Lời nói đầu

Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặtđại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số. Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứngdụng thiết thực trong lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính. Vì vậy, nó đã và đang trởthành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và tin học.

Năm 2008, J. R. Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề"Rational Algebraic Curvers". Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán thamsố hóa. Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữutỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìmphép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham số hóa.

Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thìngoài những lợi ích mà phép tham số hóa mang lại như đã nói thì việc nghiên cứu cáctính chất hình học của nó có hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng mộtđa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường cong, tìm số bội của một điểm bất kì vàtừ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, ... có gì khó khăn? Một trong cáccâu trả lời đã được S. Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói trên, đưa ratrong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007.

Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới. Công việc của người viết là trìnhbày lại những nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tươngđối phức tạp. Luận văn được trình bày thành 3 chương:

Chương 0. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày những khái niệm, kết quả mang tínhchất nền tảng của Hình học đại số như khái niệm đa tạp đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữutỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính các đường cong, ước, giống ... Trong chươngnày chúng tôi chỉ nêu chứng minh một số kết quả quan trọng đó là định lí Riemann,định lí về công thức tính giống của đường cong chỉ có các kì dị thường.

Chương 1. Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ. Cùng với chương 2, đây là

i

một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày cácthuật toán tham số hóa hữu tỉ với công cụ chính là hệ thống tuyến tính các đườngcong liên hợp. Phần lớn các ví dụ trích trong [3] nhưng do chúng tôi tự tính toán vàcó các kết quả (tham số hóa) khác với [3].

Chương 2. Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ. Trong chươngcuối này chúng tôi trình bày các kết quả nhằm khẳng định rằng một đường cong chodưới dạng tham số hóa hữu tỉ sẽ giúp chúng ta có được những thuận lợi trong các tínhtoán cũng như việc khảo sát các tính chất hình học. Tuy chưa đầy đủ nhưng phần lớncác tính chất hình học như số bội, bậc toàn cục, tập kì dị ... đã được trình bày mộtcách rõ ràng. Chương 1 và chương 2 chúng tôi đều sử dụng các tài liệu tham khảochính là [2], [3], [4], [5], [6].

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình, TS. Phó Đức Tài. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫnvà giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến quá trình viếtvà bảo vệ luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộmôn Đại số - Hình học - Tô pô đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiêncứu trong một môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đãđộng viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, mùa hè năm 2012.

Học viên

Hà Đăng Toàn

ii

Bảng ký hiệu

coeff(F (X), n) hệ số của Xn trong đa thức F (X).

degX(F ) bậc của đa thức F theo biến X.

[E : F ] bậc của mở rộng trường E trên F.

(F1, F2, ..., Fr) iđêan sinh bởi các đa thức F1, F2, ..., Fr.

gcd(F,G) ước chung lớn nhất của các đa thức F và G.

I(V ) iđêan sinh bởi các đa thức triệt tiêu trên đa tạp V.

k[X1, ..., Xn] vành đa thức n biến X1, X2, ..., Xn biến trên trường k.

k(X1, ..., Xn) trường hàm hữu tỉ n biến X1, X2, ..., X2 trên trường k.

k(X) trường hàm hữu tỉ trên đa tạp X.

k(C) trường hàm hữu tỉ trên đường cong (C)

lc(F (X)) hệ số dẫn đầu của đa thức F (X).

lc(f(s, t), t) hệ số dẫn đầu của đa thức f(s, t) theo biến t.

mP (F ),multP (F ) số bội của điểm P trên đường cong định nghĩa bởi đa thức F.

U bao đóng của tập U .

Rest(F,G) kết thức của F và G theo t.

Ngr(C) tập các điểm kì dị của đường cong C.

V (S) đa tạp đại số sinh bởi tập các đa thức S.

iii

Mục lục

Lời nói đầu i

0 Kiến thức chuẩn bị 1

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong . . . . . . . . . . . . . . . 130.4 Giải kì dị đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5 Không gian ước và giống. Định lí Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 26

1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Tham số hóa bằng các đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ. 48

2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ. . . . . . . 482.2 Phép tham số hóa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa . . . . 53

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 59

iv

Chương 0

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết vềđường cong đại số. Các kiến thức này là cơ sở để chúng tôi trình bày các nội dungchính của luận văn. Tuy nhiên, chúng tôi chỉ nêu chứng minh đối với những kết quảquan trọng. Chương này được trình bày chủ yếu theo [1] và [5].

Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặcsố 0. Còn khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụthể hơn là, đa thức định nghĩa của nó không chứa thừa số bội.

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ

0.1.1 Không gian afin và không gian xạ ảnh

Ta hiểu không gian afin n chiều trên trường k, kí hiệu An(k), là tích Đề-các k×...×k(n lần). Mỗi phần tử của An(k) được gọi là các điểm. Đặc biệt, khi n = 1 thì A1(k)

được gọi là đường thẳng afin, khi n = 2 thì A2(k) được gọi là mặt phẳng afin. Để chođơn giản, khi trường k đã biết, ta kí hiệu không gian afin n chiều trên k là An.

Không gian xạ ảnh n chiều trên k, kí hiệu Pn(k) hay đơn giản là Pn, được địnhnghĩa là tập tất cả các đường thẳng đi qua điểm (0, ..., 0) trong A

n+1(k). Ta thấy rằng,mỗi điểm x = (x1, x2, ..., xn+1) 6= (0, 0, ..., 0) xác định duy nhất một đường thẳng nhưvậy và hai điểm x, y xác định cùng một đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại một số λsao cho x = λy, khi đó ta nói x, y là tương đương. Như thế, Pn có thể hiểu là tập tấtcả các lớp tương đương của các điểm của An+1\(0, 0, ..., 0). Các phần tử của Pn cũng

1

được gọi là các điểm. Ta viết [x1 : x2 : ... : xn+1] để chỉ một phần tử (điểm) P của Pn,

khi đó (x1, x2, ..., xn+1) được gọi là tọa độ thuần nhất của P.Bây giờ ta kí hiệu Ui = [x1 : x2 : ... : xn+1] ∈ P

n|xi 6= 0. Khi đó mỗi P ∈ Ui cóthể viết duy nhất dưới dạng

P = [x1 : ... : xi−1 : 1 : xi+1 : ... : xn+1].

Các tọa độ (x1, ... : xi−1, xi+1, ..., xn+1) được gọi là tọa độ không thuần nhất ứng vớiUi. Ta có các song ánh ϕi : An → Ui với ϕi(x1, ... : xi−1, xi, ..., xn) = [x1 : ... : xi−1 : 1 :

xi : ... : xn+1]. Để ý rằng Pn =n+1⋃

i=1

Ui, do đó Pn được phủ bởi n + 1 tập hợp mà mỗi

tập hợp có thể xem như một không gian afin n chiều.Để cho thuận tiện, trong Pn, ta thường gọi điểm [0 : 0 : ... : 0 : 1] là điểm gốc, còn

các điểm có tọa độ thứ n + 1 bằng không là các điểm tại vô cùng và tập hợp

H∞ = Pn\Un+1 = [x1 : x2 : ... : xn+1]|xn+1 = 0

là siêu phẳng tại vô cùng. Vậy Pn = Un+1 ∪H∞.

Tương tự như không gian afin, ta gọi P1 là không gian xạ ảnh một chiều hay đườngthẳng xạ ảnh, P2 là không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh.

0.1.2 Tập đại số. Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh

Giả sử F ∈ k[X1, ..., Xn], một điểm P = (a1, ..., an) trong An được gọi là một khôngđiểm của F nếu F (P ) = F (a1, ..., an) = 0. Nếu F không là hằng số thì tập tất cả cáckhông điểm của F được gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F ).

Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X1, ..., Xn], ta kí hiệu

V (S) = P ∈ An|F (P ) = 0, ∀F ∈ S,

tức là V (S) = ∩F∈SV (F ).

Một tập X ⊂ An được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào đó.Đặc biệt, trong A

2 ta có định nghĩa:

Định nghĩa 0.1. Một đường cong đại số afin phẳng trên k là một tập đại số

C = V (F ) = (a, b) ∈ A2(k)|F (a, b) = 0,

trong đó F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] là một đa thức khác hằng.Khi đó F được gọi là đa thức định nghĩa của C (và tất nhiên, một đa thức G = c.F ,

với c 6= 0 nào đó thuộc k, cũng định nghĩa cùng một đường cong).

2

Trong định nghĩa này, nếu ta viết F dưới dạng

F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + ... + Fm(X, Y ),

trong đó, Fi(X, Y ) là một đa thức thuần nhất bậc i, và Fm(X, Y ) 6= 0. Khi đó các đathức Fi được gọi là các thành phần thuần nhất của F và m được gọi là bậc của C kýhiệu là deg(C). Các đường cong bậc một được gọi là đường thẳng, bậc hai gọi là cônic,bậc ba là cubic, . . .

Nếu F =n∏

j=1

Fj , trong đó Fj là các nhân tử bất khả quy của F, thì ta nói rằng

đường cong afin định nghĩa bởi đa thức Fj là một thành phần của C. Hơn nữa, đườngcong C được gọi là bất khả quy khi đa thức định nghĩa của nó là bất khả quy.

Bây giờ ta nói về khái niệm tập đại số trong không gian xạ ảnh. Một cách tươngtự, một điểm P ∈ Pn được gọi là không điểm của một đa thức thuần nhất F ∈

k[X1, ..., Xn+1] nếu F (x1, ..., xn+1) = 0 với mọi cách chọn tọa độ thuần nhất (x1, ..., xn+1)

của P. Khi đó ta viết F (P ) = 0 và nếu S là một tập các đa thức thuần nhất trongk[X1, ..., Xn+1] ta cũng kí hiệu

V (S) = P ∈ Pn|F (P ) = 0, ∀F ∈ S.

Một tập X ⊂ Pn được gọi là tập đại số xạ ảnh nếu X = V (S) với S nào đó.Và trong P2 ta cũng có định nghĩa:

Định nghĩa 0.2. Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng trên k được định nghĩa bởi tậphợp

C = V (F ) = [a : b : c] ∈ P2(k)|F (a, b, c) = 0,

với một đa thức thuần nhất khác hằng không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z].Ta gọi F là một đa thức định nghĩa của C.

Khái niệm bậc, thành phần và tính bất khả quy (như trong định nghĩa 0.1 chođường cong afin) có thể sử dụng cho đường cong xạ ảnh một cách tương tự.

Nếu đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) thì ta có thể nhận được đườngcong xạ ảnh C∗ tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F ∗(X, Y, Z). Nghĩalà, nếu:

F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + . . . + Fm(X, Y ),

thì:F ∗(X, Y, Z) = Fr(X, Y )Z

m−r + Fr+1(X, Y )Zm−r−1 + . . . + Fm(X, Y ),

3

vàC∗ = [a : b : c] ∈ P

2(k)|F ∗(a, b, c) = 0.

Định nghĩa 0.3. Đường cong xạ ảnh tương ứng với một đường cong afin C trên k

được gọi là bao đóng xạ ảnh của C trong P2(k).

Mỗi điểm (a, b) ∈ C tương ứng với [a : b : 1] trên C∗ và mỗi điểm thêm vào trên C∗

đều là điểm tại vô cùng. Nói cách khác, hai tọa độ đầu tiên của điểm thêm vào là cácnghiệm không tầm thường của Fm(X, Y ) còn tọa độ thứ ba thì bằng 0. Do vậy, đườngcong C∗ chỉ có hữu hạn điểm tại vô cùng.

Nếu C là đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi F (X, Y, Z), ta kí hiệu C∗,Z là đườngcong afin xác định bởi F∗,Z(X, Y ) = F (X, Y, 1). Tương tự, ta có các đường cong C∗,X

và C∗,Y .

Nếu không có nhầm lẫn nào thì sau đây ta sẽ dùng kí hiệu C∗ thay cho C∗,Z . NếuP = [a : b : 1] ∈ P2 thì ta gọi điểm tương ứng của nó trong không gian afin là P∗, tứclà P∗ = (a, b).

Để cho đơn giản, đôi khi ta cũng đồng nhất đường cong với đa thức định nghĩa củanó. Hơn nữa, xuyên suốt luận văn chúng ta chỉ quan tâm đến các đường cong đại số.Vì vậy, khi không nói gì thêm thì “đường cong” được hiểu là “đường cong đại số”, tứclà, là một siêu mặt trong A2 hoặc P2.

Một cách để phân loại các tập đại số nói chung là dựa vào tính khả quy hay bấtkhả quy của chúng. Một tập đại số được gọi là khả quy nếu nó là hợp của hai haynhiều tập đại số nhỏ hơn. Trong trường hợp ngược lại thì ta có một tập đại số bất khảquy. Nếu một tập đại số afin (xạ ảnh) là bất khả quy thì ta gọi đó là một đa tạp đại

số afin (xạ ảnh).

0.1.3 Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường cong phẳng

Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng.

Định nghĩa 0.4. Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈

k[X, Y ] và P = (a, b) ∈ C. Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàmriêng (theo X, Y ) của F cho tới bậc r− 1 triệt tiêu tại P nhưng ít nhất một đạo hàmriêng bậc r không triệt tiêu tại P . Ta ký hiệu bội của P trên C là multP (C).Khi đó, nếu multP (C) = 0 thì P /∈ C, nếu multP (C) = 1 ta nói P là một điểm đơn trênC, còn nếu multP (C) = r > 1 thì ta gọi P là một điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r trên C

4

hay điểm bội r. Ta nói rằng một đường cong là không kì dị (hay trơn) nếu nó khôngcó điểm kì dị.

Dễ thấy là, với mọi điểm P ∈ C ta có: 1 ≤ multP (C) ≤ deg(C).Tập tất cả các kì dị của đường cong C định nghĩa bởi đa thức F là tập đại số afin

V

(

F,∂F

∂X,∂F

∂Y

)

. Ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 0.5. ([5], chương 2, Định lý 2.3) Cho đường cong C định nghĩa bởi F , P ∈ C

và T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A2(k) (nghĩa là phép đổi biến tuyến

tính) sao cho T (P ) = P . Xét đường cong C định nghĩa bởi F = F T . Khi đó bội của

P trên C bằng bội của P trên C.

Vậy, khái niệm bội là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tuyến tính.

Mệnh đề 0.6. ([5], chương 2, Định lý 2.4) Cho C là đường cong afin phẳng định nghĩa

bởi F (X, Y ). Bội của C tại gốc tọa độ là bậc nhỏ nhất của các thành phần thuần nhất

khác 0 của F .

Do đó, bội của P có thể cũng được xác định bằng cách dời P về gốc tọa độ và ápdụng mệnh đề 0.6.

Bây giờ, cho P = (a, b) ∈ A2(k) là một điểm bội r(r ≥ 1) trên đường cong C địnhnghĩa bởi đa thức F . Khi đó thành phần đầu tiên không triệt tiêu trong khai triểnTaylor của F tại P là

Tr (X, Y ) =

r∑

i=0

C ir

∂rF

∂X i∂Y r−i (P )(X − a)i(Y − b)r−i.

Định nghĩa 0.7. Tập các không điểm của thành phần đầu tiên không triệt tiêu trongkhai triển Taylor của F tại P được gọi là nón tiếp xúc của C tại P .

Ví dụ 0.8. Xét đường cong Y 2−X3 = 0. Khi đó nón tiếp xúc của đường cong đã chotại O(0, 0) (điểm bội 2) là đường thẳng Y = 0.

Còn với đường cong Y 2 = X2(X +1) cũng có O(0, 0) là điểm bội 2 nhưng nón tiếpxúc tại O bao gồm hai đường thẳng Y = X và Y = −X.

Bằng một phép biến đổi tọa độ tuyến tính chuyển P thành gốc tọa độ, đa thức Trđược biến đổi thành đa thức thuần nhất hai biến bậc r. Dễ thấy rằng, số nhân tử củamột đa thức là bất biến đối với một phép biến đổi tọa độ tuyến tính nên các nhântử bất khả quy của Tr là tuyến tính và chúng là phương trình của các tiếp tuyến củađường cong tại P . Ta có kết quả sau:

5

Mệnh đề 0.9. ([5], chương 2, Định lý 2.5) Cho C là một đường cong afin với đa thức

định nghĩa F (X, Y ) và P là điểm trên C có bội r. Khi đó các đa thức định nghĩa của

các tiếp tuyến với C tại P là các nhân tử bất khả quy của đa thức Tr(X, Y ). Và bội của

mỗi tiếp tuyến là bội của nhân tử tương ứng.

Chúng ta sẽ phân loại các điểm kì dị dựa vào các tiếp tuyến của đường cong và sốbội tương ứng của các tiếp tuyến. Cách phân loại này giúp chúng ta thấy rõ hơn vềbản chất của các điểm kì dị.

Định nghĩa 0.10. Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thông

thường nếu r tiếp tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại.

Mệnh đề 0.11. ([5], chương 2, Định lý 2.7) Cho đường cong C định nghĩa bởi F ,

P ∈ C, T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A2(k) (nghĩa là một phép đổi biến

tuyến tính) sao cho T (P ) = P. Cho C định nghĩa bởi F = F T . Khi đó T xác định

một tương ứng 1− 1, bảo toàn bội giữa các tiếp tuyến với C tại P và các tiếp tuyến tới

C tại P ).

Hệ quả 0.12. Tính thông thường hay không thông thường của một điểm kì dị là bất

biến dưới các phép đổi biến tuyến tính.

Bổ đề 0.13. ([5], chương 2, Bổ đề 2.9) Cho C là một đường cong afin định nghĩa bởi

một đa thức F =m∏

j=1

Fj với mọi Fj bất khả quy. Gọi Cj là các thành phần của C định

nghĩa bởi Fj. Cho P là một điểm thuộc A2(k). Khi đó ta có:

1. multP (C) =∑m

j=1multP (Cj)

2. Nếu L là tiếp tuyến của Cj tại P với bội si thì L là một tiếp tuyến của C tại P

với bội∑n

i=1 si.

Mệnh đề 0.14. ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường cong afin phẳng chỉ có hữu

hạn điểm kì dị.

Mệnh đề 0.15. ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả sử P là một điểm đơn của đường

cong xạ ảnh C xác định bởi đa thức F (X, Y, Z). Khi đó:

X∂F

∂Y(P ) + Y

∂F

∂Y(P ) + Z

∂F

∂Z(P )

là đa thức định nghĩa của tiếp tuyến với C tại P .

6

Mệnh đề 0.16. ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P2(k) là một kỳ dị của

đường cong xạ ảnh C (định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z)) nếu và chỉ nếu∂F

∂X(P ) =

∂F

∂Y(P ) =

∂F

∂Z(P ) = 0.

Mệnh đề 0.17. ([5], chương 2, Định lý 2.15) Giả sử C đường cong xạ ảnh định nghĩa

bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z) bậc m. Khi đó P ∈ P2(k) là một điểm có bội ít nhất

bằng r trên (r ≤ m) khi và khi nếu mọi đạo hàm riêng thứ r − 1 của F triệt tiêu tại

P .

