Tarea Ayuda para prueba 1

Construccin de LGR y Diagrama de Bode

Alumno: Jose Robles Comigual Profesor: Gonzalo Farias.Fecha de entrega: 5 de octubre de 2014 Clave del curso:IEE351-1

El ejercicio fue extrado del libro de Sistemas de Control Moderno dcima edicin Richard C Dorf.

PA7.12

Para dibujar el lugar geomtrico de la races.

La funcin de transferencia de lazo abierto es:

Primer paso es ver en qu lugar existe LGR.

De la FTLA se tiene:2 ceros: -1; -15 polos: 0; -8 ; -20 ; -1,6-i ; -1,6+iEn el grfico de se encuentran los polos y ceros de FTLA .

Para encontrar los lugar en los que existe LGR.Cada 0 aporta 180 grados.Cada X aporta -180 grados.Para que exista LGR tiene que cumplirse que la suma de los grados entre polos ceros de derecha a izquierda hasta llegar al punto tenga que ser +- 180 grados.

Me asigno un punto cualquiera en el plano s.Ejemplo p1

Como no tengo nada que me aporta es 0 grados, por lo tanto No tengo LGR desde 0 a +.

Para un punto p2

En este caso tengo un polo que me aporta -180 por lo tanto tengo LGR desde -1 a 0

Para un punto p3

El aporte en grados entre polos y ceros es: -180+180+180-360-360=-180, por lo tanto existe LGR desde -8 a -1

Para un punto p4:

El aporte en grados entre polos y ceros es:-180+180+180-360-360-180=0Por lo tanto no tengo LGR desde -20 a -8

Para un punto p5:

El aporte en grados entre polos y ceros es:-180+180+180-360-360-180-180=-180Por lo tanto si tengo LGR desde -20 a +.

Los lugares donde existe LGR estn en color celeste:

Para el clculo del centro de las asntotas:

Angulo de las asntotas:

Se tiene que por lo tanto

Rango de estabilidad:Utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

La ecuacin caracterstica:

1253,162*

k

A1A2A3

B1B2B3

C1C2C3

D1D2D3

Por lo tanto para encontrar el valor de k para el cual es sistema es estable.

En este intervalo tiene que estar la ganancia k para la estabilidad del sistema.

Ejemplo Con k= 200Evaluado en ecuacin caracterstica:

Se obtiene las siguientes races.

El sistema tiene todas sus races negativas, por lo tanto es un sistema estable.

Con k= 5464

Evaluado en ecuacin caracterstica:

Se obtiene las siguientes races.

El sistema tiene todas sus races negativas, por lo tanto es un sistema estable.

Con k= 5465

Evaluado en ecuacin caracterstica:

Se obtiene las siguientes races.

El sistema tiene 2 de sus races positivas por lo tanto el sistema no es estable.

Intercepto con el eje Imaginario.De la ecuacin caracterstica

Evaluando la ecuacin caracterstica con la ganancia critica.k=5464,37

Sus races son:

En el dibujo se muestra el intercepto con el eje imaginario.

Determinar el punto de salida y/o llegada del eje real (si los hay).

Ecuacin caracterstica.

La raz s0=-15,2261 no es un punto de salida ya que no pertenece a LGR, solo tengo dos puntos de salida s1 y s2

Determina el Angulo de salida de los polos con parte imaginaria.ngulos de los polos al polo -1,6+i

ngulos de los ceros al polo -1,6+i

El angulo de salida del polo -1,6+i

Como los polos complejos son simtricos el Angulo de salida del polo -1,6-i es:

El dibujo final es:El polo -20 se va a un cero en el infinito negativo El polo -8 sale por el punto de ruptura s1 y se va a un cero en el infinitoLos polos Imaginarios salen con un Angulo de -188 y 188 y entran por el punto de ruptura s2, un polo se va a un cero en -1 y el otro polo sale por el punto de ruptura s1 y se va a un cero en el infinito El polo o se va a un cero ubicado en -1.

Con Matlab.

Un zoom al polo 1,6+i para ver cmo es su Angulo de salida.

Un zoom para ver lo puntos de salida.

Un zoom para ver el intercepto con el eje imaginario y la ganancia critica, notar que la ganancia es un poco diferente que la antes calculada ya que se tiene que hacer un zoom mayor para que pueda ser exacta como la antes calculada.

Diagrama de Bode:

La ganancia K al ser mayor que cero solo afectara el diagrama de magnitud, desplazndolo segn sea su valor, para el diagrama de fase no lo afectara ya que aporta 0.

El bode fue hecho sin la ganancia K.

Magnitud: -20deb/dec fase: 90

rad

Angulo de 0

Diagrama de bode asintotico de magnitud (sin la resultante)

Diagrama de bode asinttico de magnitud (La lnea azul es la resultante)

Diagrama de Fase asinttico (sin la resultante)

Diagrama de Fase asinttico (la line azul es la resultante)

Diagrama de Bode en Matlab, tambin se muestra margen de ganancia y de fase.

Cuando el diagrama de fase corta por los 180 se obtiene un Wc= 14,3 rad/segObteniendo un margen de ganancia de 74,8(db), esto significa que es la mxima ganancia que se le puede suministrar al sistema antes que se vuelva inestable.

Cuando el diagrama de magnitud corta por 0 (db) se obtiene un Wc= 0,00178 rad/seg, obteniendo un margen de fase de 90, esto significa el mximo desfase que puede soportar el sistema entre entrada y salida antes que se vuelva inestable.