Libro - Fisica - Meccanica Quantistica Non Relativistica (Paccanoni - 2003) [ITA]

Meccanica Quantisticanon relativistica

Dispense per il Corso di Laurea in Astronomia

F. Paccanoni febbraio 2003

Prefazione

Questo testo presenta in forma ridotta, adatta quindi al nuovo Corso diLaurea in Astronomia, gli argomenti di Meccanica Quantistica che per moltianni hanno fatto parte del programma di Istituzioni di Fisica Teorica. Aitesti di E. Merzbacher e J.J. Sakurai devo la linea logica della presentazionee, di questi testi, alcuni paragrafi compaiono qui con piccole modifiche perchein questo modo venivano svolti a lezione.Questo testo e diviso in sette capitoli:

Il Capitolo 1 descrive il parallelismo esistente fra l’ottica geometrica e lameccanica classica, da un canto, e fra l’ottica fisica e la meccanicaondulatoria dall’altro. Questo capitolo deve molto all’ottimo testodel Goldstein [1]. Nel seguito si distinguera fra meccanica ondulato-ria e meccanica quantistica intendendo, per meccanica ondulatoria, lameccanica quantistica in rappresentazione coordinate.

Il Capitolo 2 e dedicato, nella prima parte, allo spin e ai sistemi a duelivelli. Partendo dall’esperimento di Stern e Gerlach si arrivera a com-prendere i postulati fondamentali della meccanica quantistica nei casisemplici in cui la complessita matematica non oscura il concetto fisico.Nella seconda parte vengono esposte le basi matematiche dello spaziodegli stati, spazio vettoriale complesso, e degli operatori che agisconosu di esso.

Il Capitolo 3 da l’interpretazione fisica del formalismo sviluppato nel sec-ondo capitolo. Appaiono qui alcuni dei piu importanti concetti dellameccanica quantistica, dalla teoria della misura alle regole di commu-tazione canoniche.

Il Capitolo 4 descrive lo stato di moto di un sistema quantistico. La di-namica quantistica viene sviluppata sia nella visuale di Schrodingerche nella visuale di Heisenberg e gli ultimi paragrafi del capitolo sonodedicati all’oscillatore armonico.

Il Capitolo 5 tratta di un problema importante in meccanica quantistica:il momento angolare. Dopo una breve introduzione alla teoria deigruppi e delle rappresentazioni, si introduce il momento angolare e

iv Prefazione

si accenna al problema della composizione di momenti angolari in uncaso semplice.

Il Capitolo 6 contiene alcuni esempi in cui il sistema fisico puo essere de-scritto in uno spazio degli stati bidimensionale o, nell’ultimo esempio,in uno spazio con un numero finito di dimensioni. Questi esempi, trattida problemi di interesse fisico e astronomico, sono completati da unasoluzione e una discussione del loro significato.

Il Capitolo 7 descrive brevemente alcuni metodi di approssimazione in mec-canica quantistica, essenzialmente le basi della teoria perturbativa, conesempi.

E importante leggere i capitoli uno ad uno nel loro ordine: dopo tutto il libronon e cosı lungo come sembra. Ci si assicuri di leggere con cura i problemiproposti, perche in essi sono contenute molte informazioni e spiegazioni chenon hanno trovato posto nel testo.

Indice

Prefazione iii

1 Il limite classico 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Postulati della Meccanica Ondulatoria . . . . . . . . . . . . . 11.3 Onde di materia e equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . 31.4 Proprieta generali dell’equazione di Schrodinger . . . . . . . . 81.5 La funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Lo spazio delle funzioni d’onda. . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Conservazione della norma . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Evoluzione del valor medio di una osservabile . . . . . . . . . 13

2 Lo spin 152.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Stati di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Sovrapposizione e indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Lo spazio degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Ket e bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Autovalori e autoket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Interpretazione fisica 413.1 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Osservabili compatibili e incompatibili . . . . . . . . . . . . . 483.4 Le relazioni di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Lo spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Operatore di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7 Regole di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

vi INDICE

4 Dinamica quantistica 654.1 L’equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Autoket dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 La visuale di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Relazione di indeterminazione tempo-energia . . . . . . . . . 784.5 Costanti del moto e proprieta di invarianza . . . . . . . . . . 794.6 L’operatore densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.7 L’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7.1 Autovalori e autoket di H . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7.2 La rappresentazione N . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7.3 Evoluzione temporale dell’oscillatore . . . . . . . . . . 894.7.4 Oscillatore armonico in equilibrio termodinamico . . . 91

5 Il momento angolare 935.1 Isotropia dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Gruppo delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1 Definizione generale di un gruppo . . . . . . . . . . . . 945.2.2 Definizione di rappresentazione . . . . . . . . . . . . . 965.2.3 Operatori infinitesimi di una rappresentazione . . . . . 97

5.3 Relazioni di commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Autovalori e autostati del momento angolare . . . . . . . . . 1055.6 Rappresentazioni dell’operatore di rotazione . . . . . . . . . . 1085.7 Composizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . 1125.8 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Sistemi a due livelli 1196.1 Oscillazioni dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2 Il maser ad ammoniaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.1 La molecola NH3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2.2 Effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.3 NH3 in un campo elettrico statico . . . . . . . . . . . 1286.2.4 Campo oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.2.5 Il maser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3 Idrogeno molecolare interstellare . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.1 Primo problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3.2 Secondo problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3.3 Ultimo problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7 Teoria perturbativa 1437.1 Teoria di Rayleigh-Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.1.1 Caso non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.1.3 Interazione fra dipoli magnetici . . . . . . . . . . . . . 148

INDICE vii

7.1.4 Struttura iperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2 La perturbazione come causa di transizioni . . . . . . . . . . 156

7.2.1 Probabilita di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.2 Perturbazione indipendente da t . . . . . . . . . . . . 1607.2.3 Perturbazione periodica. Risonanze . . . . . . . . . . 164

Bibliografia 169

Elenco delle figure

2.1 a) Schema dell’apparato di Stern-Gerlach: gli atomi d’argen-to emessi dal forno T vengono collimati dalla fenditura F e,deflessi dal gradiente del campo magnetico, condensano sul-la lastra L; b) Espansioni polari dell’elettromagnete: Bz epositivo e ∂Bz/∂z negativo, la traiettoria della figura (a) cor-risponde ad un atomo con µz negativo e componente z dellospin positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Esperimenti di Stern-Gerlach in successione. . . . . . . . . . . 202.3 Rappresentazione degli stati di spin nello spazio complesso.

Spin su e giu si riferiscono all’apparato di Stern-Gerlach dellafigura (2.1a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Misure ideali in successione di osservabili incompatibili. . . . 503.2 Misure ideali in successione in assenza del filtro B. . . . . . . 51

5.1 Definizione degli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1 Disegno schematico di NH3; z e la distanza (con il segno) frail piano degli atomi di idrogeno e l’atomo di azoto (z = 0) chesi suppone fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Potenziale ”quadrato” usato per approssimare l’energia poten-ziale della molecola NH3. Per z = ±(b + a/2) il potenzialediventa infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 a, b e c sono le possibili posizioni del minimo. . . . . . . . . . 1366.4 Numerazione dei siti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.1 Livelli energetici di due particelle di spin 1/2 nel campo stati-co B0. A sinistra compaiono i livelli di H0 mentre, a destra,i livelli perturbati dall’interazione dipolo-dipolo. . . . . . . . . 151

Capitolo 1

Il limite classico dellameccanica ondulatoria

1.1 Introduzione

Il lettore che ha gia seguito il corso di Struttura della Materia possiede unacerta familiarita con la meccanica ondulatoria ed ha ben presente l’intro-duzione storica alle idee della meccanica quantistica, cioe la presentazionee discussione dei fatti sperimentali che ci obbligano ad abbandonare le ideeclassiche. Anche il concetto di funzione d’onda di una particella, e la suaevoluzione nel tempo, non dovrebbe costituire una novita, cosı come lasoluzione dell’equazione di Schrodinger nei casi piu semplici, per esempionel caso di potenziali quadrati in una dimensione, dovrebbe essere gia statastudiata e capita.

Nel seguito cercheremo di evitare inutili ripetizioni, ma sara comunquenecessario riprendere le idee fondamentali della meccanica ondulatoria met-tendo in luce i concetti che saranno utili per le applicazioni a casi piucomplicati di quello della particella singola. In questo capitolo, dopo unbreve riepilogo dei postulati della meccanica ondulatoria e dei principi chepermettono di chiarire la sua relazione con la fisica classica, verra svilup-pata in dettaglio l’analogia con l’ottica e, nel quarto e quinto paragrafo,verranno illustrate, senza pretesa di rigore, alcune proprieta matematichedell’equazione di Schrodinger e della funzione d’onda.

1.2 Postulati della Meccanica Ondulatoria

E’ utile, per iniziare, ricordare sinteticamente le basi di quello che si e giastudiato. Anche se non tutti i concetti, espressi in forma cosı condensata,risulteranno chiari cio non deve essere motivo di preoccupazione perche ilcontenuto di questo paragrafo verra ripreso piu volte nel seguito.

2 Il limite classico

1. Stato. Lo stato fisico di una particella al tempo t e descritto com-pletamente dalla funzione d’onda normalizzata ψ(r, t), |ψ(r, t)|2 e ladensita di probabilita di trovare la particella nella posizione r al tem-po t. Se ψ1 e ψ2 descrivono stati del sistema anche una loro combi-nazione lineare descrive una situazione fisica possibile (principio disovrapposizione).

2. Grandezze fisiche. Ogni grandezza fisica misurabile e descritta daun operatore lineare e hermitiano; questo operatore e una osservabile(per esempio: p = −i~∇).

3. Misura. La misura di una grandezza fisica A deve dare come risultatouno degli autovalori dell’osservabile corrispondente. Se

Aψj = A′jψj (A hermitiano)

e ∫ψ∗i ψj dV = δij

qualsiasi stato fisico puo essere rappresentato come una somma

ψ =∑

ciψi, ci =∫ψ∗i ψ dV

e la probabilita di ottenere come risultato della misura di A l’autova-lore A′i e |ci|2 (decomposizione spettrale).

4. Riduzione del pacchetto d’onda. Se la misura della grandezzafisica A sul sistema nello stato ψ da come risultato A′i, lo stato delsistema immediatamente dopo la misura e ψi (nel caso non degenere,in generale la proiezione normalizzata sul sottospazio di A′i).

5. Evoluzione nel tempo. L’evoluzione nel tempo dell’autofunzione edeterminata dall’equazione di Schrodinger

i~∂ψ

∂t=(− ~2

2m∇2 + V (r)

)ψ

dove V (r) e l’energia potenziale classica della particella.

I seguenti principi permettono di chiarire la relazione fra meccanicaondulatoria e fisica classica.

Il principio di corrispondenza (Bohr 1923) nota che le predizioni del-la meccanica quantistica tendono al limite classico quando o ~ → 0,oppure quando i numeri quantici dei sistemi legati diventano grandi,n→∞.

1.3 Onde di materia e equazione di Schrodinger 3

Il principio di indeterminazione (Heisenberg 1927) collega le larghezzeintrinseche di pacchetti d’onda finiti, ∆x ·∆k ∼ 1 e ∆t ·∆ω ∼ 1, conla scala ~ attraverso le relazioni di De Broglie e di Planck, p = ~k edE = ~ω. Ne risultano le relazioni di indeterminazione ∆x ·∆p >∼ ~ e∆t ·∆E >∼ ~ che ritroveremo, in forma piu precisa, nel seguito.

Il principio di complementarieta (Bohr 1928) stabilisce che qualsiasi e-sperimento puo rivelare o la natura ondulatoria o la natura particellaredella radiazione o della materia, ma non entrambe.

Problema. Una particella, che si muove in una dimensione, ha la funzionedi stato ψ(x) = exp[−x2/(4σ2)]/(2πσ2)1/4. Mostrare che la funzione distato e normalizzata correttamente e trovare la probabilita che la particellaabbia un impulso compreso fra p e p + dp. Mostrare anche che il prodottodelle incertezze nella posizione ed impulso ha il valore minimo consentitodal principio di indeterminazione.

Soluzione.

La funzione di stato data nel problema e nota come una Gaussiana. E’ una funzionesimmetrica di x con un massimo per x = 0. Per questa funzione valgono le formuleseguenti ∫ ∞

−∞exp[−x2/(2σ2)] dx =

√2πσ (1.1)

e ∫ ∞

−∞exp[−x2/(4σ2)] exp(−ikx) dx ∝ exp(−k2σ2). (1.2)

Quest’ultima equazione mostra che la trasformata di Fourier di una funzione Gaus-siana e ancora una Gaussiana. La probabilita che la particella abbia un impulsocompreso fra p e p+ dp e P (p) = |g(k)|2dk/dp dove

g(k) =√

2σ(2π)1/4

exp(−k2σ2)

e dobbiamo ricordare che p = ~k. Le incertezze nella posizione ed impulso sono,per definizione, le deviazioni standard delle funzioni |ψ(x)|2 e |g(k)|2, quindi per lafunzione di stato Gaussiana si ha

∆x ·∆p =~2.

1.3 Onde di materia e equazione di Schrodinger

Consideriamo un sistema meccanico per il quale l’Hamiltoniano non contieneil tempo esplicitamente, in tal caso l’energia del sistema si conserva:

H(q, p) = E = costante


PoicheH non e una funzione esplicita del tempo, nell’equazione di Hamilton-Jacobi per l’azione S

∂S

∂t+H

(q,∂S

∂q

)= 0

si puo separare la variabile temporale scegliendo per S una soluzione dellaforma

S = S0 − Et (1.3)

dove S0 non dipende dal tempo ed e talvolta chiamata azione ridotta ofunzione caratteristica di Hamilton. Ora, il principio di minima azione as-sume una forma semplificata, δS0 = 0, che, abitualmente, viene chiamataprincipio di Maupertuis.

Le superfici a S0 costante hanno posizioni fisse nello spazio delle con-figurazioni, vista l’indipendenza di S0 dal tempo, mentre le superfici ad Scostante si muovono, al passare del tempo, secondo l’equazione (1.3) conun moto simile alla propagazione di un fronte d’onda. Al passare del tempoqueste ”superfici d’onda”, a S costante, cambiano in generale la loro forma ela velocita con cui le superfici si muovono non sara la stessa per tutti i puntidella superficie. Nel seguito, ci limiteremo al caso di una particella, solo persemplificare la geometria perche, in tal caso, lo spazio delle configurazionisi riduce allo spazio tridimensionale ordinario. I risultati che troveremo sipotranno generalizzare, senza difficolta, al caso di molte particelle.

Se indichiamo con dl la distanza, normale alla superficie a S costante,percorsa da un punto particolare del fronte d’onda nel tempo dt, la velocitadell’onda in questo punto e

u =dl

dt.

Su una superficie ad S costante, il valore dell’azione ridotta S0 deve cambiarenel tempo dt secondo l’equazione (1.3)

dS0 = Edt = |∇S0| dl

e quindi

u =dl

dt=

E

|∇S0|.

L’equazione di Hamilton-Jacobi

12m

(∇S0)2 + V = E (1.4)

permette di determinare la velocita dell’onda nelle forme, tutte equivalenti,

u =E√

2m(E − V )=

E√2mT

=E

p, (1.5)


dove T e l’energia cinetica e, trattandosi di una particella, 2mT = m2v2 =p2. La velocita di un punto, su una superficie a S costante, e inversamenteproporzionale alla velocita della particella il cui moto e descritto da S,

La direzione della traiettoria della particella, in un punto dato dellospazio, e determinata dalla direzione dell’impulso p, ma

p = ∇S0

e il gradiente di S0 determina la normale alle superfici a S costante. Infatti∇S = ∇S0 e le traiettorie della particella devono essere sempre ortogonalialle superfici a S costante. Il moto di queste superfici e quello delle particelleseguono leggi diverse. Dalla (1.5) vediamo che, quando la particella rallenta,le superfici si muovono piu velocemente, e viceversa.

L’aspetto piu importante di tutti i moti ondulatori risiede nella loroperiodicita e finora non abbiamo nessuna indicazione sulla frequenza e lospettro delle lunghezze d’onda delle onde i cui fronti d’onda sono superficia S costante.

Consideriamo allora l’equazione d’onda per un’onda elettromagnetica inun mezzo di indice di rifrazione n, eguale al rapporto fra c (velocita dellaluce nel vuoto) e la velocita della luce nel mezzo,(

4− n2

c2∂2

∂t2

)f = 0 (1.6)

dove con f si intende una qualsiasi componente del quadripotenziale o deivettori E, H. In generale, n e una funzione delle coordinate spaziali, oltreche del mezzo, ma, se n e costante, l’equazione (1.6) e soddisfatta da unasoluzione d’onda piana 1

f = f0 ei(k·r−ωt). (1.7)

Se n varia nel mezzo, la fase dell’onda non avra piu una espressione semplicecome nella (1.7) ma potremo scrivere l’espressione generale del campo nellaforma

f = f0 eiΨ, (1.8)

dove Ψ e detto iconale e f0 dipende ora dalle coordinate.

Nel caso dell’ottica geometrica, che ci interessa ora per un paragonecon la meccanica classica, l’indice di rifrazione n non cambia di molto sudistanze dell’ordine della lunghezza d’onda. Infatti l’ottica geometrica pre-scinde completamente dalla natura ondulatoria delle onde elettromagnetichee corrisponde al caso limite in cui le lunghezze d’onda sono piccole, λ→ 0.

1In ottica geometrica si considerano solo mezzi trasparenti e il vettore d’onda e reale,non essendoci assorbimento dell’onda nel mezzo. Avremo anche |k| = ωn/c.


E importante notare che, in questo caso, l’iconale Ψ e una quantita grandeperche varia di 2π su una lunghezza d’onda. In un intorno sufficiente-mente piccolo dell’origine dello spazio e del tempo, nello sviluppo in seriedell’iconale Ψ, possiamo limitarci ai termini del primo ordine

Ψ ≈ Ψ(0) + r ·∇Ψ + t∂Ψ∂t,

e considerare l’onda come piana in tale regione. La condizione che l’ampiezzae la direzione dell’onda non varino di molto, su una distanza dell’ordine dellalunghezza d’onda, e certamente soddisfatta nel limite λ→ 0.

Dal confronto con un’onda monocromatica piana (1.7), troviamo il qua-drivettore d’onda nella forma

ki = − ∂Ψ∂xi

e, poiche kiki = 0, si ottiene l’equazione fondamentale dell’ottica geometrica,

o equazione dell’iconale,∂Ψ∂xi

∂Ψ∂xi

= 0. (1.9)

Se la frequenza dell’onda ω e costante, cioe la dipendenza dal tempo edella forma exp(−iωt), possiamo scrivere

Ψ =ω

c(Ψ0(x, y, z)− ct)

e, ricordando che la velocita della luce nel mezzo e c/n, dalla (1.9) si ha

(∇Ψ0)2 = n2. (1.10)

Le superfici a Ψ costante definiscono i fronti d’onda. L’equazione (1.10)determina anche le traiettorie dei raggi, perpendicolari ovunque ai frontid’onda e con direzione data dal gradiente ∇Ψ0.

Se confrontiamo l’equazione di Hamilton-Jacobi (1.4) per una particella

(∇S0)2 = 2m(E − V ), (1.11)

con la (1.10), vediamo che l’azione ridotta S0 ha lo stesso ruolo dell’”iconaleridotto” Ψ0 e che

√2m(E − V ) e l’analogo dell’indice di rifrazione. Pos-

siamo dire che la meccanica classica corrisponde al limite ottico-geometricodi un moto ondulatorio e possiamo capire perche, sia la teoria ondulatoriadi Huygens che la teoria corpuscolare di Newton, spiegano altrettanto benei fenomeni della riflessione e della rifrazione. Le due teorie dell’ottica ge-ometrica sono formalmente identiche. Ci spieghiamo anche la somiglianzadel principio di minima azione con il principio di Fermat . Se l’energia e


costante, il principio di minima azione per una particella puo essere espressonella forma (principio di Maupertuis)2

δS = δ

∫p · dl = 0,

dove

pi =∂

∂qiL(q, q),

e si impone la conservazione dell’energia con la condizione

E(q, q) = E.

Il principio analogo per i raggi e il principio di Fermat

δΨ = δ

∫k · dl = 0.

Per una particella libera, con V = 0, o per un raggio nel vuoto, con n = 1,si ottiene in entrambi i casi una traiettoria rettilinea: δ

∫dl = 0.

Per il moto classico di una particella, sappiamo solamente che la lunghez-za d’onda deve essere molto piu piccola delle distanze per le quali le forzee i potenziali variano sensibilmente. Come in ottica geometrica, in mecca-nica classica i fenomeni non dipendono dalla lunghezza d’onda. Possiamopero speculare sulla forma dell’equazione d’onda che, nel limite di piccolelunghezze d’onda, si riduce all’equazione di Hamilton-Jacobi.

Le equazioni (1.10) e (1.11) non implicano che Ψ0 e S0 coincidano, esufficiente infatti che siano proporzionali. Se S0 corrisponde a Ψ0, alloraS = S0 − Et deve essere proporzionale alla fase totale dell’onda luminosa

ω

c(Ψ0 − ct) = 2π

(Ψ0

λ− νt

).

Quindi l’energia E della particella e la frequenza ν dell’onda devono essereproporzionali

E = hν, (1.12)

dove abbiamo indicato con h la costante di proporzionalita. Poiche λν e lavelocita dell’onda, dalla (1.5) si ha

λ =u

ν=E

pν=h

p. (1.13)

2Per una applicazione di questo principio al moto di una carica in un campo elet-tromagnetico costante si veda il problema a pag. 78 del testo di Landau, Teoria deicampi.


L’equazione d’onda dell’ottica (1.6), diventa(4+

ω2

c2n2

)f =

(4+

4π2

λ2

)f = 0, (1.14)

se la dipendenza dal tempo di f e della forma exp(−iωt).

In corrispondenza all’equazione (1.14) ci sara una certa quantita Ψ, nellateoria ondulatoria della meccanica, che deve soddisfare una equazione dellastessa forma. Ma, ora, λ e h/p dove p e

√2m(E − V ). Quindi l’equazione

d’onda, per cui S0 rappresenta l’iconale, deve essere

4Ψ +8π2m

h2(E − V )Ψ = 0 (1.15)

che e l’equazione di Schrodinger stazionaria. La lunghezza d’onda dipendeda h; piu piccola e h, piu piccola e la lunghezza d’onda e migliore l’approssi-mazione all’ottica geometrica.

L’equivalenza delle equazioni di Hamilton-Jacobi e dell’iconale era gianota nel 1834, per merito di Hamilton, mentre l’equazione d’onda della mec-canica ondulatoria fu derivata da De Broglie e Schrodinger nel 1926. Nel1834 non c’era nessuna giustificazione sperimentale per modificare la mecca-nica classica; Hamilton non aveva nessun motivo per pensare che il valore dih potesse essere diverso da zero. Solo dopo gli esperimenti di interferenza diDavisson e Germer si pote attribuire una realta fisica ad h, che e la famosacostante di Planck.

1.4 Proprieta generali dell’equazione di Schrodinger

Consideriamo una particella di massam in un potenziale reale V (r) che si an-nulla a distanza infinita, r →∞, in ogni direzione. In uno stato stazionario(autostato dell’energia) l’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo(1.15) puo essere scritta nella forma (~ = h/2π)

HΨ(r) =[− ~2

2m4+ V (r)

]Ψ(r) = EΨ(r) (1.16)

e, in questa equazione agli autovalori, l’autofunzione Ψ(r) corrisponde al-l’autovalore E dell’operatore H.

Il problema agli autovalori (1.16) e ben definito solo se specifichiamo lecondizioni di ”regolarita” e le condizioni al contorno cui deve soddisfare l’au-tofunzione Ψ. Tali condizioni devono essere compatibili con l’interpretazionedata alla funzione d’onda, che vedremo in dettaglio nel prossimo paragrafo.Imponiamo, per il momento, che Ψ(r) e le sue derivate parziali del primoordine siano funzioni continue, uniformi e limitate, in tutto lo spazio. Si

1.5 La funzione d’onda 9

puo allora dimostrare che valgono i risultati seguenti, che accettiamo senzadimostrazione,:

1. Se E < 0, l’equazione (1.16) ha soluzione solo per certi valori di Eche formano uno spettro discreto. Le autofunzioni corrispondenti siannullano all’infinito, in modo che l’integrale

∫|Ψ(r)|2dr, esteso a

tutto lo spazio delle configurazioni, sia un integrale convergente. Sidice allora che la particella si trova in uno stato legato essendo nullala probabilita di trovare la particella all’infinito.

2. Se E > 0, l’equazione (1.16) puo essere risolta per qualsiasi valorepositivo di E. Si dice che le energie possibili formano uno spettro con-tinuo. Ma le autofunzioni corrispondenti non si annullano all’infinitoperche il loro comportamento asintotico e analogo a quello di un’ondapiana exp(ik · r). La particella non e piu localizzata in un dominiofinito e le funzioni d’onda di questo tipo compaiono essenzialmente neiproblemi d’urto. Si parla allora di uno stato non legato oppure di unostato stazionario relativo ad un urto.

1.5 La funzione d’onda

In questo paragrafo studieremo dapprima alcune proprieta matematiche del-la funzione d’onda di una particella che saranno utili per comprendere ilformalismo generale che sara sviluppato piu avanti. La discussione non sarane completa ne rigorosa dal punto di vista matematico ma si limitera adillustrare brevemente i concetti essenziali che useremo nel seguito. Consid-ereremo quindi il limite classico, che verra ripreso con maggior dettaglio piuavanti, in cui si chiarira il significato fisico della fase della funzione d’on-da e si sviluppera ulteriormente l’analogia fra il passaggio dalla meccanicaquantistica al limite costituito dalla meccanica classica, da un canto, e ilpassaggio dall’ottica ondulatoria all’ottica geometrica, dall’altro.

1.5.1 Lo spazio delle funzioni d’onda.

La funzione d’onda Ψ(r, t) di una particella ha una interpretazione proba-bilistica nel senso che |Ψ(r, t)|2 dr rappresenta la probabilita di trovare laparticella, al tempo t, in un intorno dr = dx dy dz del punto r. L’integraledi questa probabilita, esteso a tutto lo spazio, corrisponde alla probabilitache la particella esista e il suo valore deve essere uno ovvero, in altre parole,la funzione d’onda deve essere normalizzata∫

dr |Ψ(r, t)|2 = 1. (1.17)

L’equazione (1.17) definisce l’insieme delle funzioni a quadrato integrabile(chiamato L2 dai matematici) ed ha la struttura di uno spazio di Hilbert.


Possiamo eliminare da L2, come non fisiche, le funzioni con discontinuitain un punto dato (nessun esperimento riuscirebbe a rivelare questa discon-tinuita) e considerare solamente quelle funzioni Ψ(r, t) che sono definiteovunque, continue ed indefinitamente differenziabili. Queste costituisconoun sottoinsieme di L2, chiamiamolo F , e diremo che F e l’insieme delle pos-sibili funzioni d’onda che, non dimentichiamolo, sono funzioni complesse divariabile reale.

F e uno spazio vettoriale perche soddisfa tutti i criteri che definisconouno spazio vettoriale 3 . Per esempio, se Ψ1(r) e Ψ2(r) appartengono ad F ,anche

Ψ(r) = λ1Ψ1(r) + λ2Ψ2(r),

dove λ1 e λ2 sono due numeri complessi arbitrari, appartiene ad F . Vienelasciata al lettore la facile dimostrazione.

In F possiamo definire un prodotto scalare. Ad ogni coppia di elementidi F , Φ(r) e Ψ(r), associamo un numero complesso, indicato con (Φ,Ψ), chedefiniamo come

(Φ,Ψ) =∫

drΦ∗(r) Ψ(r). (1.18)

L’integrale (1.18) converge sempre se Φ e Ψ appartengono ad F . E’ benericordare alcune proprieta del prodotto scalare (complesso) che lo differen-ziano dal prodotto scalare usuale. Dall’equazione (1.18) si ricava facilmenteche

(Φ,Ψ) = (Ψ,Φ)∗, (1.19)

(Φ, λ1Ψ1 + λ2Ψ2) = λ1(Φ,Ψ1) + λ2(Φ,Ψ2), (1.20)3Ricordiamone brevemente la definizione: si chiama spazio vettoriale un insieme M

di elementi qualsiasi per i quali sono state definite due leggi di composizione, la sommafra elementi di M e il prodotto per un numero reale o complesso. Ambedue queste leggidi composizione soddisfano le stesse proprieta richieste nella definizione dei vettori dellospazio tridimensionale ordinario della geometria classica:

a) ~X + ~Y = ~Y + ~X commutativita

b) ~X + (~Y + ~Z) = ( ~X + ~Y ) + ~Z associativita

c) dati due vettori ~X e ~Y , esiste un unico vettore ~Z tale che ~X = ~Y + ~Z. ~Z e la differenzadi ~X ed ~Y e, la differenza fra vettori eguali, definisce il vettore nullo. Il vettoreopposto ad ~X, − ~X, e definito come quel vettore che, sommato ad ~X, da il vettorenullo.

Ad un vettore ~X la moltiplicazione per il numero, reale o complesso, α fa corrispondereun nuovo vettore α ~X (prodotto di ~X per il numero) con le seguenti proprieta:

a’) 1 ~X = ~X

b’) α(β ~X) = (αβ) ~X associativita

c’) (α + β) ~X = α ~X + β ~Xα( ~X + ~Y ) = α ~X + α~Y distributivita.

1.5 La funzione d’onda 11

ma(λ1Φ1 + λ2Φ2,Ψ) = λ∗1(Φ1,Ψ) + λ∗2(Φ2,Ψ). (1.21)

Il prodotto scalare e lineare rispetto alla seconda funzione della coppia, an-tilineare rispetto alla prima funzione. Come nel caso degli spazi vettorialireali, se (Φ,Ψ) = 0, Φ(r) e Ψ(r) si dicono ortogonali e (Ψ,Ψ) e un numeroreale, positivo (e un postulato), ed e nullo se, e solo se, Ψ ≡ 0 . Tramitela grandezza

√(Ψ,Ψ), che e chiamata la norma di Ψ(r), possiamo definire

una norma in F .

Queste sono le proprieta dello spazio delle autofunzioni che ci servirannonel seguito come base di ulteriori sviluppi. Il concetto di operatore lineareche associa ad una funzione di F un’altra funzione, non necessariamenteappartenente ad F , verra introdotto piu avanti.

1.5.2 Conservazione della norma

Affinche la definizione della probabilita sia coerente occorre che la normadella funzione d’onda resti costante nel tempo. Le funzioni d’onda Ψ e Ψ∗

soddisfano alle equazioni

i~∂

∂tΨ = HΨ, i~

∂Ψ∗

∂t= −(HΨ)∗,

e quindi

∂

∂t|Ψ|2 = Ψ∗

(∂Ψ∂t

)+(∂Ψ∗

∂t

)Ψ =

1i~

[Ψ∗(HΨ)− (HΨ)∗Ψ] . (1.22)

Integrando i due membri dell’equazione (1.22), sullo spazio delle configu-razioni, si ottiene per il quadrato della norma di Ψ, N =

∫|Ψ|2dr,

∂N

∂t=

1i~

∫[Ψ∗(HΨ)− (HΨ)∗Ψ]dr,

e la condizione necessaria e sufficiente perche la norma resti costante neltempo e ∫

Ψ∗(HΨ)dr =∫

(HΨ)∗Ψ dr (1.23)

per ogni funzione Ψ a quadrato sommabile.

Se un operatore, per esempio H, soddisfa la condizione (1.23) per ognifunzione Ψ del dominio in cui l’operatore e definito, si dice che l’operatore eHermitiano. Si puo verificare facilmente che l’Hamiltoniano di una particellapossiede questa proprieta di hermiticita .

Problema. Mostrare che l’Hamiltoniano di Schrodinger per una particella inun potenziale reale e Hermitiano.


Soluzione.

Poiche in questo caso

H = − ~2

2m4+ V (r)

con V (r) reale, l’equazione (1.23) diventa∫[Ψ∗(4Ψ)− (4Ψ)∗Ψ]dr = 0.

Se l’integrale del primo membro fosse esteso ad un dominio finito limitato da unasuperficie S, sarebbe eguale, per il teorema di Green, a∫

S

(Ψ∗ dΨ

dn− dΨ∗

dnΨ)dS,

dove d/dn e la derivata secondo la normale esterna a S. Facendo tendere il volume diintegrazione a tutto lo spazio, tutti gli elementi di S si allontanano indefinitamente.Poiche Ψ rappresenta lo stato dinamico di un sistema fisico e necessariamente aquadrato integrabile e l’integrale di superficie tende a zero in questo limite.

Limitiamoci ora ad un potenziale reale e definiamo il vettore densita dicorrente, o vettore corrente, J(r, t) nel punto r all’istante t come

J(r, t) = Re[Ψ∗ ~

im∇Ψ

]. (1.24)

E facile verificare che

∇ · J =i

~[Ψ∗(HΨ)− (HΨ)∗Ψ]

e, indicando con %(r, t) la densita di probabilita |Ψ(r, t)|2, si puo riscriverel’equazione (1.22) nella forma

∂%

∂t+ ∇ · J = 0. (1.25)

La proprieta (1.25) e molto piu generale della proprieta di conservazionedella norma. Se Ψ e una soluzione stazionaria dell’equazione di Schrodinger

Ψ(r, t) = Ψ(r)eiEt/~,

la proprieta di conservazione della norma e evidente, se lo stato e legato, ede senza significato se lo stato non e legato e Ψ non e a quadrato sommabile.L’equazione (1.25) resta vera in entrambi i casi e, poiche |Ψ|2 e indipendentedal tempo per uno stato stazionario, diventa

∇ · J = 0,

qualunque sia la forma del potenziale V (r) che appare nell’Hamiltoniano.

1.6 Evoluzione del valor medio di una osservabile 13

1.6 Evoluzione del valor medio di una osservabile

Sia A(r,p, t) una grandezza classica in cui r e p cambiano nel tempo in ac-cordo con le equazioni del moto. In A(r,p, t) appare quindi una dipendenzaesplicita dal tempo e una dipendenza implicita tramite r e p. Alla grandez-za classica A(r,p, t) corrisponde un operatore Hermitiano, una osservabile,A = A(r,p, t) che si ottiene da A rimpiazzando r e p con operatori i cuiautostati ed autovalori non dipendono piu dal tempo. La dipendenza daltempo di r e p, caratteristica dell’evoluzione temporale dello stato classico,compare ora nella funzione d’onda Ψ(r, t).

In meccanica ondulatoria si definisce il valor medio di una osservabile Acome

< A >=∫drΨ∗(r, t)A(r,

~i∇, t)Ψ(r, t) (1.26)

ed e questo numero, che dipende solo da t, che deve essere confrontato conil valore assunto dalla grandezza classica A(r,p, t) all’istante t.

Le equazioni

i~∂Ψ∂t

= HΨ, i~∂Ψ∗

∂t= −(HΨ)∗,

permettono di ottenere l’evoluzione temporale di < A > e di mostrare comecio fornisca un legame fra la meccanica classica e la meccanica ondulatoria.Con l’aiuto dell’equazione (1.23) otteniamo infatti, dalla (1.26),

d

dt< A >=

1i~< AH −HA > +

⟨∂A

∂t

⟩(1.27)

e, se A non dipende esplicitamente dal tempo,

d

dt< A >=

1i~< [A,H] > . (1.28)

Una semplice applicazione di quest’ultima equazione alle osservabili r e p cipermettera di ottenere il teorema di Ehrenfest.

Consideriamo una particella in un potenziale indipendente dal tempoV (r) con Hamiltoniano

H =p2

2m+ V (r).

I commutatori degli operatori r e p con H si possono derivare dalle regole dicommutazione canoniche, [x, px] = i~ 1, [y, py] = i~ 1, [z, pz] = i~ 1 e tuttele altre parentesi di commutazione nulle, e sono

[r,H] =i~m

p, [p,H] = −i~∇V (r).


Si ottengono cosı due equazionid

dt< r >=

1m< p > (1.29)

ed

dt< p >= − < ∇V (r) > (1.30)

che esprimono il teorema di Ehrenfest e ricordano le equazioni classiche delmoto di una particella. Combinandole si ottiene infatti

md2 < r >dt2

= − < ∇V (r) >

che e l’analogo della seconda legge di Newton essendo il secondo membrouna ”forza”.

Supponiamo che la funzione d’onda Ψ(r, t), che descrive lo stato dellaparticella, sia un pacchetto d’onda come quello studiato nel problema al-l’inizio di questo capitolo. Indichiamo con < R > (t) il centro del pacchettod’onda all’istante t, al passare del tempo il centro del pacchetto descriveuna traiettoria. Se le dimensioni del pacchetto sono molto minori delle altredistanze in gioco, possiamo approssimare il pacchetto d’onda stesso con ilsuo centro e la descrizione quantistica della particella non differisce di moltoda quella classica. Resta da vedere se effettivamente il centro del pacchettoobbedisce alle leggi della meccanica classica.

La forza classica nel punto rc in cui si trova il centro del pacchetto e

[∇V (rc)]rc=<r>

che, in generale, non coincide con

< ∇V (r) > .

In altre parole il valor medio di una funzione non e uguale al valore che essaassume prendendo il valor medio della variabile. Solamente se il pacchettod’onda e sufficientemente localizzato si ha

< ∇V (r) >≈ [∇V (rc)]rc=<r>

e, in tal caso, il moto del pacchetto diventa quello di una particella classica dimassa m in un potenziale V (r). Cio si verifica per molti sistemi macroscopiciquando le lunghezze d’onda di de Broglie sono molto minori delle distanzesu cui il potenziale varia sensibilmente.

Bibliografia consigliata : [1], [3], [4], [2].

Capitolo 2

Lo spin e lo spazio degli stati

2.1 Introduzione

La meccanica ondulatoria riguarda la descrizione quantistica di una parti-cella considerata come punto materiale senza struttura interna. Si e assuntofinora che lo stato della particella possa essere completamente specificatodando la sua funzione d’onda Ψ in funzione delle sue coordinate spazialix, y, z che costituiscono un insieme completo. Una descrizione alternativaed equivalente si basa sulle componenti dell’impulso px, py, pz che pure rap-presentano un insieme completo di variabili dinamiche poiche φ(px, py, pz)contiene le stesse informazioni sullo stato di Ψ(x, y, z). L’integrale di Fourierlega le due descrizioni equivalenti e permette di calcolare φ da Ψ e viceversa.

E’ importante capire che la completezza di un insieme di variabili di-namiche e legata ad un particolare modello del sistema fisico che vogliamodescrivere. Nuovi fatti sperimentali possono richiedere una profonda modifi-ca del modello e una descrizione piu dettagliata e, di solito, piu complessa. Ilmodello semplice di particella puntiforme permette di risolvere molti proble-mi fondamentali della fisica atomica e nucleare ma l’evidenza sperimentalemostra che a molte particelle elementari, come elettroni, protoni e neutroni,dobbiamo attribuire un momento angolare intrinseco, o spin, e un momentomagnetico ad esso associato.

L’introduzione di questa nuova variabile dinamica ci sara di guida nel-la costruzione di una forma molto piu generale ed astratta della meccanicaquantistica che permettera una descrizione unificata della meccanica ondu-latoria e della teoria dello spin. Dal punto di vista del fisico, l’astrattezzamatematica non sembra molte volte una virtu ma il formalismo generaleche costruiremo permettera di affrontare in modo semplice ed elegante ungran numero di problemi relativi a sistemi fisici ben diversi dalla particellapuntiforme. Sistemi a molte particelle, nuovi gradi di liberta come lo spin

16 Lo spin

isotopico e il campo elettromagnetico potranno essere descritti con lo stessoformalismo.

2.2 L’esperimento di Stern e Gerlach

L’evidenza sperimentale per il momento magnetico intrinseco dell’elettronesi basa sull’esperimento di Stern e Gerlach. Gli atomi, o le molecole, di cuivogliamo misurare il momento magnetico, vengono fatti passare attraver-so un campo magnetico non uniforme B e sono deflessi da una forza che,secondo la fisica classica, e data da

F = ∇(µ · B)

dove µ e il momento magnetico delle particelle che compongono il fas-cio. Nella regione, attraverso la quale passa il fascio, la direzione di Bvaria lentamente ma la sua intensita dipende molto dalla posizione. Quin-di, se la proiezione di µ nella direzione di B e indicata con µB si haapprossimativamente

F = µB ∇B. (2.1)

La forza puo essere determinata dalla deflessione subita dal fascio, misuratadalla traccia lasciata su uno schermo (una lastra fotografica nell’esperimentooriginale), e, conoscendo la forza, si ricava µB. Uno schema dell’apparato diStern e Gerlach e mostrato in fig.(2.1)

6

--1T F

N

S

O

z L

y

(a)

-

6

@@

z

x

N

S

(b)

Figura 2.1: a) Schema dell’apparato di Stern-Gerlach: gli atomi d’argentoemessi dal forno T vengono collimati dalla fenditura F e, deflessi dal gra-diente del campo magnetico, condensano sulla lastra L; b) Espansioni polaridell’elettromagnete: Bz e positivo e ∂Bz/∂z negativo, la traiettoria dellafigura (a) corrisponde ad un atomo con µz negativo e componente z dellospin positiva.

2.2 Stern-Gerlach 17

I risultati di questi esperimenti erano sorprendenti. Classicamente siprevedeva una singola traccia continua, corrispondente a valori di µB nel-l’intervallo −µ,+µ, le osservazioni mostravano invece un certo numero ditracce distinte ed equidistanti che dimostravano la natura quantistica, di-screta, del momento magnetico. Poiche si misurava la proiezione del mo-mento magnetico lungo l’asse dell’apparato e questa poteva assumere solovalori discreti, e diventato abituale parlare di quantizzazione spaziale. Sterne Gerlach hanno anche misurato i valori permessi di µB ed hanno trovatoche i valori di µB, entro gli errori sperimentali, andavano da un minimo,−µ, ad un massimo, +µ, che viene convenzionalmente considerato come ilmomento magnetico della particella.

Per interpretare questi risultati ricordiamo l’ipotesi di Ampere che pro-prieta magnetiche della materia sono riconducibili a correnti elettriche. Cosi,le correnti dovute agli elettroni negli atomi producono un momento magneti-co µ associato al momento angolare orbitale dalla relazione classica

µ =e

2mecL (2.2)

in unita cgs-Gauss 1. Ci si aspetta che l’equazione (2.2), essendo una sem-plice relazione di proporzionalita, valga anche in meccanica quantistica .Poiche ogni componente di L ha 2l + 1 autovalori, la proiezione di µ lungouna direzione fissa nello spazio, come quella di B, dovrebbe avere anche lei2l + 1 autovalori e dovrebbe potersi esprimere nella forma

µB =e~

2mecm = −β0m

dove il numero quantico magneticom puo assumere i valori −l,−l+1, . . . , l−1, l. Per un elettrone il magnetone di Bohr

β0 =|e|~2mec

(2.3)

ha il valore 9.2732× 10−21 erg/gauss.

Essendo l un intero, ci aspettiamo un numero di tracce dispari, (2l+ 1),nell’esperimento di Stern e Gerlach. L’esperimento classico, in cui venivausato un fascio di atomi d’argento, dava invece due tracce, cioe un numeropari, e un valore di |µ| eguale a

|µ| = |e|~2mec

. (2.4)

Inizialmente, non comprendendo le straordinarie conseguenze dell’esperi-mento, si e tentato di spiegare il risultato supponendo che il singolo elettrone

1Come nel testo di Landau, Teoria dei Campi, la carica e puo essere sia positiva chenegativa (o nulla) ed e < 0 per l’elettrone.

18 Lo spin

di valenza (l’argento e paramagnetico ed ha un singolo elettrone di valenza;per questo si trova nel primo gruppo del sistema periodico) si trovasse nellostato P (l = 1), ma che lo stato con m = 0 fosse soppresso in modo tale che,di 2l + 1 = 3 tracce, solo due fossero visibili. Questa era una ipotesi nonplausibile, data la temperatura a cui veniva creato il fascio e il fatto che, inun potenziale attrattivo, la stato di energia minima e uno stato S (l = 0) enon uno stato P .

Possiamo anche chiederci se l’equazione classica (2.1) possa essere usatain presenza di un fenomeno quantistico. Le relazioni di indeterminazionemostrano che la descrizione classica del moto degli atomi d’argento e corret-ta. L’incertezza sulle lunghezze, dell’ordine di qualche millimetro (come lalarghezza delle fenditure che collimano il fascio), e l’incertezza sulle velocita,dell’ordine di qualche metro al secondo, mostrano che

∆l ·∆v ≥ ~MAg

e sicuramente soddisfatta perche MAg ≈ 1.8 × 10−22 g e ~ ≈ 10−27 erg sec.Questo e il motivo per cui l’elettrone, che e l’oggetto che ci interessa mag-giormente in questo esperimento, deve viaggiare attaccato all’atomo. Seripetessimo l’esperimento di Stern e Gerlach con elettroni liberi, le traccenon sarebbero visibili per effetti di interferenza.