0.1.4 Vành tọa độ và trường hàm hữu tỉ của một đường cong

Giả sử V là đa tạp đại số khác rỗng trong An(k). Ký hiệu I(V ) là tập các đa thứctriệt tiêu trên V. Ta thấy rằng đây là một iđêan nguyên tố của k[X1, X2, ..., Xn]. Dođó vành thương

Γ(V ) = k[X1, X2, ..., Xn]/I(V )

là một miền nguyên và được gọi là vành tọa độ của V.

Với một tập V ⊂ An, ta kí hiệu F(V, k) là tập hợp tất cả các hàm từ V tới k. F(V, k)

là một vành với các phép toán định nghĩa như sau: Nếu f, g ∈ F(V, k), (f + g)(x) =

f(x) + g(x) và (f.g)(x) = f(x).g(x) với mọi x ∈ V . Ta xem k như một vành con củaF(V, k) nếu đồng nhất k với vành con chứa tất cả các hàm hằng của F(V, k).

Trở lại trường hợp V ⊆ An là một đa tạp, một hàm f ∈ F(V, k) được gọi là mộthàm đa thức trên V , nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức F ∈ k[X1, X2, ..., Xn] vớif(a1, ..., an) = F (a1, ..., an) với mọi (a1, ..., an) ∈ V . Khi đó ta cũng nói rằng đa thứcF xác định hàm f. Như vậy, hai đa thức F và G cùng xác định hàm đa thức f nếu vàchỉ nếu (F −G)(P ) = 0 với mọi P ∈ V (nghĩa là F −G ∈ I(V )).

Ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, tập các hàm đa thức làm thành một vànhcon của F(V, k), hơn nữa, vành con này chứa k.

Trở lại với vành tọa độ trên đa tạp V. Như đã nói ở trên, Γ(V ) là một miền nguyênnên tồn tại trường thương và trường này được gọi là trường các hàm hữu tỉ trên V, kíhiệu là k(V ). Mỗi phần tử của k(V ) là một hàm hữu tỉ trên V.

Nếu f là một hàm hữu tỉ trên V và P ∈ V, ta nói rằng f xác định tại P nếu tồntại a, b ∈ Γ(V ) sao cho f =

a

bvà b(P ) 6= 0. Còn nếu tại P mà f không xác định thì ta

nói P là một điểm cực của f.Có thể chứng minh được rằng tập hợp các hàm hữu tỉ xác định tại một điểm P ∈ V

7

làm thành một vành con của k(V ), vành này được gọi là vành địa phương của V tại P

và kí hiệu là OP (V ). Hơn nữa, do mỗi phần tử của Γ(V ) xác định với mọi P ∈ V nênΓ(V ) ⊂ OP (V ) và ta có bao hàm thức

k ⊂ Γ(V ) ⊂ OP (V ) ⊂ k(V ).

Ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 0.18. ([1], chương 2, Mệnh đề 2.)

1. Tập hợp các điểm cực của một hàm hữu tỉ là một tập con đại số của V.

2. Γ(V ) =⋂

P∈VOP (V ).

Mệnh đề 0.19. ([1], chương 2, Mệnh đề 2) OP (V ) là một miền nguyên Noether địa

phương.

Chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1].

Trước khi kết thúc mục này chúng tôi trình bày khái niệm về bậc của một hàm hữutỉ.

Nhắc lại rằng, một vành Noether địa phương R sẽ được gọi là một vành giá trị rời

rạc nếu iđêan cực đại của nó là một iđêan chính. Nói cách khác, tồn tại phần tử bấtkhả quy t ∈ R sao cho với mọi phần tử z 6= 0 thuộc R ta luôn biểu diễn được mộtcách duy nhất dưới dạng utn, trong đó u là một phần tử khả nghịch trong R, n là mộtsố nguyên không âm. Phần tử t như thế được gọi là một tham số đơn trị của R; số nđược gọi là bậc của z và kí hiệu là ord(z).

Trở lại với khái niệm vành địa phương, giả sử C là một đường cong phẳng, bất khảquy, định nghĩa bởi đa thức F , P ∈ C, ta có định lí sau:

Mệnh đề 0.20. ([1], chương 3, Định lí 1.) P là một điểm đơn trên C khi và chỉ khi

OP (C) là một vành giá trị rời rạc. Trong trường hợp đó, nếu L = aX + bY + C là

đường thẳng qua P nhưng không tiếp xúc C tại P thì ảnh l của L là trong OP (C) một

tham số đơn trị của OP (C).

Như vậy, nếu P là một điểm đơn trên C thì sẽ tồn tại một hàm bậc trên k(C) kíhiệu là ordFP . Giả sử G ∈ k[X, Y ], g là ảnh của G trong Γ(C) ta sẽ viết ordFP (G) thaycho ordFP (g).

8

0.1.5 Ánh xạ đa thức và phép biến đổi tọa độ

Định nghĩa 0.21. Giả sử V ⊂ An,W ⊂ A

m là các đa tạp. Một ánh xạ ϕ : V → W

được gọi một là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T1, T2, ..., Tm ∈ k[X1, X2, ..., Xn]

sao cho

ϕ(a1, a2, ..., an) = (T1(a1, a2, ..., an), T2(a1, a2, ..., an), ..., Tm(a1, a2, ..., am)),

với mọi (a1, a2, ..., an) ∈ V.

Có thể thấy rằng, mỗi ánh xạ ϕ : V → W cảm sinh một đồng cấu ϕ : F(W, k) →

F(V, k) xác định bởi ϕ(f) = f ϕ. Nếu ϕ là một ánh xạ đa thức thì ϕ(Γ(W )) ⊂ Γ(V )

do đó, ϕ có thể hạn chế trên Γ(W ) thành một đồng cấu. Ta vẫn kí hiệu đồng cấu nàylà ϕ.

Mệnh đề 0.22. ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ An,W ⊂ Am là các đa tạp.

Khi đó, có một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V → W và các

đồng cấu ϕ : Γ(W ) → Γ(V ). Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa

thức từ An tới Am.

Một ánh xạ đa thức xác định bởi bộ m đa thức (T1, ..., Tm) từ An tới Am thườngđược kí hiệu là T = (T1, ..., Tm). Nếu m = n và các Ti, i = 1, ..., m đều có bậc 1 thì Tđược gọi là một phép biến đổi tọa độ trên An. Có thể thấy rằng mỗi phép biến đổi tọađộ là hợp thành của một ánh xạ tuyến tính trên A

n và một phép tịnh tiến.

0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ

Một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu các đa tạp đại số nói chung và đườngcong đại số nói riêng là các ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ. Chúng ta sẽ nói về các kháiniệm này sau khi xây dựng khái niệm nền tảng - tôpô Zariski.

0.2.1 Tôpô Zariski và khái niệm đa tạp tổng quát và số chiều

của đa tạp

Một không gian tôpô là một tập X cùng với một tôpô trên X. Một tập C trong Xlà tập đóng nếu X\C là mở. Nếu Y ⊂ X thì tập mở bất kì của X chứa Y được gọi làmột lân cận của Y. Thực tế, một tập bất kì mà chứa tập mở chứa Y cũng được gọi làlân cận của Y. Tuy nhiên trong luận văn này chúng ta chỉ quan tâm đến các lân cận

9

mở.Nếu Y là một tập con của không gian tôpô X thì khái niệm về tôpô cảm sinh trên

Y được định nghĩa như sau: một tập W ⊂ Y là mở trong Y nếu tồn tại một tập mởU của X sao cho W = Y ∩ U.

Với một tập con Y bất kỳ của không gian tôpô X, bao đóng của Y là giao của tấtcả các tập đóng chứa Y, kí hiệu là Y . Tập Y được gọi là trù mật trong X nếu bao đóngcủa Y chính là X.

Cho X và X ′ là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X ′ → X được gọi là liên tục nếunghịch ảnh của tập mở là tập mở. Nếu ta thêm vào điều kiện f là song ánh và f−1

cũng liên tục thì f được gọi là một đồng phôi.Tôpô Zariski là tôpô được định nghĩa trên X là không gian afin An, không gian xạ

ảnh Pn hoặc không gian hỗn tạp P

n1 × Pn2 × ... × P

nr × Am : Một tập con U của X

được gọi là tập mở nếu X\U là một tập đại số.Với định nghĩa như thế, ta có thể chứng minh được rằng mọi tập con của X đều

được trang bị tôpô cảm sinh. Đặc biệt, khi V là một đa tạp thì một tập là tập đóngcủa V khi và chỉ khi nó là tập đại số. Hơn nữa, mọi tập mở của V đều trù mật trongV.

Với tôpô Zariski, chúng ta cũng có khái niệm đa tạp và các khái niệm liên quanmột cách tổng quát hơn: Cho một tập đại số bất khả quy không rỗng V của khônggian afin, không gian xạ ảnh hay không gian hỗn tạp (như đã nói ở trên). Một tập mởbất kì của V được gọi là một đa tạp. Đa tạp này được trang bị tôpô cảm sinh từ V ;

tôpô này được gọi là tôpô Zariski trên X.Nếu U là một tập con mở của X thì U cũng mở trong V nên cũng là đa tạp và ta

gọi U là đa tạp con mở của X. Ta cũng chứng minh được rằng một tập con đóng Ybất khả quy của X là mở trong Y . Vậy Y cũng là đa tạp và được gọi là đa tạp conđóng của X.

Ta định nghĩa k(X) = k(V ),OP (X) = OP (V ). Kí hiệuΓ(U,OX) là tập tất cả cáchàm hữu tỉ xác định tại mỗi P ∈ X, ta cũng có Γ(U,OX) =

⋂

P∈XOP (X).

Trước khi kết thúc mục này ta sẽ nói về khái niệm chiều của đa tạp.Giả sử K là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k. Bậc mở rộng siêu việt của K

trên k được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại x1, x2, ..., xn ∈ K, saocho K là đại số trên k(x1, ..., xn). Khi đó ta nói K là một trường hàm đại số trên k.

Nếu X là một đa tạp, k(X) là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k. Ta địnhnghĩa số chiều của X, dimX là bậc mở rộng siêu việt của k(X) trên k. Một cách tự

10

nhiên, nếu dimX = 1 thì X được gọi là đường cong, dimX = 2 thì X được gọi là mặt,...

0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương

song hữu tỉ giữa các đường cong.

Để xây dựng khái niệm ánh xạ hữu tỉ trước hết chúng ta cần có định nghĩa về cấuxạ giữa hai đa tạp.

Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ An. Phép hợp thành vớiϕ tạo nên một đồng cấu vành ϕ : F(Y, k) → F(X, k) tức là ϕ(f) = f ϕ.

Định nghĩa 0.23. Cho X và Y là các đa tạp. Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạϕ : X → Y sao cho

1. ϕ liên tục;

2. Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U,OY ) thì ϕ(f) = f ϕ ∈ Γ(ϕ−1(U),OX).

Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1− 1 từ X lên Y sao cho ϕ−1 là cấu xạ.

Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một cách tiếp cận khái niệm cấu xạ một cáchtường minh hơn.

Mệnh đề 0.24. ([1], chương 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó, có

một tương ứng tự nhiên 1− 1 giữa các cấu xạ ϕ : X → Y và các đồng cấu ϕ : Γ(Y ) →

Γ(X). Nếu X ⊂ An, Y ⊂ Am thì một cấu xạ chính là một ánh xạ đa thức từ X tới Y.

Trước khi nói về ánh xạ hữu tỉ ta cần có kết quả sau đây:

Mệnh đề 0.25. ([1], chương 6, Hệ quả của Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y là các

cấu xạ. Khi đó, tập x ∈ X|f(x) = g(x) là một tập đóng trong X. Hơn nữa, nếu f và

g đồng nhất trên một tập trù mật của X thì f = g.

Tiếp theo, chúng ta vẫn giả sử X và Y là các đa tạp, U1, U2 là các đa tạp con mởcủa X. Các cấu xạ fi : Ui → Y, i = 1, 2 được gọi là tương đương nếu hạn chế của cáccấu xạ này trên U1∩U2 là như nhau. Theo định lí trên thì khi đó mỗi fi được xác địnhbằng hạn chế của nó trên U1 ∩ U2. Với quan hệ tương đương như vậy ta có các địnhnghĩa:

Định nghĩa 0.26. 1. Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi làmột ánh xạ hữu tỉ từ X tới Y. Ánh xạ hữu tỉ f được gọi là trội nếu f(U) trùmật trong X, với mọi U là đa tạp con mở của X.

11

2. Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tậpmở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đươngF. Khi đó, ta cũng nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ.

Ví dụ 0.27. Xét ánh xạ f : A1 → A1 xác định bởi f(t) = t3. Rõ ràng f là một ánhxạ hữu tỉ. Tuy nhiên, dễ thấy rằng ánh xạ ngược của f không là hữu tỉ. Như vậy, fkhông phải là một ánh xạ song hữu tỉ.

Ta có các kết quả quan trọng sau đây:

Mệnh đề 0.28. ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ

khi và chỉ khi các trường hàm của chúng là đẳng cấu.

Hệ quả 0.29. Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng.

Ta nói rằng một đa tạp là hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với An hoặc Pn

với n nào đó. Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau.

Định nghĩa 0.30. Một đường cong đại số được gọi là đường cong hữu tỉ nếu nó tươngđương song hữu tỉ với A1 hoặc P1.

Ví dụ 0.31. Xét đường cong C có phương trình Y 2 = X3. Ta có thể kiểm tra đượccác ánh xạ P : A1(C) → C xác định bởi P(t) = (t2, t3) , và Q : C → A

1(C) xác địnhbởi Q(X, Y ) = Y

X, là các cấu xạ hữu tỉ và chúng là ánh xạ ngược của nhau (chỉ trừ

tại điểm O(0, 0)). Nói cách khác P là một cấu xạ song hữu tỉ. Do đó, đường cong C làmột đường cong hữu tỉ.

0.2.3 Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội

Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội là một khái niệm quan trọng trong việc khảo sát cáctính chất hình học của một đường cong mà ta sẽ sử dụng ở trong chương cuối của luậnvăn.

Định nghĩa 0.32. Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với dimW1 = dimW2. Tađịnh nghĩa bậc của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W1) trên ϕ(k(W2)), tức là:

deg(ϕ) = [k(W1) : ϕ(k(W2))].

Ta có thể sử dụng khái niệm này để đặc trưng cho tính song hữu tỉ của một ánhxạ trội như sau:

12

Bổ đề 0.33. ([5], chương 2, Bổ đề 2.41) Một ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với

dimW1 = dimW2, là song hữu tỉ khi và chỉ khi deg(ϕ) = 1.

Các kết quả sau đây cần thiết cho việc tính toán bậc của các ánh xạ hữu tỉ trội.

Bổ đề 0.34. ([5], chương 2, Bổ đề 2.42) Giả sử ϕ1 : W1 → W2, ϕ2 : W2 → W3 là các

ánh xạ hữu tỉ trội giữa các đa tạp có cùng số chiều. Khi đó

deg(ϕ2 ϕ1) = deg(ϕ1). deg(ϕ2).

Mệnh đề 0.35. ([5], chương 2, Định lí 2.43) Giả sử ϕ : W1 → W2 là ánh xạ hữu tỉ

trội giữa các đa tạp cùng chiều. Khi đó, tồn tại tập con mở U khác rỗng của W2 sao

cho với mọi P ∈ U thì ϕ−1(P ) có số phần tử đúng bằng deg(ϕ).

0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong

Khi nghiên cứu về các đường cong đại số thì số giao và hệ tuyến tính của các đườngcong là những khái niệm mang tính nền tảng. Nếu như số giao là công cụ không thểthiếu đối với các bài toán tương giao của các đường cong thì hệ tuyến tính của cácđường cong nói chung, hệ tuyến tính các đường cong liên hợp nói riêng lại đóng vai tròquyết định trong việc giải bài toán tham số hóa hữu tỉ.

0.3.1 Số giao của các đường cong. Định lí Bézout

Trước hết, ta xem xét khái niệm số giao của hai đường cong trong mặt phẳng afinA2.

Cho F và G là hai đường cong trong mặt phẳng A2. Số giao của F và G tại mộtđiểm bất kì P ∈ A2 được kí hiệu là IP (F,G) và được xác định thông qua 7 tính chấtsau.

1. IP (F,G) ≥ 0, ∀F,G và ∀P ∈ A2.

IP (F,G) = ∞ nếu F và G có nhân tử chung đi qua P .

2. IP (F,G) = 0 nếu P 6∈ F ∩G.

3. Nếu T là một phép thay đổi tọa độ mà T (Q) = P thì IP (F,G) = IQ(FT , GT ).

4. IP (F,G) = IP (G,F ).

13

5. IP (F,G) ≥ mP (F ).mP (G). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F và G không cótiếp tuyến chung tại P .

6. Giả sử F =∏

i Feii , G =

∏

j Gsjj thì

IP (F,G) =∑

i,j

eisjIP (Fi, Gj).

7. IP (F,G) = IP (F,G+HF ), ∀H ∈ k[X, Y ].

Tính đúng đắn của định nghĩa số giao và công thức tính được thể hiện thông qua địnhlý sau:

Mệnh đề 0.36. ([1], chương 3, Định lí 3) Tồn tại duy nhất một số giao IP (F,G) xác

định cho mọi cặp đường cong F và G và mọi điểm P ∈ A2, thỏa mãn 7 tính chất trên.

Ngoài ra

IP (F,G) = dimk(OP (A2)/(F,G)).

Trong đó OP (A2) là vành địa phương của A2 tại P .

Tiếp theo ta xét trong không gian xạ ảnh P2. Cho F và G là hai đường cong xạ ảnh,số giao của F và G tại một điểm P ∈ P2 được xác định như sau: IP (F,G) = IP∗

(F∗, G∗).

Số giao trong P2 cũng thỏa mãn 7 tính chất của số giao trong A2, chỉ có thay đổiở tính chất thứ 7, và tính chất này được phát biểu lại như sau:

IP (F,G) = IP (F,G+ AF ) với mọi A mà deg(A) = deg(G)− deg(F ).Ta kết thúc mục này bằng một kết quả cổ điển

Định lý 0.37. (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m,n

tương ứng. Giả sử F và G không có nhân tử chung. Khi đó∑

P∈P2

IP (F,G) = mn.

0.3.2 Chu trình giao. Định lí Max Noether

Một chu trình không trên mặt phẳng xạ ảnh P2 là một tổng hình thức∑

P∈P2 nPP

trong đó nP là các số nguyên và chỉ có hữu hạn các nP khác 0.Bậc của chu trình không

∑

nPP được định nghĩa bằng

∑

nP . Một chu trình khôngđược gọi là dương nếu nP ≥ 0 với mọi P. Ta nói rằng

∑

nPP lớn hơn∑

mPP nếunP ≥ mP với mọi P, khi đó ta viết

∑

nPP ≥∑

mPP.

