LIBRO DEL DOCENTE 71

7.º 1.º

LIBRO DEL DOCENTE

Claudia Broitman Horacio ItzcovichAndrea NovembreMónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

El libro de Mate 7.°/1.°. Libro del docente es una obra colectiva,

creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones

Santillana, bajo la dirección de Graciela M. Valle, por el siguiente equipo:

Coordinación general: Claudia Broitman

Coordinación pedagógica: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich

Lectura crítica: Andrea Novembre

Autores: Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Héctor Ponce e Inés Sancha

Editora: Laura Spivak

Jefa de edición: María Laura Latorre

Gerencia de arte: Silvina Gretel Espil

Gerencia de contenidos: Patricia S. Granieri

ÍNDICE

I. Enfoque didáctico de El libro de Mate 7.°/1.° .......................... III

II. El uso de recursos tecnológicos ............................................... V

III. Organización de la enseñanza prevista en este libro ........... X

IV. Problemas más fáciles y problemas más difíciles

que los de cada capítulo............................................................... XV

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Diseño de maqueta: Mariela Santos y Silvina Gretel Espil.

Diseño de tapa: Mariela Santos y Silvina Gretel Espil.

Diagramación: Mariela Santos.

Corrección: Luciana Sosa.

Ilustración: Juan Noailles, Getty Images / DigitalVision Vectors.

Documentación fotográfica: Carolina S. Álvarez Páramo y Cynthia R. Maldonado.

Fotografía: Archivo Santillana, Freepik, Getty Images: iStock / Getty Images Plus.

Preimpresión: Marcelo Fernández y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Paula M. García.

Producción: Elías E. Fortunato y Andrés Zvaliauskas.

La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el siguiente equipo:

Este libro se terminó de imprimir en el mes de XXXXXXXX, en XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.

El libro de mate 7 : libro del docente / Claudia Broitman... [et al.]. - 1a ed.- Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Santillana, 2020. 176 p. ; 28 x 22 cm.

ISBN 978-950-46-6090-3

1. Matemática. 2. Educación Secundaria. I. Broitman, Claudia. CDD 510.712

© 2020, EDICIONES SANTILLANA S.A.

Av. Leandro N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad

Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN: 978-950-46-6090-3

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.

Impreso en Argentina. Printed in Argentina.

Primera edición: agosto de 2020.

Este libro no puede ser reproducido total ni

parcialmente en ninguna forma, ni por ningún

medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia,

microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema

mecánico, fotoquímico, electrónico, informático,

magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier

reproducción sin permiso de la editorial viola derechos

reservados, es ilegal y constituye un delito.

Esta publicación fue elaborada teniendo en cuenta

las observaciones del Instituto Nacional contra la

Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (Inadi)

surgidas en encuentros organizados con editores de

libros de texto.

Para facilitar la lectura, y sin intención de promover

el lenguaje sexista, esta publicación utiliza el género

masculino para designar a todos los elementos de una

clase.

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En este apartado compartiremos algunas ideas sobre la enseñanza de la Mate-

mática que fundamentan las decisiones adoptadas para la elaboración de este libro.

Los problemas en las clases de Matemática

Los problemas componen la base del trabajo matemático, permiten proponer

nuevos desafíos y, durante cierto tiempo, se constituyen en objeto de estudio. Se

parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevas y va-

riadas situaciones que promuevan procesos constructivos a partir de la exigencia

de poner en juego relaciones que pudieran estar disponibles. Este proceso requiere

elaboraciones y reelaboraciones sucesivas –individuales y colectivas– que pueden

propiciarse desde la enseñanza apuntando al establecimiento de relaciones entre

los conocimientos de los alumnos, los nuevos que se van produciendo durante las

clases y los saberes propios de la Matemática.

Para que los alumnos puedan continuar construyendo ideas acerca del trabajo

matemático, ampliar a nuevos sentidos y recursos sobre los conocimientos estudia-

dos en años anteriores y, simultáneamente, producir relaciones, propiedades y con-

ceptos nuevos, precisan enfrentarse a situaciones que les presenten cierto grado de

dificultad, en las cuales sus conocimientos no resulten suficientes. La complejidad

de los problemas ha de ser tal que a los alumnos no les resulte cómodo su abordaje,

pero a su vez debe permitirles imaginar y desplegar formas de resolución o explo-

ración. Es esperable que las estrategias utilizadas inicialmente no sean ni expertas ni

muy económicas, pero constituirán el punto de partida para la producción de nuevos

conocimientos.

Por lo general, al hablar de problemas, se piensa en enunciados verbales con

preguntas que requieren de un cálculo o una técnica ya conocida para poder arribar

a la respuesta. Pero otras prácticas también pueden constituirse en problemas, por

ejemplo: explorar diferentes maneras de resolver un mismo cálculo, interpretar pro-

cedimientos diferentes a los propios, determinar la validez de ciertas afirmaciones,

determinar medidas de elementos de una figura sin medir, anticipar si será posible

realizar una determinada construcción geométrica apelando a propiedades de las fi-

guras, analizar la cantidad de soluciones que podría admitir un problema, interpretar

una demostración o una explicación, establecer relaciones entre diferentes técnicas

o formas de representación, anticipar la amplitud de un ángulo sin medir, estimar

un resultado, interpretar qué informaciones ofrecen diferentes representaciones. En

el tratamiento de los diversos contenidos se ha buscado presentar una variedad de

tipos de problemas que incluyen, entre otros, los ejemplos mencionados.

En los capítulos de este libro se propone la resolución de una colección de si-

tuaciones relacionadas entre sí. Se busca que los alumnos puedan poner en juego

sus conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o no con-

vencionales– y a la vez ponerlos a prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos.

Un trabajo sostenido en torno a ciertas cuestiones asociadas favorece la reflexión y

reorganización de estrategias de resolución, permite volver sobre las relaciones que

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se identificaron o establecieron en clases o en problemas anteriores, habilita a aban-

donar ensayos erróneos y a intentar nuevas aproximaciones.

Además de volver sobre un mismo tipo de situaciones con nuevas herramientas,

es necesario que los estudiantes se enfrenten a nuevos problemas que amplíen los

sentidos del conocimiento que se está tratando. Es así como se van incorporando

progresivamente ciertas variaciones que agregan nuevos desafíos, y aquellas cues-

tiones que inicialmente se resuelven con estrategias menos avanzadas podrán re-

solverse con recursos más adaptados, convirtiendo –a través del estudio de dichos

problemas– lo novedoso en conocido.

Características de la actividad matemática que se busca propiciar

Además de la resolución de diferentes tipos de problemas y de la reflexión sobre

recursos, técnicas, relaciones y representaciones elaboradas para su resolución, hay

otras marcas del trabajo matemático que se han considerado para la elaboración de

este libro. Con frecuencia, en la resolución de un problema, un primer intento no

siempre conduce a “buen puerto“. Es necesario realizar varios ensayos, identificar en

qué consisten los errores que impiden arribar a la solución, buscar cierta informa-

ción que puede estar involucrada en el trabajo que se propone y no fue considerada,

etc. Este proceso implica ir tomando conciencia de los efectos de las decisiones in-

volucradas en la resolución y de la necesidad de empezar a sistematizar la búsqueda.

Para posibilitar tanto la exploración como la sistematización por parte de los

estudiantes, es central el doble rol del docente: por un lado, alienta el momento de

búsqueda habilitando a los alumnos a recurrir a diversas estrategias, pero en otros

momentos propone analizar los ensayos realizados, discutir a partir de los errores

producidos, sistematizar los recursos que aparecieron, organizar los nuevos cono-

cimientos elaborados, presentar vocabulario, formas de representación o nuevas

relaciones. Se trata de propiciar un ida y vuelta entre los procesos de exploración y

los procesos de reflexión de manera tal que se alimenten recíprocamente.

Durante la exploración de un problema nuevo es esperable que los alumnos realicen

dibujos, representaciones gráficas o simbólicas, y que utilicen cálculos, diagramas, etc.

Estas formas de representación conforman parte del desarrollo del trabajo. El docen-

te podría alentar a sus alumnos a elaborar representaciones propias, aun cuando sean

poco adaptadas a la situación que se trata de resolver. También podría proponer un

análisis de esas formas de representación y la discusión sobre su fertilidad, pertinencia

y validez. Avanzar sobre las formas de representación es uno de los aspectos que se

espera promover en el proceso de estudio de un concepto. Es parte de la tarea docente

ofrecer, si resulta conveniente o necesario, otras formas de representación para que los

alumnos puedan incorporarlas progresivamente. Se trata de establecer relaciones entre

las formas de representación que ellos elaboraron y las producidas por las matemáticas.

Parte de lo que se pretende que asuman los alumnos como actividad matemá-

tica está asociado a determinar la validez de lo que se produce. En este sentido, se

apunta a generar en la clase un tipo de trabajo matemático en el que los alumnos

puedan hacerse cargo, por sus propios medios, de la validez de los resultados que

encuentran y de las relaciones que establecen, abonando así al despliegue de un

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trabajo cada vez más autónomo. En este sentido, es un objetivo que los alumnos

puedan despegarse de la mirada del docente en cuanto a si está bien o si está mal lo

producido. Se trata de instalar como parte del trabajo del alumno la responsabilidad

de verificar si lo realizado es pertinente o no, mediante diferentes recursos. Este

aspecto es, quizás, el más complejo de tratar en el desarrollo de las clases.

En ciertas situaciones se propone corroborar algún resultado apelando a recursos

tecnológicos. En otras oportunidades los alumnos podrán constatar sus anticipacio-

nes, verificando de manera más empírica (probando, construyendo, calculando, mi-

diendo). Pero se apunta a poner en el centro del trabajo matemático la elaboración

de argumentos o fundamentos apoyados en relaciones matemáticas que permitan

establecer la validez de los resultados alcanzados. Convocar a los alumnos a desa-

rrollar procesos de validación fomenta la autonomía intelectual.

Simultáneamente a la adquisición de conocimientos que les permitan dar cuenta

de la validez de los resultados obtenidos, se busca que los alumnos puedan involu-

crarse en la determinación de los alcances de los recursos y resultados que se van

obteniendo. Es decir, inicialmente pueden determinar la validez de una afirmación o

de un cálculo específico en función de un problema o de un contexto particular. Se

tratará entonces de promover la reflexión hacia el carácter más general de ciertas

ideas que han circulado, estableciendo reglas válidas para cualquier caso.

Otro tipo de tarea que se propone en este libro –y que forma parte de la acti-

vidad matemática que se intenta propiciar– involucra la posibilidad de establecer

relaciones entre conceptos que, aparentemente, no tienen vínculo entre sí, o no

es evidente a los ojos de los alumnos. Con la intención de explicitar esas relaciones

–por ejemplo, entre medida y proporcionalidad, entre proporcionalidad y fraccio-

nes, entre área y multiplicación– se proponen diferentes momentos de trabajo en

los cuales algunos conocimientos que ya han sido abordados, que han circulado y

que los alumnos tienen en cierta forma disponibles, puedan comenzar a funcionar

de manera simultánea para tratar nuevos problemas.

II. El uso de recursos tecnológicos

En varios capítulos de este libro se propone que los alumnos apelen a recursos tec-

nológicos. Por un lado se propicia el uso de la calculadora para resolver problemas

que requieren varios cálculos o en los que el centro de la actividad propuesta no es el

cálculo sino el análisis de las relaciones involucradas y de las operaciones que resulta

más conveniente realizar. Estas situaciones están identificadas con el ícono y

se acompañan también por este otro ícono , dado que se busca alentar que los

alumnos puedan usar calculadoras de mano, calculadoras de tablets o computado-

ras o, incluso, calculadoras de teléfonos celulares.

En otros casos se propone el uso de la calculadora como medio de verificación

de resultados obtenidos mediante otros recursos, para explorar propiedades de las

operaciones, para indagar acerca de las características del sistema de numeración,

para tratar potencias y raíces, para establecer relaciones entre fracciones y expre-

siones decimales. Estas situaciones están identificadas con los íconos .

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En algunas situaciones se plantea apelar a la calculadora científica. No se busca

que los alumnos dispongan ni adquieran este tipo de calculadoras “de bolsillo“, sino

que puedan explorar en diferentes computadoras y celulares las maneras en las que

se accede a la calculadora estándar y a la calculadora científica.

En esta serie se propone la resolución de problemas geométricos usando dife-

rentes instrumentos de geometría, y también los íconos explicitan cuáles son los

habilitados en cada caso.

En algunos problemas del capítulo de Geometría se sugiere usar el programa

GeoGebra para explorar, analizar y debatir acerca de propiedades de las figuras a par-

tir de situaciones que involucran construcciones. En todos los casos el docente podrá

optar entre que los alumnos resuelvan esos problemas con instrumentos de geo-

metría en una hoja o que apelen al programa GeoGebra. También se propone el uso

de este programa en el capítulo 7, de medidas, al abordar problemas sobre el períme-

tro y el área de figuras. Del mismo modo que para las construcciones geométricas, el

docente podrá optar entre que los alumnos utilicen dibujos en una hoja o que apelen

al programa GeoGebra. Estos problemas, en ambos capítulos, se identifican con el

ícono:

En algunos casos se podrá sugerir su uso para explorar relaciones y para resolver, y

en otros casos, para comprobar si las respuestas obtenidas son correctas.

Del mismo modo que hemos señalado para la calculadora, las situaciones propues-

tas para resolver o comprobar con GeoGebra se acompañan también por estos otros

íconos o , dado que se busca alentar que los alumnos puedan usar el progra-

ma GeoGebra en computadoras, en celulares o en tablets.

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En las computadoras, el programa se puede descargar de manera gratuita del sitio www.geogebra.org.

Hay dos versiones: GeoGebra Clásico y GeoGebra Geometría. Se pueden usar on line o descargarlas. Se

sugiere descargarlas en todas las computadoras que los alumnos y el docente puedan usar.

