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    MATRICES

    1. Sobre una matriz Ase realizan las siguientes operaciones elementales de fila, paraobtener la matriz identidad de orden 3*3:

    (a)

    (b)

    (c)

    , respectivamente. Hallar A

    A= +

    2. Dadas las matrices A= +, B= ,, C=

    ,Determinar el rango de cada una

    Sol rang (A)=rang (B)3rang( c )=2

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    3. Dadas la matrices: A= +y B= ,

    Determinar la transpuesta de cada matriz

    4. Hallar una matriz escalona reducida por filas R que sea equivalente por filas a la matriz Adonde (a) A= +(b) A= + (c) A= +

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    5. Hallar una matriz escalonada reducida por filas B que sea equivalente a la matriz A, y unamatriz P tal que: B=PA, donde A=

    +

    6. Dadas la matrices A= + y B= +

    Demostrar que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B

    7. Dadas las matrices A=(

    ) y B=

    Determinar a. (A+B) b. A*B

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    8. Determinar a. A=

    b. A=

    +

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    c. A=

    9. Dadas las matrices A= +y B= +

    Verificar se A~B. En caso afirmativo, determinar una matriz P inversible P tal que B=PA

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    10. A es equivalente por filas a la matriz B?.en caso afirmativo, determinar una matriz Pinversible

    tal que B=PA, donde + +

    Sol.

    Verdadero

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    a. Calcular

    b. Inducir una ley para, (no demuestre)

    13. Hallar el conjunto de las matrices que conmutan con

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    20. Sean A, B matrices cuadradas del mismo orden tal que : A.B = b.A Demostrar que:

    (An, m N):

    21. Sea A inversible. Demostrar que es inversible y que (

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    c. Sea D= +. Escribir D n funcin de B y C y encuentre la matriz (justifique)

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    4. Demostrar que (x) es un polinomio en x, y encontrar sus races, si:

    a.

    S =

    b.

    Races:

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    h.

    7. Calcular , sabiendo que,

    8. Sabiendo que 1313, 871, 2223, 325, son divisibles por 13y sin desarrollar el determinante,

    pruebe

    es divisible por 13.

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    c. Hallar A=P.J.

    d. Calcular

    e. Calcular

    22. Dada la matriz A=

    +

    a. Para que valores de R, A es inversible?

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    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

    1. Para qu valores de a R, los siguientes sistemas son equivalentes?

    para a = 3

    2. Dado es sistema homogneo

    , donde

    a. Siempre tiene solucin?

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    b. Tiene solucin nica?

    c. Bajo qu condiciones tiene solucin nica?

    d. Bajo qu condiciones tiene infinitas soluciones?

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    5. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, indicar:

    i. Cuando el sistema tiene nica solucin. Hallar la solucin

    ii. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Hallar la soluciones

    iii. Cuando el sistema no tiene solucin.

    a.

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    b.

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    c.

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    f.

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    7. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales , indicar:

    i. Cuando el sistema tiene nica solucin. Hallar la solucin

    ii. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Hallar las soluciones

    iii. Cuando el sistema no tiene solucin

    a. 5x-3y+3z+4t= 3 b. (+1)x+y+z =14x-2y+3z+7t= 1 x+(+1)+z =18x-6y-z-5t = 9 x+y+(+1)z=17x-3y+7z+17t=

    c. x+ y=2ay+ z=2b d. x + y + z =1

    z + t=2c ax+ by +cz=mx + t=2d

    e. x+ ay- x +by- x +cy-

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    (c)Sean A,B matrices inversibles de orden n, entonces aj(AB)= adj(B).adj(A)

    3. Dadas las matrices P= +y J= + Determinar:

    (a) (b)(c) A=PJ (d)

    4. Dadas las matrices P= +y J= +. Determinar:(a) (b) A=PJ (c)

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    (c)Hallar el coeficiente deen el desarrollo de

    6. Dadas las matrices A= +donde a,b (a)Calcular det(A) Sol 1

    (b)Para qu valores de a b A es inversible?. En esos casos, hallar

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    8. Hallar el valor de los siguientes determinantes:

    (a)

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    (b)

    ([

    ])

    Primero verifique que

    Luego demostrar que

    (c)

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    10. Sea tal que Sea

    (a) Hallar en funcin de A y de I, luego halle

    (b) Hallar en funcin de A y de I, (justificar)

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    1.En el e.v ( a. Enuncie y compruebe la propiedad conmutativa de la suma.

    b. Cules de de los siguientes conjuntos son s.e.v del e.vde R? (JUSTIFICAR)i.

    ii.

    iii.

    2. En el e.v ( a. Enuncie y compruebe la propiedad asociativa de la suma.

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    e. Una base W puede ser un e.v. de W?

    f. dim

    g.

    h.

    i.

    21. Sean S y T subconjuntos de un mismo e.v. V

    a.

    b.

    c.

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    c.

    25. Analizar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos. En caso de ser

    linealmente dependiente, hallar una relacin de dependencia.

    a.

    b.

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    c. }sobre el e.v. ( )

    d. }sobre el e.v. ( )

    e.

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    e. Sea S un conjunto l.i. tal que uS SUes l.i.?

    27. Sea . El campo es Ra) Para qu valores de y , S es l.d.? Hallar una relacin de dependencia en cada caso.

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    b) Para qu valores de y , S es l.i.?

    c) Hallar en cada caso de la parte (2)

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    28. Sea

    un conjunto l.i. de vectores en un V sobre K.

    Sea . Demostrar que: es l.i. si0

    29. Sea . es l.i. si 0

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    30. Sean

    s.e.v. de un e.v. V sobre K, de dimensin finita, tal que : V =

    Demostrar que:

    Si son l.i. Entonces }es l.i.

    31. Demostrar que:

    ( ) : es l.i. si ( ):

    D es el dominio comn de las n funciones.

    32. Sean dos s.e.v. de y la base cannica de Sea Sea a) Hallar las ecuaciones generadoras de

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    ) Determinar

    33. Sea S es base de ?

    34. Sea S es base de?

    35.Sea un s.e.v del e.v Determinar una base de W, diga su dimensin.

    36. Sea un s.e.v de Determinar una base de W (donde )

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    37.Sea un espacio vectorial de Calcular una base de W

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    38. a) Demostrar que M es un s.e.v. de

    . Hallar una base de este s.e.v. y diga su

    dimension

    b) Demostar que : A es invertible.Hallar la inversa de A

    c) La matrizpertenece a M?. En caso de que sea falso, qu condicon hay queaadir sobre p y q para que

    pertenezca a M?

    d) Sea N= N es un s.e.v. de M?

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    39. Sea W= a.) Para que valores de W es un s.e.v. vectorial de e.v. b) Para los valores de a para cuales W es un s.e.v. dar una base

    40. Dada la matriz A=

    +Determinar s.e.v. de menor dimension de que contiene a todas lasmatrices I, A,,...,,....Dar una base y diga su dimension

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    41. Sea W= {p(x) P*x+/p(x)=abx-bx+(2-b)x,a,b R- un s.e.v. de P*x+

    a) Calcular una base B para W y diga la dimensin de W

    b) Dar una base e.v. P*x+ talque contenga la base B

    42. Sea W,W2dos s.e.v. de R4y {e1,e2,e3,e4} La base cannica de R

    4.

    Sea W1=, W2=

    Determinar WW2 y diga su dimensin

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    EJERCICIOS ADICIONALES

    1. Consideremos con las siguientes operaciones: : xy = x.y. el productos usual de R

    2. Sea V el e.v. de las funciones reales sobre el campo de los reales. Cules de los siguientessubconjuntos son s.e.v. de V? (justificar)

    3. Cules de los siguientes conjuntos son s.e.v. de (justificar)

    || || | | | | || +

    4. Cules de los siguientes conjuntos son s.e.v. del e.v. de las matrices sobre el campo R?(justificar)

    | | | | }

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    } 5. Analizar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos. En caso de ser

    I.d., Hallar una relacin de dependencia

    }

    +

    +

    +

    6. Sea un conjunto l.i. de vectores en un e.v. (V,K,,). Sean elementos de K. Demostrar que: es l.i.

    7. Si es l.i. en un e.v. V sobre un campo K, entonces demostrar que }

    es l.i.