Tiếp theo ta giả sử F,G là các đường cong xạ ảnh với bậc tương ứng m và n khôngcó thành phần chung. Ta định nghĩa chu trình giao F G là

F G =∑

P∈P2

I(P, F ∩G)P.

14

Định lí Bézout cho thấy F G là một chu trình dương, bậc mn.Từ các tính chất của số giao ta cũng có thể chứng minh được một số tính chất

đơn giản của chu trình giao. Chẳng hạn: F G = G F ;F (GH) = F G + F H vàF (G+ AF ) = F G với A là một dạng thuần nhất và deg(A) = deg(G)− deg(F ).

Điều kiện Noether: Giả sử P ∈ P2, F, G là các đường cong không có thành phầnchung cắt nhau tại P,H là một đường cong khác. Ta nói rằng điều kiện Noether đượcthỏa mãn tại P (đối với F,G và H), nếu H∗ ∈ (F∗, G∗) ⊂ OP (P

2), tức là, tồn tạia, b ∈ OPP

2 sao cho H∗ = aF∗ + bG∗.

Định lý 0.38. (Định lí cơ bản Max Noether) Cho các đường cong xạ ảnh phẳng

F,G,H, trong đó F và G không có thành phần chung. Khi đó, tồn tại đẳng thức

H = AF +BG (A,B là các dạng thuần nhất và deg(A) = deg(H)− deg(F ), deg(B) =

deg(H)− deg(G)) nếu và chỉ nếu điều kiện Noether thỏa mãn tại mọi P ∈ F ∩G.

0.3.3 Hệ tuyến tính các đường cong.

Hệ tuyến tính của các đường cong là công cụ rất quan trong đối với bài toán thamsố hóa hữu tỉ. Để xây dựng khái niệm này chúng ta xuất phát từ ý tưởng như sau:Chúng ta coi mỗi đường cong bậc d trong mặt phẳng xạ ảnh P2 như là một điểm củakhông gian xạ ảnh P

d(d+3)2 . Điều này hoàn toàn thực hiện được vì chúng ta biết rằng

một đường cong bậc d sẽ xác định nếu ta biết đầy đủ các hệ số a1, a2, ..., aN+1 (vớiN = d(d+3)

2) của các đơn thức bậc d theo một thứ tự cố định. Chẳng hạn, một đường

cong bậc 2 tổng quát a1X2 + a2Y2 + a3Z

2 + a4XY + a5Y Z + a6XZ tương ứng vớiđiểm [a1 : a2 : ... : a6] ∈ P5. Vì thế, một đường cong bậc d có thể xem như điểm[a1 : a2 : ... : aN+1] ∈ P

d(d+3)2 (đương nhiên (a1, a2, ..., aN+1) và λ(a1, a2, ..., aN+1), với

λ 6= 0 xác định cùng một đường cong). Như vậy ta có thể nói rằng tập hợp các đườngcong bậc d là không gian xạ ảnh có chiều là d(d+3)

2.

Bây giờ, nếu ta đặt các điều kiện cho tập hợp các đường cong bậc d thì tập cácđường cong bậc d thỏa mãn các điều kiện đó sẽ là một tập con của P

d(d+3)2 . Nếu tập

con này là một đa tạp con tuyến tính (đa tạp con sinh bởi các đa thức thuần nhất bậc1) của P

d(d+3)2 thì ta gọi là một hệ tuyến tính của các đường cong phẳng bậc d.

Ta có các kết quả sau:

Bổ đề 0.39. ([1], chương 5, Bổ đề trong mục 5.2)

(1) Giả sử P ∈ P2. Khi đó, tập hợp các đường cong phẳng xạ ảnh bậc d đi qua P là

một siêu mặt của Pd(d+3)

2 .

15

(2) Nếu T : P2 → P2 là một phép biến đổi tọa độ thì ánh xạ F 7→ F T từ tập các đường

cong bậc d vào chính nó là một phép biến đổi tọa độ của Pd(d+3)

2 .

Giả sử P1, P2, ..., Pn là các điểm trong P2, r1, r2, ..., rn là các số nguyên không âm. ĐặtV (d, r1P1, r2P2, ..., rnPn) là tập hợp các đường cong bậc d mà mPi

(F ) ≥ ri, (1 ≤ i ≤ n).

Mệnh đề 0.40. ([1], chương 5, Định lí 1)

1. V (d, r1P1, r2P2, ..., rnPn) là đa tạp con tuyến tính của Pd(d+3)

2 với số chiều không

nhỏ hơn d(d+3)2

−∑ ri(ri+1)

2.

2. Nếu d ≥∑

ri thì dim V (d, r1P1, r2P2, ..., rnPn) =d(d+3)

2−∑ ri(ri+1)

2.

0.4 Giải kì dị đường cong đại số

Khi nghiên cứu một đường cong đại số, ngoài các điểm đơn và các kì dị thôngthường với các tính chất hình học đã rõ ràng thì chúng ta còn gặp các kì dị khôngthông thường (đã định nghĩa ở đầu chương). Ta cần phải xem xét các kì dị loại nàymột cách đặc biệt.

Trong phần này chúng tôi trình bày một công cụ để giải quyết vấn đề nêu trên (giảikì dị) đó là các phép nổ. Mục đích của phương pháp này là xây dựng một ánh xạ songhữu tỉ biến đường cong thành một mô hình mới, vẫn là một đa tạp nhưng với các kìdị đơn giản hơn, còn kì dị đang xét được thay thế bởi một đường thẳng. Ở đây chúngtôi chỉ đưa ra các kết quả, chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1].

0.4.1 Phép nổ một điểm trong không gian afin

Giả sử P (0, 0) ∈ A2, với (X, Y ) là hệ tọa độ của A2. Gọi U = A2\V (X). Xétcấu xạ f : U → A1 = k xác định bởi f(x, y) = y/x. Khi đó, ta gọi đồ thị của f làG = (x, y, z) ∈ A3|y = xz, x 6= 0.

Giả sử B = (x, y, z) ∈ A3|y = xz, π : B → A2 xác định bởi π(x, y, z) = (x, y).

Khi đó, π(B) = U ∪P. Ta có L = π−1(P ) = (0, 0, z)|z ∈ k là một đa tạp con đóngcủa B, còn π hạn chế thành đẳng cấu từ π−1(U) lên U.

Bây giờ ta xét ϕ : A2 → B xác định bởi ϕ(x, z) = (x, xz, z). Dễ thấy rằng ϕ là mộtđẳng cấu. Giả sử ψ = π ϕ : A2 → A2;ψ(x, z) = (x, xz). Gọi E = ψ−1(P ) = ϕ−1(L) =

V (X). Khi đó ψ : A2\E → U là một đẳng cấu nên ψ là một cấu xạ song hữu tỉ củamặt phẳng vào chính nó.

Như vậy, phép nổ một điểm trong không gian afin chính là cấu xạ song hữu tỉ ψ mà

16

chúng ta vừa xây dựng. Áp dụng cho đường cong C 6= V (X) : Nếu ta kí hiệu C0 = C∩U,

là một đa tạp con mở của C. Gọi C′0 = ψ−1(C0) và nếu C′ là bao đóng của C′

0 trong A2.

Gọi f : C′ → C là hạn chế của ψ lên C′. Khi đó, f là cấu xạ song hữu tỉ giữa C′ và C.

Ta có các khẳng định sau:

1. Giả sử C = V (F ), F = Fr + Fr+1 + ... + Fn, Fi là thành phần thuần nhất bậci, r = mP (C), n = deg(C). Khi đó, C′ = V (F ′), với F ′ = Fr(1, Z)+XFr+1(1, Z)+

...+Xn−rFn(1, Z).

2. Nếu đường thẳngX = 0 không tiếp xúc với C tại P và giả sử Fr =s∏

i=1

(Y −ai)ri, khi

đó Y −αiX là các tiếp tuyến với C tại P. Với F như trên, f−1(P ) = P1, P2, ..., Ps,

trong đó Pi = (0, αi) và

mP (C′) ≤ I(Pi, C

′ ∩ E) = ri.

Nếu P là một điểm bội thông thường trên C thì mỗi Pi là một điểm đơn trên C′

và ordC′

Pi(x) = 1.

3. Tồn tại một lân cận afin W của P trên C sao cho W ′ = f−1(W ) là một đa tạpcon afin mở trên C′, f(W ′) = W. Hơn nữa, Γ(W ′) là mô-đun hữu hạn sinh trênΓ(W ) và xr−1Γ(W ′) ⊂ Γ(W ).

0.4.2 Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh

Tổng quát hơn, trong không gian xạ ảnh ta có thể thực hiện phép nổ cho nhiềuđiểm.

Giả sử P1, P2, ..., Pt ∈ P2. Chúng ta sẽ nổ tất cả các điểm này và thay chúng bằngcác đường thẳng xạ ảnh. Để cho đơn giản (sử dụng phép biến đổi tọa độ nếu cần) tagiả sử Pi = [ai1 : ai2 : 1].

Giả sử U = P2\P1, P2, ..., Pt. Định nghĩa các ánh xạ fi : U → P1 bởi công thức:

fi([x1 : x2 : x3]) = [x1 − ai1x3 : x2 − ai2x3].

Gọi f = (f1, ..., ft) : U → P1 × ...× P1 (t lần) và gọi G là đồ thị của f.Tiếp theo, ta kí hiệu

B = V (Yi1(X2 − ai2X3)− Yi2(X1 − ai1X3)|i = 1, ..., t) ⊂ P2 × P

1 × ...× P1,

trong đó X1, X2, X3 là các tọa độ thuần nhất trong P2, còn Yi1, Yi2 là tọa độ thuầnnhất trong P1 thứ i.

Cách xây dựng các ánh xạ ϕ và ψ tương tự như trong trường hợp afin.

17

0.4.3 Phép biến đổi bậc hai

Trong mục này chúng ta xét một loại ánh xạ song hữu tỉ tổng quát hơn các phépnổ trình bày ở trên. Đó là các phép biến đổi bậc hai của mặt phẳng xạ ảnh lên chínhnó, còn gọi là ánh xạ Cremona.

Trong P2 ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P ′ = [0 : 1 : 0], P ′′ = [1 : 0 : 0] là các điểmcơ sở; L = V (Z), L′ = V (Y ), L′′ = V (X) là các đường thẳng cá biệt. Chú ý rằng P làgiao điểm của L′ và L′′, còn L đi qua P ′ và P ′′. Kí hiệu U = P2\V (XY Z).

Định nghĩa 0.41. Phép biến đổi Q : P2\P, P ′, P ′′ → P2 định nghĩa bởi Q([x : y :

z]) = [yz : xz : xy], được gọi là phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremonachuẩn. Với mỗi phép biến đổi tọa độ T ta gọi Q T là một phép biến đổi bậc hai.

Có thể thấy rằng phép biến đổi Cremona định nghĩa một tương ứng 1− 1 giữa cácđiểm của U lên chính nó. Vì rõ ràng, Q là ánh xạ ngược của chính nó do Q(Q([x : y :

z])) = [xzxy : yzxy : yzxz] = [x : y : z]. Nói cách khác phép biến đổi bậc hai là mộtánh xạ song hữu tỉ từ P2 vào P2.

Trước khi nghiên cứu tác động của phép biến đổi bậc hai chuẩn lên một đường congxạ ảnh bất khả quy ta cần thêm một vài khái niệm:

Thứ nhất, nếu một đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi đa thức thuần nhấtF (X, Y, Z) thì đa thức G(X, Y, Z) = F (Y Z, ZX,XY ) được gọi là dạng biến đổi đại

số của F ; nếu G(X, Y, Z) = H(X, Y, Z).F (X, Y, Z), trong đó H(X, Y, Z) là đơn thứctheo X, Y, Z, và F không chia hết cho bất kỳ X, Y, Z, thì ta nói F là dạng biến đổi bậc

hai của F ; ta cũng gọi đường cong C định nghĩa bởi F là dạng biến đổi bậc hai của C.Thứ hai, ta nói một đường cong C có vị trí tốt nếu không đường thẳng cá biệt nào

tiếp xúc với C tại các điểm cơ sở; đường cong C bậc n với multP (C) = r có vị trí hoàn

hảo nếu C có vị trí tốt và L giao hoành với C tại n điểm phân biệt mà không có điểmnào là cơ sở, L′, L′′ mỗi đường giao hoành với C tại đúng n − r điểm phân biệt màkhông có điểm nào là cơ sở.

Bây giờ ta nghiên cứu sự tác động của một phép biến đổi bậc hai chuẩn lên cácđiểm kì dị của một đường cong.

Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sởP, P ′, P ′′ có bội tương ứng là r1, r2, r3 trên C. Giả sử F là dạng biến đổi bậc hai của Fvà C là đường cong định nghĩa bởi F . Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong[1].

(1) Zr1 là lũy thừa cao nhất của Z mà là ước của FQ.

18

(2) deg(F ) = 2n− r1 − r2 − r3,˜F = F, F bất khả quy và C = V (F ).

(3) C có bội n− r2 − r3, n− r1 − r3, n− r1 − r2, tương ứng tại P, P ′, P ′′.

(4) Nếu C có vị trí tốt thì C cũng có vị trí tốt.

(5) Nếu C có vị trí tốt và P1, P2, ..., Ps không phải các điểm cơ sở trong C ∩ L thì

mPi(C) ≤ I(Pi, C ∩ L) và

s∑

i=1

I(Pi, C ∩ Z) = r1.

(6) Nếu C có vị trí hoàn hảo thì C có các tính chất sau:

(a) Có một sự tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất giữa các điểm bội củaC trong U với các điểm bội của C trong U.

(b) P, P ′, P ′′ là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n− r1, n− r1.

(c) Trên C ∩ L′ hoặc C ∩ L′′ không có điểm nào không phải điểm cơ sở. Giả sửtrên C ∩L có các điểm P1, ..., Ps là các điểm không phải cơ sở thì mPi

(C) ≤

I(Pi, C ∩ L) vàs∑

i=1

I(Pi, C ∩ L) = r1.

(7) Với một đường cong xạ ảnh C như giả thiết có các điểm kì dị có bội bằng rP =

mP (C), kí hiệu

g∗(C) =(n− 1)(n− 2)

2−∑ rP (rP − 1)

2.

và ta có thể chứng minh được rằng đây là một số không âm.

Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g∗(C) = g∗(C) −s∑

1=1

ri(ri−1)2

, với ri = mPi(C) và

P1, ..., Ps là các điểm khác cơ sở của C ∩ L.

Chúng ta thấy rằng các đường cong ở vị trí hoàn hảo sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơntrong việc tìm hiểu các điểm kì dị. Hơn nữa, mệnh đề sau cho chúng ta thấy rằng, luôncó thể đưa một đường cong về vị trí hoàn hảo nhờ một phép biến đổi tuyến tính tọađộ trong P

2.

Bổ đề 0.42. ([1], chương 7, Bổ đề 1) Cho C là một đường cong xạ ảnh phẳng bất khả

quy, P là một điểm trên C. Khi đó, có một phép biến đổi tọa độ T sao cho F T có vị

trí hoàn hảo và T ([0 : 0 : 1]) = P.

Còn tính hữu hạn của quá trình giải kì dị được khẳng định trong mệnh đề:

Mệnh đề 0.43. ([1], chương 7, Định lí 2) Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi

bậc hai, một đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành một đường cong chỉ có các

kì dị thường.

19

Liên quan đến các phép biến đổi bậc hai, ta giới thiệu khái niệm về các điểm

lân cận. Giả sử C là đường cong bất khả quy bậc d định nghĩa bởi F (X, Y, Z) vàQ = (Q1, Q2, . . . Qn) là dãy các phép biến đổi bậc hai biến C thành đường cong màchỉ chứa các kì dị thông thường. Ta quy ước rằng Qi là hợp thành của một phép biếnđổi bậc hai với một phép biến đổi tọa độ mà chuyển một trong các kì dị về thành mộtđiểm cơ sở. Giả sử rằng Q sinh ra dãy các đường cong bất khả quy

C = C0Q1−→ C1

Q2−→ ...

Qn−→ Cn,

trong đó, Ci+1 là dạng biến đổi bậc hai nhận được từ Ci bởi Qi+1 với 0 ≤ i ≤ n−1. Xétđiểm P bội r trên C và giả sử P chưa chuyển thành một điểm cơ sở cho tới tác độngcủa Qi. Khi đó lân cận đầu tiên của P ứng với Q được định nghĩa bởi tập hợp tất cảcác giao điểm khác cơ sở của đường cong Ci+1 với đường thẳng cá biệt L nếu P đượcchuyển thành [0 : 0 : 1] bởi phép biến đổi tọa độ phù hợp. Tương tự, đó là các giao điểmkhác cơ sở của Ci+1 với đường thẳng L′′(L′) nếu P chuyển thành [1 : 0 : 0]([0 : 1 : 0]).Các điểm trong lân cận đầu tiên của P tương ứng với Q được gọi là các điểm lân cậncủa P tại lân cận thứ nhất của nó. Nếu P ′ là điểm nằm trong lân cận thứ nhất củaP thì P ′ nằm trên Ci+1, ta định nghĩa bội và tính chất của nó như bội và tính chấtcủa P ′ nằm trên Ci+1. Tương tự, nếu P1′, P2′, . . . P s là lân cận đầu tiên của P ứngvới Q, ta có lân cận thứ hai của P ứng với Q là hợp của các lân cận thứ nhất củaPk, k = 1, . . . s. Các điểm trong lân cận thứ hai của P ứng với Q được gọi là các điểmlân cận tại lân cận thứ hai của nó. Bội và tính chất của các điểm tại lân cận thứ haiđược định nghĩa một cách tương tự như với các điểm thuộc lân cận thứ nhất. Nhưngcần chú ý rằng có thể không phải tất cả các điểm lân cận đều nằm trên cùng mộtđường cong. Ta có thể mở rộng khái niệm này với các bậc cao hơn. Nói chung, ta sẽgọi bất kỳ điểm nào trong các lân cận của P là một điểm lân cận của P . Các điểm lâncận của P có bội lớn hơn 1 thì được gọi là các điểm kì dị lân cận của P .

Ta có định nghĩa:

Định nghĩa 0.44. Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy, P ∈ Sing(C).Nếu P là kì dị thông thường thì cây lân cận tại P bao gồm nút đơn P . Còn nếu P là kìdị không thông thường thì cây lân cận tại P có P là gốc và cây lân cận của các điểmkì dị lân cận của P tại lân cận thứ nhất như các cây con.

Đồ thị lân cận của P , ký hiệu là Ngr(C), là tập các cây lân cận của tất cả các điểmkì dị của C.

Từ đó, nếu cây lân cận bao gồm kì dị thông thường P thì nhánh liên kết của câychấm dứt tại P . Vậy lân cận đồ thị của bất kỳ đường cong nào cũng hữu hạn.

20

Trước khi kết thúc mục này ta có một khái niệm quan trọng đối với bài toán thamsố hóa hữu tỉ.

