Álgebra lineal · transformación lineal y su representación matricial, también se detallan en esta unidad. Finalmente, en la unidad 5, se describe el problema de los valores y

ÁLGEBRA LINEAL

ÁLGEBRA LINEAL

Florencio Guzmán Aguilar

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez

Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González

Diseño de interiores: Juan Bernardo Rosado Solís

Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís

Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber

Fotografías: © Thinkstockphoto

Revisión técnica: Alex Polo Velázquez

Álgebra lineal

Derechos reservados:

© 2014, Florencio Guzmán Aguilar

© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.

Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,

Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-891-6

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente

obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y

por escrito del editor.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

v

PRÓLOGO

La ciencia y la tecnología han desempeñado, a lo largo de la historia, y desempeñan, en la actualidad, un papel fundamental en el desarrollo de la humanidad. La manera en la cual han contribuido éstas, ha sido modelando y describiendo los fenómenos propios de la naturaleza y los generados por la misma sociedad, a través de leyes, teorías, reglas, etcétera. Todas estas formas de interpretar y resolver la infinitud de problemas que se presentan en la vida cotidiana, en todas las áreas de las ciencias, tienen lugar mediante el uso de ecuaciones.

El término ecuación proviene del vocablo en latín aequatio, que significa igualdad. Por tanto, una ecuación representa o expresa, en su concepción más fundamental, la idea de un equilibrio perfecto. Las ecuaciones son, en principio, expresiones abstractas o representaciones simbólicas que se han consolidado como la herramienta matemática fundamental de la ciencia y la tecnología, porque con ellas los hombres han planteado y resuelto sus problemas a situaciones concretas, en todos los ámbitos de su quehacer cotidiano.

Una infinidad de estos problemas se modelan y resuelven utilizando ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son de las más antiguas y de las más sencillas, matemáticamente hablando, pero esto no limita su apli-cación a una inmensa variedad de problemas. Su uso se ha hecho común en situaciones tan amplias y variadas, que van desde el cálculo de cosechas en determinada área de terreno, hasta el cálculo de la trayectoria de un planeta o un satélite, el cálculo del crecimiento de una población, el cálculo de una reacción química o del presupuesto de un país, el análisis de señales o de la estabilidad de una estructura, etcétera.

Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en plantear las ecuaciones lineales, entre los años 2000 y 1500 a. C. Mientras que los chinos ya utilizaban sistemas de ecuaciones lineales hacia el año 400 a. C., y resol-vían dichos sistemas utilizando una regla que, en la práctica, es el conocido método de eliminación de Gauss o de variables. Es precisamente C. F. Gauss quien primero tuvo conocimiento de estos escritos y, al describir el movimiento del asteroide Pallas, obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Cabe mencionar que los griegos no se interesaron a fondo en este tipo de problemas lineales, aunque sus desarrollos geométricos, claramente tienen un pensamiento lineal.

Los sistemas de ecuaciones lineales dieron origen a dos importantes conceptos matemáticos: los vectores y los espacios vectoriales, los cuales fueron desarrollados por J. R. D’Alambert, L. Euler, J. L. Lagrange y W. R. Hamilton, entre otros reconocidos matemáticos. Posteriormente, J. J. Silvestre definió el concepto de matriz y junto con A. Cayley desarrollaron el álgebra matricial, donde incluyen las transformaciones lineales y las formas cuadráticas, como casos particulares de esta teoría matricial. Por último, el matemático C. Jordan introdujo su forma canónica de Jordan.

La noción del determinante aparece con G. Leibniz, quien obtuvo un resultado que se conoce como la regla de Cramer. Otras contribuciones a este nuevo desarrollo matemático se deben a C. MacLaurin, G. Cramer, P. S. Laplace, Gauss, C. G. J. Jacobi, entre otros. Por su parte, A. L. Cauchy introdujo el concepto de determinante en el sentido que hoy conocemos y utilizamos, al igual que el término de ecuación característica y de valor propio asociado con una matriz cuadrada.

Todos los conceptos antes mencionados y todos aquellos desarrollados posteriormente están englobados y forman parte de un área de las matemáticas llamada: álgebra lineal. Como hemos visto, estas ideas han sido decisivas en muchas áreas del conocimiento del desarrollo humano.

El presente texto de Álgebra lineal aborda los principales temas de esta rama de las matemáticas, que ha enriquecido y se ha enriquecido de otras áreas, tanto al interior de las matemáticas como fuera de ellas. Diver-sas áreas de las matemáticas, la física, la biología, la química, las ciencias sociales, etcétera, son el interés del álgebra lineal. Más recientemente, con la aparición de la computación y la informática, la tecnología también se ha visto beneficiada con los desarrollos de estos adelantos tecnológicos, en diversas áreas, como el diseño de estructuras, la robótica y el control, los códigos y la criptografía, entre otras. Por tanto, sobra mencionar la importancia de aprender y comprender la teoría del álgebra lineal.

Esta obra tiene como fundamento los cursos de álgebra lineal que se imparten a nivel superior en el área de ingeniería. A diferencia de otras obras, que contienen demasiado material extra (que en algunos casos no es necesario, o bien, no es posible tratarlo en los cursos por cuestiones de tiempo), este libro presenta los temas esenciales y necesarios para comprender, de una manera general, sin tantos tecnicismos teóricos, el álgebra lineal y poder aplicar estos conocimientos en la resolución de los problemas de la ingeniería.

vi

Contenido

En Álgebra lineal, la presentación de los temas se hace de una manera clara y práctica, mostrando los princi-pales resultados del álgebra lineal de una forma natural, conforme se va desarrollando la teoría. El contenido se presenta en un lenguaje sencillo y comprensible, tal como el que emplea el profesor frente al grupo. La solución de los problemas resueltos que contiene el texto es totalmente explícita al mostrarse todos los pasos necesa-rios para el proceso de solución del problema. En tanto, los problemas para resolver son representativos de los diversos temas que se abordan en el texto, y cuya solución implica el perfecto entendimiento y comprensión de la teoría.