Si se usa GeoGebra Clásico, será conveniente, para comenzar, solicitarles a los alumnos que ocul-

ten los ejes seleccionando la opción “Geometría“ en la ventana que aparece desplegada al abrirlo.

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Entonces, quedará la página en blanco para trabajar:

(Si se descarga el programa GeoGebra Geometría, este paso no será necesario).

También es posible ocultar los ejes y la cuadrícula haciendo clic con el botón derecho del mouse

para optar por quitar “Ejes“ y “Cuadrícula“.

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Si los alumnos no conocen este programa, resultará necesario promover una

primera instancia de exploración libre en la que podrán trazar figuras variadas e

identificar las herramientas que ofrece. En una segunda instancia se puede proponer

la construcción de un objeto geométrico determinado o copiar una figura recu-

rriendo a diferentes herramientas que provee el programa. Explorarlo será necesario

para enfrentar los problemas que el libro propone.

Una cuestión a analizar son los movimientos que se le pueden asignar a cada

dibujo. Esta novedosa posibilidad que ofrece el programa GeoGebra resulta central a

la hora de tratar de abordar diferentes tipos de problemas: hay objetos que se pueden

mover y otros que no, y al desplazar los llamados “objetos libres“, se mueve el dibujo

construido a partir de dichos objetos, en función de las herramientas utilizadas. Se

pone de manifiesto en este punto una de las características primordiales del programa

que deberá ser analizada en la clase y eventualmente presentada por el docente: una

construcción en GeoGebra se considera correcta si al mover cualquiera de sus ele-

mentos el dibujo no se deforma, dado que permanecen invariantes las propiedades

que caracterizan la figura representada por ese dibujo. Esta exigencia del programa

busca que se preserven las propiedades que definen una figura y requiere que sean

consideradas al construirla. Sin embargo, no es suficiente que el docente comunique

esta característica. Será importante, a lo largo de las clases, mostrar ejemplos de cómo

se deforma una figura que no fue construida a partir de sus características necesarias

y de cómo no se deforma cuando sí fueron consideradas dichas propiedades. Tam-

bién se podrán analizar en las clases construcciones entre todos, y anticipar en cada

caso si se deformará o no se deformará un dibujo construido por los alumnos o por

Si se usara la aplicación GeoGe-

bra Geometría, la pantalla aparecerá

como hoja en blanco y los alumnos

podrán resolver directamente los

problemas propuestos. En cambio,

si se usara la aplicación Calculadora

Gráfica GeoGebra, se deberá acce-

der a “Configuración“ para quitar

los ejes y la cuadrícula. Luego, en

la barra inferior, será necesario se-

leccionar el ícono que contiene un

círculo y un triángulo para acceder

a las herramientas de dibujo.

Calculadora Gráfica

GeoGebra

GeoGebra Geometría

Si los estudiantes usaran celulares o tablets, deberán instalar alguna de las diferentes aplicaciones

de GeoGebra que se ofrecen, por ejemplo, GeoGebra Geometría o Calculadora Gráfica GeoGebra.

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el docente. De esta manera, los estudiantes irán considerando la idea de movimiento

que incorpora el programa GeoGebra, las herramientas utilizadas y su relación con la

pertinencia de la construcción en términos de las propiedades de las figuras.

III. Organización de la enseñanza prevista en este libro

Se proponen diversas modalidades de organización de la clase en función de las

variadas formas que puede adquirir el trabajo matemático, del nivel de conocimien-

tos que el problema involucra y del tipo de interacciones que se pretende promover.

Todos los capítulos se inician con una portada de trabajo colectivo que busca

traer a la escena del aula prácticas matemáticas ligadas al contenido del capítulo y que

existieron o existen en diferentes culturas. La intención de estas páginas es introducir

a los alumnos en la génesis de algunos conceptos matemáticos que ellos conocen o

estudiarán, entrar en contacto con la diversidad cultural matemática conociendo for-

mas diferentes de representar, de resolver y de nombrar objetos matemáticos, y tomar

conciencia de que las matemáticas están vivas y en permanente transformación. Se

busca que los alumnos puedan, además, conocer y valorar la producción cultural de

esta disciplina de diferentes comunidades actuales o pasadas.

La primera parte de estas portadas ofrece información para leer e interpretar

entre todos bajo el título “Cosas de Mate de aquí y allá…“ e incluye relatos, datos,

fotografías e imágenes que buscan acercar la información a los alumnos.

A continuación se proponen algunos interrogantes asociados con las prácticas

narradas, que involucran cierto trabajo matemático por parte de los alumnos. Este

apartado está encabezado por el título “Para pensar entre todos“.

PARA PENSAR ENTRE TODOS

Luego de la portada se propone una variedad de situaciones. Algunas de ellas

están dirigidas a una exploración individual de tal manera que cada alumno pueda

enfrentarse a los problemas desde los conocimientos que tiene disponibles. Estos

primeros acercamientos a la resolución serán puntos de partida para el análisis co-

lectivo posterior.

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En otras oportunidades se sugiere abordar algunos problemas en parejas o en

pequeños grupos y se anuncia con los íconos o

En grupos

. En estos casos se espera

que las interacciones entre los alumnos sean fecundas para la circulación y explici-

tación de conocimientos. Estas modalidades se adoptan cuando la propuesta es un

poco más compleja, más exploratoria y, por lo tanto, busca promover intercambios

entre los estudiantes. En otros casos la actividad misma demanda la interacción para

ser resuelta.

Al interior del capítulo también hay instancias en las que se propicia un trabajo

colectivo. Algunas se anuncian con el ícono y otras están presentes en los

problemas finales de cada página o doble página. En esta sección las actividades

aparecen con diferentes títulos:

RESOLVER PROBLEMAS CON FÓRMULAS ENTRE TODOS

USAR LETRAS ENTRE TODOS

RESOLVER PROBLEMAS MÁS DIFÍCILES ENTRE TODOS

GENERALIZAR ENTRE TODOS

RESOLVER NUEVOS PROBLEMAS ENTRE TODOS

ANALIZAR IGUALDADES ENTRE TODOS

ANALIZAR LA VALIDEZ DE UNA AFIRMACIÓN ENTRE TODOS

ANALIZAR AFIRMACIONES ENTRE TODOS

GENERALIZAR Y USAR LETRAS ENTRE TODOS

INTERPRETAR FÓRMULAS ENTRE TODOS

PENSAR MANERAS DE ESTIMAR ENTRE TODOS

En estas secciones la tarea que se propone puede involucrar una complejidad

mayor, cierta sistematización de conocimientos, un reordenamiento de la produc-

ción o incluso la instalación de un proceso de generalización. Si bien desde años

anteriores se pretende desarrollar una práctica que ponga en debate los alcances de

un recurso o de una relación, en este año cobra más relevancia involucrar a los es-

tudiantes en procesos más explícitos y frecuentes vinculados a la generalización. En

7.°/1.° la articulación entre el trabajo aritmético y el trabajo algebraico resulta un

asunto esencial, por ello muchas de las actividades de esta sección buscan que los

alumnos comiencen a tener contacto con el uso de las letras. Las situaciones pro-

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puestas en este sentido se presentan desde una perspectiva de trabajo exploratorio

en la cual el escenario aritmético o geométrico abordado previamente constituye el

punto de apoyo para propiciar el uso de las letras como variables. En algunas tareas

colectivas finales se propone el uso de las letras en fórmulas –como las de área y

perímetro–; en otras tareas se presentan las letras para analizar relaciones entre cál-

culos a partir de propiedades y estudiar ciertos procesos de cambio apuntando a la

generalización. En esta colección se prioriza este tipo de análisis y enfoque en lugar

de presentar ecuaciones aisladas y técnicas de resolución.

También se prevén como instancias colectivas los momentos para recordar o

establecer cierto vocabulario, para definir objetos o propiedades, para proponer

formas de representación o para presentar fundamentaciones sobre alguna relación

matemática un poco más compleja para la cual los estudiantes aún no están en con-

diciones de producir una demostración. Estas instancias aparecen encabezadas así:

PARA LEER ENTRE TODOS

En algunas oportunidades también se proponen instancias colectivas para recu-

perar algunas definiciones, propiedades o formas de representación que los alum-

nos probablemente hayan tratado en años anteriores y que ahora es necesario que

tengan disponibles. Estas informaciones aparecen encabezadas así:

PARA RECORDAR ENTRE TODOS

Antes de finalizar cada capítulo se incluye una página, también colectiva, que

apunta a un retorno reflexivo sobre los temas estudiados y la producción realiza-

da. Estas páginas se titulan:

RECAPITULAR ENTRE TODOS

El propósito de esta página es ofrecer un conjunto de actividades que permitan

a los alumnos revisar los problemas resueltos y las ideas utilizadas a la luz de cierto

trayecto recorrido. Se trata de que tengan una nueva oportunidad de retomar sus

resoluciones, analizar los procedimientos empleados, y distinguir y sistematizar

las cuestiones que deben retener como fruto del trabajo en clase. Seguramente

el docente deba gestionar momentos iniciales de trabajo individual o en parejas

para luego dirigir un espacio colectivo de debate y síntesis que permita ordenar las

situaciones que aquí se plantean. Es probable que el desarrollo de estas actividades

propicie la construcción de nuevas relaciones y nuevos conocimientos. Este trabajo

se aborda a través de diferentes tipos de actividades: retomar dificultades, comparar

estrategias, clasificar problemas, analizar errores que pudieron haber aparecido, ex-

plicitar formas de resolución, volver a resolver un problema similar a los ya resueltos

pero buscando generalizar algún procedimiento, etcétera.

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Luego de esta página se proponen algunos problemas para estudiar, encabeza-

dos por estas imágenes:

PARA HACER

EN

LA CARPETA

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR

Se trata de una selección de actividades muy similares a las ya tratadas en el ca-

pítulo, en este caso con la intención de que los alumnos puedan retomar el trabajo

realizado y afianzar los conocimientos que han sido puestos en juego durante los

procesos de resolución y análisis de estrategias y soluciones halladas. Esta instancia

de práctica y ejercitación forma parte del proceso de estudio individual y puede ar-

ticularse con la página de recapitulación.

En ocasiones ocurre que el docente inicia el abordaje de un nuevo contenido con

los primeros problemas del capítulo e identifica que algunos alumnos –o todos– no

recuerdan ciertas ideas ni recursos, o bien, no disponen de los conocimientos ne-

cesarios para poder abordarlos. En dichos casos se podrá apelar a la colección de

PROBLEMAS MÁS FÁCILES QUE LOS DEL CAPÍTULO

que se presentan a continuación. En esas páginas el libro ofrece al docente un con-

junto de actividades fotocopiables pensadas para aquellos alumnos que precisan

recuperar conocimientos tratados en años previos antes de continuar avanzando

con las situaciones presentadas en el capítulo. El docente podrá incluso seleccionar

algunos de los problemas para presentar a todos los estudiantes a modo de indaga-

ción de conocimientos disponibles por parte del conjunto de la clase o a modo de

repaso conjunto antes de abordar el capítulo.

En otras ocasiones sucede que algunos estudiantes logran alcanzar los objetivos

del tema abordado en un capítulo determinado con mayor facilidad o en menor

tiempo que sus compañeros. Para estos casos se ofrece, también al docente, en

las páginas siguientes, una serie de actividades asociadas al contenido del capítulo,

pero con cierto nivel mayor de complejidad que la propuesta en el libro de los alum-

nos. Se trata de los

PROBLEMAS MÁS DIFÍCILES

QUE LOS DEL CAPÍTULO

No se espera que los alumnos resuelvan todos esos problemas en el mismo mo-

mento ni en la misma clase, dado que muchos de ellos involucran una relación más

próxima con los contenidos del año siguiente. Por el contrario, se busca que funcio-

nen como un recurso administrado por el docente en función de la particularidad

de cada alumno y de cada clase.

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Lecturas ampliatorias

Broitman, C. (2011). Estrategias de cálculo con números

naturales. Segundo ciclo EGB. Cuadernos de Apoyo di-

dáctico. Bs. As. Santillana.

Broitman, C. (comp.) (2013). Matemáticas en la escuela pri-

maria I y II. Bs. As. Paidós.

Broitman, C., EsCoBar, m., Grimaldi, V., itzCoViCh, V., noVEm-

BrE, a., PonCE, h. y sanCha, i. (2018). La divina propor-

ción. La enseñanza de la proporcionalidad en la escue-

la primaria y en los inicios de la escuela secundaria. Bs.

As. Santillana.

Broitman, C., EsCoBar, m., PonCE, h. y sanCha, i. (2018). Ense-

ñar a estudiar matemáticas en la escuela primaria. Pri-

mero y segundo ciclos. Primaria. Cuadernos de Apoyo

didáctico. Bs. As. Santillana.

Broitman, C. E itzCoViCh, h. (2008). La Geometría como un

medio para “entrar en la racionalidad”. Una secuencia

para la enseñanza de los triángulos en la escuela pri-

maria. Revista 12(ntes). Enseñar matemática. Nivel Ini-

cial y primario N.° 04. Bs. As. 12(ntes).

dirECCión dE CurríCula (1998). La enseñanza de la Geome-

tría en el segundo ciclo. Documento de actualización

curricular N.° 5. Matemática. Secretaría de Educación

GCBA. Disponible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE CurríCula (2001). Documento de trabajo 7.° grado.

Actualización curricular. Matemática. Secretaría de Educa-

ción GCBA. Disponible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE CurríCula (2005). Matemática. Fracciones y

números decimales 6.° y 7.°. Páginas para el Docente.

Plan Plurianual. Secretaría de Educación GCBA. Dispo-

nible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE CurríCula (2005). La formación de los alumnos

como estudiantes. Estudiar matemática. Documento

N.° 2. Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios

del nivel medio. Secretaría de Educación GCBA. Dispo-

nible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE CurríCula (2005). Grados de aceleración 6°/7°.

