Álgebradesemigrupona compactiﬁcaçãodeStone-Čech

Álgebra de semigrupo na

compactificação de Stone-Čechde semigrupos discretos

Matheus Koveroff Bellini

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Matemática

Programa: Mestrado em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Artur Hideyuki Tomita

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da FAPESP

(Processo 2015/19857-4)

São Paulo, outubro de 2017

Álgebra de semigrupo na

compactificação de Stone-Čechde semigrupos discretos

Esta é a versão original da dissertação elaborada pelo

candidato Matheus Koveroff Bellini, tal como

submetida à Comissão Julgadora.

Agradecimentos

Aos meus pais, Domingos e Érika, por seu apoio durante toda a minha graduação e a escolha

de seguir a carreira acadêmica.

À minha irmã, Katherine, por oferecer momentos de descontração durante a feitura desta dis-

sertação.

Ao meu orientador, Tomita, por me acolher neste meio acadêmico e pela confiança depositada

em mim.

Ao meu colega de orientação, Vinicius, já que passamos por quase exatamente as mesmas coisas

juntos nessa vida universitária.

Aos amigos que fiz no IME, o nosso grupo dos Amogos, com quem também passamos muitos

momentos de estudo e de diversão.

À FAPESP, pois sem o apoio financeiro este projeto não teria sido tão frutuoso, ou sequer

possível.

i

ii

Resumo

BELLINI, M. K. Álgebra de semigrupo na compactificação de Stone-Čech de semigrupos

discretos. 2017. 61 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universi-

dade de São Paulo, São Paulo, 2017.

Um semigrupo é um conjunto S munido de uma operação associativa ·. Considerando-o com

sua topologia discreta, é possível estender a operação · à sua compactificação de Stone-Čech, βS,

de forma que para todo x ∈ βS, a função ρx : βS → βS definida por ρx(y) = y · x é contínua,

assim como para todo s ∈ S, λs : βS → βS definida por λs(y) = s · y é contínua. Desse modo,

βS é um semigrupo topológico à direita compacto com S contido em seu centro topológico, o que

garante a existência de idempotentes minimais e ideais à esquerda minimais. Assim, propriedades da

álgebra de semigrupo em S, tais como comutatividade e cancelabilidade, se traduzem a propriedades

topológicas de βS e de seu resto βS\S, ou de propriedades que interrelacionam a topologia de βS

com sua álgebra de semigrupo. Derivam-se em particular os resultados para o caso mais relevante,

o conjunto dos naturais N com a operação de soma; mesmo neste caso as propriedades de (βN,+)

ainda não foram satisfatoriamente elucidadas, sendo por vezes independentes de ZFC. O primeiro

capítulo deste texto contém todos os pré-requisitos para compreender os dois subsequentes, que são

independentes entre si – o primeiro trata especificamente de βN, e o segundo versa sobre βS para

S semigrupo mais geral.

Palavras-chave: topologia geral, álgebra de semigrupo, álgebra na compactificação, semigrupos

topológicos.

iii

iv

Abstract

BELLINI, M. K. Semigroup algebra in the Stone-Čech compactification of discrete semi-

groups. 2017. 61 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade

de São Paulo, São Paulo, 2017.

A semigroup is a set S together with an associative operation ·. Endowed with its discrete

topology, it is possible to extend the operation · to its Stone-Čech compactification, βS, in such

a manner to guarantee the functions ρx : βS → βS defined by ρx(y) = y · x are all continuous

for every x ∈ βS, as well as the functions λs : βS → βS defined by λs(y) = s · y for every

s ∈ S. Thusly, βS is a compact right topological semigroup with S contained in its topological

centre, which assures the existence of minimal idempotents and minimal left ideals. It follows that

properties of the semigroup algebra of S, such as commutativity and cancellability, translate into

topological properties of βS, or properties which interweave the topology of βS with its semigroup

algebra. In particular, such results are studied in the most relevant case – that of the set of natural

numbers N with its addition operation; even in this case the properties of (βN,+) have not yet

been sufficiently determined, and are sometimes independent of ZFC. The first chapter of this text

covers all the prerequisites to the following two chapters, which are independent from each other –

the first is about the specific case of βN, and the second treats the more general case of βS for any

semigroup S.

Keywords: general topology, semigroup algebra, algebra in the compactification, topological se-

migroups.

v

vi

Sumário

Lista de Abreviaturas ix

Lista de Símbolos xi

1 Preliminares 1

1.1 Semigrupos, Ideais e Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Semigrupos Topológicos à Direita Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Compactificação de Stone-Čech de Espaços Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 A Compactificação de Stone-Čech de um Semigrupo Discreto . . . . . . . . . . . . . 10

2 A Álgebra de βN 13

2.1 O Semigrupo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 O Ideal N∗ + N∗, o Fecho de K(βN), Uκ(S), Somas e Produtos . . . . . . . . . . . . 19

2.3 N∗ não contém uma cópia algébrica e topológica de βN . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Subgrupos discretos em βN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Cadeias de idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 A Álgebra de βS 55

3.1 Sobre a Raridade de Produtos em S∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Cancelabilidade à direita em βS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Cópias de H em S∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 O Teorema de Zelenyuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A Grupos Abelianos Divisíveis 99

vii

viii SUMÁRIO

Capítulo 1

Preliminares

Denotaremos por ω = {0, 1, 2, . . .} o primeiro ordinal e cardinal infinito e por N o conjunto

{1, 2, 3, . . . }, ou seja, ω\{0}. Como ordinal e cardinal, um número natural n ∈ N é o conjunto

{0, 1, . . . , n− 1}. Denota-se também c = 2ω = |P(N)|.

Dada função f e dado A contido no domínio de f , f [A].= {f(x) : x ∈ A}. Dado qualquer

conjunto B, f−1[B].= {x ∈ dom f : f(x) ∈ B}. Dizemos que a função é finita-por-unitários se para

todo x, f−1[{x}] for finito.

Dado um conjunto A, Pf (A).= {F : ∅ 6= F ⊂ A e F é finito}.

Como esta dissertação é sobre a álgebra de semigrupo de βS para S semigrupo discreto – em

particular (βN,+) e (βN, ·) –, neste capítulo apresentaremos as definições necessárias e os teoremas

mais relevantes para fundamentar o assunto. Mais detalhes podem ser encontrados nos capítulos 1,

2, 3 e 4 de [1].

1.1 Semigrupos, Ideais e Idempotentes

Definição 1.1. Um semigrupo é um par (S, ∗) em que S é um conjunto não-vazio e ∗ é uma

operação binária associativa sobre S.

Definição 1.2. Dado A 6= ∅, o semigrupo livre sobre A é o conjunto de todas as sequências finitas

de elementos de A, com a operação definida pela concatenação de sequências.

Definição 1.3. Sejam (S, ·) um semigrupo, O um conjunto linearmente ordenado por <, e (xo)o∈O

uma O-sequência em S (ou seja, uma função de O em S). Definimos, para cada F ∈ Pf (O),∏o∈F xo como o produto na ordem crescente de índices.

Dizemos que (xo)o∈O satisfaz a unicidade dos produtos finitos, ou que possui produtos finitos dis-

tintos, se sempre que F,G ∈ Pf (O) e∏o∈F xo =

∏o∈G xo, vale que F = G.

Além disso, define-se FP ((xo)o∈O) = {∏o∈F xo : F ∈ Pf (O)}.

1

2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Definição 1.4. Sejam (S, ∗) e (T, ·) semigrupos.

(a) Um homomorfismo de S em T é uma função ϕ : S → T tal que ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) · ϕ(y), para

todos x, y ∈ S.

(b) Um isomorfismo de S em T é um homomorfismo de S em T que é bijetor.

(c) S e T são isomorfos se existir um isomorfismo de S em T . Neste caso denotamos S ∼= T .

Por conveniência, passaremos a denotar x ∗ y por xy e diremos “seja S um semigrupo” sem

especificar a operação, caso não surjam ambiguidades.

Definição 1.5. Sejam S um semigrupo e a ∈ S.

(a) a é uma identidade à esquerda de S se, para todo x ∈ S, ax = x.

(b) a é uma identidade à direita de S se, para todo x ∈ S, xa = x.

(c) a é uma identidade de S se a for uma identidade à direita e uma identidade à esquerda de S.

Definição 1.6. Seja S um semigrupo.

(a) S é comutativo se, para todos x, y ∈ S, xy = yx.

(b) O centro de S é Z(S) = {x ∈ S : para todo y ∈ S, xy = yx}.

(c) Dado x ∈ S, λx : S → S é definido por λx(y) = xy.

(d) Dado x ∈ S, ρx : S → S é definido por ρx(y) = yx.


(a) x ∈ S é cancelável à direita se dados y, z ∈ S tais que yx = zx, tem-se que y = z.

(b) x ∈ S é cancelável à esquerda se dados y, z ∈ S tais que xy = xz, tem-se que y = z.

(c) S é cancelativo à direita se todo x ∈ S é cancelável à direita.

(d) S é cancelativo à esquerda se todo x ∈ S é cancelável à esquerda.

(e) S é cancelativo se for cancelativo à esquerda e à direita.


(a) x ∈ S é um idempotente se xx = x.

(b) E(S) = {x ∈ S : xx = x}.

(c) T é um subsemigrupo de S se T ⊂ S e T é um semigrupo com a restrição da operação de S.

1.1. SEMIGRUPOS, IDEAIS E IDEMPOTENTES 3

(d) T é um subgrupo de S se T ⊂ S e T é um grupo com a restrição da operação de S.


(a) L é um ideal à esquerda de S se ∅ 6= L ⊂ S e SL ⊂ L.

(b) R é um ideal à direita de S se ∅ 6= L ⊂ S e RS ⊂ R.

(c) I é um ideal de S se I for um ideal à esquerda e um ideal à direita de S.


(a) L é um ideal à esquerda minimal se L for um ideal à esquerda de S tal que dado J ideal à

esquerda tal que J ⊂ L, tem-se que J = L.

(b) R é um ideal à direita minimal se R for um ideal à direita de S tal que dado J ideal à direita

tal que J ⊂ R, tem-se que J = R.

(c) S é simples à esquerda se S for o único ideal à esquerda de S.

(d) S é simples à direita se S for o único ideal à direita de S.

(e) S é simples se S for o único ideal de S.

Definição 1.11. Sejam S um semigrupo e e, f ∈ E(S).

(a) e ≤L f se e só se e = ef .

(b) e ≤R f se e só se e = fe.

(c) e ≤ f se e só se e = fe = ef .

Vale que ≤L, ≤R e ≤ são reflexivas e transitivas, e ≤ é antissimétrica. Além disso, tem-se que

são equivalentes:

1. e é minimal com relação a ≤L;

2. e é minimal com relação a ≤R;

3. e é minimal com relação a ≤.

De forma que é válido definir:

Definição 1.12. Seja S um semigrupo. e ∈ E(S) é um idempotente minimal se e for minimal com

relação a qualquer uma das pré-ordens ≤L, ≤R ou ≤.

Lembramos que um elemento x de uma pré-ordem P é minimal se sempre que yPx, então vale

que xPy (e não necessariamente x = y).


Definição 1.13. Seja S um semigrupo. Se S possui um menor ideal, denotamo-lo por K(S).

Teorema 1.14. Seja S um semigrupo. Se S possui um ideal à esquerda minimal, então K(S)

existe e K(S) =⋃{L : L é um ideal à esquerda minimal de S}.

Teorema 1.15. Suponha que S contém um ideal à esquerda minimal que possui um idempotente.

Então:

(a) Todo ideal à esquerda de S contém um ideal à esquerda minimal.

(b) Todo ideal à esquerda minimal possui um idempotente.

(c) Existe um ideal à direita minimal que possui um idempotente. (Logo todo ideal à direita contém

um ideal à direita minimal que possui um idempotente.)

(d) Dado T ⊂ S, T é um ideal à esquerda minimal se e somente se existe e ∈ E(K(S)) tal que

T = Se.

Teorema 1.16. Seja S um semigrupo, suponha que existe um ideal à esquerda minimal que possui

um idempotente e seja e ∈ E(S). São equivalentes:

(a) Se é um ideal à esquerda minimal.

(b) Se é simples à esquerda.

(c) eSe é um grupo.

(d) eSe é o maior grupo que tem e como identidade.

(e) eS é um ideal à direita minimal.

(f) eS é simples à direita.

(g) e é um idempotente minimal.

(h) e ∈ K(S).

(i) K(S) = SeS.

Teorema 1.17. Suponha que S contém um ideal à esquerda minimal que possui um idempotente.

Então:

(a) Dado e idempotente, existe f idempotente tal que f ≤ e.

(b) Dados L ideal à esquerda minimal e R ideal à direita minimal, existe um idempotente e tal que

e ∈ R ∩ L = RL = eSe e eSe é grupo.

1.1. SEMIGRUPOS, IDEAIS E IDEMPOTENTES 5

(c) Os ideais à esquerda minimais de S particionam K(S); os ideais à direita minimais de S

particionam K(S); os grupos maximais de K(S) particionam K(S).

(d) Suponha T subsemigrupo de S que também contém um ideal à esquerda que possui um idempo-

tente. Se K(S) ∩ T 6= ∅, então K(T ) = K(S) ∩ T .

(e) São equivalentes:

(i) s ∈ K(S).

(ii) Para todo t ∈ S, s ∈ Sts.

(iii) Para todo t ∈ S, s ∈ stS.

(iv) Para todo t ∈ S, s ∈ Sts ∩ stS.


1.2 Semigrupos Topológicos à Direita Compactos

Definição 1.18. Um semigrupo topológico à direita é uma tripla (S, ∗, τ) em que (S, ∗) é um

semigrupo, (S, τ) é um espaço topológico e, para todo x ∈ S, ρx : S → S é contínua.

Costumeiramente, dir-se-á “seja S um semigrupo topológico à direita” quando disso não resul-

tarem ambiguidades.

Definição 1.19. Seja S um semigrupo topológico à direita. O centro topológico de S é

Λ(S) = {x ∈ S : λx é contínua}.

Teorema 1.20. Seja S um semigrupo topológico à direita compacto. Então E(S) 6= ∅.

Corolário 1.21. Seja S um semigrupo topológico à direita compacto. Então todo ideal à esquerda

contém um ideal à esquerda minimal, ideais à esquerda minimais são fechados, e todo ideal à

esquerda minimal possui um idempotente.

Dessa forma, se S é um semigrupo topológico à direita compacto, valem todos os resultados

listados em 1.14, 1.15, 1.16 e 1.17.

Teorema 1.22. Sejam S um semigrupo topológico à direita e R um ideal à direita de S. Então

cl R é um ideal à direita de S.

A seguir, um teorema cuja demonstração do item (a) será dada para exemplificar a interação

entre as estruturas algébrica e topológica de S.

Teorema 1.23. Seja S um semigrupo topológico à direita compacto, e suponha que Z(S) é denso

em S.

(a) Seja L um ideal à esquerda de S. Então cl L é um ideal à esquerda de S.

(b) Seja R um ideal à direita de S. Então cl R é um ideal de S.

(c) Seja e ∈ E(K(S)). Então cl (eSe) = Se.

Demonstração. (a): Sejam x ∈ cl L e y ∈ S. Seja U vizinhança de yx. yx = ρx(y), logo seja V

vizinhança de y tal que ρ[V ] ⊂ U . Seja z ∈ Z(S)∩V . Então ρx(z) = zx = xz = ρz(x) ∈ U , logo

seja W vizinhança de x tal que ρz[W ] ⊂ U . Seja w ∈W ∩L. Então ρz(w) = wz = zw ∈ U ∩L.

Logo yx ∈ cl L. �

1.3. COMPACTIFICAÇÃO DE STONE-ČECH DE ESPAÇOS DISCRETOS 7

1.3 Compactificação de Stone-Čech de Espaços Discretos

Esta seção tem o propósito de fixar notações, já que o assunto é amplamente conhecido, e assim

não é necessária uma longa exposição de definições e teoremas.

Definição 1.24. Dado D espaço topológico discreto, βD = {p : p é um ultrafiltro sobre D}, como

conjunto. Definindo, para cada A ⊂ D, A = {p ∈ βD : A ∈ p}, temos que {A : A ⊂ D} é uma

base para uma topologia em βD. βD com esta topologia é uma compactificação de Stone-Čech de

D; ao identificar cada x ∈ D com seu ultrafiltro principal, podemos considerar D ⊂ βD.

Assim, temos que:

(i) Os clopens são exatamente os conjuntos da forma A, para A ⊂ D. (Portanto βD é zero-

dimensional.)

(ii) Para todo A ⊂ D, A = clβD A.

(iii) Os pontos isolados de βD são exatamente os pontos de D.

(iv) Dado U ⊂ βD aberto, clβD U também é aberto. (Ou seja, βD é extremamente desconexo.)

Definição 1.25. (a) Seja A ⊂ D. Então A∗ = A\A.

(b) Dado T ⊂ D, podemos identificar p ∈ T com {A ∩ T : A ∈ p} ∈ βT , e assim diremos que

βT ⊂ βD.

(c) Sejam Y compacto e f : D → Y , denotaremos por f a extensão contínua de f a βD.

(d) Seja κ cardinal. Então Uκ(D) = {p ∈ βD : ∀A ∈ p, |A| ≥ κ}.

(e) Seja κ cardinal infinito, e seja A uma coleção de conjuntos. Então A possui a propriedade

da interseção finita κ-uniforme (também chamada de κ-p.i.f.) se dado qualquer F ∈ Pf (A),

|⋂F| ≥ κ.

(f) Dado A filtro em D, A = {p ∈ βD : A ⊂ p}.

Com estas definições, valem os seguintes resultados:

Teorema 1.26. (a) Suponha que f : D → D não possui pontos fixos. Então D pode ser par-

ticionado em três células A1, A2, A3 tais que para cada i, Ai ∩ f [Ai] = ∅. Como corolário,

f : βD → βD também não possui pontos fixos.

(b) Se D é infinito, então todo Gδ de D∗ possui interior não-vazio em D∗. Como consequência,

toda união enumerável de nunca-densos de D∗ é nunca-densa em D∗.


(c) Sejam A e B subconjuntos σ-compactos de βD ou de D∗. Então (cl A)∩ (cl B) ⊂ (A∩ (cl B))∪

((cl A) ∩B).

(d) Seja D infinito de cardinalidade κ, e seja A ⊂ P(D) tal que |A| ≤ κ e A possui a κ-p.i.f. Então

|{p ∈ Uκ(D) : A ⊂ p}| = 22κ . Em particular, |Uκ(D)| = |βD| = 22κ.

(e) Sejam D e E espaços discretos e f : D → E ⊂ βE. Então para cada p ∈ βD, f(p) = {A ∈

E : f−1[A] ∈ p}. Logo, se f é injetora, f é injetora; e se f é sobrejetora, f é sobrejetora. E se

B ∈ p, então f [B] ∈ f(p).

(f) Dado A filtro em D, A é um fechado de βD.

(g) Dado A ⊂ βD,⋂A é um filtro em D e clβDA =

⋂A.

(h) Sejam X espaço topológico, f : βD → X contínua, e p ∈ βD. Então dada U vizinhança de

f(p), D ∩ f−1[U ] ∈ p.

(i) Seja X espaço topológico zero-dimensional e seja Y ⊂ X compacto. Então os clopens de Y são

da forma C ∩ Y em que C é clopen em X. Em particular: se D é infinito, então todo clopen

não-vazio de D∗ é da forma A∗ para A ⊂ D infinito.

(j) Seja D infinito e seja A ⊂ βD infinito e fechado. Então A contém uma cópia topológica de βN.

Em particular, |A| ≥ 2c.

Agora, definiremos limites e p-limites e listaremos suas propriedades básicas, que são similares

com as propriedades de redes.

Definição 1.27. (a) Sejam X e Y espaços topológicos, A ⊂ X, f : A → Y , x ∈ clXA e y ∈ Y .

Dizemos que lima→x

f(a) = y se para toda vizinhança U de y existir V vizinhança de x tal que

f [V ∩A] ⊂ U .

(b) Sejam D espaço discreto, p ∈ βD, X espaço topológico, {xs : s ∈ D} ⊂ X uma família

indexada, e y ∈ X. Dizemos então que p− lims∈D

xs = y se e somente se para cada vizinhança V

de y, {s ∈ D : xs ∈ V } ∈ p.

Teorema 1.28. (a) Se Y é Hausdorff e lima→x

f(a) existe, então é único.

(b) Se X é Hausdorff e p− lims∈D

xs existe, então é único.

(c) Dado A ∈ p, como identificamos A ⊂ βD com βA, pode-se considerar p− lims∈A

xs. Vale então

que p− lims∈A

xs = y se e somente se p− lims∈D

xs = y.

(d) Considerando a família indexada {s : s ∈ D} ⊂ βD, vale que p− lims∈D

s = p.

1.3. COMPACTIFICAÇÃO DE STONE-ČECH DE ESPAÇOS DISCRETOS 9

(e) Sejam D discreto, p ∈ βD, A ∈ p, Y espaço topológico, y ∈ Y e f : A → Y . Então

p− lima∈A

f(a) = y se e somente se lima→p

f(a) = y.

(f) Seja X espaço topológico. Então X é compacto se e somente se dados qualquer D, qualquer

família indexada {xs : s ∈ D}, e qualquer p ∈ βD, p− lims∈D

xs existe.

(g) Sejam X espaço topológico, A ⊂ X, e y ∈ X. Então y ∈ clA se e somente se existem D,

p ∈ βD e {xs : s ∈ D} ⊂ A tais que p− lims∈D

xs = y.

(h) Sejam X,Y espaços topológicos, e f : X → Y . Então f é contínua se e somente se dados

quaisquer D, p ∈ βD, e {xs : s ∈ D} ⊂ X tais que p− lims∈D

xs existe, tem-se que

f(p− lim

s∈Dxs

)= p− lim

s∈Df(xs).


1.4 A Compactificação de Stone-Čech de um Semigrupo Discreto

Nesta seção apresentaremos a caracterização da operação em βS e alguns resultados primários.

Teorema 1.29. Seja (S, ·) semigrupo discreto. Então existe uma única operação ∗ : βS → βS tal

que ∗∣∣S×S = · , (βS, ∗) seja um semigrupo topológico à direita, e S ⊂ Λ(βS).

Como de costume, usaremos o mesmo símbolo para denotar a operação em βS e em S. Como

βS é um semigrupo topológico à direita compacto, segue que valem todas as conclusões da seção

1.2, além de, é claro, as da seção 1.3.

Definição 1.30. Sejam S semigrupo, A ⊂ S e s ∈ S.

(a) Se a operação em S for denotada por · (notação multiplicativa), então s−1A = {t ∈ S : st ∈ A}.

(b) Se a operação em S for denotada por + (notação aditiva), então −s+A = {t ∈ S : s+ t ∈ A}.

Note que em ambos os casos esta é apenas uma notação para λs−1[A].

Teorema 1.31. Sejam (S, ·) semigrupo, A ⊂ S, t ∈ S e p, q ∈ βS.

(a) A ∈ t · q se e somente se t−1A ∈ q.

(b) A ∈ p · q se e somente se {s ∈ S : s−1A ∈ q} ∈ p.

Seguem de (a) e (b):

(c) Se A ∈ q, então sA ∈ s · q.

(d) A ∈ p ·q se e somente se existem B ∈ p e uma família {Cs : s ∈ B} ⊂ q tais que⋃s∈B sCs ⊂ A.

Além disso, se T é um subsemigrupo de S, então podemos considerar que βT está algebricamente

imerso em βS, usando 1.25(b).

Definição 1.32. Sejam (S, ·) semigrupo, p ∈ βS, e A ⊂ S. Denotamos A?(p) = {s ∈ A : s−1A ∈

p}.

Segue imediatamente de 1.31(b) que p ∈ βS é idempotente se e somente se para cada A ∈ p,

A?(p) ∈ p. Além disso:

Teorema 1.33. Sejam (S, ·) um semigrupo, p ∈ βS idempotente, e A ⊂ S. Então para todo

s ∈ A?(p), s−1(A?(p)) ∈ p.

Teorema 1.34. Suponha que A ⊂ P(S) possua a p.i.f. Se para cada A ∈ A e cada x ∈ A existir

B ∈ A tal que xB ⊂ A, então⋂A∈A A é um subsemigrupo de βS.

Uma rápida aplicação desta condição nos dá o seguinte teorema:

1.4. A COMPACTIFICAÇÃO DE STONE-ČECH DE UM SEMIGRUPO DISCRETO 11

Teorema 1.35. Seja S um semigrupo e seja (xn)n≥1 uma sequência em S. Então⋂m≥1 FP ((xn)n≥m)

é um subsemigrupo de βS. Em particular, existe um idempotente p tal que p ∈⋂m≥1 FP ((xn)n≥m).

Teorema 1.36. Sejam (S, ·) um semigrupo e A ⊂ P(S) com a p.i.f. Sejam (T, ·) um semigrupo

topológico à direita compacto e φ : S → T tal que φ[S] ⊂ Λ(T ). Suponha que existe A ∈ A tal que

para todo x ∈ A existe B ∈ A tal que φ(x · y) = φ(x) · φ(y) para todo y ∈ B. Então, para todos

p, q ∈⋂A∈A A, φ(p · q) = φ(p) · φ(q).

Teorema 1.37. Sejam S semigrupo, T semigrupo topológico à direita compacto, e ϕ : S → T um

homomorfismo tal que ϕ[S] ⊂ Λ(T ). Então ϕ é um homomorfismo de βS a T .

Teorema 1.38. Se S é um semigrupo comutativo, então S ⊂ Z(βS) = Λ(βS).


(i) S é fracamente cancelativo à esquerda se para todos a, b ∈ S, λa−1[{b}] = {x ∈ S : ax = b}

for finito.

(ii) S é fracamente cancelativo à direita se para todos a, b ∈ S, ρa−1[{b}] = {x ∈ S : xa = b} for

finito.

Teorema 1.40. (a) Se S for cancelativo à direita ou à esquerda, então S∗ é um subsemigrupo de

βS.

(b) Se S for fracamente cancelativo à esquerda, então S∗ é ideal à esquerda de βS, e se S for

cancelativo à direita, então S∗ é ideal à direita de βS.

(c) S∗ é um ideal de βS se e somente se S for fracamente cancelativo à direita e à esquerda.


Capítulo 2

A Álgebra de βN

Este capítulo se devotará a alguns resultados que nos permitirão obter um panorama das es-

truturas algébricas de βN e suas peculiaridades, utilizando para isso, em alguns casos, o estudo

do subsemigrupo H. A maioria resultados da primeira seção podem ser encontrados no capítulo 6,

seção 1 de [1], e serão demonstrados aqui pois já se tratam de resultados mais avançados e centrais

ao tema desta dissertação.

Como convenção, sempre que for mencionado βN, estará sendo considerada a estrutura algébrica

da soma (βN,+). Quando for utilizada a estrutura do produto (βN, ·), esta será explicitada.

Iniciaremos com alguns resultados encontrados no survey de Neil Hindman [3], buscando exaurir

as referências usadas nas demonstrações até que estejam baseadas apenas nos resultados básicos

das Preliminares.

2.1 O Semigrupo H

Definição 2.1. H =⋂n∈N 2nN.

Vale que H é um subsemigrupo, utilizando o teorema 1.34: basta notar que se n ∈ 2kN, então

n+ 2kN ⊂ 2kN. Além disso, H contém todos os idempotentes de βN, pois:

Lema 2.2. Seja p um idempotente de βN. Então, para todo n ∈ N, nN ∈ p.

Demonstração. Considere ϕ : N→ Zn o homomorfismo canônico. Então, pelo teorema 1.37, tem-se

que ϕ : βN → Zn é um homomorfismo. Assim, ϕ(p) = ϕ(p + p) = ϕ(p) + ϕ(p), logo ϕ(p) = 0.

Portanto, {0} é uma vizinhança de ϕ(p), e assim ϕ−1[{0}] ∩ N = nN ∈ p. �

Definição 2.3. (a) Dado n ∈ N, define-se supp(n) ∈ Pf (ω) por n =∑

i∈supp(n) 2i. Note que está

bem definido, pois se trata da expansão binária de n.

(b) φ : N→ ω é definida por φ(n) =max(supp(n)).

13

14 CAPÍTULO 2. A ÁLGEBRA DE βN

(c) θ : N→ ω é definida por θ(n) =min(supp(n)).

Lema 2.4. H é um subsemigrupo compacto de βN que possui todos os idempotentes. Além disso,

dados p ∈ βN e q ∈ H, φ(p+ q) = φ(q) e θ(p+ q) = θ(p).

Demonstração. Já vimos que H é um subsemigrupo que possui todos os idempotentes. Ele é

claramente compacto.

Sejam p ∈ βN e q ∈ H. Dado m ∈ N, tome r > φ(m). Então, para todo n ∈ 2rN, φ(m+ n) = φ(n)

e θ(m+ n) = θ(m). Logo, como 2rN ∈ q,

φ(m+ q) = q − limn∈2rN

φ(m+ n)

= q − limn∈2rN

φ(n)

= φ(q).

Dessa forma, φ(p+ q) = limm→p

φ(m+ q) = φ(q).

Analogamente, θ(p+ q) = θ(p). �

Com esse lema, provaremos dois fatos fundamentais sobre βN. O primeiro é este:

Teorema 2.5. βN contém 2c ideais à esquerda minimais e 2c ideais à direita minimais. Cada um

possui 2c idempotentes.

Demonstração. Considere A = {2n : n ∈ N}. Note que A∗ ⊂ H. Como φ(2n) = θ(2n) = n para

todo n ∈ N, φ∣∣A

= θ∣∣A

: A → N é bijetora, logo φ∣∣A

= θ∣∣A

: A → βN é bijetora. Agora, suponha

que q1, q2 ∈ A∗ e que (βN+ q1) ∩ (βN+ q2) 6= ∅. Então existem r, s ∈ βN tais que r+ q1 = s+ q2,

logo φ(q1) = φ(r + q1) = φ(s + q2) = φ(q2), do que q1 = q2. Como, por 1.26(d), |A∗| = 2c, segue

que βN possui 2c ideais à esquerda minimais disjuntos.

Agora note que como H é um subsemigrupo que possui todos os idempotentes de βN, qualquer

idempotente que for minimal em H o será em βN. Assim, dado q ∈ A∗, pelos teoremas 1.15 e 1.16,

q+H possui um idempotente e(q) que é minimal em H, e logo minimal em βN, e portanto e(q)+βN

é um ideal à direita minimal de βN.

Afirmação: Se q1, q2 ∈ A∗ são distintos, então e(q1) + βN 6= e(q2) + βN. Provaremos por contrapo-

sitiva. Suponha e(q1) + βN = e(q2) + βN. Então e(q2) ∈ e(q1) + βN, logo e(q2) = e(q1) + e(q2), e

portanto θ(e(q2)) = θ(e(q1) + e(q2)) = θ(e(q1)). Porém, θ(e(q2)) ∈ θ[q2 + H] = {q2} e θ(e(q1)) ∈

θ[q1+H] = {q1}, pelo lema 2.4. Assim, q1 = q2. Dessa forma, βN possui 2c ideais à direita minimais.

Como todo ideal à esquerda (ou à direita) contém um ideal à esquerda (à direita) minimal (1.15(a));

como dois ideais à esquerda (ou à direita) minimais distintos são disjuntos; e como dados L ideal à

esquerda minimal e R ideal à direita minimal quaisquer, L ∩ R possui um idempotente (1.17(b));

segue que tanto L como R possuem 2c idempotentes (cada um deles minimal pelo teorema 1.16). �

2.1. O SEMIGRUPO H 15

Note que, se um semigrupo S possui dois ideais à esquerda disjuntos L1 e L2, então ele não é

comutativo - dados l1 ∈ L1 e l2 ∈ L2, l2l1 ∈ L1 e l1l2 ∈ L2. Assim, o que o teorema acima diz, de

certa forma, é que βN está “bem longe” de ser comutativo. De fato, seguindo nesta mesma ideia, o

próximo fato fundamental sobre βN é este:

Teorema 2.6. N é o centro de (βN,+) e de (βN, ·).

Demonstração. Pelo teorema 1.38, N está contido nos centros de (βN,+) e de (βN, ·).

Considere A = {2n : n ∈ N}. Sejam p ∈ N∗ e q ∈ A∗. Pelo lema 2.4, φ(p + q) = φ(q). Por outro

lado, dados m,n ∈ N tais que n > m, temos que φ(m + n) = φ(n) ou φ(m + n) = φ(n) + 1. Para

cada m ∈ N, {n ∈ N : φ(m + n) = φ(n)} ∈ p ou {n ∈ N : φ(m + n) = φ(n) + 1} ∈ p (pois

p ∈ N∗). No primeiro caso, temos que p ∈ cl{n ∈ N : φ(m+ n) = φ(n)}, logo φ(m+ p) = φ(p). No

segundo caso, φ(m + p) = φ(p) + 1. Temos também que {m ∈ N : φ(m + p) = φ(p)} ∈ q ou que

{m ∈ N : φ(m + p) = φ(p) + 1} ∈ q. Portanto, φ(q + p) = φ(p) ou φ(q + p) = φ(p) + 1. Como

φ∣∣A

é bijetora e |A∗| = 2c, então podemos tomar q ∈ A∗ tal que φ(q) /∈ {φ(p), φ(p) + 1}. Assim,

φ(p+ q) = φ(q) 6= φ(q + p). Destarte, p+ q 6= q + p e logo p /∈ Z((βN,+)).

Agora, dados m,n ∈ N, φ(m · 2n) = φ(m) + n = φ(m) + φ(2n). Portanto, dados p ∈ N∗ e q ∈ A∗,

temos:

φ(p · q) = limm→p

lim2n→q

φ(m · 2n)

= limm→p

lim2n→q

(φ(m) + φ(2n))

= limm→p

(φ(m) + φ(q))

= φ(p) + φ(q).

De forma completamente análoga, φ(q · p) = φ(q) + φ(p).

Agora, pelo 1.26(e), como φ é finita-por-unitários, φ(p) ∈ N∗, logo, como acabamos de provar,

φ(p) /∈ Z((βN,+)), logo tome r ∈ N∗ tal que φ(p) + r 6= r+ φ(p). Novamente, como φ∣∣Aé bijetora,

seja q ∈ A∗ tal que φ(q) = r. Então temos que φ(p · q) = φ(p) + φ(q) = φ(p) + r 6= r + φ(p) =

φ(q) + φ(p) = φ(q · p), e assim p · q 6= q · p. Ou seja p /∈ Z((βN, ·)). �

Note que disso segue que, pelo teorema 1.38, N = Z((βN,+)) = Λ((βN,+)) e N = Z((βN, ·)) =

Λ((βN, ·)).

Agora investigaremos propriedades que tornam o semigrupo H interessante. O primeiro deles

foi extraído da página 110 de [1]. Mas antes precisaremos do seguinte lema (cujo enunciado é um

exercício encontrado na página 79):

Lema 2.7. Sejam (S, ·) um semigrupo, k ∈ N\{1}, e p1, . . . , pk ∈ βS. Considere D ⊂ {∅} ∪⋃k−1i=1 S

i, com ∅ ∈ D. Suponha que, para cada σ ∈ D, há um Aσ ⊂ S de forma que:


(1) A∅ ∈ p1;

(2) A∅ ⊂ D;

(3) Aσ ∈ pi+1 se σ ∈ D ∩ Si;

(4) se k > 2, então para cada i ∈ {1, . . . , k − 2} e cada σ = (a1, . . . , ai−1) ∈ D, se a ∈ Aσ, então

(a1, . . . , ai−1, a) ∈ D.

Considere P = {a1 · . . . · ak : a1 ∈ A∅ e, para cada i ∈ {2, . . . , k}, (a1, . . . , ai−1) ∈ D e ai ∈

A(a1,...,ai−1)}.

Então P ∈ p1 · . . . pk.

Demonstração. Provaremos por indução.

Caso base: k = 2. Temos que P = {a1 · a2 : a1 ∈ A∅, a1 ∈ D e a2 ∈ Aa1}. Queremos ver que

P ∈ p1 · p2, ou seja, que {s ∈ S : s−1P ∈ p2} ∈ p1. Como A∅ ∈ p1, basta ver que A∅ ⊂ {s ∈ S :

s−1P ∈ p2}. Logo seja a1 ∈ A∅. Queremos ver que a1−1P ∈ p2. Como Aa1 ∈ p2, basta ver que

Aa1 ⊂ a1−1P . Logo seja a2 ∈ Aa1 . Note que a1 · a2 ∈ P , como desejado.

Passo indutivo: k > 2. Tome P como no enunciado. Queremos ver que {s ∈ S : s−1P ∈ pk} ∈ p1·. . .·

pk−1. Pela hipótese indutiva, {a1 ·. . .·ak−1 : a1 ∈ A∅ e, para cada i ∈ {2, . . . , k−1}, (a1, . . . , ai−1) ∈

D e ai ∈ A(a1,...,ai−1)} ∈ p1 · . . . · pk−1. Logo basta ver que {a1 · . . . · ak−1 : a1 ∈ A∅ e, para cada

i ∈ {2, . . . , k − 1}, (a1, . . . , ai−1) ∈ D e ai ∈ A(a1,...,ai−1)} ⊂ {s ∈ S : s−1P ∈ pk}. Logo seja

a1 · . . . · ak−1 tal que a1 ∈ A∅ e, para cada i ∈ {2, . . . , k − 1}, (a1, . . . , ai−1) ∈ D e ai ∈ A(a1,...,ai−1).

Note que, em particular, (a1, . . . , ak−2) ∈ D e ak−1 ∈ A(a1,...,ak−2), e portanto (a1, . . . , ak−1) ∈ D.

Queremos ver que a1 · . . . · ak−1−1P ∈ pk. Sabemos que A(a1,...,ak−1) ∈ pk. Logo basta ver que

A(a1,...,ak−1) ⊂ a1 · . . . · ak−1−1P . Seja a ∈ A(a1,...,ak−1). Note que a satisfaz os requisitos necessários

de forma que a1 · . . . · ak−1 · a ∈ P , como desejávamos. �

Teorema 2.8. H contém uma sequência infinita decrescente de idempotentes.

Demonstração. Tome (An)n≥1 uma sequência crescente de subconjuntos de N tal que An+1\An é

infinito para cada n ≥ 1. Considere, para cada n, Sn = {m ∈ N : supp(m) ⊂ An}. Note que, para

cada n, r ∈ N, se k,m ∈ 2rN ∩ Sn e supp(k) ∩ supp(m) = ∅, então k + m ∈ 2rN ∩ Sn. Logo, pelo

teorema 1.34, Tn = Sn ∩H é um subsemigrupo de βN (usando A = {Sn ∩ 2rN : r ∈ N}). Note que

Tn ⊂ Tn+1, pois Sn ⊂ Sn+1, para todo n ≥ 1. A partir disso, construiremos uma sequência injetora

(en)n≥1 de idempotentes tal que en+1 ≤ en e en ∈ K(Tn) para todo n ≥ 1.

Tome e1 qualquer idempotente minimal em T1. Suponha recursivamente agora que {e1, . . . , em}

já foi escolhido. Pelo 1.17(a), existe em+1 ∈ K(Tm+1) tal que em+1 ≤ em. Mostraremos que

em /∈ K(Tm+1), do que em 6= em+1.

2.1. O SEMIGRUPO H 17

Para ver isso, tome x ∈ N∗ ∩ {2n : n ∈ Am+1\Am} qualquer. Considere M = {r + 2n + s : r, s ∈

N, n ∈ Am+1\Am e max(supp(r)) < n < min(supp(s))}. Observe que para cada r + 2n + s ∈ M ,

n ∈ supp(r+ 2n+ s)\Am, logo r+ 2n+ s /∈ Sm. Ou seja, M ∩Sm = ∅, e logo em /∈M . Agora, para

ver que em /∈ K(Tm+1), veremos queM ⊃ K(Tm+1). Para isso, mostraremos queM contém o ideal

Tm+1 + x+ Tm+1 de Tm+1. Com este fim, mostraremos que, para todos y, z ∈ H, y + x+ z ∈M .

Assim, queremos ver que M ∈ y+ x+ z. Usaremos o lema 2.7. Considere D = {∅} ∪N∪ {(r, 2n) :

r ∈ N, n ∈ Am+1\Am e max(supp(r)) < n}. Defina A∅ = N, Ar = {2n : n ∈ Am+1\Am e

max(supp(r)) < n} para cada r ∈ N, e A(r,2n) = {s ∈ N : n <min(supp(s))}, para cada (r, 2n) ∈ N2

tal que n ∈ Am+1\Am e max(supp(r)) < n. Deste modo, temos que: A∅ ∈ y; A∅ ⊂ D; para

cada r ∈ D ∩ N, como x ∈ N∗ ∩ {2n : n ∈ Am+1\Am}, Ar ∈ x; para cada (r, 2n) ∈ D ∩ N2, como

z ∈ H ⊂ N∗, A(r,2n) ∈ z; e por fim , dado r ∈ D, se 2n ∈ Ar, então (r, 2n) ∈ D. Portanto podemos

de fato aplicar o lema 2.7 e obter que M ∈ y + x+ z. �

A segunda propriedade é o Teorema 3.5 de [3].

Teorema 2.9. O semigrupo H é a união disjunta de c ideais à direita compactos.

Demonstração. Seja {Eσ : 0 < σ < c} uma família quase disjunta de subconjuntos de ω. Para

cada σ, defina Bσ = {∑

n∈F 2n : F ∈ Pf (ω) e min F ∈ Eσ}. Defina então Rσ = H ∩ Bσ, e

R0 = H\⋃{Rσ : 0 < σ < c}. Vale que para cada 0 < σ < c, Rσ é aberto e fechado em H, logo Rσ

é compacto para cada σ < c.

Agora, vale que {N\Bσ : 0 < σ < c}∪{2nN : n ∈ N} tem a p.i.f. Para ver isso, como {2nN : n ∈ N}

tem a p.i.f., basta ver que dados 0 < σ1, . . . , σk < c e m ∈ N, (N\Bσ1) ∩ . . . ∩ (N\Bσk) ∩ 2mN 6=

∅. Para isso, tome δ ∈ c\{0, σ1, . . . , σk} e seja l ∈ ω tal que Eδ ∩ Eσi ⊂ {0, . . . , l}, para cada

i ∈ {1, . . . , k}. Assim, tome F ∈ Pf (ω) tal que min F ∈ Eδ e min F > l,m. Então temos que∑n∈F 2n ∈ (N\Bσ1) ∩ . . . ∩ (N\Bσk) ∩ 2mN, como queríamos.

Logo, se x ∈⋂

({N\Bσ : 0 < σ < c} ∪ {2nN : n ∈ N}), então x ∈ R0. Portanto R0 6= ∅. Além

disso, dados 0 < σ, τ < c distintos, tome n ∈ N tal que Eσ ∩ Eτ ⊂ {0, . . . , n − 1}. Então, se∑n∈F 2n ∈ Bσ ∩Bτ , min F ∈ {0, . . . , n− 1}; ou seja, Bσ ∩Bτ ∩ 2nN = ∅. Destarte, Rσ ∩Rτ = ∅

(pois se x ∈ Rσ ∩ Rτ , então Bσ ∩ Bτ ∩ 2nN ∈ x). Temos então que {Rσ : σ < c} é realmente uma

coleção de compactos dois-a-dois disjuntos.

Agora veremos que Rσ é um ideal à direita de H. Sejam q ∈ Rσ e p ∈ H. H é subsemigrupo, logo

q + p ∈ H.

Primeiramente, suponha que σ > 0. Queremos ver que Bσ ∈ q+p, ou seja, {x ∈ N : −x+Bσ ∈ p} ∈

q. Então basta ver que Bσ ⊂ {x ∈ N : −x + Bσ ∈ p}. Logo seja x =∑

n∈F 2n tal que F ∈ Pf (ω)

e min F ∈ Eσ. Tome m =min F + 1. Então, dado qualquer y ∈ 2mN, min(supp(x + y)) =min F ,

logo x+ y ∈ Bσ. Isto é, 2mN ⊂ −x+Bσ. Como 2mN ∈ p, segue a tese.


Por fim, temos o caso em que σ = 0. Suponha por absurdo que q+p /∈ R0, ou seja, q+p ∈ Rτ para

algum τ > 0. Então Bτ ∈ q + p, ou seja, {x ∈ N : −x + Bτ ∈ p} ∈ q. Como Bτ /∈ q, então tome

x ∈ N tal que x /∈ Bτ e −x + Bτ ∈ p. Tome F ∈ Pf (ω) tal que min F /∈ Eτ e x =∑

n∈F 2n. Seja

m = min F + 1. 2mN ∩ (−x + Bτ ) ∈ p, logo tome y nessa interseção. Então x + y ∈ Bτ . Porém,

como acima, note que min(supp(x+ y)) =min F /∈ Eτ , e portanto x+ y /∈ Bτ . Contradição. Deste

modo, q + p ∈ R0. �

Agora veremos que cópias algébricas e topológicas de H são abundantes em N∗.

Teorema 2.10. Seja (xn)n≥1 uma sequência em N com a unicidade das somas finitas. Então⋂m≥1 FS((xn)n≥m) é algébrica e topologicamente isomorfo a H, pela mesma função.

Demonstração. Defina f : N → N por f(∑

n∈F 2n−1) =∑

n∈F xn. Note que de fato f está bem-

definida sobre N e, como (xn)n≥1 satisfaz a unicidade das somas finitas, f é injetora. Considere

f : βN → βN a extensão contínua de f e defina ϕ = f∣∣H. Observe que, para cada m ∈ N,

f [2m−1N] = FS((xn)n≥m), logo f [2m−1N] = FS((xn)n≥m). Assim - usando que f é injetora -

ϕ[H] = f [H] =⋂m∈N f [2m−1N] =

⋂m∈N FS((xn)n≥m). Assim, ϕ é uma bijeção contínua entre H e⋂

m∈N FS((xn)n≥m); como ambos são compactos Hausdorff, é um homeomorfismo.

