância percorrida por um passageiro que pagou R$24,85?

Nessa questão, queremos descobrir a quantidade de quilómetros percorridos, vamos chamá-la de q. Elabore e resolva a equação para descobrir o que se pede. O quadro a seguir pode te ajudar na elaboração da equação

Texto parcela fixa e parcela variável

Equação +

Em que outras situações é possível utilizar equações para resolver? Elabore uma situação-problema e discutam a pertinência das equações para as situações desenvolvidas por você e pelos colegas.

Mexendo com planilhas Lembra das planilhas eletrônicas? Iremos utilizá-las mais uma vez nesse capítulo.

28

Lembra da constante de proporcionalidade K? Podemos calculá-la rapidamente caso tenhamos os valores de A e B:

Podemos rapidamente calcular para os demais valores de A e B, basta clicar no quadradinho azul e arrastá-lo para baixo (segure até a última célula que deseja calcular):

Que tal brincarmos de achar razões equivalentes?

Lembre-se que para acharmos razões equivalentes é necessário multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero.

Obs.: Repare que por serem equivalentes a constante K não muda.

29

(Caro professor, recomenda-se que passe algumas frações e peça que encontrem a constante K, ou razões equivalentes.)

Como já puderam perceber, se tivermos A e B podemos obter a constante K. Se tivermos K e A, podemos obter B. E, se tiver K e B conseguimos obter A.

= K ⇔ A= K. B ⇔ = BAB

A K

Obs.: ⇔ Lê-se: Se e, somente se.

Vamos trabalhar isso nas planilhas online?

A B Constante K

9 4 2,25

12 13 0,925

121 169 0,7159

Professor, proponha alguns exercícios para que eles tanto proporção e razão, quanto o raciocínio lógico das funções na planilha eletrônica.

Exemplo: Escreva as funções para obter os valores que estão faltando:

Recomendamos que os alunos façam uma tabela similar a esta e troquem os arquivos entre si, de modo que cada aluno resolva a atividade proposta pelo outro. Há ainda a possibilidade de verificar se duas razões são equivalentes ou não, usando o “VERDADEIRO” ou “FALSO” já visto neste mesmo capítulo.

30

Exercícios do Capítulo

Vamos ver o que você aprendeu?!

Tente fazer os exercícios sem ter que revisitar o capítulo.

1) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto? (⅚).

2) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número? (60)

3) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. Qual é o número?(120)

4) Uma vara de 12 cm fincada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Quanto deve medir o comprimento de uma vara para que ela produza uma sombra de 45 cm? (36 cm - lembre-se de cobrar dos alunos a unidade de medida)

5) (Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água,

equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que

utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias

sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas

Técnicas (ABNT).

31

Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia

sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por

uma bacia sanitária ecológica? (b)

a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros

6) Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na

compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou

com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?(R$60,00)

7) Dois quadrados têm, respectivamente, 3cm e 6cm de lado. Qual é a razão entre as

superfícies (área) do primeiro e do segundo quadrado ? (¼)

8) Verifique se o número 7 é raiz (satisfaz) a equação 4x + 6=36. Justifique. (Não)

9) A metade de um número mais 20 é igual a 25. Qual é esse número? (10)

10) Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. Qual a

razão da área construída para a área livre ?(⅖)

11) Descubra a quarta proporcional dos números:

a) 14, 16 e 21 (24)

b) 9, 10 e 27 (30)

c) 5, 3 e 1 (5/3)

12) Os números 8/ 5 e 16 /10 formam uma proporção? Justifique. (Sim, pois são

razões equivalentes, onde K é igual em ambos)

32

13) A razão entre dois números é 7/3. Sabendo que um deles é o dobro de 15, qual

o outro? (70)

14) Encontre razões equivalentes a :

a) 5:10

b) 3:17

c) 9:21

15) Para fazer um bolo de milho, Maria usa 3 espigas de milho, 2 copos de farinha

de trigo, 1 ½ copo de leite, 2 copos de açúcar e 2 colheres de margarina. Maria vai

receber muitas pessoas em sua casa e precisa triplicar a receita. Quanto ela irá

usar de cada ingrediente?

