LIB Cálculo. Varias Variables - Vol 2 - 4ta Edición - Dennis G. Zill & Warren S.wright (ES)

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Clculo devarias variables

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Marlene Aguilar baloInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM),Campus Ciudad de Mxico

Fidel Castro LpezEscuela Superior de Ingeniera Mecnica

y Elctrica (ESIME),Instituto Politcnico Nacional, Mxico

Roco Cerecero LpezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM),Campus Cuernavaca, Mxico

Jos Job Flores GodoyUniversidad Iberoamericana,

Ciudad de Mxico

Enrique Arturo Galvn FloresEscuela Superior de Ingeniera Mecnica

y Elctrica (ESIME),Instituto Politcnico Nacional, Mxico

Joel Ibarra EscutiaInstituto Tecnolgico de Toluca,

Toluca, Mxico

Linda Margarita Medina HerreraInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico

Carlos Enrique Peralta Santa CruzUniversidad Continental de Ciencias e Ingeniera,

Huancayo, Per

John Alexander Prez SeplvedaUniversidad Nacional de Colombia,

Medelln, Colombia

Jorge Augusto Prez AlczarEscuela Colombiana de Ingeniera,

Bogot, Colombia

Petr ZhevandrovFacultad de Ingeniera,

Universidad de la Sabana, Bogot, Colombia

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORKSAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL

NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

Revisin tcnica:

Dennis G. ZillLoyola Marymount University

Warren S. WrightLoyola Marymount University

Clculo devarias variables

Cuarta edicin

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Ramiro Saldaa AcostaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM),Campus Laguna, Mxico


Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traductores: Gabriel Nagore Czares

CLCULO DE VARIAS VARIABLESCuarta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A,Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn,C.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 13: 978-607-15-0500-2

Translated from the 4th edition of: Calculus. Early transcendentals by Dennis G. Zill and Warren S. Wright.Copyright 2011 by Jones and Bartlett Learning, 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA 01776. All rights reserved.

978-0-7637-5995-7

1234567890 1098765432101

Impreso en China Printed in China

Educacin

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Para el instructorFilosofaLa cuarta edicin de Clculo: trascendentes tempranas constituye una revisin sustancial de laltima edicin. Aunque en esta edicin hay mucho material nuevo, he intentado preservar intac-to mi objetivo original de compilar un texto de clculo que no sea slo una coleccin de defini-ciones y teoremas, habilidades y frmulas para memorizar, as como problemas para resolver,sino un libro que se comunique con sus lectores ms importantes: los estudiantes. Deseo queestos cambios hagan ms relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para elprofesor.

Caractersticas de esta edicinSecciones y ejercicios La mayor parte del material se ha actualizado y, en algunos casos, reor-ganizado. Muchas secciones y conjuntos de ejercicios se han reescrito por completo; asimismo,se les han agregado muchos problemas nuevos, en especial aplicaciones, problemas que requie-ren el uso de calculadora y computadora, problemas conceptuales y problemas de proyectos. Ensu mayora, las aplicaciones agregadas pertenecen al mbito de la vida real en el sentido deque se han investigado exhaustivamente usando fuentes originales. Tambin se han agregadoproblemas relacionados con la interpretacin de grficas. Adems, se ha hecho nfasis en las fun-ciones trigonomtricas tanto en los ejemplos como en los conjuntos de ejercicios a lo largo deltexto. En esta edicin hay ms de 7 300 problemas.

Como ayuda en la asignacin de problemas, cada conjunto de ejercicios est dividido clara-mente en grupos de problemas identificados con ttulos como Fundamentos, Aplicaciones, Mode-los matemticos, Proyectos, Problemas con calculadora/SAC, etctera. Creo que la mayora delos ttulos son autosuficientes, de modo que los problemas que aparecen bajo el encabezado Pien-se en ello tratan aspectos conceptuales del material cubierto en esa seccin y son idneos comotareas o para discutir en clase. En el texto no se proporciona respuesta alguna para estos proble-mas. Algunos estn identificados como Clsicos matemticos y reflejan el hecho de que hanexistido durante largo tiempo, aparecen en la mayor parte de los textos o presentan algn deta-lle interesante, mientras que otros problemas identificados como Un poco de historia muestranalgn aspecto histrico.

En este texto las ecuaciones diferenciales aparecen en dos captulos: 8 (el cual se incluye enel libro Clculo de una variable) y 16. Las ecuaciones de primer orden se consideran en el cap-tulo 8 del libro Clculo de una variable para beneficio de aquellos estudiantes que encuentrensus aplicaciones en cursos de fsica e ingeniera. En el captulo 16 se consideran la solucin y lasaplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por supuesto, los captulos 8 y 16pueden combinarse y cubrirse como una unidad en cualquier punto del curso, una vez que sehaya concluido el captulo 4 del libro Clculo de una variable. En el apndice se proporcionandemostraciones de algunos de los teoremas ms largos. Al final de las secciones correspondien-

Prefacio

v

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tes aparecen esbozos biogrficos de algunos matemticos que han impactado de manera impor-tante el desarrollo del clculo bajo la rbrica de Posdata: Un poco de historia.

Caractersticas especiales Cada captulo empieza con su propia tabla de contenido y una intro-duccin al material referido en ese captulo. En la parte final del libro, despus del apndice, ellector encontrar la seccin Frmulas matemticas, que constituye una revisin compacta deconceptos bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo: las leyes de los exponentes,frmulas de factorizacin, desarrollos binomiales, tringulo de Pascal, frmulas de geometra,grficas y funciones, funciones trigonomtricas, funciones exponenciales y logartmicas, y fr-mulas de diferenciacin e integracin.

La seccin denominada Autoevaluacin, que fue introducida en la ltima edicin, consta de56 reactivos sobre cuatro amplias reas de preclculo en matemticas. Esta evaluacin intentaalentar a los estudiantes a revisar por s mismos algunos de los temas de prerrequisito esenciales,como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de rectas, crculos, etc., que se aplican a lolargo del texto. En la seccin de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos reactivos.

Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy receptivos a las Observaciones conlas que a menudo termina una seccin. En consecuencia, el nmero de stas ha aumentado y seles ha denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean anlisis informales diri-gidos directamente al estudiante. Estos anlisis varan desde advertencias sobre errores algebrai-cos, de procedimiento y de notacin comunes, pasando por la interpretacin errnea de teoremasy consejos, hasta preguntas que piden al estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recinpresentadas.

Tambin, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el nmero de notas al margen yanotaciones de orientacin en los ejemplos.

Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de figuras, definiciones y teoremasque hay en este texto, he cambiado a un sistema de numeracin doble decimal. Por ejemplo, lainterpretacin de figura 10.2.3 es

Considero que este tipo de numeracin facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figuraa la que se hace referencia en una seccin o en un captulo posterior. Adems, para relacionarmejor una figura con el texto, la primera referencia textual a cada figura aparece con el mismoestilo y color de letra que el nmero de la figura. Por ejemplo, la primera referencia a la prime-ra figura en la seccin 11.5 se proporciona como FIGURA 11.5.1, y todas las referencias subsecuen-tes se escriben en el estilo tradicional de la figura 11.5.1. Tambin, en esta edicin cada figuraen el texto presenta un breve subttulo explicatorio.

Materiales de apoyoEsta obra cuenta con interesantes complementos para fortalecer los procesos de enseanza-apren-dizaje y su evaluacin, y se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Paraobtener ms informacin respecto de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

Para el estudianteUsted se ha matriculado en uno de los cursos ms interesantes de matemticas. Hace muchosaos, cuando yo era estudiante de Clculo I, me sorprendieron el poder y la belleza del material.Era distinto de cualquier tipo de matemticas que hubiera estudiado hasta ese momento. Eradivertido, emocionante y constitua un desafo. Despus de ensear matemticas universitariaspor muchos aos, he conocido infinidad de tipos de estudiante, desde el genio incipiente queinvent su propio clculo hasta estudiantes que luchaban por dominar la mecnica ms elemen-tal del tema. A lo largo de estos aos tambin he sido testigo de un fenmeno triste: algunos estu-diantes fracasan en clculo no porque encuentren que el tema es imposible, sino porque tienenhabilidades deficientes de lgebra y un conocimiento inadecuado del trabajo en trigonometra.El clculo construye de inmediato sobre su conocimiento y habilidades previos, donde hay

Captulo Seccin del captulo 10T T10.2.3 d Tercera figura de la seccin 10.2

vi Prefacio

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mucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia, hay muy poco tiempo para repasar las basesen el planteamiento formal del aula. As, quienes enseamos clculo debemos asumir que ustedpuede factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver desigualdades, manejar valoresabsolutos, usar una calculadora, aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rec-tas, graficar puntos, trazar grficas elementales y aplicar importantes identidades logartmicas ytrigonomtricas, la habilidad de hacer lgebra y trigonometra, trabajar con exponentes y loga-ritmos, as como trazar a mano, con rapidez y precisin, grficas bsicas que son claves paratener xito en un curso de clculo.

En la pgina xiii encontrar la seccin Autoevaluacin, que contiene 56 preguntas. Estaprueba es una oportunidad para que usted verifique sus conocimientos acerca de algunos temasque se tratan en este texto. Reljese, tome su tiempo, lea y trabaje cada pregunta, y luego compa-re sus respuestas con las que se proporcionan en la pgina RES-1. Sin tomar en cuenta su califi-cacin, lo alentamos a que revise material de preclculo en algn texto acerca de la materia.

Unas palabras para los estudiantes que han cursado clculo en preparatoria: por favor, noasuman que pueden lograrlo con un esfuerzo mnimo porque identifican algunos de los temas enclculo diferencial e integral. Un sentimiento de familiaridad con el tema combinado con unaactitud de complacencia a menudo es la razn del fracaso de algunos estudiantes.

Aprender matemticas no es como aprender a andar en bicicleta: en que una vez que seaprende, la habilidad permanece para siempre. Las matemticas son ms como aprender otroidioma o tocar un instrumento musical: requiere tiempo, esfuerzo y mucha prctica para desarro-llar y mantener la habilidad. Aun los msicos experimentados continan practicando escalas fun-damentales. Por lo anterior, usted, el estudiante, slo puede aprender matemticas (es decir,hacer que se le pegue) mediante el trabajo arduo de hacer matemticas. Aunque he intentadohacer ms claros para el lector la mayora de los detalles en la solucin de un ejemplo, inevita-blemente usted tiene que completar los pasos faltantes. No puede leer un texto de este tipo comosi fuese una novela; debe abrirse camino a lo largo de l con lpiz y papel en mano.

