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INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
1
INDICE 1.1 INTRODUCCIN ..............................................................................................................10
1.2 LA ESFERA .......................................................................................................................11
o CIRCULOS MXIMOS.- ....................................................................................................12
o PROPIEDADES ELEMENTALES.- .......................................................................................12
o VOLUMEN Y SUPERFICIE DE LA ESFERA: .........................................................................13
o DOMINIO SOBRE LA SUPERFICIE ESFRICA: ....................................................................13
o TRIANGULO ESFRICO: ...................................................................................................14
1.3 FORMULAS DE LOS SENOS..............................................................................................15
o LEY DE SENOS PARA UN TRIANGULO ESFERICO: ............................................................15
1.4 FORMULAS DE LOS COSENOS. ........................................................................................16
o LEY DE COSENOS PARA UNA TRIANGULO ESFERICO.......................................................16
o ALGUNAS OTRAS FORMULAS. ........................................................................................17
o LEY DE COSENOS PARA VERTICES ...................................................................................17
1.5 FORMULAS DE BESSEL. ...................................................................................................18
o CLASIFICACION DE LAS FORMULAS DE BESSEL: ..............................................................19
1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados ................................................19
2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno ....................................................................23
3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes ....................................................25
4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ngulos ............................................26
1.6 FORMULAS DE BORDA ....................................................................................................27
ENUNCIADO DEL TEOREMA:...............................................................................................27
1.7 ANALOGAS DE GAUSS-D'ELAMBRE ................................................................................31
ENUNCIADO DEL TEOREMA................................................................................................31
1.8 REGLA DEL PENTGONO DE NEPER ................................................................................33
1.9 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA ESFERICA..........................................................35
1.10 Conclusiones ..................................................................................................................36
1.11 BIBLIOGRAFA .................................................................................................................36
2.1introduccion ..........................................................................................................................37
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
2
2.2 ASTROMETRA ......................................................................................................................40
2.3 ASTRONOMA DE POSICIN: ..........................................................................................40
o LA ESFERA TERRESTRE: ...................................................................................................40
o LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES: ...............................................................................41
2.4 ESFERA CELESTE: ............................................................................................................42
o MOVIMIENTOS DE LA TIERRA .........................................................................................42
Consecuencias de la rotacin de la tierra ...........................................................................43
LOS SOLSTICIOS ..................................................................................................................44
LOS EQUINOCCIOS ..............................................................................................................45
3 .................................................................................................................................................46
2.5 LOS OBJETOS CELESTES Y SUS MOVIMIENTOS APARENTES ............................................48
O LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS ESTRELLAS CIRCUMPOLARES ...........................51
2.6 EL MOVIMIENTO DEL SOL EN EL CIELO ...........................................................................52
2.7 EL MOVIMIENTO DEL SOL EN LA ESFERA TERRESTRE .....................................................54
2.8 COORDENADAS ASTRONMICAS: ..................................................................................56
o SISTEMA DE COORDENADAS DEL HORIZONTE: ..............................................................56
o SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRFICAS: .................................................................57
o SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES: ................................................................57
o COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: ................................................................59
o SISTEMA DE COORDENADAS ECLPTICAS: ......................................................................60
2.9 TRANSFORMACIONES ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS ..............62
2.10 TIEMPO ...........................................................................................................................66
o EL TIEMPO Y SU MEDIDA. ...............................................................................................66
o TIEMPO ROTACIONAL. ....................................................................................................67
o DEFINICIN DE AO. ......................................................................................................69
2.11 CORRECCIONES A LOS SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONMICOS: ........................70
o PARALAJE:.......................................................................................................................71
o COORDENADAS TOPO CNTRICAS, GEOCNTRICAS Y HELIOCNTRICAS: .......................71
o PARALAJE DIURNA: .........................................................................................................71
o PARALAJE ANUAL: ..........................................................................................................72
2.12 Conclusiones ..................................................................................................................74
2.13 BIBLIOGRAFA .................................................................................................................74
3.1 INTRODUCCIN Y DEFINICIN DE ELIPSE .......................................................................75
3.2 ELIPSOIDE DE REVOLUCIN: ...........................................................................................77
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
3
o ELIPSOIDE DE REVOLUCIN: ...........................................................................................78
3.3 DETERMINACION DE UN PUNTO SOBRE EL ELIPSOIDE ...................................................80
3.4 LA GRAN NORMAL O NORMAL PRINCIPAL (N) ...............................................................82
3.5 SECCIONES SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCION. CURVATURAS .................................84
3.6 RADIO DE CURVATURA DE LA ELIPSE MERIDIANA ..........................................................85
o RADIO DE CURVATURA DEL VERTICAL PRIMARIO: GRAN NORMAL ................................86
o RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCION NORMAL EN UN ACIMUT CUALQUIERA ........87
o RADIO DE CURVATURA MEDIO .......................................................................................90
o SECCIONES NORMALES RECIPROCAS. LA LINEA GEODESICA ..........................................90
o LONGITUD DEL ARCO DE PARALELO ...............................................................................90
o LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO ............................................................................91
3.7 ACIMUT GEODESICO Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS ..............................................95
3.8 ECUACIN DE LA LNEA GEODSICA, FORMULA DE CLAIRAUT.......................................96
3.9 APLICACIN ..................................................................................................................100
3.10 bibliografia ...................................................................................................................101
4.1 INTRODUCCIN ............................................................................................................102
4.2 FUNCIN VECTORIAL Y CAMPO VECTORIAL .................................................................103
4.3 GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR ...........................................................................104
4.4 ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL .....................................................................105
4.5 CAMPO ESCALAR POTENCIAL .....................................................................................107
4.6 ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON, POTENCIAL GRAVITATORIO .......................107
4.7 FUERZA CENTRIFUGA, POTENCIAL CENTRIFUGO ..........................................................109
4.8 GRAVEDAD Y POTENCIAL DE LA GRAVEDAD ................................................................110
o UNIDADES DE GRAVEDAD ............................................................................................111
4.9 POTENCIAL Y GRAVEDAD NORMAL ....................................................................................112
4.9 EL GEOIDE .....................................................................................................................114
o UTILIDAD EL GEOIDE.....................................................................................................115
4.10 ONDULACION DEL GEOIDE ...........................................................................................115
o PROYECCION DE PIZETTI ...............................................................................................116
o PROYECCION DE HELMERT ...........................................................................................117
4.11 FIGURA DE LA TIERRA ...................................................................................................117
o LA GEODESIA CLSICA ..................................................................................................117
o LA GEODESIA MODERNA ..............................................................................................117
4.12 GEODESIA FSICA ..........................................................................................................118
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
4
o MTODOS DE LOS ARCOS .............................................................................................119
o MTODO DE LAS REAS ...............................................................................................120
o MTODO GRAVIMTRICO .............................................................................................121
4.13 BIBLIOGRAFA ...............................................................................................................123
5.1 INTRODUCCION ............................................................................................................124
5.2 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONOMICAS O NATURAL .........................................125
o SISTEMA GEOCENTRICO ASTRONOMICO. ....................................................................125
Latitud astronmica ( ): ..................................................................................................125
Longitud astronmica ( ): ................................................................................................125
Altura ortomtrica ( ):.....................................................................................................126
o SISTEMA TOPOCENTRICO ASTRONOMICO. ..................................................................126
Distancia cenital ( ): .........................................................................................................127
Acimut astronmico ( ): .............................................................................................127
o SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICO ....................................................................128
3.1 SISTEMA GEOCENTRICO GEODESICO..........................................................................128
- LATITUD GEODSICA().- .........................................................................................128
- LONGITUD GEODSICA ().- ......................................................................................128
- ALTURA ELIPSOIDAL (h).- ..........................................................................................129
3.2 SISTEMA TOPOCNTRICO GEODSICO .......................................................................129
o SISTEMA CARTESIANO GEOCENTRICO ..........................................................................130
o SITEMA DE REFERENCIA GENERAL GEODESICO Y LOCAL CARTESIANO ........................134
o TRIEDRO LOCAL DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES .....................................................138
o DESVIACION DE LA VERTICAL .......................................................................................140
ECUACIN DE LAPLACE, PUNTO LAPLACE ............................................................................144
6.1INTRODUCCIN ...................................................................................................................149
6.2.MARCO TEORICO .........................................................................................................150
o EXCESO ESFERICO .........................................................................................................150
o TEOREMA DE LEGENDRE: .............................................................................................151
o TEOREMA DE GAUSS: ...................................................................................................151
o ESFERA DE JACOBI: .......................................................................................................152
o DESARROLLO DE WEINGARTEN-PUISEUX .....................................................................155
o PROBLEMAS GEODSICOS PRINCIPALES .......................................................................158
Problema Directo .............................................................................................................158
Problema Inverso .............................................................................................................158
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
5
METODO ALGEBRAICO .....................................................................................................158
o Problema Directo .........................................................................................................159
Problema Inverso .................................................................................................................162
Clculo de acimutes y convergencia de meridianos .........................................................162
