LIBRO 1° ARITMETICA

1

ARITMTICA PRIMERO DE SECUNDARIA

Historia de AritmticaGENERALIDADES

El hombre, con su ingenio, hace posible hacer realidad la construccin grandes edificios, puentes, carreteras, etc. Esto es posible por que organiza sus ideas y los representa con smbolos matemticos. A travs de estos smbolos nos comunicamos, lo interpretamos y nos da una idea clara de lo que se quiere hacer con la opcin de modificar, ampliar o simplemente comunicar la idea a los dems. Queda claro entonces que la matemtica es una ciencia es muy importante para la evolucin, desarrollo modificacin de lo que esta en nuestro entorno.

As pues la matemtica tiene ramas diferentes, una de ellas en esta en esta oportunidad a la aritmtica.

La Aritmtica es una ciencia que se encarga del estadio de los nmeros. Su aplicacin se da desde que se hacan intercambios, hace mucho tiempo atrs.

Al inicio se utilizaban los dedos de la mano, posteriormente hubo la necesidad de emplear piedras, gramos de trigo, nudos hechos en cuerda, pedazos de corteza, etc.

La primera evidencia histrica de esta ciencia se da los antecedentes de los Caldeos Asirios, Los Sumerios, que nos indican el conocimiento de un sistema numrico que data de 3500 aos A. C. Los Egipcios dedican dieron gran aporte por sus avances de ingeniera en la construccin de las pirmides all por los 3200 a.C. El ms antiguo libro de matemtica fue el Papiro de Rmind (1700 a.C.), estos utilizaron sistemas decimal. Posteriormente, aquellos que introdujeron el importante concepto de posicin de un smbolo, con lo que podan representar valores mayores utilizaron la base 10 y dieron a conocer el smbolo cero en forma primitiva, son Los Babilonios.

Los Griegos a diferencia de los Babilonios, utilizaron las letras de su alfabeto como smbolos, para representar nmeros, entre los personajes griegos que aportaron al desarrollo de la aritmtica fueron:

Pitgoras:

Contribuyo al uso de los nmeros irracionales, la teora de las proporciones, etc.

Platn:

Creador del mtodo analtico para la resolucin de problemas.

Euclides:

Escribe su famoso Elementos (320) a C.), en el que trata temas sobre: Aritmtica, lgebra, Geometra, y Trigonometra.

Hindes:

Les corresponde el mrito de haber utilizado el sistema decimal hasta su mximo progreso; ya que fueron los Mayas (en Amrica ) y los Sumerios (en Mesopotamia) los primeros que utilizaron el valor de posicin y cero en la escritura.

Hacia el ao 1050 el famoso sabio hind Mahaviya publica su famoso Lilabati donde usa el valor de posicin y el cero, siendo el verdadero iniciador de un consistente sistema decimal de numeracin.

Los rabes:

La especial ubicacin geogrfica y el progreso de la navegacin favorecieron a un notable intercambio comercial entre rabes e hindes. Los rabes aprendieron el sistema numrico hind y resultaron as sus portadores a Europa; por eso al sistema que usamos actualmente el que llevaron los rabes a Europa se llama indo arbigo o tambin decimal.

Difusin del saber matemtico en Europa:

Fibonacci:

Divulgo el sistema indo arbigo en toda Europa desterrando al sistema numrico de los romanos (1200)

Widman:

Alemn (1489) introduce los signos matemticos ms (+) y menos ()

Regiomontano (1470):

Introduce nociones sobre los nmeros decimales.

John Neper (1550 1616):

Crea los logaritmos

Fermat (1601 1665)

Verdadero impulsor del estudio de los nmeros en base a geniales concepciones.

Martnez Guiajano, Juan Ortega, Gaspar Lax de Moya fueron espaoles que contribuyeron a mejorar el ambiente matemtico de la poca.

Euler, Lagranje, Legendre, Gauss, etc., fueron algunos de los grandes matemticos creadores de la aritmtica actual.

TEMA: Conjuntos Numricos

Los conjuntos que estudian el curso aritmtica segn la teora de conjuntos son los siguientes:

01) Conjunto de los Nmeros Naturales (N), son nicamente los enteros positivos.N = {1, 2, 3, 4, ........................ n}

02) Conjuntos de los Nmeros Enteros (Z), son aquellos que resultan de la unin de los naturales y la diferencias de dichos nmeros:Z = {-n(, ......, 2, 1, 0, 1, 2 ........., n(}

0 ( Z ; Z = {Z, Z, Z+ }

03) Conjunto de Nmeros Racionales (Q), son aquellos que provienen del cociente de 2 nmeros enteros donde el denominador es diferente de cero.Q = {x/x = a /b. a ( b ( Z; b ( 0 }

Luego:Q =

04) Conjunto de Nmeros Irracionales (Q')

Esta formado:i. Radicales inexactos : ........

ii. Nmeros trascendentes : (, e, .............

05) Conjunto de los Nmeros Reales (R)

Esta formado por la unin de los nmeros racionales e irracionales.R = Q Q|

donde:R:Reales

R+: Reales positivos

06) Conjunto de los Nmeros Imaginarios, Se obtiene de extraer races a cantidades negativas, son de la forma:

= i

Unidad Imaginaria: i (notacin de Gauss)

Luego

Ejemplo:

= ( 2 . i

07) Conjunto de los Nmeros Complejos, Se denomina nmero complejo a la suma de un nmero real con un nmero imaginario.# Complejo (c) =

Esquema de Clasificacin de los Nmeros

Luego:

N ( Z ( Q ( R ( C

Q Q' = (Q Q' = R

R I = (R I = C

PROBLEMAS PARA LA CLASE01) Si m es un nmero entero par. El cul de las alternativas nos representa siempre un nmero par?