L’interpretazione corretta e arrivata dopo che Goudsmit e Uhlenbeck,partendo da risultati spettroscopici, hanno avanzato l’ipotesi di un elettronepuntiforme con un momento di dipolo magnetico finito la cui proiezione puoassumere solo due valori. A questo momento magnetico, in base alla teoriadegli spettri atomici, veniva associato un momento angolare intrinseco, lospin, per il quale possiamo trovare una ragione d’essere indipendente dallaspettroscopia. Infatti, se l’elettrone non possedesse un momento angolareintrinseco, il momento angolare di un atomo isolato non potrebbe conser-varsi. L’elettrone atomico, in moto in un campo elettrico E, vede anche uncampo magnetico v × E/c ed interagisce con esso tramite il suo momentomagnetico intrinseco. L’energia potenziale associata con queste forze e

µ · vc×E

e, se il campo di forze e centrale: E = f(r) r, e proporzionale a µ · v × r,ossia a

µ · r× p = µ · L.

Il fattore di proporzionalita dipende solo dalla coordinata radiale r. Cosil’energia dell’elettrone dipende dall’orientazione relativa del momento mag-netico rispetto al momento angolare orbitale e l’operatore Hamiltoniano con-tiene un termine di interazione proporzionale a µ ·L oltre al potenziale cen-trale. E’ evidente che L, le cui componenti non commutano, non puo piu

2.3 Stati di spin 19

essere una costante del moto. Solamente se l’elettrone partecipa con lo spinintrinseco, associato a µ, al momento angolare in gioco si puo riottenere laconservazione del momento angolare totale.

Nell’esperimento di Stern e Gerlach, l’atomo d’argento possiede un mo-mento magnetico eguale al momento magnetico di spin dell’elettrone piuesterno e possiamo affermare che, in questo esperimento, si misura lo spindell’elettrone. Scegliendo gli assi come in figura (2.1a), il risultato dell’es-perimento e la relazione (2.2) ci portano a concludere che la componente zdello spin dell’elettrone e una grandezza fisica quantizzata che puo assumeresolamente due valori: ±~/2. Il secondo postulato della meccanica ondulato-ria, relativo alle grandezze fisiche misurabili, afferma che questa componentedello spin e descritta da un operatore lineare ed Hermitiano Sz. Sz avra unospettro discreto che comprende solo due autovalori, ±~/2. Poiche tutte ledirezioni dello spazio hanno le stesse proprieta e l’asse dell’apparato, defini-to dalla direzione del campo magnetico B, puo essere orientato arbitrari-amente, la misura della componente dello spin in una direzione arbitrariadovra dare uno dei due risultati: +~/2 oppure −~/2. Quindi, anche Sx eSy, per esempio, avranno gli stessi autovalori di Sz.

A differenza degli operatori ed autofunzioni del momento angolare or-bitale, che sono funzioni determinate delle variabili spaziali, gli operatoried autofunzioni dello spin non hanno, come vedremo, una espressione fun-zionale in termini delle variabili spaziali. Sarebbe errato, d’altra parte, as-sociare lo spin a qualche rotazione spaziale interna della particella che, nelcaso dell’elettrone, resta puntiforme. Lo spin deve essere considerato comeuna nuova variabile dinamica, oltre a x, y, z. Inoltre, essendo proporzionalead ~, e un effetto puramente quantistico. Vedremo nel prossimo paragrafocome si possa descrivere lo stato fisico di una particella con spin.

2.3 Descrizione degli stati di spin

Con un apparato di Stern-Gerlach si possono eseguire alcuni esperimentiideali sugli atomi d’argento e, con l’aiuto dei postulati della meccanica on-dulatoria, arrivare ad una rappresentazione degli stati di spin di un atomo.Il dispositivo di figura (2.1a) puo agire come ”polarizzatore atomico” se, al-l’uscita dall’elettromagnete, blocchiamo la componente con autovalore −~/2di Sz, che chiameremo Sz−, e lasciamo passare la componente con autoval-ore +~/2 di Sz, Sz+. Si produce cosı un fascio di atomi che sono tutti nellostesso stato di spin con componente +~/2 lungo z. Tale dispositivo agiscesugli atomi come un cristallo di tormalina agisce su un’onda luminosa e nededuciamo che le ”onde” elettroniche possono essere polarizzate. Sul fasciodi atomi, cosı preparato, un secondo apparato di Stern-Gerlach agisce comeun ”analizzatore” e, se lo stato di spin degli atomi non e perturbato fra la

20 Lo spin

preparazione e la misura, permette di misurare una qualsiasi componentedello spin.

Indichiamo con SGn un dispositivo di Stern-Gerlach con il campo mag-netico non uniforme nella direzione n e supponiamo di preparare un fascio diatomi d’argento in uno stato in cui Sz e +~/2. La misura di Sz con il disposi-tivo di figura (2.2a) mostra che una sola componente del fascio, Sz+ comparenello stato finale: per il postulato della ”riduzione del pacchetto d’onda” solola componente Sz+ esce dall’analizzatore, come si osserva sperimentalmente.Nel secondo esperimento, rappresentato nella figura (2.2b),

- SGz- SGz

-Sz+Sz+

- SGz- SGx

-

-

Sz+Sx+

Sx−

- SGz- SGx

- SGz--

Sz+Sx+ Sz+

Sz−

(a)

(b)

(c)

Figura 2.2: Esperimenti di Stern-Gerlach in successione.

la misura di Sx distrugge ogni precedente informazione su Sz. Sebbene gliatomi siano stati preparati nello stesso modo, c’e una indeterminazione nelcomportamento degli atomi presi individualmente e l’intensita dei fasci Sx+e Sx− che escono da SGx e la stessa. Il terzo esperimento, in figura (2.2c),e di piu difficile interpretazione. Pur avendo bloccato la componente Sz−dopo il polarizzatore, questa riappare nella misura di Sz se, nel frattempo,misuriamo Sx. Questi esempi sono spesso usati per illustrare il fatto che, inmeccanica quantistica, non possiamo determinare simultaneamente Sz e Sx.

I risultati di questi esperimenti presentano diverse analogie con le mis-ure possibili in un semplice esperimento di ottica che consiste nel far passareun’onda luminosa piana, monocromatica e polarizzata linearmente attraver-so uno, o piu, analizzatori. Se la direzione di propagazione dell’onda coincide

2.3 Stati di spin 21

con l’asse z e scegliamo x come versore che descrive la sua polarizzazione,l’onda e caratterizzata da un campo elettrico della forma

E(r, t) = E0xei(kz−ωt), (2.5)

dove E0 e una costante e si sottointende che, del secondo membro di (2.5),dobbiamo prendere la parte reale, la sola che abbia significato fisico.

Facciamo ora passare quest’onda attraverso un prisma di nicol o unalamina di polaroid (analizzatore) e ruotiamo, nel piano (x, y), l’asse otticodell’analizzatore. Con gli assi ottici, dell’analizzatore e del polarizzatore,paralleli si ha il massimo di trasmissione, con gli assi ottici incrociati latrasmissione e nulla e, se gli assi ottici formano un angolo θ fra di loro,l’intensita dell’onda uscente e proporzionale a cos2 θ secondo la legge diMalus. In particolare, un fascio di luce polarizzata con il campo elettrico(2.5), se passa attraverso una lamina di polaroid con l’asse ottico a 45o

rispetto all’asse x, e versore x′ = (x+y)/√

2, acquista una componente dellapolarizzazione lungo l’asse y. La misura della polarizzazione lungo x′ annullaogni precedente informazione sulla polarizzazione dell’onda. L’analogia congli esperimenti di Stern e Gerlach in successione, in figura (2.2), diventa piustretta se si stabilisce la seguente corrispondenza

atomi Sz± ↔ luce polarizzata x, y (2.6)

atomi Sx± ↔ luce polarizzata x′, y′. (2.7)

Questa corrispondenza suggerisce che si potrebbe rappresentare lo stato dispin di un atomo d’argento con un vettore in uno spazio vettoriale bidimen-sionale astratto. Proprio come x e y costituiscono una base per il vettorepolarizzazione della luce e ragionevole introdurre i vettori di base |+ > e|−> che corrispondono rispettivamente agli stati Sz+ e Sz−. Ricordiamoche l’asse z, per convenzione, gioca un ruolo particolare nell’esperimento diStern e Gerlach. Ogni stato di spin potra essere rappresentato come com-binazione lineare di questi vettori di base 2. In particolare, per i vettori cherappresentano gli stati Sx+ e Sx−, la corrispondenza (2.7) rende possibilela seguente congettura

|±>x=1√2(±|+> +|−>), (2.8)

perche x′ = (x + y)/√

2, ma y′ = (−x + y)/√

2. Cosı, la componente, nonbloccata che esce dal secondo dispositivo SGx della figura (2.2c) deve essereconsiderata come una sovrapposizione di Sz+ e Sz− nel senso della (2.8) equesto spiega perche due componenti emergono dal terzo dispositivo SGz.

2Nella notazione di Dirac, tali vettori si chiamano ket.

22 Lo spin

Per descrivere gli atomi Sy±, in questo formalismo, notiamo che, se nel-l’esperimento di figura (2.2b) ruotiamo l’apparato SGz di π/2 attorno al-l’asse z e sostituiamo SGx con un dispositivo SGy, la situazione risultantedovrebbe essere la stessa. Ritornando all’analogia con l’onda luminosa, con-sideriamo un fascio di luce polarizzato circolarmente che possiamo ottenerefacendo passare luce polarizzata linearmente attraverso una lamina quartod’onda. Otteniamo una combinazione lineare di luce polarizzata lungo x edi luce polarizzata lungo y con Ey che oscilla sfasato di π/2 rispetto ad Ex:

E =1√2E0

[xei(kz−ωt) + yei(kz−ωt±π/2)

]=

1√2E0e

i(kz−ωt)(x± iy). (2.9)

Quando facciamo passare questa luce polarizzata circolarmente attraversouna lamina di polaroid otteniamo di nuovo luce polarizzata linearmente.

Se stabiliamo che un atomo Sy+ corrisponde ad un’onda destrogira edun atomo Sy− ad un’onda levogira, possiamo descrivere anche gli stati dispin degli atomi per i quali una misura di Sy da i valori ±~/2 tramite ivettori

|±>y=1√2(|+> ±i|−>). (2.10)

Lo spazio a due dimensioni introdotto per descrivere lo spin degli atomid’argento deve essere uno spazio vettoriale complesso. Ritorneremo nel se-guito su queste corrispondenze, e sui risultati (2.8) e (2.10), quando avremochiarito la struttura di questo spazio vettoriale e le leggi di trasformazionedegli stati di spin per rotazioni nello spazio tridimensionale ordinario.

2.4 Sovrapposizione e indeterminazione

I concetti esposti nel precdente paragrafo sono alla base di tutti i futurisviluppi e discendono dal principio di sovrapposizione che deriva dalla li-nearita dello spazio degli stati e portera ad una dinamica quantistica lineare.Cerchiamo di chiarire meglio il significato e l’importanza di questo princi-pio prendendo dal libro di P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, le frasi piuilluminanti. Definiamo dapprima il concetto di stato.

Consideriamo un qualsiasi sistema atomico, composto di particelle o cor-pi con proprieta note (masse, momenti di inerzia, ecc.) che interagiscono conforze che seguono leggi note. Ci saranno molti moti possibili delle particelleo corpi consistenti con le forze date, ognuno di questi moti e chiamato unostato del sistema. Possiamo definire uno stato come un moto imperturbatoche e vincolato da condizioni compatibili con la teoria; tali condizioni sono

2.5 Lo spazio degli stati 23

imposte preparando opportunamente il sistema, per esempio tramite l’ap-parato di Stern e Gerlach, e lasciandolo indisturbato dopo la preparazione.Classicamente, si puo specificare uno stato dando i valori di tutte le coor-dinate e delle velocita delle varie parti componenti il sistema ad un certoistante. L’esperimento di Stern e Gerlach ci mostra che non possiamo osser-vare lo spin degli atomi d’argento con tutti i dettagli suggeriti dalla teoriaclassica. Per una trottola classica, per esempio, possiamo specificare con-temporaneamente tutte le componenti del suo momento angolare, cosa chenon accade per lo spin degli atomi.

Il principio di sovrapposizione della meccanica quantistica si applica aglistati di un sistema dinamico qualunque e assume che fra questi stati esistauna relazione particolare tale che, quando il sistema e con certezza in unostato, possiamo considerarlo come se fosse contemporaneamente in ciascunodi due o piu altri stati. Lo stato originale deve essere considerato come unaspecie di sovrapposizione di due o piu nuovi stati in un modo che non sipresenta nella teoria classica. Dal punto di vista di un matematico, questo eun processo sempre permesso e usuale in ottica fisica quando si considera ladecomposizione spettrale di un’onda e si risolvono le sue componenti tramitei teoremi di Fourier. La necessita di questa decomposizione, tuttavia, noncompare mai in meccanica classica. Il nuovo stato e completamente definitodagli stati in cui si scompone quando sono noti i loro pesi relativi nel processodi sovrapposizione. Il risultato di una misura coincidera con il risultatorelativo ad uno degli stati che compaiono nella sovrapposizione con unaprobabilita che dipende dal suo peso relativo. Se l’esperimento e ripetuto ungran numero di volte, ogni particolare risultato sara ottenuto in una frazionedefinita del numero totale di volte, cosicche c’e una probabilita ben definitadi ottenerlo ed e questa probabilita che la teoria permette di calcolare.

La natura non classica del processo di sovrapposizione si chiarisce seconsideriamo la sovrapposizione di due stati, chiamiamoli |1> e |2>, taliche, se osserviamo il sistema nello stato |1 > siamo sicuri di ottenere ilrisultato 1 e, se lo osserviamo nello stato |2 >, siamo sicuri di ottenere ilrisultato 2. Se sovrapponiamo questi due stati e osserviamo il sistema, ilrisultato sara qualche volta 1 e qualche volta 2, in accordo con una leggeprobabilistica che dipende dai pesi relativi di |1 > e |2 > nel processo disovrapposizione. Non otterremo mai un risultato intermedio, l’osservazionepotra dare solamente una delle due risposte: 1 oppure 2.

2.5 Lo spazio degli stati

Abbiamo enunciato, nel primo capitolo, i postulati della meccanica ondu-latoria. Il primo postulato stabilisce che lo stato fisico di una particella,al tempo t, e descritto completamente dalla funzione d’onda normalizzata

24 Lo spin

Ψ(r, t). Successivamente, nel paragrafo (1.5), abbiamo studiato alcune pro-prieta matematiche delle funzioni d’onda e abbiamo visto che l’insieme dellepossibili funzioni d’onda costituisce uno spazio vettoriale complesso 3. Nelterzo postulato, della misura di una grandezza fisica, abbiamo accennato alfatto che qualsiasi stato fisico puo essere rappresentato come una somma

Ψ =∑

ciΨi,

dove le Ψi sono le autofunzioni di un operatore hermitiano e ci sono numericomplessi. Questo risultato deve essere interpretato nel modo seguente: datauna base Ψi, i coefficienti ci caratterizzano lo stato di una particella inmodo altrettanto completo della funzione d’onda Ψ.

La situazione e analoga a quella incontrata nello spazio tridimensionaleordinario: la posizione di un punto nello spazio puo essere descritto da unaterna di numeri, che rappresentano le sue coordinate rispetto al sistema diassi che abbiamo scelto. Cambiando gli assi, una diversa terna di numericorrispondera allo stesso punto. Ma il concetto geometrico di vettore, comeclasse di segmenti orientati, e il calcolo vettoriale ci permettono di evitarel’introduzione di un sistema di assi semplificando notevolmente sia le formuleche il procedimento logico del calcolo.

Sostituiamo quindi il primo postulato, sullo stato, con il seguente: lostato quantistico di qualsiasi sistema fisico e caratterizzato da un vettoredi stato che appartiene ad uno spazio astratto, che chiamiamo spazio deglistati del sistema. Cio non solo semplifica il formalismo ma permette unasua generalizzazione a sistemi fisici la cui descrizione quantistica non puoessere fatta mediante una funzione d’onda che dipende solo dalle coordinatespaziali. Nel caso degli atomi d’argento dell’esperimento di Stern e Ger-lach e facile visualizzare il vettore di stato. Per un sistema con spin 1/2,trascurando tutti gli altri gradi di liberta, lo stato piu generale puo essereconsiderato come combinazione lineare dei vettori di base |+> e |−>, cheabbiamo gia introdotto,

|α>= c1|+> +c2|−>, (2.11)

con c1 e c2 numeri complessi. La figura (2.3) rappresenta schematicamentequesta situazione.Sempre in base al terzo postulato, |c1|2 e |c2|2 sono, rispettivamente, leprobabilita di trovare +~/2 e −~/2 in una misura di Sz.

In altri casi, se la funzione d’onda dipende da una variabile, per esempiox, che puo assumere qualsiasi valore reale fra −∞ e +∞, le dimensionidello spazio degli stati diventa infinito non numerabile. Tuttavia, l’analogia

3Si veda la nota (3) del paragrafo (1.5) per la definizione di spazio vettoriale.

2.6 Ket e bra 25

-

6

>

|+>

|−>

|α > c1

c2

Spin su

Spin giu

Figura 2.3: Rappresentazione degli stati di spin nello spazio complesso. Spinsu e giu si riferiscono all’apparato di Stern-Gerlach della figura (2.1a).

con la geometria ordinaria resta e le componenti del vettore di stato suquesta base infinita forniranno tutti i valori (complessi) che puo assumerela funzione d’onda.

Nel seguito, useremo la notazione di Dirac per il vettore di stato. Questaelegante notazione ha molti vantaggi quando si abbia a che fare con proble-mi agli autovalori per operatori Hermitiani e unitari. I prossimi paragrafisaranno dedicati alle proprieta formali dello spazio degli stati e agli operatoriche agiscono su questo spazio.

2.6 Spazio vettoriale complesso e spazio duale

Consideriamo uno spazio vettoriale lineare a n dimensioni, dove n dipendedalla natura del sistema fisico che consideriamo. Nel caso dell’esperimentodi Stern e Gerlach, questo spazio complesso ha due dimensioni che cor-rispondono al numero di traiettorie possibili che un atomo d’argento puopercorrere dopo aver attraversato l’elettromagnete. Abbiamo visto che, inaltri casi, n puo diventare infinitamente grande e potranno sorgere problemidi convergenza delle serie, infinite, e dubbi sulla legittimita di certi limiti. Ilpassaggio da uno spazio ad un numero finito di dimensioni, che consideriamoora, ad uno spazio ad infinite dimensioni richiedera ulteriori condizioni suivettori e sugli operatori che, nel seguito, specificheremo solo in parte e sup-porremo sempre soddisfatte. Abbiamo gia definito uno spazio vettoriale nelparagrafo (1.5) e, anche in quel caso, si trattava di uno spazio complesso,quello delle funzioni d’onda della meccanica ondulatoria.

26 Lo spin

Nel paragrafo precedente abbiamo associato ad ogni stato dinamico di unsistema fisico un vettore di stato, che chiamiamo ket e che rappresentiamocon il simbolo | >; il ket α e rappresentato da |α>. Se moltiplichiamo un ket|α> per un numero complesso c, otteniamo ancora un ket e, come vedremo,|α> e c|α> rappresentano lo stesso stato fisico 4. I ket formano uno spaziovettoriale lineare e ogni combinazione lineare di piu ket e ancora un ket, peresempio

cα|α> +cβ |β>= |γ>,

dove |γ> e un vettore dello spazio dei ket e, cα, cβ sono numeri complessi.

I k vettori |αi>, (i = 1, 2, . . . k) si dicono linearmente indipendenti se larelazione

k∑i=1

λi|αi>= 0, (2.12)

ha come unica soluzione λ1 = λ2 = . . . = λk = 0. Si dice che uno spaziovettoriale ha n dimensioni se il numero massimo di vettori linearmente in-dipendenti e n. Le altre proprieta dei ket possono essere dedotte dalla notaa pagina 10.

Ad ogni spazio vettoriale puo essere associato il suo duale. Ogni fun-zione lineare del ket |α>, γ(|α>), definisce un vettore nello spazio duale,che chiamiamo bra ed indichiamo con il simbolo < γ|. In effetti, γ(|α >)possiede la proprieta di sovrapposizione caratteristica dei vettori perche,essendo lineare, si ha

γ(cα|α> +cβ |β>) = cαγ(|α>) + cβγ(|β>),

e ogni combinazione lineare di due funzioni, γ1 e γ2, gode della stessa propri-eta. Rappresentiamo con il simbolo <γ|α> il valore (in generale complesso)assunto dalla funzione γ(| >) per il particolare ket |α> 5.

Per introdurre una metrica nello spazio degli stati, supponiamo che cisia una corrispondenza biunivoca fra i vettori dello spazio dei ket e dellospazio dei bra: ad ogni ket |α > corrisponde un bra, coniugato ad |α >,che indichiamo con il simbolo < α|. Questa corrispondenza ”duale”, chepermette di considerare lo spazio dei bra come immagine speculare dellospazio dei ket, e una corrispondenza antilineare. Al ket c|α> corrisponde ilbra c∗ <α| e, il bra coniugato al ket

cα|α> +cβ|β>,4Lo stato e rappresentato da un raggio nello spazio vettoriale complesso, intendendo

con raggio una direzione in questo spazio.5Questo spiega l’origine della terminologia usata da Dirac: il simbolo < . . . > e

chiamato ”bracket” in inglese.

2.6 Ket e bra 27

ec∗α <α|+ c∗β <β|.

La corrispondenza biunivoca fra i due spazi ci permette di definire ilprodotto interno, o scalare del ket |α> con il ket |β> come il numero com-plesso <β|α>. Per consistenza con le proprieta del prodotto scalare dellefunzioni d’onda della meccanica ondulatoria (paragrafo 1.5), postuliamo che

<β|α>=<α|β>∗, (2.13)

cioe che il prodotto interno di |α> per |β > sia il complesso coniugato delprodotto interno di |β > per |α>, e che la norma di un ket sia reale e nonnegativa

<α|α> ≥ 0. (2.14)

La realta della norma discende immediatamente dalla (2.13) e il segno dieguaglianza in (2.14) vale solo se |α > e il ket nullo. Due ket si dirannoortogonali se il loro prodotto interno e nullo.

Dai postulati (2.13) e (2.14) e facile ottenere la disuguaglianza di Schwarz;per due ket arbitrari

| <β|α> |2 ≤ <β|β><α|α> . (2.15)

Questa disuguaglianza puo essere usata per definire un angolo fra due ketdal confronto con l’analoga proprieta per il prodotto scalare di due vettori(reali) nello spazio ordinario

|A ·B|2 ≤ |A|2|B|2.

Problema. Dimostrare la disuguaglianza di Schwarz (2.15).

Soluzione

Si costruisce il ket|γ>= |α> +λ|β>,

dove λ e un parametro complesso che calcoliamo ottimizzando la disuguaglianza(2.14) per |γ>:

<γ|γ>= (<α|+ λ∗ <β|)(|α> +λ|β>) ≥ 0. (2.16)

La forma migliore per questa disuguaglianza si ottiene scegliendo λ in modo darendere minimo il membro sinistro di (2.16). Derivando, per esempio, rispetto a λ∗

si trova il minimo per <β| · (|α> +λ|β>) = 0, e quindi

λ = −<β|α><β|β>

.

28 Lo spin

Sostituendo qesto valore di λ in (2.16), si ottiene la disuguaglianza di Schwarz. Ilsegno di uguaglianza in (2.16) vale solo se |γ > e il ket nullo, cioe se |α > e |β >sono multipli l’uno dell’altro (”paralleli”).

Se un ket non e nullo, possiamo costruire un ket normalizzato |α >dividendo |α> per la sua ”lunghezza”

√<α|α>, o norma,

|α>=1√

<α|α>|α>

con la proprieta <α|α>= 1. Poiche |α> e il suo prodotto per un numerocomplesso, c|α>, rappresentano lo stesso stato fisico, si puo richiedere che iket, usati per rappresentare gli stati fisici, abbiano norma uno. L’ambiguitanella rappresentazione di uno stato, tramite il ket |α>, si riduce allora allapossibilita di moltiplicare |α> per una fase arbitraria.

Nelle considerazioni fatte finora e essenziale che i ket abbiano una normafinita. Quando tratteremo gli spettri continui, sara necessario introdurre deivettori di lunghezza infinita. Come vedremo piu avanti, si potra costruirecombinazioni lineari normalizzabili di questi vettori.

2.7 Operatori lineari

Il secondo postulato, sulle grandezze fisiche, afferma che ogni grandezza fisicamisurabile e descritta da un operatore lineare e Hermitiano che abbiamochiamato osservabile. Osservabili sono, per esempio, le componenti dellospin, di cui abbiamo parlato all’inizio del capitolo.

Un operatore trasforma lo spazio dei ket in se stesso e diremo che il ket|β > e il risultato dell’azione di un operatore A sul ket |α> se

|β>= A(|α>) = A|α> .

e che A e l’operatore nullo se |β > e nullo qualunque sia |α >. L’ultimopassaggio, nell’equazione precedente e lecito se A e un operatore lineare

A(cα|α> +cβ |β>) = cαA|α> +cβA|β> . (2.17)

Gli operatori possono essere moltiplicati per una costante, sommati omoltiplicati fra di loro. Queste operazioni sugli operatori soddisfano leseguenti regole:

1. la somma e associativa e commutativa,

2.7 Operatori lineari 29

2. il prodotto fra operatori e associativo e distributivo rispetto alla som-ma ma, in generale, non e commutativo 6.

Un esempio banale di operatore lineare e l’operatore identita, indicato con1, con la proprieta |α>= 1|α> qualunque sia |α> 7.

Definiamo ora l’azione di un operatore A sullo spazio duale dei bra. Lalinearita di A implica che il prodotto scalare <β| · (A|α>) e una funzionelineare di |α >. A questa funzione e associato un bra < γ| =< β|A e lacorrispondenza fra <β| e <γ| e lineare. Potremo quindi scrivere

(<β|A) · |α>=<β| · (A|α>) =<β|A|α>, (2.18)

visto che le parentesi diventano inutili. La convenzione e sempre quella diporre i bra a sinistra degli operatori ed i ket a destra.

Il ketA|α> e il bra<α|A non sono, in generale, coniugati l’uno dell’altro.La corrispondenza duale definisce un operatore lineare, chiamato Hermitianoconiugato di A, o aggiunto di A, che si indica con il simbolo A†:

A|α>↔<α|A†. (2.19)

In base all’equazione (2.18), avremo che

<β|A|α>=<β| · (A|α>= [(<α|A†) · |β>]∗ =

=<α|A†|β>∗ . (2.20)

Notiamo anche che l’aggiunto, di un prodotto di operatori, rovescia l’ordinedegli operatori: (AB)† = B†A†. Per definizione, un operatore lineare H sidice Hermitiano se coincide con il suo aggiunto

H = H† (2.21)

e, per esso, in base alla relazione (2.20)

<β|H|α>=<α|H|β>∗ . (2.22)

Se moltiplichiamo il ket |β > per il bra <α|, nell’ordine, otteniamo unoperatore, |β >< α|, che si chiama prodotto esterno di |β > e < α| ed efacile dimostrare che (|β><α|)† = |α><β|. E’ sufficiente applicare questooperatore ad un generico ket |γ>:

(|β><α|) · |γ>= |β> (<α|γ>),6La non commutativita fra due operatori, A e B, si esprime dicendo che il loro

commutatore [A, B] = AB −BA e diverso dall’operatore nullo.7L’operatore c1, dove c e un numero complesso, moltiplica ogni ket per c e puo essere

scritto semplicemente come c. Nel seguito, useremo il carattere grassetto per tale operatoresolo se e necessario per la chiarezza del testo.

30 Lo spin

e calcolare il corrispondente duale

(<α|γ>)∗ <β| = (<γ|α>) <β| =<γ| · (|α><β|).

In tutti questi calcoli, la proprieta associativa della moltiplicazione giocaun ruolo fondamentale. Altri prodotti leciti fra ket compaiono quando siconsidera il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali che puo descrivere unsistema quantistico di due particelle o gradi di liberta indipendenti relativialla stessa particella, per esempio lo spin e il momento angolare orbitale diun elettrone.

Per calcolare l’aggiunto di un’espressione complicata, in cui compaiononumeri complessi, bra, ket ed operatori, esiste una regola semplice: sostituireovunque i numeri con il loro complesso coniugato, i bra con i ket coniugati eviceversa, gli operatori con il loro Hermitiano coniugato e invertire l’ordinedei bra, dei ket e degli operatori. Per esempio: il coniugato del ket AB|α><β|C|γ> e il bra <γ|C†|β><α|B†A†.

2.8 Autovalori e autoket

Il ket |a′ > e chiamato autoket dell’operatore lineare A se

A|a′ >= a′|a′ > (2.23)

e, quindi, l’effetto dell’operatore A su |a′ > e semplicemente quello di molti-plicarlo per un numero (in generale complesso) a′. Per definizione, a′ e unautovalore di A e |a′ > l’autoket associato ad esso, nel seguito verrannoindicati con la stessa lettera. Se esistono piu autoket, linearmente indipen-denti, associati allo stesso autovalore si parla di degenerazione e l’ordinedella degenerazione, per definizione, e pari alle dimensioni del sottospaziodegli autoket relativi allo stesso autovalore. Assumiamo, per ora, che, perciascun autovalore, ci sia solo un ket linearmente indipendente, il problemadella degenerazione verra considerato piu avanti.

Di particolare interesse e il caso in cui A e Hermitiano e, se osservabile 8,rappresenti una qualche grandezza fisica. Se A = A†, la corrispondenteduale della relazione (2.23) diventa < a′|A = a′∗ < a′|. Supponiamo che a”sia un’altro autovalore di A e consideriamo il prodotto scalare di |a′ > peril ket A|a” >= a”|a” >

< a”|A|a′ >= a”∗ < a”|a′ > .

D’altra parte, il prodotto scalare di (2.23) per il ket |a” > da < a”|A|a′ >=a′ < a”|a′ >, e la differenza fra queste due relazioni e

0 = (a′ − a”∗) < a”|a′ > . (2.24)8Le osservabili sono operatori Hermitiani, ma non e vero il viceversa.

2.8 Autovalori e autoket 31

Di conseguenza, se a′ = a”, otteniamo

a′ = a′∗ = reale,

perche < a′|a′ > > 0, e se a′ 6= a”, vediamo che gli autoket associati adautovalori diversi sono ortogonali

< a”|a′ >= 0, se a′ 6= a”.

Abbiamo quindi dimostrato che, per un operatore Hermitiano,

1. gli autovalori sono reali;

2. gli spettri degli autovalori, relativi ai ket e ai bra, sono identici;

3. autoket associati ad autovalori distinti sono ortogonali e possono esserenormalizzati

< a”|a′ >= δa”a′ . (2.25)

Se ogni vettore di norma finita puo essere sviluppato in serie 9 di questiautoket, si dice che essi formano un sistema completo e che l’operatoreHermitiano, come osservabile, ha una interpretazione fisica. Il numero diautoket, in tal caso, e pari alle dimensioni n dello spazio degli stati e, persemplificare la scrittura, adottiamo ora una notazione alternativa indican-doli con il simbolo |a(i) >, dove i = 1, 2, . . . , n, e a(i) saranno gli autovalorireali corrispondenti: A|a(i) >= a(i)|a(i) >. La condizione che gli |a(i) >siano ortogonali e normalizzati, ovvero ortonormali, assume la forma

< a(i)|a(j) >= δij , (2.26)

e questi autoket costituiscono una base nello spazio vettoriale complesso.Essendo autoket dell’operatore A, diremo che essi sono i vettori di basedella rappresentazione A.

Un ket |β> arbitrario potra essere sviluppato su questa base

|β>=n∑

i=1

bi|a(i) >, (2.27)

con bi numeri complessi. Il prodotto scalare di (2.27) con l’autoket |a(j) >da, ricordando l’ortonormalita della base (2.26),

< a(j)|β>= bj ,

9Si trattera di un integrale nel caso di uno spettro continuo

32 Lo spin

e, quindi

|β>=∑

i

|a(i) >< a(i)|β>=∑

i

(|a(i) >< a(i)|)|β>, (2.28)

avendo usato la proprieta associativa della moltiplicazione. L’arbitrarieta di|β> permette di ricavare da (2.28) una importante relazione

n∑i=1

|a(i) >< a(i)| = 1, (2.29)

nota come relazione di completezza o di chiusura. Nel seguito, useremomolto spesso le equazioni (2.26) e (2.29) che sono le equazioni fondamen-tali della rappresentazione A. L’operatore identita, 1, puo essere inseritoovunque senza cambiare il risultato, per esempio

<β|β>=<β|(∑

i

|a(i) >< a(i)|)|β>=

=∑

i

< a(i)|β>∗< a(i)|β>=∑

i

| < a(i)|β> |2,

da cui, se |β> in (2.27) e normalizzato ad uno, si ottiene∑i

|bi|2 =∑

i

| < a(i)|β> |2 = 1.

L’operatore |a(i) >< a(i)| e lineare ed Hermitiano e, applicato ad ungenerico ket |α> seleziona la parte di |α> parallela ad |a(i) >. Per questaragione e chiamato operatore di proiezione o proiettore, e se definiamo il sim-bolo Pi per esso, Pi ≡ |a(i) >< a(i)|, vediamo che gli operatori di proiezionehanno la seguente proprieta

PiPj = δijPj , (2.30)

che discende dall’ortonormalita della base. La relazione di completezza puoessere riscritta come

PA =n∑

i=1

|a(i) >< a(i)| =n∑

i=1

Pi = 1, (2.31)

e l’operatore PA proietta tutto lo spazio dei ket e realizza la decomposizionedell’unita rispetto agli autovalori di A.

2.9 Matrici 33

2.9 Ket e operatori come matrici

Nella rappresentazione A, in cui A|a(i) >= a(i)|a(i) > (i = 1, 2, . . . , n), perogni ket |α > si ha

|α>= PA|α>=n∑

i=1

|a(i) >< a(i)|α>, (2.32)

come abbiamo visto, e le quantita < a(i)|α > possono essere consideratecome gli elementi di una matrice ad una colonna di cui i e l’indice di riga.La conoscenza di questa matrice determina completamente il ket |α> nellabase data. Analogamente, per ogni bra <β| si ha

<β| =<β|PA =n∑

i=1

<β|a(i) >< a(i)|, (2.33)

e le quantita <β|a(i) >, complesse coniugate delle componenti del ket |β>,< a(i)|β >, possono essere considerate come gli elementi di una matricead una riga ed n colonne, essendo ora i l’indice di colonna. Con questaconvenzione, il bra, coniugato duale di un ket dato, e rappresentato dalcomplesso coniugato del trasposto 10 del vettore che rappresenta questo ket.Se calcoliamo, con questa convenzione, il prodotto scalare di due ket

<β|α>=<β|PA|α>=∑

i

<β|a(i) >< a(i)|α>,

otteniamo un numero complesso, prodotto di una matrice ad una riga ed ncolonne per una matrice con n righe e una colonna.

Anche gli operatori possono essere rappresentati mediante matrici, inquesto caso si tratta di matrici quadrate (n×n). Ogni operatore lineare, B,puo essere scritto nella forma

B = PABPA =∑

i

∑k

|a(i) >< a(i)|B|a(k) >< a(k)|, (2.34)

e ci sono n2 numeri (in generale complessi) della forma < a(i)|B|a(k) >, doven e la dimensione dello spazio dei ket. Possiamo disporre questi numeri inuna matrice quadrata in cui i e l’indice di riga e k l’indice di colonna. Lamatrice Bik =< a(i)|B|a(k) > rappresenta l’operatore B nella base definitadagli autoket di A. La relazione (2.20), che definisce l’operatore aggiunto

<α|B†|β>=<β|B|α>∗,10La matrice trasposta di una matrice M , MT , si ottiene da M tramite lo scambio delle

righe con le colonne(MT )kl = Mlk.

34 Lo spin

puo essere riscritta nella forma

B†ik =< a(i)|B†|a(k) >=< a(k)|B|a(i) >∗= B∗

ki (2.35)

per gli elementi di matrice. La matrice che rappresenta l’operatore aggiunto,B†, si ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta della matriceche rappresenta B. Tutti i prodotti definiti per i vettori e gli operatori sonorappresentati dai prodotti delle matrici corrispondenti. Cosı, il prodotto didue operatori F = BC e rappresentato dagli elementi di matrice

< a(i)|F |a(k) >=< a(i)|BPAC|a(k) >=∑

l

< a(i)|B|a(l) >< a(l)|C|a(k) >,

cioe dagli elementi della matrice, prodotto delle matrici corrispondenti a Be C. Analogamente, l’equazione <γ| =<α|B puo essere espressa come unarelazione fra matrici

<γ|a(i) >=∑

k

<α|a(k) >< a(k)|B|a(i) > .

Nella rappresentazione A, la forma della matrice associata all’opera-tore A e particolarmente semplice perche A|a(i) >= a(i)|a(i) > e

< a(i)|A|a(k) >= a(k) < a(i)|a(k) >= a(k)δik. (2.36)

Quindi la matrice che rappresenta A, nella base dei suoi autoket e diagonalee l’equazione

A = PAAPA =∑

i

a(i)|a(i) >< a(i)| =∑

i

a(i)Pi, (2.37)

e chiamata decomposizione spettrale dell’operatore Hermitiano A. Primadi mostrare con un esempio l’utilita della (2.37), e importante sottolineareil fatto che, mentre un operatore e definito indipendentemente dalla sceltadella base, la sua rappresentazione matriciale dipende dalla scelta partico-lare della base di ket usata. E conveniente quindi usare una notazione chedistingue fra l’operatore e la sua rappresentazione matriciale.

Consideriamo, come esempio, un sistema di spin 1/2 per il quale avevamointrodotto la base costituita dai ket |+> e |−>, autoket di Sz con autovalori±~/2,

Sz|±>= ±~2|±> . (2.38)

La scelta di una base ortonormale implica che < +|+ >=< −|− >= 1 e<+|−>=<−|+>= 0. La relazione di chiusura (2.29)

|+><+|+ |−><−| = 1,

2.10 Cambiamento di base 35

assicura la completezza della base, cioe che ogni stato, rappresentato dal ket|α>, puo essere scritto come sovrapposizione di |+> e |−>

|α>= c1|+> +c2|−>,

con c1 =< +|α > e c2 =< −|α > numeri, in generale, complessi. Ladecomposizione spettrale (2.37) permette di scrivere Sz nella forma

Sz =~2(|+><+| − |−><−|). (2.39)

Nel costruire le matrici che rappresentano gli operatori momento angolare sie soliti associare gli indici di riga, e di colonna, alle componenti del momen-to angolare in ordine decrescente, cioe l’indice 1 corrisponde alla massimacomponente del momento angolare, l’indice 2 a quella immediatamente piubassa e cosı via. Nel caso di spin 1/2, otteniamo dalle equazioni (2.32) e(2.33)

|+ >.=(

10

), |− > .=

(01

),

e<+| .= ( 1 0 ), <−| .= ( 0 1 ),

mentre l’equazione (2.34) permette di associare una matrice a Sz

Sz.=

~2

(1 00 −1

).

Il simbolo .= sta per ”e rappresentato da” e ci ricorda che vettori e opera-tori non vanno identificati con le matrici che li rappresentano in una baseparticolare.

2.10 Cambiamento di base

Una rappresentazione A definisce, tramite gli autoket dell’operatore A,una base nello spazio vettoriale complesso e presenta una certa analogia conl’introduzione di un sistema di coordinate nello spazio euclideo ordinario.Alle rotazioni dei sistemi di coordinate della geometria analitica corrispon-deranno trasformazioni, da una rappresentazione ad un’altra, nello spaziodegli stati della meccanica quantistica. Nell’esempio, alla fine del precedenteparagrafo, abbiamo considerato la rappresentazione Sz ma avremmo po-tuto usare la rappresentazione Sx in cui i ket di base sono |±>x. I duediversi insiemi di vettori formano una base nello stesso spazio e siamo inte-ressati a trovare come le due descrizioni sono legate fra loro o, in altre parole,a studiare come si realizza un cambiamento di base o di rappresentazione.

36 Lo spin

In una rappresentazione A, in cui i ket di base sono gli autoket |a(i) >dell’operatore A, un ket generico |γ> e sviluppato secondo la (2.28)

|γ>=∑

i

|a(i) >< a(i)|γ> .

In un’altra rappresentazione B, in cui la base e definita dagli autoket|b(i) > di B, il ket |γ> si scrivera come

|γ>=∑

i

|b(i) >< b(i)|γ> .

Ambedue le basi sono ortonormali

< a(i)|a(j) >= δij , < b(i)|b(j) >= δij ,

e complete ∑i

|a(i) >< a(i)| =∑

i

|b(i) >< b(i)| = 1.

Con l’aiuto di queste relazioni si puo stabilire qual’e il legame fra le duerappresentazioni

< b(i)|γ>=< b(i)|PA|γ >=∑

j

< b(i)|a(j) >< a(j)|γ> . (2.40)

I numeri complessi < b(i)|a(j) > sono i coefficienti della trasformazione cherealizza il cambiamento di rappresentazione da A a B. L’ortonormalitae la completezza di entrambe le basi mostra che∑

i

< a(j)|b(i) >< b(i)|a(k) >=< a(j)|a(k) >= δjk, (2.41)

e ∑j

< b(i)|a(j) >< a(j)|b(k) >=< b(i)|b(k) >= δik. (2.42)

La matrice, che nella base |a(i) > ha elementi Uji =< a(j)|b(i) >, connettela vecchia base con la nuova e soddisfa le condizioni (2.41) e (2.42)∑

i

UjiU†ik = δjk,

∑j

U †ijUjk = δik,

cioe la matrice |Uij | e unitaria. L’operatore U , definito dalla |b(i) >=U |a(i) > per ogni i, che fa passare dalla base |a(i) > alla nuova base |b(i) >,e U =

∑k |b(k) >< a(k)|. L’operatore U e unitario

UU † = U †U = 1 (2.43)


e, chiaramente, < a(j)|U |a(i) >=< a(j)|b(i) >. Notiamo che l’equazione(2.40) puo essere riscritta come

< b(i)|γ>=∑

j

< a(i)|U †|a(j) >< a(j)|γ>, (2.44)

ed e facile ottenere la relazione tra i vecchi elementi di matrice ed i nuoviper un operatore C,

< b(k)|C|b(l) >=∑m

∑n

< b(k)|a(m) >< a(m)|C|a(n) >< a(n)|b(l) >=

∑m

∑n

< a(k)|U †|a(m) >< a(m)|C|a(n) >< a(n)|U |a(l) >,

che rappresenta una trasformazione di similitudine per l’operatore C

C ′ = U †CU. (2.45)

In questo cambiamento di rappresentazione, alcune proprieta caratteristichedella matrice < a(m)|C|a(n) > restano inalterate; il determinante, la traccia,gli autovalori di questa matrice non cambiano. Sia infatti

C|c(i) >= c(i)|c(i) >, (2.46)

l’equazione agli autovalori per l’operatore C, che supponiamo Hermitiano.Nella rappresentazione A, la (2.46) diventa∑

j

< a(k)|C|a(j) >< a(j)|c(i) >= c(i) < a(k)|c(i) >, (2.47)

e, come equazione fra matrici, e un insieme di n equazioni lineari e omogenee,nelle incognite < a(k)|c(i) > che possiede soluzioni non banali se, e solo se,

det(Ckj − λδkj) = 0. (2.48)

Questa equazione di grado n nell’incognita λ e chiamata equazione secolare ocaratteristica, essa possiede n radici reali 11 e, se le radici sono tutte distinte,fornisce n autoket linearmente indipendenti tramite le loro componenti sullabase |a(i) >. Le n radici di (2.48), λ = c(i), sono gli autovalori di C. Laproprieta dei determinanti

det (MN) = det M det N,

e la trasformazione (2.45) mostrano che gli autovalori sono indipendenti dallarappresentazione

det (C ′ − λ1) = det [U †(C − λ1)U ] = det (C − λ1) = 0,11C e Hermitiano per ipotesi.

38 Lo spin

perche UU † = 1. Inoltre, se sviluppiamo l’equazione secolare (2.48) inpotenze di λ

(−λ)n + (TrC)(−λ)n−1 + . . .+ det C = 0, (2.49)

il coefficiente di ogni potenza di λ deve essere indipendente dalla scelta dellarappresentazione. L’equazione (2.49) ci permette di concludere che

Tr C =∑

i

c(i), det C =∏

i

c(i).

