Libro eduardo quiroz

INVESTIGACION DE OPERACIONES EN ADMINISTRACION Eduardo Quiroz................................................................................................................................................................................................................................

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CAPITULO I

LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Aunque originalmente no se llamo así, la investigación de operaciones es muy antigua. Sus raícesprincipales han crecido más recientemente por dos razones. La primera es la necesidad del estudiocientífico de los problemas de administración (los que involucran las interrelaciones de las unidadesfuncionales de la empresa), y la segunda se relaciona con la oportunidad de que los hombres deciencia atacaran los problemas militares durante la segunda Guerra Mundial . Esas dos fuerzasmotivadoras se combinaron para producir la investigación de operaciones como se conoceactualmente.

La investigación de operaciones se puede definir como la utilización de un método planeado y deun grupo interdisciplinario a fin de rep resentar las relaciones funcionales complejas como modelosmatemáticos para proporcionar una base cuantitativa en la toma de decisiones y descubrir nuevosproblemas para su análisis cuantitativo.

La investigación de operaciones es un instrumento de la adm inistración diseñado para aumentar laefectividad de las decisiones administrativas como suplemento objetivo de las sensacionessubjetivas(basadas en la experiencia pasada, la intuición, el criterio, etc. ) de los administradores.La investigación de operaciones puede sugerir cursos alternativos de acción cuando se analiza unproblema y se busca una solución. El estudio de los problemas complejos mediante la técnica de lainvestigación de operaciones solo es útil cuando es posible escoger entre uno o más cu rsos deacción. Los problemas que solo tienen una o muy pocas soluciones en condiciones limitativas nomostraran una mejoría significativa en sus soluciones cuando sé utilicen métodos cuantitativos. Alfinal, los modelos cuantitativos de la investigación de operaciones son instrumentos adicionales quepermiten al decisor ser mas objetivo al escoger determinado curso de acción entre muchasalternativas.La lista de teorías, técnicas, métodos y modelos que se han asociado con la investigación deoperaciones ha crecido en el transcurso del tiempo, pero esto no quiere decir que sea completa. Enla actualidad hay una tendencia bien definida de combinar varias técnicas de la investigación deoperaciones para formar modelos mas avanzados.

1.1. DEFINICION DE MODELOEs la representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra lasrelaciones (directas e indirectas) y las interrrelaciones de la acción y la reacción en términosde causa y efecto.Como el modelo es la abstracción de una realidad, pue de parecer menos complicado que lamisma. Para que sea completo, el modelo debe ser representativo de aquellos aspectos dela realidad que están investigándose.Una de las razones principales para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuales sonlas variables importantes o pertinentes, lo que esta asociado a investigar las relacionesentre variables. Para investigar las relaciones que hay entre muchas variables del modelose usan técnicas cuantitativas como la estadística y la simulación.

1.2. CLASIFICACION DE MODELOSLos modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o gradode abstracción.Los modelos básicos son: icónicos, analógico y simbólico(matemáticos).

1.2.1. MODELOS ICONICOSEs la representación física de algun os objetos, ya sea en forma idealizada o en una escaladistinta.


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Los modelos icónicos sin muy adecuados para la descripción de acontecimientos en unmomento especifico del tiempo. Por ejemplo una fotografía es una buena imagen de unafabrica, un avión prototipo a escala.

1.2.2. MODELOS ANALOGICOSEstos modelos pueden representar situaciones dinámicas que muestran las característicasdel acontecimiento que se estudia.Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencias en las estadísticas y lo sdiagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos.A menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativasentre las propiedades de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades enpropiedades análogas, con frecuencia vamos podemos incrementar nuestra capacidad dehacer cambios.

1.2.3. MODELOS SIMBOLICOS (o MATEMATICOS )Los modelos simbólicos son verdaderas representaciones de la realidad y toman la formade cifras, símbolos y matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos ennuestra mente y que luego se registran como modelos simbólicos. Un tipo de modelosimbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación de operaciones es unaecuación. Una ecuación es concisa, precisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo sonmucho más fáciles de manipular que las palabras sino que se escriben más rápidamente.Además de estas ventajas, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de lascomputadoras.

Entre los tipos de modelos matemáticos que se usan en la investigación de operaciones, setiene:A) Cuantitativos y cualitativosLa investigación de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos yde su desarrollo hasta el punto en que puedan cuantificarse. Est o no significa que lametodología de la investigación de operaciones pueda cuantificar situaciones cualitativas.Los problemas que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes sellaman modelos cualitativos.Cuando construimos un modelo mat emático e insertamos símbolos para representarconstantes y variables, llamamos a esto un modelo cuantitativo. Un ejemplo es la ecuaciónmatemática, ya que representa una abstracción de las relaciones entre constantes yvariables.

B) Probabilístico y determinísticoLos modelos pueden separarse en dos categorías: probabilísticos y determinísticos.Los modelos que se basan en las probabilidades y en las estadísticas y que se ocupan deincertidumbres futuras se llaman probabilistas. Los modelos cuantitativos que no tienen queno contienen consideraciones probabilisticas se llaman modelos determinísticos.

C) Descriptivos y de optimización .En algunas situaciones un modelo se construye sencillamente como descripción matemáticade una condición del mundo real. Esos m odelos se llaman descriptivos y tienen la capacidadde solución. Sin embargo en esos modelos no se hace ningún intento para escoger la mejoralternativa.Cuando se compara un modelo de optimización, se hace un esfuerzo concertado para llegara una solución óptima cuando se presentan alternativas. Cuando un modelo deoptimización se usa en forma apropiada, suministra la mejor alternativa de acuerdo con loscriterios de entrada. Por consiguiente un modelo de optimización se ocupa de una


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respuesta óptima, mientras que el modelo descriptivo no intenta seleccionar la mejoralternativa, sino tan solo describir las selecciones presentes.D) Estáticos y dinámicosLos modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial decondiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo. Porejemplo en la programación lineal, en la que las restricciones se fijan en términos de losrequerimientos de tiempo y disponibilidad a corto plazo. Un modelo estático dará porresultado la mejor solución basada en esa condición estática.Un modelo dinámico está sujeto al factor tiempo, que desempeña un papel esencial en lasecuencia de decisiones. Independientemente de cuales hayan sido las decisionesanteriores, el modelo dinámico nos permi te encontrar las decisiones óptimas para losperíodos que quedan todavía en el futuro.

E) SIMULACIÓN Y NO SIMULACIÓNLa simulación es un método que comprende cálculos secuenciales paso por paso, dondepuede reproducirse el funcionamiento de problemas o siste mas de gran escala. En muchoscasos donde ocurren relaciones complejas, tanto de naturaleza predecible como aleatoria,es más fácil preparar y pasar una situación simulada en una computadora, que preparar yemplear un modelo matemático que represente todo el proceso que se estudia. En unmodelo de simulación los datos de entrada pueden ser reales o generados. Aunque algunosproblemas se prestan para usar números aleatorios y datos empíricos en los modelos desimulación, otros muchos se prestan para los mode los no simulados, como los deoptimización. Estos tienen técnicas preparadas especialmente para sus solucionesrespectivas.

1.3. MODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLos modelos para la resolución de problemas por medio de la investigación de operac iones,pueden agruparse de la siguiente manera:

1.3.1. Modelos de secuenciaciónEstos modelos comprenden la determinación de una secuencia óptima para una serie detareas o eventos, o la mejor secuencia para dar servicios a los clientes, a fin de aminor ar eltotal de tiempo y de costos. Las técnicas del PERT y CPM, se aplican actualmente ainvestigaciones y desarrollo, construcción, planeación de nuevos productos y otras áreassemejantes. Otros problemas de secuenciación tales como la planeación de maqu inas seresuelven usando técnicas heurísticas y de simulación.

1.3.2. Modelos de reemplazoGeneralmente los problemas de reemplazo son de dos tipos: los que comprenden artículosque se deterioran a través del tiempo y los que fallan después de determina do período. Lassoluciones del primer tipo se obtienen a través de la programación dinámica. Los modelosdel segundo tipo consideran al reemplazo de los artículos a medida que fallan, el reemplazode todos ellos a intervalos especificados, o algunas combin aciones de ambos métodos.Puede emplearse el muestreo estadístico y la teoría de probabilidades para resolverlos.

1.3.3. Modelos de inventarioEstos modelos (ecuaciones de la cantidad económica de la orden), se ocupan de dosdecisiones: que cantidad hay que ordenar cada vez, y cuándo hay que pedir esa cantidad afin de aminorar el costo total. Se determinan los costos de existencia, costos de pedidos deinventario y costos de faltantes, a fin de que la administración pueda emplear una relaciónde eficacia de costos(modelo) para lograr un equilibrio apropiado entre costos y faltantes.Las reglas de decisión del costo mas bajo para la administración de los inventarios pueden


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obtenerse también por medio del cálculo, la teoría de probabilidades, la programac ióndinámica y la simulación.

1.3.4. Modelo de asignaciónCuando hay que llevar acabo varias actividades, maneras alternativas de ejecutarlas einstalaciones y recursos limitados para desempeñar cada una de ellas del modo másefectivo, habrá un problema de asignación de esos recursos escasos. El problema consisteen combinar las actividades y los recursos de forma óptima de modo que la eficienciageneral se aumente al máximo, o sea que se aumente las utilidades y se disminuyan loscostos. Esto se conoce como programación matemática. Cuando las restricciones seexpresan en forma de ecuaciones lineales, esto se conoce como programación lineal. Sialguna restricción no es lineal, se le llama programación no lineal.

1.3.5. Modelos de programación dinámicaLa programación dinámica, un resultado de la programación matemática, es una decisiónafortunada y relativamente reciente a la técnicas estándar crecientes de la investigación deoperaciones. Estos modelos son útiles en los procesos que se extienden a cierto número deperíodos o eventos. En vez de optimizar cada decisión a medida que ocurre, laprogramación dinámica toma en cuenta los efectos de las decisiones de hoy sobre losperíodos futuros. La mayor parte de los problemas de programación dinámica requieren elempleo de una computadora para manipular la gran cantidades de datos.

1.3.6. Modelos competitivosLa teoría de juegos, suministra una estructura conceptual dentro de la cual puedenformularse casi todos los problemas de competencia. Los negocios lo ha n usadoeficazmente para desarrollar estrategias de publicidad, políticas de precios y oportunidadpara la introducción de nuevos productos. En los juegos se ha usado con éxito la teoríaestadística de la decisión y la simulación.

1.3.7. Modelos de líneas de esperaLa teoría de líneas de espera, llamada a veces teoría de colas, se ocupa de las llegadasaleatorias a una instalación de servicio o de procesamiento de capacidad limitada. Estemodelo tiene por objeto determinar el número óptimo de personal o d e instalaciones quese requieren para dar un servicio a los clientes que llegan aleatoriamente al considerar elcosto de servicio y el de las esperas.

1.3.8. Técnicas de simulación

La simulación esta asociado con la experimentación.

1.3.9. Modelos de rutaUno de los más importantes problemas de ruta es el “problema del agente viajero”. Elproblema consiste en escoger una ruta que comience en la propia ciudad del agente, paseuna sola vez por cada ciudad y regrese a su punto de partida por la distancia mas cort aposible en términos de tiempo o costo. El modelo de ruta se ha aplicado a la producción,donde el número de modelos o artículos producidos es análogo a las ciudades. Los costosde cambio de producción corresponden a los costos de los viajes entre las di versasciudades.


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CAPITULO II

LA PROGRAMACION LINEAL

2.1. HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Históricamente, el problema general de programación lineal fue desarrollado y aplicado porprimera vez en 1947 por George B. Dantzig, Marshall Wood y sus asociados delDepartamento de la Fuerza Aérea de la Estados Unidos. En esta época, este grupo fueencargado de investigar la posibilidad de aplicar técnicas matemáticas a la programaciónmilitar y a los problemas de planeación. Este estudio lleva a Dantzig a proponer “que lasinterrelaciones entre las actividades de una gran organización, fueran vistas como unmodelo tipo de programación lineal, y el programa de optimización fuera determinadominimizando una función lineal objetiva”.Con objeto de desarrol lar y ampliar estas ideas posteriormente, la Fuerza Aérea organizóun grupo de investigación bajo él titulo de Proyecto SCOOP (Scientific Computation ofOptimiun Programs). Además de llevar la programación de la Fuerza Aérea y los problemasde planeación hacia bases mas cientificas, la principal contribución del proyecto SCOOP fueel desarrollo formal y la aplicación del modelo de programación lineal. Esas primerasaplicaciones del método de programación lineal cayeron en tres categorías principales.Aplicaciones militares generadas por el proyecto SCOOP, economías interindustrialesbasadas en el modelo de insumoproducto de Leontief, y problemas que incluían lasrelaciones entre los juegos de suma cero para dos personas y la programación lineal. En ladécada de los sesenta estos campos de aplicación se extendieron y desarrollaron pero, sinembargo, el principal énfasis en las aplicaciones de la programación lineal ha cambiadohacia el área industrial en general.

El enunciado matemático inicial del problema general de programación lineal, fuedesarrollado por Dantzig en 1947 a través de su método simplex, un procedimientosistemático para resolver el problema. Después de esto se reconoció que cierto número deproblemas(algunos sin resolver) es del tipo que tr ata de la optimización de una funciónlineal sujeta a restricciones lineales.

Los ejemplos más importantes incluyen el problema de transporte presentado por Hitchcock(1947) e independientemente por Koopmans (1947) y el problema dietético de Stigler(1945).Las primeras soluciones favorables a un problema de programación lineal, en unacomputadora electrónica de alta velocidad, se llevaron a cabo en enero de 1952 con el usode la maquina SEAC del National Bereau of Standards. Desde entonces el algoritmo si mplexo variaciones de este procedimiento es él más utilizado debido a su eficienciacomputacional.La programación lineal se ha convertido en una importante herramienta de las matemáticasmodernas, tanto teóricas como aplicadas.

2.2. REVISION DE LAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL.

En términos generales, muchas de estas aplicaciones dan una idea de la flexibilidad y éxitodel modelo de programación lineal.

2.2.1. Aplicaciones en la agricultura.Estas aplicaciones caen en dos categorías: econom ía de las granjas yadministración de las granjas. La primera categoría trata de todos los aspectos de


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la economía agrícola, o sea, relacionada con la economía de la región estado onación. En tanto que la administración de las granjas se refiere a problem as quesolo atañen individualmente a cada una.Un estudio de la economía de las granjas, conduce a u “modelo de equilibrio en elespacio”.Una aplicación de las técnicas de programación lineal a un problema deadministración de granjas típica es la de as ignar fuentes limitadas tales comosuperficie, trabajo, suministro de agua, capital de trabajo, etc., en tal forma comopara maximizar las entradas netas.

2.2.2. Aval de contratos.El modelo de programación lineal ha sido aplicado a la competencia de la emisiónde bonos. La emisión de bonos en serie por los gobiernos y otras autoridadespublicas esta basada en el método de costo de interés neto. El emisor que presentael costo mas bajo a la autoridad es el que gana la emisión. El modelo considera losfactores que intervienen en el costo de interés neto y proporciona un método paraajustar las variables mas sujetas al control de los emisores de bonos. El modeloque surge de la minimización de las necesidades admite así una solución explícita.

2.2.3. Aplicaciones industriales

A. Industria QuímicaLas aplicaciones dentro de la industria química han sido, sobre todos, en loscampos de producción y de administración de inventarios.

B. Industria del carbónSe formulo un modelo para la industria del carb ón el cual implica dosproblemas interrelacionados de programación lineal. Los datos delproblema son demandas distribuidas especialmente para el carbón y loscostos unitarios de las entregas desde los depósitos hasta las localidades.Los niveles de esas entregas constituyeron así las variables al primerproblema de programación lineal. Se seleccionaron en tal forma queminimizaron el costo de las demandas en función de las restricciones de lacapacidad de los depósitos de carbón.Las variables del segundo problema de programación son los costos deentrega del carbón en las localidades y la regalías unitarias percibidas enlos diferentes depósitos. Se seleccionaron los valores de estas variablespara maximizar el total neto de entradas de dinero debidas al p ago de lasregalías.

C. Aviación ComercialLas aplicaciones en este campo esta conectado con problemas de rutas yde administración de líneas.

D. Industria del TransporteEste en un campo en el que se encuentran pocas aplicaciones. El trabajoprincipal se ha hecho para el diseño optimo y el empleo optimo también deredes de comunicación. Los métodos de programación lineal han sidoutilizados en la transmisión, relevo e interrupción. Estos métodosproporcionan una correcta aproximación para resolver i nteraccionescomplejas entre capacidades de sistemas, demandas de clientes y factoreseconómicos.