En conclusin, le deseo la mejor de las suertes en este curso.

AgradecimientosCompilar un libro de texto de esta complejidad es una tarea monumental. Adems de los auto-res, mucha gente invirti tiempo y energa en el proyecto. En primer lugar, me gustara expresarmi aprecio para los equipos editorial, de produccin y mercadotecnia de Jones y Bartlett, y a lossiguientes revisores de esta edicin y las ediciones previas, quienes contribuyeron con numero-sas sugerencias, crticas vlidas e incluso ocasionalmente con algunas palabras de apoyo:

Prefacio vii

Scott Wilde, Baylor UniversitySalvatore Anastasio, SUNY, New PaltzThomas Bengston, Penn State University, Delaware CountySteven Blasberg, West Valley CollegeRobert Brooks, University of UtahDietrich Burbulla, University of TorontoDavid Burton, Chabot CollegeMaurice Chabot, University of Southern MaineH. Edward Donley, Indiana University of PennsylvaniaJohn W. Dulin, GMI Engineering & Management InstituteArthur Dull, Diablo Valley CollegeHugh Easler, College of William and MaryJane Edgar, Brevard Community CollegeJoseph Egar, Cleveland State UniversityPatrick J. Enright, Arapahoe Community CollegePeter Frisk, Rock Valley CollegeShirley Goldman, University of California at DavisJoan Golliday, Santa Fe Community CollegeDavid Green, Jr., GMI Engineering & Management InstituteHarvey Greenwald, California Polytechnic State UniversityWalter Gruber, Mercy College of Detroit

Dave Hallenbeck, University of DelawareNoel Harbetson, California State University at FresnoBernard Harvey, California State University, Long BeachChristopher E. Hee, Eastern Michigan UniversityJean Holton, Tidewater Community CollegeRahim G. Karimpour, Southern Illinois UniversityMartin Kotler, Pace UniversityCarlon A. Krantz, Kean College of New JerseyGeorge Kung, University of Wisconsin at Stevens PointJohn C. Lawlor, University of VermontTimothy Loughlin, New York Institute of TechnologyAntonio Magliaro, Southern Connecticut Slate UniversityWalter Fred Martens, University of Alabama at

BirminghamWilliam E. Mastrocola, Colgate UniversityJill McKenney, Lane Community CollegeEdward T. Migliore, Monterey Peninsula CollegeCarolyn Narasimhan, DePaul UniversityHarold Olson, Diablo Valley CollegeGene Ortner, Michigan Technological UniversityAubrey Owen, Community College of Denver

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viii Prefacio

Marvin C. Papenfuss, Loras CollegeDon Poulson, Mesa Community CollegeSusan Prazak, College of CharlestonJames J. Reynolds, Pennsylvania State University, Beaver

CampusSusan Richman, Penn State University, HarrisburgRodd Ross, University of TorontoDonald E. Rossi, De Anza CollegeLillian Seese, St. Louis Community College at MeramecDonald Sherbert, University of Illinois

Nedra Shunk, Santa Clara UniversityPhil R. Smith, American River CollegeJoseph Stemple, CUNY Queens CollegeMargaret Suchow, Adirondack Community CollegeJohn Suvak, Memorial University of NewfoundlandGeorge Szoke, University of AkronHubert Walczak, College of St. ThomasRichard Werner, Santa Rosa Junior CollegeLoyd V. Wilcox, Golden West CollegeJack Wilson, University of North Carolina, Asheville

Tambin me gustara extender un agradecimiento extraespecial para las siguientes personas:

Jeff Dodd, Jacksonville State University, por el proyecto del problema 37 de los ejerci-cios 8.3.

John David Dionisio, Loyola Marymount University, y Brian y Melanie Fulton, HighPoint University, por proporcionar las soluciones de problemas y ejercicios.

Roger Cooke, University of Vermont, y Fred S. Roberts, Rutgers University, por haberdedicado tiempo de sus ocupados programas y contribuido con los excelentes ensayos declculo.

Carol Wright, por su ayuda en las etapas finales de preparacin del manuscrito de ste yotros textos.

David Pallai, distribuidor, y Tim Anderson, editor, por soportar toda la liberacin verbalde mis frustraciones.

Jennifer Bagdigian, gerente de produccin, por coordinar amablemente las fases de pro-duccin y por su paciencia para aguantar mis cambios de carcter sin fin, y a

Irving Drooyan y Charles Carico, por iniciar todo.

Incluso con toda la ayuda mencionada, la precisin de cada letra, palabra, smbolo, ecuacin yfigura contenidos en este producto final es responsabilidad del autor. Estar muy agradecido decontar con el aviso de cualquier error o errores tipogrficos que llamen la atencin. Las correc-ciones pueden enviarse a

[email protected]

En conclusin, doy la bienvenida a Warren Scott Wright, mi colega desde hace mucho tiempo enLoyola Marymount University, y autor de muchos de los suplementos que acompaan mis tex-tos, como coautor de este texto.

Dennis G. Zill Warren S. Wright

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Contenido

ix

Prefacio v

Autoevaluacin xiii

Ensayo: La historia del clculo xvii

10 Cnicas y coordenadas polares 547

10.1 Secciones cnicas 548

10.2 Ecuaciones paramtricas 560

10.3 Clculo y ecuaciones paramtricas 568

10.4 Sistema de coordenadas polares 573

10.5 Grficas de ecuaciones polares 576

10.6 Clculo en coordenadas polares 585

10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 592

Revisin del captulo 10 597

11 Vectores y espacio tridimensional 601

11.1 Vectores en el espacio bidimensional 602

11.2 Espacio tridimensional y vectores 608

11.3 Producto punto 614

11.4 Producto cruz 622

11.5 Rectas en el espacio tridimensional 629

11.6 Planos 634

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x Contenido

11.7 Cilindros y esferas 640

11.8 Superficies cudricas 643


12 Funciones de valores vectoriales 655

12.1 Funciones vectoriales 656

12.2 Clculo de funciones vectoriales 661

12.3 Movimiento sobre una curva 668

12.4 Curvatura y aceleracin 673


13 Derivadas parciales 681

13.1 Funciones de varias variables 682

13.2 Lmites y continuidad 688

13.3 Derivadas parciales 695

13.4 Linealizacin y diferenciales 703

13.5 Regla de la cadena 711

13.6 Derivada direccional 718

13.7 Planos tangentes y rectas normales 724

13.8 Extremos de funciones multivariables 728

13.9 Mtodo de mnimos cuadrados 735

13.10 Multiplicadores de Lagrange 737


14 Integrales mltiples 749

14.1 La integral doble 750

14.2 Integrales iteradas 753

14.3 Evaluacin de integrales dobles 757

14.4 Centro de masa y momentos 764

14.5 Integrales dobles en coordenadas polares 768

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14.6 rea de la superficie 773

14.7 La integral triple 776

14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 783

14.9 Cambio de variables en integrales mltiples 790


15 Clculo integral vectorial 801

15.1 Integrales de lnea 802

15.2 Integrales de lnea de campos vectoriales 808

15.3 Independencia de la trayectoria 815

15.4 Teorema de Green 824

15.5 Superficies paramtricas y reas 830

15.6 Integrales de superficie 839

15.7 Rotacional y divergencia 845

15.8 Teorema de Stokes 851

15.9 Teorema de la divergencia 856


16 Ecuaciones diferencialesde orden superior 867

16.1 Ecuaciones exactas de primer orden 868

16.2 Ecuaciones lineales homogneas 872

16.3 Ecuaciones lineales no homogneas 878

16.4 Modelos matemticos 883

16.5 Soluciones en series de potencias 891


Apndice AP-1

Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1

Frmulas matemticas FM-1

Repaso de lgebra FM-1Frmulas de geometra FM-2Grficas y funciones FM-4

Contenido xi

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Revisin de trigonometra FM-5Funciones exponencial y logartmica FM-7Diferenciacin FM-8Frmulas de integracin FM-9

Respuestas de la autoevaluacin RES-1

Respuestas de los problemas impares seleccionados RES-2

ndice analtico ND-1

Crditos de fotografas C-1

xii Contenido

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Autoevaluacin

Las respuestas a todas las preguntas estn en la pgina RES-29.

Como preparacin para el clculo

Matemticas bsicas

1. (Falso/verdadero) __________

2. (Falso/verdadero) Para __________

3. (Falso/verdadero) Para __________


5. (Llene el espacio en blanco) En el desarrollo de (1 - 2x)3, el coeficiente de x2 es __________.6. Sin usar calculadora, evale

7. Escriba lo siguiente como una expresin sin exponentes negativos:

.

8. Complete el trinomio cuadrado: 2x2 + 6x + 5.9. Resuelva las ecuaciones:

a) b) c) d)

10. Factorice completamente:a)b)c)d)

Nmeros reales

11. (Falso/verdadero) Si a 6 b, entonces __________12. (Falso/verdadero) __________

13. (Falso/verdadero) Si a 6 0, entonces __________

14. (Llene el espacio en blanco) Si entonces x = __________ o x = _______.

15. (Llene el espacio en blanco) Si a 5 es un nmero negativo, entonces __________.

16. Cules de los siguientes nmeros son racionales?a) 0.25 b) c)

d) e) f )

g) 0 h) i)

j) k) l)

17. Relacione el intervalo dado con la desigualdad idnea.i) (2, 4] ii) [2, 4) iii) (2, 4) iv) [2, 4]a) b) c) d)

18. Exprese el intervalo (-2, 2) comoa) una desigualdad y b) una desigualdad que implique valores absolutos.

19. Trace la grfica de en la recta numrica.(q, 1] [3, q)

1 6 x 1 30 x 2 6 20x 3 0 10x 3 0 6 1

211

132

1512

1129

12116227

p8.131313 p

a 5

03x 0 18,aa6 0.

2(9)2 9.a2 6 b2.

x4 16x3 27x4 2x3 15x210x2 13x 3

x 1x 1 112x 1 1x 0x2 2x 5x2 7x

x212(x

2 4)1>22x 2x2x2 4

(27)5>3.

2n4n

12n.

x 0, x3>2 1x2>3

.

a 7 0, (a4>3)3>4 a.2a2 b2 a b.

xiii

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20. Encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la desigualdad Escribasu solucin usando notacin de intervalos.

21. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos.

22. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos.

Plano cartesiano

23. (Llene el espacio en blanco) Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces (-a, b) esun punto en el __________ cuadrante.

24. (Llene el espacio en blanco) El punto medio del segmento de recta desde P1(2, -5) hastaP2(8, -9) es __________.

25. (Llene el espacio en blanco) Si (-2, 6) es el punto medio del segmento de recta desde P1(x1,3) hasta P2(8, y2), entonces x1 =__________ y y2 = __________.

26. (Llene los espacios en blanco) El punto (1, 5) est en una grfica. Proporcione las coorde-nadas de otro punto de la grfica si la grfica es:a) simtrica con respecto al eje x. __________b) simtrica con respecto al eje y. __________c) simtrica con respecto al origen. __________

27. (Llene los espacios en blanco) Las intersecciones x y y de la grfica de son,respectivamente, __________ y __________.

28. En cules cuadrantes del plano cartesiano es negativo el cociente xy?29. La coordenada y de un punto es 2. Encuentre la coordenada x del punto si la distancia del

punto a (1, 3) es

30. Encuentre una ecuacin del crculo para el cual (-3, -4) y (3, 4) son los puntos extremos deun dimetro.

31. Si los puntos P1, P2 y P3 son colineales como se muestra en la FIGURA A.1, encuentre unaecuacin que relacione las distancias d(P1, P2), d(P2, P3), y d(P1, P3).

32. Cul de las siguientes ecuaciones describe mejor el crculo de la FIGURA A.2? Los smbolosa, b, c, d y e representan constantes diferentes de cero.a)b)c)d)e)

Rectas

33. (Falso/verdadero) Las rectas 2x + 3y = 5 y -2x + 3y = 1 son perpendiculares. __________34. (Llene el espacio en blanco) Las rectas 6x + 2y = 1 y kx 9y = 5 son paralelas si k =

__________.

35. (Llene el espacio en blanco) Una recta con intercepcin x (-4, 0) e interseccin y (0, 32)tiene pendiente __________.

36. (Llene los espacios en blanco) La pendiente y las intersecciones x y y de la recta 2x - 3y +18 = 0 son, respectivamente, __________, __________, y __________.

37. (Llene el espacio en blanco) Una ecuacin de la recta con pendiente -5 e interseccin y(0, 3) es __________.

38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (3, -8) y es paralela a la recta 2x - y = -7.

ax2 ay2 cx e 0ax2 ay2 c 0ax2 ay2 cx dy 0ax2 ay2 cx dy e 0ax2 by2 cx dy e 0

FIGURA A.1 Grfica para el problema 31

P3P2P1

126.

0y 0 2x 4

x 3 6x 2

x2 2x 15

03x 1 0 7 7.xiv Autoevaluacin

FIGURA A.2 Grfica parael problema 32

x

y

00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xiv


39. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-3, 4) y (6, 1).40. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto de interseccin de

las grficas de x + y = 1 y 2x - y = 7.41. Una recta tangente a un crculo en un punto P del crculo es una recta que pasa por P y es

perpendicular a la recta que pasa por P y el centro del crculo. Encuentre la ecuacin de larecta tangente L indicada en la FIGURA A.3.

42. Relacione la ecuacin dada con la grfica idnea en la FIGURA A.4.i) ii) iii)iv) v) vi)vii) viii)

a) b) c)

d) e) f )

g) h)

FIGURA A.4 Grficas para el problema 42

Trigonometra


44. (Falso/verdadero) sen(2t) = 2 sen t. __________45. (Llene el espacio en blanco) El ngulo 240 grados es equivalente a ___________ radianes.

46. (Llene el espacio en blanco) El ngulo radianes es equivalente a ___________ grados.

47. (Llene el espacio en blanco) Si tan t = 0.23, __________.48. Encuentre cos t si sen t = y el lado terminal del ngulo t est en el segundo cuadrante.49. Encuentre los valores de las seis funciones trigonomtricas del ngulo u dado en la FIGURA A.5.

5

4

3

FIGURA A.5 Tringulopara el problema 49

13

tan (t p) p>12

1 sec 2 u tan 2 u.

2

2

y

x

2

2

y

x

2

2

y

x2

2

y

x2

2

y

x

2

2

y

x2

2

y

x

2

2

y

x

x 10y 10 0x 10y 10 010x y 10 010x y 10 0y 1 0x 1 0x y 0x y 1 0

FIGURA A.3 Grfica parael problema 41

(x 3)2 (y4)24

y

x

P

L

4

Autoevaluacin xv

00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xv


50. Exprese las longitudes b y c de la FIGURA A.6 en trminos del ngulo u.

Logaritmos

51. Exprese el smbolo k en la declaracin exponencial como un logaritmo.

52. Exprese la declaracin logartmica log64 4 = como una declaracin exponencial equivalente.53. Exprese como un logaritmo simple.

54. Use una calculadora para evaluar .

55. (Llene el espacio en blanco) __________.

56. (Falso/verdadero) __________(logb x)(logb y) logb(ylogb x).b3logb10

log 10 13log 10 3

log b 5 3 log b 10 log b 40

13

e(0.1)k 5

c b

10

FIGURA A.6 Tringulopara el problema 50

xvi Autoevaluacin

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Ensayo

xvii

La historia del clculoPor Roger Cooke University of Vermont

Suele considerarse que el clculo es una creacin de los matemticos europeos del siglo XVII,cuyo trabajo ms importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1711). Esta percepcin tradicional en general es correcta. No obstante, cualquierteora a gran escala es un mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo;y en cualquier teora viviente las baldosas continan colocndose de manera continua. La decla-racin ms poderosa que los historiadores se arriesgan a hacer es que un patrn se hizo eviden-te en cierto momento y lugar. Es el caso del clculo. Podemos afirmar con cierta confianza quelos primeros trabajos del tema aparecieron en el siglo XVII y que el patrn se aclar mucho msgracias al trabajo de Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales delclculo se descubrieron desde mucho antes, en la poca de Arqumedes (287-211 a.C.), y algu-nos de esos mismos descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en Japn.Adems, si se escudria con ms profundidad en los problemas y mtodos del clculo, uno pron-to se encuentra en la persecucin de problemas que conducen a las reas modernas de la teorade funciones analticas, geometra diferencial y funciones de una variable real. Para cambiar lametfora del arte al transporte, podemos pensar que el clculo es una gran estacin de ferroca-rril, donde los pasajeros que llegan de muchos sitios diferentes estn juntos durante un tiempobreve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este ensayo tratamos de mirar en ambasdirecciones desde esta estacin, hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con ladescripcin de la estacin.

Qu es el clculo? El clculo suele dividirse en dos partes, denominadas clculo diferencialy clculo integral. El clculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio com-parativas de variables que estn vinculadas por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultadofundamental del clculo diferencial es que si y = xn, entonces la razn de cambio de y con res-pecto a x es nxn-1. Resulta que cuando se usa la intuicin para pensar en ciertos fenmenosmovimiento de los cuerpos, cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchosotros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables y sus razones de cambio. Estasrelaciones se escriben en una forma conocida como ecuaciones diferenciales. As, el objetivoprincipal de estudiar clculo diferencial consiste en comprender qu son las razones de cambioy cmo escribir ecuaciones diferenciales. El clculo integral proporciona mtodos para recupe-rar las variables originales conociendo sus razones de cambio. La tcnica para hacer esto sedenomina integracin, y el objetivo fundamental del estudio del clculo integral es aprender aresolver las ecuaciones diferenciales proporcionadas por el clculo diferencial.

A menudo estos objetivos estn encubiertos en libros de clculo, donde el clculo diferen-cial se utiliza para encontrar los valores mximo y mnimo de ciertas variables, y el clculo inte-gral se usa para calcular longitudes, reas y volmenes. Hay dos razones para recalcar estas apli-caciones en un libro de texto. Primero, la utilizacin completa del clculo usando ecuacionesdiferenciales implica una teora ms bien complicada que debe presentarse de manera gradual;entre tanto, al estudiante debe ensersele algn uso de las tcnicas que se proponen. Segundo,

Isaac Newton

Gottfried Leibniz

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estos problemas fueron la fuente de las ideas que condujeron al clculo; los usos que ahora hace-mos del tema slo se presentaron despus del descubrimiento de aqul.

Al describir los problemas que llevaron al clculo y los problemas que pueden resolverseusando clculo, an no se han indicado las tcnicas fundamentales que hacen de esta disciplinauna herramienta de anlisis mucho ms poderosa que el lgebra y la geometra. Estas tcnicasimplican el uso de lo que alguna vez se denomin anlisis infinitesimal. Todas las construccionesy las frmulas de la geometra y el lgebra de preparatoria poseen un carcter finito. Por ejemplo,para construir la tangente de un crculo o para bisecar un ngulo se realiza un nmero finito deoperaciones con regla y comps. Aunque Euclides saba considerablemente ms geometra que laque se ensea en cursos actuales modernos de preparatoria, l tambin se autoconfin esencial-mente a procesos finitos. Slo en el contexto limitado de la teora de las proporciones permiti lapresencia de lo infinito en su geometra, y aun as est rodeado por tanto cuidado lgico que lasdemostraciones implicadas son extraordinariamente pesadas y difciles de leer. Lo mismo ocurreen lgebra: para resolver una ecuacin polinomial se lleva a cabo un nmero finito de operacio-nes de suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de raz. Cuando las ecuaciones puedenresolverse, la solucin se expresa como una frmula finita que implica coeficientes.

Sin embargo, estas tcnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No esposible encontrar las reas de la mayora de las figuras curvas mediante un nmero finito de ope-raciones con regla y comps, y tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igualque cinco usando un nmero finito de operaciones algebraicas. Lo que se quera era escapar delas limitaciones de los mtodos finitos, y esto condujo a la creacin del clculo. Ahora considera-remos algunos de los primeros intentos por desarrollar tcnicas para manipular los problemas msdifciles de la geometra, luego de lo cual trataremos de resumir el proceso mediante el que se tra-baj el clculo, y finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido.