Material para el alumno 1.er a 4.° bimestre. Secretaría de

Educación GCBA. Disponible en http://programaace-

leracion.org/index.php/matematicas.

dirECCión dE CurríCula (2006). Cálculo mental con números

racionales. Apuntes para la enseñanza. Secretaría de Edu-

cación GCBA. Disponible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE CurríCula (2006). Matemática. Números Ra-

cionales. Aportes para la enseñanza. Nivel Medio. Mi-

nisterio de Educación GCBA. Disponible en www.bue-

nosaires.gob.ar.

dirECCión dE CurríCula (2007). Matemática. Geometría. Apor-

tes para la enseñanza. Nivel Medio. Ministerio de Educa-

ción GCBA. Disponible en www.buenosaires.gov.ar.

dirECCión dE EduCaCión GEnEral BásiCa (2001). Aportes di-

dácticos para el trabajo con la calculadora en los tres

ciclos de la EGB. DGCyE Provincia de Bs. As. Disponible

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Trillas.


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XV

Capítulo 1: Números naturales I


1 En la siguiente tabla se presenta la cantidad de habitantes en algunas ciudades de Argentina según el

censo de 2010.

Ciudad Cantidad de habitantes

Mar del Plata 664.892

Santa Fe 545.606

La Plata 862.539

San Miguel de Tucumán 914.666

Salta 658.037

La Rioja

a) ¿En cuál de estas ciudades hay más

habitantes?

b) Escribí cómo se lee la cantidad de habitantes

de Santa Fe.

c) La cantidad de habitantes de La Rioja en 2010

era de ciento setenta y ocho mil ochocientos

setenta y dos. Anotá ese número en la tabla.

2 Ubicá aproximadamente los números 1.000.000, 50.000 y 400.000 en la siguiente recta.

0 500.000

3 ¿Cuál de estos números hay que sumarle a 7.500.000 para obtener 7.600.000?

1.000.000 100.000 10.000

4 Resolvé mentalmente los siguientes cálculos.

a) 45 × 1.000.000 = b) 280 × 100.000 = c) 1.004 × 10 × 10 = d) 32 × 100 × 10 =

5 En una calculadora se ingresó el número 184.106. ¿Es cierto que, si se suma 1.000 varias veces, en

algún momento va a aparecer el número 205.106? ¿Y el 343.106?

6 Teniendo en cuenta que 24 × 48 = 1.152, averiguá el resultado de estos cálculos.

a) 240 × 48 = b) 24 × 480 = c) 12 × 48 = d) 48 × 48 =

7 En una fábrica elaboraron 1.353 alfajores.

a) ¿Cuántas cajas completas de 6 unidades pueden envasar con esa cantidad?

b) ¿Cuál es la menor cantidad de alfajores que deben producir para que no quede ninguno sin

envasarse, si usan cajas como las anteriores?

8 ¿Cuál es el menor número que hay que sumarle a cada uno de estos para obtener el múltiplo de 11

más cercano?

a) 111 b) 1.211 c) 8.810 d) 4.405



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XVI



1 Ubicá aproximadamente los números 0,5 millones, 0,05 millones y 550.000.

0 1.500.000

2 Completá la siguiente tabla.

Mil millones menos Un millón menos Número Un millón más Mil millones más

1.500 millones

8,54 mil millones

4.562.375.246

2.305,5 millones

3 Para comprar una moto en 12 cuotas iguales hay que agregarle $ 23.424 al precio de contado,

que es de $ 156.000.

a) ¿Cuál será el valor de cada cuota?

b) En otra agencia se ofrece la misma moto pagando $ 91.000 al contado y 6 cuotas de $ 14.400.

¿En cuál de las dos agencias es menor el precio final?

4 Sin hacer los cálculos, decidí cuál de las dos expresiones es mayor en cada caso.

a) 3 × 105 ….. 7 × 108 c) 84 × 105 ….. 3 × 106

b) 3 × 108 ….. 9 × 103 d) 2 × 105 ….. 9 × 104 + 9 × 103

5 ¿Cuáles de estas expresiones equivalen a 3,5 millones?

3,5 × 106 0,35 × 107 35 × 105 350 × 104

6 Encontrá todos los números que es posible escribir en el cociente de esta

división, de manera que los dividendos correspondientes sean números

pares entre 535 y 567.

7 Para armar una clave de cuatro caracteres solo está permitido usar las siguientes letras y números:

H, D, 5 y 1.

a) Si se pueden repetir las letras y los números, ¿cuántas claves distintas se pueden formar?

b) Si la clave debe comenzar con una letra y a continuación un número, ¿cuántas claves distintas

se pueden formar?

c) ¿Y cuántas claves distintas se podrían formar si hubiera que alternar letras y números?

8 ¿Cuál es la amplitud de un ángulo si mide la tercera parte de 4° 58’ 30’’?

Dividendo 5

1 Cociente

Capítulo 2: Números naturales II


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1 ¿Cuál es el valor de cada una de las cuotas?

2 Indicá en cada caso si la igualdad es verdadera (V) o falsa (F). Intentá decidir sin hacer cálculos.

a) 240 × 36 = 240 × 30 + 240 × 6

b) 120 × 18 = 120 × 10 + 8

c) 460 × 180 = 180 × 460

d) 420 × 28 = 420 × 4 × 7

3 ¿Cómo harías para resolver 456 : 12 con una calculadora en la que no funciona la tecla del 4 ? ¿Y con

una en la que no funciona la tecla del 2 ?

4 Si escribís la escala ascendente de 9 en 9 partiendo de 0, ¿cuáles de los siguientes números van a

aparecer? Primero decidí y luego comprobá con la calculadora.

180 181 999 455 271 362

5 Con las cifras 2, 3 y 4 escribí:

a) todos los múltiplos de 4 de tres cifras que sean posibles;

b) todos los múltiplos de 3 de tres cifras que sean posibles;

c) todos los múltiplos de 2 de tres cifras que sean posibles.

6 Para multiplicar 45 × 99, Matías dice que puede hacer 45 × 100 y luego restar 1, porque 99 es 1 menos

que 100. ¿Es correcto ese procedimiento?

7 La mayoría de las bacterias, para reproducirse, se dividen a la mitad dando lugar a dos bacterias

idénticas.

a) ¿Cuántas bacterias hay a partir de una, si ya ocurrieron 3 subdivisiones?

b) ¿Será cierto que, si hay una nueva subdivisión, habrá solo dos bacterias nuevas más?

$ 81.000

PROMOCIÓN: UN ANTICIPO DE $ 7.200

Y 12 CUOTAS SIN RECARGO.



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XVIII



1 Sin hacer las cuentas, decidí cuál o cuáles de los siguientes cálculos dan el mismo resultado que

24 × 15 + 24 × 12.

24 × (15 + 12) (23 + 1) × 15 + (30 – 6) × 12 24 × 15 + 24 × 3 × 4

2 Sin hacer las cuentas y usando los criterios de divisibilidad, hallá el resto de las siguientes divisiones.

a) 4.985.876 : 9 b) 3.249.653 : 8

3

Algunos de los divisores de un número son 1, 2 y 3. ¿De qué números podría tratarse teniendo en

cuenta que está entre 1.500 y 1.600?

4 Hay que completar con un dígito el espacio en blanco de 5.0_4. Escribí todas las posibilidades de

manera que el número que se forme sea:

a) múltiplo de 4;

b) múltiplo de 3;

c) múltiplo de 12.

5 Un cubo está formado por 1.000 cubitos iguales.

a) ¿Qué cantidad de cubitos habrá en un cubo cuyas aristas miden el doble que las del cubo original?

b) ¿Y en uno cuyas aristas miden el triple que las del cubo original?

6 En General Belgrano organizaron una campaña de vacunación. Para ello trazaron zonas que

abarcan diferentes cantidades de manzanas, según el número de viviendas que hay en ellas.

a) La zona A es un cuadrado de 6 manzanas de lado y la zona B es un cuadrado de 4 manzanas de lado.

¿Cuál o cuáles de los siguientes cálculos permiten determinar la cantidad total de manzanas

que tendrá que recorrer Patricia, que trabaja en ambas zonas?

(6 × 4)2 (6 + 4)2 62 × 42 62 + 42

b) La zona C es un cuadrado que abarca 144 manzanas y la zona D es también un cuadrado,

pero tiene 121 manzanas.

¿Cuál de los siguientes cálculos permite determinar cuántas manzanas más por lado tiene la

zona C que la zona D?

144 121� 144 121� 144 121� 144 121�

Capítulo 3: Figuras geométricas


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1 Construí un triángulo que tenga dos lados de 5 cm que formen un ángulo de 40°.

¿Es posible construir más de un triángulo distinto con estos datos?

2 De la siguiente figura se tienen estos datos:

• La circunferencia de centro A tiene 3 cm de radio.

• La circunferencia de centro B tiene 2 cm de radio.

Averiguá la medida de los lados del triángulo ABC, sin usar la regla.

3 Los siguientes segmentos miden lo mismo que dos lados consecutivos de un paralelogramo.

a) Construí un paralelogramo con lados de esas longitudes.

b) ¿Es posible construir más de un paralelogramo distinto con esos datos?

4 El segmento trazado es la diagonal de un cuadrado.

a) Construí un cuadrado con una diagonal de esa longitud.

b) ¿Es posible construir más de un cuadrado distinto con ese dato?

5 El segmento trazado es una de las diagonales de un rombo.

a) Construí un rombo de modo que una de sus diagonales mida lo mismo que ese segmento.

b) ¿Es posible construir más de un rombo distinto con ese dato?

6 El triángulo dibujado es equilátero. Construí un hexágono regular que esté

formado por 6 triángulos iguales a este.

7 Copiá el pentágono regular ABCDE.



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1 a) ¿Es posible construir un triángulo que tenga tres lados de 5 cm y un ángulo de 45°?

Justificá tu respuesta.

b) ¿Es posible construir diferentes triángulos que tengan tres ángulos de 60°?

Justificá tu respuesta.

2 Sin usar transportador ni escuadra, trazá una perpendicular

al segmento AB que pase por el punto T.

3 El segmento AB es uno de los lados de un cuadrado

ABCD. Construí el cuadrado usando solamente

compás y regla no graduada.

4 a) Construí un paralelogramo cuyas diagonales midan lo mismo que los segmentos dibujados.

b) ¿Es posible construir más de uno?

5 Construí un hexágono regular que tenga un lado con la misma medida que el segmento AB.

A B

6 ¿Es posible que exista un polígono regular cuyo ángulo central mida 15°? ¿Y uno cuyo ángulo

central mida 25°?

7 Se sabe que el ángulo central de un polígono regular mide 18°. ¿Cuántos lados tiene?

A

A BT

B

Capítulo 4: Números racionales I


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1 Esta tira representa 2 1

3del entero. Dibujá el entero.

2 Juan tiene que repartir 66 litros de jugo en 5 bidones. En cada uno de ellos debe

colocar la misma cantidad y no debe sobrar nada. Para calcular cuánto pone en

cada envase hizo esta cuenta de dividir. Usando la información de esta división,

indicá cuánto jugo debe colocar en cada envase.

3 En esta recta están representados los números 0 y 14

. Ubicá, de manera aproximada, 1 1

2.

14

0

4 Ordená los siguientes números de menor a mayor.

45

1 310

12

14

5 Calculá mentalmente estos porcentajes.

25% de 60 = 20% de 70 = 10% de 40 = 1% de 180 = 10% de 150 =

6 En una receta para 4 personas se precisa aproximadamente 12

kilogramo de lentejas. Completá la

tabla según la cantidad de personas.

Cantidad de personas 1 2 3 4 5 6 7 10 12

Cantidad de lentejas (kilogramos)

12

7 Intentá resolver estos cálculos mentalmente.

a) 714

× � c) 15 34

× � e) 12

3× �

b) 734

× � d) 12

5× � f) 12

12

× �

8 Se reparten 2 1

2litros de jugo en botellitas de 1

2litro. ¿Cuántas botellitas se llenan completamente?

¿Y si se repartieran en botellitas de 14

litro? ¿Y en botellitas de 18

litro?

66 5

1 13



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1 Con la información de la siguiente cuenta de dividir, decidí cuáles de las siguientes afirmaciones

son verdaderas.

634

15 12

� 634

15� 634

15 14

�

2 En esta recta están representados 23

y 52

. Ubicá de manera aproximada los siguientes números: 56

, 1 y 74

.

23

52

3 Señalá, en cada caso, por qué fracción se puede multiplicar el número dado para obtener el

porcentaje que se indica.

a) El 32 para obtener el 24% de 32. d) El 40 para obtener el 5% de 40.

b) El 12 para obtener el 75% de 12. e) El 8 para obtener el 150% de 8.

c) El 120 para obtener el 1% de 120.

4 a) Encontrá tres fracciones entre 23

y 54

.

b) ¿Es posible encontrar alguna con denominador 24?

5 Calculá mentalmente.

a) 74

3: � b) 37

5: � c) 1 735

: � d) 2 413

: �

6 En una panadería prepararon 254

kilogramos de pan rallado y quieren armar paquetes de 13

kilogramos.

a) ¿Cuántos paquetes enteros se pueden armar?

b) ¿Qué parte del total del pan rallado quedará sin empaquetar?

7 En un grupo de 12 chicos se reparten, equitativamente y sin que sobre nada, 9 chocolates del

mismo tamaño. En otro grupo de 10 chicos se reparten, de la misma manera, 8 chocolates iguales

a los anteriores. ¿En cuál de los dos grupos cada chico recibe una parte mayor?

63 4

3 15

Capítulo 5: Números racionales II


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1 Estos números están ordenados de menor a mayor.

3,018 3,158 3,25 3,485 3,55

Ubicá los siguientes números de manera que la lista siga ordenada. 3,1 3,32 3,5

2 Sin hacer ninguna cuenta, escribí el resultado de cada suma usando expresiones decimales.

a) 5 110

3100

91 000

� � � �.

b) 410

2100

71 000

� � �.

c) 9 310

11 000

� � �.