El contenido está distribuido como se relaciona a continuación. En la unidad 1 se describe la estructura gene-ral de una ecuación lineal y de un sistema de ecuaciones lineales, además de que se analizan los métodos para resolverlas, los tipos de solución que pueden presentar y la relación de éstas con la geometría. En la unidad 2 se define el concepto de matriz y se desarrolla el álgebra matricial; se presenta el concepto del determinante como parte fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con la regla de Cramer o con la matriz inversa. La estructura y propiedades de los espacios vectoriales se presentan en la unidad 3, donde la idea más importante son las bases de los espacios vectoriales, sus características y su construcción. En la unidad 4 se estudian las propiedades y características de las transformaciones lineales, cómo determinar la inversa de una transformación lineal y su representación matricial, también se detallan en esta unidad. Finalmente, en la unidad 5, se describe el problema de los valores y los vectores propios o característicos, el proceso de diagonalizar matrices y, en particular, el uso de éstos en las formas cuadráticas y las secciones cónicas; por último, en esta unidad también se tratan las formas canónicas de Jordan y el teorema de Cayley-Hamilton.

vii

Grupo Editorial Patria©

AGRADECIMIENTOS

Al Instituto Politécnico Nacional (IPN) por proporcionarme las herramientas y la experiencia para poder realizar este trabajo; a la

COFAA y al programa de EDD del mismo instituto.

Florencio Guzmán Aguilar.México D. F., 2011.

viii

Contenido

Unidad 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1

1.1 Introducción 2

1.2 Ecuación lineal 2

1.3 Sistemas de ecuaciones lineales 4

1.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales 12

1.5 Aspectos geométricos de los sistemas de ecuaciones lineales 18

Problemas para resolver 23

Unidad 2 Matrices y determinantes 29

2.1 Introducción 30

2.2 Definición de matriz 30

2.3 Álgebra matricial 32

2.4 Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 34

2.5 El determinante 38

2.6 Menores y cofactores 42

2.7 Propiedades de los determinantes 44

2.8 Regla de Cramer 48

2.9 Matriz inversa 51

2.10 Matriz transpuesta 54

2.11 Matriz adjunta 55

2.12 Método alterno para encontrar la matriz inversa 57


CONTENIDO

ix


Unidad 3 Espacios vectoriales 65

3.1 Espacios vectoriales 66

3.2 Subespacios vectoriales 67

3.3 Combinación lineal de vectores 69

3.4 Bases de espacios vectoriales 74

3.5 Matriz de cambio de base o de transición 78

3.6 Bases ortonormales 84


Unidad 4 Transformaciones lineales 95

4.1 Transformaciones lineales 96

4.2 Núcleo o kernel de una transformación lineal 104

4.3 Imagen de transformaciones lineales 106

4.4 Representación matricial de una transformación lineal 110


Unidad 5 Valores y vectores característicos 127

5.1 Valores y vectores característicos 128

5.2 Polinomio característico y ecuación característica 131

5.3 Diagonalización de matrices 134

5.4 Diagonalización de matrices simétricas 138

5.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas 146

5.6 Forma canónica de Jordan 150


UNIDAD 1

Sistemas de ecuaciones lineales

¿QUÉ SABES?

¿Cuáles son las ecuaciones más comunes para resolver problemas? ¿Qué posible solución puede tener una ecuación lineal? ¿Cuál es la relación de rectas y planos con las ecuaciones lineales? ¿Cuáles son las múltiples aplicaciones que tienen las ecuaciones lineales para resolver

diversos problemas?

OBJETIVOS

Determinar los tipos de solución que puede presentar una ecuación lineal. Comprender la estructura general de un sistema de ecuaciones lineales. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales y analizar sus soluciones. Analizar las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Plantear sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas cotidianos. Entender el significado geométrico en la solución de los sistemas de ecuaciones lineales.

2

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales11.1 IntroducciónLa linealidad es un término que utilizamos de manera frecuente en casi todos los ámbitos de nuestras activi-dades, debido a que, muchas veces, de manera inconsciente, lo usamos para describir situaciones sencillas o prácticas, o para simplificar un problema determinado. En efecto, el concepto lineal o de linealidad refleja uno de los comportamientos, en cualquier área del conocimiento, más simples y sencillos de estudiar, mode-lar y resolver. Ya sea en ingeniería, biología, matemáticas, química, economía, física, etcétera, siempre surgen fenómenos o problemas que tienen un carácter o comportamiento lineal.

Todas estas situaciones de tipo lineal pueden ser representadas mediante ecuaciones lineales o sistemas de ecuaciones lineales de diversos tipos y características, lo que significa que, como se dijo antes, no por el hecho de describir problemas no muy complejos o complicados, sean de poco interés. Por el contrario, los resultados que se derivan de resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, tienen gran repercusión tanto en la parte algebraica como en la parte geométrica, desde su planteamiento, hasta su solución.

Para ejemplificar esta situación, supongamos que vamos a viajar a determinado estado del país; si consultamos un mapa de carreteras, podremos encontrar la dis-tancia en kilómetros del punto de partida del viaje al punto destino. Dicha distancia constituye los kilómetros que tenemos que recorrer siguiendo la carretera, la cual tiene curvas, pendientes, desviaciones, etcétera. Pero, con toda seguridad, la distancia en línea recta del origen al destino del viaje es una cantidad menor que la que aparece en el mapa de carreteras. Con esta trayectoria recta, que es la más simple y sencilla de todas las posibles, estamos simplificando un recorrido real de viaje.

Ahora, supongamos que nuestro automóvil tiene un consumo promedio de 10 kilómetros por litro de gasolina; esta relación entre la gasolina consumida por el automóvil y los kilómetros recorridos es lineal. Esto facilita determinar, entre otras

cosas, cuántos kilómetros puede recorrer el automóvil con determinada cantidad de litros de gasolina; por ejemplo, con 10 litros de gasolina el auto puede recorrer 100 kilómetros de distancia. Si grafica-mos ambos parámetros en un plano, donde uno de los ejes corresponda a los litros de gasolina y el otro a los kilómetros, el resultado será una línea recta. Sin embargo, la realidad es muy distinta, ya que el consumo de gasolina por kilómetros recorridos es una relación mucho más compleja, la cua depende de muchos otros factores.

Este tipo de relaciones lineales, aunque simples, se utilizan para modelar y resolver una infinidad de problemas y fenómenos en distintas áreas del conocimiento, por ejemplo, podemos aplicarlos en modelos de crecimiento poblacional, teoría de grafos, modelos de insumo-producto, circuitos eléctricos, reacciones químicas, ajustes de curvas, programación lineal, etcétera.

En esta primera unidad, se analizan la estructura general de una ecuación lineal y de un sistema de ecua-ciones lineales, y con base en ésta se plantea su posible o posibles soluciones. Asimismo, se estudian las múltiples aplicaciones de estas ecuaciones lineales, al plantear y resolver problemas de diversos tipos. Por último, se relacionan las ecuaciones lineales con la geometría, ya que esta última disciplina nos permite vi-sualizar gráficamente lo que algebraicamente estamos haciendo con las ecuaciones; además de que facilitan, la mayoría de las veces, la solución de éstas.

