Libro Eduardo Quiroz

INVESTIGACION DE OPERACIONES EN ADMINISTRACION Eduardo Quiroz................................................................................................................................................................................................................................

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CAPITULO ILA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Aunque originalmente no se llamo as, la investigacin de operaciones es muy antigua. Sus racesprincipales han crecido ms recientemente por dos razones. La primera es la necesidad del estudiocientfico de los problemas de administracin (los que involucran las interrelaciones de las unidadesfuncionales de la empresa), y la segunda se relaciona con la oportunidad de que los hombres deciencia atacaran los problemas militares durante la segunda Guerra Mundial . Esas dos fuerzasmotivadoras se combinaron para producir la investigacin de operaciones como se conoceactualmente.

La investigacin de operaciones se puede definir como la utilizacin de un mtodo planeado y deun grupo interdisciplinario a fin de rep resentar las relaciones funcionales complejas como modelosmatemticos para proporcionar una base cuantitativa en la toma de decisiones y descubrir nuevosproblemas para su anlisis cuantitativo.

La investigacin de operaciones es un instrumento de la adm inistracin diseado para aumentar laefectividad de las decisiones administrativas como suplemento objetivo de las sensacionessubjetivas(basadas en la experiencia pasada, la intuicin, el criterio, etc. ) de los administradores.La investigacin de operaciones puede sugerir cursos alternativos de accin cuando se analiza unproblema y se busca una solucin. El estudio de los problemas complejos mediante la tcnica de lainvestigacin de operaciones solo es til cuando es posible escoger entre uno o ms cu rsos deaccin. Los problemas que solo tienen una o muy pocas soluciones en condiciones limitativas nomostraran una mejora significativa en sus soluciones cuando s utilicen mtodos cuantitativos. Alfinal, los modelos cuantitativos de la investigacin de operaciones son instrumentos adicionales quepermiten al decisor ser mas objetivo al escoger determinado curso de accin entre muchasalternativas.La lista de teoras, tcnicas, mtodos y modelos que se han asociado con la investigacin deoperaciones ha crecido en el transcurso del tiempo, pero esto no quiere decir que sea completa. Enla actualidad hay una tendencia bien definida de combinar varias tcnicas de la investigacin deoperaciones para formar modelos mas avanzados.

1.1. DEFINICION DE MODELOEs la representacin o abstraccin de una situacin u objeto reales, que muestra lasrelaciones (directas e indirectas) y las interrrelaciones de la accin y la reaccin en trminosde causa y efecto.Como el modelo es la abstraccin de una realidad, pue de parecer menos complicado que lamisma. Para que sea completo, el modelo debe ser representativo de aquellos aspectos dela realidad que estn investigndose.Una de las razones principales para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuales sonlas variables importantes o pertinentes, lo que esta asociado a investigar las relacionesentre variables. Para investigar las relaciones que hay entre muchas variables del modelose usan tcnicas cuantitativas como la estadstica y la simulacin.

1.2. CLASIFICACION DE MODELOSLos modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propsitos, temas o gradode abstraccin.Los modelos bsicos son: icnicos, analgico y simblico(matemticos).

1.2.1. MODELOS ICONICOSEs la representacin fsica de algun os objetos, ya sea en forma idealizada o en una escaladistinta.


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Los modelos icnicos sin muy adecuados para la descripcin de acontecimientos en unmomento especifico del tiempo. Por ejemplo una fotografa es una buena imagen de unafabrica, un avin prototipo a escala.

1.2.2. MODELOS ANALOGICOSEstos modelos pueden representar situaciones dinmicas que muestran las caractersticasdel acontecimiento que se estudia.Las curvas de demanda, las curvas de distribucin de frecuencias en las estadsticas y lo sdiagramas de flujo, son ejemplos de modelos analgicos.A menudo un modelo analgico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativasentre las propiedades de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades enpropiedades anlogas, con frecuencia vamos podemos incrementar nuestra capacidad dehacer cambios.

1.2.3. MODELOS SIMBOLICOS (o MATEMATICOS )Los modelos simblicos son verdaderas representaciones de la realidad y toman la formade cifras, smbolos y matemticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos ennuestra mente y que luego se registran como modelos simblicos. Un tipo de modelosimblico o matemtico que se usa comnmente en la investigacin de operaciones es unaecuacin. Una ecuacin es concisa, precisa y fcil de comprender. Sus smbolos no slo sonmucho ms fciles de manipular que las palabras sino que se escriben ms rpidamente.Adems de estas ventajas, los modelos simblicos se prestan a las manipulaciones de lascomputadoras.

Entre los tipos de modelos matemticos que se usan en la investigacin de operaciones, setiene:A) Cuantitativos y cualitativosLa investigacin de operaciones se ocupa de la sistematizacin de los modelos cualitativos yde su desarrollo hasta el punto en que puedan cuantificarse. Est o no significa que lametodologa de la investigacin de operaciones pueda cuantificar situaciones cualitativas.Los problemas que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes sellaman modelos cualitativos.Cuando construimos un modelo mat emtico e insertamos smbolos para representarconstantes y variables, llamamos a esto un modelo cuantitativo. Un ejemplo es la ecuacinmatemtica, ya que representa una abstraccin de las relaciones entre constantes yvariables.

B) Probabilstico y determinsticoLos modelos pueden separarse en dos categoras: probabilsticos y determinsticos.Los modelos que se basan en las probabilidades y en las estadsticas y que se ocupan deincertidumbres futuras se llaman probabilistas. Los modelos cuantitativos que no tienen queno contienen consideraciones probabilisticas se llaman modelos determinsticos.

C) Descriptivos y de optimizacin .En algunas situaciones un modelo se construye sencillamente como descripcin matemticade una condicin del mundo real. Esos m odelos se llaman descriptivos y tienen la capacidadde solucin. Sin embargo en esos modelos no se hace ningn intento para escoger la mejoralternativa.Cuando se compara un modelo de optimizacin, se hace un esfuerzo concertado para llegara una solucin ptima cuando se presentan alternativas. Cuando un modelo deoptimizacin se usa en forma apropiada, suministra la mejor alternativa de acuerdo con loscriterios de entrada. Por consiguiente un modelo de optimizacin se ocupa de una


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respuesta ptima, mientras que el modelo descriptivo no intenta seleccionar la mejoralternativa, sino tan solo describir las selecciones presentes.D) Estticos y dinmicosLos modelos estticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial decondiciones fijas que probablemente no cambiarn significativamente a corto plazo. Porejemplo en la programacin lineal, en la que las restricciones se fijan en trminos de losrequerimientos de tiempo y disponibilidad a corto plazo. Un modelo esttico dar porresultado la mejor solucin basada en esa condicin esttica.Un modelo dinmico est sujeto al factor tiempo, que desempea un papel esencial en lasecuencia de decisiones. Independientemente de cuales hayan sido las decisionesanteriores, el modelo dinmico nos permi te encontrar las decisiones ptimas para losperodos que quedan todava en el futuro.

E) SIMULACIN Y NO SIMULACINLa simulacin es un mtodo que comprende clculos secuenciales paso por paso, dondepuede reproducirse el funcionamiento de problemas o siste mas de gran escala. En muchoscasos donde ocurren relaciones complejas, tanto de naturaleza predecible como aleatoria,es ms fcil preparar y pasar una situacin simulada en una computadora, que preparar yemplear un modelo matemtico que represente todo el proceso que se estudia. En unmodelo de simulacin los datos de entrada pueden ser reales o generados. Aunque algunosproblemas se prestan para usar nmeros aleatorios y datos empricos en los modelos desimulacin, otros muchos se prestan para los mode los no simulados, como los deoptimizacin. Estos tienen tcnicas preparadas especialmente para sus solucionesrespectivas.

1.3. MODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLos modelos para la resolucin de problemas por medio de la investigacin de operac iones,pueden agruparse de la siguiente manera:

1.3.1. Modelos de secuenciacinEstos modelos comprenden la determinacin de una secuencia ptima para una serie detareas o eventos, o la mejor secuencia para dar servicios a los clientes, a fin de aminor ar eltotal de tiempo y de costos. Las tcnicas del PERT y CPM, se aplican actualmente ainvestigaciones y desarrollo, construccin, planeacin de nuevos productos y otras reassemejantes. Otros problemas de secuenciacin tales como la planeacin de maqu inas seresuelven usando tcnicas heursticas y de simulacin.

1.3.2. Modelos de reemplazoGeneralmente los problemas de reemplazo son de dos tipos: los que comprenden artculosque se deterioran a travs del tiempo y los que fallan despus de determina do perodo. Lassoluciones del primer tipo se obtienen a travs de la programacin dinmica. Los modelosdel segundo tipo consideran al reemplazo de los artculos a medida que fallan, el reemplazode todos ellos a intervalos especificados, o algunas combin aciones de ambos mtodos.Puede emplearse el muestreo estadstico y la teora de probabilidades para resolverlos.