Las fuentes geomtricas del clculo Uno de los problemas ms antiguos en matemticas es lacuadratura del crculo; es decir, construir un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado.Como se sabe, este problema no puede resolverse con regla y comps. Sin embargo, Arqumedesdescubri que si es posible trazar una espiral, empezando en el centro de un crculo que haceexactamente una revolucin antes de llegar al crculo, entonces la tangente a esa espiral, en supunto de interseccin con el crculo, forma la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuya rea esexactamente igual al crculo (vea la figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tan-gente, tambin lo es cuadrar el crculo. Arqumedes, no obstante, guard silencio sobre cmopodra trazarse esta tangente.

Observamos que uno de los problemas clsicos en matemticas puede resolverse slo si esposible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y otros parecidos, originaron que el pro-blema puramente matemtico de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Esteproblema constituye la fuente ms importante del clculo diferencial. El truco infinitesimal

xviii Ensayo

Crculo

EspiralTangente

FIGURA 1 La espiral de Arqumedes. La tangente al final de la primeravuelta de la espiral y los dos ejes forman un tringulo con rea igual a ladel crculo centrado en el origen y que pasa por el punto de la tangente

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que permite la solucin del problema es considerar la tangente como la recta determinada pordos puntos en la curva infinitamente prximos entre s. Otra forma de decir lo mismo es queuna pieza infinitamente corta de la curva es recta. El problema es que resulta difcil ser preci-so sobre los significados de las frases infinitamente prximos e infinitamente cortos.

Poco avance se logr en este problema hasta la invencin de la geometra analtica en elsiglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren Descartes (1596-1650). Una vez que se pudorepresentar una curva por medio de una ecuacin, fue posible afirmar con ms confianza lo quese entenda por puntos infinitamente prximos, al menos para ecuaciones polinomiales comoy = x2. Con simbolismo algebraico para representar puntos en la curva, era posible considerardos puntos sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1 x0 es la distancia entre lascoordenadas x. Cuando la ecuacin de la curva se escriba en cada uno de estos puntos y una delas dos ecuaciones se restaba de la otra, un lado de la ecuacin resultante contena el factor x1 x0, que entonces poda eliminarse por divisin. Por lo tanto, si y entonces

y1 - y0 = x12 - x02 = (x1 - x0) = (x1 + x0), de modo que Cuando (x1 = x0),

se concluye que (y1 = y0), y la expresin carece de sentido. Sin embargo, la expresin

x1 + x0 tiene el valor perfectamente definido 2x0. Entonces, es posible considerar a 2x0 como larazn de la diferencia infinitamente pequea en y; es decir, y1 - y0 a la diferencia infinitamentepequea en x; es decir, x1 - x0, cuando el punto (x1, y1) est infinitamente cerca del punto (y1,y0) sobre la curva y = x2. Como aprender al estudiar clculo, esta razn proporciona suficienteinformacin para trazar la recta tangente a la curva y = x2.

Excepto por pequeos cambios en la notacin, el razonamiento anterior es exactamente laforma en que Fermat encontr la tangente a una parbola. Sin embargo, estaba abierta a unaobjecin lgica: en un momento, ambos lados de la ecuacin se dividen entre x1 - x0, entoncesen un paso posterior decidimos que x1 - x0 = 0. Puesto que la divisin entre cero es una opera-cin ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro pastel y no hacerlo; es decir, no sepueden hacer ambas cosas. Tuvo que pasar algn tiempo para responder de manera convincentea esta objecin.

Hemos visto que Arqumedes no pudo resolver el problema fundamental del clculo dife-rencial: trazar la tangente a una curva. Sin embargo, Arqumedes pudo resolver algunos de losproblemas fundamentales del clculo integral. De hecho, encontr el volumen de una esferamediante un sistema extremadamente ingenioso: consider un cilindro que contena un cono yuna esfera e imagin cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al suponer lasreas de estas secciones del cono, la esfera y el cilindro, pudo demostrar cmo el cilindro equi-librara al cono y a la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una balanza. Esteequilibrio proporcion una relacin entre las figuras, y como Arqumedes ya conoca los vol-menes del cono y del cilindro, entonces pudo calcular el volumen de la esfera.

Este razonamiento ilustra la segunda tcnica infinitesimal que se encuentra en los funda-mentos del clculo: un volumen puede considerarse como una pila de figuras planas, y un reapuede considerarse como una pila de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada seccinhorizontal de una regin es igual a la misma seccin horizontal de otra regin, entonces las dosregiones son iguales. Durante el Renacimiento europeo este principio se volvi de uso muycomn bajo el nombre de mtodo de los indivisibles para encontrar las reas y los volmenes demuchas figuras. Hoy en da se denomina principio de Cavalieri en honor de BonaventuraCavalieri (1598-1647), quien lo us para demostrar muchas de las frmulas elementales queahora forman parte del clculo integral. El principio de Cavalieri tambin fue descubierto enotras tierras donde jams lleg la obra de Euclides. Por ejemplo, los matemticos chinos delsiglo V Zu Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando una tcnicabastante parecida al mtodo de Arqumedes.

As, encontramos matemticos que anticiparon el clculo integral usando mtodos infinite-simales para encontrar reas y volmenes en una etapa muy temprana de la geometra, tanto enla Grecia como la China antiguas. As ocurre con el mtodo infinitesimal para trazar tangentes;no obstante, este mtodo para encontrar reas y volmenes estaba sujeto a objeciones. Por ejem-plo, el volumen de cada seccin plana de una figura es cero; cmo es posible reunir una colec-cin de ceros para obtener algo que no es cero? Adems, por qu el mtodo no funciona en unadimensin? Considere las secciones de un tringulo rectngulo paralelas a uno de sus catetos.

y1 y0x1 x0

y1 y0x1 x0

x1 x0.

y1 x 21,y0 x 20

Ensayo xix

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Cada seccin corta a la hipotenusa y al otro cateto en figuras congruentes; a saber, en un puntoa cada uno. Sin embargo, la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones comosta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos mtodos fueron espectaculares. Noobstante, los matemticos prefirieron aceptarlos como un acto de fe, seguir usndolos e intentarconstruir sus fundamentos ms tarde, justo como en un rbol cuando la raz y las ramas crecenal mismo tiempo.

La invencin del clculo A mediados del siglo XVII se conocan muchas de las tcnicas yhechos elementales del clculo, incluso mtodos para encontrar las tangentes de curvas simplesy frmulas de reas acotadas por estas curvas. En otras palabras, muchas de las frmulas queusted encontrar en los primeros captulos de cualquier libro de texto de clculo ya eran conoci-das antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba hasta fines del siglo XVII eratomar conciencia de que estos dos tipos de problemas estn relacionados entre s.

Para ver cmo se descubri la relacin, es necesario abundar ms en las tangentes. Ya men-cionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto dado se requiere saber cmoencontrar un segundo punto en la recta. En la etapa inicial de la geometra analtica este segun-do punto sola tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La proyeccin sobre eleje x de la porcin de la tangente entre el punto de tangencia y la interseccin con el eje x sedenominaba subtangente. En el estudio de las tangentes surgi un problema muy natural: recons-truir una curva, dada la longitud de su subtangente en cualquier punto. Por medio del estudiode este problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva son proporcionalesal rea bajo una segunda curva cuyas ordenadas son las longitudes de las subtangentes a la curvaoriginal. El resultado es el teorema fundamental del clculo. El honor de haber reconocido demanera explcita esta relacin pertenece a Isaac Barrow (1630-1677), quien lo indic en un librodenominado Lectiones Geometricae en 1670. Barrow plante varios teoremas semejantes al teo-rema fundamental del clculo. Uno de ellos es el siguiente: Si se traza una curva de modo quela razn de su ordenada a su subtangente [esta razn es precisamente lo que ahora se denomi-na derivada] es proporcional a la ordenada de una segunda curva, entonces el rea bajo lasegunda curva es proporcional a la ordenada de la primera.

Estas relaciones proporcionaron un principio unificado para el gran nmero de resultadosparticulares sobre tangentes y reas que se haban encontrado con el mtodo de indivisibles aprincipios del siglo XVII: para encontrar el rea bajo una curva haba que hallar una segundacurva para la cual la razn de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la curvadada. As, la ordenada de esa segunda curva proporciona el rea bajo la primera curva.

En este punto el clculo estaba preparado para surgir. Slo requera de alguien que pro-porcionara mtodos sistemticos para el clculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e in-vertiera ese proceso para encontrar reas. Es el trabajo realizado por Newton y Leibniz. Estosdos gigantes de la creatividad matemtica siguieron senderos bastante distintos en sus descubri-mientos.

El mtodo de Newton era algebraico y desarroll el problema de encontrar un mtodo efi-ciente para extraer las races de un nmero. Aunque apenas empez a estudiar lgebra en 1662,ya alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de extraer races lo conduje-ron al descubrimiento de la serie infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; esdecir, la relacin

Al combinar el teorema del binomio con tcnicas infinitesimales, Newton pudo deducir lasfrmulas bsicas del clculo diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el usode series infinitas para expresar las variables en cuestin, y el problema fundamental que Newtonno resolvi fue establecer que tales series podan manipularse justo como sumas finitas. Portanto, en un sentido Newton llev al infinito desde una entrada a su madriguera slo para encon-trar que una cara estaba frente a la otra.

A partir de la consideracin de las variables como cantidades fsicas que cambian su valorcon el tiempo, Newton invent nombres para las variables y sus razones de cambio que refleja-ban esta intuicin. Segn Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; sufluxin (x) es su razn de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada. Newton expuso

(1 x)r 1 rx r(r 1)2 x2

r(r 1)(r 2)1 . 2 . 3 r

3 p

xx Ensayo

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sus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions escrito en latn, pero su obra no fuepublicada sino hasta que apareci una versin en ingls en 1736. (La versin original en latnfue publicada por primera vez en 1742.)

A pesar de la notacin y de sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoyen da, el tremendo poder del clculo brilla a travs del mtodo de las fluxiones de Newton en lasolucin de problemas tan difciles como encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensa-ba que esta rectificacin de una curva era imposible, pero Newton demostr que era posibleencontrar un nmero finito de curvas cuya longitud poda expresarse en trminos finitos.