Scegliamo ora un autovalore c(1), soluzione dell’equazione caratteristi-ca (2.48), e calcoliamo il corrispondente autoket. Supponiamo che c(1) siauna radice semplice dell’equazione caratteristica e riscriviamo il sistema diequazioni (2.47) nella forma∑

j

(Ckj − δkj c(1)) < a(j)|c(1) >= 0, (2.50)

che mette in evidenza il fatto che il sistema comprende (n − 1) equazionilinearmente indipendenti; la n-esima discende dalle precedenti e quindi eautomaticamente soddisfatta. Ma abbiamo n incognite, quindi il sistema hainfinite soluzioni, e tutte le < a(k)|c(1) > (k = 1, . . . , n) possono esseredeterminate univocamente se fissiamo una di esse, per esempio < a(1)|c(1) >.Otteniamo allora un sistema di (n− 1) equazioni lineari non omogenee, condeterminante non nullo, perche le (n − 1) equazioni sono indipendenti e,a membro destro di ognuna di esse, compare il termine con k = 1. Gliautoket associati a c(1) differiscono solo per il valore scelto per < a(1)|c(1) > epossiamo dire che, a meno di un fattore costante, un solo autoket corrispondea questo autovalore. Se l’autoket e normalizzato ad uno, questo fattorecostante diventa un fattore di fase. Questa operazione deve essere ripetutaper ogni autovalore e, alla fine, fornira una base ortonormale e completa. Sipuo dimostrare che questo e vero anche in presenza di autovalori ripetuti (odi degenerazione).

Notiamo che, se due operatori A e B commutano, gli autoket di A sonoanche autoket di B. Infatti, se [A,B] = 0,

< a(i)|[A,B]|a(j) >= (a(i) − a(j)) < a(i)|B|a(j) >= 0,

e quindi < a(i)|B|a(j) >= 0 per ogni coppia (i, j) per cui a(i) 6= a(j). Se nonc’e degenerazione, l’operatore B e rappresentato da una matrice diagonalenella rappresentazione A:

B =∑

k

|a(k) >< a(k)|B|a(k) >< a(k)|,


e

B|a(i) >=∑

k

|a(k) >< a(k)|B|a(k) >< a(k)|a(i) >=< a(i)|B|a(i) > |a(i) > .

(2.51)La (2.51) non e altro che l’equazione agli autovalori per l’operatore B, gliautovalori di B sono

b(i) =< a(i)|B|a(i) >

e possiamo indicare con il simbolo |a(i)b(i) > un autoket simultaneo di A e B.Questa possibilita sara considerata, piu in dettaglio, nel prossimo capitolo.

Problema. Studiare il problema agli autovalori per un operatore unitario U .

Soluzione

Un generico operatore unitario puo sempre essere scritto nella forma

U =U + U†

2+ i

U − U†

2i= A+ iB,

dove A e B sono entrambi Hermitiani. A e B commutano, perche U commutacon U† per la (2.43), e i loro autoket comuni |a′b′ > sono anche autoket di U conautovalori

u′ = a′ + ib′ (a′, b′ reali).

Si ha anche

A2 +B2 =14(U + U†)2 − 1

4(U − U†)2 = U†U = 1,

da cui otteniamo che a′2 + b′2 = 1 e, quindi, gli autovalori di U hanno modulo unoe, ponendo a′ = cos c′ e b′ = sin c′, possono essere scritti nella forma

u′ = eic′. (2.52)

Una conseguenza importante della (2.52) si ottiene definendo un operatore C conautovalori c′ e autoket |c′ >= |a′b′ >. Essendo questa una base completa, avremoper U la decomposizione spettrale

U =∑c′

eic′|c′ >< c′| = eiC . (2.53)

Ogni operatore unitario puo essere espresso, tramite un operatore Hermitiano, conuna relazione della forma (2.53).

Il formalismo descritto in questi paragrafi deve essere completato conuna discussione del caso in cui e presente una degenerazione, piu autoket

40 Lo spin

corrispondono allo stesso autovalore, e dello spettro continuo. Ambeduequesti problemi verranno affrontati nel prossimo capitolo.

Bibliografia consigliata: [5], [4], [6].

Capitolo 3

Interpretazione fisica delformalismo generale

3.1 Misure

Il postulato sulla misura di una grandezza fisica, enunciato all’inizio del pri-mo capitolo, non e di facile interpretazione e richiede alcune precisazioni. Inparticolare, cosa significa l’affermazione che ”i soli valori che puo assumereuna grandezza fisica A sono quelli dello spettro degli autovalori dell’opera-tore (osservabile) ad essa associato” ?. Prima di fare una misura dell’osserv-abile A, il sistema e rappresentato da un ket che possiamo scrivere comecombinazione lineare di autoket di A

|α >=∑a′

|a′ >< a′|α >, (3.1)

A|a′ >= a′ |a′ > essendo l’equazione agli autovalori per l’operatore A. Lamisura, di solito 1, cambia lo stato del sistema che ”precipita” in uno degliautoket dell’osservabile A, |a′ > per esempio,

|α > quando si misura A =⇒ |a′ > . (3.2)

In questo caso, diciamo che l’autovalore a′, corrispondente all’autoket |a′ >,e il risultato della misura di A. Si tratta di un cambiamento non causale,una perturbazione non controllabile provocata dall’interazione del sistemacon l’apparato di misura. Pensiamo quindi di poter eseguire una misura i-deale in cui tutti gli effetti, dovuti alle condizioni particolari in cui la misurae stata fatta, possono essere trascurati e solo la perturbazione non con-trollabile, specifica dei fenomeni quantistici, entra in gioco. In una misuraideale, l’apparato di misura funziona come un ”filtro perfetto” e seleziona

1La sola eccezione si verifica quando lo stato del sistema e gia un autostato dellaosservabile che viene misurata.

42 Interpretazione fisica

solo una componente dello sviluppo (3.1). In questo senso, l’apparato diStern-Gerlach fornisce una misura ideale dello spin degli atomi d’argento.

La seconda parte, del postulato della misura, afferma che la probabilitache il sistema salti in qualche particolare autoket di A, |a′ >, e data da

Probabilita che il risultato sia a′ = | < a′|α > |2, (3.3)

se |α > e normalizzato: < α|α >= 1, altrimenti il membro destro di (3.3)deve essere diviso per < α|α >. L’equazione (3.3) definisce una distribuzionestatistica delle misure della grandezza fisica A, associata all’osservabile A.Sperimentalmente, questa distribuzione corrisponde alla distribuzione deirisultati ottenuti quando si effettua la misura di A su un gran numero disistemi fisici preparati in modo identico, indipendenti e che si trovano, all’is-tante della misura, nello stesso stato dinamico. Tutti i sistemi sono carat-terizzati, all’inizio del processo di misura, dallo stesso ket |α > e definisconocio che si chiama un insieme puro. Un esempio di insieme puro e fornitodagli atomi d’argento , tutti nello stato |+ >, che escono da un apparato diStern-Gerlach SGz con la componente |− > bloccata.

L’interpretazione probabilistica della misura, data da (3.3), e uno deipostulati fondamentali della meccanica quantistica ed e in accordo con leproprieta generali di una probabilita, definita come rapporto fra il numero dicasi favorevoli al verificarsi di un certo evento e il numero di casi possibili. Laprobabilita di un qualsiasi evento deve essere positiva , o nulla, e la sommadelle probabilita, relative a tutte le possibili alternative, deve essere uno.Entrambe queste condizioni sono soddisfatte da (3.3). Ritroviamo anche ilpostulato di ”riduzione del pacchetto d’onda” perche, se |α > coincide con|a′ >, la probabilita di ottenere a′, come risultato della misura, e uno mentree nulla, per ogni altro autovalore a” 6= a′, a causa dell’ortogonalita tra |a′ >e |a” >.

Ad ogni stato dinamico del sistema corrisponde una certa distribuzionestatistica dei valori che possono assumere le variabili dinamiche che carat-terizzano lo stato. Conoscendo, da (3.3), questa distribuzione statisticapossiamo definire il valore di aspettazione, o valor medio, di A nello stato|α >, che supponiamo normalizzato ad uno,

< A >=< α|A|α > (3.4)

e, per una funzione qualunque, F (A), di una osservabile data A,

< F (A) >=< α|F (A)|α > . (3.5)

Qualunque sia F (A), l’espressione (3.5) non cambia se moltiplichiamo il ket|α > per un fattore di fase exp(iφ) arbitrario (φ e reale). Ad ogni stato

3.2 Applicazioni 43

dinamico corrisponde un vettore definito a meno di un fattore di fase o, inaltre parole, lo stato e definito da un raggio nello spazio degli stati, comeabbiamo gia visto nel primo capitolo.

Possiamo riscrivere la definizione (3.4) nella forma

< A >=∑a′

∑a”

< α|a” >< a”|A|a′ >< a′|α >=

=∑a′

a′ | < a′|α > |2, (3.6)

essendo < a”|A|a′ >= a′ < a”|a′ >= a′ δa′ a”. L’ultima riga dell’equazione(3.6) e in accordo con la nostra nozione intuitiva di valore medio comesomma dei prodotti dei valori misurati, a′, per la probabilita di ottenerli. E’importante distinguere gli autovalori di una osservabile dai suoi valori medi.Misurando Sz di un atomo d’argento, con l’apparato di Stern-Gerlach, irisultati possibili sono ± ~/2 ma il valore medio di Sz, < Sz >, che risultadalla misura su molti atomi, puo assumere ogni valore reale compreso fra−~/2 e +~/2.

3.2 Applicazione dei postulati della misura ai sis-temi di spin 1/2

I postulati della meccanica quantistica, discussi nel paragrafo precedente,permettono di determinare gli autoket |± >x e |± >y degli operatori Sx e Sy

e di confermare i risultati gia ottenuti per analogia con la polarizzazione dellaluce. In un esperimento di Stern-Gerlach sequenziale, prepariamo dapprimaun fascio di atomi di spin 1/2, tutti nello stato |+ >x, e facciamo quindipassare il fascio attraverso un dispositivo SGz. Otteniamo due componenti,|± >, di eguale intensita e cio significa che le probabilita di ottenere gliautovalori ±~/2 di Sz sono le stesse e pari a 1/2. Dalla (3.3) abbiamo che

| < +|+ >x | = | < −|+ >x | =1√2

(3.7)

e, a meno di una inessenziale fase globale,

|+ >x=1√2|+ > +

1√2eiδ1 |− >, (3.8)

con δ1 reale. Il ket |− >x deve essere ortogonale a |+ >x, perche le duealternative si escludono a vicenda, e questa condizione porta a

|− >x=1√2|+ > − 1√

2eiδ1 |− >, (3.9)


sempre a meno di una fase globale.

Possiamo anche costruire l’operatore Sx, dalla sua decomposizione spet-trale

Sx =(

+~2

)|+ >x x< +| +

(−~

2

)|− >x x< −|,

e, inserendo le equazioni (3.8) e (3.9),

Sx =~2

[e−iδ1 |+ >< −|+ eiδ1 |− >< +|

](3.10)

che determina l’operatore Hermitiano Sx nella base degli autoket di Sz.Ripetendo lo stesso ragionamento per Sy, si ottiene

|± >y=1√2|+ > ± 1√

2eiδ2 |− > (3.11)

eSy =

~2

[e−iδ2 |+ >< −|+ eiδ2 |− >< +|

](3.12)

con δ2 reale, ma diverso da δ1.

Se consideriamo un fascio di atomi di spin 1/2, che si muovono nelladirezione z, e eseguiamo un esperimento SGx seguito da SGy, dovremoavere in analogia con (3.7)

|y < ±|+ >x | = |y < ±|− >x | =1√2, (3.13)

perche il fascio |± >x si scinde in due componenti con la stessa intensitanella misura di Sy, e quindi le due probabilita devono avere lo stesso valore.Calcoliamo ora, usando (3.8) e (3.11), y < ±|+ >x

y < ±|+ >x=12

(< +| ± e−iδ2 < −|

)·(|+ > +eiδ1 |− >

)=

=12

(1± ei(δ1−δ2)

),

e sostituiamo questo risultato in (3.13), ottenendo

12

∣∣∣1± ei(δ1−δ2)∣∣∣ = 1√

2,

che e equivalente a √1± cos(δ1 − δ2) = 1. (3.14)

Vediamo che deve essereδ1 − δ2 = ±π

2(3.15)

3.2 Applicazioni 45

e che l’introduzione dei numeri complessi appare come un aspetto essenzialedella meccanica quantistica. Se, infatti, scegliamo opportunamente la faseglobale nella definizione degli autoket di Sz, |± >, possiamo porre δ1 =0, mentre la scelta di δ2, δ2 = ±π/2, e legata alla scelta del sistema dicoordinate: levogiro o destrogiro. La scelta corretta, per un sistema dicoordinate levogiro, risulta essere δ2 = π/2. Per riassumere, abbiamo

|± >x=1√2|+ > ± 1√

2|− >, (3.16)

e|± >y=

1√2|+ > ± i√

2|− >, (3.17)

mentre

Sx =~2[|+ >< −|+ |− >< +|], (3.18)

e

Sy =~2[−i |+ >< −|+ i |− >< +|]. (3.19)

Notiamo che i risultati (3.16) e (3.17) sono in accordo con quanto trovatoprecedentemente perche solo la fase relativa fra |+ > e |− > ha significa-to fisico. Nella base dei suoi autoket, l’operatore Sz e diagonale ed ha laseguente decomposizione spettrale

Sz =~2[|+ >< +| − |− >< −|]. (3.20)

A questo punto diventa particolarmente interessante e semplice intro-durre il formalismo a due componenti di Pauli per i sistemi di spin 1/2.Nella rappresentazione matriciale dei ket, bra e operatori abbiamo la cor-rispondenza per i ket di base (autoket di Sz)

|+ >.=(

10

)e |− > .=

(01

), (3.21)

mentre, per un arbitrario ket di stato, si avra

|α > .=(< +|α >< −|α >

), (3.22)

e, analogamente, i bra saranno rappresentati da matrici ad una riga e duecolonne. La matrice colonna (3.22) e chiamata spinore a due componenti esi puo scrivere nella forma

|α > .=(c+c−

)≡ χ, < α| .=

(c∗+ c∗−

)≡ χ†, (3.23)


dove c+ e c− sono, in generale, numeri complessi. Dalle equazioni (3.18),(3.19) e (3.20) si trovano immediatamente le matrici che rappresentano glioperatori di spin Sk (k = 1, 2, 3 ovvero x, y, z) e, ponendo

Sk.=

~2σk,

si ottiene

σx =(

0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

), (3.24)

che sono le famose matrici di Pauli. In questo formalismo, il valor medio< Sk > puo essere espresso tramite χ e σk:

< Sk >=< α|Sk|α >=∑a′=±

∑a”=±

< α|a′ >< a′|Sk|a” >< a”|α >=

=~2χ†σkχ. (3.25)

Alcune proprieta della matrici di Pauli sono evidenti

Tr(σi) = 0, det(σi) = −1, σ2i = 1. (3.26)

L’ultima equazione delle (3.26), insieme alla proprieta σ†i = σi, mostra chele matrici di Pauli sono sia unitarie che Hermitiane. L’Hermiticita e legataal fatto che gli operatori Sk sono osservabili. Da (3.24), o dalle equazioni(3.18), (3.19) e (3.20), troviamo anche le regole di commutazione 2

[σi, σj ] = 2iεijkσk, (3.27)

che si traducono nelle corrispondenti regole per gli operatori di spin

[Si, Sj ] = i~εijk Sk, (3.28)

e le relazioni di anticommutazione

σi, σj = 2δij . (3.29)

Problema. Dimostrare l’identita

(σ · a)(σ · b) = a · b + iσ · (a× b),

dove a e b sono vettori tridimensionali che commutano con σ.2La somma sugli indici ripetuti e implicita.

3.2 Applicazioni 47

Soluzione

Si ha(σ · a)(σ · b) =

∑j

σjaj

∑k

σkbk =

=12

∑j,k

ajbk(σj , σk+ [σj , σk]).

Dalle (3.27) e (3.29) si ottiene

(σ · a)(σ · b) =∑j,k,l

ajbk(δjk + iεjklσl) =

= a · b + iσ · (a× b).

Le relazioni di commutazione (3.28) sono quelle di un qualsiasi momentoangolare. Ricordiamo che, per l’operatore momento angolare orbitale L, adesempio, valgono le relazioni di commutazione

[Li, Lj ] = i~εijkLk.

Le relazioni di anticommutazione (3.29), invece, costituiscono una proprietapeculiare dello spin 1/2.

Possiamo anche definire gli operatori S = Sxx + Syy + Sz z e S2 =S2

x + S2y + S2

z . Dalla (3.29), moltiplicando per ~2/4, otteniamo

Si, Sj =~2

2δij ,

da cui S2i = ~2/4; l’operatore S2 risulta essere un multiplo dell’operatore

identitaS2 =

34

~21

e, quindi, commuta con tutte le componenti di S

[S2, Sj ] = 0.

Problema. In presenza di una interazione spin-orbita, nell’Hamiltonianocompare un termine della forma L · S. L non e piu una costante del motoperche non commuta con l’Hamiltoniano. Mostrare che il momento angolaretotale J = L + S commuta con L · S.

Soluzione


Consideriamo la componente Jz e il suo commutatore con S · L, ricordando che[S,L] = 0 perche l’operatore L agisce solo sulle coordinate x, y, z mentre S mescolale componenti di uno spinore,

[S · L, Jz] = S · [L, Lz] + [S, Sz] · L =

−i~SxLy + i~SyLx − i~SyLx + i~SxLy = 0.

In modo analogo, si puo dimostrare la commutativita per le altre componenti diJ.

3.3 Osservabili compatibili e incompatibili

Due osservabili A e B si dicono compatibili se gli operatori, A e B, commu-tano

[A,B] = 0 (3.30)

e incompatibili quando[A,B] 6= 0. (3.31)

Per esempio, S2 e Sz sono osservabili compatibili mentre Sx e Sz sono osser-vabili incompatibili. Se l’equazione (3.30) e soddisfatta e |a′ > e un autoketcomune di A e B, allora si ha anche [A,B]|a′ >= 0 ed e possibile dimostrareil teorema:Se due osservabili commutano, esse possiedono un insieme ortonormale com-pleto di autoket comuni e, viceversa, l’esistenza di un insieme comune ecompleto di autoket assicura la commutativita delle due osservabili.

Fisicamente, questo significa che le variabili dinamiche rappresentate daqueste due osservabili possono essere definite, in modo preciso, simultanea-mente: sono delle variabili compatibili. In particolare, e possibile effettuaresimultaneamente una misura ideale delle variabili A e B e il ket di stato,dopo la misura, sara un autoket comune di A e B.

Dimostriamo dapprima che, se A e B sono osservabili compatibili e gliautovalori di A (|a′ >) sono non degeneri, gli elementi di matrice< a”|B|a′ >sono diagonali

< a”|B|a′ >= δa′ a” < a′|B|a′ > . (3.32)

Infatti

< a”|[A,B]|a′ >=< a”|(AB −BA)|a′ >= (a”− a′) < a”|B|a′ >= 0

quindi < a”|B|a′ > deve annullarsi, a meno che a” = a′, e questo proval’equazione (3.32). Cosı A e B possono essere rappresentate da matricidiagonali con lo stesso insieme di ket di base, gli autoket di A. Allora

B =∑a′

∑a”

|a′ >< a′|B|a” >< a”| =∑a”

|a” >< a”|B|a” >< a”|

3.3 Osservabili compatibili e incompatibili 49

e, facendo agire B su un autoket di A, si ha

B|a′ >=∑a”

|a” >< a”|B|a” >< a”|a′ >= (< a′|B|a′ >) · |a′ > . (3.33)

Ma (3.33) e proprio l’equazione agli autovalori per l’operatore B, con auto-valore

b′ ≡< a′|B|a′ >, (3.34)

e, percio, il ket |a′ > e un autoket simultaneo di A e B e lo possiamo indicarecon |a′, b′ > perche

A|a′, b′ >= a′|a′, b′ >, (3.35)

eB|a′, b′ >= b′|a′, b′ > . (3.36)

Viceversa, se A e B posiedono un insieme ortonormale e completo di autoketcomuni, si ha

AB|a′, b′ >= a′b′|a′, b′ >= BA|a′, b′ > (3.37)

e[A,B]|a′, b′ >= 0,

che, essendo vera per ogni ket della base 3, vale anche in senso operatoriale,cioe [A,B] = 0.

Possiamo ora affrontare un problema importante, legato al concettodi degenerazione, che avra una soluzione semplice in base al teorema ap-pena dimostrato. Un operatore Hermitiano A puo avere due o piu au-tovalori coincidenti (degeneri), cioe piu autoket linearmente indipenden-ti possono appartenere allo stesso autovalore. Supponiamo, per esempio,che un autovalore a′ corrisponda a due autoket linearmente indipendenti enormalizzati:

A|a′1 >= a′|a′1 >, A|a′2 >= a′|a′2 > .

Evidentemente, qualsiasi combinazione lineare λ|a′1 > +µ|a′2 > e pure unautoket di A con autovalore a′.

Poiche gli autoket di un operatore Hermitiano A formano un insiemeortonormale completo, e possibile usare questo insieme di autoket come ketdi base caratterizzandoli con gli autovalori corrispondenti. Tuttavia, se epresente una degenerazione, piu autoket appartengono ad un particolareautovalore e il simbolo |a′ > non e sufficiente per caratterizzare il ket. Ma,se potessimo trovare un secondo operatore Hermitiano B, che commuta conA e tale che il sistema di autoket comuni |a′, b′ > sia unico, allora avrem-mo risolto il nostro problema e, in tal caso, diremo che A e B formano un

3Puo succedere che (3.37) sia vera in un sottospazio dei ket anche se A e B non sonocompatibili. Per esempio, uno stato con ` = 0 (stato S), e autostato simultaneo di Lx eLz, anche se Lx e Lz non commutano, con autovalore zero per entrambi gli operatori.


insieme completo di osservabili compatibili. Altrimenti, si dovra trovare unterzo osservabile C, che commuta con A e B, e cosı via, finche gli autoketcomuni siano caratterizzati in modo univoco. In generale, diremo che leosservabili A,B, . . . , G formano un insieme completo di di osservabili com-patibili se esse possiedono un insieme completo di autoket comuni e uno solo.In altre parole, ogni autoket |a′, b′, . . . , g′ > e caratterizzato univocamentedagli autovalori di queste osservabili 4.

In un esperimento si dovra preparare il sistema effettuando su di esso lamisura simultanea di un insieme completo di osservabili compatibili, il suostato dinamico sara cosı completamente determinato all’istante iniziale. Lostato del sistema cambiera poi, secondo l’equazione di Schrodinger, in mo-do noto e, successivamente, si potra prevedere esattamente la distribuzionestatistica dei risultati di una data misura.

Consideriamo, ora, le osservabili incompatibili che, come abbiamo vis-to, non possono avere un insieme completo di autoket in comune. Misuresuccessive di osservabili che non commutano cambiano, in generale, il ketdi stato del sistema e presentano alcune peculiarita che posssiamo chiariretramite un esempio. Pensiamo ad una successione di misure ideali, di tre os-servabili non compatibili A, B, C, che generalizzi gli esperimenti sequenzialidi Stern e Gerlach, considerati nel secondo capitolo, nel senso che, in ognimisura, si seleziona un solo autoket dell’osservabile corrispondente. Unoschema dell’apparato e mostrato in Fig. 3.1.

- A- B

-C

-|a′ > |b′ > |c′ >

Figura 3.1: Misure ideali in successione di osservabili incompatibili.

Supponiamo che sia normalizzata ad uno l’intensita del fascio che escedal primo dispositivo, che misura A. Allora, l’intensita del fascio finale, o laprobabilita di ottenere |c′ >, e il prodotto delle probabilita

| < c′|b′ > |2 · | < b′|a′ > |2 (3.38)

Sommiamo, ora, su b′ per calcolare la probabilita di ottenere c′, come risul-tato dell’ultima misura, indipendentemente dal risultato della misura di B.

4Un esempio semplice e fornito dal momento angolare orbitale. Gli autovalori di L2 eLz sono, rispettivamente, ~2`(`+1) e ~m; per caratterizzare il momento angolare orbitale,e necessario specificare sia ` che m: |`, m >.

3.3 Osservabili compatibili e incompatibili 51

B funziona sempre come un filtro perfetto e si ripete la misura per ogni auto-valore di B, bloccando tutti gli altri. Cio significa che si considera la sommadelle probabilita di ottenere c′ per ogni possibile risultato della misura idealedi B. Si ottiene cosı∑

b′

| < c′|b′ > |2| < b′|a′ > |2 =∑b′

< c′|b′ >< b′|a′ >< a′|b′ >< b′|c′ >,

(3.39)e possiamo vedere come l’effettiva registrazione delle probabilita, di passareattraverso le diverse vie b′, influisca sul risultato che otteniamo nella misuradi C. Sarebbe infatti errato pensare che, avendo sommato su tutti i pos-sibili risultati della misura di B, l’espressione (3.39) rappresenti anche laprobabilita di ottenere c′ nel dispositivo di Fig. 3.2.

- A- C

-|a′ > |c′ >

Figura 3.2: Misure ideali in successione in assenza del filtro B.

Ora, la probabilita di ottenere c′ e | < c′|a′ > |2 e possiamo sempre consi-derare il fascio puro |a′ >, che esce dal primo filtro (A), come combinazionelineare di autoket di B

|a′ >=∑b′

|b′ >< b′|a′ > .

Quindi, la probabilita diventa in questo caso

| < c′|a′ > |2 =

∣∣∣∣∣∑b′

< c′|b′ >< b′|a′ >

∣∣∣∣∣2

=

=∑b′

∑b”

< c′|b′ >< b′|a′ >< a′|b” >< b”|c′ >, (3.40)

che e diversa da (3.39). Il risultato della misura di C varia a seconda chela misura di B sia stata fatta o no, anche se consideriamo tutti i possibilirisultati della misura di B.

Se A e B, oppure B e C, avessero un insieme completo di autoket comuni,cioe

[A,B] = 0 oppure [B,C] = 0,

le due probabilita (3.39) e (3.40) coinciderebbero, come si puo facilmenrteverificare. La diversita fra queste due espressioni e una caratteristica delleosservabili incompatibili.


3.4 Le relazioni di indeterminazione

Data una osservabile A, definiamo lo scarto quadratico medio o fluttuazionedi A come

∆A = (< A2 > − < A >2)12 , (3.41)

dove il valore medio di A deve essere preso nello stato fisico che stiamoconsiderando. Nella maggior parte dei casi, ∆A rappresenta l’incertezza suA e si annulla quando lo stato in questione e un autoket di A. Per esempio,se A e l’osservabile Sx, e lo stato considerato e l’autoket |+ > di Sz, abbiamodalla (3.18): < Sx >= 0 e < S2

x >= ~2/4. La fluttuazione ∆Sx, in questostato, e

∆Sx =~2,

mentre ∆Sz e nullo. Cioe, nello stato |+ >, Sz e ben definito mentre Sx emal definito.

Consideriamo, ora, due osservabili, A e B, che verificano l’equazione

[A,B] = iC, (3.42)

con C operatore Hermitiano 5. Allora, per qualsiasi stato, varra la seguentedisuguaglianza

∆A∆B ≥ 12| < [A,B] > | = 1

2| < C > |. (3.43)

Per dimostrarlo, introduciamo le osservabili

A = A− < A >, B = B− < B > .

E’ chiaro che[A, B] = iC,

e che∆A = ∆A =< A2 >1/2, ∆B = ∆B =< B2 >1/2 .

Supponiamo che lo stato dinamico del sistema sia rappresentato da un ket|α >, normalizzato, e applichiamo la disuguaglianza di Schwarz (si veda ilcapitolo II) ai ket A|α > e B|α >:

(∆A)2(∆B)2 =< α|A2|α >< α|B2|α > ≥ | < α|AB|α > |2. (3.44)

Separando il prodotto AB nella parte Hermitiana e anti-Hermitiana, siottiene

AB =12A, B+

12[A, B] =

12A, B+

i

2C,

5Il commutatore di due operatori Hermitiani, X = [A, B], e anti-Hermitiano, X =−X†, e il suo valore medio e immaginario puro.

3.5 Lo spettro continuo 53

e si puo riscrivere la disuguaglianza (3.44) nella forma

(∆A)2(∆B)2 ≥⟨

12A, B

⟩2

+⟨C

2

⟩2

e, a maggior ragione,

∆A∆B ≥ 12| < C > |. (3.45)

Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg, posizione-impulso, di-scendono direttamente dalla (3.45) se A e una componente dell’operatoreposizione, B e la corrispondente componente dell’operatore impulso e C eproporzionale all’operatore identita: C = ~1. Restando nel caso generale,e interessante trovare le condizioni per cui il prodotto ∆A ∆B e uguale alsuo valore minimo | < C > |/2. La disuguaglianza di Schwarz deve ridursiad una identita, quindi A|α > e B|α > devono essere paralleli:

B|α >= λA|α > (3.46)

con λ costante arbitraria, e il valor medio < A, B > deve essere nullo:

< A, B >= (λ+ λ∗) < α|A2|α >= 0,

cioe λ+ λ∗ = 2Reλ = 0 e λ deve essere immaginario puro.

Dalla condizione (3.46) si ha anche

< α|AB|α >= λ(∆A)2 e < α|BA|α >=1λ

(∆B)2,

e, sommando i membri destri di queste due equazioni si deve ottenere zero(valor medio dell’anticommutatore), mentre la differenza deve dare i < C >:

λ(∆A)2 +1λ

(∆B)2 = 0 e λ(∆A)2 − 1λ

(∆B)2 = i < C > .

Eliminando ∆B da queste equazioni, si puo esprimere λ tramite ∆A

λ =i < C >

2(∆A)2. (3.47)

Vedremo, quando considereremo le osservabili posizione e impulso, le con-seguenze di questa condizione.

3.5 Lo spettro continuo

Finora abbiamo considerato uno spazio degli stati di dimensioni finite, n.Se n diventa infinito, i problemi matematici, riguardanti la convergenza


delle serie e la completezza della base, diventano piu complessi in questolimite. Possiamo ancora definire la matrice che rappresenta un operatoreHermitiano ma, per esempio, la sua traccia diventa la somma di infinitiautovalori (e il suo determinante il prodotto di infiniti autovalori) e puo nonesistere nel limite continuo. Nel seguito, ci sara sufficiente sapere che esisteuna formulazione matematica rigorosa di uno spazio vettoriale lineare coninfinite, anche non numerabili, dimensioni e che le generalizzazioni espostenel seguito dovranno essere accompagnate da una certa cautela nel definire leproprieta di un operatore. Per esempio, se n e finito, la condizione UU † = 1e sufficiente per affermare che l’operatore U e unitario mentre, se n → ∞,anche la condizione U †U = 1 deve essere soddisfatta indipendentemente.

Supponiamo che l’operatore Hermitiano A

< α|A|β >=< β|A|α >∗,

presenti uno spettro degli autovalori che consiste di punti discreti e di unaparte continua. Gli autoket corrispondenti agli autovalori discreti possonoessere normalizzati ad uno mentre, nella parte continua dello spettro, as-sumiamo che l’autoket sia una funzione continua dell’autovalore. L’inter-pretazione fisica della teoria richiede che, nella parte continua dello spet-tro, abbiano significato fisico solo quelle soluzioni, dell’equazione agli au-tovalori A|a′ >= a′|a′ >, per le quali a′ e reale ed e possibile adottare lanormalizzazione

< a′|a” >= δ(a′ − a”), (3.48)

in analogia con< a′|a” >= δa′ a”

per gli autovalori discreti. Con queste normalizzazioni, tutte le formule,per i casi discreto e continuo, sono molto simili ed e sufficiente sostituire ilsimbolo di Kronecher con la funzione generalizzata δ di Dirac e la sommadiscreta sugli autovalori con un integrale. Cosı un ket arbitrario |α > puoessere scritto come

|α >=∑a′

|a′ >< a′|α > +∫|a” > da” < a”|α >, (3.49)

dove la somma corre sugli autovalori discreti e l’integrale viene esteso allaparte continua dello spettro. | < a′|α > |2 e la probabilita di trovare ilvalore a′, per l’osservabile A nello stato |α >, se siamo nella parte discretadello spettro. Analogamente, | < a”|α > |2 da” e la probabilita di trovareun valore compreso fra a” e a” + da”, quando a” giace nella parte continuadello spettro.

Un esempio, tratto dalla meccanica ondulatoria per una particella pun-tiforme che si muove in una dimensione, permette di chiarire questi concetti.

3.5 Lo spettro continuo 55

Sia |α > il ket di stato della particella. Poiche possiamo misurare la posizionedella particella sull’asse x, deve esistere un operatore Hermitiano x, osserva-bile, i cui autovalori formano un continuo perche una misura della posizioneda, come risultato, un numero reale compreso fra −∞ e +∞. Indichiamocon |x′ > i corrispondenti autoket

x|x′ >= x′|x′ >,

che, con la normalizzazione

< x”|x′ >= δ(x”− x′), (3.50)

formano un insieme ortonormale e completo∫|x′ > dx′ < x′| = 1 (3.51)

Partendo dallo sviluppo del ket |α > su questa base

|α >=∫ +∞

−∞|x′ > dx′ < x′|α >, (3.52)

possiamo chiarire cosa si intende per una misura ideale dell’osservabile po-sizione. Immaginiamo un rivelatore molto sottile, posto in modo tale dascattare solo quando la particella si trova in x′. Quando il rivelatore scatta,lo stato |α > ”precipita” in |x′ > e, subito dopo la misura, possiamo dire chelo stato e |x′ >. In pratica, un rivelatore reale puo localizzare la particellain un piccolo intorno di x′ (x′ −∆/2, x′ + ∆/2) e la misura della posizioneproduce un brusco cambiamento di stato che si puo schematizzare cosı:

|α >=∫ +∞

−∞|x” > dx” < x”|α > ⇒

∫ x′+∆/2

x′−∆/2|x” > dx” < x”|α > .

Se < x”|α > non cambia in modo apprezzabile in questo piccolo intervallo,e scriviamo dx′ al posto di ∆, la probabilita che il rivelatore scatti e data da

| < x′|α > |2 dx′.

Ovviamente, la probabilita di trovare la particella da qualche parte, tra −∞e +∞, deve essere uno ∫ +∞

−∞dx′| < x′|α > |2 = 1, (3.53)

che e certamente vera se il ket |α > e normalizzato: < α|α >= 1. Tutto cioe in accordo con la definizione generale data sopra.

Nella relazione (3.52), le componenti < x′|α > dello sviluppo definisconouna funzione complessa della variabile reale x′ e permettono di stabilire un


legame esplicito fra la funzione d’onda della meccanica ondulatoria e il ketdi stato. La relazione corretta, fra il ket di stato |α > e la funzione d’ondaΨα(x′) risulta essere

Ψα(x′) =< x′|α >, (3.54)

e i valori complessi, che assume la funzione Ψα(x′), sono le componenti delket |α > in uno spazio vettoriale ad infinite dimensioni in cui x′ etichetta i ketdi base. Poiche la base e fornita dagli autoket dell’operatore x, possiamo direche la meccanica ondulatoria e la meccanica quantistica in rappresentazionex o rappresentazione coordinate. Da questo punto di vista, Ψα(x′) e solouno dei molti modi possibili di rappresentare il ket di stato.

Possiamo convincerci che questo legame e corretto considerando, peresempio, il prodotto scalare di due ket

< β|α >=∫

< β|x′ > dx′ < x′|α >=∫ +∞

∞Ψ∗

β(x′)Ψα(x′) dx′, (3.55)

o il valor medio di una funzione f(x) dell’operatore x. Si ha infatti, dalla

< x”|x|x′ >= x′ δ(x”− x′),

che gli elementi di matrice di f(x) sono

< x”|f(x)|x′ >= f(x′) δ(x”− x′),

e, in generale,

< β|f(x)|α >=∫ +∞

−∞Ψ∗

β(x′)f(x′)Ψα(x′) dx′, (3.56)

in accordo con le convenzioni della meccanica ondulatoria. Il risultato (3.56)discende immediatamente dalla

f(x)|α >=∫|x′ > dx′ < x′|f(x)|x” > dx” < x”|α >=

=∫|x′ > dx′ f(x′)Ψα(x′).

L’estensione a tre dimensioni della nozione di autoket di posizione richiedel’ipotesi che la base |x′ > sia completa e quindi che i tre operatori x, y, zformino un insieme completo di osservabili compatibili. Dovremo percioassumere che

[xi, xj ] = 0, (3.57)

3.6 Operatore di traslazione 57

(i, j = 1, 2, 3) dove, come al solito, x1, x2, x3 stanno per x, y, z. Le trecomponenti del vettore posizione possono essere, allora, misurate simultane-amente con precisione arbitrariamente grande e il ket di stato di una par-ticella puntiforme (senza spin) puo essere sviluppato sugli autoket di x,x|x′ >= x′|x′ >, nel modo seguente

|α >=∫|x′ > d3x′ < x′|α > . (3.58)

Non e difficile generalizzare tutte le formule, che abbiamo ottenuto in unadimensione, al caso tridimensionale purche ci si ricordi che (3.57) e alla basedi questa generalizzazione e che, ora,

< x”|x′ >= δ3(x”− x′) = δ(x”− x′)δ(y”− y′)δ(z”− z′),

mentre < x′|α >= Ψα(x′).

3.6 Operatore di traslazione

Avendo visto che l’estensione al caso tridimensionale non presenta difficolta,restiamo in una dimensione e definiamo l’operatore di traslazione T (ξ), comel’operatore che cambia uno stato localizzato attorno ad x′ in uno statolocalizzato attorno ad x′ + ξ:

T (ξ)|x′ >= |x′ + ξ > . (3.59)

x′ e ξ sono numeri con le dimensioni di una lunghezza e, per la (3.59), |x′ >non e un autoket di T (ξ). In rappresentazione coordinate, gli elementi dimatrice dell’operatore traslazione sono

< x”|T (ξ)|x′ >=< x”|x′ + ξ >= δ(x”− x′ − ξ), (3.60)

e, se consideriamo due traslazioni successive ξ e η,

T (η)T (ξ) = T (ξ)T (η) = T (ξ + η), (3.61)

cioe due traslazioni successive sono equivalenti a una traslazione risultanteche non dipende dall’ordine in cui abbiamo eseguito le due traslazioni.

Per definizione, T (ξ) preserva l’ortonormalita e la completezza dei ketdi base ed e quindi un operatore unitario che possiamo scrivere nella forma

T (ξ) = eiA(ξ), (3.62)

con A(ξ) operatore Hermitiano. Se poniamo η = ξ in (3.61), otteniamo

(T (ξ))2 = T (2ξ) ovvero 2A(ξ) = A(2ξ).


Non e difficile, a questo punto, provare che, per ogni numero razionale n, valela relazione nA(ξ) = A(nξ) e che, se l’operatore A e una funzione continuadi ξ,

A(n) = nA(1),

per tutti i numeri reali n. Segue che A(ξ) ∝ ξ e che T (ξ) ha la forma

T (ξ) = e−iξk, (3.63)

dove k e un operatore Hermitiano. Se ξ rappresenta uno spostamentoinfinitesimo, ξ = dx′,

T (dx′) = 1− idx′ k (3.64)

e l’operatore k e chiamato il generatore delle traslazioni infinitesime 6.

L’effetto di T (ξ), su un ket arbitrario, discende dalla relazione

T (ξ)|α >= e−iξk|α >= T (ξ)∫|x′ > dx′ < x′|α >=

=∫|x′ + ξ > dx′ < x′|α >=

∫|x′ > dx′ < x′ − ξ|α >, (3.65)

dove il cambiamento di variabile non cambia gli estremi di integrazione chesono −∞ e +∞ per tutti gli integrali. Cosı, nella traslazione, lo stato confunzione d’onda Ψα(x′) =< x′|α > e mutato nel nuovo stato con funzioned’onda Ψ′

α(x′) =< x′ − ξ|α >= Ψα(x′ − ξ).

Sviluppiamo in serie di potenze di ξ (Mac-Laurin) il secondo ed ultimotermine dell’equazione (3.65) e uguagliamo i coefficienti delle potenze ξn.Notando che

< x′ − ξ|α >=∞∑

n=0

1n!

(∂n

∂ξn< x′ − ξ|α >

∣∣∣∣ξ=0

)ξn =

∞∑n=0

(−1)n

n!×

×

(∂n

∂(x′ − ξ)n< x′ − ξ|α >

∣∣∣∣ξ=0

)ξn =

∞∑n=0

(−1)n

n!

(∂n

∂x′n< x′|α >

)ξn,

si ottienekn|α >=

1in

∫|x′ > dx′

∂n

∂x′n< x′|α > . (3.66)

L’effetto di una qualsiasi funzione di k, che puo essere sviluppata in serie dipotenze, sara quindi

f(k)|α >=∫|x′ > dx′ f

(1i

∂

∂x′

)Ψα(x′), (3.67)

6Nel caso tridimensionale, l’equazione (3.64) diventera: T (dx′) = 1− idx′ · k.


e, in particolare,

< β|k|α >=∫ +∞

−∞Ψ∗

β(x′)(

1i

∂

∂x′

)Ψα(x′)dx′ (3.68)

Dalla (3.66) si puo calcolare il commutatore [x, k]. Infatti, per un ketarbitrario |α >, si ha

xk|α >=1i

∫|x′ > dx′ x′

∂

∂x′< x′|α >

ekx|α >=

1i

∫|x′ > dx′

∂

∂x′(x′ < x′|α >),

quindi, sottraendo dalla prima equazione la seconda,

(xk − kx)|α >= −1i

∫|x′ > dx′ < x′|α >= i|α > . (3.69)

Valendo la (3.69) per un ket arbitrario |α >, vale la relazione fra operatori

[x, k] = i1, (3.70)

che e una relazione familiare e mostra che l’operatore di traslazione haun significato fisico e che ~k, o (~/i)∂/∂x′, corrisponde alla componente xdell’impulso. Ritorneremo, fra un momento, a questo importante risultato.

Per l’operatore Hermitiano k possiamo scrivere l’equazione agli autova-lori

k|k′ >= k′|k′ >,

con k′ reale. Notiamo che anche l’operatore T (ξ) ha gli stessi autoket,con autovalori exp(−ik′ξ). Se, nella equazione (3.66) con n = 1, poniamo|α >= |k′ > e moltiplichiamo a sinistra per < x”|, otteniamo l’equazionedifferenziale

ik′ < x”|k′ >=∂

∂x”< x”|k′ > .

La soluzione di questa equazione e

< x”|k′ >= g(k′)eik′x”, (3.71)

senza nessuna limitazione sui valori di k′, a parte la condizione di realta.Quindi lo spettro di k comprende tutti i numeri reali fra −∞ e +∞. L’orto-normalita degli autoket di k determina g(k′) a meno di un fattore di fase.Infatti

< k”|k′ >= δ(k”− k′) =∫< k”|x′ > dx′ < x′|k′ >=


= g∗(k”)g(k′)∫ +∞

−∞ei(k

′−k”)x′dx′ = 2π|g(k′)|2δ(k′ − k”).

Percio, a meno di un fattore di fase che scegliamo eguale ad uno, g(k′) =1/√

2π e

< x′|k′ >=1√2πeik

′x′ . (3.72)

Quindi gli autoket di k possono essere normalizzati

|k′ >=∫|x′ > dx′ < x′|k′ >=

1√2π

∫eik

′x′ |x′ > dx′,

e possono essere usati come base di una rappresentazione, che chiameremorappresentazione impulso visto il legame fra k e l’impulso, mentre le fun-zioni (3.72) sono le funzioni di trasformazione dalla rappresentazione x allarappresentazione k.

Un ket di stato arbitrario, |α >, puo essere sviluppato sulla base |k′ >

|α >=∫|k′ > dk′ < k′|α >,

e il legame fra la rappresentazione coordinate e la rappresentazione impulsoe dato dalla

< k′|α >=∫< k′|x′ > dx′ < x′|α >=

1√2π

∫e−ik′x′ < x′|α > dx′.

Se indichiamo conφα(k′) =< k′|α >,

la funzione d’onda nella rappresentazione k, vediamo che essa e la trasfor-mata di Fourier di Ψα(x′)

φα(k′) =1√2π

∫ +∞

−∞Ψα(x′)e−ik′x′dx′, (3.73)

e, viceversa,

Ψα(x′) =1√2π

∫ +∞

−∞φα(k′)eik

′x′dk′. (3.74)

Problema. Verificare che |k′ > e un autoket di T (ξ). Mostrare che tutti gliautoket di T (ξ), corrispondenti all’autovalore exp(−iξk′), hanno la forma

< x′|k′, ξ >= exp(ik′x′) uξ(x′),

dove uξ(x′) e una funzione periodica arbitraria di x′ con periodo ξ (onde diBloch).


Soluzione

L’operatore T (ξ) puo essere sviluppato in serie di potenze e quindi

T (ξ)|k′ >= e−iξk′|k′ > .

Se consideriamo la funzione d’onda dello stato traslato < x′|T (ξ)|k′, ξ > e facciamoagire T (ξ) su < x′|, dalla destra, otteniamo

< x′|T (ξ)|k′, ξ >=< x′ − ξ|k′, ξ > .