1.2 Ecuación linealCuando se requiere resolver un problema, ya sea de tipo científico o de alguna aplicación tecnológica, en cualquier área de la ciencia, en algún momento, por lo general siempre está involucrada una ecuación lineal o un sistema de ecuaciones lineales. De allí la importancia de saber cómo plantear y resolver este tipo de ecuaciones, así como de entender sus soluciones.

Una ecuación es lineal si las variables que aparecen en ésta sólo son de primer orden o grado, si en ella no aparecen productos entre estas variables y si tampoco aparecen funciones o recíprocos de las variables. La forma más general de escribir una ecuación lineal con n variables es:

a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 … 1 anxn 5 b

donde las xi son las variables o incógnitas del sistema, las ai son números reales que llamaremos coeficientes asociados a las variables y el término b, llamado coeficiente o término independiente, también es un número real, en todos los casos i 5 1, 2, …, n. En general, a los números reales se les llama escalares.

Una solución de una ecuación lineal es un conjunto de n números reales i, con i 5 1, 2, …, n, tales que satisfacen la siguiente igualdad:

a a a a bn n1 1 2 2 3 3 …

AlertaEl álgebra lineal se puede

utilizar en la solución de

problemas tan amplios

como la distribución de las

líneas de producción de una

maquiladora, el presupuesto

de un país, el cálculo de

la órbita de un satélite

artificial y el cálculo de la

estabilidad estructural de un

puente colgante en ingeniera

civil, entre muchos otros

casos del área de ingeniería.

Figura 1.1Los ingenieros civiles utilizan

las ecuaciones lineales al

realizar los cálculos de los

proyectos de construcción.

3


Encontrar la solución para cada una de las siguientes ecuaciones lineales:a) 4x 2 1 5 x 1 6,b) 2x 2 5 2 x 5 x 1 3,c) 4 + x 2 3 5 2x 1 1 2 x,

A continuación analizaremos las posibles soluciones que puede presentar una ecuación lineal, dependiendo del número de variables que contenga y del valor de sus coeficientes, las cuales, en general, presentan tres posibilidades cuando se resuelven. Comencemos por la ecuación lineal más sencilla.

Caso 1 ❚Ecuación lineal con una variable o incógnita ax 5 b.

Solución:a) Si a fi 0 y b ∈ R (b puede tomar cualquier valor real), entonces la solución es x

ba

= , se dice que el sistema tiene solución única.

b) Si a 5 0 y b fi 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 b, la cual no tiene solución, (no existe número real x, tal que multiplicado por cero resulte diferente de cero).

c) Si a 5 0 y b 5 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 0, que tiene una infinidad de soluciones (cual-quier número real x satisface la igualdad).

Problema resuelto

a) Reescribimos la ecuación de la forma 3x 5 7, cuya solución es x =73

. Por tanto, la ecuación tiene solución única.

b) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 8. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

c) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 0. Cualquier número real es solución; por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.

Caso 2 ❚Ecuación lineal con dos variables o incógnitas a1x1 1 a2x2 5 b

Solución:Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de la otra (no importa cuál de las dos, el resultado no se altera).Pongamos a x1 en términos o en función de x2, esto es,

a x a x b a x b a x xba

aa

x a1 1 2 2 1 1 2 2 11

2

12 1+ = ⇒ = − ⇒ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≠, 00,

a x2 se le llama parámetro libre, por lo cual puede tomar cualquier valor real, es decir,

x R2

así, x1 depende del parámetro libre y se obtiene sustituyendo el valor de x2, esto es,

xba

aa

b aa1

1

2

1

2

1

Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones, las cuales dependen del valor que tome el parámetro libre.

Solución

4

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1Resolver la siguiente ecuación lineal: 3 12 6x y− = − .

Escribimos la variable x en términos de la variable y, esto es:

3x ] 12y 5 ]6 ⇒ 3x 5 ]6 1 12y ⇒ x 5 ] 2 1 4y

Entonces, y es el parámetro libre y puede tomar cualquier valor

y 5 ∈ R,

de manera que la variable x se escribe en términos de este parámetro como

y 5 ]2 1 4

Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones generadas por los valores que le asignemos a . Para obtener soluciones particulares a la ecuación lineal sólo le damos valores al parámetro libre ; es decir,

si 5 3 ⇒ y 5 3 y x 5 ]2 1 (4)(3) 5 10,

si 5 ]1 ⇒ y 5 ]1 y x 5 ]2 1 (4)(]1) 5 ]6,

si 5 0 ⇒ y 5 0 y x 5 ]2 1 (4)(0) 5 ]2.

Caso 3 ❚Ecuación lineal con tres variables o incógnitas a x a x a x b1 1 2 2 3 3+ + =Solución: Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de las dos restantes. Esto es:

a1x1 1 a2x2 1 a3x3 5 b ⇒ a1x1 5 b ] a2x2 1 a3x3 ⇒ 2= −xba

aa1

1 1

x2 aa3

1 x3, a1 fi 0

x2 y x3 son ahora los parámetros libres, que pueden tomar cualquier valor real. Esto es:

x Rx R

2

3

,,

entonces, escribimos la variable x1 como función de estos parámetros libres

2xba

aa

aa1

1 1

3

1

Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.

1.3 Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, las cuales contienen a las mis-mas variables o incógnitas, y la solución para las variables de una de las ecuaciones debe ser la misma para las restantes ecuaciones del conjunto. Es decir, la solución debe ser simultánea para todas las ecuaciones.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas o variables se representa de forma general como:

a x a x a x a x ba x a x a x a

n n11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3

+ + + =+ + +

…… 22 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2

n n

n n

m m

x ba x a x a x a x b

a x a x

=+ + + =

+

…

…++ + =a x a x bm mn n m3 3…

en las que las xj son las variables o incógnitas del sistema, las aij son los coeficientes asociados a las variables y las bi son los coeficientes independientes. Donde i 5 1, 2, …, m indica el número de ecuaciones del sistema y j 5 1, 2, …, n proporciona el número de variables del sistema.

Una solución del sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de n números reales i, con i 5 1, 2, …, n, tales que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Al igual que para una sola ecuación

Problema resuelto

Solución

AlertaCuando se resuelve una

ecuación lineal:

1. Podemos considerar

a cualquiera de las

variables de la ecuación

lineal como parámetros

libres; esto no afectará la

solución de la ecuación

lineal.