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E. Industria del Hierro y del AceroEn esta industria han sido formulados y planteados numerosos modelospara la planeación de producción.

F. Industria papeleraEl problema del transporte se ha usado dentro de la industria papelera y dela pulpa. La programación de transporte trata del problema de unaempresa que cuenta con varias instalaciones. El problema consiste en cómoasignar las diversas órdenes a los molinos para reducir los fletes totales dela empresa a un mínimo.

G. Industria petroleraEste campo industrial ha proporcionado muchas y muy importantesaplicaciones de la programación lineal. La primera de ellas,cronológicamente hablando, fue la mezcla de gasolinas para maximizar lasutilidades. Otros problemas implican la asignación de crudos a diversarefinerías, así como el inventario óptimo y la tasa de producción paraproductos cuyo consumo varia con el año. Los modelos matemáticos de lasoperaciones de las refinerías y de la industria petrolera en general, hanconducido al estudio y solución de muchos problemas cuya programaciónya no es lineal.

H. Industria ferrocarrilera

Ha sido formulado un modelo de programación lineal para optimizar losmovimientos de mercancías por fecrrocarril en lo que se refiere a sus fletes,para poder manipular los problemas que se encuentran en una granterminal ferroviaria.Otras aplicaciones ferroviarias tienen que tratar con la distribución de losvagones de carga y la clasificación de los esfuerzos en los patios.

2.2.4. Análisis Económico.El uso de técnicas de programación lineal en el campo de la economía no se halimitado al modelo interindustrial de Leontief. Otra aplicación importante ha sido lainterpretación lineal de la teoría o política económica de la empresa.El problema de seleccionar inversiones ha sido tratado mediante técnicas deprogramación lineal. Además de las dietas, muchos problemas del aspecto másvasto del análisis de mercados han s ido planteados según estas técnicas.Mediante las técnicas de programación lineal, se investigaron también casosespeciales de la teoría de localización de fabricas, o sea, la selección de lugarespara plantas y almacenes tendiente a maximizar las ganancia s.Un experimento poco usual que implica la programación lineal, se diseño paramedir la utilidad cardinal de gastos monetarios y cómo usar las utilidadescalculadas para predecir nuevas selecciones.

2.2.5. Aplicaciones militaresUno de los primeros modelos lineales que se hizo, cronológicamente hablando, fueel concerniente al despegue de los aviones. En él,, las restricciones implicadas eranlos suministros a Berlín Occidental, el número posible de vuelos, el número detripulaciones y de aviones y fina lmente el dinero disponible. El objetivo era o bienser capaces de entregar una cantidad especificada de toneladas con el costomínimo posible, o bien maximizar el tonelaje que había que transportar con unacantidad dada de dinero y de equipo.


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Otro uso dentro de la Fuerza Aérea fue el problema del desempleo, en estrecharelación con la asignación eficiente de recursos limitados como pueden ser lastripulaciones de combate debidamente entrenadas y el número de aviones.Otros ejemplos militares incluyen: el p roblema de seleccionar una arma aéreacontra guerrillas; el problema de defensa de las comunidades frente a desastres

2.2.6. Asignación de personalUn problema particular de asignación dinámica considera el caso de los colectoresde peaje en las casetas para periodos dados de tiempo con el mínimo de personalposible.

2.2.7. Programación de producción y administración de inventariosLa programación lineal considera el problema de suavizar la producción parasatisfacer requisitos estipulados en tal form a que se minimicen los costos dealmacenamiento.Un problema que ha sido investigado en muchas formas mediante la programaciónlineal es el de balancear una línea de ensamble. Una variante a este problema es lalínea de producción en etapas múltiples. El p roblema se plantea en cómo minimizarel tiempo total transcurrido a lo largo de toda la línea de producción..Otra aplicación implica el problema de determinar el número de cada tipo deunidad o articulo que se va a producir por caminos diferentes en una l ínea deproducción de un taller, en tal forma que el costo total de producción sea el mínimoy que satisfaga los tiempos y características para los medios disponibles.También tenemos el problema de proporcionar y asignar nuevos aviones a lasdiversas tareas de transporte para minimizar los costos acumulados.

2.2.8. Diseño estructuralLos problemas en este campo implican la linealización de los principios deingeniería relacionados con la teoría del colapso plástico y del diseño estructural.El problema de diseñar marcos planos en tal forma que el consumo de materialessea mínimo puede también formularse mediante un modelo lineal.

2.2.9. Análisis de traficoEste problema tiene que ver con el asunto de la sincronización de los semáforos. Laformulación matemática del sistema de redes de calles implica el conocimiento delos siguientes parámetros: ciclo total de los semáforos(rojo más verde); la fraccióndel ciclo que permanece rojo en cada crucero, así como él numero de vehículos quepueden moverse en cada dirección en dicho crucero. El modelo puede manipularfenómenos tales como la variación de velocidad promedio a lo largo del recorrido y,en diferentes porciones de este, salidas y entradas de vehículos al mismo, variaciónde la capacidad de transito con intersección y dirección de flujo, la capacidad decada cuadra para contener vehículos estacionados, luces de tres vías y otrasprogramaciones especiales. El criterio para obtener un tiempo óptimo desincronización de los semáforos es que se minimicen el numero de retrasos.

2.2.10.Problema de transporte y teoría de redes.El problema se plantea de la siguiente manera: consideremos una red, digamosferrocarriles, carreteras, comunicaciones en general; conectemos dos puntos dadosmediante un cierto numero de puntos intermedios y, así, cada arco o enlace de lared llevara un numero que represente su capacidad. Suponiendo la condición deestados estable, encontrar el flujo máximo desde un punto a otro. Un métodosimple de calculo, basado en el simplex, ha s ido desarrollado para resolver esteproblema.


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2.3. LA PROGRAMACION LINEAL EN LA ECONOMIA

La investigación para la mejor solución, la máxima, la mínima o en general las solucionesóptimas a una variedad de problemas ha entretenido e intrigado al hombre a través de lasedades. Euclides, en su libro III, se preocupo en encontrar las líneas rectas más cortas ymás largas que pudieran trazarse desde un punto hasta la circunferencia de un circulo, y ensu libro IV, describe como encontrar el paralelogramo de superficie máxima con unperímetro dado. Sin embargo, el método de ataque riguroso a estos problemas mascomplicados, tuvo que esperar hasta que los grandes matemáticos de los siglos XVII yXVIII desarrollaran los poderosos métodos del calculo y del calcul o de variaciones.. Conestas técnicas podemos encontrar las soluciones máximas y mínimas a una amplia gamade problemas de optimización..

En el campo de la economía es problema cotidiano el que se refiere a la distribución derecursos limitados; por la simple enumeración de los casos en que se presenta eseplanteamiento, puede observarse que subyace en gran parte de la economía, tocandocapítulos o partes de ella, muy variados.

La distribución de recursos escasos es esencialmente un problema de decisió n, puesimplica la acción de preferir una alternativa de usos, entre una gama infinita deposibilidades.Además, para los fines que se persigue en cada caso y las limitaciones que impone laescasez de los recursos, en muchas ocasiones es necesario sacrific ar una meta en aras deotras.

Tales decisiones deben estar basadas en consideraciones teóricas y practicas queproporcionen elementos suficientes para suponer que la decisión tomada es precisamentela adecuada o que, cuando menos, figura entre las mejores .

La decisión que implica preferencia de una alternativa entre otras cualitativamente distintas– vgr. Entre construir una casa o un hospital -, empieza a ser un motivo de investigación,pero los resultados alcanzados se basan, a menudo, en criterios muy discutibles.

Otra cosa sucede cuando son cuantificables tanto las metas o fines perseguidos como losrecursos. En este caso, el problema de decisión puede resolverse a partir de criterios deíndole cuantitativa; por otra parte, la idoneidad de la decisión tomada para lograr undeterminado fin, es susceptible de medida y, por tanto, de calificación.Gran parte de los problemas económicos cuantitativos de decisión tienen una soluciónóptima. En verdad, el problema fundamental es la técnica que se debe aplica r paradeterminar la solución idónea desde el punto de vista cuantitativo.

Se ha dicho que el principio económico fundamental es la obtención de un resultadodeterminado con el mínimo posible de medios. Semejante principio es una norma generalque se tiene presente al decidir una asignación de recursos. Pero si bien se le tienepresente, su aplicación origina problemas en su mayor parte no resueltos a la fecha.Sin embargo, algo se ha adelantado en ese terreno. En la actualidad existen algunastécnicas que, como conjunto permitirán alcanzar decisiones económicas sobre bases cadavez mas científicas.

Dentro del esfuerzo para hacer mas científica la Economía, destacan los modelosmatemáticos. La aplicación de las Matemáticas a la Economía tiene ya una respet abletradición: se debe a Cournot su adaptación primera. Desgraciadamente, las consecuencias


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de tal aplicación fueron lamentables: el aparente caos de la vida económica, llevo alestudiosa a resumir los fenómenos en modelos matemáticos que eliminaban ciert ascaracterísticas esenciales y que, en ultima instancia, deformaba la realidad hasta hacerlatan parecida a los pájaros o animales convencionales del arte decorativo, de que hablabaMarshall.

Los peligros que entraña la aplicación de los métodos matemá ticos a la economía han sidodenunciados con celo excesivo, aunque también con ciertas bases objetivas. De cualquier manera,el abuso de las Matemáticas les creo tal desprestigio como método aplicable a la Economía, que elgrupo de técnicas surgidas durant e la segunda guerra mundial fue recibido con frío y hostilidad;ahora bien su aportación a la solución de ciertos problemas económicos, trocó bien pronto lahostilidad en respeto. En la actualidad puede afirmarse que las nuevas técnicas matemáticasocupan un lugar de honor en la Economía.

El grupo de técnicas a que nos referimos se conoce con el nombre de Investigación deOperaciones, Investigación Operativa o Teoría de Decisiones. Su objetivo principal es ladeterminación de soluciones optimas de los pro blemas económicos, mediante métodosmatemáticos y estadísticos. Aun cuando su campo de aplicación no es exclusivamente la Economía,la mejor cosecha se ha logrado en él.

A tal grupo de técnicas pertenece la Programación Lineal. El problema que resuelve, e n su aspectogeneral, es que se refiere a determinar la combinación de recursos que permita la obtención delmáximo producto. El adjetivo lineal deriva de la condición de que las relaciones implicadas sean deprimer grado o lineales.Ya a primera vista pude verse que se trata de una técnica que hace posible, científicamente, laaplicación del principio fundamental en aquellos casos en que la expresión algebraica del problemaes un conjunto de relaciones lineales.

Aun cuando parezca demasiado restrictiva la condición de linealidad, las posibilidades de aplicaciónson abundantes. Un ejemplo permitirá aclarar conceptos.

Es típico el caso de una empresa que produce varios artículos; supongamos, para simplificar laexposición, que se trata de dos artículos que difieren solamente en calidad, y que la producción deuna unidad de cada uno de ellos necesita cierta cantidad de materias primas(diferentesproporciones), y distinto tiempo de elaboración. Si se cuenta con una cantidad limitada de materiasprimas y una capacidad de producción determinada, se trata de precisar el número de unidades decada articulo que se deberá producir para obtener los ingresos mas elevados posibles, dada lalimitación de los recursos y suponiendo conocidas las utilidades unitarias de cad a tipo de articulo.

En un problema de esta índole se pueden buscar diversas soluciones. Una de ellas seria fijar el plande producción siguiendo el criterio de producir la mayor cantidad posible de aquel articulo queproporcione las mayores utilidades por unidad. Otro criterio para determinar el programa deproducción puede consistir en calcular las utilidades obtenibles de producirse el máximo posible decada articulo y optar por aquel que proporcione las mayores utilidades.

Debe hacerse notar aquí, que los planes de producción determinados con los criterios anteriores nohan de coincidir necesariamente con el plan optimo. Pero puede pensarse también en la posibilidadde determinar el plan de producción buscando una combinación de los dos artículos queproporcionen la máxima utilidad y, obviamente, será ese el criterio que se puede considerar masefectivo. Ahora bien, ¿cómo calcular semejante combinación si los planes posibles suelen ser


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numerosos?. Mas aun, suponiendo que se llegara a una solución que se considerara optima ¿puedeafirmarse que necesariamente es la mejor?

La combinación óptima puede determinarse por medio de la programación lineal. Una idea generalsobre el planteamiento nos aproximara mas a la naturaleza del problema.Tenemos un objetivo, que es la maximización de las utilidades. Ahora bien, tales utilidadesdependen del numero de unidades que de cada articulo se produzcan, por lo que es posibleexpresarlas como la suma de la utilidad unitaria de cada articulo multiplicada por el número deunidades que se produzcan de él. La expresión algebraica de las utilidades será una función, y si,cualquiera que sea la cantidad producida de un articulo, su utilidad unitaria es constante, esafunción será de primer grado o lineal.

Nuestro objetivo, por tanto, es obtener el máximo valor de la función de utilidades, es decirmaximizar la función. Pero dicho máximo esta restringido por las limitaciones de materias primas yde capacidad de producción; por ello decidimos que se trata de obtener un máximo co ndicionado.Analicemos las condiciones o restricciones. Si disponemos de una cantidad determinada dematerias primas para la producción, resultara obvio que lo requerido para un plan de producciónposible deberá ser igual, cuando más, a la suma disponible. Dicho de otro modo, la cantidad dematerias primas utilizadas deberá ser igual o menor que la cantidad disponible de ellas. Pero, ensentido matemático, esto equivale a una desigualdad. A igual conclusión se llega al plantear larestricción de capacidad.

El problema desde el punto de vista matemático, consiste en obtener el valor máximo de unafunción condicionada por desigualdades. Empero, lo que se ha dicho para el caso de las utilidades oel producto, es valido también para conceptos como costos; sin embargo, en ese caso, el objetivoserá minimizarlos.

El ejemplo que hemos utilizado en los renglones anteriores es demasiado simple. La realidad estacompuesta por fenómenos que implican el manejo de una gran cantidad de variables en muchasocasiones; por lo tanto, la solución manual de un problema de programación lineal implica untrabajo excesivo y muchas veces antieconómico. Empero, esta limitación ha dejado de existir desdeel momento en que surgieron las computadoras, las cuales han abierto nuevas po sibilidades para lasolución de problemas económicos.El empleo de las computadoras es imprescindible cuando se pretende resolver problemas queimpliquen gran numero de operaciones o cuyo proceso de solución es iterativo, como es el caso dela Programación Lineal.La Programación Lineal se aplica a problemas de desarrollo, donde es necesario el manejo de unagran numero de ecuaciones e incógnitas.

El descubrimiento de la programación lineal ha repercutido en la Teoría Económica, al haberintroducido nuevos conceptos tales como “proceso” y “programa”, lo cual da un enfoque realista dela empresa.En las dos ultimas décadas , se ha originado una nueva clase de problemas de optimizaciónrelacionadas con las estructuras complejas de organizaciones propias de la sociedad moderna.

Para el economista la parte más importante de la Programación Lineal es la representada por laexposición del problema en forma matemática, pues ello le permite conocer su naturaleza ydeterminar el método que lo resuelve.


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CAPITULO III

PROGRAMACION LINEAL

3.1. DEFINICIONLa programación lineal es una técnica de optimización que consiste en la maximización ominimización de una función lineal, llamada función objetivo o función económica, sujeta arestricciones también lineales.El adjetivo lineal deriva de la condición de que las relaciones implicadas sean de primergrado.

El criterio de optimización es por lo general un objetivo económico. Por ejemplo: lasganancias, las capacidades, los requerimientos, etc. son funciones que se deben maximizar;en cambio los costos, las perdidas, los accidentes, etc. son funciones que se debenminimizar.

3.2. MODELO DE PROGRAMACION LINEALEl modelo de un programa lineal tiene la siguiente forma:

Max o Min (Z) = c1x1 + c2x2 + ..........+ cnxn (1)

Sujeto a las restricciones estructurales:

a i1 x1 + a i2 x2 + .....+ a in xn = b i i=1,m (2)

y las restricciones de no negatividadx j 0 j=1,n (3)

En las ecuaciones anteriores: a ij , bi y cj son valores que se asumen conocidos y elproblema consiste en hallar los valores de los x j que optimicen la función (1) sujeta a lasrestricciones (2) y (3).Las variables x j se llaman variables de decisión.Por consiguiente un modelo de programación lineal tiene 3 componentes: Una función objetivo como se indica en (1) Un conjuntos de restricciones estructurales como se indica en (2) Un conjunto de restricciones de no -negatividad de las variables de decisión, como se

indica en (3)

Un programa lineal puede ser expresado de la siguiente forma:n

Max o Min (Z) = cj xj

J=1Sujeto a:

n

a ij x j = b i i=1,mJ=1

X j 0 j=1,n


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el programa lineal también puede ser expresado utili zando la notación matricial:

Max o Min (Z) = C t Xs.a.