D’altra parte, essendo |k′, ξ > un autoket di T (ξ), si ha anche

< x′|T (ξ)|k′, ξ >= e−iξk′< x′|k′, ξ >,

che, con la precedente equazione, da

< x′ − ξ|k′, ξ >= e−iξk′< x′|k′, ξ > . (3.75)

Vediamo allora che < x′|k′, ξ >= exp(ix′k′) uξ(x′) e una soluzione della (3.75)perche

ei(x′−ξ)k′uξ(x′ − ξ) = e−iξk′

eik′x′uξ(x′),

e soddisfatta se uξ(x′) e una funzione periodica di x′ con periodo ξ.

Consideriamo ora una particella nello spazio tridimensionale. Ogni traslazionein questo spazio puo essere ottenuta mediante traslazioni successive lungo itre assi coordinati. Possiamo ripetere per l’asse y e l’asse z quello che abbi-amo detto per le traslazioni lungo l’asse x. Se |x′ > e il ket che corrispondead una particella, localizzata in x′, avremo

T (ξ)|x′ >= |x′ + ξ >

doveT (ξ) = e−iξ·k. (3.76)

Una proprieta fondamentale delle traslazioni impone che traslazioni suc-cessive in direzioni diverse, per esempio nelle direzioni x e y, commutino.Il gruppo delle traslazioni e commutativo (o abeliano). I generatori delletraslazioni infinitesime, definiti generalizzando l’equazione (3.64), devonocommutare

[ki, kj ] = 0. (3.77)

Anche la generalizzazione della relazione (3.70) diventa semplice perche letraslazioni lungo assi ortogonali sono indipendenti e quindi

[xi, kj ] = iδij1, (3.78)

con i, j = 1, 2, 3.


L’identificazione di ~k con l’impulso p della particella ha motivi piuprofondi che non la semplice analogia delle relazioni (3.78) con le regolecanoniche di commutazione

[xi, pj ] = i~δij1 (3.79)

e[xi, xj ] = [pi, pj ] = 0, (3.80)

con i, j = 1, 2, 3. Abbiamo visto infatti che, all’autoket dell’osservabile k,corrisponde l’onda piana (3.72)

< x′|k′ >=1√2πeik

′x′ .

D’altra parte, un’onda piana corrisponde ad una densita di probabilitacostante per la presenza della particella lungo l’asse x. In accordo conla relazione di De Broglie, p′ = ~k′, cio significa che l’impulso della parti-cella e ben definito. Cioe exp(ik′x′) caratterizza l’autoket corrispondente ap′ = ~k′. L’operatore k corrisponde al vettore d’onda della teoria classica.Inoltre, dalla relazione di De Broglie si ha che la probabilita di trovare, peruna particella nello stato |α >, un impulso compreso fra p′ e p′ + dp′ e

| < p′|α > |2dp′ = |φα(p′)|2dp′,

dove

φα(p′) =1√2π~

∫ +∞

−∞Ψα(x′)e−ip′x′/~dx′, (3.81)

con la normalizzazione

< x′|p′ >=1√2π~

eip′x′/~. (3.82)

Dalle (3.45) e (3.79) discendono immediatamente le relazioni di indeter-minazione di Heisenberg

∆xi ∆pi ≥~2. (3.83)

Considerando le relazioni (3.83) per i = 1, si ha

∆x ∆px ≥~2,

e possiamo chiederci quali condizioni dobbiamo imporre alla funzione d’ondaaffinche questa disuguaglianza si riduca ad una eguaglianza. Dalle condizioni(3.46) e (3.47), con A = x e B = px, otteniamo

(px− < px >)|α >=i~

2(∆x)2(x− < x >)|α >,

3.7 Regole di quantizzazione 63

che, moltiplicata a sinistra per < x′|, da(~i

d

dx′− < px >

)Ψα(x′) =

i~2(∆x)2

(x′− < x >)Ψα(x′), (3.84)

essendo, dalla (3.66),

px|α >=~i

∫|x′ > dx′

∂

∂x′Ψα(x′).

Il pacchetto d’onda gaussiano, soluzione normalizzata di (3.84),

Ψα(x′) =1

[2π(∆x)2]1/4exp

[−(x′− < x >)2

4(∆x)2+ i

< px > x′

~

], (3.85)

e chiamato, per questo motivo, pacchetto d’onda di minima incertezza.

Notiamo che, nel limite ∆x → ∞, la funzione d’onda (3.85) diventaun’onda piana, che si estende su tutto lo spazio, con < px > /~ =< k >;la probabilita di trovare la particella in un intorno dx′ di x′, |Ψk(x′)|2dx′, eindipendente da x′. Se ∆x → 0, otteniamo da (3.85) una funzione d’onda,nello spazio delle coordinate, simile ad una δ di Dirac: la probabilita diosservare la particella si annulla molto rapidamente per |x′− < x > | > 2 ∆x.

E’ istruttivo calcolare, seguendo questa linea, la funzione d’onda nellospazio degli impulsi, per la quale sia ∆x ∆px = ~/2. Lo stesso risultatopuo essere ottenuto facendo la trasformata di Fourier della (3.85). Questoesercizio viene lasciato al lettore 7.

3.7 Regole di quantizzazione

Le relazioni di commutazione fra gli operatori Hermitiani, che rappresentanole coordinate e gli impulsi

[xi, xj ] = 0, [pi, pj ] = 0, [xi, pj ] = i~δij1,7Tutti gli integrali, che servono, possono essere ricondotti all’integrale di Eulero

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ttz−1dt (Rez > 0),

ed e sufficiente sapere che

Γ(1/2) =√

π, Γ(n + 1) = n!,

con n intero, e che vale la relazione di ricorrenza

Γ(z + 1) = zΓ(z).


che abbiamo trovato nella sezione precedente, sono consistenti con il prin-cipio di corrispondenza. Possiamo formulare questo principio nel modoseguente:Se un sistema quantistico ha un analogo classico, i valori medi degli operatorisi comportano, nel limite ~→ 0, come le corrispondenti quantita classiche.Vedremo infatti, nel prossimo capitolo, che l’analogia formale fra la teoria

classica e la teoria quantistica e realizzata completamente nella visuale diHeisenberg della dinamica. Le regole dell’algebra delle parentesi di Poissonclassiche sono simili a quelle dei commutatori e vale in generale (Dirac, 1925)

lim~→0

< [G,F ] >i~

= Gc, Fcclass. (3.86)

dove F e G sono operatori e Gc, Fc sono le corrispondenti grandezze clas-siche. Le parentesi di Poisson sono definite, tramite tutte grandezze classiche

Gc, Fc =∑

i

(∂Gc

∂xi

∂Fc

∂pi− ∂Gc

∂pi

∂Fc

∂xi

).

Per completare le regole di quantizzazione, oltre alle relazioni di com-mutazione fondamentali, dovremo introdurre un operatore Hermitiano H,identico in forma all’Hamiltoniano classico 8, in cui tutte le coordinate e gliimpulsi sono rimpiazzati dai corrispondenti operatori. Lasciamo al prossimocapitolo la verifica della corrispondenza (3.86) e notiamo solo che la validitadelle seguenti regole di commutazione

[xi, G(p)] = i~∂G

∂pi, [pi, F (x)] = −i~ ∂F

∂xi, (3.87)

che discendono dalle (3.86), puo essere derivata dalle relazioni fondamen-tali di commutazione, per tutte le funzioni G(p) e F (x) che possono es-sere espresse come serie di potenze nei loro argomenti, come il lettore puofacilmente dimostrare (per induzione completa).

Bibliografia consigliata: [5], [4], [3].

8La condizione che H sia Hermitiano risolve ogni possibile ambiguita.

Capitolo 4

Dinamica quantistica

4.1 L’equazione del moto

Secondo il postulato fondamentale dell’evoluzione temporale, lo stato di unsistema fisico, all’istante t, e completamente determinato da un ket |α, t >in uno spazio vettoriale caratterizzato dalla natura del sistema. Inoltre,se |α, t0 > e lo stato iniziale di un sistema isolato, il ket |α, t >, che rap-presenta il suo stato all’istante successivo t, e esattamente determinato da|α, t0 > se, nel frattempo, non eseguiamo misure sul sistema. Questa formaquantistica del principio di causalita cessa di valere se il sistema interagiscecon uno strumento, il risultato della misura non e causale ma e determi-nato da una distribuzione statistica. Assumiamo anche che il principio disovrapposizione valga durante l’evoluzione temporale: se |α, t0 > e |γ, t0 >evolvono separatamente in |α, t > e |γ, t >, allora una sovrapposizione deiket λ |α, t0 > +µ |γ, t0 > evolvera in λ |α, t > +µ |γ, t >. Cio significa che lacorrispondenza fra |α, t0 > e |α, t > e lineare e definisce un operatore lineareU(t, t0), che chiamiamo operatore di evoluzione temporale:

|α, t >= U(t, t0)|α, t0 > . (4.1)

Poiche, per quanto detto sopra, U(t, t0) non dipende da |α, t0 >, segueche

|α, t2 >= U(t2, t1)|α, t1 >=

= U(t2, t1)U(t1, t0)|α, t0 >= U(t2, t0)|α, t0 >,

e gli operatori di evoluzione godono della proprieta gruppale

U(t2, t0) = U(t2, t1)U(t1, t0), (4.2)

mentre, per definizione, U(t, t) = 1. La condizione (4.2) implica che

[U(t, t0)]−1 = U(t0, t),

66 Dinamica quantistica

e un’altra proprieta importante discende dalla richiesta che la norma del ket|α, t > resti costante nel corso del tempo. Supponiamo che, al tempo t0, ilket di stato |α, t0 > normalizzato, sia sviluppato su un insieme di autoketdi qualche osservabile A

|α, t0 >=∑a′

|a′ >< a′|α, t0 > .

Ad un istante successivo, abbiamo

|α, t >=∑a′

|a′ >< a′|α, t >

e, in generale, i moduli dei singoli coefficienti dello sviluppo saranno diversi

| < a′|α, t0 > | 6= | < a′|α, t > |.

Ma, se vogliamo che | < a′|α, t > |2 sia la probabilita di trovare il sistema, altempo t, con il valore a′ per l’osservabile A, la somma di tutte le probabilitadovra essere sempre eguale ad uno∑

a′

| < a′|α, t0 > |2 =∑a′

| < a′|α, t > |2 = 1.

Se il ket di stato e inizialmente normalizzato ad uno, < α, t0|α, t0 >= 1, deverimanere normalizzato ad uno in tutti gli istanti seguenti, < α, t|α, t >= 1,e questa condizione richiede che l’operatore di evoluzione sia unitario:

U†(t, t0) U(t, t0) = 1. (4.3)

Per una traslazione infinitesima nel tempo possiamo scrivere

U(t+ dt, t) = 1− i

~H(t)dt, (4.4)

conH operatore Hermitiano 1 che, in analogia con la meccanica classica dovel’Hamiltoniana e il generatore dell’evoluzione temporale, identifichiamo conl’operatore Hamiltoniano. Vedremo che questa identificazione e in accordocon la legge di Einstein

E = ~ω,

e che, da essa, si riottiene l’equazione di Schrodinger della meccanica ondu-latoria.

1E’ facile provare che l’operatore H e Hermitiano per l’unitarieta di U , equazione (4.3).Infatti deve essere

(1 +i

~H†dt)(1− i

~Hdt) = 1 +

i

~(H† −H)dt +O(dt2) = 1

e, quindi, H = H†.

4.1 L’equazione del moto 67

Poiche, dalla (4.2), si ha

U(t+ dt, t0) = U(t+ dt, t)U(t, t0),

in base alla (4.4), per U deve valere l’equazione differenziale

dU(t, t0)dt

= limε→0

U(t+ ε, t0)− U(t, t0)ε

= − i~H(t)U(t, t0),

che puo essere scritta nella forma

i~dU(t, t0)

dt= H(t)U(t, t0), (4.5)

con la condizione iniziale U(t0, t0) = 1. L’equazione (4.5) per l’operatoredi evoluzione temporale permette di ricavare U(t, t0) se conosciamo l’oper-atore H. Conoscendo U(t, t0) e possibile ottenere il ket di stato |α, t >,per qualsiasi t, applicando U(t, t0) ad |α, t0 > e risolvendo cosı il problemadell’evoluzione. La dinamica quantistica richiede l’esistenza dell’operatoreH, ma non contiene una ricetta generale per costruirlo. Le regole di quan-tizzazione, enunciate nel capitolo precedente richiedono che H sia identicoin forma all’Hamiltoniana classica in cui le coordinate e gli impulsi sonosostituiti dai corrispondenti operatori. Questo e possibile se il sistema quan-tistico ha un analogo classico, altrimenti si deve ricorrere alle proprieta disimmetria del sistema quantistico e ai risultati degli esperimenti.

L’equazione del moto del ket di stato discende immediatamente da (4.5).Se moltiplichiamo (4.5), a destra, per |α, t0 > otteniamo

i~dU(t, t0)

dt|α, t0 >= H(t)U(t, t0)|α, t0 >,

ma |α, t0 > non dipende dal tempo e quindi l’equazione del moto cercata e

i~d|α, t >dt

= H(t)|α, t > . (4.6)

La scelta di una funzione Hamiltoniana classica , per un sistema conserva-tivo, della forma

Hclass(x,p) =p2

2m+ V (x),

dove x, p sono il vettore posizione e l’impulso classici, permette di ritrovarel’equazione di Schrodinger della meccanica ondulatoria. L’operatore Hamil-toniano ha la stessa forma con x e p operatori e, nella rappresentazionecoordinate,

x|x′ >= x′|x′ >,

avremo, per l’operatore V (x)

< x′|V (x)|α, t >= V (x′) < x′|α, t >


e, per l’energia cinetica 2

< x′∣∣∣∣ p2

2m

∣∣∣∣α, t >= − ~2

2m∇′2 < x′|α, t >,

dove ∇′f(x′) e il gradiente di f(x′) rispetto ad x′. Dalla (4.6), moltiplicandoa sinistra per < x′| e ponendo

< x′|α, t >= Ψα(x′, t), (4.7)

si ha l’equazione di Schrodinger

i~∂Ψα(x′, t)

∂t=[− ~2

2m∇′2 + V (x′)

]Ψα(x′, t). (4.8)

Il problema principale che dobbiamo risolvere ora e percio quello di ri-cavare le soluzioni dell’equazione (4.5) per l’operatore di evoluzione. SpessoH non dipende dal tempo e, allora, U puo essere ottenuto per intervallidi tempo finiti applicando la relazione (4.2) ripetutamente a n intervalli,ognuno di lunghezza ε = (t − t0)/n. Dalla (4.4) abbiamo, con dt = ε eU(t0, t0) = 1,

U(t, t0) = limε→ 0n→∞

(1− i

~εH

)n

= limn→∞

[1− i

~(t− t0)n

H

]n

.

Il limite e la definizione della funzione esponenziale e

U(t, t0) = e−i~ (t−t0)H . (4.9)

Se l’operatore Hamiltoniano dipende esplicitamente dal tempo, la costruzionedi U(t, t0) con il procedimento che porta a (4.9) non vale piu. Se tut-tavia [H(t1),H(t2)] = 0, cioe gli operatori Hamiltoniani a tempi diversicommutano, e facile provare che la soluzione di (4.5) e

U(t, t0) = e− i

~∫ t

t0H(t′)dt′

, (4.10)

perche

dU(t, t0)dt

= − i~H(t) e−

i~

∫ tt0

H(t′)dt′ = − i~H(t)U(t, t0).

2Riscriviamo, allo scopo, l’equazione (3.67) nella forma

f(px)|α >=

∫|x′ > dx′f

(~i

∂

∂x′

)< x′|α >,

per ogni componente di p.

4.2 Autoket dell’energia 69

Nel caso piu generale, in cui gli operatori H(t) a tempi diversi non com-mutano, U(t, t0) resta sempre definito dalla (4.5) e una soluzione formale diquesta da l’equazione integrale

U(t, t0) = 1− i

~

∫ t

t0

H(t′)U(t′, t0)dt′, (4.11)

che soddisfa la condizione iniziale, U(t0, t0) = 1, e puo essere risolta periterazione 3.

Dall’equazione (4.6) e possibile calcolare l’evoluzione temporale del valormedio di un operatore A, che non dipende esplicitamente dal tempo,

i~d

dt< α, t|A|α, t >= − < α, t|H†A|α, t > + < α, t|AH|α, t >=

=< α, t|[A,H]|α, t >, (4.12)

ricordando che H e Hermitiano. Se A commuta con H, il valor medio di A ecostante e si dice che A stesso e una costante del moto. Tramite l’equazione(4.12) si riprende il contatto con le quantita misurabili e, per il principiodi corrispondenza, con i concetti classici. Se A dipende dal tempo, peresempio nel caso in cui e presente un campo esterno che agisce sul sistema evaria nel tempo, al membro destro di (4.12) dovremo aggiungere il terminei~ < α, t|∂A/∂t|α, t >:

i~d

dt< A >=< [A,H] > +i~

⟨∂A

∂t

⟩. (4.13)

4.2 Autoket dell’energia

Se il sistema e conservativo la sua energia, rappresentata dall’operatore H,non dipende esplicitamente dal tempo e l’operatore di evoluzione U(t, t0) edato dall’espressione (4.9). L’azione di questo operatore su un ket generico|α, t0 > puo essere facilmente valutata se i ket di base, usati per sviluppare|α, t0 >, sono autoket dell’energia o, piu in generale, di un operatore A checommuta con H: [A,H] = 0. Allora, se |a′ > e un autoket di A,

H|a′ >= Ea′ |a′ >, (4.14)

dove abbiamo indicato con Ea′ gli autovalori di H. Avremo anche

e−i(t−t0)H/~ =∑a′

∑a”

|a” >< a”|e−i(t−t0)H/~|a′ >< a′| =

3Si ottiene una serie, la serie di Dyson, inserendo in (4.11), come approssimazione

zero, U(t′, t0) = 1 ottenendo 1 − (i/~)∫ t′

t0H(t”)dt”, in prima approssimazione, e cosı

via. Si arriva ad uno sviluppo perturbativo che, troncato ad un certo ordine, approssimal’operatore di evoluzione con la precisione voluta (se la serie converge).


=∑a′

|a′ > e−i(t−t0)Ea′/~ < a′|, (4.15)

che permette di risolvere ogni problema se e noto il ket iniziale |α, t0 > e ilsuo sviluppo sulla base |a′ >. Infatti, se

|α, t0 >=∑a′

|a′ >< a′|α, t0 >=∑a′

ca′(t0)|a′ >, (4.16)

si ha, dalla (4.15),

|α, t >= e−i(t−t0)H/~|α, t0 >=∑a′

|a′ > ca′(t0)e−i(t−t0)Ea′/~ (4.17)

e il generico coefficiente dello sviluppo varia nel tempo, ma il suo moduloresta costante. Le fasi relative delle varie componenti cambiano, invece, neltempo perche le frequenze di oscillazione sono diverse.

Se lo stato iniziale e un autoket comune di A eH, |α, t0 >= |a′ >, allora ilsistema resta in tale autostato per tutti gli istanti seguenti. Cio e consistentecon l’equazione (4.12): se A e H commutano, A e una costante del moto,cioe il suo valor medio < A > e costante. In un autostato dell’energia, ancheil valor medio di un’altra osservabile B, che non commuta necessariamentecon A o H, e indipendente dal tempo. Infatti, poiche

|a′, t >= U(t, t0)|a′, t0 >,

si avra< a′, t|B|a′, t >=< a′, t0|U†(t, t0)BU(t, t0)|a′, t0 >=

=< a′, t0|ei(t−t0)Ea′/~Be−i(t−t0)Ea′/~|a′, t0 >=

=< a′, t0|B|a′, t0 >, (4.18)

che non dipende da t. Per questo motivo, un generico autostato dell’energiaviene chiamato stato stazionario.

Diverso e il caso in cui lo stato iniziale e una sovrapposizione di piuautoket dell’energia. In questo stato, non stazionario, si ha inizialmente losviluppo (4.16) e, dalla (4.17),

< α, t|B|α, t >=∑a′

∑a”

c∗a′(t0)ca”(t0) < a′|B|a” > e−i(t−t0)(Ea”−Ea′ )/~.

(4.19)Il valor medio ora consiste di una somma di termini oscillanti con frequenzedeterminate dalla condizione di Bohr

ωa” a′ =Ea” − Ea′

~. (4.20)

4.2 Autoket dell’energia 71

La considerazione di un sistema quantistico con uno spazio degli statibidimensionale, come per esempio uno spin 1/2, permette di risolvere com-pletamente il problema dinamico e di chiarire alcuni punti importanti. Comebase scegliamo gli autoket, |a1 > e |a2 >, dell’Hamiltoniana H, i cui auto-valori sono rispettivamente E1 e E2

H|ai >= Ei|ai > i = 1, 2. (4.21)

Questa base e ortonormale, < ai|aj >= δij (i, j = 1, 2), e un ket di statoarbitrario al tempo t = t0, |α >, puo essere sviluppato su questa base

|α >= c1|a1 > +c2|a2 > . (4.22)

Supponiamo che le radici dell’equazione caratteristica per H siano distinte,E1 6= E2, e che t0 = 0. Evidentemente, l’equazione (4.17) risolve il problemadell’evoluzione temporale

|α, t >= c1e−iE1t/~|a1 > +c2e−iE2t/~|a2 >, (4.23)

ma e interessante arrivare allo stesso risultato per altra via.

Se f(H) e una funzione, sviluppabile in serie di potenze, dell’operatoreH, avremo che

f(H)|α >= c1f(E1)|a1 > +c2f(E2)|a2 >,

ed e facile provare la seguente uguaglianza fra operatori

f(H) = f(E1)E21−HE2 − E1

+ f(E2)E11−HE1 − E2

,

notando che essa vale per un ket arbitrario |α >. Infatti (E21−H)/(E2−E1),agendo sul ket (4.22) proietta il sottospazio relativo all’autoket |a1 >

E21−HE2 − E1

|α >= c1E2 − E1

E2 − E1|a1 >= c1|a1 >

e, analogamente, (E11−H)(E1−E2) e il proiettore su |a2 >. Avremo quindi

e−iHt/~ = e−iE1t/~E21−HE2 − E1

+ e−iE2t/~E11−HE1 − E2

,

che, evidentemente, rida l’equazione (4.23) e, se raccogliamo gli operatori 1e H, puo essere scritta nella forma

e−iHt/~ =1

E2 − E1

(E2e

−iE1t/~ − E1e−iE2t/~

)+

+H

E2 − E1

(e−iE2t/~ − e−iE1t/~

). (4.24)


Un sistema il cui Hamiltoniano ha due autovalori distinti puo esserechiamato un sistema a due livelli. La formula (4.24) risponde a tutte lequestioni che possiamo porci sul suo moto. Consideriamo, per esempio,un elettrone, con momento magnetico e~/(2mec) (e < 0 per l’elettrone),in un campo magnetico esterno, statico, uniforme e diretto lungo l’asse z.L’Hamiltoniana classica del sistema, Hclass = −µ ·B, diventa l’operatore

H = −(

e

mec

)S ·B = −

(eB

mec

)Sz. (4.25)

Gli autoket |+ > e |− > di Sz, con autovalori ±~/2, sono anche autoket diH e i corrispondenti autovalori dell’energia sono

E± = ∓ e~B2mec

≡ ±~ω2

se poniamo ω = |e|B/(mec), in modo che la differenza E+ −E− sia proprio~ω. Supponiamo che , per t = 0, il sistema si trovi in un autoket di Sx, peresempio |+ >x

|α >= |α, 0 >= |+ >x=1√2(|+ > +|− >),

e vogliamo calcolare l’ampiezza di probabilita per una transizione dallo statoiniziale |+ >x allo stato |− >x. Ricordando che H = ωSz e ponendo E2 =E+ ed E1 = E−, dalla (4.24) si ottiene

x< −|e−iωSzt/~|+ >x=ω

~ω x< −|Sz|+ >x

(e−iωt/2 − eiωt/2

),

perche x< −|1|+ >x= 0 per l’ortogonalita degli autoket di Sx, e dalla

x< −|Sz|+ >x=~4(< +|− < −|) · (|+ >< +|−

−|− >< −|) · (|+ > +|− >) =~2,

si ricava finalmente

x< −|e−iωSzt/~|+ >x=12

(e−iωt/2 − eiωt/2

). (4.26)

Nella probabilita, che si ottiene da questa espressione facendone il moduloquadro, appare un termine di interferenza

P|+>x→|−,t>x=

∣∣∣∣∣e−iωt/2 − eiωt/2

2

∣∣∣∣∣2

= sin2

(ωt

2

). (4.27)

4.3 La visuale di Heisenberg 73

All’istante t = π/ω, il sistema si trova certamente in |− >x e la proba-bilita di ritornare in |+ >x e determinata dal modulo quadro del coefficientedell’operatore identita in (4.24):

P|+>x→|+,t>x=

∣∣∣∣∣e−iωt/2 + eiωt/2

2

∣∣∣∣∣2

= cos2(ωt

2

). (4.28)

La somma delle due probabilita e uno per qualsiasi t perche l’operatore dievoluzione temporale e unitario.

Il valor medio di Sx puo essere facilmente calcolato dall’equazione (4.12).Il calcolo diventa ancora piu semplice se ricordiamo che il valor medio di unoperatore A e dato da

< A >α=∑a′

a′| < a′|α > |2,

cioe dalla somma dei prodotti degli autovalori per le corrispondenti proba-bilita. Avremo allora

< Sx >=(

~2

)cos2

(ωt

2

)+(−~

2

)sin2

(ωt

2

)=

=~2

cos(ωt). (4.29)

Si lascia come esercizio al lettore il calcolo di < Sy > e la dimostrazione che,in questo caso, < Sz >= 0. Si ottiene quindi un moto di precessione dellospin nel piano x− y.

4.3 La visuale di Heisenberg

Nella descrizione dei fenomeni, adottata finora, lo stato del sistema e rappre-sentato da un vettore ket |α, t > che evolve nel tempo. Invece le grandezzefisiche, almeno quelle che non dipendono esplicitamente dal tempo, sonorappresentate da osservabili che non dipendono dal tempo e i loro autoketsono vettori fissi nello spazio degli stati. Questa descrizione dei fenomeniquantistici porta il nome di visuale di Schrodinger 4 perche l’equazione delmoto

i~d|α, t >dt

= H|α, t >,

porta direttamente all’equazione d’onda scoperta da Schrodinger. L’esisten-za di altre formulazioni, o visuali, equivalenti della meccanica quantistica

4La chiamiamo visuale, e non rappresentazione, perche non si tratta di una rappresen-tazione dei vettori e degli operatori tramite matrici; c’e la stessa differenza che si presentafra trasformazioni unitarie delle matrici e trasformazioni unitarie dei ket e degli operatori.


e dovuta al fatto che le entita matematiche, come i ket di stato e gli ope-ratori, non sono direttamente accessibili alla misura. Solo gli autovalori ei prodotti scalari di ket entrano nelle predizioni della teoria: nella misuradi un osservabile A si trova uno dei suoi autovalori a′ e la probabilita diquel particolare risultato e data da | < a′|α > |2, se |α > indica lo statodel sistema. Ne segue che ogni formulazione della meccanica quantistica eaccettabile, come la visuale di Schrodinger, se nella nuova visuale:

1. le osservabili hanno lo stesso spettro di autovalori come nella visualedi Schrodinger,

2. i prodotti scalari del ket di stato con i ket di base, o le proiezioni delket di stato sulla base, non cambiano nella nuova visuale.

Una qualsiasi trasformazione unitaria soddisfa entrambe queste condizioniperche, se

|α >= U |α > e |β >= U |β >,

si ha< β|α >=< β|U †U |α >=< β|α >,

mentre, se A e un operatore che trasforma |α > in |β >: |β >= A|α >,l’operatore che trasforma |α > in |β >, A, e determinato dalla

U |β >= UAU †U |α >,

cioeA = UAU †.

Nella nuova visuale, gli autovalori restano gli stessi

A|a′ >= a′|a′ >⇒ (UAU †)(U |a′ >) = a′(U |a′ >), (4.30)

solo gli autoket cambiano, da |a′ > ad |a′ >= U |a′ >.

Si passa dalla visuale di Schrodinger alla visuale di Heisenberg effettuan-do sul ket di stato e sulle osservabili la trasformazione unitaria dipendentedal tempo, U†(t, t0). Indichiamo con l’indice S le vecchie grandezze e conl’indice H le nuove. Il ket di stato

|α, t >S= U(t, t0)|α, t0 >S ,

che rappresenta lo stato dinamico del sistema all’istante t, diventa un ketimmobile

|α >H= U†(t, t0)|α, t >S= |α, t0 >S , (4.31)

mentre una osservabile AS della visuale di Schrodinger viene trasformata in

AH(t) = U†(t, t0)ASU(t, t0). (4.32)


Anche se AS non dipende esplicitamente dal tempo, AH cambia continua-mente nel tempo.

Il valor medio di una osservabile e lo stesso in entrambe le visuali

H< α|AH(t)|α >H= S< α, t|UU†ASUU†|α, t >S=

= S< α, t|AS |α, t >S , (4.33)

come deve essere per la relazione fra valor medio e risultato della misura.Ricordando l’equazione (4.5)

i~dU(t, t0)

dt= HU(t, t0),

deriviamo la (4.32) rispetto al tempo

i~dAH

dt= −U†HASU + i~U†∂AS

∂tU + U†ASHU =

= U†[AS ,H]U + i~U†∂AS

∂tU (4.34)

e notiamo che, se poniamo HH = U†HU , si ha

U†[AS ,H]U = [AH ,HH ],

mentre U†∂AS/∂t U definisce l’operatore ∂AH/∂t. L’equazione (4.34) di-venta allora

i~dAH

dt= [AH ,HH ] + i~

∂AH

∂t, (4.35)

che e nota come equazione del moto di Heisenberg. Confrontandola conl’equazione del moto in visuale di Schrodinger, (4.13), vediamo che i valorimedi sono spariti, (4.35) e una equazione fra operatori.

Ricapitolando, la visuale di Heisenberg si ottiene imprimendo allo spaziodei ket della visuale di Schrodinger un moto di insieme tale che lo stato di-namico del sistema quantistico sia rappresentato da un ket immobile |α >H .Ogni ket, indipendente dal tempo, della visuale di Heisenberg rappresenta unmoto possibile del sistema. D’altra parte, le osservabili cambiano nel temposecondo la (4.32) e gli autoket di queste osservabili cambiano anch’essi perla (4.30)

|a′, t >H= U†(t, t0)|a′, t0 >S . (4.36)

Una conseguenza importante della (4.36) e che i ket di base, nello spaziodegli stati, cambiano con il tempo e, dalla (4.36), si ha

i~d

dt|a′, t >H= −U†(t, t0)H†U(t, t0)U†(t, t0)|a′, t0 >S=


= −HH |a′, t >H , (4.37)

che, a parte il segno meno, e l’equazione di Schrodinger per il ket di stato 5.Se vogliamo che il ket di stato resti immobile, gli operatori e i loro autoket,cioe la base, devono ”ruotare” in direzione opposta.

Abbiamo quindi trovato due visuali perfettamente equivalenti e si pos-sono costruire molte altre visuali intermedie in cui il moto del ket di stato edeterminato da una parte dell’operatore Hamiltoniano. In pratica, la visualedi Schrodinger e utilizzata piu spesso, perche una equazione fra vettori e, ingenere, piu facile da risolvere di una equazione fra operatori, ma la visualedi Heisenberg ha una connessione piu stretta con la fisica classica. In vi-suale di Heisenberg, il moto di un sistema quantistico si traduce in un motodelle osservabili dinamiche che descrivono il sistema, esattamente come inmeccanica classica. Consideriamo, infatti, un sistema con analogo classi-co, per esempio una particella puntiforme senza spin. Le coordinate, xi, egli impulsi, pi, diventano operatori che dipendono dal tempo in visuale diHeisenberg. Le regole di commutazione fondamentali valgono ancora purchele osservabili vengano prese a tempi uguali

[xk(t), xj(t)] = [pk(t), pj(t)] = 0, [xk(t), pj(t)] = i~δkj1, (4.38)

e l’equazione del moto (4.35) da

dxi(t)dt

=1i~

[xi(t),H], (4.39)

edpi(t)dt

=1i~

[pi(t),H]. (4.40)

In base al principio di corrispondenza e all’equazione (3.86), queste espres-sioni diventano formalmente identiche alle equazioni di Hamilton

dxi

dt=∂H

∂pi,

dpi

dt= −∂H

∂qi. (4.41)

Il commutatore [AH ,HH ]/i~, nel limite ~→ 0, puo essere infatti identificatocon la parentesi di Poisson classica Aclass.,Hclass..

Concludiamo questo paragrafo illustrando, con un esempio, l’equivalen-za fra la visuale di Schrodinger e quella di Heisenberg. Consideriamo unsistema che, all’istante t0, si trova in un autoket |a′ > dell’osservabile A.Ci chiediamo: qual’e la probabilita che, al tempo t, esso si trovi in un au-toket |b′ > dell’osservabile B ?. Poiche, all’istante t, il sistema e nello statoU(t, t0)|a′ >, la risposta, nella visuale di Schrodinger, e fornita dal quadratodel modulo di < b′|U(t, t0)|a′ >:

| < b′|U(t, t0)|a′ > |2 (4.42)5Notiamo che, se vale la soluzione (4.9) per U , HH = H indipendente dal tempo.


Se ci poniamo la stessa domanda nella visuale di Heisenberg, la risposta eancora piu semplice. Il ket di stato del sistema e |a′ >H= |a′ > e non cambianel tempo, ma l’autoket di B e cambiato e la probabilita e il quadrato delmodulo di H< b′, t|a′ >

|H< b′, t|a′ > |2. (4.43)

Le due probabilita coincidono

P|a′>→|b′,t>H= |H< b′, t|a′ > |2 = | < b′|U(t, t0)|a′ > |2, (4.44)

e P viene chiamata probabilita di transizione dallo stato |a′ > a |b′ >,modulo quadro di una ampiezza di transizione.

Problema. Calcolare, nella visuale di Heisenberg, i commutatori degli ope-ratori posizione, a tempi diversi, per una particella libera di massa m. Qualiconclusioni possiamo trarne per l’incertezza sulle coordinate ?.

Soluzione

L’Hamiltoniana e

H =p2

2me, poiche pj commuta con ogni funzione di pk, si ha dalla (4.35)

dpj

dt=

1i~

[pj ,H] = 0, (j = 1, 2, 3),

e l’operatore impulso e una costante del moto, lo stesso a tutti gli istanti: pj(t) =pj(0). Ricordando che, dalla (3.87),

[xj , F (p)] = i~∂F

∂pj,

abbiamo anchedxj

dt=

1i~

[xj ,H] =pj

m=pj(0)m

. (4.45)

Risolvendo la (4.45) si ha

xj(t) = xj(0) +(pj(0)m

)t,

che ricorda l’equazione classica di un moto rettilineo e uniforme. Ora e possibilecalcolare il commutatore degli operatori xj(t) e xj(0) a tempi diversi notando che,a tempi eguali, vale la (4.38)

[xj(t), xj(0)] =[pj(0)m

,xj(0)]

= −i ~mt. (4.46)

Applicando la relazione di indeterminazione (3.43), si ha

∆xj(t) ∆xj(0) ≥ ~t2m

. (4.47)


Questa relazione implica che, anche se la particella e ben localizzata per t = 0, la suaposizione diventa sempre piu incerta al passare del tempo. A questa conclusionesi puo giungere anche studiando l’evoluzione temporale di un pacchetto d’ondagaussiano.

4.4 Relazione di indeterminazione tempo-energia

In meccanica quantistica il tempo e un parametro, non e una variabile di-namica, e non e possibile definire lo scarto quadratico medio, o fluttuazione,del tempo. La relazione di indeterminazione tempo-energia ha un’origineed una interpretazione diversa dalle relazioni di indeterminazione posizione-impulso. Partendo dalla visuale di Heisenberg e facile dare un enunciatorigoroso di questa relazione.

Poiche |α >H non dipende dal tempo, l’evoluzione nel tempo del valormedio di una osservabile AH e determinata dall’equazione

d < A >

dt=

d

dtH< α|AH |α >H= H< α|dAH

dt|α >H ,

e, se A non dipende esplicitamente dal tempo, tramite la (4.35) si ottiene

d < A >

dt=

1i~< [A,H] > (4.48)

che coincide con (4.12). Supponiamo che A sia una osservabile di un sistemaquantistico il cui Hamiltoniano H non dipende esplicitamente dal tempo.Consideriamo la disuguaglianza (3.49), dimostrata nel capitolo precedente,

∆A∆B ≥ 12| < [A,B] > |.

Se identifichiamo B con l’Hamiltoniano H del sistema e poniamo

∆E = (< H2 > − < H >2)1/2,

otteniamo la disuguaglianza

∆A|d < A > /dt|

∆E ≥ ~2, (4.49)

avendo usato l’equazione (4.48) per eliminare il valor medio del commuta-tore. Il tempo τA, definito dalla

τA =∆A

|d < A > /dt|,

4.5 Costanti del moto e proprieta di invarianza 79

e un tempo caratteristico dell’evoluzione della distribuzione statistica di A:e il tempo necessario affinche il centro di questa distribuzione, < A >,si sposti di una quantita pari alla sua larghezza ∆A o, in altre parole,il tempo necessario affinche questa distribuzione statistica sia modificatasensibilmente.

In tal modo si puo definire, per ogni variabile dinamica del sistema,un tempo caratteristico di evoluzione. Se τ e il piu piccolo dei tempi cosıdefiniti, τ puo essere considerato come un tempo caratteristico di evoluzionedel sistema stesso: in un intervallo di tempo inferiore a τ , la distribuzionestatistica dei risultati di una qualunque misura non cambia sensibilmente.Dalla disuguaglianza (4.49) discende la relazione di indeterminazione tempo-energia

τ ∆E ≥ ~2. (4.50)

Nel problema della precessione dello spin in campo magnetico, con Hamil-toniana (4.25), il ket di stato, che inizialmente e |+ >x, comincia a perderela sua identita dopo un tempo

τ ≈ ~2∆E

=1ω,

come risulta chiaro dalla (4.29), perche < Sx >, al tempo τ , diventa ∼ ~/3.7mentre inizialmente era ~/2.

4.5 Costanti del moto e proprieta di invarianza

Ricordiamo dapprima come si affronta questo problema in meccanica clas-sica. Se la Lagrangiana, funzione delle coordinate qi e delle loro derivate ˙qi

(i = 1, 2, . . . , n), non dipende dalla coordinata j-esima si ha

∂L∂qj

= 0,

e, dalle equazioni del moto, segue che

d

dt

∂L∂qj

= 0.

Essendo, per definizione, ∂L/∂qj = pj l’impulso generalizzato, si ottiene

dpj

dt= 0.

Cosı, se L non cambia per la traslazione qj → qj + δqj , il momento canonicoconiugato di qj si conserva o, in altre parole, pj e una costante del moto.Analogamente, dalle equazioni di Hamilton, se

∂H

∂qj= 0,


allora dpj/dt = 0.

In meccanica quantistica, la nozione di costante del moto diventa parti-colarmente semplice in visuale di Heisenberg. Una variabile dinamica, chenon dipende esplicitamente dal tempo, e una costante del moto se l’osserv-abile CH , che la rappresenta in visuale di Heisenberg, resta costante neltempo. Per una costante del moto vale quindi la relazione, dalla (4.35),

i~dCH

dt= [CH ,HH ] = 0, (4.51)

e costanti del moto saranno quindi tutte le osservabili che commutano conl’Hamiltoniana. Cio e vero anche nella visuale di Schrodinger, perche

CH(t) = CH(t0) = CS = C.

In visuale di Schrodinger, se il sistema si trova in un autostato di C, all’is-tante t0, con autovalore c′, si avra, poiche C commuta con l’operatore dievoluzione,

CU(t, t0)|c′ >= U(t, t0)C|c′ >= c′U(t, t0)|c′ > .

In altre parole, se (4.51) e soddisfatta, un autoket di C rimane sempre unautoket di C con lo stesso autovalore. Diremo, in tal caso, che c′ e un buonnumero quantico.

Nel problema, che precede questa sezione, abbiamo visto che l’impulsop e una costante del moto per una particella libera. L’Hamiltoniana in-fatti commuta con p ed e facile mostrare che e anche invariante per unatraslazione infinitesima

T (ξ) = 1− iξ · p~

.

L’invarianza di H rispetto alla traslazione T implica che

T †HT = H,

ma questa relazione e certamente soddisfatta, perche [p,H] = 0 per unaparticella libera.

4.6 L’operatore densita

Il formalismo della meccanica quantistica sviluppato finora fornisce predi-zioni statistiche per un insieme di sistemi fisici preparati in modo identico.In una misura ideale, tutti gli elementi di questo insieme devono esserecaratterizzati da un medesimo ket di stato |α >. Abbiamo gia consideratoesperimenti ideali in cui l’apparato di Stern e Gerlach, con una delle due

4.6 L’operatore densita 81

componenti bloccata, agisce da filtro fornendo fasci di atomi tutti nello stes-so stato di spin. Ma, se consideriamo gli atomi d’argento che escono dallafornace prima di entrare nell’apparato di Stern e Gerlach, ci rendiamo con-to che il formalismo che abbiamo a disposizione non permette di descriverequesto insieme di atomi che e completamente casuale per quanto riguardal’orientazione dello spin. Si tratta di un insieme non polarizzato e nessunket di stato, anche il piu generale, puo descrivere questo insieme.

Quando abbiamo a che fare con un insieme statistico di N sistemi, tutticon la stessa struttura ma in stati quantistici diversi, tutto quello che pos-siamo fare e una specie di censimento per sapere che una frazione N1/N disistemi si trova nello stato |α1 >, N2/N nello stato |α2 > e cosı via. Nonpotendo identificare i singoli membri dell’insieme, ci accontentiamo di direche un sistema dell’insieme ha certe probabilita w1, w2, . . . di trovarsi neglistati rappresentati dai ket |α1 >, |α2 >, . . .. Evidentemente le popolazionipercentuali dei vari stati devono soddisfare la condizione di normalizzazione∑

i

wi = 1, (4.52)

e wi ≥ 0. Per esempio, per un sistema di spin 1/2, il 40% degli spin puotrovarsi nello stato |+ >, il 30% nello stato |+ >x e il restante 30% nellostato |− >y. Vediamo che i ket |αi > non devono essere necessariamenteortogonali, anche se possiamo sempre supporre che siano normalizzati, eche il numero di termini, nella somma (4.52) puo non coincidere con ladimensionalita dello spazio degli stati, che e due in questo caso.

Data una certa miscela statistica di stati, supponiamo di effettuare lamisura di una osservabile A. Il valor medio < A > dei risultati dellamisura ha una certa probabilita wi di essere uguale a < A >i=< αi|A|αi >,supponendo che < αi|αi >= 1. Possiamo quindi scrivere

< A >=∑

i

wi < αi|A|αi >, (4.53)

e, se |a′ > e un autoket di A,

< A >=∑

i

∑a′

wi| < a′|αi > |2 a′. (4.54)

Il concetto di probabilita compare in (4.54) due volte: in | < a′|αi > |2, perla probabilita che lo stato |αi > si trovi in un autostato |a′ > di A, e nelfattore wi che da la probabilita di trovare nell’insieme uno stato dinamicocaratterizzato da |αi >.

E’ comodo descrivere una miscela statistica tramite l’operatore densita

ρ =∑

i

wi|αi >< αi|, (4.55)


perche il valor medio della osservabile A e la traccia di (ρA)

< A >= Tr(ρA). (4.56)

Infatti, in una base generica |b′ >

< A >=∑

i

wi

∑b′

∑b”

< αi|b′ >< b′|A|b” >< b”|αi >=

=∑b′ b”

(∑i

wi < b”|αi >< αi|b′ >

)< b′|A|b” >,

e gli elementi di matrice di ρ diventano in questa base

< b”|ρ|b′ >=∑

i

wi < b”|αi >< αi|b′ > .

Quindi< A >=

∑b′

∑b”

< b”|ρ|b′ >< b′|A|b” >= Tr(ρA).

L’operatore ρ e Hermitiano, come si vede subito dalla definizione perche ilproiettore |αi >< αi| e Hermitiano, e

Tr(ρ) = 1, (4.57)

perche il valor medio dell’operatore identita 1 e 1. L’operatore densita e unoperatore Hermitiano definito positivo 6 e la sua traccia e uno.

Dalla (4.54) otteniamo la probabilita che il risultato della misura di Asia proprio il suo autovalore a′ nella forma∑

i

wi| < a′|αi > |2

che possiamo scrivere come Tr(ρ|a′ >< a′|). Poiche e sufficiente conoscereρ per calcolare tutte le quantita fisicamente misurabili, valori medi e dis-tribuzioni statistiche, possiamo considerare identiche due miscele statisticheche abbiano lo stesso operatore densita. Ogni miscela quantistica di stati ecompletamente definita dal suo operatore densita. Il formalismo dell’opera-tore densita permette anche di trattare i casi puri come caso particolare diuna miscela statistica. Un insieme puro e specificato da wk = 1 per un certo|αk > e wi = 0 per i 6= k; in questo caso

ρ = |αk >< αk|,

e ρ2 = ρ e un operatore idempotente. Abbiamo anche, ma solo per uninsieme puro, Tr(ρ2) = 1.