2. Para obtener soluciones

particulares de la

ecuación lineal, sólo le

damos valores específicos

a los parámetros libres.

3. Las ecuaciones lineales

de más de una variable

siempre tendrán un

número infinito de

soluciones debido a los

parámetros libres.

5


lineal, un sistema de ecuaciones lineales, en general, puede tener solución única, un número infinito de so-luciones o puede que no tenga solución.

Analicemos la manera de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que corresponde al caso más sencillo de un sistema de ecuaciones lineales.

Caso 4 ❚Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables o incógnitas a x a x b11 1 12 2 1+ = (1) a x a x b21 1 22 2 2+ = (2)

Solución:a) Método de sustituciónEscribimos una de las variables, de cualquier ecuación, en términos de la otra y la sustituimos en la ecuación restante, con esto obtenemos una ecuación lineal de una sola variable. La elección de la ecuación y de la variable o incógnita es totalmente arbitraria.De la ecuación (1) tenemos:

1 2a x a x b xba

aa

x11 1 12 21

12

11

121,

entonces, sustituimos x2 en la ecuación (2), de forma que:

a x aba

aa

x b aa a

21 1 221

12

11

121 2 21

22 11

aax

a ba

b

a a a aa

121

22 1

122

21 12 11 22

12

x ba ba

b a a ba

xb a

1 222 1

12

2 12 22 1

12

12 12 a b

a a a a22 1

21 12 11 22

Ahora, sustituyendo x1 en x2, tenemos:

xba

aa

b a a ba a a a2

1

12

11

12

2 12 22 1

21 12 11 22

xa

bb a a b a aa a a a2

121

2 11 12 1 11 22

21 12 11 2

1

22

212

1 21 12 1 11 22 2 11 121x

ab a a b a a b a a b11 11 22

21 12 11 22 12

1 21 12 21a aa a a a a

b a a b aa aa a a a

xa

a b a b

11 12

21 12 11 22

212

12 1 211 22 11

21 12 11 22

21 21 2 11

2

a

a a a a

xb a b aa 11 12 11 22a a a

b) Método de eliminación de variablesOtra manera de resolver el sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:Eliminamos cualquiera de las dos variables del sistema mediante operaciones; por ejemplo, multiplicar las ecuaciones por un escalar y sumar o restar ecuaciones.

Así, multiplicamos la ecuación (1) por a21 y la ecuación (2) por a11, para obtener:

a a x a a x a b21 11 1 21 12 2 21 1+ = (3) a a x a a x a b11 21 1 11 22 2 11 2+ = (4)

Ahora, restamos la ecuación (4) de la ecuación (3), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de las dos anteriores, esto es: a a x a a x a b21 11 1 21 12 2 21 1+ = (5) a a a a x a b a b21 12 11 22 2 21 1 11 2−( ) = − (6)

donde la ecuación (6) sólo tiene una variable, de la cual podemos determinar su solución de forma directa. Así que:

xa b a ba a a a2

21 1 11 2

21 12 11 22

=−−

6

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1De la misma forma, ahora multiplicamos la ecuación (1) por a22 y la ecuación (2) por a12,

a a x a a x a b22 11 1 22 12 2 22 1+ = (7) a a x a a x a b12 21 1 12 22 2 12 2+ = (8)

Ahora restamos la ecuación (8) de la ecuación (7), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de las dos anteriores, esto es

a a x a a x a b22 11 1 22 12 2 22 1+ = (9) a a a a x a b a b22 11 12 21 1 22 1 12 2−( ) = − (10)

de la ecuación (10) podemos encontrar el valor de la segunda variable:

xa b a ba a a a1

22 1 12 2

22 11 12 21

=−−

Las transformaciones u operaciones que se pueden aplicar a un sistema de ecuaciones lineales para obtener un sistema equivalente, es decir, que tenga el mismo conjunto solución, son:

a) Cambiar el orden de las ecuaciones lineales dentro del sistema.b) Multiplicar una o varias ecuaciones por un escalar, distinto de cero.c) Sumar o restar ecuaciones.

Método de Gauss o de eliminación de variablesConsiste en un algoritmo o procedimiento para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales; en general, durante este proceso se eliminan variables de las ecuaciones que conforman el sistema. De manera que, al finalizar el procedimiento, en cada ecuación queda una sola variable, con su valor correspondiente, el cual nos dará la solución del sistema.

Apliquemos el método al siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

a x a x a x a x ba x a x a x

n n11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23

+ + + =+ +

…

33 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1

……

…

+ =+ + + =

a x ba x a x a x a x b

a

n n

n n

m xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 3+ + + =…

1. Se eliminaron todos los términos que contienen a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m, utilizando el co-eficiente a11 y las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes.2. En seguida, se eliminan los términos que contienen los coeficientes ai2 con i 5 3, 4,…, m, usando el coefi-ciente a22 y aplicando las operaciones que sirven para obtener ecuaciones equivalentes.3. Este procedimiento se repite hasta terminar con la ecuación que contiene al término con el coeficien-te amm; entonces, resolvemos esa ecuación lineal para la o las variables correspondientes, xm o am1k con k 5 1, 2, 3,…, l, si el sistema tiene m ecuaciones con n 5 m 1 l, variables o incógnitas.4. Una vez resuelta la última ecuación, hacemos una sustitución hacia atrás para obtener el valor de las va-riables restantes.La forma final del sistema de ecuaciones lineales, equivalente al sistema de ecuaciones lineales original, que se obtiene mediante este proceso, se conoce como forma escalonada, ya que todos los coeficientes aij 5 0 para i . j, para el caso de un sistema con más variables que ecuaciones,

a x a x a x a x b

a x a x an n11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3

+ + + + =+ + +

…… 22 2

33 3 3 3

1 1

n n

n n

mn m m m

x b

a x a x b

a x a x a

=+ + =

+ + ++ +

……… mmn n mx b=

Si el sistema de ecuaciones lineales tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas o variables, m 5 n, entonces la última ecuación del sistema, después del proceso será:

a x bmn n m=

AlertaCuando resolvemos un

sistema de ecuaciones

lineales usando eliminación

de variables:

1. Aplicamos las

operaciones que se

obtienen de sistemas

de ecuaciones lineales

equivalentes.

2. Los sistemas de

ecuaciones lineales que

se obtienen mediante

las transformaciones

son equivalentes, en el

sentido de que todos ellos

tienen el mismo conjunto

solución.

3. Se requiere verificar que

la solución es válida

para todos los sistemas

de ecuaciones lineales

equivalentes.