Định nghĩa 0.45. Một đường cong xạ ảnh C′ được gọi là một liên hợp của đường congbất khả quy C khi và chỉ khi multP (QP (C

′)) ≥ multP (QP (C))− 1 với ∀P ∈ Ngr(C).Ta nói rằng C′ là một đường cong liên hợp bậc m của C nếu C′ là liên hợp của C và

deg(C′) = m.

0.4.4 Mô hình không kì dị của đường cong đại số

Chúng ta thấy rằng, với một đường cong xạ ảnh cho trước thì số điểm kì dị là hữuhạn và với một dãy hữu hạn các phép biến đổi bậc hai ta có thể tìm được một đườngcong mới tương đương song hữu tỉ với đường cong đã cho mà chỉ có các kì dị thôngthường. Đến đây, nếu ta tiếp tục dùng phép nổ các điểm trong mặt phẳng xạ ảnh thìsẽ thu được đường cong trơn. Các phép nổ cũng là một ánh xạ song hữu tỉ, do đó môhình nhận được là tương đương song hữu tỉ với đường cong ban đầu.

Mệnh đề 0.46. ([1], chương 7, Định lí 3) Cho C là một đường cong xạ ảnh. Khi đó

có một đường cong xạ ảnh không kì dị X và cấu xạ song hữu tỉ f từ X lên C. Nếu

f ′ : X ′ → C cũng là một mô hình như vậy thì tồn tại duy nhất đẳng cấu g : X → X ′

sao cho f ′ g = f.

Một đường cong X cùng với ánh xạ f như trong định lí trên được gọi là một môhình không kì dị của đường cong C.

Liên quan giữa điều kiện Noether và mô hình không kì dị của đường cong ta còncó mệnh đề sau:

Mệnh đề 0.47. ([1], chương 7, Mệnh đề 3) Giả sử F là đa thức định nghĩa của đường

cong xạ ảnh phẳng bất khả quy C, P là một điểm bội r trên C. Giả sử P1, P2, ..., Pr là

các điểm trên X sao cho f(Pi) = P, ∀i = 1, ..., r. Nếu D, E là các đường cong phẳng

(có thể khả quy) thì các điều kiện Noether là thỏa mãn đối với C,D, E tại P nếu

ordPi(E) ≥ ordPi

(G) + r − 1, ∀i = 1, ..., r.

0.5 Không gian ước và giống. Định lí Riemann

Trong phần này, chúng ta nói về một bất biến tôpô quan trọng của đường cong đạisố đó là giống,

Ở đây, ta giả sử C là đường cong xạ ảnh bất khả quy, f : X → C là cấu xạ song

21

hữu tỉ từ mô hình không kì dị X lên C như đã nói trong phần trước. Và nếu một điểmQ ∈ X , f(Q) = P ∈ C thì với mỗi đường cong phẳng G, ta có G∗ ∈ OP (P

2). Giả sử g

là ảnh của G∗ trong OP (C). Ta định nghĩa ordQ(g) là ordQ(G).

0.5.1 Giới thiệu về ước và không gian L(D)

Một ước trên X là một tổng hình thức D =∑

P∈X nPP , nP ∈ Z và chỉ có hữu hạnnP khác không. Như thế, các ước trên X làm thành một nhóm abel tự do trên tập X .

Bậc của một ước D, kí hiệu bởi deg(D), được tính bằng∑

nP . Dễ thấy rằngdeg(D + D′) = deg(D) + deg(D′). Ta nói rằng, D =

∑

P∈X nPP là một ước thực sự

hay dương nếu nP ≥ 0 với mọi P, còn ta viết∑

P∈X nPP ≥∑

P∈XmPP nếu nP ≥ mP

với mọi P.Nếu G là một đường cong phẳng và C không là thành phần của G ta định nghĩa

ước của G, div(G) =∑

P∈X ordP (G)P.

Với z ∈ k(C) định nghĩa ước của z, div(z) =∑

P∈X ordP (z)P. Đây là định nghĩa tốtdo z chỉ có hữu hạn cực và không điểm. Ta kí hiệu (z)0 =

∑

ordP (x)>0 ordP (z)P là ướccủa các không điểm và (z)∞ =

∑

ordP (x)<0 ordP (z)P là ước của các điểm cực. Khi đó,div(z) = (z)0−(z)∞ và dễ thấy rằng div(zz′) = div(z)+div(z′) và div(z−1) = − div(z).

Hơn nữa, deg(div(z)) = 0.

Trong trường hợp D,D′ là các ước mà D = D′ + div(z) với z ∈ k(C) nào đó thì D vàD′ được gọi là tương đương tuyến tính và kí hiệu là D ≡ D′.

Mệnh đề 0.48. ([1], chương 8, Mệnh đề 2)

1. Quan hệ ≡ là một quan hệ tương đương.

2. D ≡ 0 khi và chỉ khi D = div(z), z ∈ k(C).

3. Nếu D ≡ D′ thì deg(D) = deg(D′).

4. Nếu D ≡ D′ và D1 ≡ D′1 thì D +D1 ≡ D′ +D′

1.

5. Giả sử C là một đường cong phẳng. Điều kiện cần và đủ để D ≡ D′ là tồn tại hai

đường cong G,G ′ cùng bậc với D + div(G = D′ + div(G ′)).

Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị thông thường. Với mỗi Q ∈ X ,

giả sử rQ = mf(Q)(C). Xét ước dương E =∑

Q∈X (rQ − 1)Q. Dễ thấy rằng, bậc của Elà∑

mP (C)(mP (C − 1)). Hơn nữa, ta còn có kết quả sau:

22

Định lý 0.49. (Định lí phần dư) Giả sử D và D′ là các ước dương trên X với

D ≡ D′. Giả sử G là một đường cong liên hợp bậc m của C sao cho div(G) = D+E+A,

với ước dương A nào đó. Khi đó tồn tại một đường cong liên hợp G ′ bậc m của C sao

cho div(G ′) = D′ + E + A.

Và cuối cùng, chúng ta xây dựng khái niệm then chốt của khái niệm giống đó làkhông gian L(D). Ta xét một ước D =

∑

P∈X nPP và tập hợp

L(D) = f ∈ k(C)| ordP (f) ≥ −nP , ∀P ∈ X.

Có thể chứng minh được rằng L(D) là một không gian véc-tơ trên k. Hơn nữa, nếu kíhiệu l(D) là số chiều của L(D) thì l(D) là hữu hạn. Điều này được khẳng định trongmệnh đề sau:

Mệnh đề 0.50. ([1], Chương 8, Mệnh đề 3)

1. Nếu D ≤ D′ thì L(D) ⊂ L(D′) và dimk(L(D′)/L(D)) ≤ deg(D′ −D).

2. L(0) = k, L(D) = 0 nếu deg(D) < 0.

3. l(D) < +∞ và nếu deg(D) ≥ 0 thì l(D) ≤ deg(D) + 1.

4. Nếu D ≡ D′ thì l(D) = l(D′).

Nói riêng về các ước tạo nên từ các không điểm của một hàm hữu tỉ trong k(C) tacó mệnh đề:

Mệnh đề 0.51. ([1], Mệnh đề 4, chương 8) Với x ∈ k(C), x /∈ k. Đặt Z = (x)0 và

n = [k(C) : k(x)]. Khi đó:

1. Z là một ước dương bậc n.

2. Tồn tại hằng số τ sao cho l(rZ) ≥ rn− τ với mọi r.

0.5.2 Định lí Riemann và giống của đường cong

Như trong mục trên ta đã thấy rằng nếu D lớn thì L(D) cũng lớn. Cụ thể hơn, tacó định lí:

Định lý 0.52. (Định lí Riemann) Tồn tại một số nguyên g sao cho l(D) ≥ deg(D)+

1− g với mọi ước D. Số nguyên nhỏ nhất như vậy được gọi là giống của đường cong C

hoặc X .

23

Chứng minh. Với mỗi ước D ta đặt s(D) = deg(D) + 1 − l(D). Ta cần tìm g sao chos(D) ≤ g với mọi D.

Dễ thấy rằng s(0) = 0 nên nếu g tồn tại thì g ≥ 0.

Theo mệnh đề 0.48, nếu D ≡ D′ thì s(D) = s(D′).

Theo mệnh đề 0.50, nếu D ≤ D′ thì dimk(L(D′)/L(D)) ≤ deg(D′ − D) suy ra

deg(D)− l(D) ≤ deg(D′)− l(D′) nên s(D) ≤ s(D′).

Bây giờ, giả sử x ∈ k(C), x /∈ k, Z = (x)0 và τ là số nguyên nhỏ nhất được nhắc tớitrong mệnh đề 0.51 (2). Vì s(rZ) ≤ τ+1 với mọi r và rZ ≤ (r+1)Z nên s(rZ) = τ+1

với mọi số dương r đủ lớn.Cuối cùng, ta chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi ước D sẽ tồn tại ước D′ ≡ D và một

số nguyên r ≥ 0 sao cho D′ ≤ rZ. Thật vậy: Giả sử Z =∑

nPP,D =∑

mPP. Tacần tìm D′ = D − div(f), nên phải có mP − ordP (f) ≤ rnP với mọi P. Đặt y = x−1

và T = P ∈ X|mP > 0 và ordP (y) ≥ 0. Lấy f =∏

P∈T (y − y(P ))mP . Khi đó,mP − ordP (f) ≤ 0. Nếu ordP (y) < 0 thì nP > 0 nên một số r đủ lớn sẽ thỏa mãn.

Hệ quả 0.53. Nếu l(D0) = deg(D0)+1−g và D ≡ D′ ≥ D0 thì l(D) = deg(D)+1−g.

Hệ quả 0.54. Nếu x ∈ k(C) và x /∈ k thì g = deg(r(x)0)− l(r(x)0) + 1 với mọi r đủ

lớn.

Hệ quả 0.55. Tồn tại số nguyên N sao cho với mọi ước D, deg(D) > N, thì l(D) =

deg(D) + 1− g.

Định lí Riemann cho ta khái niệm về giống của đường cong nhưng cách tính giốngcủa đường cong lại phụ thuộc vào mô hình của đường cong mà trong đó chỉ có các kìdị thông thường hoặc đường cong trơn nhận được sau quá trình giải kì dị. Mệnh đềsau đây khẳng định điều đó.

Mệnh đề 0.56. ([1], chương 8, Mệnh đề 5) Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có

các kì dị thường. Khi đó, nếu n = deg(C) và rP = mP (C) thì giống của đường cong cho

bởi công thức

g =(n− 1)(n− 2)

2−∑

P∈C

rP (rP − 1)

2.

Chứng minh. Theo hệ quả 0.55, để tính giống ta cần tìm ước đủ lớn D nào đó mà tacó thể tính được l(D). Định lí phần dư giúp chúng ta tìm được tất cả các ước dươngtương đương tuyến tính với ước đã cho D. Từ những điều này sẽ giúp chúng ta tínhđược giống g của đường cong.

24

Biến đổi tọa độ nếu cần, ta có thể giả sử đường thẳng Z = 0 cắt đường congtại n điểm phân biệt P1, P2, ..., Pn. Giả sử F là đa thức định nghĩa của C. Xét ước

E =∑

Q∈X(rQ − 1)Q, rQ = rf(Q) = mf(Q)(C). Giả sử Em = mn∑

i=1

−E. Khi đó, Em là

ước có bậc là mn−∑

P∈C rP (rp − 1).

Giả sử Vm là tập hợp các đa thức thuần nhất sao cho mỗi đa thức định nghĩa mộtđường cong liên hợp với C. Khi đó, với mỗi G ∈ Vm ta có mP (G) ≥ rP − 1, ∀P ∈ C. Ápdụng mệnh đề 0.40 ta có:

dim Vm ≥(m+ 1)(m+ 2)

2−∑ rP (rP − 1)

2,

đẳng thức xảy ra khi m đủ lớn.Xét ánh xạ ϕ : Vm → L(Em) xác định bởi ϕ(G) = G/Zm. Có thể thấy rằng ϕ là

một ánh xạ tuyến tính và ϕ(G) = 0 khi và chỉ khi F là một nhân tử của G. Ta sẽchứng minh ϕ là toàn ánh. Thật vậy: Với f ∈ L(Em) ta viết f = R/S với R, S là cácđa thức thuần nhất cùng bậc. Khi đó, div(RZm) ≥ div(S) +E nên theo mệnh đề 0.47có một phương trình RZm = AS + BF. Vậy R/S = A/Zm ∈ k(C), suy ra ϕ(A) = f.

(Chú ý rằng, div(A) = div(RZm)− div(S) ≥ E nên A ∈ Vm).Tiếp theo, xét ánh xạ ψ : Wm−n → Vm, trong đó Wm−n là không gian các đa

thức thuần nhất bậc m − n, xác định bởi ψ(H) = FH, ∀H ∈ Wm−n. Dễ thấy rằngImψ = kerϕ nên ta có dãy khớp ngắn

0 →Wm−nψ−→ Vm

ϕ−→ L (Em) → 0.

Khi đó, với m đủ lớn ta có

l(Em) = deg(Em) + 1− ((m+ 1)(m+ 2)

2−∑ rP (rP − 1)

2).

Nhưng vì deg(Em) tăng khi m tăng nên theo hệ quả 0.55 ta có điều cần chứng minh.

25

Chương 1

Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ

Trong chương này chúng tôi trình bày các thuật toán tham số hóa với hai trườnghợp: Trường hợp riêng, tham số hóa bằng hệ các đường thẳng, và trường hợp tổngquát, tham số hóa bằng hệ tuyến tính các đường cong liên hợp. Sau mỗi thuật toán làmột số ví dụ minh họa. Ở đây, chúng tôi sử dụng các tài liệu tham khảo chính là [3]và [5].

Trong phần còn lại của luận văn ta luôn giả sử một phép tham số hóa afin hữutỉ luôn được cho dưới dạng P(t) = (f(t), g(t)) =

(

fn(t)fd(t)

, gn(t)gd(t)

)

. Trong đó, f, g ∈

k(t), fn, fd, gn, gd ∈ k[t]. Ngoài ra, với P(t) như vậy ta còn xét các đa thức f(s, t) =

fn(t)fd(s)− fn(s)fd(t), g(s, t) = gn(t)gd(s)− gn(s)gd(t), các đa thức này được sử dụngnhiều trong chương 2.

1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa

Trong thực tế, một số đường cong phẳng có thể được biểu diễn bằng các phép thamsố hóa hữu tỉ, nghĩa là, hầu hết (có thể trừ một số hữu hạn) các điểm của một đườngcong đều được cho bởi một cặp các hàm hữu tỉ.

Chẳng hạn, trong mặt phẳng afin A2(C) : Parabol Y = X2 có thể được mô tả bởiphép tham số hóa (t, t2), Hay với đường cong tự tiếp xúc trong F (X, Y ) = 2X4 −

3X2Y + Y 2 − 2Y 3 + Y 4, có thể được biểu diễn bởi tập hợp

(

t3 − 6t2 + 9t− 2

2t4 − 16t3 + 40t2 − 32t+ 9,

t2 − 4t+ 4

2t4 − 16t3 + 40t2 − 32t+ 9

)

|t ∈ C

.

Cũng như vậy, đường tròn X2+Y 2 = 1 được tham số hóa bởi(

2tt2+1

, t2−1t2+1

)

trừ tại điểm

(0, 1) vì không có giá trị nào của t có thể biểu diễn điểm (0, 1).

26

Tuy nhiên, không phải mọi đường cong phẳng đều có thể tham số hóa hữu tỉ, chúngta sẽ thấy trong các mệnh đề 1.5 và 1.8, đường cong có tham số hóa hữu tỉ khi và chỉkhi nó là đường cong hữu tỉ.

Trước hết, ta có một số khái niệm và kết quả cần thiết cho bài toán tham số hóa.Chú ý rằng, ta nói "hầu hết" có nghĩa là "có thể trừ ra một số hữu hạn".

Định nghĩa 1.1. Cho đường cong afin C trong A2(k) định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ).Cặp hàm hữu tỉ (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 được gọi là một phép tham số hóa afin hữu tỉ củaC nếu

1. Với hầu hết t0 ∈ k, điểm (f(t0), g(t0)) thuộc C.

2. Với hầu hết các điểm (x0, y0) ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho (x0, y0) = (f(t0), g(t0)).

Ta nói (f(t), g(t)) là tối giản nếu các hàm f(t) và g(t) đều có dạng tối giản, nghĩa là,tử số và mẫu số của chúng chỉ có các ước chung tầm thường.

Định nghĩa 1.2. Cho đường cong xạ ảnh C trong P2(k) định nghĩa bởi đa thức thuần

nhất F (X, Y, Z). Bộ các đa thức f(t), g(t), h(t) ∈ k[t], gcd(f, g, h) = 1 được gọi là phép

tham số hóa xạ ảnh hữu tỉ của C nếu

1. Với hầu hết t0 ∈ k, điểm (f(t0), g(t0), h(t0)) thuộc C.

2. Với hầu hết các điểm [x0 : y0 : z0] ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho [x0 : y0 : z0] =

[f(t0) : g(t0) : h(t0)].

Mệnh đề 1.3. ([5], chương 4, Định lý 4.4) Mọi đường cong tham số hóa hữu tỉ được,

nghĩa là có phép tham số hóa hữu tỉ, đều bất khả quy.

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp các đường cong afin, với các đường congxạ ảnh phép chứng minh hoàn toàn tương tự.

Giả sử C là đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ), tham số hóa đượcbằng phép tham số hóa hữu tỉ P(t). Ta có

I(C) = h ∈ k[X, Y ]|h(P(t)) = 0.

Để chứng minh C bất khả quy, ta chứng minh I(C) là nguyên tố. Thật vậy, giảsử, h1.h2 ∈ I(C). Khi đó h1(P(t)).h2(P(t)) = 0. Do đó, hoặc h1(P(t)) = 0 hoặch2(P(t)) = 0. Do đó, hoặc h1 ∈ I(C) hoặc h2 ∈ I(C).

Ta sẽ chứng minh rằng một đường cong tham số hữu tỉ được là đường cong hữu tỉ.Muốn vậy ta cần đến kết quả sau:

27

Định lý 1.4. (Định lí Luroth) Giả sử L là một trường (không nhất thiết đóng đại

số), t là một phần tử siêu việt trên L. Nếu K là một trường con thực sự của L(t) chứa

L thì K là L−đẳng cấu với L(t).

Tiếp theo, ta có mệnh đề:

Mệnh đề 1.5. ([5], chương 4, Định lí 4.9) Một đường cong afin C là tham số hóa hữu

tỉ được khi và chỉ khi k(C) là đẳng cấu với k(t) (với t là một phần tử siêu việt).

Như vậy, theo mệnh đề 0.28 thì mỗi đường cong tham số hóa hữu tỉ được là mộtđường cong hữu tỉ, tức là tương đương song hữu tỉ với A1 (hay P1).