6Un operatore Hermitiano X e definito positivo se < α|X|α >≥ 0, qualunque sia |α >.

4.6 L’operatore densita 83

Calcoliamo, come esempio, la matrice densita di un fascio puro di atomicon spin 1/2, tutti nello stato |+ >, nella base degli autoket di Sz. Si avra

ρ = |+ >< +| .=(

10

)( 1 0 ) =

(1 00 0

),

e< Sz >= Tr(ρSz) =

~2, < Sx >= 0, < Sy >= 0.

Se il fascio di atomi fosse completamente polarizzato nella direzione negativadell’asse x, e quindi nello stato |− >x, si avrebbe

ρ = |− >x x< −| =12(|+ > −|− >)(< +|− < −|) .=

(1/2 −1/2−1/2 1/2

).

In entrambi i casi, come si puo verificare facilmente, ρ2 = ρ e Tr(ρ2) =Tr(ρ) = 1.

Problema. Scrivere la matrice densita per un fascio parzialmente polarizzatodi spin 1/2, miscela statistica al 75% e 25% di due insiemi puri negli stati|+ > e |+ >x, rispettivamente.

Soluzione

Dalla definizione (4.55) si ha

ρ =34|+ >< +|+ 1

4|+ >x x< +| .=

(7/8 1/81/8 1/8

).

Il calcolo dei valori medi delle osservabili da

< Sx >=~8, < Sy >= 0, < Sz >=

3~8.

Si noti che, in questo caso, ρ2 6= ρ e Tr(ρ2) = 13/16.

Problema. Il fascio di atomi di spin 1/2, che escono dalla fornace nell’ap-parato di Stern e Gerlach, non e polarizzato e puo essere considerato comeuna miscela incoerente degli stati |+ > e |− > in eguali proporzioni. Ilsuo stato di spin puo essere scritto come

1√2(e1|+ > +e2|− >), (4.58)

dove e1 ed e2 sono numeri complessi di modulo 1 con fase relative casuali 7,cioe soddisfano le relazioni

|e1|2 = |e2|2 = 1, e∗1e2 = e∗2e1 = 0, (4.59)7Si noti la differenza con un ket di stato in cui la fase relativa deve essere definita.


dove la barra sopra una grandezza indica la media su tutti i valori della faserelativa. Calcolare la matrice densita, nella base |+ >, |− >, di questamiscela statistica e i valori medi delle osservabili di spin.

Soluzione

Calcoliamo dapprima il proiettore relativo allo stato ”incoerente” (4.58)

12(e1|+ > +e2|− >)(e∗1 < +|+ e∗2 < −|) =

=12(|+ >< +|+ |− >< −|+ e1e

∗2|+ >< −|+ e2e

∗1|− >< +|). (4.60)

L’operatore densita e la media, su tutti i valori della fase relativa, dell’espressione(4.60) e, dalle (4.59), si ottiene

ρ =12|+ >< +|+ 1

2|− >< −| .=

(1/2 00 1/2

).

Questo insieme puo essere considerato come una miscela incoerente di un insieme|+ > e un insieme |− > con eguale peso (oppure di |+ >x e |− >x con lo stessopeso).

Poiche ρ, in queto caso, e proprio la matrice unita, divisa per 2, si ha

Tr(ρSi) =< Si >= 0, (i = 1, 2, 3),

perche Tr(Si) = 0. Il risultato < S >= 0 e ragionevole perche non ci deve esserenessuna direzione privilegiata dello spin in un insieme completamente casuale dispin 1/2.

Concludiamo questa sezione derivando l’evoluzione temporale di unamiscela statistica. In visuale di Heisenberg, l’operatore densita resta im-mobile (ρH = ρt=t0) mentre le grandezze fisiche sono rappresentate daosservabili che evolvono nel tempo secondo l’equazione di Heisenberg (4.35).

Passiamo alla visuale di Schrodinger. Se, all’istante t0, lo stato dinamicodel sistema e rappresentato dalla miscela di ket |α1, t0 >, |α2, t0 >, . . . con ipesi statistici w1, w2, . . ., ogni componente della miscela evolve nel tempo

|αi, t >= U(t, t0)|αi, t0 >,

mentre i pesi statistici wi restano gli stessi se l’insieme non viene perturbato.Avremo quindi

ρ(t) =∑

i

U(t, t0)|αi, t0 > wi < αi, t0|U†(t, t0) =

= U(t, t0)ρ(t0)U†(t, t0),

4.7 L’oscillatore armonico 85

e, dall’equazione di Schrodinger per U(t, t0),

i~∂ρ

∂t= Hρ− ρH = −[ρ,H]. (4.61)

Le grandezze che figurano in (4.61) sono operatori nella visuale di Schrodingere, malgrado la somiglianza, questa equazione non ha nulla a che fare conl’equazione di Heisenberg. L’equazione (4.61) e l’analogo quantistico delteorema di Liouville in meccanica statistica classica 8.

4.7 L’oscillatore armonico

Insieme con l’atomo di idrogeno, l’oscillatore armonico e uno dei pochi pro-blemi realistici che si sappia risolvere esattamente in meccanica quantistica.In meccanica classica, l’oscillatore armonico e una particella che si muovelungo un asse, per esempio lungo x, soggetta ad una forza di richiamo pro-porzionale alla sua distanza da un punto fisso sull’asse. Il problema quan-tistico corrispondente e quello di una particella, in una dimensione, conHamiltoniano

H =p2

2m+mω2x2

2(4.62)

dove le osservabili x e p soddisfano le relazioni di commutazione [x, p] = i~1.

L’importanza dell’oscillatore armonico e dovuta al fatto che un Hamilto-niano della forma (4.62) compare in elettrodinamica quantistica, e piu gen-eralmente in teoria quantistica dei campi, nella teoria delle vibrazioni dellemolecole e dei cristalli e in tutti i problemi in cui intervengono oscillazioniquantizzate.

4.7.1 Autovalori e autoket di H

Consideriamo dapprima il problema degli autovalori di H, nell’equazione(4.62), che ci fornira anche gli stati stazionari del sistema. E’ convenienteintrodurre un nuovo operatore, non Hermitiano,

a =√mω

2~

(x+ i

p

mω

), (4.63)

e il suo aggiunto a†

a† =√mω

2~

(x− i p

mω

). (4.64)

8∂ρclass./∂t = −ρclass., H dove ρclass. e la densita nello spazio delle fasi e laparentesi e quella di Poisson. Da qui, il nome di operatore densita per ρ.


La relazione di commutazione [x, p] = i~1 da

[a, a†] = 1 (4.65)

e, ponendoN = a†a, (4.66)

si ottiene facilmente

H = ~ω(a†a+ 1/2) = ~ω(N + 1/2). (4.67)

Da (4.65) e (4.66), otteniamo anche le identita importanti

Na = a(N − 1), Na† = a†(N + 1), (4.68)

ed ora abbiamo tutti gli elementi per determinare gli autoket comuni di Ned H.

Se |ν > e un autoket di N e ν l’autovalore corrispondente, avremo

N |ν >= ν|ν >, < ν|ν > ≥ 0, (4.69)

ed e facile vedere che ν deve essere positivo o nullo. Infatti, la norma delket (a|ν >) deve essere positiva o nulla, quindi

(< ν|a†) · (a|ν >) =< ν|N |ν >= ν < ν|ν > ≥ 0, (4.70)

e ν ≥ 0. Il caso ν = 0 implica anche a|ν >= 0, mentre la norma di a†|ν >)e sempre positiva

(< ν|a) · (a†|ν >) =< ν|(N + 1)|ν >= (ν + 1) < ν|ν > .

Le identita (4.68) provano che a|ν > e un autoket di N con autovalore (ν−1)

Na|ν >= a(N − 1)|ν >= (ν − 1)a|ν >, (4.71)

e, analogamente, a†|ν > e un autoket di N con autovalore (ν + 1):

Na†|ν >= a†(N + 1)|ν >= (ν + 1)a†|ν > . (4.72)

Possiamo pensare di applicare l’operatore a piu volte ad un autoket |ν > diN creando la successione di autoket 9

a|ν >, a2|ν >, . . . ap|ν > . . .

con i corrispondenti autovalori, per la (4.71),

ν − 1, ν − 2, . . . , ν − p, . . .9Questo procedimento si chiama metodo della scala o ”ladder”.


Questa successione ha certamente un numero finito di termini perche gliautovalori di N sono limitati inferiormente dallo zero: ν ≥ 0. In altreparole, i ket di questa successione sono tutti nulli a partire da un certo ket,per esempio, da an+1|ν >: l’azione di a sull’autoket non nullo an|ν >, checorrisponde all’autovalore ν − n, da zero; per la (4.70), anche ν − n deveessere nullo, cioe ν = n con n = 0, 1, 2, . . .. Lo spettro degli autovalori di Ne dato dalla successione dei numeri interi non negativi.

Dalla (4.67) otteniamo il risultato importante: l’equazione agli autovaloriper H diventa

H|n >= ~ω(n+ 1/2)|n >, (4.73)

e gli autovalori sonoEn = ~ω(n+ 1/2). (4.74)

Possiamo anche determinare tutti gli autoket normalizzati di H

< n|n′ >= δnn′ , (4.75)

partendo dal ket |0 >. Se confrontiamo le equazioni (4.71) e (4.72) conl’equazione agli autovalori N |n >= n|n >, si vede che deve essere

a†|n >∝ |n+ 1 >, a|n >∝ |n− 1 >,

e, dalla condizione di normalizzazione (4.75),

a†|n >=√n+ 1 |n+ 1 >, a|n >=

√n |n− 1 >, (n > 0) (4.76)

mentrea|0 >= 0. (4.77)

Con l’aiuto delle equazioni precedenti si puo esprimere un autoket |n >generico tramite il ket |0 >

|n >=1√na†|n− 1 >=

1√n(n− 1)

(a†)2|n− 2 >= . . . =

=1√n!

(a†)n|0 > . (4.78)

La generalizzazione ad uno spazio a 2, 3, . . . dimensioni segue le stesselinee. L’Hamiltoniano totale e la somma di tanti Hamiltoniani della for-ma (4.62), e lo spazio degli stati e il prodotto diretto degli spazi degli statirelativi a piu oscillatori unidimensionali. Il ket di stato sara della forma|n1, n2, . . . >= |n1 > |n2 > . . . dove gli indici si riferiscono ai diversi oscilla-tori armonici unidimensionali. L’energia del sistema sara, in p dimensioni,(n1 + n2 + . . .+ np + p/2)~ω ma, a differenza del caso unidimensionale, gliautovalori saranno degeneri. In effetti ci saranno piu successioni diverse dinumeri interi (n1 + n2 + . . .+ np) che danno la stessa somma.


4.7.2 La rappresentazione N

I ket |0 >, |1 >, |2 >, . . . formano una base ortonormale completa di unarappresentazione che chiameremo rappresentazione N. Dalle equazioni(4.75) e (4.76) si ottengono gli elementi di matrice

< n′|a|n >=√nδn′, n−1, e < n′|a†|n >=

√n+ 1δn′, n+1

che, assieme alle relazioni

x =

√~

2mω(a+ a†), p = −i

√m~ω

2(a− a†),

permettono di ricavare gli elementi di matrice degli operatori x e p

< n′|x|n >=

√~

2mω(√nδn′, n−1 +

√n+ 1δn′, n+1), (4.79)

< n′|p|n >= −i√m~ω

2(√nδn′, n−1 −

√n+ 1δn′, n+1). (4.80)

Siccome a, a†, x e p non commutano con N , nella rappresentazione N lematrici che rappresentano questi operatori non sono diagonali e si invita illettore ad esplicitare la struttura di queste matrici sulla base delle formuleappena ricavate.

Nel formalismo che stiamo sviluppando, gli operatori N, a† ed a nonhanno alcun significato fisico immediato. In teoria quantistica dei campi, enella teoria delle vibrazioni dei cristalli e delle molecole, il problema degliautovalori di H ha un’altra interpretazione. Poiche i livelli energetici sonoequidistanti di ~ω, si puo considerare H come l’Hamiltoniano di un sistemadi corpuscoli indistinguibili, che possiedono tutti l’energia ~ω e il cui numeroN puo cambiare. Ogni autostato di H corrisponde ad un valore ben precisodi N e quindi ad un valore determinato dell’energia dell’insieme. Cosı |n >rappresenta uno stato con n corpuscoli, |0 > il vuoto con zero corpuscolie, quando si passa dallo stato |n > allo stato |n + 1 >, il numero di cor-puscoli cresce di una unita e l’energia totale aumenta di ~ω. L’operatorea† trasforma, in questa interpretazione, uno stato di n corpuscoli in unostato con (n + 1) corpuscoli: a† e un operatore di creazione. L’operatore adiminuisce, invece, di uno il numero di corpuscoli presenti: a e un operatoredi annichilazione o distruzione.

Troviamo, ora, le autofunzioni dell’energia nello spazio delle coordinate:< x′|n >. Moltiplichiamo l’equazione (4.77) per il ket |x′ > e, ricordando la(4.63), otteniamo

< x′|a|0 >=√mω

2~< x′|x+ i

p

mω|0 >= 0.


Come abbiamo gia visto, < x′|p|α >= −i~∂ < x′|α > /∂x′ e l’equazioneprecedente diventa una equazione differenziale per < x′|0 >:(

x′ +~mω

d

dx′

)< x′|0 >= 0, (4.81)

che, definendo la scala delle lunghezze dell’oscillatore come

x0 ≡√

~mω

,

puo essere risolta nella forma (normalizzata)

< x′|0 >=(

1π1/4√x0

)e− 1

2

(x′x0

)2

. (4.82)

Le autofunzioni dell’energia per gli stati eccitati si ottengono dalla (4.78)

< x′|n >=1√n!< x′|(a†)n|0 >=

=1√n!

(1√2x0

)n(x′ − x2

0

d

dx′

)n

< x′|0 >,

che, per la (4.82), possiamo scrivere nella forma

< x′|n >=(

1π1/4√

2nn!

)(1

xn+1/20

)(x′ − x2

0

d

dx′

)n

e− 1

2

(x′x0

)2

. (4.83)

La relazione di questa soluzione con quella ottenuta dall’equazione di Schro-dinger sviluppando in serie l’autofunzione, si basa sull’identita fra operatori(

x′ − d

dx′

)≡(−e

12x′2 d

dx′e−

12x′2),

e sulla definizione dei polinomi di Hermite

Hn(x) = (−1)nex2

(d

dx

)n

e−x2. (4.84)

4.7.3 Evoluzione temporale dell’oscillatore

Consideriamo l’oscillatore armonico in visuale di Heisenberg. Quello cheabbiamo fatto finora varra ad un certo istante, per esempio a t = 0, e glioperatori x, p, a, a† possono essere considerati come operatori nella visualedi Schrodinger, per ogni t, o come operatori nella visuale di Heisenberg pert = 0. Trascureremo, nel seguito, l’indice H e, anche se non lo scriveremoesplicitamente, x significhera xH(t), ecc..


Scriviamo le equazioni di Heisenberg per gli operatori a e a†

i~da

dt= [a,H] = ~ωa, i~

da†

dt= [a†,H] = −~ωa†, (4.85)

dove abbiamo usato le (4.65) e (4.67). Non e difficile risolvere queste equazioni,le soluzioni sono

a(t) = a(0)e−iωt, e a†(t) = a†(0)eiωt. (4.86)

Queste equazioni mostrano che N ed H sono indipendenti dal tempo anchenella visuale di Heisenberg e permettono di ricavare x(t) e p(t) dalle (4.63)e (4.64). Infatti, dalle equazioni (4.86), esplicitando a e a† in termini di x ep, si ha

x(t) + ip(t)mω

=(x(0) + i

p(0)mω

)e−iωt,

x(t)− ip(t)mω

=(x(0)− ip(0)

mω

)eiωt,

e, sommando e sottraendo queste due equazioni,

x(t) = x(0) cos(ωt) +p(0)mω

sin(ωt), (4.87)

p(t) = −mωx(0) sin(ωt) + p(0) cos(ωt). (4.88)

In un oscillatore armonico classico, la posizione e l’impulso sono funzioniperiodiche semplici del tempo con pulsazione ω. Finora l’analogia con il casoquantistico e perfetta. Se fissiamo l’energia dell’oscillatore classico, i valorimedi su un periodo della posizione e dell’impulso sono nulli, inoltre l’energiacinetica e l’energia potenziale medie sono eguali ed indipendenti dal tempo.

L’oscillatore quantistico in uno stato stazionario, |n >, ha un’energia benprecisa e costante nel tempo: (n + 1/2)~ω = En. In uno stato stazionario,otteniamo subito da (4.87) e (4.88)

< n|x|n >=< n|p|n >= 0,

perche a e a† hanno elementi diagonali nulli nella rappresentazione N,mentre

< n|x2|n >=~

2mω< n|a†a+ aa†|n >=

En

mω2(4.89)

e< n|p2|n >=

m~ω2

< n|a†a+ aa†|n >= mEn. (4.90)

L’identita dei valori medi classici e quantistici, per ogni n, e una proprietacaratteristica del solo oscillatore armonico.


Dalle equazioni (4.89) e (4.90) otteniamo immediatamente le relazioni diindeterminazione per gli operatori x e p nello stato |n >

∆x∆p =

√En

mω2·√mEn =

En

ω= (n+ 1/2)~, (4.91)

e, per lo stato fondamentale, con n = 0, le relazioni di indeterminazione sonosoddisfatte come uguaglianza. Cio non deve stupirci in quanto la funzioned’onda nello stato fondamentale e un pacchetto d’onda gaussiano.

4.7.4 Oscillatore armonico in equilibrio termodinamico

Un oscillatore armonico, in equilibrio termodinamico con un termostato allatemperatura T , non e in uno stato puro, cioe e impossibile descrivere il suostato con un ket |α >. Si dovra trattare come una miscela statistica distati stazionari |n > con pesi proporzionali ad exp(−En/(kT )), dove k ela costante di Boltzmann ed En = (n + 1/2)~ω. L’operatore densita ha laforma

ρ =∑

n

e−En/(kT )

Z|n >< n|, (4.92)

doveZ =

∑n

e−En/(kT ), (4.93)

per soddisfare la condizione di normalizzazione (4.52).

Vogliamo calcolare l’energia media di questo oscillatore

< H >= Tr (Hρ) =1Z

∑n

Ene−En/(kT ), (4.94)

e cominciamo con il calcolo di Z. Si ha, dalla (4.93),

Z =∑

n

e−(n+1/2)~ω/(kT ) = e−~ω/(2kT )∑

n

(e−~ω/(kT )

)n,

e riconosciamo, nell’ultima somma, la serie geometrica per cui

Z =e−~ω/(2kT )

1− e−~ω/(kT ). (4.95)

La somma in (4.94) puo essere calcolata facilmente notando che

dZ

dT=

1kT 2

∑n

(n+ 1/2)~ωe−(n+1/2)~ω/(kT ),

si ha quindi

< H >= kT 2 1Z

dZ

dT


e, dopo alcuni semplici calcoli,

< H >=12

~ω +~ω

e−~ω/(kT ) − 1. (4.96)

Si ritrova la formula di Planck, a meno della costante ~ω/2, per l’ener-gia media di un oscillatore quantizzato. Si noti che ~ω/2 corrisponde allostato fondamentale dell’oscillatore e, in questo stato, nessuna energia puoessere irraggiata dalla cavita. Come energia media, nella formula di Planck,dovremo prendere quindi < H > −~ω/2.

Bibliografia consigliata: [5], [4], [3]

Capitolo 5

Il momento angolare

5.1 Isotropia dello spazio ordinario e trasformazionidel ket di stato

L’argomento che affronteremo nel seguito riguarda le rotazioni nello spaziotridimensionale ordinario e la loro descrizione formale nello spazio astrattodei ket; esso ha un ruolo importante in molte applicazioni della meccanicaquantistica. La meccanica quantistica e basata sull’ipotesi fondamentaleche lo spazio tridimensionale ordinario obbedisca alle leggi delle geometriaEuclidea e sia omogeneo e isotropo. Cio significa che possiamo cambiarela posizione e l’orientazione dell’intero apparato di misura e del sistemaquantistico senza modificare il risultato dell’esperimento. Cio e vero nellospazio vuoto per un sistema chiuso, o isolato, ma, in fisica quantistica che sioccupa di processi atomici o nucleari in cui gli effetti gravitazionali hannodi solito un ruolo trascurabile, anche la gravita puo essere quasi sempredimenticata. Per esempio, se ruotiamo l’intero apparato di Stern e Gerlach,attorno a qualsiasi asse e di un angolo arbitrario, il risultato delle misure dispin non cambia.

Per una rotazione del sistema fisico, cambia tuttavia il ket di stato che lodescrive. Data una operazione di rotazione R, nello spazio tridimensionaleordinario, possiamo associare ad essa un operatore D(R) nello spazio deiket, in modo che

|α>R= D(R)|α>, (5.1)

dove |α>R e |α> rappresentano i ket di stato del sistema ruotato e del siste-ma originale, rispettivamente. Mentre R agisce sullo spazio tridimensionalein cui viviamo, l’operatore D(R) agisce su uno spazio vettoriale complessole cui dimensioni dipendono dal sistema fisico considerato.

Sappiamo, dalla meccanica classica, che il momento angolare e il genera-tore delle rotazioni, come l’impulso e l’Hamiltoniana sono, rispettivamente,

94 Il momento angolare

i generatori delle traslazioni spaziali e dell’evoluzione temporale. Definiamoquindi l’operatore momento angolare J richiedendo che l’operatore per unarotazione infinitesima attorno all’asse xk di un angolo dφ sia

D(xk, dφ) = 1− iJk dφ

~(5.2)

o, in generale,

D(n, dφ) = 1− i(

J · n~

)dφ, (5.3)

dove n e il versore dell’asse di rotazione.

Se tutte le probabilita devono essere invarianti per rotazione, D(R) dovraessere un operatore unitario e cio implica, come ben sappiamo, che gli op-eratori Jk (k = 1, 2, 3) siano Hermitiani. Una rotazione finita si ottienetramite successive rotazioni infinitesime attorno allo stesso asse. Per esem-pio, se vogliamo l’operatore corrispondente ad una rotazione finita di unangolo φ attorno all’asse z, considereremo il limite

D(z, φ) = limn→∞

[1− i

(Jz

~

)φ

n

]n

= e−iJzφ/~. (5.4)

L’esponenziale di un operatore e definito, come al solito, dal limite in (5.4)o dallo sviluppo in serie di potenze dell’esponenziale. L’equazione (5.4) sipuo facilmente generalizzare al caso di una rotazione finita attorno ad unasse definito dal versore n

D(n, φ) = e−iJ·nφ/~. (5.5)

Per ottenere le relazioni di commutazione delle componenti dell’opera-tore momento angolare, richiediamo che la corrispondenza fra le rotazioniR dello spazio tridimensionale e gli operatori di rotazione D(R) sia biu-nivoca e postuliamo che gli operatori D(R) godano delle stesse proprietagruppali delle rotazioni R. Per chiarire il significato di questo postulato enecessario aprire una parentesi e, nella prossima sezione, compariranno al-cune definizioni generali relative ai gruppi ed alle loro rappresentazioni conesempi relativi al gruppo delle rotazioni in R3, lo spazio tridimensionaleordinario.

5.2 Il gruppo delle rotazioni dello spazio tridimen-sionale

5.2.1 Definizione generale di un gruppo

Un insieme G di elementi g1, g2, . . . e chiamato un gruppo se:

5.2 Gruppo delle rotazioni 95

1. e definita in G una legge di composizione g1 g2, detta prodotto di dueelementi qualunque g1, g2 ∈ G, e g1 g2 ∈ G;

2. (g1g2)g3 = g1(g2g3) per tre elementi qualunque g1, g2, g3 ∈ G;

3. G contiene un elemento e tale che

e g = g e = g (5.6)

per ogni g ∈ G; l’elemento e e detto elemento unita del gruppo G;

4. per ogni elemento g ∈ G, esiste un elemento h ∈ G tale che

h g = g h = e. (5.7)

L’elemento h e detto inverso dell’elemento g e si indica con g−1.

Notiamo che, in un gruppo G, puo esistere un solo elemento unita e adogni elemento g corrisponde un solo inverso g−1. Notiamo anche che, ingenerale, g1 g2 6= g2 g1; se g1 g2 = g2 g1 per ogni g1, g2 ∈ G il gruppo si dicecommutativo o abeliano 1.

Se gli elementi g1, g2, . . . sono tutte le rotazioni possibili dello spaziotridimensionale attorno ad un punto fisso, indichiamo queste rotazioni coni simboli R,R′, R”, . . ., le condizioni precedenti sono tutte soddisfatte. Ilprodotto RR′ di due rotazioni e la rotazione ottenuta effettuando primala rotazione R′, poi la rotazione R; l’elemento unita del gruppo sara larotazione di un angolo nullo e l’inverso di una rotazione R sara quella che,effettuata dopo R, ripristinera la situazione iniziale. Il gruppo di tuttele rotazioni, indichiamolo con SO(3) (vedremo fra un momento perche), echiamato gruppo delle rotazioni dello spazio tridimensionale.

Una rotazione nello spazio a tre dimensioni puo’ essere applicata ai vet-tori di base o ai vettori dello spazio, queste due possibilita differiscono per ilsegno dell’angolo di rotazione. E’ infatti equivalente lasciare un vettore fissoe ruotare la base oppure lasciare la base fissa e ruotare il vettore in sensoopposto. Nel seguito useremo quest’ultima possibilita. Le componenti di unvettore v, che indichiamo con vi dove i = 1, 2, 3, possono essere pensate comegli elementi di una matrice con tre righe ed una colonna e una rotazione Rcome una matrice 3 × 3 con elementi Rij . Allora v′i = Rikvk rappresente-ra’ l’effetto della rotazione 2 e la condizione che la rotazione non cambi lalunghezza del vettore e l’angolo fra due vettori impone la condizione

RikRil = δkl (5.8)1Queste sono solo alcune indicazioni indispensabili sulla teoria dei gruppi, per la teoria

generale si vedano i testi specifici.2Si applica la convenzione che gli indici ripetuti si intendono sommati da 1 a 3.


cioe la matrice R e una matrice ortogonale e il suo determinante e egualead uno. Il gruppo di tutte le matrici ortogonali e di determinante unocostituiscono una realizzazione del gruppo SO(3). Si spiega cosı il nome datoa questo gruppo: 3 si riferisce alle dimensioni dello spazio, O alle matriciortogonali e S significa speciale, riferendosi al fatto che il determinante euno.

5.2.2 Definizione di rappresentazione

La nozione di rappresentazione di un gruppo generalizza quella di fun-zione esponenziale. Si puo definire la funzione esponenziale eax, rappre-sentazione del gruppo additivo dei numeri reali, come la soluzione continuadell’equazione funzionale

f(x+ y) = f(x)f(y), (5.9)

che soddisfa la condizione iniziale f ′(0) = a. La generalizzazione di questaequazione al caso di un gruppo qualunque G, ci conduce a considerare lefunzioni scalari, definite su G, che verificano l’equazione

f(g1g2) = f(g1)f(g2). (5.10)

Ma, nel caso di un gruppo non commutativo, tali funzioni sono troppo pocheperche dall’equazione (5.10) si otterrebbe

f(g1g2) = f(g1)f(g2) = f(g2)f(g1) = f(g2g1).

Percio le funzioni scalari, che soddisfano l’equazione (5.10), saranno insuf-ficienti a fornire la decomposizione di una funzione arbitraria F (g) definitasul gruppo G.

Per ottenere una famiglia sufficientemente ricca di soluzioni dell’equazione(5.10), si deve abbandonare le funzioni scalari e considerare funzioni i cuivalori sono o delle matrici oppure delle trasformazioni lineari. Poiche ilprodotto di matrici non e commutativo, la famiglia di tali soluzioni e suffi-cientemente grande. Arriviamo cosı alle soluzioni dell’equazione funzionale

T (g1g2) = T (g1)T (g2), (5.11)

dove g1 e g2 sono elementi del gruppo G e T e una funzione, definita suG, che assume i suoi valori nell’insieme delle trasformazioni lineari di unospazio vettoriale M. Queste soluzioni sono chiamate rappresentazioni delgruppo G. La rappresentazione T (g) e detta esatta se l’elemento unita, e,e l’unico elemento del gruppo per il quale T (e) = E, dove E e la trasfor-mazione identita inM. M si chiama lo spazio della rappresentazione T (g).Una rappresentazione e detta irriducibile se non esistono in M sottospazi

5.2 Gruppo delle rotazioni 97

invarianti rispetto a questa rappresentazione, eccetto l’elemento zero (0) elo spazio M tutto intero.

Riconosciamo nell’insieme delle matrici ortogonali 3 × 3 con determi-nante uno, una rappresentazione del gruppo SO(3), lo spazio della rappre-sentazione essendo la spazio tridimensionale ordinario R3.

5.2.3 Operatori infinitesimi di una rappresentazione

Supponiamo che ad ogni valore reale di un parametro t corrisponda unelemento del gruppo G e che, per ogni coppia di parametri reali (t, s), siabbia

g(t)g(s) = g(t+ s). (5.12)

Si dice allora che i g(t) formano una sottogruppo ad un parametro del gruppoG. Dall’equazione (5.12) si ricava che g(0) = e e che g(−t) = g−1(t). Esempidi sottogruppi ad un parametro sono l’insieme delle rotazioni attorno ad unasse fisso, sottogruppo delle rotazioni dello spazio euclideo, e il sottogruppodelle traslazioni in una direzione fissa che fa parte del gruppo delle traslazionidello spazio.

Se T (g) e una rappresentazione di un sottogruppo ad un parametro g(t)del gruppo G ed esiste il limite

A = limt→0

T (g(t))− Et

≡ dT (g(t))dt

∣∣∣∣t=0

, (5.13)

si dice che l’operatore A e l’operatore infinitesimo della rappresentazioneT (g), associata al sottogruppo ad un parametro g(t). Se M1 e il sot-tospazio, dello spazioM della rappresentazione di G, sul quale sono definitigli operatori exp(tA), si avra

d(etA)dt

∣∣∣∣t=0

= A. (5.14)

Dalle equazioni (5.13) e (5.14) segue, per l’unicita della soluzione di unaequazione differenziale, che

T (g(t)) = etA. (5.15)

Per un sottogruppo ad una parametro g(t), l’operatore infinitesimo A diquesto sottogruppo definisce la rappresentazione T (g). Negli esempi chetroveremo nel seguito, lo spazio degli operatori infinitesimi ha dimensionefinita e questa dimensione e uguale a quella del gruppo, cioe al numero diparametri necessari per definire il gruppo. Nel caso del gruppo delle rotazionidello spazio euclideo tridimensionale questa dimensione e pari a tre, percheoccorrono tre parametri per definire una rotazione nello spazio: i tre angoli


di Eulero oppure due angoli, che definiscono il versore dell’asse di rotazione,e l’angolo di rotazione.

Consideriamo, per esempio, una rotazione nello spazio tridimensionaleattorno all’asse z ≡ x3. Se φ e l’angolo di rotazione attorno a quest’asse, lecoordinate xi, (i = 1, 2, 3), di un punto trasformano nel modo seguente

x1′ = x1 cosφ− x2 sinφ, x2

′ = x1 sinφ+ x2 cosφ, x3′ = x3. (5.16)

Se, come al solito, pensiamo ai vettori xi e xi′ come matrici con tre righe e

una colonna, la matrice di trasformazione corrispondente a (5.16) e

R3(φ) =

∣∣∣∣∣∣cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ , (5.17)

e la matrice R3(φ) soddisfa la relazione

R3(φ1 + φ2) = R3(φ1)R3(φ2),

come e facile verificare eseguendo il prodotto delle matrici R3(φ1) e R3(φ2).Se sviluppiamo la matrice R3(φ) in serie intorno al punto φ = 0 si ottiene 3

R3(φ) = 1 + r3φ+ . . . ,

dove

r3 =

∣∣∣∣∣∣0 −1 01 0 00 0 0

∣∣∣∣∣∣ . (5.18)

La matrice r3 e la matrice infinitesima corrispondente ad una rotazione at-torno all’asse z, definita dalla condizione che 1 + r3φ e, a meno di infinites-imi di ordine superiore, la matrice di rotazione di un angolo φ infinitesimoattorno all’asse z.

Allo stesso modo si definiscono le matrici infinitesime

r1 =

∣∣∣∣∣∣0 0 00 0 −10 1 0

∣∣∣∣∣∣ , r2 =

∣∣∣∣∣∣0 0 10 0 0−1 0 0

∣∣∣∣∣∣ , (5.19)

che corrispondono alle rotazioni attorno agli assi x e y, rispettivamente,come e facile verificare permutando circolarmente gli indici x, y, z delle righee delle colonne. Si vede che 4

rk =dRk(φ)dφ

∣∣∣∣φ=0

e inversamente Rk(φ) = eφrk , k = 1, 2, 3. (5.20)

3Una serie di matrici A(1) + A(2) + . . ., dove A(n) = |a(n)jk |, e convergente se ognuna

delle serie sjk = a(1)jk + a

(2)jk + . . . e convergente. La somma della serie e la matrice |sjk|.

4La derivata di una matrice a(t) = |ajk(t)| e la matrice |a′jk(t)| ottenuta derivandoogni elemento di a(t).

5.3 Relazioni di commutazione 99

Quindi r1, r2, r3 sono gli operatori infinitesimi della rappresentazione diSO(3) nello spazio tridimensionale. La determinazione di tutte le rappre-sentazioni d’ordine finito del gruppo SO(3), in uno spazio R a n dimen-sioni, e basata sul fatto che gli operatori infinitesimi sono sempre legatifra di loro dalle stesse relazioni delle matrici infinitesime rk, k = 1, 2, 3anche se le dimensioni dello spazio sono diverse, Cio che rimane la stes-sa, in ogni rappresentazione, e l’algebra dei commutatori, o algebra di Liedel gruppo SO(3), che si ottiene da (5.18) e (5.19) calcolando le grandezze[ri, rk] = rirk − rkri, i, k = 1, 2, 3. Queste relazioni fondamentali hanno laforma

[r1, r2] = r3, [r2, r3] = r1, [r3, r1] = r2, (5.21)

oppure, in forma piu compatta,

[ri, rj ] = εijk rk, (5.22)

dove εijk e il tensore completamente antisimmetrico di rango 3, in tre di-mensioni, e la somma su k e sottointesa.

5.3 Relazioni di commutazione del momento an-golare. Esempi

Le relazioni di commutazione (5.22), degli operatori infinitesimi di SO(3),permettono di determinare le relazioni di commutazione del momento an-golare. Abbiamo infatti postulato che gli operatori di rotazione D(R) nellospazio dei ket abbiano le stesse proprieta gruppali delle rotazioni R dellospazio tridimensionale ordinario. Confrontando le equazioni (5.20) con la(5.5), vediamo che, in questo caso, i generatori infinitesimi rk sono statiscritti nella forma

rk = −iJk

~(k = 1, 2, 3). (5.23)

Le relazioni fondamentali (5.22), che sono le stesse in ogni rappresentazionedi SO(3), diventano

[Ji, Jk] = i~εiklJl (5.24)

ovvero, esplicitamente,

[Jx, Jy] = i~Jz, [Jy, Jz] = i~Jx, [Jz, Jx] = i~Jy. (5.25)

Le (5.24), o le (5.25), sono note come le relazioni fondamentali di com-mutazione del momento angolare e sintetizzano in modo compatto tutte leproprieta fondamentali delle rotazioni in tre dimensioni e il loro effetto sullospazio dei ket di qualunque sistema fisico.

Abbiamo gia ricavato esplicitamente le formule, analoghe alle (5.24), pergli operatori di spin nell’equazione (3.28)

[Si, Sk] = i~εiklSl, (5.26)


usando le rappresentazioni esplicite (3.18), (3.19) e (3.20) per questi opera-tori nella base degli autoket di Sz. Non e ovvio a priori che in natura esistaeffettivamente la realizzazione dimensionalmente piu bassa (bidimensionale)della (5.24), ma numerosi esperimenti provano l’esistenza dello spin e chequesta realizzazione esiste.

Supponiamo di eseguire una rotazione nello spazio tridimensionale di unangolo φ attorno all’asse z. L’effetto sul ket di un sistema di spin 1/2 e

|α>R= D(z, φ)|α>, (5.27)

dove |α> e il ket prima della rotazione ed |α>R il ket dopo la rotazione, edalla (5.4) si ha

D(z, φ) = e−iSzφ/~. (5.28)

L’effetto di questa rotazione sui valori medi < Sx > e < Sy >, per esempio

< Sx > → R<α|Sx|α>R=<α|D†(z, φ)SxD(z, φ)|α>, (5.29)

puo essere valutato con lo stesso metodo usato in un problema analogo, laprecessione dello spin in campo magnetico, nel capitolo precedente. L’Hamil-toniana di uno spin 1/2 in campo magnetico era della forma H = ωSz,dall’equazione (4.25), e l’operatore di evoluzione temporale era

U(t, 0) = e−iHt/~ = e−iSzωt/~,

che ha la stessa struttura dell’operatore di rotazione (5.28), se identifichiamoφ con ωt. Si capisce allora perche H causa la precessione dello spin.

La formula fondamentale (4.24) vale anche se poniamo H = Sz e t = φ eidentifichiamo E2 e E1 con ±~/2, rispettivamente. Otteniamo una relazioneimportante fra operatori

e−iSzφ/~ = 1 cos(φ

2

)− 2

i

~Sz sin

(φ

2

), (5.30)

che puo essere generalizzata al caso in cui Sz e sostituito dalla proiezionedello spin in una direzione arbitraria di versore n

e−iS·nφ/~ = 1 cos(φ

2

)− 2i

S · n~

sin(φ

2

), (5.31)

perche l’operatore S · n ha gli stessi autovalori di Sz, ±~/2, per l’isotropiadello spazio.

Il calcolo di < Sx >R in (5.29) diventa semplice se usiamo la (5.30)

eiSzφ/~Sxe−iSzφ/~ =

5.3 Relazioni di commutazione 101

=(1 cos

(φ

2

)+

2i~Sz sin

(φ

2

))· Sx ·

(1 cos

(φ

2

)− 2i

~Sz sin

(φ

2

))=

= Sx cos2(φ

2

)+

2i~

[Sz, Sx] sin(φ

2

)cos(φ

2

)+

4~2SzSxSz sin2

(φ

2

). (5.32)

Dalle (5.26), ricordando che gli operatori Si anticommutano mentre S2i =

~2/4, si ottiene facilmente

eiSzφ/~Sxe−iSzφ/~ = Sx cosφ− Sy sinφ (5.33)

e, per il valor medio nello stato ruotato,

< Sx >R=< Sx > cosφ− < Sy > sinφ. (5.34)

Con lo stesso procedimento si ottiene

< Sy >R=< Sx > sinφ+ < Sy > cosφ (5.35)

mentre < Sz >R=< Sz >. Il valor medio dell’operatore di spin si comporta,per rotazioni, come se fosse un vettore classico

< Sk >R=3∑

l=1

Rkl < Sl > (k = 1, 2, 3), (5.36)

dove la matrice R, in questo esempio, e proprio la (5.17). Cio e vero ancheper un qualsiasi momento angolare, per questo motivo gli operatori S, Je L si chiamano operatori vettoriali. E’ importante notare che, mentre la(5.36) e vera per qualsiasi momento angolare, la relazione (5.30) vale soloper lo spin 1/2. Il fatto che gli operatori Si anticommutino e una proprietacaratteristica del solo spin 1/2.

Nel formalismo a due componenti di Pauli, le formule (5.30) e (5.31)assumono una forma piu semplice. Poiche, nella base degli autoket di Sz, siha

S .=~2σ.

dove σ ha come componenti le matrici di Pauli, la formula generale (5.31)diventa

e−iS·nφ/~ .= e−iσ·nφ/2 = 1 cos(φ

2

)− iσ · n sin

(φ

2

), (5.37)

Dalla (5.37) e facile ottenere la matrice che rappresenta l’operatore di ro-tazione di un angolo φ attorno all’asse con versore n. Si ottiene la matrice,unitaria e di determinante uno,

e−iσ·nφ/2 =(

cos φ2 − inz sin φ

2 (−inx − ny) sin φ2

(−inx + ny) sin φ2 cos φ

2 + inz sin φ2

)(5.38)


come il lettore puo facilmente verificare ricordando che n e un versore:n2

x + n2y + n2

z = 1. Ogni matrice unimodulare (cioe il determinante valeuno) e unitaria della forma (5.38) puo essere interpretata come una rap-presentazione di una rotazione nello spazio dello spin e ha la strutturagenerale (

a b−b∗ a∗

), (5.39)

dove a e b sono numeri complessi e |a|2 + |b|2 = 1 per la condizione diunimodularieta. Le matrici (5.39) formano un gruppo che si chiama SU(2),dove 2 e la dimensione dello spazio, U sta per unitario e S si riferisce allaproprieta che il determinante vale uno.

La corrispondenza fra SO(3) e SU(2) non e biunivoca. Matrici ortogonalied unitarie rappresentano entrambe delle rotazioni ma, mentre una rotazionedi 2π nello spazio tridimensionale ordinario corrisponde alla matrice unita,una rotazione di 2π nello spazio degli stati di spin 1/2 cambia segno a tuttii ket di stato. Infatti, dalla (5.37), D(n, 2π) .= exp(−iσ · nπ) = −1 e

|α>R(2π)= −|α> .

Solo una rotazione di 4π riporta tutti i ket di stato nelle condizioni inizialie, ad ogni matrice di SO(3) corrispondono due matrici di SU(2), la matrice(5.39) e la matrice che si ottiene da questa cambiando segno ad a e b.

5.4 Gli angoli di Eulero

Finora abbiamo specificato una rotazione nello spazio tridimensionale ordi-nario tramite il versore n, che da la direzione e il verso dell’asse di rotazione,e l’angolo di rotazione. Sono necessari quindi tre numeri reali, oltre all’ango-lo di rotazione φ dobbiamo specificare l’angolo polare e azimutale del versoren. Anche una matrice di SO(3) ha tre parametri indipendenti perche i noveelementi della matrice 3× 3 sono vincolati dalla condizione di ortogonalita

RRT = 1,

che corrisponde a 6 equazioni indipendenti essendo la matrice RRT = RTRsimmetrica.

Un altro modo di caratterizzare una generica rotazione in tre dimensioniusa gli angoli di Eulero. Per descrivere le rotazioni di un corpo rigido attornoad un punto fisso O, scegliamo un sistema di assi cartesiani fisso nello spazioOxyz e un sistema di assi fisso con il corpo. Inizialmente gli assi dei duesistemi di riferimento coincidono e indichiamo con OXYZ il sistema di assi,fisso con il corpo, dopo le rotazioni di Eulero. Introducendo un asse Ou

5.4 Gli angoli di Eulero 103

perpendicolare al piano OzZ, si veda la figura 5.1, gli angoli di Eulero sono 5

α = (Oy,Ou), β = (Oz,OZ), γ = (Ou,OY).

6

3

-Q

QQ

QQ

QQ

QQs

AA

AA

AA

AAAK

x

u

y

z

Z

X

Y

O

β

γ

α

Figura 5.1: Definizione degli angoli di Eulero

La rotazione e il risultato delle tre rotazioni seguenti, nell’ordine

1. rotazione Rz(α) di un angolo α attorno ad Oz (Oy diventa Ou),

2. rotazione Ru(β) di un angolo β attorno ad Ou (Oz diventa OZ),

3. rotazione RZ(γ) di un angolo γ attorno ad OZ (Ou diventa OY).

Indichiamo la rotazione risultante con R(α, β, γ) = RZ(γ)Ru(β)Rz(α). Que-sta forma delle rotazioni di Eulero non e tuttavia conveniente per i nostriscopi. E’ preferibile lavorare solo con rotazioni fatte rispetto agli assi fissinello spazio (Oxyz) e non e difficile trovare le relazioni necessarie per questatrasformazione. Consideriamo, per esempio, la rotazione attorno ad Ou diun angolo β che si puo ottenere anche con le seguenti operazioni: primasi riporta l’asse Ou sull’asse Oy con la rotazione R−1

z (α), poi si ruota diun angolo β attorno ad Oy e infine si ruota di un angolo α rispetto ad

5La definizione adottata qui differisce un po da quella usata comunemente nella teoriadel giroscopio. La definizione data e la piu conveniente in meccanica quantistica, comevedremo piu avanti.


Oz. L’effetto su un qualsiasi vettore dello spazio e chiaramente lo stesso epossiamo scrivere

Ru(β) = Rz(α)Ry(β)R−1z (α). (5.40)

Analogamente, si ha

RZ(γ) = Ru(β)Rz(γ)R−1u (β) (5.41)

e, sostituendo le (5.40) e (5.41) in R(α, β, γ), si ottiene la formula finale

R(α, β, γ) = RZ(γ)Ru(β)Rz(α) =

= Rz(α)Ry(β)R−1z (α)Rz(γ)Rz(α) =

= Rz(α)Ry(β)Rz(γ), (5.42)

dove l’ultimo passaggio e reso possibile dal fatto che rotazioni rispetto allostesso asse commutano.