3 ¿Es cierto que estas expresiones representan el mismo número?

410

0,4 40100

4 Escribí estas fracciones usando expresiones decimales.

a) 9100

� b) 12110

� c) 35� d) 11

4� e) 3

25�

5 ¿Qué números representan las letras A y B en esta recta?

8,5 A B 8,6


154,3 × 10 = 9,251 × 100 = 35,4 : 10 = 11,125 : 100 =

7 Sin hacer las cuentas, completá con >, < o =.

3,54 × 1,5 ..… 3,54 0,25 × 4,3 ….. 4,3 0,1 × 2,5 ….. 2,5

8 Completá la siguiente tabla con un cálculo de manera

que, en cada caso, se obtenga el resultado indicado.Número Cálculo Resultado

5,18 51,8

0,75 750

12,4 1,24

482,5 4,825



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1 Sin hacer las cuentas, decidí si las siguientes igualdades son verdaderas.

a) 25,48 × 0,125 = 25,48 × 18

= 25 : 8 + 0,48 : 8

b) 18,5 × 0,01 = 18,5 : 100 = 18,5 × 1100

c) 24,75 : 0,001 = 24,75 : 11 000.

= 24,75 × 1.000

2 a) ¿Es posible encontrar fracciones decimales entre 275100

y 3,1?

b) ¿Es posible encontrar fracciones con denominador 4 entre 275100

y 3,1?

3 Representá en la recta los siguientes números: 25

0,3 1525

34

1,05

4 En el visor de una calculadora se ve el número 2,187.

a) ¿Será cierto que, si se le resta un décimo sucesivamente, en algún momento va a quedar en

cero?

b) ¿Qué cálculo se podría hacer para que 2,187 se convierta en 2,389?

5 Teniendo en cuenta que 12,5 × 1,54 = 19,25, colocá las comas que sean necesarias en el cálculo

de abajo para que se cumpla la igualdad. ¿Es posible que haya más de una solución distinta?

1 2 5 × 1 5 4 = 192,5

6 Para cada caso, buscá tres cálculos entre decimales que den como resultado el número que se indica.

a) 0,1 b) 0,3 c) 0,04

7 Sin hacer las cuentas, decidí si las siguientes igualdades son verdaderas y explicá por qué.

a) 5,56 : 2,3 = 556 : 23 b) 3,2 : 0,08 = 0,32 : 0,8 c) 4,75 : 2,41 = 47,5 : 24,1


a) 24,51 : 0,1 = b) 0,5 : 0,01 = c) 8,025 : 0,001 =

0

Capítulo 6: Proporcionalidad


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1 En una veterinaria, 5 kg de alimento para gatos cuestan $ 1.250. Completá la tabla para que muestre

los precios de otras cantidades de ese alimento.

Cantidad de alimento para gatos (Kg) 0,75 1 1

42 2 1

25 7,5 12

Precio ($) 1.250 4.250

2 En una tienda de ropa se presentan ofertas.

a) ¿Cuál es el porcentaje de descuento por

pago en efectivo de la camisa?

b) ¿Cuánto debe pagarse en efectivo por el

pantalón?

3 De todas las infracciones de tránsito que se cometieron

en una ciudad, el 40% corresponde a situaciones de

exceso de velocidad, el 25% a cruzar con luz roja, el

10% a no utilizar el cinturón de seguridad y otro 25% a

conducir utilizando el celular. ¿Cuál de los dos gráficos

representa esa información?

4 En una embotelladora necesitan envasar 1.200 litros de jugo y quieren repartirlo en envases que

contengan los valores que se indican en la tabla. ¿Qué cantidad de envases se necesita en cada caso

para embotellar la cantidad de jugo indicada?

Capacidad de cada envase (litros)

14

12

34

1 2 5 10

Cantidad de envases 1.200

5 El siguiente gráfico muestra el consumo de combustible de un auto

yendo por la ruta siempre a la misma velocidad.

a) ¿Cuántos kilómetros recorre con 4 litros de

combustible?

b) En este mismo gráfico, representá el consumo de

otro auto que gasta 2 litros de combustible cada

30 kilómetros.

c) ¿Será cierto que un auto que tiene mayor

consumo estará representado por una recta

menos inclinada?

No usar el cinturón.

Conducir utilizando celular.

Cruzar con luz roja.

Exceso de velocidad.

GRÁFICO 1 GRÁFICO 2

0

2

5 10 15 20 25 30 35 40 45

4

6

8

10

Co

mb

ust

ible

(lit

ros)

Distancia (km)

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1 Juliana se retrasó en el pago de una factura y la multaron con un 20% de aumento. Si tuvo que

pagar $ 1.800 en total, ¿cuál era el monto original de la factura?

2 Un banco lanzó una promoción: “20% de descuento en sus compras de supermercado. Tope

máximo de descuento por cuenta: $ 1.200“. ¿De qué importe debe ser la compra para poder

aprovechar al máximo la promoción?

3 ¿Qué escala se utilizó en este dibujo?

4 Una hormiga mide 7,5 mm de largo. Al imprimir una fotografía ampliada de esa hormiga, la imagen

mide 1,05 cm. ¿Cuál es la escala de esa fotografía?

5 Completá esta tabla de manera que corresponda a una situación de proporcionalidad inversa.

A 2 2,5 4

B 18,25 6,25 1,25

6 El siguiente gráfico representa la relación entre la cantidad de agua que deja pasar una manguera y

el tiempo que tarda en llenarse una pileta usando esa manguera.

a) Construí una tabla con la información del

gráfico, en la que pueda leerse qué cantidad

de agua debe pasar por minuto por la

manguera para que la pileta se llene en 12

horas y en 18 horas.

b) En la misma tabla, incorporá la información

necesaria para saber en cuánto tiempo se

llenará la pileta si se utiliza una manguera

que arroja 60 litros por minuto.

c) ¿Cuál es la capacidad de la pileta?

45 mm

06 12 18 24 30 36 42 48

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

Ag

ua

po

r m

inu

to (

litro

s)

Tiempo (horas)


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Capítulo 7: Medida

1 a) ¿Cuántos decímetros entran en un metro?

b) ¿Qué parte de un metro es un decímetro?

2 Completá la siguiente tabla de equivalencias.

Centímetros 1 2 20 40 2.000 0,2 0,1

Metros

3 ¿Es posible que una pileta tenga una capacidad de 400 ml?

4 Un clavo pesa 25 g. ¿Cuántos kilogramos pesan 10.000 clavos como ese?

5 Estas figuras tienen formas diferentes. ¿Cuáles tienen un área de 1 cm2?

A B C D

6 ¿Será cierto que el área de este triángulo es la mitad del área del rectángulo que lo inscribe?

7 El área de este triángulo es de 6 cm2. Dibujá otro cuya área sea de 3 cm2.

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1 ¿Servirá esta fórmula para convertir una longitud A expresada en kilómetros en la misma longitud

B expresada en milímetros?

B = A × 1.000.000

2 ¿A cuántos centímetros cúbicos equivalen 75 dl?

3 Una varilla de aluminio pesa 62,1 mg por cada 84 mm de longitud. Si mide 2,1 m, ¿cuánto pesa?

4 El área de un rectángulo es de 48 cm2.

a) Proponé 3 rectángulos distintos que cumplan con esa condición.

b) ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo si se sabe, además, que su perímetro es de 38 cm?

5 ¿Será cierto que si en un rectángulo se duplica la longitud de uno de sus lados y se triplica la del

otro, su perímetro se quintuplica? ¿Y su área?

6 La figura dibujada está formada por un hexágono regular y seis semicírculos.

Considerá que |AD| = 6 cm y |BC| = 5,2 cm.

a) ¿Será cierto que el perímetro de esta figura coincide con la longitud de tres circunferencias de

3 cm de radio?

b) Calculá el área aproximada de la figura.


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e.

Capítulo 8: Estadística y probabilidad

1 En una escuela se realizó una encuesta sobre la cantidad

de hermanos que tienen los chicos de un curso. En el

siguiente gráfico se presenta la información recogida.

a) Completá esta tabla de frecuencias con la información

recogida en la encuesta.

Cantidad de hermanos

0 1 2 34 o más

Frecuencia

b) ¿A cuántos chicos se les realizó la encuesta?

c) ¿Cuál fue la respuesta que apareció más veces? ¿Y la que apareció menos veces?

2 En el primer trimestre, Carolina se sacó 7 en cada uno de los tres exámenes que rindió. En el segundo

trimestre, se sacó 6 en el primer examen y 7 en el segundo. ¿Será cierto que debería sacarse un 8 para

que, entre las tres notas, le dé el mismo promedio que en el primer trimestre?

3 En este gráfico se muestran las temperaturas

medias de dos localidades durante cinco

días. ¿Será cierto que el promedio de las

temperaturas medias es el mismo en ambas?

4 Se realizó un experimento que consiste en

lanzar una moneda y anotar lo que va saliendo.

La tabla muestra los resultados obtenidos.

a) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total?

b) Si se hiciera un lanzamiento más, ¿te parece que saldrá cara o ceca?

c) ¿Será cierto que la probabilidad de que salga cara es 12

y la de que salga ceca también es 12

?

5 En un recipiente hay 8 bolitas rojas, 3 verdes, 2 amarillas y 4 azules, todas del mismo tamaño. Se saca

una sin mirar.

a) ¿Es posible sacar una bolita azul?

b) ¿Sacar una bolita negra es: probable, seguro o imposible?

c) ¿Será más probable que salga una bolita roja o una verde?

d) ¿Cuál dirías que es el color con menos probabilidad de ser elegido?

Cara Ceca

Cantidad de veces que salió 128 132

00 1 2 3 4 o más

2

4

6

8

10

12

14

Frec

uen

cia

Cantidad de hermanos

0Lu Ma Mie

5

10

15

20

25

Tem

per

atu

ra (°

C)

Ju Vie

2120

2219

2321 21 21 21 21

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XXX



1 Los chicos de un curso se dividieron en dos grupos e hicieron este experimento: lanzar tres dados

juntos y sumar los valores que salen. La tabla y el gráfico muestran los resultados que obtuvieron.

GRUPO 1

Resultados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Frecuencia 3 3 12 14 26 27 35 34 32 31 31 22 11 7 10 2

a) ¿Cómo se puede saber si

ambos grupos realizaron la

misma cantidad de tiradas?

b) ¿Es verdad que los dos

grupos de tiradas tienen

la misma moda?

2 En el siguiente gráfico se presenta información

de la temperatura media mensual del agua del

mar en dos localidades turísticas a lo largo

del 2019.

a) ¿Cuáles son la media y la moda de cada

uno de estos conjuntos de datos?

b) Una empresa de turismo promociona

estos lugares dando el promedio mensual

de las temperaturas medias a lo largo de

un año. ¿Te parece que en algún caso ese

dato podría ser engañoso?

3 Al tirar dos dados y sumar los valores que salen se pueden obtener distintos resultados.

a) ¿Cuál es el resultado más probable? ¿Y el menos probable?

b) Mencioná dos resultados que sean igualmente probables.

4 En una bolsa hay 4 fichas verdes, 12 rojas y 8 azules. Se saca una ficha al azar. ¿Cuál o cuáles de las

siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) La probabilidad de que salga verde es 12

. c) La probabilidad de que salga azul es 12

.

b) La probabilidad de que salga roja es 14

. d) La probabilidad de que salga verde es 16

.

5 Se saca al azar una carta de un mazo de 48 naipes españoles con 4 palos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 8?

b) Si se saca otra carta sin reponer en el mazo la que ya salió, la probabilidad de que salga un 8

ahora ¿es mayor o es menor que antes?

GRUPO 2

0

3 5

5

10

15

20

25

30

35

Frec

uen

cia

Resultados4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 3

10

16

2627

33

37 36

32 33

19

811

4 3

0Ene

5

10

15

20

25

Tem

per

atu

ra d

el a

gu

a (°

C)

30

Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

25 24 2422 21

16 16 1720

22 23 23

2926 26

28 28 28 2725 25 25

27 27


XXXI

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Capítulo 9: Cuerpos y volúmenes

CuboPrisma de base

triangularPrisma de base

cuadradaPrisma de base

pentagonalPrisma de base

hexagonal

Pirámide de base triangular

Pirámide de base cuadrada

Pirámide de base pentagonal

Pirámide de base hexagonal

a) Tiene caras que son cuadrados.

b) Tiene caras que son triángulos.

c) Tiene 5 caras.

d) Tiene 6 vértices.

e) Tiene una sola base.

f) Tiene 4 aristas.

1 ¿Cuál o cuáles de estas características comparten todos estos prismas?

a) Tiene caras que son rectángulos. e) Tiene al menos dos caras paralelas.

b) Tiene caras que son triángulos. f) Tiene 9 aristas.

c) Tiene 7 caras. g) Tiene dos bases.

d) Tiene 12 vértices.

2 ¿Cuál o cuáles de estas características comparten todas estas pirámides?

3 A este desarrollo plano de un tetraedro se le despegó una cara.

a) ¿Dónde hay que colocarla para

construir el tetraedro?

b) ¿Es posible encontrar dos

ubicaciones distintas?

4 ¿Con cuál de estos desarrollos planos es posible construir una pirámide de base cuadrada?

5 Este cuerpo no tiene huecos ni salientes que estén ocultos.

a) ¿Cuántos cubitos se utilizaron para construirlo?

b) ¿Cuántos cubitos va a tener si se completa la

construcción para formar un cubo, agregando la

menor cantidad de cubitos posible?

6 a) ¿Cómo armarías un prisma con 24 cubitos iguales y que su base sea cuadrada?

b) ¿Se podrá armar otro distinto que cumpla con las mismas condiciones que en a)?