(9 espigas, 6 copos de trigo, 4 ½ copos de leite, 6 copos de açúcar e 6 colheres de

margarina).

16) Paulo e Giovana ganham mesadas proporcionais a suas idades, Giovana fez

11 anos e gostaria de saber quanto irá ganhar de mesada nesse mês. Sabendo

que Paulo ganha R$200,00 e tem 15 anos, quanto Giovana ganhará? (R$146,67)

17) Um atleta corre 100 metros em 12 segundos, supondo que ele mantenha a

mesma velocidade média, isto é, mantenha a mesma constante de

proporcionalidade K, quantos metros ele percorrerá em 210 segundos? (1750

metros)

18) Davi e Ana tem um cofre com R$78 e eles sabem que Davi sempre guarda o

dobro do dinheiro de Ana, então quanto dinheiro do cofre é de cada um?

(David guardou R$52,00 e Ana R$26,00)

33

19) Elabore um problema que utilize razão no cotidiano, preferencialmente na

escola, e troque com o colega para que ele resolva seu problema.(Avalie a

criatividade dos alunos, em que podem exemplificar a razão da nota de um trabalho, em

relação a nota do bimestre. Ou, a nota do bimestre em relação a nota final do ano. Ou

ainda, a razão de pontos num campeonato de basquete, etc ).

20) A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa? (⅔)

21) Escreva a equação que representa a situação da balança. Em seguida, determine o valor de x.

(x+15=500 ⇔ x=485)

22) Na planta de uma casa, o comprimento da conha, que é de 5 m, está representado por um segmento de 2,5 cm. Qual foi a escala utilizada para o desenho? (1:200)

23) Escreva a equação que representa a seguinte situação:

34

Resolva a equação, isto é, encontre o valor de x. (5x=600 ⇔ x= 120)

24) Uma pesquisa revelou que 5 em cada grupo de 6000 habitantes de uma cidade são médicos. Se essa cidade tem 60.000 habitantes, quantos são médicos? (50)

25) Miguel tem 14 anos e sua irmã Isabelle tem 7, qual a razão da idade de Isabelle para a idade de Miguel? (½)

26) Felipe e Lucas foram a pizzaria. Felipe comeu apenas 2 fatias, e Lucas comeu 6 fatias. Desse modo, eles decidiram dividir o valor da pizza proporcionalmente ao quanto cada um comeu. Sabendo que pizza inteira, 8 fatias , custa R$40,00 , quanto cada um pagou? (Felipe pagou R$10,00 e Lucas R$30,00)

27) Qual valor de x no triângulo a seguir, sabendo que a constante de proporcionalidade K no ABC é igual a constante K no DEF : (60 cm)Δ Δ

28) Antônio foi comprar peças de ladrilho para cobrir uma área de 69m², e

descobriu que cada 5 caixas cobrem uma área 23m². Quantas caixas ele precisa

comprar? Se ele comprar 10 caixas, qual área poderia cobrir? (15/69)

35

Fontes e referências Imagens:

Balança antiga. Disponível em: <https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-1021202546-balanca-antiga-com-pesos-_JM >. Acesso em: 02 nov. 2019. Balança de plástico. Disponível em: <https://oficinadidactica.pt/produto/balanca-com-6-pesos/>. Acesso em: 02 nov. 2019. O livro dos mortos. Disponível em: <https://musicians4freedom.com/anubis-weighing-of-heart/>. Acesso em: 02 nov. 2019. Utilizações da balança. Disponível em: <https://br.depositphotos.com/11543593/stock-photo-old-fashioned-apple-pie-dessert.html>.Acesso em: 02 nov. 2019.

Balança: peso da amora. Disponível em: <https://br.depositphotos.com/84254714/stock-photo-black-mulberry-on-old-scales.html>. Acesso em: 02 nov. 2019.