7


Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x 1 2y 1 z 5 3 R1 2x 1 5y ] z 5 ]4 R2 3x ] 2y ] z 5 5 R3

Problema resuelto

Forma escalonada x 1 2y 1 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 3

R2](2)R1 → R2 y ] 3z 5 ]10 y ] 3z 5 ]10R3](3)R1 → R3 ]8y ] 4z 5 ]4 R31(8)R2 → R3 ]28z 5 ]84

R3 ⇒ z = −−

=8428

3

R2 ⇒ y 5 ]10 1 3z 5 ]10 1 3(3) 5 ]1 ⇒ Solución únicaR1 ⇒ x 5 3 ] 2y ] z 5 3 ] 2(]1) 5 2

Solución

Problema resuelto

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 R1 2x1 1 2x2 ] 3x3 1 x4 5 3 R2 3x1 1 3x2 ] 4x3 ] 2x4 5 1 R3

x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5

R2](2)R1 → R2 x3 ] 7x4 5 ]7R3](3)R1 → R3 2x3 ] 14x4 5 ]14

x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 ⇒ x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 x3 ] 7x4 5 ]7 ⇒ x3 ] 7x4 5 ]7R3](2)R2 → R3 0 5 0

Forma escalonada

R2 ⇒ x3 5 ]7 1 7x4 ⇒ x R4 es un parámetro libre ⇒ x3 7 7R1 ⇒ x1 5 5 ] x2 1 2x3 ] 4x4 ⇒ x R2 es un parámetro libre ⇒ x1 5 2 7 7 4( ) ⇒ x1 9 10

Soluciones infinitas

Solución

En caso de que alguno o algunos de los coeficientes aii, que son utilizados para eliminar los demás coeficien-tes, sean iguales a cero, entonces podemos intercambiar filas para seguir con el proceso, o en su caso dejar la ecuación correspondiente como tal.

Para ilustrar el procedimiento del método de eliminación gaussiana o, simplemente, método de elimi-nación de variables, resolveremos algunos ejemplos. En éstos se analizan los diversos casos que se pueden presentar, dependiendo del número de ecuaciones y de variables del sistema.

En adelante etiquetaremos a las ecuaciones como R1, R2, R3, etcétera, de manera que, (]1)R2 6 (5)R4 → R2, significa que estamos multiplicando a la ecuación dos por menos uno y le estamos sumando/restando cinco veces la ecuación cuatro, y la ecuación resultante de esta operación la sustituimos por la ecuación dos del sistema.

8

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1Método de eliminación de Gauss-JordanEl procedimiento de eliminación de variables se aplica como en el método anterior, pero en éste se elimi-nan todos los coeficientes aij 5 0 para i fi j, si es posible. De manera que el sistema de ecuaciones lineales equivalente que se obtiene al final del proceso sólo contiene una variable por ecuación, excepto en la última ecuación del sistema, la cual puede contener más de una variable.

En el siguiente caso, aplicamos el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,

a x a x a x a x b

a x a x a xn n11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23

+ + + =+ +

…

33 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1

……

…

+ =+ + + =

a x b

a x a x a x a x b

a

n n

n n

m xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 3+ + + =…

1. El coeficiente del primer término de la primera ecuación debe ser igual a uno, es decir, a11 5 1. Con éste y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, eliminamos todos los términos que contienen a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m.2. Ahora, el coeficiente del segundo término de la segunda ecuación debe ser igual a uno, esto es: a22 5 1; con este coeficiente y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, ahora eliminamos los tér-minos que contienen los coeficientes ai2 con i fi 2.3. Este procedimiento se repite en las ecuaciones restantes, de manera que se obtenga un sistema de ecua-ciones lineales equivalente donde:

ai ji jij

01

sisi

si esto es posible.4. Una vez que se obtiene la forma final del sistema equivalente, con base en el punto anterior, podemos obtener la solución del sistema de ecuaciones lineales.Al final de este procedimiento, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales equivalente de la forma si-guiente,

x cx cx c

x d x d x cm mk k mn n m

1 1

2 2

3 3

===

+ + + =

Apliquemos el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver los siguientes ejemplos.

AlertaTanto para el Método de

eliminación de variables

como para el de Gauss-

Jordan:

1. La forma final del sistema

equivalente depende del

número de ecuaciones y

del número de incógnitas

o variables.

2. La forma final del sistema

equivalente depende del

tipo de solución que tenga

el sistema.

Problema resuelto

R1↔R2 x 1 2y ] 4z 5 ]4 x 1 2y ] 4z 5 ]4 5x 1 11y ] 21z 5 ]22 R2](5)R1 → R2 0 ] y 1 z 5 2 3x ] 2y 1 3z 5 11 R3](3)R1 → R3 0 ] 8y 1 15z 5 ]23

R11(2)R2 → R1 x 1 0 ] 2z 5 0 x 1 0 ] 2z 5 0 0 ] y 1 z 5 2 (]1)R2 → R2 0 1 y ] z 5 ]2R31(8)R2 → R3 0 1 0 ] 7z 5 ]7 R3/7 → R3 0 1 0 1 z 5 1

R11(2)R3 → R1 x 1 0 1 0 5 2 x 5 2R21R3 → R2 0 1 y 1 0 5 ]1 ⇒ y 5 ]1 Solución única 0 1 0 1 z 5 1 z 5 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

5x 1 11y ] 21z 5 ]22 R1

x 1 2y ] 4z 5 ]4 R2

3x ] 2y 1 3z 5 11 R3

Solución

9


Problema resuelto


x 1 2y ] 3z 5 1 R1

2x 1 5y ] 8z 5 4 R2

3x 1 8y ] 13z 5 7 R3

Problema resuelto

R1/2 → R1 a 1 4b 1 3c 5 10 a 1 4b 1 3c 5 10R2/2 → R2 2a 1 b ] c 5 ]1 R2](2)R1 → R2 0 ] 7b ] 7c 5 ]21 3a ] b 1 c 5 11 R3](3)R1 → R3 0 ] 13b ] 8c 5 ]19