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XXXII



1 Una pirámide tiene 6 caras y 6 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?

2 Estos son tres desarrollos posibles de un prisma de base cuadrada. En uno de ellos están pintadas

todas sus caras con los colores que se indican. ¿Cuáles deberían ser los colores de las caras de

los otros dos desarrollos de manera tal que, al construir los tres cuerpos, la ubicación de las caras

coloreadas coincida?

R: rojo V: verde N: negro A: azul M: marrón C: celeste

3 Un prisma de base cuadrada formado por cubitos, todos iguales, mide el triple de alto que de

ancho. ¿Con cuál o cuáles de las siguientes cantidades de cubitos es posible formar un prisma de

esas características?

a) 81 cubitos. b) 18 cubitos. c) 24 cubitos.

4 Julia tiene una cartulina rectangular con las medidas que se ven

en la ilustración. Si se dobla a lo largo o a lo ancho, se pueden

obtener las caras laterales de dos prismas de base cuadrada

distintos. ¿Será cierto que ambos tienen el mismo volumen?

5 ¿Qué medidas puede tener un prisma de base cuadrada

que tenga el mismo volumen que el de la imagen, pero

mayor área total?

6 ¿Cuál es el volumen de este prisma de base triangular cuya base es un triángulo rectángulo?

5 cm

2 c

m

6 cm

2 c

m

2 cm

N

R

R

C

A M

R

V

N

N

5 cm

6 cm4 cm

3 c

m

7.º 1.º

Claudia Broitman Horacio ItzcovichAndrea NovembreMónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

AR0000000002419 TAPA El libro de Mate 7_17075.indd 7 13/08/2020 16:37:09

El libro de Mate 7.°/1.° es una obra colectiva, creada, diseñada

y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana,

bajo la dirección de Graciela M. Valle, por el siguiente equipo:

Coordinación general: Claudia Broitman

Coordinación pedagógica: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich

Lectura crítica: Andrea Novembre

Autores: Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Héctor Ponce e Inés Sancha

Editora: Laura Spivak

Jefa de edición: María Laura Latorre

Gerencia de arte: Silvina Gretel Espil

Gerencia de contenidos: Patricia S. Granieri

7.º 1.º

AR0000000002419 001-004_MAT7_B_Pre_CIERRE_16957.indd 1 19/08/2020 14:02:03

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NÚMEROS NATURALES I

COSAS DE MATE DE AQUÍ Y ALLÁ... .............5

Leer, escribir y comparar números ..........6

Números y cálculos..................................... 7

Problemas y cálculos I ................................8

Cálculos mentales de

multiplicaciones y divisiones ...................10

Problemas y cálculos II ............................. 12

Valor posicional del sistema

de numeración ........................................... 14

Notaciones científicas .............................. 16

Problemas y cálculos III ............................ 17

Sistema sexagesimal ................................. 18

RECAPITULAR ENTRE TODOS .............. 20

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR I ..............21

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR II .............23

NÚMEROS NATURALES II

COSAS DE MATE DE AQUÍ Y ALLÁ... ...........25

Problemas con varios cálculos ...............26

Propiedades de la multiplicación ...........28

Propiedades de la división .......................30

Problemas con múltiplos y divisores .....32

Criterios de divisibilidad............................34

Analizar el funcionamiento

de la multiplicación ...................................36

Analizar el funcionamiento

de la división ...............................................37

Potencias y raíces ......................................38




FIGURAS GEOMÉTRICAS


Construir triángulos ..................................46

Puntos equidistantes ................................ 48

Construir paralelogramos ........................50

Diagonales de paralelogramos ...............52

Polígonos, sus diagonales y

ángulos interiores ......................................54

Ángulo central de polígonos

regulares ......................................................56

RECAPITULAR ENTRE TODOS ...............58



NÚMEROS RACIONALES I


Fracciones, medida y cocientes .............64

Fracciones y rectas numéricas ...............66

Comparar fracciones y

calcular mentalmente ...............................68

Fracciones, proporcionalidad

y porcentaje ................................................70

Multiplicación y división con

fracciones y entre fracciones ..................72

RECAPITULAR ENTRE TODOS ...............74

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR ................75


USO DE ÍCONOS

NÚMEROS RACIONALES II


Expresiones decimales

y valor posicional .......................................78

Fracciones decimales y

expresiones decimales ............................ 80

Orden de números racionales ................82

Multiplicar y dividir por 10, 100, 1.000 ..... 84

Multiplicación entre decimales ...............86

División entre decimales ......................... 88


PROBLEMAS PARA ESTUDIAR ................91

PROPORCIONALIDAD


Proporcionalidad directa ..........................94

Proporciones y porcentaje ......................96

Escalas ..........................................................98

Proporcionalidad inversa .........................99

Representaciones gráficas .................... 100

RECAPITULAR ENTRE TODOS ............ 102

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR ............. 103

MEDIDA

COSAS DE MATE DE AQUÍ Y ALLÁ... ........ 105

Medidas y unidades de longitud ...........106

Medidas y unidades de capacidad ...... 108

Medidas y unidades de peso .................109

Estimar medidas ....................................... 110

Explorar otros sistemas de medidas .....111

Medir y comparar áreas

y perímetros .............................................. 112

Medir y calcular áreas I ........................... 114

Medir y calcular áreas II .......................... 116

Variaciones de áreas y perímetros ....... 118

Calcular áreas y perímetros

de polígonos ............................................. 119

Perímetro y área de figuras

circulares .................................................. 120

RECAPITULAR ENTRE TODOS ........... 122

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR I ........... 123

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR II .......... 125

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

COSAS DE MATE DE AQUÍ Y ALLÁ... .........127

Frecuencia, moda y promedio ..............128

Frecuencia y probabilidad ......................130

RECAPITULAR ENTRE TODOS .............132

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR ..............133

CUERPOS Y VOLÚMENES

COSAS DE MATE DE AQUÍ Y ALLÁ... .........135

Poliedros regulares ..................................136

Desarrollos planos de cuerpos ............. 137

Volumen de un cuerpo I ........................138

Volumen de un cuerpo II .......................140

Variación del volumen ............................ 141

RECAPITULAR ENTRE TODOS ............ 142

PROBLEMAS PARA ESTUDIAR ..............143

Hay íconos que indican que pueden usar la calculadora (incluso la de la computadora o la del

celular) para resolver o para comprobar.

El ícono de GeoGebra indica que pueden usar ese programa en la computadora o su aplica-

ción en el celular o en la tablet.

En los capítulos de geometría también encontrarán dibujos, como por ejemplo los que

se ven acá, que indican qué recursos están habilitados para resolver cada problema.

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Para resolver Graduada

N

o graduadaPara resolver


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1

5

NÚMEROS NATURALES I

PARA PENSAR ENTRE TODOS

• Busquen en internet alguno de los traductores disponibles de braille. Escriban algunos números

e intenten explicar cómo sabe el lector que en lugar de una letra se trata de un número (por

ejemplo, que en lugar de una A se trata del 1).

• ¿Qué escrituras aparecerán en el traductor si ingresamos los siguientes números? ¿Qué tienen

en común los modos de representación en uno y otro sistema?

8 67 123 4.256

Algunos sistemas de numeración antiguos no

usaban símbolos numéricos, sino que asignaban

valores numéricos a las letras. Por ejemplo, el sistema

alfabético utilizado por los griegos.

El braille es un sistema de lectura y escritura

táctil pensado para personas ciegas, que permite

representar, entre otros, letras y signos de

puntuación, notas musicales y números. Utiliza

seis puntos organizados

en dos columnas de tres

puntos cada una, que

pueden estar en relieve

(en las imágenes son los

puntos rellenos) o no.

Al igual que los sistemas

alfabéticos, en el braille

se representan letras y

números, incluso el 0.

Con este tipo de sistemas, y usando solamente las

letras del alfabeto, no era posible escribir números

muy grandes.

Con los diez símbolos de nuestro sistema de numeración decimal y posicional

es posible escribir cualquier número. Cada cifra se multiplica por la potencia de 10

correspondiente a cada posición (1 o 100, 10 o 101, 100 o 102, 1.000 o 103, etcétera).

En este tipo de sistema es indispensable contar con una cifra como el cero, que permite

conservar la posición de las otras cifras, aunque una de las posiciones esté “vacía”.

Sistema de numeración decimal

Muy pocas civilizaciones

antiguas utilizaron el cero: mesopotámica, china, india y maya.

Las nueve primeras

letras del alfabeto

correspondían a las

unidades (1 al 9).

Las nueve siguientes

correspondían a las

decenas (10 al 90).

Y las siguientes, a

las centenas (100

al 900).a

1

b

2

c

3

d

4

e

5

f

6

g

7

h

8

i

9

j

0

α alpha 1

β beta 2

γ gamma 3

d delta 4

e epsilon 5

ς stigma 6

z zeta 7

η eta 8

q theta 9

ι iota 10

k kappa 20

λ lambda 30

µ mu 40

ν nu 50

ξ xi 60

o omicron 70

π pi 80

o koppa 90

ρ rho 100

σ sigma 200

τ tau 300

υ upsilon 400

j phi 500

c chi 600

y psi 700

ω omega 800

sampi 900

En esta página se propone una actividad que implica aproximarse a otros sistemas de numeración y formas de representación de los números. No se espera que los estudiantes los dominen ni que los memoricen, sino que se trata de una actividad exploratoria para poner en circulación sus conocimientos

sobre las características del sistema indo-arábigo.

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6

1 Sergio tiene que llamar a un cliente para pasarle los precios de tres autos que podrían interesarle. Para

no equivocarse hizo esta lista con los montos escritos con números y con letras. Completala.

Leer, escribir y comparar números


Cuando se trabaja con números grandes, para acortar

la escritura se pueden usar otras expresiones, como

“9 millones” o “4,1 millones”, en la que el 4 representa

4 millones y el 1 después de la coma representa la

décima parte del millón, es decir, 110

de 1 millón. Por

ello, puede pensarse como 0,1 × 1.000.000 = 100.000.

Luego, 4,1 millones = 4.100.000.

También se puede usar la escritura con potencias de

base 10. Por ejemplo, para 100.000.000, se puede

escribir 108, y para 4.100.000, se puede escribir 4,1 × 106.

Club Garibaldi

Zona San Martín $ 3.523.500

Zona Belgrano $ 3.245.800

Zona Sur $ 3.330.700

Zona Terminal $ 3.167.840

Zona Costanera $ 3.204.790

Escuela N.° 2

1.000.000 se lee un millón.

10.000.000 se lee diez millones.

100.000.000 se lee cien millones.

1.000.000.000 se lee mil millones.

100.000.000.000 se lee cien mil millones.

1.000.000.000.000 se lee un billón.

2 Un municipio organizó una campaña de recolección de envases

plásticos para reciclar y publicó los nombres de las instituciones

que reunieron la mayor cantidad de envases. El Club Garibaldi

juntó un millón doscientos veinticuatro mil seiscientos envases y

la Escuela N.° 2, un millón ochenta y tres mil quinientos envases.

Completá la publicación con esas cantidades, usando números.

De a dos

5 ¿Dónde ubicarían, aproximadamente, los números 320.000 y 1,2 millones en esta recta?

5.347.000.000 5.347 millones 534.700.000 5.347.000 5.347 × 1.000.000 5.347 × 106

0 0,5 millones 1.000.000

3 Adrián quiere comprar un terreno que

cueste entre $ 3.200.000 y $ 3.300.000.

a) ¿Cuál o cuáles de estos terrenos

podría elegir?

b) ¿Cuál es el terreno más barato?

c) ¿Y el más caro?

De a dos

4 ¿Cuál o cuáles de estas escrituras

corresponden a cinco mil trescientos

cuarenta y siete millones?

Precios en números Precios en letras

476.239

303.945

520.631

Lectura, escritura y orden de números naturales.

La lectura conjunta de la sección “PARA LEER ENTRE TODOS” requerirá un momento de análisis sobre las regularidades de la serie numérica. Incluso será necesario recordar el significa-do de la coma decimal, el lugar de los décimos y su relación con la fracción 1/10, la idea de potencia, etcétera.

Estos conocimientos están involucrados en este escrito y los alumnos podrían no tenerlos del todo disponibles de años anteriores.


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7

Números y cálculosDe a dos

1 Resuelvan mentalmente los siguientes cálculos.

a) 267 × 1.000.000 =

b) 150 × 10.000.000 =

c) 406 × 100.000 =

d) 523 × 10 × 10 × 10 × 10 =

De a dos

2 Ordenen las siguientes expresiones de menor a mayor.

3.500 3 × 104 19 × 102 6 × 103 850

3 Calculá mentalmente el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

Cálculo Cociente Resto

5.326 : 10

5.326 : 100

5.326 : 1.000


4.100 : 100 = 4.100 : 50 = 4.100 : 5 =

643 × 10 = 643 × 5 = 643 × 50 =

De a dos

5 Sabiendo que 25 × 10 = 250, 25 × 100 = 2.500, 25 × 1.000 = 25.000 y 25 × 10.000 = 250.000, decidan

entre qué números estará el cociente de los siguientes cálculos.

Cálculo Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1.000 Entre 1.000 y 10.000

263 : 25

2.603 : 25

26.893 : 25

Composición y descomposición de números, y su relación con las operaciones.

En los problemas de estas páginas se intenta que los alumnos identifiquen regularidades del sistema de numeración asociadas con las composiciones y descomposiciones de un número en potencias de 10.

El problema 1 apunta a que los alumnos retomen la multiplicación por la unidad seguida de ceros como punto de partida para avanzar en el tratamiento del valor posicional. Es posible que algunos resuelvan “agregando” ceros al final del factor por el que se multiplica la potencia de 10; otros tal vez “lean” en a) que son 267 millones y lo escriban en números; algunos, para resolver el ítem d), redondearán 523 a 500, luego dirán “cinco mil, cincuenta mil, quinien-tos mil, cinco millones” y finalmente escribirán el número completo. Será interesante propiciar el análisis de las relaciones que se ponen en juego en estos procedimientos al vincular los cálculos y sus resultados con el valor posicional.