1.3.3. Modelos de inventarioEstos modelos (ecuaciones de la cantidad econmica de la orden), se ocupan de dosdecisiones: que cantidad hay que ordenar cada vez, y cundo hay que pedir esa cantidad afin de aminorar el costo total. Se determinan los costos de existencia, costos de pedidos deinventario y costos de faltantes, a fin de que la administracin pueda emplear una relacinde eficacia de costos(modelo) para lograr un equilibrio apropiado entre costos y faltantes.Las reglas de decisin del costo mas bajo para la administracin de los inventarios pueden


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obtenerse tambin por medio del clculo, la teora de probabilidades, la programac indinmica y la simulacin.

1.3.4. Modelo de asignacinCuando hay que llevar acabo varias actividades, maneras alternativas de ejecutarlas einstalaciones y recursos limitados para desempear cada una de ellas del modo msefectivo, habr un problema de asignacin de esos recursos escasos. El problema consisteen combinar las actividades y los recursos de forma ptima de modo que la eficienciageneral se aumente al mximo, o sea que se aumente las utilidades y se disminuyan loscostos. Esto se conoce como programacin matemtica. Cuando las restricciones seexpresan en forma de ecuaciones lineales, esto se conoce como programacin lineal. Sialguna restriccin no es lineal, se le llama programacin no lineal.

1.3.5. Modelos de programacin dinmicaLa programacin dinmica, un resultado de la programacin matemtica, es una decisinafortunada y relativamente reciente a la tcnicas estndar crecientes de la investigacin deoperaciones. Estos modelos son tiles en los procesos que se extienden a cierto nmero deperodos o eventos. En vez de optimizar cada decisin a medida que ocurre, laprogramacin dinmica toma en cuenta los efectos de las decisiones de hoy sobre losperodos futuros. La mayor parte de los problemas de programacin dinmica requieren elempleo de una computadora para manipular la gran cantidades de datos.

1.3.6. Modelos competitivosLa teora de juegos, suministra una estructura conceptual dentro de la cual puedenformularse casi todos los problemas de competencia. Los negocios lo ha n usadoeficazmente para desarrollar estrategias de publicidad, polticas de precios y oportunidadpara la introduccin de nuevos productos. En los juegos se ha usado con xito la teoraestadstica de la decisin y la simulacin.

1.3.7. Modelos de lneas de esperaLa teora de lneas de espera, llamada a veces teora de colas, se ocupa de las llegadasaleatorias a una instalacin de servicio o de procesamiento de capacidad limitada. Estemodelo tiene por objeto determinar el nmero ptimo de personal o d e instalaciones quese requieren para dar un servicio a los clientes que llegan aleatoriamente al considerar elcosto de servicio y el de las esperas.

1.3.8. Tcnicas de simulacin

La simulacin esta asociado con la experimentacin.

1.3.9. Modelos de rutaUno de los ms importantes problemas de ruta es el problema del agente viajero. Elproblema consiste en escoger una ruta que comience en la propia ciudad del agente, paseuna sola vez por cada ciudad y regrese a su punto de partida por la distancia mas cort aposible en trminos de tiempo o costo. El modelo de ruta se ha aplicado a la produccin,donde el nmero de modelos o artculos producidos es anlogo a las ciudades. Los costosde cambio de produccin corresponden a los costos de los viajes entre las di versasciudades.


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CAPITULO II

LA PROGRAMACION LINEAL

2.1. HISTORIA DE LA PROGRAMACIN LINEAL

Histricamente, el problema general de programacin lineal fue desarrollado y aplicado porprimera vez en 1947 por George B. Dantzig, Marshall Wood y sus asociados delDepartamento de la Fuerza Area de la Estados Unidos. En esta poca, este grupo fueencargado de investigar la posibilidad de aplicar tcnicas matemticas a la programacinmilitar y a los problemas de planeacin. Este estudio lleva a Dantzig a proponer que lasinterrelaciones entre las actividades de una gran organizacin, fueran vistas como unmodelo tipo de programacin lineal, y el programa de optimizacin fuera determinadominimizando una funcin lineal objetiva.Con objeto de desarrol lar y ampliar estas ideas posteriormente, la Fuerza Area organizun grupo de investigacin bajo l titulo de Proyecto SCOOP (Scientific Computation ofOptimiun Programs). Adems de llevar la programacin de la Fuerza Area y los problemasde planeacin hacia bases mas cientificas, la principal contribucin del proyecto SCOOP fueel desarrollo formal y la aplicacin del modelo de programacin lineal. Esas primerasaplicaciones del mtodo de programacin lineal cayeron en tres categoras principales.Aplicaciones militares generadas por el proyecto SCOOP, economas interindustrialesbasadas en el modelo de insumoproducto de Leontief, y problemas que incluan lasrelaciones entre los juegos de suma cero para dos personas y la programacin lineal. En ladcada de los sesenta estos campos de aplicacin se extendieron y desarrollaron pero, sinembargo, el principal nfasis en las aplicaciones de la programacin lineal ha cambiadohacia el rea industrial en general.

El enunciado matemtico inicial del problema general de programacin lineal, fuedesarrollado por Dantzig en 1947 a travs de su mtodo simplex, un procedimientosistemtico para resolver el problema. Despus de esto se reconoci que cierto nmero deproblemas(algunos sin resolver) es del tipo que tr ata de la optimizacin de una funcinlineal sujeta a restricciones lineales.

Los ejemplos ms importantes incluyen el problema de transporte presentado por Hitchcock(1947) e independientemente por Koopmans (1947) y el problema diettico de Stigler(1945).Las primeras soluciones favorables a un problema de programacin lineal, en unacomputadora electrnica de alta velocidad, se llevaron a cabo en enero de 1952 con el usode la maquina SEAC del National Bereau of Standards. Desde entonces el algoritmo si mplexo variaciones de este procedimiento es l ms utilizado debido a su eficienciacomputacional.La programacin lineal se ha convertido en una importante herramienta de las matemticasmodernas, tanto tericas como aplicadas.

2.2. REVISION DE LAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL.

En trminos generales, muchas de estas aplicaciones dan una idea de la flexibilidad y xitodel modelo de programacin lineal.

2.2.1. Aplicaciones en la agricultura.Estas aplicaciones caen en dos categoras: econom a de las granjas yadministracin de las granjas. La primera categora trata de todos los aspectos de


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la economa agrcola, o sea, relacionada con la economa de la regin estado onacin. En tanto que la administracin de las granjas se refiere a problem as quesolo ataen individualmente a cada una.Un estudio de la economa de las granjas, conduce a u modelo de equilibrio en elespacio.Una aplicacin de las tcnicas de programacin lineal a un problema deadministracin de granjas tpica es la de as ignar fuentes limitadas tales comosuperficie, trabajo, suministro de agua, capital de trabajo, etc., en tal forma comopara maximizar las entradas netas.

2.2.2. Aval de contratos.El modelo de programacin lineal ha sido aplicado a la competencia de la emisinde bonos. La emisin de bonos en serie por los gobiernos y otras autoridadespublicas esta basada en el mtodo de costo de inters neto. El emisor que presentael costo mas bajo a la autoridad es el que gana la emisin. El modelo considera losfactores que intervienen en el costo de inters neto y proporciona un mtodo paraajustar las variables mas sujetas al control de los emisores de bonos. El modeloque surge de la minimizacin de las necesidades admite as una solucin explcita.

2.2.3. Aplicaciones industriales

A. Industria QumicaLas aplicaciones dentro de la industria qumica han sido, sobre todos, en loscampos de produccin y de administracin de inventarios.

B. Industria del carbnSe formulo un modelo para la industria del carb n el cual implica dosproblemas interrelacionados de programacin lineal. Los datos delproblema son demandas distribuidas especialmente para el carbn y loscostos unitarios de las entregas desde los depsitos hasta las localidades.Los niveles de esas entregas constituyeron as las variables al primerproblema de programacin lineal. Se seleccionaron en tal forma queminimizaron el costo de las demandas en funcin de las restricciones de lacapacidad de los depsitos de carbn.Las variables del segundo problema de programacin son los costos deentrega del carbn en las localidades y la regalas unitarias percibidas enlos diferentes depsitos. Se seleccionaron los valores de estas variablespara maximizar el total neto de entradas de dinero debidas al p ago de lasregalas.

C. Aviacin ComercialLas aplicaciones en este campo esta conectado con problemas de rutas yde administracin de lneas.

D. Industria del TransporteEste en un campo en el que se encuentran pocas aplicaciones. El trabajoprincipal se ha hecho para el diseo optimo y el empleo optimo tambin deredes de comunicacin. Los mtodos de programacin lineal han sidoutilizados en la transmisin, relevo e interrupcin. Estos mtodosproporcionan una correcta aproximacin para resolver i nteraccionescomplejas entre capacidades de sistemas, demandas de clientes y factoreseconmicos.


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E. Industria del Hierro y del AceroEn esta industria han sido formulados y planteados numerosos modelospara la planeacin de produccin.