Resta ver que ϕ é um homomorfismo. Para isso, lembraremos que βN é um semigrupo topológico

à direita e que N = Λ(βN). Sejam p, q ∈ H. Mostraremos que ϕ(p+ q) = ϕ(p) + ϕ(q), ou seja, que

ϕ ◦ ρq(p) = ρϕ(q) ◦ ϕ(p). Basta ver que estas duas funções contínuas são idênticas sobre N. Seja

então x ∈ N. Quero ver que ϕ(x + q) = ϕ(x) + ϕ(q), ou seja, que ϕ ◦ λx(q) = λϕ(x) ◦ ϕ(q). Tome

F ∈ Pf (N) tal que x =∑

n∈F 2n−1, e seja m = max F . Como q ∈ 2mN, basta ver que ϕ ◦ λx

e λϕ(x) ◦ ϕ são idênticas sobre 2mN. Seja y ∈ 2mN, e tome G ∈ Pf (N) tal que y =∑

n∈G 2n−1.

Note que min G > m, e portanto x + y =∑

n∈F∪G 2n−1. Assim, ϕ ◦ λx(y) = ϕ(x + y) = f(x +

y) = f(∑

n∈F∪G 2n−1) =∑

n∈F∪G xn =∑

n∈F xn +∑

n∈G xn = f(∑

n∈F 2n−1) + f(∑

n∈G 2n−1) =

f(x) + f(y) = ϕ(x) + ϕ(y) = λϕ(x) ◦ ϕ(y). �

2.2. O IDEAL N∗ + N∗, O FECHO DE K(βN), Uκ(S), SOMAS E PRODUTOS 19

2.2 O Ideal N∗ + N∗, o Fecho de K(βN), Uκ(S), Somas e Produtos

O ponto final desta seção é uma consequência do Teorema 3.7 de [3]: embora N∗ + N∗ seja um

ideal de βN, e portanto K(βN) ⊂ N∗+N∗, tem-se que cl K(βN) 6⊂ N∗+N∗. Para isso, precisaremos

de resultados sobre a álgebra de Uκ(S), e também sobre as relações entre somas e produtos em βN

– ambos assuntos interessantes por si e com consequências em outros resultados.

Lema 2.11. N∗ é um ideal à esquerda de βZ.

Demonstração. Sejam p ∈ N∗ e q ∈ βZ. Queremos ver que q + p ∈ N e que q + p /∈ N. Suponha

primeiramente que q + p = a ∈ N. Ou seja, q + p = {A ⊂ Z : a ∈ A}. Em particular, {a} ∈ q + p,

ou seja, {x ∈ Z : −x + {a} ∈ p} ∈ q, e portanto existe x ∈ Z tal que −x + {a} = {−x + a} ∈ p.

Contradição, pois p ∈ N∗.

Resta ver que {x ∈ Z : −x+ N ∈ p} ∈ q. Veremos que {x ∈ Z : −x+ N ∈ p} = Z (note que esta é

a única estratégia, pois q é arbitrário em βZ). Logo tome x ∈ Z e suponha que −x+N /∈ p. Então

−x+ Z\N ∈ p, logo N ∩ (−x+ Z\N) ∈ p, porém N ∩ (−x+ Z\N) = {n ∈ N : n ≤ −x} que é finito.

Contradição pois p ∈ N∗. �

Corolário 2.12. N∗ + N∗ é ideal de βN.

Demonstração. Pelo lema 2.11, temos que:

βN+ (N∗+N∗) = (βN+N∗) +N∗ ⊂ N∗. Por outro lado, (N∗+N∗) +N∗ ⊂ N∗, e, como N ⊂ Z(βN),

(N∗ + N∗) + N = N+ (N∗ + N∗) = (N+ N∗) + N∗ ⊂ N∗; portanto (N∗ + N∗) + βN ⊂ N∗. �

(Observe que, com um raciocínio ainda mais simples, N∗ é um ideal de βN também.)

Note, pelo teorema 1.16, que {p ∈ βN : p é idempotente minimal} ⊂ K(βN). Então, mais

forte que cl K(βN) 6⊂ N∗ + N∗, teremos que cl{p ∈ βN : p é idempotente minimal} 6⊂ N∗ + N∗.

Enunciemos e provemos então o Teorema 3.7 de [3]:

Teorema 2.13. SejaM =cl{p ∈ βN : p é idempotente minimal de (βN,+)}. EntãoM\(N∗+N∗) 6=

∅.

Demonstração. Pelo Teorema 5.4 de [5], M é um ideal à esquerda de (βN, ·). Em particular, é um

subsemigrupo compacto, logo tome q ∈M tal que q = q · q. Pelo lema 2.2, temos que {p ∈ βN : p é

idempotente minimal} ⊂⋂n∈N nN, logo M ⊂

⋂n∈N nN. Assim, nN ∈ q, para todo n ∈ N. Então,

pelo Teorema 5.3 de [6], q = q · q /∈ N∗ + N∗. �

Nosso objetivo é agora chegar aos resultados citados, mas não provados, no teorema acima.

Primeiramente, tomaremos o artigo [6] para ver sob que casos um produto em βN pode ser escrito

como uma soma.


Primeiramente, enunciamos aqui um lema sobre cancelamento. Note que como N é o centro de

(β,N+) e de (βN, ·), então os cancelamentos à direita a seguir também valem à esquerda.

Lema 2.14. Sejam p, q ∈ βN e n,m ∈ N.

(a) Se p+m = q +m, então p = q.

(b) Se p ·m = q ·m, então p = q.

(c) Se m+ p = n+ p, então m = n.

(d) Se m · p = n · p, então m = n.

Demonstração. (a): Note que a função rm : N → N (definida por rm(n) = n + m) é injetora, e

portanto sua extensão contínua a βN, ρm, é injetora também. Assim segue a tese.

(b): Demonstração completamente análoga a (a).

(c): Suponha s.p.g. que m ≤ n. Temos que N =⋃ni=0−i + (n + 1)N é uma união disjunta;

tome i ∈ {0, . . . , n} tal que −i + (n + 1)N ∈ m + p = n + p. Então −m − i + (n + 1)N ∈ p e

−n− i+ (n+ 1)N ∈ p, logo m+ i ≡ n+ i (mod n+ 1), ou seja, m ≡ n (mod n+ 1). Como m ≤ n,

então m = n.

(d): Suponha que m 6= n. Para cada x ∈ N e b primo, seja c(b, x) o número de fatores b em x

(isto é, c(b, x) é o maior a ∈ N tal que ba|n). Como n 6= m, tome b primo tal que c(b, n) 6= c(b,m),

e suponha s.p.g. que c(b, n) < c(b,m). Defina d = c(b,m) + 1 e tome i ∈ {0, . . . , d − 1} tal

que A = {x ∈ N : c(b, x) ≡ i (mod d)} ∈ p. Temos então que nA ∈ n · p e mA ∈ m · p.

Como n · p = m · p, então podemos tomar y ∈ nA ∩mA. Portanto vale que c(b, y) ≡ i + c(b, n)

(mod d), e c(b, y) ≡ i + c(b,m) (mod d); logo c(b, n) ≡ c(b,m) (mod d) e c(b, n) < c(b,m) < d.

Contradição. �

Teorema 2.15. Sejam p, r ∈ N∗, t, s ∈ βN, e m,n ∈ N. Se t + p = m · r e s + p = n · r, então

m = n.

Demonstração. Suponha, s.p.g., que m < n. Seja γ = lognm, e note que 0 ≤ γ < 1, de modo

que podemos tomar d ∈ N tal que γ < 1 − 2d . Note que d ≥ 3. Para cada i ∈ Z, definimos

Ai = {x ∈ N : bd · logn xc ≡ i (mod 2d)}. Observe que Ai = Aj se e somente se i ≡ j (mod 2d),

e Ai ∩ Aj = ∅ caso contrário. Além disso, caso i ∈ {0, . . . , 2d− 1}, temos a seguinte equivalência:

x ∈ Ai ⇔ bd · logn xc ≡ i (mod 2d) ⇔ ∃k ∈ N tal que n2k+ id ≤ x < n2k+ i+1

d , de forma que

Ai =⋃k≥0{x ∈ N : n2k+ i

d ≤ x < n2k+ i+1d }.

Será necessário usar o seguinte fato: dados i ∈ Z e z ∈ N, (−z +Ai)\(Ai ∪Ai−1) é finito. Demons-

traremos isso agora: primeiramente tome k ∈ N tal que z

n1d−1

≤ n2k+ i−1d , e defina u = n2k+ i

d .

Mostraremos então que, se y ∈ (−z + Ai) e y ≥ u, então y ∈ (Ai ∪ Ai−1). Tome x ∈ Ai


tal que z + y = x, e observe que, como x ≥ y ≥ u, então n2v+ id ≤ x < n2v+ i+1

d para al-

gum v ≥ k. Como z ≤ n2k+ i−1d · (n

1d − 1) ≤ n2v+ i−1

d · (n1d − 1) = n2v+ i

d − n2v+ i−1d , então

n2v+ i−1d ≤ x − z = y < x < n2v+ i+1

d . Portanto, 2dv + i − 1 ≤ d · logn y < 2dv + i + 1, e assim

y ∈ Ai ∪Ai−1.

Agora, vale que N =⋃2d−1i=0 Ai, logo tome i ∈ {0, . . . , 2d−1} tal que Ai ∈ r. Então nAi ∈ n·r = s+p,

logo {x ∈ N : −x + nAi ∈ p} ∈ s, logo tome z ∈ N tal que −z + nAi ∈ p. Similarmente,

mAi ∈ m · p = t + p, logo tome v ∈ N tal que −v + mAi ∈ p. Vale que nAi ⊂ Ai+d (pois se

n2k+ id ≤ x < n2k+ i+1

d , então n2k+ i+dd ≤ n · x < n2k+ i+d+1

d ), logo −z + Ai+d ∈ p. Como visto

acima, (−z+Ai+d)\(Ai+d ∪Ai+d−1) é finito. Como (−z+Ai+d)\(Ai+d ∪Ai+d−1) = (−z+Ai+d)∩

(N\Ai+d)∩ (N\Ai+d−1) e −z+Ai+d ∈ p, então podemos tomar j ∈ {i+d−1, i+d} tal que Aj ∈ p.

Veremos agora que mAi ⊂⋃i+d−2u=i Au. Seja x ∈ Ai e tome k ≥ 0 tal que n2k+ i

d ≤ x < n2k+ i+1d .

Temos então: n2k+ id ≤ x ≤ m ·x = nγ ·x ≤ n2k+ i+1

d+γ < n2k+ i+1

d+1− 2

d = n2k+ i+d−2+1d , do que segue

a afirmação.

Desse modo, −v + mAi ⊂⋃i+d−2u=i −v + Au e −v + mAi ∈ p, logo tome u ∈ {i, . . . , i + d − 2} tal

que −v + Au ∈ p. Similarmente a acima, como (−v + Au)\(Au ∪ Au−1) é finito, então Au ∈ p ou

Au−1 ∈ p. Portanto existe w ∈ {i − 1, . . . , i + d − 2} tal que Aw ∈ p. Destarte, Aw ∩ Aj 6= ∅,

e assim j ≡ w (mod 2d). Porém, como j ∈ {i + d − 1, i + d} e w ∈ {i − 1, . . . , i + d − 2}, isso

implicaria que existem a, b ∈ {0, . . . , d+ 1} distintos tais que a ≡ b (mod 2d). Como d > 2, isso é

uma contradição. �

Teorema 2.16. Sejam p, r ∈ βN e m ∈ N. Então existe s ∈ βN tal que m+ p = s · r se e somente

se para cada A ∈ p e cada função f : N→ r existe n ∈ N tal que (m+A) ∩ (n · f(n)) 6= ∅.

Demonstração. (⇒): Sejam A ∈ p e f : N→ r. Então m+A ∈ m+ p = s · r, logo

{n ∈ N : n−1(m+A) ∈ r} ∈ s; tome n ∈ N tal que n−1(m+A) ∈ r. Então n−1(m+A)∩ f(n) ∈ r,

e assim ∅ 6= (m+A) ∩ (n · f(n)).

(⇐): Para cada A ∈ p e cada f : N → r, defina C(A, f) = {n ∈ N : (m + A) ∩ (n · f(n)) 6= ∅}.

Por hipótese, C(A, f) 6= ∅. Afirmação: {C(A, f) : A ∈ p e f : N→ r} possui a p.i.f. Para ver isso,

sejam A1, . . . , Ak ∈ p e f1, . . . , fk : N→ r. Defina A =⋂ki=1Ai e f : N→ r por f(n) =

⋂ki=1 fi(n).

Note que, para cada j ∈ {1, . . . , k}, se x ∈ C(A, f), então ∅ 6= (m + A) ∩ (x · f(x)) = (m +⋂ki=1Ai)∩ (x ·

⋂ki=1 fi(x)) ⊂ (

⋂ki=1m+Ai)∩ (

⋂ki=1 x · fi(x)) ⊂ (m+Aj)∩ (x · fj(x)), de forma que

x ∈ C(Aj , fj). Ou seja ∅ 6= C(A, f) ⊂⋂ki=1C(Ai, fi), e assim vale a afirmação.

Desse modo, tome s ∈ βN tal que {C(A, f) : A ∈ p e f : N → r} ⊂ s. Afirmação: m + p = s · r.

Suponha que não. Tome então A ∈ (m + p)\(s · r). Temos que −m + A ∈ p e N\A ∈ s · r, logo

B = {n ∈ N : n−1(N\A) ∈ r} ∈ s. Defina então f : N → r por f(n) = n−1(N\A) se n ∈ B e

f(n) = N caso contrário. Vale que C(−m+ A, f) ∈ s, logo B ∩ C(−m+ A, f) 6= ∅; tome n nessa


interseção. Temos então que ∅ 6= (m+ (−m+A))∩ (n · f(n)) ⊂ A∩ (n · (n−1(N\A))) ⊂ A∩ (N\A),


Teorema 2.17. Sejam p, r ∈ βN e n ∈ N. Então existe q ∈ βN tal que q + p = n · r se e somente

se para cada A ∈ r e cada f : N→ p existe m ∈ N tal que (m+ f(m)) ∩ (nA) 6= ∅.

Demonstração. (⇒): Sejam A ∈ r e f : N → p. Então nA ∈ n · r = q + p, ou seja, {m ∈ N :

−m + nA ∈ p} ∈ q, logo tome m tal que −m + nA ∈ p. Logo f(m) ∩ (−m + nA) ∈ p, e assim

∅ 6= (m+ f(m)) ∩ nA.

(⇐): Para cada A ∈ r e f : N → p, defina C(A, f) = {m ∈ N : nA ∩ (m + f(m)) 6= ∅}. Por

hipótese, C(A, f) 6= ∅. Afirmação: {C(A, f) : A ∈ r e f : N→ p} possui a p.i.f. Para ver isso, sejam

A1, . . . , Ak ∈ r e f1, . . . , fk : N→ p. Defina A =⋂ki=1Ai e f : N→ p por f(m) =

⋂ki=1 fi(m). Note

que, para cada j ∈ {1, . . . , k}, se x ∈ C(A, f), então ∅ 6= (m+ f(m))∩ (xA) = (m+⋂ki=1 fi(m))∩

(x ·⋂ki=1Ai) ⊂ (

⋂ki=1(m+fi(m)))∩ (

⋂ki=1 xAi) ⊂ (m+fj(m))∩ (xAj), de forma que x ∈ C(Aj , fj).

Ou seja ∅ 6= C(A, f) ⊂⋂ki=1C(Ai, fi), e assim vale a afirmação.

Desse modo, tome q ∈ βN tal que {C(A, f) : A ∈ r e f : N → p} ⊂ q. Afirmação: q + p = n · r.

Suponha que não. Tome então A ∈ (n · r)\(q + p). Temos que n−1A ∈ r e N\A ∈ q + p, logo

B = {m ∈ N : −m + N\A ∈ p} ∈ q. Defina então f : N → p por f(m) = −m + N\A se m ∈ B

e f(m) = N caso contrário. Vale que C(n−1A, f) ∈ q, logo B ∩ C(n−1A, f) 6= ∅; tome m nessa

interseção. Temos então que ∅ 6= (n · (n−1A))∩ (m+f(m)) ⊂ A∩ (m+(−m+N\A)) ⊂ A∩ (N\A),


Lema 2.18. Sejam p, q, r, s ∈ βN. Então q + p 6= s · r se e somente se existem B ∈ q, C ∈ s,

f : B → p e g : C → r tais que (m+ f(m)) ∩ (n · g(n)) = ∅ para todos m ∈ B e n ∈ C.

Demonstração. (⇒): Tome A ∈ (q + p)\(s · r). Considere B = {x ∈ N : −x + A ∈ p} ∈ q e

C = {x ∈ N : x−1(N\A) ∈ r} ∈ s. Defina f : B → p por f(m) = −m + A e g : C → r

por g(n) = n−1N\A. Temos então que, dados m ∈ B e n ∈ C, que (m + f(m)) ∩ (n · g(n)) =

(m+ (−m+A)) ∩ (n · (n−1(N\A))) ⊂ A ∩ (N\A) = ∅.

(⇐): Mostraremos que (q+ p)\(s · r) 6= ∅. Seja D =⋃m∈B(m+ f(m)). Pelo teorema 1.31(d), vale

que D ∈ q + p. Afirmação: D /∈ s · r. Suponha o contrário. Considere E = {x ∈ N : x−1D ∈ r}.

E ∈ s, logo tome n ∈ E ∩ C. Como n−1D ∈ r, tome x ∈ n−1D ∩ g(n). Temos que nx ∈ D, logo

tome m ∈ B tal que nx ∈ (m+ f(m)). Assim, nx ∈ (m+ f(m))∩ (n · g(n)), uma contradição. �

Teorema 2.19. Sejam p, r ∈ N∗, G = {q ∈ N∗ : q + p = s · r para algum s ∈ N∗}, e H = {m ∈ N :

m+ p = t · r para algum t ∈ βN}. São equivalentes:

(a) G 6= ∅.


(b) |H| = ω.

(c) |G| = 2c.

Demonstração. (a)⇒(b): Tome q ∈ G. Tome s ∈ N∗ tal que q + p = s · r. Suponha por absurdo

que H é finito. Considere B = N\H e C = {n ∈ N : para todo t ∈ βN, t + p 6= n · r}. Note que

|N\C| ≤ 1, pois se m,n ∈ N\C, então existem t, s ∈ βN tais que t+ p = m · r e s+ p = n · r; pelo

teorema 2.15, m = n. Assim, B ∈ q e C ∈ s.

Observe que B = N\H = {m ∈ N : não existe t ∈ βN tal que m + p = t · r}. Portanto, para cada

m ∈ B, existem pelo teorema 2.16 Am ∈ p e gm : N → r tais que (m + Am) ∩ (n · gm(n)) = ∅

para todo n ∈ N. Similarmente, como C = {n ∈ N : não existe t ∈ βN tal que t + p = n · r},

pelo teorema 2.17, para cada n ∈ C existem Dn ∈ r e fn : N → p tais que, para todo m ∈ N,

(m+ fn(m)) ∩ (nDn) = ∅.

Defina então f : B → p por f(m) = Am ∩ (⋂{fn(m) : n ∈ C e n ≤ m}), e g : C → r por

g(n) = Dn ∩ (⋂{gm(n) : m ∈ B e m ≤ n}). Assim, pelo lema 2.18, existem m ∈ B e n ∈ C tais

que (m + f(m)) ∩ (n · g(n)) 6= ∅. Porém, se n ≤ m, f(m) ⊂ fn(m) e g(n) ⊂ Dn, de forma que

(m + fn(m)) ∩ (nDn) 6= ∅, uma contradição; e se m ≤ n, f(m) ⊂ Am e g(n) ⊂ gm(n), de forma

que (m+Am) ∩ (n · gm(n)) 6= ∅, outra contradição.

(b)⇒(c): É uma consequência mais direta da topologia de βN. Primeiramente, notamos que dado

X ⊂ βN, N∩ (cl X) = N∩X, pois N é o conjunto dos pontos isolados de βN. Lembramos que, pelo

teorema 1.26(d), |H∗| = 2c. Logo, basta ver que dado q ∈ H∗, existe s ∈ N∗ tal que q + p = s · r.

Seja q ∈ H∗. Para cada B ∈ q, defina C(B) = {t ∈ βN : m + p = t · r para algum m ∈ B}. Note

que, como H ∩ B 6= ∅, C(B) 6= ∅; além disso, dados B1, B2 ∈ q, C(B1 ∩ B2) ⊂ C(B1) ∩ C(B2).

Destarte, A = {cl C(B) : B ∈ q} é uma coleção de fechados de βN com a p.i.f., logo⋂A 6= ∅.

Tome s ∈⋂A.

Primeiro é preciso ver que s ∈ N∗. Suponha s ∈ N. Então s ∈ N ∩ (⋂B∈q cl C(B)) =

=⋂B∈q N∩(cl C(B)) =

⋂B∈q N∩C(B) ⊂

⋂B∈q C(B). Em particular, s ∈ C(H), logo tome m ∈ H

tal que m + p = s · r. Vale também que H\{m} ∈ q, logo s ∈ C(H\{m}); tome n ∈ H\{m} tal

que n+ p = s · r. Então m+ p = n+ p, uma contradição, pelo lema 2.14.

Por fim, veremos que q + p = s · r. Suponha que q + p 6= s · r. Pelo lema 2.18, tome B ∈ q, C ∈ s,

f : B → p e g : C → r tais que (m + f(m)) ∩ (n · g(n)) = ∅ para todos m ∈ B e n ∈ C. Como

C é uma vizinhança de s e s ∈cl C(B), tome t ∈ C ∩ C(B); podemos então tomar m ∈ B tal que

m+p = t ·r. Porém, m ∈ B implica que B ∈ m (lembrando a identificação de m com seu ultrafiltro

principal), e C ∈ t. Logo, pelo lema 2.18, m+ p 6= t · r. �

Agora podemos provar o teorema citado na demonstração de 2.13.

Teorema 2.20. Seja r ∈ N∗. Se |{n ∈ N : nN ∈ r}| = ω, então para todos p, q, s ∈ N∗, s ·r 6= q+p.


Demonstração. Suponha que s · r = q + p. Pelo teorema 2.19, temos que |{m ∈ N : m + p = t · r

para algum t ∈ βN}| = ω. Logo tome m,n ∈ N, m < n, e t0, t1 ∈ βN tais que m + p = t0 · r e

n + p = t1 · r. Tome a > n tal que aN ∈ r. Como N =⋃a−1i=0 i + aN, tome i tal que i + aN ∈ p.

Então m+ i+ aN ∈ m+ p = t0 · r, logo {x ∈ N : x−1(m+ i+ aN) ∈ r} ∈ t0, logo tome x ∈ N tal

que x−1(m + i + aN) ∈ r. Analogamente, tome y ∈ N tal que y−1(n + i + aN) ∈ r. Tome então

z ∈ aN ∩ x−1(m+ i+ aN) ∩ y−1(n+ i+ aN). Temos então que xz ∈ aN ∩ (m+ i+ aN), portanto

m + i ≡ 0 (mod a); e yz ∈ aN ∩ (n + i + aN), portanto n + i ≡ 0 (mod a). Deste modo, m ≡ n

(mod a) com m < n < a, uma contradição. �

Para concluir este trecho, e ver que o teorema acima se aplica ao teorema 2.13, basta o seguinte

lema:

Lema 2.21. Seja q ∈ cl{p ∈ βN : p+ p = p}. Então para todo n ∈ N, nN ∈ q.

Demonstração. Queremos ver que nN ∈ q, isto é, q ∈ nN. Seja A uma vizinhança básica de q, isto

é, seja A ∈ q. Vale que A ∩ {p ∈ βN : p + p = p} 6= ∅, logo tome p = p + p tal que A ∈ p. Pelo

lema 2.2, nN ∈ p, e portanto A ∩ nN 6= ∅. �

Agora, partimos para ver que o conjunto M do teorema 2.13 é um ideal à esquerda de (βN, ·).

Para tanto, precisaremos de uma caracterização de ideais à esquerda minimais, que pode ser obtida

estudando a estrutura dos ultrafiltros κ-uniformes. A próxima definição e os próximos lemas e

teoremas são, respectivamente, a Definição 2.3, o Lema 2.4, o Teorema 2.5, o Lema 3.1 e o Teorema

3.2 de [4].

Definição 2.22. Seja (S, ·) um semigrupo discreto. Sejam p ∈ βS, κ = 1 ou κ ≥ ω. Então

Cκ(p) = {A ⊂ S : |{x ∈ S : x−1A /∈ p}| < κ}.

Note que Cκ(p) = {A ⊂ S : |{x ∈ S : x−1(S\A) ∈ p}| < κ}. Portanto, S\A ∈ Cκ(p) ⇔ |{x ∈

S : x−1A ∈ p}| < κ. Em particular, quando κ = 1, C1(p) = {A ⊂ S : para todo x ∈ S, x−1A ∈ p}.

Lema 2.23. Sejam p ∈ βS e κ ≤ |S| com κ = 1 ou κ ≥ ω.

(a) Cκ(p) é um filtro em S.

(b) Uκ(S) · p = Cκ(p) = {q ∈ βS : Cκ(p) ⊂ q}.

Demonstração. (a): S ∈ Cκ(p) pois |{x ∈ S : x−1(S\S) ∈ p}| = |∅| < κ. ∅ /∈ Cκ(p) pois

|{x ∈ S : x−1(S\∅) ∈ p}| = |S| ≥ κ. Dado A ∈ Cκ(p) e B ⊃ A, vale que x−1(S\B) ⊂ x−1(S\A),

logo {x ∈ S : x−1(S\B) ∈ p} ⊂ {x ∈ S : x−1(S\A) ∈ p}, e assim B ∈ Cκ(p). Por fim, dados

A,B ∈ Cκ(p), tem-se que {x ∈ S : x−1(S\(A ∩B)) ∈ p} = {x ∈ S : x−1(S\A) ∪ x−1(S\B) ∈ p} =

{x ∈ S : x−1(S\A) ∈ p} ∪ {x ∈ S : x−1(S\B) ∈ p}, logo A ∩B ∈ Cκ(p).


(b): Primeiramente veremos que Uκ(S) · p ⊂ Cκ(p). Seja r ∈ Uκ(S), e seja A ∈ Cκ(p). |{x ∈ S :

x−1A /∈ p}| < κ, logo S\{x ∈ S : x−1A /∈ p} = {x ∈ S : x−1A ∈ p} ∈ r. Ou seja, A ∈ r · p.

Portanto Cκ(p) ⊂ r · p.

Agora veremos que Cκ(p) ⊂ Uκ(S) · p. Logo seja q ∈ βS tal que Cκ(p) ⊂ q. Defina, para cada

A ∈ q, T (A) = {x ∈ S : x−1A ∈ p}. Note que dados A,B ∈ q, T (A ∩ B) = T (A) ∩ T (B); e que se

A ∈ q, S\A /∈ Cκ(p) (pois Cκ(p) ⊂ q), e portanto |T (A)| ≥ κ. Deste modo, {T (A) : A ∈ q} possui

a κ-p.i.f., logo tome r ∈ Uκ(S) tal que {T (A) : A ∈ q} ⊂ r. Então, dado A ∈ q, T (A) = {x ∈ S :

x−1A ∈ p} ∈ r, ou seja, A ∈ r · p. Portanto, q ⊂ r · p, e assim q = r · p. �

Não é surpreendente que Uκ(S) · p = F para um filtro F , pois sabemos que é um fechado, já

que Uκ(S) · p = ρp[Uκ(S)]. O que o lema acima faz é dar a este filtro uma forma que seja boa de

trabalhar.

Além disso, sabemos que Uκ(S) também é fechado, pois se p /∈ Uκ(S), dado A ∈ p com |A| < κ,

A é uma vizinhança de p disjunta de Uκ(S). Veremos agora uma condição necessária e suficiente

sobre a álgebra de S para que Uκ(S) seja um subsemigrupo.

Note que no enunciado abaixo um hipotético caso κ = 1 seria trivialmente satisfeito.

Teorema 2.24. Seja ω ≤ κ ≤ |S|. São equivalentes:

(a) Uκ(S) é um subsemigrupo de βS.

(b) Para todo p ∈ Uκ(S) e todo A ∈ [S]<κ, S\A ∈ Cκ(p).

(c) Para todo A ∈ [S]<κ e todo B ∈ [S]κ, existe F ∈ Pf (B) tal que |⋂x∈F x

−1A| < κ.

Demonstração. (a)⇒(b): Por contraposição. Tome p ∈ Uκ(S) e A ∈ [S]<κ tais que S\A /∈ Cκ(p).

Então Cκ(p) ∪ {A} possui a p.i.f. (pois se B ∈ Cκ(p) e B ∩ A = ∅, então B ⊂ S\A, logo

S\A ∈ Cκ(p)). Logo tome q ∈ βS tal que Cκ(p)∪ {A} ⊂ q. Pelo lema 2.23(b), existe r ∈ Uκ(S) tal

que q = r · p. Como A ∈ q, q /∈ Uκ(S), ou seja, r · p /∈ Uκ(S), e portanto Uκ(S) não é subsemigrupo.

(b)⇒(c): Por contraposição. Tome A ∈ [S]<κ e B ∈ [S]κ tais que, para todo F ∈ Pf (B),

|⋂x∈F x

−1A| ≥ κ. Então {x−1A : x ∈ B} possui a κ-p.i.f., logo tome p ∈ Uκ(S) tal que

{x−1A : x ∈ B} ⊂ p. Então B ⊂ {x ∈ S : x−1A ∈ p}. Como |B| = κ, temos que S\A /∈ Cκ(p),

como pretendíamos.

(c)⇒(a): Por contraposição. Tome r, p ∈ Uκ(S) tais que r · p /∈ Uκ(S). Seja q = r · p. q /∈ Uκ(S),

logo tome A ∈ q tal que |A| < κ. Considere D = {x ∈ S : x−1A ∈ p}. Vale que D ∈ r, logo

|D| ≥ κ, e portanto podemos tomar B ∈ [D]κ. Deste modo, para todo F ∈ Pf (B),⋂x∈F x

−1A ∈ p,

logo |⋂x∈F x

−1A| ≥ κ. �

Observe que, se S for cancelativo à esquerda, então Uκ(S) é um subsemigrupo.


Agora, iremos provar uma condição necessária e suficiente para que Uκ(S) · p seja um ideal à

esquerda minimal de βS.

Lema 2.25. Seja κ ≤ |S| tal que κ = 1 ou κ ≥ ω. Se Uκ(S)é um subsemigrupo de βS, dados

A ⊂ S, p ∈ Uκ(S), se S\A /∈ Cκ(p), então Cκ(p) ∪ {A} tem a κ-p.i.f.

Demonstração. Pelo lema 2.23(a), Cκ(p) é filtro, logo basta ver que dado D ∈ Cκ(p), |D ∩A| ≥ κ.

Suponha que |D ∩ A| < κ. Como S\A /∈ Cκ(p), |{x ∈ S : x−1A ∈ p}| ≥ κ. Como D ∈ Cκ(p),

|{x ∈ S : x−1D /∈ p}| < κ. Portanto, |{x ∈ S : x−1A ∈ p e x−1D ∈ p}| = |{x ∈ S : x−1(A ∩D) ∈

p}| ≥ κ. Tome então B ∈ [{x ∈ S : x−1(A ∩D) ∈ p}]κ. Como A ∩D ∈ [S]<κ, B ∈ [S]κ, e Uκ(S) é

subsemigrupo, então seja F ∈ Pf (B) tal que |⋂x∈F x

−1(A∩D)| < κ. Porém,⋂x∈F x

−1(A∩D) ∈ p

e p ∈ Uκ(S). Contradição. �

Teorema 2.26. Seja κ ≤ |S| tal que κ = 1 ou κ ≥ ω, suponha que Uκ(S) é um subsemigrupo de

βS e seja p ∈ Uκ(S). Então Uκ(S) · p é um ideal à esquerda minimal de Uκ(S) se e somente se

dados B ∈ [S]<κ e A ⊂ S tal que S\A /∈ Cκ(p), existe F ∈ Pf (S\B) tal que⋃x∈F x

−1A ∈ Cκ(p).

Demonstração. (⇒): Sejam B ∈ [S]<κ e A ⊂ S tal que S\A /∈ Cκ(p). Pelo lema anterior,

Cκ(p) ∪ {A} possui a κ-p.i.f., logo tome r ∈ Uκ(p) tal que Cκ(p) ∪ {A} ⊂ r.

Suponha que para cada F ∈ Pf (S\B),⋃x∈F x

−1A /∈ Cκ(p). Afirmamos que Cκ(p)∪{S\(⋃x∈F x

−1A) :

F ∈ Pf (S\B)} possui a κ-p.i.f. Observe que {S\(⋃x∈F x

−1A) : F ∈ Pf (S\B)} é fechado para in-

terseção, pois dados F,G ∈ Pf (S\B), (S\(⋃x∈F x

−1A)) ∩ (S\(⋃x∈G x

−1A)) = S\(⋃x∈F∪G x

−1A).

Portanto, basta ver que dado F ∈ Pf (S\B), Cκ(p) ∪ {S\(⋃x∈F∪G x

−1A)} possui a κ-p.i.f. Isso

segue diretamente do lema anterior, já que supusemos que⋃x∈F∪G x

−1A /∈ Cκ(p). Portanto, pode-

mos tomar q ∈ Uκ(S) tal que Cκ(p) ∪ {S\(⋃x∈F x

−1A) : F ∈ Pf (S\B)} ⊂ q.

Pelo lema 2.23(b), temos que q, r ∈ Uκ(S) · p. Como, por hipótese, Uκ(S) · p é um ideal à esquerda

minimal de Uκ(S), então Uκ(S) · q = Uκ(S) · p, e assim r ∈ Uκ(S) · q. Logo existe s ∈ Uκ(S) tal

que r = s · q. Como A ∈ r = s · q, {x ∈ S : x−1A ∈ q} ∈ s, logo |{x ∈ S : x−1A ∈ q}| ≥ κ.

Como B ∈ [S]<κ, podemos tomar x ∈ S\B tal que x−1A ∈ q. Por outro lado, {x} ∈ Pf (S\B), logo

S\(x−1A) ∈ q. Contradição.

(⇐): Para ver que Uκ(S) · p é um ideal à esquerda minimal, basta ver que dados q, r ∈ Uκ(S) · p,

existe s ∈ Uκ(S) tal que r = s · q. Pois então dados L ⊂ Uκ(S) · p ideal à esquerda, e r ∈ Uκ(S) · p,

tome q ∈ L, e tome s ∈ Uκ(S) tal que r = s · q. Então r ∈ L, ou seja Uκ(S) · p ⊂ L.

Portanto, sejam q, r ∈ Uκ(S) · p. Temos que Cκ(p) ⊂ q, r.

Para cada A ∈ r, defina T (A) = {x ∈ S : x−1A ∈ q}. Então, similarmente à prova do lema 2.23(b),

basta ver que para cada A ∈ r, |T (A)| ≥ κ. Fixe então A ∈ r. Como Cκ(p) ⊂ r, temos que

S\A /∈ Cκ(p). Tome então (pela hipótese) F0 ∈ Pf (S) tal que⋃x∈F0

x−1A ∈ Cκ(p). Agora, supo-

nha que τ < κ e para todo σ < τ foi escolhido Fσ ∈ Pf (S\⋃η<σ Fη) de forma que

⋃x∈Fσ x

−1A ∈


Cκ(p). Vale que |⋃σ<τ Fσ| < κ, logo, pela hipótese podemos tomar Fτ ∈ Pf (S\

⋃σ<τ Fσ) tal que⋃

x∈Fτ x−1A ∈ Cκ(p). Como Cκ(p) ⊂ q, temos que para cada τ < κ,

⋃x∈Fτ x

−1A ∈ q, logo tome

xτ ∈ Fτ tal que xτ−1A ∈ q. Desse modo, {xτ : τ < κ} ⊂ T (A). Como {Fτ : τ < κ} é uma coleção

dois-a-dois disjunta, segue que |T (A)| ≥ κ, como desejado. �

Agora, podemos provar como corolário o Lema 1.1 de [5].

Corolário 2.27. Sejam (S, ·) um semigrupo discreto e p ∈ βS. Então βS · p é um ideal à esquerda

minimal se e somente se dado A ⊂ S, se existe z ∈ S tal que z−1A ∈ p, então existe F ∈ Pf (S) tal

que para todo y ∈ S, y−1(⋃x∈F x

−1A) ∈ p.

Demonstração. Considere o teorema anterior no caso κ = 1. Então U1(S) = βS. [S]<1 = {∅}, logo

temos a seguinte asserção:

Dado p ∈ βS, βS · p é um ideal à esquerda minimal se e somente se dado A ⊂ S, se S\A /∈ C1(p),

então existe F ∈ Pf (S) tal que⋃x∈F x

−1A ∈ C1(p).

Porém, como foi observado, C1(p) = {A ⊂ S : para todo x ∈ S, x−1A ∈ p}. Logo S\A /∈ C1(p)

é equivalente a existir z ∈ S tal que z−1(S\A) /∈ p, ou seja, z−1A ∈ p; e⋃x∈F x

−1A ∈ C1(p) é

equivalente a valer que y−1(⋃x∈F x

−1A) ∈ p para todo y ∈ S. Assim, traduzindo isso à asserção

acima, temos o resultado desejado. �

O próximo lema foi também retirado de [5] (é o Lema 1.2), e trata de um caso especial em que

vale a distributividade em βN.

Lema 2.28. Sejam p, q ∈ βN e x ∈ N. Então x · (p+ q) = x · p+ x · q.

Demonstração. Como ambos são ultrafiltros, basta ver que x·(p+q) ⊂ x·p+x·q. Seja A ∈ x·(p+q).

Vale que x−1A ∈ (p+ q), logo B = {y ∈ N : −y + x−1A ∈ q} ∈ p. Portanto x ·B ∈ x · p. Portanto,

basta ver que x · B ⊂ {y ∈ N : −y + A ∈ x · q} (pois daí A ∈ x · p + x · q). Logo seja z ∈ B. Vale

que −z + x−1A ∈ q, logo −x · z +A ∈ x · q, como afirmado. �

Agora estamos prontos para provar que aquele conjunto M do 2.13 é um ideal à esquerda de

(βN, ·). Este é o Teorema 5.4 de [5], devido a Vitaly Bergelson e Neil Hindman.

Teorema 2.29. Seja M = cl{p ∈ βN : p é idempotente minimal de (βN,+)}. Então M é um ideal

à esquerda de (βN, ·).

Demonstração. Sejam q ∈ M , r ∈ βN, e A ∈ r · q. Precisamos ver que existe um idempotente

minimal de (βN,+) a que A pertença. Sabemos que {x ∈ N : x−1A ∈ q} ∈ r, logo fixe x ∈ N tal

que x−1A ∈ q. Como q ∈ M , então existe p idempotente minimal de (βN,+) tal que x−1A ∈ p.

Portanto, A ∈ x ·p. Pelo lema 2.28, temos que x ·p+x ·p = x ·(p+p) = x ·p, logo x ·p é idempotente.


Assim, resta ver que x · p é minimal em (βN,+).

Para ver que x · p é minimal em (βN,+), basta ver, pelo teorema 1.16, que βN + x · p é um ideal

à esquerda minimal de (βN,+); pelo mesmo teorema, sabemos que βN + p é um ideal à esquerda

minimal; logo em ambos os casos aplicaremos o corolário 2.27.

Seja B ⊂ N tal que existe n ∈ N tal que −n + B ∈ x · p. Pelo corolário 2.27, precisamos obter

F ∈ Pf (N) tal que para todo y ∈ N, −y+(⋃z∈F −z+B) ∈ x ·p. Tome n ∈ N tal que −n+B ∈ x ·p.

Tome i ∈ {0, . . . , x − 1} tal que n + i ∈ xN. Então −(n + i) + (i + B) = −n + B ∈ x · p, logo

x−1(−(n+ i)+(i+B)) = −(n+ix )+x−1(i+B) ∈ p. Defina C = x−1(i+B). Como −(n+i

x )+C ∈ p,

tome pelo corolário 2.27 F ∈ Pf (N) tal que, para todo y ∈ N, −y + (⋃z∈F −z + C) ∈ p. Tome

k ∈ N tal que F ⊂ {1, . . . , k} e defina G = {1, . . . , x(k + 1)}.

Afirmação: para todo y ∈ N, −y+(⋃z∈G−z+B) ∈ x ·p. Para ver isso, seja y ∈ N. Tome a ∈ N tal

que x(a−1) ≤ y < xa. Vale que −a+(⋃z∈F −z+C) ∈ p, e −a+(

⋃z∈F −z+C) =

⋃z∈F −(z+a)+C;

logo tome t ∈ F tal que −(t + a) + C ∈ p. Vale então que −x(t + a) + xC ∈ x · p. Lembrando

que C = x−1(i + B), temos que −x(t + a) + xC ⊂ −x(t + a) + (i + B) = −xt − xa + i + B, logo

−xt− xa+ i+B ∈ x · p. Seja s ∈ {1, . . . , x} tal que xa = s+ y. Então −xt− xa+ i+B = −y +

(−(xt+s−i)+B). Agora, note que, como i ∈ {0, . . . , x−1} e s ∈ {1, . . . , x}, s−i ∈ {−x+2, . . . , x};

e como t ∈ F ⊂ {1, . . . , k}, xt ∈ {x, . . . , xk}; portanto xt + s − i ∈ {2, . . . , x(k + 1)} ⊂ G. Dessa

forma, −y+ (−(xt+ s− i) +B ⊂ −y+ (⋃z∈G−z+B), e assim −y+ (

⋃z∈G−z+B) ∈ x · p, como

afirmado. �

2.3. N∗ NÃO CONTÉM UMA CÓPIA ALGÉBRICA E TOPOLÓGICA DE βN 29

2.3 N∗ não contém uma cópia algébrica e topológica de βN

Esta seção é o estudo do surpreendente resultado (postulado acima) publicado por Dona Strauss

em 1992, em [7], e suas consequências.

Lema 2.30. Sejam k ∈ N e p ∈ N∗ idempotente. Então para todo q ∈ N∗ existe r ∈ kN tal que

r + q + p 6= q + r + p.

Demonstração. Seja q ∈ N∗. Podemos supor que k > 1. No caso k = 1, podemos usar o caso k = 2

e tomar r ∈ 2N tal que r + q + p 6= q + r + p. Valerá que r ∈ N = βN.

Assim, suponha k > 1, e suponha por absurdo que para todo r ∈ kN, r + q + p = q + r + p. Para

cada m ∈ N considere sua expansão (única) em base k,∑

n∈ω ankn; como an ∈ {0, . . . , k − 1} para

todo n, temos uma função f : N→ {0, . . . , k−1}ω definida por f(m) = (an)n∈ω. Além disso, defina

também g : N→ N e c : N→ N por: se m =∑

n∈ω ankn, g(m) = ank

n em que n é o menor índice

tal que an 6= 0, e c(m) = |{n ∈ ω : an 6= 0}|. Lembre que f , g e c possuem extensões contínuas

f : βN→ {0, . . . , k − 1}ω e g, c : βN→ βN.

Vejamos agora que, dados s ∈ βN e t ∈⋂n∈N k

nN, vale que g(s+ t) = g(s), e c(s+ t) = c(s) + c(t).

Para a primeira igualdade, basta ver que as funções g ◦ ρt e g coincidem sobre N; para a segunda,

basta ver que as funções c ◦ ρt e ρc(t) ◦ c coincidem sobre N. Seja m ∈ N então. Quero ver que

g(m + t) = g(m) e c(m + t) = c(m) + c(t). Tome l ∈ N tal que m < kl. Então, para todo

x ∈ klN, g(m + x) = g(m) e c(m + x) = c(m) + c(x). Como t ∈ klN, então g(m + t) = g(m) e

c(m+ t) = c(m) + c(t).

Agora, para cada j ∈ N, considere a projeção nas j primeiras coordenadas γj definida para cada

(an)n∈ω ∈ {0, . . . , k−1}ω por γj((an)n∈ω) = (a0, . . . , aj). Note que, dado s ∈ βN, γj−1[{γj(f(s))}] é

uma vizinhança básica de f(s) (pela topologia produto), logo por 1.26(h), N∩f−1[γj−1[{γj(f(s))}]] =

(γj ◦ f)−1[{γj(f(s))}] ∈ s. Para facilitar, denotaremos esse resultado por: para cada s ∈ βN,

(γjf)−1γj(f(s)) ∈ s.

Considere, a partir de agora, (an)n∈ω = f(q). Primeiramente, veremos que (an)n∈ω não é even-

tualmente 0. Suponha, por absurdo, que seja, e tome n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0,

an = 0. Considere m =∑n0−1

n=0 ankn. Seja s ∈ βN tal que {−m + A : A ∈ q} ⊂ s. Vale que

q = m + s, pois q ⊂ m + s. Veremos que s ∈⋂n∈N k

nN. Seja l ≥ n0. Tome n ∈ {0, . . . , kl − 1}

tal que n + klN ∈ q. Note que γl−1f [n + klN] = {γl−1(n)}, logo γl−1f(q) = γl−1(n). Po-

rém, temos que γl−1f(q) = γl−1f(m). Como m,n < kl, tem-se que m = n. Dessa forma,

m + klN ∈ q, logo −m + (m + klN) = klN ∈ s. Assim, s ∈⋂l≥n0

klN ⊂⋂n∈N k

nN. Dado

r ∈ kN, r + m + s + p = r + q + p = q + r + p = m + s + r + p. r + m + s + p = m + r + s + p,

logo m+ r+ s+ p = m+ s+ r+ p, e, pelo lema 2.14, r+ s+ p = s+ r+ p. Note que pelo teorema

1.34,⋂n∈N k

nN é um subsemigrupo. Logo s + p ∈⋂n∈N k

nN. Agora seja r ∈ ({kn : n ∈ N})∗


qualquer. Observe que r ∈⋂n∈N k

nN, logo r + p ∈⋂n∈N k

nN; e que, como g é a identidade sobre

{kn : n ∈ N}, então g(r) = r. Deste modo, temos então (usando o que foi observado acima sobre

g): r = g(r) = g(r + s + p) = g(s + r + p) = g(s). Uma contradição, pois temos 2c possibilidades

para r ∈ ({kn : n ∈ N})∗.