A) 3m+3

B) 7m+2

C) 4m+7

D) 3m+5

E) 6m+7

02) Si n es un nmero par Cul de las siguientes es un nmero impar?

A) 2k

B) 2k+1

C) k-1

D) 7k

E) B y C

03) Cual de las siguientes relaciones es correcta.

A) 52 es un nmero natural

B) 5 + 3i es un nmero real

C) es un nmero irracional

D) es un nmero imaginario

E) 4i es un nmero complejo

04) Cul es el mayor nmero entero de 2, 7?

A) -3B) 2C) 2

D) 3E) 1

05) Si a < 0 ( b > 0 entonces a b, dar un resultado:

A) Siempre negativo

B) Un nmero natural

C) Un nmero entero

D) Un nmero racional

E) Un nmero Irracional06) Luego de resolver la siguiente ecuacin:

3x2 + 4 = -5

sus soluciones pertenecen a los nmeros

A) RealesB) Enteros

C) NaturalesD) Complejos

E) Imaginarios

07) Si a < 0 y b = -3, entonces el producto de a . b pertenece a los nmeros

A) NaturalesB) Entero

C) ImaginariosD) Reales Positivos

E) R. Negativos

08) Si: x = + 2 entonces diremos que x es un nmero:

A) EnteroB) Natural

C) RacionalD) Irracional

E) Negativo

09) Qu nmero entero se encuentra entre 5,5 y 6,5

A) 3B) 2C) 5

D) 6E) 4

010) Respecto a los nmeros que se encuentra entre 4 y 5 podamos afirmar que son nmeros

A) EnteroB) Racional

C) ImaginariosD) Irracional

E) B y D

011) El resultado de x en es un nmero

A) EnteroB) Racional

C) IrracionalD) Imaginario

E) Complejo

012) Al sumar 0,7 con 1,3 obtendremos un nmero:

A) RealesB) Imaginario

C) IrracionalD) Complejo

E) Entero Negativo

013) Indicar la proposicin incorrecta:

A) La suma de 2 nmeros enteros nos da otro entero.

B) El producto de dos nmeros racionales nos da la posibilidad de obtener un nmero entero.

C) El producto de 2 nmeros racionales dos da siempre un entero

D) Al sumar dos nmeros complejos existe la posibilidad de obtener un nmero imaginario

Si multiplicamos racional entero podran darse el caso de obtener nmero entero.

014) El nmero real que le sigue a 2 es:

A) 2,2B) 2,00001

C) 3D) 2,02

E) Indeterminado

015) Si los lados de un tringulo son:2, 1 y , al sumar sus lados nos resulta un nmero

A) IrracionalB) Natural

C) RacionalD) Entero

E) Imaginario

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Si los m es un nmero entero par. Cul de las alternativas nos representa siempre un nmero impar?

A) 2m + 6 B) m + 1C) m 2

D) m + 8E) m + 8

2. Si m es un nmero impar. Cul de las alternativas siempre representa un nmero par?

A) n + 2B) n - 5 C) 2n + 7

D) 3n + 1E) B y D

3. Cul de las siguientes alternativas es incorrecta?

A) Resulta ser un nmero Real

B) 2 es un nmero entero

C) + 3 es un nmero racional

D) 3 + 4i es un nmero complejo

E) Todas son incorrectas.

4. El menor nmero real que le sigue a 3 es:

A) 3,3B) 3,0001C) 4

D) 3,03E) 3,00001

5. Si a < 0 y b < 0 entonces a . b resulta un nmero

A) Real negativo

B) Imaginario

C) Real positivo

D) Entero negativo

E) Entero positivo

6. Si:

a ( un nmero entero negativo

b ( un nmero real

Son producto nos resulta un nmero ..............

A) RealB) Imaginario

C) Racional D) Entero

E) No se puede determinar

7. Cul de las siguientes relaciones es correcta?

A) 62 es un nmero natural

B) + 4i es un nmero real

C) 0,484950 .. es un nmero racional

D) es un nmero imaginario

E) resolver su resultado es un entero

8. Al sumar 0,2 con 2,8 obtendremos un nmero

A) EnteroB) Imaginario

C) Complejo D) Racional

E) A y D

9. Si: x > 0 y y < -2. se deduce que xy + yx es:

A) Siempre positivo

B) Puede ser cero

C) Siempre negativo

D) Puede ser positivo

10. Cul de los enunciados es falso?

A) 52 un nmero entero

B) 41/2 es irracional

C) 3.5 es racional

D) 5 + 3i es imaginario

E) 0,345 es un real

TEMA: NUMERACINConcepto

Es la parte de la Aritmtica que se encarga del estudio de la correcta formacin, lectura y escritura de los nmeros.

NmeroEs el primero y bsico de los conceptos matemticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Numeral

Es la representacin simblica o figurativa del nmero.Ejemplo: 15, XV, 24 1

6, VI, 22 + 2, 32 3

SISTEMA DE NUMERACIN

Concepto

Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales

Principios:

Del OrdenToda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.

Ejemplo:

654321( Orden

Numeral:273975

Lugar

(Lectura)123456

De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las rdenes de un numeral en cierto sistema de numeracin.

Ejemplo

342 n ( base

Nos indica que se agrupar de n en n en dicho sistema

La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2

n ( 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}

Entonces la base mnima: n= 2

Veamos en forma grafica: representa el nmero 16 en base 3

O sea que: 16 = 121(3)

Otro ejemplo: representar el nmero 17 en base 5

De las cifras:

Las cifras cumplen las siguientes condiciones

Pertenecen a Z (cifras ( Z)

Son menores que la base (cifras < n)

La cifra mxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1)

Toman valores enteros menores que la base.