A X = B

X 0

Donde:

c1 x1 b1 a11 a12 .......... a1n

c2 x2 b2 a21 a22 .......... a2n

C = . X = B = A= ………………………........................

cn xn bm am1 am2 ........... amn

3.3. FORMULACION DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL .Para formular el modelo es necesario estudiar el sistema t eniendo en cuenta los objetivosque se persigue alcanzar. Por lo general, se asume que el sistema satisface ciertascondiciones, para que pueda ser modelado mediante un programa lineal.

La formulación del modelo de PL consiste en determinar el valor de lo s coeficientes a ij, b i ,c j y expresar el modelo en una de las formas del modelo de PL.Cabe indicar que formular y modelar un Programa Lineal no son cosas equivalentes. Enparticular, la formulación del Programa Lineal procede solamente después de lamodelación.

A continuación se presentan algunas aplicaciones de programación lineal, donde el objetivoes formular el programa lineal correspondiente; ya que los métodos de solución sédiscutirán posteriormente.

3.4. SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El proceso de solución de un programa lineal empieza cuando este ha sido formuladocorrectamente, y consiste en aplicar un método o una técnica de solución para hallar elvector X que optimice la función objetivo, sujeta a las restricciones estructurales y a lasrestricciones de no-negatividad.

Un programa lineal puede ser resuelto mediante un método gráfico, o en forma analíticasegún la complejidad del problema. La aplicación de un método analítico implica el uso decierto algoritmo de calculo.Existen muchos métodos analíticos para solucionar un programa lineal, sin embargo él masutilizado debido a su eficiencia computacional es el Método simplex.

3.5. FORMULACION DE PROBLEMAS

En esta parte, los pasos de formulación que se presentaron en la sección anterior seaplican a problemas de complejidad variable. También haremos hincapié en las nuevastécnicas, útiles en la identificación de las variables, los datos, la función objetivo y lasrestricciones.


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EJEMPLO 3.1.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3procesos en el mismo orden que son:

- Maquinado- Armado- Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente;mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada pr oducto debe manufacturarse con elobjeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la gananciapor cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Solución:

Las variables de decisión son:x1: número de unidades del producto A que se va a producir/semanax2: número de unidades del producto B que se va a producir/semana

El programa lineal es:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 160

x 1 + 2x 2 120

4x 1 + 2x 2 280

x 1, x 2 0


Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y altogrado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo gra do, 5 ton. De medio grado y20 ton. De alto grado.La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto grado en un día deoperación. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 7 ton de alto gradopor día de operación.Los costos de operación son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para la fabrica 2.¿Cuantos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta enla forma más económica?SOLUCION

Sean las variables de decisión:x1 = número de días de trabajo de la fabrica 1x2 = número de días de trabajo de la fabrica 1


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Min (z) = 1000x1 +2000x2

s.a. 8x1 +2x2 16

1x1 +1x2 5 2x1 +7x2 20 x1, x2 0

PROBLEMA 3.3.: EJEMPLO DE POLITICA DE INVERSION

Un banco tiene $ 1 millón disponible para préstamos. Puede prestar dinero a empresas,proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las políticas del banco limitan lospréstamos personales a un máximo del 25% de t odos los prestamos, mientras que los prestamos aempresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas.También el banco quiere que los préstamos a empresas sean por lo menos 10% más que losprestamos personales. Los interese promedio son: 12% en préstamos p ersonales, 10% enpréstamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado, se invierten envalores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el interés.

Solución

Variables de decisión :

X 1 = prestamos personalesX 2 = prestamos a empresasX 3 = prestamos por hipotecasX 4 = inversión en valores a corto plazo

Función objetivo

Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4

Restricciones:

X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 ( capital de inversión)

X 1 0.25 (X 1 + x 2 + x 3) (prestamos personales)

X 2 x 3 (prestamos a empresas)

X 2 1.10 x 1 (prestamos a empresas)

Condición de no negatividad

X 1 , x 2 , x 3 , x 4 0


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PROBLEMA3.4.: EJEMPLO DE POLITICA DE PRESTAMOS

Una institución financiera, ALFA BANK, se encuentra en el proceso de formular su política depréstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $ 12 millones. Siendo unainstitución de servicios integrales, esta obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. En lasiguiente tabla, se señala los tip os de prestamos, la tasa de interés que cobra el banco y laposibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima porsu experiencia.

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto no producen ingresopor concepto de intereses.La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuandomenos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a laindustria de la habitación en la región, los préstamos para casa deben ser iguales cuando menos al50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa. El banco tiene asimismo una políticaestablecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a0.04.

Solución:Variables de decisión:X 1: Prestamos personales en millones de $X 2: Prestamos para automóviles.X 3: Prestamos para casa.X 4: prestamos agrícolasX 5: prestamos comerciales

Función objetivo:El objetivo es maximizar el rendimiento neto: diferencia entre ingreso por concepto de interes y losfondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertos son irrecuperables,tanto el interés como el principal en la función objetivo es:

Max(z) = 0.14(0.9x1) + 0.13(0.93x2) + 0.12(0.97x3) + 0.125(0.55x4) + 0.1(0.98x5)

- 0.1 x1 – 0.07 x2 – 0.03 x3 – 0.05 x4 – 0.02 x5

Restricciones

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12 (Fondos totales)

X + X5 0.4 (12) (prestamos comerciales y agricolas)

x3 0.5(X1 + X2 + X3 ) (prestamos para casa)

0.1X1 + 0.07 X2 +0.03 X3 +0.05 X4 + 0.02 X5

--------------------------------------------------- 0.04 (limites sobre adeudos X1 + X2 + X3 + X4 + X5 no cubiertos)

O bien:

0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 0

Tipo depréstamo

Tasa deinterés

Probabilidad deincobrables

Personal 0.140 0.10Automóvil 0.130 0.07Casa 0.120 0.03Agrícola 0.125 0.05Comercial 0.100 0.02


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Condición de no negatividad ;

X i j 0

PROBLEMA 3.5.: EJEMPLO DE UN PLAN DE INVERSION

Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonteeconómico de 5 años. Cada unidad económica invertida en A en el comien zo de cualquier añoproduce una utilidad de $ 0.40, dos años mas tarde. Cada unidad monetaria invertida en B, en elcomienzo de cualquier año produce una utilidad de $ 0.70 tres años mas tarde. Además tiene otrasdos perspectivas: C y D para el futuro.

Cada unidad monetaria invertida en C en el comienzo del segundo año permite una utilidad de$1.00 al fin de los 5 años. Cada unidad monetaria invertida en D en el comienzo del quinto añoproduce una utilidad de $0.30.

El inversionista dispone de $ 10,000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice susutilidades.

Solución:

Podemos esquematizar el plan de inversión de la siguiente manera:

AñosActividad

1 2 3 4 5 Utilidad

0.40

A

X 1A

X 2A

X 3A

X 4A

0.40(x1A+x2A+X3A+x4A)

0.70

B

X 1B

X 2B

X 3B 0.70(x1B+x2B+x3B)

1.00 C

X 2C

0.10(x2C) 0.30 D

X 5D

0.30(x5D)

El capital requerido y la utilidad se invierte n en las diversas actividades del año correspondiente.

Variables de decisión

X i j: unidades monetarias invertidas en el i -ésimo período y la j-ésima actividad,

Función objetivo:

Max (z) = 0.40(x1A+x2A+X3A+x4A) + 0.70(x1B+x2B+x3B) + 0.10(x2C) + 0.30(x5D)

Restricciones :Las restricciones son debido a la disponibilidad de capital en cada año.Para el primer año


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X 1A + X1B 10,000

Para el segundo año:

X 2A + x 2B + X 2C + 10,000 - X 1A - X1B

Para el tercer año

X 3A + X 3B 10,000 - X1B - X 2A - X 2B - X 2C + 0.40 X1A

Para el cuarto año:

X 4A 10,000 + X 1A - x 2B - X 2C - X 3A - X 3B + 0.40 x 2A + 0.70 X 1B

Para el quinto año:

X 5D 10,000 - x 2C - X 3B – X 4A +0.40 x 3A - 0.70 X 2B

condición de no negatividad

X ij 0 (variables no negativas)

PROBLEMA 3.6.: EJEMPLO DE INVERSION

Al gerente de cartera de la AFP “BUENA VIDA” se la ha pedido invertir $1’000,000 de un gran fondode pensiones. El departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutu oscon estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgosasociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO1 2 3 4 5 6

Precio($/acción) 45 76 110 17 23 22Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diferentes fondos.Para este fin, la administración de la AFP, ha especificado las siguientes pautas:

La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de lacartera.

La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de lacartera.

La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50% de lacartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo enmuchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificado que la cantidad invertida enlos fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 , respectivamente. La cantidadinvertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2 .Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar latasa esperada de retorno?.


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Solución

Variables de decisión:

X j : fracción de la cartera por invertir en el periodo j

Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida

Función objetivo:

Max(z) = 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6

Restricciones:

Por inversión

X1 + X2 + X3 0.50 (mínimo alto riesgo)

X1 + X2 + X3 0.75 (máximo alto riesgo)

X4 + X5 0.20 (mínimo mediano riesgo)

X4 + X5 0.30 (máximo mediano riesgo)

X6 0.05 (mínimo bajo riesgo)

Debido a las proporciones:

X2 = 2 X1 - 2 X1 + X2 = 0 (proporción X1 a X2 )



Agenda Total de cartera

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1

Condición de no negatividad:

X j 0 (j = 1,6)


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PROBLEMA 3.7.: EJEMPLO DE PROBLEMA DE ADMINISTRACIÓN DE CARTERA

Los socios generales de Gamma Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo estánconsiderando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios negocios empresariales.El departamento de investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarioscumplen con el requerimiento de Gamma Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente altopara el riesgo asociado. Estas compañías son: Bio Tech, Tele Comm, Laser -Optics y Compu-Ware.El departamento de investigación de Gamma Tech también ha estimado el rendimiento total deestos negocios en dólares actuales, dado en la última columna de la tabla si guiente:

PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCIONBio Tech 60 10 10 10 250Tele Comm 35 35 35 35 375Laser-Optics 10 50 50 10 275Compu-Ware 15 10 10 40 140Fondos parainversión

90 80 80 50

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversione s de una cantidad conocida al principio decada uno de los siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El departamento decontabilidad de Gamma Tech ha preparado una estimación de los fondos totales que Gamma Techtiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro años, que se da en la ultima filade la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier año no están disponibles para suinversión en los años posteriores.

Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se le ha pedido hacer recomendacionesrespecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr él mas alto rendimientototal en dólares actuales. Ud. y los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un esfuerzo pordiversificarse, no inverti rá conjuntamente en Tele -Comm y Laser-Optics, que están desarrollandoel mismo tipo de tecnología.

Solución:


Pregúntese que puede controlar libremente en este problema y se dará cuenta de que puede elegiraceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisionesimplican una decisión “si” ó “no”. Parece razonable entonces crear una variable entera para cadaproyecto de la siguiente manera

1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4)X j =

0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j

Función Objetivo:

Max (z)= 250X1 + 375 X2 + 275 X3 + 140 X4

Restricciones:

Fondos totales invertidos en los proyectos seleccionados


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60X1 + 35X2 + 10X3 + 15X4 90 (año 1)

10X1 + 35X2 +50 X3 +10 X4 80 (año 2)

10X1 + 35X2 + 50X3 +10 X4 80 (año 3)

10X1 +35 X2 +10 X3 +40 X4 50 (año 4)

Restricción de pauta de inversión

Recuerde que la administración ha decidido no invertir en Tele -Com y Laser-Optics a la vez. ¿Puedeusar las variables X2 y X3 para escribir una restricción matemática apropiada?

Se necesita una restricción para asegurar que si X 2 es 1 , entonces X3 es 0, y si X3 es 1, entoncesX2 es 0 ( o de manera equivalente ambas variables no pueden tener el valor 1)Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dos variables sea 0

X2 * X3 0

Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensándolo un poco, puede darse cuenta deque la siguiente restricción logra el mismo objetivo

X2 + X3 1

Restricciones de no negatividad

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 ó 1

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Una estación de TV afronta el siguiente problema: se ha comprobado que el programa A con 20minutos de música y 2 minutos de comerciales interesa a 30,000 televidentes, mientras que elprograma B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10,000 televidentes. Elauspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dedique 6 minutos de propaganda porsemana, mientras que una estación de TV no puede dedicar ma s de 80 minutos semanales paramúsica.¿Cuántas veces por semana debería ser presentado cada programa a fin de lograr el máximonúmero de televidentes?

2. la Cía. ALFA produce ejes de automóviles y camiones para mercado nacional o internacional.Cada eje debe pasar por dos procesos de manufactura: moldeado y acabado.Cada eje de automóvil requiere 16 unidades de moldeado y 10 unidades de acabado, mientras queun eje de camión requiere 24 unidades de moldeado y 20 de acabado. Semanalmente se disponede 480 unidades de moldeado y 360 de acabado. La demanda de sus ejes es tal que la Cía. Puedevender todo lo que produce. ALFA obtiene un beneficio de $50 por cada eje de automóvil y $60 porcada eje de camión.Además ALFA tiene un contrato con la Beta Motor Co. Por el cual debe entregar 12 ejes deautomóvil y 8 de camión semanalmente.Dado los limites y requerimientos mencionados, ALFA desea saber que cantidad de ejes deautomóvil y de camión debe producir semanalmente para maximizar sus utilidades.

3. Un hombre que tiene $10,00 para invertir, esta considerando dos tipos de inversión: bonos yacciones. Después de consultar con su corredor, el inversionista ha escogido dos bonos y dos


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acciones que le interesan particularmente. La utilidad promedio que puede espera r de lasinversiones es como sigue:

Tipo de inversión: Acción 1 Acción 2 Bono 1 Bono 2Utilidad promedio: 5% 6% 3.5% 4%

Además su corredor le recomendó muy especialmente que invirtiera por lo menos $4,000 en bonosy no más de $3,000 en la Acción 2. Este consejo es tomando en cuenta los éxitos financiero y losriesgos que esta dispuestos a correr, de modo que el inversionista se atiene a estas limitaciones yrequerimientos.Su objetivo es maximizar las utili dades bajo estas condiciones. ¿Cuál es el plan de inversiónóptimo?

4. Una pequeña planta fabrica 2 tipos de partes para automóvil, compra piezas fundidas que semaquinan, taladran y pulen. Se proporciona los datos que aparecen en la siguiente tabla:

PARTE A PARTE BCAPACIDAD DE MAQUINADO 25 por hora 40 por horaCAPACIDAD DE TALADRO 28 por hora 35 por horaCAPACIDAD DE PULIDO 35 por hora 25 por hora

Las piezas fundidas para la par te A cuestan $2 cada una; para la parte B cuestan $3. Se venden a$5 y $6 respectivamente. Las tres tienen costos de operación de $20, $14 y $17.50 por hora.Suponiendo que se puede vender cualquier combinación de partes A y B, ¿Cuál es la mezcla deproductos que maximiza la utilidad?

5. La Cia. Gamma vende 4 tipos de productos. En la siguiente tabla se dan los recursos requeridospara producir una unidad de cada producto, y los precios de venta de cada producto.

PRODUCTO1 2 3 4

MATERIA PRIMA 2 3 4 7HORAS DE TRABAJO 3 4 5 6PRECIO DE VENTA $4 $6 $7 $8

En la actualidad se dispone de 4,600 unidades de materia prima y 5,000 horas de trabajo. Parasatisfacer las demandas de los clientes, hay que producir exactamente 950 unidades en total. Losclientes exigen que se produzcan por lo menos 400 unidades del producto 4.¿Cuál seria el plan de producción óptimo a din de maximizar los ingresos de Gamma por las ventas?

6. La Cia. ALFA, vende rollos de papel para computadoras y cajas registradoras adiversos vendedores al detalle. Sus rollos estándar tienen 20 pulgadas de ancho. Losvendedores al detalle han hecho pedidos de 1050 rollos de 3 pulgadas de ancho; 2050rollos de 5 pulgadas de ancho y 4050 rollos de 8 pulgadas de ancho. Estos son pedidosúnicos. Cualquier rollo sobrante de tamaño para el detalle se vende con descuento, loque provoca una perdida neta de $1 por cada rollo de 3 pulgadas, $1.50 por cada rollode 5 pulgadas y $2 por cada rollo de 8 pulgadas.El desperdicio es reciclado a un cost o neto de $0.50 por pulgada.Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido como deben cortarselos rollos para satisfacer la demanda especificada para los rollos de tamaño para ventaal detalle (con el mínimo desperdicio de papel, sabiendo que el máximo desperdicio


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aceptable de papel por rollo es de 2 pulgadas), a la vez que se minimice el costo total.Formule un modelo de programación lineal para este problema.