Hơn nữa, nếu C là một đường cong afin là hữu tỉ thì bao đóng xạ ảnh C∗của nócũng là hữu tỉ và ngược lại, nếu C là đường cong xạ ảnh hữu tỉ thì các đường cong afinC∗,Z , C∗,Y , C∗,X cũng là hữu tỉ. Bổ đề sau đây sẽ khẳng định điều đó.

Bổ đề 1.6. ([5], chương 4, Bổ đề 4.5) Cho C là một đường cong afin bất khả quy và

C∗ là đường cong xạ ảnh tương ứng. Khi đó C là hữu tỉ khi và chỉ khi C∗ là hữu tỉ. Hơn

nữa, một phép tham số hóa của C có thể tính từ một phép tham số hóa của C∗ và ngược

lại.

Chứng minh. Giả sử (f(t), g(t), h(t)) là một phép tham số hóa của C∗. Khi đó h(t) 6= 0

vì C∗ chỉ có hữu hạn điểm tại vô cùng. Do đó,(

f(t)

h(t),g(t)

h(t)

)

,

là một phép tham số hóa của đường cong C.Ngược lại, nếu một phép tham số hóa hữu tỉ của C là

(

fn(t)

fd(t),gn(t)

gd(t)

)

,

thì rõ ràng (fn(t)gd(t), gn(t)fd(t), gd(t)fd(t)) là phép tham số hóa của C∗.

Như vậy, nếu một đường cong xạ ảnh C có phép tham số hóa xạ ảnh hữu tỉ là(f(t), g(t), h(t)) thì ta thấy rằng P∗,Z(t) =

(

f(t)h(t)

, g(t)h(t)

)

,P∗,Y (t) =(

f(t)g(t)

, h(t)g(t)

)

,P∗,X(t) =(

g(t)f(t)

, h(t)f(t)

)

tương ứng là các phép tham số hóa afin hữu tỉ của các đường cong C∗,Z , C∗,Y , C∗,X .

Còn nếu một đường cong afin C có phép tham số hóa afin hữu tỉ là(

fn(t)

fd(t),gn(t)

gd(t)

)

,

28

thì ta sẽ kí hiệu phép tham số hóa hữu tỉ xạ ảnh của C∗ là

P∗(t) = (fn(t)gd(t), gn(t)fd(t), gd(t)fd(t)).

Khi đường cong cho bởi một phép tham số hóa hữu tỉ, bổ đề sau sẽ cho chúng taphương pháp tìm đa thức định nghĩa của nó.

Bổ đề 1.7. ([5], chương 4, Bổ đề 4.6.) Cho C là đường cong afin trên k, F (X, Y ) là

đa thức định nghĩa của nó, và P(t) = (f(t), g(t)) là một phép tham số hóa hữu tỉ của

C. Khi đó, tồn tại r ∈ N sao cho

Rest(Xfd(t)− fn(t), Y gd(t)− gn(t))) = (F (X, Y ))r.

Mệnh đề 1.8. ([5], chương 4, Định lý 4.7) Một đường cong bất khả quy C, định nghĩa

bởi F (X, Y ), là hữu tỉ nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm hữu tỉ (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 với ít

nhất một thành phần khác hằng số, sao cho F (f(t), g(t)) = 0. Khi đó, (f(t), g(t)) là

phép tham số hóa hữu tỉ của C.

Chứng minh. Nếu C là hữu tỉ thì tồn tại cặp hàm hữu tỉ (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 thỏamãn định nghĩa 1.1. Rõ ràng ít nhất một trong hai hàm này là khác hằng số vàF (f(t), g(t)) = 0.

Ngược lại, nếu (f(t), g(t)) ∈ k(t)2 là các hàm hữu tỉ sao cho F (f(t), g(t)) đồng nhấtbằng 0 thì khi đó, theo bổ đề 1.7, tồn tại đường cong D định nghĩa bởi (f(t), g(t)).Theo mệnh đề 1.3 thì D cũng là bất khả quy. Mặt khác, C và D có vô số điểm chung.Vậy theo Định lí Bezout thì C = D. Nói cách khác, (f(t), g(t)) là phép tham số hóahữu tỉ của C.

Liên quan đến khái niệm về giống, hiển nhiên ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.9. ([5], chương 4, Định lý 4.11) Nếu một đường cong đại số là hữu tỉ thì

giống của nó bằng 0.

Mệnh đề này cho ta thấy rằng chỉ các đường cong có giống bằng 0 mới có thể làhữu tỉ.

Trong phần tiếp theo ta sẽ thấy rằng mọi đường conic bất khả quy, mọi đườngcubic bất khả quy với một điểm bội 2, mọi đường cong bậc d có một điểm bội d − 1

(có thể thấy ngay, những đường cong này có giống bằng 0) đều là các đường cong hữu tỉ.

Phần còn lại của chương này chúng ta đi tìm một ánh xạ song hữu tỉ của đườngcong hữu tỉ với một đường thẳng. Ta có một khái niệm quan trọng.

29

Định nghĩa 1.10. Một phép tham số hóa afin P(t) của một đường cong hữu tỉ C làthực sự nếu ánh xạ P : A1(k) → C, t 7→ P(t) là song hữu tỉ. Nói cách khác, hầu hếtcác điểm trên C sinh bởi đúng một giá trị của tham số t.

Ta gọi nghịch đảo của phép tham số hóa thực sự P(t) là ánh xạ hữu tỉ ngược củaP, và kí hiệu là P−1.

Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 0.30 ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.11. ([5], chương 4, Bổ đề 4.13) Mọi đường cong hữu tỉ đều có phép tham số

hóa thực sự.

Khái niệm phép tham số hóa thực sự sẽ được xem xét kĩ hơn trong chương sau.

1.2 Tham số hóa bằng các đường thẳng

Trong phần này ta sẽ trình bày thuật toán tham số hóa đơn giản nhất, đó là phéptham số hóa bằng các đường thẳng. Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng mộtchùm đường thẳng đi qua một điểm thích hợp trên đường cong sao cho việc tìm giaođiểm của một phần tử bất kỳ của chùm với đường cong cho phép ta xác định đượcphép tham số hóa của nó. Tuy nhiên ta có một trường hợp riêng đó là các đường thẳng,do hai đường thẳng chỉ cắt nhau tai đúng một điểm nên phép tham số hóa hữu tỉ xácđịnh nhờ chùm đường thẳng qua một điểm không nằm trên đường thẳng đó.

1.2.1 Phép tham số hóa các đường cong có một điểm bội lớn

Ở đây chúng ta xét các đường cong xạ ảnh C bậc d với giả thiết là C có một điểmP bội d − 1, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử P = [0 : 0 : 1]. Khi đó đa thứcđịnh nghĩa của C có dạng

F (X, Y, Z) = Fd(X, Y ) + Fd−1(X, Y )Z,

trong đó Fi tương ứng là thành phần thuần nhất bậc i. Hiển nhiên, C không có kỳ dịnào khác vì nếu ngược lại thì đường thẳng qua P và kỳ dị vừa nêu sẽ cắt C quá d lầnkể cả bội.

Giả sử H(t) là hệ tuyến tính các đường thẳng H(1, O) qua O[0 : 0 : 1] (chùm đườngthẳng có tâm tại O). Gốc tọa độ khi đó là một giao điểm của C và một phần tử bấtkỳ của H(t).

30

Tiếp theo, ta sẽ tìm giao điểm còn lại của một phần tử tổng quát của H(t) và C

bằng cách giải hệ sau

Y = tX

F (X, Y ) = 0,

tương ứng với các biến X, Y . Dễ thấy các nghiệm của hệ là O(0, 0) và

Q(t) =

(

−Fd−1(1, t)

Fd(1, t),−

tFd−1(1, t)

Fd(1, t)

)

.

Ở đây, Fd−1(X, Y ) không đồng nhất với 0 (vì C là bất khả quy) nên Q(t) phụ thuộcvào tham số t. Hơn nữa, F (Q(t)) = 0 nên Q(t) là phép tham số hóa của C. Do đó tacó kết quả sau.

Mệnh đề 1.12. ([5], chương 4, Định lý 4.46) Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy

bậc d định nghĩa bởi đa thức F (X, Y, Z) = Fd(X, Y ) + Fd−1(X, Y )Z (Fi tương ứng là

thành phần thuần nhất bậc i), nghĩa là điểm P [0 : 0 : 1] là điểm bội d− 1. Khi đó C là

hữu tỉ và một phép tham số hóa hữu tỉ của nó là

Q(t) = (−Fd−1(1, t),−t.Fd−1(1, t), Fd(1, t)).

Như vậy, nếu F (X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của một đường cong xạ ảnh bất khảquy C bậc d với một điểm bội d− 1, thuật toán tìm một phép tham số hóa của C nhưsau:

Bước 1. Nếu d = 1 vấn đề là tầm thường, ta sẽ tham số hóa C bằng 1 điểm khôngthuộc đường thẳng. Nếu d > 1, tìm điểm P bội d− 1 của C. Không mất tínhtổng quát giả sử P = [a : b : 1].

Bước 2. Đặt G(X, Y ) := F (X + a, Y + b, 1). Giả sử Gd và Gd−1 tương ứng là cácthành phần thuần nhất bậc d và bậc d− 1 của G(X, Y ).

Bước 3. Phép tham số hóa cần tìm P(t) = (−Gd−1(1, t) + aGd(1, t),−tGd−1(1, t) +

bGd(1, t), Gd(1, t)).

Ví dụ 1.13. Có thể thấy ngay các đường cong có phương trình dạng Y n−1Z = Xn, (n ≥

3) đều có một điểm bội n− 1 và như vậy có thể áp dụng thuật toán trên một cách dễdàng.

Ví dụ 1.14. Cho đường cong C đa thức định nghĩa F (X, Y ) = Y 2 −X2(X + 1).

31

Suy ra:F ∗(X, Y, Z) = Y 2Z −X3 −X2Z.

Bước 1: P = [0 : 0 : 1] (bội 2).Bước 2: G(X, Y ) = F (X + 0, Y + 0, 1) = F (X, Y, 1) = −X3 − (X2 − Y 2). Suy raG3(X, Y ) = −X3, G2(X, Y ) = Y 2 −X2.Bước 3: Phép tham số hóa cần tìm:

P(t) = (−G2(1, t) + 0.G3(1, t),−tG2(1, t) + 0.G3(1, t), G3(1, t)) = (1− t2, t(1− t2),−1)

P(t) = (t2 − 1, t(t2 − 1), 1).

–1

–0.5

0

0.5

–1 –0.5 0.5 1

Hình 1.1: Phần thực của đường cong F (X, Y ) = Y 2 −X2(X + 1).

Nhận xét 1.15. 1. Do cấu trúc hình học, phép tham số hóa nhận được từ thuậttoán trên là thực sự. Hơn nữa, nếu P∗,z(t) là phép tham số hóa afin của C∗,z nhậnđược từ P(t), thì nghịch ảnh của nó có thể xác định được như dưới đây. Khôngmất tính tổng quát giả sử sau phép đổi biến có P = [a : b : 1] là điểm kỳ dị trênC.

P−1∗,Z(X, Y ) =

Y − b

X − a.

2. Thuật toán trên hoàn toàn áp dụng được cho các đường cônic bất khả quy vìkhi đó mỗi điểm của cônic đều có thể xem là điểm bội d − 1 với d = 2. Cụ thể,

32

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử một cônic C có đa thức định nghĩa làF (X, Y ) = a1X

2 + a2Y2 + a3XY + a4X + a5Y (gốc tọa độ O(0, 0) là một điểm

trên C). Khi đó, G1(X, Y ) = a4X + a5Y,G2(X, Y ) = a1X2 + a2Y

2 + a3XY. Ápdụng thuật toán trên ta có

Q(t) =

(

−a4 + a5t

a1 + a3t+ a2t2,−

t(a4 + a5t)

a1 + a3t + a2t2

)

là phép tham số hóa của C. Trong trường hợp C không đi qua gốc tọa độ thì tacó thể tịnh tiến C để C đi qua gốc tọa độ và phép tham số hóa cũng sai khác mộtphép tịnh tiến.Do đó, mọi đường cônic bất khả quy đều là hữu tỉ.

Trong mục tiếp theo ta sẽ nêu những điều kiện để có thể áp dụng các thuật toánnày.

1.2.2 Lớp các đường cong có thể tham số hóa bằng các đường

thẳng

Như đã nói ở trên, bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng khi nào một đường cong có thểtham số hóa bằng các đường thẳng. Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta cần có địnhnghĩa sau:

Định nghĩa 1.16. Một đường cong xạ ảnh bất khả quy C là tham số hóa được bằngcác đường thẳng nếu tồn tại một hệ tuyến tính của các đường cong H bậc 1 sao cho

1. dim(H) = 1,

2. Giao của một phần tử tổng quát trong H và C chứa một điểm khác hằng mà tọađộ của nó phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự do của C.

Ta nói rằng một đường cong afin là tham số hóa được bằng các đường thẳng nếubao đóng xạ ảnh của nó tham số hóa được bằng các đường thẳng.

Mệnh đề 1.17. ([5], chương 4, Định lý 4.49) Cho C là đường cong xạ ảnh phẳng bất

khả quy bậc d > 1. Các phát biểu sau là tương đương:

1. C là tham số hóa được bằng một chùm các đường thẳng H(t).

2. C có một điểm bội d− 1 và điểm này là cơ sở của H(t).

33

Như vậy, chỉ có các đường thẳng, các đường cônic bất khả quy và các đường congbậc d(d ≥ 3) với một điểm bội d− 1 mới có thể tham số tham số hóa được bằng chùmđường thẳng.

Ví dụ 1.18. Đường cong hữu tỉ Y 2 = X5 bậc 5 có hai điểm kì dị là [0 : 0 : 1] và[1 : 0 : 0] có bội tương ứng là 2 và 3 nên không áp dụng được phương pháp này.

1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp

Chúng ta có thể thấy rằng thuật toán tham số hóa bằng các đường thẳng rất tựnhiên và đơn giản. Tuy nhiên, không phải mọi đường cong hữu tỉ đều có thể tham sốhóa bởi các đường thẳng. Điều này đã được khẳng định trong mệnh đề 1.17. Vậy, đểgiải quyết bài toán tham số hóa hữu tỉ trong trường hợp tổng quát, ta cũng cần kháiquát hóa phương pháp tham số hóa bằng các đường thẳng. Công cụ mà chúng ta sửdụng ở đây là khái niệm đường cong liên hợp đã trình bày ở chương 0.

Ở đây, C được giả thiết là một đường cong xạ ảnh bất khả quy có bậc d ≥ 3 và cógiống bằng 0. Chú ý rằng, điều này không làm giảm tính tổng quát vì các trường hợpcòn lại chúng ta đã giải quyết ở phần trước. Để giải quyết bài toán tham số hóa, vấnđề mấu chốt là ta cần đảm bảo rằng mọi đường cong trong hệ tham số hóa H cắt C tạihữu hạn điểm. Điều này là đơn giản khi ta tham số hóa bằng các đường thẳng, nhưngsự khái quát nó cần thêm vào một điều kiện. Cụ thể, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.19. Một hệ tuyến tính các đường cong H tham số hóa C nếu và chỉnếu:

1. dimH = 1,

2. Giao của một phần tử bất kỳ trong H và C bao gồm một điểm khác hằng mà tọađộ của nó phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự do trong H.

3. C không phải là thành phần của bất kỳ đường cong nào trong H.

Khi đó, ta cũng nói rằng C tham số hóa được bởi H.

Bổ đề 1.20. ([5], chương 4, Bổ đề 4.52) Cho H(t) là một hệ tuyến tính các đường

cong tham số hóa C, khi đó tồn tại duy nhất giao điểm khác hằng của một phần tử bất

kỳ của H(t) và C phụ thuộc t và nó là phép tham số hóa thực sự của C.

34

Chứng minh. Với điều kiện (2) trong định nghĩa 1.19 ta thấy rằng tồn tại một điểmkhác hằng P(t) ∈ H(t) ∩ C phụ thuộc hữu tỉ vào t. Để ý rằng P(t) là phép tham sốhóa của C nên đa thức định nghĩa của C triệt tiêu tại P(t). Để chứng minh nó là thựcsự, ta tìm phép tham số afin ngược P∗,Z(t) của sinh bởi P(t). Cho H(t, X, Y, Z) =

H0(X, Y, Z) − tH1(X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của H(t). Khi đó H(t,P(t)) = 0.Hơn nữa, H1(P(t)) 6= 0 vì nếu ngược lại ta sẽ có H0(P(t)) = 0, điều này trái với điều

kiện (3) trong định nghĩa 1.19. Từ đó, M =H0

H1là xác định tại P(t) và M(P(t)) = t.

Do đó, M(X, Y, 1) là nghịch ảnh của P∗,Z(t).Cuối cùng ta sẽ chứng minh P(t) là duy nhất.

Thật vậy, giả sử Q(t) là một giao điểm khác phụ thuộc hữu tỉ vào t. Với lập luận nhưvậy, ta thấy rằng cả hai phép tham số hóa đều thỏa mãn và P−1

∗,Z(t) = Q−1∗,Z(t). Do đó

P(t) = Q(t).

Bây giờ ta sẽ chỉ ra làm thế nào để tìm ra một phép tham số hóa từ một hệ tuyếntính các đường cong tham số của C. Muốn vậy, ta sử dụng kí hiệu ppt(G) để kí hiệuphần nguyên thủy của G, với G là một đa thức trong k[X, Y, Z][t], nghĩa là ta chia Gcho ước chung lớn nhất của các hệ số.

Mệnh đề 1.21. ([5], chương 4, Định lý 4.53) Cho F (X, Y, Z) là đa thức định nghĩa

của C, và H(t, X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của một hệ tuyến tính H(t) tham số hóa

C. Khi đó, phép tham số hóa P(t) sinh bởi H(t) là nghiệm trong P2(k(t)) của hệ phương

trình đại số

ppt(ResY (F,H)) = 0

ppt(ResX(F,H)) = 0.

Chứng minh. Cho P1, . . . ., Ps,P(t) là các giao điểm của H(t) và C. Từ bổ đề 1.20 tabiết rằng Pi ∈ P

2(k) và P(t) ∈ P2(k(t))

Giả sử Pi = [ai : bi : ci] và P(t) = (f(t), g(t), h(t)). Điều kiện (3) trong định nghĩa1.19 chỉ ra rằng ResY (F,H) và ResX(F,H) không đồng nhất bằng 0.

Hơn nữa, từ định lí Bézout ta viết được:

ResY (F,H) = (h(t)X − f(t)Z)βs∏

i=1

(ciX − aiZ)αi ,

ResX(F,H) = (h(t)Y − f(t)Z)β′

s∏

i=1

(ciY − aiZ)α′

i .

Với αi, α′i, βi, β

′i ∈ N . Vậy, hiển nhiên phép tham số hóa là xác định bằng những phần

nguyên thủy của các kết thức này.

35

Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để một hệ tuyến tính các đường cong là hệtham số hóa.