Si la base n; se pueden utilizar en las cifras

0, 1, 2, 3, 4, ............., (n 1) mxima cifra

cifra significativa

cifra no significativa

Principales sistemas de numeracin

BaseSistema de NumeracinCifras

2Binario o Dual 0,1

3Temario 0, 1, 2

4Cuartenario 0, 1, 2, 3

5Quinario 0, 1, 2, 3, 4

6Senario y Sexanario0, 1, 2, ........... 5

7Heptanario 0, ..........., 6

8Octanario 0, ..........., 7

9Nonario 0, ...........; 8

10Decimal o Decuplo 0, ..........., 9

11Undecimal 0, ..........., 9, (10)

12Duodecimal 0, ..........., 9(10), (11)

Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras:

Alfa ( ( 10

Gamma ( ( 2

Epsilon ( ( 14

Beta ( ( 11

Delta (( 13

Representacin Literal de Numerales:

Numeral de 3 cifras de base n :

Numeral de 4 cifras de base n :

: numeral de 2 cifras:

(10, 11, 12, ................ 98, 99)

: numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)

: numeral de 3 cifras iguales:

(111, 222, 333, ..........., 999)

: numeral de 3 cifras que empiezan en 18.

(1800, 1811, 1812, .......)

Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)

OBSERVACIONES:

1. La primera cifra de un numeral deber ser significativa (diferente de cero)

2. todo aquello que est entre parntesis en el lugar de las cifras, representa una de ellas

3. se denomina numeral capica a aquel que ledo de izquierda a derecha o viceversa se lee igual.

Ejemplo: 33; 454; 777: 7887

CAMBIOS DE BASE EN Z:

Caso N 1: De base n a base 10 existen tres mtodos:

Ruffini

Descomposicin polinmica

Practico: sube y baja

A. M Ruffini:

Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10

Resolucin

O sea que: 215(6) = 83

Ejemplo

Convertir 127(8) a base 10.

O sea que:

127(8) = 87

B. Descomposicin PolinmicaEjemplo:

Convertir 324(6) a base 10

Resolucin

324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4

= 108 + 12 + 4

= 124

O sea que: 324(6) = 124

Ejemplo:

Convertir 542(7) a base 10

Resolucin542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2

= 245 + 28 + 2

= 275

O sea que:

542(7) = 275

C. M. Practico: Sube y Baja

Convertir 215(6) en base 10

O sea que:

215(6)= 83

Convertir 542(7) en base 10

O sea que:

215(6)= 83

Caso N 2: De la base 10 a base n

El nico mtodo es el de divisiones sucesivas

Ejemplo: Convertir 1234 a base 5

Resolucin



Caso N 03: De base n a base m

Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeracin undecimal

ResolucinA. Convertir 152(7) a base 10

Osea 152(7) = 86

B. Halla el nmero 86 convertir a base 11 a travs de divisiones sucesivas.

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4

Luego:

401(6) ( 1501(4)

RESUMEN:

De base n a base m

Paso a: donde n a base 10

Paso b: De base 10 a base m

(Divisiones sucesivas)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:Dado:

Si: ( n < m

Si: ( n > m

Ejemplo N 01: Hallar a

Siendo:

Resolucin

a > 2 ( a < 4

( 2 < a < 4 ( . a = 3 .

Ejemplo N 02: Hallar m si 200(m) = 102(4)Resolucin

2 < m < 4 ( . m = 3 .Ejemplo N 03: Hallar m

144(6) = 224(m)

Resolucin

4 < m < 6

(m = 5

PROBLEMAS APLICATIVOS

1. Convertir el desarrollo a base 5.

2 . 53 + 1 . 52 + 2 . 5 + 4

ResolucinAnalicemos:


1 . 73 + 4 . 7 + 3

ResolucinAnalicemos


2 . 34 + 1 . 33 + 10

Resolucin

O sea:

4. Convertir el desarrollo a base 8

5 . 85 + 17

ResolucinAnalicemos

5 . 85 + 17

Luego tenemos:

5. Convertir el desarrollo a base 11

10 . 113 + 9 . 112 + 10 . 11 + 3

ResolucinAnalicemos:

Pero sabemos que: ( ( 10.

Luego:

( 9 ( 3(11)PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Convertir a base 10, cada caso:

A) 341(5)B) 100001(2)

C) 203(4)D) 107(8)

2. Convertir a base 3, cada caso:

A) 107B) 706

C) 9081D) 24

3. Hallar el valor de a + b + c si: = 318(9)Rpta.

4. Determinar el valor de n

Si: = 218

Rpta.

5. Hallar a + b, si se cumple

= 586(9)

Rpta.

6. Hallar a + b si se cumple:

= 3232(4)

Rpta.

7. Si los numerales estn correctamente escritos:

210(a);

Hallar a . b

Rpta.

8. Si los numerales estn correctamente escritas

705(m);

Hallar: m + n

Rpta.

9. Hallar m/n; si los siguientes numerales estn correctamente escritos

211(n);

Rpta.

10. Hallar m

Rpta.

11. Hallar n

Rpta.

12. Hallar P

(8)

Rpta.

13. Hallar a + b, si se cumple:

Rpta.

14. Hallar m + n + p; si se cumple:

Rpta.

15. Hallar: a + b + c si le cumple:

Rpta.

16. Si:

N = 3 . 84 + 4 . 83 + 7 . 82 + 35; como se expresa N en base 8.

Rpta.