L’operatore associato alla rotazione (5.42), nello spazio dei ket in con-siderazione, e espresso da

D(α, β, γ) = D(z, α)D(y, β)D(z, γ). (5.43)

La rappresentazione matriciale, per un sistema con spin 1/2, nella base degliautoket di Sz e, facendo uso della (5.37),

D(α, β, γ) .= exp(−iσzα

2

)exp

(−iσyβ

2

)exp

(−iσzγ

2

)=

=(e−iα/2 0

0 eiα/2

)(cos(β/2) − sin(β/2)sin(β/2) cos(β/2)

)(e−iγ/2 0

0 eiγ/2

).

(5.44)Il prodotto delle tre matrici in (5.44) e una matrice unitaria e unimodu-lare. Gli elementi di matrice della rotazione attorno ad Oy sono reali, perla scelta fatta degli angoli di Eulero, ed e l’unica rotazione che contieneelementi di matrice non diagonali. Gli elementi di matrice dell’operatoreD(α, β, γ) nella rappresentazione scelta hanno un significato importante,sono le ampiezze di probabilita di trovare lo stato ruotato in un particolarestato di spin. Per generalizzare quanto abbiamo fatto finora, per lo spin 1/2,ad un generico momento angolare dobbiamo prima studiare gli elementi dimatrice dell’operatore J per un momento angolare arbitrario.

Problema. Nel formalismo di Pauli, costruire l’autospinore di σ · n, conautovalore +1, dove n e un vettore unitario in una direzione definita dagliangoli polari θ e φ.

Soluzione

5.5 Autovalori e autostati del momento angolare 105

Se n fosse diretto lungo l’asse z la soluzione sarebbe

χ+ =(

10

),

autoket di σz con autovalore +1. Si tratta quindi di ruotare il versore dell’assez finche assume la direzione (θ, φ) e vedere quale effetto ha questa rotazione sullospinore. Ricorrendo agli angoli di Eulero, dobbiamo eseguire una rotazione attornoad Oy di un angolo θ e una rotazione attorno a Oz di un angolo φ, la rotazione diEulero e quindi

R(α = φ, β = θ, γ = 0).

L’operatore di rotazione corrispondente e gia stato calcolato esplicitamente in (5.44)e

D(φ, θ, 0) .=(e−iφ/2 cos(θ/2) −e−iφ/2 sin(θ/2)eiφ/2 sin(θ/2) e−iφ/2 cos(θ/2)

).

L’autospinore di σ · n con autovalore +1 e quindi

χ =(e−iφ/2 cos(θ/2) −e−iφ/2 sin(θ/2)eiφ/2 sin(θ/2) e−iφ/2 cos(θ/2)

)(10

)=

=(e−iφ/2 cos(θ/2)eiφ/2 sin(θ/2)

)e σ · n χ = +χ.

5.5 Autovalori e autostati del momento angolare

La soluzione dell’equazione agli autovalori per il momento angolare seguedalle relazioni di commutazione (5.24). Consideriamo il problema agli auto-valori per una delle componenti di J, diciamo Jz, e costruiamo gli operatori

J+ = Jx + iJy, J− = Jx − iJy, (5.45)

eJ2 = J2

x + J2y + J2

z . (5.46)

Di questi tre operatori, solo J2 e Hermitiano, J− e l’aggiunto di J+. Dallerelazioni di commutazione (5.24) deduciamo che

[Jz, J±] = ±~J±, (5.47)

[J+, J−] = 2~Jz, (5.48)

e[J2,J] = 0, (5.49)

che si dimostra in modo analogo alla [S2,S] = 0 per lo spin 1/2. Notiamoanche l’identita

J2 − J2z ± ~Jz = J±J∓, (5.50)


che discende dalla (5.46) e dalle relazioni

J±J∓ = J2x + J2

y ± i[Jy, Jx] = J2x + J2

y ± ~Jz.

Poiche, dalla (5.49), Jz commuta con J2 e possibile ottenere autoket simul-tanei per questi due operatori. Se indichiamo gli autovalori di Jz con m~ equelli di J2 con λ~2, il problema agli autovalori diventa

Jz|λm>= m~|λm>, (5.51)

J2|λm>= λ~2|λm> . (5.52)

Gli autovalori m e λ, appartenenti allo stesso autoket, devono soddisfare ladisuguaglianza

λ ≥ m2. (5.53)

Questa disuguaglianza segue dal fatto che

J2 − J2z =

12(J+J− + J−J+) =

12(J+J

†+ + J−J

†−)

e un operatore della forma AA† ha valori medi non negativi

<λm|J2 − J2z |λm> ≥ 0.

Ora procediamo come nel caso dell’oscillatore armonico con il metododella scala. Se facciamo agire le (5.47) sul ket |λm>, otteniamo

JzJ+|λm>= (m+ 1)~J+|λm>, (5.54)

JzJ−|λm>= (m− 1)~J−|λm>, (5.55)

mentreJ2J±|λm>= λ~2J±|λm> .

Quindi, se |λm> e un autoket di Jz e J2 con autovalori m~ e λ~2, alloraJ±|λm > e pure un autoket di questi stessi operatori ma con autovalori(m ± 1)~ e λ~2. Confrontando le (5.54) e (5.55) con la (5.51) possiamoscrivere

J±|λm>= c±(λ,m)~|λ,m± 1>, (5.56)

dove c±(λ,m) sono numeri complessi da determinare.

Per una dato valore di λ la disuguaglianza (5.53), λ ≥ m2, limita il valorein modulo di m. Ci sara quindi un valore massimo di m, m = j, per ogni λdato. Se applichiamo J+ all’autoket |λj> non possiamo ottenere un nuovoautoket e

J+|λj>= 0.

5.5 Autovalori e autostati del momento angolare 107

Se moltiplichiamo questa condizione per J− e ricordiamo l’identita (5.50),otteniamo

J−J+|λj>= (J2 − J2z − ~Jz)|λj>= (λ− j2 − j)~2|λj>= 0,

dalla quale segue la relazione fra j e λ

λ = j(j + 1). (5.57)

Analogamente deve esistere un valore minimo dim,m = j′, tale che J−|λj′>=0, ovvero

J+J−|λj′>= (λ− j′2 + j′)~2|λj′>= 0,

e quindiλ = j′(j′ − 1). (5.58)

Le equazioni (5.57) e (5.58) sono consistenti solo se

j′ = −j oppure j′ = j + 1.

La seconda soluzione viola l’ipotesi che j fosse il piu grande valore di m, ej′ il piu piccolo. Quindi

j′ = −j.

Siccome gli autovalori hanno sia un limite superiore che inferiore, dato λ o jdeve essere possibile raggiungere |λ,−j> da |λj> applicando l’operatore J−un numero sufficiente di volte. Quando si scende di un gradino, m decrescedi una unita e segue che j − j′ = 2j deve essere un intero non negativo.Percio j deve essere o un intero o un semi-intero non negativo, cioe i valoripossibili di j sono

j = 0,12, 1,

32, 2, . . . (5.59)

e conveniamo di usare il simbolo |j,m> per gli autoket simultanei di J2 eJz. Per un dato valore di j gli autovalori di Jz sono 2j + 1 in numero e

m = j, j − 1, j − 2, . . . ,−(j − 1),−j,

mentre la (5.52) diventa

J2|j,m>= j(j + 1)~2|j,m> . (5.60)

Con l’aiuto dell’identita (5.50) calcoliamo ora i coefficienti c± nelle (5.56).Notiamo che la corrispondente duale della (5.56) e, nella nuova notazione,

<j,m|J∓ =<j,m± 1|c∗±~,

e quindi

<j,m|J∓J±|j,m>= |c±|2~2 <j,m± 1|j,m± 1> .


Assumendo che gli autoket |j,m> siano normalizzati ad uno e ricordandoche

<j,m|J∓J±|j,m>=<j,m|(J2 − J2z ∓ ~Jz)|j,m>=

= [j(j + 1)−m2 ∓m]~2,

concludiamo che

|c±|2 = j(j + 1)−m2 ∓m = (j ∓m)(j ±m+ 1).

Le fasi possono essere scelte arbitrariamente e, di solito, vengono poste egualia zero. Abbiamo allora

J+|j,m>=√

(j −m)(j +m+ 1) ~|j,m+ 1>, (5.61)

eJ−|j,m>=

√(j +m)(j −m+ 1) ~|j,m− 1> . (5.62)

Da queste equazioni possiamo ricostruire le matrici che rappresentano glioperatori J+, J−, Jx = (J+ + J−)/2 e Jy = (J+ − J−)/(2i) nella base degliautoket comuni di Jz e J2. Notiamo infatti che, dalle (5.61) e (5.62) si ha

<j′,m′|J±|j,m>=√

(j ∓m)(j ±m+ 1) ~δj′jδm′,m±1. (5.63)

Nella derivazione delle (5.63) abbiamo usato solamente le relazioni dicommutazione e il fatto che J e un operatore Hermitiano. La soluzione delproblema agli autovalori cosı ottenuta si estende a tre operatori qualsiasi chesoddisfano le relazioni di commutazione (5.24), per esempio agli operatoridi spin isotopico 6 che appaiono in fisica delle particelle.

5.6 Rappresentazioni dell’operatore di rotazione

Siamo ora in grado di studiare gli elementi di matrice dell’operatore dirotazione D(R):

D(j)m′m(R) =<j,m′|D(R)|j,m> . (5.64)

Gli elementi di matrice fra stati con j diverso sono nulli perche D(R)|j,m>e ancora un autoket di J2 con lo stesso autovalore j(j + 1)~2:

J2D(R)|j,m>= D(R)J2|j,m>= j(j + 1)~2D(R)|j,m> .6Le forze nucleari non distinguono fra protoni e neutroni che differiscono per la loro

carica, il momento magnetico e la massa. Se si potesse spegnere l’interazione elettroma-gnetica neutrone e protone sarebbero indistinguibili come un elettrone con spin |+ > eun elettrone con spin |−> in un campo magnetico che, pur avendo energie diverse, sonosempre lo stesso elettrone. Protone e neutrone sono gli stati |+> e |−> di una entita conspin isotopico 1/2 e l’Hamiltoniana delle interazioni forti e invariante per rotazioni nellospazio dello spin isotopico. Queste trasformazioni formano un gruppo SU(2), analogo algruppo delle trasformazioni di uno spinore per rotazioni.

5.6 Rappresentazioni dell’operatore di rotazione 109

La matrice (2j + 1)× (2j + 1) formata dagli elementi D(j)m′m(R) e chiamata

la rappresentazione irriducibile (2j + 1)-dimensionale dell’operatore D(R).La matrice (5.44) ne e un esempio con j = 1/2.

Per capire il significato fisico della matrice di rotazione, consideriamouno stato |j,m > e vediamo l’effetto su questo stato di una rotazione Rnello spazio tridimensionale ordinario

|j,m>⇒ D(R)|j,m> .

Anche se j non cambia, otteniamo in generale stati con m diverso da quellooriginale perche

D(R)|j,m>=∑m′

|j,m′><j,m′|D(R)|j,m>=

=∑m′

|j,m′> D(j)m′m(R). (5.65)

Percio D(j)m′m(R) e l’ampiezza di probabilita di trovare lo stato ruotato in

|j,m′> essendo |j,m> lo stato originale.

In termini degli angoli di Eulero, si ha

D(j)m′m(α, β, γ) =<j,m′|e−iJzα/~e−iJyβ/~e−iJzγ/~|j,m>=

= e−i(m′α+mγ) <j,m′|e−iJyβ/~|j,m> . (5.66)

e la parte non banale di questa espressione e quella che riguarda la rotazioneattorno all’asse Oy. In letteratura si definisce una nuova matrice ridotta perquesto fattore non banale

d(j)m′m(β) =<j,m′|e−iJyβ/~|j,m> . (5.67)

Abbiamo gia calcolato questa matrice di rotazione per j = 1/2, e la matriceche compare in (5.44)

d(j)m′m(β) =

m=1/2 m=-1/2m′ = 1/2m′ = −1/2

(cos(β/2) − sin(β/2)sin(β/2) cos(β/2)

), (5.68)

ma, per momenti angolari maggiori, il metodo usato per ottenere la (5.68)diventa piu lungo e laborioso visto che la (5.37) non vale piu. La soluzionepiu semplice si basa sul fatto che, per quanto riguarda le proprieta di trasfor-mazione per rotazioni e solo per queste, possiamo visualizzare ogni oggettodi momento angolare j come un oggetto composto di 2j particelle di spin1/2. Formule esplicite per d(j)

m′m(β), con j qualsiasi, si trovano nei testi ci-tati nella bibliografia, qui riportiamo un metodo piu istruttivo che pero epraticabile solo per valori non troppo grandi di j.


Il metodo che abbiamo usato per lo spin 1/2 e basato sulla relazione ope-ratoriale (4.24) valida per sistemi con uno spazio degli stati bidimensionale.A sua volta, questa relazione e stata ricavata con il metodo dei proiettoriche puo essere generalizzato a spazi di dimensioni qualsiasi e trova numeroseapplicazioni in diversi problemi di meccanica quantistica. Se f(z) e unafunzione analitica della variabile complessa z, la funzione f(A) dell’operatoreA puo essere sviluppata molto semplicemente in potenze di A se tutti glin autovalori di A sono distinti e le singolarita di f(z) non coincidono conun qualsiasi autovalore di A. Se A|a′k >= a′k|a′k > (k = 1, 2, . . . , n) el’equazione agli autovalori per A, per ogni j e k fissati si ha∏

i6=j

a′i1−Aa′i − a′j

|a′k>= δjk|a′k>,

ef(A)|a′k>= f(a′k)|a′k> .

E’ evidente allora che, ripetendo quanto fatto per ricavare la (4.24), si puoscrivere

f(A) =n∑

j=1

f(a′j)∏i6=j

a′i1−Aa′i − a′j

, (5.69)

che, essendo una relazione fra operatori, vale indipendentemente dalla basescelta.

L’operatore Jy ha 2j + 1 autovalori distinti, gli stessi di Jz e J · n perl’isotropia dello spazio, e potremo riscrivere l’equazione (5.69), per il casoche ci interessa, nella forma

D(j)(0, β, 0) = d(j)(β) =j∑

ν=−j

e−iνβ∏µ 6=ν

µ~1− Jy

(µ− ν)~, (5.70)

che risolve il nostro problema. Consideriamo infatti il caso j = 1:

d(1)(β) = e−iβ

(Jy

~

)(~ + Jy

2~

)+(

~− Jy

~

)(~ + Jy

~

)+

+eiβ(

~− Jy

2~

)(−Jy

~

)= 1−

(Jy

~

)2

(1− cosβ)− i(Jy

~

)sinβ. (5.71)

La matrice d(1)m′m(β) si puo allora calcolare facilmente ricavando la matrice

per J (j=1)y dalla Jy = (J+ − J−)/(2i) e dalle (5.61) e (5.62). Si invita il

lettore a riottenere le formule per j = 1/2 usando la (5.70).

Consideriamo ora il caso del momento angolare orbitale, allora j e unintero non negativo. Per una particella senza spin, o per la quale ignoriamolo spin, il suo momento angolare coincide con il momento angolare orbitale

L = x× p.

5.6 Rappresentazioni dell’operatore di rotazione 111

Per l’operatore L, valgono le relazioni di commutazione che abbiamo trovatoper J. Sappiamo dalla meccanica ondulatoria che, per una particella privadi spin in un potenziale a simmetria sferica, l’equazione d’onda e separabilein coordinate sferiche e le autofunzioni del’energia si possono scrivere come

<x′|n, `,m>= Rn`(r)Y m` (θ, φ), (5.72)

dove la posizione della particella, x′, e specificata dalle coordinate sfericher, θ, φ e n rappresenta il numero quantico radiale per uno stato legato ol’energia per onde sferiche libere. La forma (5.72) per la funzione d’onda euna conseguenza della simmetria dell’Hamiltoniana per rotazioni, H com-muta con Lz e L2 e questi tre operatori definiscono un insieme completodi osservabili compatibili con autoket comuni. In (5.72) e stata messa inevidenza la dipendenza angolare tramite le armoniche sferiche

< n|l,m>= Y m` (θ, φ), (5.73)

dove |n> e l’autoket dell’operatore che rappresenta la direzione specificatada θ e φ, ` e un intero non negativo e −` ≤ m ≤ +`.

La connessione fra le armoniche sferiche e le rappresentazioni degli ope-ratori di rotazione puo essere stabilita partendo dalla relazione

|n>= D(R)|z> (5.74)

dove, in termini di angoli di Eulero,

D(R) = D(α = φ, β = θ, γ = 0).

Scrivendo la (5.74) come

|n>=∑

`

∑m

D(R)|`,m><`,m|z>,

e, moltiplicando quest’ultima equazione per |`,m′>, si ottiene

<`,m′|n>=∑

m=−`

D(`)m′,m(φ, θ, 0) <`,m|z> (5.75)

per la condizione di normalizzazione

<`′,m′|`,m>= δ`,`′δm,m′ ,

e per il fatto che D(R) ha elementi di matrice nulli fra stati con ` diversi.Poiche <`,m|z>= Y m

`∗(0, φ) e, per θ = 0, Y m

` e nulla per m 6= 0, si ha 7

<`,m|z>=

√2`+ 1

4πδm0

7Ricordiamo che

Y(0)

` (θ, φ) =

√2` + 1

4πP`(cos θ)

e che P`(1) = 1.


e, dalla (5.75),

Y m′`

∗(θ, φ) =

√2`+ 1

4πD(`)

m′0(φ, θ, 0), (5.76)

che fornisce la relazione cercata fra le armoniche sferiche e le matrici dirotazione.

5.7 Composizione di momenti angolari

Quando si considerano contemporaneamente due sistemi fisici distinti, chesono descritti in due spazi vettoriali diversi, gli stati del sistema compostosono vettori nello spazio che e il prodotto diretto dei due spazi vettoriali. Lostesso succede se si considerano due insiemi distinti di variabili dinamicherelative allo stesso sistema. La descrizione di una particella con spin, peresempio, deve tener conto dei gradi di liberta spaziali, oltre allo spin, e i ketdi base saranno della forma

|x′,±>= |x′> ⊗|±>,

e ogni operatore nello spazio dei ket |x′> commuta con ogni operatore nellospazio bidimensionale generato da |±>. Ogni operatore che riguarda unosolo dei due spazi nel prodotto diretto, agisce come un operatore identita sul-l’altro spazio e, se consideriamo gli operatori di rotazione, invece di scrivereJ = L + S, e piu corretto scrivere

J = L⊗ 1 + 1⊗ S, (5.77)

dove il primo operatore identita agisce sullo spazio bidimensionale di spine il secondo sullo spazio infinito dimensionale degli autoket dell’operatoreposizione. La funzione d’onda di una particella con spin diventa allora

<x′,±|α>= ψ±(x′)

che, ricordando il formalismo di Pauli, possiamo disporre in un vettorecolonna (

ψ+(x′)ψ−(x′)

),

dove |ψ±(x′)|2 sono le densita di probabilita di trovare la particella in x′ conspin su o giu, rispettivamente.

Un esempio semplice ci permettera di capire il significato del prodottodiretto e servira come introduzione alla composizione di due momenti ango-lari arbitrari, relativi a due particelle diverse, che non sara affrontato qui.Consideriamo due particelle diverse di spin 1/2, per esempio l’elettrone e il

5.7 Composizione di momenti angolari 113

protone in un atomo di idrogeno, senza tener conto degli altri gradi liberta.L’operatore di spin totale e

S = S1 ⊗ 1 + 1⊗ S2 (5.78)

e lo spazio degli stati ha 4 = 2 × 2 dimensioni. Le componenti di S1 e S2

obbediscono le solite regole di commutazione e inoltre

[S1k, S2l] = 0, (k, l = 1, 2, 3).

Quindi l’operatore di spin totale obbedisce le stesse regole di commutazionedi S1 e S2:

[Sk, Sl] = [S1k + S2k, S1l + S2l] = [S1k, S1l] + [S2k, S2l] =

= i~εkljS1j + i~εkljS2j = i~εkljSj ,

e S2 commuta con S21 e S2

2 ma non commuta con S1z e S2z. Infatti

[S2, S1z] = [S12 + S2

2 + 2S1 · S2, S1z] = 2[S1 · S2, S1z] =

= 2[S1xS2x + S1yS2y, S1z] = 2i~(−S1yS2x + S1xS2y),

e il commutatore di S2 con S2z e eguale ed opposto al precedente, in modoche S2 commuti con Sz.

Il prodotto diretto degli spazi di spin, individuati dalle due particelle,fornisce una base ortonormale formata dagli autoket dei quattro osservabiliS2

1, S1z S22, S2z, indichiamola con |ε1, ε2 >. Esplicitamente questa base

sara determinata dai ket

|ε1, ε2> = |+,+>, |+,−>, |−,+>, |−,−> (5.79)

eS2

1|ε1, ε2>= S22|ε1, ε2>=

34

~2|ε1, ε2>,

S1z|ε1, ε2>= ε1~2|ε1, ε2>, S2z|ε1, ε2>= ε2

~2|ε1, ε2> . (5.80)

Anche le quattro osservabili S21, S

22, S

2, Sz commutano e formano un insiemecompleto di osservabili compatibili diverso dal precedente perche S2 noncommuta con S1z e S2z. Indichiamo con |s,m> la nuova base che soddisfale equazioni

S21|s,m>= S2

2|s,m>=34

~2|s,m>,

S2|s,m>= s(s+ 1)~2|s,m>, (5.81)

Sz|s,m>= m~|s,m>, (5.82)


dove i valori di m variano fra −s e +s con passo di una unita. Il problemache vogliamo risolvere e quello di trovare i valori possibili di s e di m e diesprimere i ket |s,m> tramite la vecchia base.

Gli autovalori di Sz sono gli stessi in entrambe le rappresentazioni e

Sz|ε1, ε2>= (S1z + S2z)|ε1, ε2>=12(ε1 + ε2)~|ε1, ε2>,

cioe m = 12(ε1 + ε2) e m puo assumere i valori +1, 0,−1. I valori m = 1 e

m = −1 non sono degeneri, mentre m = 0 e due volte degenere perche eassociato a due autoket linearmente indipendenti |+,−> e |−,+>. I valoripossibili di s sono s = 1, perche m = 1 e il massimo valore di m, e s = 0perche l’autovalore m = 0 si presenta due volte e solo uno di questi fa partedel sottospazio caratterizzato da s = 1. Gli stessi argomenti determinano ipossibili valori di j nel caso generale in cui j1 e j2 sono arbitrari.

Il ket |+,+> della base (5.79) e il solo autoket di Sz associato conm = 1.Possiamo scegliere la fase del ket |s = 1,m = 1> in modo tale che

|1, 1>= |+,+> . (5.83)

Gli altri stati del tripletto m = +1, 0,−1 si determinano applicando l’o-peratore ”a scala” S− = S1− + S2− a questo stato e usando la relazione(5.62)

S−|1, 1>= ~√

(1 + 1)(1− 1 + 1)|1, 0>= ~√

2|1, 0>,

che da|1, 0>=

1~√

2S−|1, 1> . (5.84)

Esplicitamente, tramite la base |ε1, ε2>,

|1, 0>=1

~√

2(S1− + S2−)|+,+>=

1√2(|−,+> +|+,−>), (5.85)

e, applicando ancora una volta S− a |1, 0> si trova

|1,−1>= |−,−> . (5.86)

Lo stato |s = 0,m = 0 >, stato di singoletto, deve essere ortogonale agliautoket |1,m> determinati sopra. A meno di una fase si ha

|0, 0>=1√2(|+,−> −|−,+>). (5.87)

Questo metodo puo essere generalizzato alla composizione di momenti an-golari arbitrari. I coefficienti che compaiono a membro destro delle (5.83),(5.85), (5.86) e (5.87) sono gli esempi piu semplici di coefficienti di Clebsch-Gordan, elementi di matrice della trasformazione che connette la base |ε1,-ε2> alla base |s,m>.

5.8 Parita 115

5.8 Simmetrie discrete, l’operatore parita

Oltre alle operazioni di simmetria gia viste, come le traslazioni e le rotazioninello spazio che dipendono da parametri che variano con continuita e per-cio sono dette simmetrie continue, esistono altre operazioni di simmetria chenon possiedono questa caratteristica. La parita e l’inversione temporale sonoassociate ad operatori che non possono essere ottenuti applicando successi-vamente delle trasformazioni infinitesime. Nel seguito considereremo solo laparita, o inversione spaziale, da cui derivano importanti regole di selezioneper le ampiezze di transizione.

Se indichiamo con Π l’operatore unitario che rappresenta l’effetto di unainversione spaziale sul ket di stato |α >, e naturale richiedere che il valormedio dell’operatore posizione x fra stati Π|α> cambi di segno

<α|Π†xΠ|α>= − <α|x|α> . (5.88)

Essendo vera per qualunque |α>, la relazione (5.88) richiede che

Π†xΠ = −x,

ovvero, moltiplicando a sinistra per l’operatore unitario Π,

Π,x = 0. (5.89)

Poiche Π anticommuta con l’operatore x, avremo anche

xΠ|x′>= −Πx|x′>= −x′Π|x′>

e Π|x′> e un autoket di x con autovalore −x′; percio, a meno di una fase,

Π|x′>= | − x′> . (5.90)

Dalla (5.90) abbiamo anche Π2|x′>= |x′>, cioe Π2 e l’operatore identita,e vediamo che Π e sia unitario che Hermitiano e i suoi autovalori possonoessere solamente ±1,

Π−1 = Π† = Π. (5.91)

Anche l’impulso p, che classicamente e mdx/dt, anticommuta con Π ede quindi dispari per parita, come x. Sia x che p sono operatori vettoriali”polari”, nel senso che il loro valor medio trasforma come un vettore polare(dispari rispetto alla parita), mentre un momento angolare deve comportarsicome un vettore assiale. Nello spazio tridimensionale ordinario l’inversionespaziale, che cambia le coordinate xk in −xk, (k = 1, 2, 3), e rappresentatadalla matrice ortogonale

R(parita) =

−1 0 00 −1 00 0 −1

,


e, a parte il segno, coincide con l’identita. R(parita) commuta quindi contutte le matrici ortogonali che rappresentano una qualsivoglia rotazione. Inmeccanica quantistica e naturale postulare la corrispondente relazione pergli operatori unitari

ΠD(R) = D(R)Π,

da cui segue che[Π,J] = 0, (5.92)

valida evidentemente anche per S e L. Dalla (5.92) otteniamo che l’operatoreS · p si comporta come uno pseudoscalare

Π†S · pΠ = −S · p,

mentre, per uno scalare vero come L · S, si avra

Π†L · SΠ = L · S.

La funzione d’onda di una particella senza spin il cui ket di stato e |α>,ψ(x′) =<x′|α>, trasforma per parita nel seguente modo

<x′|Π|α>=< −x′|α>= ψ(−x′). (5.93)

Se |α > e un autoket della parita, Π|α >= ±|α >, dalla (5.93) si ottieneimmediatamente

ψ(−x′) = ±ψ(x′) se Π|α>= ±|α>, (5.94)

e lo stato |α > e pari o dispari a seconda che la corrispondente funzioned’onda resti la stessa, oppure cambi di segno, per parita.

Non tutte le funzioni d’onda di interesse fisico hanno parita definita nelsenso della (5.94), per esempio un autoket dell’impulso non e un autoketdella parita, Π e p anticommutano, e un’onda piana exp(ip′ ·x′/~), che e lafunzione d’onda di un autoket dell’impulso, non ha parita definita. Questopotrebbe sembrare strano perche l’Hamiltoniana H di una particella liberacommuta con p ed e invariante per parita

[H,Π] = 0. (5.95)

Se la (5.95) e soddisfatta e |n> e un autoket di H con autovalore En

H|n>= En|n>,

anche il ket (1/2)(1 ± Π)|n > e un autoket di H con autovalore En ede anche un autoket della parita con autovalori ±1, perche Π2 = 1. Se|n > e un autoket non degenere di H, |n > e (1/2)(1 ± Π)|n > devono

5.8 Parita 117

essere lo stesso stato, altrimenti si violerebbe l’ipotesi di non degenerazione,e quindi |n > e anche un autoket della parita. Nel caso degli autoket dip si ha degenerazione, perche |p′ > e | − p′ > hanno la stessa energia, edobbiamo costruire le combinazioni lineari (1/

√2)(|p′> ±|−p′>) per avere

autoket della parita con autovalori ±1. Nel linguaggio delle funzioni d’onda,exp(ip′ · x′/~) non ha parita definita mentre cos(p′ · x′/~) e sin(p′ · x′/~) cel’hanno.

Possiamo ora chiarire l’origine delle regole di selezione dovute alla parita.Se |α> e |β> sono autostati della parita

Π|α>= εα|α>, Π|β>= εβ |β>, (εα, εβ = ±1) (5.96)

allora<β|x|α>=<β|Π†ΠxΠ†Π|α>= −εαεβ <β|x|α > (5.97)

per la (5.96), e < β|x|α > e nullo se εα e εβ hanno lo stesso segno. La(5.97), nota anche come regola di Laporte prima della nascita della mec-canica quantistica, si esprime nel linguaggio delle funzioni d’onda dicendoche ∫

ψ∗βxψα dr = 0

se ψα e ψβ hanno la stessa parita. Analogamente, un operatore pari avraelementi di matrice non nulli solo fra stati della stessa parita.

Nell’applicare queste regole di selezione e, molte volte, importante co-noscere la parita delle funzioni d’onda associate agli autoket di L2 e Lz

che sono autoket della parita perche L e Π commutano. E’ sufficiente alloscopo esaminare la trasformazione delle armoniche sferiche Y m

` (θ, φ) quandox′ → −x′ o, in coordinate polari sferiche, quando

r → r, θ → π − θ, φ→ φ+ π.

Basta considerare Y 0` (θ, φ) perche tutti gli stati con m 6= 0, a fisso `, si

ottengono da |`,m = 0> applicando ripetutamente gli operatori L+ e L−che commutano con Π, e quindi hanno la stessa parita. Ma Y 0

` (θ, φ) eproporzionale a P`(cos θ) che soddisfa la relazione

P`(cos(π − θ)) = P`(− cos θ) = (−1)`P`(cos θ),

e quindiΠ|`,m>= (−1)`|`,m> . (5.98)

Concludiamo questo lungo capitolo notando che l’invarianza dell’Hamil-toniana rispetto all’inversione spaziale non e una proprieta universale dellanatura e, nel caso delle interazioni deboli, questa simmetria viene a man-care. In un processo di decadimento possiamo avere stati finali che sono


sovrapposizione di stati con parita opposta e la distribuzione angolare deiprodotti di decadimento puo dipendere da grandezze pseudoscalari come,per esempio, < S > ·p. La non conservazione della parita nelle interazionideboli e stata provata sperimentalmente.

Bibliografia consigliata: [5], [4], [9], [10], [3].

Capitolo 6

Sistemi a due livelli o conuno spazio degli stati finito

In questo capitolo illustreremo i postulati della meccanica quantistica appli-candoli ad alcuni casi semplici, ma concreti e di rilevante interesse fisico, incui lo spazio degli stati e finito e, nei primi esempi, bidimensionale. Oltreallo spin, esistono numerosi fenomeni fisici che possono essere descritti, certiesattamente altri in prima approssimazione, in uno spazio a due dimensionie per questo motivo vengono chiamati sistemi a due livelli. Beninteso questisistemi avranno un numero infinito di stati possibili, ma tutti costruiti apartire da due ket di base. Il primo esempio e tratto da [7]

6.1 Oscillazioni dei neutrini

Nella radioattivita β un neutrone libero, con una vita media di 918 secondi,decade spontaneamente secondo la reazione

n→ p+ e− + νe

e, viceversa, un fascio di neutrini νe prodotto in un acceleratore puo intera-gire con un neutrone di un nucleo per dare un protone

νe + n→ p+ e−. (6.1)

Esiste in natura una particella, il leptone µ, le cui proprieta fisiche sonoanaloghe, a parte la massa mµ ' 200 me, a quelle dell’elettrone e sono notifenomeni di ”radioattivita” β in cui interviene il leptone µ ma associato conun neutrino diverso, il νµ. Si osserva cosı la reazione

νµ + n→ p+ µ− (6.2)

e il modo dominante nel decadimento del mesone π+ e

π+ → µ+ + νµ

120 Sistemi a due livelli

ma e stato rivelato anche il decadimento

π+ → e+ + νe.

Non sono stati osservati finora processi in cui il νµ e associato all’elettrone,o il νe al µ, e le reazioni (6.1) e (6.2) permettono di distinguerli.

Il neutrino interagisce debolmente e νe, νµ sono autostati delle inter-azioni deboli che si accoppiano solo all’elettrone e al µ, rispettivamente 1.Questi autostati deboli del neutrino non sono, in generale, stati di massadefinita ed esistono limiti sperimentali talmente restrittivi sulle masse chehanno portato finora a pensare che νe e νµ siano particelle fermioniche amassa nulla che si propagano con la velocita della luce. Ci sono tuttaviaalcune osservazioni sperimentali, in disaccordo con la teoria, che potreberotrovare una soluzione se i neutrini avessero massa.

Nei processi di fusione nucleare che avvengono sul sole, il cui effettocomplessivo e

4p→ 4He+ 2 e+ + 2 νe,

vengono prodotti molti neutrini elettronici νe e il flusso di questi neutrinie predetto da modelli teorici delle reazioni nel sole, i modelli solari. Questineutrini di bassa energia, circa 1 MeV , vengono rivelati sulla terra da stru-menti, sensibili principalmente ai νe, che misurano flussi di neutrini moltopiu bassi di quelli predetti dai modelli solari. Questo risultato potrebbe es-sere spiegato se i neutrini avessero massa e fosse possibile la conversione diun νe in un neutrino diverso.

I neutrini ”atmosferici” sono prodotti dall’interazione dei raggi cosmicicon l’atmosfera terrestre e quindi rivelati da strumenti posti in laboratorisotterranei per limitare il ”rumore” dovuto ad altre particelle. Un neutrinoinfatti, a differenza di altre particelle, puo attraversare la terra senza subireinterazioni ed e estremamente difficile da rivelare. Sperimentalmente, ilrapporto νµ/νe e risultato molto minore di quanto ci si aspettava e, sebbeneil flusso di raggi cosmici che producono i neutrini atmosferici sia isotropo, sie misurata una inesplicabile asimmetria nel flusso di νµ provenienti dall’altorispetto a quelli provenienti dal basso. Il flusso di νe rispetta invece questasimmetria alto-basso.

Poniamoci quindi il problema di come si possa misurare la differenza dimassa fra i neutrini νe e νµ tramite un effetto di oscillazione quantistica.Supponiamo che i neutrini siano prodotti in un acceleratore con un impulso

1Esiste un terzo neutrino, associato al leptone τ che ha una massa pari a circa 3000 me,il neutrino ντ . Nel seguito non lo considereremo in quanto sono sufficienti due tipi dineutrino per capire il fenomeno delle loro oscillazioni.

6.1 Oscillazioni dei neutrini 121

p ben definito e che, se E e la loro energia, si abbia E mc2 per cui

E =√p2c2 +m2c4 ∼ pc+

m2c4

2pc, (6.3)

e che i neutrini si propaghino, con ottima approssimazione, alla velocitac della luce. Se H e l’Hamiltoniana di un neutrino libero di impulso p,indichiamo con |ν1> e |ν2> gli autostati di H

H|ν1>= E1|ν1> E1 = pc+m2

1c4

2pc, (6.4)

H|ν2>= E2|ν2> E2 = pc+m2

2c4

2pc, (6.5)

dove m1 e m2 sono le masse dei due autoket |ν1> e |ν2> e supponiamo chem1 6= m2 con m1 > m2. Gli autostati dei neutrini prodotti o rivelati nonsono |ν1> e |ν2> ma delle combinazioni lineari

|νe>= |ν1> cos θ + |ν2> sin θ, (6.6)

|νµ>= −|ν1> sin θ + |ν2> cos θ, (6.7)

dove θ e ”l’angolo di mescolamento” che dipende dalla teoria considerata. Iket |ν1> e |ν2> sono ortonormali come lo sono |νe> e |νµ>.

Se, all’istante t = 0, si produce un neutrino di impulso p nello stato |νµ>e facile calcolare lo stato del neutrino al tempo t, |ν(t)>, in funzione di |ν1>e |ν2>

|ν(t)>= e−iHt/~|νµ>= −|ν1> sin θ e−iE1t/~ + |ν2> cos θ e−iE2t/~. (6.8)

Dalla equazione (6.8) possiamo calcolare la probabilita che questo neutrino(prodotto nello stato |νµ> a t = 0) sia rivelato nello stato |νe> al tempo t.Calcoliamo dapprima l’ampiezza di probabilita

<νe|ν(t)>= cos θ <ν1|ν(t)> +sin θ <ν2|ν(t)>=

= − sin θ cos θ e−iE1t/~ + sin θ cos θe−iE2t/~

e infine, ponendo ∆E = E1 − E2, la probabilita

Pνµ→νe(t) = | <νe|ν(t)> |2 = sin2(2θ) sin2

(∆Et2~

). (6.9)

Notiamo che, dalle equazioni (6.4) e (6.5), ∆E e esprimibile tramite ladifferenza dei quadrati delle masse ∆m2 = m2

1 −m22

∆E = E1 − E2 =m2

1 −m22

2pcc4 =

∆m2c4

2pc. (6.10)


Poiche i neutrini vengono rivelati ad una distanza ` dal punto di produzionee conveniente esprimere la probabilita (6.9) tramite ` e, essendo il tempo divolo pari a t = `/c, si avra dalla (6.10)

Pνµ→νe(t) = sin2(2θ) sin2

(∆m2c4

4~c× `

pc

), (6.11)

dove ~c ' 2·10−10 eV Km. Ci si aspetta una differenza di massa ∆m2 moltopiccola e quindi l’esperimento non rivelera oscillazioni a meno che il rapporto`/pc non sia sufficientemente grande. Per esempio, in un esperimento in cuipc = 10GeV = 1010 eV ,

∆m2 c4

4~c`

pc∼ 0, 125×∆m2 c4 (eV )2 × ` (Km),

e se vogliamo rivelare un effetto dell’ordine di ∆m2 c4 ' 1 (eV )2 con unaprobabilita apprezzabile dovra essere, indipendentemente dal valore di θ,

` ' π

2× 0.125∼ 12.6 Km.

Nella pratica questo esperimento puo cercare o la creazione di neutrini νe

nel fascio di νµ o la scomparsa di una parte del flusso originale e, determi-nata sperimentalmente la probabilita in (6.11), tracciare una curva in undiagramma (sin2 2θ,∆m2 c4). Si determinano cosı le regioni permesse perquesti parametri. Ricordiamo che 1 eV ' 1.6× 10−19 J .

Problema. Calcolare la fluttuazione di H, definito dalle equazioni (6.4) e(6.5), nello stato |νµ > in equazione (6.7). Dalla relazione di indetermi-nazione tempo-energia determinare il tempo caratteristico di evoluzione diquesto stato. A quale distanza dal punto di produzione il |νµ>, che viaggiacon velocita vicina a c, comincia a perdere la sua identita ?.

SoluzionePosto

∆E = (< H2 > − < H >2)1/2

si ha(∆E)2 = E2

1 sin2 θ + E22 cos2 θ − (E1 sin2 θ + E2 cos2 θ)2 =

=14(E1 − E2)2 sin2(2θ) (6.12)

e, dalla relazione di indeterminazione tempo-energia si ottiene

τ∆E =12τ(E1 − E2) sin(2θ) ≥ ~

2,

dove τ e il tempo caratteristico di evoluzione, e quindi

τ ≥ ~(E1 − E2) sin(2θ)

.

6.2 Il maser ad ammoniaca 123

Poiche τ = `/c, il µ comincera a perdere la sua identita ad una distanza

` ' ~c(E1 − E2) sin(2θ)

=(2pc)(~c)

c4∆m2 sin(2θ).

6.2 Il maser ad ammoniaca

6.2.1 La molecola NH3

Dagli spettri infrarosso e Raman si deduce che la molecola di ammoniaca(NH3) ha le proprieta generali di una trottola simmetrica, vibrante, e laforma generale di un tetraedro. E’ conveniente separare i vari contributiall’energia totale della molecola

E = ET + EV + ER + EI ,

dove ET , EV e ER rappresentano, rispettivamente, l’energia di traslazione,vibrazione e rotazione, mentre EI rappresenta l’energia di interazione fra imoti vibrazionale e rotazionale. Nelle condizioni in cui faremo i calcoli lavibrazione della molecola avra un piccolo effetto sul suo moto rotazionale, adiversi stati vibrazionali corrisponderanno momenti di inerzia di poco diver-si, e in stati rotazionali diversi l’energia potenziale per il moto vibrazionalecambiera di poco.

Al primo ordine, supponiamo piccoli questi effetti e, nel sistema dicoordinate del centro di massa dove scompare ET e

E = EV + ER,

l’equazione di Schrodinger stazionaria diventa

Hψ = Eψ, (6.13)

conH = HV +HR, ψ = ψRψV .

Se scegliamo l’asse z lungo l’asse di massima simmetria della molecola, pas-sante per l’atomo di azoto e il centro di massa dei tre atomi di idrogeno,come in figura 6.1, e facile vedere che, se la molecola ruota attorno al suoasse di figura, gli autovalori dell’energia degli stati rotazionali non dipen-dono dal segno di z. Poiche l’effetto che ci interessa dipende dal segno di ztrascureremo nel seguito HR.

Consideriamo ora l’equazione (6.13) per i soli stati vibrazionali. Unastruttura a tetraedro come NH3 ha sei modi normali di vibrazione ma,poiche N e molto piu pesante di H, possiamo pensare l’atomo di azoto fisso


6

-

HHHHH

EEEEEEE

SS

SSS

uu

uz

H

H

H

N

z

y

Figura 6.1: Disegno schematico di NH3; z e la distanza (con il segno) frail piano degli atomi di idrogeno e l’atomo di azoto (z = 0) che si supponefisso.

e il triangolo di H (che supponiamo equilatero e di lato invariabile) chetrasla lungo l’asse di figura z. Ci siamo cosı ridotti ad un problema a unadimensione per una particella di massa ridotta

m =3mHmN

3mH +mN

Il potenziale in cui si muove questa particella ha due minimi, che corrispon-dono alla configurazione mostrata in figura (6.1) e alla sua simmetrica conil triangolo di H sopra N , un massimo per z = 0 quando i quattro atomisono sullo stesso piano e, se ci allontaniamo da z = 0 oltre le due posizionidi equilibrio, V (z) crescera di una quantita pari all’energia di legame del-la molecola. Le principali proprieta del fenomeno che vogliamo studiarenon dipendono in modo critico dalla forma esatta di questa doppia buca dipotenziale. L’approssimazione con potenziali quadrati, come in figura (6.2)e sufficiente.

Dobbiamo quindi trovare lo spettro dell’operatore

H = − ~2

2md2

dz2+ V (z) (6.14)

per il potenziale V (z) in figura (6.2) con

E < V0.

Ponendo

k =

√2mE~2

, q =

√2m~2

(V0 − E) =√α2 − k2 (6.15)

con

α =

√2mV0

~2,


-

6

6

?

-

- - -

V(z)

(3) (2) (1)

V0a

-b +b z

Figura 6.2: Potenziale ”quadrato” usato per approssimare l’energia poten-ziale della molecola NH3. Per z = ±(b + a/2) il potenziale diventainfinito.

l’equazione di Schrodinger stazionaria (6.13) diventa(d2

dz2+ k2

)ψ = 0

nelle regioni (1) e (3), e (d2

dz2− q2

)ψ = 0

nella regione (2). Troviamo, nelle due buche di potenziale con V (z) = 0, lesoluzioni che si annullano per z = ±(b+ a/2)

ψ(1)(z) ∝ sin[k(b+ a/2− z)], b− a/2 ≤ z ≤ b+ a/2 (6.16)

ψ(3)(z) ∝ sin[k(b+ a/2 + z)], b− a/2 ≤ −z ≤ b+ a/2. (6.17)

Poiche V (z) e pari per inversione spaziale, z → −z, cerchiamo le auto-funzioni di H, ψs(z) e ψa(z), che siano rispettivamente pari e dispari inz. La soluzione per z < 0 si ottiene da quella per z > 0 per riflessionerispetto all’asse V (z), nel caso simmetrico, o rispetto all’origine nel casoantisimmetrico. Nelle regioni (1) e (3) avremo le autofunzioni ψs(z) =As(ψ(1)(z) + ψ(3)(z)) e ψa(z) = Aa(ψ(1)(z) − ψ(3)(z)). Nella regione (2),per −(b− a/2) ≤ z ≤ b− a/2, si trovano le autofunzioni

ψs(z) = Bs cosh(qz), ψa(z) = Ba sinh(qz). (6.18)


Le condizioni di raccordo, nel punto z = b − a/2, dell’autofunzione edella sua derivata sono, per la soluzione pari,

As sin[k(b+ a/2− z)]|z=b−a/2 = Bs cosh(qz)|z=b−a/2,

−As k cos[k(b+ a/2− z)]|z=b−a/2 = Bs q sinh(qz)|z=b−a/2

e, dividendo membro a membro,

tan(ksa) = −ks

qscoth[qs(b− a/2)] (6.19)

che determina gli autovalori kns (En

s ) dell’energia quantizzata per le soluzionipari con qs =

√α2 − k2

s . Per la soluzione dispari il procedimento e lo stesso,e sufficiente scambiare il cosh con il sinh, e

tan(kaa) = −ka

qatanh[qa(b− a/2)]. (6.20)

Le proprieta che ci interessano dello spettro si ricavano facilmente dalleequazioni (6.19) e (6.20) se notiamo che

• tan(ks a) e tan(ka a) sono negative e quindi

π(n− 1/2) < (ks,a a) < nπ, (n = 1, 2, . . . , N)

dove N e il massimo valore di n ed e determinato da α, cioe da V0;

• la derivata di tan(ks,a a) e positiva e cothx > tanhx per x > 0.Quindi, per ogni n, kn

s < kna ovvero

Ens < En

a .