F. Industria papeleraEl problema del transporte se ha usado dentro de la industria papelera y dela pulpa. La programacin de transporte trata del problema de unaempresa que cuenta con varias instalaciones. El problema consiste en cmoasignar las diversas rdenes a los molinos para reducir los fletes totales dela empresa a un mnimo.

G. Industria petroleraEste campo industrial ha proporcionado muchas y muy importantesaplicaciones de la programacin lineal. La primera de ellas,cronolgicamente hablando, fue la mezcla de gasolinas para maximizar lasutilidades. Otros problemas implican la asignacin de crudos a diversarefineras, as como el inventario ptimo y la tasa de produccin paraproductos cuyo consumo varia con el ao. Los modelos matemticos de lasoperaciones de las refineras y de la industria petrolera en general, hanconducido al estudio y solucin de muchos problemas cuya programacinya no es lineal.

H. Industria ferrocarrilera

Ha sido formulado un modelo de programacin lineal para optimizar losmovimientos de mercancas por fecrrocarril en lo que se refiere a sus fletes,para poder manipular los problemas que se encuentran en una granterminal ferroviaria.Otras aplicaciones ferroviarias tienen que tratar con la distribucin de losvagones de carga y la clasificacin de los esfuerzos en los patios.

2.2.4. Anlisis Econmico.El uso de tcnicas de programacin lineal en el campo de la economa no se halimitado al modelo interindustrial de Leontief. Otra aplicacin importante ha sido lainterpretacin lineal de la teora o poltica econmica de la empresa.El problema de seleccionar inversiones ha sido tratado mediante tcnicas deprogramacin lineal. Adems de las dietas, muchos problemas del aspecto msvasto del anlisis de mercados han s ido planteados segn estas tcnicas.Mediante las tcnicas de programacin lineal, se investigaron tambin casosespeciales de la teora de localizacin de fabricas, o sea, la seleccin de lugarespara plantas y almacenes tendiente a maximizar las ganancia s.Un experimento poco usual que implica la programacin lineal, se diseo paramedir la utilidad cardinal de gastos monetarios y cmo usar las utilidadescalculadas para predecir nuevas selecciones.

2.2.5. Aplicaciones militaresUno de los primeros modelos lineales que se hizo, cronolgicamente hablando, fueel concerniente al despegue de los aviones. En l,, las restricciones implicadas eranlos suministros a Berln Occidental, el nmero posible de vuelos, el nmero detripulaciones y de aviones y fina lmente el dinero disponible. El objetivo era o bienser capaces de entregar una cantidad especificada de toneladas con el costomnimo posible, o bien maximizar el tonelaje que haba que transportar con unacantidad dada de dinero y de equipo.


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Otro uso dentro de la Fuerza Area fue el problema del desempleo, en estrecharelacin con la asignacin eficiente de recursos limitados como pueden ser lastripulaciones de combate debidamente entrenadas y el nmero de aviones.Otros ejemplos militares incluyen: el p roblema de seleccionar una arma areacontra guerrillas; el problema de defensa de las comunidades frente a desastres

2.2.6. Asignacin de personalUn problema particular de asignacin dinmica considera el caso de los colectoresde peaje en las casetas para periodos dados de tiempo con el mnimo de personalposible.

2.2.7. Programacin de produccin y administracin de inventariosLa programacin lineal considera el problema de suavizar la produccin parasatisfacer requisitos estipulados en tal form a que se minimicen los costos dealmacenamiento.Un problema que ha sido investigado en muchas formas mediante la programacinlineal es el de balancear una lnea de ensamble. Una variante a este problema es lalnea de produccin en etapas mltiples. El p roblema se plantea en cmo minimizarel tiempo total transcurrido a lo largo de toda la lnea de produccin..Otra aplicacin implica el problema de determinar el nmero de cada tipo deunidad o articulo que se va a producir por caminos diferentes en una l nea deproduccin de un taller, en tal forma que el costo total de produccin sea el mnimoy que satisfaga los tiempos y caractersticas para los medios disponibles.Tambin tenemos el problema de proporcionar y asignar nuevos aviones a lasdiversas tareas de transporte para minimizar los costos acumulados.

2.2.8. Diseo estructuralLos problemas en este campo implican la linealizacin de los principios deingeniera relacionados con la teora del colapso plstico y del diseo estructural.El problema de disear marcos planos en tal forma que el consumo de materialessea mnimo puede tambin formularse mediante un modelo lineal.

2.2.9. Anlisis de traficoEste problema tiene que ver con el asunto de la sincronizacin de los semforos. Laformulacin matemtica del sistema de redes de calles implica el conocimiento delos siguientes parmetros: ciclo total de los semforos(rojo ms verde); la fraccindel ciclo que permanece rojo en cada crucero, as como l numero de vehculos quepueden moverse en cada direccin en dicho crucero. El modelo puede manipularfenmenos tales como la variacin de velocidad promedio a lo largo del recorrido y,en diferentes porciones de este, salidas y entradas de vehculos al mismo, variacinde la capacidad de transito con interseccin y direccin de flujo, la capacidad decada cuadra para contener vehculos estacionados, luces de tres vas y otrasprogramaciones especiales. El criterio para obtener un tiempo ptimo desincronizacin de los semforos es que se minimicen el numero de retrasos.

2.2.10.Problema de transporte y teora de redes.El problema se plantea de la siguiente manera: consideremos una red, digamosferrocarriles, carreteras, comunicaciones en general; conectemos dos puntos dadosmediante un cierto numero de puntos intermedios y, as, cada arco o enlace de lared llevara un numero que represente su capacidad. Suponiendo la condicin deestados estable, encontrar el flujo mximo desde un punto a otro. Un mtodosimple de calculo, basado en el simplex, ha s ido desarrollado para resolver esteproblema.


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2.3. LA PROGRAMACION LINEAL EN LA ECONOMIA

La investigacin para la mejor solucin, la mxima, la mnima o en general las solucionesptimas a una variedad de problemas ha entretenido e intrigado al hombre a travs de lasedades. Euclides, en su libro III, se preocupo en encontrar las lneas rectas ms cortas yms largas que pudieran trazarse desde un punto hasta la circunferencia de un circulo, y ensu libro IV, describe como encontrar el paralelogramo de superficie mxima con unpermetro dado. Sin embargo, el mtodo de ataque riguroso a estos problemas mascomplicados, tuvo que esperar hasta que los grandes matemticos de los siglos XVII yXVIII desarrollaran los poderosos mtodos del calculo y del calcul o de variaciones.. Conestas tcnicas podemos encontrar las soluciones mximas y mnimas a una amplia gamade problemas de optimizacin..

En el campo de la economa es problema cotidiano el que se refiere a la distribucin derecursos limitados; por la simple enumeracin de los casos en que se presenta eseplanteamiento, puede observarse que subyace en gran parte de la economa, tocandocaptulos o partes de ella, muy variados.

La distribucin de recursos escasos es esencialmente un problema de decisi n, puesimplica la accin de preferir una alternativa de usos, entre una gama infinita deposibilidades.Adems, para los fines que se persigue en cada caso y las limitaciones que impone laescasez de los recursos, en muchas ocasiones es necesario sacrific ar una meta en aras deotras.

Tales decisiones deben estar basadas en consideraciones tericas y practicas queproporcionen elementos suficientes para suponer que la decisin tomada es precisamentela adecuada o que, cuando menos, figura entre las mejores .

La decisin que implica preferencia de una alternativa entre otras cualitativamente distintas vgr. Entre construir una casa o un hospital -, empieza a ser un motivo de investigacin,pero los resultados alcanzados se basan, a menudo, en criterios muy discutibles.

Otra cosa sucede cuando son cuantificables tanto las metas o fines perseguidos como losrecursos. En este caso, el problema de decisin puede resolverse a partir de criterios dendole cuantitativa; por otra parte, la idoneidad de la decisin tomada para lograr undeterminado fin, es susceptible de medida y, por tanto, de calificacin.Gran parte de los problemas econmicos cuantitativos de decisin tienen una solucinptima. En verdad, el problema fundamental es la tcnica que se debe aplica r paradeterminar la solucin idnea desde el punto de vista cuantitativo.

Se ha dicho que el principio econmico fundamental es la obtencin de un resultadodeterminado con el mnimo posible de medios. Semejante principio es una norma generalque se tiene presente al decidir una asignacin de recursos. Pero si bien se le tienepresente, su aplicacin origina problemas en su mayor parte no resueltos a la fecha.Sin embargo, algo se ha adelantado en ese terreno. En la actualidad existen algunastcnicas que, como conjunto permitirn alcanzar decisiones econmicas sobre bases cadavez mas cientficas.

Dentro del esfuerzo para hacer mas cientfica la Economa, destacan los modelosmatemticos. La aplicacin de las Matemticas a la Economa tiene ya una respet abletradicin: se debe a Cournot su adaptacin primera. Desgraciadamente, las consecuencias


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de tal aplicacin fueron lamentables: el aparente caos de la vida econmica, llevo alestudiosa a resumir los fenmenos en modelos matemticos que eliminaban ciert ascaractersticas esenciales y que, en ultima instancia, deformaba la realidad hasta hacerlatan parecida a los pjaros o animales convencionales del arte decorativo, de que hablabaMarshall.