1. Convertir 215(7) a base 10

A) 110B) 96C) 108

D) 141E) 210

2. Convertir 218 a base 8

A) 316(8)B) 107(8)C) 603(8)

D) 701(8)E) 306(8)

3. Hallar el valor de a + b + c si: = 111(4)A) 1B) 3C) 5

D) 2E) 4

4. Hallar a + b; si se cumple

(9) = 1142(7)

A) 3B) 2C) 4

D) 13E) 9

5. Hallar p + q + n, si se cumple

= 586(9)

A) 8B) 7C) 6

D) 5E) 4

6. Hallar el valor de a en:

166(8) = 226(a)

A) 4B) 6C) 7

D) 141E) 210

7. Si los siguientes numerales estan bien escritos:

;

Encontrar el valor de: m + p

A) 15B) 14C) 13

D) 12E) 11

8. Hallar m + a + n; siendo

A) 12B) 10C) 9

D) 7E) 6

9. Expresar N en base 7, siendo

N = 2 . 75 + 3 . 72 + 15

A) 200041(7)B) 40021(7)C) 30023(7)D) 200321(7)123003(7)

10. Hallar a . b . p; si el numeral esta correctamente escrito

A) 70B) 60C) 50

D) 40E) 30

TEMA: AdicinDados los 2 o ms cantidades llamados sumandos la operacin adicin consiste en reunir dichas cantidades en un sola llamada suma, la cual tiene tantas unidades como todos los sumandos juntos.

Es decir:

25 + 12 + 10 = 47

OBSERVACIONES:

en la prctica los sumandos se disponen en forma vertical

Orden:

4 3 2 1

5 6 7 8 +

7 5 9 5

1 3 2 7 3

orden

procedimiento

orden

3 2 184 3 58 +

3 6 78 1 0 2 48orden

procedimiento

3. 1 + 4 + 3 = 8 = 108Aplicacin 1

Si: . a + b + c = 8 .Calcular:

Aplicacin 2

Calcular a. b . c si:

Principales Sumatorias

1. Suma de los n primero nmeros naturales. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n = .Ejemplo: Hallar S

S = 1 + 2 + 3 + .....................+ 29 =

S = 435

2. Suma de los n primeros nmeros impares. S = 1 + 3 + 5 + ......... + A = .Casos particulares

S = 1 + 3 + 5 + ......... + (2n - 1) ( S = n2

S= 1 + 3 + 5 + + (2n + 1 ( S = (n+ 1)2

Ejemplo: Hallar S

S = 1 + 3 + 5 + ... + 23 =

S = 144

3. Suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales consecutivosS = 12 + 22 + 32 + .............. + n2

. S = .Ejemplo: Hallar S

S = 12 + 22 + 32 + ....... + 202

S =

S =

S = 2870

4. Suma de los n primeros cubos perfectos consecutivos. S = 13 + 23 + 33 + ........ + n3 = .Ejemplo: Hallar S

S = 13 + 23 + 33 + ............ + 193

S =

S = (190)2

S = 36100

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si: a + b + c = 14

Hallar:

Rpta.

2. Si: hallar: a + b + c

Rpta.

3. Si: A = 1 + 2 + 3 + ....... + 50

B = 1 + 3 + 5 + ......... + 49

Hallar A B

Rpta.

4. Si: W = 1 + 4 + 9 + 16 + .... + 121

E = 1 + 8 + 27 + 64 + ....+ 8000

Hallar: W + E

Rpta.

5. Si:

Calcular: a + b + X

Rpta.

6. Efectuar: 312(5) + 442(5)Rpta.

7. Efectuar: 415(7) + 362(7) + 254(7)Rpta.

8. Hallar la suma de las cifras de A. si:

A = 101 + 102 + 103 + ..... + 180

Rpta.

9. Hallar:

Sabiendo que:

O + Z + C = 18

N + Y + B = 15

M+ X + A = 12

Rpta.

10. Hallar: a . b si:

= 74

Rpta.

11. Si:

Hallar: a . b . m

Rpta.

12. Si:Hallar: m + n + a

Rpta.

13. Calcular:

S = 0,1 + 0,2 + 0,3 +.....+ 3

Rpta.14. Calcular x

1 + 3 + 5 + ...... + (2x +1) = 1600

Rpta15. Sumar:

6 + 66 + 666 + 6666 +.....+

Rpta.


1. Si: a + b + c = 19

Hallar:

A) 1819B) 1919C) 2001

D) 2109E) 2009

2. Calcular: a . b . c. Si se sabe que a + b + c = 14. Adems:

= 125

A) 90B) 128C) 105

D) 54E) 100

3. Hallar el valor de x si: en:

1 + 3 + 5 + ... + x = 9801

A) 199B) 197C) 179

D) 99E) 89

4. Si: = 1710

Hallar: A . B . CA) 220B) 270C) 240

D) 280E) 290

5. Si: x + y + z = 18

Calcular:

A) 1998B) 1990C) 1888

D) 1988E) 1999

6. Si:

Hallar: a . b . c A) 240B) 360C) 280

D) 160E) 320

7. Si: (a + b)2 = 49

Hallar:

A) 144B) 124C) 136

D) 184E) 154

8. Calcular:

465(8) + 274(8) + 777(8)

A)1260(8)B) 1570(8)

C)1760(8)D) 1670(8)

E) 2516(8)

9. Hallar la suma de las cifras A

Si:

A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + .... + 10

A) 1B) 4C) 7

D) 9E) 10

10. Sabiendo que:

x + y = 14; p + q = 15; z + n = 13

Calcular:

A) 1455B) 1405C) 1545

D) 1440E) 1555

TEMA: SUSTRACCINDados los 2 nmeros llamados minuendo y sustraendo la operacin sustraccin hace corresponder un tercer nmero llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo.