El mtodo de Newton para el clculo era algebraico, como hemos visto, y hered el teore-ma fundamental de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabaj el resultado fundamental desde 1670,y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a Leibniz como el pionero de la lgicasimblica, y su opinin acerca de la importancia de la buena notacin simblica era muchomejor que la de Newton. Invent la notacin dx y dy que sigue en uso. Para l, dx era una abre-viacin de diferencia en x, y representaba la diferencia entre dos valores infinitamente prxi-mos de x. En otras palabras, expresaba exactamente lo que tenamos en mente hace poco cuan-do consideramos el cambio infinitamente pequeo x1 x0. Leibniz consideraba que dx era unnmero infinitesimal, diferente de cero, pero tan pequeo que ninguno de sus mltiplos podaexceder cualquier nmero ordinario. Al ser diferente de cero, poda servir como denominador enuna fraccin, y as dy/dx era el cociente de dos cantidades infinitamente pequeas. De esta formaesperaba superar las objeciones al nuevo mtodo establecido para encontrar tangentes.

Leibniz tambin realiz una aportacin fundamental en la tcnica controvertida de encon-trar reas al sumar secciones. En lugar de considerar el rea [por ejemplo, el rea bajo una curvay = f (x)] como una coleccin de segmentos de recta, la consideraba como la suma de las reasde rectngulos infinitamente delgados de altura y = f (x) y base infinitesimal dx. Por tanto, ladiferencia entre el rea hasta el punto x + dx y el rea hasta el punto x era la diferencia infinite-simal en rea dA = f (x) dx, y el rea total se encontraba sumando estas diferencias infinitesima-les en rea. Leibniz invent la S alargada (el signo integral ) que hoy en da se usa universal-mente para expresar este proceso de suma. As expresaba el rea bajo la curva y = f (x) comoA = dA = f (x) dx, y cada parte de este smbolo expresaba una idea geomtrica simple y clara.

Con la notacin de Leibniz, el teorema fundamental del clculo de Barrow simplementeindica que el par de ecuaciones

son equivalentes. Debido a lo que acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente.Tanto Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemticas, y cada uno posee

bastante crdito por ello. Resulta lamentable que la estrecha coincidencia de su obra haya con-ducido a una enconada discusin sobre la prioridad entre sus seguidores.

Algunas partes del clculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en India duran-te los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemtico indio de fines del siglo XV, proporcion la serie

para la longitud de un arco de crculo, demostr este resultado y de manera explcita plante que estaserie converge slo si u no es mayor que 45. Si se escribe u = arctan x y se usa el hecho de que

= tan u = x, esta serie se convierte en la serie normal para arctan x.

De modo independiente, otras series fueron desarrolladas en Japn casi al mismo tiempo queen Europa. El matemtico japons Katahiro Takebe (1664-1739) encontr un desarrollo en serieequivalente a la serie para el cuadrado de la funcin arcsen. l consider el cuadrado de la mitad

de arco a la altura h en un crculo de dimetro d; esto result ser la funcin f (h) = .

Takebe careca de notacin para el trmino general de una serie, aunque descubri patrones enlos coeficientes al calcular geomtricamente la funcin en el valor particular de h = 0.000001,d = 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales ms de 50, y luego al usar esta pre-cisin extraordinaria para refinar la aproximacin al sumar sucesivamente trminos correctivos.

Qd2 arcsen hdR

2

sen u

cos u

A f (x) dx, dA f (x) dx

Ensayo xxi

u r Qsen ucos u

sen3 u

3 cos3 usen5 u

5 cos5 up R

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Al proceder de esta manera pudo discernir un patrn en las aproximaciones sucesivas, a partir delo cual, por extrapolacin, pudo plantear el trmino general de la serie:

Despus de Newton y de Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inven-tado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada por matemticos de laEuropa continental, en especial por el crculo creado por los matemticos suizos James Bernoulli(1655-1705) y John Bernoulli (1667-1748), as como el estudiante de este ltimo, el marqus deLHpital (1661-1704). stos y otros matemticos trabajaron las conocidas frmulas para lasderivadas e integrales de funciones elementales que an se encuentran en libros de texto actua-les. Las tcnicas esenciales de clculo eran conocidas a principios del siglo XVIII, y un librode texto del siglo XVIII como la Introduccin al anlisis del infinito, de Euler (1748), en caso dehaber estado traducida al espaol se vera bastante como un libro de texto moderno.

El legado del clculo Una vez que hemos abordado las fuentes del clculo y el procedimientocon el que fue elaborado, a continuacin analizaremos brevemente los resultados que produjo.

El clculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos primeros siglos.Result que docenas de fenmenos fsicos previamente oscuros que implican calor, fluidez,mecnica celeste, elasticidad, luz, electricidad y magnetismo posean propiedades mensurablescuyas relaciones podan describirse como ecuaciones diferenciales. La fsica se comprometipara siempre en hablar el lenguaje del clculo.

Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas surgidos de la fsica.Por ejemplo, no era posible encontrar, en trminos de funciones elementales conocidas, el reabajo una curva cuya ecuacin implicaba la raz cuadrada de un polinomio cbico. Estas integra-les surgieron a menudo tanto en geometra como en fsica, y llegaron a conocerse como integra-les elpticas porque el problema de encontrar la longitud slo poda comprenderse cuando lavariable real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El replanteamiento del clculoen trminos de variables complejas condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que termina-ron por ser codificados como una nueva rama de las matemticas denominada teora de funcio-nes analticas.

La definicin idnea de integracin sigui siendo un problema durante algn tiempo. Comoconsecuencia del uso de procesos infinitesimales para encontrar reas y volmenes surgieron lasintegrales. Deba la integral definirse como una suma de diferencias infinitesimales o comola inversa de la diferenciacin? Qu funciones podan integrarse? En el siglo XIX se propusie-ron muchas definiciones de la integral, y la elaboracin de estas ideas llev al tema conocidoactualmente como anlisis real.

Mientras las aplicaciones del clculo han continuado cosechando cada vez ms triunfos enun flujo interminable durante los ltimos trescientos aos, sus fundamentos permanecieron en unestado insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen de la dificultad era elsignificado que haba de asociarse a la dx de Leibniz. Qu era esta cantidad? Cmo poda noser positiva ni cero? De ser cero, no poda usarse como denominador; de ser positiva, entonceslas ecuaciones en que apareca no eran realmente ecuaciones. Leibniz consideraba que los infi-nitesimales eran entes verdaderos, que las reas y los volmenes podan sintetizarse al sumarsus secciones, como haban hecho Zu Chongzhi, Arqumedes y otros. Newton tena menos con-fianza acerca de la validez de los mtodos infinitesimales, e intent justificar sus razonamientosen formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su Principia Mathematicaescribi:

Estos lemas tienen el cometido de evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones impl-citas, segn el mtodo de los gemetras de la antigedad. Las demostraciones son ms brevessegn el mtodo de indivisibles, pero debido a que la hiptesis de indivisibles parece ser algo msdura y, en consecuencia, ese mtodo se acepta como menos geomtrico, en lugar de ello elijoreducir las demostraciones de las siguientes proposiciones a las sumas y razones primera y lti-ma de cantidades que desaparecen; es decir, a los lmites de estas sumas y razones... En conse-cuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las cantidades estn formadas de partculas, o debousar pocas lneas curvas por las [rectas] idneas, no debe interpretarse que estoy queriendo decircantidades indivisibles, sino cantidades divisibles que desaparecen. . .

f (h) dh c1 aq

n1

22n1(n!)2(2n 2)! QhdR

n d

xxii Ensayo

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. . . En cuanto a estas ltimas razones con las que desaparecen las cantidades, no son en verdadlas razones de cantidades ltimas, sino lmites hacia los cuales las razones de cantidades decre-cientes sin lmite siempre convergen; y a los que tienden de manera ms prxima que con cual-quier diferencia dada, aunque nunca van ms all, ni en el efecto alcanzado, hasta que las canti-dades disminuyen in infinitum.

En este pasaje Newton afirma que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientosinfinitesimales puede compensarse con el uso de lmites. Sin embargo, su planteamiento de esteconcepto en el pasaje citado no es tan claro como uno deseara. Esta falta de claridad condujo alfilsofo Berkeley a referirse desdeosamente a los fluxiones como fantasmas de cantidades.Sin embargo, los avances alcanzados en fsica usando clculo fueron tan sobresalientes quedurante ms de un siglo nadie se preocup en proporcionar el rigor al que aluda Newton (y losfsicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentacin completamente rigurosa y siste-mtica del clculo lleg slo hasta el siglo XIX.

Segn la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl Weierstrass (1815-1896), lapercepcin era que los infinitesimales eran meramente de naturaleza heurstica y que los estu-diantes estaban sujetos a un riguroso enfoque epsilon-delta de los lmites. De manera sorpren-dente, en el siglo XX Abraham Robinson (1918-1974) demostr que es posible desarrollar unmodelo lgicamente consistente de los nmeros reales en el que hay infinitesimales verdaderos,como crea Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo enfoque, denominado anlisis noestndar, no ha sustituido a la presentacin tradicional actual del clculo.

Ejercicios

1. El tipo de espiral considerada por Arqumedes ahora se denomina as en su honor. Una espi-ral de Arqumedes es el lugar geomtrico de un punto que se mueve a velocidad constantea lo largo de un rayo que gira con velocidad angular constante alrededor de un punto fijo.Si la velocidad lineal a lo largo del rayo (la componente radial de su velocidad) es y, elpunto est a una distancia yt del centro de rotacin (suponiendo que es donde empieza) enel instante t. Suponga que la velocidad angular de rotacin del rayo es v (radianes por uni-dad de tiempo). Dados un crculo de radio R y una velocidad radial de y, cul debe ser vpara que la espiral llegue al crculo al final de su primera vuelta? Res.

El punto tendr una velocidad circunferencial rv = yt v. Segn un principio enunciadoen la Mecnica de Aristteles, la velocidad real de la partcula est dirigida a lo largo de ladiagonal de un paralelogramo (en este caso un rectngulo) cuyos lados son las componen-tes. Use este principio para mostrar cmo construir la tangente a la espiral (que es la rectaque contiene a la diagonal de este rectngulo). Compruebe que los lados de este rectnguloguardan la relacin 1 : 2p. Observe la figura 1.