Los peligros que entraa la aplicacin de los mtodos matem ticos a la economa han sidodenunciados con celo excesivo, aunque tambin con ciertas bases objetivas. De cualquier manera,el abuso de las Matemticas les creo tal desprestigio como mtodo aplicable a la Economa, que elgrupo de tcnicas surgidas durant e la segunda guerra mundial fue recibido con fro y hostilidad;ahora bien su aportacin a la solucin de ciertos problemas econmicos, troc bien pronto lahostilidad en respeto. En la actualidad puede afirmarse que las nuevas tcnicas matemticasocupan un lugar de honor en la Economa.

El grupo de tcnicas a que nos referimos se conoce con el nombre de Investigacin deOperaciones, Investigacin Operativa o Teora de Decisiones. Su objetivo principal es ladeterminacin de soluciones optimas de los pro blemas econmicos, mediante mtodosmatemticos y estadsticos. Aun cuando su campo de aplicacin no es exclusivamente la Economa,la mejor cosecha se ha logrado en l.

A tal grupo de tcnicas pertenece la Programacin Lineal. El problema que resuelve, e n su aspectogeneral, es que se refiere a determinar la combinacin de recursos que permita la obtencin delmximo producto. El adjetivo lineal deriva de la condicin de que las relaciones implicadas sean deprimer grado o lineales.Ya a primera vista pude verse que se trata de una tcnica que hace posible, cientficamente, laaplicacin del principio fundamental en aquellos casos en que la expresin algebraica del problemaes un conjunto de relaciones lineales.

Aun cuando parezca demasiado restrictiva la condicin de linealidad, las posibilidades de aplicacinson abundantes. Un ejemplo permitir aclarar conceptos.

Es tpico el caso de una empresa que produce varios artculos; supongamos, para simplificar laexposicin, que se trata de dos artculos que difieren solamente en calidad, y que la produccin deuna unidad de cada uno de ellos necesita cierta cantidad de materias primas(diferentesproporciones), y distinto tiempo de elaboracin. Si se cuenta con una cantidad limitada de materiasprimas y una capacidad de produccin determinada, se trata de precisar el nmero de unidades decada articulo que se deber producir para obtener los ingresos mas elevados posibles, dada lalimitacin de los recursos y suponiendo conocidas las utilidades unitarias de cad a tipo de articulo.

En un problema de esta ndole se pueden buscar diversas soluciones. Una de ellas seria fijar el plande produccin siguiendo el criterio de producir la mayor cantidad posible de aquel articulo queproporcione las mayores utilidades por unidad. Otro criterio para determinar el programa deproduccin puede consistir en calcular las utilidades obtenibles de producirse el mximo posible decada articulo y optar por aquel que proporcione las mayores utilidades.

Debe hacerse notar aqu, que los planes de produccin determinados con los criterios anteriores nohan de coincidir necesariamente con el plan optimo. Pero puede pensarse tambin en la posibilidadde determinar el plan de produccin buscando una combinacin de los dos artculos queproporcionen la mxima utilidad y, obviamente, ser ese el criterio que se puede considerar masefectivo. Ahora bien, cmo calcular semejante combinacin si los planes posibles suelen ser


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numerosos?. Mas aun, suponiendo que se llegara a una solucin que se considerara optima puedeafirmarse que necesariamente es la mejor?

La combinacin ptima puede determinarse por medio de la programacin lineal. Una idea generalsobre el planteamiento nos aproximara mas a la naturaleza del problema.Tenemos un objetivo, que es la maximizacin de las utilidades. Ahora bien, tales utilidadesdependen del numero de unidades que de cada articulo se produzcan, por lo que es posibleexpresarlas como la suma de la utilidad unitaria de cada articulo multiplicada por el nmero deunidades que se produzcan de l. La expresin algebraica de las utilidades ser una funcin, y si,cualquiera que sea la cantidad producida de un articulo, su utilidad unitaria es constante, esafuncin ser de primer grado o lineal.

Nuestro objetivo, por tanto, es obtener el mximo valor de la funcin de utilidades, es decirmaximizar la funcin. Pero dicho mximo esta restringido por las limitaciones de materias primas yde capacidad de produccin; por ello decidimos que se trata de obtener un mximo co ndicionado.Analicemos las condiciones o restricciones. Si disponemos de una cantidad determinada dematerias primas para la produccin, resultara obvio que lo requerido para un plan de produccinposible deber ser igual, cuando ms, a la suma disponible. Dicho de otro modo, la cantidad dematerias primas utilizadas deber ser igual o menor que la cantidad disponible de ellas. Pero, ensentido matemtico, esto equivale a una desigualdad. A igual conclusin se llega al plantear larestriccin de capacidad.

El problema desde el punto de vista matemtico, consiste en obtener el valor mximo de unafuncin condicionada por desigualdades. Empero, lo que se ha dicho para el caso de las utilidades oel producto, es valido tambin para conceptos como costos; sin embargo, en ese caso, el objetivoser minimizarlos.

El ejemplo que hemos utilizado en los renglones anteriores es demasiado simple. La realidad estacompuesta por fenmenos que implican el manejo de una gran cantidad de variables en muchasocasiones; por lo tanto, la solucin manual de un problema de programacin lineal implica untrabajo excesivo y muchas veces antieconmico. Empero, esta limitacin ha dejado de existir desdeel momento en que surgieron las computadoras, las cuales han abierto nuevas po sibilidades para lasolucin de problemas econmicos.El empleo de las computadoras es imprescindible cuando se pretende resolver problemas queimpliquen gran numero de operaciones o cuyo proceso de solucin es iterativo, como es el caso dela Programacin Lineal.La Programacin Lineal se aplica a problemas de desarrollo, donde es necesario el manejo de unagran numero de ecuaciones e incgnitas.

El descubrimiento de la programacin lineal ha repercutido en la Teora Econmica, al haberintroducido nuevos conceptos tales como proceso y programa, lo cual da un enfoque realista dela empresa.En las dos ultimas dcadas , se ha originado una nueva clase de problemas de optimizacinrelacionadas con las estructuras complejas de organizaciones propias de la sociedad moderna.

Para el economista la parte ms importante de la Programacin Lineal es la representada por laexposicin del problema en forma matemtica, pues ello le permite conocer su naturaleza ydeterminar el mtodo que lo resuelve.


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CAPITULO IIIPROGRAMACION LINEAL

3.1. DEFINICIONLa programacin lineal es una tcnica de optimizacin que consiste en la maximizacin ominimizacin de una funcin lineal, llamada funcin objetivo o funcin econmica, sujeta arestricciones tambin lineales.El adjetivo lineal deriva de la condicin de que las relaciones implicadas sean de primergrado.

El criterio de optimizacin es por lo general un objetivo econmico. Por ejemplo: lasganancias, las capacidades, los requerimientos, etc. son funciones que se deben maximizar;en cambio los costos, las perdidas, los accidentes, etc. son funciones que se debenminimizar.

3.2. MODELO DE PROGRAMACION LINEALEl modelo de un programa lineal tiene la siguiente forma:

Max o Min (Z) = c1x1 + c2x2 + ..........+ cnxn (1)

Sujeto a las restricciones estructurales:

a i1 x1 + a i2 x2 + .....+ a in xn = b i i=1,m (2)

y las restricciones de no negatividad

x j 0 j=1,n (3)En las ecuaciones anteriores: a ij , bi y cj son valores que se asumen conocidos y elproblema consiste en hallar los valores de los x j que optimicen la funcin (1) sujeta a lasrestricciones (2) y (3).Las variables x j se llaman variables de decisin.Por consiguiente un modelo de programacin lineal tiene 3 componentes: Una funcin objetivo como se indica en (1) Un conjuntos de restricciones estructurales como se indica en (2) Un conjunto de restricciones de no -negatividad de las variables de decisin, como se

indica en (3)

Un programa lineal puede ser expresado de la siguiente forma:n

Max o Min (Z) = cj xj J=1

Sujeto a:n a ij x j = b i i=1,mJ=1

X j 0 j=1,n


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el programa lineal tambin puede ser expresado utili zando la notacin matricial:

Max o Min (Z) = C t Xs.a.

A X = B

X 0

Donde:

c1 x1 b1 a11 a12 .......... a1n c2 x2 b2 a21 a22 .......... a2n

C = . X = B = A= ........................

cn xn bm am1 am2 ........... amn

3.3. FORMULACION DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL .Para formular el modelo es necesario estudiar el sistema t eniendo en cuenta los objetivosque se persigue alcanzar. Por lo general, se asume que el sistema satisface ciertascondiciones, para que pueda ser modelado mediante un programa lineal.

La formulacin del modelo de PL consiste en determinar el valor de lo s coeficientes a ij, b i ,c j y expresar el modelo en una de las formas del modelo de PL.Cabe indicar que formular y modelar un Programa Lineal no son cosas equivalentes. Enparticular, la formulacin del Programa Lineal procede solamente despus de lamodelacin.