Per E < V0 lo spettro consiste di doppietti con una separazione fra i dop-pietti molto maggiore di quella fra le due linee di un doppietto. Sperimen-talmente si ha, per il doppietto piu basso,

E1a − E1

s ∼ 10−4 eV,

che corrisponde ad una frequenza ν ∼ (E1a−E1

s )/h ∼ 24000 MHz e ad unalunghezza d’onda λ ∼ 1.25 cm.

6.2.2 Effetto tunnel

Classicamente, per E < V0, la molecola presenta il piano degli atomi diidrogeno o nella regione (1) della figura (6.2) o nella regione (3) non es-sendo possibile il passaggio da (1) a (3) e viceversa. La molecola quantisticapossiede due autostati, per ogni doppietto di energia, rappresentati da dueautofunzioni, una simmetrica ψs e una antisimmetrica ψa. In questi due stati


la probabilita di trovare la ”particella”, formata dai tre atomi di idrogenocon massa ridotta m, e la stessa nelle regioni (1) e (3) e questa probabilitanon e nulla nella regione classicamente proibita (2). Questo e un esempiodell’effetto tunnel che gioca un ruolo fondamentale in meccanica quantistica.

Limitiamoci ora al doppietto piu basso, trascurando tutti gli stati ecci-tati. Possiamo, infatti, imporre limiti fisici all’energia della molecola abbas-sando la temperatura. Sappiamo che, alla temperatura T , il rapporto fra lepopolazioni di due livelli energetici E1 e E2 e dato dalla legge di Boltzmann

N(E1)N(E2)

= e−E2−E1

kT

e 2, alla temperatura di 100o K, mentreN(E1s )/N(E1

a) ∼ 1 si avraN(E2s,a)/N(E1

s ) ≤10−6, essendo E2

s − E1s ∼ 0.12 eV . A questa temperatura le condizioni per

approssimare il sistema con un ”sistema a due livelli” sono tutte soddisfattee, nel seguito, non indicheremo piu l’indice relativo al doppietto perche cilimiteremo al solo doppietto piu basso. Poniamo anche

Ω =Ea − Es

~. (6.21)

Supponiamo che, all’istante t = 0, la molecola si trovi con certezza nellabuca di destra in figura (6.2) nello stato

|ψ, t = 0>=1√2[|ψs> +|ψa>]. (6.22)

Poiche |ψs> e ψa> sono autoket dell’Hamiltoniana (6.14) con autovalori Es

ed Ea, Ea > Es, avremo al tempo t

|ψ, t>=1√2

[e−iEst/~|ψs> +e−iEat/~|ψa>

]=

=1√2e−i Es+Ea

2~ t[eiΩt/2|ψs> +e−iΩt/2|ψa>

]e, passando alle autofunzioni ψ(z, t) =<z|ψ, t>, la densita di probabilita ditrovare la ”particella” in z e

|ψ(z, t)|2 =12[ψs(z)]2 +

12[ψa(z)]2 + cos(Ωt)ψs(z)ψa(z). (6.23)

Se la particella si trova inizialmente nella buca di destra, dopo un tempot = π/Ω e completamente passata a sinistra e ritorna nella buca di destra perT = 2π/Ω che rappresenta il periodo di inversione della molecola, fenomenopermesso dall’effetto tunnel. Anche il momento di dipolo elettrico della

2Ricordiamo che k ≈ 8.62× 10−5 eV K−1.


molecola, dovuto al fatto che l’azoto elettropositivo attira gli elettroni deitre atomi di idrogeno, oscilla nel tempo essendo proporzionale a < z >.La molecola puo quindi assorbire o emettere radiazione elettromagnetica difrequenza

ν =Ω2π

=Ea − Es

h.

Nella base |ψs >, |ψa >, l’Hamiltoniana H e diagonale e, con le ap-prossimazioni fatte, si riduce alla forma

H.=(E0 −A 0

0 E0 +A

), (6.24)

dove E0 − A = Es e E0 + A = Ea. In questa base una osservabile , come ilmomento di dipolo elettrico, non e diagonale perche i suoi autoket rappre-sentano stati di una particella che si trova nella buca di destra, o di sinistra,in figura (6.2). Il valor medio di questa osservabile e proporzionale alla dis-tanza della particella dal centro, z = 0, e usando il formalismo di Pauli,se

|ψs>.=(

10

), |ψa>

.=(

01

), (6.25)

gli autoket dell’operatore momento di dipolo elettrico sono

|φ1>=1√2[|ψs> +|ψa>] .=

1√2

(11

), (6.26)

e

|φ2>=1√2[|ψs> −|ψa>] .=

1√2

(1−1

). (6.27)

Se indichiamo con d0 e −d0 gli autovalori dell’operatore D, momento didipolo elettrico, allora la sua decomposizione spettrale e

D = d0|φ1><φ1| − d0|φ2><φ2|.=(

0 d0

d0 0

), (6.28)

dove d0 e un parametro caratteristico della molecola.

6.2.3 NH3 in un campo elettrico statico

In un campo elettrico costante E = E z, ma non necessariamente uniforme,l’energia di interazione della molecola e

W = −E ·D = −ED. (6.29)

Il campo esterno E e considerato una grandezza classica e l’energia potenzialedella molecola nel campo puo quindi essere rappresentata, nella base |ψs>, |ψa> e ponendo η = Ed0, come

W.=(

0 −η−η 0

), (6.30)


e la nuova Hamiltoniana e

H ′ = H +W.=(E0 −A −η−η E0 +A

). (6.31)

Gli autovalori di H ′ si trovano facilmente

E∓ = E0 ∓√A2 + η2 (6.32)

e, se poniamo

|ψ−>.=(

cos θ/2sin θ/2

), |ψ+>

.=(

sin θ/2− cos θ/2

), (6.33)

si trova che

tan θ/2 =η

A+√A2 + η2

, ovvero tan θ =η

A.

Anche se esiste un limite all’intensita del campo elettrico perche vogliamoconsiderare solo gli stati di energia piu bassa, resta comunque la possibilita,dato il valore molto piccolo di A, che η A. In tal caso la molecola equasi completamente polarizzata e, mentre l’effetto tunnel tende a ”sim-metrizzare” la molecola negli stati |ψs> e |ψa>, un campo forte favorisce leconfigurazioni classiche, cioe gli stati |φ1> e |φ2>. Nel seguito ci limiteremoal limite di campo debole che e usato nella pratica per separare le molecolenello stato |ψ+ > da quelle nello stato |ψ− > e quindi η A. Possiamoallora approssimare gli autovalori e gli autoket di H ′

E∓ ' E0 ∓(A+

η2

2A

), |ψ∓>' |ψs

a>, (6.34)

essendo θ ' 0. Negli stati |ψ− > e |ψ+ > il valor medio del momento didipolo elettrico diventa

< D >∓= ± sin θ d0 = ± ηd0√A2 + η2

' ±d20EA

(6.35)

e d20/A e la suscettibilita elettrica (approssimata) della molecola.

Nel risultato per i livelli energetici della molecola in campo debole (6.34)il termine η2/(2A) = d2

0E2/(2A) puo essere interpretato come un termine dienergia potenziale della molecola nel campo, negativo per |ψ−> e positivoper |ψ+ >. Supponiamo che il campo E sia debole ma E2 abbia un grossogradiente in modo che quando la molecola attraversa il campo subisce unaforza

F∓ = ±∇(d2

0E2

2A

). (6.36)


Questa forza ha un segno opposto a seconda dello stato interno della moleco-la e, uscendo dal gradiente del campo, il fascio iniziale sara separato in duefasci, uno conterra solo molecole nello stato |ψ− >' |ψs > e l’altro solomolecole nello stato |ψ+>' |ψa>. Questo effetto e analogo a quello usatonel dispositivo di Stern e Gerlach e, come nel caso degli atomi d’argento,il moto di queste molecole puo essere descritto classicamente in ottima ap-prossimazione. Vengono quindi selezionate le molecole nello stato superioredel doppietto di inversione, |ψa >, e fatte passare attraverso una cavita amicroonde risonante con la frequenza di inversione. Come questo fasciodi molecole possa essere indotto ad irraggiare in fase da un campo elettri-co oscillante e a fornire un segnale in uscita amplificato coerentemente locapiremo dal prossimo paragrafo.

6.2.4 Campo oscillante

Ricordiamo che |ψ+>' |ψa> e |ψ−>' |ψs> e che abbiamo selezionato lemolecole nello stato |ψa >. Costringiamo ora le molecole, selezionate nellostato |ψa >, a restituire la loro energia 2A, ritornando allo stato |ψs >,tramite un campo elettrico oscillante con una pulsazione ω

E = E0 cosωt.

Poniamo, come prima, η = d0E0 e risolviamo l’equazione di Schrodinger

i~d|ψ, t>dt

= H|ψ, t> (6.37)

con un operatore Hamiltoniano dipendente dal tempo che, nella base |ψs>, |ψa> e rappresentato da

H.=(

E0 −A −η cosωt−η cosωt E0 +A

).

In questa base, poniamo

|ψ, t> .=(c1(t)c2(t)

),

ottenendo, dalla (6.37), un sistema di equazioni differenziali lineari accop-piate del primo ordine

i~dc1dt

= (E0 −A)c1 − η c2 cosωt

i~dc2dt

= (E0 +A)c2 − η c1 cosωt

con le condizioni iniziali c1(0) = 0, c2(0) = 1. In questo sistema interven-gono tre frequenza angolari

ω, ω0 =2A~, ω1 =

η

~=d0E0

~(6.38)


e, con le trasformazioni

c1(t) = e−i(E0−A)t/~b1(t), c2(t) = e−i(E0+A)t/~b2(t), (6.39)

il sistema da risolvere diventa

idb1dt

= −ω1

2b2

(ei(ω−ω0)t + e−i(ω+ω0)t

)(6.40)

idb2dt

= −ω1

2b1

(e−i(ω−ω0)t + ei(ω+ω0)t

)(6.41)

Le equazioni (6.40) e (6.41) descrivono il fenomeno delle oscillazioniforzate con una risonanza per ω = ω0. Vicino alla risonanza ω ∼ ω0 i termi-ni exp[±i(ω − ω0)t] variano molto piu lentamente con il tempo dei terminiexp[±i(ω+ ω0)t] che oscillano molto rapidamente con una media nel temponulla. Trascurando questi ultimi termini, la soluzione diventa molto piu sem-plice e possiamo porre b1 = b1 exp[i(ω−ω0)t/2] e b2 = b2 exp[−i(ω−ω0)t/2].Si ottiene cosı un sistema a coefficienti costanti

idb1dt

=ω − ω0

2b1 −

ω1

2b2 (6.42)

idb2dt

= −ω − ω0

2b2 −

ω1

2b1 (6.43)

e, con approssimazioni basate su caratteristiche fisiche del fenomeno 3, ab-biamo ricondotto l’equazione di Schrodinger (6.37) al caso in cui l’Hamilto-niano e costante:

H.= ~(

ω−ω02 −ω1

2−ω1

2 −ω−ω02

). (6.44)

Sappiamo anche che l’equazione (4.24) risolve completamente questo prob-lema conoscendo solamente gli autovalori di H, che si calcolano immediata-mente

E± = ±~2

√(ω − ω0)2 + ω2

1. (6.45)

Con H costante si ha(b1(t)b2(t)

)= e−iHt/~

(b1(0)b2(0)

), (6.46)

e, se poniamo Ω =√

(ω − ω0)2 + ω21, dall’equazione (4.24) abbiamo

e−iHt/~ = 1 cos(

Ωt2

)− 2i

H

~Ωsin(

Ωt2

), (6.47)

3Anche la trasformazione bi → bi (i = 1, 2), con la quale abbiamo eliminato il tempodall’Hamiltoniano, ha motivazioni fisiche. E’ l’equivalente in meccanica quantistica diun cambiamento di base da un sistema di riferimento fisso a un sistema di riferimentoruotante con velocita angolare (ω − ω0)/2.


che permette di trovare b1(t) e b2(t) sapendo che b1(0) = c1(0) = 0 e b2(0) =c2(0) = 1. Si ottiene quindi dalle (6.46) e (6.47)

b1(t) = iω1

Ωsin(

Ωt2

), (6.48)

e

b2(t) = cos(

Ωt2

)+ i

ω − ω0

Ωsin(

Ωt2

)(6.49)

Ritorniamo al nostro problema e calcoliamo la probabilita che al tempot le molecole, che inizialmente erano nello stato

|ψ, 0>= |ψa>.=(

01

),

siano passate per effetto del campo oscillante allo stato |ψs > cedendol’energia 2A = Ea − Es. Abbiamo

Pa→s(t) = |c1(t)|2 = |b1(t)|2,

perche prendendo il modulo le fasi scompaiono, e esplicitando Ω otteniamodalla soluzione (6.48)

Pa→s(t) =ω2

1

(ω − ω0)2 + ω21

sin2

(√(ω − ω0)2 + ω2

1

t

2

), (6.50)

che e chiamata la formula di Rabi. Questa probabilita oscilla nel tempo frazero e un valore massimo Pmax,

Pmax =ω2

1

(ω − ω0)2 + ω21

,

con una pulsazione Ω/2 e, se variamo la frequenza angolare ω del campoapplicato, Pmax ha un comportamento risonante e il suo valore diventa unoper ω = ω0. La curva di risonanza ha una larghezza, a mezza altezza, paria 2ω1 e si vede che se la frequenza del campo e scelta opportunamente,ω = ω0, dopo un tempo T = π/ω1 tutte le molecole hanno ceduto la loroenergia 2A. Questa cessione di energia avviene sotto forma di radiazioneelettromagnetica e questo fenomeno va sotto il nome di emissione stimolata.Alla risonanza, l’emissione avviene qualunque sia il valore di ω1 e, piu ilcampo e debole, piu stretta e la curva di risonanza perche ω1 = d0E0/~. Unaltro processo, l’emissione spontanea, riporta le molecole nello stato fonda-mentale pero in tempi molto piu lunghi e, essendo non coerente, equivale alrumore nel maser.

6.3 Idrogeno molecolare interstellare 133

6.2.5 Il maser

Abbiamo ora tutti gli elementi per capire come funziona un MASER (Mi-crowave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Dal fascio dimolecole che hanno una velocita v si separano le molecole nello stato |ψa>tramite il gradiente del campo elettrico. Si fa quindi passare questo fascio inuna cavita ad alta frequenza, dove e presente un campo oscillante E0 cosω0t,e la cui lunghezza e scelta in modo che L/v = (2n+1)T = (2n+1)π/ω1. Al-l’uscita dalla cavita, le molecole sono tutte nello stato |ψs> ed hanno cedutoalla cavita la loro energia 2A sotto forma di radiazione elettromagnetica difrequenza ω0.

Il maser puo essere utilizzato come amplificatore, perche puo amplifi-care in modo molto selettivo e senza rumore di fondo segnali anche moltodeboli. Come amplificatore, trova delle applicazioni molto importanti in ra-dioastronomia. Puo essere anche usato come oscillatore perche un campodi frequenza ω0 resta intrappolato nella cavita. Una volta uscita dalla cav-ita l’onda elettromagnetica emessa, si ottiene un’onda monocromatica e unoscillatore molto stabile. Questo e il principio degli orologi atomici e, comeoscillatore, il maser trova applicazioni anche in metrologia.

Esistono molti altri tipi di maser, e anche i laser sono basati su principisimili, in cui gli effetti fisici sono diversi, ma la descrizione quantistica diquesti dispositivi usera sempre una formulazione matematica molto simile aquella sviluppata qui. In alcuni casi potra essere necessario fare intervenirepiu di due livelli ma la fisica del fenomeno restera sempre molto simile aquella descritta per la molecola di ammoniaca.

6.3 Formazione dell’idrogeno molecolare interstel-lare [7]

L’idrogeno atomico e la componente principale della materia molto diluitache si trova fra le stelle (circa 1 atomo per cm−3). Paradossalmente, quandoquesto mezzo e un po piu concentrato (piu di 10 atomi per cm−3), l’idrogenoatomico compare solo in quantita trascurabili perche si e trasformato inidrogeno molecolare. Si potrebbe pensare che questa trasformazione abbialuogo tramite gli urti degli atomi d’idrogeno nella fase gassosa del mezzointerstellare. Tuttavia, regole di selezione proibiscono l’emissione di radi-azione elettromagnetica pari all’energia di legame della molecola (4,5 eV).Il processo di formazione dovrebbe essere

H +H → H2 + γ,


che e sfavorito, alle temperature del mezzo interstellare, dalla regola ∆S = 0di Heitler e London 4

Il meccanismo di formazione dell’idrogeno interstellare e rimasto un enig-ma fino al 1963, anno in cui Gould e Salpeter hanno proposto un meccanismoche permette l’associazione degli atomi di idrogeno sulla superficie dei granidi polvere presenti nel mezzo interstellare: in realta circa l’un per cento dellamassa delle nuvole del mezzo interstellare si trova sotto forma di grani dipolvere di circa 1 micron. Per valutare gli ordini di grandezza, supponiamoallora che gli atomi di idrogeno possano essere adsorbiti alla superficie di uncristallo formato da atomi regolarmente spaziati e che l’energia dell’atomosia trasmessa al cristallo sotto forma di energia di vibrazione durante l’adsor-bimento. I grani di polvere servono allora da catalizzatori per la formazionedelle molecole H2.

Nella forma di tre distinti problemi di meccanica quantistica, cerchiamodi ripercorrere il ragionamento di Gould e Salpeter. Nel seguito, con energiadell’atomo di idrogeno, che si suppone sempre nel suo stato fondamentale,indicheremo l’energia dell’atomo nel potenziale del cristallo.

6.3.1 Primo problema

Assumiamo che la forza fra l’atomo d’idrogeno e ciascuno degli atomi delcristallo sia di tipo Van der Waals e il potenziale abbia una forma, detta diLennard-Jones

φ(r) = 4ε[(σr

)12−(σr

)6]

con ε = 7 · 10−2 eV e σ = 3 A.

1. Mostrare che questo potenziale presenta un minimo e calcolarne laposizione r0. Disegnare l’andamento di φ(r).

2. Si supponga che la superficie del cristallo sia piana, e che gli atomi dellasuperficie siano ripartiti su un reticolo quadrato con legame p, p = 3 A.Con argomenti qualitativi, indicare quali sono le posizioni possibili peri minimi del potenziale di interazione dell’atomo di idrogeno con ilcristallo, in un piano parallelo alla sua superficie.

3. Si descriva il potenziale di interazione con il cristallo (la cui superficiedefinisce il piano z=0) con l’espressione

V (x, y, z) = f(x) + f(y) + φ(z)4La capacita degli atomi di combinarsi e legata al loro spin e la combinazione avviene

in modo tale che gli spin degli atomi si compensino mutuamente.


con

f(x) =ε

4

(1− cos

2πxp

)

f(y) =ε

4

(1− cos

2πyp

)e φ(z) un potenziale di Lennard-Jones (i parametri ε e σ restano glistessi).

Facendo anche l’approssimazione di rimpiazzare il potenziale nell’in-torno di un minimo con l’espressione

W (x, y, z) = C +12mω2

xx2 +

12mω2

yy2 +

12mω2

z(z − z0)2

dove appaiono tre potenziali armonici, calcolare C,ω2x, ω

2y , ω

2z e z0 in

funzione dei dati del problema.Trovare l’energia E0 dello stato fondamentale dell’atomo di idrogenoadsorbito sul cristallo.

Si potra prendere ~c = 2 · 103 eV · A e mc2 = 109 eV .

4. Quale energia bisogna fornire all’atomo perche raggiunga il primo statoeccitato nel potenziale del cristallo ?. La temperatura dei grani dipolvere del mezzo interstellare e dell’ordine di 20o K; un atomo delcristallo puo fornire questa energia all’atomo di idrogeno tramite lasua agitazione termica ?.

Si ricordi che, per T = 300o K, si ha kT = 1/40 eV .

Soluzione del primo problema

1. Per calcolare il minimo, poniamo a zero la derivata prima del poten-ziale di Lennard-Jones

φ′(r) = 4ε[−12

(σ12

r13

)+ 6

(σ6

r7

)]= 0,

trovando l’unica soluzione, a distanza finita e con r > 0,

r0 = 21/6σ ≈ 1.12 σ.

Si tratta di un minimo, perche in questo punto la derivata secondae positiva. Il valore del potenziale al minimo e: φ(r0) = −ε e non edifficile disegnare l’andamento del potenziale in funzione di r.


2. Per ragioni di simmetria, i minimi del potenziale in un piano paralleloalla superficie del cristallo possono trovarsi solo nelle posizioni che sitrovano: a) sopra gli atomi del reticolo cristallino, b) sopra il centro diuna maglia quadrata del reticolo, c) sopra il punto che divide a metaun lato della maglia. La figura 6.3 mostra le possibili posizioni deiminimi del potenziale.

j

j

j

j

a

a

a

a

c

c

c

cb

Figura 6.3: a, b e c sono le possibili posizioni del minimo.

Se sommassimo i potenziali creati da tutti i siti del reticolo si tro-verebbe, in generale, che il caso b) da l’energia minima, la posizionea) corrisponde all’energia massima mentre la posizione c) corrispondead un punto a sella per il potenziale. Non e difficile disegnare le lineeequipotenziali per un maglia del reticolo e si lascia al lettore la verificadi quanto detto tramite un grafico delle linee equipotenziali.

3. Abbiamo gia trovato il minimo di φ(z), che si presenta per z0 = σ21/6,e si ha φ(z0) = −ε. D’altra parte f(x) e minima per x = nπ (con nintero), e f(nπ) = 0 al minimo. PoicheW (x, y, z), approssimazione delpotenziale in un intorno del minimo, vale C al minimo abbiamo trovatoC: C = −ε. Sviluppando V (x, y, z) intorno al punto di equilibriotroviamo le altre incognite. Lo sviluppo di f(x) in un intorno di x = 0e

ε

4× 1

2

(2πp

)2

x2

e una espressione analoga per f(y) con x sostituito da y. Confrontandocon le stesse potenze di x e y in W (x, y, z) si trova

ω2x = ω2

y =ε

4m

(2πp

)2

.

Il calcolo della derivata seconda di φ(z) per z = z0 da

φ”(z0) =72ε

σ221/3= mω2

z


e quindi

ω2z =

(12

)1/3 72εmσ2

e l’energia dell’atomo di idrogeno legato, nello stato fondamentale, e

E0 = −ε+12

~(ωx + ωy + ωz).

E’ necessario qualche calcolo numerico per rispondere all’ultima do-manda del primo problema e per determinare l’energia di legame del-l’atomo nello stato fondamentale. Calcoliamo allora

~2ω2x = ε

~2c2

4mc2

(2πp

)2

= 3× 10−4 eV 2,

da cui12

~ωx =12

~ωy = 0.9× 10−2 eV

12

~ωz = 2.1× 10−2 eV

e infine l’energia nello stato fondamentale: E0 = −3.1× 10−2 eV .

4. L’energia del primo stato eccitato e E0 +~ωx (oppure E0 +~ωy), cioe:E0 + 1.8 × 10−2 eV . Se si pensa che l’energia di agitazione termicadi un atomo del cristallo e dell’ordine di kT , e che a 20o K si hakT ∼ 0.2 × 10−2 eV , si vede che non e possibile fornire una energiasufficiente all’atomo per portarlo al primo stato eccitato. In realtal’energia media di un modo di vibrazione del cristallo e ancora piupiccola.

6.3.2 Secondo problema

Per formare molecole di idrogeno sulla superficie dei grani di polvere, gliatomi devono incontrarsi e quindi spostarsi orizzontalmente in x e y.

1. Quale meccanismo puo dar luogo alla mobilita degli atomi sulla super-ficie dei grani di polvere ?.

Per giudicare l’efficacia di questo meccanismo cerchiamo di valutarel’ordine di grandezza dei tempi che un atomo di idrogeno impiegheraper passare da un sito al sito vicino. Utilizziamo allo scopo un mo-dello di cristallo semplificato nel quale l’atomo di idrogeno, localizzatoall’istante t=0 nel sito s0, puo evolvere nel corso del tempo solamente


u u u

u

u

s1

s2

s3

s4s0

Figura 6.4: Numerazione dei siti.

verso i siti adiacenti s1, s2, s3 e s4 (si veda la figura 6.4). Ignoreremol’esistenza di altri siti sul reticolo.

Indichiamo con |φ0 >, |φ1 >, . . . |φ4 > i cinque stati (ortonormali) diquesto atomo quando e nello stato fondamentale, calcolato nella terzadomanda del primo problema, e situato sui siti s0, s1, . . . s4. Se sitrascura la possibilita che l’atomo salti da un sito all’altro, i cinquestati |φi > sono autoket del suo Hamiltoniano H0 con lo stesso autoval-ore E0 calcolato precedentemente. L’accoppiamento fra lo stato |φ0 >e gli stati |φ1 > . . . |φ4 > modifica l’Hamiltoniano al quale dobbiamoaggiungere un termine H1 cosı definito:

H1|φ0 >= −a(|φ1 > +|φ2 > +|φ3 > +|φ4 >),

H1|φi >= −a|φ0 >, i = 1, . . . 4.

La costante a e reale e positiva. Possiamo assumere che: 4a = 5 ·10−5 eV e trascuriamo gli altri accoppiamenti possibili.

2. Calcolare gli autovalori dell’Hamiltoniano H = H0 +H1.

3. Scrivere i corrispondenti autoket normalizzati di H nella base |φi >, i = 0, 1, 2, 3, 4.

4. L’atomo di idrogeno si trova, all’istante t=0, nel sito s0. Scrivere il suostato |ψ(t) > all’istante t in funzione degli autoket di H. Discutere lalocalizzazione dell’atomo all’istante t. Dopo quanto tempo, T , l’atomoavra cambiato di sito ?.

Soluzione del secondo problema

1. Gli atomi di idrogeno si sposteranno da un sito all’altro per effettotunnel.


2. Nella base |φi> con (i = 0, 1, . . . 4) l’Hamiltoniana H = H0 +H1 edescritta dalla matrice seguente

H.=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣E0 −a −a −a −a−a E0 0 0 0−a 0 E0 0 0−a 0 0 E0 0−a 0 0 0 E0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Gli autovalori dell’energia sono soluzioni dell’equazione caratteristica

det(H − EI) = 0

e, ponendo λ = E − E0, con qualche semplice trasformazione si troval’equazione algebrica

λ3(λ2 − 4a2) = 0.

Gli autovalori di H sono: E = E0, tre volte degenere, ed E = E0±2a.

3. Troviamo ora gli autoket di H

H|ψ>= (H0 +H1)|ψ >= E|ψ>,

decomponendo gli autoket |ψ> sulla base |φi>

|ψ>=4∑

i=0

ci |φi >,

e cominciando a considerare l’autovalore triplamente degenere E = E0.Conoscendo come agiscono H0 e H1 sulle |φi> e facile vedere che, nelsottospazio proprio di E = E0 devono valere le condizioni

c0 = 0, c1 + c2 + c3 + c4 = 0

e si puo quindi scegliere la base ortonormale seguente

|ψ01> =

12[|φ1> +|φ2> −|φ3> −|φ4>]

|ψ02> =

12[|φ1> −|φ2> +|φ3> −|φ4>]

|ψ03> =

12[|φ1> −|φ2> −|φ3> +|φ4>]

Per l’autovalore E = E0 + 2a si ha

c0 + 2ci = 0 ovvero ci = −12c0


e l’autoket normalizzato corrispondente sara della forma

|ψ+>=1√2[|φ0> −

12(|φ1> +|φ2> +|φ3> +|φ4>)].

Per l’autovalore E = E0 − 2a si trova

c0 − 2ci = 0 ovvero ci =12c0

e possiamo scrivere l’autoket corrispondente nella forma

|ψ−>=1√2[|φ0> +

12(|φ1> +|φ2> +|φ3> +|φ4>)].

4. All’istante t = 0 possiamo scrivere

|ψ(t = 0)>= |φ0>=1√2(|ψ+> +|ψ−>)

ed, essendo |ψ±> autoket di H, la loro evoluzione nel tempo e nota.All’istante t si avra allora

|ψ(t)>=

1√2

[|ψ+> exp

(−i(E0 + 2a)t

~

)+ |ψ−> exp

(−i(E0 − 2a)t

~

)]=

=1√2e−iE0t/~

[|ψ+> exp

(−2iat

~

)+ |ψ−> exp

(2iat~

)].

Sostituendo |ψ± > con le loro espressioni trovate sopra, in funzionedegli stati localizzati |φi>, si ottiene

|ψ(t)>= eiE0t/~[cos(

2at~

)|φ0> +

i

2sin(

2at~

)(|φ1> +|φ2> +

+|φ3> +|φ4>)] .

Si vede che la probabilita di osservare l’atomo di idrogeno nel sito s0all’istante t e cos2(2at/~) mentre la probabilita di presenza e la stessain ciascuno dei quattro siti vicini e vale sin2(2at/~)/4.

Si puo dunque dire che l’atomo ha lasciato il sito s0 al tempo T datoda 2aT/~ = π/2 da cui

T =π~4a.

Questo modello e evidentemente approssimato perche non permetteall’atomo di spostarsi sulla superficie del cristallo; dopo aver abbando-nato il sito s0 deve necessariamente ritornarci e cio spiega la funzioneperiodica trovata. Abbiamo pero trovato quello che ci interessa: dopoun tempo T ∼ 0.4× 10−10 s l’atomo si sposta ad un sito adiacente.


6.3.3 Ultimo problema

1. Sapendo che il grano di polvere ha dimensioni dell’ordine del mi-cron, dare l’ordine di grandezza del tempo necessario perche due ato-mi, adsorbiti in due punti qualunque della superficie del cristallo, siincontrino.

2. Quale meccanismo permettera loro di dissipare l’energia (4, 5 eV ) cor-rispondente all’energia di legame della molecola di idrogeno, per for-mare questa molecola ?.Cosa succedera in seguito a questa molecola ?.

Soluzione dell’ultimo problema

1. Il tempo di passaggio da un sito all’altro e molto rapido come abbiamovisto. Su un grano di polvere cubico di 1 µ ci sono circa 108 sitipossibili, se il passo del reticolo e di 3 A due atomi di idrogeno siincontreranno dopo un tempo dell’ordine di 10−2 secondi.

2. I due atomi di idrogeno potranno allora formare una molecola diidrogeno cedendo l’energia di legame al reticolo cristallino sotto formadi energia di vibrazione. Una piccola parte di questa energia serviraanche a liberare la molecola dal potenziale di attrazione del cristallo.

Capitolo 7

Teoria perturbativa

In ogni campo della fisica i problemi risolubili esattamente sono molto pochie la meccanica quantistica non fa eccezione. Esistono sistemi fisici, comel’oscillatore armonico e l’atomo di idrogeno, con Hamiltoniane abbastanzasemplici da permettere di risolvere esattamente l’equazione agli autovalorima se, per esempio, vogliamo tenere conto delle correzioni dovute al fatto cheil protone non e puntiforme, l’equazione per l’atomo di idrogeno non e piusolubile esattamente. Per i casi frequenti in cui una soluzione analitica none possibile, esistono metodi di approssimazione che permettono di otteneresoluzioni analitiche approssimate e una stima dell’errore senza far ricorso adun calcolatore.

La teoria perturbativa usa due metodi diversi a seconda cha la pertur-bazione causi un cambiamento negli stati del sistema non perturbato oppureil sistema, per effetto della perturbazione, compia transizioni fra stati nonperturbati diversi. Con il primo metodo si paragonano gli stati stazionaridel sistema perturbato con quelli del sistema non perturbato, con il secon-do metodo si considera uno stato stazionario del sistema non perturbato esi studia la sua variazione nel tempo sotto l’influenza della perturbazione.Nelle applicazioni, sceglieremo il primo metodo quando la perturbazionenon dipende dal tempo e il problema stesso non si riferisce ad alcun istanteparticolare di tempo mentre il secondo metodo deve essere usato, indipen-dentemente dal fatto che la perturbazione dipenda o no dal tempo, se ilproblema coinvolge il tempo come nei fenomeni transienti o nel calcolo delleprobabilita di emissione o di assorbimento.

7.1 Modifica dei livelli energetici causata da unaperturbazione

Supponiamo di conoscere gli autoket e gli autovalori dell’energia di unaHamiltoniana H0, cioe di aver risolto esattamente l’equazione agli autovalori

144 Teoria perturbativa

H0|n(0)>= E(0)n |n(0)> . (7.1)

La teoria perturbativa di Rayleigh-Schrodinger permette di ottenere i livellidi energia di un sistema fisico il cui Hamiltoniano puo essere diviso nelle dueparti Hermitiane

H = H0 + λV (7.2)

dove chiameremo H0 la parte non perturbata e λV la perturbazione. Ilparametro reale λ varia fra zero e uno e permette di accendere o spegnere laperturbazione, per λ = 0 l’Hamiltoniano diventa quello imperturbato mentreper λ = 1 la perturbazione riacquista il suo vero valore V . Gli autovalori egli autoket di H sono evidentemente funzioni di λ e possiamo applicare lateoria perturbativa quando questi autovalori e autoket si possono svilupparein serie di potenze di λ nella speranza che gia i primi termini dello sviluppopossano fornire una approssimazione sufficientemente accurata. Si tratta delprimo metodo cui abbiamo accennato nell’introduzione a questo capitolo.

7.1.1 Caso non degenere

Assumiamo che lo spettro di H0 non sia degenere e cerchiamo di trovare unaespressione approssimata per gli autovalori e gli autoket dell’equazione

(H0 + λV )|n>= En|n>, (7.3)

dove si sottointende che |n> ed En sono funzioni continue di λ , per λ→ 0devono tendere a |n(0)> e E(0)

n . Anche la variazione di energia dell’ennesimolivello, che si annulla per λ→ 0,

∆n ≡ En − E(0)n (7.4)

sara una funzione continua di λ e, tramite essa, possiamo riscrivere l’e-quazione (7.3) in una forma piu adatta alle approssimazioni che faremo

(E(0)n −H0)|n>= (λV −∆n)|n> . (7.5)

Se moltiplichiamo l’equazione (7.5) per |n(0) > a sinistra notiamo che, invirtu della (7.1), il ket (λV −∆n)|n> ha componente nulla lungo |n(0)>

< n(0)|(λV −∆n)|n>= 0 (7.6)

ottenendo cosı una relazione importante

∆n < n(0)|n>= λ < n(0)|V |n> . (7.7)

Per determinare |n> dalla (7.5) dobbiamo invertire l’operatore (E(0)n −

H0) assicurandoci che l’operatore inverso (E(0)n −H0)−1 non agisca su |n(0)>

7.1 Teoria di Rayleigh-Schrodinger 145

perche in tal caso il risultato non sarebbe ben definito. Partendo dallarelazione di chiusura dei ket imperturbati,

∑|k(0)>< k(0)| = 1, definiamo

un operatore di proiezione che proietta su tutti gli autoket eccetto |n(0)>

Φn ≡ 1− |n(0)>< n(0)| =∑k 6=n

|k(0)>< k(0)|. (7.8)

L’operatore (E(0)n −H0)−1Φn e ora ben definito

1

E(0)n −H0

Φn =∑k 6=n

1

E(0)n − E(0)

k

|k(0)>< k(0)| (7.9)

e, poiche (λV − ∆n)|n >= (1 − |n(0) >< n(0)|)(λV − ∆n)|n >= Φn(λV −∆n)|n> per la relazione (7.6), possiamo ottenere |n> dalla (7.5) nella forma

|n>= |n(0)> +1

E(0)n −H0

Φn(λV −∆n)|n> . (7.10)

Il primo termine a membro destro della (7.10) e la soluzione dell’equazioneomogenea che assicura il limite corretto

limλ→0|n>= |n(0)> .

L’autoket perturbato non risulta pero normalizzato ad uno perche< n(0)|n>=1, cio non e grave perche, se e necessario, possiamo sempre normalizzare gliautoket perturbati alla fine dei calcoli. Le formule che otterremo saranno piusemplici con questa normalizzazione e anche l’equazione (7.7), che insiemecon la (7.10) ci dara i risultati cercati si semplifica

∆n = λ < n(0)|V |n> . (7.11)

Sviluppiamo ora |n> e ∆n in potenze di λ

|n>=∑k=0

λk|n(k)>, (7.12)

∆n =∑k=1

λk∆(k)n (7.13)

e uguagliamo nell’equazione (7.11) i coefficienti delle diverse potenze di λ.Otteniamo cosı, all’ordine k-esimo,

∆(k)n =< n(0)|V |n(k−1)> (7.14)

e, al primo ordine,

En(λ) = E(0)n + λ < n(0)|V |n(0)> +O(λ2).


Vediamo che, per calcolare la variazione di energia all’ordine λk, e sufficienteconoscere |n> solo fino all’ordine λk−1. Confrontando gli sviluppi (7.10) e(7.12) abbiamo

λ|n(1)> +λ2|n(2)> + . . . =1

E(0)n −H0

Φn(λV − λ∆(1)n −

−λ2∆(2)n − . . .) · (|n(0)> +λ|n(1)> + . . .) (7.15)

e, tenendo conto che Φn|n(0) >= 0 e quindi il termine con λ∆(1)n non

contribuisce la primo ordine, troviamo

|n(1)>=1

E(0)n −H0

ΦnV |n(0)> . (7.16)

Ora diventa facile calcolare la correzione, al secondo ordine in λ, all’energiaimperturbata

∆(2)n =< n(0)|V 1

E(0)n −H0

ΦnV |n(0)>

e, se poniamoVkl ≡< k(0)|V |l(0)>,

ottenere usando la (7.8)

∆n = En − E(0)n = λVnn + λ2

∑k 6=n

|Vnk|2

E(0)n − E(0)

k

+ . . . (7.17)

Nel caso che H0 non abbia livelli degeneri, il metodo accennato sopra per-mette di calcolare le correzioni all’ordine desiderato. Alla fine del calcolo λdeve essere posto eguale ad uno.

Avendo calcolato ∆(2)n , possiamo dare una stima dell’errore che si com-

metterebbe tenendo solo la correzione al primo ordine in λ. Consideriamoinfatti il termine in λ2 in (7.17) e indichiamo con ∆E il valore assoluto delladifferenza fra l’energia E(0)

n , del livello che stiamo considerando, e quella dellivello piu vicino. Per ogni p, abbiamo

|E(0)n − Ep| ≥ ∆E

e il limite superiore di |∆(2)n | sara

|∆(2)n | ≤

1∆E

∑k 6=n

< n(0)|V |k(0)>< k(0)|V |n(0)>

≤ 1∆E

< n(0)|V [1− |n(0)>< n(0)|]V |n(0)>≤


≤ 1∆E

[< n(0)|V 2|n(0)> −(< n(0)|V |n(0)>)2]

che possiamo riscrivere nella forma

|∆(2)n | ≤

1∆E

(∆V )2 (7.18)

dove ∆V e lo scarto quadratico medio, o fluttuazione, della perturbazioneV nello stato imperturbato |n(0) >. Nel limite in cui λ → 1, la (7.18)indica l’ordine di grandezza dell’errore commesso se teniamo conto solo dellacorrezione al primo ordine.

7.1.2 Caso degenere

Il metodo che abbiamo sviluppato nel paragrafo precedente si applica anchese H0 ha autovalori degeneri purche il ket imperturbato |n(0)>, che vogliamocorreggere, sia unico e ben definito, cioe il livello E

(0)n sia non degenere.

Supponiamo ora che ci sia una degenerazione di ordine g per il livello E(0)n

prima di accendere la perturbazione V , cio significa che esiste un sottospaziodi dimensione g in cui g autoket di H0 corrispondono tutti alla stessa energiaimperturbata E(0)

n . La perturbazione V potra togliere completamente, o inparte, questa degenerazione ma non e piu possibile determinare a qualeket imperturbato tenderanno i ket perturbati nel limite λ → 0. La basedi ket imperturbati in questo sottospazio a g dimensioni puo essere sceltaarbitrariamente ma non e detto che il ket perturbato tenda ad uno di questiket, scelti a priori, in quanto potrebbe tendere ad una loro combinazionelineare.

Nel calcolo degli autovalori e autoket dell’Hamiltoniano H in (7.2) ci li-miteremo al primo ordine in λ per le energie e all’ordine zero per gli autoket.Scegliamo quindi nel sottospazio degli autoket degeneri una base scelta ar-bitrariamente formata da autoket di H0, che ora indichiamo con |n, k> dovek = 1, 2, . . . g e abbiamo omesso l’indice zero, mentre lasciamo la notazione|n(0)

j > (j = 1, 2, . . . g) per le corrette combinazioni lineari cui tendono i ketperturbati nel limite λ→ 0. L’equazione (7.6) vale sempre se la riscriviamonella forma

< n, k|λV −∆n,j |n>= 0. (7.19)

Sviluppiamo |n> in serie di potenze di λ secondo la (7.12)

|n>= |n(0)> +λ|n(1)> + . . .

e, al primo ordine in λ, la (7.19) con la (7.13) forniscono l’equazione

∑p

g∑`=1

< n, k|V |p, `>< p, `|n(0)>= ∆(1)n < n, k|n(0)> .


Il vettore |n(0)> appartiene al sottospazio associato con E(0)n ed e ortogonale

a tutti i ket |p, `> per p 6= n. Quindi

g∑`=1

< n, k|V |n, `>< n, `|n(0)>= ∆(1)n < n, k|n(0)> (7.20)

e la relazione (7.20) fornisce una equazione agli autovalori che permette dideterminare ∆(1)

n,j , j = 1, 2, . . . g, se risolviamo l’equazione secolare ristretta

al sottospazio g-dimensionale associato con E(0)n :

det (V −∆(1)n 1) = 0. (7.21)

Sostituendo questi autovalori in (7.20) possiamo trovare i corretti autoketdi ordine zero < n, k|n(0) >. Gli elementi diagonali di V danno quindi levariazioni di energia al primo ordine

∆(1)n =< n(0)|V |n(0)>

e vale la regola generale: per calcolare gli autovalori (al primo ordine) egli autoket (all’ordine zero) dell’Hamiltoniano H in corrispondenza ad unostato imperturbato degenere E(0)

n , e sufficiente diagonalizzare la matrice cherappresenta la perturbazione, ristretta al sottospazio associato con E

(0)n .

L’esempio che faremo chiarira meglio questa regola.

7.1.3 Interazione fra dipoli magnetici

Un esempio semplice di applicazione della teoria perturbativa stazionariasi ha studiando i livelli energetici per un sistema di due particelle di spin1/2 poste in un campo magnetico statico B0 e interagenti tramite il loromomento di dipolo magnetico. Questo esempio illustra entrambi i casi dellateoria perturbativa e, partendo dal caso non-degenere, affronteremo ancheil problema della degenerazione se le particelle sono identiche.

Siano S1 e S2 gli spin delle due particelle, che indicheremo nel seguitocon (1) e (2), e M1, M2 i corrispondenti momenti magnetici

M1 = γ1S1, M2 = γ2S2 (7.22)

dove γ1 e γ2 sono i rapporti giromagnetici delle due particelle (γ = e/(mec)per l’elettrone, e < 0). 1 Calcoliamo ora il potenziale di interazione V delmomento magnetico M2 dovuto al campo creato da M1 in (2). Supponiamole due particelle fisse nello spazio e indichiamo con r = nr il vettore checongiunge la particella (1) con la (2), allora il campo magnetico creato dallaparticella (1) in (2) e

B = ∇×A1Per un protone, il rapporto giromagnetico e γp = 2.79e/(mpc).


dove 2

A =M1 × rr3

.

Con l’aiuto della formula

∇× (a× b) = (b ·∇)a− (a ·∇)b + a(∇ · b)− b(∇ · a)

si trovaB = M1

(∇ · r

r3

)− (M1 ·∇)

rr3.