Clculo de la distancia entre los dos vrtices A y B........................................................164
7.1. INTRODUCCION .................................................................................................................166
7.2. TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS ........................................................................167
o Traslado de posiciones geogrficas por mtodos geodsicos.- ....................................167
o Traslados de posiciones geogrficas por mtodos topogrficos ..................................167
Los mtodos planimtricos ..............................................................................................168
Los mtodos altimtricos .................................................................................................168
El mtodo taquimtrico ...................................................................................................168
7.3. TRASLADO DEPOSICIONES GEOGRFICAS POR MTODOS GEODSICOS ........................168
Poligonal ...........................................................................................................................168
Radiacin ..........................................................................................................................170
Triangulacin ....................................................................................................................171
Trilateracin .....................................................................................................................174
7.4.DEFINICION DE TOPOGRAFIA .............................................................................................176
o LEVANTAMIENTOS .......................................................................................................177
Clases de levantamientos .................................................................................................177
Topogrficos .....................................................................................................................177
Geodsicos .......................................................................................................................177
7.5.LIMITE DE EXTENSION DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOOGRAFICOS ................................177
GRAFICISMO, ESCALA Y CENTIMETRO GRAFICO ..................................................................177
Escala: ..............................................................................................................................178
ERROR LINEAL ..................................................................................................................179
ERROR PERIFERICO ...........................................................................................................180
ERROR ANGULAR ..............................................................................................................181
7.6.TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS Y METODOS TOPOGRAFICOS ..........................182
NORTE GEOGRAFICO (NG): ...............................................................................................183
NORTE DE CUADRICULA (Nc): ..........................................................................................183
CONVERGENCIA DE MERIDIANO : ....................................................................................183
ACIMUT (Z): ......................................................................................................................183
ORIENTACION (O): ............................................................................................................183
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
6
MARCACION (): ..............................................................................................................184
DISTANCIAS Y SUPERFICIES...............................................................................................184
o RADIACION ...................................................................................................................184
ITINERARIO .......................................................................................................................185
INTERSECCION ..................................................................................................................186
LA INTERSECCION DIRECTA ..............................................................................................186
LA TRISECCION DIRECTA ...................................................................................................188
LA INTERSECCION INVERSA ..............................................................................................189
LA INTERSECCION MIXTA..................................................................................................192
o TRILATERACIN ............................................................................................................192
o TAQUIMETRIA: .............................................................................................................195
7.7.LA REPRESENTACION UTM .................................................................................................198
o LA ORIENTACION ..........................................................................................................200
o CONVERGENCIA DE MERIDIANOS ................................................................................200
o EL MODULO DE DEFORMACION LINEAL REDUCIDO .....................................................201
7.8.LA REFERENCIA TOPOGRAFICA Y LA PROYECCION U.T.M...................................................203
8.1.INTRODUCCIN ..................................................................................................................205
8.2.LA RED GEODSICA CLSICA ..............................................................................................206
8.3. CONSTRUCCIN DE LA RED O TRIANGULACIN ...............................................................208
o Proyecto de la Triangulacin ........................................................................................209
Dimensiones de los lados .................................................................................................210
El Reconocimiento del Terreno ........................................................................................211
LA SEALIZACIN .............................................................................................................213
o La Observacin y El Control de Resultados ...................................................................214
o La Compensacin .........................................................................................................215
8.4.LA RED GEODSICA CLSICA ESPAOLA.............................................................................216
8.5.LAS REDES GEODSICAS TRIDIMENSIONALES ....................................................................218
8.6.ORIGEN Y EVOLUCIN DE LA RED GEODSICA ESPAOLA .................................................219
o El Servicio Internacional de Rotacin IERS ....................................................................221
o El Servicio Internacional Para Geodinmica IGS ...........................................................222
o El marco ETRF89. La campaa EUREF89 .......................................................................223
o Las campaas IBERIA95 y BALEAR98 ............................................................................223
o Le Red REGENTE ...........................................................................................................224
8.7. RED GEODSICA NACIONAL EN AMERICA Y EN EL PERU ...................................................225
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
7
o LA CAMPAA GPS DEL PROYECTO SIRGAS ...................................................................227
PAIS N. DE ESTACIONES ........................................................................229
o RED GEODSICA HORIZONTAL NACIONAL CLASICA ....................................................230
8.8. RED GEODESICA EN EL PERU .............................................................................................230
CUMPLIMIENTO DE OBJETIVOS ........................................................................................231
o MAPA DE LA RED GEODESICA NACIONAL .....................................................................233
o DESCRIPCION DE LA INTEGRACION A SIRGAS ...............................................................234
ESTADO DE REALIZACION .................................................................................................234
o PROGRAMACION PARA OBTENCION DE RESULTADOS FINALES ...................................235
QU PERMITE AL PAS CONTAR CON LA REGGEN? .........................................................235
RED GEODSICANACIONAL GPS .......................................................................................235
o ACTIVIDADES DE MANTENIMIENTO EJECUTADAS EN 2005 ..........................................237
RESUMEN .........................................................................................................................238
o RESOLUCION JEFATURAL N 079-2006-IGN-OAJ-DGC ..................................................240
SE RESUELVE:....................................................................................................................241
o RED GEODESICA GEOCENTRICA NACIONAL (REGGEN): ................................................244
8.9.PRINCIPALES PUNTOS GEODSICOS EN EL PER ................................................................245
o PRINCIPALES PUNTOS GEODSICOS EN LA REGIN JUNN ...........................................245
o PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA FICHA TECNICA ..................................................247
8.10. FICHAS TECNICAS DE LOS PRINCIPALES PUNTOS GEODESICOS DE JUNIN ......................249
o anexos ..........................................................................................................................253
RED GEODESICA MINERA .................................................................................................253
CUADRO DE COORDENADAS EN WGS-84 .........................................................................253
CUADRO DE COORDENADAS EN EL SISTEMA ITRF 94 .......................................................253
INSTITUTO GEODESICO DEL PER ....................................................................................254
PROYECTO SNAPP-96 .......................................................................................................254
PUNTOS GPS .....................................................................................................................254
COORDENADAS DE LA SUB RED GEODESICA MINERA ......................................................255
9.1.INTRODUCCIN ..................................................................................................................258
9.2. REDUCCIN DE DISTANCIAS ..............................................................................................259
9.3. CORRECCIN METEOROLGICA ........................................................................................259
1.12 .....................................................................................................................................260
9.4. CALCULO DE DESNIVEL ......................................................................................................260
o A) REDUCCIN AL HORIZONTE .....................................................................................260
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
8
o B) REDUCCIN A LA HORIZONTAL DE A ........................................................................261
o C) CORRECCIN POR ESFERICIDAD ...............................................................................261
o D) CORRECCIN POR REFRACCIN ...............................................................................263
o E) CLCULO DEL COEFICIENTE DE REFRACCIN ...........................................................264
o F) CORRECCIN CONJUNTA POR ESFERICIDAD Y REFRACCIN ....................................266
9.5. REDUCCIN DEL TERRENO A LA CUERDA ..........................................................................267
9.6. REDUCCIN DE LA CUERDA AL ARCO ................................................................................269
9.7. REDUCCIN DE NGULOS .................................................................................................270
o A) CORRECCIN ANGULAR PARA PASO DE LA SECCIN NORMAL A LA LNEA GEODSICA
270
o B) CORRECCIN ANGULAR DEBIDA A LA DESVIACIN DE LA VERTICAL .......................272
o C) CORRECCIN ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO DE ESTACIN ...............273
o D) CORRECCION ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO OBSERVADO ................274
10.1 INTRODUCCION ................................................................................................................277
10.1,TRANSFORMACION DE HELMERT .....................................................................................278
10.2. TRANSFORMACION DE AFINIDAD O DE 7 PARAMETROS:................................................281
10.3. ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA LOCAL: ....................................................................282
o UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIN: ...................................................................................282
o UNAS COORDENADAS DE PARTIDA O DATUM: ............................................................283
o UNA TERCERA COORDENADA LLAMADA ALTURA ORTOMETRICA: ..............................284
o EFECTOS DE USAR DATUM DIFERENTES: .....................................................................285
FIG.10.8 ................................................................................................................................285
o SISTEMA LOCAL UTILIZADO POR EL PERU ....................................................................286
10.4.ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA GLOBAL: ..................................................................286
10.5.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: ..................................................................................288
10.6.MODELO DE LOS 7 PARAMETROS DE BURSA WOLF: .....................................................289
10.7.MODELO DE 3 PARAMETROS: ..........................................................................................289
10.8.MODELO DE 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS: .............................................290
o OBTENCION DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS .....................................................291
o Transformaciones entre los sistemas ED50 y WGS84 ...................................................291
SISTEMA WGS84 ...............................................................................................................291
SISTEMA ED50 ..................................................................................................................291
o CALCULO DE LOS 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS ...................................293
o EJEMPLO .......................................................................................................................296
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
9
10.9. MODELOS ESTANDAR Y ABREVIADO DE MOLODENSKY: .................................................298
o FORMULA ESTNDAR DE MOLODENSKY: .....................................................................298
o FORMULA ABREVIADA DE MOLODENSKY:....................................................................299
2. Cartografa y geodesia satelital por Roger Alejos, Vctor Hugo . .........................301
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
10
La Trigonometra es una rama de la Matemtica en la que se analiza la medida de las partes
de los tringulos, tanto de los tringulos planos como de los esfricos as como de las figuras
que se forman con ellos.