A continuacin se presentan algunas aplicaciones de programacin lineal, donde el objetivoes formular el programa lineal correspondiente; ya que los mtodos de solucin sdiscutirn posteriormente.

3.4. SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El proceso de solucin de un programa lineal empieza cuando este ha sido formuladocorrectamente, y consiste en aplicar un mtodo o una tcnica de solucin para hallar elvector X que optimice la funcin objetivo, sujeta a las restricciones estructurales y a lasrestricciones de no-negatividad.

Un programa lineal puede ser resuelto mediante un mtodo grfico, o en forma analticasegn la complejidad del problema. La aplicacin de un mtodo analtico implica el uso decierto algoritmo de calculo.Existen muchos mtodos analticos para solucionar un programa lineal, sin embargo l masutilizado debido a su eficiencia computacional es el Mtodo simplex.

3.5. FORMULACION DE PROBLEMAS

En esta parte, los pasos de formulacin que se presentaron en la seccin anterior seaplican a problemas de complejidad variable. Tambin haremos hincapi en las nuevastcnicas, tiles en la identificacin de las variables, los datos, la funcin objetivo y lasrestricciones.


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EJEMPLO 3.1.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabrica artculos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3procesos en el mismo orden que son:

- Maquinado- Armado- Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente;mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente.

El gerente de produccin debe decidir que cantidad de cada pr oducto debe manufacturarse con elobjeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de produccin, sabiendo que la gananciapor cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Solucin:

Las variables de decisin son:x1: nmero de unidades del producto A que se va a producir/semanax2: nmero de unidades del producto B que se va a producir/semana

El programa lineal es:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2s.a.

2x 1 + 2x 2 160 x 1 + 2x 2 120 4x 1 + 2x 2 280

x 1, x 2 0

EJEMPLO 3.2.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y altogrado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo gra do, 5 ton. De medio grado y20 ton. De alto grado.La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto grado en un da deoperacin. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 7 ton de alto gradopor da de operacin.Los costos de operacin son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para la fabrica 2.Cuantos das debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta enla forma ms econmica?SOLUCION

Sean las variables de decisin:x1 = nmero de das de trabajo de la fabrica 1x2 = nmero de das de trabajo de la fabrica 1


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Min (z) = 1000x1 +2000x2s.a.

8x1 +2x2 161x1 +1x2 5

2x1 +7x2 20 x1, x2 0

PROBLEMA 3.3.: EJEMPLO DE POLITICA DE INVERSION

Un banco tiene $ 1 milln disponible para prstamos. Puede prestar dinero a empresas,proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las polticas del banco limitan losprstamos personales a un mximo del 25% de t odos los prestamos, mientras que los prestamos aempresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas.Tambin el banco quiere que los prstamos a empresas sean por lo menos 10% ms que losprestamos personales. Los interese promedio son: 12% en prstamos p ersonales, 10% enprstamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado, se invierten envalores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el inters.

Solucin

Variables de decisin :

X 1 = prestamos personalesX 2 = prestamos a empresasX 3 = prestamos por hipotecasX 4 = inversin en valores a corto plazo

Funcin objetivo

Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4

Restricciones:

X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 ( capital de inversin)

X 1 0.25 (X 1 + x 2 + x 3) (prestamos personales) X 2 x 3 (prestamos a empresas) X 2 1.10 x 1 (prestamos a empresas)

Condicin de no negatividad

X 1 , x 2 , x 3 , x 4 0


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PROBLEMA3.4.: EJEMPLO DE POLITICA DE PRESTAMOS

Una institucin financiera, ALFA BANK, se encuentra en el proceso de formular su poltica deprstamos para el prximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $ 12 millones. Siendo unainstitucin de servicios integrales, esta obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. En lasiguiente tabla, se seala los tip os de prestamos, la tasa de inters que cobra el banco y laposibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, segn se estima porsu experiencia.

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto no producen ingresopor concepto de intereses.La competencia con otras instituciones financieras del rea requiere que el banco asigne cuandomenos el 40% de los fondos totales a prstamos agrcolas y comerciales. Para dar asistencia a laindustria de la habitacin en la regin, los prstamos para casa deben ser iguales cuando menos al50% de los prstamos personales, para automvil y para casa. El banco tiene asimismo una polticaestablecida que especifica que la relacin global de pagos irrecuperables no puede ser superior a0.04.

Solucin:Variables de decisin:X 1: Prestamos personales en millones de $X 2: Prestamos para automviles.X 3: Prestamos para casa.X 4: prestamos agrcolasX 5: prestamos comerciales

Funcin objetivo:El objetivo es maximizar el rendimiento neto: diferencia entre ingreso por concepto de interes y losfondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertos son irrecuperables,tanto el inters como el principal en la funcin objetivo es:

Max(z) = 0.14(0.9x1) + 0.13(0.93x2) + 0.12(0.97x3) + 0.125(0.55x4) + 0.1(0.98x5)

- 0.1 x1 0.07 x2 0.03 x3 0.05 x4 0.02 x5Restricciones

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12 (Fondos totales)X + X5 0.4 (12) (prestamos comerciales y agricolas)x3 0.5(X1 + X2 + X3 ) (prestamos para casa)0.1X1 + 0.07 X2 +0.03 X3 +0.05 X4 + 0.02 X5--------------------------------------------------- 0.04 (limites sobre adeudos X1 + X2 + X3 + X4 + X5 no cubiertos)

O bien:

0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 0

Tipo deprstamo

Tasa deinters

Probabilidad deincobrables

Personal 0.140 0.10Automvil 0.130 0.07Casa 0.120 0.03Agrcola 0.125 0.05Comercial 0.100 0.02


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Condicin de no negatividad ;

X i j 0PROBLEMA 3.5.: EJEMPLO DE UN PLAN DE INVERSION

Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonteeconmico de 5 aos. Cada unidad econmica invertida en A en el comien zo de cualquier aoproduce una utilidad de $ 0.40, dos aos mas tarde. Cada unidad monetaria invertida en B, en elcomienzo de cualquier ao produce una utilidad de $ 0.70 tres aos mas tarde. Adems tiene otrasdos perspectivas: C y D para el futuro.

Cada unidad monetaria invertida en C en el comienzo del segundo ao permite una utilidad de$1.00 al fin de los 5 aos. Cada unidad monetaria invertida en D en el comienzo del quinto aoproduce una utilidad de $0.30.

El inversionista dispone de $ 10,000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice susutilidades.

Solucin:

Podemos esquematizar el plan de inversin de la siguiente manera:

AosActividad

1 2 3 4 5 Utilidad

0.40

A

X 1AX 2A

X 3AX 4A

0.40(x1A+x2A+X3A+x4A)

0.70

B

X 1BX 2B

X 3B 0.70(x1B+x2B+x3B)

1.00 C

X 2C0.10(x2C)

0.30 D

X 5D0.30(x5D)

El capital requerido y la utilidad se invierte n en las diversas actividades del ao correspondiente.

Variables de decisin

X i j: unidades monetarias invertidas en el i -simo perodo y la j-sima actividad,

Funcin objetivo:

Max (z) = 0.40(x1A+x2A+X3A+x4A) + 0.70(x1B+x2B+x3B) + 0.10(x2C) + 0.30(x5D)

Restricciones :Las restricciones son debido a la disponibilidad de capital en cada ao.Para el primer ao


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X 1A + X1B 10,000Para el segundo ao:

X 2A + x 2B + X 2C + 10,000 - X 1A - X1BPara el tercer ao

X 3A + X 3B 10,000 - X1B - X 2A - X 2B - X 2C + 0.40 X1APara el cuarto ao:

X 4A 10,000 + X 1A - x 2B - X 2C - X 3A - X 3B + 0.40 x 2A + 0.70 X 1BPara el quinto ao:

X 5D 10,000 - x 2C - X 3B X 4A +0.40 x 3A - 0.70 X 2Bcondicin de no negatividad

X ij 0 (variables no negativas)

PROBLEMA 3.6.: EJEMPLO DE INVERSION

Al gerente de cartera de la AFP BUENA VIDA se la ha pedido invertir $1000,000 de un gran fondode pensiones. El departamento de investigacin de inversiones ha identificado seis fondos mutu oscon estrategias de inversin variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgosasociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO1 2 3 4 5 6

Precio($/accin) 45 76 110 17 23 22Devolucin esperada (%) 30 20 15 12 10 7Categora de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diferentes fondos.Para este fin, la administracin de la AFP, ha especificado las siguientes pautas:

La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de lacartera.

La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de lacartera.

La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50% de lacartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo enmuchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificado que la cantidad invertida enlos fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 , respectivamente. La cantidadinvertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2 .Con estas pautas, qu cartera debera usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar latasa esperada de retorno?.