Es decir:

. M S = D ( M = S + D .Trminos:

M es el minuendo

S es el sustraendo

D es la diferencia

Ejemplo:

En base 10:

6305

3278

2027

Cifra de las unidades Cifra de las decenas

10 + 5 8 = 7 10 1 7= 2

Cifra de las centenas Cifra de las millares

2 2 = 0 5 3 = 2

En base 7:

5327

2647

2357

Cifra de 1er. Orden : 7 + 2 4

Cifra de 2do. Orden : 7 + 2 6 = 3

Cifra de 3er. Orden : 4 2 = 2

COMPLEMENTO ARITMTICO (CA)

El complemento aritmtico de un nmero entero positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho nmero para ser igual a una unidad del orden inmediato superior a su cifra de mayor orden. Ejemplo:

CA (7) = 101 - 7 = 3

CA (24) = 102 24 = 76

CA (750) = 103 750 = 250

Luego: dado el nmero N de k cifras

. CA(N) = 10k N .Forma Prctica para Calcular el CA

A partir de la derecha del numeral se resta la primera cifra significativa de la base, y de la (Base 1)

Propiedades:

1. Dado: ; donde: a > b

Se cumple p + q = 9

2. Dado: ; donde: a > c

Se cumple: q = 9

P + r = 9

3. a = b; c = d ( a ( c = b ( d

4. (PAR) ( (PAR) = (PAR)

(PAR) + (IMPAR) = (IMPAR)

(IMPAR) + (IMPAR) = (PAR)


1. En una sustraccin, el minuendo es el quntuple de la diferencia. Si el sustraendo es igual a 400. Hallar la diferencia. Dar como respuesta la suma de cifras

Rpta.

2. La suma de los tres trminos de una sustraccin es de 240. si el sustraendo es la tercera parte del minuendo. Hallar el CA de la diferencia.

Rpta.

3. Hallar la suma de los complementos aritmticos de los siguientes nmeros:

29, 794, 812, 1750

Rpta.

4. Si el C. A. de es 5c4, hallar a + b + c

Rpta

5. Si: , hallar m + n

Rpta.

6. Hallar m + n + p, si

Rpta.

7. Hallar m . p; si

Rpta.

8. Si se cumple que:

adems:= CA (8264)

hallar: a + b + c

Rpta.

9. Calcular: 4123(5) 2042(5)Rpta

10. Dar a +b + c en:

6236(7) 5664(7) =

Rpta.

11. Si:

Hallar:

Rpta.

12. Hallar el complemento aritmtico del menor nmero impar de 3 cifras diferentes

Rpta.

13. Hallar: a + b + m

Si CA () =

Rpta.

14. Si: CA (345) =

Hallar: m + n + p

Rpta.

15. Si CA (465) =

Hallar x + y + z

Siendo:

Rpta.


1. En una sustraccin, el minuendo es el triple de la diferencia. Si el sustraendo es igual a 38. Hallar la diferencia. Dar como respuesta la suma de sus cifras

A) 3B) 8C) 11

D) 9E) 10

2. La suma de los tres trminos de una sustraccin es 320. Si el sustraendo es la cuarta parte del minuendo. Hallar el C. A. de la diferencia.

A) 120B) 160C) 200

D) 640E) 880

3. Hallar la suma de los complementos aritmticos de los siguientes nmeros:

986; 72; 1

A) 28B) 42C) 51

D) 6E) 50

4. Si: el C.A. de es ; hallar a + b + c

A) 13B) 22C) 16

D) 66E) 7

5. Si: . Hallar C.A. ()

A) 24B) 79C) 21

D) 54E) 97

6. Calcular la suma de cifras de , si 2xy, adems = 1535

A) 10B) 16C) 20

D) 14E) 21

7. La suma de los trminos de una resta es 480. La diferencia es la mitad del sustraendo. Dar la diferencia.

A) 80B) 150C) 180

D) 160E) 70

8. Hallar el complemento aritmtico del mayor nmero impar de 3 cifras diferentes

A) 10B) 11C) 12

D) 13E) 14

9. Calcular: 10101(8) 7777(8)A) 222(8)B) 102(8)C) 312(8)

D) 444(8)E) 100(8)

10. Si se cumple:

C.A. .

Hallar: a + b + m + n

A) 10B) 15C) 20

D) 17E) 14

TEMA: MULTIPLICACINEs una operacin directa, donde dados dos nmeros M m llamados multiplicando y multiplicador respectivamente, se halla un tercer nmero P llamado producto.

O sea: P = A . B =

Donde:

M : multiplicando

m : multiplicador

P : producto

Ejemplo:

Multiplicar: 235 . 25

Procedimiento:

Multiplicando ( 275 *

Multiplicador ( 35

Producto parcial ( 1375

2do producto parcial ( 825

Producto total ( 9625

OBSERVACIONES:

Cuando el enunciado de un problema nos diga: hallar la suma de los productos parciales, se procede de la siguiente manera:

1375 ( 1er producto parcial

825 ( 2do producto parcial

2200

1. Si : . 7 = ...........6

Entonces c = 8

2. Si: . 4 = .............2

3

Entonces c =

8

3. Se cumple:

(# impar) (........5) = ..........5

(# par) (..........5) = ...............0

4. Se cumple:

................ 0

n(n + 1) = 1

................. 2

................. 6



.a = 1916

.b = 3353

Hallar la suma de cifras del producto

Rpta.

2. Determinar un nmero que multiplicado por 11 aumente en 880

Rpta.

3. Calcular a + b + c + d, si:

. 7 =

Rpta.

4. En una multiplicacin, si el multiplicando aumenta en 15 unidades el producto aumenta en 420 unidades. Calcular el multiplicador inicial.