R1](4)R2 → R1 a 1 0 ] c 5 ]2 a 1 4b 1 3c 5 10 0 1 b 1 c 5 3R2/(]7)R1 → R2 0 1 b 1 c 5 3 R31(13)R2 → R3 0 1 0 ] 5c 5 20

a 1 0 ] c 5 ]2 R11R3 → R1 a 1 0 ] 0 5 2 0 1 b 1 c 5 3 R2]R3 → R2 0 1 b 1 0 5 ]1R3/(5) → R3 0 1 0 1 c 5 4 0 1 0 ] c 5 4

a 5 2 b 5 ]1 Solución única c 5 4


2a 1 8b 1 6c 5 20 R1

4a 1 2b ] 2c 5 ]2 R2

3a ] b 1 c 5 11 R3

Solución

Problema resuelto


x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2 R1

2x 1 5y ] 2z 1 t 5 1 R2

5x ] 12y ] 7z 1 6t 5 7 R3

x 1 2y ] 3z 5 1 x 1 2y ] 3z 5 1

R2](2)R1 → R2 0 1 y ] 2z 5 2 0 1 y ] 2z 5 2R3](3)R1 → R3 0 1 2y ] 4z 5 4 R3](2)R2 → R3 0 1 0 1 0 5 0

R2 ⇒ y 5 2 1 2z R1 ⇒ x 5 1 ] 2y 1 3z ⇒ z 5 es un parámetro libre,

z R z 5 ]1y = +2 2α Soluciones y 5 2 1 2(]1) 5 0 Soluciónx 1 2 2 2 3( ) infinitas particular 3 x 5 ]3 ] (]1) 5 ]2

Solución

10

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1

Problema resuelto

Problema resuelto

R11R4 → R1 2x 1 6y 1 8z 5 2 R1/(2) → R1 x 1 3y 1 4z 5 1 3x ] 2y ] z 5 5 3x ] 2y ] z 5 5 3a ] b 1 c 5 11 2x ] 5y 1 3z 5 ]4

x ] 3y 1 4z 5 1 (11)R11(3)R2 → R1R2](3)R1 → R2 0 ] 11y ] 13z 5 2 11x 1 0 1 5z 5 17R3](2)R1 → R3 0 ] 11y ] 5z 5 ]6 0 ] 11y ] 13z 5 2 R3]R2 → R3 0 1 0 ] 8z 5 8

11x 1 0 1 5z 5 17 R11(5)R3 → R1 11x 1 0 1 0 5 22 0 1 11y 1 13z 5 2 R2](13)R3 → R2 R3/(8) → R3 0 1 0 ] z 5 1 0 1 11y 1 0 5 ]11 0 1 0 ] z 5 1

R1/(11) → R1 x 1 0 1 0 5 2 x 5 2R2/(11) → R2 0 ] y 1 0 5 ]1 y 5 1 Solución única ⇒ z 5 ]1 0 1 0 ] z 5 1

x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2 R1](2)R2 → R1 R2](2)R1 → R2 0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3 x ] 0 ] 11z 1 18t 5 8R3](5)R1 → R30 1 2y 1 8z ] 14t 5 ]3 0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3

R3](2)R2 → R3 0 1 0 1 0 1 0 5 3

R3 ⇒ El sistema no tiene solución.


x 1 2y 1 2z 5 2 R1 3x ] 2y ] z 5 5 R2 2x ] 5y 1 3z 5 ]4 R3 x 1 4y 1 6z 5 0 R4

Para el siguiente sistema de ecuaciones determinar las condiciones en a, b, c, donde a, b, c e R para obtener:

a) Solución única.b) Sin solución.c) Soluciones infinitas.

x 1 2y ] 3z 5 a R1

2x 1 6y ] 11z 5 b R2

x ] 2y 1 7z 5 c R3

Solución

Solución

Otro tipo de problemas que resulta interesante resolver, por sus diversas aplicaciones, por ejemplo donde se involucran multiplicadores de Lagrange, son aquéllos donde uno impone las condiciones necesarias al siste-ma para que tenga determinado tipo de solución, estas condiciones se introducen en ciertos parámetros, de los cuales depende el sistema de ecuaciones lineales.

11


x 1 2y ] 3z 5 a x 1 2y ] 3z 5 aR2](2)R1 → R2 0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a R31(2)R2 → R3 0 1 0 1 0 5 c 1 2b ] 5aR3]R1 → R30 1 4y ] 10z 5 c ] a R3 ⇒ 0 5 c 1 2b ] 5a No puede tener solución única. No tiene solución si: 5a ] 2b ] c fi 0 Tiene un número infinito de soluciones si: 5a ] 2b ] c 5 0

Solución

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneosCierto tipo de ecuaciones lineales o de sistemas de ecuaciones, aquéllas donde la ecuación o todas las ecua-ciones se igualan con cero, se conocen como homogéneas. Éstas tienen la característica de que, sin importar el valor de los coeficientes o el número de variables, siempre tienen solución, ya sea solución única (todas las variables iguales a cero) o bien un número infinito de soluciones.

Pero lo más importante de esta propiedad es su gran utilidad en muchos otros conceptos y aplicaciones, por ejemplo para mostrar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente (unidad 3), para determinar el núcleo o kernel de una transformación lineal (unidad 4), para encontrar los vectores propios o característicos asociados a una matriz (unidad 5), etcétera.

A continuación, analizamos la estructura y las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homo-géneos y estudiamos las posibles soluciones de éstos, en términos del número de ecuaciones y de variables del sistema.

Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas y n variables es aquel para el cual todos los coeficientes independientes son iguales con cero; esto es, bi 5 0 para todo i. Entonces,

a x a x a x a xa x a x a x

n n11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3

0+ + + =+ +

…………

…

+ =+ + + =

+

a xa x a x a x a x

a x

n n

n n

m

2

31 1 32 2 33 3 3

1 1

00

aa x a x a xm m mn n2 2 3 3 0+ + =…

Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene solución. Una de éstas puede ser la solución trivial, esto es:

x1 5 x1 5 … 5 xn 5 0, o bien xi 5 0 para toda i

o bien, el sistema homogéneo puede tener un número infinito de soluciones, las cuales están dadas en tér-minos de los parámetros libres.

Problema resuelto

x 1 y ] z 5 0 x 1 y ] z 5 0R2](2)R1 → R2 0 1 2y 1 z 5 0 R2 ↔ R3 0 ] y 1 5z 5 0R3](3)R1 → R3 0 ] y 1 5z 5 0 0 1 2y 1 z 5 0

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones homógeno:

x 1 y ] z 5 0 R1

2x 1 4y ] z 5 0 R2

3x ] 2y 1 2z 5 0 R3

Solución

Alerta1. Si la solución del sistema

homogéneo es única,

entonces la solución es la

trivial.

2. Si un sistema homogéneo

tiene más incógnitas que

ecuaciones, entonces

tiene un número infinito

de soluciones, incluyendo

a la solución trivial.