2. La figura 2 ilustra cmo Arqumedes encontr la relacin entre los volmenes de la esfera,el cono y el cilindro. El dimetro AB est duplicado, haciendo BC = AB. Cuando esta figu-ra se hace girar alrededor de esta recta, el crculo genera una esfera, el tringulo DBG gene-ra un cono y el rectngulo DEFG genera un cilindro. Demuestre los hechos siguientes:

a) Si B se usa como fulcro, el cilindro tiene como centro de gravedad el centro K del crcu-lo y, en consecuencia, todo puede concentrarse ah sin cambiar la torsin alrededor de B.

b) Cada seccin del cilindro perpendicular a la recta AB, permaneciendo en su posicinactual, equilibrara exactamente la misma seccin del cono ms la seccin de la esferasi stos dos se desplazaran al punto C.

c) Por tanto, el cilindro concentrado en K equilibrara al cono y a la esfera que se concen-tran en C.

d) En consecuencia, el cilindro es igual al doble de la suma del cono y la esfera.e) Puesto que se sabe que el cono es un tercio del cilindro, se concluye que la esfera debe

ser un sexto de ste.f ) Que el volumen del cilindro es 8pr2.

A2pyR B

Ensayo xxiii

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3. El mtodo con el que Zu Chongzhi y Zu Geng encontraron el volumen de la esfera es elsiguiente: imagine que la esfera es una pelota fuertemente adherida dentro de la interseccinde dos cilindros que forma ngulos rectos entre s. Luego, el slido formado por la intersec-cin de los dos cilindros (denominado paraguas doble en chino) y que contiene la pelota seajusta perfectamente dentro de un cubo cuya arista es igual al dimetro de la esfera.

A partir de esta descripcin, trace una seccin de la esfera dentro del paraguas dobleformado por los ejes de los dos cilindros y a una distancia h debajo de este pleno. Comprue-be los hechos siguientes:

a) Si el radio de la esfera es r, el dimetro de su seccin circular es b) Por tanto, el rea del cuadrado formado por esta seccin del paraguas doble es 4(r2 h2),

de modo que el rea entre la seccin del cubo y la seccin del paraguas doble es

c) La seccin correspondiente de una pirmide cuya base es la parte inferior de un cubo ycuyo vrtice est en el centro de la esfera (o del cubo) tambin tiene un rea de 4h2. Portanto, el volumen entre el paraguas doble y el cubo es exactamente el volumen de estapirmide ms su imagen especular arriba del plano central. Concluya que la regin entreel paraguas doble y el cubo es un tercio del cubo.

d) En consecuencia, el paraguas doble ocupa dos tercios del volumen del cubo; es decir, suvolumen es

e) Cada seccin circular de la esfera est inscrita en la seccin cuadrada correspondientedel paraguas doble. Por tanto, la seccin circular es de la seccin del paraguas doble.

f) En consecuencia, el volumen de la esfera es del volumen del paraguas doble; es decir,.

4. Proporcione un razonamiento infinitesimal de que el rea de la esfera es tres veces suvolumen dividido entre su radio, al suponer que la esfera es una coleccin de pirmidesinfinitamente delgadas donde todos los vrtices se encuentren adheridos al origen. [Suge-rencia: parta del hecho de que el volumen de una pirmide es un tercio del rea de su basemultiplicada por su altura. Arqumedes afirmaba que ste es el razonamiento que lo condu-jo al descubrimiento del rea de la esfera.]

43pr

3

p4

p4

163 r

3.

4r2 4(r2 h2) 4h2.

22r2 h2.

xxiv Ensayo

FIGURA 2 Seccin de la esfera, el cono y el cilindro de Arqumedes

BK

A C

D E

FG

00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xxiv


Cnicas y coordenadas polares

En este captulo Una ecuacin rectangular o cartesiana no es la nica manera, y a menudotampoco la ms conveniente, de describir una curva en el plano. En este captuloconsideraremos dos medios adicionales mediante los cuales puede representarse una curva.Uno de los dos enfoques utiliza un tipo de sistema de coordenadas completamente nuevo.

Empezamos este captulo con la revisin de la nocin de una seccin cnica.

547

10.1 Secciones cnicas10.2 Ecuaciones paramtricas10.3 Clculo y ecuaciones paramtricas10.4 Sistema de coordenadas polares10.5 Grficas de ecuaciones polares10.6 Clculo en coordenadas polares10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares

Revisin del captulo 10

Captulo 10

r

Satlite

AfelioPeriheliorp ra

10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 547


10.1 Secciones cnicasIntroduccin Hipatia es la primera mujer en la historia de las matemticas sobre la que se

tiene un considerable conocimiento. Nacida en 370 d.C., en Alejandra, fue una matemtica yfilsofa renombrada. Entre sus escritos est Sobre las cnicas de Apolonio, el cual populariz eltrabajo de Apolonio (200 a.C.) sobre las curvas que se obtienen al intersecar un doble cono conun plano: el crculo, la parbola, la elipse y la hiprbola. Vea la FIGURA 10.1.1. Al finalizar el perio-do griego se desvaneci el inters en las secciones cnicas; despus de Hipatia el estudio de estascurvas fue ignorado durante 1 000 aos.

En el siglo XVII, Galileo demostr que ante la ausencia de resistencia del aire, la trayectoriade un proyectil sigue un arco parablico. Casi al mismo tiempo Johannes Kepler propuso la hip-tesis de que las rbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en un foco. Estofue verificado despus por Isaac Newton, utilizando los mtodos del recin desarrollado clcu-lo. Kepler experiment tambin con las propiedades de reflexin de los espejos parablicos.Estas investigaciones aceleraron el desarrollo del telescopio reflector. Los griegos supieron pocode estas aplicaciones prcticas: haban estudiado las cnicas por su belleza y propiedades fasci-nantes. En lugar de utilizar un cono, veremos en esta seccin cmo la parbola, la elipse y lahiprbola se definen mediante la distancia. Con el empleo de un sistema de coordenadas rectan-gular y la frmula de la distancia, obtendremos ecuaciones para las cnicas. Cada una de estasecuaciones estar en la forma de una ecuacin cuadrtica en las variables x y y:

(1)

donde A, B, C, D, E y F son constantes. La forma estndar de un crculo con centro (h, k) yradio r,

(2)

es un caso especial de (1). La ecuacin (2) es un resultado directo de la definicin de un crculo:

Un crculo se define como el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano de coorde-nadas que se encuentran a una distancia fija r dada, denominada radio, a partir de unpunto fijo dado (h, k), llamado centro.

De manera similar, utilizamos la frmula de la distancia para obtener ecuaciones correspondien-tes a la parbola, la elipse y la hiprbola.

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola. Sin embar-go, no toda parbola es la grfica de una funcin de x. En general, una parbola se define de lasiguiente manera:

y ax2 bx c, a 0,

(x h)2 (y k)2 r2,

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0,

crculo elipse parbola hiprbolaFIGURA 10.1.1 Cuatro secciones cnicas

548 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares

Hipatia

Cuando el plano pasa por el vr-tice del cono obtenemos unacnica degenerada: un punto,un par de rectas o una solarecta.

Definicin 10.1.1 Parbola

Una parbola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes deuna lnea fija L, llamada directriz, y un punto fijo F, llamado foco.

La lnea a travs del foco perpendicular a la directriz se denomina eje de la parbola. Elpunto de interseccin de la parbola y el eje se conoce como vrtice de la parbola.

10Zill547-568.qxd 26/10/10 12:03 Pgina 548


Ecuacin de una parbola Para describir una parbola analticamente, supondremos en arasde la discusin que la directriz L es la recta horizontal y -p y que el foco es F(0, p). Utilizandola definicin 10.1.1 y la FIGURA 10.1.2, observamos que es la misma que

Al elevar al cuadrado ambos lados y simplificar se llega a

(3)

Afirmamos que (3) es la forma estndar de la ecuacin de una parbola con foco F(0, p) ydirectriz y -p. De la misma manera, si la directriz y el foco son, respectivamente, x -py F(p, 0), encontramos que la forma estndar para la ecuacin de la parbola es

(4)

Aunque asumimos que en la figura 10.1.2, esto, desde luego, no necesariamente esel caso. La FIGURA 10.1.3 resume la informacin acerca de las ecuaciones (3) y (4).

p 7 0

2x2 (y p)2 y p.d(F, P) d(P, Q)


FIGURA 10.1.2 Parbola con vr-tice (0, 0) y foco en el eje y

y

x

F(0, p)

Q(x, p)y p

P(x, y)

Sugerencia de graficacin paralas ecuaciones (3) y (4).

y

x

y x2

foco

directrizy

0,

14

14( )

FIGURA 10.1.4 Grfica de laecuacin del ejemplo 1

y

foco

vrtice

eje

a) x2 4py, p 0

directrizy p

F(0, p)

x

y

foco

vrtice

b) x2 4py, p 0

directrizy p

F(0, p)

x

ejey

focovrticeeje

c) y2 4px, p 0

directriz

x p

F( p, 0)x

y

foco vrtice

d) y2 4px, p 0

directriz

x p

F( p, 0)eje x

FIGURA 10.1.3 Resumen grfico de las ecuaciones (3) y (4).

y

(2, 0)

2 2

x

x 2FIGURA 10.1.5 Directriz y focodel ejemplo 2

EJEMPLO 1 Foco y directrizDetermine el foco y la directriz de la parbola cuya ecuacin es y x2.

Solucin Al comparar la ecuacin y x2 con (3) es factible identificar los coeficientes de y,4p 1 y por ello En consecuencia, el foco de la parbola es y su directriz es la rectahorizontal La familiar grfica, junto con el foco y la directriz, se presentan en la FIGURA10.1.4.

Al conocer la forma parablica bsica, lo nico que necesitamos saber para dibujar una gr-fica aproximada de la ecuacin (3) o (4) es el hecho de que la grfica pasa por su vrtice (0, 0)y la direccin en la cual se abre la parbola. Para agregar ms exactitud a la grfica es conve-niente utilizar el nmero p determinado por la ecuacin en forma estndar para dibujar dos pun-tos adicionales. Advierta que si se elige y p en (3), entonces implica Detal modo, (2p, p) y (-2p, p) yacen sobre la grfica de x2 = 4py. De manera similar, la eleccinx = p en (2) produce los puntos (p, 2p) y (p, -2p) sobre la grfica de y2 = 4px. El segmento derecta a travs del foco con puntos frontera (2p, p), (- 2p, p) para las ecuaciones con forma estn-dar (3), y (p, 2p), (p, -2p) para ecuaciones con la forma estndar (4) recibe el nombre de cuer-da focal. Por ejemplo, en la figura 10.1.4, si elegimos entonces implicaLos puntos frontera de la cuerda focal horizontal para y = x2 son A- , B y A , B.EJEMPLO 2 Determinacin de la ecuacin de una parbolaDetermine la ecuacin en forma estndar de la parbola con directriz x 2 y foco (-2, 0).Grafique.