7. La Compañía ALFA fábrica 3 productos de caucho: Airtex(material esponjoso),Extendex(material elástico) y Resistex(material rígido). Los tres productos requierenlos mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usadapor libra del producto final se muestra en la siguiente tabla:

INGREDIENTES(oz./lb de producto)PRODUCTO POLIMERO

APOLIMERO B POLIMERO C BASE

AirtexExtendexResistex

436

223

425

692

Alfa, tiene el compromiso de producir al menos 1000 lbs. De Airtex, 500 lbs. DeExtendex y 400 lbs. De Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la Cia.Sabe que puede vender mas de cada uno de los tres productos.Los inventarios actuales de los ingredientes son: 500 lbs. De polímero A, 425 lbs. Depolímero B, 650 lbs. De polímero C y 1,100 lbs. De la base. Cada libra de Airtexproduce a la Cia. Una ganancia de $7, cada libra de Airtex una ganancia de $7 y cadalibra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción,usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.

8. .La Beta Oil Company, cerca de Lima, suministra gasolina a sus distribuidores encamiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de800,000 galones de gasolina por mes a distribuidores del Departamento de LaLibertad. La compañía tiene $500,000 disponibles para crear una flota consistente entres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidadrelevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipode camión.

TIPO DECAMION

CAPACIDAD(galones)

COSTO DECOMPRA($)

COSTO DEOPERACIÓN($/mes)

MAXIMO DEVIAJES/MES

1 6000 50,000 800 202 3000 40,000 650 253 2000 25,000 500 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía nodesea comparar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearíaasegurarse que se compren al menos tres de los camiones Del tipo 3 (que se requierenpara su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía nodesea que más de la mitad de la flota sea de camiones Del tipo 1. Como gerente deoperaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota queminimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga la demanda, nosaliéndose Del presupuesto y satisfaciendo l os requerimientos de las otras compañías.

9. La Cia. Gamma dirige sus gastos de venta en diversos rubros con el objeto de producir ventas.Uno de los tipos de actividad que es efectiva es la Conferencia Regional de Ventas. Existen 6regiones (designadas I a VI) en las cuales estas conferencias toman lugar semanalmente y enalgunas mensualmente. Cada una de las conferencias puede ser de un día completo o de mediodía.Existe un costo por persona y un resultado esperado de ventas para cada uno de estos tipos de


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conferencias. Los tipos de conferencias disponibles, sus costos y sus ventas resultantes se listan acontinuación.

Conferencias de Ventas Costo($) Ventasresultantes($)

Mensual I - Todo el día 120 13,500Semanal II - Todo el día 130 21,500Semanal II - Mediodía 80 11,500Semanal III - Todo el día 60 7,500Mensual IV - Todo el día 100 11,800Mensual IV - Mediodía 60 9,500Semanal V - Todo el día 200 22,000Semanal VI - Todo el día 600 97,000Semanal VI - Mediodía 350 50,000

Además de estas actividades, un comercial de tv que cuesta $1,250 debe producir $118,500 enventas.Un anuncio en un grupo de periódicos locales costará $330 y producirá $57,000 en ventas.}Finalmente, el tener abierta una oficina de consultas durant e un día costará $180 y producirá$23,800 en ventas.A la Cia. Le gustaría maximizar sus ventas manejando sus gastos de venta, pero desea manteneralgunas restricciones. El plan fue cubrir un período de 6 meses y para ese periodo el presupuestode gastos de ventas es $52,500. Se decidió que al menos la mitad del presupuesto debía ir a lasconferencias semanales y mensuales de ventas. Al menos una persona debía ser enviada a lasemanal VI y mensual I (días completos).El comercial de tv. Debe ser usado al m enos una vez, además no debe enviarse mas de unapersona a las conferencias Mensual IV como a la semanal II (días completos)Explique la distribución óptima de los gastos de venta. ¿Qué restricciones esta considerando?


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CAPITULO IV

SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El proceso de solución de un Programa lineal empieza con el problema expresado ensu forma general y consiste en aplicar un método de solución para hallar el vector xque optimice la función objetivo, sujeta a la restricciones estructurales y a lascondiciones de no negatividad de las variable de decisión.

La solución puede ser hallada mediante el método gráfico o geométrico, o en formaanalítica, dependiendo de la complejidad del problema. Dentro de los métodosanalíticos el mas usado debido a su eficiencia computacional es el método simplex.

4.1. METODO GRAFICO O GEOMETRICO

Este método tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible y además permitevisualizar alguna propiedades de un programa lineal.En este capitulo se examinaran los programas lineales con dos variables desde unpunto de vista geométrico.Aun cuando los problemas del mundo real tienen muchas variables y no puedenresolverse geométricamente, las ideas ganadas al resolver gráficamente problemasde dos variables proporciona una clara comprensión de cómo resolveralgebraicamente problemas de tres o mas variables que es el método usado concomputadoras. Este método es útil no solo para encontrar una solución optima,sino también para obtener información adicional sobr e cuan susceptible es lasolución óptima con respecto a los cambios en los datos del problema(sensibilidad).

Ejemplo 4.1. : PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B.Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:


La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso son: 160,120 y 280minutos respectivamente.

El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos demaquinado, armado y montaje respectivamente.El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debemanufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitadosde producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10y del producto B es de $15.

Solución:

Las variables de decisión son:x1: número de unidades del producto A que se va a producir


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x 2: número de unidades del producto B que se va a producir


Max Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.

2x 1 + 2x 2 160

x 1 + 2x 2 120

4x 1 + 2x 2 280

x 1 , x 2 0

4.1.1. Gráfica de las restricciones de un Programa Lineal.

En primer lugar hay que graficar las restricciones. Para determinar quevalores de x 1 y x 2 satisfacen las restricciones considere una restriccióna la vez.Cada restricción presenta ciertos valores de x 1 y x 2 que satisfacen larestricción. Estos valores se denominan valores factibles. Aquellosvalores que no satisfacen la restricción se llaman valores infactibles.

Si consideramos la restricción 2x 1 + 2x 2 160 , como una ecuación, esdecir: 2x 1 + 2x 2 = 160, entonces esta representaría una recta en elplano cartesiano, pero como el signo es de desigualdad la restricciónrepresentará a uno de los semiplanos en que queda dividido el planocartesiano.Esta recta tiene como puntos:x 1 = 0 , x 2 = 80 punto (0,80)x 2 = 0 , x 1 = 80 punto (80,0)

X2 Gráfica 1

100 -

80 -

60 -

40 -

20 -

l l l l l x1 20 40 60 80 100


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L1

La recta L1 : 2x 1 + 2x 2 = 160 corta al plano en dos semiplanos. Donde uno contienetodos los punto que cumplen con la condición de 2x 1 + 2x 2 160 (valores factibles) ,es decir la zona rayada.Cabe hacer notar que solamente se hace uso del primer cuadrante, debido a lacondición de no negatividad de las variables de decisión.

Aplicando los mismos conceptos a la segunda y tercera restricción y superp oniendo lastres gráficas, tenemos que la zona en la cual se cumplen simultáneamente las tresrestricciones, es la región rayada, tal como se indica en la siguiente gráfica:

Gráfica 2

140 -

120 -

100 -

80 -

60 -

40 -

20 -

l l l l l l x1 20 40 60 80 100 120

Se observa que cualquier punto dentro de la región sombreada cumplesimultáneamente con las tres restricciones y con la condición de no negatividad.

El problema consiste en maximimizar la función objetivo Z = 10 x 1 + 15 x 2 sobre laregión sombreada de la gráfica 2; esto procede de la siguiente manera:Sea Z = 0, entonces la pendiente de la función objetiva es:

m = x 2 / x 1 = - 10 / 15

Por lo tanto, la función objetivo, z , representa una familia de rectas paralelas conpendiente m = - 10/15, tal como se muestra en la gráfica 3:


28

Gráfica 3

140 -

120 -

100 -

80 -

60 -

40 -

20 -

l l l l l l x1 20 40 60 80 100 120

z=0 z=1000

La recta 10 x 1 + 15 x 2 = 1000 de la gráfica 3, representa el máximo val or de lafunción z, sujeta a las restricciones del problema propuesto.La recta z=1000 y la región sombreada tienen un punto común, cuyas coordenadasson:

x 1 = 40 y x 2 = 40Este punto representa la solución del problema y el óptimo de la función o bjetivo es z= $1000.

Sobre la base de este problema, es interesante hacer algunas definiciones inherentes ala solución de un programa lineal.

Gráfica 4

140

120 -

100 -

80 -

60 -

40 -

20 -

l l l l l l x1 20 40 60 80 100 120


29

Región Factible:Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad.En nuestro ejemplo , la región sombreada de la gráfica 4 representa la región factible.La RF, se caracteriza por ser convexa.

Solución Factible:Es cualquier punto situado en la región factible.

Solución Básica:Es aquella que se halla en la intersección de rectas o hiperplanos o en la interseccióncon los ejes coordenados. Para nuestro ejemplo, los puntos 1,2,3,..... y 10 de lagráfica 4 son soluciones básicas.

En un sistema donde existen n variables y m restricciones, una solución básica seobtiene haciendo (n-m) variables iguales a cero y los valores delas variables restantesse determinan resolviendo las m ecuaciones con m variables.Las m variables se llaman variables básicas (no negativas).Para nuestro ejemplo, en el programa lineal formulado, agregamos varaibles deholgura para convertir la restricción del tipo a una restricción del tipo = .

Se agregan tantas variables de holgura co mo restricciones del tipo existan.Nuestro programa quedaría así:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5

s.a.

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 160

x 1 + 2x 2 + x 4 = 120

4x 1 + 2x 2 x 5 = 280

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0

En este caso:

n = 5 y m = 3

Se obtiene una solución básica haciendo (5 – 3 = 2) variables iguales a cero.Sea : x 1 = x 2 = 0 (variables no básicas)

Por consiguiente: x 3 = 160x 4 = 120 variables básicasx 5 = 280

Esta solución corresponde al punto 1 en la gráfica 4.


30

Solución Básica Factible:

Es una solución básica que pertenece a la región factible.En nuestro ejemplo, los puntos: 1,2, 5,7 y 8 de la gráfica 4 son soluciones básicasfactibles.

Solución Básica Factible Degenerada:Es una solución básica factible en la que una o más variables básicas toman el valorcero.Si todas las variables básicas son positivas, se tendrá una solución básica factible nodegenerada.

Solución Optima:Es la solución factible que optimiza la función objetivo(según sea el caso).

Tanto la región factible como la solución óptima de un programa lineal gozan de ciertaspropiedades, cuya aplicación facilita el trabajo de calcular el punt o óptimo.Entre estas tenemos:

Existe un punto extremo del poliedro convexo en el cual la función objetivo esoptimo.

Cada solución básica factible corresponde a un punto extremo del poliedro convexo.

De lo expuesto, tendríamos únicamente que investiga r los puntos extremos delpoliedro convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (o menor0 valor depara la función objetivo y tendremos así la solución optima.

En nuestro ejemplo, los puntos extremos que forman la región factible son lassoluciones básicas factibles:

s.b.f. x 1 , x 2 z 1 (0,0) 0

2 (0,60) 900 3 (40,40) 1000

4 (60,20) 900 5 (70,0) 700

Se observa que el valor de z mas alto es el que le corresponde al punto 3, que vendríaa se la solución óptima.

x 1 = 40 y x 2 = 40 Z max = $1000


31

4.2. PROGRAMAS LINEALES CON PROPIEDADES GEOMETRICAS ESPECIALES

Como se vio anteriormente, en un programa lineal con dos variables, la soluciónoptima ocurrió en un punto extremo de la región factible. A continuación se veránejemplos de programas lineales para los cuales éste no es el caso. Tambiénconocerá lo que ocasiona estas excepciones y como interpretarlas.

4.2.1. Programas lineales infactibles

Para examinar un tipo de excepción, supongamos que Ud. es el jefe deproducción de la empresa ALFA, y que el jefe de ventas le informa que deseafirmar un contrato a largo plazo para proveer 60 unidades del producto A cadadía. Para deducir un plan de producción semanal que satisfaga esterequerimiento de ventas, usted ha modificado la formulación del programalineal del ejemplo 4.1, añadiendo la siguiente restricción: x 1 80

Max (z)= 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 160 (1)

x 1 + 2x 2 120 (2)4x 1 + 2x 2 280 (3)x 1 80 (4) x 1, x 2 0

El resultado de añadir la nueva restricción(4) se ilustra en la gráfica 4.5

Gráfica 4.5 x2

140 - C

120 - (3) (4)

100 -

80 - B

60 - A D

40 - E I 20 - F

G H J l l l l l l x 1

20 40 60 80 100 120 (1) (2)


32

Como puede observar, no existen valores de x 1 y x 2 que satisfagan la nuevarestricción(4) y todas las anteriores restricciones. Esto significa, que con susactuales recursos, Alfa no puede satisfacer un acuerdo contractual para proveer80 unidades del producto A por día.

Si se firma el contrato propuesto, Alfa necesita ra obtener recursos adicionalespara incrementar las capacidades de producción. La Gerencia, por tanto, tendráque tomar una decisión estratégica sobre el valor de esta inversión.

El programa lineal del ejemplo 4.2. se denomina programa lineal infactible,lo que significa que ningún valor de las variables satisface las restriccionessimultáneamente, es decir, que no existe ninguna región factible. Para talesproblemas, no tiene caso tratar de obtener una solución óptima por que nisiquiera podrá encontrar una solución factible.

Las causas más comunes para que un programa lineal sea infactible son: Un error en la formulación del problema. La forma de capturar los datos en la computadora Cuando las restricciones son demasiado restrictivas.

4.2.2. Programas lineales ilimitados

Considere otro ejemplo de un programa lineal cuya solución no ocurra en unpunto extremo de la región factible.

Ejemplo 4.3. un programa lineal ilimitado

Max (z) = 2x1 + 2x2

s.a. x1 – x2 1 (1)

-1/2 x1 + x2 2 (2) x1, x2 0 Gráfica 4.6

x1

A

3 - (2)

2 - (1) 1 -

¡ ¡ ¡ 1 2 3 x2


33

Se dice que tal problema es un programa lineal ilimitado, lo que significa que lafunción objetivo puede mejorarse indefinidamente, esto es, que existen valoresfactibles de las variables que pueden hacer el valor de la función objetivo tangrande como se desee en el caso de maximización (o tan chico como se deseeen el caso de minimización).El problema tiene una solución no acotada.

4.2.3. Programas lineales con soluciones optimas a lternativas

Alguno programas lineales tienen más de una solución óptima. Cada soluciónóptima se denomina solución óptima alternativa . Tener soluciones óptimaalternativas significa solamente que existen diferentes valores factibles para lasvariables que producen el mismo mejor valor de la función objetivo. Todas lassoluciones óptimas son iguales en cuanto a que, por definición son las mejores.Sin embargo, es posible que usted prefiera una de estas soluciones óptimasalternativas sobre las demás por alg una razón secundaria, tal vez por que unasolución sea más fácil de poner en práctica que las otras.

Ejemplo 4.3. Un programa lineal con solución óptima alternativa

Max (z) = 2 x 1 + 4 x 2

s.a.2x 1 + x 2 230 (1)

x 1 + 2x 2 250 (2) x 2 120 (3) x 1 , x 2 0

La solución gráfica de este problema se ilustra en la gráfica 4.6.

Gráfica 4.7 X2

300 -

200 - (1)

(3)

100 -

‘ ‘ ‘ x 1 100 200 300

(2)


34

Punto extremo (x 1, x 2) ZA (0,0) 0B (115,0) 230C (70,90) 5 00D (10,120) 500E (0,120) 480


35

CAPITULO V

EL METODO SIMPLEX

En él capitulo anterior se desarrollo la parte relacionada a como resolver p roblemas deprogramación lineal con dos variables de manera gráfica. Cuando se hayan implicadasmas de tres variables, este enfoque no es posible. Además, los programas lineales delmundo real se resuelven con la ayuda de computadoras, que utilizan álgebra lineal,no-geometría. En este capitulo desarrollaremos el método simplex, un métodoalgebraico para resolver todos los problemas de programación lineal.