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Solucin

Variables de decisin:

X j : fraccin de la cartera por invertir en el periodo j

Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida

Funcin objetivo:

Max(z) = 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6

Restricciones:

Por inversin

X1 + X2 + X3 0.50 (mnimo alto riesgo)X1 + X2 + X3 0.75 (mximo alto riesgo)X4 + X5 0.20 (mnimo mediano riesgo)X4 + X5 0.30 (mximo mediano riesgo)X6 0.05 (mnimo bajo riesgo)

Debido a las proporciones:

X2 = 2 X1 - 2 X1 + X2 = 0 (proporcin X1 a X2 )



Agenda Total de cartera

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1

Condicin de no negatividad:

X j 0 (j = 1,6)


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PROBLEMA 3.7.: EJEMPLO DE PROBLEMA DE ADMINISTRACIN DE CARTERA

Los socios generales de Gamma Tech, una compaa de inversin de capital de riesgo estnconsiderando invertir en una o ms propuestas que han recibido de varios negocios empresariales.El departamento de investigacin ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarioscumplen con el requerimiento de Gamma Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente altopara el riesgo asociado. Estas compaas son: Bio Tech, Tele Comm, Laser -Optics y Compu-Ware.El departamento de investigacin de Gamma Tech tambin ha estimado el rendimiento total deestos negocios en dlares actuales, dado en la ltima columna de la tabla si guiente:

PROYECTOS AO 1 AO 2 AO 3 AO 4 DEVOLUCIONBio Tech 60 10 10 10 250Tele Comm 35 35 35 35 375Laser-Optics 10 50 50 10 275Compu-Ware 15 10 10 40 140Fondos parainversin

90 80 80 50

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversione s de una cantidad conocida al principio decada uno de los siguientes cuatro aos, como se muestra en la tabla. El departamento decontabilidad de Gamma Tech ha preparado una estimacin de los fondos totales que Gamma Techtiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro aos, que se da en la ultima filade la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier ao no estn disponibles para suinversin en los aos posteriores.

Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se le ha pedido hacer recomendacionesrespecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr l mas alto rendimientototal en dlares actuales. Ud. y los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un esfuerzo pordiversificarse, no inverti r conjuntamente en Tele -Comm y Laser-Optics, que estn desarrollandoel mismo tipo de tecnologa.

Solucin:

Variables de decisin:

Pregntese que puede controlar libremente en este problema y se dar cuenta de que puede elegiraceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisionesimplican una decisin si no. Parece razonable entonces crear una variable entera para cadaproyecto de la siguiente manera

1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4)X j =

0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j

Funcin Objetivo:

Max (z)= 250X1 + 375 X2 + 275 X3 + 140 X4

Restricciones:

Fondos totales invertidos en los proyectos seleccionados


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60X1 + 35X2 + 10X3 + 15X4 90 (ao 1)10X1 + 35X2 +50 X3 +10 X4 80 (ao 2)10X1 + 35X2 + 50X3 +10 X4 80 (ao 3)10X1 +35 X2 +10 X3 +40 X4 50 (ao 4)

Restriccin de pauta de inversin

Recuerde que la administracin ha decidido no invertir en Tele -Com y Laser-Optics a la vez. Puedeusar las variables X2 y X3 para escribir una restriccin matemtica apropiada?

Se necesita una restriccin para asegurar que si X 2 es 1 , entonces X3 es 0, y si X3 es 1, entoncesX2 es 0 ( o de manera equivalente ambas variables no pueden tener el valor 1)Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dos variables sea 0

X2 * X3 0

Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensndolo un poco, puede darse cuenta deque la siguiente restriccin logra el mismo objetivo

X2 + X3 1

Restricciones de no negatividad

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 1

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Una estacin de TV afronta el siguiente problema: se ha comprobado que el programa A con 20minutos de msica y 2 minutos de comerciales interesa a 30,000 televidentes, mientras que elprograma B con 10 minutos de msica y 1 minuto de comerciales interesa a 10,000 televidentes. Elauspiciador de los programas insisti en que por lo menos se dedique 6 minutos de propaganda porsemana, mientras que una estacin de TV no puede dedicar ma s de 80 minutos semanales paramsica.Cuntas veces por semana debera ser presentado cada programa a fin de lograr el mximonmero de televidentes?

2. la Ca. ALFA produce ejes de automviles y camiones para mercado nacional o internacional.Cada eje debe pasar por dos procesos de manufactura: moldeado y acabado.Cada eje de automvil requiere 16 unidades de moldeado y 10 unidades de acabado, mientras queun eje de camin requiere 24 unidades de moldeado y 20 de acabado. Semanalmente se disponede 480 unidades de moldeado y 360 de acabado. La demanda de sus ejes es tal que la Ca. Puedevender todo lo que produce. ALFA obtiene un beneficio de $50 por cada eje de automvil y $60 porcada eje de camin.Adems ALFA tiene un contrato con la Beta Motor Co. Por el cual debe entregar 12 ejes deautomvil y 8 de camin semanalmente.Dado los limites y requerimientos mencionados, ALFA desea saber que cantidad de ejes deautomvil y de camin debe producir semanalmente para maximizar sus utilidades.

3. Un hombre que tiene $10,00 para invertir, esta considerando dos tipos de inversin: bonos yacciones. Despus de consultar con su corredor, el inversionista ha escogido dos bonos y dos


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acciones que le interesan particularmente. La utilidad promedio que puede espera r de lasinversiones es como sigue:

Tipo de inversin: Accin 1 Accin 2 Bono 1 Bono 2Utilidad promedio: 5% 6% 3.5% 4%

Adems su corredor le recomend muy especialmente que invirtiera por lo menos $4,000 en bonosy no ms de $3,000 en la Accin 2. Este consejo es tomando en cuenta los xitos financiero y losriesgos que esta dispuestos a correr, de modo que el inversionista se atiene a estas limitaciones yrequerimientos.Su objetivo es maximizar las utili dades bajo estas condiciones. Cul es el plan de inversinptimo?

4. Una pequea planta fabrica 2 tipos de partes para automvil, compra piezas fundidas que semaquinan, taladran y pulen. Se proporciona los datos que aparecen en la siguiente tabla:

PARTE A PARTE BCAPACIDAD DE MAQUINADO 25 por hora 40 por horaCAPACIDAD DE TALADRO 28 por hora 35 por horaCAPACIDAD DE PULIDO 35 por hora 25 por hora

Las piezas fundidas para la par te A cuestan $2 cada una; para la parte B cuestan $3. Se venden a$5 y $6 respectivamente. Las tres tienen costos de operacin de $20, $14 y $17.50 por hora.Suponiendo que se puede vender cualquier combinacin de partes A y B, Cul es la mezcla deproductos que maximiza la utilidad?

5. La Cia. Gamma vende 4 tipos de productos. En la siguiente tabla se dan los recursos requeridospara producir una unidad de cada producto, y los precios de venta de cada producto.

PRODUCTO1 2 3 4

MATERIA PRIMA 2 3 4 7HORAS DE TRABAJO 3 4 5 6PRECIO DE VENTA $4 $6 $7 $8

En la actualidad se dispone de 4,600 unidades de materia prima y 5,000 horas de trabajo. Parasatisfacer las demandas de los clientes, hay que producir exactamente 950 unidades en total. Losclientes exigen que se produzcan por lo menos 400 unidades del producto 4.Cul seria el plan de produccin ptimo a din de maximizar los ingresos de Gamma por las ventas?

6. La Cia. ALFA, vende rollos de papel para computadoras y cajas registradoras adiversos vendedores al detalle. Sus rollos estndar tienen 20 pulgadas de ancho. Losvendedores al detalle han hecho pedidos de 1050 rollos de 3 pulgadas de ancho; 2050rollos de 5 pulgadas de ancho y 4050 rollos de 8 pulgadas de ancho. Estos son pedidosnicos. Cualquier rollo sobrante de tamao para el detalle se vende con descuento, loque provoca una perdida neta de $1 por cada rollo de 3 pulgadas, $1.50 por cada rollode 5 pulgadas y $2 por cada rollo de 8 pulgadas.El desperdicio es reciclado a un cost o neto de $0.50 por pulgada.Como gerente del departamento de produccin, se le ha pedido como deben cortarselos rollos para satisfacer la demanda especificada para los rollos de tamao para ventaal detalle (con el mnimo desperdicio de papel, sabiendo que el mximo desperdicio


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aceptable de papel por rollo es de 2 pulgadas), a la vez que se minimice el costo total.Formule un modelo de programacin lineal para este problema.7. La Compaa ALFA fbrica 3 productos de caucho: Airtex(material esponjoso),Extendex(material elstico) y Resistex(material rgido). Los tres productos requierenlos mismos tres polmeros qumicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usadapor libra del producto final se muestra en la siguiente tabla:

INGREDIENTES(oz./lb de producto)PRODUCTO POLIMERO

APOLIMERO B POLIMERO C BASE

AirtexExtendexResistex

436

223

425

692

Alfa, tiene el compromiso de producir al menos 1000 lbs. De Airtex, 500 lbs. DeExtendex y 400 lbs. De Resistex para la prxima semana, pero la gerencia de la Cia.Sabe que puede vender mas de cada uno de los tres productos.Los inventarios actuales de los ingredientes son: 500 lbs. De polmero A, 425 lbs. Depolmero B, 650 lbs. De polmero C y 1,100 lbs. De la base. Cada libra de Airtexproduce a la Cia. Una ganancia de $7, cada libra de Airtex una ganancia de $7 y cadalibra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de produccin,usted necesita determinar un plan de produccin ptimo para esta semana.8. .La Beta Oil Company, cerca de Lima, suministra gasolina a sus distribuidores encamiones. La compaa recientemente recibi un contrato para iniciar el suministro de800,000 galones de gasolina por mes a distribuidores del Departamento de LaLibertad. La compaa tiene $500,000 disponibles para crear una flota consistente entres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidadrelevante, costo de compra, costo operativo y nmero mximo de viajes por cada tipode camin.