As como en Topografa y en Cartografa es muy importante la Trigonometra
Plana, en Astronoma y en Geodesia es fundamental el anlisis de los tringulos esfricos.
En el posterior desarrollo de la Trigonometra Esfrica se considera bsico el conocimiento de
la Trigonometra Plana y de las propiedades de las funciones trigonomtricas.
El anlisis de las figuras que se representan sobre la superficie esfrica lo lleva a cabo la
Geometra Esfrica. Los conceptos fundamentales de esta Geometra son los siguientes:
circunferencias mximas, circunferencias menores, distancia esfrica, ngulo esfrico Mediante
estos conceptos se definen el tringulo esfrico y su triangulo polar y adems se deducen sus
propiedades fundamentales
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
11
Es un cuerpo geomtrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de
otro interior llamado centro de la esfera.
Fig. 1.1 Euclides
Euclides fue el que defini a la esfera como solido de revolucin, se genera haciendo girar una
superficie semicircular de su dimetro. Esfera proviene del trmino griego sphara, que significa
pelota. Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por:
Fig. 1.2
superficie definida
por:
E= {(x, y,z) R3/(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=k2}
k
Y
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
12
o CIRCULOS MXIMOS.-
Una Circunferencia mxima, o ciclo, sobre una esfera, es el permetro de la
seccin producida por la interseccin de la esfera con un plano que pasa por
el centro de la esfera; por tanto, su radio ser el de la esfera.
Una Circunferencia menor es el permetro de la seccin producida por la
interseccin de la esfera con un plano que no pase por su centro.
Fig. 1.3 Circulo menor y mximo
o PROPIEDADES ELEMENTALES.-
a.- Cuatro puntos del espacio euclidiano R3 definen a una esfera.
b.- Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos crculos mximos .Por dos
puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un crculos mximo y solo uno.
c.- Si la longitud de arco desde A hacia B es a y el radio de la esfera es k, el ngulo sobre el
crculo mximo es a/k.
Fig. 1.4 puntos no coplanario Definen una esfera
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
13
Fig. 1.5 Por cualquier punto P de la Superficie pasan infinitos punto
o VOLUMEN Y SUPERFICIE DE LA ESFERA:
El volumen de una esfera es el volumen de revolucin engendrado por un recinto circular que
gira alrededor del dimetro.
Sabiendo que: , es la ecuacin del circulo de radio k.
CALCULANDO:
o DOMINIO SOBRE LA SUPERFICIE ESFRICA:
Fig.- 1.6 Dominio sobre la superficie esfrica
D
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
14
(
)
Un dominio de superficie esfrica es un recinto o rea sobre la superficie de la esfera limitado
por curvas contenidas en dicha superficie.
o TRIANGULO ESFRICO:
Un tringulo esfrico de vrtices A, B y C, es el dominio de superficie esfrica limitado por tres
crculos mximos que se cortan en A,B y C
Fig.- 1.7 Dominio limitado por tres crculos mximos
Los lados a, b y c, son respectivamente, los arcos de circulo mximo opuestos a A,B y C.
En todo tringulo esfrico de lados a, b y c; y de vrtices A,B y C sobre una superficie esfrica
de radio k, se puede distinguir 6 ngulos:
A, B y C: son los ngulos diedros que definen los crculos mximos que se cortan en dichos
puntos.
a/k, b/k y c/k; son los ngulos centrales (con vrtice en centro de la esfera) barridos por cada
uno de los lados a, b y c.
De igual forma se aplican todas las formulas trigonomtricas en cada uno de estos ngulos.
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
15
o LEY DE SENOS PARA UN TRIANGULO ESFERICO:
Los senos de los lados de un tringulo esfrico son proporcionales a los senos de sus ngulos
opuestos.
Demostracin:
Tracemos el plano perpendicular al radio OA que pasa por C y el plano perpendicular al radio
OB que pasa por C; la interseccin de estos dos planos con el ngulo triedro asociado al
triangulo esfrico ABC la forman
Fig.- 8 Ley de senos para un tringulo esfrico
Los tringulos planos CED y CDF, tal y como se aprecia en la figura:
El radio de la esfera es R=1, es claro por construccin que
=CE, =OE, = CF y = OF; por otra parte, CD = .CE y CD = .CF;
as pues . = . , de donde:
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
16
La otra razn, es decir,
es igual, y para ello se razona anlogamente.
o LEY DE COSENOS PARA UNA TRIANGULO
ESFERICO
En un tringulo esfrico el coseno de cualquier lado es igual a la suma del producto de los
cosenos de los otros dos lados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del
ngulo opuesto, es decir:
= +
= +
= + Demostracin: Segn se aprecia en la figura anterior:
= OF = OD. (c x) = OD. . + OD. =OE + DE
= + CE. = +
Los otros dos casos son similares.
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
17
o ALGUNAS OTRAS FORMULAS.
Demostraremos solamente la primera ya que las dems son anlogas.
(
)
o LEY DE COSENOS PARA VERTICES
Aplicando la ley de cosenos ya mencionada al tringulo polar y teniendo en cuenta las
relaciones de sus ngulos resultan las siguientes frmulas:
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
18
Demostracin:
Desde las frmulas de los cosenos, obtenidas en la seccin anterior, se pueden obtener de
inmediato un conjunto de varias frmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o
tambin denominadas Frmulas de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran
matemtico Friedrich Wilhelm Bessel (Wesfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).
Fig.- 1.9 triangulo esfrico para las frmulas de Bessel
O B
A
C
a
c
b
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
19
OBJETIVO:
Poder calcular un lado o un ngulo cualquiera en triangulo esfrico, a partir del conocimiento de
otros tres elementos de dicho triangulo
o CLASIFICACION DE LAS FORMULAS DE BESSEL
1er GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para lados
2do GRUPO DE BESSEL: Teorema del seno
3er GRUPO DE BESSEL: Teorema de la cotangente
4to GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para ngulos
1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados
Fig.- 10 Triangulo esfrico Enunciado del teorema del coseno para lados:
En todo triangulo esfrico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los
otros dos lados, ms el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ngulo
comprendido, es decir:
cos a = cos b . cos c +sen b . sen c . cos A
cos b =cos a . cos c +sen a . sen c . cos B
cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
20
Conceptos previos
a) Definicin de altura esfrica:
Se llama altura esfrica hc (CH) del tringulo esfrico ABC sobre una esfera de radio r al arco
del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.
b) Proyecciones:
Proyeccin de C sobre el plano OAB produce P.
Proyeccin de P sobre la recta OA es N.