El método simplex prevee un sistema rápido y efectivo para resolver problemas deprogramación lineal. Es la técnica empleada en las aplicaciones prácticas y permiteresolver una gran cantidad de problemas de real importancia industrial.

Este método llega a la solución óptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos,utilizando los conceptos básicos del álgebra matricial, para determinar la intersecciónde dos o mas líneas hiperplanas. Comienza con alguna solución factible, ysucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones que ofrecen mejores funcionesde la función objetivo.Finalmente, este método proporciona un indicador que determina el punto en el cual selogra la solución óptima.

5.1. PROCEDIMIENTO5.1.1. CASO DE MAXIMIZACION

Dado el siguiente programa lineal en forma general:

Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn

s.a.a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn b2

................................................. ................................................

am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn bm

x j 0 (j=1,n)

En este programa, se observa que todas las restricciones son del tipo “ “. Para la aplicación del método simplex, todas las restricciones delprograma tienen que convertirse a la forma “=”, es decir a la formaestandarizada de un programa lin eal (función objetivo de maximización,restricciones estructurales del tipo , y las variables de decisión soloadmiten valores positivos).Para lograr esto se introducen las llamadas variables de holgura, una porcada restricción del tipo que exista, de la siguiente manera:

Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn + 0 x n+1 +0 x n+2+...+0 x n+m

s.a. a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn + x n+1 = b1

a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn + x n+2 = b2

.................................................


36

................................................

am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn + x n+m = bm

x j 0 (j=1,n+m)

Cabe indicar que las variables de holgura son no negativas. Además, en la funciónobjetivo, los coeficientes asociados a estas variables tomas el valor cero, ya que nodeben afectar el valor de la función en caso de ser positivas. Así mismo en l asrestricciones estructurales, los coeficientes de las variables de holgura son 1 y positivo.

Si al resolver el programa lineal, se halla que la variable de holgura es cero, nos indicaque los recursos correspondientes a dicha restricción se han agotado, es decir se haocupado la totalidad de los recursos.Por otro lado, si el valor de la variable de holgura es mayor que cero, entonces elrecurso correspondiente no es realmente limitante, y si la producción no puede serincrementada, esto se deberá a la l imitación impuesta por otros recursos.Si el resultado final fuese de un valor positivo, nos indica que están sobrando recursosen la restricción correspondiente.

EJEMPLO 5.1. PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabrica artículos para el h ogar y manufactura dos productos: A y B.Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:


La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutosrespectivamente.El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos demaquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debemanufacturarse con el objeto d e hacer el mejor empleo de los medios limitados deproducción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y delproducto B es de $15.

Solución:

Las variables de decisión son:x1: número de unidades del producto A que se va a producirx2: número de unidades del producto B que se va a producir


Max Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 160

x 1 + 2x 2 120

4x 1 + 2x 2 280


37

x 1, x 2 0

Convirtiendo las restricciones a la forma “=”, se introducirán 3 variables de holgura,una por cada restricción del tipo “ ”, con lo cual el programa lineal queda de lasiguiente manera:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5

s.a.2x 1 + 2x 2 + x 3 = 160

x 1 + 2x 2 + x 4 = 120

4x 1 + 2x 2 + x 5 = 280

x 1, x 2, x 3, x 4 x 5 0

En el programa, se observa que este tiene ahora 5 variables y solo 3 ecuaciones, locual implica que 5 – 3 = 2 variables tienen que hacerse cero. Esto nos indica que eneste caso la solución optima estará compuesta por 3 variables básicas y 2 variable nobásicas.Se observa también que las variables de holgura forman en su conjunto una matrizidentidad, ya que tienen una diagonal de unos, el cual es la condición del simplex encada solución básica factible a ser analizada. Y con la cual se empieza a aplicar elmétodo

El programa convertido, se presenta en la tabla del simplex de la siguiente manera:

Tablero Nº 1

c j 10 15 0 0 0c i x k b i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 160 2 2 1 0 0 800 x 4 120 1 (2) 0 1 0 600 x 5 280 4 2 0 0 1 140

Z 0 0 0 0 0 0c j – z j 10 15 0 0 0

Del tablero 1,se tiene que:En la primera fila, se colocan los coeficientes de las variables en la función objetivo.En la segunda fila se distinguen las siguientes columnas:c i : que representa los coeficientes asociados a las variables que están en la

base(variables básicas)x k : que representa a las variables que están en la base(variables básicas)b i : que representa al valor que asumen las variables básicas.X 1 : que representa a los coeficientes de la variable X 1 en el programa linealX 2 : que representa a los coeficientes de la variable X 2 en el programa linealX 3 : que representa a los coeficientes de la variable X 3 en el programa linealX 4 : que representa a los coeficientes de la variable X 4 en el programa linealX 5 : que representa a los coeficientes de la variable X 5 en el programa lineal

En la penúltima fila, se distinguen dos valores:


38

Z = ci . bi el cual representa el valor de la función objetivo.Z j = ci . a ij

En la ultima fila, se encuentran las diferencias c j – z j, que nos indica:

Si todas las variables presentan diferenc ias iguales a ceros o negativas, entoncesse ha llegado a la solución óptima. Generalmente esto no ocurre el primer tablero.

Si al menos una o mas variables presentan diferencias positiva, eso implica queexiste una mejor solución, por consiguiente habrá que determinar la variable aingresar a la base. Esto se logra viendo que variable presenta una diferenciapositiva mayor.

En la ultima columna, del tablero se distingue la regla del mínimo de los :

Min = min (bi / a ij) donde a ij > 0

Esta regla permite determinar que variable debe salir de la base, a fin de que ingreseotra variable para mejorar la solución. Para tal efecto la variable a salir será aquellaque tenga el menor valor de .

Del tablero 1 se ha obtenido la primera solución básic a factible donde las variablesbásicas y sus valores correspondientes son:

x 3 = 160x 4 = 120x 5 = 280

Y las variables no básicas son:x 1 = x 2 = 0

Donde el valor de la función objetivo se calcula de la siguiente manera:

Z = 0x160 + 0x120 + 0x280 = 0

El calculo de los Z j es de la siguiente manera:

Z 1 = 0x2 + 0x1 + 0x4 = 0Z 2 = 0x2 + 0x2 + 0x2 = 0Z 3 = 0x1 + 0x0 + 0x0 = 0Z 4 = 0x0 + 0x1 + 0x0 = 0Z 5 = 0x0 + 0x0 + 0x1 = 0

La fila c j – z j ser obtiene restando de cada elemento de la pri mera fila cj elcorrespondiente elemento de z j. Esto se hace solamente para las variables que noestán en la base, ya que para las variables básicas la diferencia es cero.

c1 – z1 = 10 – 0 = 10c2 – z2 = 15 – 0 = 15c3 – z3 = 0 – 0 = 0c4 – z4 = 0 – 0 = 0c5 – z5 = 0 – 0 = 0

Con esto se ha completado el tablero 1.


39

Obtención de la segunda solución

Aquí vamos a analizar mas en detalle el significado de los coeficientes detransformación.Del tablero 1 se observa por ejemplo que x 1 no figura en esta solución y deseamossaber que ocurre económicamente si ingresa x 1.Si se introduce x 1, se reduce las cantidades de x 3, x4 y x5 en la proporción indicadapor los coeficientes de x 1.Por lo tanto, se deberá disminuir:

2 unidades de x3

1 unidad de x4

4 unidades de x5

¿Cómo se sabe si se gana o se pierde con el cambio?Se calcula la influencia de introducir x 1 y de quitar unidades de x 3, x4 y x5.Entonces se tiene que:Beneficio de introducir una unidad de x 1 = $3 (valor dado por su coeficiente deganancia c j = c 1 = 3).

La reducción indirecta de la ganancia al eliminar unidades dex3, x4 y x5 = 2x0 + 1x0 + 4x0 = $0, valor dado por z j = z 1 = 0

La ganancia neta del cambio es:cj – zj = c1 – z1 = 3 – 0 = $ 3Valor que se encuentra en el tablero 1 en la fila c j – zj y columna de x1.

Este valor de $3 se denomina costo de oportunidad y es lo que se deja de ganar al nointroducir x1 en la solución.

Se aprecia en definitiva que c j – zj es en realidad un balance económico que analiza lamejora potencial en la función objetivo que puede lograrse introduciendo x j, de dondese desprende que:z j = a lo que se pierde al introducir x j.c j = a lo que se gana al introducir x j

Por lo tanto cuando se maximiza un problema, esto admite una solución m ejor,siempre que haya un valor positivo de c j – zj.Este paso que se acaba de explicar constituye el medio de conocer si la soluciónobtenida anteriormente puede o no ser mejorada.

Elección de la variable que entra

Ahora bien, del tablero 1 se observa que hay dos variable que tienen diferenciaspositivas, siendo x 2 la que tienen mayor valor, por consiguiente x 2 debe ingresar a labase ya que proporciona la mayor ganancia y se denota en el tablero con una flechahacia adentro.

Elección de la variable que sale

Así mismo, la variable que deberá salir de la base para que ingrese x 2, será la variablex 4, ya que presenta el menor valor de los , y se denota también en el tablero conuna flecha hacia fuera


40

El valor de a ij que se encuentra en la intersec ción de la variable que sale con lavariable que entra (2), se llama elemento pivote y se encierra en un circulo.

En el tablero 2, la nueva base estará formada por x 3, x 2 y x 5

En la fila donde esta el elemento pivote(tablero 1), dicha fila se divide po r el elementopivote y el resultado se traslada a la fila correspondiente en el tablero 2.Para completar las otras filas, se hará uso del pivoteo, mediante la siguiente formula:

Tablero Nº 2

c j 10 15 0 0 0c i x k b i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 40 (1) 0 1 -1 0 4015 x 2 60 1/2 1 0 ½ 0 1200 x 5 160 3 0 0 -1 1 53.3

Z 900 7.5 15 0 7.5 0c j – z j 2.5 0 0 -7.5 0

Del tablero 2 se ha obtenido la segunda solución básica factible donde las variablesbásicas y sus valores correspondientes son:

x 3 = 40x 2 = 60x 5 = 160


Donde el valor de la función objetivo es:

Z = 0x40 + 15x60 + 0x160 = $900

Obtención de la tercera soluciónDel tablero 2, se observa que todavía no se ha llegado a la solu ción óptima en vistaque existe aun un cj – zj positivo.

Elección de la variable que entraPuesto que solo existe una diferencia positiva en la fila de c j – zj, que corresponde a lavariable x1, esta es la que ingresa a la base.

Elección de la variable que saleDel tablero 2, se observa que la variable que tiene el mínimo de los es la variable x3

y por consiguiente esta variable sale de la base.

En el tablero 3, la nueva base estará formada por x 1, x 2 y x 5

En la fila donde esta el elemento pivote(ta blero 2), dicha fila se divide por el elementopivote y el resultado se traslada a la fila correspondiente en el tablero 3.Para completar las otras filas del tablero 3, se hará uso del pivoteo.


41

Tablero Nº 3

cj

10 15 0 0 0

c i x k B i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5

10 x 3 40 1 0 1 -1 015 x 2 40 0 1 -1/2 1 00 x 5 40 0 0 -3 2 1

Z 1000 10 15 2.5 5 0c j – z j 0 0 -2.5 -5 0

Como todas las diferencias de cj – zj son ceros o negativas, se ha llegado a la soluciónóptima, donde las variables básicas y sus valores correspondientes son:

x 1 = 40x 2 = 40x 5 = 40


Donde el valor de la función objetivo es:

Z = 10x40 + 15x40 + 0x40 = $1000

En resumen, el resultado del tablero 3 nos indica que la Cia. ALFA, debe producirdiariamente 40 unidades del producto A y 40 unidades del producto B, lo que daría unaganancia máxima de $1000.Además nos indica que están sobrando 40 minutos de montaje por día(valor quecorresponde a la variable x5 en la tercera restricción).5.1.2. CASO DE MINIMIZACION

Cuando un programa lineal tiene restricciones del tipo “menor o igual que”( ) ode limite mínimo y por consiguiente se desea convertir las desigualdades enigualdades, entonces es necesar io sustraer variables en lugar de agregar variables deholgura. A estas variables se les llama variables de exceso. Se sustraen tantasvariables de exceso como restricciones del tipo “menor o igual que” existan.Las variables de exceso son no negativas y e l coeficiente de costo en la funciónobjetivo es cero.

EJEMPLO 5.2Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio gradoy alto grado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo grado, 5ton. De medio grado y 20 ton. De alto grado.La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto gradoen un día de operación. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de mediogrado y 7 ton de alto grado por día de operación.Los costos de operación son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para lafabrica 2.¿Cuantos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contratode venta en la forma más económica?SOLUCION

Sean las variables de decisión:


42

x1 = número de días de trabajo de la fabrica 1x2 = número de días de trabajo de la fabrica 1

Min (z) = 1x1 +2x2

s.a. 8x1 +2x2 16

1x1 +1x2 5 2x1 +7x2 20 x1, x2 0

Se sustraen 3 variables de exceso:

Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

s.a. 8x1 +2x2 - x3 = 16

1x1 +1x2 - x4 = 5 2x1 +7x2 - x5 = 20 x1, x2, x3, x4, x5 0

En esta parte del simplex, se observa que al hacer qu e las 2 variables estructuralessean iguales a cero(x1 = x2 =0) se tendría que:

x3 = -16x3 = -5x3 = -20

Lo cual viola la condición de no negatividad de las variables.

Para el caso de minimización, se propone una modificación a partir de esta etapa d elsimplex. Esta consiste en hacer que las variables estructurales puedan tomar un valornulo en las ecuaciones precedentes, en forma tal que las variables de exceso,permaneciendo positivas, satisfagan dichas ecuaciones. Esto se logra introduciendoademás de las variables de exceso, las llamadas “variables artificiales”.

Representaremos a las variables artificiales por la letra con un subíndice apropiado.Estas variables también cumplen la condición de no negatividad.Por consiguiente nuestro programa lineal original con la sustracción de las variables deexceso y la adición de las variables artificiales quedaría de la siguiente manera:

Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + M1 +M 1 +M1

s.a. 8x1 +2x2 - x3 +1 = 16

1x1 +1x2 - x4 +2 = 5 2x1 +7x2 - x5 +3 = 20 x1, x2, x3,x4 ,x5, 1 , 2, 3 0

En este problema, las variables artificiales 1, 2 y 3 pueden interpretarse como“número de días imaginarios”.

Cabe indicar que las variables de exceso y las variables artificiales no guardancorrespondencia con relación a su influencia en los costos. Es decir, mientras que lasvariables de exceso tienen coeficientes nulos de costos en la función objetivo, cada


43

variable artificial recibe una asignación de costo igual a M, siendo M una cantidadinfinitamente grande. Esto asegura que estas variables no pueden tomar parte enningún caso en la solución óptima.

Si estuviésemos en un caso de maximización, el coeficiente asociado de beneficio de lavariable artificial recibe una asignación de –M, es decir un valor tan pequeño que lavariable correspondiente no tendría cabida en la solución.

Así mismo, se observa que las variables artificiales permiten obtener un inicioconveniente y correcto para hallar la solución óptima aplicando el método simplex, yaque estas variables se usan para formar o completar, según sea el caso la matrizidentidad.

Al aplicar el simplex a este problema, que corresponde a un caso de minimización, solohay que tener presente el punto relacionado con la variable que entra a la base, esdecir con c j – z j; esto por que mientras exista una diferencia de c j – z j negativa,habrá una mejor solución. En el caso de que existan varias diferencias negativas, seeligira a la variable que tenga la diferencia mas negativa.En el problema, llega a la solución óptima cuando todas las c j – z j son ceros o positiva

Pasando al tablero simplex, se tien e que:

Tablero 1

cj 1 2 0 0 0 M M Mci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 1 2 3 M 1 16 (8) 2 -1 0 0 1 0 0 2M 2 5 1 1 0 -1 0 0 1 0 5M 3 20 2 7 0 0 -1 0 0 1 10

Z 41M 11M 10M -M -M -M M M Mcj - zj 1-

11M2-

10MM M M 0 0 0

Tablero 2

cj 1 2 0 0 0 M M Mci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 1 2 3 1 X1 2 1 2/8 -1/8 0 0 1/8 0 0 8M 2 3 0 6/8 1/8 -1 0 -1/8 1 0 4M 3 16 0 (52/8

)2/8 0 -1 -2/8 0 1 2.26

Z 2+19M

1 2/8+58/8

M

1/8+3/8M

-M -M 1/8-3/8M

M M

cj - zj 0 6/8 -58/8

M

-1/8+

3/8M

M M -1/8+

11/8M

0 0


44

Tablero 3

cj 1 2 0 0 0 M M Mci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 1 2 3 1 X1 72/52 1 0 -7/52 0 2/52 7/52 0 -2/52 36M 2 60/52 0 0 5/52 -1 (6/52

)-5/52 1 -6/52 10

2 X2 32/13 0 1 2/52 0 -8/52 -2/52 0 8/52

Z 328/52

+60M/52

1 2 -3/52+

5M/52

-M -14/5

2+6M/

52

3/52 -57M/5

2

0 14/52 -58M/52

cj - zj 0 0 3/52-

5M/52

M 14/52 -

6M/52

-3/52+

57M/52

0 -14/52+58M/52

Tablero 4

cj 1 2 0 0 0 M M Mci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 1 2 3

1 X1 3 1 0 -8/6 -1/6 0 8/6 1/6 00 X5 12 0 0 5/6 -1/6 1 -5/6 1/6 -12 X2 2 0 1 2/6 1/6 0 -2/6 -1/6 0

Z 7 1 2 -4/6 -1/6 0 4/6 1/6 0cj - zj 0 0 4/6 1/6 0 M-

4/6M-1/6

M

La solución del problema es:X1 = 3 díasX2 = 2 díasX5 = 12 tn.