TIPO DECAMION

CAPACIDAD(galones)

COSTO DECOMPRA($)

COSTO DEOPERACIN($/mes)

MAXIMO DEVIAJES/MES

1 6000 50,000 800 202 3000 40,000 650 253 2000 25,000 500 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compaa nodesea comparar ms de 10 vehculos para su flota. Asimismo, la compaa desearaasegurarse que se compren al menos tres de los camiones Del tipo 3 (que se requierenpara su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compaa nodesea que ms de la mitad de la flota sea de camiones Del tipo 1. Como gerente deoperaciones, formule un modelo para determinar la composicin de la flota queminimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga la demanda, nosalindose Del presupuesto y satisfaciendo l os requerimientos de las otras compaas.9. La Cia. Gamma dirige sus gastos de venta en diversos rubros con el objeto de producir ventas.Uno de los tipos de actividad que es efectiva es la Conferencia Regional de Ventas. Existen 6regiones (designadas I a VI) en las cuales estas conferencias toman lugar semanalmente y enalgunas mensualmente. Cada una de las conferencias puede ser de un da completo o de medioda.Existe un costo por persona y un resultado esperado de ventas para cada uno de estos tipos de


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conferencias. Los tipos de conferencias disponibles, sus costos y sus ventas resultantes se listan acontinuacin.

Conferencias de Ventas Costo($) Ventasresultantes($)

Mensual I - Todo el da 120 13,500Semanal II - Todo el da 130 21,500Semanal II - Medioda 80 11,500Semanal III - Todo el da 60 7,500Mensual IV - Todo el da 100 11,800Mensual IV - Medioda 60 9,500Semanal V - Todo el da 200 22,000Semanal VI - Todo el da 600 97,000Semanal VI - Medioda 350 50,000

Adems de estas actividades, un comercial de tv que cuesta $1,250 debe producir $118,500 enventas.Un anuncio en un grupo de peridicos locales costar $330 y producir $57,000 en ventas.}Finalmente, el tener abierta una oficina de consultas durant e un da costar $180 y producir$23,800 en ventas.A la Cia. Le gustara maximizar sus ventas manejando sus gastos de venta, pero desea manteneralgunas restricciones. El plan fue cubrir un perodo de 6 meses y para ese periodo el presupuestode gastos de ventas es $52,500. Se decidi que al menos la mitad del presupuesto deba ir a lasconferencias semanales y mensuales de ventas. Al menos una persona deba ser enviada a lasemanal VI y mensual I (das completos).El comercial de tv. Debe ser usado al m enos una vez, adems no debe enviarse mas de unapersona a las conferencias Mensual IV como a la semanal II (das completos)Explique la distribucin ptima de los gastos de venta. Qu restricciones esta considerando?


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CAPITULO IV

SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEALEl proceso de solucin de un Programa lineal empieza con el problema expresado ensu forma general y consiste en aplicar un mtodo de solucin para hallar el vector xque optimice la funcin objetivo, sujeta a la restricciones estructurales y a lascondiciones de no negatividad de las variable de decisin.La solucin puede ser hallada mediante el mtodo grfico o geomtrico, o en formaanaltica, dependiendo de la complejidad del problema. Dentro de los mtodosanalticos el mas usado debido a su eficiencia computacional es el mtodo simplex.4.1. METODO GRAFICO O GEOMETRICO

Este mtodo tiene la ventaja de ser fcilmente comprensible y adems permitevisualizar alguna propiedades de un programa lineal.En este capitulo se examinaran los programas lineales con dos variables desde unpunto de vista geomtrico.Aun cuando los problemas del mundo real tienen muchas variables y no puedenresolverse geomtricamente, las ideas ganadas al resolver grficamente problemasde dos variables proporciona una clara comprensin de cmo resolveralgebraicamente problemas de tres o mas variables que es el mtodo usado concomputadoras. Este mtodo es til no solo para encontrar una solucin optima,sino tambin para obtener informacin adicional sobr e cuan susceptible es lasolucin ptima con respecto a los cambios en los datos del problema(sensibilidad).Ejemplo 4.1. : PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCIONLa Cia. ALFA fabrica artculos para el hogar y manufactura dos productos: A y B.Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:

- Maquinado- Armado- Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso son: 160,120 y 280minutos respectivamente.El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos demaquinado, armado y montaje respectivamente.El gerente de produccin debe decidir que cantidad de cada producto debemanufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitadosde produccin, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10y del producto B es de $15.Solucin:Las variables de decisin son:x1: nmero de unidades del producto A que se va a producir


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x 2: nmero de unidades del producto B que se va a producirEl programa lineal es:Max Z = 10 x 1 + 15 x 2s.a.

2x 1 + 2x 2 160 x 1 + 2x 2 1204x 1 + 2x 2 280

x 1 , x 2 0

4.1.1. Grfica de las restricciones de un Programa Lineal.En primer lugar hay que graficar las restricciones. Para determinar quevalores de x 1 y x 2 satisfacen las restricciones considere una restriccina la vez.Cada restriccin presenta ciertos valores de x 1 y x 2 que satisfacen larestriccin. Estos valores se denominan valores factibles. Aquellosvalores que no satisfacen la restriccin se llaman valores infactibles.Si consideramos la restriccin 2x 1 + 2x 2 160 , como una ecuacin, esdecir: 2x 1 + 2x 2 = 160, entonces esta representara una recta en elplano cartesiano, pero como el signo es de desigualdad la restriccinrepresentar a uno de los semiplanos en que queda dividido el planocartesiano.Esta recta tiene como puntos:x 1 = 0 , x 2 = 80 punto (0,80)x 2 = 0 , x 1 = 80 punto (80,0)

X2 Grfica 1

100 - 80 - 60 - 40 - 20 -

l l l l l x1 20 40 60 80 100


27

L1

La recta L1 : 2x 1 + 2x 2 = 160 corta al plano en dos semiplanos. Donde uno contienetodos los punto que cumplen con la condicin de 2x 1 + 2x 2 160 (valores factibles) ,es decir la zona rayada.Cabe hacer notar que solamente se hace uso del primer cuadrante, debido a lacondicin de no negatividad de las variables de decisin.Aplicando los mismos conceptos a la segunda y tercera restriccin y superp oniendo lastres grficas, tenemos que la zona en la cual se cumplen simultneamente las tresrestricciones, es la regin rayada, tal como se indica en la siguiente grfica:

Grfica 2

140 - 120 -

100 - 80 - 60 - 40 -

20 - l l l l l l x1

20 40 60 80 100 120

Se observa que cualquier punto dentro de la regin sombreada cumplesimultneamente con las tres restricciones y con la condicin de no negatividad.El problema consiste en maximimizar la funcin objetivo Z = 10 x 1 + 15 x 2 sobre laregin sombreada de la grfica 2; esto procede de la siguiente manera:Sea Z = 0, entonces la pendiente de la funcin objetiva es:

m = x 2 / x 1 = - 10 / 15Por lo tanto, la funcin objetivo, z , representa una familia de rectas paralelas conpendiente m = - 10/15, tal como se muestra en la grfica 3:


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Grfica 3

140 - 120 - 100 -

80 - 60 - 40 -

20 - l l l l l l x1 20 40 60 80 100 120

z=0 z=1000

La recta 10 x 1 + 15 x 2 = 1000 de la grfica 3, representa el mximo val or de lafuncin z, sujeta a las restricciones del problema propuesto.La recta z=1000 y la regin sombreada tienen un punto comn, cuyas coordenadasson:

x 1 = 40 y x 2 = 40Este punto representa la solucin del problema y el ptimo de la funcin o bjetivo es z= $1000.Sobre la base de este problema, es interesante hacer algunas definiciones inherentes ala solucin de un programa lineal.