Pintura na parede. Disponível em: <https://collectgram.com/blog/padroes-monetarios-dos-povos-da-antiguidade-curso-de-numismatica/>. Acesso em: 02 nov. 2019. Queijo. Disponível em: <http://www.vdl.ufc.br/ativa/resolva.html>. Acesso em: 02 nov. 2019. Peixe. Disponível em: < https://brainly.com.br/tarefa/4226391>. Acesso em: 02 nov. 2019. Pilha de caixas e sorvetes. Disponível em: <https://novaescola.org.br/plano-de-aula/habilidade/ef06ma14>. Acesso em: 02 nov. 2019. Balança de frações. Disponível em: <https://brainly.com.br/tarefa/19262806>. Acesso em: 02 nov. 2019. Desafio das balanças. Disponível em: <http://matematicaemacaoeinteracao.blogspot.com/2015/06/>. Acesso em: 02 nov. 2019.

36

Frações equivalentes.Disponível em: <https://www.matematica.com.br/files/2/Raz__o_e_Propor____o.pdf>. Acesso em: 30 out. 2019. Trocando ideias. Disponível em: <https://www.bing.com/th?id=OIP.usL1oyvr-qlYjbLn4TZxDgHaHa&pid=Api&rs=1>. Acesso em: 02 nov. 2019. Pensando numa ideia. Disponível em: <https://st3.depositphotos.com/1654249/19400/i/1600/depositphotos_194008644-stock-photo-man-thinking-idea-bulb-thought.jpg>. Acesso em: 03 nov. 2019. Hora de praticar. Disponível em: <https://voceconcursado.com.br/wp-content/uploads/2017/11/ConcursadoPRATICAR.png>. Acesso em: 03 nov. 2019. Malhando cérebro. Disponível em: <https://www.bing.com/th?id=OIP.8y4keLm9ZdqJ0SrWQSzSTwHaFj&pid=Api&rs=1>. Acesso em: 03 nov. 2019. Triângulos retângulos. Disponível em: <https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-semelhanca-entre-triangulos.htm >. Acesso em: 30 out. 2019. Planilhas eletrônicas. Disponível em: <https://static.vecteezy.com/system/resources/previews/000/173/643/non_2x/vector-spreadsheet-icon-set.jpg>. Acesso em: 02 nov. 2019. Célula B4. Disponível em: <https://www.bing.com/th?id=OIP.xDX8rEv0P0OnboMVxcJF5gHaD0&pid=Api&rs=1>. Acesso em: 02 nov. 2019. Exercício da balança (21). Disponível em: <https://prof-cassiofernando.blogspot.com/2012/08/lista-exercicios-equacoes.html>. Acesso em: 04 nov. 2019. Exercício 23. Disponível em : <https://www.bing.com/images/search?view=detailV2&ccid=yKvRZyVz&id=88B76A82764312F84F1AE683D6581AACE9DE05E1&thid=OIP.yKvRZyVz_RjZllUvs2NFcAHaFj&mediaurl=https%3a%2f%2fslideplayer.com.br%2fslide%2f1761074%2f7%2fimages%2f3%2f

37

AINDA%2bMANTENDO%2bO%2bEQUIL%c3%8dBRIO%2b!.jpg&exph=720&expw=960&q=escreva+a+equa%c3%a7%c3%a3o+de+1+grau+que+representa+a+seguinte&simid=608024449015416488&selectedIndex=6&ajaxhist=0>. Acesso em: 04 nov. 2019.

Textos Balança: adaptado de: Portal São Francisco. Disponível em: <https://www.portalsaofrancisco.com.br/fisica/balanca>. Acesso em: 23 out. 2019. O livro dos mortos, adaptado de Infoescola. Disponível em: <https://www.infoescola.com/civilizacao-egipcia/livro-dos-mortos/>. Acesso em: 23 out. 2019. Álgebra: Disponíveis em: <https://www.kuadro.com.br/posts/introducao-a-algebra-variaveis/>. <https://conceitos.com/algebra/>. <https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra>. Acesso em: 24 out. 2019.

Socorro, Maria do. Razão, Proporção e regra de três. - 2016, TCC. Alguns dos Exercícios de razão e proporção: <https://brainly.com.br/tarefa/1913000>. Acesso em: 03 nov. 2019. Questão do ENEM. Disponível em: <https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2012/segundo-dia/ha-em-virtude-da-demanda-crescente-de-economia-de-agua-equipamentos-e-utensilios/>. Acesso em: 04 nov. 2019.

Questões de equação. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/problemas-envolvendo-uso-equacoes.htm>. Acesso em: 04 nov. 2019.

38