Proyeccin de P sobre la recta OB es M.
Fig.- 11 Triangulo esfrico para la frmula de
Beseel
c) Tringulos formados:
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ACLARACION DE LOS ANGULOS:
RECORDAR
Se llama ngulo correspondiente a un diedro, al ngulo formado por dos perpendiculares a la
arista en un mismo punto y una en cada cara.
El ngulo CON es b ya que es el mismo ngulo que COA.
ACLARACION DE LOS ANGULOS:
RECORDAR
Se llama ngulo correspondiente a un diedro, al ngulo formado por dos
perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara.
El ngulo CON es b ya que es el mismo ngulo que COA.
DEMOSTRACION (Teorema del coseno)
C
P N
A
C
M B
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De 1 y 2
SUSTITUYENDO CN Y CM
Por tanto:
Dividiendo entre r:
C
M O
a
r
C
N O
b
r
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Anlogamente para los cosenos de los lados b y c:
Se tendra
cos b = cos a . cos c +sen a . sen c . cos B cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C
Estas frmulas permiten calcular:
Los ngulos, conociendo los tres lados.
Un lado, conociendo los otros dos y el ngulo comprendido.
2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno
Enunciado del teorema del seno:
En todo triangulo esfrico, los senos de los lados son proporcionales
a los senos de los ngulos opuestos, es decir:
Permiten calcular un lado o un ngulo; conociendo su ngulo
opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos.
DEMOSTRACION (Teorema del seno)
Fig.- 12 Triangulo esfrico para la frmula de
Beseel
Se llama altura esfrica hc (CH) del tringulo esfrico ABC sobre una esfera de radio r al arco
del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.
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NECESITAMOS CALCULAR CP:
Y ahora CN:
Y sustituyendo:
Anlogamente, volvemos a calcular CP:
Y ahora CM:
Y sustituyendo en:
Igualando:
C
P N
A
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25
2
Sen A
Simplificando y ordenando:
Trazando la altura esfrica ha sobre el lado a, se probara la relacin:
Por tanto:
3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes
Por el teorema del coseno y del seno se tiene:
Sustituyendo cos c y sen c en la primera frmula, obtenemos:
Cos a = cos b.(cos a.cos b + sen a.sen b.cos C) + sen b . sen a. senC .cosA
Simplificando:
Cos a = cos a.cos b + cos b.sen a.sen b.cos C + sen b.sen C.cot A.sen a
Pasamos el sumando del 2 termino al miembro: Cos a - cos a. = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A
Sacamos factor comn cos a en el termino:
Cos a .(1- ) = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A.
Cos a. b = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A.
Dividimos ambos miembros por sena . senb, se tiene:
Csen Asen
asen csen
C cosbsen asen b cosa cos c cos
A coscsen bsen c cosb cos a cos
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Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A
DE FORMA ANALOGA Y POR PERMUTACION SE TIENE:
Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A
Cot a . sen c = cos c . cos B + sen B . cot A
Cot b . sen a = cos a . cos C + sen C . cot B
Cot b . sen c = cos c . cos A + sen A . cot B
Cot c . sen a = cos a . cos B + sen B . cot C
Cot c . sen b = cos b . cos A + sen A . cot C
4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ngulos
Recordar:
Triangulo Polar: Dado el tringulo ABC, hallamos el polo del lado c ms prximo al vrtice C.
Del mismo modo determinamos el polo del lado b y el polo del lado a.
Fig.- 1.3 Triangulo Polar
Aplicando el teorema del coseno para lados al triangulo polar ABC, se tiene:
Cos = cos .cos + sen .sen .sen
PORTANTO:
A=Ap
O
B Bp
Cp
C
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SIMPLIFICANDO:
-cos A = (- cos B). (- cos C) + sen B. sen C. (- cos a)
MULTIPLICANDO LA IGUALDAD POR (-1):
cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a
OBTENIENDOSE LAS FORMULAS QUE RELACIONAN TRES ANGULOS Y UN LADO:
cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a
cos B = - cos A. cos C + sen A. sen C. cos b
cos C = - cos A. cos B + sen A. sen B. cos c
ENUNCIADO DEL TEOREMA:
A partir de las frmulas del ngulo mitad de la trigonometra plana, y sustituyendo las frmulas
del coseno, podemos obtener un grupo de frmulas que explicitan la tangente del ngulo diedro
mitad, obtenidas por primera vez por Jean Borda (Pars, 1733-1799).
Si llamamos p al semipermetro del tringulo definido por los arcos a, b y c, se tiene:
De las frmulas del coseno para la esfera trigonomtrica, se tiene:
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Y, a partir de la frmula de la trigonometra plana que da la tangente del ngulo mitad, se
puede escribir:
Podemos, entonces, escribir que:
Y, por analoga:
En definitiva, se obtiene, para una esfera de radio k:
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(
)
(
)
(
)
O sea:
La tangente del ngulo diedro mitad es la raz cuadrada del cociente de dividir el producto de
los senos del complemento semiperimetral de los ngulos centrales adyacentes por el producto
del seno del semipermetro por el seno del complemento semiperimetral del ngulo central
opuesto.
Para despejar desde estas frmulas el seno y el coseno correspondientes, tengamos en cuenta
las frmulas de trigonometra plana que nos dan:
Por lo cual, al sustituir:
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Donde se ha simplificado la expresin del denominador haciendo:
Se obtienen, as, el seno y coseno del ngulo diedro mitad, referidos a una esfera
trigonomtrica, esto es, de radio unidad:
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ENUNCIADO DEL TEOREMA
Usando las frmulas de Borda, y teniendo en cuenta que por la frmula del ngulo suma de la
trigonometra plana es
Podemos obtener mediante una sencilla sustitucin las frmulas llamadas analogas de
Delambre, obtenidas por Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - Pars, 1822).
Efectivamente, se tiene:
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Se obtiene en definitiva:
Anlogamente, se obtienen:
Permutando circularmente las letras se obtienen otras 8 frmulas que
completan el grupo:
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Esta es una regla mnemotcnica para la resolucin de tringulos esfricos. Supongamos que
tenemos un tringulo rectngulo con A=90
Sea el siguiente triangulo la figura a analizar en el cual el Angulo A es 90
Fig. 1.4 triangulo esfrico de neper
c
C
A
b a
B
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A=90
a
B C
90-c 90-b
La regla del pentgono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vrtice es
igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vrtices continuos e igual
al producto de los senos de los elementos situados en vrtices opuestos.
Por ejemplo, en el caso de un tringulo rectngulo tenemos que :
De igual manera para un tringulo donde a=90 pasamos a formar nuestro pentgono.
En el tringulo consideraremos al lado a =90
a = 90
b c
180-- A
90 -- C
a = 90b c
90- C 90- B
180-A
Figura 1.5 : regla de los pentgonos de neper
La regla del pentgono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vrtice es
igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vrtices continuos e igual
al producto de los senos de los elementos situados en vrtices opuestos.
Por ejemplo, en el caso de un tringulo rectngulo tenemos que
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Cos(180-A)=cot(b)*cot(c)=sen(90-C)sen(90-B)=cos(C)*cos(B)
Y as podemos sacar varias relaciones con la regla de neper.
Ejemplo:
Demostrar que en un tringulo esfrico se verifica:
Un cateto y su ngulo opuesto son ambos ngulos agudos o ambos obtusos
Del pentgono de neper figura numero 1:
CosB= sen(90-b)* senC= cosb*senC
SenC =cosB/cosb >0
Entonces:
caso1
(b) < 90 y B 90 y B> 90 si cumple esta condicin entonces B y b son obtusos.
La trigonometra esfrica, que se usa sobre todo en navegacin y astronoma, estudia
tringulos esfricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias mximas
contenidos en la superficie de una esfera. El tringulo esfrico, al igual que el tringulo plano,
tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ngulos A, B y C. Sin embargo, los lados
de un tringulo esfrico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de
circunferencias mximas de una esfera, su medida viene dada por el ngulo central
correspondiente. Un tringulo esfrico queda definido dando tres elementos cualesquiera de
los seis, pues, al igual que en la geometra plana, hay frmulas que relacionan las distintas
partes de un tringulo que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.
La trigonometra esfrica es de gran importancia para la teora de la proyeccin estereogrfica
y en la geodesia. Es tambin el fundamento de los clculos astronmicos. Por ejemplo, la
solucin del llamado tringulo astronmico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un
punto, la hora del da, la posicin de una estrella y otras magnitudes.