Agora veremos que (an)n∈ω não é eventualmente k − 1. Suponha por absurdo que n0 ∈ N é tal

que an = k − 1 se n ≥ n0. Considere m = −∑n0−1

n=0 ankn + kn0 e defina t = m + q. Seja

l > n0. Lembre que (γlf)−1γl(f(q)) = (γlf)−1γl((an)n∈ω) ∈ q. Dado x ∈ (γlf)−1γl((an)n∈ω),

note que x =∑n0−1

n=0 ankn +

∑ln=n0

(k − 1)kn +∑

n>l f(x)nkn, de modo que m + x = kn0 +

kl+1 − kn0 +∑

n>l f(x)nkn = kl+1 +

∑n>l f(x)nk

n ∈ kl+1N. Destarte, m + q ∈ kl+1N; ou seja,

t ∈⋂l>n0

kl+1N ⊂⋂n∈N k

nN. Temos então que dado r ∈ kN, r + t + p = r + m + q + p =

m+ r + q + p = m+ q + r + p = t+ r + p, e, como no parágrafo acima, uma contradição.

Considere L = {n ∈ ω : 0 < an < k − 1}. Mostraremos que L é finito. Suponha que L seja

infinito, e tome r ∈ ({kn : n ∈ L})∗. Note que c[{kn : n ∈ L}] = {1}, logo c(r) = 1. Além disso,

dados l ∈ L e x ∈ (γlf)−1γl((an)n∈ω), note que f(x)l = al, logo 0 < f(x)l < k − 1. Assim, vale

que c(kl + x) = c(x), pois somar kl a x não acrescenta nem retira coordenadas nulas da expansão

em base k de x. Portanto, temos que c(r + q) = c(q). Usando as observações sobre c, temos:

c(q) + c(p) = c(r + q) + c(p) = c(r + q + p) = c(q + r + p) = c(q) + c(r + p) = c(q) + c(r) + c(p) =

c(q) + 1 + c(p) = c(q) + c(p) + 1. Contradição, pelo teorema 1.26(a), pois a função h : N → N,

h(n) = n+ 1 não possui pontos fixos.

Assim, temos que L é finito, e (an)n∈ω não é eventualmente k−1 ou eventualmente 0. Portanto, vale

que o conjunto M = {n ∈ ω : an = k − 1 e an+1 = 0} é infinito. Tome então r ∈ ({kn : n ∈ M})∗.

Note desta vez que, dados m ∈M e x ∈ (γm+1f)−1γm+1((an)n∈ω), vale que f(x)m = am = k − 1 e

f(x)m+1 = 0. Logo f(km+x)m = 0, f(km+x)m+1 = 1 e f(km+x)i = f(x)i para i ∈ ω\{m,m+1}.

Portanto, vale que c(km + x) = c(x). Como antes, obtemos que c(q) + c(p) = c(q) + c(p) + 1, uma

contradição. �

Antes do próximo lema, precisaremos de um resultado sobre semigrupos (um lema para o lema).

Lema 2.31. Seja S um semigrupo topológico à direita compacto. Seja L ideal à esquerda minimal.

Então cada s ∈ L possui uma única identidade à esquerda em L.

Demonstração. Unicidade: Seja s ∈ L e suponha que a, b ∈ L são tais que s = as = bs. Como,

pelos teoremas 1.15(c) e 1.14, K(S) =⋃{R : R é ideal à direita minimal de S}, união disjunta,

tome Ra e Rb ideais à direita minimais tais que a ∈ Ra e b ∈ Rb. Então as = bs ∈ Ra ∩ Rb, de

forma que Ra = Rb =: R. Assim, s = as = bs ∈ R ∩ L que é um grupo (teorema 1.17(b)), logo

cancelando s à direita, obtemos a = b.

Existência: note que s ∈ R para algum ideal à direita minimal, logo s ∈ R ∩ L que é grupo, e


portanto s possui uma identidade. �

Lema 2.32. Seja φ : βN → N∗ um homomorfismo contínuo. Então φ(q) = φ(q′) para q, q′ idem-

potentes quaisquer. Além disso, existe m ∈ N tal que para todo x ≥ m em N, φ(x) = φ(x) + φ(q)

(onde q é um idempotente).

Demonstração. Seja p um idempotente. Temos que: φ(1)+φ(p) = φ(1+p) = φ(p+1) = φ(p)+φ(1);

φ(1) + φ(p) ∈ βN + φ(p) = N + φ(p) = N+ φ(p); e φ(p) + φ(1) ∈ φ[βN] + φ(1) = φ[N] + φ(1) =

φ[N] + φ(1). Logo, pelo 1.26(c), (N + φ(p)) ∩ φ[N] + φ(1) 6= ∅ ou N+ φ(p) ∩ (φ[N] + φ(1)) 6= ∅.

Na primeira possibilidade, existe k ∈ N tal que k + φ(p) ∈ φ[N] + φ(1) ⊂ φ[βN] = φ[βN] (pois φ é

contínua). Logo, para cada m ∈ N, km+φ(p) ∈ βN, pois: km+φ(p) = k(m−1)+k+φ(p)+φ(p) =

k(m − 1) + φ(p) + k + φ(p) ∈ φ[βN] + φ[βN] ⊂ φ[βN]. Dessa forma, kN + φ(p) ⊂ φ[βN], logo

kN + φ(p) ⊂ kN+ φ(p) ⊂ φ[βN]. Ou seja, dado r ∈ kN, r + φ(p) ∈ φ[βN] e portanto comuta com

φ(1), logo r + φ(1) + φ(p) = r + φ(p) + φ(1) = φ(1) + r + φ(p), contradizendo o lema 2.30.

Portanto somos forçados a ter N+ φ(p) ∩ (φ[N] + φ(1)) 6= ∅. Ou seja, temos k ∈ N tal que

φ(k) + φ(1) = φ(k + 1) ∈ N+ φ(p) = βN + φ(p). Defina m = k + 1. Note que φ(m) = φ(m) +

φ(p) = φ(m + p) ∈ N∗. Além disso, dado x > m, φ(x) = φ(x − m) + φ(m) ∈ βN + φ(p) e logo

φ(x) = φ(x) + φ(p). Como φ[{x ∈ N : x ≥ m}] ⊂ βN+ φ(p), segue que φ[N∗] ⊂ βN+ φ(p), e assim

φ(t) = φ(t) + φ(p) para todo t ∈ N∗.

Dessa forma, demonstramos que φ[N∗] = φ[N∗] + φ(p), para um idempotente p qualquer. Suponha

que u seja algum idempotente de φ[N∗]. Vale que φ−1[{u}] é um subsemigrupo compacto de βN,

logo possui um idempotente p. Temos então que u = φ(p). Ou seja, todo idempotente de φ[N∗]

é da forma φ(p) para p idempotente. Assim, como qualquer ideal à esquerda minimal de φ[N∗] é

da forma φ[N∗] + u com u idempotente, segue que φ[N∗] é seu próprio ideal à esquerda minimal.

Usaremos agora o lema 2.31: sejam q, q′ idempotentes. Observe que φ(q) + φ(m) = φ(m) + φ(q)

e, pelo que provamos acima, φ(m) + φ(q) = φ(m); analogamente, φ(q′) + φ(m) = φ(m). Assim,

φ(q) = φ(q′). �

Nesse ponto, já podemos afirmar que φ[N∗] é um grupo, pois é topológico à direita compacto,

simples à esquerda, e possui um único idempotente.

Para o próximo lema, note que, dado p ∈ N∗, p é o limite de uma rede em N, e vale que tal rede

está eventualmente na vizinhança βN\{1, . . . , l}, para todo l ∈ N.

Lema 2.33. Seja φ : βN→ βN contínua. Suponha que existem m ∈ N e p ∈ N∗ tais que φ(p) /∈ φ[N]

e φ(x) = φ(x + p) para todos x ≥ m em N. Então existe uma sequência crescente (nk)k≥0 em N

e uma sequência decrescente (Wk)k≥0 de vizinhanças clopens de φ(p) tais que φ(nk1 + · · ·+ nkr) ∈

Wk1\Wk1+1 sempre que k1 < . . . < kr.


Demonstração. Construiremos por recursão. No primeiro passo, defina n0 = m, W0 = βN e tome

W1 qualquer vizinhança clopen de φ(p) tal que φ(n0) /∈W1.

Suponha então construídos n0, . . . , nk e W0, . . . ,Wk+1 com as propriedades desejadas. Note que,

dados k1 < . . . < kr ≤ k, φ(nk1 + · · ·+ nkr + p) = φ(nk1 + · · ·+ nkr) ∈Wk1\Wk1+1, sendo este um

aberto. Como p é o limite de uma rede em N, p ∈ N∗, φ é contínua, φ(nk1+· · ·+nkr+p) ∈Wk1\Wk1+1

e φ(p) ∈ Wk+1, então existe nk+1 > nk tal que φ(nk+1) ∈ Wk+1 e φ(nk1 + · · · + nkr + nk+1) ∈

Wk1\Wk1+1 sempre que k1 < . . . < kr ≤ k (pois há finitas possibilidades para k1, . . . , kr ≤ k).

Tome então Wk+2 ⊂Wk+1 vizinhança clopen de φ(p) tal que φ(nk+1) /∈Wk+2.

Assim, temos: se k1 < . . . < kr ≤ k, φ(nk1 + · · ·+ nkr) ∈Wk1\Wk1+1 e φ(nk1 + · · ·+ nkr + nk+1) ∈

Wk1\Wk1+1; e φ(nk+1) ∈ Wk+1\Wk+2. Ou seja, φ(nk1 + · · · + nkr) ∈ Wk1\Wk1+1 sempre que

k1 < . . . < kr ≤ k + 1. Está feito o passo da recursão. �

Para os próximos lema e teorema, usaremos a seguinte notação: dado X ⊂ N,

FS(X) = {∑

a∈F a : F ∈ Pf (X)} e FSn(X) = {∑

a∈F a : F ∈ Pf (X) e min F ≥ n}. Além disso,

para tornar a notação mais limpa, escreveremos ΣF no lugar de∑

a∈F a.

Lema 2.34. Assuma as hipóteses do lema anterior. Então existem B,C ⊂ N infinitos e disjuntos

tais que φ[FS(B)] ∩ φ[FS(C)] = ∅.

Demonstração. Tome pelo lema anterior as sequências (nk)k≥0 e (Wk)k≥0. Tome B e C subcon-

juntos infinitos disjuntos de {nk : k ≥ 0}. Veremos que se x ∈ FS(B), então φ(x) /∈ φ[FS(C)].

Escreva x = ΣF , com F ∈ Pf (B) e min F = nk. Temos então que φ(x) ∈ Wk\Wk+1. Por outro

lado, dado y ∈ FS(C) com y = ΣG, G ∈ Pf (C), se min G < nk, então φ(y) /∈ Wk (lembre que

a sequência (Wk)k≥0 é decrescente); e se min G > nk, então φ(y) ∈ Wk+1. Como Wk e Wk+1 são

clopens, segue que φ[FS(C)] ⊂ βN\Wk ∪Wk+1, e portanto φ(x) /∈ φ[FS(C)].

Analogamente, dado y ∈ FS(C), φ(y) /∈ φ[FS(B)]. Desse modo, temos que φ[FS(B)]∩φ[FS(C)] =

φ[FS(C)] ∩ φ[FS(B)] = ∅, logo, pelo teorema 1.26(c), como FS(B) e FS(C) são enumeráveis,

φ[FS(B)] ∩ φ[FS(C)] = ∅. Ou seja, φ[FS(B)] ∩ φ[FS(C)] = ∅, como queríamos. �

Assim, podemos provar o teorema principal desta sub-seção, provando a seguinte (surpreen-

dente) afirmação:

Teorema 2.35. Seja φ : βN→ N∗ um homomorfismo contínuo. Então φ[βN] é finito.

Demonstração. Suponha que φ[βN] é infinito. Vale que φ[N] não possui idempotentes: se φ(k)

fosse um idempotente para algum k ∈ N, por indução teríamos que φ(a · k) = φ(k) para todo

a ∈ N. Assim, dado x ∈ N, se x ≥ k, então x = a · k + b, com a ∈ N e b < k. Logo φ(x) =

φ(a · k) + φ(b) = φ(k) + φ(b). Portanto φ[N] = {φ(x) : x < k} ∪ {φ(k) + φ(b) : b < k}, que é finito,

logo φ[N] = φ[βN] = {φ(x) : x < k} ∪ {φ(k) + φ(b) : b < k}.


Dessa forma, dado p idempotente, as hipóteses do lema 2.34 estão satisfeitas, de acordo com o lema

2.32, então temos B,C ⊂ N infinitos e disjuntos tais que φ[FS(B)] ∩ φ[FS(C)] = ∅. Como, pelo

teorema 1.34,⋂n≥1 FSn(B) e

⋂n≥1 FSn(C) são subsemigrupos, cada um possui um idempotente;

sejam s ∈⋂n≥1 FSn(B) e t ∈

⋂n≥1 FSn(C) tais idempotentes. Temos então que φ(s) 6= φ(t),

contradizendo o lema 2.32. �

Corolário 2.36. Seja φ : βN → N∗ um homomorfismo contínuo. Então φ[N∗] ∼= Zm para algum

m ∈ N.

Demonstração. Afirmamos que φ[N∗] é um grupo cíclico de gerador φ(1) + φ(p), para p um idem-

potente qualquer.

Note que dados k, l ∈ N, (φ(k) + φ(p)) + (φ(l) + φ(p)) = φ(k + l) + φ(p). Já sabemos que φ[N∗]

é um grupo, e pelo teorema anterior ele é finito. Seja h a identidade desse grupo. Note que

{φ(n) + φ(p) : n ∈ N} ⊂ φ[N∗], e portanto existe o menor n > 1 tal que φ(n) + φ(p) = φ(k) + φ(p),

com k < n. Vale então que φ(n) +φ(p) = φ(n−k) +φ(p) +φ(k) +φ(p) = φ(k) +φ(p). Aplicando a

inversa de φ(k)+φ(p), temos que φ(n−k)+φ(p) = h. Defina m = n−k. Temos então, por indução,

que φ(k ·m) + φ(p) = φ(m) + φ(p) = h para todo k ∈ N. Segue disso que se x ≥ m e escrevemos

x = a ·m+b com a ≥ 1 e 0 ≤ b < m, então φ(x)+φ(p) = φ(a ·m)+φ(p)+φ(b)+φ(p) = φ(b)+φ(p).

Ou seja, dado i ∈ {0, . . . ,m− 1}, e x ∈ i+mN, φ(x) + φ(p) = φ(i) + φ(p).

Agora seja φ(q) ∈ φ[N∗]. Vimos no lema 2.32 que φ[N∗] = φ[N∗] + φ(p), logo φ(q) = φ(q) + φ(p).

Tome i ∈ {0, . . . ,m − 1} tal que i + mN ∈ φ(q). Pelo que foi observado acima, e como φ

e a soma à direita são contínuas, φ(q) = φ(q) + φ(p) = φ(i) + φ(p). Portanto, temos que

φ[N∗] = {φ(i) + φ(p) : 1 ≤ i ≤ m}, com φ(m) + φ(p) a identidade do grupo. Portanto, φ[N∗]

é isomorfo ao grupo cíclico de ordem m, Zm. (Para ver que de fato |{φ(i)+φ(p) : 1 ≤ i ≤ m}| = m,

suponha 1 ≤ i < j ≤ m com φ(i) + φ(p) = φ(j) + φ(p); observe que j ≥ n > n − k ≥ m,

contradição.) �

Assim, a imagem de qualquer homomorfismo contínuo entre βN e N∗ é finita. Tem-se a questão:

é possível que seja sempre trivial (unitária)? Unindo os resultados do teorema 2.35 e do lema 2.32,

temos que a existência de um homomorfismo contínuo não trivial é equivalente à existência de um

elemento de ordem finita em βN que não seja um idempotente (ou seja, ordem maior ou igual a 2).

De fato, o Teorema 3.1 do artigo de Neil Hindman [3] dá a seguinte forma mais precisa a essa

equivalência:

Teorema 2.37. São equivalentes:

(a) Existe um homomorfismo contínuo não-trivial de βN em N∗;


(b) Existe um grupo finito não-trivial em N∗, ou existem p, q ∈ N∗ distintos tais que q + q = q =

p+ p = q + p = p+ q.

Demonstração. (a)⇒(b):

Seja φ : βN → N∗ um homomorfismo contínuo não-trivial. Pelo teorema 2.35, φ[N∗] é um grupo

finito, logo se |φ[N∗]| > 1 ele é não-trivial. Suponha então |φ[N∗]| = {q} (q idempotente). Pelo lema

2.32, tome m ∈ N o menor tal que se x ≥ m, φ(x) = φ(x) + φ(p) ∈ φ[N∗]. Como φ não é trivial,

temos que m ≥ 2, logo defina p = φ(m − 1). Temos então que p + p = φ(m − 1 + m − 1) = q,

q + p = φ(m+m− 1) = q e p+ q = φ(m− 1 +m) = q.

(b)⇒(a):

Suponha que existe um grupo finito não trivial em N∗; então algum subgrupo dele é homeomorfo

a um grupo cíclico Zn, n > 1. Ou seja, existe um homomorfismo injetor ψ : Zn → N∗. Defina

φ : N → N∗ por φ(k) = ψ(k). Temos então que φ : βN → N∗ é um homomorfismo contínuo

não-trivial.

Suponha agora que existem p, q ∈ N∗ distintos tais que q + q = q = p + p = q + p = p + q. Então

φ : βN → N∗ definida por φ(1) = p e φ(r) = q para todo r 6= 1, é um homomorfismo, pois, dados

r, s 6= 1: φ(1 + 1) = q e φ(1) + φ(1) = p+ p = q; r + 1 6= 1 6= 1 + r, logo φ(r + 1) = q = φ(1 + r) e

φ(r)+φ(1) = q+p = q = p+q = φ(1)+φ(r); r+s 6= 1, logo φ(r+s) = q e φ(r)+φ(s) = q+q = q.

Além disso, φ é contínua pois é constante sobre dois clopens, {1} e βN\{1}. �

Para os próximos corolários, definimos, para cada q ∈ βN, q1 = q e qn+1 = qn + q.

Corolário 2.38. Se φ : βN→ N∗ é um homomorfismo contínuo, então |φ2[βN]| = 1.

Demonstração. Primeiramente defina q = φ(1) e vejamos que para algum n ∈ N, qn é idempotente.

Lembre que pelo lema 2.32, existe m′ ∈ N tal que se x ≥ m′ então φ(x) = φ(x) + φ(p) ∈ φ[N∗], em

que p é idempotente. Logo, como φ[N∗] ∼= Zm e φ(m′) ∈ φ[N∗], tome n ≥ m′ tal que φ(n) + φ(p)

é a identidade de φ[N∗]. Temos, pois, que φ(n) = φ(n) + φ(p) é um idempotente. Usando que φ é

homomorfismo, φ(n) = qn. Logo qn é idempotente.

Afirmação: nN ∈ q. Para comprovar isso, seja γ o homomorfismo canônico de N em Zn2 . Vale que

γ é um homomorfismo também, e portanto γ(qn) = 0. Por outro lado, note que γ(qn) = n · γ(q),

logo n · γ(q) = 0. Além disso, dado x ∈ N, n · γ(x) = 0 se e somente se x ∈ nN. Portanto nN ∈ q.

Temos então: φ(n) = qn. Como qn é idempotente, por indução vale que φ(k · n) = qn para todo

k ∈ N. Ou seja, φ[nN] = {qn}, e portanto φ(q) = qn. Ou seja φ(φ(1)) = qn. Agora, aplicando

indução, dado l > 1, temos que φ(φ(l)) = φ(φ(l−1)+φ(1)) = φ(φ(l−1))+φ(φ(1)) = qn+ qn = qn.

Ou seja, φ2[N] = {qn}, do que segue que φ2[βN] = {qn}. �


Corolário 2.39. Se q ∈ N∗ possui ordem infinita, então q não comuta com todo elemento de

cl{qn : n ∈ N}. Disso segue que qualquer elemento de N∗ de ordem infinita não está no centro de

qualquer subsemigrupo compacto de βN.

Demonstração. Considere a função φ : N → {qn : n ∈ N} dada por φ(n) = qn. Vale que sua

extensão φ : βN →cl{qn : n ∈ N} é sobrejetora (pois φ[βN] = φ[cl N] = cl φ[N]). Agora, se q

comutar com todo elemento de cl{qn : n ∈ N}, φ será um homomorfismo, pois: sejam r, s ∈ βN, e

tome (mα)α∈A e (nβ)β∈B redes em N convergindo para r e s, respectivamente. Então temos:

φ(r + s) = limα

limβφ(mα + nβ)

= limα

limβ

(φ(nβ) + φ(mα))

= limα

(φ(s) + φ(mα))

= limα

(φ(mα) + φ(s))

= φ(r) + φ(s).

Ou seja, φ seria um homomorfismo contínuo de βN em N∗ de imagem infinita, contradizendo o

teorema 2.35. �

Notamos rapidamente que o lema 2.30 nos fornece uma prova de que o centro topológico de N∗

é vazio.

Corolário 2.40. O centro topológico de N∗ é vazio.

Demonstração. Suponha q ∈ Λ(N∗). Seja p idempotente qualquer. Vale que n+ q + p = q + n+ p

para todo n ∈ N. Logo, passando ao limite e usando que q ∈ Λ(N∗), temos que r+ q+p = q+ r+p

para todo r ∈ N∗, contradizendo o lema 2.30. �

O Teorema 2 do artigo [7] dá uma caracterização dos elementos canceláveis à direita de βN.

Porém antes precisaremos de um lema, que é o Teorema 1 do artigo [8].

Lema 2.41. Suponha que q ∈ N∗ não é cancelável à direita. Então existe s ∈ N∗ tal que q = s+ q.

Demonstração. Sejam p1, p2 distintos e tais que p1 + q = p2 + q. Tome A1 ∈ p1 e A2 ∈ p2 tais que

A1∩A2 = ∅. Temos que p1 +q ∈ A1 +q = A1 + q, e p2 +q ∈ A2 + q. Ou seja, A1 + q∩A2 + q 6= ∅;

como A1, A2 ⊂ N, temos que (A1 + q) ∩ A2 + q 6= ∅ ou A1 + q ∩ (A2 + q) 6= ∅. Sem perda de

generalidade, tome a ∈ A1 e r ∈ A2 tais que a+q = r+q. Tome s ∈ N∗ tal que s ⊃ {−a+R : R ∈ r}.

Vale então que q = s+q, pois: seja Q ∈ q. a+Q ∈ a+q = r+q, logo {x ∈ N : −x+a+Q ∈ q} ∈ r,

logo −a + {x ∈ N : −x + a + Q ∈ q} ∈ s, ou seja, {y ∈ N : −(a + y) + a + Q ∈ q} ∈ s, portanto

{y ∈ N : −y +Q ∈ q} ∈ s, e assim Q ∈ s+ q. �


(Note que o lema acima vale ipsis litteris se considerarmos G grupo enumerável no lugar de N.)

Teorema 2.42. Seja q ∈ N∗. q é cancelável à direita se e somente se existe X ∈ q com a seguinte

propriedade: enumerando X = {xn : n ∈ N} de forma crescente, para cada k ∈ N vale que

{xn : xn+1 − xn > k} ∈ q.

Demonstração. (⇒): Por contraposição. Ou seja, suponha que para todo X ∈ q existe um kX ∈ N

tal que {xn : xn+1 − xn ≤ kX} ∈ q (sendo X = {xn : n ∈ N} uma enumeração crescente). Como

{xn : xn+1 − xn ≤ kX} =⋃kXm=1{xn : xn+1 − xn = m}, então existe mX tal que {xn : xn+1 − xn =

mX} ∈ q.

Assim, para cada X = {xn : n ∈ N} ∈ q, temos que {xn : xn+1 − xn = mX} ∈ q. Assim, para

cada X ∈ q, tome (xλ)λ∈Λ rede em {xn : xn+1 − xn = mX} ⊂ X que converge pra q. Defina,

para cada xλ, yλ = mX + xλ (note que yλ ∈ {xn : xn+1 − xn = mX} ⊂ X). Temos então que

limλ∈Λ

(mX + xλ) = mX + q, ou seja, limλ∈Λ

yλ = mX + q, e logo mX + q ∈ X para cada X ∈ q. Assim,

temos que a rede (mX + q)X∈q converge para q; tome uma sub-rede (mXµ)µ∈M de (mX)X∈q que

converge, digamos, para s. Então temos que q = limµ∈M

(mXµ + q) = limµ∈M

(mXµ) + q = s+ q. Assim,

q não é cancelável à direita (pois se fosse, q = s+ q ⇒ 1 + q = 1 + s+ q ⇒ 1 = 1 + s, absurdo).

(⇐): Por contraposição, isto é, suponha que q não é cancelável à direita. Então pelo lema acima,

q = s + q para algum s ∈ N∗. Dado X ∈ q, X ∈ s + q, logo existem Y ∈ s e {Xy : y ∈ Y } ⊂ q

tais que⋃y∈Y y + Xy ⊂ X. Enumere X = {xn : n ∈ N} de forma crescente. Dado xn ∈ Xy,

y + xn ∈ X; como a enumeração é crescente, temos que y + xn ≥ xn+1, logo xn+1 − xn ≤ y. Ou

seja, {xn : xn+1 − xn ≤ y} ⊃ X ∩Xy ∈ q. �

Lembre que definimos q1 = q e qn+1 = qn + q. Com a caracterização dada acima, podemos

provar o seguinte:

Teorema 2.43. Se q ∈ N∗ é cancelável à direita, então {qn : n ∈ N} não é um subsemigrupo.

Demonstração. Por absurdo. Suponha que {qn : n ∈ N} seja um subsemigrupo. Como q é cancelável

à direita, pelo teorema acima tomeX ∈ q tal que, enumerandoX = {xn : n ∈ N} de forma crescente,

{xn : xn+1 − xn > m} ∈ q para todo m ∈ N.

Considere somas da forma xn1 + · · · + xnk , tais que n1 < . . . < nk e xnr+1 − xnr >∑r−1

i=1 xni

para todo r ∈ {1, . . . , k}. Vejamos que somas desse tipo são únicas. Suponha xn1 + · · · + xnk =

xm1 + · · · + xms duas somas desse tipo. Vale que nk = ms, pois se s.p.g. nk > ms, então

xnk − xms ≥ xms+1− xms >∑s−1

i=1 xmi e logo xnk > xm1 + · · ·+ xms , absurdo. Ou seja, xnk = xms ,

logo ambos podem ser cancelados na igualdade; assim podemos aplicar uma indução em k, e ter

que k = s e ni = mi para cada i ∈ {1, . . . , k}.

Desse modo, seja S o conjunto de todas as somas desse tipo, e defina, para cada m ∈ N, Sm o


subconjunto de S das somas xn1 + · · · + xnk que também verificam xni+1 − xni > m para cada

i ∈ {1, . . . , k}. Definimos também c : S → N por c(xn1 + · · ·+ xnk) = k.

Mostraremos por indução em r que, para cada m ∈ N, {s ∈ Sm : c(s) = r} ∈ qr. No caso r = 1,

temos que {s ∈ Sm : c(s) = 1} = {xn1 : xn1+1 − xn1 > m} ∈ q. Suponha que valha para r − 1.

Mostraremos que para cada U ∈ qr, U ∩ {s ∈ Sm : c(s) = r} 6= ∅. Como U ∈ qr = qr−1 + q, então

existem V ∈ qr−1 e {Wv : v ∈ V } ⊂ q tais que⋃v∈V v + Wv ⊂ U . Usando a hipótese indutiva,

tome v ∈ V ∩Sm tal que c(v) = r− 1. Como Wv ∩X ∈ q ∈ N∗ e usando a propriedade de X, tome

xn ∈ Wv ∩X tal que xn+1 − xn > v, xn+1 − xn > m e xn > v. Vale então que v + xn ∈ Sm ∩ U e

c(v + xn) = r, como queríamos.

Portanto, considerando c : S → βN, temos que c(qr) = r.

Agora, para cada m ∈ N, considere Tm = {xn1 + · · · + xnk ∈ Sm : xn1 > m e xnr+1 − xnr >

m +∑r−1

i=1 xni}. Vejamos primeiro que Tm ∈ q. Vimos acima que {s ∈ Sm : c(s) = 1} ∈ q, e

{s ∈ Sm : c(s) = 1} = {xn1 : xn1+1 − xn1 > m}. Como q ∈ N∗ segue que {xn1 : xn1+1 − xn1 > m e

xn1 > m} ∈ q. Note que {xn1 : xn1+1 − xn1 > m e xn1 > m} ⊂ Tm (são exatamente os elementos

de Tm de comprimento 1).

Portanto, q ∈⋂m∈N Tm, que é compacto. Queremos ver que {qn : n ∈ N} ⊂

⋂m∈N Tm; basta ver

que⋂m∈N Tm é um subsemigrupo. Para isso usaremos a condição dada em 1.34. Sejam m ∈ N

e xn1 + · · · + xnk ∈ Tm. Defina m′ = m +∑k

i=1 xni . Quero ver que xn1 + · · · + xnk + Tm′ ⊂

Tm. Seja xnj1 + · · · + xnjl ∈ Tm′ . Como xnj1 > m′ > xnk , então nj1 > nk. Logo temos que

n1 < . . . < nk < nj1 < . . . < njl ; xn1 > m; para r ∈ {1, . . . , k}, xnr+1 − xnr > m +∑r−1

i=1 xni ;

para r ∈ {1, . . . , l}, xnjr+1 − xnjr > m′ +∑r−1

i=1 xnji = m +∑k

i=1 xni +∑r−1

i=1 xnj+i . Destarte,

xn1 + · · ·+ xnk + xnj1 + · · ·+ xnjl ∈ Tm, como queríamos.

Além disso, note no argumento acima que c(xn1 + · · ·+xnk +xnj1 + · · ·+xnjl ) = k+ l = c(xn1 + · · ·+

xnk) + c(xnj1 + · · · + xnjl ), e portanto, pelo teorema 1.36, c é um homomorfismo sobre⋂m∈N Tm.

Como sabemos que {qn : n ∈ N} ⊂⋂m∈N Tm, e por hipótese {qn : n ∈ N} é um subsemigrupo,

podemos dizer que c é um homomorfismo sobre {qn : n ∈ N}.

Considere, agora, φ : N → N∗ definida por φ(n) = qn. Note que φ[N] = {qn : n ∈ N}, logo

φ[βN] = {qn : n ∈ N}. Além disso, c(φ(n)) = n e φ(c(qn)) = qn para todo n ∈ N, do que segue que

c(φ(s)) = s para todo s ∈ βN e φ(c(t)) = t para todo t ∈ {qn : n ∈ N}. Portanto, usando que c é um

homomorfismo sobre {qn : n ∈ N} temos que, dados s, r ∈ βN, φ(s + r) = φ(c(φ(s)) + c(φ(r))) =

φ(c(φ(s) + φ(r))) = φ(s) + φ(r). Ou seja, φ : βN → N∗ é um homomorfismo contínuo; para

contradizer o Teorema 2.35, basta ver que a imagem é infinita. De fato, {qn : n ∈ N} é infinito; caso

qk = qn com n > k, então 1 + qk = 1 + qn. Cancelando q k vezes à direita, obtemos 1 = 1 + qn−k,

impossível. �

Em contraste, o Teorema 4.4 de [3] nos dá uma classe de exemplos em que {qn : n ∈ N} é um


subsemigrupo.

Teorema 2.44. Sejam p um idempotente, k ∈ N, e q = k + p. Então {qn : n ∈ N} é um subsemi-

grupo.

Demonstração. Usando que N é o centro de βN, temos que {qn : n ∈ N} = kN + p, logo

{qn : n ∈ N} = kN+ p = kN + p. Note pelo teorema 1.34 que kN é um subsemigrupo, e pelo

lema 2.2 que p ∈ kN, logo dados r1, r2 ∈ kN, (r1 + p) + (r2 + p) = (r1 + p + r2) + p ∈ kN + p.

Portanto kN+ p é um subsemigrupo. �

2.4. SUBGRUPOS DISCRETOS EM βN 39

2.4 Subgrupos discretos em βN

Esta seção se devotará ao estudo do artigo “Discrete Groups in βN”, de Dona Strauss e Neil

Hindman ([11]). Os primeiros dois resultados mostrarão que existem 2c cópias discretas de Z em

cada grupo maximal de K(βN), cada par se intersectando somente na identidade. Lembramos

que pelo Teorema 1.16, um conjunto é um grupo maximal em K(βN) se e somente se é da forma

q + βN+ q, com q ∈ K(βN) idempotente (minimal).

Novamente, usaremos a notação supp(x) ∈ Pf (ω) definida para x ∈ N como a representação

binária de x, ou seja, x =∑

t∈supp(x) 2t. Recordamos também o Lema 2.2, que será usado a seguir,

e o subsemigrupo H =⋂m≥1 2mN.

Teorema 2.45. Sejam A,B ⊂ N infinitos e disjuntos, q ∈ K(βN) idempotente, u ∈ {2n : n ∈ A}∗,

v ∈ {2n : n ∈ B}∗. Considere ϕ,ψ : Z → q + βN + q os homomorfismos determinados por

ϕ(1) = q + u + q e ψ(1) = q + v + q. Então {ϕ(n) : n ∈ Z\{0}} ∩ {ψ(n) : n ∈ Z\{0}} = ∅.

Além disso, se q /∈ {ϕ(n) : n ∈ Z\{0}}, então {ϕ(n) : n ∈ Z} é uma cópia discreta de Z; e se

q /∈ {ψ(n) : n ∈ Z\{0}}, então {ψ(n) : n ∈ Z} é uma cópia discreta de Z.

Demonstração. Primeiramente, note que q ∈ H; e como A e B são infinitos e u, v ∈ N∗, u, v ∈ H.

Segue que ϕ[Z] ∪ ψ[Z] ⊂ H. Note também que ϕ(0) = ψ(0) = q.

Agora, mostraremos que para quaisquer m ∈ Z e n ∈ N,

{x ∈ N : |supp(x) ∩A| ≡ 0 (mod n)} ∈ ψ(m), e

{x ∈ N : |supp(x) ∩B| ≡ 0 (mod n)} ∈ ϕ(m).

Por analogia, basta mostrar a primeira asserção. Fixe n ∈ N. Defina C = {x ∈ N : |supp(x)∩A| ≡ 0

(mod n)}. Mostraremos que C ∈ q. Tome i ∈ {0, . . . , n−1} tal que D := {x ∈ N : |supp(x)∩A| ≡ i

(mod n)} ∈ q. Temos {x ∈ N : −x + D ∈ q} ∈ q, logo tome x ∈ D tal que −x + D ∈ q.

Seja t = max supp(x) e tome y ∈ (−x + D) ∩ D ∩ 2t+1N(∈ q). Note que x + y ∈ D e que

supp(x + y) = supp(x) ∪ supp(y) e supp(x) ∩ supp(y) = ∅. Portanto, i ≡ |supp(x + y) ∩ A| =

|supp(x) ∩A|+ |supp(y) ∩A| ≡ i+ i (mod n), de forma que i = 0. Ou seja, D = C.

Agora, por indução em m ∈ ω mostraremos que C ∈ ψ(m). Acima mostramos que C ∈ ψ(0).

Suponha que C ∈ ψ(m). Observe que ψ(m+ 1) = ψ(m) +ψ(1) = ψ(m) + q+ v+ q = ψ(m) + v+ q.

Para ver que C ∈ ψ(m) + v + q, basta ver que C ⊂ {x ∈ N : −x + C ∈ v + q}, logo seja x ∈ C.

Seja t = max supp(x). Como {2s : s ∈ B e s > t} ∈ v, para ver que −x + C ∈ v + q basta ver

que {2s : s ∈ B e s > t} ⊂ {z ∈ N : −z + (−x + C) ∈ q}. Seja s ∈ B tal que s > t. Como

C ∩ 2s+1N ∈ q, para ver que −2s + (−x+C) ∈ q basta ver que C ∩ 2s+1N ⊂ −2s + (−x+C). Seja

então y ∈ C∩2s+1N. Como s /∈ A, vale que |supp(x+2s+y)∩A| = |supp(x)∩A|+|supp(y)∩A| ≡ 0

(mod n), como queríamos.

Para completar esta parte, mostraremos que dado m ∈ N, C ∈ ψ(−m). Tome i ∈ {0, . . . , n − 1}


tal que D = {x ∈ N : |supp(x) ∩ A| ≡ i (mod n)} ∈ ψ(−m). Vale que C ∈ q = ψ(−m) + ψ(m),

ou seja {x ∈ N : −x + C ∈ ψ(m)} ∈ ψ(−m), logo tome x ∈ D tal que −x + C ∈ ψ(m). Seja

t = max supp(x) e tome y ∈ (−x + C) ∩ C ∩ 2t+1N(∈ ψ(m)). Segue que 0 ≡ |supp(x + y) ∩ A| =

|supp(x) ∩A|+ |supp(y) ∩A| ≡ i+ 0, de forma que i = 0. Ou seja, D = C.

Será também necessário mostrar que para quaisquer m ∈ Z e n ∈ N,

{x ∈ N : |supp(x) ∩A| ≡ m (mod n)} ∈ ϕ(m), e

{x ∈ N : |supp(x) ∩B| ≡ m (mod n)} ∈ ψ(m).

Novamente as provas das duas asserções são análogas, logo faremos a primeira. Fixe n ∈ N e defina,

para cada m ∈ Z, Cm = {x ∈ N : |supp(x) ∩ A| ≡ m (mod n)}. Nosso objetivo é mostrar que

Cm ∈ ϕ(m) para todo m ∈ Z. Note que já foi mostrado acima que C0 = C ∈ q = ϕ(0). Faremos

novamente uma indução em m ∈ ω. Suponha que Cm ∈ ϕ(m). Para ver que Cm+1 ∈ ϕ(m + 1) =

ϕ(m) + u + q, basta ver que Cm ⊂ {x ∈ N : −x + Cm+1 ∈ u + q}, logo seja x ∈ Cm. Seja

t = max supp(x). Para ver que −x + Cm+1 ∈ u + q, como {2s : s ∈ A e s > t} ∈ u, basta ver que

{2s : s ∈ A e s > t} ⊂ {z ∈ N : −z+(−x+Cm+1) ∈ q}. Seja s ∈ A com s > t. Como C0∩2s+1N ∈ q,

para ver que −2s + (−x+ Cm+1) ∈ q basta ver que C0 ∩ 2s+1N ⊂ −2s + (−x+ Cm+1). Seja então

y ∈ C0 ∩ 2s+1N. Vale que |supp(x+ 2s + y) ∩A| = |supp(x) ∩ A|+ 1 + |supp(y) ∩ A| ≡ m+ 1 + 0

(mod n), como queríamos.

Para completar, seja m ∈ N e vejamos que C−m ∈ ϕ(−m). Seja i ∈ {0, . . . , n − 1} tal que

D = {x ∈ N : |supp(x) ∩ A| ≡ i (mod n)} ∈ ϕ(−m). Temos que C0 ∈ q = ϕ(−m) + ϕ(m), ou

seja {x ∈ N : −x + C0 ∈ ϕ(m)} ∈ ϕ(−m), logo tome x ∈ D tal que −x + C0 ∈ ϕ(m). Seja

t = max supp(x) e tome y ∈ (−x+ C0) ∩ Cm ∩ 2t+1N(∈ ϕ(m)). Vale que 0 ≡ |supp(x+ y) ∩ A| =

|supp(x) ∩ A| + |supp(y) ∩ A| ≡ i + m (mod n), de forma que i ≡ −m (mod n) e assim D = C

como queríamos.

Note que as asserções provadas acima garantem que se k,m ∈ Z são distintos, então ϕ(k) 6= ϕ(m)

e ψ(k) 6= ψ(m), e portanto ϕ[Z] e ψ[Z] são cópias algébricas de Z.

Então, suponha que {ϕ(n) : n ∈ Z\{0}} ∩ {ψ(n) : n ∈ Z\{0}} 6= ∅. Pelo Teorema 1.26(c), te-

mos, sem perda de generalidade, que {ϕ(n) : n ∈ Z\{0}} ∩ {ψ(n) : n ∈ Z\{0}} 6= ∅; logo tome

m ∈ Z\{0} tal que ϕ(m) ∈ {ψ(n) : n ∈ Z\{0}}. Porém, {x ∈ N : |supp(x) ∩A| ≡ m (mod |m|+ 1)}

é uma vizinhança de ϕ(m) disjunta de {x ∈ N : |supp(x) ∩A| ≡ 0 (mod |m|+ 1)}, e

{ψ(n) : n ∈ Z} ⊂ {x ∈ N : |supp(x) ∩A| ≡ 0 (mod |m|+ 1)}; uma contradição.

Por fim, suponha que q /∈ {ϕ(n) : n ∈ Z\{0}}. Tome U vizinhança de q disjunta de {ϕ(n) :

n ∈ Z\{0}}. Dado n ∈ Z\{0}, U é uma vizinhança de ϕ(n) + ϕ(−n) = ρϕ(−n)(ϕ(n)), logo seja V

vizinhança de ϕ(n) tal que ρϕ(−n)[V ] = V +ϕ(−n) ⊂ U . Como U ∩{ϕ(n) : n ∈ Z\{0}} = ∅, segue

que V ∩ {ϕ(m) : m ∈ Z\{n}} = ∅. Assim, {ϕ(n) : n ∈ Z} é discreto. �

Em resumo, temos o seguinte corolário:


Corolário 2.46. Seja q ∈ K(βN) idempotente. Para cada p ∈ {2n : n ∈ N}∗, seja ϕp : Z →

q + βN+ q o homomorfismo determinado por ϕp(1) = q + p+ q. Então, dados p, r ∈ {2n : n ∈ N}∗

distintos, {ϕp(n) : n ∈ Z\{0}}∩{ϕr(n) : n ∈ Z\{0}} = ∅. Além disso, existe no máximo um p ∈ N∗

tal que {ϕp(n) : n ∈ Z} não é discreto.

Demonstração. Para a primeira afirmação, como p e r são distintos, existem A,B ⊂ N disjuntos tais

que {2n : n ∈ A} ∈ p e {2n : n ∈ B} ∈ r, de forma que podemos aplicar o Teorema 2.45. Ademais,

suponha que p, p′ ∈ N∗ são tais que {ϕp(n) : n ∈ Z} e {ϕp′(n) : n ∈ Z} não são discretos. Então

q ∈ {ϕp(n) : n ∈ Z\{0}} ∩ {ϕp′(n) : n ∈ Z\{0}}. Pelo que acabamos de ver acima, isso implica que

p = p′. �

O restante do artigo trata da existência de cópias de grupos e semigrupos livres dentro dos

grupos maximais de K(βN). Primeiramente, estabeleceremos a existência de 2c cópias do grupo

livre sobre 2 geradores, disjuntas exceto pela identidade.

Lema 2.47. Existe um grupo topológico compacto C que contém um grupo livre F sobre os geradores

distintos {a1, a2, a3, a4}.

Demonstração. Isso é um caso particular de 3.16. �

Lema 2.48. Sejam C e F como no Lema 2.47. Sejam A1, A2, A3, A4 ⊂ N dois-a-dois disjuntos

e seja q ∈ K(βN) idempotente. Para i ∈ {1, 2, 3, 4} seja ui ∈ {2n : n ∈ Ai}∗ qualquer e defina

ri = q + ui + q. Seja G o subgrupo de q + βN + q gerado por {r1, r2, r3, r4}. Então existe um

homomorfismo contínuo σ : {0} ∪ H → C tal que σ|G é um isomorfismo entre G e F e σ(ri) = ai

para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}.

Demonstração. Denote a identidade de C por e. Defina f : ω → C assim: f(0) = e. Dado

n ∈ ω, f(2n) = ai se n ∈ Ai; f(2n) = e caso n /∈ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4. E dado I ∈ Pf (ω),

f(∑

n∈I 2n) =∏n∈I f(2n). Tome f : βω → C a extensão contínua de f , e seja σ a restrição

de f a {0} ∪ H. Como {0} ∪ H =⋂n∈N 2nω, podemos aplicar o Teorema 1.36 sobre a coleção

A = {2nω : n ∈ N} e obter que σ é um homomorfismo.

Para ver que σ[G] = F , basta ver que σ(ri) = ai para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}. Note que σ é constante e

igual a ai sobre {2n : n ∈ Ai}, de forma que σ(ui) = ai. E como q é idempotente, σ(q) = e. Assim

σ(ri) = eaie = ai.

E para ver que σ é injetora, considere h : F → G o homomorfismo determinado por h(ai) = ri para

cada i ∈ {1, 2, 3, 4}. Temos que σ ◦h(ai) = ri para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}, de forma que σ ◦h : F → F

é a identidade, e portanto σ é injetora. �


Teorema 2.49. Sejam A1, A2, A3, A4, F , C, u1, u2, u3, u4, r1, r2, r3, r4, G e σ como no Lema

acima. Sejam G1 o subgrupo de G gerado por {r1, r2} e G2 o subgrupo gerado por {r3, r4}. Então

G1\{q} ∩G2\{q} = ∅. Além disso, dado i{1, 2}, se q /∈ Gi\{q}, então Gi é discreto.

Demonstração. Suponha que G1\{q} ∩ G2\{q} 6= ∅. Pelo Teorema 1.26(c), sem perda de gene-

ralidade, tome w ∈ G1\{q} ∩ G2\{q}. Mostraremos, contraditoriamente, que w = q. Denote por

s1 e s2 as inversas de r1 e r2 em G1, respectivamente. Tome p1, . . . , pm ∈ {r1, r2, s1, s2} tais que

w = p1 + · · ·+ pm.

Defina θ : N → ω por θ(n) =∑{2t : t ∈ supp(n) ∩ (A1 ∪ A2)} e seja θ : βN → βω sua extensão

contínua. Usando o Teorema 1.36, vê-se que θ|H é um homomorfismo. Além disso, note que dados

n,m ∈ N, θ(2mn) ∈ 2mN, de forma que usando H =⋂m∈N 2mN e o Teorema 1.26(e), temos que

θ[H] ⊂ H ∪ {0} = dom σ.

Para i ∈ {1, 2}, θ é a identidade sobre {2n : n ∈ Ai}, de modo que θ(ui) = ui; e σ(θ(q)) = e pois q

é idempotente. Temos então: σ(θ(ri)) = σ(θ(q+ ui + q)) = eσ(θ(ui))e = eσ(ui)e = σ(q+ ui + q) =

σ(ri). E σ(θ(si)) = σ(θ(ri))−1 = σ(ri)

−1 = σ(si).