    8. En los casos en que W sea un s.e.v. de V sobre R, Hallar una base y diga su dimensin

    * 9. Sea , un subconjunto de En el e.v.

    ( responder:

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    a) Para qu valores de Hallar una relacin de dependencia en cadacaso.

    b) Para qu valores de c) Hallar y sus perspectivas bases, en cada caso de las partes a) y b)

    10.Sea a) Demostrar que W es un s.e.v. del e.v. b) Calcular una base para W, y diga su dimensinc) Encontrar un s.e.v.

    11.Dada la matriz A = +Encuentre el menor s.e.v. de ( que contiene a todas las matrices I, A,,, Dar una base y diga su dimensin

    12.Sean

    y

    a) Analizar si b) Si c) d)

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    PRODUCTO INTERNO

    1. En el e.v. ( se define:(p(x)/q(x)) = p(0)q(0) + p(1)q(1)+p(-1)q(-1)Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en el e.v. (

    2. Sean , elementos del e.v. (, .Se define

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    ,

    ,. Demostrar que (/) defien un p.i.

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    3. Sean u, v V e.v. con p.i. (/) sobre

    .

    a. Si 0?

    b. Si es l.d. ?

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    4. Sea (V,K,+,..) un e.v. con p.i. (/)

    a. Sean elementos del e.v. entonces:

    b. Si son ortogonales

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    e) Sea elementos del e.v. sobre Si (/) es un p.i.?

    6. En el e.v. () con el p.i. (/) usual:a. Si un s.e.v. del e.v. , dar una base Bortonormal para W.

    b. A partir de B completar una base ortonormal para todo el e.v.

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    7. Sobre se define el p.i. (/) de la siguiente manera: a. Sea Calcular 0}b. Calcular una base B para (indique la dimensin de ).c. Hallar una base ortonormal para d. A partir de construir una base ortonormal para todo el e.v. .e. ?

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    b. B es una base para dicho e.v.?

    c. Ortonormalizar la base

    10. a. Para el e.v. () Determinar una base B de tal manera que en esta base:el vector coordenado de sea (1,1,1)el vector coordenado de sea (2,0,2)el vector coordenado de

    sea (0,0,1)

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    b. A partir de la Base B, usando el p.i. usual (/) del e.v. . Calcular una base ortogonal para estee.v.

    c. Calcular las coordenadas de los vectores en la base ortogonal. Las coordenadas deestos vectores siguen siendo ortogonales?

    11. Sean el e.v. con un p.i. (/) y q

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    En los casos, en los cuales sea posible, encontrar una base ortogonal para W y extiende a una base

    ortogonal para

    14. Sobre Se define (p(x)/q(x))= a) Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en

    b) Sea r(x)= . Calcular

    c) Halle una base B para (indique su dimensin).

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    14. Sobre V = a) Demostrar que (/) define un producto interno (p.i.) en .

    b)

    c) Halle una base B para (indique su dimensin)

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    d) Hallar una base B ortonormal para

    e) A partir de B, construir un base ortonormal para todo el e.v.

    15. Dados los s.e.v. del e.v. con el producto interno definido por: (A/B) =Tr (A.B)?a)

    b)

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    5. dele.v. ((a) Una base B para el s.e.v.

    (b)

    6. el conjunto de las matrices simtricas de orden 2(a) Demostrar que W es un subespacio vectorial del espacio vectorial (

    (b) Hallar una base B de W

    (c) A partir de la base B completar una base del e.v. (

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    (b) Un subespacio vectorial

    (c) Una base ortogonal B de que contenga a la base

    11. Dado el conjunto Hallar el subespacio vectorial generado por

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    (d) , donde x es el producto vectorial de

    (g)

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    11. Sea f la aplicacin proyeccin de un punto de sobre un plano Hallar f tal que = y demostrar que f es lineal.