Mệnh đề 1.22. ([5], chương 4, Định lý 4.54) Cho H là một hệ tuyến tính các đường

cong bậc m và B là tập các điểm cơ sở của H. Nếu

1. dimH = 1,

2.∑

P∈B multP (C, C′) = dm− 1 với mọi C′ ∈ H,

3. C không là thành phần của bất kỳ đường cong nào trong H,

thì H tham số hóa C.

Chứng minh. Ta chỉ phải chứng minh rằng điều kiện (2) trong phát biểu của mệnh đềđưa đến điều kiện (2) trong định nghĩa 1.19. Với điều kiện (3) ta biết rằng C khôngphải là một thành phần của bất kì đường cong nào trong H. Do đó, theo định lí Bézoutvà điều kiện (2) ta thấy (C′ ∩ C)\B chứa một điểm đơn với ∀C′ ∈ H. Từ đó điểm nàyphụ thuộc hữu tỉ vào tham số của H.

Một câu hỏi tự nhiên là làm thế nào xác định được hệ tuyến tính các đường congtham số hóa C. Ta sẽ tìm được câu trả lời khi nghiên cứu về đường cong liên hợp.Trong thực tế, khái niệm này có thể định nghĩa cho cả các đường cong khả quy như đãtrình bày trong chương 0. Tuy nhiên, vì mục tiêu cuối cùng của chúng ta là làm việcvới đường cong hữu tỉ, nên ta chỉ quan tâm đến các đường cong bất khả quy.

Trong khái niệm đường cong liên hợp ta thấy rằng tất cả các điều kiện đại số yêucầu trong định nghĩa của đường cong liên hợp là tuyến tính. Do đó, với một bậc cốđịnh, tập tất cả các đường cong lên hợp của C là hệ tuyến tính các đường cong.

Trong thực tế, nếu C chỉ có các kì dị thông thường thì tập hợp các đường cong liênhợp bậc m của C là hệ tuyến tính sinh bởi ước:

∑

P∈Sing(C)(multP (C)− 1)P.

Như vậy, tập hợp tất cả các đường cong liên hợp của C bậc m,m ∈ N được gọi là hệliên hợp của C với bậc m. Ta kí hiệu hệ này là Am(C).

Mệnh đề 1.23. ([5], chương 4, Định lý 4.57) C là đường cong xạ ảnh bậc d có giống

bằng 0 và cho m ≥ d− 2. Khi đó Am(C) 6= ∅.

36

Chứng minh. Hệ tuyến tính đầy đủ của các đường cong bậc m có số chiều m(m+3)2

. Màgiống của C bằng 0, nên số điều kiện tuyến tính ràng buộc bởi Am(C) là

∑

P∈Ngr(QP (C))

mult(QP (C))(mult(QP (C))− 1)

2=

(d− 1)(d− 2)

2.

Do đó, dim(Am(C)) ≥m(m+3)

2− (d−1)(d−2)

2(áp dụng mệnh đề 0.56 trong trường hợp các

đường cong chỉ có kì dị thông thường).Bây giờ, với m ≥ d− 2, thì dim(Am(C)) ≥ d− 2 > 0 và do đó Am(C) 6= ∅.

Số chiều của hệ tuyến tính của các đường cong liên hợp của một đường cong bấtkhả quy C là xác định. Vì vậy ta kết quả này ta có định lý sau:

Mệnh đề 1.24. ([5], chương 4, Định lý 4.58) Cho C là một đường cong xạ ảnh hữu tỉ

bậc d, và m ≥ d− 2 thì

dim(Am(C)) ≥m(m+ 3)

2−

(d− 1)(d− 2)

2.

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra cách tìm ra hệ tham số hóa tuyến tính từ hệ tuyến tính cácđường cong liên hợp. Trước hết ta chứng minh hai bổ đề xuất phát.

Trong bổ đề thứ nhất, nếu C1, C2 là các đường cong xạ ảnh phân biệt định nghĩabởi F1, F2 và λC1 + µC2 là đường cong xác định bởi λF1 + µF2, với λ, µ ∈ k. Giả thiếtrằng các đa thức tương ứng không đồng nhất bằng 0.

Bổ đề 1.25. ([5], chương 4, Bổ đề 4.59) Cho C là một đường cong xạ ảnh bất khả

quy bậc d, cho m ∈ d, d − 1, d − 2, F ⊂ C\ Sing(C) là một tập hữu hạn và Hm =

Am(C) ∩ H(m,∑

P ). Khi đó ta có các khẳng định:

1. Nếu m = d, ∀C′ ∈ Hd và với (λ, µ ∈ k) ∈ k2 ta có: λC + µC′ ∈ Hd và λC + µC′

không chứa thành phần bội.

2. Nếu m ∈ d− 1, d− 2, C′ ∈ Hm, mọi đường cong xạ ảnh M bậc d−m và (λ, µ) ∈

k2 ta có µMC′+λC ∈ Hd∩H(d,∑

P∈M∩CP ) và µMC′+λC không chứa thành phần

bội.

Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng Hm 6= ∅ và gọi F,G,M là các đa thức định nghĩacủa C, C′,M.

Để chứng minh khẳng định (1), trước hết ta thấy nếu C = C′ thì khẳng định hiển

37

nhiên đúng với λ, µ ∈ k sao cho λ+µ 6= 0 nên ta giả sử C 6= C′. Ta thấy C′, C ∈ Hd. MàHd là một đa tạp xạ ảnh tuyến tính, nên nếu λ, µ thỏa mãn µG+λF không đồng nhấtbằng 0 thì µC′+λC ∈ Hd. Hơn nữa, vì C 6= C′ nên với mọi (λ, µ) ∈ Ω1 := k2\(0, 0) tacó µG+λF không đồng nhất bằng 0. Để chứng minh phần còn lại của khẳng định thứnhất, ta gọi A(λ, µ,X, Y, Z) = µG+λF, trong đó, λ, µ được xem như các tham số hìnhthức. Ta thấy rằng A là một đa thức bất khả quy trên k[λ, µ,X, Y, Z]. Thật vậy, nếunó nhân tử hóa được, do A là tuyến tính với λ, µ, nên một nhân tử thuộc k[X, Y, Z].Nhưng điều đó kéo theo rằng F là khả quy hoặc F = G (sai khác một hằng số), điềunày mâu thuẫn vì F là bất khả quy và ta giả thiết rằng C′ 6= C. Hơn nữa, F là bất khảquy và không tuyến tính F không thể là đường thẳng. A phụ thuộc X, Y, Z nên A

có thể xem như một đa thức khác hằng trong k[λ, µ,X, Y ][Z]. Như vậy, vì A bất khảquy nên A là phần nguyên thủy theo Z và không chứa thành phần bội. Suy ra, biệtthức của A tương ứng với Z là không đồng nhất với 0. Do đó, tính biệt thức này ta cómột tập con mở khác rỗng Ω2 của k2 sao cho A(λ0, µ0, X, Y, Z) là không chứa thừa sốbội với mọi (λ0, µ0) ∈ Ω2. Vậy, với mọi (λ, µ) ∈ Ω1 ∩ Ω2, tập này không rỗng vì k2 làmột đa tạp, ta có µC′ + λC ∈ Hd và µC′ + λC không có thành phần bội.

Tiếp theo, ta chứng minh khẳng định (2): Do F là bất khả quy và m < d nênµMG + λF là đồng nhất với 0 nếu và chỉ nếu λ = µ = 0. Ta chứng minh nếu(λ, µ) 6= (0, 0) thì µMC′ + λC ∈ Hd ∩ H(d,

∑

P∈M∩CP . Thật vậy:

Ta thấy rằng µMC′ + λC ∈ Hd ∩ H(d,∑

P∈M∩CP ). Rõ ràng C ∈ H(d,

∑

P∈FP ). Hơn

nữa, theo giả thiết, C′ ∈ H(m,∑

P∈FP ), do đó multP (C

′) ≥ 1 với P ∈ F . Vậy, do

deg(MC′) = d ta có MC′ ∈ H(d,∑

P∈FP ). Như thế, phát biểu có thể suy ra từ tính

tuyến tính của H(d,∑

P∈FP ); chú ý rằng µMG + λF không đồng nhất với 0.

Lý luận tương tự như trên ta suy ra rằng µMC′ + λC ∈ H

(

d,∑

P∈M∩CP

)

.

Ta thấy rằng µMC′ + λC ∈ Ad(C). Vì C ∈ Ad(C) nên ta phải chứng minh MC′ ∈

Ad(C). Để ý rằng deg(MC′) = d. Xét hai khả năng của P .

(i) Với P ∈ Sing(C). Khi đó C′ ∈ Am(C), ta có:

multP (MC′) = multP (M) + multP (C′) ≥ multP (C

′) ≥ multP (C)− 1.

(i) Với P ∈ Ngr(C)và QP như ở trên. Thấy rằng QP (MC′) = QP (M)QP (C′). Do đó:

multP (QP (MC′)) = multP (QP ((M)QP (C′)) =

38

= multP (QP (M)) + multP (QP (C′)) ≥ multP (QP (C

′)) ≥ multP (QP (C))− 1.

Tóm lại, nếu (λ, µ) 6= (0, 0) thì µMC′ + λC ∈ Hd ∩ H

(

d,∑

P∈M∩CP

)

. Để chứng minh

với mọi (λ, µ) ∈ k2 đường cong µMC′ + λC không có thành phần bội, lý do tương tựnhư trong phát biểu (1). Trong trường hợp này: A(λ, µ,X, Y, Z) = µMG+ λF .

Bổ đề 1.26. ([5], chương 4, Bổ đề 4.60) Cho C1 và C2 là hai đường cong xạ ảnh bậc

d1 và d2, không có thành phần chung và cũng không có thành phần bội. Khi đó:

d1d2 ≥∑

P∈NgrP ′(C1)P ′∈C1∩C2

multP (QP (C1))multP (QP (C2)) ,

trong đó, NgrP ′(C1) = P ′ nếu P ′ ∈ [C1 ∩ C2]\ Sing(C1).

Bây giờ ta sẽ chỉ ra cách xây dựng hệ tham số hoá từ hệ tuyến tính các đường congliên hợp.

Mệnh đề 1.27. ([5], chương 4, Định lý 4.61) Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc

d có giống bằng 0. Với m ∈ d − 1, d − 2 và Sm ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(Sm) =

md− (d− 1)(d− 2)− 1. Khi đó:

Am(C) ∩H

(

m,∑

P∈Sm

P

)

.

tham số hóa C.

Chứng minh. Đặt H = Am(C) ∩ H

(

m,∑

P∈Sm

P

)

. Ta kiểm tra sự thỏa mãn của điều

kiện trong mệnh đề 1.22. Chú ý là điều kiện (3) có được dễ dàng, vì C là bất khả quy vàm < d. Ta kiểm tra điều kiện (1), tức là dimH = 1. Vì dimH ≥ dim(Am(C)− (md−

(d− 1)(d− 2)− 1)), và theo mệnh đề 1.24 ta biết rằng dimH ≥ 1. Giả sử dimH > 1.Lấy hai điểm phân biệt Q1, Q2 ∈ C\(Sing(C) ∪ Sm) và xét hệ tuyến tính con:

H′ = H ∩H(m,Q1 +Q2).

Ta có dimH′ ≥ 0, do đó, H′ 6= ∅. Lấy C′ ∈ H′. Vì deg(C′) < deg(C) và C là bất khảquy nên C′ và C không có thành chung. Ta phân biệt hai trường hợp:

(i) Nếu C′ không có thành phần bội, thì do C và C′ không có thành phần chung, nêntheo bổ đề 1.25 và giả thiết giống của C = 0, ta có:

md ≥∑

P∈Ngr(C)multP (QP (C))multP (QP (C′)) +

∑

P∈Sm∪Q1,Q2multP (C)multP (C′)

≥∑

P∈Ngr(C)multP (QP (C)) (multP (QP (C))− 1)+

39

∑

P∈Sm∪Q1,Q2multP (C)multP (C′)

≥ (d− 1)(d− 2) + [md− (d− 1)(d− 2)− 1] + 2 = md+ 1,

suy ra mâu thuẫn.

(ii) Giả sử C′ có thành phần bội. Ta xét d−m đường thẳng phân biệt L1,L2, . . . ,Ld−m

sao cho Li và C giao nhau tại d điểm phân biệt và

(Li ∩ C) ∩ (Sing(C) ∪ Sm ∪ Q1, Q2 ∪i 6=j (Li ∩ C)) = ∅.

Giả sử Li là đa thức định nghĩa của Li và M là đường cong đa thức định nghĩaL1.L2. . . Ld−m. Áp dụng bổ đề 1.25 (2) cho C và lấy F = Sm ∪ Q1, Q2, λ, µ ∈ k,sao cho

C′′ = µMC′ + λC ∈ Ad(C) ∩H

d,∑

P∈Sm∪Q1,Q2P

∩ H

(

d,∑

P∈M∩CP

)

,

và C không có thành phần chung. Trong trường hợp này áp dụng bổ đề 1.25 choC′′ và C. Chú ý rằng C′′ và C không có thành phần chung vì cả hai đường congcùng bậc và C là bất khả quy. Vậy

d2 ≥∑

P∈Ngr(C)multP (QP (C))multP (QP (C

′′)) +∑

P∈Sm∪Q1,Q2multP (C)multP (C

′′)

+∑

P∈M∩CmultP (C)multP (C

′′) ≥

≥∑

P∈Ngr(C)multP (QP (C))(multP (QP (C

′′))− 1)

+∑

P∈Sm∪Q1,Q2multP (C)multP (C

′′) + d(d−m)

= (d− 1)(d− 2) +∑

P∈Sm∪Q1,Q2multP (C)multP (C

′′) + d(d−m)

≥ (d− 1)(d− 2) + [md− (d− 1)(d− 2)− 1] + 2 + d(d−m)

= md+ 1 + d(d−m) = d2 + 1,

mâu thuẫn.

40

Tiếp theo chúng ta kiểm tra điều kiện (2) trong mệnh đề 1.22. Muốn vậy, ta chứngminh rằng tập các điểm cơ sở B của H là Sing(C)∪Sm. Ta giả thiết B 6= Sing(C)∪Sm,vậy Q ∈ B\(Sing(C)) ∪ Sm. Chọn một dường cong C′ ∈ H qua một điểm Q′ ∈ C\B.Điều này có thể xảy ra do dimH = 1. Khi đó vì C và C′ không có thành phần chung,lập luận tương tự trên sẽ phân biệt được hai trường hợp.

(i) Giả sử C′ không có thành phần bội. Vì C cũng không có thành phần bội ta cóthể ứng dụng bổ đề 1.25. Lí luận giống như phần (i) ở trên dẫn đến mâu thuẫnmd ≥ md+ 1. Do đó B = Sing(C) ∪ Sm.

(ii) Giả sử C′ có thành phần bội. Ta xét d−m đường thẳng khác nhau L1,L2, . . . ,Ld−m

sao cho Li và C giao nhau tại d điểm phân biệt và

(Li ∩ C) ∩ (Sing(C)) ∪ Sm ∪ Q,Q′ ∪j 6=i (Li ∩ C) = ∅.

Gọi Li là đa thức định nghĩa của Li và M là đường cong có đa thức định nghĩalà L1L2. . . Ld−m. Áp dụng bổ đề 1.24. Cho C và lấy F = Sm ∪Q,Q′, λ, µ ∈ k saocho

C′′ = µMC′ + λC ∈ Ad(C) ∩ H

d,∑

P∈Sm∪Q,Q′P

∩H

(

d,∑

P∈M∩CP

)

,

và C′′ không có thành phần bội. Trong trường hợp này áp dụng bổ đề 1.25 choC′′ và C với chú ý là C′′ và C không có thành phần chung vì C′′ và C cùng bậc dvà C bất khả quy. Cũng tương tự trên (ii) suy ra d2 ≥ d2 + 1 ( Mâu thuẫn!). Dođó, B = Sing(C) ∪ Sm.Bây giờ ta sẽ chứng minh B = Sing(C) ∪ Sm, theo khẳng định (2) của mệnh đề1.27 cần chứng minh

∑

P∈BmultP (C, C

′) = dm− 1,

cho mọi C′ ∈ H. Trình tự chứng minh như sau:

1. Với mọi C′ ∈ H, ta có∑

P∈BmultP (C, C

′) ≥ dm− 1.

2. Tồn tại ít nhất C′ ∈ H sao cho∑

P∈BmultP (C, C

′) = dm− 1.

41

3. Và cuối cùng ta thấy rằng đẳng thức đúng với mọi đường cong trong H.

(a) Giả sử rằng tồn tại C′ ∈ H sao cho tổng số bội của các giao điểm tại B bằngdm− ℓ, trong đó ℓ > 1. Khi đó, vì C và C′ không có thành phần chung, nêntheo định lý Bézout ta suy ra rằng tồn tại một tập hợp E ⊂ (C ∩ C′)\B saocho

∑

P∈EmultP (C, C

′) = ℓ.

Lập luận tương tự như trên, ta phân biệt hai trường hợp:

(a.1) Giả sử C′ không có thành phần bội. Vì C cũng không có thành phầnbội, ta có thể áp dụng bổ đề 1.25. Như trong chứng minh (i) ở trên vàsử dụng dữ kiện B = Sing(C)∪Sm ta nhận được md ≥ md+ ℓ− 1, mâuthuẫn vì ℓ > 1.

(a.2) Giả sử rằng C′ có thành phần bội. Khi đó, xét d − m đường thẳngkhác nhau L1, ...,Ldm sao cho Li và C giao tại d điểm phân biệt và

(Li ∩ C) ∩ (Sing(C)) ∪ Sm ∪ E ∪j 6=i

(Lj ∩ C)) = ∅.

Gọi Li là đa thức định nghĩa của Li và M là đường cong định nghĩa bởi đathức L1...Ld−m. Áp dụng mệnh đề 1.19 (2) cho C và lấy F = Sm ∪ A, λ, µ

sao cho

C′′ := µMC′ + λC ∈ Ad(C) ∩H(d,∑

P∈Sm∪AP ) ∩ H(d,

∑

P∈M∩CP ),

và C′′ không có thành phần bội. Áp dụng bổ đề 1.25 cho C và C′′ với chú ýrằng chúng không có thành phần chung vì cả hai có cùng bậc và C là bấtkhả quy. Như đã chứng minh trong (ii) ta nhận được d2 ≥ d2 + ℓ− 1, điềunày mâu thuẫn vì ℓ > 1.

(b) Giả sử rằng mọi đường cong trong H có tổng số bội của các giao điểm trongB là dm. Khi đó, vì dim(H) = 1, ta xét một điểm Q ∈ C\B, lấy C′ ∈ H saocho Q ∈ C′. Ta có:

∑

P∈C′∩CmultP (C, C

′) ≥∑

P∈BmultP (C, C

′) + multQ(C, C′) ≥ dm+ 1

nên theo định lý Bézout thì C và C′ có một thành phần chung. (Mâu thuẫn!)