Por outro lado, para i ∈ {3, 4}, θ é nula sobre {2n : n ∈ Ai}, de forma que θ(ui) = 0, e assim

σ(θ(ri)) = σ(θ((q + ui + q)) = eee = e. Disso segue que σ ◦ θ[G2] = {e}. Portanto, por continui-

dade, como w ∈ G2, σ(θ(w)) = e. Temos então que σ(q) = e = σ(θ(w)) = σ(θ((p1 + · · · + pm)) =

σ(p1 + · · ·+ pm) = σ(w). Porém, como vimos no Lema 2.48, σ é um isomorfismo sobre G, de forma

que w = q.

Por fim, seja i ∈ {1, 2} e suponha que q /∈ Gi\{q}. Tome U vizinhança de q disjunta de Gi\{q}.

Seja w ∈ Gi\{q} qualquer, e seja w′ sua inversa neste grupo; temos que U é uma vizinhança de

w + w′, logo seja V vizinhança de w tal que V + w′ ⊂ U . Então V ∩ Gi\{w} = ∅, e assim, Gi é

discreto. �

Corolário 2.50. Seja q ∈ K(βN) um idempotente. Então existem 2c cópias discretas do grupo livre

sobre 2 geradores em (q+ βN+ q)∩H. A interseção dos fechos de quaisquer dois grupos desse tipo

é {q}.

Demonstração. Particione {2n : n ∈ N}∗ em 2c conjuntos de dois elementos: {xα, yα} para α < 2c.

Para cada α, sejaGα o subgrupo de q+βN+q gerado por {q+xα+q, q+yα+q}. Então se α < β < 2c,

podemos tomar A1, A2, A3, A4 ⊂ N disjuntos tais que {2n : n ∈ A1} ∈ xα, {2n : n ∈ A2} ∈ yα,

{2n : n ∈ A3} ∈ xβ e {2n : n ∈ A4} ∈ yβ , de forma que o Teorema 2.49 se aplica, e temos que cada

Gα é um grupo livre sobre dois geradores, e existe no máximo um deles que não é discreto. �

Definição 2.51. Seja X um espaço topológico. Dizemos que Y ⊂ X é fortemente discreto se

para cada x ∈ Y existir Ux vizinhança de x em X de forma que para todos x, y ∈ Y distintos,


Ux ∩ Uy = ∅.

Teorema 2.52. Existe uma cópia fortemente discreta do semigrupo livre com identidade sobre c

geradores em H. (Em particular é discreto em N∗.)

Demonstração. Primeiramente, tome {Aα : α < c} uma família quase disjunta de subconjun-

tos de 2N + 1, e tome pα ∈ {2n : n ∈ Aα}∗ para cada α < c. Agora, precisamos tomar

q ∈ {x ∈ N : supp(x) ⊂ 2N} idempotente. Para tanto, defina C = {x ∈ N : supp(x) ⊂ 2N}, e mos-

traremos que H∩C é um subsemigrupo (evidentemente compacto) de βN: defina, para cada m ∈ N,

Tm = 2mN ∩ C; vale que H ∩ C =⋂m∈N Tm, e dados m ∈ N e x ∈ Tm, tome n = max supp(x) + 1;

dado y ∈ Tn, vale que supp(x + y) = supp(x) ∪ supp(y) ⊂ 2N e x + y ∈ Tm; assim, aplica-se o

Teorema 1.34 e temos que H ∩ C é um subsemigrupo compacto, logo possui um idempotente q.

Defina agora, para cada α < c, rα = q + pα + q. Observe que S = {rα : α < c} ⊂ H, pois H é

subsemigrupo, q ∈ H e pα ∈ H para cada α < c. E como q + q = q, q é uma identidade para S.

Veremos que S gera um semigrupo livre com identidade q que é fortemente discreto em H.

Para cada (α1, . . . , αk) sequência finita em c, considere B(α1,...,αk) = {x ∈ N : supp(x) ∩ (2N+ 1) =

{n1, . . . , nk} em que n1 < · · · < nk e ni ∈ Aαi para cada i ∈ {1, . . . , k}}.

Afirmação 1: Para cada α < c, B(α) ∈ rα. Lembre que C ∈ q. Para cada x ∈ C, defina

Dx = {2n : n ∈ Aα e n > max supp(x)} e note que Dx ∈ pα. Para cada x ∈ C e cada n ∈ Aα com

n > max supp(x), defina Ex,n = {z ∈ C : min supp(z) > n} e note que Ex,n ∈ q. Logo podemos

aplicar o Lema 2.7 e obter que P = {x+2n+z : x ∈ C, n ∈ Aα e max supp(x) < n < min supp(z)} ∈

q + pα + q = rα. Agora, dado x+ 2n + z ∈ P , supp(x+ 2n + z) = supp(x) ∪ {n} ∪ supp(z); como

x, z ∈ C, segue que supp(x + 2n + z) ∩ (2N + 1) = {n}, e n ∈ Aα. Segue que P ⊂ B(α), logo

B(α) ∈ rα.

Afirmação 2: Dados k > 1, e (α1, . . . , αk) ∈ c<ω, então B(α1,...,αk−1) ⊂ {x ∈ N : −x + B(α1,...,αk) ∈

rαk}. Seja então x ∈ B(α1,...,αk−1). Quero ver que −x + B(α1,...,αk) ∈ rαk . Como rαk ∈ H, tome

n = max supp(x) + 1; basta ver então que B(αk) ∩ 2nN ⊂ −x + B(α1, . . . , αk−1); para isso, seja

y ∈ B(αk) ∩ 2nN, e tome para cada i ∈ {1, . . . , k}, ni ∈ Aαi de forma que supp(x) ∩ (2N + 1) =

{n1, . . . , nk−1} com n1 < · · · < nk−1 e supp(y) ∩ (2N + 1) = {nk}. Temos então que nk > nk−1, e

que supp(x+ y) ∩ (2N+ 1) = (supp(x) ∩ (2N+ 1)) ∪ (supp(y) ∩ (2N+ 1)) = {n1, . . . , nk}, e assim

x+ y ∈ B(α1,...,αk).

Afirmação 3: Dados k > 1 e (α1, . . . , αk) ∈ c<ω, B(α1,...,αk) ∈ rα1 + · · · + rαk . Por indução: vimos

acima que B(α1∈ rα1 e B(α1) ⊂ {x ∈ N : −x + B(α1,α2) ∈ rα2}, logo B(α1,α2) ∈ rα1 + rα2 . Agora

suponha que B(α1,...,αk−1) ∈ rα1 + · · ·+ rαk−1; como B(α1,...,αk−1) ⊂ {x ∈ N : −x+B(α1,...,αk) ∈ rαk},

segue que B(α1,...,αk) ∈ rα1 + · · ·+ rαk .

Assim, para ver que S gera um semigrupo livre com identidade q, fortemente discreto em H, note


em primeiro lugar que, para cada (α1, . . . , αk) ∈ c<ω\{∅}, C ∩B(α1,...,αk) = ∅. Em segundo lugar,

vejamos que dados (α1, . . . , αk), (δ1, . . . , δl) ∈ c<ω\{∅} distintos, B(α1,...,αk) ∩ B(δ1,...,δl) ∩ H = ∅.

Para tanto, observe em primeiro lugar que dado x ∈ B(α1,...,αk), |supp(x) ∩ (2N + 1)| = k, e

dado x ∈ B(δ1,...,δl), |supp(x) ∩ (2N + 1)| = l. Logo se k 6= l, B(α1,...,αk) ∩ B(δ1,...,δl) = ∅; se

k = l, tome j ∈ {1, . . . , k} tal que αj 6= δj ; e tome m ∈ N tal que Aαj ∩ Aδj ⊂ {1, . . . ,m}.

Como B(α1,...,αk) ∩ B(δ1,...,δk) = {x ∈ N : supp(x) ∩ (2N + 1) = {n1, . . . , nk} em que n1 < · · · <

nk e ni ∈ Aαi ∩ Aδi para cada i ∈ {1, . . . , k}}, então há de se ter que nj ≤ m, e portanto

B(α1,...,αk) ∩B(δ1,...,δk) ∩ 2m+1N = ∅; assim B(α1,...,αk) ∩B(δ1,...,δk) ∩H = ∅. �

O teorema acima nos dá um subsemigrupo de tamanho c, discreto em N∗. Não podemos afirmar

que ele é fortemente discreto em N∗, embora o seja em H. Por outro lado, temos que o conjunto

{pα : α < c} acima é fortemente discreto em N∗ (embora não o seja em βN, que claramente possui

celularidade enumerável), mas não sabemos se gera um subsemigrupo livre. O artigo indaga então

se seria possível existir um subsemigrupo livre fortemente discreto de tamanho c em N∗, e responde

que não; de fato, o Teorema a seguir dá uma incisiva resposta negativa: é consequência imediata

dele que não é possível haver um subsemigrupo fortemente discreto, não-enumerável, para o qual

existe um elemento cancelável à direita.

Teorema 2.53. Não existem p ∈ N∗ e {rα : α < ω1} ⊂ N∗ tais que rα + p 6= rδ + p sempre que

α < δ < ω1 e {rα + p : α < ω1} é fortemente discreto em N∗.

Demonstração. Suponha que existem, e para cada α < ω1 tome Bα ⊂ N tais que Bα ∈ rα + p e

Bα ∩ Bδ é finito para cada α < δ < ω1. Segue que Cα = {x ∈ N : −x + Bα ∈ p} ∈ rα para cada

α < ω1; como não podem ser dois-a-dois disjuntos, tome α, β < ω1 tais que Cα ∩ Cβ 6= ∅ e tome

x ∈ Cα∩Cβ . Temos então que (−x+Bα)∩(−x+Bβ) ∈ p, logo é infinito, do que segue que Bα∩Bβé infinito. Absurdo. �

2.5. CADEIAS DE IDEMPOTENTES 45

2.5 Cadeias de idempotentes

Nesta seção estudaremos os artigos “Chains of idempotents in βN ” [13] e “Ideals and commu-

tativity in βN” [14], e veremos que todo idempotente não-minimal de βN pertence a uma cadeia

decrescente de idempotentes, cada um maximal com respeito a ser menor do que seu antecessor. O

mesmo vale para cadeias de ideais à esquerda semiprincipais.

Começaremos com o artigo “Ideals and commutativity in βN” e veremos que existem cadeias de

ideais à esquerda de tipo ω1.

Antes de irmos ao artigo, precisaremos de um importante lema sobre os ideais à esquerda

semiprincipais de βN, e de certos fatos acerca de um semigrupo de N∗.

Lema 2.54. Sejam p, q ∈ βN distintos. Se (βN+p)∩(βN+q) 6= ∅, então p ∈ βN+q ou q ∈ βN+p.

Demonstração. Como βN+ p = N+ p e βN+ q = N+ q, então pelo Teorema 1.26(c), e sem perda

de generalidade, (N+p)∩N+ q 6= ∅; logo tome n ∈ N e r ∈ βN tais que n+p = r+q. Caso r ∈ N∗,

pelo Lema 2.11, p = −n+ r + q ∈ βN+ q. Caso r ∈ N, temos a tricotomia: se r = n, então p = q,

absurdo; se r < n, então q = −r + n+ p ∈ βN+ p; e se r > n, então p = −n+ r + q ∈ βN+ q. �

Nos seguintes teoremas, faremos uso do subsemigrupo de N∗,⋂k∈N kN. Este subconjunto não-

vazio, Gδ e compacto de βN, que denotaremos por T, é de fato um subsemigrupo: dado k ∈ N e

dado n ∈ kN, temos que n + kN ⊂ kN, satifazendo a condição do Teorema 1.34. Pelo Lema 2.2,

temos que T possui todos os idempotentes.

Para cada n ∈ N, denotaremos por γn : Z → Zn o homomorfismo canônico, e portanto por

γn sua extensão a βZ. Dessa forma (lembrando que estamos usando a topologia discreta sobre o

conjunto finito Zn), temos que T =⋂n∈N γn

−1[{0}].

Teorema 2.55. Seja p ∈ N∗\K(βN). Então existe G ⊂ T aberto de N∗ não-vazio tal que para todo

q ∈ G, p /∈ βZ+ q + p.

Demonstração. Para cada Y ∈ p e cada n ∈ Z, seja Kn,Y = {q ∈ T : n + q + p ∈ Y }. Note que

Kn,Y é um clopen de T, pois é a imagem inversa, em T, de Y pela função q 7→ n + q + p, que é

contínua.

Afirmamos que, para algum Y ∈ p,⋃n∈ZKn,Y 6= T. Suponha então que para todo Y ∈ p,⋃

n∈ZKn,Y = T. Seja q idempotente minimal; lembre que q ∈ T. Logo, para cada Y ∈ p, tome

nY ∈ Z e pY ∈ Y tais que pY = nY +q+p. Como (nY )Y ∈p e (pY )Y ∈p são redes em βN (direcionadas

pela inclusão reversa), seja r um ponto de acumulação de (nY )Y ∈p e note que limY ∈p pY = p. Assim,

segue que p = r + q + p; como q ∈ K(βN), tem-se que p ∈ K(βN), uma contradição.

Logo, tome Y ∈ p tal que⋃n∈ZKn,Y 6= T. Ou seja, T\(

⋃n∈ZKn,Y ) =

⋂n∈Z(T\Kn,Y ) 6= ∅. Como

Kn,Y são clopens de T e T é Gδ de N∗, então⋂n∈Z(T\Kn,Y ) é um Gδ de N∗. Assim, pelo Teorema


1.26(b), existe G ⊂ T aberto de N∗ tal que G ∩ (⋃n∈ZKn,Y ) = ∅.

Agora, seja q ∈ G. Suponha por absurdo que p ∈ βZ+ q + p. Como βZ+ q + p = Z+ q + p, então

Y ∩ (Z+ q + p) 6= ∅, logo tome n ∈ Z tal que n+ q + p ∈ Y . Ou seja, q ∈ Kn,Y . Contradição. �

Corolário 2.56. Seja p ∈ N∗\K(βN). Então existe uma sequência crescente (xn)n≥1 em N tal

que: para todo n ∈ N, xn+1 é múltiplo de xn e de n!; para todo q ∈ {xn : n ∈ N}∗, p /∈ βZ+ q + p;

x1 = 1.

Demonstração. Tome G como no Teorema anterior. Tome E ⊂ N infinito tal que E∗ ⊂ G. Como

E∗ ⊂ T , segue que para todo k ∈ N, E∩kN é infinito. Assim, podemos recursivamente tomar x1 = 1

e xn+1 ∈ E ∩ (xn · n!)N tal que xn+1 > xn. E como {xn : n ≥ 2} ⊂ E, então {xn : n ∈ N}∗ ⊂ G, e

portanto pelo Teorema anterior para todo q ∈ {xn : n ∈ N}∗ temos que p /∈ βZ+ q + p. �

Teorema 2.57. Seja p um elemento de N∗\K(βN) e X = {xn : n ∈ N} a imagem da sequência

obtida no corolário acima. Então para todo q ∈ X∗, q+p é cancelável à direita. E dados q1, q2 ∈ X∗

distintos, então N∗ + q1 + p ∩ N∗ + q2 + p = ∅.

Demonstração. Mostraremos que dados q1, q2, vale que q1 + p /∈ βN+ q2 + p. Suponha por absurdo

que, para algum u ∈ βN, q1 + p = u + q2 + p. Como q1 ∈ X, temos que X + p ∩ N+ q2 + p 6= ∅.

Pelo 1.26(c), temos que ou x+p = v+q2 +p para algum x ∈ X e algum v ∈ βN, ou t+p = n+q2 +p

para algum t ∈ X e algum n ∈ N. O primeiro caso implica que p ∈ βZ + q2 + p, assim como o

segundo se t ∈ X, um absurdo; logo t ∈ X∗. Aplicando o homomorfismo γm a ambos os lados e

cancelando γm(p), temos que γm(t) = γm(n) + γm(q2), para todo m ∈ N. Isso é um absurdo pois

γm(t) = γm(q2) = 0 para todo m ∈ N, já que t, q2 ∈ X∗ ⊂ T.

Logo, q1 + p /∈ βN+ q2 + p.

No caso em que q1 = q2 =: q, obtemos pelo Teorema 2.41 que q é cancelável à direita.

No caso em que q1 6= q2, pelo Lema 2.54, basta ver que q1 + p 6= q2 + p para concluir que (βN +

q1 + p) ∩ (βN + q2 + p) = ∅ (e em particular a tese). Suponha então que q1 + p = q2 + p, e tome

X1, X2 ⊂ X disjuntos e tais que X1 ∈ q1 e X2 ∈ q2. Temos que X1 + p ∩X2 + p 6= ∅, logo temos

que a + p = b + p, para a ∈ X1 e b ∈ X2, ou para a ∈ X1 e b ∈ X2. Sem perda de generalidade,

suponha a ∈ X1 e b ∈ X2; caso b ∈ X2, teríamos que a = b ∈ X1 ∩X2, contradição. Logo b ∈ X2∗,

do que p = −a+ b+ p ∈ βZ+ b+ p, uma contradição pois b ∈ X∗. �

Para o próximo teorema, precisaremos de duas funções ϕ, θ : N→ ω da seguinte maneira:

ϕ(n) = max{xm : m ∈ N e xm | n}, e θ(n) = n−ϕ(n). Como exigimos x1 = 1, ϕ está bem-definida

e consequentemente também está θ.

Agora, para todo m ∈ N, para todo z que é múltiplo de xm+1, temos que ϕ(xm + z) = xm, pois

xm | xm+1 | z, mas xm+1 - xm; e assim θ(xm + z) = z. Sejam agora q ∈ X∗ e r ∈ T. Como r é o


limite de uma rede em xm+1N, segue que ϕ(xm + r) = xm e θ(xm + r) = r, para todo m ∈ N. E

como q é o limite de uma rede em X, segue que ϕ(q + r) = q e θ(q + r) = r.

Em geral, vale que, dados s ∈ N, xm = ϕ(s), e t múltiplo de xm+1, temos que ϕ(s+ t) = xm = ϕ(s)

e logo θ(s + t) = θ(s) + t. Usando redes novamente, temos que para todos u ∈ βN e todo r ∈ T,

ϕ(u+ r) = ϕ(u), e θ(u+ r) = θ(u) + r.

Teorema 2.58. Seja p um elemento de N∗\K(βN) e X = {xn : n ∈ N} a imagem da sequência

obtida no corolário acima. Então para cada q ∈ X∗, o ideal à esquerda semiprincipal N∗ + q + p é

maximal com relação a ser um ideal à esquerda semiprincipal de N∗ estritamente contido em N∗+p.

Portanto, N∗ + p está imediatamente acima de 2c ideais à esquerda semiprincipais de N∗.

Demonstração. Começaremos provando a seguinte Afirmação: Se r ∈ T é tal que r /∈ N∗ + q + r,

então não existe s ∈ N∗ tal que N∗ + q + r ( N∗ + s ( N∗ + r.

Suponha que tal s exista. Pelo Lema 2.54, como N∗ + q + r ( N∗ + s, então q + r ∈ βN + s, logo

tome t ∈ βN tal que q + r = t + s. Como q ∈ X∗, temos X + r ∩ N+ s 6= ∅, logo existem a ∈ X

e t′ ∈ βN tais que a + r = t′ + s, ou existem q′ ∈ X∗ e b ∈ N tais que q′ + r = b + s. Na primeira

possibilidade, temos r = −a + t′ + s; se t′ ∈ N, r ∈ Z + s; se t′ ∈ N∗, r ∈ N∗ + s; em ambos os

casos, N∗ + r ⊂ N∗ + s, uma contradição. Na segunda possibilidade, como q′ ∈ X∗ ⊂ T e r ∈ T,

então b + s = q′ + r ∈ T. Assim, como q + r = t + s = (−b + t) + (b + s), aplicando θ, obtemos

r = θ(−b+ t) + (b+ s), e novamente segue que N∗ + r ⊂ N∗ + s, uma contradição.

Agora, provaremos, como desejamos, que vale a propriedade para p.

Primeiramente observe que, pelo teorema anterior, q + p é cancelável à direita, e portanto q + p /∈

N∗ + q + p; dessa forma, N∗ + q + p ( N∗ + p. Assim, p /∈ N∗ + q + p.

Construiremos uma sequência (rn)n≥1. Note que, para cada m ∈ N, {x ∈ Z : γm(x) = γm(−p)} ∈

−p, logo, para cada n ∈ N,⋂nm=1{x ∈ Z : γm(x) = γm(−p)} é infinito. Assim, podemos

tomar r1 ∈ N qualquer e então recursivamente rn+1 tal que γm(rn+1) = γm(−p) para todo

m ∈ {1, . . . , n+ 1}, e tal que rn+1 > rn + n.

Tome w ∈ {rn : n ∈ N}∗. Como, dado m ∈ N, γm(rn) = γm(−p) para todo n ≥ m, segue que

γm(w) = γm(−p) para todo m ∈ N. Fixe m ∈ N. Temos que γm(p + w) = γm(p) + γm(−p). Vale

que {x ∈ Z : γm(x) = γm(p)} ∈ p, logo {y ∈ Z : γm(y) = −γm(p)} = {y ∈ Z : γm(−y) = γm(p)} =

−{x ∈ Z : γm(x) = γm(p)} ∈ −p, e portanto γm(−p) = −γm(p). Logo p+w ∈⋂m≥1 γm

−1[{0}] = T.

Além disso, como {rn : n ∈ N e rn+1 > rn + k} ⊃ {rn : n ≥ k} para todo k ∈ N, pelo Teorema

2.42, w é cancelável à direita. Isso implica: (1) que p + w /∈ N∗ + q + p + w, pois p /∈ N∗ + q + p;

(2) dados u, v ∈ N∗, N∗ + u ⊂ N∗ + v ⇔ N∗ + u+ w ⊂ N∗ + v + w.

Como p + w ∈ T e p + w /∈ N∗ + q + p + w, pela Afirmação, não existe s ∈ N∗ tal que

N∗ + q + p+ w ( N∗ + s ( N∗ + p+ w. Pela equivalência em (2), segue que não existe s ∈ N∗ tal


que N∗ + q + p ( N∗ + s ( N∗ + p.

Pelo Teorema acima, os ideais à esquerda da forma N∗ + q + p para q ∈ X∗ são todos distin-

tos, portanto acabamos de provar que N∗ + p está imediatamente acima de 2c ideais à esquerda

semiprincipais de N∗. �

Assim, com p e q como no teorema acima, q + p será cancelável à direita, e portanto pertence

a N∗\K(βN), de forma que se pode aplicar o teorema novamente. Recursivamente, obtemos uma

sequência decrescente (N + pn)n≥1 de ideais à esquerda semiprincipais. O próximo teorema nos

mostra que é possível prolongar esse processo.

Teorema 2.59. Suponha que (N∗+pn)n≥1 seja uma sequência estritamente decrescente de ideais à

esquerda semiprincipais. Dado q ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N}, então N∗+q é maximal com respeito

a ser um ideal à esquerda semiprincipal contido em⋂n≥1(N∗ + pn). Além disso, q é cancelável à

direita.

Demonstração. Seja q ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N}. Primeiramente vejamos que q ∈ N∗ + pn para

todo n ∈ N. Como q ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N}, então q é o limite de uma rede em {pn : n ∈ N}

que eventualmente está em {pr : r > n}. Dado r > n, pelo Lema 2.54, pr ∈ βN+ pn. Porém, caso

pr ∈ N + pn, então pn ∈ Z + pr e logo N∗ + pn ⊂ N∗ + pr, uma contradição. Logo pr ∈ N∗ + pn e

portanto pr ∈ N∗+ pn. Como N∗+ pn é fechado e q ∈ {pr : r > n}, então q ∈ N∗+ pn. Assim, para

todo n ∈ N, N∗ + q ⊂ N∗ + pn.

Provaremos agora a seguinte afirmação: dados q, q′ ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N}, vale que q /∈

βN+ q′. Suponha por absurdo que haja tais q, q′. Temos que {pn : n ∈ N} ∩N+ q′ 6= ∅, logo pelo

Teorema 1.26(c), existe n ∈ N tal que pn ∈ βN+ q′, ou existem q′′ ∈ {pn : n ∈ N} e m ∈ N tal que

q′′ = m+ q′. A primeira possibilidade implica que N∗ + pn ⊂ N∗ + βN+ q′ ⊂ N∗ + q′ ⊂ N∗ + pn+1,

uma contradição. Na segunda, temos que {pn : n ∈ N} ∩ {m+ pn : n ∈ N}, logo existem n ∈ N e

q′′′ ∈ {pn : n ∈ N} tais que q′′′ = m + pn ou pn = m + q′′′. Caso q′′′ ∈ {pn : n ∈ N}, tome r ∈ N

tal que q′′′ = pr. Temos: se r = n, então pn = m + pn, um absurdo (pois a função x 7→ x + m

não possui pontos fixos pelo Teorema 1.26(a)); se r 6= n, temos que pn ∈ Z + pr e pr ∈ Z + pn,

do que segue que N∗ + pn = N∗ + pr, uma contradição. Logo q′′′ ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N} e

pn ∈ Z+ q′′′, logo pelo visto acima, N∗ + pn ⊂ N∗ + q′′′ ⊂ N∗ + pn+1, uma contradição.

Portanto, vale a afirmação. No caso q = q′, obtemos pelo Teorema 2.41 que q é cancelável à direita.

Agora, veremos que não existe r ∈ N∗ tal que N∗ + q ( N∗ + r ⊂⋂n≥1(N∗ + pn). Suponha por

absurdo que haja um tal r. Pelo Lema 2.54 e como N∗ + q ( N∗ + r, vale que q ∈ N∗ + r, logo seja

s ∈ N∗ tal que q = s+ r. Temos que {pn : n ∈ N} ∩ N+ r 6= ∅, logo pelo 1.26(c) existem n ∈ N e

s′ ∈ βN tais que pn = s′+r, ou existem q′ ∈ {pn : n ∈ N} e m ∈ N tais que q′ = m+r. No primeiro

caso, obtemos N∗ + pn ⊂ N∗ + r ⊂ N∗ + pn+1, uma contradição. No segundo, se q′ ∈ {pn : n ∈ N},


obtemos a mesma contradição do primeiro. Logo q′ ∈ {pn : n ∈ N}\{pn : n ∈ N}. Temos que

r = −m + q′, e portanto q = s + r = −m + s + q′ ∈ βN + q′. Isso contradiz a afirmação provada

acima. �

Observe acima que como (N∗+pn)n≥1 é estritamente decrescente, então de fato N∗+q 6= N∗+pn

para todo n ∈ N. Assim, podemos a partir dos dois últimos teoremas fazer o passo limite enumerável

na construção de tais cadeias. Mais precisamente, obtemos o seguinte corolário:

Corolário 2.60. Seja p ∈ N∗\K(βN). Então N∗ + p pertence a um segmento de uma cadeia

maximal de ideais à esquerda semiprincipais de N∗ que é reversamente bem-ordenado de tipo ω1∗

(isto é, de tipo ω1 para a ordem ⊃).

Demonstração. Defina p0 = p. Suponha α < ω1 com pβ escolhidos para todos β < α < ω1 de forma

que (N∗ + pβ)β<α seja uma cadeia estritamente decrescente, com cada pβ ∈ N∗\K(βN). Caso α

seja sucessor, aplique o Teorema 2.58 para pα−1 e obtenha pα ∈ N∗ cancelável à direita e tal que

N∗ + pα é maximal com respeito a ser um ideal à esquerda semiprincipal estritamente contido em

N∗ + pα−1.

Caso α seja limite, tome (γn)n≥1 sequência crescente e cofinal em α. Aplique o Teorema anterior

para (N∗+pγn)n≥1 e obtenha pα ∈ N∗ cancelável à direita e tal que N∗+pα é maximal com respeito

a ser um ideal à esquerda semiprincipal contido em⋂n≥1(N∗ + pγn). Como (γn)n≥1 é cofinal e

(N∗ + pβ)β<α é estritamente decrescente, temos que⋂n≥1(N∗ + pγn) =

⋂β<α(N∗ + pβ), e assim

N∗+pα é maximal com respeito a ser um ideal à esquerda semiprincipal contido em⋂β<α(N∗+pβ).

Assim, (N∗ + pα)α<ω1 é uma cadeia de ideais à esquerda semiprincipais de tipo de ordem ω1∗. Um

uso do Lema de Zorn nos permite tomar uma cadeia C maximal com relação a ser uma cadeia

de ideais à esquerda semiprincipais que contém {N∗ + pα : α < ω1}. Claramente, C também é

maximal com relação a meramente ser uma cadeia de ideais à esquerda semiprincipais. Temos

que {N∗ + pα : α < ω1} é um subconjunto de C; suponha que não seja um segmento, isto é,

suponha que existe C ∈ C tal que existem α < β < ω1 tais que N∗ + pβ ( C ( N∗ + pα.

Tome γ < ω1 o menor tal que N∗ + pγ ( C e note que γ > 0; caso γ seja sucessor, temos que

C ( N∗ + pγ−1, contrariando a maximalidade de N∗ + pγ como ideal à esquerda semiprincipal

estritamente contido em N∗ + pγ−1; caso γ seja limite, temos que C ( N∗ + pδ para todo δ < γ,

e portanto C ⊂⋂δ<γ(N∗ + pδ), contrariando a maximalidade de N∗ + pγ como ideal à esquerda

semiprincipal contido em⋂δ<γ(N∗ + pδ). �

Agora, passaremos ao artigo “Chains of idempotents in βN ” para investigar resultados análogos

para idempotentes não-minimais.

Definição 2.61. Seja (xn)n≥1 uma sequência crescente em N e seja Y ⊂ N.


(a) Para cada m ∈ N, Rm,Y := {∑s

j=1 xn(j) : s ∈ N, xn(1) > m, {n(1), . . . , n(s)} ⊂ Y , e para cada

i ∈ {1, . . . , s}, xn(i)+1 > m+∑i

j=1 xn(j)}.

(b) RY :=⋂m≥1Rm,Y .

Lema 2.62. Sejam Y ⊂ N e (xn)n≥1 uma sequência crescente e tal que {xn+1 − xn : n ∈ Y }

é ilimitado. Então RY é um subsemigrupo compacto de βN. Além disso, dados p, q ∈ βN, se

p+ q ∈ RY e q ∈ RY , então p ∈ RY .

Demonstração. Como {xn+1−xn : n ∈ N} é ilimitado e (xn)n≥1 é crescente, então para cadam ∈ N,

Rm,Y 6= ∅ (basta tomar n ∈ N tal que xn > m e xn+1 − xn > m + xn). Como (Rm,Y )m≥1 é uma

sequência decrescente de subconjuntos de N, segue que RY 6= ∅. Para ver que RY é um semigrupo,

sejam p, q ∈ RY e seja m ∈ N. Queremos ver que p + q ∈ Rm,Y , ou seja, que Rm,Y ∈ p + q. Para

isso, como Rm,Y ∈ p, basta ver que Rm,Y ⊂ {y ∈ N : −y + Rm,Y ∈ q}. Assim, seja y ∈ Rm,Y e

tome s ∈ N e n(1), . . . , n(s) como na definição de Rm,Y de forma que y =∑s

i=1 xn(i). Considere

k = m +∑s

i=1 xn(i). Como Rk,Y ∈ q, então basta ver que Rk,Y ⊂ −y + Rm,Y . Seja z ∈ Rk,Y e

tome t ∈ N e l(1), . . . , l(t) como na definição de Rk,Y de forma que z =∑t

i=1 xl(i). Então, definindo

n(s + i) = l(i) para cada i ∈ {1, . . . , t}, temos que y + z =∑s+t

i=1 xn(i) ∈ Rm,Y (pois, para cada

i ∈ {1, . . . , t}, xn(s+i)+1 = xl(i)+1 > k +∑i

j=1 xl(j) = m+∑s

j=1 xn(j) +∑s+i

j=s+1 xn(j)).

Agora suponha que p + q ∈ RY e que q ∈ RY . Para ver que p ∈ RY , seja m ∈ N e veremos que

Rm,Y ∈ p. Considere A = {y ∈ N : −y +Rm,Y ∈ q}. Como Rm,Y ∈ p+ q, então A ∈ p, logo basta

ver que A ⊂ Rm,Y . Seja k ∈ A; temos que Rk,Y ∈ q, logo Rk,Y ∩ (−k + Rm,Y ) 6= ∅. Assim, seja

z o elemento mínimo de Rk,Y ∩ (−k + Rm,Y ). Como z + k ∈ Rm,Y , tome s ∈ N e n(1), . . . , n(s)

como na definição de forma que z + k =∑s

i=1 xn(i); e como z ∈ Rk,Y , tome t ∈ N e l(1), . . . , l(t)

como na definição de forma que z =∑t

i=1 xl(i). Afirmamos agora que n(s) = l(t): caso n(s) > l(t),

teríamos z + k ≥ xn(s) ≥ xl(t)+1 > k +∑t

j=1 xl(j) = k + z, uma contradição; e caso l(t) > n(s),

teríamos z ≥ xl(t) ≥ xn(s)+1 > m+∑s

j=1 xn(j) = m+ z + k, outra contradição. Agora, vemos que

t = 1: caso t > 1, teríamos que z − xl(t) =∑t−1

i=1 xl(i) ∈ Rk,Y e que z + k − xl(t) = z + k − xn(s) =∑s−1i=1 xn(i) ∈ Rm,Y , de modo que z − xl(t) ∈ Rk,Y ∩ (−k +Rm,Y ), contrariando a minimidade de z.

Assim, como l(t) = n(s) e t = 1, segue que z = xl(1) = xn(s), e portanto k =∑s−1

i=1 xn(i) ∈ Rm,Y

como queríamos. �

Teorema 2.63. Seja p ∈ N∗ cancelável à direita. Então existe um subsemigrupo compacto R de

βN tal que p ∈ R e R ∩K(βN) = ∅.

Demonstração. Pelo Teorema 2.42, tome (xn)n≥1 sequência crescente em N tal que, para cada

k ∈ N, Ak := {xn : n ∈ N e xn+1 > xn +k} ∈ p. Note que (Ak)k≥1 é uma sequência decrescente em

P(N), logo⋂k≥1Ak é um Gδ não-vazio de N∗, de acordo com 1.26(b). Assim, tome q ∈

⋂k≥1Ak


distinto de p. Como {xn : n ∈ N} ∈ p, q e a sequência é injetora, tome Y,Z ⊂ N disjuntos tais que

{xn : n ∈ Y } ∈ p e {xn : n ∈ Z} ∈ q.

Defina então R = RY . Primeiramente, vejamos que p ∈ RY . Observe que, para cada k ∈ N,

{xn : n ∈ Y }∩Ak ∩ (N\{1, . . . , k}) ∈ p, e {xn : n ∈ Y }∩Ak ∩ (N\{1, . . . , k}) = {xn : n ∈ Y, xn+1 >

xn + k, e xn > k} ⊂ Rk,Y , de forma que Rk,Y ∈ p. Agora, como Ak 6= ∅ para todo k ∈ N, então

{xn+1 − xn : n ∈ N} é ilimitado, logo pelo Lema anterior RY é um subsemigrupo compacto de βN.

Agora, suponha que R ∩K(βN) 6= ∅ e tome r ∈ R ∩K(βN). Como K(βN) é a união de todos os

ideais à esquerda minimais, tome L ideal à esquerda minimal tal que r ∈ L. Segue que q+r ∈ L, logo

βN+ q+ r é um ideal à esquerda contido em L, logo L = βN+ q+ r. Em particular, r ∈ βN+ q+ r,

logo tome s ∈ βN tal que r = s + q + r. Assim, r ∈ R e s + q + r ∈ R, logo pelo Lema acima

s+ q ∈ R.

Considere B = {k + xn : n ∈ Z, k ∈ N, e xn+1 > xn + k}. Afirmamos que B ∈ s + q; basta ver

que {k ∈ N : −k + B ∈ q} = N. De fato, dado k ∈ N, vale que Ak ∩ {xn : n ∈ Z} ⊂ −k + B e

logo −k + B ∈ q. Temos então que B ∈ s + q, e R1,Y ∈ s + q, logo tome w ∈ B ∩ R1,Y . Como

w ∈ B, tome k ∈ N e m ∈ Z tais que w = k + xm e xm+1 > xm + k; como w ∈ R1,Y , tome t ∈ N

e n(1), . . . , n(t) ∈ Y tais que w =∑t

i=1 xn(i) e, para cada i ∈ {1, . . . , t}, xn(i)+1 > xn(i) + 1. Como

n(t) ∈ Y e m ∈ Z, então n(t) 6= m. Caso n(t) > m, temos w ≥ xn(t) ≥ xm+1 > xm + k = w, uma

contradição; e caso m > n(t), temos w = k + xm > xm ≥ xn(t)+1 > 1 +∑t

j=1 xn(j) = 1 + w, outra

contradição. Deste modo, R ∩K(βN) = ∅. �

Teorema 2.64. Seja p um idempotente não-minimal de N∗. Então existem 2c idempotentes não-

minimais imediatamente abaixo de p com relação à ordem dos idempotentes ≤.

Demonstração. Tome pelo Corolário 2.56 a sequência (xn)n≥1, de imagem X. Pelo Teorema 2.57,

dados q1, q2 ∈ X∗ distintos, N∗ + q1 + p ∩ N∗ + q2 + p = ∅. Portanto, como |X∗| = 2c, basta ver

que para cada q ∈ X∗ existe v ∈ N∗ + q+ p tal que v é maximal entre todos os idempotentes s tais

que s < p. Fixe então um q ∈ X∗.

O Teorema 2.57 também nos diz que q + p é cancelável à direita. Pelo Teorema 2.63, tome R

subsemigrupo compacto e disjunto de K(βN) e tal que q + p ∈ R. Vale que R ∩ (N∗ + q + p) é um

subsemigrupo compacto, logo tome t ∈ R ∩ (N∗ + q + p) idempotente. Como t ∈ N∗ + p, t = t+ p.

Defina r = p+ t; r+ r = p+ t+ p+ t = p+ t+ t = p+ t logo r é idempotente. Como r = p+ t+ p,

então r + p = p+ r = r, ou seja, r ≤ p. Vale também que r não é minimal. Se fosse, teríamos que

q + r ∈ K(βN), e q + r = q + p + t; como q + p ∈ R e t ∈ R, segue que q + r ∈ R ∩K(βN), uma

contradição.

Considere agora A = {Γ : Γ é uma ≤R-cadeia de idempotentes, r ∈ Γ, Γ ⊂ N∗ + q + p e para todo

s ∈ Γ, s ≤ p}. Vale que {r} ∈ A, e uma aplicação do Lema de Zorn nos permite tomar Γ ∈ A


maximal.

Seja L = {u ∈ N∗ + q + p : para todo s ∈ Γ, s = u+ s}. Como L = (N∗ + q + p) ∩⋂s∈Γ ρs

−1[{s}],

então L é compacto, e para ver que é não-vazio basta ver que {N∗ + q + p} ∪ {ρs−1[{s}] : s ∈ Γ}

possui a p.i.f. Para isso, seja F ∈ Pf (Γ), e tome u ∈ F o ≤R-máximo de F . Vale então que

u ∈ (N∗+q+p)∩⋂s∈F ρs

−1[{s}] (lembre que s ≤R u⇔ s = u+s, por definição). Observe também

que cada ρs−1[{s}] é um semigrupo. Portanto, L é um subsemigrupo compacto, logo tome u ∈ L

idempotente e defina v = p + u. Como u ∈ N∗ + p, u + p = u, logo v + v = p + u + p + u =

p + u + u = p + u e assim v é um idempotente. Temos também que v = p + u ∈ N∗ + q + p e

dado s ∈ Γ, v + s = p+ u+ s = p+ s = s (pois s ≤ p), logo v ∈ L. Assim, v não é minimal; caso

v ∈ K(βN), como v ∈ L e r ∈ Γ, r = v + r ∈ K(βN), uma contradição.

Como v = p+u+p, então v ≤ p. Pelo Teorema 2.58, N∗+q+p ( N∗+p, e portanto p /∈ N∗+q+p 3 v.

Desse modo, v < p. Além disso, observe que Γ ∪ {v} ∈ A, logo pela maximalidade v ∈ Γ.

Por fim, mostraremos que v é maximal entre todos os idempotentes s tais que s < p. Primeiramente,

mostraremos que v é maximal entre todos os idempotentes em N∗ + q + p tais que s < p. Suponha

então w ∈ N∗ + q + p idempotente tal que v ≤ w ≤ p. Para todo s ∈ Γ, vale que s ≤R v ≤R w,

de forma que Γ ∪ {w} ∈ A; pela maximalidade, w ∈ Γ; assim, como v ∈ L, w ≤R v; e já que Γ é

≤R-cadeia, v = w.

Agora seja w idempotente qualquer tal que v ≤ w ≤ p. Temos que v ∈ (N∗ + q + p) ∩ (N∗ + w),

logo pelo Lema 2.54, N∗ + q + p ⊂ N∗ + w ou N∗ + w ⊂ N∗ + q + p. Caso N∗ + w ⊂ N∗ + q + p,

então w ∈ N∗ + q + p e pelo que foi feito acima, v = w. Caso N∗ + q + p ( N∗ +w, o Teorema 2.58

nos diz que N∗ + w = N∗ + p. Segue que p = p+ w pois p ∈ N∗ + w e w = p+ w já que w ≤ p, ou

seja, w = p. �

Note no teorema acima que v ∈ N∗ + q + p ( N∗ + p, e que portanto p /∈ N∗ + v. Também será

necessário para o corolário a seguir lembrar que dados u, v idempotentes, u ≤L v se e somente se

u ∈ N∗ + v; e definimos que u <L v se e só se u ≤L v e não vale v ≤L u (lembre que ≤L não é

antissimétrica).

Corolário 2.65. Seja p um idempotente não-minimal em N∗. Então existe uma ω1-sequência

(pσ)σ<ω1 de idempotentes tal que

(1) p0 = p;

(2) para cada σ < ω1, pσ+1 é maximal entre todos os idempotentes menores do que pσ;

(3) dados σ < τ < ω1, pτ <L pσ.

Demonstração. Definimos p0 = p. Seja 0 < τ < ω1 e suponha (pσ)σ<τ escolhidos de modo a

satisfazer (1), (2) e (3) e tais que cada pσ é não-minimal. Caso τ seja sucessor, aplique o teorema


anterior para pτ−1 e obtenha pτ não-minimal e maximal entre todos os idempotentes menores do

que pτ−1. Caso τ seja limite, aplique a técnica utilizada no Corolário 2.60 e obtenha q ∈ N∗

cancelável à direita e tal que N∗ + q ⊂⋂σ<τ (N∗ + pσ). Pelo Teorema 2.63, tome R subsemigrupo

compacto, disjunto deK(βN) e tal que q ∈ R. Como R∩(N∗+q) é subsemigrupo compacto, tome pτ

idempotente nele. Como pτ ∈ R, é não-minimal. E dado σ < τ , temos que pτ ∈ N∗+pσ+1 ( N∗+pσ,

de forma que pτ <L pσ. �

No teorema obtivemos uma ω1-sequência decrescente em <L. Vale notar que não se pode ter

sequências decrescentes em <L maiores do que c: seja κ cardinal e seja (pσ)σ<κ uma tal sequência.

Para cada σ, N∗ + pσ é um compacto que contém estritamente o compacto N∗ + pσ+1; portanto,

existe Uσ um clopen de βN tal que N∗ + pσ+1 ⊂ Uσ e tal que N∗ + pσ 6⊂ Uσ. Segue que os Uσ são

todos distintos; como os clopens de βN correspondem aos subconjuntos de N, então κ ≤ c.


Capítulo 3

A Álgebra de βS

Este capítulo tratará do contexto mais geral da álgebra na compactificação de Stone-Čech,

quando consideramos um semigrupo S qualquer e analisamos com mais minúcia a interação en-

tre as estruturas algébrica e topológica. Propriedades como comutatividade e diversos níveis de

cancelamento de S se traduzem com frequência a propriedades topológicas de βS.

3.1 Sobre a Raridade de Produtos em S∗

Esta seção é o estudo do artigo de Neil Hindman e Dona Strauss “The Scarcity of Products in

βS\S” [9] e suas referências que os sustentam.

Definição 3.1. Sejam S um semigrupo e A ⊂ S.

(a) A é um conjunto solução à esquerda se existem a, b ∈ S tais que A = {x ∈ S : ax = b}.

(b) A é um conjunto solução à direita se existem a, b ∈ S tais que A = {x ∈ S : xa = b}.

Note que é imediato desta definição que: S é cancelativo à esquerda se e somente se todo

conjunto solução à esquerda é unitário; e S é fracamente cancelativo à esquerda se e somente se

todo conjunto solução à esquerda é finito. (Analogamente temos as afirmações à direita.)

Definição 3.2. Seja S um semigrupo tal que |S| = κ ≥ ω.

(a) S é fraquissimamente cancelativo à esquerda se dado B uma coleção de conjuntos solução à

esquerda com |B| < κ, vale que |⋃B| < κ.

(b) S é fraquissimamente cancelativo à direita se dado B uma coleção de conjuntos solução à direita

com |B| < κ, vale que |⋃B| < κ.

Note que se κ for regular, então S é fraquissimamente cancelativo à esquerda se e somente se

cada conjunto solução à esquerda tiver cardinalidade menor do que κ. Assim, se S for enumerável

a noção coincide com a de fracamente cancelativo à esquerda.

55

56 CAPÍTULO 3. A ÁLGEBRA DE βS

A maior parte do artigo (Seção 2) trata de encontrar condições suficientes para que S∗S∗ seja

nunca-denso em S∗; serão mostradas também que algumas dessas condições não são necessárias,

e contraexemplos que mostram que certas condições mais fracas para S enumerável falham para

cardinalidades maiores.

Para encontrar tais condições, há de valer em primeiro lugar que S∗S∗ ⊂ S∗. Lembre que pelo

Teorema 1.40(a), se S for fracamente cancelativo à esquerda então S∗ é um ideal à esquerda de βS

e se S for cancelativo à direita então S∗ é um ideal à direita. Ambas as condições implicam que S∗

é um subsemigrupo e são satisfeitas, por exemplo, se S puder ser (algebricamente) imerso em um

grupo.

Em primeiro lugar, temos o seguinte teorema, que é o 6.35 do livro [1].