Solucin En la FIGURA 10.1.5 hemos graficado la directriz y el foco, y nos hemos dado cuenta,por su ubicacin, que la ecuacin que buscamos es de la forma y2 4px. Puesto que p -2, laparbola se abre hacia la izquierda y por ello

Como mencionamos en la discusin precedente a este ejemplo, si sustituye en la

ecuacin y2 -8x es posible que encontremos dos puntos sobre su grfica. De y2 8(2) 16x p 2

14

12

14

12

x 12.x2 14y

14,

x 2p.x2 4p2

y 14.A0, 14Bp 14.

x2 4py.

y2 4px.

y2 4( 2) x o y2 8x.

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se obtiene Como se muestra en la FIGURA 10.1.6, la grfica pasa por (0, 0) as como a tra-vs de los puntos frontera (-2, -4) y (-2, 4) de la cuerda focal.

Vrtice trasladado a (h, k) En general, la forma estndar de la ecuacin de una parbolacon vrtice (h, k) est dada por

(5)

o (6)

Las parbolas definidas por estas ecuaciones son idnticas en forma a las parbolas definidas porlas ecuaciones (3) y (4) debido a que las ecuaciones (5) y (6) representan transformaciones rgi-das (desplazamientos hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha) de las grficas de (3) y(4). Por ejemplo, la parbola tiene vrtice (-1, 5). Su grfica es la de x2 =8y desplazada horizontalmente una unidad hacia la izquierda seguida de un desplazamiento ver-tical hacia arriba de cinco unidades.

En cada una de las ecuaciones, (3) y (4) o (5) y (6), la distancia del vrtice al foco, as comola distancia del vrtice a la directriz, es

EJEMPLO 3 Determinacin completaEncuentre el vrtice, foco, eje, directriz y grfica de la parbola

(7)

Solucin Con el fin de escribir la ecuacin en una de las formas estndares, completamos elcuadrado en y:

Al comparar la ltima ecuacin con (6) concluimos que el vrtice es (-4, 2) y que 4p 8 o p 2. De acuerdo con la parbola se abre hacia la derecha y el foco est a 2 unidades ala derecha del vrtice en (-2, 2). La directriz es la recta vertical a 2 unidades a la izquierda delvrtice x -6. Una vez que sabemos que la parbola se abre hacia la derecha desde el punto(-4, 2), eso nos indica que la grfica tiene intersecciones. Para encontrar la interseccin con eleje x se deja y 0 en (7) y se determina de inmediato que La interseccin con x es

Para determinar la interseccin con y dejamos x = 0 en (7) y se encuentra a partir de lafrmula cuadrtica que o y Las intersecciones con y son

y Al juntar toda esta informacin obtenemos la grfica de la FIGU-RA 10.1.7.

La elipse se define como sigue:

(0, 2 412).(0, 2 412)y 3.66.y 7.66y 2 412

A72, 0B.x 72.

p 2 7 0,

y2 4y 8x 28 0.

0p 0 .

(x 1)2 8(y 5)

y 4.


Definicin 10.1.2 Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la suma de las distancias entreP y dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. El puntomedio del segmento de recta que une a F1 y F2 se denomina centro de la elipse.

y

x

y2 8x

(2, 4)

(2, 4)

FIGURA 10.1.6 Grfica de laparbola del ejemplo 2

y

x

(2, 2)

(y 2)2 8(x 4)

x 6

(4, 2)

FIGURA 10.1.7 Grfica de laecuacin del ejemplo 3

foco foco

FIGURA 10.1.8 Una manera dedibujar una elipse

FIGURA 10.1.9 Elipse con centro(0, 0) y focos en el eje x

y

x

P(x, y)

F2(c, 0)F1(c, 0)

d1 d2

Si P es un punto de la elipse y son las distancias desde losfocos hasta P, entonces la definicin 10.1.2 afirma que

(8)

donde es una constante.En un nivel prctico (8) puede utilizarse para dibujar una elipse. La FIGURA 10.1.8 muestra que

si una cuerda de longitud k se une a un papel por medio de dos tachuelas, entonces puede trazar-se una elipse insertando un lpiz contra la cuerda y movindolo de tal manera que la cuerda per-manezca tirante.

Ecuacin de una elipse Por conveniencia elegiremos k 2a y pondremos los focos sobre eleje x con coordenadas y Vea la FIGURA 10.1.9. De (8) se concluye que

(9)2(x c)2 y2 2(x c)2 y2 2a.F2(c, 0).F1(c, 0)

k 7 0d1 d2 k,

d2 d(F2, P)d1 d(F1, P),

(y k)2 4p(x h). (x h)2 4p(y k)

(y 2)2 8(x 4).d sume 4 a ambos lados y2 4y 4 8x 28 4

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Al elevar al cuadrado (9), simplificar y elevar al cuadrado otra vez obtenemos

(10)

En la figura 10.1.9 advertimos que los puntos F1, F2 y P forman un tringulo. Como la suma delas longitudes de cualesquiera dos lados de un tringulo es mayor que el lado restante, tenemos

o En consecuencia, Cuando dejamos entonces (8)se convierte en Al dividir esta ltima ecuacin entre a2 b2 se llega a

(11)

La ecuacin (11) se denomina la forma estndar de la ecuacin de una elipse centrada en (0, 0)con focos (- c, 0) y (c, 0), donde c est definida por b2 = a2 - c2 y

Si los focos se ubican sobre el eje y, entonces la repeticin del anlisis anterior conduce a

(12)

La ecuacin (12) se llama la forma estndar de la ecuacin de una elipse centrada en (0, 0) confocos (0, - c) y (0, c), donde c est definida por b2 = a2 - c2 y

Ejes mayor y menor El eje mayor de una elipse es el segmento de recta que pasa por su cen-tro, contiene a los focos y con puntos frontera sobre la elipse. Para una elipse con ecuacin estn-dar (11), el eje mayor es horizontal mientras que para (12) el eje mayor es vertical. El segmen-to de recta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor, y con puntos frontera sobre laelipse recibe el nombre de eje menor. Los dos puntos frontera del eje mayor se denominan vr-tices de la elipse. Para (11) los vrtices son las intersecciones con el eje x. Si dejamos y 0 en(11) da Los vrtices son entonces (-a, 0) y (a, 0). Para (12) los vrtices son las inter-secciones con el eje y (0, -a) y (0, a). Para la ecuacin (11), los puntos frontera del eje menorson (0, -b) y (0, b); para (12) los puntos frontera son (-b, 0) y (b, 0). Para (11) o (12), la lon-gitud del eje mayor es la longitud del eje menor corresponde a 2b. Puesto que

el eje mayor de una elipse es siempre mayor que el eje menor.Un resumen de esta informacin para las ecuaciones (11) y (12) aparece en la FIGURA 10.1.10.

EJEMPLO 4 Vrtices, focos, grficaDetermine los vrtices y focos de la elipse cuya ecuacin es Grafique.

Solucin Si divide ambos lados de la igualdad entre 27, la forma estndar de la ecuacin es

Advierta que y por ello se identifica la ecuacin con (12). De y b2 = 3 obtenemosy El eje mayor es vertical con puntos frontera o vrtices (0, -3) y (0, 3). El ejeb 13.a 3

a2 99 7 3

x2

3 y2

9 1.

9x2 3y2 27.

FIGURA 10.1.10 Resumen grfico de las ecuaciones (11) y (12)

interseccin con el eje y(0,

b)

(0, b)

interseccincon el eje y

ejemenor

ejemayor

focofoco

centro(c, 0) (c, 0)

vrtice(a, 0)

vrtice(a, 0)

y

x

a) 1, a bx2

a2

y2

b2

interseccincon el eje x

(b, 0)

y

x

interseccincon el eje x(b, 0)

vrtice(0, a)

(0, a)vrtice

foco

foco

centro

ejemayor

ejemenor

(0, c)

(0, c)

b) 1, a bx2

b2y2

a2

a 7 b,a (a) 2a;

x a.

a 7 b 7 0.

a 7 b 7 0.

b2x2 a2y2 a2b2.b2 a2 c2,a2 c2 7 0.a 7 c.2a 7 2c

(a2 c2)x2 a2y2 a2(a2 c2).


x2

a2y2

b21.

x2

b2y2

a21.

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menor es horizontal con puntos frontera (- , 0) y ( , 0). Desde luego, los vrtices tambinse encuentran en las intersecciones con el eje y y los puntos frontera del eje menor son las inter-secciones con el eje x. En este caso, para encontrar los focos recurrimos a o

para escribir Con obtenemos En conse-cuencia, los focos estn sobre el eje y en y La grfica se presenta en la FIGU-RA 10.1.11.

Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro est en (h, k), la forma estndar de la ecuacinde una elipse es

(13)

o (14)

Las elipses definidas por estas ecuaciones son idnticas en forma a las elipses definidas por lasecuaciones (11) y (12) puesto que las ecuaciones (13) y (14) representan transformaciones rgi-das de las grficas (11) y (12). Por ejemplo, la grfica de la elipse

con centro (1, -3) es la grfica de desplazada horizontalmente 1 unidad haciala derecha seguida por un desplazamiento vertical hacia abajo de 3 unidades.

No es una buena idea memorizar frmulas para los vrtices y focos de una elipse con cen-tro (h, k). Todo es lo mismo que antes, a, b y c son positivos, a 7 b, a 7 c y c2 = a2 - b2. Ustedpuede ubicar los vrtices, focos y puntos frontera del eje menor utilizando el hecho de que a esla distancia del centro al vrtice, b es la distancia del centro a un punto extremo sobre el ejemenor y c es la distancia del centro a un foco.

EJEMPLO 5 Determinacin completaEncuentre los vrtices y focos de la elipse Grafique.