    12. Sea f la aplicacin proyeccin de un punto sobre un plano Halle f tal que = y demostrar que f es lineal.

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    17. Puede existir alguna aplicacin lineal f de en tal que:f(1,0)=(4,2,0);f(0,1)=(-1,0,0),f(2,3)=(2,3,4)

    En caso afirmativo, determinar f.

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    (e)

    (f)

    2. a. f es inyectiva? b. f es sobreyectiva?

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    (b) El subespacio vectorial Img f.

    (c) El subespacio vectorial

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (d) Bases para el y la Img. f.

    10. Sea L

    (a) Determinar el ncleo de f.

    (b) Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2) Hallar el plano.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (c) Sea (r,s,t) Img (f). Demostrar que es una rectaparalela al ncleo. El vector director de la recta es (0,1,1)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    11. Sea L (a) Determinar una base del ncleo de f.

    (b) Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2). Hallar el plano.

    (c) Sea (2,-3,-1) Img(f). Demostrar que

    es una

    recta paralela al ncleo.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    12. Sea L

    Determinar:

    (a) La aplicacin lineal f.

    (b) El subespacio vectorial Img. f.

    (c) El subespacio vectorial .(d) Bases para el y la Img f.

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    13. L tal que, (a) Determinar una base para el (b) Indicar cul es la dimensin de la Img. f.

    14. Sean L . Dar un ejemplo para mostrar que no son iguales.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    15. SeanL y L . Si Se puede concluir que g es la inversa def?

    16. SeaL . Tal que, (a) Determinar el ncleo de f.

    (b) Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2). Hallar el plano.

    (d) Sea (-1,1,2) Img(f). Demostrar que

    es una recta paralela

    al ncleo. Escriba la ecuacin paramtrica de la recta.

    17.Sean f L ( ) y g:no lineal. Se puede concluir quees no lineal?

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    18.Sea f L ( ) tal que f(A)=A+?(a) Determinar el ncleo de f. Dar una base de este s.e.v. y diga su dimensin.

    (b) Determinar la imagen de f. Dar una base de este s.e.v. y diga su dimensin.

    APLICACONES LINEALES Y MATRICES

    1. Determinar la aplicacin lineal f asociada a +. Hallar f(1,-1,3)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    2.Determinar la aplicacin lineal f asociada a +. Hallar f(2,1,-2)

    3.Sea f L ( ) tal que f (x,y)=(x+y;2x-y;3x+2y)Determinar la matriz asociada a f respecto a las bases cannicas

    4.Sea f L ( ) tal que, f (a + b.t + c.) =ac + (b + c) t.Determine la matriz asociada a f respeto a las bases cannicas.

    5. Sea f L ( ) tal que f(1,0,0)=(0,1,2); f(0,1,0)=(0,3,3);f(0,0,1)=(0,0,0).

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    Determine la matriz asociada a las aplicaciones lineales: .

    6. Sea f L ( ) tal que . Determinar

    7. Sea f L ( ) tal que ,f(1,1,0)=(0,1,1); f(1,0,1)=(2,-1,2); f(0,1,1)=(1,2,1)Sean , Determinar:

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    8.Sea f L ( ) tal que, =

    +, donde:

    +

    +

    +.Hallar f.

    9.Sea f L () tal que, f(a + b.t + c.)= a c + (b +c) t.Determine la matriz asociada a f respecto a las bases y , donde:

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    10.Sea f L ( ) tal que f(A)=A-. Determinar la matriz asociada a f respecto a labase cannica.

    11.Sea f L ( ) tal que, f(0,1,1)=(2,3) , f(1,0,1)=(-1,1) y f(1,1,0)=(0,-2)Sean, + + + y . Bases de respectivamente.Determinar: ,

    Sean B= {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} y C (bases cannica) dos bases de Determinar las matrices de transicin de B a C

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    158/213

    13. +

    a. b.