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La trigonometra esfrica es un tema muy importante para la medicin de grandes distancias
La trigonometra esfrica es de gran importancia para la teora de la proyeccin estereogrfica
Pedro Garafulic Cabiedes - Universidad de Santiago de Chile
Francisco Luis Flores: Historia didctica de la trigonometra
Calos S. Chinea : formulas de la trigonometra esfrica
http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=96&It
emid=9
http://www.geodesiasatelitall/index.option=com_content&task=view&id=96&Ite
mid=9
www.monografias.com
www.rincondelingeniero.com
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La Astrometra o Astronoma de posicin es la parte de la astronoma que se encarga de medir y
estudiar la posicin, y el movimiento propio de los astros. Estudia y mide la movilizacin, las paralajes y
la posicin de los astros para determinar Coordenadas geogrficas de un lugar y la orientacin del norte
astronmico.
La importancia del zodiaco
Adems del movimiento diario de la esfera de las estrellas fijas, nuestros antepasados
observaron cmo el Sol cambiaba su posicin diaria entre los astros. Su camino, llamado
Eclptica, atravesaba las conocidas constelaciones del Zodiaco. Aunque de origen babilnico,
su divisin actual en doce constelaciones procede de los griegos. En la imagen adjunta
podemos comprobar cmo se mueve el Sol por el Zodiaco a lo largo del ao.
El calendario anual de 12 meses, usado ya por los egipcios; pero mejorado por Julio Csar,
inventor del ao bisiesto, es una consecuencia lgica de la observacin del movimiento del Sol.
La Astronoma de Posicin es la ciencia que estudia la posicin y movimiento de los cuerpos
materiales del universo en el espacio y en el tiempo, mediante medidas efectuadas en
observaciones astronmicas.
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38
EL CIELO DE PTOLOMEO
Aunque los planetas se movan por la eclptica, lo hacan de una forma irregular. El sabio
Alejandrino Claudio Ptolomeo explic este movimiento como podemos ver en el modelo
adjunto.
En el modelo notamos su obsesin por los crculos perfectos. Es la consecuencia lgica de las
ideas sobre el Universo del filsofo griego Aristteles, anterior a Ptolomeo y gran autoridad en
el pensamiento filosfico del mundo grecolatino:
Los planetas se mueven en crculos perfectos llamados epiciclos.
El centro de los epiciclos sigue un crculo perfecto alrededor de la Tierra, llamado deferente.
El centro de la deferente no coincide con la posicin de la Tierra.
Existe un punto, el ecuante, respecto al que el planeta se mueve siempre a la misma
velocidad.
-El mundo supra lunar, el de los astros, es perfecto y todos los movimientos son circulares.
-El mundo sublunar, el habitado por los hombres, es imperfecto y todos los objetos se disponen
en l segn su mayor o menor peso.
Fig. 2.1 cielo de Ptolomeo
FIG. 2.2 orbitas
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39
La filosofa del Universo de Aristteles y la astronoma de Ptolomeo dominaron el
pensamiento humano hasta el Renacimiento.
LA HIPTESIS DE COPRNICO
Aunque no el primero en pensarlo (ya lo haba hecho Aristarco, sin aceptacin en la Grecia
clsica), fue Nicols Coprnico, en el siglo XVI, el que desarroll una alternativa heliocntrica al
sistema de Ptolomeo.
1. El Sol est inmvil en el centro de las estrellas fijas, que no poseen ningn movimiento.
2. La Tierra y los dems planetas giran en rbitas circulares respecto al Sol.
3. La Tierra tiene adems un movimiento de rotacin diurno alrededor de su eje.
4. La Luna gira alrededor de la Tierra.
Es una ciencia derivada de la Astronoma que sirve para determinar Coordenadas Geogrficas
de un Lugar y la orientacin del Norte Astronmico.
GALILEO CONFIRMA A COPRNICO
Aunque Lippershey es el reconocido inventor del telescopio, Galileo Galilei fue el primero en
emplearlo para la Astronoma (hacia 1610). En la escena de la derecha se muestra Jpiter y
sus satlites como los vea Galileo. Las observaciones con su telescopio le llevaron a las
conclusiones siguientes:
1. Al observar el cielo nocturno vio muchas ms estrellas que a simple vista. Comprendi que
haba estrellas que no podamos ver a simple vista porque estaban demasiado lejos. Las
estrellas estn a diferentes distancias, no unidas a una superficie esfrica como suponan los
pensadores antiguos.
2. La Luna presentaba montaas, valles y crteres como la Tierra. Era un planeta similar al
nuestro, no el astro "perfecto" que imaginaba Aristteles
3. Venus presentaba fases como la Luna y cambiaba de tamao. Evidentemente Venus giraba
alrededor del Sol, no de la Tierra.
4. Jpiter presentaba 4 satlites que giraban a su alrededor. Era la prueba notoria de que la
Tierra no era el centro de todos los giros celestes.
FIG. 2.3 teora geocntrica
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40
Es la especializacin de la astronoma que estudia la posicin de los astros en el cielo, con el
fin de establecer las coordenadas celestes y sus variaciones en el tiempo y reconstruir los
movimientos de las estrellas.
Como la parte experimental o tcnica que permite medir la posicin de los astros y los
instrumentos que la hacen posible.
La astrometra utiliza mtodos fotogrficos e instrumentos que permiten medir las posiciones
estelares.
Usa la posicin de los astros para elaborar un modelo de su movimiento o definir los conceptos
que se usan.
Se encarga de definir los distintos tipos de coordenadas astronmicas y sus relaciones.
Describe el movimiento de los astros, planetas, satlites y fenmenos como los eclipses y
trnsitos de los planetas por el disco del sol.
Tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posicin de los astros midiendo
determinados ngulos respecto a unos planos fundamentales.
La astronoma de posicin tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posicin de los
astros midiendo determinados ngulos respecto a unos planos fundamentales.
o LA ESFERA TERRESTRE:
Como los dimetros ecuatorial y polar son casi iguales, para resolver numerosos problemas de
astronoma, se supone que la tierra es una esfera denominada esfera terrestre. La esfera
terrestre cuenta con varias lneas y puntos principales, entre ellos el Eje, los Polos, el Ecuador,
los Meridianos y los Paralelos.
Dimetro ecuatorial: 12.756,28 km
Dimetro polar: 12.713,50 km
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
41
o LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES:
EJE: El eje de la Tierra est inclinado respecto a la elptica, y esto produce las estaciones. Si el
eje de la tierra fuese perpendicular a la elptica, no habra estaciones, ya que el ngulo de
incidencia de los rayos del Sol sobre cada parte de la Tierra sera siempre el mismo en
cualquier poca del ao.
ECUADOR: Es el crculo mximo normal al Eje de la Tierra. Los polos estn separados 90 del
Ecuador. El Ecuador divide a la Tierra en dos semiesferas o hemisferios, llamados Hemisferio
Norte y Hemisferio Sur. Circulo mximo perpendicular al eje de la tierra.
PARALELOS: Crculos menores paralelos al eje de la tierra.
TROPICO DE CANCER: Paralelo al hemisferio norte separado del ecuador 23 27
TROPICO DE CAPRICORNIO: Paralelo simtrico al trpico de cncer ubicado en el hemisferio
sur, por tanto tambin separado del ecuador 23 27
CIRCULO POLAR ARTICO: Paralelo que se encuentra separado del polo norte 23 27
CIRCULO POLAR ANTARTICO: Paralelo que se encuentra separado del sur 23 27
FIG. 2.4 esfera terrestre
FIG. 2.5 crculos mximos
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
42
La tierra queda dividida por estos paralelos en cinco zonas que reciben los
siguientes nombres:
ZONA TORRIDA: Comprendida entre los trpicos y que el ecuador divide en dos partes.
ZONA TEMPLADA: Limitada por los trpicos y los crculos polares.
ZONA GLACIAR: Las extremas comprendidas entre los crculos polares y los polos.