Teorema 3.3. Seja S um semigrupo enumerável que é cancelativo à direita e fracamente cancelativo

à esquerda. Então S∗S∗ é nunca-denso em S∗.

Demonstração. Notemos que: se int(cl(S∗S∗)) 6= ∅, então existe T ⊂ S infinito tal que T ∗ ⊂

cl(S∗S∗), e portanto para todo V ⊂ T infinito, V ∗ ⊂ cl(S∗S∗), e assim V ∗ ∩ S∗S∗ 6= ∅.

Dessa forma, por contraposição, provaremos que para todo T ⊂ S infinito existe V ⊂ T infinito tal

que V ∗ ∩ S∗S∗ = ∅.

Enumere S como {sn : n ∈ N}. Seja T ⊂ S infinito. Produziremos uma sequência injetora (tn)n≥1

em T tal que as equações smx = tn e sm′x = tn′ não possuem solução simultânea se m < n, m′ < n′

e n < n′. No primeiro passo, tomamos t1 ∈ T qualquer. Suponha t1, . . . , tk escolhidos. Considere

X = {x ∈ S : smx = tn para algum m,n ≤ k}. Como S é fracamente cancelativo à esquerda, X é

finito, logo tome tk+1 ∈ T\(⋃km=1 smX ∪ {t1, . . . , tk}). Desse modo, obtemos a sequência injetora

desejada.

Defina V = {tn : n ∈ N}. Vale que dados p, q ∈ S∗, p · q /∈ V ∗. Suponha, por absurdo, que

p · q ∈ V ∗. Considere P = {s ∈ S : s−1V ∈ q}. P ∈ p. Tome m < m′ tais que sm, sm′ ∈ P .

Considere Q = {x ∈ S : smx, sm′x ∈ {ti : i > m′}}. Vale que Q ∈ q, pois sm, sm′ ∈ P e Q =

(s−1m (V \{t1, . . . , tm′}))∩ (s−1

m′ (V \{t1, . . . , tm′})), usando novamente que S é fracamente cancelativo

à esquerda. Assim, tome x ∈ Q. Existem n, n′ > m′ tais que smx = tn e sm′x = tn′ . Caso n 6= n′,

haveria uma violação da propriedade com que a sequência (tn)n≥1 foi construída; logo n = n′. Ou

seja, smx = sm′x. Como S é cancelativo à direita, sm = sm′ ; absurdo. �

Vale notar que as condições de teorema não podem ser grandemente enfraquecidas: por exemplo,

o semigrupo (N,∨), em que n∨m = max{n,m}, é fracamente cancelativo à esquerda e à direita, e

é fácil verificar (via redes) que dados p ∈ βN e q ∈ N∗, p ∨ q = q, de forma que N∗ ∨ N∗ = N∗.

Agora veremos que condição suficiente foi encontrada para semigrupos de quaisquer cardinali-

dades.

3.1. SOBRE A RARIDADE DE PRODUTOS EM S∗ 57

Teorema 3.4. Seja S um semigrupo infinito e algebricamente imersível em um grupo G. Então

S∗ ∩ (G∗G∗) é nunca-denso em S∗. Em particular S∗S∗ é nunca-denso em S∗.

Demonstração. Como no teorema anterior, provaremos que dado T ⊂ S infinito existe V ⊂ T

infinito tal que V ∗ ∩ G∗G∗ = ∅. Seja T ⊂ S infinito então. Tome t1 ∈ T . Definidos t1, . . . , ts−1,

tome ts ∈ T\{trtn−1tm : m,n, r < s}. Note que ts /∈ {tm : m ∈ {1, . . . , s − 1}}, de forma que

a sequência obtida é injetora. Afirmamos que V = {ts : s ∈ N} é o conjunto desejado. Suponha

que p, q ∈ G∗ e V ∈ p · q. Vale que {x ∈ G : x−1V ∈ q} ∈ p, logo tome x1, x2 distintos tais que

x1−1V, x2

−1V ∈ q. Tome y ∈ x1−1V ∩ x2

−1V , e tome n, r ∈ N tais que x1y = tn e x2y = tr.

Agora, como {w ∈ S : x1w ∈ {t1, . . . , tmax{n,r}}} e {w ∈ S : x2w ∈ {t1, . . . , tmax{n,r}}} são

finitos e x1−1V ∩ x2

−1V é infinito, tome w ∈ x1−1V ∩ x2

−1V tal que x1w = tm e x2w = ts, com

m, s >max{n, r}. Sem perda de generalidade, s > m. Temos então: tstm−1 = x2x1−1 = trtn

−1, de

forma que ts = trtn−1tm, contradizendo a construção da sequência. Logo V ∗ ∩G∗G∗ = ∅. �

Nesse teorema, como S estava imerso em G, S era cancelativo. O próximo teorema nos dá um

exemplo de semigrupo não-cancelativo tal que S∗S∗ é nunca-denso em S∗.

Teorema 3.5. Considere S = {f : D → N | D ⊂ N, D é cofinito e f é uma bijeção}, munido da

operação de composição. Então S é um semigrupo, |S| = c, S não é cancelativo, é cancelativo à

direita, fracamente cancelativo à esquerda e S∗S∗ é nunca-denso em S∗.

Demonstração. Começaremos vendo que S é um semigrupo. Dadas f, g ∈ S, como não temos em

geral que im f ⊂ dom g, devemos tomar cuidado ao considerarmos g◦f – por exemplo, não podemos

dizer diretamente que g ◦ f será uma bijeção entre dom f e N. Mas veremos que esta relação de

fato é uma bijeção entre um cofinito e N. Denote dom f = D e dom g = E.

Primeiramente, note que usando a definição de composição de relações, temos que g ◦ f = {(d, x) :

f(d) ∈ E e g(f(d)) = x}. E é cofinito, e f é bijetora, logo f−1[E] é cofinito. Defina D′ = f−1[E].

Vale que D′ = dom g ◦ f , pois: dado d ∈ D′, f(d) ∈ E, logo (d, g(f(d))) ∈ g ◦ f ; e se d ∈ dom g ◦ f ,

f(d) ∈ E, ou seja, d ∈ D′. Vejamos que g ◦ f é função. Suponha (d, x1), (d, x2) ∈ g ◦ f . Temos que

x1 = g(f(d)) = x2; usando que f é função e que g é função, temos que x1 = x2. Agora podemos

usar que g ◦ f : D′ → N é função. Para ver que é sobrejetora, tome x ∈ N; como g é sobrejetora,

tome e ∈ E tal que g(e) = x; e como f é sobrejetora, tome d ∈ D tal que f(d) = e; vale então que

d ∈ D′ e g(f(d)) = x. Para ver que é injetora, suponha g(f(d1)) = g(f(d2)); como g é injetora,

vale que f(d1) = f(d2); como f é injetora, d1 = d2. Assim, g ◦ f : D′ → N é uma bijeção com

D′ ⊂ N cofinito, definida por g ◦f(x) = g(f(x)) para todo x ∈ D′. (Como a composição de relações

é associativa, temos por fim que S é um semigrupo.)

Agora, |S| = c : Note que S =⋃D⊂N

D cofinito

{f : D → N : f é bijeção}. Como {D ⊂ N : D é cofinito} é


enumerável e para cada D, |{f : D → N : f é bijeção}| = c, então |S| = ω · c = c.

Para ver que S é fracamente cancelativo à esquerda: dados f, g ∈ S, trata-se de ver que {h ∈

S : g ◦ f = g ◦ h} é finito. Seja tal h. Tome E,Df , Dh tais que g : E → N, f : Df → N e

h : dh → N. Como g ◦ f = g ◦ h, vale que f−1[E] = h−1[E] = D′, e que para todo x ∈ D′,

g(f(x)) = g(h(x)). Ou seja, f e h coincidem sobre D′ que é cofinito. Ademais, como h é bijeção,

vale que h[Dh\D′] = h[Dh]\h[D′] = N\E que é finito. Assim, podemos identificar cada h tal que

g ◦ f = g ◦ h com uma bijeção entre Dh\D′ e N\E. Como Dh ⊃ f−1[E] e este é cofinito, temos um

número finito de possibilidades para Dh. Mais precisamente, podemos injetar {h ∈ S : g◦f = g◦h}

em⋃

f−1[E]⊂D⊂N

{b : D\f−1[E]→ N\E : b é bijeção} – o conjunto índice é finito e cada conjunto da

união é finito.

Agora, que S é cancelativo à direita: suponha g1 ◦ f = g2 ◦ f , com f : D → N, g1 : E1 → N e

g2 : E2 → N. Como g1 ◦ f = g2 ◦ f , seus domínios são iguais, ou seja, f−1[E1] = f−1[E2]. Seja

e ∈ E1. Tome d ∈ D tal que e = f(d); d ∈ f−1[E1] = f−1[E2], logo e = f(d) ∈ E2. Temos então:

g1(e) = g1(f(d)) = g2(f(d)) = g2(e). Ou seja, dado e ∈ E1, e ∈ E2 e g1(e) = g2(e). Analogamente,

dado e ∈ E2, e ∈ E1 e g2(e) = g1(e). Portanto, g1 = g2.

Um exemplo para ver que S não é cancelativo à esquerda: g : N\{1, 2} → N dado por g(n) = n− 2;

f : N\{1} → N dado f(n) = n − 1; h : N\{3} → N dado por h(n) = n − 1 se n ≥ 4, h(1) = 1 e

h(2) = 2; temos que g ◦ f = g ◦ h.

Antes de provar que S∗S∗ é nunca-denso precisaremos de duas propriedades:

(∗) Sejam tn, tr, tm ∈ S. Então |N\{a ∈ dom tm : tn−1(tm(a)) ∈ dom tr}| ≤ |N\dom tm|+ |N\dom

tr|. Em particular, {a ∈ dom tm : tn−1(tm(a)) ∈ dom tr} é cofinito.

(∗∗) Sejam A ⊂ N cofinito e v : A→ N injetora. Então C = {t ∈ S : A ⊂ dom t e t∣∣A

= v} é finito.

Prova de (∗): N\{a ∈ dom tm : tn−1(tm(a)) ∈ dom tr} = N\dom tm ∪{a ∈ dom tm : tn

−1(tm(a)) ∈

N\dom tr}. Como tn−1 ◦ tm é uma função injetora e N\dom tr é finito, segue que |{a ∈ dom

tm : tn−1(tm(a)) ∈ N\dom tr}| = |(tn−1 ◦ tm)−1[N\dom tr]| ≤ |N\dom tr|. Disso segue (∗).

Prova de (∗∗): note que cada t ∈ C determina uma bijeção entre (dom t)\A e N\v[A], ou seja,

podemos injetar C em⋃

A⊂D⊂N{b : D\A→ N\v[A] : b é bijeção}, e este conjunto é finito.

Agora, vejamos que S∗S∗ é nunca-denso em S∗. Suponha por absurdo V ⊂ S infinito tal que

V ∗ ⊂ cl S∗S∗. Produziremos uma sequência injetora (tn)n≥1 em V tal que dados s > 1 e n, r,m < s,

então não existem x1, x2, y, w ∈ S tais que x1y = tn, x2y = tr, x1w = tm e x2w = ts.

Tome t1 ∈ V . Suponha escolhidos t1, . . . , ts−1. Para cada n, r,m < s, defina Dn,r,m = {t ∈ S :

existem x1, x2, y, w ∈ S tais que x1y = tn, x2y = tr, x1w = tm e x2w = t}. Logo, para definir ts,

basta mostrar que V \({tn : n < s} ∪⋃n,r,m<sDn,r,m) 6= ∅. De fato, mostraremos que cada Dn,r,m


é finito. Para ver isso, mostraremos que dados t ∈ Dn,r,m, se a ∈ dom tm e tn−1(tm(a)) ∈ dom tr,

então t(a) = tr(tn−1(tm(a))) – pois assim, definindo A = {a ∈ dom tm : tn

−1(tm(a)) ∈ dom tr} e

v = tr ◦ tn−1 ◦ tm∣∣A, podemos usar (∗) e (∗∗) e concluir que Dn,m,r ⊂ C.

Assim, seja t ∈ Dn,r,m e tome x1, x2, y, w ∈ S tais que x1y = tn, x2y = tr, x1w = tm e

x2w = t; seja a ∈ dom tm tal que tn−1(tm(a)) ∈ dom tr. Como a ∈ dom tm, temos tm(a) =

x1(w(a)), logo w(a) = x1−1(tm(a)). Como tn−1(tm(a)) ∈ dom tn, temos tn(tn

−1(tm(a))) = tm(a)

e tn(tn−1(tm(a))) = x1(y(tn

−1(tm(a)))), do que segue y(tn−1(tm(a))) = x1

−1(tm(a)) = w(a). Por

fim, como tn−1(tm(a)) ∈ dom tr, temos tr(tn−1(tm(a))) = x2(y(tn−1(tm(a)))) = x2(w(a)) = t(a),

como pretendíamos.

Assim, considere A = {tn : n ∈ N}. A∗ ∩ S∗S∗ 6= ∅, logo tome p, q ∈ S∗ tal que A ∈ p · q.

{x ∈ S : x−1A ∈ q} ∈ p, logo tome x1, x2 distintos tais que x1−1A ∩ x2

−1A ∈ q, e portanto é infi-

nito. Tome y ∈ x1−1A∩ x2

−1A, e tome n, r tais que x1y = tn e x2y = tr. S é cancelativo à direita,

logo n 6= r; assuma s.p.g. que n < r. Como S é fracamente cancelativo à esquerda, o conjunto

{z ∈ S : x1z = tp ou x2z = tp para algum p ≤ r} é finito, logo podemos tomar w ∈ x1−1A∩ x2

−1A

tal que x1w = tm e x2w = ts com m, s > r. Agora, caso m < s, temos n < r < m < s e assim

ts ∈ Dn,r,m, contradição. E caso s < m, temos n < r < s < m e assim tm ∈ Dn,r,s, contradição. �

Lema 3.6. Seja S um semigrupo infinito e suponha que S∗ é um subsemigrupo de βS. São equi-

valentes:

(a) S∗S∗ não é nunca-denso em S∗.

(b) Existe V ∈ [S]ω tal que para todo A ∈ [V ]ω existem (xn)n≥1 e (yn)n≥1 sequências injetoras em

S tais que, sempre que n > k, xkyn ∈ A.

Demonstração. (a)⇒(b): Tome V ⊂ S enumerável tal que V ∗ ⊂ cl S∗S∗. Dado A ⊂ V infinito,

A∗ ∩ S∗S∗ 6= ∅, logo tome p, q ∈ S∗ tal que A ∈ p · q. {x ∈ S : x−1A ∈ q} ∈ p e portanto é infinito.

Tome (xn)n≥1 sequência injetora em {x ∈ S : x−1A ∈ q}. Tome então y1 ∈ S qualquer e definidos

y1, . . . , yn tome yn+1 ∈ (⋂nk=1 xk

−1A)\{y1, . . . , yn}.

(b)⇒(a): Tome V dado pela hipótese. Afirmamos que V ∗ ⊂ cl S∗S∗. Seja r ∈ V ∗; tome A ∈ r tal

que A ⊂ V . Quero ver que A∗ ∩ S∗S∗ 6= ∅. Tome (xn)n≥1 e (yn)n≥1 dadas pela hipótese. Tome

p ∈ S∗ tal que {xn : n ∈ N} e q ∈ S∗ tal que {{yn : n > k} : k ∈ N} ⊂ q. Afirmação: A ∈ p · q.

Para ver isso, basta ver que {xk : k ∈ N} ⊂ {x ∈ S : x−1A ∈ q}. Seja k ∈ N então. Note então que,

pela propriedade das sequências, temos que {yn : n > k} ⊂ xk−1A, e portanto xk−1A ∈ q. �

O Teorema 3.5 nos mostrou que a hipótese de cancelamento não é necessária para que S∗S∗

seja nunca-denso em S∗. Agora veremos um exemplo que mostra que o cancelamento também não

é suficiente caso S não seja enumerável.


Teorema 3.7. Existe um semigrupo cancelativo S tal que |S| = c e S∗S∗ não é nunca-denso em

S∗.

Demonstração. Seja L = {zn : n ∈ N} ∪ {xσ,k : σ < c e k ∈ N} ∪ {yσ,k : σ < c e k ∈ N}, com todos

os zn, xσ,k e yσ,k distintos entre si. Defina V = {zn : n ∈ N}. Enumere [V ]ω = {Aσ : σ < c} e, para

cada σ < c, enumere Aσ = {wσ,k,n : k ≥ 1 e n ≥ k + 1}.

Considere S o conjunto de todas as palavras a1 . . . at, com cada aj ∈ L, tais que não existem i < t,

σ < c, e k < n tais que ai = xσ,k e ai+1 = yσ,n. Dadas u = a1 . . . at e v = b1 . . . bs em S, defina u · v

pela concatenação de u e v, a não ser que existam σ < c e k < n tais que at = xσ,k e b1 = yσ,n; nesse

caso, u · v = a1 . . . at−1wσ,k,nb2 . . . bs (sendo que a1 . . . at−1 é a palavra vazia caso t = 1 e b2 . . . bs é

a palavra vazia se s = 1).

Note que desse modo V é o conjunto que satisfaz a condição do Lema 3.6, pois dado Aσ ∈ [V ]ω,

(xσ,n)n≥1 e (yσ,n)n≥1 são sequências que satisfazem a propriedade exigida. Resta agora provar que

de fato S com tal operação é um semigrupo cancelativo.

Vejamos que · é associativa: sejam u = a1 . . . at, v = b1 . . . bs e w = c1 . . . cr elementos de S.

Caso 1: b1 = yσ,n para algum σ < c e algum n ∈ N, e bs = xτ,m para algum τ < c e algum m ∈ N.

(Note que neste caso s ≥ 2 pois b1 6= bs.)

Caso 1a: at 6= xσ,k para todos k < n, e c1 6= yτ,l para todos l > m. Neste caso, temos que

ambos (u · v) · w e u · (v · w) são a concatenação de u, v e w, portanto iguais.

Caso 1b: at = xσ,k para algum k < n, e c1 6= yτ,l para todos l > m. Temos então

(u · v) · w = (a1 . . . at−1wσ,k,nb2 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= a1 . . . at−1wσ,k,nb2 . . . bsc1 . . . cr

= (a1 . . . at) · (b1 . . . bsc1 . . . cr)

= u · (v · w).

Caso 1c: at 6= xσ,k para todos k < n, e c1 = yτ,l para algum l > m. Temos então

(u · v) · w = (a1 . . . atb1 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= a1 . . . atb1 . . . bs−1wτ,m,lc2 . . . cr

= (a1 . . . at) · (b1 . . . bs−1wτ,m,lc2 . . . cr)

= u · (v · w).


Caso 1d: at = xσ,k para algum k < n, e c1 = yτ,l para algum l > m. Temos então

(u · v) · w = (a1 . . . at−1wσ,k,nb2 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= a1 . . . at−1wσ,k,nb2 . . . bs−1wτ,m,lc2 . . . cr

= (a1 . . . at) · (b1 . . . bs−1wτ,m,lc2 . . . cr)

= u · (v · w).

(Note que caso s = 2 a expressão b2 . . . bs−1 é vazia, sem prejuízo para a demonstração.)

Caso 2: b1 = yσ,n para algum σ < c e algum n ∈ N, e bs 6= xτ,m para todos τ < c e m ∈ N.

Caso 2a: at 6= xσ,k para todos k < n. Neste caso, temos que ambos (u · v) · w e u · (v · w)

são a concatenação de u, v e w, portanto iguais.

Caso 2b: at = xσ,k para algum k < n. Mesma situação do caso 1b.

Caso 3: b1 6= yσ,n para todos σ < c e n ∈ N e bs = xτ,m para algum τ < c e algum m ∈ N.

Caso 3a: c1 6= yτ,l para todos l > m. Neste caso, temos que ambos (u · v) ·w e u · (v ·w) são

a concatenação de u, v e w, portanto iguais.

Caso 3b: c1 = yτ,l para algum l > m. Mesma situação do caso 1c.

Caso 4: b1 6= yσ,n para todos σ < c e n ∈ N e bs 6= xτ,m para todos τ < c e m ∈ N. Neste caso,

temos que ambos (u · v) · w e u · (v · w) são a concatenação de u, v e w, portanto iguais.

Agora, faremos a prova de que S é cancelativo à direita. A prova de que S é cancelativo à esquerda

é similar. Sejam então u = a1 . . . at, v = b1 . . . bs e w = c1 . . . cr e suponha que u · w = v · w. Se

c1 6= yτ,l para todos τ < c e l ∈ N, então u ·w e v ·w são concatenações, logo u = v. Suponha então

que c1 = yτ,l para algum τ < c e algum l ∈ N.

Caso a: at 6= xτ,n para todos n < l e bs 6= xτ,m para todos m < l. Neste caso, u · w e v · w são

concatenações, logo u = v.

Caso b: at = xτ,n para algum n < l e bs 6= xτ,m para todos m < l. Temos que u · w =

a1 . . . at−1wτ,n,lc2 . . . cr e v · w = b1 . . . bsc1 . . . cr. Como coincidem termo a termo, temos

que c1 = wτ,n,l. Absurdo, pois c1 = yτ,l.

Caso c: at 6= xτ,n para todos n < l e bs = xτ,m para algum m < l. Analogamente ao caso b, temos

um absurdo.

Caso d: at = xτ,n para algum n < l e bs = xτ,m para algum m < l. Temos que u · w =

a1 . . . at−1wτ,n,lc2 . . . cr e v · w = b1 . . . bs−1wτ,m,lc2 . . . cr. Como as palavras são iguais, seu


comprimento é igual, ou seja (t − 1) + 1 + (r − 1) = (s − 1) + 1 + (r − 1), do que t = s.

Disso segue que para cada i < t, ai = bi; e wτ,n,l = wτ,m,l, do que n = m, e portanto

at = xτ,n = xτ,m = bs. Assim a1 . . . at = b1 . . . bs, ou seja, u = v.

�

Antes do próximo teorema do artigo, precisaremos de um resultado do livro [1] sobre cancela-

mento.

Teorema 3.8. Seja S um semigrupo e seja s um elemento cancelável de S. Então, para cada t ∈ S

e cada p ∈ βS:

(a) Se S é cancelativo à direita e sp = tp, então s = t.

(b) Se S é cancelativo à esquerda e ps = pt, então s = t.

Demonstração. Provaremos (i); (ii) é análogo. A prova será por contraposição.

Suponha que s 6= t. Defina f : βS → βS por f(su) = tu para todo u ∈ S, e f(v) = s2 para todo

v ∈ S\sS. Note que a função está bem definida, já que sobre sS, se su = su′, como s é cancelável,

então u = u′. Além disso, como S é cancelativo à direita, f não possui pontos fixos (já que estamos

supondo s 6= t).

Agora, note que as funções contínuas f ◦ λs e λt coincidem sobre S, logo são iguais, de forma

que f(sp) = tp. Usando o Teorema 1.26(a), particione S em três células A1, A2, A3 tais que

Ai ∩ f [Ai] = ∅ para cada i. Tome i tal que Ai ∈ sp. Pelo Teorema 1.26(e), f [Ai] ∈ f(sp) = tp.

Dessa forma, sp 6= tp. �

Como corolário, se S é cancelativo, então βS é cancelável com relação a S.

O próximo teorema nos diz que, com uma certa restrição sobre a cardinalidade de S, podemos

concluir mais do que o Teorema 3.4.

Teorema 3.9. Seja S um semigrupo imersível em um grupo G e suponha que |S| = κ ≥ ω e

κω < 2c. Seja V = {A ∈ [S]ω : A∗ ∩G∗G∗ = ∅} e defina T =⋃{A∗ : A ∈ V}. Então:

(a) T é um aberto denso de S∗, T ∩ G∗G∗ = ∅, e todo elemento de T é cancelável à direita com

relação a Q = {q ∈ S∗ : ‖q‖ ≤ ω} (ou seja, dados p ∈ T e q, r ∈ Q, se qp = rp então q = r).

(b) Seja H o subgrupo de G gerado por S. Defina uma relação de equivalência ∼ em S por p ∼ q

se e só se existem a, b ∈ H tais que apb = q. Então dados k,m ∈ N, p1, . . . , pm, q1, . . . , qk ∈ T ,

se p1 · · · pm ∼ q1 · · · qk, então k = m e pt ∼ qt para cada t.

(c) Existe X ⊂ T tal que X é denso em S∗, |X| = 2c e X gera um subsemigrupo livre de S∗.


Demonstração. (a): Pela própria definição, T é aberto em S∗ e disjunto de G∗G∗. Agora, pelo Te-

orema 3.4, S∗ ∩G∗G∗ é nunca denso em S∗, e logo S∗\G∗G∗ é denso em S∗. Dado V ∗ ⊂ S∗\G∗G∗

aberto básico de S∗, tome A ⊂ V enumerável. Temos que A ∈ V, mostrando que T ∩ V ∗ 6= ∅, e

portanto T é denso em S∗\G∗G∗.

Agora, seja p ∈ T e suponha q, r ∈ Q distintos tais que qp = rp. Como ‖q‖, ‖r‖ ≤ ω, tome A ∈ q,

B ∈ r enumeráveis e disjuntos. Temos então que qp ∈ Ap = Ap e rp ∈ Bp = Bp. Pelo item (c)

do Teorema 1.26, temos que Ap ∩ Bp 6= ∅ ou Ap ∩ Bp 6= ∅. S.p.g., tome a ∈ A e b ∈ B tais que

ap = bp. Pelo Teorema 3.8 acima, caso b ∈ B, então a = b; absurdo pois A ∩B = ∅. Logo b ∈ B∗.

Temos então que p = a−1bp. Como pelo Teorema 1.40, G∗ é um ideal, a−1b ∈ G∗, de forma que

p = a−1bp ∈ G∗G∗. Contradição, pois p ∈ T .

(b): Para provar este, será necessário observar dois fatos:

Primeiramente, notar que T ⊂ {p ∈ S∗ : ‖p‖ = ω}, pois exigimos |A| = ω na definição de V.

Segundo, que dados A ∈ p e B ∈ q, AB ∈ pq, pois A ⊂ {x ∈ S : x−1AB ∈ q}, já que dado a ∈ A,

B ⊂ a−1AB. Disso segue, usando que S é cancelativo, que {p ∈ S∗ : ‖p‖ = ω} é um subsemigrupo

de S∗, e um ideal de {p ∈ βS : ‖p‖ ≤ ω}.

É fácil ver que ∼ é uma relação de equivalência (basta usar que H é grupo).

Sejam então k,m ∈ N e p1, . . . , pm, q1 . . . , qk ∈ T tais que p1 · · · pm ∼ q1 · · · qk. Suponha que a

conclusão falhe, e tome k + m minimal entre todos os contraexemplos. Vale que m > 1 e k > 1:

se m = 1 e k = 1, não é um contraexemplo; se m = 1 e k > 1, teríamos, para algum a, b ∈ H,

p1 = (a−1q1 · · · qk−1)(qkb−1) ∈ G∗G∗, uma contradição; analogamente se m > 1 e k = 1.

Tome então a, b ∈ H tais que ap1 · · · pmb = q1 · · · qk. Pelas observações acima, podemos tomar

A,B ⊂ S enumeráveis tais que A ∈ p1 · · · pm−1 e B ∈ q1 · · · qk−1. Temos então que aApmb∩Bqk 6=

∅; novamente pelo Teorema 1.26(c), temos duas opções: podemos tomar (1) c ∈ A e d ∈ B tais

que acpmb = dqk; ou (2) c ∈ A∗ e d ∈ B tais que acpmb = dqk. Suponha que valha (2): tería-

mos então qk = (d−1ac)(pmb) ∈ G∗G∗, uma contradição. Logo vale (1). Caso d ∈ B∗, teríamos

que pm = ((ac)−1d)(qkb−1) ∈ G∗G∗, contradição. Logo d ∈ B, e assim d−1acpmb = qk, ou seja,

pm ∼ qk. Além disso, pmb = (ac)−1dqk, de forma que ap1 · · · pm−1(ac)−1dqk = q1 · · · qk. Pelo item

(a), podemos cancelar qk de ambos os lados e obter que ap1 · · · pm−1(ac)−1d = q1 · · · qk−1, ou seja,

p1 · · · pm−1 ∼ q1 · · · qk−1. Pela minimalidade de k + m, obtemos que k − 1 = m − 1 e pt ∼ qt para

todo t ≤ m.

(c): Denote por [x] a classe de equivalência de x ∈ S∗. Note que [x] = HxH, de forma que

|[x]| = |H| = |S| = κ < 2c. Defina λ = |V|. V ⊂ [S]ω, logo λ ≤ κω < 2c. Seja V = {Aσ : σ < λ} uma

enumeração de V. Dado σ < λ, como |Aσ| = ω, |Aσ∗| = 2c; disso segue que Iσ = {[x] : x ∈ Aσ∗}


tem cardinalidade 2c, pois Aσ∗ =⋃

[x]∈Iσ Aσ∗ ∩ [x]. Dessa forma, podemos indutivamente escolher,

para σ < λ, xσ ∈ Aσ∗ tal que se σ 6= τ , xσ � xτ (em cada passo tome xσ ∈⋃{Iσ\{[xτ ] : τ < σ}}).

Assim, defina S = I0\{[xσ] : σ < λ} = {[x] : x ∈ A0∗}\{[xσ] : σ < λ}. Tome Y ⊂ A0

∗ tal

que S = {[y] : y ∈ Y } e dados y, z ∈ Y distintos, y � z – ou seja, Y é um conjunto escolha

de {[x] ∩ A0∗ : [x] ∈ S}. Por fim, defina X = Y ∪ {xσ : σ < λ}. Em primeiro lugar, note que

|Y | = |S| = 2c, pois |I0| = 2c. Além disso, X possui no máximo um representante de cada classe

de equivalência; em particular Y ∩ {xσ : σ < λ} = ∅, e portanto |X| = |Y |+ λ = 2c.

Vejamos agora que X gera um subsemigrupo livre. Suponha p1, . . . , pm, q1 . . . , qk ∈ X tais que

p1 · · · pm = q1 · · · qk. Note que X ⊂ T , logo o item (b) nos diz que k = m e pt ∼ qt para cada t.

Porém, como X possui no máximo um representante de cada classe, isso implica que pt = qt. Ou

seja, X de fato gera um subsemigrupo livre.

Por fim, para ver que X é denso em S∗, seja V ⊂ S infinito e tome D ⊂ V enumerável. Tome

q ∈ D∗\cl G∗G∗, e tome B ∈ q tal que B∗ ∩G∗G∗ = ∅. Considere A = B ∩D; temos que A ∈ V,

logo A = Aσ para algum σ < λ; deste modo, xσ ∈ X e xσ ∈ Aσ∗ ⊂ D∗ ⊂ V ∗, de modo que

V ∗ ∩X 6= ∅. �

Os próximos três teoremas lidam com a densidade dos produtos em Uκ, e por isso veremos sob

que condições temos S∗Uκ ⊂ Uκ. O que segue é o Lema 6.34.3 do livro [2].

Lema 3.10. Seja S um semigrupo infinito e κ = |S|. Se S é fraquissimamente cancelativo à es-

querda, então Uκ(S) é um ideal à esquerda de βS. Se além disso, S for fraquissimamente cancelativo

à direita, então Uκ(S) é um ideal de βS.

Demonstração. Sejam p ∈ βS e q ∈ Uκ, e suponha que p · q /∈ Uκ. Tome A ∈ p · q tal que |A| < κ.

Vale que {x ∈ S : x−1A ∈ q} ∈ p; tome x tal que x−1A ∈ q. Temos então: x−1A =⋃a∈A{y ∈ S :

xy = a}. Como |A| < κ, e S é fraquissimamente cancelativo à esquerda, segue que |x−1A| < κ.

Absurdo, pois x−1A ∈ q ∈ Uκ.

Agora, suponha que q · p /∈ Uκ e tome A ∈ q · p tal que |A| < κ. Caso p ∈ Uκ, contradiz o que

acabamos de provar. Então ‖p‖ < κ, logo tome B ∈ p tal que |B| < κ. Temos, pois: C = {x ∈ S :

x−1A ∈ p} ∈ q. Note que |C| = κ. Agora, afirmamos que C ⊂⋃b∈B

⋃a∈A{x ∈ S : xa = b}, do que

segue que |C| < κ. Para comprovar a afirmação, seja x ∈ C; tome b ∈ B ∩ x−1A, e tome a ∈ A tal

que xa = b; segue a afirmação. �

Observe que o próximo teorema é uma de extensão do caso S enumerável (3.3), pois Uω = S∗,

e inclusive possui técnica de demonstração similar.

Teorema 3.11. Seja S um semigrupo cancelativo à direita e fraquissimamente cancelativo à es-

querda com |S| = κ. Então S∗Uκ é nunca-denso em Uκ.


Demonstração. Enumere S = {sα : α < κ}. Suponha, por absurdo, que existe V ∈ [S]κ tal que

V ∩ Uκ ⊂ cl S∗Uκ.

Tome v0 ∈ V qualquer. Recursivamente, seja 0 < δ < κ e suponha que já escolhemos vσ para σ < δ

de forma que

(1) se α < σ < δ, então vα < vσ; e

(2) se α < σ < τ < δ, µ < τ , e x ∈ S, então sαx 6= vσ ou sµx 6= vτ .

Para cada α < σ < δ, defina Cα,σ = {x ∈ S : sαx = vσ}; considere B =⋃α<σ<δ Cα,σ. Como

B é uma união de menos do que κ conjuntos solução à esquerda, então |B| < κ; dessa forma,

|{sµx : µ < δ e x ∈ B}| < κ. Isso nos permite tomar vδ ∈ V \({vσ : σ < δ}∪{sµx : µ < δ e x ∈ B}).

Claramente a condição (1) permanece satisfeita. Para (2), suponha α < σ < δ, µ < δ, e x ∈ S tais

que sαx = vσ e sµx = vδ. Teríamos que x ∈ Cα,σ ⊂ B, de forma que vδ ∈ {sµx : µ < δ e x ∈ B},

uma contradição.

Defina então A = {vσ : σ < κ} e, para cada α < κ, Aα = {vσ : α < σ < κ}. Necessitaremos do

seguinte fato: dados s ∈ S e q ∈ Uκ, se s−1A ∈ q, então para todo α < κ, s−1Aα ∈ q. Suponha

que a conclusão falhe e tome α < κ tal que s−1Aα /∈ q. Temos que s−1A\s−1Aα = s−1(A\Aα) ∈ q.

Note que s−1(A\Aα) =⋃σ≤α{y ∈ S : sy = vσ}; esse é uma união de menos do que κ conjuntos

solução à esquerda, logo possui cardinalidade menor do que κ. Contradição pois q ∈ Uκ.

Agora, como A ⊂ V , A ∩ Uκ ⊂ cl S∗Uκ, logo A ∩ Uκ ∩ S∗Uκ 6= ∅. Portanto tome p ∈ S∗ e q ∈ Uκ

tais que A ∈ p · q. Temos que {s ∈ S : s−1A ∈ q} ∈ p, logo tome α, µ < κ distintos tais que

sα−1A, sµ

−1A ∈ q. Tome x ∈ sα−1Aα ∩ sµ−1Aµ. Tome então σ, δ < κ tais que α < σ, µ < δ e

sαx = vσ e sµx = vδ. Como S é cancelativo à direita e sα 6= sµ, temos que σ 6= δ. Sem perda de

generalidade, σ < δ; isso viola a construção de vδ, contradição. �

Os autores do artigo apontam que, ao se perscrutar as últimas três linhas da demonstração

acima, poder-se-ia exigir menos do que o cancelamento à direita: se exigíssemos apenas que dados

a, b ∈ S distintos, |{y ∈ S : ay = by}| < κ, então tomar-se-ia x ∈ (sα−1Aα∩sµ−1Aµ)\{y ∈ S : sαy =

sµy} e a demonstração seguiria. Porém, isto não é um enfraquecimento das hipóteses, pois isto

implica que S é cancelativo à direita, do seguinte modo: suponha a, b ∈ S distintos e c ∈ S tais que

ac = bc. Então cS ⊂ {y ∈ S : ay = by} e portanto |cS| < κ. Porém, S =⋃d∈cS{x ∈ S : cx = d},

uma união de menos do que κ conjuntos solução à esquerda, de modo que |S| < κ, contradição.

Lema 3.12. Seja S um semigrupo infinito, fracamente cancelativo à esquerda e fraquissimamente

cancelativo à direita, com |S| = κ. Enumere S = {sα : α < κ} e seja V = {q ∈ S∗ : existe δ < κ

tal que {sα : α < δ} ∈ q}. Então (βS)V ∩ Uκ é nunca-denso em Uκ.


Demonstração. Suponha por absurdo que existe C ∈ [S]κ tal que C ∩ Uκ ⊂ cl((βS)V ). Usando

técnicas análogas ao do teorema anterior - apenas “espelhadas” - obtemos uma κ-sequência (tα)α<κ

em C injetora tal que dados x ∈ S, γ < σ < α, e µ < α, vale que xsγ 6= tσ ou xsµ 6= tα. (Precisamos

apenas usar que |C| = κ e S é fraquissimamente cancelativo à direita.)

Defina B = {tα : α < κ}. Como B ∩Uκ ∩ (βS)V 6= ∅, tome r ∈ βS e q ∈ V tais que r · q ∈ B ∩Uκ.

Como q ∈ V , tome δ < κ tal que {sα : α < δ} ∈ q, e considere H = {tα : α > δ}. Como

B ∈ r · q ∈ Uκ, então H ∈ r · q, de forma que {x ∈ S : x−1H ∈ q} ∈ r, logo tome um tal x. Defina

W = x−1H ∩ {sα : α < δ}; note que W ∈ q, e logo é infinito.

Afirmação: |xW | = 1. Sejam γ, µ < δ tais que sγ , sµ ∈W . Temos xsγ , xsµ ∈ H, logo tome σ, α > δ

tais que xsγ = tσ e xsµ = tα. Caso σ 6= α, então σ < α ou α < σ, contradizendo a escolha da

κ-sequência. Portanto α = σ, logo xsγ = xsµ.

Porém, W ser infinito e xW ser unitário contradiz a hipótese de S ser fracamente cancelativo à

esquerda. �

Teorema 3.13. Seja S um semigrupo infinito, cancelativo à direita, e fracamente cancelativo à

esquerda, com |S| = κ. Suponha que κ é regular. Então S∗S∗ ∩ Uκ é nunca-denso em Uκ.

Demonstração. Pelo Teorema 3.11, S∗Uκ é nunca-denso em Uκ. Resta ver então que S∗(S∗\Uκ)∩Uκ

é nunca-denso. Enumere S = {sα : α < κ} e seja V = {q ∈ S∗ : existe δ < κ tal que {sα : α < δ} ∈

q}. Pelo Lema acima, (βS)V ∩ Uκ é nunca-denso em Uκ; em particular S∗V ∩ Uκ é nunca-denso.

Basta ver então que S∗\Uκ ⊂ V . Seja r ∈ S∗\Uκ então. Tome A ∈ r tal que |A| < κ. Como κ é

regular, então existe δ < κ tal que A ⊂ {sα : α < δ}; esse δ atesta que r ∈ V . �

Para o próximo teorema – o último nesta seção do artigo – precisaremos de um resultado

encontrado no Teorema 7.35 do livro [1]. Apresentaremos a prova deste resultado posteriormente.

Teorema 3.14. Seja S um semigrupo infinito, cancelativo à direita, e fraquissimamente cancelativo

à esquerda, com |S| = κ. Seja C uma coleção de no máximo κ subconjuntos de S tal que C possui a

κ-p.i.f. Então existe uma κ-sequência injetora (tα)α<κ em S tal que, definindo B = {tα : α < κ},

valem as seguintes asserções:

(1) B ∩ Uκ ∩ S∗Uκ = ∅.

(2) Se p, q ∈ B ∩ Uκ são distintos, então βS · p ∩ βS · q = ∅.

(3) Se p ∈ B ∩ Uκ, então p é cancelável à direita em βS.

(4) |B ∩ Uκ| = 22κ e B ∩ Uκ gera um semigrupo livre em Uκ.


(5) Seja T =⋂α<κ FP ((tσ)α<σ<κ). Então T é um subsemigrupo compacto de βS com a proprie-

dade de que todo grupo maximal de K(T ) contém uma cópia do grupo livre sobre 22κ geradores.

Em particular, FP ((tα)α<κ) possui uma cópia do grupo livre sobre 22κ geradores.

(6) Se κ é regular e S é fracamente cancelativo à esquerda, então B ∩ Uκ ∩ S∗S∗ = ∅.

Além disso, existe P ⊂ B ∩ Uκ tal que |P | = 22κ e, para todo p ∈ P , C ⊂ p.

Demonstração. Enumere S = {sα : α < κ}. Podemos supor que C é fechado para interseções finitas

(ou seja acrescê-lo de suas interseções finitas, sem alterar a cardinalidade). Seja λ = |C|, enumere

C = {Cα : α < λ}, e tome f : κ→ κ× λ bijeção. Fixe um a ∈ S e defina A = {s ∈ S : as = a}. A

é um conjunto solução à esquerda, logo |A| < κ. Tome t0 ∈ Cπ2(f(0))\A, em que π2 é a projeção de

κ× λ sobre λ.

Agora, seja 0 < α < κ e suponha que já escolhemos (tδ)δ<α de forma que

(a) se δ < α, então tδ /∈ FP ((tγ)γ<δ);

(b) se δ < α, então tδ ∈ Cπ2(f(δ));

(c) se γ < δ < α e µ < σ < δ, então sγtδ 6= sµtσ;

(d) se γ < σ < δ < α, µ < δ, e x ∈ S, então sγx 6= tσ ou sµx 6= tδ;

(e) se δ < α e u, v ∈ FP ((tγ)γ<δ), então u 6= vtδ;

(f) se δ < α, u, v ∈ FP ((tγ)γ<δ), e u 6= v, então utδ 6= vtδ;

(g) se δ < α e u ∈ FP ((tγ)γ<δ), então utδ 6= tδ;

(h) FP ((tδ)δ<α) ∩A = ∅; e

(i) se κ é regular, S é fracamente cancelativo à esquerda, x ∈ S, γ < σ < δ < α, e µ < δ, então

xsγ 6= tσ ou xsµ 6= tδ.

Note que as hipóteses estão de fato todas satisfeitas para α = 1, e todas exceto (b) e (h) por

vacuidade.

Para cada µ < σ < α e γ < α, seja Aγ,µ,σ = {x ∈ S : sγx = sµtσ}. Cada Aγ,µ,σ é um conjunto

solução à esquerda, logo |⋃γ<α

⋃µ<σ<αAγ,µ,σ| < κ.

Para cada γ < σ < α, seja Fγ,σ = {x ∈ S : sγx = tσ}. Cada Fγ,σ é um conjunto solução à esquerda,

logo |⋃γ<σ<α Fγ,σ| < κ, e portanto |{sµx : µ < α e x ∈

⋃γ<σ<α Fγ,σ| < κ.

Agora, seja V = FP ((tδ)δ<α). |V | < κ. Pela hipótese (h), dado u ∈ V , au 6= a. Usando mais

vezes que S é fraquissimamente cancelativo à esquerda, temos que |⋃u∈V {x ∈ S : aux = a}| < κ e

|⋃u,v∈V {x ∈ S : vx = u}| < κ.


E se κ for regular e S for fracamente cancelativo à esquerda: defina D =⋃γ<σ<α{x ∈ S : xsγ = tσ}.

Como S é cancelativo à direita, D é a união de conjuntos vazios ou unitários, e portanto |D| < κ,

e logo |{xsµ : µ < α e x ∈ D}| < κ.

Assim, podemos escolher tα ∈ Cπ2(f(α)) de forma que tα não pertença a⋃γ<α

⋃µ<σ<αAγ,σ,µ ∪V ∪

A ∪ {sµx : µ < α e x ∈⋃γ<σ<α Fγ,σ} ∪

⋃u∈V {x ∈ S : aux = a} ∪

⋃u,v∈V {x ∈ S : vx = u}. Além

disso, se κ for regular e S for fracamente cancelativo à direita, exija também que tα /∈ {xsµ : µ < α

e x ∈ D}.

Como tα /∈ V = FP ((tδ)δ<α), temos que a hipótese (a) é satisfeita e a sequência permanece injetora.

Como tα ∈ Cπ2(f(α)), a hipótese (b) está satisfeita.

Como tα /∈⋃γ<α

⋃µ<σ<αAγ,σ,µ, a hipótese (c) está satisfeita.

Como tα /∈ {sµx : µ < α e x ∈⋃γ<σ<α Fγ,σ}, a hipótese (d) está satisfeita.

Como tα /∈⋃u,v∈V {x ∈ S : vx = u}, a hipótese (e) está satisfeita.

A hipótese (f) segue da cancelatividade à direita de S.

Para verificar (g), lembre que dado u ∈ V , au 6= a, logo autα 6= atα, e portanto utα 6= tα.

Para verificar (h), note que tα /∈ A e tα /∈⋃u∈V {x ∈ S : aux = a}, logo dado u ∈ V , autα 6= a, ou

seja, utα /∈ A.

E se κ for regular e S for fracamente cancelativo à direita, tα /∈ {xsµ : µ < α e x ∈ D}, logo a

hipótese (i) está satisfeita.

Feita a indução, defina B = {tα : α < κ} e, para cada γ < κ, Bγ = {tα : γ < α < κ}. Verifiquemos

agora as asserções (1)-(6).

(1): Seja p ∈ B ∩ Uκ e suponha q ∈ S∗ e r ∈ Uκ tal que p = q · r. B ∈ q · r, ou seja, {x ∈ S :

x−1B ∈ r} ∈ q, logo tome γ < µ < κ tais que sγ−1B, sµ−1B ∈ r. Note que sγ−1Bγ ∈ r, pois

sγ−1B\sγ−1Bγ =

⋃σ≤γ{y ∈ S : sγy = tσ} é uma união de menos do que κ conjuntos solução à

esquerda e r ∈ Uκ. Analogamente sµ−1Bµ ∈ r, logo tome x ∈ sγ−1Bγ ∩ sµ−1Bµ. Tome σ > γ e

δ > µ tais que sγx = tσ e sµx = tδ. Como S é cancelativo à direita, vale que σ 6= δ, violando a

hipótese (d).

(2): Sejam p, q ∈ B ∩ Uκ distintos. Tome F,G ∈ [B]κ tais que F ∩ G = ∅, F ∈ p e G ∈ q.