Z = $7,000

Además, x3 = x4 = 0

Esto nos indica que para cumplir con el mencionado contrato de venta, la fabrica 1,deberá trabajar 3 días, la fabrica 2 solo 2 días, lo cual nos dará un costo total deoperación mínimo de $7,000


45

CAPITULO VI

PROGRAMACION LINEAL: USO DE LA COMPUTADORA

En el presente capitulo se examina como los que tienen que tomar decisiones utilizanla computadora para resolver problemas con mucha variables y restricciones, y comointerpretan los resultados de la computadora para formular el plan óptimo.

Ahora que comprende la forma en que el a lgoritmo simplex soluciona los problemas deprogramación lineal, puede confiar en la computadora para realizar los cálculosdetallados. Como pudo observar en el capitulo 5, el algoritmo simplex no solo producela solución óptima, sino que también proporcio na información económica adicional útilen el proceso de toma de decisiones, como los valores de los precios sombra, costosreducidos, intervalos de sensibilidad y análisis parametrico.Todo el software para solución de programas lineales proporciona esta información.

6.1 USO DEL LINDO FOR WINDOWSSé hará uso del software de programación lineal llamado LINDO ( Linear, INteractive,and Discrete Optimizer) para resolver y analizar un problema de programación lineal.


6.1.1. Definición del problema



La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutosrespectivamente.

El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos demaquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debemanufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados deproducción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y delproducto B es de $15.

6.1.2. Formulación del problema

Las variables de decisión son:x1: número de unidades del producto A que se va a producirx2: número de unidades del producto B que se va a producir

La combinación de la función objetivo de maximizar la ganancia total y las tresrestricciones estipuladas en función de los recursos disponibles da como resultado elsiguiente problema de programación lineal:


46

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 160 maquinado

x 1 + 2x 2 120 armado 4x 1 + 2x 2 280 montaje

x 1, x 2 0

6.1.3. solución de computadora

El modelo de producción puede solucionarse usando cualquier paquete de software deprogramación lineal disponible como lindo.El primer paso es introducir los datos del modelo en el formato requerido por LINDO dela forma como se muestra en la figura 6.1.

MAX 10 x 1 + 15 x 2

ST2x 1 + 2x 2 < 160

x 1 + 2x 2 < 120

4x 1 + 2x 2 < 280

ENDFigura 6.1. Entrada del programa

Ahora puede ordenarle a la computado ra que use LINDO para resolver el problemausando la opción SOLVE. La solución, se muestra en la figura 6.2., Donde la parte (a)del reporte representa la formulación Del programa y la parte (b) representa enprimer lugar los valores óptimos de las varia bles estructurales. La segunda parteproporciona información referente a las restricciones.

MAX 10 X1 + 15 X2SUBJECT TO

2) 2 X1 + 2 X2 <= 160 3) X1 + 2 X2 <= 120 4) 4 X1 + 2 X2 <= 280 END (a)

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1000.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 40.000000 0.000000 X2 40.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 2.500000

3) 0.000000 5.000000 4) 40.000000 0.0 00000 NO. ITERATIONS= 2 (b)

Figura 6.2. (a) Entrada de Lindo (b) Reporte óptimo del lindo


47

6.2. INTERPRETACION DE LA SOLUCION OPTIMA

La computadora realizo los pasos el algoritmo simplex, como se describe en él capitulo5, para resolver el problema de Planeación de la producción presentado en la sección6.1. los resultados se dan en la figura 6.2.

Recuerde que el algoritmo simplex esta diseñado para resolver un problema en suforma estándar. Como la entrada del programa no estaba en forma estándar, lacomputadora tuvo que añadir tres variables de holgura correspondientes a las tresrestricciones de desigualdad. En la figura 6.2, la salida de la sección (b) en la primeraparte corresponde a las dos variables originales, mientras que la segu nda partecorresponde a las tres variables de holgura, una por cada restricción de desigualdad.

6.2.1. Interpretación de los valores de las variables originales.

La fila 1) representa el valor de la función objetivo, mientras que la columnaetiquetada como VALUE, indica que la solución óptima a este problema es producir 40unidades Del producto A y 40 unidades Del producto B por día, lo que nos da unaganancia máxima de $1,000 por día.

La columna etiquetada como REDUCED COST, pertenece a los costos red ucidos deestas dos variables.Sin embargo, los costos reducidos tienen significado sólo para las variables no básicas

6.2.2. Interpretación de los valores de las variables de holgura .

La segunda parte de la sección (b) contiene información similar perte neciente a lastres variables de holgura. En particular, de la columna etiquetada VALUE, los valoresóptimos de las tres variables de holgura(cuyos nombres son los de lascorrespondientes tres restricciones) son 0, 0 y 40, respectivamente. ¿Que significanestos valores en el contexto de este problema?.

Recuerde que la variable de holgura para la restricción 1 representa en número deminutos no utilizados en el proceso de maquinado. El tener un valor 0 para estavariable en la solución optima de la figura 6.2 significa que no hay tiempo de holgura,todos los minutos disponibles para este proceso se utilizan. De manera similar, todoslos minutos Del proceso de armado sé utilizan por que el valor de su variable deholgura es 0. El valor de 30 para la tercera variable de holgura correspondiente a larestricción 3, (proceso de montaje), indica que hay una desocupación de 40 minutos,es decir que el número de minutos disponible Del proceso de montaje para producirambos productos es 40 minutos menos que él limite de 280 minutos.

Por otra lado en la columna etiquetada con DUAL PRICES, proporciona los preciosduales de las variables de holgura.Por ejemplo el precio dual para la primera variable de holgura es 2.50, lo que nosindica que cada incremento unitario en el valor de esta variable de holgura,manteniendo las demás variables básica en el valor 0, tienen como resultado unaumento de $2.50 de ganancia en la función objetivo. Como una unidad de estavariable de holgura corresponde a usar un minuto mas en el pr oceso de maquinado, eluso de 1 minuto mas aumenta las ganancias en $2.50.

De manera similar, p[ara la segunda variable de holgura, el precio dual es 5.00,significa que cada incremento unitario en la segunda variable de holgura, manteniendo


48

las otras variables no básicas en el valor 0, resulta en un aumento de $5.00 deganancia en la función objetivo. Como una unidad de esta variable de holguracorresponde a usar un minuto mas en el proceso de armado, el uso de 1 minuto masaumenta las ganancias en $5.00.

Recuerde que los precios duales tienen significado solo para las variables no básicas,como las dos primeras variables de holgura no son básicas(no son parte de la soluciónóptima). En contraste, la tercera variable de holgura es básica, y por lo tanto , suprecio dual es 0, esto significa que el incremento Del limite de 280 minutos para elproceso de montaje no tendrá ninguna ganancia adicional. Esto tiene sentido, pues lasolución óptima indica que solo se han usado 240 minutos del proceso de montaje, elcual esta por debajo Del limite especificado de 280 minutos.

EJEMPLO 6.2.: PROBLEMA DE POLITICA DE PRESTAMOS

Un banco tiene $ 1 millón disponible para prestamos. Puede prestar dinero aempresas, proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las políticas delbanco limitan los prestamos personales a un máximo del 25% de todos los prestamos,mientras que los prestamos a empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas.También el banco quiere que los prestamos a empresas sean por lo menos 1 0% masque los prestamos personales. Los interese promedio son: 12% en prestamospersonales, 10% en prestamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que nose han prestado, se invierten en valores a corto plazo al 5%. El banco quiere unprograma para maximizar el interés.

SoluciónVariables de decisión:X 1 = prestamos personalesX 2 = prestamos a empresasX 3 = prestamos por hipotecasX 4 = inversión en valores a corto plazo


Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4

s.a.X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 (capital de inversión)

X 1 0.25 (X 1 + x 2 + x 3) (prestamos personales)

X 2 x 3 (prestamos a empresas)

X 2 1.10 x 1 (prestamos a empresas)

X 1 , x 2 , x 3 , x 4 0

Para la entrada del programa en el LINDO, es necesario reescribir el programa de lasiguiente manera:

Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4

s.a.


49

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 (capital de inversión)

0.75 x 1 - x 2 - x 3 0 (prestamos personales)

x2 -x 3 0 (prestamos a empresas)

x 2 - 1.10 x 1 0 (prestamos a empresas)

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0

Aplicando el LINDO, se tiene:

MAX 0.12 X1 + 0.1 X2 + 0.08 X3 + 0.05 X4SUBJECT TO

2) X1 + X2 + X3 + X4 = 1000000 3) 0.75 X1 - 0.25 X2 - 0.25 X3 <= 0 4) X2 - X3 <= 0 5) - 1.1 X1 + X2 >= 0 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 97500.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 250000.000000 0.000000 X2 375000.000000 0.000000 X3 375000.000000 0.000000 X4 0.000000 0.047500


3) 0.000000 0.030000 4) 0.000000 0.010000

5) 100000.000000 0.000000

EJEMPLO 6.3.: PROBLEMA DE POLITICA DE PRESTAMOS

Una institución financiera, ALFA BANK, se encuentra en el proceso de formular supolítica de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, esta obligada a otorgarprestamos a diversos clientes. En la siguiente tabla, se señala los tipos de prestamos,la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra suspagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por su experiencia.


50

Tipo depréstamo

Tasa deinterés

Probabilidadde incobrables

Personal 0.140 0.10Automóvil 0.130 0.07Casa 0.120 0.03Agrícola 0.125 0.05Comercial 0.100 0.02

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto noproducen ingreso por concepto de intereses.

La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el bancoasigne cuando menos el 40% de los fon dos totales a prestamos agrícolas ycomerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, losprestamos para casa deben ser iguales cuando menos al 50% de los prestamospersonales, para automóvil y para casa. El banco tiene asimism o una políticaestablecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede sersuperior a 0.04 .

Solución:


X 1: Prestamos personales en millones de $X 2: Prestamos para automóviles.X 3: Prestamos para casa.X 4: prestamos agrícolasX 5: prestamos comerciales

El objetivo es maximizar el rendimiento neto: diferencia entre ingreso por concepto deinterés y los fondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertosson irrecuperables, tanto el interés como el principal en la función objetivo es:

Max(z) = 0.14(0.9 x 1) + 0.13(0.93 x 2) + 0.12(0.97 x 3) + 0.125(0.55 x 4) + 0.1(0.98x 5)

- 0.1 x 1 – 0.07 x 2 – 0.03 x 3 – 0.05 x 4 – 0.02 x 5

sujeto a:

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 12 (Fondos totales)

X 4 + X 5 0.4 (12) (prestamos comerciales y agrícolas)

x 3 0.5(X 1 + X 2 + X 3 ) (prestamos para casa)

0.1X 1 + 0.07 X 2 +0.03 X 3 +0.05 X 4 + 0.02 X 5

-------------------------------------------------------------- 0.04 (limitessobre adeudos

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 no cubiertos)O bien:

0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 0

X j 0 (j=1,5)


51

Reescribiendo el programa, se tendría:

Max(z) = 0.126 x 1 + 0.1209 x 2 + 0.1164 x 3 + 0.068875 x 4 + 0.098 x 5 - 0.1 x 1 –0.07 x 2 – 0.03 x 3 – 0.05 x 4 – 0.02 x 5

s.a.

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 12

X 4 + X 5 4.8

0.5x 3 –0.5 X 1 – 0.5 X 2 0

0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 0

X i j 0

Aplicando el LINDO, tendriamos la formulación correspondiente y la solución:

MAX 0.026 X1 + 0.05089999 X2 + 0.0864 X3 + 0.018875 X4 + 0.07799999 X5 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 <= 12 3) X4 + X5 >= 4.8 4) - 0.5 X1 - 0.5 X2 + 0.5 X3 >= 0 5) 0.06 X1 + 0.03 X2 - 0.009999999 X3 + 0.009999999 X4 - 0.02 X5 <= 0 END



1) 0.9964800

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.060400 X2 0.000000 0.035500 X3 7.200000 0.000000 X4 0.000000 0.059125 X5 4.800000 0.000000


3) 0.000000 -0.008400 4) 3.600000 0.000000 5) 0.168000 0.000000

NO. ITERATIONS= 3


52

EJEMPLO 6.4.: PROBLEMA DE INVERSION

Al gerente de cartera de la AFP “BUENA VIDA” SE LA HA PEDIDO INVERTIR $1’000,000de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de inversiones haidentificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando endiferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en lasiguiente tabla:

FONDO1 2 3 4 5 6

Precio($/acción) 45 76 110 17 23 22Devoluciónesperada(%)

30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en losdiferentes fondos. Para este fin, la administración de la AFP, ha especificado lassiguientes pautas:

La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y75% de la cartera.

La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y30% de la cartera.

La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50%de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversifi car, esto es, esparcir el riesgoinvirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificadoque la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa1:2:3 , respectivamente. La cantidad invertida en lo s fondos de mediano riesgo 4 y 5debe ser 1:2 .Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar paramaximizar la tasa esperada de retorno?.

Solución


X j : fracción de la cartera por invertir en el per iodo j

Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida

Función objetivo:

Max(z) = 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6

Restricciones:

Por inversión

X1 + X2 + X3 0.50 (mínimo alto riesgo)


53

X1 + X2 + X3 0.75 (máximo alto riesgo)

X4 + X5 0.20 (mínimo mediano riesgo)

X4 + X5 0.30 (máximo mediano riesgo)

X6 0.05 (mínimo bajo riesgo)

Debido a las proporciones:




Agenda Total de cartera

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1

Condición de no negatividad:

X j 0 (j = 1,6)

Max 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6

s.a.X1 + X2 + X3 0.50

X1 + X2 + X3 0.75

X4 + X5 0.20

X4 + X5 0.30

X6 0.05

- 2 X1 + X2 = 0

- 3 X1 + X3 = 0

- 2 X4 + X5 = 0

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1


54

PROBLEMAS DESARROLLADOS

1. PetroPerú obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Talara,Pavayacu y Trompeteros. La gasolina obtenida de estos petróleoscrudos se mezcla junto con dos aditivos para obten er el producto final.Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fósforo,como se muestra en la siguiente tabla:

PETROLEOS CRUDOS ADITIVOSTalara Pavayacu Tompeteros 1 2

Azufre(%)Plomo(g/gal)Fósforo(g/gal)Costo($/gal)

0.07----0.55

0.08----0.47

0.10----0.33

--70.0520.08

--60.020.12

Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Talararesulta solo en 0.35 de galón del producto final, que contiene 0.07% de azufre.De manera similar, cada galón de cr udo Pavayacu produce 0.40 de galón delproducto final que contiene 0.08% de sulfuro y cada galón de crudo deTrompeteros resulta en 0.30 de galón del producto final que contiene 0.10% deazufre. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones pa ra controlarla cantidad de azufre, plomo y fósforo:

Cada galón debe tener a lo mas 0.07% de azufre Cada galón debe tener entre 1.25 y 2,5 gramos de plomo Cada galón debe tener entre 0/0025 y 0.0045 gramos de fósforo La cantidad total de los aditivos no pu ede exceder de 1.9% de la mezcla

Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca unagasolina aceptable al mínimo costo.

2. La Cia. BETA STEEL produce tres tamaños de tubos: A,B y C que son vendidos,respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A serequieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular demaquina de modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie deltubo C requiere 0.6 minutos.Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie delos tubos A,B y C respectivamente.