Para el problema 2 quizás sea necesario recordar el significado de las potencias con base 10. La información de la sección “PARA LEER ENTRE TODOS” de la página anterior y el problema 1. d) podrán ser un punto de apoyo.

El problema 3 apunta a promover el análisis de las relaciones entre la escritura de un número y el cociente y el resto que resultan de dividirlo por la unidad seguida de ceros. Se busca, por ejemplo, que los alumnos identifiquen que, al dividir 5.326 por 100, se obtiene cociente 53 y resto 26, porque 53 × 100 + 26 = 5.326. Es decir, en 5.326 el 100 entra 53 veces y sobran 26 unidades.

Si bien los alumnos pueden usar varias descomposiciones para resolver los cálculos propuestos en el problema 4, se apunta a que recurran a la multiplicación por 10 y la división por 2 del resultado obtenido cuando se trata de mul-tiplicar por 5; también a identificar que multiplicar por 50 equivale a multiplicar por 100 y dividir el resultado por 2, o bien, multiplicar por 5 y por 10 el resultado. En el caso de las divisiones, por ejemplo, para 4.100 : 50, podrán apelar al cociente de 4.100 : 100 y multiplicarlo por 2. En el problema 5, los alumnos pueden reutilizar estas ideas.


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Problemas y cálculos I

1 Completá esta tabla sabiendo que todos los camiones trasladan la misma cantidad de bidones de agua.

Cantidad de camiones

2 4 6 8 10 12 30 300

Cantidad de bidones

1.200 66.000

2 Un fotógrafo armó un collage de fotos con los retratos de los alumnos de

la escuela. Los organizó en 16 filas de 24 retratos cada una.

a) ¿Cuántas fotos tiene el collage?

b) ¿Cuál o cuáles de estos cálculos permiten averiguar la cantidad de

fotos que quedarían en el collage si se agregaran 5 en cada fila?

16 × 24 + 5 16 × (24 + 5) 24 × (16 + 5) 16 × 24 + 16 × 5

c) El mismo fotógrafo probó otra forma de organizar las fotos del ítem a), colocando 12 retratos

en cada fila. ¿Cuántas filas tiene el nuevo collage?

d) ¿Es cierto que, si en cualquier collage de forma rectangular se reduce a la mitad la cantidad de

filas y se reduce a la mitad la cantidad de fotos por fila, también se reduce a la mitad la cantidad

total de fotos?

3 Una distribuidora recibió un pedido de 5.600 kilos de harina. Ya entregaron 1.600 kilos y el resto

lo van a repartir en 25 bolsas iguales. ¿Cuál de estos cálculos permite averiguar cuántos kilos pesa

cada bolsa de harina?

5.600 – 1.600 : 25 (5.600 – 1.600) : 25

Para resolver

Para resolver

Para resolver

Para resolver

En estas páginas se proponen problemas diversos que pueden resolverse con multiplicaciones y divisiones. Es posible que algunos alumnos no apelen desde un principio al uso de estos cálculos, por lo que será interesante

Será interesante proponer una instancia de trabajo colectivo en la que circulen y se comparen diferentes maneras de hallar los resultados, y se hagan explícitas las propiedades puestas en juego (“el valor de la unidad”, “al doble, el doble; al triple, el triple”, “a la suma de dos valores le corresponde también la suma”, etcétera).

En el problema 2. d), posiblemente muchos alumnos consideren que se reduce a la mitad el total de fotos. Será interesante apelar a una representación rectangular que permita analizar qué parte del rectángulo queda al sacar la mitad de cada lado. También podrán pensarlo como “la mitad de la mitad”. Se busca que reconozcan que no se trata de la mitad y que puedan arribar a que la cantidad de fotos se reduce a la cuarta parte. Los alumnos también podrán utilizar cálculos para abonar estas ideas.

El problema 3 requiere que los alumnos analicen la necesidad del uso de paréntesis para alterar el orden de las operaciones en función de su jerarquía.

propiciar discusiones en las que se vinculen los procedimientos utilizados con la multiplicación y la división, así como el análisis de la diversidad de problemas que estas operaciones permiten resolver.

En la tabla del problema 1 se eligieron valores que guardan ciertas relaciones entre sí, de manera que los alumnos puedan apelar a distintas propiedades de la proporcionalidad para completarla.


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Para resolver

Para resolver

• Propongan cuentas de dividir que tengan dos o tres datos de tal manera que algunas:

- no tengan solución;

- tengan una sola solución;

- tengan más de una solución;

- tengan infinitas soluciones.

GENERALIZAR ENTRE TODOS

4 En una granja venden huevos en maples de 25. El viernes tenían 470 huevos. ¿Cuántos maples

pudieron completar? ¿Cuántos huevos más necesitan como mínimo para completar otros

tres maples?

5 Hoy, en la rotisería, se vendieron 19 docenas de empanadas y sobraron 9 unidades.

a) ¿Cuántas empanadas habían preparado?

b) Si al día siguiente preparan el doble de empanadas y venden la mayor cantidad de docenas posible,

¿se venderá el doble de empanadas que el día anterior? ¿Sobrará el doble de las empanadas que

habían sobrado el día anterior?

6 a) Al dividir un número por 8, se obtuvo un cociente de 18 y resto 5. ¿Qué número se dividió?

b) Y si el resto hubiera sido cero y el cociente se conservara, ¿qué número se habría dividido?

7 Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta.

¿Hay más de una posibilidad?

7 5/

Para resolver

Para resolver

Los problemas 3 a 6 retoman las relaciones involucradas en la división, abarcando los sentidos de reparto, partición, análisis del resto y la relación “dividendo = cociente × divisor + resto”, con 0 ≤ resto < divisor.

Luego de que los alumnos hayan resuelto el problema 5. a), posiblemente a través del cálculo 12 × 19 + 9, será intere-sante representarlo colectivamente como una cuenta de dividir en la que no se conoce el dividendo. En términos de los alumnos, se trata de buscar “qué número se dividió”.

El problema 7 y el que se propone en “GENERALIZAR ENTRE TODOS” plantean relaciones que se retoman en la página 37 del capítulo 2.

En el problema 7, luego de una exploración inicial, será interesante analizar colectivamente que hay infinitos pares de números que son solución. Hay que considerar que el menor divisor posible es 8, ya que el divisor debe ser mayor que el resto y, por lo tanto, el menor dividendo es 47, que surge de 5 × 8 + 7.

En el problema de la sección “GENERALIZAR ENTRE TODOS” se espera que los alumnos puedan identificar ejem-plos en donde la relación D = d × c + r se pone en juego. Entre los casos en los que no hay solución podrían incluir un resto mayor que el divisor o un cociente que, multiplicado por el divisor, sea mucho menor que el dividendo aun con el

Problemas multiplicativos con números naturales. Series proporcionales, organizaciones rectangulares, relaciones entre D, d, c y r.

máximo resto, o cuyo producto supere el dividendo dado. Entre los casos de más de una solución, proponer un divisor y un cociente que admitan diversos restos y diversos dividendos posibles. Entre los casos de infinitas soluciones, proponer pares de cocientes y restos (como en el caso del problema 7), que admiten infi-

nitos divisores (mayores que el resto) e infinitos di-videndos. Será interesante que puedan analizar que

las cuentas que usualmente resuelven tienen una sola solución.


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Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones

1 Decidí si cada una de estas formas de resolver el cálculo 24 × 30 es correcta o no.

a) 24 × 3 y agregarle el 0 del 30.

b) 24 × 10 × 3

c) 8 × 3 × 3 × 10

d) 24 × 3 + 1 × 10

2 Teniendo en cuenta que 36 × 14 = 504, averiguá el resultado de estos cálculos sin hacer cada cuenta.

a) 360 × 14 = d) 36 × 7 = g) 504 : 36 =

b) 36 × 140 = e) 18 × 28 = h) 504 : 14 =

c) 36 × 28 = f) 72 × 14 = i) 504 : 7 =

3 Para cada cálculo se ofrecen tres resultados posibles, pero solo uno es correcto. Sin hacer las

cuentas, seleccioná el que consideres correcto en cada caso y explicá cómo te diste cuenta.

a)

b)

c)

d)

4 Calculá mentalmente los siguientes productos.

a) 45 × 99 = c) 24 × 19 =

b) 15 × 999 = d) 30 × 69 =

246 × 99

400 × 49

325 × 30

15.334 : 11

2.454 24.354 18.754

1.960 16.000 19.600

9.750 975 12.750

8.394 1.394 139

En el problema 2 se apunta a poner en juego las relaciones entre los factores de la multiplicación que se brinda como dato y los factores de las multiplicaciones que se proponen para resolver, apelando a las propiedades de las operaciones. En los ítems g), h) e i) se trata de que los alumnos resuelvan a partir de las relaciones entre las multiplicaciones y divisiones asociadas a ella.

En el problema 3 es suficiente con estimar el resultado a partir del redondeo de uno o ambos números para seleccionar la opción correcta. Por ejemplo, en el caso de 246 × 99, los alumnos podrán pensar que 246 × 100 es 24.600 para establecer que el resultado correcto es 24.354. En el ítem d), los alumnos podrían redondear a 15.000 : 10 y determinar que el cociente será próximo a 1.500.

En el problema 4 se trata de que los alumnos elaboren y analicen diferentes estrategias para resolver multiplicaciones en las que sus factores son números próximos a un múltiplo de 10. Por ejemplo, para multiplicar 45 × 99, pensar 45 × 100 y luego restar “un 45”. El docente podrá indicar a los alumnos que calcular mentalmente no significa “no escribir nada”, que pueden escribir algunos cálculos que los ayuden, pero no hacer la cuenta que se propone. Por ejemplo, al hacer 15 × 999,

es posible anotar 15.000 – 15 para arribar a la solución, o 15 × 1.000 = 15.000 y 15.000 – 15 = 14.985.


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5 Sin hacer la cuenta de dividir, determiná cuál de las opciones es correcta en cada caso.

Cálculo El cociente es menor que 16 El cociente es mayor que 16

1.600 : 99

16.000 : 1.001

160.000 : 9.001

6 Sabiendo que 1.080 : 18 = 60, averiguá el cociente de las siguientes divisiones.

a) 10.800 : 18 = d) 1.080 : 180 =

b) 1.080 : 60 = e) 1.080 : 36 =

c) 540 : 18 = f) 1.080 : 9 =

De a dos

7 Tengan en cuenta que 1.200 : 50 = 24 para realizar lo que se pide.

a) Inventen una división cuyo cociente sea 48.

b) Inventen una división cuyo cociente sea 100.

• Si la letra a representa un número natural, ¿qué valores podría tomar para que sea cierto que

a × 2.000 × 5 > 37.207?

• Si en una división se duplica el dividendo y también se duplica el divisor, ¿qué le ocurre al

cociente? ¿Y al resto?

GENERALIZAR Y USAR LETRAS ENTRE TODOS

En el problema 5 se trata de que los alumnos tomen como referencia la división por 100, 1.000 o 10.000 e identifiquen que, por ejemplo, el cálculo 1.600 : 100 daría 16, por lo que 1.600 : 99 será mayor que 16, puesto que se divide en menos partes.

El problema 6 permite retomar y discutir varias relaciones. Por ejemplo, si se conoce el cociente de una división cuyo resto es 0, es posible anticipar el cociente de otra asociada a ella que también tiene resto 0, aspecto que el docente podrá poner a disposición de los alumnos. En este caso, sabiendo que 1.080 : 18 = 60, también se sabe que 1.080 : 60 = 18. Asimismo, a partir de los ítems a) y d) es posible analizar que, si se multiplica por diez el dividendo, el cociente también se multiplicará por diez (ya que está aumentando la cantidad a repartir), pero si es el divisor el que se multiplica por diez, el cociente será la décima parte (ya que lo que se incrementa es la cantidad de partes entre las que hay que repartir el dividendo).

El problema 7. a) permite discutir que, para lograr cociente 48, entre otras posibilidades, se podría duplicar el dividendo de la cuenta original, o bien, reducir a la mitad su divisor. La parte b) retoma esta misma cuestión, pero ahora a propósito de un cálculo que no es el que se brinda como dato, sino de uno que puede deducirse a partir de él: 1.200 : 24 = 50.

Para resolver el segundo problema de la sección “GENERALIZAR Y USAR LETRAS ENTRE TODOS”, los alumnos podrían explo-rar inicialmente diferentes ejemplos y conjeturar que el cociente permanece igual (50 : 2 = 500 : 20 = 1.000 : 40 = 100 : 4, etc.). El docente podrá incluso remitir a la equivalencia entre fracciones, a la técnica de corrimiento de la coma en las divisiones entre

decimales o a la simplificación de fracciones, dado que son técnicas y relaciones en las que se pone en juego esta propie-dad por la cual se puede multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número, y se preserva el cociente.

Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones.


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Problemas y cálculos II

1 En la escuela ofrecen diferentes talleres. Alma eligió cuatro y tiene que

decidir en qué orden va a participar de ellos.

a) ¿Cuántas posibilidades tiene si no quiere repetir ningún taller?

b) ¿Cuáles de estas formas de resolver podrían ayudar a responder la

pregunta de la parte a)?

c) Si se anotara también en el taller de arte, ¿cuántas posibilidades tendría?

2 Belén tiene que cambiar la clave de 4 dígitos del cajero automático.

a) Si usa los números 9, 2, 3 y 4 sin repetirlos, ¿cuántas claves distintas podría armar?

b) Magui también usará 9, 2, 3 y 4 para su clave, pero no tiene inconveniente en repetirlos.

¿Cuántas claves distintas podría inventar?


En los problemas en los que hay que averiguar la cantidad posible de combinaciones es muy

importante organizar la información para contar todas las combinaciones, no contar dos veces

una misma combinación, tener en cuenta si es posible repetir o no los elementos a combinar

e identificar qué cálculos podrían resultar convenientes.