(c) Gọi C′ ∈ H là đường cong mà chắc chắn tồn tại ở (b). Vì tổng các bội củacác giao điểm trong B là dm−1 và C và C′ không có thành phần chung, theođịnh lý Bézout ta có C ∩ C′ = B ∪ Q trong đó Q = [a : b : c] /∈ B. Giả sử

42

H(t0, t1, X, Y, Z) := t0G0+t1G1 là đa thức định nghĩa của một phần tử tổngquát trong H, không mất tổng quát ta giả sử G0 là đa thức định nghĩa củaC′ và F (0, 0, 1) 6= 0 và G1(0, 0, 1) 6= 0 và [0 : 0 : 1] không thuộc đường thẳngnào nối hai điểm của B ∪ Q. Vì F (0, 0, 1) 6= 0 thì trong trường hợp đặcbiệt ta có hệ số đầu tiên của F ứng với Z là hằng số và [0 : 0 : 1] /∈ B∪Q.Cũng vậy, Gi(0, 0, 1) 6= 0 nên [0 : 0 : 1] không thuộc C′ cũng không thuộcđường cong nào định nghĩa bởi H trên bao đóng đại số của k(t0, t1). Vậynếu R(t0, t1, X, Y ) := ResZ(H,F ). Kết hợp (a) và (b) ta có dạng nhân tửcủa R là

R(t0, t1, X, Y ) = (α2(t0, t1)X − α1(t0, t1)Y )∏

[ai:bi:ci]∈B(biX − aiY )

ri ,

trong đó∑

ri = dm − 1. Ta sẽ thấy các đa thức δi(t0, t1) = α2ai − α1bi

đều không đồng nhất bằng 0. Thật vậy, trước hết ta thấy, vì hệ số đầu tiêncủa F ứng với Z là hằng số nên (α2(1, 0)X − α1(1, 0)Y ) = λ(bX − aY ) vớiλ ∈ k∗. Do đó, nếu δi đồng nhất bằng 0 thì bai − abi = 0, mâu thuẫn vì[0 : 0 : 1] không nằm trên bất kỳ đường thẳng nào nối hai điểm trong B vàQ. Xét tập hợp:

Ω = (t0, t1) ∈ k2\(0, 0)|∏

δi(t0, t1) 6= 0.

Rõ ràng Ω là mở và khác rỗng. Hơn nữa, với mọi (t0, t1) ∈ Ω, nếu C” làđường cong định nghĩa bởi H(t0, t1, X, Y, Z) thì

∑

P∈BmultP (C, C

′′) = dm− 1.

Định lý hoàn toàn được chứng minh.

Mệnh đề 1.28. ([5], chương 4, Định lý 4.62) Cho C là đường cong xạ ảnh bậc d có

giống bằng 0, giả sử Q /∈ C, và Sd ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(Sd) = 3d− 1. Khi đó

Ad(C) ∩H(d,Q+∑

P∈Sd

P ),

tham số hóa C.

Mệnh đề 1.29. ([5], chương 4, Định lý 4.63) Một đường cong đại số C là hữu tỉ khi

và chỉ khi giống của C bằng 0.

43

Chứng minh. Chiều thuận của định lý đã được chứng minh trong định lý 1.9. Chiềungược lại được chứng minh khi ta trình bày xong thuật toán tham số hóa một đườngcong bất kỳ mà có giống bằng 0.

Ta thu được thuật toán tham số hóa các đường cong hữu tỉ như sau:Cho đa thức định nghĩa F (X, Y, Z) của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc

d và có giống bằng 0. Tìm một phép tham số hóa hữu tỉ của C.

Bước 1. Nếu d ≤ 3 hoặc Sing(C) chứa đúng một điểm bội d−1 thì ta áp dụng thuậttoán tham số hóa bằng các đường thẳng.

Bước 2. Chọn m ∈ d− 2, d− 1, d và tìm đa thức định nghĩa của Am(C).

Bước 3. Chọn một tập hợp S ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(S) = dm−(d−1)(d−2)−1.

Bước 4. Nếu m < d thì tìm đa thức H của Am(C) ∩ H(m,∑

P∈SP ), ngược lại, (nghĩa

là m = d) thì chọn Q /∈ C và tính đa thức định nghĩa của Am(C)∩H(m,Q+∑

P∈SP ).

Bước 5. Đặt một tham số trong H bằng 1 và giả sử t là tham số còn lại trong H . Trởvề nghiệm trong P2(k(t)) của ppt(ResY (F,H)) = 0, ppt(ResX(F,H)) = 0.

Nhận xét 1.30. Dễ thấy rằng ở bước 2 ta nên chọn m = d − 2 vì như vậy bậc củacác đa thức phải tìm là nhỏ nhất.

Chúng ta kết thúc chương này với hai ví dụ không những để minh họa cho thuật toánvừa trình bày mà còn là những ví dụ tốt cho thuật toán tính giống trình bày ở cuốichương 0. Phần giải toán được thực hiện trên phần mềm Maple 11.

Ví dụ 1.31. Tìm phép một phép tham số hóa hữu tỉ của đường cong bậc 5 sau:

F (X, Y, Z) = X(

Y 2 −XZ)2

− Y 5.

Bước 1: Tìm đồ thị lân cận của C (Ngr(C)):

Đường cong đã cho có hai kì dị không thông thường là P1 = [0 : 0 : 1] bội 3 vàP2 = [1 : 0 : 0] bội 2. Ta giải kì dị bội 2 trước.

Để giải kì dị bội 2 ta dùng phép biến đổi bậc hai Q T1, trong đó T1(X, Y, Z) =(Z − Y,X, Y −X) còn Q là ánh xạ Cremona chuẩn.

Lân cận đầu tiên của P2 chỉ gồm P2,1 = [1 : 1 : 0], kiểm tra ta thấy đây là kì dịkhông thông thường.

44

Tiếp tục sử dụng phép biến đổi bậc hai Q T2 với T2(X, Y, Z) = (X, Y +X,Z) tađược lân cận thứ 2 của P2 chỉ gồm P2,2 = [0 : −1 : 1], kiểm ta ta thấy đây là điểm đơn,tức là kì dị P2 được giải xong.Tiếp theo, ta giải kì dị P1 với phép biến đổi bậc hai Q T3 với T3(X, Y, Z) = (X, Y −

Z, Y +Z). Trong lân cận đầu tiên của P1 có một điểm kì dị là P1,1 = [0 : −1 : 1], điểmnày có bội 2 và là lân cận không thông thường.Tiếp tục giải kì dị này bằng phép biếnđổi bậc hai Q T4 trong đó T4(X, Y, Z) = (X, Y − Z,Z).

Trong lân cận thứ hai của P1 chỉ gồm một điểm là P1,2 = [4 : −1 : 0], tương tự tacũng có thể chứng minh được đây là một điểm đơn.

Đến đây, các kì dị đã được giải xong. Đồ thị lân cận của nó gồm: P1 = [0 : 0 : 1]

bội 3; P1,1 = (0 : −1 : 1) bội 2; P2 = [1 : 0 : 0] bội 2; P2,1 = (1 : 1 : 0) bội 2. Như vậy,dễ thấy đường cong đã cho có giống bằng 0.

Sau đây ta sẽ tìm phép tham số hóa hữu tỉ của nó.Bước 2: Tìm đa thức định nghĩa của Am(C).

Ta có, d = 5 nên sẽ chọn m = 5− 2 = 3. Giả sử H là đa thức định nghĩa của A3(C)

thì H có dạng:H = a1X

3 + a2Y3 + a3Z

3 + a4X2Y + a5X

2Z + a6XY2 + a7XZ

2 + a8Y Z2 + a9Y

2Z +

a10XY Z.P1 phải là một điểm bội 2 và P2 thuộc H nên ta có hệ:

H(P1) = 0,∂H

∂X(P1) = 0,

∂H

∂Y(P1) = 0,

∂H

∂Z(P1) = 0, H(P2) = 0.

Giải ra được: a1 = a3 = a7 = a8 = 0.

VậyH = a2Y

3 + a4X2Y + a5X

2Z + a6XY2 + a9Y

2Z + a10XY Z.

Hơn nữa, Q1(H)(P1,1) = 0, Q2(H)(P2,1) = 0 trong đó:

Q1 = X = Y Z, Y = XZ,Z = XY X = X, Y = Y − Z,Z = Y + Z.

Q2 = X = Y Z, Y = XZ,Z = XY X = Z − Y, Y = X,Z = Y −X.

Giải ra được a4 = 0, nên H = a2Y3 + a5X

2Z + a6XY2 + a9Y

2Z + a10XY Z.

Bước 3: Chọn tập hợp S.

Tiếp theo, chọn M = [1 : 1 : 0], N = [1 : 1 : 2] ∈ C\ Sing(C) (chọn dm− (d− 1)(d−

2)− 1 = 15− 12− 1 = 2 điểm).Bước 4: Tìm đa thức H của Am(C) ∩ H(m,

∑

P∈SP ).

Từ hệ H(M) = 0, H(N) = 0 ta có a2 + a6 = 0 và a2 + 2.a5 + a6 + 2.a9 + 2.a10 = 0

45

hay a6 = −a2, a5 = −a9 − a10.

Chọn a2 = 1, a9 = 0, a10 = t và thay vào H ta có

H = Y 3 − tX2Z −XY 2 + tXY Z.

Bước 5: Kết quả phép tham số hóa:

Ta tính được:Res(F,H,X) = Z3Y 8(Y Z − 4Y 2t− 2Y 2 + t2Y Z + 2Y Zt− 2t2Y 2 − 2Y Zt3 +Z2t3),

Res(F,H, Y ) = −Z5X8(−2X + Z)(t5Z +X + 4Xt+ 4t3X + t4X + 6t2X).

Cho Z = 1 và giải hệ

ppt(Res(F,H,X)) = 0

ppt(Res(F,H, Y )) = 0,

ta có:

X = −t5

(t + 1)4

Y = −t3

(t + 1)2.

Vậy Q(t) =

(

−t5

(t + 1)4,−

t3

(t+ 1)2, 1

)

là phép tham số hóa của đường cong đã cho.

0

5

10

15

20 40 60 80 100

Hình 1.2: Phần thực của đường cong F (X, Y ) = X (Y 2 −X)2− Y 5.

Ví dụ 1.32. Cho đường cong C với đa thức định nghĩa F (X, Y ) = Y 4 +Y 3Z −X2Z2.

Tìm phép tham số hóa phù hợp của C.

46

Các điểm kì dị của đường cong đã cho là: P1 = [1 : 0 : 0] và P2 = [0 : 0 : 1] (đềulà các điểm bội 2). Ta giải điểm kì dị thứ nhất bằng phép biến đổi bậc hai Q T1 vớiT1(X, Y, Z) = (Z − Y, Y + Z,X + Y + Z). Giải điểm kì dị thứ hai bằng phép biến đổibậc hai Q T2 với T2(X, Y, Z) = (Z − Y, Y,X + Y ).

Giải kì dị xong ta chọn k = 2, do đó,

H = a1X2 + a2Y

2 + a3Z2 + a4XY + a5XZ + a6Y Z.

Giải tương tự ví dụ 1 với S = M = [0 : 1 : −1] ∈ C\ Sing(C) và a6 = 1, a4 = 0, a5 = t

ta được phép tham số hóa là

Q(t) =

(

−t

(1− t2)2,

1

(t2 − 1), 1

)

.

–1

–0.5

0.5

–0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6

Hình 1.3: Phần thực của đường cong F = Y 4 + Y 3 −X2.

47

Chương 2

Hình học của các đường cong tham

số hóa hữu tỉ.

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của đường cong hữu tỉđược cho dưới dạng tham số hữu tỉ. Chúng ta sẽ trả lời hai câu hỏi chính: Một là, làmthế nào để tìm được các kì dị của đường cong thông qua dạng tham số? Hai là, xácđịnh số bội của một điểm tùy ý trên đường cong đã cho? Chúng tôi sử dụng các tàiliệu tham khảo chính là [2], [4], [5] và [6].

2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham

số hóa hữu tỉ.

Xuất phát từ các thuật toán đã trình bày trong chương 1, chúng ta biết rằng mộtđường cong hữu tỉ có thể có nhiều phép tham số hóa hữu tỉ. Khái niệm bậc của ánhxạ hữu tỉ sẽ giúp chúng ta phân loại các phép tham số hóa đó.

2.1.1 Chỉ số vết của một phép tham số hóa hữu tỉ.

Với các đường cong, khái niệm bậc của ánh xạ hữu tỉ đã nói đến trong chương 0 sẽđược gọi là chỉ số vết của ánh xạ hữu tỉ.

Định nghĩa 2.1. Cho C là một đường cong afin hữu tỉ và giả sử P(t) là một phéptham số hóa của C. Khi đó bậc của ánh xạ hữu tỉ P được gọi là chỉ số vết của phép

48

tham số hóa đã cho và kí hiệu là index(P(t)).

Như vậy, nếu một phép tham số hóa P(t) có index(P(t)) = ℓ có nghĩa là hầu hếtcác điểm trên C được sinh bởi đúng ℓ giá trị của tham số t. Kết quả sau đây cho tamột thuật toán để xác định chỉ số vết của một phép tham số hóa.

Mệnh đề 2.2. ([5], chương 4, Định lí 4.28) index(P(t)) = degt(gcd(f(s, t), g(s, t))).

Chứng minh. Xem [5], chương 4, định lí 4.28.

2.1.2 Tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ

Định nghĩa của phép tham số hóa hữu tỉ thực sự đã được trình bày trong chươngmột, ở đây chúng ta sẽ nêu các đặc trưng của một phép tham số hóa như thế.

Để đạt được mục đích đó, trước hết, chúng ta sẽ định nghĩa bậc của một hàm hữutỉ và từ đó định nghĩa bậc của một phép tham số hóa.

Định nghĩa 2.3. Giả sử f(t) =fn(t)

fd(t)∈ k(t) có dạng tối giản. Khi đó, ta định nghĩa

bậc của f(t), kí hiệu là deg f, như sau:

deg f = maxdeg fn, deg fd.

Còn nếu P(t) = (f(t), g(t)) thì ta gọi maxdeg f, deg g là bậc của P(t), kí hiệu làdeg(P(t)).

Bây giờ ta nghiên cứu mối quan hệ giữa các phép tham số hóa thực sự và khôngthực sự thông qua bổ đề sau:

Bổ đề 2.4. ([5], chương 4, Bổ đề 4.17) Giả sử P(t) là một phép tham số hóa thực sự

của đường cong hữu tỉ C, và P ′(t) là một phép tham số hóa hữu tỉ khác của C.

1. Tồn tại một hàm hữu tỉ khác hằng r(t) ∈ k(t) sao cho P ′(t) = P(R(t)).

2. P ′(t) là thực sự nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm hữu tỉ tuyến tính l(t) ∈ k(t) sao

cho P ′(t) = P(l(t)).

Trước khi chỉ ra đặc trưng của tính thực sự của các phép tham số hóa theo bậc củađường cong, chúng ta có một kết quả mang tính kỹ thuật.

Bổ đề 2.5. ([5], chương 4, bổ đề 4.19) Giả sử f(X), g(X) ∈ k[X ]∗ nguyên tố cùng

nhau sao cho ít nhất một đa thức khác hằng. Khi đó, tồn tại một số hữu hạn các giá

trị a ∈ k sao cho đa thức f(X)− ag(X) có nghiệm bội.

49

Định lí sau là điều kiện cần và đủ để một phép tham số hóa là thực sự.

Mệnh đề 2.6. ([5], chương 4, Định lí 4.21.) Giả sử C là một đường cong afin xác định

trên k với đa thức định nghĩa là F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] và giả sử P(t) = (f(t), g(t)) là một

phép tham số hóa của C. Khi đó, P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu

deg(P(t)) = maxdegX(F ), degY (F ).

Hơn nữa, nếu P(t) là thực sự và f(t) khác không thì deg f = degY (F ); tương tự, nếu

g(t) khác không thì deg g = degX(F ).

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề trong hai trường hợp: trường hợp riêng, P(t) cómột thành phần là hằng số, và trường hợp tổng quát.

Trong trường hợp P(t) có một thành phần hằng số, ta có thể giả sử P(t) = (f(t), λ).

Khi đó, C là đường thẳng có phương trình y = λ. Do đó, có thể thấy ngay (t, λ) làphép tham số hóa thực sự của C. Hơn nữa, theo bổ đề 2.4, tất cả các phép tham sốhóa thực sự của C có dạng (at+b

ct+d, λ), ad− bc 6= 0. Như vậy, deg(f) = 1 và rõ ràng mệnh

đề là đúng.Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, tức là C không phải là đường thẳng song song

với các trục tọa độ. Giả sử P(t) là thực sự và có dạng tối giản và không có thànhphần nào là hằng số. Khi đó, ta chứng minh rằng deg(g) = degX(F ) (và tương tựdeg(f) = degY (F )).

Xét tập con S của k bao gồm các phần tử:

(1) là thành phần tọa độ thứ hai của các điểm trên C hoặc không được nhắc tới trongphép tham số hóa hoặc được nhắc tới quá một lần với các giá trị khác nhau củat;

(2) là các phần tử b ∈ k sao cho đa thức gn(t)− bgd(t) có nghiệm bội;

(3) lc(gn(t))lc(gd(t))

;

(4) các phần tử b ∈ k sao cho đa thức F (X, b) có nghiệm bội;

(5) các nghiệm của lc(F (X, Y )) theo biến X.

Ta khẳng định rằng S là tập hữu hạn. Thật vậy: Vì P(t) là thực sự nên chỉ có hữuhạn điểm thỏa mãn điều kiện (1); theo bổ đề 2.5 thì các phần tử thỏa mãn (2) cũnglà hữu hạn; hiển nhiên, chỉ có một điểm thỏa mãn (3); một phần tử b ∈ k mà thỏamãn (4) nếu nó là tọa độ thứ hai của một điểm kì dị của C hoặc đường thẳng Y = b

50

là tiếp xúc với C tại một điểm đơn. Số điểm kì dị của C là hữu hạn. Thêm vào đó, nếuđường thẳng Y = b tiếp xúc C tại (a, b) thì (a, b) là nghiệm của hệ F = 0, ∂F

∂X= 0.

Theo định lí Bezout thì hệ này chỉ có hữu hạn nghiệm. Vậy chỉ có hữu hạn phần tửthỏa mãn (4); cuối cùng, vì hệ số dẫn đầu của F (X, Y ) theo biến X là một đa thứcmột biến khác không nên chỉ có hữu hạn phần tử của k thỏa mãn (5). Vậy S là tậphữu hạn.