Ma ∇ · (r/r3) = 0, se r 6= 0, e

(M1 ·∇)rr3

=1r3

(M1 ·∇)r + r(M1 ·∇

1r3

)=

=M1

r3− 3r (M1 · r)

r5

da cui, sapendo che r = nr,

B =1r3

[3n(M1 · n)−M1]. (7.23)

Finalmente, l’energia di interazione magnetica, V = −M2 ·B, diventa

V = γ1γ21r3

[S1 · S2 − 3(S1 · n)(S2 · n)]. (7.24)

L’espressione (7.24) viene ora considerata come una perturbazione al-l’Hamiltoniano imperturbato delle due particelle in un campo magneticostatico B0 parallelo ad Oz, B0 = B0z. Ponendo ω1 = −γ1B0 e ω2 = −γ2B0

si haH0 = ω1S1z + ω2S2z, (7.25)

mentre, in presenza dell’interazione dipolo-dipolo V , l’Hamiltoniano totaledel sistema diventa

H = H0 + V (7.26)

e supponiamo che B0 sia abbastanza grande per poter trattare V come unaperturbazione. Con la notazione usata in 5.7, abbiamo per gli autoket eautovalori di H0

H0|ε1, ε2>=~2(ε1ω1 + ε2ω2)|ε1, ε2> (7.27)

2Questa espressione per A discende dalla

A =1

c

∫j

RdV

e, nel seguito, useremo le unita di misura CGS-Gauss.


con εi = ±, (i = 1, 2).

Siano θ e ϕ gli angoli polari di n, n = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ), ericordiamo che

Sx cosϕ+ Sy sinϕ =e−iϕ

2(Sx + iSy) +

eiϕ

2(Sx − iSy) =

=12(e−iϕS+ + eiϕS−),

e cheS1 · S2 = S1zS2z +

12(S1+S2− + S1−S2+).

Possiamo quindi riscrivere la (7.24) come

V = −γ1γ2

r3

(3[S1z cos θ +

12

sin θ(S1+e

−iϕ + S1−eiϕ)]×

×[S2z cos θ +

12

sin θ(S2+e

−iϕ + S2−eiϕ)]− S1 · S2

)(7.28)

nella quale possiamo isolare il termine diagonale nella base |ε1, ε2>,

−γ1γ2

r3(3 cos2 θ − 1)S1zS2z (7.29)

e, fra i termini che rovesciano entrambi gli spin, quelli che possono agire solosui ket |+,−> e |−,+>

γ1γ2

4r3(3 cos2 θ − 1) (S1+S2− + S1−S2+). (7.30)

Gli altri termini o rovesciano solo uno dei due spin oppure provocano tran-sizioni del tipo |+,+>←→ |−,−>.

Se le frequenze ω1 e ω2 in (7.27) sono diverse, i livelli sono tutti nondegeneri e l’effetto di V puo essere calcolato al primo ordine conoscendo glielementi diagonali della perturbazione, dati dalla sola (7.29),

< ε1, ε2|V |ε1, ε2 >= −γ1γ2

r3(3 cos2 θ − 1)

ε1ε2~2

4≡ ε1ε2~Ω, (7.31)

avendo definitoΩ = −~

4γ1γ2

r3(3 cos2 θ − 1).

In figura (7.1) sono evidenziati sia i livelli energetici dell’Hamiltoniano im-perturbato H0, con ω1 > ω2 > 0, sia l’effetto della perturbazione al primoordine sui vari livelli. Affinche valga la teoria perturbativa dovra essereΩ ω1 − ω2.


@@

@@

6

?

?

6

~(ω1 + ω2)/2

~(ω1 − ω2)/2

−~(ω1 − ω2)/2

−~(ω1 + ω2)/2

~Ω

−~Ω

−~Ω

~Ω

|+,+>

|+,−>

|−,+>

|−,−>

Figura 7.1: Livelli energetici di due particelle di spin 1/2 nel campo staticoB0. A sinistra compaiono i livelli di H0 mentre, a destra, i livelli perturbatidall’interazione dipolo-dipolo.

Se applichiamo a questo sistema un campo a radiofrequenza B1 cosωtparallelo ad Ox, otteniamo nello spettro alcune linee di risonanza magne-tica che corrispondono alle frequenze di Bohr che possono apparire nel-l’evoluzione di

< γ1S1x + γ2S2x >=12< γ1(S1+ + S1−) + γ2(S2+ + S2−) > .

Le transizioni indotte da S1x, fra gli stati |+,+ >↔ |−,+ > e |+,− >↔|−,− >, hanno una frequenza di Bohr pari ad ω1, in assenza di pertur-bazione, mentre se e presente l’interazione dipolo-dipolo appaiono due lineecon frequenza ω1 + 2Ω e ω1 − 2Ω. Analogamente, S2x connette gli stati|+,+ >↔ |+,− > e |−,+ >↔ |−,− >. In assenza di perturbazione lafrequenza di Bohr di queste transizioni e pari ad ω2 ma, se accendiamo laperturbazione, si ottengono due linee con frequenza ω2 + 2Ω e ω2 − 2Ω. Lospettro di risonanza magnetica che, nel caso imperturbato, consiste di duelinee alle frequenze ω1 e ω2 si scinde per effetto della perturbazione in duedoppietti con centro in ω1 e ω2. L’intervallo fra le due componenti di ognidoppietto e pari a 4Ω.


Se le due particelle hanno lo stesso rapporto giromagnetico allora

ω1 = ω2 = ω = −γB0 (7.32)

e, dalla (7.27), si deduce che gli autoket |+,− > e |−,+ > sono associatiallo stesso autovalore nullo di H0. Il livello con energia 0 e quindi due voltedegenere. Gli autovalori corrispondenti agli autoket |+,+> e |−,−> sono+~ω e −~ω rispettivamente. In un esperimento di risonanza magnetica sitrovera una sola linea di frequenza angolare ω in assenza di perturbazione.L’interazione dipolo-dipolo cambia i livelli non degeneri di una quantita chee ancora ~Ω, ma ora

Ω = −~4γ2

r3(3 cos2 θ − 1).

e l’energia degli stati |+,+> e |−,−> aumenta di ~Ω.

Nel sottospazio dei ket di base |+,−>, |−,+>, che corrispondono allostesso autovalore, l’effetto della perturbazione V si ottiene diagonalizzandoil minore di V relativo a questo sottospazio. Gli elementi diagonali sono glistessi di prima

< +,−|V |+,−>=< −,+|V |−,+>= −~Ω, (7.33)

mentre l’elemento non diagonale < +,−|V |−,+ > ha un contributo daltermine (7.30), e solo da questo,

< +,−|V |−,+>=γ2

4r3(3 cos2 θ − 1) < +,−|(S1+S2− + S1−S2+)|−,+> .

Ricordando la relazione (5.63) che, in questo caso, puo essere riscritta nellaforma

< m′|S±|m>=√

(1/2∓m)(1/2±m+ 1) ~δm′,m±1

con m = ±1/2, otteniamo

< +,−|V |−,+>=~2γ2

4r3(3 cos2 θ − 1) = −~Ω (7.34)

e la matrice da diagonalizzare diventa

−~Ω(

1 11 1

)= −~Ω(1 + σx).

Gli autovalori sono −2~Ω e 0 e i corrispondenti autoket sono (|+,− >+|−,+ >)/

√2, che possiamo identificare con lo stato di tripletto |1, 0 >,

e (|+,− > −|−,+ >)/√

2 che e lo stato di singoletto |0, 0 >. PoicheSx = S1x + S2x commuta con lo spin totale S = S1 + S2, quando si ap-plica il campo a radiofrequenza le transizioni sono possibili solamente fra glistati di tripletto: |+,+>= |1, 1> ↔ |1, 0> e |1, 0> ↔ |−,−>= |1,−1>.


Le frequenze di Bohr corrispondenti sono ω + 3Ω e ω − 3Ω, lo spettro dirisonanza magnetica e composto ora da un doppietto con centro in ω e sep-arazione fra le due componenti pari a 6Ω. Il lettore e invitato a disegnare ilivelli energetici di H0 e di H in questo caso.

Un esempio realistico a cui si applica il calcolo fatto sopra e realizzatonella molecola d’acqua presente in un monocristallo di gesso in cui i pro-toni della molecola d’acqua occupano posizioni fisse nel cristallo. Poichel’interazione dipolo-dipolo decresce rapidamente con la distanza, si possonotrascurare i protoni delle altre molecole d’acqua. Lo spettro osservato di riso-nanza magnetica contiene effettivamente un doppietto e la separazione frale componenti dipende dall’angolo θ fra B0 e la congiungente i due protoni.Ruotando il cristallo rispetto a B0 varia la distanza fra le due componentidel doppietto ed e possibile determinare le posizioni delle molecole d’acquarispetto agli assi del cristallo.

7.1.4 Struttura iperfine dell’atomo di idrogeno

Nell’atomo di idrogeno le due particelle di spin 1/2, l’elettrone e il protone,interagiscono per la presenza delle forze elettrostatiche, che sono dominan-ti, ma anche tramite i loro momenti magnetici. Consideriamo l’atomo diidrogeno nello stato fondamentale, il ket di stato e il prodotto diretto

|n = 1, l = 0,m = 0> ⊗|ε1, ε2> (7.35)

dove ε1 e ε2 (ε1, ε2 = ±) rappresentano rispettivamente gli autovalori di Sz

e Iz avendo indicato con S lo spin dell’elettrone e con I quello del protone.La funzione d’onda dello stato fondamentale e

ψ100(r) =1√πa−3/20 e−r/a0 (7.36)

con a0 = ~2/(mee2), il raggio di Bohr. In assenza dell’interazione dipolo-

dipolo lo stato fondamentale e quattro volte degenere perche la sua energia,E1 = −e2/(2a0), e la stessa per tutti e quattro gli stati di spin. La per-turbazione, al primo ordine, non toglie questa degenerazione se ci limitiamoa considerare i contributi (7.29) e (7.30). Essendo entrambi questi terminiproporzionali a (3 cos2 θ − 1)∫

(3 cos2 θ − 1) dΩ = 0

e gli elementi di matrice < n = 1, l = 0,m = 0|⊗ < ε′1, ε′2|V |ε1, ε2> ⊗|n =

1, l = 0,m = 0> sono tutti nulli.

Ora pero le due particelle non sono fisse come nel caso precedente mapossono muoversi l’una rispetto all’altra e le autofunzioni dell’elettrone e del


protone possono sovrapporsi. Nel calcolo fatto all’inizio di questo paragrafonon possiamo piu trascurare la singolarita per r = 0 che descrive l’interazionedel momento magnetico dell’elettrone con il campo magnetico ”dentro” ilprotone (termine di contatto di Fermi). I termini che abbiamo correttamentetrascurato per r 6= 0 ora non sono piu nulli, per esempio

∇ ·( rr3

)= −∇ ·∇

(1r

)= −4

(1r

)= 4πδ(r).

Se consideriamo il protone come una sfera di raggio finito, 3 il problema dideterminare il corretto coefficiente della δ(r) si riduce a quello di trovare ilcampo magnetico al centro di una sfera con momento magnetico Mp = γpIche supponiamo magnetizzata uniformemente. La relazione fra la densitalineare di corrente amperiana e la magnetizzazione e

j = Mp × un,

essendo un il versore normale uscente dalla sfera. Se indichiamo con ϑl’angolo fra Mp e un e con R il raggio della sfera, attraverso un tratto Rdϑpassa la corrente di = MpR sinϑdϑ che produce nel centro della sfera ilcampo magnetico

dB = 2π di(R sinϑ)2

R3= 2πMp sin3 ϑ dϑ.

Integrando da 0 a π si ottiene il campo magnetico

B(r = 0) =8π3

Mp (7.37)

e la perturbazione di dipolo magnetico diventa

Vc = −8π3

Me ·Mpδ(r) = −8π3γeγpS · Iδ(r). (7.38)

Il contributo del termine di contatto (7.38) all’energia dello stato fonda-mentale dell’atomo di idrogeno si puo finalmente scrivere come

A < m′S ,m

′I |

S · I~2|mS ,mI> (7.39)

dove abbiamo conglobato in A anche l’integrale sulla parte radiale dell’au-tofunzione

A = −8π3γeγp~2|ψ100(0)|2 = −8

3γeγp

~2

a30

=

3Esperimenti in cui un fotone virtuale viene assorbito da un protone mostrano che ilprotone non e puntiforme.


=83e2

a30

(~mec

)(2.79~Mpc

)=

=8× 2.79

3me

Mp(mec

2)α4 ' 5.87× 10−6 eV, (7.40)

ricordando che α = e2/(~c) ' 1/137 e mec2 = 0.511 × 106 eV . A questa

energia corrisponde una frequenza ν = A/h ' 1417 MHz e una lunghezzad’onda λ = c/ν ' 21 cm.

Correzioni relativistiche all’Hamiltoniano dell’atomo di idrogeno deter-minano la struttura fine dei livelli ma non separano il livello degenere del-lo stato fondamentale. L’interazione dipolo-dipolo (7.39) da la strutturaiperfine dello stato fondamentale. Se indichiamo con

F = S + I

lo spin totale, allora l’operatore S · I in (7.39)

S · I =12[F2 − S2 − I2]

e diagonale nella base degli autoket dello spin totale |F,mF >, dove F = 1, 0,con autovalori

~2

2[F (F + 1)− 3/2]. (7.41)

Il livello fondamentale dell’atomo di idrogeno, con energia E1 = −e2/(2a0),e dunque separato dall’interazione iperfine in due sotto-livelli corrispondentiagli stati di tripletto |1,mF > e di singoletto |0, 0>

E+ = E1 +A

4per |1,mF >,

E− = E1 −3A4

per |0, 0> .

La differenza fra queste due energie e A, essa e responsabile di una ra-diazione caratteristica dell’idrogeno con lunghezza d’onda λ ∼ 21 cm digrande rilevanza in astrofisica e in particolare nella spiegazione dei masercosmici.

Fra le varie forme della materia presenti nelle galassie (stelle, pianeti,raggi cosmici ecc.) ne esiste una che consiste in un mezzo interstellare diffu-so e poco denso (da 1 a 20 particelle per cm3) con una temperatura compresafra 50 e 100o K, composta principalmente da idrogeno atomico e una piccolafrazione di molecole e di grani di polvere. A queste temperature l’idrogenoe nello stato fondamentale e non emette nel visibile ma sono possibili tran-sizioni fra i due stati iperfini F = 1 e F = 0 per effetto di urti in questogas interstellare. L’emissione del raggio a λ ∼ 21 cm e poco probabile, la


vita media dello stato di tripletto F = 1 e circa dieci milioni di anni, mala presenza di una gran quantita di idrogeno rende possibile rivelare ques-ta radiazione. L’intensita osservata da una misura della quantita e delladistribuzione dell’idrogeno, lo spostamento in frequenza permette di deter-minare la velocita delle nuvole di idrogeno e la polarizzazione del raggiopermette di risalire al valore del campo magnetico presente in queste nuvoledi idrogeno.

7.2 La perturbazione come causa di transizioni

Consideriamo ora i metodi approssimati di soluzione dell’equazione di Schro-dinger. Sapendo che il sistema quantistico in esame si trova in un certo statoall’istante t0 si tratta di determinare il suo stato al tempo t e, in pratica,di determinare il piu esattamente possibile l’operatore U(t, t0) che forniscel’evoluzione nel tempo del ket di stato nella visuale di Schrodinger. Affron-tiamo quindi il secondo dei due casi cui abbiamo accennato nell’introduzionea questo capitolo.

L’operatore di evoluzione U(t, t0) e sempre definito dall’equazione

i~∂

∂tU(t, t0) = H(t)U(t, t0) (7.42)

con la condizione inizialeU(t, t0) = 1.

L’equazione di Schrodinger (7.42) e equivalente all’equazione integrale

U(t, t0) = 1− i

~

∫ t

t0

H(τ)U(τ, t0)dτ (7.43)

nella quale l’operatore identita compare per soddisfare la condizione iniziale.Supponiamo ora di poter scrivere l’Hamiltoniano H nella forma

H(t) = H(0)(t) + V (t) (7.44)

dove H(0)(t) e l’Hamiltoniano di una equazione di Schrodinger che sappiamointegrare esattamente. Se U (0)(t, t0) e l’operatore di evoluzione corrispon-dente ad H(0)(t), supponiamo che U (0)(t, t0) si sappia costruire in modoesatto. Per esempio, se H(0) non dipende dal tempo, si avra semplicemente

U (0)(t, t0) = e−iH(0)(t−t0)/~

e anche tutti gli autoket e autovalori di H(0) saranno supposti noti.

Per poter considerare l’equazione integrale (7.43) come punto di parten-za per uno sviluppo perturbativo dovrebbe comparire sotto il segno di in-tegrale la perturbazione V (τ), che consideriamo piccola nel senso precisato

7.2 La perturbazione come causa di transizioni 157

nei paragrafi precedenti, e non H(τ). Conoscendo U (0)(t, t0) conviene alloraporre

U(t, t0) = U (0)(t, t0)UI(t, t0), (7.45)

con UI(t0, t0) = 1, e sostituire (7.45) nella (7.42) ottenendo

i~U (0)∂UI

∂t=

(HU (0) − i~∂U

(0)

∂t

)UI

Se moltiplichiamo a sinistra questa equazione per U (0) † e usiamo l’equazionedel moto per U (0) si ha, per l’unitarieta degli operatori di evoluzione

i~∂UI

∂t= (U (0) †V U (0))UI . (7.46)

PonendoVI(t) = U (0) †(t, t0) V (t) U (0)(t, t0) (7.47)

otteniamo una equazione differenziale per l’operatore UI analoga alla (7.42)in cui H(t) e sostituito da VI(t) e una equazione integrale nella formadesiderata 4

UI(t, t0) = 1− i

~

∫ t

t0

VI(τ)UI(τ, t0) dτ. (7.48)

L’equazione integrale (7.48) puo, almeno formalmente, essere risolta periterazioni. Calcoliamo UI(τ, t0) dall’equazione (7.48) e lo sostituiamo nel-l’integrale del secondo membro della stessa equazione ottenendo

UI(t, t0) = 1− i

~

∫ t

t0

VI(τ)dτ +(−i~

)2 ∫ t

t0

dτ

∫ τ

t0

VI(τ)VI(τ ′)UI(τ ′, t0).

(7.49)Iterando ancora, cioe calcolando UI(τ, t0) dalla (7.49), sostituendolo nella(7.48) e ripetendo lo stesso processo all’infinito, si ottiene uno sviluppo inserie

UI(t, t0) = 1 +∞∑

n=1

U (n)I (t, t0) (7.50)

dove U (n)I e l’integrale

U (n)I =

(−i~

)n ∫ t

t0

dτn

∫ τn

t0

dτn−1 . . .

. . .

∫ τ2

t0

dτ1 VI(τn)VI(τn−1) . . . VI(τ1). (7.51)

4Si tratta di una nuova visuale, intermedia fra la visuale di Schrodinger e quella diHeisenberg, che viene chiamata visuale di interazione. In questa visuale, l’evoluzione delket di stato, |α, t >I= UI(t, t0)|α, t0 >S , e determinata solo dalla perturbazione VI(t) equesta evoluzione sara molto lenta se la perturbazione e piccola.


con l’ordine cronologico dei tempi di integrazione t > τn > τn−1 > . . . >τ1 > t0.

Dalla condizione di unitarieta e dalla legge di composizione degli opera-tori di evoluzione temporale si ricava la relazione U†(t, t′) = U(t′, t) e pos-siamo ottenere uno sviluppo analogo a (7.50) per U(t, t0) se moltiplichiamola (7.50) per U (0)(t, t0) e ricordiamo le (7.45), (7.47). Notando che

U (0)(t, t0)U (0) †(τn, t0)V (τn)U (0)(τn, t0)U (0) †(τn−1, t0)V (τn−1)×

×U (0)(τn−1, t0) . . .U (0) †(τ1, t0)V (τ1)U (0)(τ1, t0) =

U (0)(t, τn)V (τn)U (0)(τn, τn−1)V (τn−1) . . .U (0)(τ2, τ1)V (τ1)U (0)(τ1, t0),

si ottiene lo sviluppo

U(t, t0) = U (0)(t, t0) +∞∑

n=1

U (n)(t, t0) (7.52)

con

U (n) =(−i~

)n ∫ t

t0

dτn

∫ τn

t0

dτn−1 . . .

. . .

∫ τ2

t0

dτ1 U (0)(t, τn)V (τn)U (0)(τn, τn−1)V (τn−1) . . .

× . . .U (0)(τ2, τ1)V (τ1)U (0)(τ1, t0). (7.53)

Gli sviluppi (7.50) e (7.52) sono il punto di partenza dei calcoli pertur-bativi che vedremo nei prossimi paragrafi. Se U (0)(t, t0) differisce poco daU(t, t0) questi sviluppi in serie di potenze di V potranno convergere rapi-damente e, mentre U (0) rappresenta l’approssimazione di ordine zero, U (n)

rappresenta la correzione di ordine n a questa approssimazione. Vista ladifficolta pratica del calcolo degli ordini superiori, l’utilita di questi sviluppidipende in modo essenziale dalla rapidita della loro convergenza.

7.2.1 Calcolo perturbativo delle probabilita di transizione

Il significato delle correzioni perturbative all’approssimazione di ordine zerorisulta evidente se H(0) non dipende dal tempo. L’operatore di evoluzionediventa allora

U(t, t0) = e−iH(0)(t−t0)/~ (7.54)

e scegliamo una rappresentazione in cui H(0) e diagonale con autovaloriE0

k e autoket |ak > entrambi noti (k = 1, 2, . . .). La scelta di uno spettrodiscreto non e necessaria ma rende piu chiari gli sviluppi successivi. In questa


base la perturbazione V (t) e determinata dai suoi elementi di matrice, cheindichiamo con la notazione semplificata

Vkj(t) =< ak|V (t)|aj>, (7.55)

e poniamo

ωkj =E0

k − E0j

~, (7.56)

che e la frequenza di Bohr della transizione |aj>↔ |ak>.

Supponiamo ora che il sistema si trovi, all’istante iniziale t0, in un au-tostato di H(0), per esempio |aj >. Vogliamo calcolare la probabilita ditrovare il sistema, all’istante successivo t, in un’altro autostato |ak > diH(0). Indichiamo con Wj→k questa probabilita

Wj→k = | < ak|U(t, t0)|aj> |2, (7.57)

che e la probabilita di transizione da |aj > ad |ak >. Se V (t) fosse nullosi avrebbe U (0)(t, t0)|aj>= exp(−iE0

j (t− t0)/~)|aj> e Wj→k sarebbe nullaper k 6= j data l’ortonormalita della base < ak|aj >= δkj . Se sostituiamonella (7.57) lo sviluppo (7.52) otteniamo

< ak|U(t, t0)|aj>=∞∑

n=1

< ak|U (n)(t, t0)|aj> (7.58)

dove U (n) e dato dalla (7.53). E’ istruttivo calcolare i contributi dellecorrezioni agli ordini piu bassi. Al primo ordine si ha

< ak|U (1)(t, t0)|aj>= − i~

∫ t

t0

dτ[e−iE0

k(t−τ)/~×

×Vkj(τ)e−iE0

j (τ−t0)/~], (7.59)

mentre, al secondo ordine,

< ak|U (2)(t, t0)|aj>=1

(i~)2

∞∑n=1

∫ t

t0

dτ

∫ τ

t0

dτ ′×

×[e−iE0

k(t−τ)/~Vkn(τ)e−iE0n(τ−τ ′)/~×

×Vnj(τ ′)e−iE0j (τ ′−t0)/~

]. (7.60)

Per ricavare la (7.60) abbiamo usato due volte la relazione di chiusura pergli autoket di H(0) e, infine, la relazione di ortonormalita.

Possiamo interpretare queste ampiezze di transizione nel seguente modo:al primo ordine il sistema resta nello stato |aj > fino all’istante τ in cui


la perturbazione V (τ) lo fa passare allo stato |ak >, al secondo ordine laperturbazione agisce due volte e Vkn(τ) induce una transizione allo statointermedio |an > che viene chiamato stato virtuale per distinguerlo daglistati reali |ak > e |aj >. Al terzo ordine compariranno due stati virtualie la perturbazione agira tre volte e cosı via. La probabilita di transizioneall’ordine n sara

Wj→k ' | < ak|U (1)(t, t0)|aj> + < ak|U (2)(t, t0)|aj> + . . .

. . .+ < ak|U (n)(t, t0)|aj> |2

e, esplicitamente, la probabilita di transizione al primo ordine e

Wj→k ' | < ak|U (1)(t, t0)|aj> |2 =1~2

∣∣∣∣∫ t

t0

eiωkjτVkj(τ) dτ∣∣∣∣2 , (7.61)

perche il modulo cancella le fasi che non dipendono da τ . In questa ap-prossimazione, ma non agli ordini superiori,

Wj→k 'Wk→j .

Nel seguito ci limiteremo a considerare solamente le transizioni del primoordine.

7.2.2 Perturbazione indipendente da t

L’espressione (7.61) per la probabilita di transizione al primo ordine puoessere calcolata esplicitamente nel caso in cui V non dipenda esplicitamentedal tempo. Se t0 = 0 e indichiamo con |a> lo stato iniziale e |b> lo statofinale, ambedue autoket di H0, l’equazione (7.61) da

Wa→b '1~2|Vba|2 f(t, ωba) (7.62)

dove la funzione f(t, ω) e

f(t, ω) =∣∣∣∣∫ t

0eiωτ dτ

∣∣∣∣2 = 21− cosωt

ω2. (7.63)

Il grafico di f(t, ω) in funzione di ω, a t fissato 5, presenta un picco moltopronunciato attorno al valore ω = 0 con una larghezza pari a 2π/t. L’altezzadel picco e t2, come si vede facilmente sviluppando in serie la funzione f(t, ω)intorno al punto ω = 0, e l’area sotto la curva e∫ +∞

−∞f(t, ω)dω = 4

∫ ∞

0

sin2 ωt

ω2dω = 2πt.

5E’ utile notare che f(t, ω) = t2(sin u/u)2 dove u = ωt/2 e che, a t fissato, questafunzione da la figura di diffrazione per l’intensita della luce trasmessa da una fenditurarettilinea indefinita


Fra i vari limiti che riproducono la funzione generalizzata δ di Dirac consid-eriamo il seguente

δ(ω) =1π

limt→∞

1− cosωttω2

,

e, nel limite t→∞, si ha

f(t, ω)|t→∞ ∼ 2πtδ(ω). (7.64)

Per un dato valore di t, Wa→b dipende in modo semplice dallo statofinale b; e una costante, che comprende il modulo quadrato dell’elementodi matrice della perturbazione, modulata dal fattore f(t, ωba) che dipendedalla frequenza di Bohr della transizione a → b. Poiche questo fattore dimodulazione ha un picco molto pronunciato di larghezza 2π/t per ωba = 0, letransizioni avvengono preferibilmente verso gli stati la cui energia e compresain un intervallo di larghezza

δE0 '2π~t

intorno all’energia dello stato iniziale. Si puo dire che le transizioni conser-vano l’energia non perturbata a meno di 2π~/t. L’analogia con la relazionedi indeterminazione tempo-energia e apparente ma non rigorosa. L’energiain esame e l’energia H(0) e non l’energia totale del sistema e il tempo t eil tempo della misura di H(0) e non il tempo caratteristico di evoluzionedel sistema. Per uno stato b dato, f(t, ωba) determina il comportamento diWa→b come funzione di t. Se la transizione conserva rigorosamente l’energianon perturbata, ωba = 0, f(t, ωba) cresce come t2, altrimenti e una funzioneoscillante fra 0 e 4/ω2

ba con il periodo 2π/ωba. Wa→b oscilla con lo stessoperiodo attorno al valore medio 2|Vba|2/(Eb − Ea)2 mentre cresce come t2

solo per valori piccoli di t rispetto a questo periodo. 6

Se l’energia Eb appartiene alla parte continua dello spettro di H(0) nonpossiamo misurare la probabilita di trovare il sistema in uno stato ben defini-to al tempo t, ma solo la probabilita di transizione ad un certo insieme distati finali. Chiariremo questo punto con un esempio concreto: la diffusionedi una particella, senza spin e di massa m, da un potenziale V (r) che nondipende dal tempo. Supponiamo che lo stato iniziale della particella sia l’au-toket di H(0) |a>, appartenente allo spettro discreto, e sviluppiamo questoautostato sulla base degli autoket |p > con impulsi ben definiti e energieE = p2/(2m), 7 Le autofunzioni corrispondenti sono onde piane e la densita

6E’ bene ricordare che, essendo una probabilita, Wa→b non puo mai superare il valoreuno.

7Abbiamo eliminato l’apice, scrivendo p invece di p′, non essendoci nel seguitopossibilita di confondere l’operatore p con l’autovalore p′.


di probabilita associata con una misura dell’impulso e

| < p|V |a, t> |2 =1~2| < p|V |a> |2f

(t,E − Ea

~

). (7.65)

Un rivelatore ideale dovrebbe emettere un segnale quando la particella ediffusa con l’impulso pb, ma un rivelatore reale emettera un segnale quandol’impulso p della particella diffusa appartiene ad un angolo solido δΩb checomprende pb e l’energia della particella e compresa in un intervallo δEb

con centro in Eb = p2b/(2m). Nello spazio degli impulsi questi intervalli

definiscono una regione Db, parte di un cono con vertice nell’origine e assepb, e la probabilita che il rivelatore emetta un segnale e quindi

δW (pb, t) =∫p∈Db

d3p| < p|V |a, t> |2. (7.66)

Trasformiamo ora l’integrale (7.66) facendo comparire un integrale sull’e-nergia con il cambiamento di variabile p =

√2mE, p2dp = m

√2mE dE. Si

had3p = p2 dp dΩ = m

√2mE dE dΩ ≡ ρ(E)dE dΩ, (7.67)

dove la funzione ρ(E) = m√

2mE e chiamata densita degli stati finali, esostituendo in (7.66)

δW (pb, t) =1~2

∫Ω∈δΩb; E∈δEb

dΩ dE ρ(E)| < p|V |a> |2f [t, (E − Ea)/~]

(7.68)dove f(t, ω) e la funzione definita nell’equazione (7.63). Se t e sufficien-temente grande la funzione f [t, (E − Ea)/~] puo essere approssimata con2π~tδ(E − Ea) mentre la variazione di ρ(E)| < p|V |a > |2 con l’energiasara certamente piu lenta. Supponiamo di poter trascurare la variazione diquesta funzione su un intervallo di energia di larghezza 4π~/t con centro inEa e che δΩb sia molto piccolo. Allora, se Ea appartiene all’intervallo δEb

(Eb ∼ Ea)

δW (pb, t) = δΩb2π~t | < pb|V |a> |2ρ(Eb = Ea), (7.69)

altrimenti δW (pb, t) = 0. Questa probabilita cresce linearmente con il tempoe il tempo t, pur essendo sufficientemente grande per poter approssimare lafunzione f(t, ω) con una δ(ω), e limitato dalla condizione che una probabilitacome δW non puo mai essere maggiore di uno.

Se introduciamo la densita di probabilita di transizione per unita ditempo e per unita di angolo solido Ωb,

w =2π~| < pb|V |a> |2ρ(Eb = Ea) (7.70)


otteniamo una ”velocita di transizione” indipendente dal tempo. L’equazione(7.70) e una caso particolare della regola d’oro di Fermi.

Consideriamo, come applicazione della (7.70), il problema della diffusioneelastica di una particella da parte di un potenziale V i cui elementi di matricenella rappresentazione coordinate sono dati da

< r|V |r′>= V (r)δ(r− r′). (7.71)

Se lo stato iniziale del sistema e un autoket dell’impulso

|a, t0 = 0>= |pa>,

la probabilita di diffusione di una particella incidente con impulso pa neglistati con impulso p in un intorno del valore pb (con |pb| = |pa|) e data, perunita di tempo e di angolo solido attorno a p = pb, dalla (7.70)

w(pa,pb) =2π~| < pb|V |pa> |2ρ(Eb = Ea). (7.72)

Per un’onda piana incidente si ha

< r|p>=(

12π~

)3/2

eip·r/~

e, essendo per la (7.67) ρ(E) = m√

2mE, otteniamo

w(pa,pb) =2π~m√

2mEa

(1

2π~

)6 ∣∣∣∣∫ d3r ei(pa−pb)·r/~V (r)∣∣∣∣2 (7.73)

dove, a membro destro, compare la trasformata di Fourier del potenziale.Se dividiamo la probabilita (7.73) per la corrente di probabilita associataall’onda piana incidente

Ja =(

12π~

)3 ~ka

m=(

12π~

)3√

2Ea

m,

otteniamo la sezione d’urto di diffusione in approssimazione di Born

σBorn(θ, φ) =w(pa,pb)

Ja=

=m2

4π2~4

∣∣∣∣∫ d3r ei(pa−pb)·r/~V (r)∣∣∣∣2 (7.74)

dove θ e φ sono gli angoli polari di pb.


7.2.3 Perturbazione periodica. Risonanze

Al primo ordine, la probabilita di transizione Wa→b

Wa→b =1~2

∣∣∣∣∫ t

t0

eiωbaτVba(τ)dτ∣∣∣∣2 ,

e proporzionale al modulo quadrato dell’ampiezza con la frequenza ωba nelladecomposizione spettrale della funzione Vba(t), con la convenzione di porreVba = 0 al di fuori dell’intervallo (t0, t). Questa analisi armonica e parti-colarmente semplice quando la perturbazione V non dipende dal tempo edha come conseguenza, l’abbiamo visto nel paragrafo precedente, la ”conser-vazione dell’energia non perturbata”. Il caso piu generale in cui V (t) e unafunzione periodica del tempo e altrettanto semplice e da luogo al fenomeno,importante dal punto di vista pratico, della risonanza.

Supponiamo che V sia una funzione periodica semplice del tempo confrequenza ω. Essendo V un operatore Hermitiano puo essere scritto nellaforma

V = Aeiωt +A†e−iωt (7.75)

dove l’operatore A non dipende dal tempo. Ponendo t0 = 0, per semplicita,la probabilita di transizione Wa→b al primo ordine e

Wa→b '1~2

∣∣∣∣< b|A|a>∫ t

0ei(ωba+ω)τdτ+ < b|A†|a>

∫ t

0ei(ωba−ω)τdτ

∣∣∣∣2(7.76)

che dobbiamo confrontare con la (7.62). Nella (7.76) l’ampiezza di tran-sizione si compone di due termini ma, se t e abbastanza grande, il primotermine diventa grande solo quando ωba + ω ha un valore vicino a zero cioequando l’energia Eb giace in un intervallo di larghezza 2π~/t attorno alvalore

Eb = Ea − ~ω, (7.77)

mentre il secondo termine diventa importante solo nell’intervallo, con lastessa larghezza, attorno al punto

Eb = Ea + ~ω. (7.78)

Capita, in molte applicazioni, che t 2π/ω e quindi sia abbastanzagrande affinche le due regioni (7.77) e (7.78) siano distinte. In tal casoWa→b diventa apprezzabile solo per le transizioni nelle quali il sistema nonperturbato emette o assorbe la quantita di energia ~ω in accordo con l’e-quazione (7.77) o (7.78), rispettivamente. Nel primo caso, vale la (7.77), so-lamente il primo termine appare nell’ampiezza di transizione e la probabilitadi transizione si riduce a

Wa→b '1~2|Aba|2f(t, ωba + ω).


La differenza importante con la (7.62) sta nella sostituzione di ωba con ωba +ω. Possiamo anche considerare transizioni ad un gruppo di livelli situati inun intervallo di energia ∆E ( 2π~/t) attorno al punto Ea − ~ω e definireuna probabilita di transizione per unita di tempo che ha ancora una formasimile alla (7.70), la sola differenza e che ora gli stati finali hanno un’energiainferiore di ~ω a quella dello stato iniziale. Le stesse considerazioni possonoessere fatte per le transizioni nelle quali il sistema assorbe l’energia ~ω.Nel caso, ancora piu generale, in cui V e una funzione periodica, ma nonperiodica semplice, del tempo con frequenza ω vale lo sviluppo di Fourier

V =∞∑

n=1

(Ane

inωt +A†ne−inωt

),

il contributo dei diversi termini di questa serie alla probabilita di transizionenon interferiscono, se t 2π/ω, perche le transizioni causate da ciascunodei termini corrispondono a scambi diversi di energia.

Problema. Un atomo di idrogeno e sottoposto ad un campo elettrico oscil-lante E = E0 cosωt la cui frequenza angolare ω e superiore alla sua frequenzadi ionizzazioneme4/(2~2). L’atomo si trova inizialmente nel suo stato fonda-mentale, qual’e la probabilita di transizione per unita di tempo ad uno statoionizzato (si puo supporre che le funzioni d’onda che rappresentano statiionizzati siano onde piane) ? Qual’e la distribuzione angolare dell’elettroneemesso in questo processo di eccitazione dell’atomo ? .

Soluzione

L’Hamiltoniano quantistico dell’elettrone dell’atomo di idrogeno sottoposto al cam-po elettrico oscillante E e 8

H =1

2m[P− eA(t)]2 + U(R)

dove U(R) e il potenziale centrale creato dal nucleo e R il raggio vettore dell’elet-trone rispetto al nucleo supposto immobile nell’origine. Visto che il potenzialevettore A non dipende dalla posizione, come E , possiamo scrivere

H = H0 + V (t),

dove H0 e l’Hamiltoniano dell’atomo di idrogeno imperturbato, H0 = P2/(2m) +U(R), e

V (t) ' − e

mP ·A(t) (7.79)

avendo trascurato il termine in A2. Nel nostro caso, dalla relazione E = −∂A/∂t,otteniamo dalla (7.79)

V (t) =e

mωP · E0 sin(ωt), (7.80)

8P e l’impulso generalizzato, si veda il testo [2]


che e equivalente alla forma piu intuitiva

V (t) = −eR · E

a meno di una trasformazione di gauge.

Possiamo riscrivere la (7.80) come

V (t) =e

2imωP · E0

(eiωt − e−iωt

)che e nella forma (7.75) e solo il secondo termine corrispondera all’assorbimentodell’energia ~ω se t e sufficientemente grande. Possiamo quindi ripetere il ragiona-mento che ci ha portato alla (7.70) e scrivere la probabilita di transizione per unitadi tempo come

δw =π

2~e2

m2ω2| < pb|p · E0|a> |2ρ(Eb ' Ea + ~ω)δΩb. (7.81)

Il calcolo dell’elemento di matrice < pb|p · E0|a> si esegue facilmente ricordandoche

< R|p|a>= −i~∇Ψa(R)

e che

E0· < pb|p|a>= E0 ·∫d3R < pb|R> (−i~∇)Ψa(R)

dove Ψa(R) e l’autofunzione dello stato fondamentale dell’atomo d’idrogeno (7.36).Quindi, per l’Hermiticita di p

< pb|p|a>=(

12π~a0

)3/2 1√π

∫d3r e−ipb·r/~(−i~∇)e−r/a0 =

=(

12π~a0

)3/2 1√π

∫d3r

(i~∇e−ipb·r/~

)e−r/a0 =

=(

12π~a0

)3/2 pb√π

∫d3r e−ipb·r/~e−r/a0 . (7.82)

Con integrazioni elementari si ottiene∫d3r e−ipb·r/~e−r/a0 = −8π

a0

11/a2

0 + p2b/~2

,

ed infine, dalle (7.81) e (7.82)

δw =4e2

mω2~4pb(E0 · pb)2

a30

[1 + (pba0/~)2]4δΩb.

Se indichiamo con θ l’angolo fra E0 e pb, la distribuzione angolare dell’elettroneemesso e data da cos2 θ.


Bibliografia consigliata: [3], [4], [5], [8].

Bibliografia

[1] H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley.

[2] L.D. Landau e E.M. Lifsits, Teoria dei campi, Editori Riuniti.

[3] A. Messiah, Mecanique Quantique, Dunod (Traduzione inglese: itQuantum Mechanics, North Holland).

[4] J.J. Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Zanichelli.

[5] E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley International.

[6] P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, Oxford University Press,(Traduzione italiana: I principi della Meccanica Quantistica,Boringhieri).

[7] J.L. Basdevant, Mecanique quantique, Ecole Polytechnique.

[8] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics, Wiley-Interscience

[9] N.Ja. Vilenkin, Fonctions speciales et theorie de la representation desgroupes, Dunod

[10] A.R. Edmonds, Angular momentum in quantum mechanics, PrincetonUniversity Press

Indice analitico

Algebra di Lie, 99Ampiezza di

transizione, 77Angoli di Eulero, 102Approssimazione

di Born, 163Armoniche sferiche, 111Autofunzione, 8Autoket, 30Autovalore, 8, 30Azione, 4

ridotta, 4

Base, 31Bra, 26

Campo elettrico oscillante, 130Commutatore, 29Commutatori a tempi eguali, 76Composizione di momenti angolari,

112Corrispondenza duale, 26Costanti del moto, 69, 80

Decomposizione spettrale, 34Degenerazione, 49Densita

degli stati finali, 162di corrente, 12

Disuguaglianza di Schwarz, 27, 52

Effetto tunnel, 127, 139Emissione

spontanea, 132stimolata, 132

Equazione del moto diHeisenberg, 75

Equazione diHamilton-Jacobi, 4, 6Schrodinger, 8–9Schrodinger, 67, 69

Equazione secolare, 37Equilibrio termodinamico, 91

Formalismo di Pauli, 45, 101, 104Formula di

Planck, 92Rabi, 132

Funzione Gaussiana, 3

Generatoredell’evoluzione temporale, 66delle traslazioni, 58

GruppoSO(3), 95, 99SU(2), 102definizione, 94rappresentazioni, 96

Hamiltoniana, 66

Iconale, 5Idrogeno interstellare, 133Indeterminazione tempo-energia, 78Insieme

puro, 42, 82statistico, 81

Insieme completo di osservabili, 50Interazione fra dipoli magnetici, 148Isotropia dello spazio, 93

Ket, 26

Magnetone di Bohr, 17Maser, 133

INDICE ANALITICO 171

Matricedi rotazione, 108ortogonale, 96

Matrici di Pauli, 46Miscela incoerente di stati, 83Miscela statistica di stati, 81Misura, 41–43

ideale, 41Molecola NH3

Hamiltoniano, 123momento di dipolo, 128spettro, 126

Momento angolareautoket, 105autovalori, 105orbitale, 110relazioni di commutazione, 99

Neutrini, 119atmosferici, 120oscillazioni, 121–123solari, 120

Norma, 11

Onde di Bloch, 60Operatore

aggiunto, 29di proiezione, 32Hermitiano, 11, 29Hermitiano coniugato, 29infinitesimo, 97lineare, 28momento angolare, 94, 105osservabile, 30parita, 115unitario, 36

Operatore densita, 81Operatore di

annichilazione, 88creazione, 88evoluzione temporale, 65rotazione, 93traslazione, 57

Operatori vettoriali, 101

Ortonormalita, 31Oscillatore armonico, 85–92Osservabile, 28Osservabili

compatibili, 48incompatibili, 48

Pacchetto d’onda, 63Parentesi di Poisson, 64Parita, 115

regole di selezione, 117Principio di

complementarieta, 3corrispondenza, 2, 64Fermat, 6indeterminazione, 3Maupertuis, 4, 7sovrapposizione, 22

Probabilita, 42Probabilita di transizione, 77, 159Prodotto

diretto, 112esterno, 29interno, 27scalare, 10

Proiettore, 32

Quantizzazionespaziale, 17

Rapporto giromagnetico, 148Rappresentazione, 31N, 88coordinate, 56esatta, 96impulso, 60irriducibile, 96

Rappresentazione matriciale, 33Regola d’oro di Fermi, 163Regola di Heitler-London, 133Regole di

quantizzazione, 63Relazione

di chiusura, 32di completezza, 32

172 INDICE ANALITICO

di De Broglie, 62Relazioni di

Heisenberg, 62indeterminazione, 52–53, 91

Relazioni fondamentali di commu-tazione, 63

Risonanza, 132Rotazioni di R3, 95, 98

Serie di Dyson, 69Singoletto, 114Sistema a due livelli, 72, 119Spazio

degli stati, 24di Hilbert, 9–11duale, 26vettoriale, 10

Spettro continuo, 9, 53Spettro discreto, 9Spin, 15–22Spin isotopico, 108Spinore, 45Stato

legato, 9stazionario, 8, 70virtuale, 160

Stern e Gerlach, 16Struttura

fine, 155iperfine, 155

Teorema di Ehrenfest, 13Teorema di Liouville, 85Teoria

di Rayleigh-Schrodinger, 144perturbativa, 143

Tripletto, 114

Valoredi aspettazione, 42medio, 42

Vettore di stato, 24Visuale di

Heisenberg, 74interazione, 157

Schrodinger, 73

Documents

Libro - Fisica - Meccanica Quantistica Non Relativistica (Paccanoni - 2003) [ITA]