Rpta

5. Escribiendo un cero a la derecha de un nmero entero, se ha aumentado este nmero en 648. Cul es este nmero?

Rpta.

6. El producto de dos nmeros que se diferencian en 5 unidades es 150. Hallar la suma de las cifras del mayor de dichos nmeros.

Rpta.

7. El producto de tres enteros consecutivos es 720, hallar la suma de dichos nmeros

Rpta.

8. Si: . 63 = ......746

Hallar: a + b + c

Rpta.

9. Si: . a = 2618

. c = 1496

Hallar: abc x

Rpta.

10. Jos multiplica un nmero por 50, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallndose as un producto que se diferencia de verdadero en 11610. Cul es el nmero?

Rpta.

11. Calcular a + b + c + d, si:

. 27 se obtiene como suma de sus productos parciales en nmero que termina en 2662

Rpta.

12. Si . 9 = ...... 384

Hallar: a + 2b + 3c

Rpta.

13. Hallar el C.A de sabiendo que: .......... . 7 = ......... 461

Rpta.

14. Hallar la suma de los productos parciales del siguiente producto

C.A (27) . C.A. (874)

Rpta.

15. Si . 4 = ............... 8

y . 5 = ............... 0

Hallar el valor de C

Rpta.



. 2 = 836 y

. 7 = 2926

Hallar la suma de cifras del producto: . 27

A) 10B) 13C) 18

D) 21E) 27

2. Determinar un nmero que multiplicado por 7 aumente en 66

A) 11B) 14C) 10

D) 17E) 9

3. Calcular: a + b + c + d

Si: . 7 =

A) 15B) 16C) 17

D) 18E) 19

4. En un multiplicacin, si el multiplicador aumenta 6 unidades el producto se incrementa en 1644. Calcular el multiplicando

A) 274B) 254C) 264

D) 216E) 374

5. Jessica, multiplica un nmero por 30, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallndose as un producto que se diferencie del verdadero en 216 Cul es el nmero?

A) 5B) 8C) 6

D) 9E) 7

6. El producto de res enteros consecutivos es 6, hallar la suma de dichos nmeros:

A) 7B) 9C) 12

D) 15E) 20

7. Si: C.A.

. 3 = ................ 245

A) 1B) 50C) 56

D) 55E) 14

8. Determinar un nmero que al multiplicarlo por 47. comete el error de colocar los productos parciales uno exactamente debajo de otro obteniendo as 4235. dar como respuesta la suma de sus cifras

A) 14B) 16C) 18

D) 15E) 17

9. Si: . 999 = ......... 784

Hallar a + b + c

A) 10B) 9C) 8

D) 7E) 6

10. Calcular: a + b + c + d

Si:

A) 10B) 12C) 15

D) 20E) 23

TEMA: DIVISINEs una operacin binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

. D ( d = q .D = d . q

D : dividendo

d : divisor; d ( 0

q : cociente

Divisin Entera:

Es un caso particular de la divisin en la que el dividendo, divisor y cociente son nmero enteros; en este caso se recurre a un cuarto trminos llamado residuo.

D d r : residuo

r q

puede ser:

1. Exacta (residuo = 0)

Ejemplo: 45 9 ( 45 = 9(5)

0 5

En general

D d ( D = dq

0 q

2. Inexacta (residuo > 0)

a) Por defectoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(7) + 4

4 7

En general

D d ( . D = dq + r . ; d ( Z

r q

Donde: 0 < r < d

q : cociente por defecto

r : residuo por defecto

b) Por excesoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(8) 5

5 8

En general:D d ( D = dqe re d(Z+

re qeDonde: 0 < re < d

qe : cociente por exceso

re : residuo por exceso

Propiedades de la divisin inexacta

1. qe = q + 12. rmax = d 13. r +re = dAlteracin de la divisin por multiplicacin

Ejemplo:

D . 3

67 9 d . 3201 27

4 7 12 7

x3

En general

Si:D d ( Dn dn

r q rn q


1. Al dividir 427 entre 4; hallar la suma del cociente por exceso, el residuo mximo y el residuo por defecto.

Rpta.

2. Hallar la suma de cifras del dividendo si el divisor es 15 y el cociente 7. Adems el resto es mximo

Rpta.

3. Si el divisor es igual a 19, el cociente por exceso igual a 8 y el residuo el menor valor posible. Hallar la suma de cifras del dividendo

Rpta.

4. Luego de dividir 47 entre 3. hallar la suma de los trminos de la divisin

Rpta

5. El residuo de la divisin de cierto nmero entre 13 es 11, pero si dicho nmero se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el resto disminuye en 1. hallar el nmero

Rpta.

6. Si el divisor es 7 y el resto por exceso es 4. Cul es el resto por defecto?

Rpta.

7. La suma de dos nmeros es 110, si se divide el mayor entre el menor, el cociente es 12 y el residuo 6. hallar la diferencia de dichos nmeros.

Rpta.

8. Al dividir 62 entre 8, hallar la suma del cociente por defecto ms el cociente por exceso ms el residuo por exceso.

Rpta.

9. Si 124 es dividido entre cierto nmero se obtiene 17 de cociente y 5 de resto. Hallar dicho nmero

Rpta.

10. En una divisin inexacta, el resto es mnimo, el divisor es igual al cociente y el dividendo es 785. Hallar el cociente

Rpta.

11. En una divisin de nmeros enteros, el resto es 45, hallar el dividendo sabiendo que es mnimo y que el cociente vale 2

Rpta.

12. Al efectuar una divisin entera por defecto y por exceso, se observ que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden, eran nmeros consecutivos. Determinar el dividendo.

Rpta.