Bây giờ ta chọn b ∈ k\S và xét tương giao của C và đường thẳng Y = b. Vì b khônglà nghiệm của hệ số dẫn đầu của F (X, Y ) theo biến X nên bậc của F (X, b) đúng bằngdegX(F (X, Y )), giả sử m := degX(F (X, Y )). Theo (4) thì F (X, b) không có nghiệmbội, nói cách khác F (X, b) có đúng m nghiệm phân biệt r1, r2, ..., rm. Vậy có m giaođiểm của C và đường thẳng Y = b là (ri, b), i = 1...n và các điểm này đều được sinhbởi P(t) (do điều kiện (1)).

Mặt khác, xét đa thức M(t) = gn(t) − bgd(t). Ta thấy rằng degt(M) ≥ m vìmỗi điểm (ri, b) tương ứng với một giá trị của t. Tuy nhiên, mỗi điểm (a, b) ∈ C

được sinh đúng một lần bởi P(t) (do (1)) và M(t) không thể có nghiệm bội nêndegt(M) = m = degX(F (X, Y )). Hơn nữa, do điều kiện (3) nên degX(F (X, Y )) =

deg(M) = max(deg(gn), deg(gd)).

Một cách tương tự ta chứng minh được degY (F (X, Y )) = max(deg(fn). deg(fd)).

Từ đó ta có ngay deg(P(t)) = max(degX(F ), degY (F )).

Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại. Giả sử P(t) là phép tham số hóa của C

sao cho deg(P(t)) = max(degX(F ), degY (F )) và P ′(t) là một phép tham số hóa thựcsự nào đó của C. Khi đó, theo bổ đề 2.4 tồn tại R(t) ∈ k(t) sao cho P ′(R(t)) = P(t).

Do P ′(t) là thực sự nên deg(P(t)) = max(degX(F ), degY (F )) = deg(P(t)). Do đó,deg(R(t)) = 1. Cũng theo bổ đề 2.4 thì P(t) là thực sự.

Hệ quả 2.7. Giả sử C là một đường cong afin xác định trên k với đa thức định nghĩa

là F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] và giả sử P(t) = (f(t), g(t)) là một phép tham số hóa của C.

Khi đó, f(t) khác không thì degY (F ) =deg(f(t))

index(P); tương tự, nếu g(t) khác không thì

degX(F ) =deg(g(t))

index(P).

Hơn nữa, từ định nghĩa về phép tham số hóa hữu tỉ thực sự và định nghĩa chỉ sốvết ta có ngay mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.8. ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) là thực sự khi và

chỉ khi index(P(t)) = 1.

51

Trước khi kết thúc mục này ta xét một ví dụ.

Ví dụ 2.9. Cho đường cong C định nghĩa bởi đa thức

F (X, Y ) = −6X2Y + 11X2 + 6XY + Y 2 − 10X + 3−X2Y 2.

Có thể kiểm tra được rằng

P(t) =

(

−163t2 − 50t+ 4

229t2 − 62t+ 4,1

2

171t2 − 52t+ 4

(7t− 1)t

)

vàP ′(t) =

(

t4 + 3t2 + 3

t4 + 3t2 + 1,t4 + 2t2 + 3

t2 + 2

)

đều là các phép tham số hóa hữu tỉ của C. Tuy nhiên, ta cũng tính được index(P(t)) =

1, index(P ′(t)) = 2. Do đó, chỉ có P(t) là phép tham số hóa hữu tỉ thực sự.

2.2 Phép tham số hóa chuẩn

Chúng ta đã biết, một ánh xạ hữu tỉ là một ánh xạ trội. Chính vì vậy trong trườnghợp tổng quát phép tham số hóa P(t) có thể có một số điểm của đường cong khôngđược nhắc tới. Nói cách khác, P không là toàn ánh. Trong phần này chúng ta sẽ quantâm đến trường hợp P là một toàn ánh, phép tham số hóa khi đó được gọi là phép

tham số hóa chuẩn.

Bổ đề 2.10. ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ1(X) = lc(f(X, t), t), ℓ2(Y ) =

lc(g(Y, t), t). Khi đó:

P(k) = (a, b) ∈ C| gcd(f(a, t), g(b, t)) 6= 1.

Hơn nữa,

C\P(k) ⊂ (a, b) ∈ C|ℓ1(a) = ℓ(b) = 0.

Hệ quả 2.11. Nếu trong P(t) nếu bậc của một trong các mẫu số mà nhỏ hơn bậc của

tử số tương ứng thì P(t) là chuẩn.

Định lí sau ngoài việc giúp chúng ta kiểm tra kiểm tra xem một phép tham số hóacó là chuẩn hay không còn cho phép chúng ta xác định được điểm mà không được nhắctới trong phép tham số hóa. Sau này ta sẽ gọi các điểm đó là các điểm tới hạn.

52

Mệnh đề 2.12. ([5], chương 6 , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả

sử deg(fn) = p, deg(Fd) = q, deg(gn) = r, deg(gd) = s và a = coeff(fn, q), b =

coeff(fd, q), c = coeff(gn, s), d = coeff(gd, s). Khi đó:

1. Nếu p > q hoặc r > s thì P(t) là phép tham số hóa chuẩn.

2. Nếu p ≤ q và r ≤ s thì P(t) là chuẩn khi và chỉ khi

deg(gcd(afn(t)− bfn(t), cgd(t)− dgn(t))) ≥ 1.

Hơn nữa, nếu P(t) là không chuẩn thì mọi điểm của C đều sinh bởi P(t) trừ điểm

(ab, cd) (đây là một điểm của C.)

Điểm (ab, cd) được xác định như trong mệnh đề trên (nếu có) của một phép tham số

hóa hữu tỉ được gọi là điểm tới hạn của phép tham số hóa đó.

2.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới

dạng tham số hóa

2.3.1 Khảo sát các kì dị của một đường cong

Giả sử C là một đường cong hữu tỉ được cho dưới dạng tham số hóa là P(t), s0 làmột phần tử trong k. Xét hệ:

f (t) = f (s0)

g (t) = g (s0) .

Rõ ràng, với hầu hết các giá trị của s0 số nghiệm của hệ này đúng bằng chỉ số vết củaP(t).

Hơn nữa, các nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ:

f (s0, t) = 0

g (s0, t) = 0.

Nếu gcd(lc(f(s0, t), t), lc(g(s0, t), t)) 6= 0,Rest(f(s0, t), g(s0, t)) 6= 0, fd(s0)gd(s0) 6= 0

thì số nghiệm của hai hệ đúng bằng nhau.Như vậy ta có kết luận

Mệnh đề 2.13. Nếu gcd(lc(f(s0, t), t), lc(g(s0, t), t)) 6= 0,Rest(f(s0, t), g(s0, t)) 6= 0, fd(s0)gd(s0) 6=

0 thì P(s0) là điểm đơn trên C.

53

Từ đó ta có

Mệnh đề 2.14. ([4], Định lí 11) Nếu P = [a1 : a2 : a3] ∈ P2 là điểm kì dị của đường

cong C với đa thức định nghĩa là F (X1, X2, X3) thì một trong các phát biểu sau đây là

đúng:

1. Với i ∈ 1, 2, 3 sao cho ai 6= 0 thì (ajai, akai), trong đó j, k ∈ 1, 2, 3 và j 6= i 6= k,

là điểm tới hạn của phép tham số hóa P∗,Xitối giản.

2. P = P∗(s0) với gcd(lc(f(s0, t), t), lc(g(s0, t), t))(s0) = 0;

3. P = P∗(s0) với Rest(f(s0, t)

gcd(f(s0, t), g(s0, t)),

g(s0, t)

gcd(f(s0, t), g(s0, t))) = 0;

4. P = P∗(s0) với fd(s0)gd(s0) = 0.

Như vậy, ta có thể tìm được tập hợp các điểm chứa tất cả các điểm kì dị của C từdạng tham số hóa hữu tỉ. Ở các phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm cách chỉ ra bậc toàncục của đường cong cũng như bậc địa phương tại một điểm bất kì. Nhờ đó chúng tacó thể xác định chính xác các điểm kì dị và số bội tương ứng của chúng.

2.3.2 Bậc của một đường cong hữu tỉ cho bởi dạng tham số

hóa hữu tỉ.

Bài toán tìm bậc của đường cong đã có một cách giải quyết quen thuộc nhờ ứngdụng của Định lí Bézout: ta sẽ tìm số giao điểm (kể cả bội) của đường cong đã cho vớimột đường thẳng bất kì. Số này chính là bậc của đường cong. Tuy nhiên, trong mụcnày chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp dựa trên khái niệm chỉ số vết của phéptham số hóa.

Mệnh đề 2.15. ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b) /∈ C. Khi đó,

deg(C) =

deg

(

(gn(t)− bgd(t))fd(t)

(fn(t)− afd(t))gd(t)

)

degϕP.

Chứng minh. Giả sử đa thức định nghĩa của C là F (X, Y ). Xét đường cong D định

nghĩa bởi đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b). Vì P(t) =

(

fn(t)

fd(t),gn(t)

gd(t)

)

tham số hóa

C nên Q(t) =

(

fn(t)

fd(t)− a,

gn(t)

gd(t)− b

)

=

(

fn(t)− afd(t)

fd(t),gn(t)− bgd(t)

gd(t)

)

tham số hóa

D và (0, 0) /∈ D. Như vậy, ta có thể viết

G(X, Y ) = G0(X, Y ) +G1(X, Y ) + ...+Gm(X, Y ).

54

Do đó,G∗(X, Y, Z) = G0(X, Y )Zm +G1(X, Y )Zm−1 + ...+Gm(X, Y ).

Chú ý là G0(X, Y ) 6= 0 nên m = degD = degZ(G∗(X, Y, Z)) = degZ(G

∗(1, Y, Z)).

Bây giờ, nếu gọi E là đường cong định nghĩa bởi đa thức H(Y, Z) = G∗(1, Y, Z) thì

QX(t) =

(

gn(t)fd(t)

fn(t)gd(t),fd(t)gd(t)

fn(t)gd(t)

)

tham số hóa E . Theo hệ quả 2.7 ta có

deg(D) =

deg

(

(gn(t)− bgd(t))fd(t)

(fn(t)− afd(t))gd(t)

)

deg ϕQX

.

Bây giờ ta xét ánh xạ R : k2 → k2 xác định bởi R(X, Y ) =(

Y − b

X − a,

1

X − a

)

. Rõ ràng

deg(ϕR) = 1 và QX = R P nên deg(ϕP) = deg(ϕQX). Thế mà bậc của đường cong là

bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) và ta có điều cầnchứng minh.

Như vậy, muốn tính bậc của đường cong hữu tỉ nhờ công cụ chỉ số vết của ánh xạhữu tỉ, chúng ta chỉ cần chọn ra một điểm không thuộc đường cong rồi áp dụng mệnhđề 2.15. Việc lựa chọn một điểm không thuộc đường cong không khó. Thật vậy, nếudeg(gcd(fn(t)− afd(t), gn(t)− bgd(t)) ≥ 1 thì điểm (a, b) ∈ C. Trong trường hợp ngượclại thì hoặc (a, b) là điểm tới hạn của phép tham số hóa hoặc (a, b) không thuộc đườngcong.

2.3.3 Số bội của một điểm trên đường cong hữu tỉ.

Trong chương 0 chúng ta đã nói đến vấn đề xác định số bội của một điểm bất kìP của đường cong afin bằng cách tịnh tiến đường cong sao cho P trùng với gốc tọađộ. Khi đó, bậc của thành phần thuần nhất bậc thấp nhất chính là số bội của P trênđường cong đã cho. Trong mục này, tuy chúng ta mong muốn xác định được số bội củamột điểm tùy ý của đường cong mà chỉ thông qua dạng tham số nhưng ý tưởng củaphương pháp vẫn xuất phát từ vấn đề trên.

Mệnh đề 2.16. ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b) ∈ k2. Khi đó

mult[a:b:1](C∗) = mult(a,b)(C) = deg(C)−

deg

(

(gn(t)− bgd(t))fd(t)

(fn(t)− afd(t))gd(t)

)

degϕP.

55

Chứng minh. Giả sử đa thức định nghĩa của C là F (X, Y ). Xét đường cong D định

nghĩa bởi đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b). Vì P(t) =

(

fn(t)

fd(t),gn(t)

gd(t)

)

tham số hóa

C nên Q(t) =

(

fn(t)

fd(t)− a,

gn(t)

gd(t)− b

)

=

(

fn(t)− afd(t)

fd(t),gn(t)− bgd(t)

gd(t)

)

tham số hóa

D và (0, 0) /∈ D. Như vậy, ta có thể viết

G(X, Y ) = G0(X, Y ) +G1(X, Y ) + ...+Gm(X, Y ).

Do đó,G∗(X, Y, Z) = G0(X, Y )Zm +G1(X, Y )Zm−1 + ...+Gm(X, Y ).

Vì mult(a,b)(C) = mult(0,0)(D), ta suy ra rằngdeg(D)−mult(a,b)(C) = degZ(G

∗(X, Y, Z)) = degZ(G∗(1, Y, Z)). Bây giờ, nếu gọi E là

đường cong định nghĩa bởi đa thứcH(Y, Z) = G∗(1, Y, Z) thì QX(t) =

(

gn(t)fd(t)

fn(t)gd(t),fd(t)gd(t)

fn(t)gd(t)

)

tham số hóa E . Theo hệ quả 2.7 ta có

degZ(E) =

deg

(

(gn(t)− bgd(t))fd(t)

(fn(t)− afd(t))gd(t)

)

degϕQX

.

Tương tự như trong mệnh đề trên deg(ϕP) = deg(ϕQX). Thế mà bậc của đường cong

là bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) và ta có điềucần chứng minh.

Như vậy, khi muốn tìm số bội của một điểm P với tọa độ dạng [a : b : 1] thì ta quyvề tìm số bội của (a, b) trên đường cong C∗,Z . Một cách tương tự, khi tìm số bội củacác điểm có dạng [1 : a : b] hay [a : 1 : b] ta sẽ quy về tìm số bội của điểm (a, b) trêncác đường cong tương ứng là C∗,X và C∗,Y . Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.17. ([4], Định lí 9) Ta có các công thức sau:

mult[1:k:0](C∗) = deg(C)−

deg

(

fd(t)gd(t)

(gn(t)fd(t)− kgd(t))fn(t)

)

degϕP.

mult[0:1:0](C∗) = deg(C)−

deg

(

fd(t)

fn(t)

)

degϕP.

Trước khi kết thúc chương này ta có một ví dụ mang để minh họa các kết quả nóitrên.

56

Ví dụ 2.18. Gọi C là đường cong cho bởi phép tham số hóa

P(t) =

(

2t2 + t + 2

t2 + 1,1

t3

)

.

Ta có:P∗,Z(t) = P(t);P∗,Y (t) =

(

(2t2+t+2)t3

t2+1, t3)

;P∗,X =(

t2+1(2t2+t+2)t3

, t2+12t2+t+2

)

. Vì vậy, các

điểm tới hạn có thể có P1 = [2 : 0 : 1].

Mặt khác:f(s, t) = (t4 + 2 (t2 + 1) t3) (s2 + 1) s3 − (t2 + 1) t3 (s4 + 2 (s2 + 1) s3) ,

g(s, t) = (t2 + 1) (s2 + 1) s3 − (t2 + 1) t3 (s2 + 1) .

Do đó, gcd(f(s, t), g(s, t)) = t− s (nên suy ra index(P) = 1). Suy ra,

Res (f(s, t)/(t− s); g(s, t)/(t− s)) = (s4 + s2 + 1)(s2 + 1)5s18.

Ta chỉ cần xét các nghiệm của s4+ s2+1 = 0 bao gồm: s1 = 1+√32i; s2 = 1−

√32i; s3 =

−1 +√32i;−1 −

√32i.

Ta có P2 = P∗(s1) = P∗(s2) = [3 : −1 : 1];P3 = P∗(s3) = P∗(s4) = [1 : 1 : 1].

Điều kiện gd(s)fd(s) = 0 cho ta s5 = 0, s6 = i, s7 = −i. Khi đó: P4 = P∗(s5) = [0 :

1 : 0];P5 = P∗(s6) = P∗ = [0 : 0 : 1].

Áp dụng các công thức ở trên ta tính được deg(C∗) = 5 và

multP1(C∗) = 1,multP2(C

∗) = 2,multP3(C∗) = 2,multP4(C

∗) = 3,multP1(C∗) = 2.

Như vậy đường cong đã cho có bậc 5 và chứa bốn điểm kì dị đã chỉ ra ở trên.

57

Kết luận

Như vậy, trong chương một chúng tôi đã trình bày trọn vẹn hai khía cạnh về bàitoán tham số hóa đường cong hữu tỉ. Bao gồm, thuật toán xác định giống của đườngcong (đồng nghĩa với việc xác định tính hữu tỉ của đường cong) và thuật toán tham sốhóa hữu tỉ bằng các đường cong liên hợp.

Phương pháp xác định giống của đường cong mà chúng tôi trình bày trong luậnvăn cũng là phương pháp kiểm tra điều kiện cần và đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ.Hơn nữa, nó còn cho phép xác định đồ thị lân cận trong trường hợp đường cong có cáckì dị không thông thường, tức là trường hợp tổng quát nhất của bài toán tham số hóa.Đồ thị lân cận của một điểm kì dị thu được bằng các giải kì dị dựa trên dãy các phépbiến đổi bậc hai (phép nổ tại các kì dị, là hợp thành của một phép biến đổi tuyến tínhvà một ánh xạ Cremona).

Dựa trên các đồ thị lân cận tại các điểm kì dị thu được trong bước trên và các hệthống tuyến tính, chúng tôi trình bày thuật toán tham số hóa bằng đường cong liên hợp.

Vấn đề ngược lại đã được đề cập trong chương hai, khi cho một đường cong dướidạng tham số, bằng cách khử tham số (dùng kết thức) ta có thể tìm được đa thức địnhnghĩa của đường cong để từ đó nghiên cứu các tính chất hình học của đường cong.Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc của ánh xạ đa thức hay chỉ số vết của phép tham sốhóa hữu tỉ chúng ta có thể nhanh chóng tìm được các tính chất hình học như bậc địaphương, bậc toàn cục, xác định được tập các điểm kì dị của đường cong...

58

Tài liệu tham khảo

[1] W. Fulton (1989), Algebraic Curvers, Addison-Wesley.

[2] J. Gutierrez, R. Rubio, Jie-Tai Yu (2002), "D-Resultant for rational functions",American Mathematical Society, Volume 130, Number 8, Pages 2237-2246.

[3] M. Namba (1984), Geometry Projective of Algebraic Curvers, Dekker.

[4] S. Pérez-Díaz (2007), "Computation of the singularities of parametric planecurves", Journal of Symbolic Computation 42, Pages 835-857.

[5] J. R. Sendra, F. Winkler & S. Pérez Díaz (2008), Rational Algebraic Curvers,

Springer.

[6] A. van der Essen, Jie-Tai Yu (1997), "The D-Resultant, singularities and the degreeof unfaithfulness", American Mathematical Society, Volume 125, Number 3, Pages689-695.

[7] R.J. Walker (1950), Algebraic Curvers, Princeton Univ. Press.

59