Para resolver

HMPCHMCPHPMCHPCMHCMPHCPM

6 + 6 + 6 + 6

4 × 6

4 + 3 + 2 + 1

4 × 4 × 4 × 4

4 × 3 × 2 × 1H

Mp

M

M

C

C

P

C

C

P

P

M

M

p

C

Y después empezando con cada taller.

Y después empezandocon cada taller.

H: Taller de huerta

M: Taller de murga

P: Taller de percusión

C: Taller de ciencias

Para resolver

En estas páginas se presentan situaciones en las que es necesario determinar la cantidad de elementos de una colección que resulta de combinar conjuntos. En el trabajo exploratorio que demande cada problema será interesante que los alumnos ensayen diversas formas de organizar la información (listas, diagramas, dibujos, cuadros, cálculos, etc.) que les

permitan controlar la exhaustividad en la búsqueda de los casos. En un mo-mento posterior a la resolución se podrán analizar cálculos para representar y resolver cada problema.

El problema 2 permite comparar situaciones similares en apariencia, pero diferentes en la condición referida a la posibilidad o no de repetir los números. Esta distinción que se plantea en cada situación puede expresarse también en el cálculo que permite averiguar el total de casos. En la parte a), la solución puede encontrarse de diversas maneras, haciendo diagramas o cuadros que ayuden a identificar que un cálculo posible es 4 × 3 × 2 × 1. En la parte b), las estrategias empleadas pueden desembocar en el cálculo 4 × 4 × 4 × 4.

En el problema 1, aunque sería posible hacer todos los diagramas de árbol y contar efectivamente caso por caso, se intentará generalizar lo observado a propósito de un primer diagrama. Este diagrama inicial, si bien está incompleto, puede ser relacionado con el listado, también incompleto, y en ambos casos asociarlos con las multiplicaciones 4 × 3 × 2 × 1 o 4 × 6, o con la suma sucesiva de 6 que surge del análisis de todas las combinaciones posibles empezando, por ejemplo, con H.


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3 Cintia preparó 4 canciones para el festival, pero le avisaron que solo

podrá cantar 3. Tiene que elegirlas y decidir en qué orden cantarlas.

a) ¿De cuántas maneras distintas podría ordenar las tres canciones

que elija?

b) Si decide cantar “Platónico” en primer lugar, ¿de cuántas maneras distintas podría organizar

ahora las tres canciones?

c) ¿Y si decidiera cantar “Platónico” en segundo lugar?

4 Dos equipos de fútbol deben definir el ganador por penales. El técnico de uno de los equipos

presentó la lista con 5 jugadores, y determinó quiénes patearán en primer y segundo lugar por su

mayor precisión y efectividad. ¿De cuántas maneras distintas podrían ordenarse estos 5 jugadores?

De a dos

5 El sistema braille se basa en combinaciones de 6 puntos organizados en 2 columnas de 3 puntos

cada una. Estos puntos pueden estar en relieve (en las imágenes son los puntos rellenos) o no.

a) ¿Cuántas combinaciones de un punto en relieve puede haber?

b) ¿Cuántas combinaciones de dos puntos en relieve puede haber?

• ¿Cuántos vehículos más permite

registrar el sistema de patentes B

respecto del A?

RESOLVER PROBLEMAS MÁS DIFÍCILES ENTRE TODOS

"Alma de diamante""Octubre"

"Platónico""Tristeza"

Para resolver

Sistema A Sistema B

En el problema 3 se propone una situación en la que se deben seleccionar 3 entre 4 posibles, y en la que el orden en que se cantan las canciones es importante. En las partes b) y c) será interesante analizar que, si bien las situaciones son distintas –ya que en b) está definida la primera canción mientras que en c), la segunda–, y posiblemente algunas maneras de representar el conteo sean diferentes, la cantidad de posibilidades es la misma en ambos casos. Se podrá analizar que tampoco cambiaría la cantidad si estuviese fija la tercera canción.

En el problema 4, la condición de que esté determinado quiénes patearán en primer y segundo lugar permite con-siderar que estos dos elementos conforman una agrupación que no puede romperse. Se podría pensar que son 4 elementos: AB, C, D y E. El hecho de que la cantidad de jugadores sea pequeña favorece que pueda realizarse el listado completo o el diagrama de árbol para verificar si se contaron todos los casos teniendo en cuenta las condiciones.

Situaciones de conteo. Problemas de variaciones y permutaciones.


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Valor posicional del sistema de numeración

1 Escribí 478.391 en la calculadora.

a) Sin borrar nada, encontrá un único cálculo que permita que en el visor aparezca 478.291.

b) Y, desde el número original, ¿qué cálculo permite que aparezca 498.391?

c) ¿Y, también desde el número original, para que aparezca 3.478.391?

2 Escribí un cálculo a partir de cada número para que cambie únicamente la cifra destacada.

3 Julia escribió 58.362 en la calculadora.

a) ¿Cuántas veces tendría que restarle 100 para que en la pantalla aparezca un 0 en el lugar del 3?

b) ¿Cuántas veces tendría que restar 1.000 para que aparezca un 0 en el lugar del 8?

c) ¿Cuántas veces tendría que restar 1.000 para que desaparezca el 5?

4 Abril ingresó 7.436 en la calculadora y restó 100 varias veces, intentando acercarse a 0. ¿Es posible

que entre los números que va obteniendo a medida que resta 100 encuentre alguno que termine

en 4?

5 En un supermercado tienen 234 bolsas con 1.000 monedas de $ 1 cada una y quieren cambiarlas

por billetes de $ 100. ¿Cuántos recibirán?

6 ¿Cuántas bolsas de 100 gramos de sal se pueden armar con 265 kilos?

7 Resolvé estos cálculos mentalmente.

a) 5 × 10 × 100 = d) 73 × 10.000 =

b) 87 × 100 : 10 = e) 7 × 100.000 =

c) 2.600 : 10 × 100 = f) 104 × 1.000.000 =

Para resolver

4.450.044 573.070 36.704.302

Para resolver

a) b) c)


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8 Sin resolver los cálculos, decidí cuáles de las siguientes expresiones equivalen a 2.406.538.

a) 2 × 1.000.000 + 4 × 100.000 + 6 × 1.000 + 500 + 3 × 10 + 8

b) 24 × 10.000 + 65 × 100 + 3 × 10 + 8

c) 240 × 10.000 + 6 × 1.000 + 5 × 100 + 38

d) 2.406 × 1.000 + 653 × 10 + 8

• Intenten explicar si estas igualdades son verdaderas o no.

5 × 105 = 3 × 105 + 2 × 105 5 × 105 = 5 × 102 + 5 × 103

ANALIZAR LA VALIDEZ ENTRE TODOS

9 Escribí estas cantidades usando números y operaciones con potencias de 10.

42.167 =

425.183 =

5.197.346 =

a)

b)

c)

10 ¿Qué número se obtiene en cada caso?

a) 4 × 105 + 3 × 103 + 7 × 102 + 1 × 101 + 5 × 100 =

b) 8 × 106 + 5 × 103 + 1 × 102 + 9 =


Estas son algunas expresiones equivalentes para representar una misma cantidad:

643.258 = 643,258 miles

643.258 = 643.000 + 258

643.258 = 643 × 1.000 + 258

643.258 = 600.000 + 40.000 + 3.000 + 200 + 50 + 8

643.258 = 600.000 + 43.000 + 258

643.258 = 6 × 100.000 + 4 × 10.000 + 3 × 1.000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 8

643.258 = 6 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 + 4 × 10 × 10 × 10 × 10 + 3 × 10 × 10 × 10 + 2 × 10 × 10 + 5 × 10 + 8 × 1

643.258 = 6 × 105 + 4 × 104 + 3 × 103 + 2 × 102 + 5 × 101 + 8 × 100 (100 = 1)

En el problema 8 se promueve que los alumnos anticipen los resultados sin ne-cesidad de hacer cálculos, utilizando las relaciones entre el valor de cada cifra y la posición.

Para resolver el problema 9 podría analizarse colectivamente la información contenida en el recuadro “PARA LEER ENTRE TODOS”. Se busca que los alumnos reconozcan la posibilidad de descomponer un número apelando a estas potencias y establezcan relaciones entre las diferentes formas de escritura de los números. Será interesante analizar que el valor de una cifra en la escritura depende de la potencia de 10 por la que se multiplica.

Análisis del valor posicional. Cálculos mentales que involucran potencias de 10.


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Notaciones científicasEn

tre todos

1 Nina y Alma ingresaron en la

calculadora 10 × 10 × 10 ×… y

siguieron multiplicando por 10,

cada una por su cuenta, hasta

que en el visor aparecieron

estas escrituras.


Para escribir números de más

cifras que los dígitos que admite

el visor, algunas calculadoras

usan otras notaciones. Por

ejemplo, para 2.000.000:

Las expresiones 06, 106, e6,

E6, e + 06 y E + 06 indican la

potencia de diez por la que

está multiplicado el 2. A su vez,

se estableció una convención:

el número que multiplica la

potencia de 10 debe ser ≥ 1 y < 10.

Así, la notación científica sería

2 × 106, y no 20 × 105, aunque

ambas expresiones representan

la misma cantidad.

2 ¿Cuáles de estas expresiones equivalen a diez mil millones?

3 Joaquín usa la calculadora científica del celular. Al realizar un cálculo, obtuvo como resultado 5,6 11 .

¿Cuál de estos cálculos pudo haber hecho?

4 En algunas calculadoras científicas, para escribir un número con notaciones que involucran potencias

de 10, se utiliza la tecla EXP , que permite ingresar el exponente que tendría el 10. ¿Cómo escribirías

en ese tipo de calculadora los siguientes números usando esa tecla?

a) 6.400.000 b) 2.874.000

Para resolver

a) ¿ 1,e + 16 es el resultado de qué multiplicación? ¿Y 1e9 ?

b) ¿Cuántos ceros tendrá cada uno de esos números?

c) ¿Qué número piensan que aparecería en cada visor si Nina

y Alma volvieran a multiplicar por 10 los resultados que

obtuvieron?

d) Prueben con diferentes calculadoras y anoten la primera

escritura que aparezca en el visor que no tenga solo

números o les resulte diferente de las que ya conocen,

y el cálculo que hicieron para obtenerla. También pueden

hacer una captura de pantalla.

Nina usó la calculadora

de la computadora.

Alma usó la

calculadora

del celular.

Van a necesitar calculadoras como las de las computadoras o las de los

celulares, que tienen versión estándar y científica.

56 × 1.000.000.000 56 × 10.000.000.000 56 × 10.000.000 56 × 1.000.000

2 06

2.E6

2 106

2,e + 06

2e6

2,E + 06

2,E6

Para resolver

1 × 108 1 × 109 1 × 1010 1 × 1011

El uso de distintas calculadoras científicas y comunes para resolver el pro-blema 1 habilitará la discusión acerca de la cantidad de dígitos que admite

Los problemas de esta página apuntan a investigar otras formas de escritura asociadas a las potencias de 10. El uso de la calculadora científica proveerá escrituras nuevas

Escrituras numéricas que involucran potencias de 10.

el visor de cada calculadora, así como los diversos modos que cada una propone para escribir números de muchas cifras usando potencias de 10.

que los alumnos deberán interpretar y poner en relación con aquellos modos

de resolver los cálculos y las escrituras numéricas correspondientes.


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Problemas y cálculos IIIDe a dos

1 Nacho le da un comprimido antipulgas a su perro cada 160 días. Si lo acaba de hacer hoy, que es

jueves, ¿es cierto que la próxima dosis deberá dársela un lunes?

De a dos

2 Un álbum tiene espacio para pegar 12 figuritas por página.

a) ¿En qué página estará el lugar para pegar la figurita N.° 118?

b) ¿Cuál es el número de la primera y el de la última figurita de la página donde está pegada la N.° 158?

De a dos

3 a) ¿Entre qué par de múltiplos consecutivos de 6 está 2.193?

b) Alina usó la calculadora para resolver la parte a). Hizo 2.193 : 6 y obtuvo 365,5 . ¿Cómo puede

usar ese resultado para resolver el problema?

En

tre todos4 En una tira de papel que comienza con el 0, se repiten siempre en el mismo orden las casillas

pintadas de colores como en esta figura.

a) ¿De qué color será la casilla del 108?

b) ¿Y la del 109?

c) ¿Qué números en casillas de color rosa habrá entre 1.400 y 1.420?

Para resolver

Para resolver

Para resolver

Para resolver

Para resolver

Para resolver

618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 63017 63

En esta página se proponen problemas en los que se ponen en juego sentidos más complejos de la división y las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto. Es posible que para alguna de las situaciones los alumnos no apelen a esta operación para hallar

En el problema 1, el resto de hacer la división entera 160 : 7 es 6. Si el resto de esa división fuera cero, eso significaría que dentro de 160 días sería nuevamente jueves, dado que en ese lapso “entra” una cantidad entera de semanas, contando desde el viernes. Como el resto es 6, puede determinarse que luego de 22 semanas (que es el cociente entero de 160 : 7) será jueves. Es decir, el día 154 es jueves y, por lo tanto, el día 160 será miércoles. Otra alternativa es buscar, a partir de aproximaciones parciales, qué cantidad de semanas enteras deben pasar; por ejemplo, el día 70 será jueves y el 140 también, y a partir de allí aproximar los 20 días restantes. Se seleccionaron números pequeños para permitir la exploración de distintas alternativas.

En el problema 2, para resolver la parte a) los alumnos podrían identificar que, en la página 10, la última figurita es la 120 (12 × 10 = 120). Por lo tanto, la figurita 118 estará en esa página. Este resultado permitiría analizar que la figurita 158 deberá estar en la página 14. El docente podría discutir con los alumnos que el cociente entero de 118 : 12 no da la solución, sino que arroja un valor que corresponde a la página anterior, es decir, a la página 9. Esto ocurre porque no está considerada en la situación la página 0. Del mismo modo, el cociente entero de 158 : 12 es 13, pero la figurita está en la página 14.