MERIDIANOS: Crculos mximos que pasan por los polos y son normales al ecuador,
Para ubicar objetos en el cielo, no basta con usar las constelaciones, hay que usar
coordenadas celestes anlogas a las coordenadas geogrficas. Imaginen que estamos en el
centro de la Tierra, y que sta es una esfera transparente. Desde ese lugar podramos ver los
astros proyectados sobre esta esfera. Con este mecanismo, se utilizan dos sistemas de
medicin de posiciones en el cielo. Uno de ellos es el AZIMUTAL, en el cual se utilizan el
azimut (sobre el horizonte) y la altura (cero en el horizonte y 90 grados sobre nuestras
cabezas).
ESFERA CELESTE LOCAL O TOPOCENTRICA: Tiene por centro el ojo del observador, es la
que contemplamos en un instante dado vemos la mitad de una esfera la que est sobre nuestro
horizonte.
ESFERA CELESTE GEOCENTRICA: Tiene por centro la tierra.
ESFERA CELESTE HELIOCENTRICA: Tiene por centro el sol.
o MOVIMIENTOS DE LA TIERRA
La Tierra, como cualquier cuerpo celeste, no se encuentra en reposo sino que est sometida a
movimientos de diversa ndole. Los principales movimientos de la Tierra son los movimientos
de rotacin, traslacin, precesin y nutacin y otros ms.
FIG. 2.6 esfera celeste
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
43
MOVIMIENTO DE ROTACIN
Es un movimiento que efecta la Tierra girando sobre s misma a lo largo de un eje ideal
denominado Eje terrestre que pasa por sus polos. Una vuelta completa, tomando como
referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 minutos y 4 segundos y se denomina da
sidreo. Si tomamos como referencia al Sol, el mismo meridiano pasa frente a nuestra estrella
cada 24 horas, llamado da solar. Los 3 minutos y 56 segundos de diferencia se deben a que
en ese plazo de tiempo la Tierra ha avanzado en su rbita y debe de girar algo ms que un da
sideral para completar un da solar.
La primera referencia tomada por el hombre
fue el Sol, cuyo movimiento aparente, originado
en la rotacin de la Tierra, determina el da y la
noche, dando la impresin que el cielo gira
alrededor del planeta. En el uso coloquial del
lenguaje se utiliza la palabra da para designar
este fenmeno, que en astronoma se refiere
como da solar y se corresponde con el tiempo
solar.
Como se observa en el grfico, el eje terrestre forma un ngulo de 23,5 respecto a la normal
de la eclptica, fenmeno denominado oblicuidad de la eclptica. Esta inclinacin produce largos
meses de luz y oscuridad en los polos geogrficos, adems de ser la causa de las estaciones
del ao, causadas por el cambio del ngulo de incidencia de la radiacin solar.
Consecuencias de la rotacin de la tierra A. La sucesin de los das y las noches.
B. La forma achatada de la tierra.
C. Los puntos cardinales.
D. El movimiento aparente de la esfera terrestre.
E. La desviacin de los cuerpos en su cada.
F. Los vientos y las corrientes marinas.
FIG. 2.7 declinacin del eje terrestre
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
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Movimiento de traslacin
Es un movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del
Sol. La causa de este movimiento es la accin de la gravedad,
originndose cambios que, al igual que el da, permiten la
medicin del tiempo. Tomando como referencia el Sol, resulta lo
que se denomina ao tropical, lapso necesario para que se
repitan las estaciones del ao. Dura 365 das, 5 horas y 47
minutos. El movimiento que describe es una trayectoria elptica
de 930 millones de kilmetros, a una distancia media del Sol de
prcticamente 150 millones de kilmetros 1 U.A. (Unidad
Astronmica: 149 675 000 km). De esto se deduce que la Tierra
se desplaza con una rapidez media de 106 200 km/h (29,5
km/s).
La trayectoria u rbita terrestre es elptica. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse y, debido
a la excentricidad de la rbita, la distancia entre el Sol y la Tierra vara a lo largo del ao. A
primeros das de enero se alcanza la mxima proximidad al Sol, producindose el perihelio,
donde la distancia es de 147,5 millones de km, mientras que en los primeros das de julio se
alcanza la mxima lejana, denominado afelio, donde la distancia es de 152,6 millones de km.
LOS SOLSTICIOS El 21 o 22 de junio, la tierra se encuentra en su posicin de rbita, su eje se encuentra
inclinado en un ngulo mximo de 30 hacia el sol. El hemisferio sur se encuentra ms alejado.
Esta circunstancia se conoce como solsticios de verano, para el hemisferio norte. Seis meses
ms tarde, 22 o 23 de diciembre, la tierra se encuentra en una posicin equivalente, en un
punto de su rbita diametralmente opuesto. En esta poca, conocida como solsticios de
invierno para el hemisferio norte, el eje presenta su inclinacin mxima respecto al sol, aunque
ahora es el hemisferio sur el que se encuentra inclinado hacia l. Y presenta el solsticio de
verano.
La posicin del crculo de iluminacin en el solsticio de invierno hace que el da y la noche
tengan distinta duracin en casi todos los puntos del globo.
Resulta evidente que:
La noche es ms larga que el da en el hemisferio en que se inicia el invierno.
El da es ms largo que la noche en el hemisferio que entra en verano.
La desigualdad entre el da y la noche aumenta a medida que nos alejamos del ecuador
geogrfico.
En las latitudes simtricas, respecto al ecuador geogrfico, las duraciones del da y de la noche
son exactamente opuesta.
FIG. 2.8 movimiento de traslacin
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
45
Entre el crculo polar rtico y el polo norte, la noche dura 24 horas.
Entre el crculo polar antrtico y el polo sur, el da dura 24 horas.
Solsticio de invierno, para el hemisferio norte.
LOS EQUINOCCIOS
Equinoccio de primavera el 20 o 21 de marzo.
Equinoccio de otoo del 22 o 23 de septiembre.
El circulo de iluminacin pasa por los polos y coincide con los meridianos a medida que la tierra
gira.
El da y la noche dura 12 horas en todas las latitudes.
Las condiciones reinantes en el hemisferio norte y el hemisferio sur son las mismas.
La salida del sol tiene lugar a las 6:00 A.M. y la puesta del sol a las 6:00 P.M. en todos los
lugares del globo, exceptuando a los polos, donde existen condiciones especiales.
El sol sale por un punto situado exactamente al oeste con la excepcin de los polos en donde el
sol permanece sobre el horizonte todo el da pero con un movimiento en sentido contrario.
En el Ecuador el sol tiene al medioda, una altura de 90. La sombra de cualquier poste vertical,
en este lugar, apunta directamente hacia el oeste desde las 6:00 A.M. hasta el medioda y
apunta directamente hacia el este, desde el medioda hasta las 6:00 P.M.
MOVIMIENTO DE PRECESIN
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INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
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Fig. 2.9 movimiento de precesin
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
48
MOVIMIENTO DE NUTACIN
Fig. 2.10 movimiento de precesin y nutacin
Segn las apariencias, la tierra parece estar inmvil mientras su alrededor giran todos los
cuerpos celestes aproximadamente 24 horas.
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49
Si se utiliza como origen de referencia el sistema topocntrico, en el cual se
considera a un observador en el centro ocupando el centro del Universo, se comprueba que el
Sol, la Luna, los Planetas y las Estrellas giran alrededor nuestro.
Estos objetos celestes se ven moverse de Este a Oeste dando la sensacin de que es la
bveda celeste la que est girando alrededor de la tierra, cuando en realidad es la Tierra la que
gira alrededor de su propio eje, en sentido Oeste-Este.
Si contemplamos las estrellas durante horas veremos un movimiento comn sin cambiar la
figura de las constelaciones. Las estrellas que estn hacia el Este, se elevan; las que estn
hacia el Sur se mueven hacia el Oeste, y las que estn hacia el Oeste bajan hacia el horizonte
hasta desaparecer. Solamente es la estrella Polar la que aparentemente no gira, pero en
realidad si efecta un giro completo, tan pequeo que a ojo desnudo nos parece que esta
quieta.
Tomando como punto fijo de orientacin la estrella Polar, se reconoce que todo el movimiento
comn de las estrellas se realiza en un sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido
directo).