    14. Sea tal que la matriz asociada a f respecto a las bases cannicas es

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    + (a)(b)

    (c)

    15. *

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    16.

    +

    17. +

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (a) f es biyectiva?(b)

    18. Dadas las bases Hallar la matriz de transicin (cambio de base) de B a S,

    +

    19.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    162/213

    Dadas la bases a. Hallar la matriz de transicin (cambio de base) de B a S,b. Calcular

    20.

    a.

    b. c. (i). (ii)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    163/213

    21. Determinar:

    (a) f Sol. f (a, b) = (a, b) + (a + b).t(b) f(2,3) Sol. (b) = f(2,3) = -1 +5t(c) Si f es inversible, hallar (c) Si(a+b.t) = ((a+b)/2,(-a+b)/2)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    22. Sea +

    +

    +

    + +

    23. Dadas las bases

    + + +

    + a.

    Sol. f(a+ bt + cb. f(1+t+2 Sol. (-3,1,-12)c. Sol. (-7,-5,4)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    24. Sea

    ,

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    28. + +

    + +

    (a) Demostrar que A =y B= son matrices semejantes(b) Hallar Sol. + +

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    PROBLEMAS DE PRUEBAS Y EXAMENES

    1. Sean los espacios vectoriales y

    2. Cules de las siguientes funciones son aplicaciones lineales? (justificar)En caso afirmativo: f es biyectiva?, Hallar (a) f(a,b,c) = a + 2b + (a.c)t de en

    (b) f(x,y) = (x , |x| + y ) de

    en

    (c) f(a + bt + c+ d) =

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    3. Sea f L (

    ) tal que f(x,y,z)=(2x-y,y+z,2x+z)

    (a) El vector (-1,-2,2)N(f)?

    (b) El vector (1,2,3)Img(f)?

    4. Sea f L ( ) tal que, (a) Hallar N(f) y una de sus bases, diga su dimensin.

    (b) Hallar Img(f) y una de sus bases, diga su dimensin.

    5. Sea f:

    tal que f(x,y)=(x , xy), donde es una constante fija.

    (a) f es una aplicacin lineal? (justificar)

    (b)Para qu valores de R (si existen), f es una aplicacin lineal? Hallar f.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (c) Si existe f lineal, hallar el ncleo e imagen de f

    6. Sea f:una funcin.(a) Existe alguna aplicacin lineal f tal qu f(1,1,1)=(1,1,0); f(0,1,1)=(0,-1,1),f(1,0,1)=(2,1,1)?En caso afirmativo, hallar:

    , ,,.Donde es la base cannica y B=+ +

    +

    (b) Hallar explcitamente f

    (c)Hallar la base para y la Img (f)

    7. Sea f L ( ) tal que f(x ,y ,z ,t)=(x +y -t; x - z + t; x +2y +z -3t)(a) Hallar el y la Img (f)

    (b) Diga la dim ( y la dim (Img (f))

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    8. Si = .Hallar explcitamente f, si

    y

    9. Sea f L ( ) tal que es una base de la Img (f).(a) Hallar f(x,y)

    (b) Hallar otra base para la Img (f)

    10. Sea f: tal que + +

    + +

    + +. Siendo f lineal:

    (a) Por qu f est determinada?

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (b) Halle f explcitamente

    (c) Halle una base para el y la Img (f)

    11. Sea f: lineal, si se sabe que + +

    + +

    + +.

    (a) Determinar f

    (b) Hallar

    12. Sea f:

    , tal que

    +

    .

    (a) Hallar los valores de R para que f sea biyectiva

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (b) Si =1, f es biyectiva? En caso afirmativo, hallar

    (c) Para el caso en que f no sea biyectiva, halle el ncleo y la imagen de f, y las bases de estoss.e.v.