Suponha u, v ∈ βS tais que up = vq, e E = {sγtα : γ < α < κ e α ∈ F}. Vale que E ∈ up,

ou seja, {x ∈ S : x−1E ∈ p} ∈ u, pois dado γ < κ, {tα ∈ F : γ < α < κ} ⊂ sγ−1E, e

{tα ∈ F : γ < α < κ} ∈ p. Analogamente, {sµtσ : µ < σ < κ e tσ ∈ G} ∈ vq. Assim, podemos

tomar γ < α < κ e µ < σ < κ de forma que tα ∈ F , tσ ∈ G, e sγtα = sµtσ. Como F ∩ G = ∅,

α 6= σ, contradizendo a hipótese (c).

(3): Seja p ∈ B ∩ Uκ e suponha u, v ∈ βS tais que up = vp. Tome F ∈ u e G ∈ v disjuntos.

Defina E = {sγtα : γ < α < κ e sγ ∈ F}. Note que, dado sγ ∈ F , {tα : γ < α < κ} ∈ p

e {tα : γ < α < κ} ⊂ sγ−1E, de forma que E ∈ up. Analogamente, {sµtσ : µ < σ < κ e


sµ ∈ G} ∈ vp. Portanto, exatamente como acima, temos uma contradição da hipótese (c).

(4): Como |B| = κ, o Teorema 1.26(d) nos diz que B ∩ Uκ(S) (que pode ser identificado com

Uκ(B)) tem cardinalidade 22κ . Agora, para ver que gera um subsemigrupo livre, provaremos que

dados p1, . . . , pm, q1 . . . , qk ∈ B∩Uκ, se p1 · · · pm = q1 · · · qk, então k = m e pi = qi para cada i ≤ m.

Suponha que não valha, e pegue um contraexemplo tal que m + k é mínimo. Não pode ser que

m + k = 2, pois nesse caso m = k = 1 e não temos contraexemplo; e por (1), não se pode ter que

m+ k = 3 (p1 = q1 · q2 ou p1 · p2 = q1). Portanto m, k > 1. Por (2), temos que pm = qk; logo, por

(3), podemos cancelar e obter p1 · · · pm−1 = q1 · · · qk−1, do que segue m− 1 = k − 1 e pi = qi para

cada i ≤ m.

(5): Pelo Teorema 7.35 do livro [1], basta ver que (tα)α<κ possui produtos finitos distintos. Suponha

então F,G ∈ Pf (κ) distintos e tais que∏α∈F tα =

∏α∈G tα, tais que |F ∪ G| seja mínimo. Sem

perda de generalidade, max F ≤ max G = σ. Suponha, primeiramente, que max F < max G: caso

G = {σ}, teríamos uma violação de (a), e caso |G| ≥ 2 teríamos uma violação de (e). Então max

F = max G, e logo σ ∈ F . F e G não podem ser ambos unitários pois são distintos. Caso um

deles fosse unitário, teríamos uma violação de (g). Logo |F |, |G| ≥ 2 com max F = max G = σ;

podemos cancelar à direita e obter∏α∈F\{σ} tα =

∏α∈G\{σ}, do que, pela minimalidade de |F ∪G|,

F\{σ} = G\{σ}. Isso implica que F = G, contradição.

(6): Suponha que κ seja regular e S seja fracamente cancelativo à esquerda. Suponha q, r ∈ S∗

tais que r · q ∈ B ∩ Uκ. Pelo item (1), q ∈ S∗\Uκ. Como κ é regular, temos então que existe δ < α

tal que {sα : α < δ} ∈ q. Deste ponto, obtemos uma contradição exatamente como no final do

Teorema 3.12 – usando (a),(i) e que S é fracamente cancelativo à esquerda.

Por fim, considere B = {B ∩Cα : α < λ}. Vale que B possui a κ-p.i.f., pois: dado F ∈ Pf (λ), como

C é fechado para interseções finitas, tome γ < λ tal que Cγ =⋂α∈F Cα. Vale que {tσ : π2(f(σ)) =

γ} ⊂ B ∩ Cγ , e este conjunto tem cardinalidade κ pois |(π2 ◦ f)−1[{γ}]| = κ. Deste modo, basta

definir P = {p ∈ Uκ : B ⊂ p}, e notar que o Teorema 1.26(d) nos garante que |P | = 22κ . �

Agora veremos como se prova o Teorema 7.35 do livro [1]. Começaremos pelo Teorema 1.23 do

mesmo livro.

Teorema 3.15. Sejam A um conjunto, G o grupo livre gerado por A, e g ∈ G\{∅} (∅ é a

identidade de G). Então existe um grupo finito F e um homomorfismo φ : G→ F tal que φ(g) não

é a identidade de F .

Demonstração. Seja n o comprimento de g. Seja X = {0, . . . , n} e considere F = {f ∈ XX :

f é bijeção}. (F, ◦) é um grupo de identidade idX . Agora, dado a ∈ A, considere D(a) = {i ∈

{0, . . . , n−1} : g(i) = a−1} e E(a) = {i ∈ {1, . . . , n} : g(i−1) = a}. Como g ∈ G, D(a)∩E(a) = ∅.

Defina φ(a) : D(a)∪E(a)→ X por: se i ∈ D(a), φ(a)(i) = i+ 1; se i ∈ E(a), φ(a)(i) = i− 1. Vale


que φ(a) é injetora, pois: dados i1, i2 ∈ dom φ(a) distintos, se i1, i2 ∈ D(a), então i1 + 1 6= i2 + 1;

se i1, i2 ∈ E(a), então i1 − 1 6= i2 − 1; suponha i1 ∈ D(a), i2 ∈ E(a) e φ(a)(i1) = φ(a)(i2), ou seja

i1 + 1 = i2 − 1 – temos que g(i1) = a−1 e g(i2 − 1) = g(i1 + 1) = a, uma contradição.

Assim, φ(a) é injetora sobre D(a) ∪ E(a) ⊂ X, e isso nos permite tomar uma extensão qualquer

dela a todo o X – que também denotaremos por φ(a). Portanto, temos que φ : A → F é uma

função, logo tome, pela propriedade universal dos grupos livres, φ : G → F o homomorfismo que

estende φ.

Descreva g = a0i0 . . . an−1

in−1 , com ar ∈ A e ir ∈ {1,−1}. Mostraremos que para cada k ∈

{1, . . . , n}, φ(ak−1ik−1)(k) = k − 1. Primeiro suponha que ik−1 = 1; temos que k ∈ E(ak−1),

logo φ(ak−1)(k) = k − 1. Suponha agora que ik−1 = −1; temos que k − 1 ∈ D(ak−1), logo

φ(ak−1)(k − 1) = k, e portanto φ(ak−1−1)(k) = (φ(ak−1))−1(k) = k − 1.

Com isso, é fácil ver por indução que φ(g)(n) = φ(a0i0) . . . φ(an−1

in−1)(n) = 0, de forma que

φ(g) 6= idX . �

Este próximo é o Teorema 2.24 de [1].

Teorema 3.16. Sejam A um conjunto e G o grupo livre gerado por A. Então G pode ser imerso em

um grupo topológico compacto. Ou seja, existe um grupo topológico compacto H e um homomorfismo

injetor ϕ : G→ H.

Demonstração. Usando o teorema anterior, tome para cada g ∈ G\{∅} =: G′ um grupo finito Fg

e um homomorfismo φg : G → Fg tal que φg(g) não é a identidade de Fg. Imbua cada Fg com a

topologia discreta, e defina H =∏g∈G′ Fg, com o produto coordenada a coordenada e a topologia

produto. Portanto, ao se definir ϕ : G → H por ϕ(h)g = φg(h) em cada coordenada, ϕ é um

homomorfismo. Além disso, dado g ∈ G′, como ϕ(g)g não é a identidade de H, temos que o núcleo

de ϕ é trivial e portanto ϕ é injetora. Portanto, resta ver que H é um grupo topológico. Para

isso, basta ver que o produto é contínuo coordenada a coordenada; e dados x, y ∈ H, e g ∈ G′,

A = πg−1[{xg}]×πg−1[{yg}] é uma vizinhança de (x, y) em H×H tal que (πg ◦·)[A] = {xg ·yg}. �

Enfim, o Teorema 7.35 de [1].

Teorema 3.17. Sejam S semigrupo discreto, κ cardinal infinito e (aλ)λ<κ uma κ-sequência em

S que possui produtos finitos distintos. Considere T =⋂λ<κ FP ((aµ)λ<µ<κ). Então T é um

subsemigrupo compacto de βS tal que todo grupo maximal de K(T ) contém uma cópia algébrica do

grupo livre sobre 22κ geradores.

Demonstração. Primeiramente, para ver que T é um subsemigrupo, aplicaremos a condição dada em

1.34. Sejam λ < κ e x ∈ FP ((aµ)λ<µ<κ). Tome L ⊂ {µ : λ < µ < κ} finito tal que x =∏µ∈L aµ.

Defina γ = max L. Vale que x · FP ((aµ)γ<µ<κ) ⊂ FP ((aµ)λ<µ<κ).


Pelo Teorema 1.16, todo grupo maximal em K(T ) é da forma p · T · p para algum p idempotente

minimal de T . Seja então p um idempotente minimal de T . Defina A = {aµ : µ < κ} e note que

Uκ(A) ⊂ T , pois dados q ∈ Uκ(A) e λ < κ, {aµ : µ ≤ λ} /∈ q, portanto A\{aµ : µ ≤ λ} = {aµ :

λ < µ < κ} ∈ q. Assim, podemos definir G como o subgrupo de p · T · p gerado por p · Uκ(A) · p.

Agora, fixe Σ um conjunto qualquer de cardinalidade 22κ , e o indexe sem repetições por Uκ(A):

Σ = {σq : q ∈ Uκ(A)}. Seja F o grupo livre sobre Σ. Afirmamos que G é isomorfo a F .

Pela propriedade dos grupos livres, a função definida g : Σ→ p · Uκ(A) · p dada por g(σq) = p · q · p

possui extensão a um homomorfismo g : F → G. Como G é o grupo gerado por p · Uκ(A) · p e

g[Σ] = p · Uκ(A) · p, segue que g[F ] = G. Agora basta ver que g é injetora. Como qualquer par

de elementos de F pertence a um subgrupo gerado por uma subcoleção finita de {σq : q ∈ Uκ(A)},

basta ver que g é injetora sobre subgrupos desse tipo.

Sejam q1, . . . , qn ∈ Uκ(A) distintos e denote por D o subgrupo de F gerado por {σq1 , . . . , σqn}. Para

cada i ∈ {1, . . . , n}, tome Bi ∈ qi tal que Bi ⊂ A e Bi ∩ Bj = ∅ se i 6= j. Podemos ainda supor

que⋃ni=1Bi = A pois podemos substituir B1 por A\

⋃ni=2Bi.

Definimos agora uma função h : S → F . Definimos primeiro h sobre A, determinando que h(aµ) =

σqi se e somente se aµ ∈ Bi. Após isso, dado r ∈ FP ((aµ)µ<κ), como existe um único L ∈ Pf (κ)

tal que r =∏µ∈L aµ, podemos definir bem h(r) =

∏µ∈L h(aµ). Por fim, estenda h a S de qualquer

maneira.

Pelo teorema logo acima, F pode ser imerso algebricamente em um grupo topológico compacto

F ; assumiremos que F ⊂ F . Seja então h : βS → F a extensão contínua de h. Note que h(p)

é a identidade de F pois p é idempotente, e que, como h[Bi] = {σqi}, h(qi) = σqi . Mostraremos

que h∣∣Té um homomorfismo. Para isso aplicaremos o Teorema 1.36, ou seja, basta ver que para

cada x ∈ FP ((aµ)µ<κ) existe λ < κ tal que para todo y ∈ FP ((aµ)λ<µ<κ), h(x · y) = h(x) · h(y).

Seja então x ∈ FP ((aµ)µ<κ), tome L ∈ Pf (κ) tal que x =∏µ∈L aµ e considere λ = max L;

seja y ∈ FP ((aµ)λ<µ<κ) e tome M ∈ Pf (κ) tal que y =∏µ∈M aµ (note que min M > max L).

Temos então: h(x · y) = h(∏µ∈L aµ ·

∏µ∈M aµ) = h(

∏µ∈L∪M aµ) =

∏µ∈L∪M h(aµ) =

∏µ∈L h(aµ) ·∏

µ∈M h(aµ) = h(x) · h(y).

Assim h é um homomorfismo e portanto h ◦ g também. Seja i ∈ {1, . . . , n}. Vale que h(g(σqi)) =

h(p · qi · p) = h(p) · h(qi) · h(p) = h(qi) = σqi . Dessa forma h ◦ g é a identidade sobre os geradores

de D, logo é a identidade sobre D, e portanto g é injetora sobre D, como queríamos. �

Note que o resultado acima vale para T = H.

Assim se encerra a Seção 2 do artigo [9]. A Seção 3 possui apenas dois itens: um teorema e

um contraexemplo a ele. Um dos itens desse teorema usa um resultado sobre MA(ω1). Portanto,

demonstraremos aqui uma propriedade sobre a topologia de S∗ que decorre do Axioma de Martin.

Os próximos são o Lema 12.10, o Corolário 12.11 e o Corolário 12.12 do livro [1].


Lema 3.18. Seja D um conjunto, |D| = ω. Seja A ⊂ [D]ω com a propriedade de que para todo

F ∈ Pf (A), D\⋃F é infinito. Seja κ = |A|. Se vale MA(κ), então existe B ∈ [D]ω tal que para

todo A ∈ A, B ∩A é finito.

Demonstração. Considere Q = {(H,F) : H ∈ Pf (D) e F ∈ Pf (A)}. Defina uma ordem em Q

por (H ′,F ′) ≤ (H,F) e e somente se: H ⊂ H ′, F ⊂ F ′ e (H ′\H) ∩⋃F = ∅. É imediato

ver que ≤ é reflexiva e antissimétrica. Para ver que é transitiva, sejam H,H ′, H ′′ ∈ Pf (D) e

F ,F ′,F ′′ ∈ Pf (A) tais que (H ′′,F ′′) ≤ (H ′,F ′) e (H ′,F ′) ≤ (H,F); a condição que não é imediata

é que (H ′′\H) ∩⋃F = ∅. Seja x ∈ H ′′\H. Caso x ∈ H ′′\H ′, então x /∈

⋃F ′ ⊃

⋃F ; caso

x ∈ H ′\H, então x /∈⋃F .

Agora, se (H,F) e (H ′,F ′) são incompatíveis, necessariamente H 6= H ′, pois do contrário (H,F ∪

F ′) é uma extensão comum de ambos. Como |Pf (D)| = ω, segue que (Q,≤) possui c.c.c.

Agora, para cada A ∈ A, seja D(A) = {(H,F) ∈ Q : A ∈ F}. Dado (H,F) ∈ Q, vale que

(H,F ∪ {A}) ∈ D(A) e (H,F ∪ {A}) ≤ (H,F), de forma que D(A) é denso.

E para cada X ∈ Pf (D), seja E(X) = {(H,F) ∈ Q : H 6⊂ X}. Dado (H,F) ∈ Q, como

D\⋃F é infinito, existe y ∈ D\

⋃F tal que y /∈ X. Vale então que (H ∪ {y},F) ∈ E(X) e

(H ∪ {y},F) ≤ (H,F), de forma que E(X) é denso.

Como |A| = κ e |Pf (D)| = ω,MA(κ) nos garante que existeG filtro em (Q,≤) tal queG∩D(A) 6= ∅

para todo A ∈ A e G ∩ E(X) 6= ∅ para todo X ∈ Pf (D).

Defina B =⋃{H : existe F ∈ Pf (A) tal que (H,F) ∈ G}. Como G ∩ E(X) 6= ∅ para todo

X ∈ Pf (D), segue que B é infinito (se não existiria (H,F) ∈ G tal que H 6⊂ B). Afirmamos

que B ∩ A é finito para todo A ∈ A. Dado A ∈ A, tome (H,F) ∈ G ∩ D(A). Veremos que

B ∩ A ⊂ H. Seja x ∈ B ∩ A. Como x ∈ B, tome (H ′,F ′) ∈ G tal que x ∈ H ′. Como G é filtro,

tome (H ′′,F ′′) extensão comum de (H,F) e (H ′,F ′). Temos então que x ∈ A ∈ F , x ∈ H ′ ⊂ H ′′,

e (H ′′\H) ∩⋃F = ∅; portanto, x ∈ H, como anunciamos. �

Corolário 3.19. Seja D conjunto, |D| = ω. Seja κ < c e seja {Fα : α < κ} uma família de

fechados de D∗. Assuma MA(κ). Se⋃α<κ Fα 6= D∗, então clD∗(

⋃α<κ Fα) 6= D∗.

Demonstração. Seja x ∈ D∗\⋃α<κ Fα. Para cada α < κ, x /∈ Fα; como D∗ possui base de clopens,

podemos tomar Dα clopen tal que x /∈ Dα e Fα ⊂ Dα. Pelo teorema 1.26(i), cada Dα = Aα∗ para

algum Aα ⊂ D infinito. Temos então que x ∈ D∗\⋃α<κAα

∗; portanto, para cada α, D\Aα ∈ x.

Disso segue que a coleção A = {Aα : α < κ} satisfaz as hipóteses do lema anterior, e portanto

existe B ⊂ D infinito e tal que B ∩ Aα é finito para cada α < κ. Portanto, B∗ ∩⋃α<κAα

∗ = ∅;

como B∗ é um aberto, segue que B∗∩ clD∗(⋃α<κAα

∗) = ∅. Como B 6= ∅ e Fα ⊂ Aα∗ para cada

α, segue a tese. �


Corolário 3.20. Seja D conjunto, |D| = ω. Seja κ < c e seja {Gα : α < κ} família de abertos de

D∗. Assuma MA(κ). Se⋂α<κGα 6= ∅, então intD∗(

⋂α<κGα) 6= ∅.

Demonstração.⋂α<κGα 6= ∅ implica que D∗\

⋂α<κGα 6= D∗. D∗\

⋂α<κGα =

⋃α<κD

∗\Gα.

Aplicando o corolário anterior, temos que clD∗(⋃α<κD

∗\Gα) 6= D∗. Mas clD∗(⋃α<κD

∗\Gα) =

clD∗(D∗\⋂α<κGα) = D∗\intD∗(

⋂α<κGα). Ou seja, temos que D∗\intD∗(

⋂α<κGα) 6= D∗, e assim

intD∗(⋂α<κGα) 6= ∅. �

Agora, o Teorema 3.1 de [9].

Teorema 3.21. Seja S um semigrupo cancelativo à direita e fracamente cancelativo à esquerda tal

que |S| = ω1. Então S∗\S∗S∗ é denso em S∗; e se valer MA(ω1), então S∗S∗ é nunca-denso em

S∗.

Demonstração. Enumere S = {sσ : σ < ω1}. Para cada ω < σ < ω1, seja Sσ o semigrupo gerado

por {sτ : τ < σ}. Cada Sσ é enumerável e portanto, pelo Teorema 3.3, Sσ∗Sσ∗ é nunca-denso em

Sσ∗ (e como este é clopen, Sσ∗Sσ∗ é nunca-denso em S∗).

Seja A ∈ [S]ω. Mostraremos que A∗ ∩ (S∗\S∗S∗) 6= ∅, e que se valer MA(ω1), A∗\cl S∗S∗ 6= ∅.

Como A é enumerável, tome δ < ω1 tal que A ⊂ {sτ : τ < δ}; vale que A ⊂ Sδ. Além disso,

A∗\cl Sδ∗Sδ∗ 6= ∅, logo tome Vδ ∈ [A]ω tal que Vδ∗ ∩ Sδ∗Sδ∗ = ∅. Agora, indutivamente seja

δ < σ < ω1 e suponha que foi escolhido Vτ para todo δ ≤ τ < ω1 de forma que

(a) Vτ ∈ [A]ω;

(b) se µ < τ , então Vτ ∗ ⊂ Vµ∗; e

(c) Vτ ∗ ∩ Sτ ∗Sτ ∗ = ∅.

Se σ = γ + 1 para algum γ, temos que Sσ∗Sσ∗ é nunca-denso em S∗ e Vγ∗ é um (já definido)

aberto, de forma que Vγ∗\cl Sσ∗Sσ∗ 6= ∅ e portanto podemos tomar Vσ ∈ [Vγ ]ω de forma que

Vσ∗ ∩ Sσ∗Sσ∗ = ∅.

Por outro lado, se σ for limite: note que a hipótese (b) implica que {Vτ : δ ≤ τ < σ} possui a ω-p.i.f..

Enumere {τ : δ ≤ τ < σ} = {τn : n ∈ ω}. Tome a0 ∈ Vτ0 qualquer e indutivamente para n > 0

tome an ∈⋂ni=1 Vτi\{a0, . . . , an−1}. Para cada k ∈ ω, como {an : n ∈ ω}\Vτk ⊂ {a0, . . . , ak−1},

então {an : n ∈ ω}∗ ⊂ Vτk∗. Usando que Sσ∗Sσ∗ é nunca-denso em S∗, tome Vσ ∈ [{an : n ∈ ω}]ω

tal que Vσ∗ ∩ Sσ∗Sσ∗ = ∅.

Terminada a construção, temos que {Vσ∗ : δ ≤ σ < ω1} é uma família de fechados de S∗ com a

p.i.f. (de fato é uma família decrescente). Logo tome q ∈⋂δ≤σ<ω1

Vσ∗. Vale que q ∈ A∗.

Afirmação: q /∈ S∗S∗. Suponha p, r ∈ S∗ tais que q = p · r. Como A ∈ q e |A| = ω, e Uω1 é ideal

pelo Teorema 3.10, temos que ‖p‖ = ‖r‖ = ω. Logo tome B ∈ p, C ∈ r enumeráveis, e tome σ < ω1


tal que B ∪ C ⊂ Sσ. Logo p ∈ B∗ ⊂ Sσ∗ e r ∈ C∗ ⊂ Sσ

∗, de forma que q ∈ Vσ∗ ∩ Sσ∗Sσ∗, uma

contradição.

Por fim, assuma MA(ω1). Suponha por absurdo que A∗ ⊂ cl S∗S∗. Foi observado acima que⋂δ≤σ<ω1

Vσ∗ 6= ∅. Pelo Teorema 3.20 com D = A, temos que intA∗(

⋂δ≤σ<ω1

Vσ∗) 6= ∅, logo tome

B ∈ [A]ω tal que B∗ ⊂⋂δ≤σ<ω1

Vσ∗. B∗ ⊂ cl S∗S∗ e B∗ é aberto, logo B∗ ∩ S∗S∗ 6= ∅. Porém,

um q ∈ B∗ ∩ S∗S∗ gera a mesma contradição feita logo acima. �

Note que, no exemplo dado pelo Teorema 3.7, S é um semigrupo cancelativo de cardinalidade c

tal que S∗S∗ não é nunca-denso em S∗. O Teorema acima nos diz que, sob a hipótese do contínuo,

S∗\S∗S∗ é denso.

Quase todos os teoremas sobre a raridade de S∗S∗ ou a densidade de S∗\S∗S∗ exigem que S

seja cancelativo à direita. Veremos agora que de fato não se pode enfraquecer esta hipótese de

maneira significativa.

Teorema 3.22. Existe um semigrupo enumerável, cancelativo à esquerda e fracamente cancelativo

à direita S tal que S∗S∗ possui interior não-vazio em S∗.

Demonstração. Seja L = {xn : n ∈ N} ∪ {zn : n ∈ N} ∪ {y} com os xn e zn todos distintos entre si

e de y. Considere S = {a1 . . . at : a1, . . . , at ∈ L e se i ∈ {1, . . . , t− 1}, ai = xn e ai+1 = zm, então

n ≥ m}. Defina então, para u, v ∈ S, com u = a1 . . . at e v = b1 . . . bs, u · v como a concatenação de

u e v, exceto se at = xn e b1 = zm com n < m; nesse caso, u · v = a1 . . . at−1yb1 . . . bs.

Verifiquemos que · é associativa: sejam u, v, w ∈ S, u = a1 . . . at, v = b1 . . . bs e w = c1 . . . cr.

Caso 1: b1 = zm para algum m ∈ N e bs = xn′ para algum n′ ∈ N.

Caso 1a: at 6= xn para todo n < m e c1 6= zm′ para todo m′ > n′. Nesse caso, u · (v · w) e

(u · v) · w são a concatenação de u, v e w, logo são iguais.

Caso 1b: at = xn para algum n < m e c1 6= zm′ para todo m′ > n′. Temos

u · (v · w) = (a1 . . . at) · (b1 . . . bsc1 . . . cr)

= a1 . . . at−1yb1 . . . bsc1 . . . cr

= (a1 . . . at−1yb1 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= (u · v) · w.

Caso 1c: at 6= xn para todo n < m e c1 = zm′ para algum m′ > n′. Temos

u · (v · w) = (a1 . . . at) · (b1 . . . bs−1yc1 . . . cr)

= a1 . . . atb1 . . . bs−1yc1 . . . cr

= (a1 . . . atb1 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= (u · v) · w.


Caso 1d: at = xn para algum n < m e c1 = zm′ para algum m′ > n′. Temos

u · (v · w) = (a1 . . . at) · (b1 . . . bs−1yc1 . . . cr)

= a1 . . . at−1yb1 . . . bs−1yc1 . . . cr

= (a1 . . . at−1yb1 . . . bs) · (c1 . . . cr)

= (u · v) · w.

Caso 2: b1 6= zm para todo m ∈ N e bs = xn′ para algum n′ ∈ N.

Caso 2a: c1 6= zm′ para todo m′ > n′. Nesse caso, u · (v · w) e (u · v) · w são a concatenação

de u, v e w, logo são iguais.

Caso 2b: c1 = zm′ para algum m′ > n′. Este caso é análogo ao caso 1c.

Caso 3: b1 = zm para algum m ∈ N e bs 6= xn′ para todo n′ ∈ N.

Caso 3a: as 6= xn para todo n < m. Nesse caso, u · (v ·w) e (u · v) ·w são a concatenação de

u, v e w, logo são iguais.

Caso 3b: as = xn para algum n < m. Este caso é análogo ao caso 1b.

Caso 4: b1 6= zm para todo m ∈ N e bs = xn′ para todo n′ ∈ N. Nesse caso, u · (v · w) e (u · v) · w

são a concatenação de u, v e w, logo são iguais.

Agora, vejamos que S é cancelativo à esquerda: sejam u, v, w ∈ S, u = a1 . . . at, v = b1 . . . bs e

w = c1 . . . cr. Suponha que u ·v = u ·w. Se at 6= xn para todo n ∈ N, u ·v e u ·w são concatenações,

logo v = w. Suponha então que at = xn para algum n ∈ N.

Caso a: b1 6= zm para todo m > n e c1 6= zm′ para todo m′ > n. Nesse caso, u · v e u · w são

concatenações, logo v = w.

Caso b: b1 = zm para algum m > n e c1 6= zm′ para todo m′ > n. Temos

u · v = a1 . . . at−1yb1 . . . bs e

u · w = a1 . . . at−1atc1 . . . cr.

Note que isso implica que at = y. Absurdo, pois at = xn.

Caso c: b1 6= zm para todo m > n e c1 = zm′ para algum m′ > n. Analogamente ao caso b, temos

um absurdo.

Caso d: b1 = zm para algum m > n e c1 = zm′ para algum m′ > n. Temos

u · v = a1 . . . at−1yb1 . . . bs e

u · w = a1 . . . at−1yc1 . . . cr.

Segue que s = r e bi = ci para todo i ∈ {1, . . . , s}.


Agora, veremos que S é fracamente cancelativo à direita. Sejam w, t ∈ S. Devemos ver que

{s ∈ S : s · w = t} é finito. Caso seja vazio, é finito. Suponha não-vazio, e tome u ∈ S tal que

u ·w = t. O conjunto em questão pode ser descrito como {s ∈ S : s ·w = u ·w}. Seja v ∈ S tal que

v · w = u · w. Considerando u = a1 . . . at, v = b1 . . . bs e w = c1 . . . cr, temos: se c1 6= zm para todo

m ∈ N, u · w e v · w são concatenações, e portanto v = u; ou seja, {s ∈ S : s · w = u · w} = {u}.

Suponha agora que c1 = zm para algum m ∈ N.

Caso a: at 6= xn para todo n < m. Dois subcasos: se bs 6= xn′ para todo n′ < m, então u · w e

v · w são concatenações, logo v = u. Caso bs = xn′ para algum n′ < m, temos

u · w = a1 . . . atc1 . . . cr e

v · w = b1 . . . bs−1yc1 . . . cr.

Isso implica que s = t e bi = ai para todo i ∈ {1, . . . , t− 1}.

Portanto, neste caso, {s ∈ S : s · w = u · w} ⊂ {u} ∪ {a1 . . . at−1xn′ : n′ < m}.

Caso b: at = xn para algum n < m. Dois subcasos: se bs 6= xn′ para todo n′ < m, temos

u · w = a1 . . . at−1yc1 . . . cr e

v · w = b1 . . . bsc1 . . . cr.

Isso implica que s = t, bi = ai para todo i ∈ {1, . . . , t− 1}, e bs = y.

Por outro lado, se bs = xn′ para algum n′ < m, temos

u · w = a1 . . . at−1yc1 . . . cr e

v · w = b1 . . . bs−1yc1 . . . cr.

Isso implica que s = t e bi = ai para todo i ∈ {1, . . . , t− 1}.

Portanto, neste caso, {s ∈ S : s · w = u · w} ⊂ {u, a1 . . . at−1y} ∪ {a1 . . . at−1xn′ : n′ < m}.

O resultado do teorema já implica que S não é cancelativo à direita. Mas isso pode ser diretamente

observado: x1z3 = yz3 = x2z3 – e de fato, dado m ∈ N, xnzm = xn′zm para todos n, n′ < m.

Defina agora A = {yzm : m ∈ N}. Note que A é infinito. Afirmação: A∗ ⊂ S∗S∗. Seja p ∈ A∗.

Para cada B ∈ p, defina CB = {zm : yzm ∈ B}; A∩B ∈ p, logo é infinito, e portanto CB também é

infinito. Além disso, note que dados B1, B2 ∈ p, CB1 ∩ CB2 = {zm : yzm ∈ B1 ∩B2} = CB1∩B2 , de

forma que {CB : B ∈ p} possui a ω-p.i.f., o que nos permite tomar q ∈ S∗ tal que {CB : B ∈ p} ⊂ q.

Tome também r ∈ {xn : n ∈ N}∗. Afirmação: p = r · q. Basta ver que p ⊂ r · q, logo seja B ∈ p.

Queremos ver que {s ∈ S : s−1B ∈ q} ∈ r, e para isso mostraremos que {xn : n ∈ N} ⊂ {s ∈ S :

s−1B ∈ q}. Seja n ∈ N então, e defina D = CB ∩ {zm : m > n}. Vale que D ∈ q, e dado zm ∈ D,

xnzm = yzm ∈ B, e assim D ⊂ xn−1B, completando a demonstração. �

3.2. CANCELABILIDADE À DIREITA EM βS 77

3.2 Cancelabilidade à direita em βS

Esta seção tem início na continuação do estudo do artigo "The Scarcity of Products in βS\S",

Seção 4. Como o tema é diverso das Seções 2 e 3 do artigo, e requer resultados de grupos abelianos,

merece uma seção em separado nesta dissertação. Todo o material necessário sobre grupos abelianos

se encontra no Apêndice A.

Dado X espaço topológico, denotamos por Xd o conjunto X com a topologia discreta.

Iniciaremos por um lema que nos dá uma caracterização manuseável de cancelabilidade à direita.

Lema 3.23. Seja S semigrupo infinito. Dado p ∈ βS, p é cancelável à direita se e somente se para

todo A ⊂ S existe B ⊂ S tal que A = {x ∈ S : x−1B ∈ p}.

Demonstração. (⇒): p é cancelável à direita se e só se ρp é injetora, e isto implica que

ρp : βS → βS · p é um homeomorfismo. Logo, dado A ⊂ S, temos pelo Teorema 1.26(i) que existe

B ⊂ S tal que A · p = B ∩ βS · p, já que A · p é um clopen de βS · p. Agora, seja x ∈ S: vale que

x ∈ A ⇔ x · p ∈ A · p, já que p é cancelável à direita; e x · p ∈ A · p ⇔ x · p ∈ B ⇔ x−1B ∈ p.

Portanto A = {x ∈ S : x−1B ∈ p}.

(⇐): Suponha s, r ∈ βS distintos, e tome A ∈ r\s. Tome B ⊂ S tal que A = {x ∈ S : x−1B ∈ p}.

Então B ∈ r · p\s · p. �

Teorema 3.24. Seja S semigrupo infinito e seja T semigrupo com identidade e. Seja p ∈ (S×{e})∗

cancelável à direita em β(S × {e}). Então p é cancelável à direita em β(S × T ).

Demonstração. Usaremos o Lema acima. Seja A ⊂ S × T . Note que a projeção π2 : S × T → T se

extende a um homomorfismo contínuo π2 : β(S × T )→ βT .

Para cada t ∈ T , seja Ct = {x ∈ S : (x, t) ∈ A}. Pelo Lema 3.23, seja Bt ⊂ S tal que Ct × {e} =

{(s, e) ∈ S×{e} : (s, e)−1(Bt×{e}) ∈ p}; temos então que para todo s ∈ S, (s, e) · p ∈ Bt × {e} ⇔

(s, e)−1(Bt × {e}) ∈ p⇔ (s, e) ∈ Ct × {e} ⇔ s ∈ Ct ⇔ (s, t) ∈ A.

Defina B =⋃t∈T Bt × {t}. Vale que Bt × {t} = {x ∈ B : π2(x) = t}, pois se Bt × {t} ∈ x, por

continuidade π2(x) = t; e se B\(Bt×{t}) ∈ x, como t é um ponto isolado de βT e π2[B\(Bt×{t})] =

T\{t}, segue que π2(x) 6= t.

Tome agora (vi)i∈D uma rede em S tal que ((vi, e))i∈D converge para p em β(S × T ). Seja (s, t) ∈

S × T . Mostraremos que (s, t)−1B ∈ p⇔ (s, t) ∈ A. Observe que para cada i ∈ D, (s, t) · (vi, e) ∈

Bt×{t} ⇔ (svi, t) ∈ Bt×{t} ⇔ (svi, e) ∈ Bt×{e} ⇔ (s, e) · (vi, e) ∈ Bt×{e}. Como λ(s,t) e λ(s,e)

são contínuas sobre β(S×T ), vale que (s, t) ·p = limi∈D(s, t) ·(vi, e); e (s, e) ·p = limi∈D(s, e) ·(vi, e);

de forma que, pelas observações anteriores, (s, t) · p ∈ Bt × {t} ⇔ (s, e) · p ∈ Bt × {e}. Por fim,

note que π2((s, t) · p) = limi∈D π2((s, t) · (vi, e)) = limi∈D π2(svi, t) = t.


Temos então: (s, t)−1B ∈ p⇔ (s, t) · p ∈ B ⇔ (s, t) · p ∈ Bt × {t} ⇔ (s, e) · p ∈ Bt × {e} ⇔ (s, t) ∈

A. �

Devido a este teorema, temos que se p ∈ N∗ é cancelável à direita em (βN,+) e T é um semigrupo

com identidade e, e q ∈ β(N × T ) é tal que p = {A ⊂ N : A × {e} ∈ q}, então q é cancelável em

β(N × {e}), e, portanto, em β(N × T ). Mas por outro lado, existe p ∈ N∗ cancelável à direita em

βN que não é cancelável à direita em βZ. A construção deste será dada abaixo:

Tome, pelo Teorema 1.35 q idempotente em Z∗ tal que q ∈⋂k≥1 (FS(3t)t≥k).

Defina −q := {−A : A ∈ q} ∈ Z∗, e considere p = −q + q. Como, pelo Lema 2.11, N∗ é ideal

à esquerda de βZ, p ∈ N∗. Agora veremos que −q também é idempotente. Seja A ∈ q, de

modo que −A ∈ −q. Queremos ver que −A ∈ (−q) + (−q), isto é, que {x ∈ N : −x + (−A) ∈

−q} ∈ −q. Note que, dado y ∈ N, se −y + A ∈ q, então −(−y + A) = y + (−A) ∈ q; de

modo que −y ∈ {x ∈ N : −x + (−A) ∈ −q}. Portanto, usando que q é idempotente, temos que

−{y ∈ N : −y + A ∈ q} ⊂ {x ∈ N : −x + (−A) ∈ −q} e logo {x ∈ N : −x + (−A) ∈ −q} ∈ −q,

como queríamos.

Assim, −q + p = −q + (−q) + q = −q + q = p, e portanto p não é cancelável à direita em βZ – se

não 1 + (−q) + p = 1 + p⇒ 1 + (−q) = 1, o que é absurdo.

Porém, suponha que p não seja cancelável à direita em βN e tome pelo Lema 2.41 um z ∈ N∗ tal

que p = z + p – ou seja, −q + q = z + (−q) + q. Considere agora

A =

{∑t∈F

3t −∑t∈H

3t + k : k ∈ N, F,H ∈ Pf (N), minF > maxH + 1, e k < 3minH−1

}e

B =

{∑t∈F

3t −∑t∈H

3t : F,H ∈ Pf (N) e minF > maxH + 1

}.

Usaremos agora o Teorema 1.31(d) para ver que B ∈ −q + q e que A ∈ z + (−q) + q. Seja Q =

−FS((3t)t≥1) ∈ −q, e, para cada b = −∑

t∈H 3t ∈ Q, seja Bb ={∑

t∈F 3t : minF > maxH + 1}

=

FS((3t)t>maxH+1) ∈ q. Claramente, temos que⋃b∈Q b + Bb ⊂ B. E para cada k ∈ N, seja

Ak ={∑

t∈F 3t −∑

t∈H 3t : F,H ∈ Pf (N), minF > maxH + 1, e k < 3minH−1}; pode-se verificar

que cada Ak ∈ −q+ q similarmente a como vimos que B ∈ −q+ q – usando também dessa vez que

FS((3t)t>dlog3 k+1e) ∈ q. Segue então que⋃k∈N k +Ak ⊂ A, satisfazendo a condição.

Por fim, para chegar a uma contradição, veremos que A ∩ B = ∅. Para isso analisaremos a

descrição de elementos de B na expansão ternária. Descreva∑

t∈F 3t −∑

t∈H 3t =maxF∑t=minH

at3t

a expansão ternária de um elemento de B, com at ∈ {0, 1, 2} para todo t. Note que a condição

maxF > minH + 1 implica que at ∈ {0, 1} para todo t ≥ minF ; que aminF−1 = 2; que at ∈ {1, 2}

para todo minH ≤ t ≤ minF−1; e que aminH = 2. Portanto, na expansão ternária de um elemento

de B, temos que os dígitos ternários entre o 2 de menor posição e o 2 de maior posição são 1’s e


2’s; e que o dígito 2 de menor posição é o menor dígito não-nulo. Agora, um elemento de A é um

elemento da forma acima somado a k < 3minH−1; seja∑

t∈K at3t a expansão ternária de k. Temos

que maxK < minH − 1, de forma que: se aminK 6= 2, então pela descrição acima o elemento de A

não pertence a B pois o menor dígito ternário não-nulo não é 2; e se aminK = 2, como aminK+1 = 0,

e aminH = 2, temos um dígito 0 entre o 2 de menor posição e o 2 de maior posição, novamente

implicando que o elemento de A não pertence a B. Destarte, A ∩B = ∅.

Por outro lado, o Teorema 3.24 nos provê o seguinte:

Corolário 3.25. Seja G um grupo abeliano e H < G divisível. Então todo elemento cancelável à

direita de βH é cancelável à direita em βG.

Demonstração. Pelo Teorema A.10, existe L < G tal que G = H ⊕L, de forma que o Teorema 3.24

se aplica. �

Corolário 3.26. Todo elemento cancelável à direita em βQd é cancelável à direita em βRd, e todo

elemento cancelável à direita em βRd é cancelável à direita em βCd.

Demonstração. Use o corolário acima e o fato de que Q e R são divisíveis. �

Agora, um teorema sobre a estrutura de S∗ quando S é comutativo e cancelativo.

Teorema 3.27. Seja (S,+) um semigrupo comutativo cancelativo e seja G o seu grupo de diferenças

(isto é, o menor grupo que contém S). Seja H um grupo abeliano que contém S (e portanto contém

G). Então existe V ⊂ S∗ satisfazendo:

(a) V é aberto denso de S∗ e todo elemento de V é cancelável à direita em βH.

(b) Dados v1, v2 ∈ V , (βH + v1) ∩ (βH + v2) 6= ∅ se e somente se (S + v1) ∩ (S + v2) 6= ∅.

(c) Defina ∼ uma relação de equivalência sobre S∗ por: p ∼ q se e só se (S + p) ∩ (S + q) 6= ∅.

Dados k,m ∈ N e p1, . . . , pm, q1, . . . , qk ∈ V , se p1 + · · · + pm ∼ q1 + · · · + qk, então k = m e

pt ∼ qt para cada t ∈ {1, . . . ,m}.

Demonstração. (a): Pelo Teorema A.3, H pode ser imerso em um grupo divisível, logo assumiremos

que o próprioH é divisível. Seja V = {A ⊂ [S]ω : A∗∩(H∗+H∗) = ∅} e defina U =⋃{A∗ : A ∈ V}.

U é aberto. Para ver que U é denso em S∗, seja B ∈ [S]ω. Pelo Teorema 3.4, B∗\cl(H∗+H∗) 6= ∅,

logo como é aberto tome A ∈ [S]ω tal que A∗ ⊂ B∗\cl(H∗ + H∗). Vale também que A∗ ⊂ U ,

mostrando que U ∩B∗ 6= ∅.

Seja V =⋃{U ∩ D∗ : D é um subgrupo divisível enumerável de H}. Vale que V é aberto. Para

ver que é denso, seja B ∈ [S]ω. Pelo Teorema A.18, tome D < H divisível enumerável que contém

B. Temos então, usando que U é denso, que ∅ 6= U ∩ B∗ ⊂ U ∩D∗ ⊂ V . Por fim, note que cada


p ∈ V é tal que ‖p‖ = ω e p /∈ (H∗ +H∗).

Para ver que cada p ∈ V é cancelável, tome D < H divisível enumerável tal que p ∈ U ∩ D∗.

p /∈ (H∗ +H∗), em particular p /∈ (D∗ +D∗), logo pelo Lema 2.41, p é cancelável à direita em βD.

Pelo Corolário 3.25, p é cancelável à direita em βH.

(b): Sejam v1, v2 ∈ V . Como existem D1, D2 < H divisíveis enumeráveis tais que D1 ∈ v1 e

D2 ∈ v2, tome pelo Lema A.18 D < H divisível enumerável tal que D1 ∪ D2 ⊂ D; temos que

D ∈ v1 ∩ v2. Pelo Teorema A.10, existe E < H tal que H = D ⊕ E. Seja πD a projeção de H

em D, e seja πD : βH → βD sua extensão contínua – que também é um homomorfismo. Note

que como πD é a identidade sobre D, segue que πD(v1) = v1 e πD(v2) = v2. Suponha então que

x + v1 = y + v2 para x, y ∈ βH. Temos que πD(x) + v1 = πD(y) + v2, logo D + v1 ∩D + v2 6= ∅.

Como D é enumerável, pelo Teorema 1.26(c), temos sem perda de generalidade que para algum

s ∈ D e algum w ∈ βD, s+ v1 = w + v2; definindo z = −s+ w, temos que v1 = z + v2.

Afirmação: z ∈ βG (isto é, G ∈ z). Suponha que D\G ∈ z. Como foi observado na demonstração

do 3.9(b), como G ∈ v2, D\G + G ∈ z + v2. Porém, dados d ∈ D\G e g ∈ G, d + g ∈ G im-

plicaria que d ∈ G, um absurdo; logo d + g ∈ D\G; e portanto D\G + G ⊂ D\G, de forma que

D\G ∈ z + v2 = v1 ∈ βG, uma contradição. Logo G ∈ z.

E como v1 /∈ (H∗ +H∗), temos que z ∈ G. Como G é o grupo das diferenças de S, tome s1, s2 ∈ S

tais que z = s2 − s1. Segue que s1 + v1 = s2 + v2, como queríamos.

(c):Lembre que pelo Teorema 1.38, H está contido no centro de βH, e pelo 1.40, H∗ é um ideal de

βH.

Provaremos por indução, ou melhor, pela boa ordem: sejam p1, . . . , pm, q1, . . . , qk ∈ V um contra-

exemplo para a afirmação tal que k + m é mínimo, e tome a, b ∈ S tais que a + p1 + · · · + pm =

b+ q1 + · · ·+ qk. Caso k = m = 1, não temos contradição. Caso m = 1 e k > 1, temos a, b ∈ S tais

que a+ p1 = b+ q1 + · · ·+ qk, logo temos que p1 = (b+ q1) + (−a+ q2 + · · ·+ qk) ∈ H∗ +H∗, uma

contradição.

Portanto k,m > 2. Como observado na demonstração do 3.9(b), {p ∈ S∗ : ‖p‖ = ω} é um subse-

migrupo, logo podemos tomar A,B ∈ [S]ω tais que A ∈ p1 + · · ·+ pm−1 e B ∈ q1 + · · ·+ qk−1, de

modo que a+A+ pm ∩ b+B + qk 6= ∅, e portanto pelo 1.26(c), temos duas opções:

(1): existem c ∈ A e d ∈ B tais que a+ c+ pm = b+ d+ qk;

(2): existem c ∈ A∗ e d ∈ B tais que a+ c+ pm = b+ d+ qk.

Caso valesse (2), teríamos que qk = (a + c) + (pm − b − d) ∈ H∗ + H∗, uma contradição. Logo

vale (1), e pm = (b + d) + (qk − a − c). Caso d ∈ B∗, teríamos que pm ∈ H∗ + H∗, uma

contradição. Logo d ∈ B, e a + c + pm = b + d + qk, mostrando que pm ∼ qk. Além disso,

a + p1 + · · · + pm−1 + b + d − a − c + qk = a + p1 · · · + pm = b + q1 · · · + qk; como qk é cancelável

à direita pelo item (a), segue que d+ p1 + · · ·+ pm−1 = c+ q1 + · · ·+ qk−1; pela minimalidade de


k +m, segue que k − 1 = m− 1 e pt ∼ qt para todo t ∈ {1, . . . ,m− 1}. �

O Corolário 3.25 junto com o Lema A.18 nos permitem obter mais um resultado envolvendo

enumerabilidade.