Si nos fijamos en el lugar que ocupa en el cielo una constelacin dada a una hora determinada
(por ejemplo la Osa Mayor a las 10 de la noche en la estacin invernal), al da siguiente a la
misma hora, no nos damos cuenta y nos parece que est en el mismo sitio, pero realmente
cada da adelanta casi 4 minutos, es el denominado da sideral, cuyo valor es exactamente 23
horas, 56 minutos, 4.091 segundos, lo que equivale a un arco de 1. Cada 15 das adelanta 1
hora, que equivale a un arco de 15, entonces el aspecto del cielo ya no es el mismo, y a los
seis meses, la Osa Mayor la encontraremos en la posicin opuesta, llegando al mismo punto
de origen otros seis meses despus. Suceder lo mismo con las dems estaciones. Esto nos
demuestra que la Tierra se desplaza alrededor del sol y al cabo de un ao vamos viendo las
distintas constelaciones.
El da sideral es el tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos de una estrella por el
meridiano del lugar. Su duracin coincide con el periodo de rotacin terrestre. El da solar
verdadero es el tiempo que separa dos pasos consecutivos del centro del Sol por el meridiano
del lugar (su duracin es 24 horas). El Sol llega al Sura aproximadamente cada da a las 12
horas del medioda, pero una estrella llega a la misma posicin cada da cuatro minutos antes
que el Sol, y debido al movimiento de traslacin el da solar verdadero es unos minutos ms
largo que el sideral.
El hecho de que veamos distintas constelaciones en diferentes estaciones del ao, es
consecuencia del circuito del Sol en la esfera celeste. Slo podemos ver estrellas en aquella
parte del cielo que est lejos del Sol, y como que este se mueve a travs del cielo en direccin
Este, cubre progresivamente unas constelaciones y dejar ver otras.
Por ejemplo, en junio el Sol est en aquella parte de la Eclptica que atraviesa Tauro y, durante
un par de meses, antes y despus de esa fecha, la constelacin est situada en el cielo
iluminado. En diciembre, cuando el Sol se ha desplazado a la parte opuesta de cielo, Tauro
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50
luce brillantemente a medianoche en el sur del cielo. Esa traslacin es
consecuencia de la diferencia entre el tiempo sideral y el tiempo solar.
Si el observador se encuentra en una latitud septentrional media, como por ejemplo Espaa,
podemos considerar que la latitud media es 40N; la estrella Polar aparece a 40 por encima
del horizonte norte. Vemos que las estrellas describen un movimiento a lo largo de su
trayectoria (denominado movimiento diurno), unos cortan el horizonte del lugar de observacin,
de forma que las vemos salir, culminar y ms tarde ocultarse. Las estrellas que distan menos
de 40 del polo celeste nunca se pondrn, dichas estrellas no salen ni se ponen nunca, estn
siempre sobre el horizonte y siempre se ven, son la llamadas estrellas circumpolares siendo
ejemplos tpicos las constelaciones de Osa Mayor, Osa Menor, Casiopea, Draco, etc. El
nombre estrellas circumpolares es relativo pues varan segn la latitud del observador.
Orientndonos hacia el horizonte sur, nos encontramos con que nunca podemos ver estrellas a
menor distancia d 40 del polo sur, cuya declinacin es de -50. En la prctica, a causa de la
atmosfera, el lmite queda reducido. Esto significa que, objetos ms al sur como las nubes de
Magallanes y otros objetos celestes estn perpetuamente escondidos a nuestra vista.
Si el observador se encuentra en el polo Norte todas las estrellas describen crculos paralelos
al horizonte, ninguna estrella sale ni se pone, es decir, nunca aparecen nuevas estrellas. La
estrella Polar se encuentra en la cabeza del observador, en el cenit, que apunta hacia el eje
terrestre. Vemos perpetuamente la mitad exacta de la esfera celeste, mientras que alguien
situado en el polo sur tendra una visin anloga de la otra mitad de la esfera celeste.
FIG. 2.11 Movimientos aparente de las constelaciones circumpolares
alrededor del eje del mundo o Polo Norte Celeste
Si el observador se encuentra en el Ecuador, poda ver que casi todas las estrellas describen
crculos alrededor de la lnea meridiana y todas las estrellas salen y se pone, excepto la Polar.
La Luna tambin de la impresin de que recorre un crculo perfecto alrededor de la Tierra.
Adems del movimiento comn de la bveda celeste la luna est dotada de un movimiento
propio de Este a Oeste. Podemos observar que cada hora se desplaza en casi la mitad de su
dimetro, se pone unos 49 minutos ms tarde cada da, o sea que se desplaza unos 13 cada
da.
Los planetas realizan un movimiento doble en la esfera celeste: por una parte, participan el
movimiento diurno de la bveda celeste trasladndose de Este a Oeste, y por otro poseen un
movimiento propio de Oeste a Este. Si observamos y anotamos en un atlas estelar sus
posiciones, podemos comprobar que los planetas se mueven en direccin Oeste-Este respecto
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
51
a las estrellas que virtualmente parecen fijas. Pero su movimiento no es regular,
sino que se interrumpe por periodos permaneciendo inmvil por unos das, luego se mueven en
direccin contraria, de Este a Oeste (denominado movimiento retrogrado), para posteriormente
seguir su ruta normal, es decir la direccin Oeste-Este. Estos movimientos se deben a la
combinacin de la traslacin de la Tierra y del planeta alrededor del Sol.
FIG 2.12 Trayectoria de
las estrellas segn la
latitud del lugar
o LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS
ESTRELLAS CIRCUMPOLARES
La altura del polo celeste sobre el horizonte depende de la latitud del lugar de observacin. As,
en el polo geogrfico (esto es, el que se encuentra en la superficie de la Tierra), donde la latitud
es de 90, ya sea norte o sur, el polo celeste coincide perfectamente con el cenit. Al
desplazarnos hacia el ecuador geogrfico, donde la latitud es de 0, la altura del polo celeste
tambin disminuye, hasta llegar tambin a los 0.
Siempre que nuestra latitud no sea de 0, todos los astros que se encuentren en las
inmediaciones del polo celeste describirn un crculo completo sobre el horizonte y nunca se
ocultarn. Cuanto ms cerca del polo geogrfico nos encontremos, mayor altura tendr el polo
celeste y mayor ser el crculo de astros que no se ocultarn. Los astros que nunca se ocultan
debido a esta circunstancia se llaman circumpolares.
En el siguiente dibujo podemos observar cmo es el crculo de la circumpolaridad a una latitud
de aproximadamente 40 norte, esto es, la latitud de la zona de Madrid o de Nueva York.
FIG 2.13 Si viajamos hacia el sur,
hasta las latitudes de las Islas
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
52
Canarias o del norte de Mxico, mientras que la altura de
la estrella polar sobre el horizonte disminuye, el crculo de la
circumpolar dad se hace ms pequeo.
FIG 2.14 Veamos ahora un hermoso
video que muestra cmo gira El Carro
en torno a la estrella Polar, en la
latitud de Zamora. La Polar est
arriba a la derecha de la imagen. Por
cierto, que al no estar exactamente en
el polo norte celeste, tambin tiene su
propio movimiento, aunque es casi
inapreciable. Este video es obra del
astrnomo Manu Arregui:
El camino que recorre el Sol en la esfera celeste, motivado por la traslacin de la Tierra en
torno a l, se llama eclptica, porque es la lnea en la que se producen los eclipses (la eclptica
es lo que se conoce como un crculo mximo en una esfera). Existe una banda, ms ancha,
que rodea a la eclptica, es el zodiaco, que se divide en doce signos, que antiguamente
coincidan con las constelaciones de sus miembros nombres, pero que ya no es as. Esto
ltimo es debido al movimiento de precesin de los equinoccios, que ya hemos descrito ms
arriba. Los planetas y la Luna siempre se encuentran en el zodiaco.
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
53
Ecuador celeste
La Tierra, como sabemos, est dividida en dos mitades denominadas hemisferios. El crculo
que divide la Tierra en dos se llama ecuador terrestre, y forma un ngulo de 90 con el eje del
mundo. Si proyectamos el ecuador terrestre sobre la esfera celeste obtenemos lo que se
conoce como ecuador celeste. Este concepto es necesario tenerlo muy claro para poder
comprender lo que viene a continuacin.
FIG 2.15 mov. Del sol
FIG 2.16
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
54
El 21 de marzo, fecha del equinoccio de primavera el sol sale por el este y se pone por el
oeste. Al pasar los das, estos puntos se desplazan hacia el norte, primero rpidamente, luego
lentamente, hasta el 21 de junio, fecha del solsticio de verano, en el que el Sol alcanza su
altura mxima.