Solucin Para escribir la ecuacin dada en una de las formas estndares (13) o (14) se comple-ta el cuadrado en x y en y. Para hacerlo, recuerde que se desean los coeficientes de los trminoscuadrticos x2 y y2 iguales a 1. Si factoriza 4 de los trminos x y 16 de los trminos y, obtiene

o La ltima ecuacin produce la forma estndar

(15)

En (15) identificamos o o y o Eleje mayor es horizontal y yace sobre la recta horizontal y = 3 que pasa por el centro (1, 3).Corresponde al segmento de recta horizontal punteado con rojo de la FIGURA 10.1.12. Al medir a =4 unidades a la izquierda y luego a la derecha del centro a lo largo de la recta y = 3, llegamos alos vrtices (-3, 3) y (5, 3). Al medir b 2 unidades tanto arriba como abajo de la recta verti-cal x 1 a travs del centro llegamos a los puntos frontera (1, 1) y (1, 5) del eje menor. El ejemenor es el segmento de recta vertical punteada en negro de la figura 10.1.12. Por ltimo, almedir unidades a la izquierda y a la derecha del centro a lo largo de y 3 obtenemoslos focos y

La definicin de una hiprbola es bsicamente la misma que la definicin de la elipse conslo una excepcin: la palabra suma se sustituye por la palabra diferencia.

(1 213, 3).(1 213, 3)c 213

c 213.c2 a2 b2 12,b 2,b2 4a 4,a2 16

(x 1)216

(y 3)24 1.

4(x 1)2 16(y 3)2 64.

4x2 16y2 8x 96y 84 0.

x2>9 y2>16 1

(x 1)29

(y 3)216 1

(0, 16).(0, 16)c 16.b 13,a 3,c 2a2 b2.c2 a2 b2

b2 a2 c2

1313


FIGURA 10.1.11 Elipse delejemplo 4

(0, 6)

y

x

(0, 3)

(0, 3) (0, 6)

( 3, 0) ( 3, 0)

(1, 1)

(1, 5)y

x

(5, 3)(1, 3)(3, 3)

1(x 1)2

16 4(y 3)2

FIGURA 10.1.12 Elipse delejemplo 5

(x h)2b2

(y k)2a2

1.

(x h)2a2

(y k)2b2

1

4(x2 2x 1) 16(y2 6y 9) 84 4 . 1 16 . 9

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Si P es un punto sobre la hiprbola, entonces

(16)

donde d1 = d(F1, P) y d2 = d(F2, P). Al proceder como para la elipse, ubicamos los focos sobreel eje x en y como se muestra en la FIGURA 10.1.13 y se elige la constante k iguala 2a por conveniencia algebraica. Como se ilustra en la figura, la grfica de una hiprbola cons-ta de dos ramas.

Hiprbola con centro (0, 0) Si aplica la frmula de la distancia y el lgebra usuales a (16) se obtie-ne la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola centrada en (0, 0) con focos (-c, 0) y (c, 0),

(17)

Cuando los focos yacen sobre el eje x, la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola cen-trada en (0, 0) con focos (0, -c) y (0, c) es

(18)

Tanto en (17) como en (18), c est definida por b2 = c2 - a2 y Para la hiprbola (a diferencia de la elipse) tenga en mente que en (17) y (18) no hay rela-

cin entre los tamaos relativos de a y b; en vez de eso, a2 siempre es el denominador del tr-mino positivo y la ordenada al origen siempre tiene como una coordenada.

Ejes transversal y conjugado El segmento de recta con puntos frontera sobre la hiprbola yque yace sobre la recta que pasa por los focos se denomina eje transversal; sus puntos fronterareciben el nombre de vrtices de la hiprbola. Para la hiprbola descrita por la ecuacin (17), eleje transversal yace sobre el eje x. Por tanto, las coordenadas de los vrtices son las interseccio-nes con el eje x. Si deja y 0 obtiene o De tal manera, como se muestra enla FIGURA 10.1.14, los vrtices son (-a, 0) y (a, 0); la longitud del eje transversal es 2a. Adviertaque dejando y = 0 en (18) obtenemos -y2b2 = 1 o y2 = -b2, la cual no tiene soluciones reales.En consecuencia, la grafica de cualquier ecuacin en esa forma no tiene intersecciones con el ejey. De cualquier modo, los nmeros son importantes. El segmento de recta que pasa por elcentro de la hiprbola perpendicular al eje transversal y con puntos frontera (0, -b) y (0, b) sellama eje conjugado. De manera similar, la grfica de una ecuacin en forma estndar (18) notiene intersecciones con el eje x. El eje conjugado (18) es el segmento de recta con puntos fron-tera (-b, 0) y (b, 0).

Esta informacin para las ecuaciones (17) y (18) se resume en la figura 10.1.14.

Asntotas Toda hiprbola posee un par de asntotas inclinadas que pasan por su centro. Estasasntotas son indicativas del comportamiento final, y como tales son una ayuda invaluable en el tra-zado de la grfica de una hiprbola. Al resolver (17) con respecto a y en trminos de x obtenemos

Cuando o cuando entonces Por tanto, para valo-res grandes de los puntos sobre la grfica de la hiprbola son cercanos a los puntos sobreestas rectas

(19)

Por un anlisis similar encontramos que las asntotas inclinadas para (18) son

(20)

0x 0 , 21 a2>x2S 1.a2>x2S 0,xSq,xSq

y ba

x A

1 a2

x2.

b

x a.x2>a2 1,

a

c 7 a.

F2(c, 0)F1(c, 0)

0d1 d2 0 k,


Definicin 10.1.3 Hiprbola

Una hiprbola es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la diferencia de las distan-cias entre P y los puntos fijos F1 y F2 es constante. Los puntos fijos F1 y F2 reciben el nom-bre de focos. El punto medio del segmento de recta que une los puntos F1 y F2 se denominacentro de la hiprbola.

FIGURA 10.1.13 Hiprbola concentro (0, 0) y focos en el eje x

y

F1(c, 0) F2(c, 0)

P(x, y)d2

d1x

FIGURA 10.1.14 Resumen grficode las ecuaciones (17) y (18)

y

x

ejeconjugado

ejetransversal

centro

foco vrtice vrtice foco(c, 0) (a, 0) (a, 0) (c, 0)

(0, b)

(0, b)

a) 1x2

a2

y2

b2

y

x

ejeconjugado

ejetransversal

centro

(0, c) foco(0, a) vrtice

(b, 0) (b, 0)

(0, a) vrtice(0, c) foco

b) 1y2

a2

x2

b2

x2

a2y2

b21

y2

a2x2

b21.

y ba

x y y ba

x.

y ab x y ya

bx.

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Cada par de asntotas se interseca en el origen, que es el centro de la hiprbola. Advierta, tam-bin, en la FIGURA 10.1.15a) que las asntotas son simplemente las diagonales extendidas de un rec-tngulo de ancho 2a (la longitud del eje transversal) y altura 2b (la longitud del eje conjugado)en la figura 10.1.15b) las asntotas son las diagonales extendidas de un rectngulo de ancho 2by altura 2a.

Recomendamos al lector que no memorice las ecuaciones (19) y (20). Hay un mtodo sen-

cillo para obtener las asntotas de una hiprbola. Por ejemplo, puesto que es equiva-lente a

(21)

Note que la ltima ecuacin en (21) se factoriza como la diferencia de dos cuadrados:

Al igualar a cero cada factor y resolver para y obtenemos una ecuacin de una asntota. La ecua-cin (21) es simplemente el lado izquierdo de la forma estndar de la ecuacin de una hiprbo-la dada en (17). De manera similar, para obtener la asntota de (18) slo se sustituye 1 por 0 enla forma estndar, se factoriza y se resuelve para y.

EJEMPLO 6 Vrtices, focos, asntotas, grficasDetermine los vrtices, focos y asntotas de la hiprbola Grafique.

Solucin Primero escribimos la ecuacin en forma estndar al dividir ambos lados de la igual-dad entre 225:

(22)

A partir de esta ecuacin se advierte que y y por ello y Por tanto,los vrtices son (-5, 0) y (5, 0). Puesto que implica tenemos c2 = 34y por ello los focos son (- , 0) y ( , 0). Para determinar las asntotas inclinadas se re-curre a la forma estndar (22) con 1 sustituido por 0:

Al igualar a 0 cada factor y resolver para y obtenemos las asntotas Trazamos losvrtices y la grfica de las dos rectas que pasan por el origen. Ambas ramas de la hiprbola debenvolverse arbitrariamente cercanas a las asntotas cuando Vea la FIGURA 10.1.16.

Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro de la hiprbola es (h, k), los anlogos de laforma estndar de las ecuaciones (17) y (18) son, a su vez,

xSq.

y 3x>5.

134134c2 a2 b2,b2 c2 a2

b 3.a 5b2 9,a2 25

x2

25 y2

9 1.

9x2 25y2 225.

y2>a2 x2>b2 0,

Qxa

ybR Qxa

ybR 0.

y ba

x

y

x

a) 1

(0, b)

(a, 0)(a, 0)

(0, b)

x2

y ba x y ba

x

a2

y2

b2

y

x

(0, a)

(b, 0)(b, 0)

(0, a)

y abx y ab

x

b) 1y2

a2

x2

b2

FIGURA 10.1.15 Hiprbolas (17) y (18) con asntotas inclinadas


ste es un dispositivo mnem-nico o de memoria. No tieneimportancia geomtrica.

y

x

y x35 y x35

x2 y2

25 9 1

FIGURA 10.1.16 Hiprbola delejemplo 6

x2

a2y2

b2 o

x2

a2y2

b20.

x2

25y2

9 0 se factoriza como Qx

5y3R Q

x

5y3R 0.

10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 554


(23)

y (24)

Como en (17) y (18), los nmeros a2, b2 y c2 estn relacionados mediante El lector puede localizar los vrtices y focos utilizando el hecho de que a es la distancia del

centro a un vrtice y c es la distancia del centro a un foco. Es posible obtener las asntotas incli-nadas de (23) factorizando

De manera similar, las asntotas de (24) se obtienen al factorizar al

igualar cada factor a cero y resolver para y en trminos de x. Como una verificacin de su traba-jo, recuerde que (h, k) debe ser un punto que yace en cada asntota.

EJEMPLO 7 Determinacin completaEncuentre el centro, vrtices, focos y asntotas de la hiprbola Grafique.

Solucin Antes de completar el cuadrado en x y y, factorizamos el 4 de los dos trminos en x y-1 de los dos trminos en y de manera que el coeficiente en cada expresin es 1. Entonces tenemos

Ahora vemos que el centro es (1, -2). Puesto que el trmino en la forma estndar que implica ax tiene el coeficiente positivo, el eje transversal es horizontal a lo largo de la recta y -2 e iden-tificamos a 1 y b 2. Los vrtices estn a una unidad a la izquierda y a

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LIB Cálculo. Varias Variables - Vol 2 - 4ta Edición - Dennis G. Zill & Warren S.wright (ES)