Teorema 3.28. Seja G um grupo infinito enumerável, subgrupo de um grupo abeliano (H,+).

Então todo elemento de βG que é cancelável à direita em βG também é cancelável à direita em βH.

Demonstração. Seja p ∈ βG cancelável à direita. Em primeiro lugar, se p ∈ G, então p ∈ H, logo p

é cancelável à direita em βH (pois estamos num grupo, logo p é cancelável à direita em H, ou seja

ρp∣∣H

é injetora, portanto ρp é injetora sobre βH, ou seja p é cancelável à direita em βH).

Suponha então que p ∈ H∗. Pelo Teorema A.3, tome K grupo divisível em que H está imerso.

βH ⊂ βK, logo basta ver que p é cancelável à direita em βK. Pelo Lema A.18, tome D < K

divisível enumerável tal que G ⊂ D. Pelo Corolário 3.25, basta ver que p é cancelável à direita

em βD. Suponha, portanto, que p não é cancelável à direita em βD. p ∈ D∗, logo tome pelo

Lema 2.41 q ∈ D∗ tal que p = q + p. G ∈ p, logo {x ∈ D : −x + G ∈ p} ∈ q. Vejamos que

{x ∈ D : −x + G ∈ p} ⊂ G: se −x + G ∈ p, então (−x + G) ∩ G ∈ p, logo tome g ∈ G tal que

−x+ g ∈ G; segue que x ∈ G. Assim, vale que G ∈ q, de forma que p ∈ G∗ + p, e portanto p não é

cancelável à direita em G; contradição. �

Para encerrar o estudo do artigo [9], o teorema a seguir diz que, por exemplo, existem 22c

ultrafiltros sobre R que são canceláveis à direita em βRd e que convergem para um ponto fixado de

R com respeito à topologia usual.

Teorema 3.29. Seja S um semigrupo cancelativo à direita e fracamente cancelativo à esquerda

com |S| = κ ≥ ω. Seja τ um topologia sobre S e x ∈ S tal que existe uma base local para x, C, tal

que |C| ≤ κ e |C| = κ para todo C ∈ C. Então existe um conjunto P ⊂ βSd, |P | = 22κ de elementos

canceláveis à direita que convergem para x com respeito a τ .

Demonstração. Note que como C é base local e |C| = κ para todo C ∈ C, então C possui a κ-p.i.f.,

assim podemos aplicar o Teorema 3.14. Os itens (c) e (d), junto com o “Além disso” do enunciado,

garantem o resultado desejado. �


3.3 Cópias de H em S∗

Esta seção mostra que certas condições de cancelabilidade sobre S implicam na existência de

cópias do semigrupo H em S∗. Ela foi retirada da Seção 6.3 do livro [1], e é usada na seção 2.4

desta dissertação.

Teorema 3.30. Sejam S um semigrupo e (xn)n≥1 uma sequência em S com produtos finitos distin-

tos. Seja T =⋂m≥1 FP ((xn)n≥m). Então T é um subsemigrupo de βS algébrica e topologicamente

isomorfo a H.

Demonstração. Pelo Teorema 3.17, T é um subsemigrupo. Definimos f : FP (xn)n≥1 → 2N por

f(∏

n∈F xn)

=∑

n∈F 2n para cada F ∈ Pf . Como (xn)n≥1 possui produtos finitos distintos, f

está bem-definida; além disso é sobrejetora e injetora. Portanto f : FP ((xn)n≥1) → β(2N) é uma

bijeção contínua entre compactos Hausdorff, e portanto é um homeomorfismo. Mostraremos então

que f |T é um homomorfismo de T sobre H.

Considere Tm = FP ((xn)n≥m). Observe que f [Tm] = 2mN. Usando que f é um homeomorfismo,

temos que: f [T ] = f[⋂

m≥1 Tm

]=⋂m≥1 f

[Tm]

=⋂m≥1 f [Tm] =

⋂m≥1 2mN = H. Para ver que

f |T é homomorfismo, basta, pelo Teorema 1.36, ver que para cada s ∈ FP ((xn)n≥1) existe m ∈ N

tal que, para todo t ∈ FP ((xn)n≥m), f(st) = f(s) + f(t). Seja então s ∈ FP ((xn)n≥1) e tome

F ∈ Pf (N) tal que s =∏n∈F xn. Observe então que m = maxF + 1 cumpre o papel desejado. �

Lema 3.31. Seja S um semigrupo infinito e fracamente cancelativo à esquerda. Sejam I o conjunto

das identidades à direita de S, κ ≤ |S| um cardinal e (sλ)λ<κ uma κ-sequência injetora em S. Dado

T ⊂ S de cardinalidade κ, então existe um κ-sequência injetora (tλ)λ<κ em T tal que

(a) dado µ < κ, tµ /∈ FP ((tι)ι<µ);

(b) dados λ < µ < κ e u, v ∈ I ∪ {sι : ι < µ} ∪ FP ((tι)ι<µ), u 6= vtµ e utλ 6= vtµ; e

(c) I ∩ FP ((tι)ι<κ) = ∅.

Demonstração. Para cada u, v ∈ S, defina Au,v = {x ∈ S : u = vx}. Como S é fracamente

cancelativo à esquerda, cada Au,v é finito. Isso implica que I é finito, pois I ⊂ Au,u para qualquer

u ∈ S.

(tλ)λ<κ será construída indutivamente. Primeiramente tomamos t0 ∈ T\I qualquer. Valem (a),

(b) e (c) com 0 no lugar de κ. Suponha então que definimos (tι)ι<ν para algum ν < κ de forma

que valham (a), (b) e (c) com ν no lugar de κ. Defina G = I ∪ {sι : ι < µ} ∪ FP ((tι)ι<µ),

H = G ∪ {utλ : u ∈ G e λ < ν}, e K =⋃u,v∈H Au,v. Note que |G| < κ, de forma que |H| < κ

e assim |K| < κ. Portanto, existe tν ∈ T\(H ∪K). Como tν /∈ G, vale (a). Para ver (b), sejam

3.3. CÓPIAS DE H EM S∗ 83

u, v ∈ G e λ < ν. Como tν /∈ Au,v ∪Autλ,v, então u 6= vtν e utλ 6= vtν . Por fim, dado u ∈ I, tν 6= u

pois tν /∈ G e dado v ∈ FP ((tι)ι<ν , tν /∈ Au,v logo u 6= vtν , de forma que vale (c). �

Lema 3.32. Seja S um semigrupo cancelativo à direita e fracamente cancelativo à esquerda. Seja

T ⊂ S infinito, e seja κ = |T |. Então existe uma κ-sequência (tλ)λ<κ em T que possui produtos

finitos distintos.

Demonstração. Seja (sλ)λ<κ uma κ-sequência injetora em S, e tome (tλ)λ<κ κ-sequência garantida

pelo Lema 3.31. Afirmamos que (tλ)λ<κ possui produtos finitos distintos. Suponha que não, e sejam

F,G ∈ Pf (κ) distintos tais que∏λ∈F tλ =

∏λ∈G tλ, com |F ∪G| mínimo entre tais contraexemplos.

Sem perda de generalidade, maxF ≤ maxG = µ. Suponha que maxF < maxG: isso contradiz o

item (a) do Lema 3.31 caso G = {µ}, e o item (b) caso contrário. Logo maxF = µ. Caso |F |, |G| >

1, poderíamos cancelar tµ à direita e obter um contraexemplo que contradiria a minimalidade de

|F ∪ G|. Logo, sem perda de generalidade, |F | = 1. Note que |G| = 1 implicaria F = G. Logo

|G| > 1, e podemos considerar x =∏λ∈G\{µ} tλ. Temos então que tµ =

∏λ∈F tλ =

∏λ∈G tλ = xtµ;

logo, para todo s ∈ S, stµ = sxtµ; cancelando à direita obtemos s = sx, para todo s ∈ S; ou seja,

x ∈ I. Isso contradiz o item (c) do Lema 3.31. �

Teorema 3.33. Seja S um semigrupo infinito, cancelativo à direita e fracamente cancelativo à

esquerda. Seja A ⊂ S∗ um Gδ que possui um idempotente. Então A contém uma cópia algébrica e

topológica de H.

Demonstração. Seja p ∈ A idempotente. Seja (Am)m≥1 é uma sequência decrescente de subcon-

juntos de S tal que⋂m≥1Am ⊂ A. Construiremos uma sequência (xn)n≥1 em S tal que, para

cada m ≥ 1, FP ((xn)n≥m) ⊂ Am?(p). Inicie tomando x1 ∈ A1

?(p) qualquer. Agora, suponha

x1, . . . , xk escolhidos de forma que, para cada i ∈ {1, . . . , k}, FP ((xn)i≤n≤k) ⊂ Ai?(p). Temos que

A?k+1(p) ∈ p pois p é idempotente, e pelo Teorema 1.33, para cada i ∈ {1, . . . , k} e para cada y ∈

FP ((xn)i≤n≤k), y−1(Ai?(p)) ∈ p. Desta forma, podemos tomar xk+1 ∈ Ak+1

?(p)∩⋂{y−1(Ai

?(p)) :

i ∈ {1, . . . , k} e y ∈ FP ((xn)i≤n≤k)}\{x1, . . . , xk}. Dessa forma, para cada i ∈ {1, . . . , k + 1},

FP ((xn)i≤n≤k) ⊂ Ai?(p).

Agora, aplicando o Lema 3.32, com T = {xn : n ∈ N}, obtemos uma sequência (tn)n≥1 em

T que possui produtos finitos distintos; (tn)n≥1 é em particular injetora, logo podemos refiná-la

a uma subsequência (sn)n≥1 que também é uma subsequência de (xn)n≥1. Assim, sendo sub-

sequência de (tn)n≥1, (sn)n≥1 possui a unicidade dos produtos finitos; e sendo subsequência de

(xn)n≥1, vale que para cada m ≥ 1, FP ((sn)n≥m) ⊂ FP ((xn)n≥m) ⊂ Am?(p) ⊂ Am. Dessa forma,⋂m≥1 FP ((sn)n≥m) ⊂

⋂m≥1Am ⊂ A. E o Teorema 3.30 nos diz que

⋂m≥1 FP ((sn)n≥m) é uma

cópia algébrica e topológica de H, pois (sn)n≥1 possui a unicidade dos produtos finitos. �


3.4 O Teorema de Zelenyuk

Esta seção apresenta todos os passos necessários para se obter o Teorema de Zelenyuk: não

existem subgrupos finitos não-triviais em βN. Aqui, por “subgrupo trivial” queremos dizer grupos

unitários formados por um idempotente. Este é um resultado surpreendente, e vai ao encontro da

tendência a ser cada vez mais fácil encontrar subgrupos quanto maior é sua cardinalidade exigida:

o Teorema 3.17 junto com o 3.32 diz que existem muitas cópias do grupo livre sobre 22κ geradores

em S∗ para S cancelativo à direita e fracamente cancelativo à esquerda. Note também que para

qualquer p ∈ N∗ idempotente, Z + p é uma cópia algébrica de Z. O Teorema de Zelenyuk, um

resultado de Yevhen Zelenyuk de 1996, pôs fim às indagações sobre subgrupos finitos.

O artigo original ([12]) é em russo, e por isso apresentamos aqui a prova como é apresentada na

seção 7.1 do livro [1]. Esta seção está no capítulo sobre βS, e não sobre βN, pois o enunciado do

Teorema de Zelenyuk é abrangente: se G é um grupo enumerável sem subgrupos finitos não-triviais,

então G∗ não possui subgrupos finitos não-triviais.

Definição 3.34. Seja G um grupo. Uma topologia τ em G é dita ser invariante à esquerda se para

todo U ∈ τ e todo a ∈ G, a · U ∈ τ .

Observações:

Uma topologia em G é invariante à esquerda se e somente se λa é um homeomorfismo para todo

a ∈ G, pois: Se λa é homeomorfismo para todo a ∈ G, então dado U aberto, a ·U = λa[U ] é aberto.

E se a · U = λa[U ] é aberto para todo a ∈ G e todo U aberto, então temos que λa é uma função

aberta; e como (λa)−1 = λa−1 , para todo U aberto vale que λa−1[U ] é aberto, logo λa é contínua;

como λa é bijetora, ela é homeomorfismo.

E λa é homeomorfismo para cada a ∈ G se e somente se (G, ·, τ) é um grupo topológico à

esquerda, pois: Se λa é homeomorfismo para todo a ∈ G, em particular λa é contínua para cada

a ∈ G, logo G é topológico à esquerda. Por outro lado se G é topológico à esquerda, então λa é

contínua para todo a ∈ G; em particular, dado a ∈ G, λa e λa−1 = (λa)−1 são contínuas, logo λa é

um homeomorfismo.

Definição 3.35. (a) F denotará o semigrupo livre sobre as letras 0 e 1, com identidade ∅.

(b) Dados m ∈ ω e i ∈ m + 1, smi denotará o elemento de F formado por i 0’s seguido de m − i

1’s. Ou seja, formalmente, dom(smi ) = {1, . . . ,m}, smi (k) = 0 caso 1 ≤ k ≤ i e smi (k) = 1 caso

i < k ≤ m. Também definimos um = smm (de forma que u0 = s00 = ∅).

(c) Dado s ∈ F , l(s) = |dom(s)| denotará o comprimento de s, e supp(s) = {i ∈ {1, . . . , l(s)} :

s(i) = 1}.

(d) Dados s, t ∈ F , diremos que s << t se max supp(s) + 1 < min supp(t).

3.4. O TEOREMA DE ZELENYUK 85

(e) Dados s, t ∈ F , definimos s + t ∈ F por l(s + t) = max{l(s), l(t)} e (s + t)(i) = 1 se e só se

s(i) = 1 ou t(i) = 1.

O próximo lema mostra que tais smi são os blocos básicos que compõem os elementos de F .

Lema 3.36. (a) A operação + definida em F acima é associativa e comutativa.

(b) Dados k ∈ N, e 0 ≤ i0 < m0 < i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk, considere t = sm0i0

+ · · ·+ smkik . Então

dado j ∈ {0, . . . , k} e dado l tal que 0 ≤ l ≤ mj, vale que t(l) = sm0i0

+ · · ·+ smjij

(l).

(b’) Dados k ∈ N, e 0 ≤ i0 < m0 < i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk, considere t = sm0i0

+ · · ·+ smkik . Então

dado j ∈ {1, . . . , k} e dado l tal que mj−1 < l ≤ mk, vale que t(l) = smjij

+ · · ·+ smkik (l).

(c) Cada t ∈ F possui um representação única na forma t = sm0i0

+ · · · + smkik com 0 ≤ i0 < m0 <

i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk (caso k = 0, a exigência é 0 ≤ i0 ≤ m0).

Demonstração. (a): Isso segue da associatividade e comutatividade do operador max e do operador

lógico “ou”.

(b): Pela definição, t(l) = 1 se e somente se existe r ∈ {0, . . . , k} tal que smrir (l) = 1. Como

l ≤ mj < ij+1 < · · · < ik, então smrir (l) = 0 para r ∈ {j + 1, . . . , k}. Logo, resta que t(l) = 1 se e

somente se smrir (l) = 1 para algum 0 ≤ r ≤ j, ou seja, t(l) = 1 se e somente se sm0i0

+ · · ·+smjij (l) = 1.

Como consequência, t(l) = 0 se somente se sm0i0

+· · ·+smjij (l) = 1; portanto, t(l) = sm0i0

+· · ·+smjij (l).

(b’): Pela definição, t(l) = 1 se e somente se existe r ∈ {0, . . . , k} tal que smrir (l) = 1. Como i0 <

m0 < i1 < m1 < · · · < ij−1 < mj−1 < l, então smrir não está definido em l para r ∈ {0, . . . , j − 1}.

Logo, resta que t(l) = 1 se e somente se smrir (l) = 1 para algum j ≤ r ≤ k, ou seja, t(l) = 1 se e

somente se smjij + · · ·+smkik (l) = 1. Como consequência, t(l) = 0 se somente se smjij + · · ·+smkik (l) = 1;

portanto, t(l) = smjij

+ · · ·+ smkik (l).

(c): Provaremos a existência por indução sobre l(t). (Usaremos com frequência os itens (b) e

(b’).) Caso l(t) = 0, t = ∅, logo t = s00, e caso l(t) = 1, t = 0 ou t = 1, logo t = s1

1 ou

t = s10. Agora suponha l(t) = n + 1 e tome sm0

i0+ · · · + smkik a representação de t|{1,...,n}, com

0 ≤ i0 < m0 < i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk. Observe que n = mk (pois l(sm0i0

+ · · ·+ smkik ) = mk).

Caso t(n) = 0 : temos que smkik (mk) = 0, logo ik = mk.

Subcaso t(n+ 1) = 0 : basta verificar que t = sm0i0

+ · · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk+1. Claramente se 0 ≤

l ≤ mk−1, t(l) = sm0i0

+· · ·+smk−1

ik−1(l) = sm0

i0+· · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk+1(l). Semk−1 < l ≤ mk =

n, então t(l) = sm0i0

+· · ·+smkik (l) = smkmk(l) = 0 = smk+1mk+1(l) = sm0

i0+· · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk+1(l).

Por fim, t(mk + 1) = 0 = smk+1mk+1(mk + 1) = sm0

i0+ · · ·+ s

mk−1

ik−1+ smk+1

mk+1(mk + 1).



+ · · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk. Claramente se 0 ≤

l ≤ mk−1, t(l) = sm0i0

+· · ·+smk−1

ik−1(l) = sm0

i0+· · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk(l). Semk−1 < l ≤ mk =


+· · ·+smkik (l) = smkmk(l) = 0 = smk+1mk

(l) = sm0i0

+· · ·+smk−1

ik−1+smk+1

mk(l).

Por fim, t(mk + 1) = 1 = smk+1mk

(mk + 1) = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ smk+1

mk(mk + 1).

Caso t(n) = 1 : Temos que smkik (mk) = 1, logo ik < mk.


+ · · ·+smk−1

ik−1+smk+1

ik. Claramente se 0 ≤

l ≤ mk−1, t(l) = sm0i0

+· · ·+smk−1

ik−1(l) = sm0

i0+· · ·+smk−1

ik−1+smk+1

ik(l). Semk−1 < l ≤ mk =


+ · · ·+ smkik (l) = smkik (l) = smk+1ik

(l) = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ smk+1

ik(l).

Por fim, t(mk + 1) = 1 = smk+1ik

(mk + 1) = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ smk+1

ik(mk + 1).


+ · · · + smkik + smk+1mk+1 (como ik < mk <

mk + 1, esta é uma representação na forma desejada). Claramente se 0 ≤ l ≤ mk = n,

t(l) = sm0i0

+· · ·+smkik (l) = sm0i0

+· · ·+smkik +smk+1mk+1(l). E t(mk+1) = 0 = smk+1

mk+1(mk+1) =

sm0i0

+ · · ·+ smkik + smk+1mk+1(mk + 1).

Assim, provamos a existência de tal representação. Vejamos a unicidade, usando o princípio da

boa ordem: suponha por absurdo que temos um contraexemplo, ou seja, k, l ∈ ω, 0 ≤ i0 <

m0 < i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk e 0 ≤ j0 < n0 < j1 < n1 < · · · < jl ≤ nl de forma que

sm0i0

+ · · · + smkik = sn0j0

+ · · · + snljl , mas (i0,m0, i1,m1, . . . , ik,mk) 6= (j0, n0, j1, n1, . . . , jl, nl), com

k + l mínimo nessas condições.

Em primeiro lugar, observe que mk = nl, pois esses são os respectivos comprimentos das palavras.

Suponha que ik < jl: temos que 1 = sm0i0

+ · · · + smkik (ik + 1) = sn0j0

+ · · · + smkjl (ik + 1) = 0,

uma contradição. Similarmente, não se pode ter que jl < ik, logo ik = jl. Ou seja, temos que

sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ smkik = sn0

j0+ · · ·+ s

nl−1

jl−1+ smkik .

Caso k = l = 0, i0 = j0 e m0 = n0, ou seja (i0,m0) = (j0, n0), e não temos um contraexemplo.

Logo suponha k = 0 e l > 0. Temos que j0 < n0 < jl = i0, portanto 0 = sm0i0

(j0 + 1) =

sn0j0

+ · · ·+ snljl (j0 + 1) = sn0j0

(j0 + 1) = 1, uma contradição.

Portanto, suponha que k, l > 0. Temos que dado 0 ≤ l ≤ mk−1, vale que sm0i0

+ · · · + smk−1

ik−1(l) =

sm0i0

+ · · · + smk−1

ik−1+ smkik (l) = sn0

j0+ · · · + s

nl−1

jl−1+ smkik (l) = sn0

j0+ · · · + s

nl−1

jl−1(l). Dessa forma,

sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1= sn0

j0+ · · ·+ s

nl−1

jl−1. Como k− 1 + l− 1 < k+ l, a minimalidade de k+ l garante

que (i0,m0, i1,m1, . . . , ik−1,mk−1) = (j0, n0, j1, n1, . . . , jl−1, nl−1). Porém, já provamos que ik = jl

e mk − nl, ou seja, (i0,m0, i1,m1, . . . , ik,mk) = (j0, n0, j1, n1, . . . , jl, nl), e assim não temos um

contraexemplo. Contradição. �

Definição 3.37. (a) Dado t ∈ F , sua representação única na forma t = sm0i0

+ · · ·+smkik , com k ∈ ω

e 0 ≤ i0 < m0 < i1 < m1 < · · · < ik ≤ mk (caso k = 0, a exigência é 0 ≤ i0 ≤ m0), será

chamada de representação canônica de t.


(b) Dado t ∈ F , se t = smi para algum i,m ∈ ω, definimos t′ = ∅ e t∗ = t. Caso contrário, com

t = sm0i0

+ · · ·+ smk+1

ik+1, definimos t′ = sm0

i0+ · · ·+ smkik e t∗ = s

mk+1

ik+1.

(c) Definimos c : F → ω por c(t) = |supp(t)|.

(d) Para cada p ∈ N, definimos gp : F → Zp por gp(t) = [c(t)]p (ou seja, gp(t) é a p-classe de c(t)).

Lembramos que a operação no semigrupo F é a concatenação, denotada por _.

Vale notar que dados s, t ∈ F , se supp(s)∩ supp(t) = ∅, então c(s+ t) = c(s) + c(t) e logo, para

cada p ∈ N, gp(s+ t) = gp(s) + gp(t). Em particular, isso vale caso s << t.

Agora, nos será útil determinar a representação canônica de s+ t quando s << t. Sejam então

s = sm0i0

+ · · ·+ smkik e t = sn0j0

+ · · ·+ snljl as representações canônicas de s e t. Primeiramente, note

que min supp(t) = j0 + 1. Caso ik < mk, temos que max supp(s) = mk, logo mk + 1 < j0 + 1,

assim mk < j0, e portanto sm0i0

+ · · · + smkik + sn0j0

+ · · · + snljl é a representação canônica de s + t.

Porém, caso ik = mk, então temos que max supp(s) = mk−1, logo mk−1 < j0. Se mk < nl, note que

smkmk + t = t, de forma que s+ t = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ sn0

j0+ · · ·+ snljl é a representação canônica de

s+t. E se mk > nl, então sm0i0

+ · · ·+smk−1

ik−1+sn0

j0+ · · ·+snljl +smkmk é a representação canônica de s+t.

Seja t ∈ F , l(t) = n, e defina v = t_1 e w = t_0. Usando sm0i0

+ · · · + smkik a representação

canônica de t, e o lema acima, temos que, caso t(n) = 0, w = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ smk+1

mk+1, de modo

que t = (w′)_(umk+1−mk−1) e w∗ = umk+1; e caso t(n) = 1, w = sm0

i0+ · · ·+ smkik + smk+1

mk+1, de modo

que t = w′ e w∗ = umk+1. E em ambos os casos, v = sm0i0

+ · · · + smk+1ik

, de modo que v′ = t′ e

v∗ = t∗_1.

Em suma: se t ∈ F e l(t) = n, v′ = t′, v∗ = t∗_1, w∗ = un+1 e existe r ∈ ω tal que

t = (w′)_(ur).

Lema 3.38. Sejam G um grupo com identidade e, e X ⊂ G enumerável tal que e ∈ X. Suponha

que G possui uma topologia invariante à esquerda, Hausdorff, e zero dimensional, tal que X não

possui pontos isolados na topologia de subespaço, e que, para todo a ∈ X, a ·X∩X é uma vizinhança

de a em X. Além disso, suponha que p ∈ N e que existe uma função h : X → Zp de forma que, para

cada a ∈ X, existe V (a) uma vizinhança de e em X tal que a · V (a) ⊂ X e h(a · b) = h(a) + h(b)

para todo b ∈ V (a); que h[Y ] = Zp para todo Y aberto de X; e que V (e) = X.

Então é possível definir x(t) ∈ X e X(t) ⊂ X para todo t ∈ F de forma que x(∅) = e, X(∅) = X,

e as seguintes condições estejam satisfeitas:

(1) X(t) é um clopen de X.

(2) x(t) ∈ X(t).

(3) X(t_0) ∪X(t_1) = X(t) e X(t_0) ∩X(t_1) = ∅.


(4) x(t_0) = x(t).

(5) x(t) = x(t′) · x(t∗).

(6) X(t) = x(t′) ·X(t∗).

(7) X(t∗) ⊂ V (x(t′)).

(8) h(x(t)) = gp(t).

(9) Dados s, t ∈ F , x(s) = x(t) se e somente se existe k ∈ ω tal que s = t_uk ou t = s_uk.

(10) Dados s, t ∈ F , se s << t, então x(s+ t) = x(s) · x(t).

(11) Dados s, t ∈ F , se s << t, então h(x(s+ t)) = h(x(s)) + h(x(t)).

(12) Para todo n ∈ ω, x[un_F ] = X(un), de forma que, em particular, x[F ] = X.

(13) Se houver (Wn)n≥1 uma sequência previamente fixada de vizinhanças de e em X, é possível

tomar X(un) de forma que X(un+1) ⊂Wn para todo n ∈ N.

Demonstração. Como X é enumerável, tome uma ordem em X isomorfa à ordem de ω (de forma

que seja uma boa ordem).

Definiremos x(t) e X(t) por indução em l(t).

Primeiramente, definimos x(∅) = e e X(∅) = X. Usaremos a seguinte hipótese de indução: para

algum n ∈ ω, definimos x(t) e X(t) para todos t ∈ F com l(t) ≤ n de forma que as condições

(1) − (9) e (13) valham, e se n ≥ 1, sequências (ak)0≤k≤n−1 em X e (tk)0≤k≤n−1 em F foram

construídas de modo que valem as seguintes hipóteses adicionais, para cada 0 ≤ k ≤ n− 1:

(i) ak = minX\{x(t) : t ∈ F e l(t) ≤ k},

(ii) ak ∈ X(tk_1), e

(iii) se h(ak) = gp(tk_1), então ak = x(tk

_1).

Todas as condições são trivialmente satisfeitas no passo inicial n = 0, exceto (8): para verificar essa,

note que e ∈ V (e) = X, logo h(e) = h(e · e) = h(e) + h(e), logo h(x(∅)) = h(e) = [0]p = gp(∅).

Para n ≥ 1, começamos definindo an = minX\{x(t) : t ∈ F e l(t) ≤ n}. Pela condição (3) e pelo

fato de que X(∅) = X, segue que os conjuntos X(t) com l(t) = n formam uma partição de X, logo

existe um único tn ∈ F com l(tn) = n tal que an ∈ X(tn). Como X(tn) = x(tn′) · X(tn

∗), tome

cn ∈ X(tn∗) tal que an = x(tn

′) · cn.

Agora, para cada s ∈ {sni : 0 ≤ i ≤ n}, tome bs ∈ X(s) tal que bs 6= x(s) e h(bs) = gp(s_1); tal bs

existe pois, por (1) e (2), X(s), é um aberto não-vazio de X, e como X não possui pontos isolados,


X(s)\{x(s)} é um aberto também não-vazio de X, e portanto h[X(s)\{x(s)}] = Zp. No caso

específico de s = tn∗, se h(cn) = gp(tn

∗_1), definimos btn∗ = cn; isso é possível pois se cn = x(tn∗),

então por (5), an = x(tn′) · cn = x(tn

′) · x(tn∗) = x(tn), contradizendo a definição de an.

Assim, para cada s ∈ {sni : 0 ≤ i ≤ n}, defina x(s_0) = x(s) e x(s_1) = bs. Note que s′ = ∅ e

s∗ = s pela definição, logo x(s_1) = x(s′) · x(s∗_1).

Dado t ∈ F com l(t) = n, note que já definimos x(t∗_1) ∈ X(t∗) pois t∗ ∈ {sni : 0 ≤ i ≤ n}. Defina

então x(t_0) = x(t) e x(t_1) = x(t′) · x(t∗_1). Observe que x(t) = x(t′) · x(t∗) 6= x(t′) · x(t∗_1) =

x(t_1), e que x(t_1) ∈ x(t′) · X(t∗) = X(t). Além disso, por indução, x(un+1) = x(un_0) =

x(un) = x(∅) = e.

Tomaremos agora uma vizinhança clopen Un de e em G satisfazendo certas condições. Será possível

tomar tal Un notando que é um número finito de condições, cada uma garantida pela existência de

uma certa vizinhança de e, e que as condições não são afetadas ao se tomar a interseção de tais

vizinhanças. E a existência de cada uma dessas vizinhanças é garantida ao se usar que a topologia

de G é Hausdorff, zero-dimensional, e invariante à esquerda (ou seja, as translações à esquerda são

homeomorfismos). As condições são:

– Un ∩X ⊂ V (x(v)) para todo v ∈ F com l(v) ≤ n (lembre que V (x(v)) é vizinhança de e em X);

– x(v) · Un ∩X ⊂ x(v) ·X para todo v ∈ F com l(v) ≤ n (lembre que x(v) ·X ∩X é vizinhança

de x(v) em X);

– an /∈ x(tn) · Un (pois an 6= x(tn));

– x(t) · Un ∩X ⊂ X(t) para todo t ∈ F com l(t) = n (pois x(t) ·X ∩X e X(t) são vizinhanças de

x(t) em X);

– x(t_1) /∈ x(t) · Un (pois x(t_1) 6= x(t));

– se houver (Wn)n≥1 uma sequência previamente fixada de vizinhanças de e em X, Un ∩X ⊂Wn.

Ser-nos-á útil mostrar que para todo v ∈ F com l(v) ≤ n, vale que x(v) ·Un ∩X = x(v) · (Un ∩X).

Pela construção, x(v)·Un∩X ⊂ x(v)·X, logo x(v)·Un∩X ⊂ (x(v)·Un)∩(x(v)·X) = x(v)·(Un∩X).

Por outro lado, Un∩X ⊂ V (x(v)), logo x(v)·(Un∩X) ⊂ x(v)·V (x(v)) ⊂ X, do que x(v)·(Un∩X) ⊂

x(v) · Un ∩X.

Definimos então X(t_0) = x(t) ·Un ∩X e X(t_1) = X(t)\X(t_0). Agora, iremos verificar que as

condições (1)− (9), (13), e também as hipóteses (i),(ii),(iii), valem para elementos de F de compri-

mento n+ 1. Seja então t ∈ F com l(t) = n. Defina v = t_1 e w = t_0. Como observado acima,

v′ = t′, v∗ = t∗_1, w∗ = un+1 e para algum r ∈ ω, t = (w′)_(ur), de forma que x(t) = x(w′) pela

construção.


Condição (1): X(t) é clopen de X por hipótese, Un é clopen e a topologia é invariante à esquerda,

logo x(t) · Un ∩X é clopen de X. Como x(t) · Un ∩X ⊂ X(t), X(t)\X(t_0) = X(t_1) também é

clopen.

Condição (2): Temos que x(t_0) = x(t) ∈ x(t) · Un ∩X = X(t_0). Temos que x(t_1) /∈ x(t) · Un

por construção e x(t_1) ∈ X(t), logo x(t_1) ∈ X(t)\(x(t) · Un ∩X) = X(t)\X(t_0) = X(t_1).

Condição (3): Pela definição, X(t_0) ⊂ X(t) e X(t_1) = X(t)\X(t_0), logo X(t_0)∪X(t_1) =

X(t) e X(t_0) ∩X(t_1) = ∅.

Condição (4): Definimos que x(t_0) = x(t).

Condição (5): Vale que x(v) = x(t_1) = x(t′) · x(t∗_1) = x(v′) · x(v∗). E x(w) = x(t) = x(w′) =

x(w′) · e = x(w′) · x(w∗).

Condição (6): Vale que X(w) = X(t_0) = x(t)·Un∩X = x(t)·(Un∩X) = x(w′)·X(un+1) = x(w′)·

X(w∗). E X(v) = X(t_1) = X(t)\X(t_0) = X(t)\(x(t) · Un ∩ X) = X(t)\ (x(t) · (Un ∩X)) =

x(t′)·X(t∗)\ (x(t′) · x(t∗) · (Un ∩X)) = x(t′)·(X(t∗)\x(t∗) · (Un ∩X)) = x(t′)·(X(t∗)\(x(t∗) · Un ∩X)) =

x(t′) ·X(t∗_1) = x(v′) ·X(v∗).

Condição (7): Temos que X(w∗) = X(un+1) = Un ∩ X ⊂ V (x(t)) = V (x(w′)). E X(v∗) =

X(t∗_1) ⊂ X(t∗) ⊂ V (x(t′)) = V (x(v′)).

Condição (8): Vale que h(x(w)) = h(x(t)) = gp(t), e como w = t_0, então gp(w) = gp(t). Por

outro lado, temos que h(x(v)) = h(x(v′) · x(v∗)) = h(x(v′)) + h(x(v∗)), pois x(v∗) ∈ X(v∗) ⊂

V (x(v′)). Além disso, x(v∗) = x(t∗_1) = bt∗ , já que t∗ ∈ {sni : i ∈ n + 1}; como por construção

h(bt∗) = gp(t∗_1), segue que h(x(v)) = h(x(v′)) + h(x(v∗)) = gp(v

′) + h(bt∗) = gp(v′) + gp(t

∗_1) =

gp(v′) + gp(v

∗). Como supp(v′) ∩ supp(v∗) = ∅, vale que gp(v′) + gp(v∗) = gp(v

′ + v∗) = gp(v).

Condição (9): Sem perda de generalidade, l(s) ≤ l(t). Se para algum k ∈ ω, t = s_uk, então por

(4), x(s) = x(t). Caso contrário, então s possui um 1 onde t possui um 0; ou t possui um 1 onde s

possui um zero, ou onde s não está definido; de qualquer forma, pelo item (3) x(s) e x(t) pertencem

a clopens disjuntos de X, logo x(s) 6= x(t).

Condição (13): Se houver (Wn)n≥1 uma sequência previamente fixada de vizinhanças de e em X,

vale que X(un+1) = Un ∩X ⊂Wn.

Hipótese (i): Por definição, an = minX\{x(t) : t ∈ F e l(t) ≤ n}.

Hipótese (ii): Vale que an /∈ x(tn) · Un, logo an /∈ X(tn_0). Como an ∈ X(tn), resta que

an ∈ X(tn_1).

Hipótese (iii): Suponha que h(an) = gp(tn_1). Como tn_1 = tn

′ + tn∗_1, e estes dois têm su-

portes disjuntos, vale que gp(tn_1) = gp(tn′) + gp(tn

∗_1). Lembre que an = x(tn′) · cn, com

cn ∈ X(tn∗) ⊂ V (x(tn

′)), de forma que h(an) = h(x(tn′)) + h(cn) = gp(tn

′) + h(cn). Segue

que h(cn) = gp(tn∗_1). Por construção, nesse caso cn = btn∗ , logo cn = x(tn

∗_1), e portanto

an = x(tn′) · x(tn

∗_1) = x((tn_1)′) · x((tn

_1)∗) = x(tn_1).


Assim, a indução está completa. Resta provar que valem (10), (11) e (12) sabendo que valem

(1)− (9), (13), e (i),(ii),(iii).

Condição (10): Primeiramente, mostraremos por indução em k que se a representação canônica

de s é sm0i0

+ · · · + smkik , então x(s) = x(sm0i0

) · . . . · x(smkik ). Para k = 0, temos que s = sm0i0

, logo

x(s) = x(sm0i0

). Se s = sm0i0

+ · · · + smkik + smk+1

ik+1, como s′ = sm0

i0+ · · · + smkik e s∗ = s

mk+1

ik+1, usando

(5), x(s) = x(s′) · x(s∗) = x(sm0i0

) · . . . · x(smkik ) · x(smk+1

ik+1).

Assim, dados s = sm0i0

+ · · · + smkik e t = sn0j0

+ · · · + snljl , com s << t, verifiquemos caso a caso: se

ik < mk, s+t = sm0i0

+· · ·+smkik +sn0j0

+· · ·+snljl é a representação canônica, então x(s+t) = x(sm0i0

)·. . .·

x(smkik )·x(sn0j0

)·. . .·x(snljl ) = x(s)·x(t); se ik = mk emk ≤ nl, s+t = sm0i0

+· · ·+smk−1

ik−1+sn0

j0+· · ·+snljl

é a representação canônica, então x(s + t) = x(sm0i0

) · . . . · x(smk−1

ik−1) · x(sn0

j0) · . . . · x(snljl ) = x(sm0

i0) ·

. . . ·x(smk−1

ik−1) · e ·x(sn0

j0) · . . . ·x(snljl ) = x(sm0

i0) · . . . ·x(s

mk−1

ik−1) ·x(smkmk) ·x(sn0

j0) · . . . ·x(snljl ) = x(s) ·x(t);

se ik = mk e mk > nl, s+ t = sm0i0

+ · · ·+ smk−1

ik−1+ sn0

j0+ · · ·+ snljl + smkmk é a representação canônica,

logo x(s+ t) = x(sm0i0

) · . . . ·x(smk−1

ik−1) ·x(sn0

j0) · . . . ·x(snljl ) ·x(smkmk) = x(sm0

i0) · . . . ·x(s

mk−1

ik−1) · e ·x(sn0

j0) ·

. . . · x(snljl ) · e = x(sm0i0

) · . . . · x(smk−1

ik−1) · x(smkmk) · x(sn0

j0) · . . . · x(snljl ) = x(s) · x(t).

Condição (11): Primeiramente, mostraremos por indução em k que se a representação canô-

nica de s é sm0i0

+ · · · + smkik , então h(x(s)) = h(x(sm0i0

)) + · · · + h(x(smkik )).Para k = 0, temos que

s = sm0i0

, logo h(x(s)) = h(x(sm0i0

)). Se s = sm0i0

+ · · · + smkik + smk+1

ik+1, como s′ = sm0

i0+ · · · + smkik e

s∗ = smk+1

ik+1, usando que x(s∗) ∈ X(s∗) ⊂ V (x(s′)), h(x(s)) = h(x(s′)) + h(x(s∗)) = h(x(sm0

i0)) +

· · ·+ h(x(smkik )) + h(x(smk+1

ik+1)).

Assim, dados s = sm0i0

+ · · · + smkik e t = sn0j0

+ · · · + snljl , com s << t, verifiquemos caso a

caso: se ik < mk, s + t = sm0i0

+ · · · + smkik + sn0j0

+ · · · + snljl é a representação canônica, então

h(x(s+t)) = h(x(sm0i0

))+· · ·+h(x(smkik ))+h(x(sn0j0

))+· · ·+h(x(snljl )) = h(x(s))+h(x(t)); se ik = mk

e mk ≤ nl, s+ t = sm0i0

+ · · ·+smk−1

ik−1+sn0

j0+ · · ·+snljl é a representação canônica, então h(x(s+ t)) =

h(x(sm0i0

))+ · · ·+h(x(smk−1

ik−1))+h(x(sn0

j0))+ · · ·+h(x(snljl )) = h(x(sm0

i0))+ · · ·+h(x(s

mk−1

ik−1))+h(e)+

h(x(sn0j0

))+· · ·+h(x(snljl )) = h(x(sm0i0

))+· · ·+h(x(smk−1

ik−1))+h(x(smkmk))+h(x(sn0

j0))+· · ·+h(x(snljl )) =

h(x(s)) + h(x(t)); se ik = mk e mk > nl, s + t = sm0i0

+ · · · + smk−1

ik−1+ sn0

j0+ · · · + snljl + smkmk é a

representação canônica, logo h(x(s + t)) = h(x(sm0i0

)) + · · · + h(x(smk−1

ik−1)) + h(x(sn0

j0)) + · · · +

h(x(snljl )) +h(x(smkmk)) = h(x(sm0i0

)) + · · ·+h(x(smk−1

ik−1)) +h(e) +h(x(sn0

j0)) + · · ·+h(x(snljl )) +h(e) =

h(x(sm0i0

)) + · · ·+ h(x(smk−1

ik−1)) + h(x(smkmk)) + h(x(sn0

j0)) + · · ·+ h(x(snljl )) = h(x(s)) + h(x(t)).

Condição (12): primeiro, mostraremos que dado a ∈ X, existe v ∈ F tal que a = x(v). Suponha,

por absurdo, que X\x[F ] 6= ∅ e seja a = minX\x[F ].

Afirmação: para algum n ∈ ω, a = an. Para ver isso, denote Fn := {t ∈ F : x(t) ≤ n}. Vale

que F =⋃n∈ω Fn. Como Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , para todo n ∈ ω, segue que X\x[Fn] ⊃ X\x[Fn+1] ⊃


X\x[F ], para todo n ∈ ω, e assim minX\x[Fn] ≤ minX\x[Fn+1] ≤ minX\x[F ]. Portanto,

(minX\x[Fn])n≥0 é uma sequência crescente e limitada em uma ordem de tipo ω, logo estaciona:

tome n ∈ ω tal que minX\x[Fn] = minX\x[Fn+1] = minX\x[Fn+2] = · · · . Vale então que

minX\x[Fn] = minX\x[F ]: se valesse que minX\x[Fn] < minX\x[F ], então para algum m > n,

minX\x[F ] ∈ x[Fm], e portanto minX\x[Fn] < minX\x[Fm], o que não vale pela escolha de n.

Portanto, a = minX\x[F ] = minX\x[Fn] = an.

Tome m ∈ {0, . . . , p − 1} tal que h(an) = gp(tn_1) + [m]p. Caso m = 0, por (iii) teríamos que

a = an = x(tn_1); logom ≥ 1. Agora, seja k ≥ 0 e suponha que h(an+k) = gp(tn+k

_1)+[m]p−[k]p;

note que isso é satisfeito quando k = 0. Por (i), e pelo que foi visto acima, an+k+1 = an+k.

Por (ii), an+k ∈ X(tn+k_1) e an+k+1 ∈ X(tn+k+1

_1) ⊂ X(tn+k+1). Como ambos tn+k_1 e

tn+k+1 são de comprimento n+ k + 1, segue que tn+k_1 = tn+k+1. Dessa forma, gp(tn+k+1

_1) =

gp(tn+k+1) + [1]p = gp(tn+k_1) + [1]p, logo gp(tn+k

_1) = gp(tn+k+1_1) − [1]p; portanto, temos

que h(an+k+1) = h(an+k) = gp(tn+k_1) + [m]p − [k]p = gp(tn+k+1

_1) − [1]p + [m]p − [k]p =

gp(tn+k+1_1) + [m]p − [k + 1]p. Assim, vale a indução. Em particular, quando k = m, h(an+m) =

gp(tn+m_1) + [m]p− [m]p = gp(tn+m

_1); logo por (iii), a = an+m = x(tn+m_1), uma contradição,

pois a ∈ X\x[F ].

Dessa forma, x[F ] = X.

Agora, para terminar o (12), note que para todo n ∈ ω e todo t ∈ F , vale que x(un_t) ∈ X(un

_t) ⊂

X(un), de forma que x[un_F ] ⊂ X(un). Resta ver que X\x[un

_F ] ⊂ X\X(un). Seja a ∈

X\x[un_F ]. Como X = x[F ], tome v ∈ F\un_F tal que a = x(v). Como e = x(un) =

x(un_∅) ∈ x[un

_F ], então a 6= e, e portanto v /∈ {um : m ∈ ω},e assim supp(v) 6= ∅. Seja

k = min supp(v). Como v ∈ F\un_F , então k ≤ n. Vale que x(v) ∈ X(skk−1), pois skk−1 é um

trecho inicial de v, e queX(un) ⊂ X(uk), pois n ≥ k. Por fim, como uk = uk−1_0 e skk−1 = uk−1

_1,

então X(skk−1) ∩ X(uk) = ∅, logo a = x(v) /∈ X(un). Segue que X\x[un_F ] ⊂ X\X(un) como

afirmamos. �

Atenção: A partir daqui e até a enunciação do Teorema de Zelenyuk, G será um grupo discreto

com identidade e e C será um subsemigrupo finito de G∗.

Definição 3.39. (a) C∼ = {x ∈ βG : x · C ⊂ C}.

(b) ϕ é o filtro dos subconjuntos U de G tais que C ⊂ U .

(c) ϕ∼ é o filtro dos subconjuntos U de G tais que C∼ ⊂ U .

Observe que C∼ é um semigrupo, e que de fato ϕ e ϕ∼ são filtros. De fato, vale que ϕ =⋂C

e ϕ∼ =⋂C∼, pois: U ∈ ϕ ⇔ C ⊂ U ⇔ para todo c ∈ C, c ∈ U ⇔ para todo c ∈ C,

U ∈ c⇔ U ∈⋂C. Analogamente, ϕ∼ =

⋂C∼.


Lema 3.40. É possível definir uma topologia invariante à esquerda em G tal que ϕ∼ é o filtro das

vizinhanças de e. Se valer que x · C = C para todo x ∈ C∼, então esta topologia tem uma base de

clopens.

Demonstração. Para cada U ∈ ϕ, defina U∧ = {a ∈ G : a ·C ⊂ U}. Note que e ∈ U∧. Mostraremos

que

(i) para cada U ∈ ϕ, U∧ ∈ ϕ∼,

(ii) {U∧ : U ∈ ϕ} é uma base para o filtro ϕ∼, e

(iii) para todo U ∈ ϕ e todo a ∈ U∧, a−1U∧ ∈ ϕ∼.