Grfica 4 140 120 -

100 - 80 - 60 - 40 -

20 - l l l l l l x1

20 40 60 80 100 120


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Regin Factible:Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad.En nuestro ejemplo , la regin sombreada de la grfica 4 representa la regin factible.La RF, se caracteriza por ser convexa.Solucin Factible:Es cualquier punto situado en la regin factible.Solucin Bsica:Es aquella que se halla en la interseccin de rectas o hiperplanos o en la interseccincon los ejes coordenados. Para nuestro ejemplo, los puntos 1,2,3,..... y 10 de lagrfica 4 son soluciones bsicas.En un sistema donde existen n variables y m restricciones, una solucin bsica seobtiene haciendo (n-m) variables iguales a cero y los valores delas variables restantesse determinan resolviendo las m ecuaciones con m variables.Las m variables se llaman variables bsicas (no negativas).Para nuestro ejemplo, en el programa lineal formulado, agregamos varaibles deholgura para convertir la restriccin del tipo a una restriccin del tipo = .Se agregan tantas variables de holgura como restricciones del tipo existan.Nuestro programa quedara as:Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5

s.a.2x 1 + 2x 2 + x 3 = 160 x 1 + 2x 2 + x 4 = 1204x 1 + 2x 2 x 5 = 280

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0En este caso:

n = 5 y m = 3Se obtiene una solucin bsica haciendo (5 3 = 2) variables iguales a cero.Sea : x 1 = x 2 = 0 (variables no bsicas)

Por consiguiente: x 3 = 160x 4 = 120 variables bsicasx 5 = 280

Esta solucin corresponde al punto 1 en la grfica 4.


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Solucin Bsica Factible:Es una solucin bsica que pertenece a la regin factible.En nuestro ejemplo, los puntos: 1,2, 5,7 y 8 de la grfica 4 son soluciones bsicasfactibles.Solucin Bsica Factible Degenerada:Es una solucin bsica factible en la que una o ms variables bsicas toman el valorcero.Si todas las variables bsicas son positivas, se tendr una solucin bsica factible nodegenerada.Solucin Optima:Es la solucin factible que optimiza la funcin objetivo(segn sea el caso).Tanto la regin factible como la solucin ptima de un programa lineal gozan de ciertaspropiedades, cuya aplicacin facilita el trabajo de calcular el punt o ptimo.Entre estas tenemos: Existe un punto extremo del poliedro convexo en el cual la funcin objetivo es

optimo. Cada solucin bsica factible corresponde a un punto extremo del poliedro convexo.

De lo expuesto, tendramos nicamente que investiga r los puntos extremos delpoliedro convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (o menor0 valor depara la funcin objetivo y tendremos as la solucin optima.En nuestro ejemplo, los puntos extremos que forman la regin factible son lassoluciones bsicas factibles:

s.b.f. x 1 , x 2 z 1 (0,0) 0

2 (0,60) 900 3 (40,40) 1000

4 (60,20) 900 5 (70,0) 700Se observa que el valor de z mas alto es el que le corresponde al punto 3, que vendraa se la solucin ptima.

x 1 = 40 y x 2 = 40 Z max = $1000


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4.2. PROGRAMAS LINEALES CON PROPIEDADES GEOMETRICAS ESPECIALESComo se vio anteriormente, en un programa lineal con dos variables, la solucinoptima ocurri en un punto extremo de la regin factible. A continuacin se vernejemplos de programas lineales para los cuales ste no es el caso. Tambinconocer lo que ocasiona estas excepciones y como interpretarlas.4.2.1. Programas lineales infactibles

Para examinar un tipo de excepcin, supongamos que Ud. es el jefe deproduccin de la empresa ALFA, y que el jefe de ventas le informa que deseafirmar un contrato a largo plazo para proveer 60 unidades del producto A cadada. Para deducir un plan de produccin semanal que satisfaga esterequerimiento de ventas, usted ha modificado la formulacin del programalineal del ejemplo 4.1, aadiendo la siguiente restriccin: x 1 80

Max (z)= 10 x 1 + 15 x 2s.a.

2x 1 + 2x 2 160 (1)x 1 + 2x 2 120 (2)

4x 1 + 2x 2 280 (3)x 1 80 (4) x 1, x 2 0

El resultado de aadir la nueva restriccin(4) se ilustra en la grfica 4.5Grfica 4.5

x2

140 - C 120 - (3)

(4) 100 -

80 - B60 - A

D40 - E

I 20 - F

G H J l l l l l l x 1

20 40 60 80 100 120 (1) (2)


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Como puede observar, no existen valores de x 1 y x 2 que satisfagan la nuevarestriccin(4) y todas las anteriores restricciones. Esto significa, que con susactuales recursos, Alfa no puede satisfacer un acuerdo contractual para proveer80 unidades del producto A por da.Si se firma el contrato propuesto, Alfa necesita ra obtener recursos adicionalespara incrementar las capacidades de produccin. La Gerencia, por tanto, tendrque tomar una decisin estratgica sobre el valor de esta inversin.El programa lineal del ejemplo 4.2. se denomina programa lineal infactible,lo que significa que ningn valor de las variables satisface las restriccionessimultneamente, es decir, que no existe ninguna regin factible. Para talesproblemas, no tiene caso tratar de obtener una solucin ptima por que nisiquiera podr encontrar una solucin factible.Las causas ms comunes para que un programa lineal sea infactible son: Un error en la formulacin del problema. La forma de capturar los datos en la computadora Cuando las restricciones son demasiado restrictivas.

4.2.2. Programas lineales ilimitadosConsidere otro ejemplo de un programa lineal cuya solucin no ocurra en unpunto extremo de la regin factible.Ejemplo 4.3. un programa lineal ilimitadoMax (z) = 2x1 + 2x2s.a.

x1 x2 1 (1)-1/2 x1 + x2 2 (2) x1, x2 0 Grfica 4.6

x1

A 3 - (2) 2 - (1) 1 -

1 2 3 x2


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Se dice que tal problema es un programa lineal ilimitado, lo que significa que lafuncin objetivo puede mejorarse indefinidamente, esto es, que existen valoresfactibles de las variables que pueden hacer el valor de la funcin objetivo tangrande como se desee en el caso de maximizacin (o tan chico como se deseeen el caso de minimizacin).El problema tiene una solucin no acotada.

4.2.3. Programas lineales con soluciones optimas a lternativasAlguno programas lineales tienen ms de una solucin ptima. Cada solucinptima se denomina solucin ptima alternativa . Tener soluciones ptimaalternativas significa solamente que existen diferentes valores factibles para lasvariables que producen el mismo mejor valor de la funcin objetivo. Todas lassoluciones ptimas son iguales en cuanto a que, por definicin son las mejores.Sin embargo, es posible que usted prefiera una de estas soluciones ptimasalternativas sobre las dems por alg una razn secundaria, tal vez por que unasolucin sea ms fcil de poner en prctica que las otras.Ejemplo 4.3. Un programa lineal con solucin ptima alternativa

Max (z) = 2 x 1 + 4 x 2s.a.

2x 1 + x 2 230 (1)x 1 + 2x 2 250 (2)

x 2 120 (3) x 1 , x 2 0

La solucin grfica de este problema se ilustra en la grfica 4.6.Grfica 4.7

X2

300 -

200 - (1) (3) 100 -

x 1 100 200 300

(2)


34

Punto extremo (x 1, x 2) ZA (0,0) 0B (115,0) 230C (70,90) 5 00D (10,120) 500E (0,120) 480


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CAPITULO VEL METODO SIMPLEX

En l capitulo anterior se desarrollo la parte relacionada a como resolver p roblemas deprogramacin lineal con dos variables de manera grfica. Cuando se hayan implicadasmas de tres variables, este enfoque no es posible. Adems, los programas lineales delmundo real se resuelven con la ayuda de computadoras, que utilizan lgebra lineal,no-geometra. En este capitulo desarrollaremos el mtodo simplex, un mtodoalgebraico para resolver todos los problemas de programacin lineal.El mtodo simplex prevee un sistema rpido y efectivo para resolver problemas deprogramacin lineal. Es la tcnica empleada en las aplicaciones prcticas y permiteresolver una gran cantidad de problemas de real importancia industrial.Este mtodo llega a la solucin ptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos,utilizando los conceptos bsicos del lgebra matricial, para determinar la interseccinde dos o mas lneas hiperplanas. Comienza con alguna solucin factible, ysucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones que ofrecen mejores funcionesde la funcin objetivo.Finalmente, este mtodo proporciona un indicador que determina el punto en el cual selogra la solucin ptima.5.1. PROCEDIMIENTO

5.1.1. CASO DE MAXIMIZACION Dado el siguiente programa lineal en forma general:

Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxns.a.

a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn b1a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn b2.................................................

................................................am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn bm

x j 0 (j=1,n)En este programa, se observa que todas las restricciones son del tipo . Para la aplicacin del mtodo simplex, todas las restricciones delprograma tienen que convertirse a la forma =, es decir a la formaestandarizada de un programa lin eal (funcin objetivo de maximizacin,restricciones estructurales del tipo , y las variables de decisin soloadmiten valores positivos).Para lograr esto se introducen las llamadas variables de holgura, una porcada restriccin del tipo que exista, de la siguiente manera:Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn+ 0 x n+1 +0 x n+2+...+0 x n+ms.a. a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn + x n+1 = b1

a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn + x n+2 = b2.................................................


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................................................am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn + x n+m = bm

x j 0 (j=1,n+m)Cabe indicar que las variables de holgura son no negati

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Libro Eduardo Quiroz