    13. Sea f L ( ) tal que, +. Sean las bases de : +

    + +y

    + +

    +(a) Halle

    (b) Si +. Halle el vector v

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    14. + +

    +

    +(a) +

    (b) Ncleo e imagen de f y sus bases y dimensiones de estos s.e.v. }

    15. (a) Demostrar que f es biyectiva

    (b)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    16. +

    17. + + + +

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    18.

    + + + (a) (b) (c) +

    + +

    19.

    + + + (a) Determinar explcitamente f

    (b) Los vectores (-2,4,-2) y (2,0,1) pertenecen al ncleo de f? S:No

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    (c) El polinomio (-3+2t) Img (f)?

    20.

    21. (a) Hallar el ncleo de f y diga su dimensin

    (b) Verificar que imagen de f es un plano dim (Img f)=2

    (c) Determinar la ecuacin del plano Img (f) =

    (d)

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    22.

    (a) (b)

    23. (a) Demostrar que f es aplicacin lineal

    (b) Demostrar que f es biyectiva

    (c)Hallar

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    VALORES Y VECTORES PROPIOS

    1. propio de A = +? en caso afirmativo, cual es elvector propio asociado a ?

    2. Determinar los valores y vectore propios de la alpicacion linela f, definida por:F(x,y) =(x+y; -x+y)

    3. v= (-2,3) es vector propio de A= ? Cual es el valor propio a v?

    4. v= (1,-1,-1) es vector propio de A = +? Cual es el valor propio?

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    5. = 0 es el valor propio de A= ? Cual es el vector asociado a ?

    6. v= (2 + i, 1) es vector propio de A = ? Cual es el valor propio?

    7. V= es vector propio de la matriz A= ?

    8. Si = +es vector popio de la matriz A= +. =

    +es vectorpropio de A?

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    9. Sea A= .= 1+i es valor propio de A?

    10.Sea A= . = es valor propio de

    11.Sea A= . Determinar el subespacuio vectorial propio asociado a cada valorpropio?

    12.Sea A= +. Determinar una bases ortogonal de cada subespaciovectorial propio

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    13.Hallar x,y,z,r,s,t y tal que son vectores propios de A asociados a los valorespropios . Donde A= +, =

    +Ojo Falta

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    19. Demostrar que los valores propios de una matriz nilpotente son nulos.

    20. Demostrar que los valores propios de una matriz idempotente son 0 o 1.

    21. Demostrar que los valores propios de AB y BA son los mismos (A y B de orden n). Cules sonlos vectores propios de AB y BA?

    22. Sea f L ( ) tal que + + + + + +.Determinar los valores y vectores propios de f

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    23. Sea a. Para qu valores de la matriz A tiene valores propios reales?

    b. Demostrar que para 0

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    ii. Trazas iguales

    27 Sea f L ( ).a. Sea P(t) , un valor propio de p(f).b. Si v es un vector propio de f unitario, asociado al valor propio . Demostrar que,(v/Av)= y =

    28. Determinar el polinomio caracterstico de +

    29. Sea f L ( ) tal que (es fijo; x es el producto vectorial). Hallar losvalores y vectores propios de f

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    30. Dada la matriz +a. Escriba el polinomio caracterstico de A

    b. Determinar los valores y vectores propios de A

    c. Indicar las multiplicidades algebraicas y geomtricas de cada valor propio.

    31. Dada la matriz +a. Escriba el polinomio caracterstico de A

    b. Determinar los valores y vectores propios de A

    c. Indicar las multiplicidades algebraicas y geomtricas de cada valor propio.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    32 Dada la matriz +a. Escriba el polinomio caracterstico de A

    b. Determinar los valores y vectores propios de A

    c. Indicar las multiplicidades algebraicas y geomtricas de cada valor propio.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    187/213

    33. Dada la matriz, A= ,Determinar los valores y vectores propios de A

    MATRICES SIMETRICAS

    1.