Para la siguiente semana, BETA ha recibido pedidos excepcionalmente grandesque totalizan 2000 pies de tubo A, 4000 pies de tubo B y 5000 pies de tubo C.Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo setienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento deproducción no podrá satisfacer esta deman da, que requiere de un total de 97horas de tiempo de maquina y 11,000 onzas de material de soldar. No seespera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir lacapacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de BETA estaconsiderando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a uncosto de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie deltubo C. Estos diversos datos se resumen en la siguiente tabla.


55

TIPO PRECIODEVENTA($/ft)

DEMANDA(ft)

TIEMPO DEMAQUINA(min/ft)

MATERIALPARASOLDAR(oz/ft)

COSTO DEPRODUCCIÓN($/ft)

COSTODECOMPRA($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6B 12 4000 0.45 1 4 6C 9 5000 0.60 1 4 7

Como gerente del Dpto. de producción, se le ha pedido hacer recomendacionesrespecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra aJapón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

Formulación de Programas :

1. X1 : numero de galones de petróleo crudo de TalaraX2 : numero de galones de petróleo crudo de PavayacuX3 : numero de galones de petróleo crudo de TrompeterosX4 : numero de galones del aditivo 1 para hacer un galón de gasolinaX5 : numero de galones del aditivo 2 para hacer un galón de gasolina

Min 0.55X1 + 0.47X2 + 0.33X3 + 0.08X4 +0.12x5

s.a.

0.35X1 + 0.40X2 + 0.30X3 + X4 + x5 = 1.0 (producción)0.00025X1 + 0.00032X2 + 0.0003X3 0.0007 (azufre)7X4 + 6X5 2.50 (lim. Superior plomo)

7X4 +6 X5 1.25 (lim. Inferior plomo)0.025X4 +0.02X5 0.0045 (lim. Superior fosforo)0.025X4 +0.02X5 0.0025 (lim. inferior fosforo)X4 + X5 0.19 (lim. Superior en aditivos)

X j 0 (j=1,2,3,4,5)

2. X1 : numero de pies de tubo de tipo A por producirX2 : numero de pies de tubo de tipo A por producirX3 : numero de pies de tubo de tipo A por producirX4 : numero de pies de tubo de ti po A que comprar a JapónX5 : numero de pies de tubo de tipo A que comprar a JapónX6 : numero de pies de tubo de tipo A que comprar a Japón

Max 7X1 + 8X2 + 5X3 + 4X4 +6x5 + 2X6

s.a.X1 + X4 = 2000 (demanda A)

X2 + X5 = 4000 (demanda B)X3 + X6 = 5000 (demanda C)

0.5X1 + 0.45X2 + 0.6X3 2400 (tiempo de maquina) X1 + X2 + X3 5500 ( material para soldar)

Xj 0 (j=1,2,3,4,5,6)


56

F) PROBLEMA 1: REPORTE DEL LINDOLP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 0.9494500

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.127500 X2 1.375000 0.000000 X3 0.866666 0.000000 X4 0.140000 0.000000 X5 0.050000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRI CES2) 0.000000 -1.475000

3) 0.000000 374.999878 4) 1.220000 0.000000 5) 0.030000 0.000000

6) 0.000000 8.000000 7) 0.002000 0.000000 8) 0.000000 1.195000

NO. ITERATIONS= 7

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.550000 INFINITY 0.127500 X2 0.470000 0.102000 0.030000 X3 0.330000 0.022500 0.255000 X4 0.080000 0.040000 0.298750 X5 0.120000 0.239000 0. 040000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1.000000 0.065000 0.110000 3 0.000700 0.000110 0.000052 4 2.500000 INFINITY 1.220000 5 1.250000 0.030000 INFINITY 6 0.004500 0.000250 0.000150 7 0.002500 0.002000 INFINITY 8 0.190000 0.035000 0.010000


57

PROBLEMA 2: REPORTE DEL LINDO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 55000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2000.000000 0.000000

X2 0.000000 0.250000 X3 2333.333252 0.000000 X4 0.000000 0.500000 X5 4000.000000 0.000000 X6 2666.666748 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 4.500000 3) 0.000000 6.000000 4) 0.000000 2.000000

5) 0.000000 5.000000 6) 1166.666626 0.000000

NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 7.000000 INFINITY 0.500000 X2 8.000000 0.250000 INFINITY X3 5.000000 0.600000 0. 333333 X4 4.000000 0.500000 INFINITY X5 6.000000 INFINITY 0.250000 X6 2.000000 0.333333 0.600000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS ICREASE DECREASE 2 2000.000000 2800.000000 2000.000000 3 4000.000000 INFINITY 4000.000000 4 5000.000000 INFINITY 2 666.666748 5 2400.000000 700.000000 1400.000000 6 5500.000000 INFINITY 1166.666626


58

CAPITULO VII

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

En una situación real, algunos datos de un modelo de programación lineal puedencambiar con el tiempo debido a la naturaleza dinámica del negocio. ¿Que sucede con lasolución óptima si los precios del mercado caen? ¿Si suben los costos de mano de obrao de la materia prima? ¿Si se contratan empleados adicionales en una línea deproducción?. El decisor ante tales situaciones desearía saber qué tan sensible es lasolución óptima a estos valores de datos.

Las respuestas a estas preguntas pueden usarse de diversas maneras. Por ejemplo sila solución óptima es muy sensible a algunos coeficientes, y se espera que estosvalores fluctúen con el tiempo, entonces el decisor puede desear usar el modelo solopara planeación a corto plazo, o tal vez tenga que resolver el modelo periódicamente alcambiar los datos.

Después de formular y reso lver un problema de programación lineal, un decisor debehacerse un número de preguntas importantes de la forma: ”¿Que sucede si.....?” . Porejemplo:

1. ¿Que le sucede a la solución óptima y al valor de la función objetivocorrespondiente si un coeficiente particular de la función objetivo se modifica?

2. ¿ Que le sucede a la solución óptima y al valor de la función objetivocorrespondiente si se modifica un valor particular del extremo derecho de lasrestricciones?

Estas preguntas tienen que ver con el tema del análisis de sensibilidad. El decisor sepregunta qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo conrespecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes en lafunción objetivo y las restricciones. ¿Q ue tanto impacto tendrá en la solución uncambio en cualquiera de los datos?.

Estas preguntas de sensibilidad son importantes para un decisor por que los datos Delproblema a menudo tienen que estimarse y por tanto están sujetos a inexactitudes.Antes de implantar la solución obtenida de un programa lineal, es ventajoso para elgerente saber lo que podría suceder si las estimaciones de los datos son ligeramenteinexactas. El análisis de sensibilidad indica que coeficientes afectan massignificativamente la solución óptima.

Para ilustrar otro uso del análisis de sensibilidad, suponga que las restricciones de unprograma lineal particular tienen que ver con la asignación de recursos escasos, comocapita, mano de obra y materias primas. El análisis de sensibi lidad puede ayudar adeterminar si es rentable o no adquirir cantidades adicionales de recursos.

7.1. USO DEL REPORTE DE SENSIBILIDAD DEL LINDO FOR WINDOWS

En esta parte se utiliza el paquete de programación lineal LINDO para hallar la soluciónóptima y analizar los reportes de sensibilidad. Como se aprendió en la sección 6.1, elalgoritmo simplex proporciona mas información que simplemente la solución óptima.


59

EJEMPLO 7.1.: Problema de planeación de producción de ALFA



La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutosrespectivamente.El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montajerespectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos demaquinado, armado y montaje respectivamente.El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debemanufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados deproducción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y delproducto B es de $15.

Formulación del problemaLas variables de decisión son:x1: número de unidades del producto A que se va a producirx2: número de unidades del producto B que se va a producir

La combinación de la función objetivo de maximizar la ganancia total y las tresrestricciones estipuladas en función de los recursos disponibles da como resultado elsiguiente problema de programación lineal:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 160 maquinado

x 1 + 2x 2 120 armado 4x 1 + 2x 2 280 montaje

x 1, x 2 0

solución de computadora



1) 1000.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 40.0000000.000000 X2 40.0000000.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000

2.500000 3) 0.0000005.000000 4) 40.0000000.000000


60

Con respecto al problema de ALFA, surgieron las siguientes preguntas de sensibilidad:

1. Debido a una competencia reciente en el mercado por el producto B, lagerencia ha decidido disminuir la ganancia en $2 por unidad. ¿Cómo deberíacambiar el plan de producción para A y B?.

2. ¿Que sucede con el margen de ganancia de ALFA, si el tiempo disponiblepara maquinado disminuye en 20 minutos?

3. ¿Que sucede con el margen de ganancia de ALFA, si el tiempo disponiblepara montaje aumenta en 40 minutos?

Utilizando el reporte de sensibilidad del LINDO, que se muestra en la figura 6.3, setiene que:

La primera pregunta tiene que ver con un decremento de $2 en la ganancia delproducto B, lo cual hace que la ganancia sea ahora de $13 por unidad del producto B.En otras palabras, Ud. desea saber qué sucede con la solución óptima anterior de x 1 =40 y x2 = 40Cuando el coeficiente de x 2 en la función objetivo disminuye de 15 a 13.La primera parte del reporte de sensibilidad(OBJ COEFFICIENT RANGES) proporciona larespuesta. Para x2 el coeficiente de la función objetivo original es 15, como se indicaen la columna titulada “CURRENT COEF”. Las siguientes dos columnas proporcionan losintervalos de sensibilidad para cada uno de los coeficientes de la función objetivo.Lindo proporciona estos intervalos reportando el incremento y decremento máximospermisibles de los valores actuales.


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE X1 10.000000 5.000000 2.500000 X2 15.000000 5.000000 5.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 160.000000 13.333333 40.000000

3 120.000000 40.000000 20.000000 4 280.000000 INFINITY 40.000000

FIGURA Nº 6.3. Reportes del análisis de sensibilidad del LINDO para elproblema de ALFA

En este ejemplo mientras el coeficiente de ga nancia de x2 permanezca en el intervalode 10 a 20, que el valor mínimo y máximo permisibles respectivamente, y mientras losdemás coeficientes no cambien, la solución óptima de x 1 = 40 y x2 = 40 no cambia. Unvalor fuera de este intervalo sin embargo, pue de ocasionar un cambio en la soluciónóptima. Como el nuevo valor de 13 para este coeficiente esta dentro Del intervalo de10 a 20, la solución actual sigue siendo óptima. Sin embargo, la ganancia máximacambia


61

Max Z = (10 * 40) + (13 * 40)Max Z = $920

La segunda pregunta se refiere a un decremento en el lado derecho de la primerarestricción de su valor original de 160 a 140. La segunda parte del reporte de la figura6.3, titulada “RIGHTHAND SIDE RANGES” ayuda a contestar esta pregunta.

Recuerde que el precio dual o precio sombra de una restricción representa la cantidadde cambio en la función objetivo por unidad de incremento en el valor del ladoderecho. Para la primera restricción, que limita los minutos totales usados en eldepartamento de maquinado a menos de 160, el precio sombra de 2.50 se da en lasección 6 de figura 6.2.

Sin embargo, ese precio sombra es aplicable sólo si el valor del lado derechopermanece dentro de cierto intervalo. De hecho, ese intervalo se proporciona en lasegunda parte del reporte de la figura 6.3 en las columnas rotuladas ALLOWABLEINCREASE y DECREASE ALLOWABLE. Mientras el limite de minutos de maquinado esteentre 120 y 173.33 el precio sombra de 2.50 es válido. Esto significa que cada minutoadicional de maquinado del actual nivel de 160 a 173.33 minutos incrementan laganancia en $2.50. de manera alternativa, cada minuto disminuido del actual nivel de160 hasta 120 disminuye la ganancia en $2.50.Puede usarse esta información para responder la segunda pregunta de la manerasiguiente. Para la primera restricción correspondiente al proceso de maquinado, elnuevo valor del lado derecho de la restricción que es 140 está dentro del intervalo de120 a 173.33, por lo que el precio sombra de 2.50 es válido. El nuevo val or de lafunción objetivo óptima correspondiente a 140 minutos disponibles en el proceso demaquinado es:

Z1 = Z + (precio sombra)*(Cambio en el valor ld)Z1 = 1000 + (2.50)*(-20)Z1 = 950

Así pues, la reducción de 160 a 140 minutos provoca que la gan ancia óptimadisminuya de $1000 a $950.

La tercera pregunta tiene que ver con un incremento en el valor ld de la tercerarestricción, de su valor original de 280 a 320. Usando la misma parte Del reporte desensibilidad de la figura 6.3, puede verse que e l nuevo valor esta dentro Del intervalo240 a infinito, y por lo tanto, el precio sombra de 0.00 sigue siendo valido. Estosignifica que cada minuto adicional en el proceso de montaje Del actual nivel de 280hasta el infinito, el incremento de la ganancia es nulo. De manera alternativa, cadaminuto disminuido del actual nivel de 280 hasta 240 minutos la disminución de laganancia es nula.

6.4.2. Interpretación de reportes de análisis parametrico

En la sección 6.4.1., el reporte de sensibilidad del lado derecho para el problema deALFAQUIM indica que el precio sombra de 2.50 para la restricción (1) es validomientras el valor ld permanezca dentro del intervalo 120 a 173.33. De igual forma elprecio dual de 5.00 para la restricción (2) es válida mientras e l valor ld permanezcadentro del intervalo 100 a 160. Sin embargo, ¿qué sucede si un coeficiente se cambiaa un valor fuera de estos intervalos?


62

El análisis parametrico proporciona la respuesta. El lindo proporciona un reporteparametrico que se presenta en la figura 6.4

En la figura 6.5, la sección (A) indica lo que sucede cuando el ld de la primerarestricción se incrementa de su valor actual de 160. La sección (B) indica lo quesucede cuando el ld sé decrementa de su valor actual de 160. De manera sim ilar, lafigura 6.5, la sección (C) indica lo que sucede cuando el ld de la segunda restricciónse incrementa de su valor actual de 120. La sección (D) indica lo que sucede cuandoel ld sé decrementa de su valor actual de 120.Las dos primeras líneas de la sección A de la figura 6.5 confirman lo que ha aprendidoDel reporte del análisis de sensibilidad, esto es, al incrementarse el valor ld de 160 a173.33, el valor de la función objetivo se incrementa de 1000 a 1000.33 en laproporción Del precio sombra de 2.50. La siguiente línea indica que un incrementomas allá de 173.33 no tiene efectos sobre el valor óptimo de la función objetivo porque él; precio sombra para este intervalo es 0.000

La sección B proporciona información similar sobre el decreme nto en el valor ld. Lasdos primeras línea establecen que al disminuir este valor ld de 160 a 120, el valor deóptimo de la función objetivo decrece de 1000 a 900 en la proporción del preciosombra de 2.50. la siguiente línea indica que al disminuir todav ía mas este valor de ldde 120 a 100, el valor óptimo decrece de 900 a 750 en la proporción del nuevo preciosombra de 7.50

FIGURA 6.4. Reporte Parametrico

RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: 2

VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ (A) OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL

160.000 2.50000 1000.00 SLK 4 SLK 2 4 173.333 2.50000 1033.33 200.000 0.000000E+00 1033.33

VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ(B) OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL

160.000 2.50000 1000.00 X1 SLK 3 2 120.000 2.50000 900.000 100.000 7.50000 750.000

RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: 3

VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ (C) OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL

120.000 5.00000 1000.00 X1 SLK 3 2 160.000 5.00000 1200.00 200.000 0.000000E+00 1200.00

VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ (D) OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL

120.000 5.00000 1000.00 SLK 4 SLK 2 4 100.000 5.00000 900.000 80.0000 6.66667 76 6.667


63

EJEMPLO 7.2.: Problema de inversión de BETA

BETA es una compañía de manejo de efectivo que esta considerando invertir $100,000en una o más de las siguientes acciones con la tasa anticipada de rendimiento que acontinuación se muestra:

Inversión Tasa de rendimientoProyectada (%)

Acciones preferenciales de Eastern OilAcciones comunes de Alaskan OilAcciones comunes de American SteelBonos municipales de Cleveland

9.00 8.00 7.00 6.00

La gerencia de BETA ha impuesto las siguientes pautas de inversión:

1. La inversión en bonos municipales debe ser d e al menos $20 000.2. La inversión en bonos municipales no debe exceder 20% de la inversión

total en acciones, más $50 000.3. La inversión total en acciones no debe ser mayor a 60% de la inversión

total.4. La inversión total no debe exceder los fondos disponible s.

Como administrador de la cartera, es probable que quiera determinar la estrategia deinversión que maximice el rendimiento total anual esperado sin violar ningúnlineamiento de inversión.