Verificando (i): suponha que para um certo U ∈ ϕ, C∼ 6⊂ U∧. Tome x ∈ C∼\U∧. Como U∧ /∈ x,

então G\U∧ ∈ x. Mas G\U∧ = {a ∈ G : a · C 6⊂ U} = {a ∈ G : existe y ∈ C tal que a · y /∈ U} =⋃y∈C{a ∈ G : U /∈ a · y} =

⋃y∈C{a ∈ G : a−1U /∈ y}. Como C é finito, vale que para algum y ∈ C,

{a ∈ G : a−1U /∈ y} ∈ x, logo {a ∈ G : a−1U ∈ y} /∈ x, e assim U /∈ x · y, ou seja, x · y /∈ U . Porém,

x ∈ C∼ e y ∈ C, logo x · y ∈ C ⊂ U . Contradição. Logo, U∧ ∈ ϕ∼.

Verificando (ii): O item acima nos diz que {U∧ : U ∈ ϕ} ⊂ ϕ∼. Dados U, V ∈ ϕ, (U ∩ V )∧ ∈ ϕ∼

(pois U ∩ V ∈ ϕ), e (U ∩ V )∧ = {a ∈ G : a ·C ⊂ U ∩ V } = {a ∈ G : a ·C ⊂ U ∩ V } = U∧ ∩ V ∧, de

forma que {U∧ : U ∈ ϕ} é fechado para interseções finitas. Agora, resta ver que para todo V ∈ ϕ∼

existe U ∈ ϕ tal que U∧ ⊂ V .

Afirmação: Basta ver que⋂U∈ϕ U

∧ = C∼. Pois suponha que exista V ∈ ϕ∼ tal que para todo

U ∈ ϕ, U∧\V 6= ∅. Valeria que {U∧\V : U ∈ ϕ} seria uma coleção com a p.i.f., logo existiria

x ∈⋂U∈ϕ U

∧\V . Ter-se-ia então que x ∈⋂U∈ϕ U

∧\V ⊂⋂U∈ϕ U

∧ = C∼ ⊂ V , ou seja, x ∈ V ,

uma contradição.

Provemos então que⋂U∈ϕ U

∧ = C∼. Vale que⋂U∈ϕ U

∧ ⊃ C∼, já que {U∧ : U ∈ ϕ} ⊂ ϕ∼ e

pela definição de ϕ∼. Agora, suponha por absurdo que existe x ∈⋂U∈ϕ U

∧\C∼. x /∈ C∼, ou

seja, existe y ∈ C tal que x · y /∈ C. Como C é finito e βG é Hausdorff, C é fechado, logo existe

A ⊂ G tal que x · y ∈ A e C ∩ A = ∅. Logo C ⊂ G\A, ou seja, G\A ∈ ϕ. x · y /∈ G\A, logo

{a ∈ G : a−1(G\A) ∈ y} /∈ x, ou seja, {a ∈ G : a−1(G\A) /∈ y} = {a ∈ G : a · y /∈ G\A} ∈ x.

Como (G\A)∧ = {a ∈ G : a · C ⊂ G\A}, então (G\A)∧ ∩ {a ∈ G : a · y /∈ G\A} = ∅, e portanto

(G\A)∧ /∈ x, ou seja x /∈ (G\A)∧. Absurdo, pois G\A ∈ ϕ.

Verificando (iii): sejam U ∈ ϕ e a ∈ U∧, e suponha que a−1U∧ /∈ ϕ∼. Logo existe y ∈ C∼\a−1U∧.

Portanto, G\a−1U∧ = {b ∈ G : a · b /∈ U∧} = {b ∈ G : existe z ∈ C tal que a · b · z /∈ U} ∈ y. Como

C é finito, tome z ∈ C tal que {b ∈ G : a · b · z /∈ U} ∈ y. Segue que a · y · z /∈ U . Porém, y · z ∈ C

e a ∈ U∧, logo a · y · z ∈ U . Contradição.

Munido de (i), (ii) e (iii), defina B = {a · U∧ : U ∈ ϕ, a ∈ G}. Mostremos que B é uma base para


uma topologia invariante à esquerda em G tal que ϕ∼ é o filtro das vizinhanças de e.

Para ver que é base, sejam U, V ∈ ϕ e a, b, c ∈ G, e suponha c ∈ a·U∧∩b·V ∧. Temos que a−1·c ∈ U∧,

logo por (iii) c−1 ·a ·U∧ ∈ ϕ∼, logo por (ii) existeW1 ∈ ϕ tal queW1∧ ⊂ c−1 ·a ·U∧. Analogamente,

existe W2 ∈ ϕ tal que W2∧ ⊂ c−1 · b · V ∧. Temos então que W1

∧ ∩W2∧ ⊂ c−1 · a ·U∧ ∩ c−1 · b · V ∧,

logo c · (W1 ∩ W2)∧ ⊂ a · U∧ ∩ b · V ∧. Como W1 ∩ W2 ∈ ϕ, vale que e ∈ (W1 ∩ W2)∧, logo

c ∈ c · (W1 ∩W2)∧ ∈ B.

Como a base B é invariante à esquerda, então a topologia gerada por ela é invariante à esquerda.

Para ver que ϕ∼ é o filtro das vizinhanças de e, note por (ii) que cada membro de ϕ∼ é uma

vizinhança de e (pois e ∈ U∧ = e · U∧, para cada U ∈ ϕ). Por outro lado, dada W vizinhança

de e, tome a ∈ G e U ∈ ϕ tais que e ∈ a · U∧ ⊂ W . Vale que a−1 = a−1 · e ∈ U∧, logo por (iii)

a · U∧ ∈ ϕ∼, do que W ∈ ϕ∼.

Finalmente, mostraremos que se x ·C = C para todo x ∈ C∼, então para todo U ∈ ϕ, U∧ é fechado.

Disso seguirá que B é uma base de clopens, pois a topologia é invariante à esquerda. Sejam então

U ∈ ϕ e a ∈ G\U∧. Mostraremos que V := G\a−1 ·U∧ ∈ ϕ∼, logo a ·V = G\U∧ é uma vizinhança

de a disjunta de U∧. Ou seja, devemos ver que C∼ ⊂ V . Seja y ∈ C∼. Como a /∈ U∼, então

a·(y ·C) = a·C 6⊂ U , logo tome z ∈ C tal que a·y ·z /∈ U . Assim, temos que {b ∈ G : a·b·z /∈ U} ∈ y

e {b ∈ G : a · b · z /∈ U} ⊂ {b ∈ G : a · b · C 6⊂ U} = G\{b ∈ G : a · b · C ⊂ U} = G\a−1 · U∧ = V .

Logo V ∈ y, como queríamos. �

Lema 3.41. Assuma que x · C = C para todo x ∈ C∼. Então são equivalentes:

(a) A topologia definida no Lema 3.40 é Hausdorff.

(b) {a ∈ G : a · C ⊂ C} = {e}.

(c)⋂ϕ∼ = {e}.

Demonstração. (a)⇒(b): Por um lado, temos que e ·C ⊂ C. Por outro, seja a ∈ G\{e}. Como ϕ∼

é o filtro das vizinhanças de e, tome V ∈ ϕ∼ tal que a /∈ V . Como C∼ ⊂ V , então a /∈ C∼, ou seja,

a · C 6⊂ C.

(b)⇒(c): Como ϕ∼ é o filtro das vizinhanças de e, temos que e ∈⋂ϕ∼. Por outro lado, tome

a ∈ G\{e}. Por hipótese, a · C 6⊂ C, ou seja, a /∈ C∼. Agora, observe que C∼ = {x ∈ βG : x · C ⊂

C} = {x ∈ βG : x · y ∈ C, para todo y ∈ C} =⋂y∈C{x ∈ βG : x · y ∈ C} =

⋂y∈C{x ∈ βG :

ρy(x) ∈ C} =⋂y∈C ρy

−1[C], logo C∼ é fechado em βG. Assim, tome A ⊂ G tal que a ∈ A e

C∼ ∩A = ∅; C∼ ⊂ G\A, ou seja, G\A ∈ ϕ∼, e a /∈ G\A; portanto, a /∈⋂ϕ∼.

(c)⇒(a): Seja a ∈ G\{e}. Pela hipótese e pelo item (ii) do Lema 3.40, tome U ∈ ϕ tal que a /∈ U∧;

pela hipótese geral do Lema, U∧ =: V é clopen, logo V e G\V são vizinhanças disjuntas de e e a,

respectivamente.


Agora, dados b, c ∈ G distintos, pelo que provamos acima existe V vizinhança clopen de e tal que

b−1 ·c ∈ G\V . Logo b·V e b·(G\V ) = G\b·V são vizinhanças disjuntas de b e c, respectivamente. �

Atenção: A partir daqui e até a enunciação do Teorema de Zelenyuk, G será um grupo discreto

com identidade e e C será um subgrupo finito de G∗, com identidade u.

Observe que isto implica que x · C = C para todo x ∈ C∼, pois: dado c ∈ C, x · u ∈ C, logo

possui uma inversa (x · u)−1 ∈ C. Assim, x · u · (x · u)−1 · c ∈ x · C, e x · u · (x · u)−1 · c = u · c = c.

Lema 3.42. Se G não possui grupos finitos não-triviais, então⋂ϕ∼ = {e}.

Demonstração. Vale que⋂ϕ∼ = C∼ ∩G, pois: dado a ∈ C∼ ∩G, para cada U ∈ ϕ∼, a ∈ U , logo

a ∈⋂ϕ∼; e se a ∈ G\C∼, então a 6= p para todo p ∈ C∼, de forma que G\{a} ∈ p para todo

p ∈ C∼, ou seja, C∼ ⊂ G\{a}, ou seja, G\{a} ∈ ϕ∼, de forma que a /∈⋂ϕ∼.

Assim,⋂ϕ∼ = C∼ ∩ G = {a ∈ G : a · C = C}. Agora, dados a, b ∈ C∼ ∩ G, temos que

a · b ·C = a ·C = C, logo a · b ∈ C∼∩G; e a−1 ·C = a−1 · (a ·C) = C, logo a−1 ∈ C∼∩G. Portanto,

C∼ ∩ G é um subgrupo de de G. Pela hipótese, ele é infinito, ou é {e}. Porém, se fosse infinito,

como a · u, b · u ∈ C para todos a, b ∈ C∼ ∩ G, e C é finito, existiriam a, b ∈ G distintos tais que

a · u = b · u, contrariando o Lema 3.8. �

Assim, com os Lemas 3.40, 3.41 e 3.42, temos o seguinte:

Lema 3.43. Existe uma topologia em G invariante à esquerda e zero-dimensional tal que ϕ∼ é o

filtro das vizinhanças de e. Se G não possui subgrupos finitos não-triviais, então esta topologia é

Hausdorff.

Definição 3.44. (a) Fixe uma família {Uy : y ∈ C} de subconjuntos dois-a-dois disjuntos de G

tais que Uy ∈ y para todo y ∈ C.

(b) Para cada y ∈ C, defina Ay = {a ∈ G : a · z ∈ Uy·z para todo z ∈ C}

Note que Ay =⋂z∈C{a ∈ G : a−1Uy·z ∈ z} e que e ∈ Au.

Lema 3.45. Para todo y ∈ C, Ay ∈ y, e se y, w ∈ C são distintos, então Ay ∩Aw = ∅.

Demonstração. Para cada z ∈ C, Uy·z ∈ y · z, ou seja, {a ∈ G : a−1Uy·z ∈ z} ∈ y. Logo⋂z∈C{a ∈ G : a−1Uy·z ∈ z} = Ay ∈ y.

Por contraposição, suponha y, w ∈ C e a ∈ Ay ∩ Aw. Vale que a · u ∈ Uy·u e a · u ∈ Uw·u, ou seja,

Uy, Uw ∈ a · u, logo Uy ∩ Uw 6= ∅, e portanto y = w. �

Definição 3.46. (a) X :=⋃y∈C Ay.

(b) Definimos f : X → C por f(a) = y se a ∈ Ay. Pelo Lema acima isto está bem-definido.


(c) Para cada z ∈ C e cada a ∈ X, Vz(a) := {b ∈ Az : a · b ∈ Af(a)·z}.

(d) Para cada a ∈ X, V (a) :=⋃z∈C Vz(a).

Note que, para cada a ∈ X, V (a) ⊂ X e a · V (a) ⊂ X. Além disso, f(e) = u, logo para todo

z ∈ C, Vz(e) = Az, logo V (e) = X.

Lema 3.47. Para cada a ∈ X e cada b ∈ V (a), f(a · b) = f(a) · f(b).

Demonstração. Sejam a ∈ X e b ∈ V (a). Tome z ∈ C tal que b ∈ Vz(a). Como b ∈ Az, f(b) = z,

logo a · b ∈ Af(a)·z = Af(a)·f(b), de forma que f(a · b) = f(a) · f(b). �

Lema 3.48. Para todo a ∈ X, V (a) ∈ ϕ∼.

Demonstração. Começaremos mostrando que

(i) dados y ∈ C e a ∈ G, a ∈ Ay se e somente se a · u ∈ Ay, e

(ii) para todos y, z ∈ C, e todo a ∈ Ay, a · z ∈ Ay·z.

Provando (i), (⇒): por contraposição, suponha que a · u /∈ Ay. Temos que a−1Ay /∈ u, logo

G\a−1Ay = {b ∈ G : a · b /∈ Ay} ∈ u. Vale que a · b /∈ Ay ⇒ a · b · z /∈ Uy·z para algum z ∈ C.

Como C é finito, tome z ∈ C tal que {b ∈ G : a · b · z /∈ Uy·z} ∈ u. Segue que a · u · z /∈ Uy·z; como

a · u · z = a · z, temos que a /∈ Ay.

(i), (⇐): Suponha a · u ∈ Ay. Temos que a−1Ay = {b ∈ G : a · b ∈ Ay} ∈ u, logo para todo z ∈ C,

{b ∈ G : a · b · z ∈ Uy·z} ∈ u; logo para todo z ∈ C, a · u · z = a · z ∈ Uy·z; ou seja, a ∈ Ay.

Provando (ii): a · z ∈ Ay·z ⇔ a−1Ay·z ∈ z. Por contraposição, suponha que a−1Ay·z /∈ z; temos que

G\a−1Ay·z =⋃w∈C{b ∈ G : a · b · w /∈ Uy·z·w} ∈ z, logo tome w ∈ C tal que {b ∈ G : a · b · w /∈

Uy·z·w} ∈ z. Por continuidade, segue que a · z · w /∈ Uy·z·w, e portanto a /∈ Ay.

Tendo (i) e (ii), seja a ∈ X. Suponha V (a) /∈ ϕ∼ e tome x ∈ C∼\V (a). Considere y := f(a) e z :=

x · u. Como x ∈ C∼, z ∈ C, logo x /∈ Vz(a) e assim G\Vz(a) = {b ∈ G : b /∈ Az ou a · b /∈ Ay·z} ∈ x.

Usando (i), temos que {b ∈ G : b /∈ Az ou a · b /∈ Ay·z} = {b ∈ G : b · u /∈ Az ou a · b · u /∈ Ay·z},

logo {b ∈ G : b · u /∈ Az} ∈ x, ou {a · b · u /∈ Ay·z} ∈ x. Isto é, x · u /∈ Az ou a · x · u /∈ Ay·z. Como

x · u = z, temos: z /∈ Az ou a · z /∈ Ay·z. A primeira opção contraria o Lema 3.45, e a segunda

contraria o item (ii), pois a ∈ Af(a) = Ay. �

Lema 3.49. X é aberto na topologia invariante à esquerda definida em G ao se tomar ϕ∼ como

base de vizinhanças de e.

Demonstração. Dado a ∈ X, vimos que V (a) ∈ ϕ∼ no Lema anterior, logo a ·V (a) é aberto; e além

disso, a ∈ a · V (a) ⊂ X. �


Lema 3.50. Dado qualquer ∅ 6= Y ⊂ X aberto na topologia definida por ϕ∼, vale que f [Y ] = C.

Demonstração. Primeiramente, dado U ∈ ϕ∼, temos que C ⊂ C∼ ⊂ U , ou seja, para todo y ∈ C,

U ∈ y. Como Ay ∈ y, temos que U ∩ Ay 6= ∅ para todo y ∈ C; portanto, f [U ] = C pela definição

de f . Agora, seja a ∈ Y . Tome U ∈ ϕ∼ tal que a · U ⊂ Y , e U ⊂ V (a). Pelo Lema 3.47, temos

que f [a · U ] = f(a) · f [U ]. Assim, temos que C = f(a) · C = f(a) · f [U ] = f [a · U ] ⊂ f [Y ]. Como

f : X → C, então f [Y ] = C. �

Teorema 3.51. Se G é um grupo enumerável que não possui subgrupos finitos não-triviais, então

G∗ não possui grupo finitos não-triviais.

Demonstração. Suporemos que C ⊂ G∗ é um subgrupo finito tal que C ∼= Zp para algum p > 1 e

disso obteremos uma contradição. Como todo grupo finito não-trivial possui um subgrupo cíclico,

seguirá o resultado em geral.

Tome então γ : C → Zp isomorfismo e para cada i ∈ Zp defina yi = γ−1(i). Considere h := γ ◦ f .

Temos que h : X → Zp e h(a) = i se e somente se f(a) = yi.

Assuma que G possui a topologia produzida no Lema 3.43. Então pelos Lemas 3.43,3.47, 3.48,

3.49 e 3.50, as hipóteses do Lema 3.38 estão satisfeitas, exceto: X não possui pontos isolados na

topologia relativa. Para ver isso, note que o 3.50 implica que todo aberto de X tem pelo menos p

elementos. Como p > 1, X não possui pontos isolados. Dessa forma, podemos aplicar o Lema 3.38

e assumir que x(t) e X(t) foram escolhidos para cada t ∈ F satisfazendo as condições (1)− (13).

Temos que Ay1 ∈ y1, e se a ∈ Ay1 , f(a) = y1, logo h(a) = 1. Se a = x(t), pela condição

(8), h(a) = gp(t); portanto, como x[F ] = X ⊃ Ay1 , Ay1 ⊂ {x(t) : t ∈ F e gp(t) = 1}. Como

gp(t) = 1⇔ c(t) ≡ 1 (mod p), segue que {x(t) : t ∈ F e c(t) ≡ 1 (mod p)} ∈ y1.

Agora, note que c(t) ≡ 1 (mod p) ⇒ existe m ∈ ω tal que c(t) = mp + 1. Dividindo m por p,

existem q, r ∈ ω, r < p, tais que m = qp+ r, de forma que c(t) = qp2 + rp+ 1, e logo c(t) ≡ rp+ 1

(mod p2). Por outro lado, se c(t) ≡ rp+ 1 (mod p2), então existe q ∈ ω tal que c(t) = qp2 + rp+ 1,

e logo c(t) ≡ 1 (mod p). Defina então, para cada 0 ≤ r < p, Br = {x(t) : t ∈ F e c(t) ≡ rp + 1

(mod p2)}. A condição (9) do Lema 3.38 nos garante que se x(s) = x(t) então c(s) = c(t), logo

Br ∩ Bk = ∅ para r, k distintos. Como Ay1 ⊂ {x(t) : t ∈ F e c(t) ≡ 1 (mod p)} =⋃p−1r=0 Br, então

podemos tomar o único r < p tal que Br ∈ y1.

Seja n ∈ N. Vale que X(un) é aberto e e = x(un) ∈ X(un), logo X(un) é uma vizinhança de e,

de modo que X(un) ∈ ϕ∼ =⋂C∼ ⊂

⋂C ⊂ y1. Dado t ∈ F , vale que min supp(t) > n se e só se

t ∈ un_F\{um : m ∈ N}. Como, pela condição (12) do Lema 3.38, x[un_F ] = X(un), segue que

{x(t) : t ∈ F e min supp(t) > n} = X(un)\{e} ∈ y1.

Para cada n ∈ N, considere En = {x(s1 + · · · + sn) : para cada 1 ≤ i ≤ n, si ∈ F, c(si) ≡ rp + 1

(mod p2), e se i < n, si << si+1}. Mostraremos por indução que para cada n ∈ N, En ∈ y1n.


Como E1 = Br ∈ y1, vale para n = 1. Suponha então que En ∈ y1n. Verificaremos que En ⊂

{a ∈ G : a−1En+1 ∈ y1}, e consequentemente En+1 ∈ y1n · y1 = y1

n+1. Logo seja a ∈ En e tome

s1 << . . . << sn em F tais que para cada i, c(si) ≡ rp+1 (mod p2) e a = x(s1+· · ·+sn). Considere

D = {x(t) : t ∈ F e min supp(t) > max supp(sn) + 1}. Pelo observado acima, Br ∩ D ∈ y1, logo

basta ver que Br ∩ D ⊂ a−1En+1. Seja então t ∈ F tal que min supp(t) > max supp(sn) + 1 e

c(t) ≡ rp + 1 (mod p2). Pela condição (10) do Lema 3.38, temos que x(s1 + · · · + sn) · x(t) =

x(s1 + · · ·+ sn + t) ∈ En+1, logo a · x(t) ∈ En+1 como desejado.

Agora, com a indução completa, temos que: y1p+1 = y1, logo Ep+1 ∈ y1, logo tome a ∈ Ep+1 ∩Br.

Sejam então s1 << . . . << sp+1 em F tais que c(si) ≡ rp + 1 (mod p2) e a = x(s1 + · · · + sp+1).

Temos então o seguinte, pela condição (10) do Lema 3.38: c(s1 + · · ·+ sp+1) = c(s1) + · · · c(sp+1) ≡

(p + 1)(rp + 1) = rp2 + p + rp + 1 ≡ (r + 1)p + 1 (mod p2). Ou seja, a ∈ Br+1, e portanto

Br ∩Br+1 6= ∅ (caso r = p− 1, Bp−1 ∩B0 6= ∅). Contradição. �

Apêndice A

Grupos Abelianos Divisíveis

O material encontrado aqui foi retirado do livro "Abelian Groups", de László Fuchs ([10]). Ele

é utilizado na seção 3.2 do capítulo 3, e por isso é apresentado de forma resumida, assumindo um

conhecimento mínimo sobre grupos abelianos.

Definição A.1. Seja (G,+) um grupo abeliano. Denote por e seu elemento neutro, e −g o oposto

de g ∈ G. Como é usual, denotamos para cada n ∈ Z e cada g ∈ G o elemento ng ∈ G definido

recursivamente por 0g = e, (n + 1)g = ng + g para n ∈ N e ng = −((−n)g) para cada n ∈ Z

negativo; de forma que para todos n,m ∈ Z, e g, h ∈ G, (n + m)g = ng + mg, (nm)g = n(mg) e

n(g + h) = ng + nh. Denotamos a ordem de um elemento g por O(g), caso seja finita.

Fixada tal notação, diz-se que G é um grupo divisível se para todo n ∈ N e todo a ∈ G existe

x ∈ G tal que nx = a. Equivalentemente, se para todo n ∈ N vale que nG = G.

Lembramos que dado um primo p, G é um p-grupo se a ordem de todo elemento é uma potência

de p.

Lema A.2. Seja G um grupo abeliano.

(a) Se para todo p primo, pG = G, então G é divisível.

(b) Se G é um p-grupo, então G é divisível se e somente se pG = G.

(c) Uma soma direta∑

λ∈ΛGλ é divisível se e somente se cada Gλ for divisível.

(d) Se f : G→ H é um homomorfismo sobrejetor, e G é divisível, então H é divisível.

Demonstração. (a): Seja n ∈ N. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, n = p1 . . . pk para

certos primos p1, . . . , pk (com repetição se necessário). Um argumento indutivo em n mostra que

nG = (p1 . . . pk−1)(pkG) = (p1 . . . pk−1)G = G.

(b): O “somente se” é óbvio. Suponha pG = G. Devido a (a), basta ver que qG = G para todos

q primos distintos de p. Sejam q 6= p primo e a ∈ G. Seja n ∈ N tal que pna = e. Como

99

100 APÊNDICE A. GRUPOS ABELIANOS DIVISÍVEIS

mdc(pn, q) = 1, tome s, t ∈ Z tais que spn + tq = 1. Temos então: a = 1a = (spn + tq)a =

spna+ tqa = se+ tqa = e+ tqa = tqa = q(ta), de forma que a ∈ qG.

(c): Se∑

λ∈ΛGλ é divisível, dados n ∈ N, µ ∈ Λ e a ∈ Gµ\{e}, como a ∈∑

λ∈ΛGλ, então existe

x ∈∑

λ∈ΛGλ tal que nx = a. Tome λ1, . . . , λr ∈ Λ tais que x = xλ1 + · · ·+xλr com xλj ∈ Gλj\{e}.

Temos que nxλ1 + · · ·+ nxλr = a. Portanto r = 1, λ1 = µ e assim nxµ = a com xµ ∈ Gµ.

Por outro lado se cada Gλ é divisível, dados λ1, . . . , λr ∈ Λ e aλj ∈ Gλj , e n ∈ N, existem xλj ∈ Gλjtais que nxλj = aλj , e assim n(xλ1 + · · ·+xλr) = aλ1 + · · · aλr (note que não usamos neste caso que

a soma é direta).

(d): Sejam n ∈ N e h ∈ H. Tome g ∈ G tal que f(g) = h, e tome x ∈ G tal que nx = g. Temos

então que h = f(g) = f(nx) = nf(x). �

Agora que sabemos que somas diretas e quocientes de grupos divisíveis são divisíveis, e usando

o evidente fato de que (Q,+) é divisível, temos o seguinte resultado:

Teorema A.3. Todo grupo abeliano G pode ser imerso em um grupo divisível.

Demonstração. Todo grupo abeliano G é a imagem homomorfa de um grupo abeliano livre F . Logo,

para algum N < F , G ∼= F/N . Note agora que, sendo {aλ : λ ∈ Λ} o alfabeto de F , F =∑

λ∈Λ〈aλ〉,

em que 〈aλ〉 é o grupo abeliano livre sobre um gerador - e portanto isomorfo a Z. Z está imerso em

Q, que é divisível. Logo F está imerso na soma direta externa de Λ cópias de Q – chamemo-la de

D.

Segue que G ∼= F/N < D/N , e D/N é divisível. �

Teorema A.4. Sejam H subgrupo de G grupo abeliano e D um grupo divisível. Então todo homo-

morfismo h : H → D possui uma extensão h : G→ D.

Demonstração. Aplicaremos o Lema de Zorn. Dados H < U,U ′ < G e f : U → D, f ′ : U ′ → D

extensões de h, definimos (U, f) ≤ (U ′, f ′) se e só se U ⊂ U ′ e f ′ for uma extensão de f . Dada

C cadeia, defina V =⋃

(U,f)∈C U e F =⋃

(U,f)∈C f ; vale que é um limitante superior para C. Logo

podemos aplicar o Lema de Zorn e tomar (V, F ) maximal. Provaremos então que V = G.

Suponha que g ∈ G\V . Caso não exista n ∈ N tal que ng ∈ V , simplesmente tome x ∈ V qualquer

e defina F ′ : 〈V, g〉 → D por F ′(a + tg) = F (a) + tx para todo a ∈ V e t ∈ Z; temos que F ′ é um

homomorfismo.

Caso exista n ∈ N tal qie ng ∈ V , tome n mínimo com tal propriedade. Tome x ∈ D tal que

nx = F (ng). Defina então F ′ : 〈V, g〉 → D por F ′(a+ tg) = F (a) + tx para todo 0 ≤ t < n. Segue

que F ′ é um homomorfismo.

Em ambos os casos, teríamos que (V, F ) não seria maximal, uma contradição. Portanto, V = G e

definimos h = F . �

101

Definição A.5. Seja G um grupo abeliano. Um sistema de equações (lineares) em G é um conjunto

de equações do tipo nν,1xλν,1 + · · ·+ nν,kνxλν,kν = aν , em que ν ∈ N conjunto indexador qualquer,

kν ∈ N, aν ∈ G, nν,i ∈ N, e xλν,i ∈ {xλ : λ ∈ Λ}, um conjunto de incógnitas.

Uma condição conhecidamente necessária para que o sistema de equações tenha solução (esta

noção será formalizada abaixo) é que, sempre que uma combinação linear dos lados esquerdos de

equações resultar em 0, então a combinação linear correspondente dos lados direitos também resulta

em 0 - isto é, na identidade de G. Mais formalmente, considere X o grupo abeliano livre sobre

o alfabeto {xλ : λ ∈ Λ} e Y o subgrupo de X gerado pelos elementos lν(x) = nν,1xλν,1 + · · · +

nν,kνxλν,kν , ν ∈ N. A condição de que uma combinação linear dos lados esquerdos de equações que

resulta em 0 corresponde a uma combinação linear dos lados direitos que resulta na identidade de

G é apenas uma forma (equivalente) de dizer que a função lν(x) 7→ aν induz um homomorfismo

f : Y → G. Isso nos leva a definir:

Definição A.6. Seja G um grupo abeliano e nν,1xλν,1 + · · · + nν,kνxλν,kν = aν , em que ν ∈ N,

kν ∈ N, aν ∈ G, nν,i ∈ N, e xλν,i ∈ {xλ : λ ∈ Λ}, um sistema de equações. Denotando lν(x) =

nν,1xλν,1 + · · · + nν,kνxλν,kν para cada ν ∈ N, dizemos que o sistema é compatível se a função

lν(x) 7→ aν induz um homomorfismo f : Y → G, em que Y é o subgrupo, do grupo livre sobre

{xλ : λ ∈ Λ}, gerado por {lν(x) : ν ∈ N}.

Definição A.7. Seja G um grupo abeliano e nν,1xλν,1 + · · · + nν,kνxλν,kν = aν , em que ν ∈ N,

kν ∈ N, aν ∈ G, nν,i ∈ N, e xλν,i ∈ {xλ : λ ∈ Λ}, um sistema de equações. Uma solução para o

sistema de equações é uma família indexada {gλ : λ ∈ Λ} ⊂ G que torna as equações verdadeiras –

ou seja, tal que para cada ν ∈ N, nν,1gλν,1 + · · ·+ nν,kνgλν,kν = aν .

Note que uma solução {gλ : λ ∈ Λ} induz a função xλ 7→ gλ, e esta induz a um homomorfismo g

do grupo livre X em G. Portanto, como anunciado acima, se o sistema de equações possui solução

{gλ : λ ∈ Λ}, claramente ele é compatível, pois a função lν(x) 7→ aν é uma restrição de g, do que

g|Y é um homomorfismo. Por outro lado, dado um sistema compatível de equações e f : Y → G

seu homomorfismo induzido, uma extensão f a X, g : X → G, induziria uma solução do sistema

definindo gλ = g(xλ) para cada λ ∈ Λ. Além do que, diferentes extensões de f induzem diferentes

soluções (pois diferentes homomorfismos sobre X não podem assumir os mesmos valores sobre todos

os xλ). Temos então:

Lema A.8. Seja G um grupo abeliano e nν,1xλν,1 + · · ·+ nν,kνxλν,kν = aν , em que ν ∈ N, kν ∈ N,

aν ∈ G, nν,i ∈ N, e xλν,i ∈ {xλ : λ ∈ Λ}, um sistema de equações compatível. Seja f : Y → G

seu homomorfismo induzido. O sistema é solúvel (ou seja, possui solução) se e somente se existe

g : X → G extensão de f , caso em que {g(xλ) : λ ∈ Λ} é solução. Além disso, diferentes extensões

de f correspondem a diferentes soluções.


Com estas observações, podemos enunciar e provar:

Teorema A.9. Todo sistema de equações compatível sobre um grupo divisível D possui solução em

D.

Demonstração. Um sistema de equações compatível induz o homomorfismo f : Y → D (de acordo

com as notações acima). Pelo Teorema A.4, f admite uma extensão g : X → D. Pelo Lema acima,

isso implica que o sistema possui uma solução. �

Veremos agora que todo subgrupo divisível é um somando direto de qualquer grupo em que

esteja imerso.

Teorema A.10. Seja G grupo abeliano, e seja D um subgrupo divisível. Então existe B subgrupo

de G tal que D ⊕B = G.

Demonstração. Tome {gλ : λ ∈ Λ} tal que G = 〈D, {gλ}λ∈Λ〉 ({gλ}λ∈Λ pode ser pensado como

uma família de representantes de um conjunto gerador de G/D). Considere todas as combinações

lineares de elementos de {gλ : λ ∈ Λ} que resultam em elementos de D, e as liste da seguinte forma:

nν,1gλν,1 + · · · + nν,kνgλν,kν = aν , em que ν ∈ N, kν ∈ N, aν ∈ D, nν,i ∈ N, e gλν,i ∈ {gλ : λ ∈ Λ}.

Afirmamos então que o sistema de equações nν,1xλν,1 + · · ·+nν,kνxλν,kν = aν , em que ν ∈ N, kν ∈ N,

aν ∈ G, nν,i ∈ N, e xλν,i ∈ {xλ : λ ∈ Λ} é compatível. Como antes, denote, para cada ν ∈ N,

lν(x) = nν,1xλν,1 + · · · + nν,kνxλν,kν , e similarmente denote lν(g) = nν,1gλν,1 + · · · + nν,kνgλν,kν .

A função xλ 7→ gλ, λ ∈ Λ, determina um homomorfismo f : X → G (X é o grupo livre sobre

{xλ : λ ∈ Λ}). Dessa forma, para cada ν ∈ N, f(lν(x)) = lν(g). Portanto, se para algum N′ ⊂ N

finito,∑

ν∈N′ lν(x) = eX , então eG = f(eX) = f(∑

ν∈N′ lν(x)) =∑

ν∈N′ f(lν(x)) =∑

ν∈N′ lν(g) =∑ν∈N′ aν ; de forma que o sistema é de fato compatível. Assim, pelo Teorema A.9 acima, o sistema

admite uma solução emD – denotemo-la por {hλ : λ ∈ Λ}. Defina B = 〈{gλ−hλ : λ ∈ Λ}〉. Vale que

G = 〈D,B〉. Para ver que G = D⊕B, resta ver que D ∩B = {eG}. Suponha então Λ′ ⊂ Λ finito e

{sλ : λ ∈ Λ′} ⊂ Z tais que∑

λ∈Λ′ sλ(gλ−hλ) ∈ D. Temos então que∑

λ∈Λ′ sλgλ =: a ∈ D, de forma

que∑

sλ∈Λ′ sλxλ = a é uma das equações do sistema acima, e portanto vale que∑

λ∈Λ′ sλhλ = a.

Segue que∑

λ∈Λ′ sλ(gλ − hλ) = eG, como queríamos. �

Como foi usado acima, Q é um grupo divisível, assim como, por exemplo, R e C. Z, por

exemplo, é um claro exemplo de grupo não-divisível. Uma classe de grupos divisíveis que nos

será relevante são os grupos quasicíclicos. Existem algumas formas de apresentar esse grupo, a

usada neste texto será a seguinte: dado p primo, o grupo p-quasicíclico é Z(p∞) =(Z[

1p

])/Z

com a operação de adição no quociente, sendo que Z[

1p

]é o anel dos racionais p-ádicos, ou seja,

103{mpn : m ∈ Z e n ∈ N

}. Costumeiramente, iremos denotar os elementos de Z(p∞) pelos seus repre-

sentantes em [0, 1), lembrando que o quociente é um “descarte” da parte inteira – por exemplo,

temos que p−1p + p−1

p = 2p−2p = p

p + p−2p = p−2

p .

Claramente temos as seguintes relações: p(

1p

)= 1 e p

(1pn

)= 1

pn−1 para todo n > 1. De fato,

estas relações descrevem o grupo, isto é, o grupo p-quasicíclico possui uma descrição por geradores

e relações Z(p∞) = 〈g1, g2, g3, . . . |pg1 = e, pg2 = g1, pg3 = g2, . . .〉. Com esta descrição, qualquer

elemento de Z(p∞)\{e} é da forma mgn com m < pn.

O grupo p-quasicíclico é um p-grupo, logo usaremos o Lema A.2(b) para ver que é divisível.

Seja mpn ∈ Z(p∞). Vale que p

(m

pn+1

)= m

pn , e portanto Z(p∞) é divisível.

Pelo Lema A.2(c), qualquer soma direta de racionais e grupos quasicíclicos é divisível. De fato,

o teorema que será provado aqui diz que estes são os únicos grupos divisíveis possíveis. Porém, para

prová-lo, precisaremos ainda de duas outras noções sobre grupos abelianos: torsão e independência.

Definição A.11. Seja G um grupo abeliano. Dizemos que g ∈ G é elemento de torsão se sua

ordem for finita. Dizemos que T < G é subgrupo de torsão se todos os seus elementos forem de

torsão. Dizemos que F < G é livre de torsão se nenhum elemento além de e for de torsão.

Lema A.12. Seja G um grupo abeliano. Então o conjunto T de todos os elementos de torsão de

G é um subgrupo, chamado de subgrupo de torsão maximal. Além disso, se G for divisível, então

T também o é.

Demonstração. Dados, a, b ∈ T , sejam n,m ∈ N tais que na = mb = e. Então nm(a − b) =

nma − nmb = e − e = e. Agora, suponha que G seja divisível, e seja r ∈ N. Tome x ∈ G tal que

rx = a. Então nrx = na = e, logo x ∈ T , o que mostra que T é divisível. �

Definição A.13. Seja T um grupo de torsão. Então, para cada p primo, definimos Tp = {g ∈ G :

existe n ∈ N tal que O(g) = pn} a p-componente de T .

A razão para o nome p-componente é elucidada pelo próximo lema.

Lema A.14. Seja T um grupo de torsão. Então T =⊕

p primo

Tp.

Demonstração. Obviamente, Tp ∩ Tp′ = {e} se p 6= p′. E dados a, b ∈ Tp, sejam n, n′ ∈ N tais que

pna = pn′b = e. Sem perda de generalidade, n′ < n, logo pn(a−b) = pna−pnb = e−e = e, de modo

que cada Tp é de fato um subgrupo. Resta ver que eles geram T . Seja a ∈ T qualquer, e tome r ∈ N

tal que ra = e. Para alguns primos p1, . . . , pk, e alguns n1, . . . , nk ∈ N, r = p1n1 . . . pk

nk . Defina

ri = rpini

. Note que mdc(r1, . . . , rk) = 1, logo tome s1, . . . , sk ∈ Z tais que s1r1 + · · · + skrk = 1.

Temos então a = (s1r1 + · · · + skrk)a = s1r1a + · · · + skrka, em que, para cada i, pinisiria =

siripinia = sira = sie = e, de forma que siria ∈ Tpi . �


Definição A.15. Seja G um grupo abeliano. Dizemos que L ⊂ G é um conjunto independente se

sempre que a1, . . . , ak ∈ L, n1, . . . , nk ∈ Z e n1a1 + · · ·+ nkak = e, então n1a1 = · · · = nkak = e.

Claramente, L é independente se e somente se cada subconjunto finito de L é independente.

Assim é fácil ver que a união de qualquer cadeia de conjuntos independentes é também independente.

Ou seja, o Lema de Zorn garante que todo grupo não-trivial possui um conjunto independente

maximal.

Lema A.16. Seja T um p-grupo. Então dado conjunto independente maximal {bλ : λ ∈ Λ}, pode-se

obter um conjunto independente maximal {aλ : λ ∈ Λ} tal que O(aλ) = p para todo λ ∈ Λ.

Demonstração. Para cada λ ∈ Λ, se O(bλ) = p, defina aλ = bλ. Caso O(bλ) = pn com n > 1, defina

aλ = pn−1bλ. Claramente O(aλ) = p para cada λ. Suponha que m1aλ1 + · · · + mkaλk = e. Tome

n1, . . . , nk tais que aλi = pni−1bλi . Temos então que m1pn1−1bλ1 + · · · + mkp

nk−1bλk = e, do que

segue mipni−1bλi = e para cada i, ou seja, miaλi = e.

Dessa forma, {aλ : λ ∈ Λ} é independente. Para ver que é maximal, seja g ∈ T . Como {bλ : λ ∈

Λ} ∪ {g} não é independente, tome m,m1, . . . ,mk ∈ Z e λ1, . . . , λk ∈ Λ tais que mg + m1bλ1 +

· · · + mkbλk = e mas mg 6= e ou mibλi 6= e para algum i. Caso mg = e teríamos uma violação

da independência de {bλ : λ ∈ Λ}, logo mg 6= e. Como mg 6= e, então I := {i ∈ {1, . . . , k} :

mibλi 6= e} 6= ∅. Para cada i ∈ I, tome ri ∈ Z e si ∈ ω tais que mi = ripsi com p - ri. Tome ni

tais que pni−1bλi = aλi para cada i ∈ I e note que si ≤ ni − 1. Defina ti = ni − 1 − si e defina

J = {j ∈ I : tj = max{ti : i ∈ I}}. Defina t = max{ti : i ∈ I}, ou seja, t = tj se e somente se

j ∈ J , e t > ti para todo i ∈ I\J . Assim, note que ptmjbλj = rjaλj caso j ∈ J e ptmibλi = e caso

i ∈ {1, . . . , k}\J . Segue que e = pt(mg+m1bλ1 + · · ·+mkbλk) = ptmg+∑

j∈J rjaλj . Como p - rj ,

então rjaλj 6= e para todo j ∈ J , o que mostra que {aλ : λ ∈ Λ} ∪ {g} não é independente. �

Teorema A.17. Todo grupo divisível é a soma direta de grupos quasicíclicos e de cópias dos raci-

onais.

Demonstração. Seja D um grupo divisível, e seja T seu subgrupo de torsão maximal. Pelo Lema

A.12, T é divisível, logo pelo Teorema A.10 T é um somando direto de D. Seja F < D tal que

D = T ⊕ F . Como T ∩ F = {e}, F é livre de torsão; e como é somando direto de D, F também é

divisível. Usando o Lema A.14 temos que cada Tp, para p primo, também é divisível. Mostraremos

então que F é uma soma direta de cópias de Q e que cada Tp é uma soma direta de cópias de

Z(p∞).

Primeiramente, tome {aλ : λ ∈ Λ} conjunto independente maximal em Tp. Pelo Lema logo acima,

podemos tomá-lo de forma que O(aλ) = p para todo λ ∈ Λ. Fixe λ. Pela divisibilidade de

Tp, podemos recursivamente construir (aλ,n)n∈N de forma que aλ,1 = aλ e aλ,n = paλ,n+1 para

105

todo n ∈ N – o que implica que a sequência é injetora pois estamos em um p-grupo. Assim,

como paλ = e, aλ pertence a um subgrupo p-quasicíclico de Tp, gerado por {aλ,n : n ∈ N};

denotemo-lo Qλ. Vejamos que {Qλ : λ ∈ Λ} gera uma soma direta. Seja µ ∈ Λ e suponha

λ1, . . . , λk ∈ Λ, m1, . . . ,mk ∈ Z, e n1, . . . , nk ∈ N tais que m1aλ1,n1 + · · · + mkaλk,nk ∈ Qµ\{e}.

Tome n ∈ N e m < pn tais que m1aλ1,n1 + · · · + mkaλk,nk = maµ,n. Como maµ,n 6= e, então

I = {i ∈ {1, . . . , k} : miaλi,ni 6= e} 6= ∅. Para cada i ∈ I, tome ri ∈ Z e si ∈ ω tais que mi = ripsi

com p - ri, e tome r ∈ Z e s ∈ ω tais que m = rps com p - r. Defina ti = ni− 1− si e t′ = n− 1− s;

e defina J = {j ∈ I : tj = max({ti : i ∈ I} ∪ {t′})}. Defina t = max({ti : i ∈ I} ∪ {t′}), ou seja,

t = tj se e somente se j ∈ J , e t > ti para todo i ∈ I\J . Assim, note que ptmjaλj ,nj = rjaλj caso

j ∈ J e ptmiaλi,ni = e caso i ∈ {1, . . . , k}\J . Segue que ptmaµ,n = pt(m1aλ1,n1 + · · ·+mkaλk,nk) =∑j∈J rjaλj . Temos dois casos: se t′ < t, então ptmaµ,n = e; caso t′ = t, ptmaµ,n = raµ; em ambos

os casos, temos que a equação acima é uma violação da independência de {aλ : λ ∈ Λ}.

Portanto, temos Qp :=⊕

λ∈ΛQλ < Tp. Como Qp é divisível, Tp = Qp ⊕ Sp; porém Qp contém um

conjunto independente maximal, o que implica que Sp = {e}, e assim Qp = Tp, como queríamos.

Agora, vejamos que F é uma soma direta de cópias de Q. Tome {bλ : λ ∈ Λ} conjunto independente

maximal em F . Como F é livre de torsão, então para cada n ∈ N e cada λ ∈ Λ existe um único

x ∈ F tal que nx = bλ; assim, podemos imergir cada bλ em uma cópia de Q, denotando-a por

Bλ = {mbλn : m,n ∈ Z, n 6= 0}. Vejamos que os Bλ geram uma soma direta. Seja µ ∈ Λ e suponha

λ1, . . . , λk ∈ Λ, m,m1, . . . ,mk ∈ Z, e n, n1, . . . , nk ∈ N tais que m1bλ1n1

+ · · · + mkbλknk

=mbµn . Seja

r = n · n1 · . . . · nk e defina r′ = rn e ri = r

ni. Temos então que r′mbµ = r

mbµn = r(

m1bλ1n1

+ · · · +mkbλknk

) = r1m1bλ1 + · · · + rkmkbλk , o que viola a independência de {bλ : λ ∈ Λ}. Assim, temos

que B :=⊕

λ∈ΛBλ < F , e B é divisível, logo F = B ⊕ S; porém como B contém um conjunto

independente maximal, devemos ter que S = {e}, e assim F = B, como desejado. �

Por fim, temos:

Teorema A.18. Seja (H,+) um grupo divisível e seja A ⊂ H enumerável. Então existe D < H

divisível enumerável tal que A ⊂ D.

Demonstração. Pelo Teorema A.17, assumimos que H =⊕

α∈I Kα, em que cada Kα é isomorfo a Q

ou a um quasicíclico. Considere J = {α ∈ I : existe x ∈ A tal que xα 6= e}. Como A é enumerável,

J é uma união enumerável de conjuntos finitos, logo enumerável. Defina D = {x ∈ H : para todo

α ∈ I\J , xα = e}. Então D ∼=⊕

α∈J Kα, logo é divisível, enumerável, e A ⊂ D. �


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