RELACIONES Y FUNCIONES

ASIGNATURA DE LGICO MATEMTICA

SESIN 12

FUNCIN

SEMESTRE 2010-II

CAPTULO 12: FUNCIN

MOTIVACIN

En la vida diaria se presentan diversas situaciones que relacionan dos o ms variables. A continuacin mencionaremos algunos casos.

CASO I: La edad y la talla

CASO II: El tiempo y el PBI Per Cpita

CASO III: EL TIEMPO CON El tiPo DE CAMBIO Y COMPRAS NETAS

CASO IV: EL TIEMPO CON LA SUPERFICIE Y PRODUCCIN DE ALCACHOFAS

INTRODUCCIN

Existen algunas situaciones de la vida real como los casos anteriores, en la que una cantidad numrica (variable dependiente) depende de la otra variable (variable independiente).

Ejemplos: La talla de una persona depende de la edad, la cantidad de impuestos que se paga depende de la cantidad de sus ingresos, el crecimiento de la poblacin global est en funcin del tiempo, la superficie y produccin de alcachofas est relacionado con el tiempo. Un fabricante desea conocer la relacin entre las ganancias de su compaa y su nivel de produccin, un bilogo se interesa en el cambio de tamao de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psiclogo quisiera conocer la relacin entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras y a un qumico le interesa saber la razn entre la velocidad inicial de una reaccin qumica y la cantidad de sustrato utilizado.

6.1 INTRODUCCIN A LAS RELACIONES

Una relacin es una correspondencia entre objetos y en matemticas entre nmeros, pertenecientes a conjuntos no vacos. Por ello, necesitamos ir definiendo relacin entre 2 nmeros (par ordenado), el conjunto de todos los pares de nmeros (producto cartesiano), para luego seleccionar a aquellos que estn relacionados.

par ordenado

Se define como el par de trminos (a; b), donde:a es la primera componente o primer elemento del parb es la segunda componente o segundo elemento del par.

Para la igualdad de dos pares ordenados se cumple el siguiente teorema:

El teorema indica que dos pares ordenados son iguales si y slo si sus primeras componentes son iguales entre si, as como sus segundas componentes.

Ejemplo 1. (2;3) y (3;2) no son iguales.

Ejemplo 2.

Cul debe ser el valor de x, e y para que se cumpla que ?

Solucin:

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos no vacos A, B se define el producto cartesiano AxB al conjunto

Ejemplo 1.

Sean los conjuntos , entonces , su grfica en el diagrama cartesiano es:

Ejemplo 2.

Sean entonces

RELACIN

Universidad Csar Vallejo-LimaLgico Matemtica Dados dos conjuntos no vacos A y B, adems un conjunto R no vaco, de pares ordenados, se llama una RELACIN de A en B a un subconjunto de AxB que cumple con una determinada regla de correspondencia.

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R es una relacin de A en B

Si , adems es tal que , decimos que los elementos a y b estn en relacin y denotamos .

Si decimos que y no estn en la relacin , y escribimos .

Ejemplo 1.

Sean los conjuntos . Son relaciones de A en B por comprensin:

a) b)

c)

d)

e)

Y por extensin, tales relaciones son:

a) b)

c)

d)

e)

Ejemplo 2.

Sean los conjuntos y . Tenemos el producto cartesiano . Tenemos las siguientes relaciones:

a)

, y su diagrama sagital o de flechas es:

b)

, y su diagrama sagital es:

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN DE A EN B

El dominio y rango de una relacin de en , es el conjunto de las primeras y segundas componentes de los pares ordenados de la relacin, respectivamente.

Ejemplo 1.

Sean y , tenemos la relacin:

, el dominio y rango de la relacin son los conjuntos y .

Ejemplo 2.

Determina el dominio y rango de la relacin

,

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

Si ,

y la regla de correspondencia es a + b < 12, entonces la relacin R: A B resulta:

2. Si , determina el valor de x.3. Si , calcula x/y.4. Determina los valores de x e y, si .5. Dados A = {1;2;3} y B = {1;2;3;4;5;6}, determina las siguientes relaciones:a) b)

c)

d)

e)

f)

luego, obtn sus diagramas sagitales, cartesianos, dominio y rango.

6.2 FUNCIN

Una funcin , de en se define como una relacin de en que cumple la condicin de que no existen dos pares de , que tengan el mismo primer elemento.

Simblicamente:

es un funcin de en , si cumple:

a.

b.

Ejemplo 1.

Es una funcin ?

Solucin:

s es una funcin, puesto que no existen dos pares de que tengan el mismo primer elemento.

y .

Ejemplo 2.

a) Dado el siguiente diagrama sagital:

Concluimos que: s es una funcin de A en B puesto que no existen dos pares de que tengan el mismo primer elemento.

b) Dado el siguiente diagrama sagital:

Concluimos que: no es una funcin de A en B, puesto que existen dos pares de que tienen el mismo primer elemento (2;4) y (2;6).

c) Dado el siguiente diagrama cartesiano:

xy

Concluimos que: no es una funcin de R en R , puesto que existen dos pares de que tienen el mismo primer elemento.

d) Dado el siguiente diagrama cartesiano:

Concluimos que: s es una funcin de R en R puesto que no existen dos pares de que tengan el mismo primer elemento.

INTERPRETACIN GEOMETRICA:

Una relacin ser una funcin si su grfica en caso sea interceptada por alguna recta vertical, lo hace a lo ms en un punto.

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Toda funcin se puede expresar de la siguiente manera:

Ejemplo 3.

Si , calcula:

a)

b)

Solucin:

a) Si entonces

b) En forma similar se obtiene que y . Luego

DOMINIO y RANGO DE UNA FUNCIN

El dominio de una funcin es el conjunto dado por:

Dom f = { x A / ! y B (x;y)f }

El rango de una funcin f : AB , es el conjunto dado por :

Ran f = {y B / (x; y)f xA}

Para determinar el rango de una funcin tenemos principalmente dos formas:

a. Analticamente.

Para lo cual seguimos los siguientes pasos: Hacemos y=f(x). Despejamos x en trminos de y. Los valores de y, para los que existe x en su dominio forman el rango de f. Ejemplo.

Determina el rango de la funcin:

Solucin:Seguimos los pasos mencionados anteriormente: . .

b. Grficamente.

Se tiene que graficar la funcin teniendo en cuenta los tributos de la funcin dada. Lo cual veremos ms adelante.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcula n para que la siguiente relacin sea una funcin:

.

2. Cual deber ser el valor de b, para que la relacin sea una funcin?

3.

Determina , si

4. Coloca en los rectngulos, si las grficas son funciones o no.

(II)(I)

(IV)(III)

TOMADO DEL LIBRO: Lgico MatemticaAUTORES: Roger Soto QuirozDenis Morales SaavedraElba Andrade Daz Roco Lpez Pelez