Formulación del problema.Usando técnicas de formulación del ca pítulo 2, se llega a definir las siguientes variablesde decisión:

X1= el número de dólares por invertir en las acciones preferentes de Eastern Oil.X2= el número de dólares por invertir en las acciones comunes de Alaskan Oil.X3= el número de dólares por invertir en las acciones comunes de American Steel.X4= el número de dólares por invertir en los bonos municipales de Cleveland.

La combinación de la función objetivo de maximizar la devolución esperada total y lascuatro restricciones estipuladas en las pautas de inversión dan como resultado elsiguiente problema de programación lineal:

Maximizar 0.09x1+ 0.08x2+0.07x3+0.06x4Sujeto a:

-0.2x1 – 0.2x2 – 0.2x3 –x4 50000 0.4x1 + 0.4x2 + 0.4x3 – x4 0 x1 + x2 + x3 + x4 100000

x4 20000

Solución de computadora.El modelo de inversión puede solucionarse usando cualquier paquete de software deprogramación lineal disponible como LINDO. El primer paso es introducir los datos delmodelo en el formato requerido por LINDO. Como de ilustra en la figura 6.8(a), escribael problema en el mismo formato que en la formulación.


64

Ahora puede ordenarle a la computadora que use LINDO para resolverle el problematecleando la instrucción SOLUTION. La prime ra parte del reporte proporciona losvalores óptimos de las variables originales. La segunda proporciona informaciónreferente a las restricciones.

Sobre la base de la primera parte, su recomendación a la gerencia de BETA es invertir$60 000 en las acciones preferentes de Eastern Oil, nada en las acciones comunes deAlaska Oil o American Steel y $40 000 en los bonos municipales de Cleveland. Comolo indica el valor optimo de la función objetivo, esta cartera tiene un rendimiento anualesperado de $7800, que es una tasa de devolución de 7.8%.En la segunda parte, las restricciones están numeradas secuencialmente, comenzandocon el número 2 (el número se refiere a la función objetivo). Por ejemplo, en la fila


1) 7800.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 60000.000000 0.000000 X2 0.000000 0.010000 X3 0.000000 0.020000 X4 40000.000000 0.000000


3) 0.000000 0.030000 4) 0.000000 0.078000 5) 20000.000000 0.000000


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE X1 0.090000 INFINITY 0.010000 X2 0.080000 0.010000 INFINITY X3 0.070000 0.02000 0 INFINITY X4 0.060000 0.030000 0.195000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50000.000000 INFINITY 22000.000000

3 0.000000 20000.000000 18333.332031 4 100000.000000 78571.429688 50000.00 0000 5 20000.000000 20000.000000 INFINITY


65

titulada 2, corresponde a la primera re stricción en la formulación, el valor de 20 000para la variable de superávit indica que el valor del lado izquierdo de esta restricciónes 20 000 más que el Del lado derecho. En otras palabras, los $40 000 invertidos enlos bonos municipales de Cleveland son $20 000 más que el mínimo requerido. Másaún, el precio dual (también llamado el precio sombra) para esta restricción, mostradoen la última columna, es 0.

Como otro ejemplo, en la fila titulada 5, correspondiente a la última restricción en laformulación anterior, el valor de 0 para la variable holgada indica que esta restricciónes obligatoria, es decir, los $10 000 son invertidos usando el plan actual. Más aún, elprecio dual de 0.078 asociado con esta restricción indica que cada dólar adicional queBETA puede invertir (hasta una cantidad dada en el reporte de sensibilidad, como semuestra en la figura 6.9) gana una tasa esperada de 7.8%.

Uso de los reportes de sensibilidadDurante la presentación de sus resultados la gerencia formuló las siguiente spreguntas:

1. El gerente de finanzas advirtió que una incertidumbre reciente en el mercadopetrolero podría bajar la tasa esperada de devolución de las acciones de Eastern Oila 8%. Si esto sucede, ¿Debería BETA reconsiderar su estrategia de inversión?

2. El presidente de BETA probablemente pueda negociar un préstamo a largo plazodel banco local a 7%. ¿ Debería BETA intentar obtener este préstamo? . Si es así,¿por que cantidad?

3. El vicepresidente de Finanzas ha estudiado el prospecto de una empresaligeramente más riesgosa (comparada con las cuatro acciones y bonos bajoconsideración) que requiere una inversión de exactamente $60,000 y ofrece unatasa de devolución de 8%. ¿Debería BETA considerar esta alternativa, dejando sólo$40,000 para invertir en las acc iones y bonos bajo consideración?

Para responder la primera pregunta, identifique el impacto que este cambio tiene en elmodelo matemático. Si la tasa de devolución de las acciones preferentes de Eastern Oildesciende a 8%, el coeficiente de la variable de E-Oil en la función objetivo cambia de0.09 a 0.08. para determinar si este cambio tiene como resultado un cambio en el plande inversión, examine el reporte de sensibilidad de la figura 6.4 obtenida del LINDO.¿esta el nuevo valor de 0.08 para el coef iciente de la función objetivo dentro Delintervalo donde la solución actual sigue siendo óptima?.

La primera linea Del reporte de sensibilidad indica que el valor actual de 0.09 para estecoeficiente puede incrementarse infinitamente o disminuir en 0.01 sin cambiar lasolución óptima. Por lo tanto el intervalo de sensibilidad para este coeficiente va desde0.08 a + infinito. Como este nuevo valor de 0.08 para este coeficiente sta dentro Delintervalo de 0.08 a infinito, no hay cambio en el plan de inversi ón. Sin embaro ladevolución esperada total decrece en 1% de la cantidad invertida en acciones de la E -Oil, es decir:Max(Z)= 7800 – 0.01(60,000)

= 7,200Por lo tanto, una disminución en la tasa de rendimiento de las acciones de Eastern Oilde 8% no afecta el plan de inversión de BETA, pero disminuye la devolución hasta$7,200.


66

Para responder a la segunda pregunta, a saber, si BETA debe obtener un préstamo al7% de interés y, si es así, por que cantidad, pregúntese como afecta este cambio elmodelo matemático. La respuesta es que la obtención de fondos de inversiónadicionales a través del préstamo propuesto tiene como resultado un incremento Dellado derecho de la penúltima restricción. El precio dual de 0.078 asociado con estarestricción es mayor que e l costo Del préstamo como se muestra en el reporte de lafigura 6.4, indica que cada dólar adicional disponible para inversión regresa 7.8centavos. Como esta devolución de 7.8% es mayor que el costo Del préstamo a 7%,realmente vale la pena que BETA aseg ure este préstamo. Pero el siguiente punto es¿por qué cantidad?. Ciertamente hasta el limite para el cual este precio dual de 0.078es valido. Puede calcularse este limite a partir de la información de la última línea de lasegunda parte del reporte de sensibilidad de la figura 6.4. este valor es el máximoincremento permisible de 78,571.43 sobre el valor actual de 100,000, esto es, BETAdebería obtener un préstamo por al menos $78,571.43, pero, ¿debería la compañíaobtener mas?.

La respuesta a esta pregunta depende de lo que suceda al precio dual fuera de esteintervalo. Para esto se recurre al análisis parametrico que proporciona el lindo, que seutiliza para estudiar el impacto de cambio de este tipo.


67

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. La Compañía ALFA fábrica 3 productos de caucho: Airtex(material esponjoso),Extendex(material elástico) y Resistex(material rígido). Los tres productosrequieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cadaingrediente usada por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla:

INGREDIENTES(oz./lb de producto)PRODUCTO

POLIMERO A POLIMERO B POLIMERO C BASE

AirtexExtendexResistex

436

223

425

692

Alfa, tiene el compromiso de producir al menos 1000 lbs. D e Airtex, 500 lbs. DeExtendex y 400 lbs. De Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de laCia. Sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos.Los inventarios actuales de los ingredientes son: 500 lbs. De polímero A, 425lbs. De polímero B, 650 lbs. De polímero C y 1,100 lbs. De la base. Cada librade Airtex produce a la Cia. Una ganancia de $7, cada libra de Airtex unaganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente deldepartamento de producción, usted nec esita determinar un plan de producciónóptimo para esta semana.a) Formule el programa lineal para este problemab) ¿Cuál es el plan de producción óptimo?c) Con el plan de producción actual, ¿para cual de los tres productos se puede

cumplir con una demanda adicional de 5%?. Expliqued) ¿Que coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se

mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que afecte el plan deproducción óptimo?. Explique

e) El compromiso de producir 400 libras de Resistex acaba de caer en 10%.¿Que le sucede a la ganancia óptima?. Explique

f) Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿cual es el nuevo plan deproducción optimo?. Explique.

g) La Cia. Desea aumentar sus ganancias a $18,000 adquiriendo más cantidadde polimero A. ¿Cuanto mas de polímero A se necesita?. Explique.

2. La Cia. Gamma dirige sus gastos de venta en diversos rubros con el objeto deproducir ventas. Uno de los tipos de actividad que es efectiva es la ConferenciaRegional de Ventas. Existen 6 regiones (designadas I a VI) en las cuales estasconferencias toman lugar semanalmente y en algunas mensualmente. Cada unade las conferencias puede ser de un día completo o de mediodía. Existe uncosto por persona y un resultado esperado de ventas para cada uno de estostipos de conferencias. Los tipos de conferencias disponibles, sus costos y susventas resultantes se listan a continuación.

Conferencias de Ventas Costo($) Ventasresultantes($)

Mensual I - Todo el día 120 13,000Semanal II - Todo el día 130 21,500Semanal II - Mediodía 80 11,500Semanal III - Todo el día 60 7,500Mensual IV - Todo el día 100 11,800


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Mensual IV - Mediodía 60 9,500Semanal V - Todo el día 200 22,000Semanal VI – Todo el día 600 90,000Semanal VI - Mediodía 350 50,000

Además de estas actividades, un comercial de tv que cuesta $1,350 debeproducir $118,500 en ventas.Un anuncio en un grupo de periódicos locales costará $330 y producirá $59,000en ventas.Finalmente, el tener abierta una oficina de consultas durante un día cos tará$180 y producirá $21,800 en ventas.A la Cia. Le gustaría maximizar sus ventas manejando sus gastos de venta,pero desea mantener algunas restricciones. El plan fue cubrir un período de 6meses y para ese periodo el presupuesto de gastos de ventas es $52,500. Sedecidió que al menos la mitad del presupuesto debía ir a las conferenciassemanales y mensuales de ventas. Al menos una persona debía ser enviada ala semanal VI y mensual I (días completos).El comercial de tv debe ser usado al menos una vez , además no debe enviarsemas de una persona a las conferencias Mensual IV como a la semanal II (díascompletos)

a) Explique la distribución óptima de los gastos de venta. Dar algunaexplicación de los resultados que aparezcan con fracción.

b) Calcule los ingresos por dólar gastado en el plan optimo de 6 meses.c) ¿Cuál debe ser el total de ventas óptimo si el presupuesto se elevara a

$62,500?. ¿Dónde debe colocarse los $10,000 adicionales?. ¿Cual es elretorno por unidad de $10,000 extras y por qué este es diferen te del montoobtenido en la parte b.

d) ¿Cuál seria la solución óptima si se requieren 3 comerciales de TV?e) ¿Piensa usted que el requerimiento de que la mitad del presupuesto se

gaste en conferencia de ventas influye mucho en el retorno de ventas?Explique y justifique su respuesta. ¿Cuál es el retorno de ventas si solo sedispone de $16,500 para conferencias de ventas?

f) Si usted tuviera la oportunidad de eliminar las restricciones con respecto alnúmero de personas enviadas a semanal Vi y mensual I, ¿Cuál eli minaría ypor que?

g) ¿Cuál será el retorno de ventas si se eliminara totalmente el requerimientoDel comercial de Tv?. Donde debe localizarse los $1250 (i.e. ¿Cuál es lanueva solución?)

3. Hacker Company fabrica tableros de circuitos electrónicos para computa dorasPC. Cada tablero de fax-modem, de compresión de datos y de sintetización desonido requiere una cierta cantidad de tiempo de maquina para insertar loschips, soldarlos, ensamblarlos y probarlos. Estos datos(en minutos), junto conla cantidad de minutos de tiempo de maquina disponible para cada operación,el números mínimo de producción de cada tablero, las ganancias netas seresumen en la tabla siguiente:


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TableroFax -Modem Comprensión

de datosSintetizadorde sonido

Minutosdisponibles

Inserción de chipsSoldadoEnsambladoPrueba

0.3330.52.01.5

0.250.52.02.0

0.50.51.03.5

50060020002400

Ganancia($)Producciónmínima

10500

10300

8250

a) ¿Cuántos tableros de cada uno debe fabricar la empresa?. ¿Cuál es laganancia total?b) Que pasa con la solución óptima, si se debe producir un mínimo de 550 fax -modems?c) ¿Qué sucede con la solución óptima si se tienen disponibles 400 minutosadicionales de tiempo de maquina para el ensamblado?d)¿Qué sucede con la solución óptima, si la g anancia por cada fax-modem seincrementa en $8?e) ¿Qué sucede con la solución óptima si se tienen disponibles 200 minutosadicionales de tiempo de inserción de chips?f) ¿Explique como afectan a la solución las restricciones de disminución del 20%del tiempo de ensamblado y prueba?g) ¿Qué sucede con la solución óptima, si la ganancia por cada sintetizador desonido se incrementa en $5?h) ¿Cuál seria la solución óptima, si se requiere producir un mínimo de 400sintetizadores?

4. La Cia. BETA STEEL produce tres tamaños de tubos: A,B y C que son vendidos,respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A serequieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular demaquina de modelado. Cada pie de tubo B r equiere 0.45 minutos y cada pie deltubo C requiere 0.6 minutos.Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie delos tubos A,B y C respectivamente.

Para la siguiente semana, BETA ha recibido pedidos excepcionalmente grandesque totalizan 2000 pies de tubo A, 4000 pies de tubo B y 5000 pies de tubo C.

Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo setienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento deproducción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere de un total de 97horas de tiempo de maquina y 11,000 onzas de material de soldar. No seespera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir lacapacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de BETA estaconsiderando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a uncosto de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie deltubo C. Estos diversos datos se resumen en la siguiente tabla.


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TIPO PRECIO DEVENTA($/ft)

DEMANDA(ft)

TIEMPO DEMAQUINA(min/ft)

MATERIALPARA SOLDAR(oz/ft)

COSTODE COMPRA($/ft)

A 10 2000 1 3 6B 12 4000 1 4 6C 9 5000 1 4 7

a) Formule el programa lineal para este problemab) ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la BETA STEEL?c) Si pudiera obtener mas material para soldar o más tiempo de maquina, pero no

ambas cosas, ¿cual escogería? . Explique.d) Los japoneses acaban de aumentar el precio de sus t ubos tipo C de $7 a $8 por

pie, ¿de que manera cambia el plan de producción/adquisición actual?.Explique.

e) La Cia. puede vender su material para soldar con una ganancia de $32 porlibra. ¿Cuánto deberá vender?. Explique.

f) La Cia. desea aumentar sus gananci as a $57,500. ¿Cuantas horas mas detiempo de maquina se necesitan para lograr este objetivo?. Explique.

5. Al gerente de cartera de ALFA Pension, Inc. Se la ha pedido invertir $ 1 millónde un gran fondo de pensiones. EL Departamento de investigación deinversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversiónvariables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgosasociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO1 2 3 4 5 6

Precio($/acción)Devolución esperada(%)Categoría de riesgo

4530Alto

7620Alto

11015Alto

1712Median

2310Mediano

227Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido enlos diversos fondos. Para ese fin, la administración de Alfa Pension haespecificado las siguientes pautas:i) La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y75% de la cartera.ii) La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20y 30% de la cartera.iii) La cantidad total invertida en fondo s de bajo riesgo debe ser al menos 5%de la cartera.Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir elriesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Alfa, haespecificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 debenestar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos demediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.Con estas pautas, ¿ qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendarpara maximizar la tasa esperada de retorno?Utilice el LINDO para determinar la solución óptima de ALFA y para escribir uninforme en el que usted:

a) Indique la mayor tasa de recuperación que se puede permitir si no se invierteen el fondo 6


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b) Analice el efecto que tendría sobre la tasa óptima de recuperación un aumentode la cantidad que debe ser invertida en la inversión de bajo riesgo.

c) Proporcione la estrategia de inversión óptima si la cantidad invertida en el fondo4 debe ser la misma que la invertida en el fondo 5.

d) Analice el efecto de los aumentos y disminuciones individuales en lasdevoluciones esperadas de cada fondo.

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