    ,

    a. Calcular el polinomio caracterstico de A

    b. Calcular los vectores propios de A

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    c. Determinar una base ortonormal para formada por vectores propios de A

    2. Demostrar que:a. Si A es una matriz simtrica y P() su polinomio caracterstico, entonces P(A) es una

    matriz simtrica

    b. Si los valores propios de una matriz antisimtrica son reales, entonces son cero.

    c. Si A es diagonalizable y son valores propios de A, entonces Tr() =

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    189/213

    d. Si P() es el polinomio caracterstico de A, entonces

    e. Si A y B matrices semejantes, A es diagonalizable si B es diagonalizable

    3. Demostrar que las matrices A= +

    y D =

    +son semejantes

    Cules son los valores propios de A?

    4. Dada la matriz A= a. Hallar los valores y vectores propios de Ab. A es diagonalizablec. Hallar una matriz D diagonal semejante a A y una matriz P tal que A=PDd. Hallar

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    190/213

    5. Dada la matriz A=

    ,

    a. Hallar los valores y vectores propios de AA es diagonalizable

    b. Hallar una matriz D diagonal semejante a A y una matriz P tal que A=PDc. Hallar

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    191/213

    6. Se define las sucesin de Fibonacci de las siguientes manera:

    a.

    b. c. Hallard. Hallar el valor de

    Falta

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    192/213

    16. Determinar:

    (i)Los valores y vectores propios de A. Si A es diagonizable, hallar:

    (ii)Una matriz D diagonizable semejante a A

    (iii), con n N(a) Donde A = (

    (b) Donde

    +

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    193/213

    (c) Donde

    ,

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

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    EJERCICIOS ADICIONALES:

    1. Sea la matriz , donde A e I son matrices de orden n. Si ,,son los valorespropios de A, entonces los valores propios de B son

    ,..,

    2. Dada la siguiente matriz: , ( . Determinar:a. El polinomio caracterstico de Ab. Los subespacios propios y diga sus dimensiones.

    3. (). Denostar que |

    |

    4. Dada la matriz, a. Hallar los valores y los vectores propios de A.

    b. Demostrar que para el valor propio mximo, existe un vector propio tal que, x,y tal que , x + y = 1.

    c. Comprobar que A es diagonizable t escribir la representacin diagonal D de A.

    Escriba la matriz de paso P y d. Determinar Qu se puede decir de los vectores columnas de esta matriz?5. Dada la matriz,

    *, donde ,

    y 1

    a. Halle los valores propios de A.

    b. Demostrar que para el valor propio mximo, existe un vector propio tal que, x,y tal que , x + y = 1.

    c. Comprobar que A es diagonizable t escribir la representacin diagonal D de A.

  • 8/12/2019 LIbro de Cuevas Navas y Toro

    195/213

    Escriba la matriz de paso P y d. Hallar Qu se puede decir de los vectores columnas de esta matriz?PROBLEMAS DE PRUEBAS Y EXAMENES

    1. Sea f L () y B = base de . Si +(a) Halle f (p (t))

    (b) Halle los valores y vectores propios de f

    2. Dada f L ( ) tal que (a) f es diagonizable?

    (b)Si f es diagonizable halle la base B que diagonaliza f

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    (c) Halle las matrices D y P tal que D =

    .A.P es diagonal.

    3 Sea A (R) tal que los valores propios de A son -3 y 3 y los vectores propios de A son y respectivamente. Hallar A.

    4. Dada la matriz A=

    +(a)Hallar los valores y vectores propios de A

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    (b) Hallar una matriz ortonormal P tal que D=AP es una matriz diagonal

    5. Dada la matriz A= +Hallar valores y vectores propios de A A es diagonalizable?

    6. Sea A=tal que (a) Hallar los valores y vectores propios de A

    (b) Hallar una matriz ortogonal P tal que D=AP es diagonal

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    7. Dada la matriz A = ,Determinar:

    (a) El polinomio caracterstico de A y sus races

    (b) Los vectores propios de A

    (c) Una matriz ortogonal Q tal que D=.A.Q sea diagonal

    GEOMETRA

    SISTEMAS DE REFENCIA

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    1. Sea el espacio afn sobre el espacio vectorial un sistema de referenciade , donde O= y B= Determinar las coordenadas del punto P=

    respecto a . Hacer un grfico para ilustrar

    esta situacin

    2. Dado el sistema de referencia, = en el espacio afin Si

    3. Dado el sistema de referencia = .Dada la recta L que pasa por los puntos , con direccin desde P hacia Q-

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    Determinar la ecuacin de L en el sistema de referencia

    4. Sea el sistema d referencia,

    + +

    ++ Dado el plano que paso por los puntos

    . Determinar la

    ecuacin deen el sistema de referencia

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    5. Dado el sistema de referencia, en el espacio afn a. Determinar la traslacin de P respecto a v en Cb. Determinar la traslacin de P respecto a v en

    6. Dada la ecuacin de la recta L:x+y-4=0 en el sistema cannico.Determinar la ecuacin paramtrica y general de L en el sistema de referencia

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    Falta

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    17. Determinar las ecuaciones de todas las rectas en que pasan por la interseccin de:3x+y-9=0 y 4x-3y+1=0 y cuya distancia al origen es 2.

    CONICAS

    1. Daterminar una matriz ortogonal P que reduzca a la forma cuadrtica:

    Q(x)=9

    +24xy+16

    a una forma diagonal. Escribir la forma diagonal.

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    2. Dada la cnica representada por la ecuacin: 9+24xy+16-20x+15y=0(a) Determinar la ecuacin cnica de la cnica.

    (b) Escribir el sistema de referencia, en el cul se tiene la ecuacin cannica de la cannica.

    (c) Representar grficamente la cannica.

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    3. Dada la cnica representada por la ecuacin: 2xy+2x+1=0(a) Determinar la ecuacin cnica de la cnica.

    (b) Escribir el sistema de referencia, en el cul se tiene la ecuacin cannica de la cannica.

    (c) Representar grficamente la cannica.

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    4. Dada la cnica cuya grfica esta dada por la ecuacin: --2x+4y=4(a) Determinar la ecuacin cnica de la cnica.(b) Escribir el sistema de referencia, en el cul se tiene la ecuacin cannica de la cannica.

    (c) Representar grficamente la cannica.

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    5. Dada la cnica cuya grfica esta dada por la ecuacin: 9+16+54x-32y=47(a) Determinar la ecuacin cnica de la cnica.

    (b) Escribir el sistema de referencia, en el cul se tiene la ecuacin cannica de la cannica.

    (c) Representar grficamente la cannica.

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    6. Dada la cnica cuya grfica esta dad por la ecuacin: (a) Determinar la ecuacin cannica de la cnica(b) Escribir el sistema de referencia, en el cual se tiene la ecuacin cannica de la cnica(c) Representar grficamente la cnica

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    7. Dada la cnica cuya grfica esta dada por la ecuacin: (a) Determinar la ecuacin cannica de la cnica(b) Escribir el sistema de referencia, en el cual se tiene la ecuacin cannica de la cnica(c) Representar grficamente la cnica

    Sol. (La grfica son dos rectas paralelas entre si)

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    PROBLEMAS DE PRUEBAS Y EXAMENES

    1. Dadas las rectas, (a) El punto simtrico de

    (b) La distancia entre P y la recta

    2. Dado el cuadriltero de vrtices (a) Hallaar la ecuacin de larecta L que pasa por los puntos medios A y B de los segmentos

    (b) Prueba que la recta L es paralela a la recta que pasa por S y R

    (c) Pruebe que la longitud del segmento es igual a la semisuma de las longitudes de lossegmentos

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    3. Sea el sistema de referencia la recta en el sistema : 2x-y+1=0

    (a) Hallar la ecuacin de la recta en el sistema

    (b) Si P =

    4. Sean, el sistema de referencia (a) Hallar la ecuacin general de la recta L que pasa por P y Q en el sistema de referencia

    (b) Hallar la ecuacin general de la recta L en el sistema de referencia cannico

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    5. Sea el sistema de referencia donde = y C es base cannuica

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