A partir del 21 de junio, los puntos se alejan del norte y se van acercando el este y al oeste,
cuyas posiciones vuelven a ocupar el 22 23 de septiembre, equinoccio de otoo. Luego se
acercan al punto sur, hasta el 22 de diciembre, solsticio de invierno, del cual se alejan despus.
Transcurrido un ao, vuelven a coincidir con los puntos este u oeste.
Si se construye un aparato denominado gnomon (constituye un importante instrumento de
clculo astronmico) que consta de una varilla colocada verticalmente en el suelo, se puede
determinar el ngulo que nos da la altura del sol sobre el horizonte a cada instante, mediante
un sencillo clculo trigonomtrico utilizando la frmula:
A consecuencia del movimiento diurno, la sombra de la varilla se desplaza en el plano
horizontal y cruza la lnea Norte - Sur cuando el Sol pasa por el meridiano del lugar, eso ocurre
al medioda (es el momento en que el sol alcanza su culminacin superior y cuando est en el
inferior se dice que es medianoche).
El 21 de diciembre, solsticio de invierno, la sombra de la varilla es mxima, al estar el sol bajo
en el horizonte, mientras que el 21 de junio, solsticio de verano, la sombra, la sombra
FIG 2.17 solsticios y equinoccios
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
55
proyectada por la varilla es mnima, consecuencia de la mxima altura alcanzada
por el Sol sobre el horizonte.
Un da antes de que el sol atraviese el ecuador el 21 de marzo su declinacin es negativa, al
da siguiente (21 de marzo) su declinacin vale cero, en ese instante el Sol coincide con el
punto Aries. La duracin del da sera igual a la de la noche. En los das posteriores la
declinacin del Sol es positiva, sigue subiendo hasta que su declinacin alcanza +2327,
estando el sol en ese instante en el solsticio de verano o Trpico de Cncer. En el hemisferio
norte ese da es el ms largo del ao y la noche es la ms corta. A partir de ese momento la
declinacin del sol empieza a disminuir hasta que nuevamente es cero el 21 de septiembre,
coincidiendo con el paso del Sol por el punto Libra, momento en que otra vez la duracin del
da es igual a la de la noche. Sigue disminuyendo la declinacin, ahora con valores negativos,
hasta el solsticio de invierno o Trpico de Capricornio (21 de diciembre) alcanzando su
declinacin el valor de -2327, poca a la que corresponden las noches ms largas y los das
ms cortos.
FIG 2.18 mtodo de la sombra
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
56
Para especificar con exactitud y de forma univoca la posicin de los astros en la bveda celeste
los astrnomos utilizan varios sistemas de coordenadas. Debido a que la posicin de un astro
es sobre una esfera, se usan los sistemas esfricos que tienen las siguientes caractersticas:
El punto de origen de todos los sistemas es el centro de la Esfera Celeste.
Cada sistema tiene un plano fundamental, un eje fundamental, un punto fundamental y un sentido de
giro para la medida de los ngulos.
En cada sistema una de las coordenadas, se mide a partir de una direccin fija del plano fundamental de
0 a 360 y la otra coordenada se mide a uno y otro lado del plano fundamental de 0 a 90.
o SISTEMA DE COORDENADAS DEL HORIZONTE:
Para fijar la posicin de un astro haciendo uso de este sistema, se utilizan dos coordenadas:
Azimut (Z) y Altura (h); en el cual el plano fundamental es el Horizonte, el eje fundamental es el
que une el cenit y el nadir, el sentido horario y el punto fundamental al Sur; siendo:
Altura (h): Es el arco comprendido entre el horizonte y el astro, medido sobre el crculo vertical que pasa
sobre el astro. La altura vara de 0 a 90 hacia el cenit y de 0 a -90 hacia el nadir.
Azimut (Z): Es el arco de horizonte medido (en unidades angulares) desde el punto cardinal sur hasta la
interseccin con el horizonte del crculo vertical que pasa por el astro, en sentido retrgrado (SONE), de
0 a 360.
Distancia Cenital (z): Es el arco comprendido entre el cenit y el astro medido sobre el crculo vertical que
pasa por ella. La distancia cenital es igual a (90- h) y varia de 0 a 180.
Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas
horizontales de un astro estn cambiando permanentemente por lo que es necesario
especificar el tiempo de la observacin con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo
instante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes
y/o longitudes difieren tambin.
FIG 2.19
FIG 2.19
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
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o SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRFICAS:
Se usa para fijar la posicin de un punto sobre la superficie de la Tierra, para el cual se hace
uso de dos coordenadas: Latitud () y Longitud ().
Latitud (): Es el ngulo comprendido entre el Ecuador y el crculo paralelo que contiene al lugar de
observacin. La Latitud vara de 0 a 90 y es positiva hacia el Norte y negativa al Sur.
Longitud (): Es el ngulo diedro comprendido entre el Meridiano de origen y el Meridiano que pasa por
el lugar de observacin, medido sobre el Ecuador a partir del Meridiano de origen. La longitud varia de
0 a 360 o de 0h a 24h y es positiva hacia el Este de
dicho Meridiano; se toma como Meridiano de origen
aquel que pasa por el observatorio de Greenwich (G).
Puede medirse la Longitud de 0 a 180 siendo
positiva hacia el Este de G y negativa hacia el Oeste
de G.
o SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES:
Usado para determinar la posicin de los astros en la Esfera Celeste. Para fijar la posicin de
un astro haciendo uso de este sistema, se efecta mediante dos subsistemas que son:
1. COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES.
2. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS.
LA ESFERA CELESTE
A un observador situado en la superficie de la tierra le parece que se encuentra en el centro de
una esfera, de radio ilimitado en la que todos los otros cuerpos celestes se mueven de este a
oeste. (a esta esfera se le da el nombre de esfera celeste). Pero con centro en el centro de la
tierra, es til para resolver problemas de astronoma y navegacin.
COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES: Que hace uso de las coordenadas de Declinacin () y ngulo
horario (t).
FIG 2.20
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
58
COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: Que hace uso de las coordenadas de
Declinacin () y ascensin recta (A.R.), ().
En el primer caso el plano fundamental es el Ecuador y el radio vector es la Meridiana;
mientras que para el segundo caso solo vara el radio vector, el cual est dado por la Lnea de
los Equinoccios; siendo sta la interseccin de los planos del Ecuador con la Eclptica y uno
de sus extremos es el Punto Vernal, Equinoccio de Aries o Primer Punto de Aries, que se
produce el 21 de marzo de cada ao.
COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES:
Llamado as porque vara con la posicin del observador, siendo:
Declinacin (): Es el arco comprendido entre el Ecuador y el astro medido sobre el crculo horario que
pasa por ella; la declinacin vara de 0 a 90 y es positiva hacia el norte y negativa hacia el sur.
Angulo Horario (A.H.) (L): Es el ngulo diedro comprendido entre el Meridiano del observador y el
crculo horario que pasa por el astro. El ngulo horario se mide sobre el plano ecuatorial y varia de 0h a
24h y es positivo hacia el Oeste.
Se mide el ngulo horario a partir del polo elevado del Ecuador hacia el Oeste. Cuando el astro pasa por
el meridiano del observador se dice que ella est culminando y en ese momento el ngulo horario es
igual a cero.
Aplicaciones
1 determine las coordenadas ecuatoriales de una estrella que se observa con acimut igual a 2052612,
bajo una altura de 672913, en un lugar de latitud de1203.
Solucin:
Las coordenadas solicitadas vienen dadas por.
T=24h-T (1)
= 90-P
Aplicando las relaciones teniendo en cuenta
B=T a=7757 c=p
FIG 2.21 FIG 2.22
INTRODUCCIN A LA GEODESIA SATELITAL
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b=223047 Z=180
=C=252612
Resolviendo tenemos:
T= 0h44m46s y P= 575535
Teniendo en cuenta la relacin (1) se obtiene:
T = 23h 15m 14s y = 320425
o COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS:
ASCENSIN RECTA (): Es una de las coordenadas astronmicas que se utilizan para localizar los astros
sobre la esfera celeste, equivalente a la longitud terrestre (coordenada geogrfica).
Es el ngulo diedro comprendido entre el crculo horario que pasa por el astro y el crculo horario de
origen. Se mide a partir de la interseccin del crculo horario de origen con el Ecuador; es positiva hacia
el Este y varia de 0h a 24h de 0 a 360. Se toma co