12

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1

Problema resuelto

x 1 y ] z 5 0 x 1 y ] z 5 0R2](2)R1 → R2 0 ] 5y 1 3z 5 0 0 ] 5y 1 3z 5 0R3]R1 → R3 0 ] 5y 1 3z 5 0 R3]R2 → R3 0 1 0 1 0 5 0

⇒ x 1 y ] z 5 0 (3)R11R2 → R1 3x ] 2y 1 0 5 0 0 ] 5 y 1 3z 5 0 0 ] 5y 1 3z 5 0

R1 ⇒ x y=23

R2 ⇒ y z=35 z es un parámetro libre ⇒

z R

y

x

35

23

35

25

Número infinito de soluciones.

Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x 1 y ] z 5 0 R1

2x 1 3y 1 z 5 0 R2

x ] 4y 1 2z 5 0 R3

Solución

1.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones linealesEn esta sección analizamos algunos problemas cuya solución se obtiene a través del planteamiento y la re-solución de sistemas de ecuaciones lineales, los cuales, como veremos, pueden aparecer en cualquier área del conocimiento.

R11R2 → R1 x 1 0 1 4z 5 0 x 1 0 1 4z 5 0 0 ] y 1 5z 5 0 0 ] y 1 5z 5 0R31(2)R2 → R3 0 1 0 ] 11z 5 0 R3/(11) → R3 0 1 0 1 z 5 0

R1](4)R3 → R1 x 1 0 1 0 5 0 x 5 0R2](5)R3 → R2 0 ] y 1 0 5 0 ⇒ y 5 0 Solución única. 0 1 0 1 z 5 0 z 5 0

Problema resuelto

Cuatro socios de una empresa desean repartirse las ganancias, cuyo valor asciende a $4 680 000.00, de la

siguiente manera: las 23

de las ganancias se dividirán en partes iguales entre los cuatro. De la otra tercera par-

te, cada uno recibirá $60 000.00 cada año hasta que cumplan 20 años en la empresa. Si entre cada socio se llevan 3 años de diferencia dentro de la empresa, determinar: ¿cuánto dinero recibirá cada uno de los socios?, y ¿cuántos años tiene cada uno de ellos en la empresa?

13


Problema resuelto

El nivel de contaminación ambiental, medido durante un día determinado, para las tres principales ciudades de la República Mexicana: Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, fue de 18 puntos IMECA, en promedio. Para ese día en particular, se cuenta con los siguientes datos en las lecturas: en la Ciudad de México la contaminación estuvo 4 puntos por encima del promedio de las otras dos ciudades y en Monterrey la medición indicó 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades. ¿Cuál fue el índice de contaminación en cada ciudad ese día?

Consideremos a las siguientes variables x, y y z, como los puntos o niveles de contaminación en cada una de las tres ciudades, Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, respectivamente. Si el promedio de las tres mediciones dio 18 puntos, entonces:

x y z+ +=

318.

Planteamos el problema como sigue, sea x1, x2, x3 y x4 el dinero que recibirá cada uno de los socios, de mayor

a menor edad dentro de la empresa, respectivamente; correspondiente a la 13

parte de las ganancias ($1 560 000.00), entonces tenemos que x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.Por otro lado, como el socio menor recibirá 3 veces más la cantidad de $60 000.00 con respecto al socio que le sigue de edad, entonces tenemos que x4 ] x3 5 3 ∙ 60 000 5 180 000, lo mismo sucede con los demás, es decir, x3 ] x4 5 180 000 y x2 ] x1 5 180 000.

De esta forma encontramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.

x4 ] x3 5 180 000

x3 ] x2 5 180 000

x2 ] x1 5 180 000

Al resolver tenemos la solución: x1 5 120 000, x2 5 300 000, x3 5 480 000 y x4 5 660 000.

Los 23

de $4 680 000.00 equivalen a $3 120 000.00 que dividido entre cuatro son $780 000. Por lo cual cada

socio recibirá en total,

x1 5 $120 000.00 1 780 000.00 1 900 000.00

x2 5 $300 000.00 1 780 000.00 1 1 080 000.00

x3 5 $480 000.00 1 780 000.00 1 1 260 000.00

x4 5 $660 000.00 1 780 000.00 1 1 440 000.00

Ahora, por ejemplo, el socio mayor recibirá x1 5 $120 000.00 cuando cumpla 20 años en la empresa, $60 000.00 por año, entonces x1 5 120 000.00 5 2 ∙ 260 000.00, significa que le faltan 2 años para cumplir los 20 en la empresa, por tanto:

El socio 1 tiene 18 años en la empresaEl socio 2 tiene 15 años en la empresaEl socio 3 tiene 12 años en la empresaEl socio 4 tiene 9 años en la empresa

Solución

Solución

14

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1Como en la Ciudad de México el nivel de contaminación fue mayor en 4 puntos respecto del promedio de las otras dos ciudades, entonces:

xy z

=+

=2

4.

Finalmente, el nivel en Monterrey fue 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades, lo que quiere decir que:

yx z

=+

=2

3.

Tenemos, entonces, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x y zx y z

x y z

+ + =− − =

− + − = −

542 8

2 6

De donde obtenemos la siguiente solución:

x =623

puntos de concentración en la ciudad deMéxicoo.

puntos de concentración en la ciudad deMony = 16 tterrey.

puntos de concentración en la ciudaz =523

dd de Guadalajara.

Problema resuelto

Consideremos como x1, x2, y x3 el número de unidades que puede producir la armadora en un mes, cantidades que corresponden a los modelos sedán, camioneta y compacto, respectivamente. El número total de horas necesarias para construir determinado número de automóviles está dado por 10x1, 12x2, y 6x3; si se cuenta con 1 560 horas al mes para ensamblarlos, obtenemos la ecuación: 10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560.

Para las horas de prueba también tenemos que 2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340.

De la misma forma para los terminados encontramos que 2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320.

Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:

10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560

2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340

2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320

Determinamos el número de automóviles que puede producir la armadora, los cuales están dados por:

tipo sedán x1 5 60

tipo camioneta x2 5 40

tipo compacto x3 5 80

Una armadora de automóviles fabrica tres modelos distintos: sedán, camioneta y compacto. Para armar un sedán se necesitan 10 horas, más otras 2 horas de prueba y 2 horas más para los acabados. La camioneta se lleva 12 horas de ensamblado, 2.5 horas de prueba y 2 horas más de detalles. Por último, el compacto utiliza 6 horas en el armado, 1.5 para las pruebas y 1.5 horas para los terminados. Si la empresa armadora dispone de 1 560 horas para ensamblar los automóviles, 340 para probarlos y 320 para darles los acabados, ¿cuántos automóviles puede fabricar al mes?