El problema 3 permite reinvertir, en un contexto puramente numérico, el trabajo realizado en problemas anteriores. Si los alumnos no recordaran este concepto, el docente podrá reponerlo.

Para resolver la parte b) del problema 3, los alumnos podrán considerar la parte entera del cociente y multiplicarla por el divisor, obteniendo así uno de los dos múltiplos que encuadran el 2.193 (365 × 6 = 2.190). A partir de allí, sumando el divisor, encontrarán el segundo múltiplo solicitado (2.190 + 6 = 2.196).

Para resolver el problema 4 algunos alumnos, buscando averiguar de qué color sería la casilla del 0, podrán recurrir a restas sucesivas o aproximaciones por multiplicaciones. Otros podrán darse cuenta de que es posible dividir por 6 los números de la tira y realizar un análisis de los restos de esas divisiones enteras. En una fase colectiva podrán identificar que todas las casillas con números que al dividirlos por 6 tienen resto 0, son de color rosa. Y más en general, que a cada color le corresponde un resto distinto en la división por 6. El análisis realizado para los problemas anteriores es un punto de apoyo importante para abordar esta situación.

la respuesta, sino que exploren diferentes alternativas utilizando diversi-dad de cálculos y representaciones. Es importante que estas estrategias

Problemas que involucran la división. Análisis del resto.

se analicen de manera colectiva una vez que los alumnos hayan ensayado alguna solución, y que se señalen las relaciones que esos procedimientos tienen entre sí y con la división.


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Sistema sexagesimal

1 a) ¿Cuántos minutos hay en un fin de semana? b) ¿Cuántos segundos hay en media hora?

De a dos

2 a) Un video dura 2,6 minutos. ¿Es cierto que dura 2 minutos y 6 segundos?

b) Un documental dura 25 minutos. ¿Es cierto que dura 0,25 horas?

3 Indicá si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

a) 15 minutos es 14

de hora. d) 2,5 minutos equivalen a 2 minutos y 30 segundos.

b) 10 minutos es 110

de hora. e) 45 minutos es lo mismo que 34

de hora.

c) 220 minutos equivalen a 3 horas.

4 Completá la información de la cartelera del cine.

Película Hora de inicio Duración de la película Hora de finalización

Un viaje inesperado 14:30 1,5 h

Sin ruta en el desierto 130 minutos 20:10

El secreto del puente 17:15 18:45

De a dos

5 Tomás tiene que armar una rutina de entrenamiento de 45 minutos. Piensa dedicar el mismo tiempo a

precalentamiento, velocidad, fuerza y estiramiento. ¿En cuál o cuáles de estas anotaciones encontró la

duración exacta que debe dedicar a cada actividad?

Para resolver

Precalentamiento: 11,25 min

Velocidad: 11,25 min

Fuerza : 11,25 min

Estiramiento: 11,25 min

Precalentamiento: 11’ 25’’Velocidad: 11’ 25’’Fuerza: 11’ 25’’Estiramiento: 11’ 25’’

Precalentamiento: 11’ 15’’Velocidad: 11’ 15’’Fuerza: 11’ 15’’Estiramiento: 11’ 15’’

Para resolver

Los problemas que se presentan en estas páginas apuntan a explorar el uso social del sistema sexagesimal, analizar ciertas regularidades y establecer comparaciones con el sistema de numeración decimal.

Los problemas 2. a) y 2. b) proponen una discusión en torno a un error muy frecuente entre los alumnos: extender al sistema sexagesimal algunas características del sistema decimal.

Es probable que los alumnos reconozcan que la división es un buen recurso para resolver el problema 5, aunque también se podría recurrir a la suma y analizar si da 45’. Sin embargo, el docente podrá sugerir el análisis de la división de 45 minutos en 4 partes iguales, que puede traer aparejada cierta dificultad, dado que al dividir el minuto que sobra en partes menores es preciso considerar que cada minuto equivale a 60 segundos. Al calcular 45 : 4 con una cuenta o con la calculadora, los alumnos obtienen 11,25. El análisis de las expresiones sexagesimales realizado al resolver los problemas anteriores puede resultar un punto de apoyo para encarar esta tarea.


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6 Al medir un ángulo con el transportador, uno de

sus lados quedaba justo en el medio entre 75° y

76°. Escribí de dos maneras diferentes la medida

de ese ángulo.

• ¿Cuál de estas medidas corresponde al ángulo C?

Intenten responder sin medir.

RESOLVER PROBLEMAS ENTRE TODOS


Para medir ángulos se pueden usar

grados, minutos y segundos.

1 grado = 60 minutos 1° = 60’

1 minuto = 60 segundos 1’= 60’’

7 Nina trazó un ángulo que mide 31°. ¿Cuánto mide otro ángulo que es la quinta parte de ese?

8 Un ángulo mide 44° 37’.

a) ¿Cuánto mide otro ángulo que es la mitad de ese?

b) ¿Y otro que es el triple?

9 ¿Es posible que un ángulo mida 64° 20’? ¿Y que mida 20° 64’?

65,5° 65° 5’ 66,5° 65° 50’ 65° 30’ 66° 30’

PARA RECORDAR ENTRE TODOS

La suma de los ángulos

interiores de cualquier

triángulo es igual a 180°.

En el problema 8. a) será interesante discutir la equivalencia entre 22° 18,5’ y 22° 18’ 30’’.

Sistema sexagesimal para la medición de tiempo y de ángulos.


RECAPITULAR

ENTRE TODOS

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1 Vuelvan a leer el índice de este capítulo e inventen otros títulos que permitan anticipar mejor

qué contenidos se trabajan en las páginas 8, 9, 12, 13 y 17.

2 Analicen diversas formas de descomponer 5.555.555 usando sumas, multiplicaciones

y potencias de diez.

3 ¿Cómo se dan cuenta de qué número se forma con 3 × 106 + 3 × 104 + 3 × 102?

4 Vuelvan a leer los problemas de este capítulo.

a) ¿Cuáles se pueden resolver con multiplicaciones, cuáles, con divisiones, y cuáles, con ambas?

Indiquen el número de cada problema y la página donde se encuentra.

b) ¿En cuáles es importante el resto de la división entera para elaborar la respuesta?

5 ¿Cómo le explicarían a un compañero cómo se hace para obtener el resto de la división entera

de un número cualquiera por 10, 100, 1.000, etc., sin hacer la cuenta?

6 Determinen cómo se modifica el producto de una multiplicación:

a) al duplicar uno de los factores;

b) al duplicar los dos factores;

c) al reducir a la mitad uno de los factores;

d) al duplicar uno de los factores y reducir a la mitad el otro.

7 Busquen en este capítulo uno o dos ejemplos de problemas que:

a) tienen una sola solución;

b) tienen infinitas soluciones;

c) tienen varias soluciones;

d) no tienen solución.

8 Vuelvan a mirar los problemas que resolvieron en este capítulo, completen los que hayan

quedado sin resolver y revisen los errores. Anoten las dudas que les surjan para aclararlas

entre todos.

El propósito de esta página es ofrecer un conjunto de actividades que per mitan a los alumnos revisar los problemas resueltos y las ideas utilizadas a la luz de cierto trayecto recorrido. Se trata de que tengan una nueva oportu nidad de visitar sus resoluciones, analizar los procedimientos empleados, y distinguir y sistematizar las cuestiones que deben retener como fruto del tra bajo en clase.

Seguramente el docente deba gestionar momentos iniciales de trabajo individual o en parejas para luego dirigir un espacio colectivo de debate y síntesis que permita orde-nar las situaciones que aquí se plantean.

Es probable que el desarrollo de estas actividades pro-picie la construcción de nuevas relaciones y nuevos conocimientos.


PROBLEMAS PARA ESTUDIAR I

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PARA HACER

EN

LA CARPETA

1 ¿Cuál de estas escrituras corresponde a cuatro mil sesenta y ocho millones

ciento cinco?

468.000.105 4.068.000.105 4.000.068.105

2 ¿Cuál o cuáles de las siguientes escrituras corresponden a tres mil trescientos tres millones?

3.000.000.303 3.303 × 1.000.000 3.303.000.000 3.003 millones

3 Ubicá aproximadamente en la siguiente recta los números 42,5 millones y 43 millones.

40.000.000 45.000.000

4 Completá el cuadro

sin resolver las divisiones.

5 Ordená las siguientes expresiones de menor a mayor.

2.300 2 × 103 4 × 104 8 × 102 750

6 ¿Cuál de las siguientes escrituras corresponde a 62,41 millones?

62.041.000 6.241.000 62.410.000 624.100.000

7 ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a 5.505.505?

5 × 1.000.000 + 5 × 100.000 + 5 × 1.000 + 5 × 100 + 5

5 × 100.000 + 5 × 1.000 + 5.000 + 505 5 × 1.000.000 + 5 × 100.000 + 55 × 10 + 5 × 1

55 × 105 + 55 × 102 + 5 5 × 106 + 555 × 104 + 5

Cálculo Cociente Resto

8.462 : 10

8.462 : 100

8.462 : 1.000


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8 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) 7,5 minutos es lo mismo que 7 minutos y 5 segundos.

b) 150 minutos equivalen a 2,5 horas.

c) En tres horas y media hay más de 200 minutos.

9 ¿Un ángulo de 53,5° es mayor, menor o igual que otro que mide 53° 5’?

10 ¿Podrían ser estas las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo? 25° 20’ 105,5° 50°

11 Al realizar una cuenta con la calculadora científica, en el visor apareció 3.6 10 .

¿Cuál o cuáles de estos cálculos pudo haberse hecho?

36 × 1.000.000.000 36 × 10.000.000.000 36 × 10.000.000

36 × 100.000.000 36 × 1.000.000 0,36 × 100.000.000.000

12 Escribí estas cantidades usando números y operaciones con potencias de 10.

a) 93.237 = b) 420.814 = c) 5.672.169 =

13 ¿Qué expresión representa un valor mayor en cada caso?

a)

b)

c)

4.154

8 × 104

9 × 103

4 × 105 + 4 × 103 + 6 3 × 106 + 4 × 105 + 56 × 102

3.456.000


a) 308 × 1.000.000 = c) 2.540 × 100 : 1.000 =

b) 44 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = d) 3.004 × 100 × 1.000 : 10 =

15 Teniendo en cuenta que 44 × 12 = 528, averiguá el resultado de los siguientes cálculos.

a) 44 × 24 = d) 44 × 6 = g) 528 : 44 =

b) 88 × 12 = e) 22 × 6 = h) 528 : 12 =

c) 440 × 12 = f) 44 × 120 = i) 4.400 × 12.000 =


PROBLEMAS PARA ESTUDIAR II

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PARA HACER

EN

LA CARPETA

1 Sin hacer las cuentas, ¿cuál pensás que puede ser el resultado correcto en cada caso?

a)

b)

c)

d)

144 × 99 =

200 × 39 =

125 × 60 =

9.720 : 30 =

1.276 3.276 14.256

3.900 7.800 12.600

1.500 3.500 7.500

4 324 4.324


24 × 10 = 24 × 5 = 24 × 50 =

140 × 10 = 140 × 5 = 140 × 50 =

3 Completá esta tabla sabiendo que todas las cajas contienen la misma cantidad de

cucuruchos.

4 Un sitio de internet ofrece 640 películas. Si hay 16 películas por fila,

¿cuántas filas tiene el sitio?

5

Una plancha de stickers de emoticones está organizada en 46 filas de 14 emoticones cada

una. Si se duplicaran la cantidad de filas y de emoticones por fila, ¿la cantidad total de

emoticones sería el doble, el triple o el cuádruple de la inicial?

Cantidad de cajas

3 8 12 20 28 300 400 412 8.000

Cantidad de cucuruchos

1.500


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6 El jurado del Festival de Madariaga tiene que evaluar a 6 postulantes en la primera jornada.

a) ¿De cuántas maneras distintas se puede organizar el orden en que cantarán?

b) Si ya está determinado quiénes cantarán en primero y segundo lugar, ¿cuántas

posibilidades hay?

7 Para registrarse en una página de internet, Amélie decidió usar una clave de cuatro caracteres

con las siguientes letras y números: A, K, 2 y 8, sin que se repitan.

a) ¿Cuántas claves distintas puede armar?

b) Si quiere tener más combinaciones posibles, ¿le conviene agregar una letra y que la clave

tenga cinco caracteres, o conservar los cuatro caracteres pero admitiendo repeticiones?

8 Un servicio de viandas ofrece 5 postres diferentes y Mercedes quiere probarlos todos. Si pide

uno por día, ¿de cuántas maneras distintas puede ordenarlos?

9 Si hoy es domingo, ¿qué día de la semana será dentro de 600 días?

10 Una empresa de internet recibió 358 pedidos de conexión. Decidieron realizar 35

instalaciones por semana para cubrir esta demanda.

a) ¿Cuántas semanas les llevará completar esta tarea?

b) ¿Cuántos pedidos más pueden incluir en la última semana para completar la tanda?

11 Las cocheras de un estacionamiento están distribuidas en filas de 14 lugares cada una.

a) ¿En qué fila estará la cochera que tiene el número 135? ¿Y la que tiene el número 148?

b) ¿Cuál es el número de la primera y el de la última cochera de la fila en la que está la

cochera 252?

12 ¿Es verdad que dentro de 70 días será el mismo día de la semana que hoy? ¿Y dentro de 777 días?

13 a) Al hacer la división entera de un número por 6, se obtuvo cociente 15 y resto 4. ¿Cuál es el

número que se dividió?

b) Si el resto hubiera sido cero, ¿qué número se habría dividido?

14 Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta.

¿Hay más de una posibilidad? 8 7/


...para conocer las prácticas matemáticas

de distintas culturas.

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