13. El resto por defecto, es resto por exceso, el cociente por defecto y el divisor de una divisin estn en progresin aritmtica de razn 5. calcular el dividendo

Rpta.

14. Al dividir un nmero entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian en 9. Qu residuo se obtendra al dividir el nmero entre 7?

Rpta.

15. Cul es el mayor entero tal que al dividendo entre 50 da un residuo que es igual al triple del cociente.

Rpta.

16. Al dividir 511 entre N se obtuvo 31 de cociente y un residuo mximo. Hallar la suma cifras de N

Rpta.


1. El cociente por exceso es 25, el divisor 15 y el residuo por defecto 6. hallar el dividendo

A) 360B) 366C) 371

D) 354E) 371

2. En una divisin exacta, al dividir P entre 121 el cociente es el triple de la suma de cifras del divisor. Qu nmero es P?

A) 1442B) 1552C) 1352

D) 1453E) 1452

3. Al dividir N entre 48 se obtiene 17 de cociente y un residuo mnimo. Hallar N

A) 812B) 817C) 742

D) 852E) 848

4. Si el dividendo es 62, el cociente y residuo por defecto son 5 y 2 respectivamente. Cul es el divisor?

A) 12B) 12C) 14

D) 15E) 16

5. Al dividir N entre 73 se obtiene 21 de cociente y un residuo mximo. Hallar la suma de cifras de N

A) 10B) 11C) 12

D) 14E) 15

6. Al efectuar una divisin entera se observ que el dividendo es 348, el cociente es 8 y el residuo la mitad del cociente. Hallar el divisor

A) 37B) 45C) 32

D) 43E) 48

7. La suma de dos nmeros enteros positivos es 902, su cociente es 19 y el resto, el mayor posible. Cul es la diferencia de dichos nmeros?

A) 816B) 859C) 749

D) 826E) 815

8. La diferencia de dos nmeros es 64 y la divisin del mayor entre el menor da cociente 3 y por residuo 18. cul es el mayor ?

A) 23B) 41C) 59

D) 87E) 91

9. El resto por defecto, el resto por exceso el cociente por defecto y el divisor de una divisin estn en progresin aritmtica de razn 7. Calcular el dividendo

A) 112B) 110C) 100

D) 90E) 80

10. Luego de dividir 110 entre 7. hallar la suma del cociente por exceso, residuo mximo y el residuo por exceso

A) 24B) 15C) 7

D) 11E) 9

TEMA: RELACIONES BinariasPAR ORDENADO

Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo a la 1era componente y b la segunda componente.

TeoremaDos pares ordenados son iguales si y slo si sus respectivas componentes son iguales.

As tenemos:

. (a; b) = (c; b) ( a = c ( b = d .

!ATENCIN!

(a; b) ( (b; a)

Ejemplo:

Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar m + n

Resolucin(2m + 1; 9) = (7; n + 2)

( 2m + 1 = 7 ( 9 = n + 2

m = 3n = 7

( m + n = 10

PRODUCTO CARTESIANOSean los conjuntos no vacos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B.

As:

A x B {(a; b)/a ( A ( b ( B}

Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}

Hallar A x B y B x A

ResolucinA x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}

B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}

Observamos que: A . B ( B . A

(no es conmutativo)

Propiedades1. El nmero de elementos de A . B es igual al producto del nmero de elementos de A por el nmero de elementos de A por el nmero de elemento de B.

n(A x B) ( n(A) x n(B)

2. Si: A x B = B x A ( A = B

3. Notacin: A x A = A2Grafica de un producto Cartesiano

Sea: A = {1; 2; 3} ( B = {a; b}

Hallar: . A x B y graficar .ResolucinA x B = {1; 2; 3} . {a; b} ( A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

RELACIONESUna idea de relacin es:

Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo}

B = {Colombia; Per; Uruguay}

Y la regla de correspondencia: ........ Es capital de ...........

Entonces podemos establecer el siguiente esquema

(Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Per), (Bogot; Colombia), (Montevideo; Uruguay)

Una relacin es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algn elemento de otro conjunto.

Si tenemos los conjuntos no vacos A y B la relacin R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano.

As tenemos:

. R = {(x; y) ( A x B / x ( A ( x ( B} .En la relacin R de A en B denotado por R: A ( B.

es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos.

As: x R y dice que x se relaciona con y mediante R se puede reemplazar por: >; =; (, es el doble de, etc.

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A = {3, 6, 2} B = {4, 7}

Hallar:

A x B =

R1 = {(x; y)} ( A x B / x < y}

R2 = {(a; b) ( A x B / a + b es par}

R3 = {(m, n) ( A x B / m . n es mltiplo de 3}

ResolucinA x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}

R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}

R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)}

R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)}

Notacin:

R : A ( B : donde

A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN

DominioEs el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relacin.

Rango

Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin.

En toda relacin hay:

a) Un conjunto de partidab) Un conjunto de llegadac) Una regla de correspondenciaEjemplo: Dados los conjuntos

A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}

Se define la relacin R1 de la siguiente manera:

R1 = {(x; y) ( A . B / x < y}

Hallar su dominio y rango de R1

ResolucinA . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}

Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condicin

x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente)

As tenemos:

R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}

Luego

Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}

Rango de R1 = Rang (R1) = {12}

RELACIN BINARIA

Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relacin de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B

Notacin:R: A ( B ( R ( A x B

Donde

R: A ( B, si lee: R es una relacin de A en B

R ( A x B; se lee R esta incluido en A x B o R es un subconjunto de A x B

Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} ( B = {1, 2}

Hallar: R = {(x; y) ( A x B / x ( 2}

ResolucinA x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Luego:

R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Propiedades de las Relaciones Definidas en un Conjunto

A continuacin, veamos tres propiedades muy importantes en las relaciones definidas en un conjunto.