Solución

15


En cálculo, geometría, etcétera, es muy común que a partir de cierta información que se tiene de funciones o de objetos geométricos, se construya la ecuación que los describe, para poder resolver este tipo de pro-blemas es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problema resuelto

Problema resuelto

El polinomio lo podemos ver como una función y(x) 5 p(x) ; entonces, para cada par ordenado (x, y), tenemos un punto donde debemos evaluar la función x y un valor de la función y, esto es,

para el punto (1, 4) ⇒ a0 1 a1(1) 1 a2(1)2 5 4

para el punto (2, 0) ⇒ a0 1 a1(2) 1 a2(2)2 5 0

para el punto (3, 12) ⇒ a0 1 a1(3) 1 a2(3)2 5 12

de donde obtenemos el sistema de ecuaciones lineales,

a0 1 a1 1 a2 5 4

a0 1 2a1 1 4a2 5 0

a0 1 3a1 1 9a2 5 12

que tiene por solución los valores, a0 5 24, a1 5 ]28, y a2 5 8.

Por tanto, el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (1, 4), (2, 0) y (3, 12), tiene la forma p(x) 5 24 ] 28x 1 8x2.

La ecuación general de un plano está dada por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 y un punto (x, y, z) en el plano es aquel que satisface la igualdad. Entonces, evaluamos cada uno de los puntos en la ecuación, para determinar los coeficientes del plano, esto es,

para el punto (1, 1, 2) ⇒ a 1 b 1 2c 1 d 5 0

para el punto (1, 2, 0) ⇒ a 1 2b 1 d 5 0

para el punto (2, 1, 5) ⇒ 2a 1 b 1 5c 1 d 5 0

Resolviendo el sistema para las constantes, tenemos que, c 5 ]d, b 5 ]2d y a 5 3d, esto es, un sistema con un número infinito de soluciones en términos de una variable, la cual podemos tomar como parámetro libre, es decir, d R.

Para una solución particular, d 5 1, c 5 ]1, b 5 ]2 y a 5 3.

Entonces, un plano que contiene a los tres puntos (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5) es paralelo al plano dado por la ecuación, 3x 1 2y ] z 1 1 5 0 o a cualquier otro paralelo a él, obtenido con algún valor de d = α.

Determinar el polinomio de segundo grado: p(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x2, cuya gráfica contiene a los puntos (1, 4),

(2, 0) y (3, 12).

Gracias a la geometría sabemos que un plano está completamente definido si conocemos tres puntos que estén contenidos en él, siempre y cuando éstos no sean colineales. Determinar el plano que contiene a los siguientes puntos: (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5).

Solución

Solución

16

UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1Problema resuelto

Problema resuelto

Tenemos que hallar las constantes A, B y C, tales que la fracción pueda escribirse como una suma de fracciones parciales, esto es:

1 1

11 2 1 1 2 1

2

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

(

x x xA

xB

xCx

A x

− + +=

−+

++

+

=+ ))( ) ( )( ) ( )( )

( )( )(x B x x C x x

x x x+ + − + + − +

− +1 1 2

1 2 ++

=+ + + − + + −

− +

1

3 2 1 21 2

2 2 2

)

( ) ( ) ( )( )( )

A x x B x C x xx x (( )

( ) ( ) ( )( )(

x

A B C x A C x A B Cx x

+

=+ + + + + − −

− +

1

3 2 21 2

2

))( )x + 1

de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

A B CA C

A B C

+ + =+ =

− − =

03 0

2 2 1

Cuya solución es, A B C= = =16

13

12

, .y − Por tanto, la suma en fracciones parciales

se puede escribir como:

11 2 1

16 1

13 2

12 1( )( )( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x− + +

=−

++

++

Resolver el siguiente sistema de fracciones parciales:

11 2 1 1 2 1( )( )( ) ( ) ( ) ( )x x x

Ax

Bx

Cx− + +

=−

++

++

Encontrar el valor de las corrientes eléctricas, que circulan por el circuito eléctrico siguiente:

Considere los siguientes valores, E 5 6 voltios, R1 5 2 ohms, R2 5 3 ohms, R3 5 4 ohms y R4 5 2 ohms.

Solución

Cuando analizamos circuitos eléctricos, cuyos componentes son resistencias y fuentes de alimentación o voltaje, debemos considerar las corrientes que circulan por el circuito y el voltaje proporcionado por las fuentes.

Para describir estas relaciones usamos la ley de Ohm (el voltaje es igual al producto de la corriente por la resistencia); además de las dos leyes de Kirchhoff, la ley de corriente o nodos (en cualquier nodo la suma de las corrientes que inciden es igual a la suma de las corrientes que salen de él), la ley del voltaje o mallas. La suma de todos los cambios de voltaje en un circuito cerrado es igual al voltaje proporcionado por la fuente.

17


Para generar nuestras ecuaciones lineales, utilizamos las leyes de Ohm y de Kirchhoff, esto es:

Para el nodo A tenemos, i1 ] i2 ] i3 5 0

Para la malla 1 tenemos, 2i1 1 3i2 5 6

Para la malla 2 tenemos, ]3i3 1 6i3 5 0

De esta manera, el sistema de ecuaciones lineales a resolver es:

i1 ] i2 ] i3 5 0

2i1 1 3i2 5 6

]3i2 1 6i3 5 0

La solución es, = =, ,i i i1 3232

132

=y que corresponde a las corrientes que circulan por el circuito eléctrico,

como se observa en la figura 1.2.

Solución

Cuando combinamos moléculas de cierto tipo, éstas se combinan y se obtienen nuevas moléculas; este proceso se conoce como reacción química. Lo importante de una reacción química es que el número de átomos de cada tipo, antes y después de la reacción, sea exactamente el mismo, a esto se llama balancear la ecuación química. Para llevar a cabo el balance de una reacción química es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problema resuelto

El número de átomos del mismo tipo debe ser el mismo en ambos lados de la reacción, es decir:

sean 1, 2, 3 y 4 números enteros tales que,

1 3 2 2 3 2 4 2NH O N H O

Balancear la siguiente ecuación química:

NH O N H O3 2 2 2

la cual está asociada a la combustión de amoníaco; con lo que se obtienen los siguientes productos: nitrógeno y agua.

Solución

R1 A

B

1 2 R2

R3

R4E1

i1

1

]

i2i3

Figura 1.2

Documents

Álgebra lineal · transformación lineal y su representación matricial, también se detallan en esta unidad. Finalmente, en la unidad 5, se describe el problema de los valores y