1. Propiedad reflexiva.

Se dice que en una relacin es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado est relacionado consigo mismo.

Notacin

R es Reflexiva en A si ( a ( A, aRa dicho de otra manera una relacin es reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica:

Ejemplo: ( Qu relacin definida en A

A = {1, 2, 3, 4} es reflexiva

R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)}

R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)}

R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)}

R1

R2

R3

ResolucinR1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto A estn relacionados consigo mismo.

R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no esta relacionado consigo mismo.

2. Propiedad SimtricaUna relacin es simtrica cuando cada vez que a est relacionado en b, entonces b est relacionado con a.

NotacinR es simtrica en A, si ( a ( A; b ( A

a R b ( b R a

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {1, 2, 3}

y R = {(x; y) ( A . A / x + y es par}

ResolucinA . A ={(1; 1); (1; 2); (1; 3)(2; 1); (2; 2); (2; 3)

(3; 1); (3; 2); (3;3)}

Los marcados son los que cumplen la condicin, luego R es:

R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}

3. Propiedad TransitivaUna relacin es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a est relacionado con c.

Notacin:

R transitiva en A, si ( a, (b, ( c ( A,

a R b ( b R c ( a R c

Ejemplo:

Si A = {1, 2, 3} y la relacin R se define as:

R = {(x; y) ( A2 / x + y = Par}

Resolucin

R = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)}

4. Relacin de EquivalenciaUna relacin de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva,

Ejemplo:

A = {5, 6, 7}, y R es una relacin definida de la siguiente manera:

R = {(x; y) ( A2 / x + y es par}

Resolucin

R = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)}

Si es Reflexiva

Si es Simtrica

Si es transitiva

( R es una relacin de equivalencia


1. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relacin:

R = {(1; 0), (2; 3), (7; 9), (2;5)}

Rpta.

2. El grfico adjunto, indica la relacin R definida en A x A.

Calcular la suma de los elementos del rango de la relacin

Rpta.

3. Hallar los valores de x e y para que exista la igualdad de los siguientes pares ordenados.

(3x; 10) = (18; y - 3)

(5; 3 2x) = (5y; 5)

Rpta.

4. Hallar la mayor suma de elementos de algn par ordenado de N x M. Si

M = {x ( N / 3 < x < 6}

N = {x ( z / -2 < x 1}

Rpta.

5. Hallar el dominio de R1 en:

A = {2; 3; 5; 6} ( B = {3; 4; 6}

R1 = {(x; y) ( A x B / x < y}

Rpta.

6. Hallar el rango de R2 en:

A = {3; 5; 7; 9} ( B = {1, 2}

R2 = {(x; y) ( A x B / x + y > 6}

Rpta.

7. Dada las siguientes relaciones, definidas en A = {1; 2; 3}, indicar la relacin que es reflexiva justifique su respuesta.

R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)}

R2 = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;1)}

Rpta.

8. Dadas las siguientes relaciones, definidas en M = {3, 5; 7} indicar la relacin que es simtrica. Justifique su respuesta.

R1 = {(3; 3), (3; 7), (7; 5)}

R2 = {(5; 3), (3; 5), (5; 5), (7;5)}

R3 = {(7;7),(3;5),(5;3),(7;5),(5;7)}

Rpta.

9. Dadas la siguientes relaciones, definidas en B = {a, b, c, d} indicar la relacin que es transitiva. Justifique su respuesta.

R1 = {(a; b), (b; a), (b; c), (a; c)}

R2 = {(b;c),(b;a),(c;a),(a;c),(a;a)}

R3={(a;a),(b;b),(a;b),(b;a),(b;c), a;c)}

Rpta.

10. Dadas las siguientes relaciones definidas en A = {1; 2; 3} indicar la relacin que es de equivalencia. Justifique su respuesta

R1 = {(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;3)}

R2 = {(1;1),(2;2),(3;3),(1;3),(3;2)}

R3={(1;3),(3;1),(1;2),(2;1),(2;2)}

Rpta

11. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relacin R de A en A

A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}

R = {(a; b) ( A x A / b = a + 2}

Rpta.

12. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 4}

B = {4; 5; 7; 8}

Cul de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B

R1 = {(1; 5), (2; 7), (2; 8)}

R2 = {(2; 5), (2; 8), (4; 4)}

R3={(3; 5),(4; 2),(4; 8)}

Rpta.

13. Dados los conjuntos

A = {2; 4; 6}

B = {1; 2; 3}

Se tiene una relacin R de A en B.

R={(2;1) (2;2) (2;a) (4;1) (4;b) (4;3)}

Si ningn par ordenado de R est repetido, hallar a + b

Rpta.

14. Dado el conjunto:

A = {x/x (N; 5 < 2x < 15}

Hallar el rango de la relacin

R = {(a; b) ( A x A / a + b < 9}

Rpta


A = {1; 3; 6}

B = {2; 4; 7}

C = {3; 4; 5; 6}

Cuntos conjuntos tendr

(A - B) x (B - C)

Rpta.


1. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relacin

R = {(1; 2), (4; 5), (7; 3), (2; 11)}

A) 5B) 12C) 13

D) 14E) 21

2. El grfico adjunto, indica la relacin R definida en A x A

Calcular la suma de los elementos del rango de la relacin R

A) 9B) 10C) 11

D) 12E) 13

3. Hallar x + y si existe la igualdad del siguiente par ordenado

(2x + 5; 9) = (11; y - 7)

A) 26B) 3C) 20

D) 19E) 1


A = {x + 3 / x ( N ( 5

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LIBRO 1° ARITMETICA